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1
Ministerio de Educación
Dirección Regional de San Miguelito
Instituto Rubiano
Matemáticas
Trimestre I
Temas
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
FUNCIONES PARA ÁNGULOS DE 30°, 45°, 60°
Y ÁNGULOS DE CUADRANTALES
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS (APLICACIONES)
TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
LEY DEL SENO
11 grado Bachiller Ciencias, Tecnología y Humanidades
Docentes
Xenia Castillo ([email protected])
Medardo Navarro([email protected])
Alex Arosemena([email protected])
Isabel Fernández([email protected])
Fechas para consultas asincrónicas
30 de abril, 14 de mayo
Fecha de entrega por el estudiante al docente: 21 de mayo del 2021.
2
Estas guías de auto instrucción se
encuentran dirigida a los estudiantes que
cursan el Undécimo Grado Bachilleres en
Ciencias, Humanidades y Tecnología del
Instituto Rubiano, para ser desarrolladas
por el discente desde su casa de forma no
presencial.
Las misma tienen como objetivo lograr el aprendizaje de conocimientos básicos
de Matemáticas con los cuales debe contar el estudiante para poder continuar
satisfactoriamentes sus estudios superiores.
Es importante que pongas todo tú empeño y esfuerzo en lograr cada uno de estos
objetivos, y cumplas con responsabilidad con el desarrollo de las guías.
Esperamos que dediques el tiempo necesario de manera que lleguemos con éxitos
al final de esta nueva experiencia educativa.
Exitos y Bienvenidos a este año escolar 2021…
3
GUIA NO.1- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS………………………………………..Pág 7 GUIA NO.2-FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA…………………………..Pág 15 ÁNGULOS DE 30°, 45° y 60° GUIA NO.3-RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULO RECTÁNGULO…………………..Pág 21 GUIA N0.4-TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO-LEY DEL SENO……………...……Pág 27
4
Este folleto está confeccionado para que el estudiante pueda poco a poco ir
desarrollando cada tema de manera secuencial.
Consta de cuatro guías didácticas comprendidas de la siguiente manera:
Guía # 1: Razones trigonométricas
Guía # 2: Funciones de ángulos especiales
Guía # 3: Resolución de triángulos rectángulos
Guía # 4: Triángulos oblicuángulos, Ley del Seno
Cada guía contiene los conceptos teóricos del tema, problemas desarrollados y
explicados detenidamente; además de asignaciones para que refuerces el
aprendizaje y una recopilación de apoyos tecnológicos como páginas de internet,
videos, bibliografía e infografía, los cuales te ayudarán a lograr los objetivos de
cada una de ellas.
✓ LA GUÍA DEBE SER ENTREGA CON PUNTUALIDAD EN LA FECHA INDICADA EN LA PORTADA.
✓ DEBE ENTREGARSE EN FORMATO WORD, UN SOLO ARCHIVO O DOCUMENTO (NO PDF,
NO IMÁGENES, NO FOTOS)
✓ DEBE ENVIARSE AL CORREO INSTITUCIONAL DEL DOCENTE.
✓ DEBE IMPRIMIIRSE SOLO LA ACTIVIDAD SUMATIVA Y LA LISTA DE COTEJO. DESARROLLAR ÉSTA EN EL FORMATO FACILITADO EN LA GUÍA.
✓ SEA ORDENADO Y CUIDADOSO EN SU DESARROLLO.
✓ DE NO CUMPLIR CON LAS INDICACIONES SE DEVOLVERÁ PARA NUEVA ENTREGA.
✓ SE ASIGNARÁN DOS SESIONES ASINCRÓNICAS PARA CUALQUIER CONSULTA DEL CONTENIDO O DE LA ENTREGA DEL DOCUMENTO.
5
✓ Aplica la Trigonometría para resolver situaciones de la vida cotidiana.
✓ Aplica la trigonometría al resolver problemas de la vida cotidiana
relacionada con los triángulos.
✓ Construye las razones trigonométricas para el triángulo rectángulo.
✓ Construye las funciones trigonométricas para los ángulos especiales y
cuadrantales.
✓ Resuelve problemas del contexto que involucren las funciones
trigonométricas.
Aplica la Ley del Seno para la solución de triángulos oblicuángulos.
6
✓ Realiza investigaciones y sustenta,
sobre el significado y orígenes de la
trigonometría.
✓ Resuelve ejercicios en donde
encuentran las funciones de ángulos
especiales y cuadrantales.
✓ Resuelve triángulos rectángulos aplicando las razones trigonométricas en
prácticas asignadas.
✓ Presenta un esquema sobre una situación real dada en donde aplique los
conceptos de ángulos de elevación y depresión.
✓ Aplica la ley del seno para resolver triángulos oblicuángulos.
7
GUÍA NO. 1
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Observar los siguientes videos instructivos
https://youtu.be/CRg5jQRj1Hg
https://youtu.be/yVTQ0oJBGag
https://youtu.be/CRg5jQRj1Hg
TRIGONOMETRÍA
La Trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es “la medición de
los triángulos.”. Deriva de los términos griegos τριγωνο trigono 'triángulo' y μετρον metron 'medida'.
Las ramas fundamentales de la trigonometría son:
▪ Trigonometría Plana: Se ocupa de figuras contenidas en un plano.
▪ Trigonometría Esférica: Se ocupa de triángulos que forman parte de la superficie de una esfera.
En este curso se tratará únicamente la trigonometría plana.
Sus primeras aplicaciones se hicieron en áreas de la Navegación, Geodesia, Astronomía. Otras aplicaciones
se pueden encontrar en Física, Química e Ingeniería.
Los babilonios y los egipcios (hace más de
3000 años) fueron los primeros en utilizar
los ángulos de un triángulo y las razones
trigonométricas para efectuar medidas en
agricultura y para la construcción de
pirámides.
8
La TRIGONOMETRÍA está basada en razones llamadas
FUNCIONES O RAZONES TIGONOMÉTRICAS que
tuvieron sus primeras aplicaciones en la topografía, la
navegación y la ingeniería.
RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS
Si Ꝋ es un ángulo en posición normal y P
(x, y) un punto distinto del origen,
perteneciente al lado terminal del ángulo,
las seis razones trigonométricas en Ꝋ
definen en términos de la abscisa (x) o
lado adyacente del ángulo, ordenada
(y) o lado opuesto del ángulo y la
hipotenusa (c=r) o distancia de P al
origen, así:
Signos de las razones trigonométricas:
Sabemos que dependiendo del cuadrante sobre el
plano cartesiano donde se encuentre un punto
coordenado, así mismo se afectará su signo en las
coordenadas de este. Igual pasa por las razones
trigonométricas. Dependiendo del cuadrante sus
signos serán los siguientes:
x =b
9
Cálculo de las razones trigonométricas:
Para encontrar las razones trigonométricas de una triangulo rectángulo, nos apoyaremos en el Plano cartesiano y
el Teorema de Pitágoras.
EJEMPLO NO.1: Calcule los valores para las seis
funciones trigonométricas del ángulo θ, si el punto
P (3,4) pertenecen al lado terminal del ángulo.
PROCEDIMIENTO
1. Dibuje el plano cartesiano y ubique al punto P
(3, 4) terminal del ángulo. Complete el
triángulo rectángulo e indique sus lados
conocidos. Además, identifique el ángulo.
Observe que el punto P se encuentra en el
primer cuadrante, por tanto, la abscisa como la
ordenada tienen signo positivo.
2. Reconocido los lados del triángulo,
utilizaremos el Teorema de Pitágoras para
encontrar el lado faltante.
x = 3 y = 4 r= ?
𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2
𝑟 = √(3)2 + (4)2
𝑟 = √25 = 5
10
3. Completos todos los lados del triángulo
rectángulo armaremos las 6 razones
trigonométricas.
𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑦
𝑟=
4
5 cot 𝜃 =
𝑥
𝑦 =
3
4
𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 𝑥
𝑟=
3
5 sec 𝜃 =
𝑟
𝑥=
5
3
𝑡𝑎𝑛 𝜃 = 𝑦
𝑥=
4
3 csc 𝜃 =
𝑟
𝑦=
5
4
EJEMPLO NO.2: Calcule los valores para las
seis funciones trigonométricas del ángulo θ, si el
punto P (-1,-3) pertenecen al lado terminal
del ángulo.
PROCEDIMIENTO
1. Dibuje el plano cartesiano y ubique al punto
P (-1,-3) terminal del ángulo. Complete el
triángulo rectángulo e indique sus lados
conocidos. Además, identifique el ángulo.
Observe que el punto P se encuentra en el tercer
cuadrante, por tanto, la abscisa como la ordenada
tienen signo negativo.
2. Reconocido los lados del triángulo, utilizaremos
el Teorema de Pitágoras para encontrar el lado
faltante.
x = -1 y = -3 r= ?
𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2
𝑟 = √(−1)2 + (−3)2
𝑟 = √10
3. Completos todos los lados del triángulo
rectángulo armaremos las 6 razones
trigonométricas.
𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑦
𝑟=
−3
√10= −
3√10
10 cot 𝜃 =
𝑥
𝑦 =
−1
−3=
1
3
𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 𝑥
𝑟=
−1
√10= −
√10
10 sec 𝜃 =
𝑟
𝑥 =
√10
−1= −√10
𝑡𝑎𝑛 𝜃 = 𝑦
𝑥=
−3
−1= 3 csc 𝜃 =
𝑟
𝑦=
√10
−3= −
√10
3
11
EJEMPLO NO.3: Si tan Ꝋ = - 4
3 y Ꝋ está en el II
cuadrante, encuentre las razones trigonométricas
faltantes.
PROCEDIMIENTO
1. Encuentra los datos del triángulo dados por la razón
trigonométrica ofrecida, en este caso la tangente.
Dibuje el plano cartesiano y ubica las coordenadas
conocidas. Complete el triángulo rectángulo e
indique sus lados conocidos. Además, identifique el
ángulo.
Observe el ángulo se encuentra en el II cuadrante, por
tanto, la abscisa tiene signo negativo y la ordenada
tienen signo positivo.
tan Ꝋ = - 𝟒
𝟑 x=-3 y=4
2. Reconocido los lados del triángulo, utilizaremos el
Teorema de Pitágoras para encontrar el lado faltante. x=-3 y=4 r= ?
𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2
𝑟 = √(−3)2 + (4)2
𝑟 = √25 = 5
3. Completos todos los lados del triángulo rectángulo
armaremos las 5 razones trigonométricas faltantes. Sen Ꝋ =
4
5 cot Ꝋ = -
3
4
Cos Ꝋ = -3
5 sec Ꝋ = -
5
3
csc Ꝋ = 5
4
EJEMPLO NO.4: Si cos Ꝋ = 5
6 y Ꝋ está en el IV
cuadrante, encuentre las razones trigonométricas
faltantes.
PROCEDIMIENTO
1. Encuentra los datos del triángulo dados por la razón
trigonométrica ofrecida, en este caso el coseno.
Dibuje el plano cartesiano y ubica las coordenadas
conocidas. Complete el triángulo rectángulo e
indique sus lados conocidos. Además, identifique el
ángulo.
Observe el ángulo se encuentra en el IV cuadrante, por
tanto, la abscisa tiene signo positivo y la ordenada
tienen signo negativo.
cos Ꝋ = 𝟓
𝟔 x=5 r= 6
12
2. Reconocido los lados del triángulo, utilizaremos el
Teorema de Pitágoras para encontrar el lado faltante. x=5 r= 6 y=?
y = √𝑟2 − 𝑥2
y= √(6)2 − (5)2
𝑦 = − √11
3. Completos todos los lados del triángulo rectángulo
armaremos las 5 razones trigonométricas faltantes. Sen Ꝋ = −
√11
6 cot Ꝋ = −
6√11
11
sec Ꝋ = 6
5
Tan Ꝋ = √11
5 csc Ꝋ = −
5√11
11
13
ASIGNACIÓN NO. 1
NOTA SUMATIVA
DESPUÉS DE HABER LEÍDO CON DETENIMIENTO LA TEORÍA Y LOS PROBLEMAS DE
EJEMPLOS, TE INVITO A DESARROLLAR ESTA ACTIVIDAD.
NOMBRE: ________________________________ GRUPO: _______ PUNTOS: ____/60
I PARTE: Llena los espacios es blanco con las respuestas correctas (valor 30 puntos)
1. La palabra trigonometría significa:
_____________________________________________.
2. Las ramas fundamentales de la Trigonometría son: _______________________ y
___________________________.
3. Fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones
trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de
pirámides hace 3000 años______________________ y _________________________.
4. Mencione 3 áreas de aplicación donde la trigonometría fue objeto de estudio:
, y .
5. La trigonometría está basada en razones llamadas_
que tuvieron sus primeras aplicaciones en la topografía, la navegación y la ingeniería.
6. Completa las razones trigonométricas que faltan teniendo Ꝋ un ángulo en posición normal,
el punto P (x, y) en el primer cuadrante y la distancia d al origen igual a r.
Sen Ꝋ= y/r Cot Ꝋ= _________________
Cos Ꝋ = Sec Ꝋ =__________________
Tan Ꝋ= Csc Ꝋ =_________________
7. Escribe el signo de la razón trigonométrica según el cuadrante indicado. Solo los espacios vacíos
RAZON
TRIGONOMETRICA
I CUADRANTE II CUADRANTE III
CUADRANTE
IV
CUADRANTE
Sen Ꝋ ejemplo + -------- - -
Cos Ꝋ ---------- ----------
Tan Ꝋ ----------- ----------
Cot Ꝋ ----------
Sec Ꝋ ------------ ----------
Csc Ꝋ ------------ -----------
8. Di el cuadrante en donde quedará el ángulo Ꝋ si:
14
RAZONES CUADRANTE
Sen Ꝋ y Cos Ꝋ son positivos
Tan Ꝋ es positiva y Sec Ꝋ es negativa
Sec Ꝋ y Csc Ꝋ son negativas
Tan Ꝋ es negativa y Cos Ꝋ es positiva
Sen Ꝋ y Sec Ꝋ son negativas
II PARTE: Desarrolla los siguientes problemas de aplicación (20 puntos)
Determina los valores de las razones trigonométricas para el ángulo Ꝋ, si P ( -5,12) es un punto en el lado
terminal del ángulo.
Determina los valores de las razones trigonométricas para el ángulo Ꝋ, si P ( -2,-3) es un punto en el lado
terminal del ángulo.
Encuentra el valor de las razones trigonométricas faltantes si Csc Ꝋ = -5
4 en el IV cuadrante.
Encuentra el valor de las razones trigonométricas faltantes si Tan Ꝋ = 7
24 en el II cuadrante
15
LISTA DE COTEJO PARA ACTIVIDADES FORMATIVAS O SUMATIVAS
Puntuación
esperada
Aspectos por evaluar Puntuación
obtenida
Observaciones
5 Puntualidad. Entrega a
fecha indicada por el
docente, según organización
del colegio.
5 Limpieza y orden. No se
aprecian borrones,
tachones.
Expresa adecuadamente la
solución de cada problema.
50 Desarrolla correctamente
todos los procedimientos de
acuerdo con las fórmulas y
propiedades.
.
CALIFICACIÓN.
16
GUÍA NO. 2
FUNCIONES PARA ÁNGULOS DE 30°, 45°, 60°
Y ÁNGULOS DE CUADRANTALES Observa los siguientes videos
https://youtu.be/rQSuqLrhn7E
https://youtu.be/SFKKxF3BfuY
https://youtu.be/oV1Bcljgkbw
FUNCIONES PARA ÁNGULOS DE 30°, 45°, 60°
Uno de los triángulos más utilizados en las diferentes áreas
científicas es el TRIÁNGULO RECTÁNGULO.
Dentro de este tenemos aquellos que tienen ángulos internos de
30°, 45° y 60°.
Veamos cómo se crean estos triángulos especiales.
Tomemos un Triángulo equilátero, donde ya conoces sus características y
dividámoslo por la mitad. Se crea un triángulo rectángulo donde uno de sus
ángulos internos en la base mide 60°.
Este triángulo es un triángulo especial de 60° y para él podemos construir
las razones trigonométricas ya aprendidas.
Si giramos es mismo triángulo, también podemos construir las funciones trigonométricas para el ángulo de 30°.
17
Lo mismo pasa, para triángulos rectángulos con ángulo interno de 45°.
FUNCIONES PARA ÁNGULOS DE CUADRANTALES
Como su nombre lo dice, se les llama ángulos cuadrangulares
o cuadrantales a aquellos ángulos que tienen su lado terminal en algunos de
los cuatro cuadrantes o ejes coordenados del plano cartesiano, son
los ángulos de 0º, 90º, 180º, 270º, 360º y se utilizan mucho en diversas
operaciones en el área de la trigonométrica.
Para estos ángulos también se pueden armar las funciones trigonométricas.
TABLA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS ESPECIALES Y CUADRANTALES
18
EJEMPLO NO.1: Calcule el valor de la siguiente expresión trigonométrica, utilizando la tabla de ángulos
especiales. 𝟓𝒄𝒐𝒔 𝟗𝟎° − 𝟖𝒔𝒆𝒏𝟐𝟕𝟎° + 𝟑𝒄𝒔𝒄𝟑𝟎°
PASOS PROCEDIMIENTO
1. Encuentra en la tabla de funciones de ángulos
especiales el valor para cada una de las funciones del
enunciado.
𝒄𝒐𝒔 𝟗𝟎° = 0
𝒔𝒆𝒏𝟐𝟕𝟎° = −𝟏
𝒄𝒔𝒄𝟑𝟎° = 𝟐
2. Reemplaza cada valor numérico para la función en
la expresión dada y evalúa. 𝟓𝒄𝒐𝒔 𝟗𝟎° − 𝟖𝒔𝒆𝒏𝟐𝟕𝟎° + 𝟑𝒄𝒔𝒄𝟑𝟎°
= 𝟓(𝟎) − 𝟖(−𝟏) + 𝟑(𝟐)
= 𝟎 + 𝟖 + 𝟔
= 𝟏𝟒
EJEMPLO NO.2: Calcule el valor de la siguiente expresión trigonométrica, utilizando la tabla de ángulos
especiales.
𝒔𝒆𝒏𝟐𝟒𝟓°+ 𝒔𝒆𝒏𝟐𝟔𝟎°
𝒕𝒂𝒏𝟐𝟔𝟎°
PASOS PROCEDIMIENTO
1. Encuentra en la tabla de funciones de ángulos
especiales el valor para cada una de las
funciones del enunciado.
𝒔𝒆𝒏𝟒𝟓° = √𝟐
𝟐
𝒔𝒆𝒏𝟔𝟎° =√𝟑
𝟐
𝒕𝒂𝒏𝟔𝟎° = √𝟑
2. Reemplaza cada valor numérico para la función
en la expresión dada y evalúa. 𝒔𝒆𝒏𝟐𝟒𝟓° + 𝒔𝒆𝒏𝟐𝟔𝟎°
𝒕𝒂𝒏𝟐𝟔𝟎°
= (
√𝟐
𝟐)
𝟐
+ (√𝟑
𝟐 )
𝟐
(√𝟑)𝟐
= 𝟐
𝟒 +
𝟑
𝟒
𝟑
= 𝟓
𝟏𝟐
19
EJEMPLO NO.3: Calcule el valor de la siguiente expresión trigonométrica, utilizando la tabla de ángulos
especiales.
𝟑𝒄𝒔𝒄𝟑
𝟐𝝅 + 𝟐𝒄𝒐𝒕
𝝅
𝟐
PASOS PROCEDIMIENTO
1. Encuentra en la tabla de funciones de ángulos
especiales el valor para cada una de las funciones
del enunciado. 𝒄𝒔𝒄
𝟑
𝟐𝝅 = -1
𝒄𝒐𝒕𝝅
𝟐 = 0
2. Reemplaza cada valor numérico para la función en
la expresión dada y evalúa. 𝟑𝒄𝒔𝒄𝟑
𝟐𝝅 + 𝟐𝒄𝒐𝒕
𝝅
𝟐
= 𝟑(−𝟏) + 𝟐(𝟎)
= −𝟑 + 𝟎
= −𝟑
20
ASIGNACIÓN NO. 2
NOTA SUMATIVA
DESPUÉS DE HABER LEIDO CON DETENIMIENTO LA TEORÍA Y LOS PROBLEMAS DE
EJEMPLOS, TE INVITO A DESARROLLAR ESTA ACTIVIDAD.
NOMBRE: ________________________________ GRUPO: _______ PUNTOS: ____/55
I. PARTE: Completa cada expresión con las medidas de los ángulos especiales. 5puntos
II. PARTE: Calcula cada una de las siguientes expresiones sustituyendo valores numéricos.40 puntos
21
22
LISTA DE COTEJO PARA ACTIVIDADES FORMATIVAS O SUMATIVAS
Puntuación
esperada
Aspectos por evaluar Puntuación
obtenida
Observaciones
5 Puntualidad. Entrega a
fecha indicada por el
docente, según organización
del colegio.
5 Limpieza y orden. No se
aprecian borrones,
tachones.
Expresa adecuadamente la
solución de cada problema.
45 Desarrolla correctamente
todos los procedimientos de
acuerdo con las fórmulas y
propiedades.
.
CALIFICACIÓN.
23
GUÍA NO. 3
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS (APLICACIONES)
Observa los siguientes videos
https://youtu.be/Dbd5OmbOE9c
https://youtu.be/cJs9R_7KLA8
https://youtu.be/CRg5jQRj1Hg
Ángulo de elevación: Es el ángulo agudo formado por la línea
horizontal y la línea de visión o línea visual,
cuando el objeto o punto de observación se
encuentra por arriba de la línea horizontal; es
decir, cuando el observador mira hacia arriba.
Ángulo de elevación: Es el ángulo agudo formado por la línea
horizontal y la línea de visión o línea visual,
cuando el objeto o punto de observación se
encuentra por abajo de la línea horizontal; es
decir, cuando el observador mira hacia abajo.
Aplicaciones del triángulo rectángulo: Los ángulos de elevación y depresión nos sirven para resolver problema de nuestro contexto en donde pueden
aplicarse las razones trigonométricas del triángulo rectángulo.
EJEMPLO NO.1: Se desea conocer la altura (h) de un edificio de apartamentos, el observador se encuentra
en la acera del frente a 13 m de la base del edificio. Al mirar hacia arriba hasta la cúspide de la estructura se
forma un ángulo con la línea de visión de 55°.
PASOS PROCEDIMIENTO
1. Dibuje un esquema de la problemática en
donde reconozca e indica cada dato dado y la
pregunta o incógnita del problema.
En este caso se conoce la ubicación del
observador, este se encuentra a 13 m de la base
del edificio. También ser conoce el ángulo de
elevación que son 55°.
La altura que hemos llamado h es la incógnita
por encontrar.
24
2. Verifica que función trigonométrica relaciona
los datos y la incógnita a encontrar, en este caso
sería la función tangente.
Aplica la función y reemplaza los datos
conocidos.
𝐭𝐚𝐧 𝜽 =𝒍,𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐
𝒍.𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 =
𝒚
𝒙
𝐭𝐚𝐧 𝟓𝟓° = 𝒉
𝟏𝟑 𝒎
3. Despeja la incógnita del problema y calcula su
valor.
Para ellos debes buscar en tu calculadora el
valor del tangente del ángulo dado.
𝒉 = 𝟏𝟑 𝒎 (𝒕𝒂𝒏 𝟓𝟓°)
𝒉 = 𝟏𝟖, 𝟔 𝒎
4. Da tu respuesta a la situación planteada.
Respuesta:
La altura del edificio es del 18, 6 m.
25
EJEMPLO NO.2: Desde un faro de 50 m se observa la aleta de un tiburón tigre. El encargado del faro lo
observa con un ángulo de depresión de 35°. A que distancia del foro se encuentra el tiburón.
PASOS PROCEDIMIENTO
1. Dibuje un esquema de la problemática en donde
reconozca e indica cada dato dado y la pregunta
o incógnita del problema. En este caso se conoce la ubicación vertical del
observador, este se encuentra a 50 m de altura
sobre el suelo. También ser conoce el ángulo de
depresión que son 35°.
El ángulo de depresión coincide con el ángulo
de elevación, por tanto, también mide 35°.
La incógnita es la distancia d.
2. Verifica que función trigonométrica relaciona los
datos y la incógnita a encontrar, en este caso sería la
función tangente.
Aplica la función y reemplaza los datos conocidos.
𝐭𝐚𝐧 𝜽 =𝒍,𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐
𝒍.𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 =
𝒚
𝒙
𝐭𝐚𝐧 𝟑𝟓° = 𝟓𝟎𝒎
𝒅
3. Despeja la incógnita del problema y calcula su
valor.
Para ellos debes buscar en tu calculadora el valor
del tangente del ángulo dado.
𝒅 =𝟓𝟎𝒎
𝒕𝒂𝒏 𝟑𝟓°
𝒉 = 𝟕𝟏, 𝟒 𝒎
4. Da tu respuesta a la situación planteada. Respuesta:
La distancia a la cual se encuentra
el tiburón es 71, 4m.
26
EJEMPLO NO.3: Desde el suelo una paloma comienza el vuelo y se posa en la parte mas alta de la copa de
un árbol. Si la distancia desde el piso hasta la copa en su viaje aéreo fue de 178m y el ángulo de elevación
del ave fue de 30°. Calcule la altura del árbol.
PASOS PROCEDIMIENTO
1. Dibuje un esquema de la problemática en donde
reconozca e indica cada dato dado y la pregunta
o incógnita del problema. En este caso se conoce la distancia desde el
suelo hasta la copa del árbol que es 178 m.
También ser conoce el ángulo de elevación que
son 30°.
La incógnita es la altura h.
2. Verifica que función trigonométrica relaciona
los datos y la incógnita a encontrar, en este caso
sería la función seno
Aplica la función y reemplaza los datos
conocidos.
𝐬𝐞𝐧 𝜽 =𝒍,𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐
𝑯𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂 =
𝒚
𝒓
𝐬𝐞𝐧 𝟑𝟎° = 𝒚
𝟏𝟕𝟖𝒎
3. Despeja la incógnita del problema y calcula su
valor.
Para ellos debes buscar en tu calculadora el
valor del seno del ángulo dado.
𝒚 = 𝟏𝟕𝟖 𝒎(𝒔𝒆𝒏 𝟑𝟎°)
𝒚 = 𝟖𝟗 𝒎
4. Da tu respuesta a la situación planteada. Respuesta:
La altura del árbol es de 89 m.
27
ASIGNACIÓN NO. 3
NOTA SUMATIVA
DESPUÉS DE HABER LEÍDO CON DETENIMIENTO LA TEORÍA Y LOS PROBLEMAS DE
EJEMPLOS, TE INVITO A DESARROLLAR ESTA ACTIVIDAD.
NOMBRE: ________________________________ GRUPO: _______ PUNTOS: ____/45
I. Parte: Comprensión lectora: Dibuja un diagrama que represente cada
situación contextual dada. 5 puntos
Acostado sobre el suelo, Carlos mira un ave
volar a 12m del suelo y a 25m del él.
Una gatita observa a un can desde la ventana de
un edificio. El can está a 5 m de la base del
edificio.
Un chico observa desde la parte mas alta de un
acantilado y con un ángulo de 18 grados a un
velero que se acerca a la costa.
Una persona observa desde la azotea de un
edificio con un ángulo de 56 grados a una joven
que se encuentra en otro edificio al lado
asomada en la ventana. El edificio 1 esta mas
alto que el edificio 2.
28
II. Parte: Problemas de análisis: Resuelve cada una de las situaciones
planteadas.30 PUNTOS Determine la altura de un poste eléctrico, si desde un punto situado a 35m de su base, el ángulo de
elevación es de 65°
Un insecto observa la parte mas alta de una estaca con un ángulo de 26°. Que distancia d hay entre la
estaca y el insecto.
Una escalera de 20m de largo, esta recostada sobre una pared. Si la escalera toca la pared en un punto
situado a 16m del suelo. Determina el ángulo que la escalera forma con el suelo.
29
Una chica observa, desde un tercer piso de un edificio, a un perro que esta acostado en la calle. Si lo
mira con un ángulo de 45° y ella se encuentra a 6, 78 m de altura. A que distancia está el perro de la
base del edificio.
Carmen ve 2 barcas desde la parte más alta de un faro de 20 m de altura. El ángulo de depresión para
ver una de ellas es del 45°, mientras que para ver la otra.
La altura del Cerro Ancón es de 681m. Si una persona se encuentra en la Avenida Balboa y observa
con un ángulo de 60°10’ la parte más alta de la Bandera Tricolor. A que distancia se encuentra la
persona si la altura de la asta de bandera es de 150m desde la base.
30
LISTA DE COTEJO PARA ACTIVIDADES FORMATIVAS O SUMATIVAS
Puntuación
esperada
Aspectos por evaluar Puntuación
obtenida
Observaciones
5 Puntualidad. Entrega a
fecha indicada por el
docente, según organización
del colegio.
5 Limpieza y orden. No se
aprecian borrones,
tachones.
Expresa adecuadamente la
solución de cada problema.
35 Desarrolla correctamente
todos los procedimientos de
acuerdo con las fórmulas y
propiedades.
.
CALIFICACIÓN.
31
GUÍA NO. 4
TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
LEY DEL SENO Observa los siguientes videos
https://youtu.be/e2_WDo5yK_Q
https://youtu.be/nCK3jKq_Iyk
https://youtu.be/bVOqsYFkbfk
TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO:
Hasta el momento hemos estudiado los triángulos rectángulos y sus aplicaciones al contexto, pero también
existen otros tipos de triangulo que no tienen ángulo recto, a estos se les llama Triángulos oblicuángulos.
Un triángulo oblicuángulo
es aquel que no contiene
un ángulo recto.
Recordemos que a los
vértices del triángulo se les
nombra con letras
mayúsculas y a los lados
con letras minúsculas.
Para este tipo de triángulos las razones trigonométricas no son aplicables, por tanto, debemos apoyarnos en
otros recursos para poder analizarlos y resolverlos.
LEY DEL SENO:
En todo triangulo los lados son
proporcionales a los senos de los
ángulos opuestos.
Esta ley es útil para analizar los siguientes casos:
1. Si se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de los lados (LLA)
2. Si se conocen 2 ángulos y el lado opuesto a uno de los ángulos (LAA)
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EJEMPLO NO.1: Encuentre los datos faltantes del siguiente triangulo oblicuángulo, utilizando la LEY DEL
SENO, si c= 25 A = 35° y B = 68°
PASOS PROCEDIMIENTO
1. Dibuje un esquema del triángulo oblicuángulo en
donde reconozca e indica cada dato dado y la
preguntas o incógnitas del problema.
Estamos en el caso 1.
En este caso conocemos el lado c y dos ángulos
A y B.
Nos faltaría encontrar los lados a y b, además el
ángulo C.
2. Para hallar el ángulo C, utilizamos el
TEOREMA DE LA SUMA DE LOS
ÁNGULO INTERNOS DE UN TRIÁNGULO
𝑨 + 𝑩 + 𝑪 = 𝟏𝟖𝟎°
𝑪 = 𝟏𝟖𝟎° − 𝑨 − 𝑩
𝑪 = 𝟏𝟖𝟎° − 𝟑𝟓° − 𝟔𝟖°
𝑪 = 𝟕𝟕°
3. Para hallar el lado a, nos apoyaremos en la LEY
DEL SENO, relacionando dos de sus
expresiones, donde se incluyan a los datos
conocidos y uno de los faltantes.
𝒂
𝐬𝐞𝐧 𝑨 =
𝒄
𝒔𝒆𝒏𝑪
𝒂 = 𝒄 𝒔𝒆𝒏 𝑨
𝒔𝒆𝒏𝑪
𝒂 =(𝟐𝟓)(𝒔𝒆𝒏 𝟑𝟓°)
𝒔𝒆𝒏𝟕𝟕°
𝒂 = 𝟏𝟓
4. Para hallar el lado b nos apoyaremos en la LEY
DEL SENO, relacionando dos de sus
expresiones, donde se incluyan a los datos
conocidos y uno de los faltantes.
𝒃
𝐬𝐞𝐧 𝑩 =
𝒄
𝒔𝒆𝒏𝑪
𝒃 = 𝒄 𝒔𝒆𝒏𝑩
𝒔𝒆𝒏𝑪
𝒃 =𝟐𝟓𝒔𝒆𝒏𝟔𝟖°
𝒔𝒆𝒏𝟕𝟕°
𝒃 = 𝟐𝟒
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EJEMPLO NO.2: Encuentre los datos faltantes del siguiente triangulo oblicuángulo, utilizando la LEY DEL
SENO, si a= 48,8 b = 69,2 y A = 37°
PASOS PROCEDIMIENTO
1. Dibuje un esquema del triángulo
oblicuángulo en donde reconozca e
indica cada dato dado y la preguntas
o incógnitas del problema.
Estamos en el caso 2.
En este caso conocemos el lado c y
dos ángulos
A y B.
Nos faltaría encontrar los lados a y b,
además el ángulo C.
2. Para hallar el ángulo C, nos
apoyaremos en la LEY DEL SENO,
relacionando dos de sus expresiones,
donde se incluyan a los datos
conocidos y uno de los faltantes.
3. Para hallar el ángulo A, utilizamos el TEOREMA DE LA SUMA DE LOS ANGULOS INTERNOS DE UN TRIANGULO
4. Para hallar el lado a, nos apoyaremos
en la LEY DEL SENO, relacionando
dos de sus expresiones, donde se
incluyan a los datos conocidos y uno
de los faltantes.
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ASIGNACIÓN NO. 4
NOTA SUMATIVA
DESPUÉS DE HABER LEÍDO CON DETENIMIENTO LA TEORÍA Y LOS PROBLEMAS DE
EJEMPLOS, TE INVITO A DESARROLLAR ESTA ACTIVIDAD.
NOMBRE: ________________________________ GRUPO: _______ PUNTOS: ____/40
I. PARTE: ANÁLISIS: DESARROLLA CADA UNO DE LOS
PROBLEMAS INDICADOS. En el triángulo ABC, b = 15 cm, B = 42°, y C = 76°. Calcula la medida de los lados y
ángulos restantes
Determine los datos faltantes del siguiente triángulo
Oblicuángulo.
De un triángulo sabemos que: , y . Calcula los restantes
elementos.
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Resuelve el triángulo de datos: , m y m.
Una persona observa un avión y un barco, desde la cúpula de un faro. Cuál es la distancia
que hay del barco al avión y del barco al observador?
Mariana observa un castillo desde su casa bajo un ángulo de 70°. Luego de unos minutos
sale a dar un paseo y estando a 50 m de su casa, observa el mismo castillo bajo un ángulo de
85°. A que distancia de ella y de su casa se encuentra el castillo.
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BIBLIOGRÍA
MATEMÁTICA DE 11 GRADO – DIANA DE LAJON
MATEMÁTICA 11 CIENCIAS-EDITORIAL SUSAETA
MATEMÁTICA 10 CIENCIAS-SANTILLANA
LISTA DE COTEJO PARA ACTIVIDADES FORMATIVAS O SUMATIVAS
Puntuación
esperada
Aspectos por evaluar Puntuación
obtenida
Observaciones
5 Puntualidad. Entrega a
fecha indicada por el
docente, según organización
del colegio.
5 Limpieza y orden. No se
aprecian borrones,
tachones.
Expresa adecuadamente la
solución de cada problema.
35 Desarrolla correctamente
todos los procedimientos de
acuerdo con las fórmulas y
propiedades.
.
CALIFICACIÓN.
