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II Esperienza: 26 - 27 Marzo 2014

Misura della costante di tempo caratteristica di un circuito RC - Carica e scarica di un condensatore

Scopo dellesperienza: misura della costante di tempo di un circuito RC in corrente continua studiando i processi di carica e scarica di un condensatore.

Strumentazione: n. Strumento 1 Generatore di tensione continua 1 Generatore di tensione in onda quadra 1 Multimetro digitale (Voltmetro e Amperometro) 1 Cronometro 1 Oscilloscopio 1 Base a mille fori N Resistori N Capacitori 1 Saldatore 1 Stagno 5 Cavi unipolari (conn. Banane) N Morsetti N Fili elettrici 1 Pinzetta metallica Prima parte

Figura 1: Circuito RC in serie

Consideriamo il circuito in Figura 1 dove C un capacitore in serie con il resistore R (i valori devono essere opportunamente scelti); Vg ed Rg costituiscono rispettivamente la forza elettromotrice e la

resistenza interna di un generatore di tensione costante. Il circuito dotato di un interruttore che consente di inserire (1-2) o di cortocircuitare (2-3) un generatore che fornisce una tensione continua. Quando si chiude linterruttore nella posizione (1-2), nella maglia scorre una corrente I(t) data da:

Vg = I(t) ( Rg + R) + 1/C I(t)dt (1) Ponendo:

Vc (t)=1/C I(t)dt (2) derivando si pu scrivere:

C dVc(t)/dt = I(t) (3) da cui:

Vg = C ( Rg + R) dVc(t)/dt + Vc (t) (4) La soluzione generale di questa equazione data da:

Vc (t)= C1 exp(-t/) + Vg (5) Dove:

= c = (R+Rg) C posizionando il contatto su (1-2):

! = {0 0! > 0

posizionando successivamente il contatto su (2-3):

! = {! 00 > 0

C1 si determina dalle condizioni iniziali. a) Carica del condensatore Vc( 0) = 0 e Vg=V0

Vc (0)= C1 + V0 = 0 da cui C1= - V0

Vc (t)= V0[1-exp(-t/)] (6)

Scegliendo opportunamente i valori di R e C si monta il circuito di Figura 1. Si misurano i valori della tensione ai capi della capacit misurati a partire dal momento in cui linterruttore viene posto nella posizione (1-2) (ovvero quando si collega il generatore al circuito), ad intervalli di tempo costanti. Dalla (6) si ha che:

[V0-Vc (t)]/ V0= exp(-t/) da cui:

ln {[V0-Vc (t)]/ V0} = -t/ che, rappresentata in carta semi-logaritmica in funzione del tempo t, permette di determinare il valore di dalle rette di massima e minima pendenza.

b) Scarica del condensatore Vc( 0) = V0 e Vg=0 =RC . Vc (0)= C1 = V0 da cui C1= V0

Vc (t)= V0exp(-t/) (7) Spostando successivamente linterruttore sulla posizione (2-3) (ovvero s collega il generatore a condensatore carico), si misurano i valori della tensione ai capi della capacit ad intervalli di tempo costanti. Dalla (7) si ha che:

Vc (t)/ V0= exp(-t/) da cui:

ln [Vc (t)/ V0] = -t/ che, permette di determinare nuovamente il valore di . Seconda parte

R + Rg

Figura 2: Circuito RC in serie alimentato in onda quadra.

Consideriamo lo schema circuitale rappresentato in Figura 2, dove Vg la tensione erogata da un generatore di tensione ad onda quadra, di ampiezza V0 e periodo T.

Vc(t) ={!!! < + !

!

!!! + !

! < ( + 1)

Si misura la tensione ai capi della capacit C, utilizzando un oscilloscopio. Il fronte di salita dellonda quadra pu essere assimilata allaccensione del generatore di tensione continua, cui segue la carica del condensatore (eq. 6). Il fronte di discesa, pu essere assimilato allo spegnimento del generatore, cui fa seguito la scarica del condensatore (eq. 7).

La soluzione data dalla relazione periodica:

Vc(t) ={ ! !! !!(!!!")!

!!!!!!!

< + !!

! !!

(!!!"!!!)!

!!!!!!!

!! + !

! < ( + 1)

(8)

a) >>T/2 Landamento esponenziale si pu approssimare con uno lineare:

Vc(t)={ !

!!!!!!!! !!!

!!= !

!! !!!! !!!

!! = !

!! !!!!!!!!!

! !! !!!= !!

!(!!! !

!!) < + !

!

! !!!!!!!! !!!

!!= !

!! !!!! !!!

!! = !

!! !!!!!!!!!

! !! !!!= !!

!( !!! !!

!) + !

! < ( + 1)

Vc(t) ={!!!( !!! !

!!) < + !

!

!!!( !!! !!

!) + !

! < ( + 1)

(9)

La capacit non ha il tempo n di caricarsi, n di scaricarsi completamente. Il modulo della tensione massima :

Vmax = V0 (T/8)

Verificare sperimentalmente tali relazioni utilizzando letture dei valori di tensione misurati ai capi della capacit in funzione del tempo, tramite loscilloscopio. Riportare sul grafico in carta opportunamente scelta gli andamenti (9) e (10)misurati nei casi a) e b). Verificare la relazione (11) nel caso c).