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II Esperienza: 26 27 Marzo 2014 Misura della costante di tempo caratteristica di un circuito RC Carica e scarica di un condensatore Scopo dell’esperienza: misura della costante di tempo di un circuito RC in corrente continua studiando i processi di carica e scarica di un condensatore. Strumentazione: n. Strumento 1 Generatore di tensione continua 1 Generatore di tensione in onda quadra 1 Multimetro digitale (Voltmetro e Amperometro) 1 Cronometro 1 Oscilloscopio 1 Base a mille fori N Resistori N Capacitori 1 Saldatore 1 Stagno 5 Cavi unipolari (conn. Banane) N Morsetti N Fili elettrici 1 Pinzetta metallica Prima parte Figura 1: Circuito RC in serie Consideriamo il circuito in Figura 1 dove C è un capacitore in serie con il resistore R (i valori devono essere opportunamente scelti); Vg ed Rg costituiscono rispettivamente la forza elettromotrice e la

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II  Esperienza:  26  -­‐  27  Marzo  2014    

Misura  della  costante  di  tempo  caratteristica  di  un  circuito  RC  -­  Carica  e  scarica  di  un  condensatore  

 Scopo  dell’esperienza:  misura  della  costante  di  tempo  di  un  circuito  RC  in  corrente  continua  studiando  i  processi  di  carica  e  scarica  di  un  condensatore.      

 Strumentazione:    n.     Strumento  1   Generatore  di  tensione  continua  1   Generatore  di  tensione  in  onda  quadra  1   Multimetro  digitale  (Voltmetro  e  Amperometro)  1   Cronometro  1   Oscilloscopio  1   Base  a  mille  fori  N     Resistori  N   Capacitori  1   Saldatore  1   Stagno  5     Cavi  unipolari  (conn.  Banane)  N   Morsetti  N   Fili  elettrici  1     Pinzetta  metallica    Prima  parte  

 

 Figura  1:  Circuito  RC  in  serie  

 Consideriamo  il  circuito  in  Figura  1  dove  C  è  un  capacitore  in  serie  con  il  resistore  R  (i  valori  devono  essere   opportunamente   scelti);   Vg   ed   Rg   costituiscono   rispettivamente   la   forza   elettromotrice   e   la  

resistenza   interna   di   un   generatore   di   tensione   costante.     Il   circuito   è   dotato   di   un   interruttore   che  consente  di  inserire  (1-­‐2)  o  di  cortocircuitare  (2-­‐3)  un  generatore  che  fornisce  una  tensione  continua.      Quando  si  chiude  l’interruttore  nella  posizione  (1-­‐2),  nella  maglia  scorre  una  corrente  I(t)  data  da:    

Vg    =    I(t)  (  Rg  +  R)  +  1/C  ∫I(t)dt           (1)  Ponendo:      

Vc  (t)=1/C  ∫I(t)dt             (2)  derivando  si  può  scrivere:    

C  dVc(t)/dt  =  I(t)             (3)    da  cui:  

Vg  =    C  (  Rg  +  R)  dVc(t)/dt  +  Vc  (t)           (4)      La  soluzione  generale  di  questa  equazione  è  data  da:  

Vc  (t)=  C1  exp(-­‐t/τ)  +  Vg           (5)  Dove:    

τ  =  τc  =  (R+Rg)  C      posizionando  il  contatto  su  (1-­‐2):  

𝑉! = {0                    𝑡 ≤ 0𝑉!                  𝑡 > 0  

 posizionando  successivamente  il  contatto  su  (2-­‐3):    

𝑉! = {𝑉!                      𝑡 ≤ 00                        𝑡 > 0  

                     C1  si  determina  dalle  condizioni  iniziali.    a)  Carica  del  condensatore        Vc(  0)  =  0  e  Vg=V0    

Vc  (0)=  C1  +  V0  =  0       da  cui       C1=  -­‐  V0      

Vc  (t)=  V0[1-­‐exp(-­‐t/τ)]             (6)    

   Scegliendo  opportunamente  i  valori  di  R  e  C  si  monta  il  circuito  di  Figura  1.  Si  misurano  i  valori  della  tensione  ai   capi  della   capacità  misurati   a  partire  dal  momento   in   cui   l’interruttore  viene  posto  nella  posizione  (1-­‐2)  (ovvero  quando  si  collega  il  generatore  al  circuito),  ad  intervalli  di  tempo  costanti.      Dalla  (6)  si  ha  che:    

[V0-­‐Vc  (t)]/  V0=  exp(-­‐t/τ)  da  cui:  

 ln  {[V0-­‐Vc  (t)]/  V0}  =    -­‐t/τ    che,  rappresentata  in  carta  semi-­‐logaritmica  in  funzione  del  tempo  t,  permette  di  determinare  il  valore  di  τ  dalle  rette  di  massima  e  minima  pendenza.    

b)  Scarica  del  condensatore        Vc(  0)  =  V0  e  Vg=0    τ=RC  .    Vc  (0)=  C1    =  V0       da  cui       C1=    V0      

Vc  (t)=  V0exp(-­‐t/τ)             (7)    Spostando   successivamente   l’interruttore   sulla   posizione   (2-­‐3)   (ovvero   s   collega   il   generatore   a  condensatore  carico),   si  misurano   i  valori  della   tensione  ai   capi  della  capacità  ad   intervalli  di   tempo  costanti.      Dalla  (7)  si  ha  che:    

Vc  (t)/  V0=  exp(-­‐t/τ)  da  cui:  

 ln  [Vc  (t)/  V0]  =    -­‐t/τ    che,  permette  di  determinare  nuovamente  il  valore  di  τ.    Seconda  parte      

        R  +  Rg    

 Figura  2:  Circuito  RC  in  serie  alimentato  in  onda  quadra.  

 Consideriamo   lo   schema   circuitale   rappresentato   in   Figura   2,   dove   Vg   è   la   tensione   erogata   da   un  generatore  di  tensione  ad  onda  quadra,  di  ampiezza  V0  e  periodo  T.  

Vc(t)  ={!!!                                              𝑛𝑇 ≤ 𝑡 < 𝑛𝑇 + !

!

− !!!                            𝑛𝑇 + !

!≤ 𝑡 < (𝑛 + 1)𝑇

 

Si  misura  la  tensione  ai  capi  della  capacità  C,  utilizzando  un  oscilloscopio.  Il   fronte  di  salita  dell’onda  quadra  può  essere  assimilata  all’accensione  del  generatore  di  tensione  continua,  cui  segue  la  carica  del  condensatore  (eq.  6).  Il  fronte  di  discesa,  può  essere  assimilato  allo  spegnimento  del  generatore,  cui  fa  seguito  la  scarica  del  condensatore  (eq.  7).      

La  soluzione  è  data  dalla  relazione  periodica:    

      Vc(t)  ={                

𝑉!!!−  !!

(!!!")!

!!!!!!!

                                             𝑛𝑇 ≤ 𝑡 < 𝑛𝑇 + !!

 𝑉!  !!

(!!!"!!!)!

!!!!!!!

− !!                          𝑛𝑇 + !

!≤ 𝑡 < (𝑛 + 1)𝑇

    (8)  

       a)  τ  >>T/2    L’andamento  esponenziale  si  può  approssimare  con  uno  lineare:      

Vc(t)={    −𝑉!

  !!!!!!!! !

!!− !

!= −𝑉!

!!  !!!! !

!!− !

!   =  −𝑉!

!!  !!!!!!!!!

! !! !!!

= !!!(!!!− !

!!)                              𝑛𝑇 ≤ 𝑡 < 𝑛𝑇 + !

!

 𝑉!   !!!!!!!! !

!!

− !!= 𝑉!

!!  !!!! !

!!

− !!   =  𝑉!

!!  !!!!!!!!!

! !! !!!

= !!!( !!!− !!

!)                          𝑛𝑇 + !

!≤ 𝑡 < (𝑛 + 1)𝑇

 

   

Vc(t)  ={!!!(  !!!− !

!!)                                                  𝑛𝑇 ≤ 𝑡 < 𝑛𝑇 + !

!

     !!!(   !!!− !!

!)                        𝑛𝑇 + !

!≤ 𝑡 < (𝑛 + 1)𝑇

            (9)  

 La  capacità  non  ha  il  tempo  né  di  caricarsi,  né  di  scaricarsi  completamente.  Il  modulo  della  tensione  massima  è:    

Vmax  =  V0  (T/8τ)  <<  V0          b)  τ  <<T/2    La  capacità  ha  tutto  il  tempo  di  caricarsi  e  di  raggiungere  la  tensione  del  generatore:    

Vc(t)={

 𝑉!!!−  !!

(!!!")!

!!!!!!!

≅ 𝑉!!!− 𝑒!

!!!"!                                                  𝑛𝑇 ≤ 𝑡 < 𝑛𝑇 + !

!

           𝑉!  !!

(!!!"!!!)!

!!!!!!!

− !!  ≅  𝑉! 𝑒!

(!!!"!!!)! − !

!                𝑛𝑇 + !

!≤ 𝑡 < (𝑛 + 1)𝑇

    (10)  

   c)  τ  ~T/2    Valgono  le  relazioni  generali.  

Vc_max/min={𝑉!

!!−  !!!

!!!!!≈ 0.23  𝑉!                          𝑡 =

!!

 𝑉!  !!!

!!!!!− !

!≈ −  0.23  𝑉!                          𝑡 = 𝑇

        (11)  

Verificare   sperimentalmente   tali   relazioni   utilizzando   letture   dei   valori   di   tensione  misurati   ai   capi  della   capacità   in   funzione   del   tempo,   tramite   l’oscilloscopio.   Riportare   sul   grafico   in   carta  opportunamente  scelta  gli  andamenti  (9)  e  (10)misurati  nei  casi  a)  e  b).  Verificare  la  relazione  (11)  nel  caso  c).