MIR - LML - Markushevich a. I. - Remarkable Curves - Mir Publishers (1980)

7/29/2019 MIR - LML - Markushevich a. I. - Remarkable Curves - Mir Publishers (1980)

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I I O f Y J I A P H 6 I E J T E K I W H H H O M A T E M A T H K E

A . H . M a p i c y u i e B w l3 A M E L I A T E J I b H b I E K P H B b 1 E

H 3 J I A T E J I L C T B O a H A Y K A M O C K B A


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L I T T L E M A T H E M A T I C S L I B R A R Y

A . I . M a r k u s h e v i c hR E M A R K A B L EC U R V E S

T r a n s l a t e d f r o m t h e R u s s i a nb yY u . A . Z d o r o v o v

M I R P U B L I S H E R SM O S C O W


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F i r s t p u b l i s h e d 1 9 8 0R e v i s e d f r o m t h e 1 9 7 8 R u s s i a n e d i t i o n

H a a n z . 4 u t c K o g 3 b ( K e

1 1 3 . a a T e ! I b C T B O a H a y K a > , 1 9 7 8 E n g l i s h t r a n s l a t i o n , M i r P u b l i s h e r s , 1 9 8 0


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C O N T E N T SP r e f a c e t o t h e T h i r d R u s s i a n E d i t i o n1 . T h e P a t h T r a c e d O u t b y a M o v i n g P o i n t2 . T h e S t r a i g h t L i n e a n d t h e C i r c l e3 _ T h e E l l i p s e

4 . T h e F o c i o f a n E l l i p s e5 . T h e E l l i p s e i s a F l a t t e n e d C i r c l e6 . E l l i p s e s i n E v e r y d a y L i f e a n d i n N a t u r e7 . T h e P a r a b o l a8 . T h e P a r a b o l i c M i r r o r9 . T h e F l i g h t o f a S t o n e a n d a P r o j e c t i l e1 0 . T h e H y p e r b o l a1 1 . T h e A x e s a n d A s y m p t o t e s o f t h e H y p e r b o l a1 2 . T h e E q u i l a t e r a l H y p e r b o l a1 3 . C o n i c S e c t i o n s1 4 . P a s c a l ' s T h e o r e m1 5 . B r i a n c h o n ' s T h e o r e m1 6 . T h e L e m n i s c a t e o f B e r n o u l l i1 7 . T h e L e m n i s c a t e w i t h T w o F o c i1 8 . T h e L e m n i s c a t e w i t h A r b i t r a r y N u m b e r o f F o c i1 9 . T h e C y c l o i d2 0 . T h e C u r v e o f F a s t e s t D e s c e n t2 1 . T h e S p i r a l o f A r c h i m e d e s2 2 . T w o P r o b l e m s o f A r c h i m e d e s2 3 . T h e C h a i n o f G a l i l e i2 4 . T h e C a t e n a r y2 5 . T h e G r a p h o f t h e E x p o n e n t i a l F u n c t i o n2 6 . C h o o s i n g t h e L e n g t h o f t h e C h a i n2 7 . A n d W h a t i f t h e L e n g t h i s D i f f e r e n t ?2 8 . A l l C a t e n a r i c s a r e S i m i l a r2 9 . T h e L o g a r i t h m i c S p i r a l3 0 . T h e I n v o l u t e o f a C i r c l eC o n c l u s i o n


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P R E F A C ET O T H E T H I R D R U S S I A N E D I T I O NT h i s b o o k h a s b e e n w r i t t e n m a i n l y f o r h i g h s c h o o l s t u d e n t s , b u t i tw i l l a l s o b e h e l p f u l t o a n y o n e s t u d y i n g o n t h e i r o w n w h o s e m a t h e m a t -i c a l e d u c a t i o n i s c o n f i n e d t o h i g h s c h o o l m a t h e m a t i c s . T h e b o o k i sb a s e d o n a l e c t u r e I g a v e t o M o s c o w s c h o o l c h i l d r e n o f g r a d e s 7 a n d8 ( 1 3 a n d 1 4 y e a r s o l d ) .I n p r e p a r i n g t h e l e c t u r e f o r p u b l i c a t i o n I e x p a n d e d t h e m a t e r i a l ,

w h i l e a t t h e s a m e t i m e t r y i n g n o t t o m a k e t h e t r e a t m e n t a n y l e s s a c c e s -s i b l e . T h e m o s t s u b s t a n t i a l a d d i t i o n i s S e c t i o n 1 3 o n t h e e l l i p s e , h y p e r -b o l a a n d p a r a b o l a v i e w e d a s c o n i c s e c t i o n s .F o r t h e s a k e o f b r e v i t y m o s t o f t h e r e s u l t s o n c u r v e s a r e g i v e n w i t h -o u t p r o o f , a l t h o u g h i n m a n y c a s e s t h e i r p r o o f s c o u l d h a v e b e e n g i v e ni n a f o r m t h a t r e a d e r s c o u l d u n d e r s t a n d .T h e t h i r d R u s s i a n e d i t i o n i s e n l a r g e d b y i n c l u d i n g t h e r e s u l t s o nP a s c a l ' s a n d B r i a n c h o n ' s t h e o r e m s ( o n i n s c r i b e d a n d c i r c u m s c r i b e dh e x a g o n s ) , t h e s p i r a l o f A r c h i m e d e s , t h e c a t e n a r y , t h e l o g a r i t h m i cs p i r a l a n d t h e i n v o l u t e o f a c i r c l e .

A . I . M a r k u s h e v i c h


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1 . T h e P a t h T r a c e d O u tb y a M o v i n g P o i n tI n t h e s p o k e n l a n g u a g e t h e a d j e c t i v e " c u r v e d " d e s c r i b e s s o m e t h i n gf s n * x i a c a o u t -

l i n e , t h i n g a n d e v e n f i r e .M a t h e m a t i c i a n s u s e t h e w o r d " c u r v e " i n t h e s e n s e o f " a c u r v e dl i n e " . B u t w h a t i s a c u r v e ? H o w c a n o n e e m b r a c e i n a s i n g l e n o t i o n a l lt h e c u r v e s t h a t a r e t r a c e d o u t o n p a p e r w i t h a p e n c i l o r a p e n , o na b l a c k b o a r d w i t h a p i e c e o f c h a l k , o r i n t h e n i g h t s k y b y a " s h o o t i n gs t a r " o r a r o c k e t ?W e s h a l l u s e t h e f o l l o w i n g d e f i n i t i o n : a c u r v e i s t h e p a t h t r a c e d o u tb y a m o v i n g p o i n t . I n o u r e x a m p l e s t h e r o l e o f t h e p o i n t i s p l a y e d b ya p e n c i l p o i n t , t h e s h a r p e d g e o f a p i e c e o f c h a l k , a b u r n i n g m e t e o rp a s s i n g t h r o u g h t h e u p p e r l e v e l s o f t h e a t m o s p h e r e , o r a r o c k e t .A c c o r d i n g t o t h i s d e f i n i t i o n a s t r a i g h t l i n e i s j u s t a p a r t i c u l a r c u r v e .I n d e e d , w h y s h o u l d n o t a m o v i n g p o i n t t r a c e o u t a s t r a i g h t p a t h ?

2 . T h e S t r a i g h t L i n ea n d t h e C i r c l e

A m o v i n g p o i n t d e s c r i b e s a s t r a i g h t l i n e w h e n i t p a s s e s f r o m o n ep o s i t i o n t o a n o t h e r a l o n g t h e s h o r t e s t p o s s i b l e p a t h . A s t r a i g h t l i n ec a n b e d r a w n w i t h t h e h e l p o f a r u l e r ; w h e n a p e n c i l r u n s a l o n g t h ee d g e o f a r u l e r i t l e a v e s a t r a c e o n t h e p a p e r i n t h e f o r m o f a s t r a i g h tl i n e .W h e n a p o i n t m o v e s o n a s u r f a c e a t a c o n s t a n t d i s t a n c e f r o ma n o t h e r f i x e d p o i n t o n t h e s a m e s u r f a c e i t d e s c r i b e s a c i r c l e . B e c a u s e o ft h i s p r o p e r t y o f t h e c i r c l e w e a r e a b l e t o d r a w a c i r c l e w i t h t h e h e l p o fc o m p a s s e s .T h e s t r a i g h t l i n e a n d t h e c i r c l e a r e t h e s i m p l e s t a n d a t t h e s a m e t i m et h e m o s t r e m a r k a b l e c u r v e s a s f a r a s t h e i r p r o p e r t i e s a r e c o n c e r n e d .Y o u a r e n o d o u b t m o r e f a m i l i a r w i t h t h e s e t w o c u r v e s t h a n w i t ho t h e r s . B u t y o u s h o u l d n o t i m a g i n e t h a t y o u k n o w a l l o f t h e m o s t i m -p o r t a n t p r o p e r t i e s o f s t r a i g h t l i n e s a n d c u r v e s . F o r e x a m p l e , y o u m a yn o t k n o w t h a t i f t h e v e r t i c e s o f t h e t r i a n g l e s A B C a n d A B ' C ' l i e o nt h r e e s t r a i g h t l i n e s i n t e r s e c t i n g a t t h e p o i n t S ( F i g . 1 ) , t h e t h r e e p o i n t so f i n t e r s e c t i o n M , K , L o f t h e c o r r e s p o n d i n g s i d e s o f t h e t r i a n g l e s , t h es i d e s A B a n d A ' B ' , B C a n d B ' C ' , a n d A C a n d A ' C ' , m u s t b e c o l l i n e a r ,t h a t i s , t h e y l i e o n a s i n g l e s t r a i g h t l i n e .Y o u a r e s u r e t o k n o w t h a t a p o i n t M m o v i n g i n a p l a n e e q u i d i s -

t a n t l y f r o m t w o f i x e d p o i n t s , s a y F , a n d F 2 , o f t h e s a m e p l a n e , t h a t i s ,9


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s o t h a t M F 1 = M F Z , d e s c r i b e s a s t r a i g h t l i n e ( F i g . 2 ) . B u t y o u m i g h tf i n d i t d i f f i c u l t t o a n s w e r t h e q u e s t i o n : W h a t t y p e o f c u r v e w i l l p o i n tM d e s c r i b e i f t h e d i s t a n c e o f M f r o m F , i s a c e r t a i n n u m b e r o f t i m e s

F i g u r e 1

F i g u r e 3

F i g u r e 2

g r e a t e r t h a n t h a t f r o m F 2 ( f o r i n s t a n c e , i n F i g . 3 i t i s t w i c e a s g r e a t ) ?T h e c u r v e t u r n s o u t t o b e a c i r c l e .H e n c e i f t h e p o i n t M m o v e s i n a p l a n e s o t h a t t h e d i s t a n c e o fM f r o m o n e o f t h e f i x e d p o i n t s . F 1 o r F 2 , i n t h e s a m e p l a n e i s a l w a y sp r o p o r t i o n a l t o t h e d i s t a n c e f r o m t h e o t h e r f i x e d p o i n t , t h a t i sM F , = k x M F 2

1 0


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t h e n M d e s c r i b e s e i t h e r a s t r a i g h t l i n e ( w h e n t h e f a c t o r o f p r o p o r -t i o n a l i t y i s u n i t y ) o r a c i r c l e ( w h e n t h e f a c t o r o f p r o p o r t i o n a l i t y i so t h e r t h a n u n i t y ) .3 . T h e E l l i p s e

C o n s i d e r a c u r v e d e s c r i b e d b y a p o i n t M s o t h a t t h e s u m o f t h e d i s -t a n c e s o f M f r o m t w o f i x e d p o i n t s F 1 a n d F 2 i s c o n s t a n t . T a k e a p i e c eo f s t r i n g a n d t i e i t s e n d s t o t w o p i n s s t u c k i n t o a s h e e t o f p a p e r , l e a v i n gi t l o o s e f o r a w h i l e . I f w e m a k e t h e s t r i n g t a u t w i t h a v e r t i c a l p e n c i la n d t h e n m o v e t h e p e n c i l ( F i g . 4 ) , t h e p e n c i l p o i n t , M , w i l l d e s c r i b e a no v a l - s h a p e d c u r v e w h i c h l o o k s l i k e a f l a t t e n e d c i r c l e ; i t i s c a l l e d a ne l l i p s e .

F i g u r e 4I n o r d e r t o g e t a c l o s e d e l l i p s e w e h a v e t o m o v e t h e s t r i n g o v e r t o

t h e o t h e r s i d e o f t h e p i n s a f t e r c o m p l e t i n g t h e f i r s t h a l f . I t i s o b v i o u st h a t t h e s u m o f t h e d i s t a n c e s o f t h e p o i n t M f r o m t h e p i n - h o l e s F 1 a n dF . i s c o n s t a n t t h r o u g h o u t t h e m o v e m e n t a n d i s e q u a l t o t h e l e n g t h o ft h e s t r i n g .

F i g u r e 5T h e p i n - h o l e s m a r k t w o p o i n t s o n t h e p a p e r c a l l e d t h e f o c i o f t h ee l l i p s e . T h e w o r d " f o c u s " i n L a t i n m e a n s " h e a r t h " o r " f i r e " w h i c h i s

j u s t i f i e d b y t h e f o l l o w i n g r e m a r k a b l e p r o p e r t y o f t h e e l l i p s e .1 1


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I f w e c o n s t r u c t a n e l l i p s e f r o m a s t r i p o f p o l i s h e d m e t a l a n d p l a c es o m e p o i n t s o u r c e o f l i g h t a t o n e f o c u s , t h e r a y s o f l i g h t e m a n a t i n gf r o m t h i s f o c u s w i l l c o n v e r g e a t t h e o t h e r f o c u s . T h u s w e c a n s e e t h e" f i r e " ( t h e i m a g e o f t h e f i r s t f o c u s a t t h e s e c o n d f o c u s ( F i g . 5 ) ) .

4 . T h e F o c i o f a n E l l i p s eI f w e d r a w a s t r a i g h t l i n e t h r o u g h t h e f o c i o f a n e l l i p s e a n d e x t e n d i ti n b o t h d i r e c t i o n s t i l l i t i n t e r s e c t s t h e e l l i p s e , w e s h a l l g e t t h e m a j o ra x i s o f t h e e l l i p s e , A , A 2 ( F i g . 6 ) . T h e e l l i p s e i s s y m m e t r i c w i t h r e s p e c t

t o i t s m a j o r a x i s . B y e r e c t i n g a p e r p e n d i c u l a r t o t h e l i n e s e g m e n t F , F 2a t i t s c e n t r e a n d e x t e n d i n g i t t i l l i t i n t e r s e c t s t h e e l l i p s e w e o b t a i n t h em i n o r a x i s , B , B , w h i c h i s a l s o a n a x i s o f s y m m e t r y o f t h e e l l i p s e . T h ee n d s A 1 , A 2 , B , a n d B 2 o f t h e a x e s a r e c a l l e d t h e v e r t i c e s o f t h e e l l i p s e .B 2

8 ,

F i g u r e 6

T h e s u m o f t h e d i s t a n c e s o f t h e p o i n t A , f r o m t h e f o c i F 1 a n d F 2m u s t b e e q u a l t o t h e l e n g t h o f t h e s t r i n g :A 1 F 1 + A 1 F 2 = I

B u t b e c a u s e o f t h e s y m m e t r y o f t h e e l l i p s e w e h a v eA 1 F 1 = A 2 F 2

H e n c e A 1 F 1 c a n b e r e p l a c e d b y A 2 F 2 s o t h a tA 2 F 2 + A 1 F 2 = I

1 2


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I t i s e a s i l y s e e n t h a t t h e q u a n t i t y o n t h e l e f t h a n d s i d e o f t h e e q u a t i o ni s t h e l e n g t h o f t h e m a j o r a x i s o f t h e e l l i p s e . T h u s t h e l e n g t h o f t h em a j o r a x i s o f t h e e l l i p s e i s e q u a l t o t h e l e n g t h o f t h e s t r i n g . I n o t h e rw o r d s , t h e s u m o f t h e d i s t a n c e s t o a n y p o i n t o f t h e e l l i p s e f r o m t h e f o c ii s e q u a l t o t h e l e n g t h o f t h e m a j o r a x i s o f t h e e l l i p s e . C o n s e q u e n t l y ,f r o m t h e s y m m e t r y o f t h e e l l i p s e w e c o n c l u d e t h a t t h e d i s t a n c e f r o mt h e v e r t e x B 2 ( o r B , ) t o a f o c u s i s e q u a l t o h a l f t h e l e n g t h o f t h e m a j o ra x i s . H e n c e k n o w i n g t h e v e r t i c e s o f t h e e l l i p s e , w e c a n e a s i l y c o n s t r u c ti t s f o c i . T o d o s o w e h a v e t o m a r k o f f t h e m a j o r a x i s b y t h e a r c o f t h ec i r c l e w i t h B 2 a s c e n t r e a n d w i t h t h e r a d i u s e q u a l t o h a l f o f A 1 A Z .

5 . T h e E l l i p s e i sa F l a t t e n e d C i r c l eU s i n g t h e m a j o r a x i s o f t h e e l l i p s e a s a d i a m e t e r , w e c o n s t r u c t a c i r -c l e ( F i g . 7 ) . T h r o u g h a p o i n t N o n t h e c i r c u m f e r e n c e e r e c t t h e p e r p e n -d i c u l a r N P t o t h e m a j o r a x i s . T h e p e r p e n d i c u l a r i n t e r s e c t s t h e e l l i p s ea t a p o i n t M . I t i s e v i d e n t t h a t N P i s s e v e r a l t i m e s g r e a t e r t h a n M P . I t

A l

F i g u r e 7t u r n s o u t t h a t i f w e t a k e s o m e o t h e r p o i n t N ' o n t h e c i r c u m f e r e n c e a n dr e p e a t t h e c o n s t r u c t i o n , N ' P w i l l b e t h e s a m e n u m b e r o f t i m e s l o n g e rt h a n t h e c o r r e s p o n d i n g l i n e s e g m e n t M ' P ' , t h a t i s

N P / M P = N ' P ' / M ' P '1 3


14/48

I n o t h e r w o r d s , t h e e l l i p s e c a n b e c o n s t r u c t e d w i t h t h e h e l p o f t h e c i r -c u m s c r i b e d c i r c l e b y m a k i n g a l l t h e p o i n t s o f t h e c i r c u m f e r e n c e p r o -p o r t i o n a l l y c l o s e r t o t h e m a j o r a x i s . A v e r y s i m p l e m e t h o d o f c o n -s t r u c t i n g a n e l l i p s e i s b a s e d o n t h i s p r o p e r t y . B y d r a w i n g a c i r c l e a n do n e o f i t s d i a m e t e r s a n d r e p l a c i n g t h e p o i n t s o f t h e c i r c u m f e r e n c e b yp o i n t s o n t h e p e r p e n d i c u l a r s t o t h e d i a m e t e r t h a t a r e s e v e r a l t i m e s ( 2 ,3 a n d s o o n ) c l o s e r t o i t w e o b t a i n p o i n t s o f a n e l l i p s e w h o s e m a j o ra x i s c o i n c i d e s w i t h t h e d i a m e t e r a n d w h o s e m i n o r a x i s i s t h e s a m en u m b e r o f t i m e s ( 2 , 3 a n d s o o n ) s m a l l e r t h a n t h e d i a m e t e r .

6 . E l l i p s e s i n E v e r y d a y L i f ea n d i n N a t u r eI n e v e r y d a y l i f e w e o f t e n c o m e a c r o s s e l l i p s e s . I f , f o r i n s t a n c e , w e t i l ta g l a s s o f w a t e r , t h e e d g e o f t h e w a t e r s u r f a c e f o r m s a n e l l i p s e ( F i g . 8 ) .S i m i l a r l y , i f w e c u t a s l i c e o f a c y l i n d r i c a l s a u s a g e w i t h t h e k n i f e a t a no b l i q u e a n g l e , t h e s l i c e w i l l h a v e t h e s h a p e o f a n e l l i p s e ( F i g . 9 ) . I n

F i g u r e 8 F i g u r e 9

g e n e r a l , i f w e c u t t h r o u g h a r i g h t c y l i n d e r ( o r a c o n e ) a t a n a n g l ew i t h o u t c u t t i n g t h e b a s e , t h e c u t - a w a y v i e w w i l l b e a n e l l i p s e( F i g . 1 0 ) .J o h a n n e s K e p l e r ( 1 5 7 1 - 1 6 3 0 ) d i s c o v e r e d t h a t t h e p l a n e t s m o v ea b o u t t h e s u n n o t a l o n g c i r c l e s , a s i t h a d b e e n t h o u g h t b e f o r e , b u ta l o n g e l l i p s e s w i t h t h e s u n a t a f o c u s ( F i g . 1 1 ) . D u r i n g e a c h p e r i o d o fr e v o l u t i o n t h e p l a n e t p a s s e s o n c e t h r o u g h t h e v e r t e x A , c l o s e s t t o t h e1 4


15/48

s u n , w h i c h i s c a l l e d t h e p e r i h e l i o n , a > i b n c e t h r o u g h t h e v e r t e x A . ,f a r t h e s t f r o m t h e s u n , t h e a p h e l i o n . T h e E a r t h , f o r e x a m p l e , i s a t p e r i -

C i r c l eC y l i n d e r

F i g u r e 1 0

F i g u r e 1 1

C o n e

h e l i o n w h e n i t i s w i n t e r i n o u r h e m i s p h e r e a n d a t a p h e l i o n w h e n i t i ss u m m e r . T h e e l l i p s e a l o n g w h i c h o u r E a r t h i s m o v i n g i s f l a t t e n e d o n l ys l i g h t l y a n d r e s e m b l e s a c i r c l e v e r y c l o s e l y .

1 5


16/48


17/48

s t r a i g h t l i n e D , D 2 ( c a l l e d t h e d i r e c t r i x o f t h e p a r a b o l a ) t h r o u g h t h ef o c u s i s t h e a x i s o f s y m m e t r y o f t h e p a r a b o l a ; u s u a l l y i t i s s i m p l yc a l l e d t h e a x i s o f t h e p a r a b o l a .

8 . T h e P a r a b o l i c M i r r o rI f t h e p a r a b o l a i s c o n s t r u c t e d f r o m a p o l i s h e d s t r i p o f m e t a l , r a y sf r o m a p o i n t s o u r c e o f l i g h t a t t h e f o c u s w i l l b e r e f l e c t e d p a r a l l e l t o t h ea x i s o f t h e p a r a b o l a ( F i g . 1 3 ) . C o n v e r s e l y , r a y s p a r a l l e l t o t h e a x i s o ft h e p a r a b o l a w i l l b e r e f l e c t e d a n d b r o u g h t t o g e t h e r a t t h e f o c u s .

F i g u r e 1 3 F i g u r e 1 4

P a r a b o l i c m i r r o r s u s e d i n a u t o m o b i l e h e a d l i g h t s ( F i g . 1 4 ) a n d i n a l ls e a r c h l i g h t s a r e c o n s t r u c t e d i n a c c o r d a n c e w i t h t h i s p r o p e r t y o f t h ep a r a b o l a . H o w e v e r , t h e y a r e n o t m a d e i n t h e f o r m o f s t r i p s b u t a r ep a r a b o l o i d s o f r e v o l u t i o n . T h e s u r f a c e o f s u c h m i r r o r s c a n b eo b t a i n e d b y r o t a t i n g a p a r a b o l a a b o u t i t s a x i s .9 . T h e F l i g h t o f a S t o n e

a n d a P r o j e c t i l eA s t o n e t h r o w n a t a n a n g l e ( n o t v e r t i c a l l y ) t r a v e l s a l o n g a p a r a b o l a( F i g . 1 5 ) . T h i s i s a l s o t r u e f o r a p r o j e c t i l e s u c h a s a c a n n o n b a l l . I np r a c t i c e a i r r e s i s t a n c e c h a n g e s t h e s h a p e o f t h e c u r v e i n b o t h c a s e s , s ot h a t t h e r e s u l t i n g c u r v e d i f f e r s f r o m t h e p a r a b o l a . B u t i f w e w e r e t oo b s e r v e t h e m o t i o n i n a v a c u u m , w e w o u l d g e t a t r u e p a r a b o l a . B yk e e p i n g t h e i n i t i a l s p e e d o f t h e p r o j e c t i l e c o n s t a n t a n d v a r y i n g t h ea n g l e t h a t t h e p r o j e c t i l e m a k e s w i t h t h e h o r i z o n t a l p l a n e w h e n i t

1 7


18/48

l e a v e s t h e b a r r e l w e s h e l l o b t a i n d i f f e r e n t p a r a b o l a s d e s c r i b e d b y t h ep r o j e c t i l e a n d d i f f e r e n t r a n g e s . T h e g r e a t e s t r a n g e w i l l b e o b t a i n e dw h e n t h e a n g l e o f t h e b a r r e l ' s i n c l i n a t i o n i s e q u a l t o 4 5 T h i s d i s t a n c e

F i g u r e 1 5i s e q u a l t o v 2 / g , w h e r e g i s t h e a c c e l e r a t i o n o f g r a v i t y . W h e n d i s -c h a r g e d v e r t i c a l l y t h e p r o j e c t i l e r e a c h e s a h e i g h t w h i c h i s h a l f o f t h eg r e a t e s t r a n g e , v 2 / 2 g . I r r e s p e c t i v e o f t h e a n g l e o f t h e b a r r e l ' s i n c l i n a -t i o n ( k e e p i n g t h e b a r r e l i n t h e s a m e v e r t i c a l p l a n e ) , f o r a g i v e n i n i t i a l

0F i g u r e 1 6

v e l o c i t y o f t h e p r o j e c t i l e t h e r e a r e a l w a y s p l a c e s o n t h e g r o u n d a n d i nt h e a i r w h e r e t h e p r o j e c t i l e c a n n o t r e a c h . I t t u r n s o u t t h a t s u c h p l a c e sa r e s e p a r a t e d f r o m t h o s e r e a c h a b l e f o r s o m e a n g l e o f t h e b a r r e l ' s i n -c l i n a t i o n b y a c u r v e w h i c h i s a l s o a p a r a b o l a ( F i g . 1 6 ) , c a l l e d t h e s a f e t yp a r a b o l a .

1 0 . T h e H y p e r b o l aW e c a n c o n s t r u c t c u r v e s d e s c r i b e d b y a p o i n t M i n a w a y s i m i l a r t ot h e w a y w e g e n e r a t e d t h e e l l i p s e , o n l y w e k e e p c o n s t a n t n o t t h e s u mb u t t h e d i f f e r e n c e o f t h e d i s t a n c e s f r o m t w o f i x e d p o i n t s F 1 a n d F 2 o rt h e i r p r o d u c t o r t h e i r q u o t i e n t ( i n t h i s l a s t c a s e w e g e t a c i r c l e ) . W e

s h a l l c o n s i d e r n o w t h e c a s e w h e n t h e d i f f e r e n c e i s c o n s t a n t . I n o r d e r t o1 8


19/48

m a k e t h e p e n c i l m o v e i n t h e r e q u i r e d w a y , w e f i x t w o p i n s a t t h ep o i n t s F 1 a n d F 2 a n d r e s t a r u l e r a g a i n s t o n e o f t h e p o i n t s s o t h a t i tc a n r o t a t e o n t h e p a p e r a b o u t t h i s p i n ( F i g . 1 7 ) . F i x o n e e n d o f a p i e c e

F i g u r e 1 7

o f s t r i n g t o t h e e n d S o f t h e r u l e r ( t h e s t r i n g s h o u l d b e s h o r t e r t h a n t h er u l e r ) . T h e o t h e r e n d o f t h e s t r i n g s h o u l d b e f i x e d a t F 2 . T h e n s t r e t c ht h e s t r i n g w i t h t h e h e l p o f t h e p e n c i l p o i n t , p r e s s i n g i t a g a i n s t t h e r u l e r .T h e d i f f e r e n c e o f t h e d i s t a n c e s M F , a n d M F 2 i s( M F , + M S ) - ( M F Z + M S ) = F 1 S - ( M F 2 + M S )

T h a t i s , i t i s e q u a l t o t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e l e n g t h o f t h e r u l e r a n dt h e l e n g t h o f t h e s t r i n g . I f w e r o t a t e t h e r u l e r a b o u t F , , p r e s s i n g t h ep e n c i l t o i t a n d s t r e t c h i n g t h e s t r i n g , t h e p e n c i l w i l l d e s c r i b e a c u r v e o nt h e p a p e r f o r e v e r y p o i n t o f w h i c h t h e d i f f e r e n c e o f t h e d i s t a n c e s f r o mF , a n d F . w i l l b e t h e s a m e a n d e q u a l t o t h e d i f f e r e n c e m b e t w e e n t h el e n g t h o f t h e r u l e r a n d t h e l e n g t h o f t h e s t r i n g . I n t h i s w a y w e s h a l l g e tt h e u p p e r h a l f o f t h e c u r v e d r a w n o n t h e r i g h t s i d e o f F i g . 1 7 . T o g e tt h e l o w e r h a l f o f t h e c u r v e w e h a v e t o f i x t h e r u l e r s o t h a t i t i s b e l o wa n d n o t a b o v e t h e p i n s . A n d f i n a l l y , i f w e f i x t h e r u l e r t o t h e p i n F 2 a n dt h e e n d o f t h e s t r i n g t o t h e p i n F w e s h a l l g e t t h e c u r v e d r a w n o n t h el e f t s i d e o f F i g . 1 7 . T h e p a i r o f c u r v e s d r a w n i s c o n s i d e r e d t o b e o n ec u r v e w h i c h i s c a l l e d a h y p e r b o l a ; t h e p o i n t s F 1 a n d F 2 a r e i t s f o c i .H o w e v e r , t h e a r c s o f t h e c u r v e d e p i c t e d d o n o t e x h a u s t a l l t h e h y p e r -

1 9


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b o l a . B y t a k i n g a l o n g e r r u l e r a n d a l o n g e r s t r i n g ( a n d k e e p i n g t h e d i f -f e r e n c e t h e s a m e ) w e c a n c o n t i n u e o u r h y p e r b o l a i n d e f i n i t e l y j u s t a sw e c a n c o n t i n u e a s t r a i g h t l i n e s e g m e n t i n d e f i n i t e l y .

1 1 . T h e A x e s a n d A s y m p t o t e so f t h e H y p e r b o l aD r a w a s t r a i g h t l i n e t h r o u g h t h e f o c i o f a h y p e r b o l a . T h e s t r a i g h tl i n e i s t h e a x i s o f s y m m e t r y o f t h e h y p e r b o l a . T h e r e i s a n o t h e r a x i s o fs y m m e t r y p e r p e n d i c u l a r t o t h e f i r s t o n e b i s e c t i n g t h e s e g m e n t F 1 F 2 .T h e p o i n t o f i n t e r s e c t i o n 0 i s t h e c e n t r e o f s y m m e t r y a n d i s c a l l e d t h ec e n t r e o f t h e h y p e r b o l a . T h e f i r s t a x i s c u t s t h e h y p e r b o l a a t t w o p o i n t sA , a n d A 2 , c a l l e d t h e v e r t i c e s o f t h e h y p e r b o l a ; t h e s e g m e n t A 1 A 2 i sc a l l e d t h e t r a n s v e r s e ( r e a l ) a x i s o f t h e h y p e r b o l a . T h e d i f f e r e n c eb e t w e e n t h e d i s t a n c e s o f t h e p o i n t A 1 f r o m t h e f o c i F 2 a n d F 1 m u s t b e

m :A 1 F 2 - A 1 F 1 = m

B u tA 1 F , = A 2 F 2

b e c a u s e o f t h e s y m m e t r y o f t h e h y p e r b o l a . H e n c e A 1 F 1 m a y b e r e -p l a c e d b y A 2 F 2 a n d w e g e tA 1 F 2 - A 2 F 2 = m

C l e a r l y t h e d i f f e r e n c e A 1 F 2 - A 2 F 2 i s e q u a l t o A , A 2 , t h a t i s , t o t h el e n g t h o f t h e t r a n s v e r s e a x i s o f t h e h y p e r b o l a S o , t h e d i f f e r e n c e m o ft h e d i s t a n c e s o f a n y p o i n t o f t h e h y p e r b o l a f r o m t h e f o c i ( t h e s m a l l e rd i s t a n c e m u s t b e s u b t r a c t e d f r o m t h e g r e a t e r ) i s e q u a l t o t h e l e n g t h o ft h e t r a n s v e r s e a x i s .F r o m t h e v e r t e x A 1 ( o r A 2 ) d r a w a n a r c o f t h e c i r c l e w i t h r a d i u se q u a l t o h a l f o f F 1 F 2 t h r o u g h t h e s e c o n d a x i s o f s y m m e t r y . T h i s g i v e st w o p o i n t s B , a n d B 2 ( F i g . 1 8 ) . T h e s e g m e n t B 1 B 2 i s c a l l e d t h e c o n j u -g a t e a x i s o f t h e h y p e r b o l a . T h e n c o n s t r u c t t h e r e c t a n g l e P Q R S w h o s es i d e s a r e p a r a l l e l t o t h e a x e s o f t h e h y p e r b o l a a n d p a s s t h r o u g h t h ep o i n t s A 1 , A 2 , B 1 a n d B 2 . D r a w i t s d i a g o n a l s P R a n d Q S . E x t e n d i n gt h e m i n d e f i n i t e l y g e t t w o s t r a i g h t l i n e s c a l l e d t h e a s y m p t o t e s o f t h eh y p e r b o l a . T h e a s y m p t o t e s h a v e a n i n t e r e s t i n g p r o p e r t y : t h e y n e v e r2 0


21/48

i n t e r s e c t t h e h y p e r b o l a , t h o u g h t h e p o i n t s o f t h e h y p e r b o l a a p p r o a c ha r b i t r a r i l y c l o s e t o t h e a s y m p t o t e s , g e t t i n g c l o s e r a n d c l o s e r t o t h e mt h e g r e a t e r t h e d i s t a n c e f r o m t h e c e n t r e o f t h e h y p e r b o l a . A r c s o f t h eh y p e r b o l a l y i n g b e t w e e n p o i n t s a t a c o n s i d e r a b l e d i s t a n c e f r o m t h e^ r . n t r r t m s e n W r . , - . 3 r n i % h t . I i n r ; n . a 4 i i a s g : a n , ' c s e t h r c a n ,M I M 2 i n F i g . 1 8 ) , t h o u g h o f c o u r s e t h e y a r e n o w h e r e r e c t i l i n e a r , t h e i rb e n d i n g i s s o s l i g h t t h a t i t i s h a r d l y n o t i c e a b l e .

F i g u r e 1 8 F i g u r e 1 9

I n o r d e r t o d r a w a h y p e r b o l a i n a n a p p r o x i m a t e m a n n e r w i t h o u tu s i n g a r u l e r a n d a s t r i n g o n e s h o u l d d o t h e f o l l o w i n g . F i r s t d r a w t h ea x e s o f s y m m e t r y o f t h e h y p e r b o l a , t h e n m a r k o f f t w o f o c i F , a n d F 2o n t h e f i r s t o f t h e m a t a n e q u a l d i s t a n c e f r o m t h e c e n t r e , a n d t h e n ,u s i n g t h e s a m e a x i s , m a r k o f f i n t w o o p p o s i t e d i r e c t i o n s f r o m t h ec e n t r e s e g m e n t s e q u a l t o h a l f o f m , t h a t i s , h a l f t h e p r e d e t e r m i n e d d i f -f e r e n c e o f t h e d i s t a n c e s o f t h e p o i n t s o f t h e h y p e r b o l a f r o m i t s f o c i .T h i s g i v e s u s t h e v e r t i c e s A , a n d A 2 o f t h e h y p e r b o l a T h e n m a r k o f ft h e p o i n t s B , a n d B 2 ( a s a b o v e ) o n t h e s e c o n d a x i s , c o n s t r u c t t h e r e c -t a n g u l a r P Q R S , a n d f i n a l l y d r a w t h e d i a g o n a l s . A s a r e s u l t w e g e ta f i g u r e s h o w n i n F i g . 1 9 . N o w o n l y o n e t h i n g i s l e f t t o d o - t o d r a wt w o a r c s s y m m e t r i c w i t h r e s p e c t t o t h e a x e s a n d p a s s i n g t h r o u g h t h ep o i n t s A , a n d A 2 , b e n d i n g s m o o t h l y a n d a p p r o a c h i n g c l o s e r a n dc l o s e r t h e a s y m p t o t e s P R a n d Q S .

2 1


22/48

1 2 . T h e E q u i l a t e r a l H y p e r b o l aA s a p a r t i c u l a r c a s e t h e r e c t a n g u l a r P Q R S c a n b e a s q u a r e . T h i s i sp o s s i b l e i f a n d o n l y i f t h e a s y m p t o t e s o f t h e h y p e r b o l a a r e m u t u a l l yp e r p e n d i c u l a r . I n t h i s c a s e t h e h y p e r b o l a i s s a i d t o b e e q u i l a t e r a l o r

r e c t a n g u l a r . T h i s p a r t i c u l a r c a s e i s d e p i c t e d i n F i g . 1 9 . F o r c o n -v e n i e n c e w e m a y r o t a t e t h e w h o l e f i g u r e a b o u t t h e p o i n t 0 t h r o u g h a na n g l e o f 4 5 i n t h e d i r e c t i o n i n d i c a t e d b y t h e a r r o w . I n t h i s w a y w e g e tt h e h y p e r b o l a d e p i c t e d i n F i g . 2 0 . M a r k o f f t h e s e g m e n t O N = x o n

F i g u r e 2 0

t h e a s y m p t o t e O Q , e r e c t t h e p e r p e n d i c u l a r N M = y t o i t a t t h e p o i n tN a n d e x t e n d i t t i l l i t i n t e r s e c t s t h e h y p e r b o l a .T h e r e e x i s t s a s i m p l e d e p e n d e n c e b e t w e e n y a n d x : i f x i s m a g n i f i e ds e v e r a l t i m e s , y i s l e s s e n e d p r o p o r t i o n a l l y . S i m i l a r l y , i f x i s l e s s e n e ds e v e r d i t i m e s , y ' i s m a g r i i i i e h a c c o r h m g i y . i n d i n e r w o r b s , l n e ' r e n g i n i i iN M = y i s i n v e r s e l y p r o p o r t i o n a l t o t h e l e n g t h o f O N = x :y = k / x

D u e t o t h i s p r o p e r t y t h e e q u i l a t e r a l h y p e r b o l a i s t h e g r a p h o f i n v e r s ep r o p o r t i o n a l i t y . T o f i n d o u t h o w t h e f a c t o r o f i n v e r s e p r o p o r t i o n a l i t y

2 2


23/48

k i s r e l a t e d t o t h e d i m e n s i o n s o f t h e h y p e r b o l a c o n s i d e r t h e v e r t e x A 2 .F o r t h i s v e r t e xx = O K , y = K A 2

T h e l i n e s e g m e n t s O K a n d K A Z a r e t h e l e g s o f t h e e q u i l a t e r a l r i g h tt r i a n g l e w i t h a h y p o t e n u s e

H e n c e ,

w h i c h y i e l d s

O A 2 = m / 2

x = y a n d x 2 + y 2 = ( m / 2 ) 2 = m 2 / 4

2 x 2 = m 2 / 4 o r x 2 = m 2 / 8O n t h e o t h e r h a n d , t h e e q u a t i o n o f t h e i n v e r s e p r o p o r t i o n a l i t y , y == k / x , a l l o w s u s t o c o n c l u d e t h a t x y = k , o r i n t h i s p a r t i c u l a r c a s e( w h e r e y = x ) x 2 = k . C o m p a r i n g t h e t w o r e s u l t s , x 2 = m 2 / 8 a n d x 2 == k , w e f i n d t h a t

k = m 2 / 8I n o t h e r w o r d s , t h e f a c t o r o f i n v e r s e p r o p o r t i o n a l i t y k i s e q u a l t o o n e -e i g h t h o f t h e s q u a r e o f t h e l e n g t h o f t h e t r a n s v e r s e a x i s o f t h eh y p e r b o l a .

1 3 . C o n i c S e c t i o n sW e h a v e a l r e a d y s a i d t h a t i f w e c u t a c o n e w i t h a k n i f e , t h a t i s , g e o -m e t r i c a l l y s p e a k i n g , i n t e r s e c t i t b y a p l a n e w h i c h d o e s n o t c u t t h e b a s eo f t h e c o n e , t h e b o u n d a r y ( e d g e ) o f t h e s e c t i o n w i l l b e a n e l l i p s e( F i g . 1 0 ) . B y c u t t i n g t h e c o n e w i t h a p l a n e s o t h a t t h e c u t p a s s e st h r o u g h t h e b a s e o f t h e c o n e , w e g e t a n a r c o f a p a r a b o l a i n t h e c r o s s -s e c t i o n ( F i g . 2 1 ( a ) ) o r a n a r c o f a h y p e r b o l a ( F i g . 2 1 ( b ) ) . T h u s , a l l t h et h r e e c u r v e s - t h e e l l i p s e , t h e h y p e r b o l a a n d t h e p a r a b o l a - a r e c o n i cs e c t i o n s .T h e c o n e w h i c h w e u s e d h a s o n e d r a w b a c k : o n l y a n e l l i p s e m a y b e

p l a c e d o n i t i n i t s e n t i r e t y ( F i g . 1 0 ) , b u t a p a r a b o l a a n d a h y p e r b o l a2 3


24/48

l a )F i g u r e 2 1

( b )

F i g u r e 2 2


25/48

b e i n g i n f i n i t e c u r v e s c a n b e i n c o r p o r a t e d a s c o n i c s e c t i o n s o n l y p a r -t i a l l y . I n F i g . 2 1 ( b ) o n e c a n n o t e v e n s e e w h e r e t h e s e c o n d b r a n c h o f t h eh y p e r b o l a m i g h t b e t a k e n f r o m . T o e l i m i n a t e t h i s d r a w b a c k w e c a nr e p l a c e t h e c o n e b y a n i n f i n i t e c o n i c s u r f a c e . T o d o s o w e e x t e n d a l lt h e g e n e r a t o r s o f t h e c o n e i n f i n i t e l y f a r i n b o t h d i r e c t i o n s , t h a t i s , w ee x t e n d t h e s t r a i g h t l i n e s e g m e n t s A S , B S , C S , D S , E S a n d s o o n c o n -n e c t i n g t h e p o i n t s o f t h e c i r c l e a t t h e b a s e o f t h e c o n e w i t h i t s v e r t e x( F i g . 2 2 ; o f c o u r s e w e c a n n o t s h o w t h e i n f i n i t e e x t e n s i o n o f t h e g e n e r a -t o r s i n o u r f i g u r e , s o t h e f i g u r e j u s t s h o w s l i n e s e g m e n t s w h i c h a r el o n g e r t h a n t h e i n i t i a l o n e s ) . T h e r e s u l t i n g f i g u r e w i l l b e t h e r e q u i r e dc o n i c s u r f a c e c o n s i s t i n g o f t w o h a l v e s c o n n e c t e d a t t h e p o i n t S a n de x t e n d i n g t o i n f i n i t y . T h e c o n i c s u r f a c g c a n b e r e g a r d e d a s t h e t r a c e o fa m o v i n g s t r a i g h t l i n e , n a m e l y t h e s t r a i g h t l i n e p a s s i n g t h r o u g h t h ep o i n t S a n d r o t a t i n g s o t h a t i t s a n g l e w i t h O S ( t h e a x i s o f t h e c o n i c a ls u r f a c e ) r e m a i n s c o n s t a n t . T h e m o v i n g s t r a i g h t l i n e i s c a l l e d a g e n e r a -t o r o f t h e c o n i c a l s u r f a c e ; i t i s e v i d e n t t h a t t h e e x t e n s i o n o f e v e r yg e n e r a t o r o f t h e i n i t i a l c o n e g i v e s a g e n e r a t o r o f t h e c o n i c a l s u r f a c e .

( b )

F i g u r e 2 3

N o w l e t u s c u t t h e e n t i r e c o n i c a l s u r f a c e b y a p l a n e . I f t h e p l a n e c u t sa l l t h e g e n e r a t o r s i n o n e h a l f o f t h e s u r f a c e , t h e p l a n e s e c t i o n i s a ne l l i p s e ( i n F i g . 2 3 ( a ) c i r c l e ) ; i f i t c u t s a l l t h e g e n e r a t o r s b u t o n e p a r a l l e lt o i t s e l f , t h e p l a n e s e c t i o n i s a p a r a b o l a ( F i g . 2 3 ( b ) ) , f i n a l l y , i f t h e p l a n e

2 5


26/48

c u t s s o m e o f t h e g e n e r a t o r s i n o n e h a l f o f t h e s u r f a c e a n d t h e r e m a i n -i n g g e n e r a t o r s i n t h e o t h e r h a l f , t h e s e c t i o n i s a h y p e r b o l a ( F i g . 2 3 ( c ) ) .W e c a n s e e t h a t o n e h a l f o f t h e c o n i c s u r f a c e i s e n o u g h f o r a n e l l i p s ea n d p a r a b o l a F o r a h y p e r b o l a o n e n e e d s t h e w h o l e o f t h e c o n i c a l s u r -f a c e : o n e b r a n c h o f a h y p e r b o l a i s i n o n e h a l f a n d t h e o t h e r b r a n c h i nt h e o t h e r h a l f .

1 4 . P a s c a l ' s T h e o r e mB l a i s e P a s c a l ( 1 6 2 3 - 1 6 6 2 ) w a s n o t y e t 1 7 w h e n h e d i s c o v e r e da r e m a r k a b l e p r o p e r t y o f c o n i c s e c t i o n s . M a t h e m a t i c i a n s w e r e i n -f o r m e d a b o u t h i s d i s c o v e r y b y w a l l p o s t e r s ( 5 0 c o p i e s w e r e p u b l i s h e db u t o n l y t w o o f t h e s e h a v e s u r v i v e d ) . S e v e r a l o f t h e s e p o s t e r s w e r e

s t u c k u p o n t h e w a l l s o f h o u s e s a n d c h u r c h e s i n P a r i s . T h e r e a d e rs h o u l d n o t b e s u r p r i s e d . A t t h a t t i m e ( i n 1 6 4 0 ) t h e r e w e r e n o s c i e n t i f i cj o u r n a l s t o i n f o r m s c i e n t i s t s a b o u t n e w d i s c o v e r i e s . S u c h j o u r n a l sa p p e a r e d o n l y a q u a r t e r o f a c e n t u r y l a t e r i n F r a n c e a n d E n g l a n da l m o s t s i m u l t a n e o u s l y . B u t l e t u s r e t u r n t o P a s c a l .T h o u g h h i s a d v e r t i s e m e n t w a s w r i t t e n i n F r e n c h a n d n o t i n L a t i n ,a s w a s c u s t o m a r y a t t h a t t i m e , P a r i s i a n s g a z i n g a t i t c o u l d h a r d l ym a k e o u t w h a t i t w a s a b o u t . T h e y o u n g g e n i u s w o r d e d e v e r y t h i n ge x t r e m e l y c o n c i s e l y a n d w i t h o u t p r o o f o r e x p l a n a t i o n s .A t t h e b e g i n n i n g o f t h e a d v e r t i s e m e n t a f t e r t h r e e d e f i n i t i o n s t h ea u t h o r g a v e " L e m m a 1 " , a t h e o r e m w h i c h w e s h a l l g i v e i n d i f f e r e n tw o r d i n g . M a r k s i x p o i n t s o n a c i r c l e , n u m b e r t h e m a r b i t r a r i l y ( n o t

F i g u r e 2 4n e c e s s a r i l y i n t h e i r o r d e r o n t h e c i r c l e ) a n d j o i n t h e m i n o r d e r b y l i n es e g m e n t s , t h e l a s t o f t h e m c o n n e c t i n g p o i n t 6 w i t h p o i n t 1 ( F i g . 2 4 ) .P a s c a l ' s t h e o r e m s t a t e s t h a t t h e t h r e e p o i n t s o f i n t e r s e c t i o n o f t h es t r a i g h t l i n e s o b t a i n e d b y e x t e n d i n g t h e s i x l i n e s e g m e n t s a n d t a k i n gt h e m i n p a i r s a s f o l l o w s : t h e f i r s t w i t h t h e f o u r t h , t h e s e c o n d w i t h t h ef i f t h a n d t h e t h i r d w i t h t h e s i x t h , a l l l i e o n a s i n g l e s t r a i g h t l i n e ( i . e . , a r ec o l l i n e a r ) .2 6


27/48

' T r y t o d o t h i s s e v e r a l t i m e s y o u r s e l f t a k i n g d i f f e r e n t p o i n t s o n t h ec i r c u m f e r e n c e ( F i g . 2 5 ) . T h e r e m a y a p p e a r a c a s e i n w h i c h a p a i r o fs t r a i g h t l i n e s w h o s e i n t e r s e c t i o n w e a r e s e e k i n g , f o r e x a m p l e , t h e f i r s t

F i g u r e 2 5

a n d t h e f o u r t h , a r e p a r a l l e l . I n t h i s c a s e P a s c a l ' s t h e o r e m s h o u l d b eu n d e r s t o o d a s s t a t i n g t h a t t h e s t r a i g h t l i n e c o n n e c t i n g t h e t w o o t h e rp o i n t s o f i n t e r s e c t i o n i s p a r a l l e l t o t h e a b o v e - m e n t i o n e d s t r a i g h t l i n e s( F i g . 2 6 ) . F i n a l l y , i f i n a d d i t i o n t o t h e f i r s t a n d t h e f o u r t h , t h e s e c o n da n d t h e f i f t h l i n e s a r e p a r a l l e l , t h e n i n t h i s s p e c i a l c a s e P a s c a l ' st h e o r e m s t a t e s t h a t t h e s t r a i g h t l i n e s o f t h e l a s t p a i r , t h e t h i r d a n d t h es i x t h , a r e a l s o p a r a l l e l . W e e n c o u n t e r s u c h a c a s e w h e n , f o r e x a m p l e ,t h e p o i n t s t a k e n o n t h e c i r c l e a r e t h e v e r t i c e s o f a n i n s c r i b e d r e g u l a r

F i g u r e 2 7 F i g u r e 2 82 7


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h e x a g o n a n d a r e n u m b e r e d i n t h e o r d e r o f t h e i r p o s i t i o n o n t h e c i r c l e( F i g . 2 7 ) .P a s c a l d i d n o t f o r m u l a t e h i s t h e o r e m o n l y f o r a c i r c l e . H e n o t i c e dt h a t i t h e l d t r u e i n t h e c a s e o f a n y c o n i c s e c t i o n : a n e l l i p s e , p a r a b o l a o rh y p e r b o l a . F i g u r e 2 8 i l l u s t r a t e s P a s c a l ' s t h e o r e m f o r t h e c a s e o fp a r a b o l a .

1 5 . B r i a n c h o n ' s T h e o r e mT h e F r e n c h m a t h e m a t i c i a n C h a r l e s B r i a n c h o n ( 1 7 8 3 - 1 8 6 4 ) d i s c o v -e r e d i n 1 8 0 6 t h a t t h e f o l l o w i n g t h e o r e m , w h i c h i s t h e d u a l o f P a s c a l ' st h e o r e m , h o l d s t r u e .D r a w s i x t a n g e n t s t o a c i r c l e ( o r a n y c o n i c s e c t i o n ) , n u m b e r t h e m i na n a r b i t r a r y o r d e r a n d f i n d t h e c o r r e s p o n d i n g p o i n t s o f i n t e r s e c t i o n( F i g . 2 9 ) . B r i a n c h o n ' s t h e o r e m s t a t e s t h a t t h e t h r e e s t r a i g h t l i n e s j o i n -

F i g u r e 2 9

F i g u r e 3 0

i n g t h e s i x p o i n t s o f i n t e r s e c t i o n i n p a i r s a s f o l l o w s : t h e f i r s t w i t h t h ef o u r t h , t h e s e c o n d w i t h t h e f i f t h , a n d t h e t h i r d w i t h t h e s i x t h , i n t e r s e c ta t a s i n g l e p o i n t ( i . e . , a r e c o n c u r r e n t ) .T o s t r e s s h o w c l o s e l y t h e t w o t h e o r e m s a r e r e l a t e d B r i a n c h o n p u td o w n b o t h i n t w o c o l u m n s , o n e o p p o s i t e t h e o t h e r ( f o l l o w F i g . 3 02 8


29/48

w h e r e t h e l e f t s i d e i l l u s t r a t e s P a s c a l ' s t h e o r e m , a n d t h e r i g h t t h a t o fB r i a n c h o n ) :P a s c a l ' s t h e o r e m B r i a n c h o n ' s t h e o r e m

L e t 1 , 2 , 3 , 4 , 5 a n d 6 b e s i xa r b i t r a r y p o i n t s o n a c o n i c s e c tt i o n .C o n n e c t t h e m i n s u c c e s s i o n b yt h e s t r a i g h t l i n e s 1 , I I , I I I , I VV a n d V 1 a n d f i n d t h e t h r e e p o i n t so f i n t e r s e c t i o n o f t h e s i x l i n e st a k e n i n p a i r s : I w i t h I V , I I w i t hV a n d I I I w i t h V I .T h e n t h e s e t h r e ec o l l i n e a r . p o i n t s a r e

L e t 1 . 2 , 3 , 4 . 5 a n d 6 b e s i xa r b i t r a r y t a n g e n t s t o a c o n i cs e c t i o n .F i n d i n s u c c e s s i o n t h e i r p o i n t so f i n t e r s e c t i o n I , I I , I I I , I V V a n dV I a n d c o n n e c t t h e m b y s t r a i g h tl i n e s e g m e n t s i n p a i r s : I w i t h I VI I w i t h V a n d I I I w i t h W .

T h e n t h e s e l i n e s a r e c o n c u r -r e n t .I t i s c l e a r t h a t i n o r d e r t o c h a n g e f r o m o n e t h e o r e m t o t h e o t h e r i t i ss u f f i c i e n t t o m a k e t h e f o l l o w i n g i n t e r c h a n g e s o f w o r d s a n d p h r a s e s : t oi n t e r c h a n g e " p o i n t s " a n d " t a n g e n t s " , " t o c o n n e c t p o i n t s b y l i n e s e g -m e n t s " a n d " t o d e t e r m i n e t h e p o i n t s o f i n t e r s e c t i o n o f t h e s t r a i g h tl i n e s " , " t h r e e p o i n t s a r e c o l l i n e a r " a n d " t h r e e s t r a i g h t l i n e s a r e c o n c u r -r e n t " . I n s h o r t , s t r a i g h t l i n e s a n d p o i n t s i n t e r c h a n g e t h e i r r o l e s i n t h i st r a n s i t i o n . I n p r o j e c t i v e g e o m e t r y c o n d i t i o n s a r e f o u n d u n d e r w h i c hf r o m o n e t r u e t h e o r e m ( n o t n e c e s s a r i l y P a s c a l ' s t h e o r e m ) w e c a no b t a i n a n o t h e r t h e o r e m b y m e a n s o f s i m i l a r i n t e r c h a n g e s . T h i s i sc a l l e d t h e p r i n c i p l e o f d u a l i t y . I t e n a b l e s u s t o o b t a i n t w o t h e o r e m s f o re a c h t h e o r e m p r o v e d . T h e o t h e r t h e o r e m i s t r u e , o n e c o u l d s a y ,a u t o m a t i c a l l y .

1 6 . T h e L e m n i s c a t eo f B e r n o u l l iN o w w e s h a l l s t u d y a c u r v e g e n e r a t e d b y a p o i n t M i n a p l a n e t h a tm o v e s s o t h a t t h e p r o d u c t p o f i t s d i s t a n c e s f r o m t w o f i x e d p o i n t s F 1a n d F 2 i n t h e s a m e p l a n e i s c o n s t a n t . S u c h a c u r v e i s c a l l e d a l e m n i s -

c a t e ( " l e m n i s c a t e " m e a n s " w i t h h a n g i n g r i b b o n s " i n L a t i n ) . I f t h el e n g t h o f t h e s e g m e n t F 1 F 2 i s c , t h e n t h e d i s t a n c e s f r o m t h e m i d p o i n tO o f t h e s e g m e n t F 1 F 2 t o F 1 a n d F 2 a r e e q u a l t o c / 2 a n d t h e p r o d u c to f t h e s e d i s t a n c e s t o c 2 / 4 . L e t u s r e q u i r e a t t h e s t a r t t h a t t h e c o n s t a n tp r o d u c t p s h o u l d b e e q u a l t o c 2 / 4 , t h a t i s , M F 1 x M F 2 = c 2 / 4 . T h e nt h e p o i n t 0 w i l l l i e o n t h e l e m n i s c a t e a n d t h e l e m n i s c a t e w i l l h a v ea f i g u r e - e i g h t s h a p e d c u r v e l y i n g o n i t s s i d e ( F i g . 3 1 ) . I f w e e x t e n d t h es e g m e n t F 1 F 2 i n b o t h d i r e c t i o n s t i l l i t i n t e r s e c t s t h e l e m n i s c a t e , w e

2 9


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s h a l l g e t t w o p o i n t s A , a n d A 2 . I t i s n o t d i f f i c u l t t o e x p r e s s t h e d i s -t a n c e b e t w e e n t h e m , A , A 2 = x , u s i n g t h e k n o w n d i s t a n c e F 1 F 2 = c .N o t e t h a t t h e d i s t a n c e f r o m t h e p o i n t A 2 t o F 2 i s e q u a l t o x / 2 - c / 2a n d t h e d i s t a n c e f r o m t h e s a m e p o i n t A 2 t o F , i s e q u a l t o x / 2 + c 1 2 -M

F i g u r e 3 1C o n s e q u e n t l y , t h e p r o d u c t o f t h e d i s t a n c e s i s

( x / 2 + c / 2 ) ( x / 2 - c / 2 ) = x 2 / 4 - c 2 / 4B u t t h i s p r o d u c t m u s t b e e q u a l t o c 2 / 4 b y a s s u m p t i o n . T h e r e f o r ex 2 / 4 - c 2 / 4 = c 2 / 4 , w h i c h y i e l d s x 2 = 2 c 2 a n d x = 2 c z 1 . 4 1 4 c .T h e r e e x i s t s a r e m a r k a b l e r e l a t i o n b e t w e e n t h i s l e m n i s c a t e a n d t h e

e q u i l a t e r a l h y p e r b o l a . D r a w r a y s f r o m t h e p o i n t 0 ( F i g . 3 2 ) a n d m a r k

' / / / > 4 \ ' \i / r 1 "/ / ! \ \ \ M 1 1i i / \ \ \Z ! \ \ 1I 1 \ \F i g u r e 3 2t h e i r p o i n t s o f i n t e r s e c t i o n w i t h t h e l e m n i s c a t e . I t c a n b e s e e n t h a tw h e n t h e a n g l e o f i n c l i n a t i o n o f a r a y t o O F 2 ( o r t o O F 1 ) i s l e s s t h a n4 5 , t h e r a y i n t e r s e c t s t h e l e m n i s c a t e a t a n o t h e r p o i n t d i s t i n c t f r o m O .B u t i f t h e a n g l e o f i n c l i n a t i o n i s e q u a l t o o r g r e a t e r t h a n 4 5 , t h e r e i s3 0


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n o o t h e r p o i n t o f i n t e r s e c t i o n . T a k e a r a y o f t h e f i r s t g r o u p a n da s s u m e t h a t i t i n t e r s e c t s t h e l e m n i s c a t e a t a p o i n t A l ( d i s t i n c t f r o m 0 ) .M a r k o f f t h e s e g m e n t O N = 1 / O M f r o m t h e p o i n t 0 o n t h e r a y . I f w ec a r r y o u t s i m i l a r c o n s t r u c t i o n s f o r e v e r y r a y o f t h e f i r s t g r o u p , t h e n a l lt h e p o i n t s N c o r r e s p o n d i n g t o t h e p o i n t s M o f t h e l e m n i s c a t e w i l l b eo n a n e q u i l a t e r a l h y p e r b o l a h a v i n g f o c i F 1 a n d F 2 s u c h t h a t O F 1 == 1 / O F 1 a n d O F 2 = 1 / O F 2 .

1 7 . T h e L e m n i s c a t ew i t h T w o F o c iI f w e e q u a t e t h e v a l u e o f t h e c o n s t a n t p r o d u c t n o t t o c 2 / 4 b u t t oa n o t h e r v a l u e , t h e l e m n i s c a t e w i l l c h a n g e i t s s h a p e . W h e n p i s l e s s t h a n

c 2 / 4 , t h e l e m n i s c a t e c o n s i s t s o f t w o o v a l s , o n e o f w h i c h c o n t a i n s i n s i d ei t t h e p o i n t F 1 a n d t h e o t h e r t h e p o i n t F 2 ( F i g . 3 3 ) . W h e n t h e p r o d u c t

F i g u r e 3 53 1


32/48

p i s g r e a t e r t h a n c 2 / 4 b u t l e s s t h a n c 2 / 2 , t h e l e m n i s c a t e h a s t h e f o r m o fa b i s c u i t ( F i g . 3 4 ) . I f p i s c l o s e t o c 2 / 4 , t h e " w a i s t " o f t h e b i s c u i t K 1 K 2i s v e r y n a r r o w a n d t h e s h a p e o f t h e c u r v e i s v e r y c l o s e t o t h e f i g u r e -e i g h t s h a p e . I f p d i f f e r s l i t t l e f r o m c 2 / 2 , t h e w a i s t i s h a r d l y n o t i c e a b l e ,a n d f o r p e q u a l t o o r g r e a t e r t h a n c 2 / 2 t h e w a i s t d i s a p p e a r s c o m p l e t e l ya n d t h e l e m n i s c a t e t a k e s t h e f o r m o f a n o v a l ( F i g . 3 5 ; t h e f i g u r e a l s os h o w s s o m e o t h e r l e m n i s c a t e s f o r c o m p a r i s o n ) .

1 8 . T h e L e m n i s c a t e w i t hA r b i t r a r y N u m b e r o f F o c iT a k e a n a r b i t r a r y n u m b e r o f p o i n t s F 1 , F 2 , . . . . F i n t h e p l a n e a n dm a k e a p o i n t M m o v e s o t h a t t h e p r o d u c t o f i t s d i s t a n c e s f r o m a l l t h ep o i n t s t a k e n i s a l w a y s c o n s t a n t . W e s h a l l o b t a i n a c u r v e w h o s e f o r md e p e n d s o n t h e r e l a t i v e p o s i t i o n s o f t h e p o i n t s F 1 , F 2 , . . . , F a n d t h ev a l u e o f t h e c o n s t a n t p r o d u c t . S u c h a c u r v e i s c a l l e d a l e m n i s c a t e w i t hn f o c i .W e c o n s i d e r e d a b o v e l e m n i s c a t e s w i t h t w o f o c i . U s i n g v a r i o u s

n u m b e r s o f f o c i , p l a c i n g t h e m i n d i f f e r e n t p o s i t i o n s a n d a s s i g n i n g d i f -f e r e n t v a l u e s t o t h e p r o d u c t o f t h e d i s t a n c e s , o n e c a n c o n s t r u c t l e m n i s -c a t e s w i t h t h e m o s t p e c u l i a r o u t l i n e s . L e t u s m o v e t h e p e n c i l p o i n tw i t h o u t l i f t i n g i t f r o m t h e p a p e r s t a r t i n g a t a p o i n t A . s o t h a t i n t h e

F i g u r e 3 6

e n d i t r e t u r n s t o t h e s a m e p o i n t A . T h e p e n c i l w i l l d e s c r i b e a c u r v e ;o u r o n l y c o n d i t i o n i s t h a t t h e c u r v e s h o u l d n e v e r i n t e r s e c t i t s e l f . I t i sc l e a r t h a t i n t h i s w a y w e c a n o b t a i n c u r v e s w i t h , f o r i n s t a n c e , t h e o u t -l i n e s o f a h u m a n h e a d o r a b i r d ( F i g . 3 6 ) . I t t u r n s o u t t h a t f o r s u c h a n3 2


33/48

a r b i t r a r y c u r v e i t i s p o s s i b l e t o c h o o s e a n u m b e r n a n d p o s i t i o n s o ff o c iF 1 , F 2 1 F

a n d a s s i g n a v a l u e t o t h e c o n s t a n t p r o d u c t o f t h e d i s t a n c e sM F 1 x M F 2 x

s u c h t h a t t h e c o r r e s p o n d i n g l e m n i s c a t e w i l l n o t d i f f e r v i s u a l l y f r o mt h e c h o s e n c u r v e . I n o t h e r w o r d s , t h e p o s s i b l e d e v i a t i o n s o f t h e p o i n tM d e s c r i b i n g t h e l e m n i s c a t e f r o m t h e c u r v e d r a w n w i l l n o t e x c e e d t h ew i d t h o f t h e p e n c i l m a r k ( t h e p e n c i l c a n b e s h a r p e n e d b e f o r e h a n d a ss h a r p l y a s p o s s i b l e s o t h a t t h e p e n c i l m a r k i s v e r y t h i n ) . T h i s a m a z i n gf a c t , i n d i c a t i v e o f t h e o u t s t a n d i n g v a r i e t y a n d r i c h n e s s o f f o r m s o f t h el e m n i s c a t e w i t h m a n y f o c i , i s p r o v e d r i g o r o u s l y i n h i g h e r m a t h e m a -t i c s , a n d t h e p r o o f i s v e r y c o m p l i c a t e d .

1 9 . T h e C y c l o i dP r e s s a r u l e r t o t h e l o w e r e d g e o f a b l a c k b o a r d a n d r o l l a h o o p o r

a c i r c l e ( m a d e o f c a r d b o a r d o r w o o d ) a l o n g i t k e e p i n g i t t i g h t t o t h er u l e r a n d t h e b l a c k b o a r d . I f w e f i x a p i e c e o f c h a l k t o t h e h o o p o r c i r -c l e ( a t t h e p o i n t o f c o n t a c t w i t h t h e r u l e r ) , t h e c h a l k w i l l d e s c r i b ea c u r v e ( F i g . 3 7 ) w h i c h i s c a l l e d a c y c l o i d ( w h i c h m e a n s " c i r c u l a r " i nG r e e k ) . O n e r e v o l u t i o n o f t h e l o o p c o r r e s p o n d s t o o n e a r c o f t h e c y -c l o i d M M ' M " N ; i f t h e l o o p r o l l s f a r t h e r , i t w i l l g e n e r a t e m o r e a n dm o r e a r c s o f t h e c y c l o i d .M .

M NF i g u r e 3 7

T o c o n s t r u c t o n p a p e r a n a r c o f t h e c y c l o i d d e s c r i b e d b y t h e r o l l i n gh o o p w h o s e d i a m e t e r i s e q u a l , f o r i n s t a n c e , t o t h r e e c e n t i m e t r e s , m a r ko f f o n t h e s t r a i g h t l i n e a s e g m e n t e q u a l t o3 x 3 . 1 4 = 9 . 4 2 c m

T h u s , w e h a v e a s e g m e n t t h e l e n g t h o f w h i c h i s e q u a l t o t h e l e n g t h o ft h e r i m o f t h e h o o p , t h a t i s , t o t h e l e n g t h o f t h e c i r c u m f e r e n c e o f a c i r -c l e w i t h d i a m e t e r t h r e e c e n t i m e t r e s . D i v i d e t h i s s e g m e n t i n t o s e v e r a le q u a l p a r t s ( f o r e x a m p l e , s i x ) , a n d f o r e v e r y p o i n t o f d i v i s i o n d r a w t h e

3 3


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l o o p i n t h e p o s i t i o n w h e n i t t o u c h e s t h e p o i n t ( F i g . 3 8 ) , a n d n u m b e rt h e s e p o s i t i o n s t h u s0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6

I n o r d e r t o g o f r o m o n e p o s i t i o n t o t h e n e x t o n e t h e l o o p h a s t o r o t a t eo n e - s i x t h o f t h e w h o l e r e v o l u t i o n ( a s t h e d i s t a n c e b e t w e e n t w o n e i g h -b o u r i n g p o i n t s i s e q u a l t o o n e - s i x t h o f t h e c i r c u m f e r e n c e o f t h e c i r c l e ) .M 3

T h u s , i f i n p o s i t i o n 0 t h e c h a l k i s a t t h e p o i n t M 0 , i n p o s i t i o n 1 i t w i l lb e a t t h e p o i n t M l ( a t o n e - s i x t h o f t h e c i r c u m f e r e n c e f r o m t h e p o i n t o ft a n g e n c y ) , i n p o s i t i o n 2 a t t h e p o i n t M 2 ( a t t w o - s i x t h s o f t h e c i r c u m -f e r e n c e f r o m t h e p o i n t o f t a n g e n c y ) , a n d s o o n . F o r l o c a t i n g t h e p o i n t sM 1 , M 2 , M 3 , e t c . w e h a v e o n l y t o m a k e m a r k s b e g i n n i n g w i t h t h ep o i n t o f t a n g e n c y b y c i r c l e s w i t h a r a d i u s e q u a l t o 1 . 5 c m ( u s i n g c o m -p a s s e s ) , m a k i n g o n e m a r k i n p o s i t i o n 1 , t w o c o n s e c u t i v e m a r k s i np o s i t i o n 2 , t h r e e c o n s e c u t i v e m a r k s i n p o s i t i o n 3 , a n d s o o n . N o w t oc o n s t r u c t a c y c l o i d t h e r e i s o n l y o n e t h i n g l e f t t o d o : t o c o n n e c t t h ep o i n t sM 0 , M " M 2 , M 3 , M 4 , M 5 , M 6

b y a s m o o t h c u r v e ( b y h a n d ) .2 0 . T h e C u r v eo f F a s t e s t D e s c e n t

O f t h e m a n y r e m a r k a b l e p r o p e r t i e s o f t h e c y c l o i d w e s h a l l n o t e o n l yo n e , f o r w h i c h i t w a s g i v e n t h e s o n o r o u s a n d r a t h e r d i f f i c u l t n a m e , t h eb r a c h i s t o c h r o n e . T h e n a m e i s c o m p o s e d o f t w o G r e e k w o r d s b r a -c h i s t o s m e a n i n g s h o r t e s t a n d c h r o n e s m e a n i n g t i m e .C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g q u e s t i o n : w h a t f o r m s h o u l d b e g i v e n t oa w e l l - p o l i s h e d m e t a l t r o u g h c o n n e c t i n g t w o g i v e n p o i n t s A a n dB ( F i g . 3 9 ) s o t h a t a p o l i s h e d m e t a l b a l l r o l l s a l o n g t h i s t r o u g h f r o mp o i n t A t o p o i n t B i n t h e s h o r t e s t p o s s i b l e t i m e ? A t f i r s t i t s e e m s t h a t3 4


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o n e s h o u l d c h o o s e a s t r a i g h t t r o u g h , a s i t p r o v i d e s t h e s h o r t e s t w a yf r o m A t o B . B u t w e a r e t r y i n g t o f i n d t h e s h o r t e s t t i m e a n d n o t t h es h o r t e s t w a y , a n d t h e t i m e d e p e n d s n o t o n l y o n t h e p a t h i t s e l f b u t o nt h e s p e e d o f t h e b a l l a s w e l l . I f w e b e n d t h e t r o u g h d o w n w a r d s , t h eA

A

F i g u r e 4 0

1 '

p a r t o f i t b e g i n n i n g a t p o i n t A w i l l b e s t e e p e r t h a n t h e s t r a i g h t c h a n -n e l , a n d t h e b a l l r o l l i n g d o w n s u c h a t r o u g h w i l l h a v e a g r e a t e r s p e e dt h a n o n t h e e q u i d i s t a n t s e g m e n t o f t h e s t r a i g h t t r o u g h . B u t i f w e m a k et h e i n i t i a l p a r t t o o s t e e p a n d c o m p a r a t i v e l y l o n g , t h e n t h e p a r t n e a rp o i n t B w i l l b e s t e e p l y s l o p i n g a n d a l s o c o m p a r a t i v e l y l o n g ; t h e f i r s tp a r t o f t h e p a t h w i l l b e c o v e r e d b y t h e b a l l v e r y q u i c k l y b u t t h e s e c o n dp a r t w i l l b e c o v e r e d v e r y s l o w l y , w h i c h m a y d e l a y t h e a r r i v a l o f t h eb a l l a t p o i n t B . T h u s , i t s e e m s t h a t t h e t r o u g h m u s t b e b e n t d o w n -w a r d s b u t n o t v e r y s t e e p l y .T h e I t a l i a n a s t r o n o m e r a n d p h y s i c i s t G a l i l e o G a l i l e i ( 1 5 6 4 - 1 6 4 2 )t h o u g h t t h a t t h e p a t h o f f a s t e s t d e s c e n t s h o u l d b e i n t h e f o r m o f a n a r co f a c i r c u m f e r e n c e . B u t t h e S w i s s m a t h e m a t i c i a n s J a k o b a n d J o h a n nB e r n o u l l i ( b r o t h e r s ) p r o v e d b y e x a c t c a l c u l a t i o n s t h a t i t w a s n o t s oa n d t h a t t h e t r o u g h s h o u l d b e b e n t i n t h e f o r m o f a n a r c o f a c y c l o i d( t u r n e d u p s i d e d o w n , F i g . 4 0 ) . S i n c e t h a t t i m e t h e c y c l o i d h a s a l s ob e e n c a l l e d t h e b r a c h i s t o c h r o n e , a n d t h e p r o o f o f t h e B e r n o u l l i s l a i dt h e f o u n d a t i o n o f a n e w b r a n c h o f m a t h e m a t i c s , t h e c a l c u l u s o f v a r i a -t i o n s . T h i s s u b j e c t d e a l s w i t h d e t e r m i n i n g t h e f o r m s o f c u r v e s f o rw h i c h s o m e q u a n t i t y o r o t h e r i n w h i c h w e a r e i n t e r e s t e d r e a c h e s i t s

m i n i m u m ( o r i n s o m e c a s e s , i t s m a x i m u m ) v a l u e .

F i g u r e 3 9` ` 4

3 5


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2 1 . T h e S p i r a l o f A r c h i m e d e sI m a g i n e a n i n f i n i t e l y l o n g s e c o n d h a n d o n a c l o c k , a l o n g w h i c ha s m a l l b e e t l e r u n s i n d e f a t i g a b l y a t a s p e e d o f v c m / s e c , s t a r t i n g a t t h ec e n t r e o f t h e c l o c k f a c e . A f t e r o n e m i n u t e t h e b e e t l e w i l l b e a t a d i s -

t a n c e o f 6 0 v c m f r o m t h e c e n t r e , i n t w o m i n u t e s 1 2 0 v c m a n d s o o n .I n g e n e r a l , t s e c o n d s a f t e r t h e b e g i n n i n g o f t h e r a c e t h e b e e t l e w i l l b e a ta d i s t a n c e o f v t c m f r o m t h e c e n t r e . D u r i n g t h i s p e r i o d o f t i m e t h es e c o n d h a n d w i l l r o t a t e a b o u t a n a n g l e o f 6 t ( t h e h a n d r o t a t e st h r o u g h a n a n g l e o f 3 6 0 / 6 0 = 6 e v e r y s e c o n d ) . T h e r e f o r e , t h e p o s i -t i o n o f t h e b e e t l e o n t h e f a c e o f t h e c l o c k a f t e r a n y n u m b e r o f s e c o n d st i s d e t e r m i n e d i n t h e f o l l o w i n g w a y . M a r k o f f t h e a n g l e a c o n t a i n i n g6 t f r o m t h e i n i t i a l p o s i t i o n o f t h e h a n d i n t h e d i r e c t i o n o f i t s r o t a t i o na n d m e a s u r e o f f t h e d i s t a n c e r = v t c m a l o n g t h e n e w p o s i t i o n o f t h eh a n d . W e s h a l l f i n d t h e b e e t l e i n t h i s p o s i t i o n ( F i g . 4 1 ) .

F i g u r e 4 1

E v i d e n t l y t h e r e l a t i o n b e t w e e n t h e a n g l e o f r o t a t i o n a o f t h e h a n d( i n d e g r e e s ) a n d t h e d i s t a n c e c o v e r e d r ( i n c e n t i m e t r e s ) w i l l h a v e t h ef o r mr = ( v / 6 ) a

I n o t h e r w o r d s r i s d i r e c t l y p r o p o r t i o n a l t o a , t h e f a c t o r o f p r o p o r -t i o n a l i t y b e i n g e q u a l t o k = v / 6 .L e t u s a d j u s t a t i n y b u t i n e x h a u s t i b l e b o t t l e o f b l a c k i n k t o o u r r u n -n e r a n d a s s u m e t h a t t h e p a i n t , f l o w i n g o u t f r o m a t i n y h o l e , l e a v e s o nt h e p a p e r ( p a s t e d o n t o t h e s e c o n d h a n d ) a t r a c e o f t h e b e e t l e c a r r i e da w a y b y t h e h a n d o f t h e c l o c k . T h e n g r a d u a l l y a c u r v e i s t r a c e d o u t .T h i s c u r v e w a s f i r s t s t u d i e d b y A r c h i m e d e s ( 2 8 7 ? - 2 1 2 B . C . ) . I n h i sh o n o u r i t i s c a l l e d t h e s p i r a l o f A r c h i m e d e s . I t s h o u l d b e n o t e d t h a tA r c h i m e d e s s p o k e n e i t h e r a b o u t a s e c o n d h a n d n o r a b e e t l e ( a t t h a tt i m e t h e r e w e r e n o t e v e n m e c h a n i c a l c l o c k s w i t h s p r i n g s : t h e y w e r e i n -3 6


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v e n t e d i n t h e s e v e n t e e n t h c e n t u r y ) . W e i n t r o d u c e d t h e m h e r e j u s t f o rt h e s a k e o f c l a r i t y .T h e s p i r a l o f A r c h i m e d e s c o n s i s t s o f a n i n f i n i t e n u m b e r o f c o i l s . I ts t a r t s a t t h e c e n t r e o f t h e c l o c k f a c e a n d g o e s a w a y f a r t h e r a n d f a r t h e rf r o m i t a s t h e n u m b e r o f c o i l s i n c r e a s e s . I n F i g . 4 2 y o u c a n s e e t h e f i r s tc o i l a n d p a r t o f t h e s e c o n d .Y o u m i g h t h a v e h e a r d t h a t i t i s i m p o s s i b l e t o d i v i d e a n a r b i t r a r ya n g l e i n t o t h r e e e q u a l p a r t s u s i n g o n l y a s t r a i g h t e d g e a n d c o m p a s s e s( i n p a r t i c u l a r c a s e s , w h e n a n a n g l e c o n t a i n s f o r i n s t a n c e 1 8 0 , 1 3 5 o r4 0 , t h i s p r o b l e m i s e a s i l y s o l v e d ) . B u t i f w e u s e a n a c c u r a t e l y d r a w ns p i r a l o f A r c h i m e d e s w e c a n d i v i d e a n y a n g l e i n t o a n a r b i t r a r yn u m b e r o f p a r t s .

F i g u r e 4 2 F i g u r e 4 3L e t u s d i v i d e , f o r e x a m p l e , t h e a n g l e A O B i n t o t h r e e e q u a l p a r t s( F i g . 4 3 ) . I f w e a s s u m e t h a t t h e h a n d h a s j u s t r o t a t e d t h r o u g h t h i sa n g l e , t h e b e e t l e i s a t t h e p o i n t N o n t h e s i d e o f t h e a n g l e . B u t w h e nt h e a n g l e o f r o t a t i o n w a s o n e - t h i r d o f A O B , t h e b e e t l e w a s o n e - t h i r d o ft h e d i s t a n c e f r o m t h e c e n t r e 0 . I n o r d e r t o f i n d t h i s p o s i t i o n o f t h e b e e -t l e w e h a v e t o d i v i d e t h e s e g m e n t O N i n t o t h r e e e q u a l p a r t s . T h i s c a nb e d o n e b y u s i n g a s t r a i g h t e d g e a n d c o m p a s s e s . W e g e t t h e s e g m e n tO N 1 w h o s e l e n g t h i s o n e - t h i r d o f O N . B u t i f w e w a n t t h e b e e t l e t o b eo n t h e s p i r a l w e h a v e t o m a k e a c u t w i t h c i r c l e w h o s e r a d i u s i s O N 1( a g a i n w i t h t h e h e l p o f c o m p a s s e s ! ) , g e t t i n g t h e p o i n t M . T h e a n g l eA O M w i l l b e o n e - t h i r d o f t h e a n g l e A O N .

2 2 . T w o P r o b l e m s o f A r c h i m e d e sA r c h i m e d e s h i m s e l f s w a s i n t e r e s t e d , h o w e v e r , i n m o r e d i f f i c u l tp r o b l e m s , w h i c h h e h i m s e l f f o r m u l a t e d a n d s o l v e d . T h e s e p r o b l e m s

a r e :3 7


38/48

( 1 ) d e t e r m i n e t h e a r e a o f t h e f i g u r e b o u n d e d b y t h e f i r s t c o i l o f t h es p i r a l ( i n F i g . 4 2 i t i s s h a d e d ) ;( 2 ) f i n d h o w t o c o n s t r u c t t h e t a n g e n t t o t h e s p i r a l a t a p o i n t N .I t i s o f g r e a t i n t e r e s t t h a t b o t h p r o b l e m s a r e t h e e a r l i e s t e x a m p l e s o fp r o b l e m s i n m a t h e m a t i c a l a n a l y s i s . S i n c e t h e s e v e n t e e n t h c e n t u r ya r e a s o f f i g u r e s h a v e b e e n c a l c u l a t e d b y m a t h e m a t i c i a n s w i t h t h e h e l po f i n t e g r a l s , a n d t a n g e n t s h a v e b e e n c o n s t r u c t e d w i t h t h e h e l p o f d e -r i v a t i v e s . H e n c e A r c h i m e d e s m i g h t b e c a l l e d t h e p r e c u r s o r o f m a t h e -m a t i c a l a n a l y s i s .A s f a r a s t h e f i r s t p r o b l e m i s c o n c e r n e d w e s h a l l s i m p l y c i t e t h er e s u l t o b t a i n e d b y A r c h i m e d e s : t h e a r e a o f t h e f i g u r e i s e x a c t l y e q u a lt o o n e - t h i r d o f t h e a r e a o f a c i r c l e w i t h r a d i u s O A . B u t f o r t h e s e c o n dp r o b l e m w e c a n i n d i c a t e a m e t h o d o f s o l u t i o n . I t i s a s i m p l i f i e d v e r -s i o n o f A r c h i m e d e s ' o w n a r g u m e n t . T h e a r g u m e n t d e p e n d s o n t h e f a c tt h a t t h e v e l o c i t y o f t h e b e e t l e d e s c r i b i n g a s p i r a l a t a n y p o i n t N i sd i r e c t e d a l o n g t h e t a n g e n t t o t h e s p i r a l a t t h i s p o i n t . I f w e k n o t r v t h ed i r e c t i o n o f t h e v e l o c i t y , w e a r e a b l e t o c o n s t r u c t t h e t a n g e n t .T h e b e e t l e ' s m o v e m e n t a t t h e p o i n t N i s c o m p o s e d o f t w o d i f f e r e n tm o v e m e n t s ( F i g . 4 4 ) : o n e i n t h e d i r e c t i o n o f t h e s e c o n d h a n d a ta s p e e d o f v c m / s e c , t h e o t h e r a l o n g t h e c i r c u m f e r e n c e o f t h e c i r c l ew i t h c e n t r e 0 a n d r a d i u s O N . T o v i s u a l i s e t h e l a t t e r s u p p o s e t h a t t h e

F i g u r e 4 4b e e t l e s t o o d s t o c k s t i l l f o r a m o m e n t a t p o i n t N . T h e n i t w o u l d b e c a r -r i e d a w a y b y t h e s e c o n d h a n d a l o n g t h e c i r c u m f e r e n c e o f t h e c i r c l e o fr a d i u s O N . T h e v e l o c i t y o f t h e c i r c u l a r m o v e m e n t i s d i r e c t e d a l o n g t h et a n g e n t t o t h e c i r c l e . A n d w h a t i s i t s m a g n i t u d e ? I f t h e b e e t l e c o u l d g oa r o u n d t h e w h o l e c i r c u m f e r e n c e w i t h t h e r a d i u s O N , t h e n i n 6 0s e c o n d s h e w o u l d c o v e r a d i s t a n c e e q u a l t o 2 n x O N c m . I n t h i s c a s et h e s p e e d w o u l d r e m a i n c o n s t a n t , s o t o d e t e r m i n e i t w e h a v e t o d i v i d et h e d i s t a n c e b y t h e t i m e . I n t h i s w a y w e g e t 2 n x O N / 6 0 = i t x

3 8


39/48

x O N / 3 0 c m / s e c , w h i c h i s a l i t t l e m o r e t h a n 0 . 1 x O N c m / s e c( n , 1 3 0 3 . 1 4 / 3 0 ~ 0 . 1 0 5 ) .N o w w e k n o w b o t h c o m p o n e n t s o f t h e v e l o c i t y a t t h e p o i n t N : o n ei n t h e d i r e c t i o n o f O N a n d e q u a l t o v c m / s e c , t h e o t h e r p e r p e d d i c u l a rt o i t a n d e q u a l t o i t x O N / 3 0 c m / s e c . A l l w e h a v e t o d o i s t o a d d t h e m

a c c o r d i n g t o t h e p a r a l l e l o g r a m l a w . T h e d i a g o n a l d e t e r m i n e s t h e v e -l o c i t y o f t h e c o m b i n e d m o t i o n a n d a t t h e s a m e t i m e s h o w s t h e d i r e c -t i o n o f t h e t a n g e n t N T t o t h e s p i r a l a t a n y g i v e n p o i n t .2 3 . T h e C h a i n o f G a l i l e i

I n h i s b o o k " D i a l o g u e s o n T w o N e w S c i e n c e s " , w h i c h w a s f i r s t p u b -l i s h e d i n I t a l i a n i n L e i d e n ( t h e N e t h e r l a n d s ) i n 1 6 3 8 , G a l i l e i s u g g e s t e dt h e f o l l o w i n g m e t h o d o f c o n s t r u c t i n g a p a r a b o l a : " D r i v e t w o n a i l si n t o a w a l l a t a c o n v e n i e n t h e i g h t a n d a t t h e s a m e l e v e l ; m a k e t h e d i s -t a n c e b e t w e e n t h e m t w i c e t h e w i d t h o f t h e r e c t a n g l e u p o n w h i c h i t i sd e s i r e d t o t r a c e t h e s e m i p a r a b o l a . H a n g b e t w e e n t h e s e t w o n a i l sa l i g h t c h a i n o f s u c h a l e n g t h t h a t t h e d e p t h o f i t s s a g i s e q u a l t o t h eh e i g h t o f t h e r e c t a n g l e ( F i g . 4 5 ) . T h e c h a i n w i l l t h e n a s s u m e t h e f o r m

o f a p a r a b o l a , s o t h a t i f t h i s f o r m i s m a r k e d b y p o i n t s o n t h e W a l l , w es h a l l h a v e d e s c r i b e d a c o m p l e t e p a r a b o l a , w h i c h c a n b e d i v i d e d i n t ot w o e q u a l p a r t s b y d r a w i n g a v e r t i c a l l i n e t h r o u g h a p o i n t t p i d w a yb e t w e e n t h e t w o n a i l s " .T h e m e t h o d i s s i m p l e a n d g r a p h i c b u t n o t e x a c t . G a l i l e i u n d e r s t o o dt h i s h i m s e l f . I n f a c t , i f w e d r a w a p e r f e c t p a r a b o l a , t h e r e w i l l b e a g a pb e t w e e n t h e r e a l p a r a b o l a a n d t h e c h a i n . O n e c a n s e e t h i s i n F i g - 4 5 ,w h e r e t h e c o r r e s p o n d i n g p a r a b o l a i s a d o t t e d c u r v e .

3 9


40/48

2 4 . T h e C a t e n a r yO n l y h a l f a c e n t u r y a f t e r t h e p u b l i c a t i o n o f G a l i l e i ' s b o o k t h e e l d e ro f t h e B e r n o u l l i b r o t h e r s , J a c o b , f o u n d i n a p u r e l y t h e o r e t i c a l w a y a nT k qr r l , 3 . , g t v R r g ' h t z r 1 . _ S M & e l z - P r J i t h i n r g

h i s f i n d i n g s h e c h a l l e n g e d o t h e r m a t h e m a t i c i a n s t o d o w h a t h e h a dd o n e . T h a t w a s i n 1 6 9 0 . I n 1 6 9 1 t h e c o r r e c t s o l u t i o n w a s p u b l i s h e d b yJ a k o b B e r n o u l l i h i m s e l f a n d a l s o b y C h r i s t i a n H u y g h e n s , G o t t f r i e dW i l h e l m v o n L e i b n i z a n d t h e y o u n g e r b r o t h e r o f J a k o b , J o h a n n B e r -n o u l l i . A l l o f t h e m u s e d i n t h e s o l u t i o n o f t h e p r o b l e m t h e l a w s o fm e c h a n i c s a n d t h e p o w e r f u l t e c h n i q u e o f t h e r e c e n t l y d e v e l o p e dm a t h e m a t i c a l a n a l y s i s , t h e d e r i v a t i v e a n d i n t e g r a l .T h e c u r v e i n w h i c h a c h a i n h a n g s w h e n s u s p e n d e d f r o m t w o p o i n t sw a s c a l l e d a c a t e n a r y b y H u y g h e n s .A s t h e r e a r e c h a i n s o f d i f f e r e n t l e n g t h a n d t h e p o i n t s o f s u s p e n s i o nc a n b e a t d i f f e r e n t d i s t a n c e s f r o m e a c h o t h e r , t h e r e e x i s t s n o t o n e b u tm a n y c a t e n a r i e s . B u t a l l o f t h e m a r e s i m i l a r i n t h e s a m e w a y t h a t a l lc i r c l e s a r e s i m i l a r .2 5 . T h e G r a p h

o f t h e E x p o n e n t i a l F u n c t i o nI t t u r n e d o u t t h a t t h e c l u e t o t h e s e c r e t o f t h e c a t e n a r y w a s h i d d e ni n t h e e x p o n e n t i a l f u n c t i o n . I n t h e e i g h t e e n t h c e n t u r y i t w a s a n o v e l t yb u t n o w i t s h o u l d b e k n o w n t o e v e r y h i g h s c h o o l s t u d e n t . T h i s f u n c -

F i g u r e 4 6

t i o n h a s t h e f o r m y = a " , w h e r e a i s a p o s i t i v e i n t e g e r d i s t i n c t f r o mu n i t y . I t b e c a m e c l e a r f r o m c a l c u l a t i o n s t h a t t h e m o s t - c o n v e n i e n t w a yf o r d r a w i n g a c a t e n a r y w a s t o s e t a e q u a l t o e , t h e b a s e o f n a t u r a l4 0


41/48

l o g a r i t h m s . T h e s e a r e s o m e t i m e s c a l l e d N a p e i r i a n l o g a r i t h m s a f t e r t h eS c o t t i s h m a t h e m a t i c i a n J o h n N a p i e r ( 1 5 5 0 - 1 6 1 7 ) , o n e o f t h e d i s c o v -e r e r s o f l o g a r i t h m s . N u m b e r e i s a l m o s t a s f a m o u s a s t h e n u m b e r t ; i t sa p p r o x i m a t e v a l u e c a l c u l a t e d w i t h a n a c c u r a c y o f 0 . 0 0 0 5 i s e . : 2 . 7 1 8 .I n F i g . 4 6 y o u c a n s e e t w o g r a p h s : t h e s o l i d l i n e d e p i c t s t h e g r a p h o ft h e e x p o n e n t i a l f u n c t i o n y = e X , a n d t h e d o t t e d l i n e t h e g r a p h o fa n o t h e r e x p o n e n t i a l f u n c t i o n c l o s e l y c o n n e c t e d w i t h t h e p r e v i o u s o n e :y = ( 1 / e ) " ( 1 / e 0 . 3 6 8 ) .I f w e u s e n e g a t i v e p o w e r s , t h e l a t t e r f u n c t i o n m a y b e r e p r e s e n t e d i nt h e f o r m y = e - X N o w i t i s c l e a r t h a t b o t h g r a p h s a r e m u t u a l l y s y m -m e t r i c w i t h r e s p e c t t o t h e y - a x i s , w h i c h c a n b e s e e n f r o m t h e f i g u r e .N o w w e s h a l l f o r m t w o n e w f u n c t i o n s , t a k i n g f o r e v e r y x t h e h a l f -s u m o f o u r e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s , y = ( 1 / 2 ) ( e x + e - X ) , o r t h eh a l f - d i f f e r e n c e y = ( 1 / 2 ) ( e X - e ` X ) . T h e g r a p h s o f t h e s e t w o n e w f u n c -

F i g u r e 4 7 F i g u r e 4 8t i o n s a r e s h o w n i n F i g s . 4 7 a n d 4 8 . I t t u r n s o u t t h a t t h e f i r s t g r a p h i sa c a t e n a r y . B y s i m p l e t r a n s f o r m a t i o n s w h i c h w i l l b e d i s c u s s e d b e l o ww e c a n o b t a i n a n y c a t e n a r y s y m m e t r i c w i t h r e s p e c t t o t h e y - a x i s . A sf a r a s t h e g r a p h i n F i g . 4 8 i s c o n c e r n e d w e s h a l l u s e i t t o h e l p i n t h et r a n s f e r f r o m t h e c a t e n a r y o f F i g . 4 7 t o t h e m o r e g e n e r a l c a s e .

2 6 . C h o o s i n g t h e L e n g t ho f t h e C h a i nL e t u s c o n s i d e r i n m o r e d e t a i l t h e r e l a t i o n b e t w e e n t h e c u r v e i n F i g .4 7 a n d t h e f o r m o f t h e s u s p e n d e d c h a i n . I m a g i n e t h a t t h e c u r v e i s

d r a w n o n a p e r f e c t l y v e r t i c a l , p o l i s h e d w a l l a n d t h a t w e c a n d r i v e i n4 1


42/48

n a i l s a t d i f f e r e n t p o i n t s o f t h e c u r v e . L e t u s d r i v e t h e m i n a t p o i n t sA a n d B t h a t a r e a t t h e s a m e l e v e l , a s G a l i l e i s u g g e s t e d ( t h i s c o n d i t i o ni s n o t e s s e n t i a l , h o w e v e r ) . C h o o s e a l i g h t c h a i n w h o s e l e n g t h i s e x a c t l y2 1 , t h e l e n g t h o f t h e a r c A B , a n d f i x i t s e n d s a t A a n d B . T h e c h a i n w i l lh a n g i n t h e f o r m o f t h e a r c s h o w n a b o v e . T h e r e w i l l b e n o g a p sb e t w e e n t h e h a n g i n g c h a i n a n d t h e c u r v e .

0 dF i g u r e 4 9

x

T h e s e l e c t i o n o f a c h a i n o f t h e r e q u i r e d l e n g t h c a n b e d o n e b y t r i a la n d e r r o r . W e c a n t a k e a l o n g e r c h a i n a n d h a n g i t b y d i f f e r e n t l i n k s a tt h e p o i n t s A a n d B i n c r e a s i n g o r d e c r e a s i n g , a s n e e d e d , t h e s u s p e n d e dp a r t t i l l t h e r e i s c o i n c i d e n c e ( F i g . 4 9 ) . B u t t h e r e i s a n o t h e r w a y :k n o w i n g d ( h a l f t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e n a i l s ) , o n e c a n c a l c u l a t el ( h a l f t h e l e n g t h o f t h e a r c A B ) a n d t a k e a c h a i n w h o s e l e n g t h i s 2 1 .T h i s c a l c u l a t i o n c a n b e d o n e u s i n g i n t e g r a l s . W e s h a l l g i v e o n l y t h er e s u l t : 1 = ( 1 / 2 ) ( e d - e - ) . I t f o l l o w s t h a t i f w e t a k e x = d i n t h e g r a p ho f t h e f u n c t i o n y = ( 1 / 2 X e " - e - x ) ( F i g . 4 8 ) , t h e c o r r e s p o n d i n g v a l u e o fy o f t h e p o i n t E w i l l b e 1 . S i n c e 1 = ( 1 / 2 X e d - e - d ) < r = ( 1 / 2 ) ( e d + e - d )( F i g . 4 9 ) , w e c a n m a k e a r a t h e r c u r i o u s c o n c l u s i o n : t h e l e n g t h o f t h ea r c C B o f t h e c a t e n a r y i n F i g . 4 9 ( h a l f t h e l e n g t h o f t h e c h a i n ) i ss h o r t e r t h a n t h e o r d i n a t e o f t h e p o i n t o f s u s p e n s i o n . O n t h e o t h e rh a n d 1 > d , t h a t i s , t h i s l e n g t h i s g r e a t e r t h a n t h e a b s c i s s a o f t h e p o i n to f s u s p e n s i o n .

2 7 . A n d W h a t i f t h e L e n g t hi s D i f f e r e n t ?H o w c a n w e d e d u c e t h e e q u a t i o n o f t h e c a t e n a r y f o r t h e c a s e w h e nf o r g i v e n p o i n t s o f s u s p e n s i o n A a n d B t h e l e n g t h o f t h e c h a i n , 2 1 ' , i sn o t e q u a l t o t h e l e n g t h 2 1 o f t h e a r c A B o f t h e c u r v e y =

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Documents

MIR - LML - Markushevich a. I. - Remarkable Curves - Mir Publishers (1980)