Misure Meccaniche Termiche Esercitazioni

Università degli Studi di Roma “La Sapienza”

Facoltà di Ingegneria Civile ed Industriale

Dipartimento di Meccanica ed Aeronautica

Corso di Laurea Magistrale in

Ingegneria Meccanica

Esercitazioni di

Misure Meccaniche e Termiche

A.A. 2011/12

Docente Studente

Prof. Roberto Steindler Daniele Cortis

2 Esercitazioni di Misure Meccaniche e Termiche

Esercitazioni di Misure Meccaniche e Termiche 3

Indice

Esercitazione n.1 (Fattori di ragguaglio) ............................................................................................................ 5

Esercitazione n.2 (Sensibilità) .......................................................................................................................... 11

Esercitazione n.3 (Determinazioni statistiche) ................................................................................................ 17

Esercitazione n.4 (Termocoppia) ..................................................................................................................... 20

Esercitazione n.5 (Lamina incastrata) .............................................................................................................. 25

Esercitazione n.6 (Circuito RC e CR) ................................................................................................................ 30

Esercitazione n.7 (Sensore LVDT e Potenziometro angolare) ......................................................................... 36

Esercitazione n.8 (Estensimetri) ...................................................................................................................... 42

Esercitazione n.9 (Accelerometri) ................................................................................................................... 45

Esercitazione n.10 (Termometri elettrici) ....................................................................................................... 49



Esercitazione n.1 (Fattori di ragguaglio)

1) Determinare i seguenti fattori di ragguaglio:

grandezza vecchia unità nuova unità (SI)

velocità lineare km/h m/s

velocità angolare giri/min rad/s

massa volumica g/cm3 kg/m3

pressione kgf/cm2 Pa

pressione mm H2O Pa

energia kWh J

coeff. trasmissione Cal/(cm2∙h) W/m2

costante universale gas l ∙ atm/(mol∙K) J/(mol∙K)

2) Calcolare la velocità di propagazione delle onde elastiche longitudinali nell’acciaio al carbonio, facendo riferimento ai valori del modulo di Young e della massa volumica; si faccia riferimento alla:

𝑐 = √𝐸/𝜌 ove E è il modulo elastico e la massa volumica.

3) Calcolare la velocità di propagazione del suono nell’aria in condizioni normali di temperatura e pressione; si faccia riferimento alla:

𝑐 = √𝛾𝑅𝑇

ove è il rapporto dei calori specifici a pressione e volume costante, R è la costante dell’aria e T è

la temperatura termodinamica.


Svolgimento Esercitazione n.1

Introduzione

Il fattore di ragguaglio 𝜏 è un numero adimensionale che permette di porre in relazione grandezze

omogenee espresse attraverso unità di misura differenti.

La misura 𝑎 di una grandezza 𝐴 si esprime come rapporto tra la grandezza stessa 𝐴 e una

grandezza della stessa classe scelta come grandezza campione o unità:

𝑎 =𝐴

𝑢

Se si sceglie una nuova unità di misura 𝑢′, omogenea con la grandezza 𝐴, il nuovo numero che

esprime la misura sarà dato da:

𝑎′ =𝐴

𝑢′

Per passare da 𝑎 ad 𝑎′ è sufficiente seguire la regola:

𝐴

𝑢′=

𝐴

𝑢∙

𝑢

𝑢′=

𝐴

𝑢∙ 𝜏 = 𝑎 ∙ 𝜏

Per le grandezze fondamentali il calcolo del fattore di ragguaglio 𝜏 è immediato, mentre per quelle

derivate si può ricavare attraverso il seguente algoritmo.

Una qualunque grandezza viene espressa mediante un equazione dimensionale in funzione delle

grandezze fondamentali 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 rispetto alle quali essa ha dimensioni 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛:

[𝐺] = [𝑋1]𝛼1 ∙ [𝑋2]𝛼2 ∙ … ∙ [𝑋𝑛]𝛼𝑛

Essendo l’unità di misura 𝑢 della grandezza 𝐺 pari a:

𝑢 = 𝑢1𝛼1 ∙ 𝑢2

𝛼2 ∙ … ∙ 𝑢𝑛𝛼𝑛

La nuova unità di misura 𝑢′ sarà:

𝑢′ = 𝑢′1𝛼1 ∙ 𝑢′

2𝛼2 ∙ … ∙ 𝑢′

𝑛𝛼𝑛

Pertanto il fattore di ragguaglio 𝜏, essendo definito come 𝜏 = 𝑢/𝑢′, sarà dato da:

𝜏 = 𝜏1𝛼1 ∙ 𝜏2

𝛼2 ∙ … ∙ 𝜏𝑛𝛼𝑛

ovvero è dato dal prodotto dei fattori di ragguaglio delle singole unità fondamentali ciascuno

elevato all’esponente che compare nell’equazione dimensionale della grandezza 𝐺.


1) Calcolo dei fattori di ragguaglio


velocità lineare km/h m/s

𝜏𝐿 =𝑢

𝑢′=

1 𝑘𝑚

1 𝑚=

1000 𝑚

1 𝑚= 103

𝜏𝑡 =𝑢

𝑢′=

1 ℎ

1 𝑠=

3600 𝑠

1 𝑠= 3,6 ∙ 103

𝜏 = 𝜏𝐿 ∙ (𝜏𝑡)−1 = 103 ∙ (3,6 ∙ 103)−1 = 3,6−1 =1

3,6


velocità angolare giri/min rad/s

𝜏𝛼 =𝑢

𝑢′=

1 𝑔𝑖𝑟𝑜

1 𝑟𝑎𝑑=

2𝜋 𝑟𝑎𝑑

1 𝑟𝑎𝑑= 2𝜋

𝜏𝑡 =𝑢

𝑢′=

1 𝑚𝑖𝑛

1 𝑠=

60 𝑠

1 𝑠= 60

𝜏 = 𝜏𝛼 ∙ (𝜏𝑡)−1 = 2𝜋 ∙ (60)−1 =2𝜋

60


massa volumica g/cm3 kg/m3

𝜏𝑚 =𝑢

𝑢′=

1 𝑔

1 𝑘𝑔=

0,001 𝑘𝑔

1 𝑘𝑔= 10−3

𝜏𝐿 =𝑢

𝑢′=

1 𝑐𝑚

1 𝑚=

0,01 𝑚

1 𝑚= 10−2

𝜏 = 𝜏𝑚 ∙ (𝜏𝐿)−3 = 10−3 ∙ (10−2)−3 = 10−3 ∙ 106 = 103



pressione kgf/cm2 Pa = N/m2

𝜏𝐹 =𝑢

𝑢′=

1 𝐾𝑔𝑓

1 𝑁=

9,81 𝑁

1 𝑁= 9,81

𝜏𝐿 =𝑢

𝑢′=

1 𝑐𝑚

1 𝑚=

0,01 𝑚

1 𝑚= 10−2

𝜏 = 𝜏𝐹 ∙ (𝜏𝐿)−2 = 9,81 ∙ (10−2)−2 = 9,81 ∙ 104


pressione mm H2O Pa

La pressione è definita da: 𝑝 = 𝜌𝑔ℎ

ℎ = 1𝑚𝑚 = 0,001 𝑚 = 10−3𝑚

𝑔 = 9,81 𝑚/𝑠2

𝜌 = 103 𝑘𝑔/𝑚3

𝑝 = 𝜌𝑔ℎ = 10−3 ∙ 9,81 ∙ 103 = 9,81 𝑃𝑎


energia kWh J

𝑘𝑊ℎ = 103 ∙ 𝑊 ∙ ℎ = 103 ∙𝐽

𝑠∙ 3600 𝑠 = 103 ∙ 3600 𝑁𝑚

𝐽 = 𝑁𝑚

𝜏𝐹 =𝑢

𝑢′=

1 𝑁

1 𝑁= 1

𝜏𝐿 =𝑢

𝑢′=

1 𝑚

1 𝑚= 1

𝜏 = 𝜏𝐹 ∙ 𝜏𝐹 ∙ (103 ∙ 3600) = 1 ∙ 1 ∙ (103 ∙ 3600) = 3,6 ∙ 106



coefficiente trasmissione Cal/(cm2∙h) W/m2

𝐶𝑎𝑙

𝑐𝑚2ℎ=

𝑘𝑐𝑎𝑙

𝑐𝑚2ℎ=

4186,8 𝐽

𝑐𝑚2ℎ

𝑊

𝑚2=

𝐽

𝑠 𝑚2

𝜏𝐿 =𝑢

𝑢′=

1 𝑐𝑚

1 𝑚=

0,01 𝑚

1 𝑚= 10−2

𝜏𝑡 =𝑢

𝑢′=

1 ℎ

1 𝑠=

3600 𝑠

1 𝑠= 3600

𝜏𝐸 =𝑢

𝑢′=

1 𝐽

1 𝐽= 1

𝜏 = 4186,8 ∙ 𝜏𝐸 ∙ (𝜏𝐿)−2 ∙ (𝜏𝑡)−1 = 4186,8 ∙ 1 ∙ (10−2)−2 ∙ (3600)−1 = 1,163 ∙ 104


costante universale gas l ∙ atm/(mol∙K) J/(mol∙K)

𝑙 𝑎𝑡𝑚

𝑚𝑜𝑙 𝐾=

1 𝑑𝑚3 ∙ 101325 𝑃𝑎

𝑚𝑜𝑙 𝐾=

10−3𝑚3 ∙ 101325 𝑁

𝑚𝑜𝑙 𝐾 𝑚2= 10−3 ∙ 101325

𝑁𝑚

𝑚𝑜𝑙 𝐾

𝐽

𝑚𝑜𝑙 𝐾=

𝑁 𝑚

𝑚𝑜𝑙 𝐾

𝜏𝐹 =𝑢

𝑢′=

1 𝑁

1 𝑁= 1

𝜏𝑚𝑜𝑙𝑒 =𝑢

𝑢′=

1 𝑚𝑜𝑙

1 𝑚𝑜𝑙= 1

𝜏𝑇 =𝑢

𝑢′=

1 𝐾

1 𝐾= 1

𝜏𝐿 =𝑢

𝑢′=

1 𝑚

1 𝑚= 1

𝜏 = 𝜏𝐹 ∙ 𝜏𝐿 ∙ (𝜏𝑚𝑜𝑙𝑒)−1 ∙ (𝜏𝑚𝑜𝑙𝑒)−1 ∙ 101,325 = 101,325


2) Velocità di propagazione delle onde elastiche longitudinali dell’acciaio al carbonio

𝐸 = 200 ∙ 109 𝑃𝑎

𝜌 = 7,86 ∙ 103 𝑘𝑔/𝑚3

𝑐 = √ 𝐸

𝜌 = √

200 ∙ 109

7,86 ∙ 103= 5044,33 𝑚/𝑠

3) Velocità di propagazione del suono nell’aria in condizioni normali di temperatura e pressione

𝛾 =𝑐𝑝

𝑐𝑝= 1,4

𝑇 = 273,15 𝐾

𝑅 =ℛ

𝑀=

8,314

0,029= 286,69

𝐽

𝑘𝑔 𝐾

( 𝑀 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑐𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙𝑙′𝑎𝑟𝑖𝑎 → 𝑀 = 0,029 𝑘𝑔

𝑚𝑜𝑙 )

𝑐 = √𝛾𝑅𝑇 = √1,4 ∙ 273,15 ∙ 286,69 = 331,11 𝑚/𝑠


Esercitazione n.2 (Sensibilità)

1) Determinare la sensibilità di un termometro a mercurio (termometro a bulbo), nel caso di volume del bulbo pari a 110 mm3, sezione del capillare pari a 0,02 mm2; per il mercurio si assuma un coefficiente di dilatazione cubica pari a 0,18·10-3 °C-1. Verificare che un incremento della sensibilità va a scapito delle altre proprietà metrologiche.

2) Un tubo di Pitot con acqua come liquido manometrico viene utilizzato per misurare la velocità dell’aria. Determinarne la sensibilità a velocità di 1 m/s, di 5 m/s di 10 m/s. Si ricorda che per un

Pitot risulta: ∆𝑝 =1

2𝜌𝑣2

3) Un termometro a semiconduttore (termistore) ha resistenza di 1000 a 0 °C e di 100 a 100°C; determinarne la sensibilità a 0 °C e a 100 °C. Si ricorda che nel termistore:

𝑅 = 𝑅0 𝑒𝛽(

1𝑇

−1𝑇0

)

4) Uno strumento digitale, con display tarato in unità di tensione, rileva oscillazioni tra 34,678 e

34,692 V; qual è l’errore di lettura?

5) Un dinamometro a molla (campo 1000N), è affetto da un errore di lettura di 10N, da un errore di isteresi di 15N, da un errore di taratura di 10N. Qual è l’errore che si commette con lo strumento? Qual è la sua classe di precisione?

6) Due blocchi di una catena di misura elettrica sono così caratterizzati: il blocco a monte ha

un’impedenza d’uscita di 100 k, quello a valle ha un’impedenza di ingresso di 20 M. Calcolare l’errore di inserzione.

7) Un manometro misura la pressione di un gas contenuto in una bombola di 20 l di volume; qual è l’errore di inserzione se l’elemento sensibile del manometro ha un volume di 40 mm3?



1) Sensibilità di un termometro a mercurio

Dati

𝑉0 = 110 𝑚𝑚3

𝐴 = 0,02 𝑚𝑚2

𝛼 = 0,18 ∙ 10−3 °𝐶−1

{ ∆𝑉 = 𝑉0𝛼 ∆𝑇

∆𝑉 = 𝐴 ∆ℎ

𝐴 ∆ℎ = 𝑉0𝛼 ∆𝑇

∆ℎ = 𝑉0𝛼 ∆𝑇

𝐴

𝑆 =∆ℎ

∆𝑇=

𝑉0𝛼 ∆𝑇

𝐴 ∆𝑇=

𝑉0𝛼

𝐴=

110 ∙ 0,18 ∙ 10−3

0,02= 0,99

𝑚𝑚

°𝐶≅ 1

𝑚𝑚

°𝐶

La sensibilità è costante in tutto il campo di misura, lo strumento presenta una curva di

graduazione lineare. E’ possibile aumentare la sensibilità dello strumento, modificando i seguenti

fattori: aumentando il valore di 𝑉0 ed 𝛼, o diminuendo il valore di 𝐴. La modifica di questi

parametri produce però degli effetti negativi sulle altre proprietà metrologiche:

1) Un aumento del volume del bulbo 𝑉0, produce un

aumento dell’errore di inserzione dello strumento

(ciò dipende dall’estensione dell’oggetto proprio della

la misurazione).

2) Un aumento del volume del bulbo 𝑉0, aumenta

l’inerzia termica dello strumento e quindi influenza

direttamente la sua rapidità.

3) Un aumento del coefficiente di dilatazione 𝛼,

presuppone un cambiamento del liquido

termometrico, che comporta di conseguente una variazione del campo di misura, poiché non tutti

i liquidi si comportano linearmente come il mercurio.

4) Una diminuzione della sezione 𝐴 del capillare, può produrre problemi di capillarità dovuti alla

viscosità del fluido, e quindi dei possibili errori di lettura.

Termometro ∆𝑻 ∆𝒉

Δh

ΔT


2) Sensibilità di un tubo di Pitot

Dati

𝜌 (𝑎𝑟𝑖𝑎) = 1,2 𝑘𝑔/𝑚3

𝑣1 = 1 𝑚/𝑠

𝑣2 = 5 𝑚/𝑠

𝑣3 = 10 𝑚/𝑠

∆𝑝 =1

2𝜌𝑣2

𝑆 =𝑑𝑝

𝑑𝑣= 𝜌𝑣

Il tubo di Pitot presenta un’alta sensibilità per alte velocità dell’aria, ed una bassa sensibilità per

basse velocità dell’aria. Lo strumento presenta una curva di graduazione parabolica.

In base ai differenti valori della velocità 𝑣 si ha:

𝑆1 = 𝜌𝑣1 = 1,2 ∙ 1 = 1,2 𝑃𝑎

𝑚/𝑠

𝑆2 = 𝜌𝑣2 = 1,2 ∙ 5 = 6,0 𝑃𝑎

𝑚/𝑠

𝑆3 = 𝜌𝑣3 = 1,2 ∙ 10 = 12,0 𝑃𝑎

𝑚/𝑠

Tubo di Pitot ∆𝒗 ∆𝒑

Δp

Δv


3) Sensibilità di un termometro a semiconduttore (Termistore)

Dati

𝑅0 = 1000 Ω (𝑇0 = 0°𝐶)

𝑅 = 100 Ω (𝑇 = 100°𝐶)

Legge non lineare al variare di T:


1𝑇

−1𝑇0

)

𝑇 e 𝑇0 sono espressi in Kelvin 𝐾:

𝑇0 = 273,15 𝐾

𝑇 = 373,15 𝐾

Ricavare 𝛽:

𝑙𝑛𝑅

𝑅0= 𝛽 (

1

𝑇−

1

𝑇0)

𝛽 =𝑙𝑛

𝑅𝑅0

1𝑇 −

1𝑇0

=𝑙𝑛

1001000

1373,15

−1

273,15

=−2,303

−0,001= 2346,93 𝐾

Le dimensioni di 𝛽 sono quelle di una temperatura.

Sensibilità:

𝑆 =𝑑𝑅

𝑑𝑇= 𝛽 ∙ (−

1

𝑇2) ∙ 𝑅0 𝑒

𝛽(1𝑇

−1𝑇0

)

𝑆(𝑇 = 273,15 𝐾) = −31,46 Ω/K

𝑆(𝑇 = 373,15 𝐾) = −1,67 Ω/K

Il termistore presenta un’alta sensibilità per le basse

temperature, ed una bassa sensibilità per alte. Lo

strumento presenta una curva di graduazione

iperbolica. La sensibilità è negativa perché la curva

di graduazione è decrescente.

Termistore ∆𝑻 ∆𝑹

ΔR

ΔT


4) Errore di lettura strumento digitale

Dati

𝑉1 = 34,678 𝑉

𝑉2 = 34,692 𝑉

𝑒 =𝑉1 − 𝑉2

2=

34,678 − 34,692

2= 0,007 𝑉

Lo strumento digitale, con display tarato in unità di tensione, ha un errore di lettura pari a 0,007 𝑉.

L’imprecisa rilevazione può essere dovuta alla presenza di rumori di fondo.

5) Errore totale dinamometro a molla e classe di precisione

Dati

Campo di misura: 𝐶 = 1000 𝑁

Errore di lettura: 휀𝑙 = 10 𝑁

Errore di isteresi: 휀𝑖 = 15 𝑁

Errore di taratura: 휀𝑡 = 10 𝑁

Errore totale dovuto all’uso dello strumento:

휀𝑇𝑂𝑇 = √∑ 휀𝑖2 = √102 + 15 + 102 = √425 = 20,62 𝑁

Il rapporto percentuale tra l’errore totale 휀𝑇𝑂𝑇 ed il campo di misura dello strumento 𝐶 fornisce la

classe di precisione dello strumento:

휀𝑇𝑂𝑇

𝐶 % =

20,62

1000 % = 0,021 % → 𝑠𝑡𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑖 𝑐𝑎𝑙𝑠𝑠𝑒 2


6) Errore di inserzione di una catena di misura elettrica

Dati

Impedenza uscita: 𝑅𝑢 = 100 𝑘Ω

Impedenza ingresso: 𝑅𝑖 = 20 𝑀Ω

𝐼 =𝐸

𝑅𝑢 + 𝑅𝑖

Δ𝑉 = 𝑅𝑖𝐼 = 𝑅𝑖 ∙𝐸

𝑅𝑢 + 𝑅𝑖

L’errore di inserzione è dato da:

휀𝑖 =𝐸 − Δ𝑉

𝐸= 1 −

Δ𝑉

𝐸= 1 −

𝑅𝑖

𝑅𝑢 + 𝑅𝑖=

𝑅𝑢

𝑅𝑢 + 𝑅𝑖=

100 ∙ 103

100 ∙ 103 + 20 ∙ 106= 0,005

L’errore di inserzione è tanto più piccolo quanto più 𝑅𝑖 è elevata rispetto ad 𝑅𝑢.

7) Errore di inserzione di un manometro

Dati

𝑉 = 20 𝑙

𝑉𝑠𝑡𝑟 = 40 𝑚𝑚3

Per un gas perfetto:

𝑝𝑉 = 𝑐𝑜𝑠𝑡

|𝑝𝑑𝑉| = |𝑉𝑑𝑝|

|𝑑𝑝

𝑝| = |

𝑑𝑉

𝑉|

L’errore di inserzione è dato da:

휀𝑖 =𝑉𝑠𝑡𝑟

𝑉=

40 𝑚𝑚3

20 𝑙=

40∙10−9 𝑚3

20∙10−3 𝑚3 =40

20∙106 = 2 ∙ 10−6

Ri

Ru

I E


Esercitazione n.3 (Determinazioni statistiche)

36 misure del diametro di un tondo forniscono i seguenti valori:

1 volta

2 volte

3 volte

6 volte

38,0 mm

39,0 mm

39,5 mm

39,6 mm

38,2 mm

39,3 mm

39,8 mm

38,6 mm

39,4 mm

40,2 mm

38,8 mm

39,7 mm

39,2 mm

39,9 mm

40,6 mm

40,0 mm

40,8 mm

40,2 mm

1) Che misura si assume per il diametro ?

2) Qual è la probabilità che la trentasettesima misura sia:

compresa nell’intervallo 39,0 – 40,2 mm ?

< 39,0 mm ?

< 38,4 mm ?

> 41,4 mm ?

3) Che intervallo si deve assumere perché l’errore sul diametro considerato sia:

< 5% ?

< 0,3% ?

4) Che errore percentuale va assunto per la sezione del tondo?



1) Misura assunta per il diametro

Per la misura del diametro si assume il valore più probabile, cioè il valor medio:

𝑑 = �̅� =∑ 𝑥𝑖

𝑛= 39,6 𝑚𝑚

2) Probabilità che la trentasettesima misura sia:

a) compresa nell’intervallo 39,0 – 40,2 mm ?

𝜎 = √∑ 휀𝑖

𝑛= √

∑ 𝜉𝑖

𝑛 − 1= √

∑(𝑥𝑖 − �̅�)

𝑛 − 1= 0,585 𝑚𝑚 ≅ 0,6 𝑚𝑚

L’intervallo [�̅� − 𝜎 ; �̅� + 𝜎] corrisponde all’intervallo [39,0 ; 40,2] quindi la probabilità che la

trentasettesima misura cada in tale intervallo è del 68%.

b) ≤ 39,0 mm ?

In questo caso, stiamo considerando gli intervalli esterni a [�̅� − 𝜎 ; �̅� + 𝜎] della curva di

distribuzione gaussiana. Quindi la probabilità che la trentasettesima misura sia ≤ 39,0 mm è del:

𝑃(≤ 39,0𝑚𝑚) =100 − 68

2= 16 %

c) ≤ 38,4 mm ?

In questo caso, stiamo considerando gli intervalli esterni a [�̅� − 2𝜎 ; �̅� + 2𝜎] della curva di

distribuzione gaussiana. Quindi la probabilità che la trentasettesima misura sia ≤ 38,4 mm è del:

𝑃(≤ 38,4𝑚𝑚) =100 − 95

2= 2,5 %

d) ≤ 41,4 mm ?

In questo caso, stiamo considerando gli intervalli esterni a [�̅� − 3𝜎 ; �̅� + 3𝜎] della curva di

distribuzione gaussiana. Quindi la probabilità che la trentasettesima misura sia ≥ 41,4 mm è del:

𝑃(≥ 41,4𝑚𝑚) =100 − 99,7

2= 0,15 %


3) Intervallo si deve assumere perché l’errore sul diametro considerato sia:

a) 휀𝑑 ≤ 5 % ?

Utilizzando i dati relativi alla distribuzione gaussiana per ±𝜎�̅�, ±2𝜎�̅� 𝑒 ± 3𝜎�̅�, si ha:

𝜎�̅� =𝜎

√𝑛=

0,6

√36= 0,1 𝑚𝑚

휀𝑑 ≤ 5 % → 𝑠𝑒 [�̅� − 2𝜎�̅� ; �̅� + 2𝜎�̅�] = [39,4 ; 39,8]

b) 휀𝑑 ≤ 0,3 % ?

Utilizzando i dati relativi alla distribuzione gaussiana per ±𝜎�̅�, ±2𝜎�̅� 𝑒 ± 3𝜎�̅�, si ha:

𝜎�̅� =𝜎

√𝑛=

0,6

√36= 0,1 𝑚𝑚

휀𝑑 ≤ 0,3 % → 𝑠𝑒 [�̅� − 3𝜎�̅� ; �̅� + 3𝜎�̅�] = [39,3 ; 39,9]

4) Errore percentuale per la sezione del tondo:

Si considera il massimo intervallo 3𝜎�̅�

휀𝑑 %(𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜) =3𝜎�̅�

�̅�=

0,3

39,6= 0,76 %

휀𝑑 %(𝑠𝑒𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒) = 2 ∙3𝜎�̅�

�̅�= 2 ∙

0,3

39,6= 1,5%


Esercitazione n.4 (Termocoppia)

E’ data una catena di misura formata da:

a) una termocoppia Cromel-Alumel di sensibilità pari a 41V/°C (sensore);

b) un amplificatore di tensione a guadagno variabile (elaboratore);

c) un oscilloscopio digitale, con possibilità di trasferire i dati memorizzati su floppy disk.

1) Determinare la costante di tempo della termocoppia imponendo in ingresso un gradino di

temperatura T = Tf – Ti ; (Tf: temperatura finale, Ti: temperatura iniziale). La temperatura istantanea dell’elemento sensibile del termometro è data da:

T(t) = Tf – (Tf-Ti)e-[(hA/mc)t] ; h è il coefficiente di scambio termico dell’elemento sensibile, A la

superficie di scambio, m la massa, c il calore specifico; posto = mc/hA (costante di tempo),

si può scrivere T(t) = Tf – (Tf - Ti)e-t/; può essere determinato sperimentalmente come sottotangente della curva di risposta.

2) Se si è determinato con Ti > Tf , si ripeta la determinazione con Ti < Tf.

3) Si determinino i valori da attribuire a λ nei due casi; si confrontino i due risultati e si giustifichino eventuali differenze.

4) Sempre con riferimento al caso Ti > Tf , (gradino caldo freddo), si calcoli il tempo di risposta nell’ipotesi di un errore dinamico del 5%, del 10 %, del 30%; si determini la banda passante (in termini di frequenza), nell’ipotesi di un errore dinamico del 5%, del 10%, del 30%.

Acqua calda

Acqua fredda

amplificatore oscilloscopio Giunto

caldo

Giunto

freddo

Floppy disk



1) Determinazione della costante di tempo ( Ti > Tf )

Per la determinazione della costante di tempo si procede sperimentalmente tramite il calcolo

della sottotangente della curva di risposta nel caso di Ti > Tf (gradino caldo → freddo). La parte del

grafico presa in considerazione per il calcolo di è la seconda, poiché il primo tratto della curva è

influenzato dal passaggio in aria della termocoppia.

In totale sono state eseguite cinque misurazioni.

Di seguito si riporta a titolo di esempio uno dei grafici relativi alla curva di risposta.

Per le cinque curve di risposta analizzate si sono ottenuti sperimentalmente i seguenti valori

Costante di tempo ( Ti > Tf )

121 ms

154 ms

131 ms

119 ms

125 ms

m 130 ms

14 ms


2) Determinazione della costante di tempo ( Ti < Tf )

Per la determinazione della costante di tempo si procede sperimentalmente tramite il calcolo

della sottotangente della curva di risposta nel caso di Ti < Tf (gradino freddo → caldo).

In totale sono state eseguite cinque misurazioni.

Di seguito si riporta a titolo di esempio uno dei grafici relativi alla curva di risposta.

Per le cinque curve di risposta analizzate si sono ottenuti sperimentalmente i seguenti valori di

Costante di tempo ( Ti < Tf )

118 ms

125 ms

114 ms

135 ms

136 ms

m 126 ms

10 ms


3) Analisi dei valori di determinati sperimentalmente

Dall’analisi dei dati sperimentali si evince come i valori di nei due casi, gradino caldo → freddo,

e freddo → caldo, siano di poco differenti tra loro.

Tali misurazioni risentono sicuramente di una approssimazione grafica nel tracciamento delle

tangenti alle curve per la determinazione del fattore e di vari disturbi come il rumore di fondo

presente all’atto della rilevazione del segnale.

Il fatto che il valore di nel caso di gradino caldo → freddo venga più elevato che nel caso di

gradino freddo → caldo è però fisicamente confermato dalla dipendenza dalla temperatura del

coefficiente di scambio termico h=f(T): risulta quindi maggiore per l’acqua “calda” rispetto a quello

dell’acqua “fredda”.

4) Calcolo del tempo di risposta e della banda passante nel caso Ti > Tf (gradino caldo → freddo).

Nell’ipotesi di un errore dinamico del 5%, del 10 % e del 30% si determina il tempo di risposta tr

cioè il tempo necessario ad avere per la 𝑦(𝑡) uno scostamento minore di ∆𝑦 fissato.

Di seguito si riporta a titolo di esempio uno dei grafici relativi alla curva di risposta, in cui nel caso di gradino caldo → freddo, sono stati eliminati i punti relativi al passaggio in aria della termocoppia che non interessano la nostra analisi.


Stabilito un certo errore dinamico è possibile calcolare il tempo di risposta come segue:

𝑦 = 𝑦0𝑒−𝑡𝜆 𝑠𝑖 𝑟𝑖𝑐𝑎𝑣𝑎 → 𝒕𝒕𝒓 = −𝝀 ∙ 𝐥𝐧 (

𝒚

𝒚𝟎) ; 𝑑𝑜𝑣𝑒 𝜆 = 130 𝑚𝑠

𝜺𝒅 𝒚/𝒚𝟎 𝒕𝒕𝒓 (ms) 5% 0,05 390

10% 0,10 300

30% 0,30 157

Per il calcolo della banda passante (in termini di frequenza), nell’ipotesi di un errore dinamico del 5%, del 10% e del 30%, si procede come segue:

- attraverso la relazione:

𝐴 =1

√1 + 𝜔2𝜆2 𝑠𝑖 𝑟𝑖𝑐𝑎𝑣𝑎 → 𝝎 = √

𝟏 − 𝑨𝟐

𝑨𝟐𝝀𝟐

dove 𝐴 varia a seconda dell’errore dinamico (𝑒𝑠: 5% → 𝐴 = 1 − 0,95), e 𝜆 è il valore calcolato sperimentalmente nel caso di gradino caldo → freddo.

- si converte il valore di 𝜔 in termini di frequenza:

𝑓 =𝜔

2𝜋

- si ottiene la banda passante.

𝜺𝒅 𝑨 𝝎 (rad/s) 𝒇 (s-1) Banda passante

5% 0,95 2,53 0,4 [0 – 0,4 Hz]

10% 0,90 3,73 0,6 [0 – 0,6 Hz]

30% 0,70 7,85 1,3 [0 – 1,3 Hz]


Esercitazione n.5 (Lamina incastrata)

E’ data una catena di misura formata da:

a) un estensimetro elettrico a resistenza (sensore) applicato su una lamina incastrata in acciaio al carbonio di lunghezza l=300mm, larghezza b=30mm, spessore h=4mm.

b) un ponte di Wheatstone con amplificatore (condizionatore o elaboratore di segnale)

c) un oscilloscopio digitale (strumento terminale)

1) Applicando all’estremo libero della lamina masse di 1kg, 2kg, 5kg, si determinino sperimentalmente i parametri caratteristici del dispositivo del 2° ordine massa-molla (fn e ξ). Si effettui la determinazione anche nel caso di lamina scarica.

2) Si confronti nel caso di m=2kg (media dei risultati dei singoli componenti la squadra), il valore sperimentale della frequenza di risonanza (fn=ωn/2π) con quello teorico

3/32

1/

2

1mlEImkf n

e si giustifichino gli eventuali scostamenti.

3) Si valuti, sempre in questo caso la precisione dei risultati trovati.

4) Con riferimento a due masse m1 e m2 diverse, si verifichi la 1

2

2

1

m

m

f

f ; si osservi che la stessa

relazione può essere utilizzata per trovare la massa m0 che, a lamina scarica, può essere considerata concentrata all’estremità della lamina per caratterizzarla da un punto di vista dinamico; si confronti pertanto m0 con la massa della lamina.

Si ricorda che f0 e si determinano sperimentalmente a partire dalla:

y(t) = yo e-ωnξt [cosωot + (ωnξ/ωo)senωot] 2

0 1 nff ; 2

1 12ln

n

n

A

A

5) Nel caso di m=2kg, trascurando lo smorzamento, si determini la banda passante ammettendo un

errore dinamico del 5%, 10%, del 30%.



1) Determinazione dei parametri caratteristici del dispositivo (𝒇𝒏 e 𝝃)

Per determinare sperimentalmente 𝑓𝑛 e 𝜉 si procede come segue:

- attraverso il grafico delle oscillazioni smorzate si rileva il periodo T0=2π/ω0

- sempre attraverso il grafico delle oscillazioni smorzate si determina l’ampiezza di due

oscillazioni successive, ed attraverso il decremento logaritmico si ricava 𝜉:

𝛿 = 𝑙𝑛 (𝐴𝑛

𝐴𝑛+1) =

2𝜋𝜉

√1 − 𝜉2 → 𝝃 = √

𝜹𝟐

𝜹𝟐 + 𝟒𝝅

- una volta noti 𝜉 ed ω0 è possibile risalire alle pulsazioni delle oscillazioni non smorzate ωn e

quindi alla frequenza 𝑓𝑛:

𝜔𝑛 =𝜔0

√1 − 𝜉2 ; 𝑓𝑛 =

2𝜋

𝜔𝑛

Massa T0 (s) ω0 (rad/s) f0 (1/s) δ ξ ωn (rad/s) fn (1/s)

0 kg 0,029 216,552 34,483 0,154 0,043 216,756 34,515

1 kg 0,115 54,609 8,696 0,123 0,035 54,642 8,701

2 kg 0,159 39,497 6,289 0,070 0,020 39,505 6,291

5 kg 0,247 25,425 4,049 0,058 0,016 25,429 4,049

Dai risultati si evince che la frequenza delle oscillazioni non smorzate è pari a quella delle

oscillazioni smorzate, e ciò è dovuto al basso valore assunto dal coefficiente di smorzamento 𝜉 che

può essere considerato trascurabile anche nel calcolo del decremento logaritmico.

Il basso valore del coefficiente di smorzamento 𝜉 (dell’ordine dei centesimi) è dovuto al fatto che il

dispositivo di misura è privo di uno smorzatore fisico e l’unico smorzamento presente è quello

dovuto all’attrito interno della lamina metallica. In particolare si nota che all’aumentare della

massa presente sulla lamina, il coefficiente di smorzamento 𝜉 diminuisce.

In particolare nel caso di m=5kg le oscillazioni della lamina tendono ad essere permanenti, quindi

non smorzate.


Di seguito si riporta a titolo di esempio il grafico delle oscillazioni per la lamina scarica:

2) e 3) Confronto della frequenza di risonanza 𝒇𝒏 con il valore teorico nel caso di m=2kg

Si confronta ora il valore della frequenza di risonanza sperimentale 𝑓𝑛 con quello del caso teorico

calcolato attraverso la seguente formulazione:

𝑓𝑛 = 1

2𝜋√

𝑘

𝑚 =

1

2𝜋√

3𝐸𝐼

𝑚𝑙3

Per la massa si è considerato il caso di 2kg e per il calcolo del momento d’inerzia i seguenti valori:

𝑙 = 300 𝑚𝑚 = 0,3 𝑚

𝑏 = 30 𝑚𝑚 = 0,03 𝑚

ℎ = 4 𝑚𝑚 = 0,004 𝑚

𝐼 = 1

12ℎ3𝑏 = 1,6 ∙ 10−10 𝑚4

Per il modulo di Young è stato preso quello standard dell’acciaio: 𝐸 = 200 ∙ 109 𝑃𝑎


Dal precedente calcolo si è ottenuto:

Massa fn (sper.) fn (teor.) Δ fn

2 kg 6,291 6,711 0,420

Il leggero scostamento verificatosi tra le due situazioni, sperimentale e teorico, è dovuto in parte

all’approssimazione del calcolo grafico per la determinazione del periodo T0 e del decremento

logaritmico 𝛿 sulle curve di risposta dello strumento, ed alla presenza del rumore di fondo

presente all’atto della rilevazione del segnale.

4) Calcolo della massa m0 a lamina scarica

Come primo passaggio, con riferimento a due masse m1 ed m2, si verifica la seguente relazione:

𝜔 = √ 𝑘

𝑚 → 𝑓 =

1

2𝜋√

𝑘

𝑚 →

𝒇𝟏

𝒇𝟐= √

𝒎𝟐

𝒎𝟏

Considerando:

𝑚1 = 2𝑘𝑔 𝑓1 = 6,291 𝑠−1

𝑚2 = 5𝑘𝑔 𝑓2 = 4,049 𝑠−1

Si ottiene dalla precedente relazione:

𝑓1

𝑓2=

6,291

4,049= 1,554 𝑚𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 √

𝑚2

𝑚1 = √

5

2 = 1,581

Tale relazione può essere utilizzata per calcolare la massa m0 che, a lamina scarica, può essere

considerata all’estremità della lamina.

𝑓0

𝑓2= √

𝑚2 + 𝑚0

𝑚0 𝑠𝑖 𝑟𝑖𝑐𝑎𝑣𝑎 → 𝑚0 =

𝑚2 ∙ 𝑓22

𝑓02 − 𝑓2

2 =5 ∙ 4,0492

34,5152 − 4,0492= 0,070 𝑘𝑔


5) Calcolo della banda passante per m=2kg (trascurando lo smorzamento) con un errore

dinamico del 5%, del 10% e del 30%

Per il calcolo della banda passante (trascurando lo smorzamento), nell’ipotesi di un errore dinamico del 5%, del 10% e del 30%, si procede come segue:

- attraverso la relazione:

𝐴 =1

√(1 − 𝑢2)2 + (2𝜉𝑢)2 𝑡𝑟𝑎𝑠𝑐𝑢𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜉 → 𝑨 =

𝟏

√(𝟏 − 𝒖𝟐)𝟐 ; 𝑑𝑜𝑣𝑒 𝑢 =

𝜔

𝜔𝑛

dove 𝐴 varia a seconda dell’errore dinamico (𝑒𝑠: 5% → 𝐴 = 1,05)

- si ricava il valore di 𝑢 e di conseguenza il valore di 𝜔:

𝑢 = √𝐴 − 1

𝐴 ; 𝜔 = 𝑢 ∙ 𝜔𝑛 ; 𝑑𝑜𝑣𝑒 𝑝𝑒𝑟 2𝑘𝑔 𝜔𝑛 = 39,505 𝑟𝑎𝑑/𝑠

- quindi si ottiene la banda passante:

𝜺𝒅 𝑨 𝒖 𝝎 (rad/s) 𝒇 (s-1) Banda passante

5% 1,05 0,218 8,612 1,371 [0 – 1,4 Hz]

10% 1,10 0,302 11,931 1,899 [0 – 1,9 Hz]

30% 1,30 0,480 18,962 3,018 [0 – 3,0 Hz]


Esercitazione n.6 (Circuito RC e CR)

Sono dati un circuito RC e un circuito CR costituiti dagli stessi componenti.

Utilizzando due canali di un oscilloscopio digitale, si studino i comportamenti dei circuiti RC e CR. Allo scopo si colleghino i due circuiti a un generatore di segnali che mette a disposizione Vi(t) di forma, ampiezza e frequenza variabili; si visualizzino sullo schermo dell’oscilloscopio la Vi(t) e la Vu(t).

1) Si determinano nei due casi, sulla base dei rilevamenti dei singoli componenti della squadra, la

frequenza caratteristica fc = 1/2RC e la relativa precisione.

2) In che campo di frequenze il circuito RC funziona da passa basso (PB), e in che campo può funzionare da integratore? Si visualizzi un caso di funzionamento da integratore con segnale non sinusoidale.

3) In che campo di frequenze il circuito CR funziona da passa alto (PA) e in che campo può funzionare

da derivatore? Si visualizzi un caso di funzionamento da derivatore con segnale non sinusoidale.

4) Quali sono i limiti alla frequenza di un segnale a gradini perché il circuito RC funzioni da passa basso? (si considerino per il segnale la fondamentale, la III° armonica, la V° armonica)

5) Quali sono i limiti alla frequenza di un segnale a gradini perché il circuito CR funzioni da passa alto? (si considerino per il segnale la fondamentale, la III° armonica, la V° armonica)

6) Quali sono i limiti alla frequenza di un segnale a gradini perché il circuito RC funzioni da integratore? (si considerino per il segnale la fondamentale, la III° armonica, la V° armonica)

7) Quali sono i limiti alla frequenza di un segnale a gradini perché il circuito CR funzioni da derivatore? (si considerino per il segnale la fondamentale, la III° armonica, la V° armonica)

R

C Vi Vu

R

C

Vu Vi



1) Frequenza caratteristica fc

Il circuito RC e CR sono dispositivi del 1° ordine con costante di tempo λ=RC, sono valide quindi le

seguenti relazioni:

Circuito RC

𝐴 =𝑉𝑢

𝑉𝑖=

1

√1 + 𝜔2𝜆2 ; 𝜙 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(−𝜔𝜆)

Circuito CR

𝐴 =𝑉𝑢

𝑉𝑖=

𝜔𝜆

√1 + 𝜔2𝜆2 ; 𝜙 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (

1

𝜔𝜆)

In entrambi i casi vengono determinati sperimentalmente attraverso i grafici ottenuti il periodo T0

e il rapporto tra le ampiezze del segnale in uscita e del segnale in ingresso A:

-1,50E+00

-1,00E+00

-5,00E-01

0,00E+00

5,00E-01

1,00E+00

1,50E+00

0

1,0

0E-

02

2,0

0E-

02

3,0

0E-

02

4,0

0E-

02

5,0

0E-

02

6,0

0E-

02

7,0

0E-

02

8,0

0E-

02

9,0

0E-

02

1,0

0E-

01

CH2

CH3

Circuito RC - Filtro passa bassoV

t


Per il circuito RC abbiamo:

𝜔 =2𝜋

𝑇0=

2𝜋

0,98 ∙ 10−2= 641 𝑟𝑎𝑑/𝑠 ; 𝐴 = 0,70

𝜆 = √1 − 𝐴2

𝐴2𝜔2= 0,0016 𝑠 ≅ 1,6 𝑚𝑠 ; 𝜙 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(−𝜔𝜆) = 0,79 𝑟𝑎𝑑 ≅ 46°

Quindi la frequenza caratteristica è pari a:

𝑓𝑐 =1

2𝜋𝜆= 100 𝐻𝑧

Per il circuito CR abbiamo:

𝜔 =2𝜋

𝑇0=

2𝜋

0,10 ∙ 10−2= 613 𝑟𝑎𝑑/𝑠 ; 𝐴 = 0,68

𝜆 = √−𝐴2

𝜔2(𝐴2 − 1)= 0,0015 𝑠 ≅ 1,5 𝑚𝑠 ; 𝜙 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (

1

𝜔𝜆) = 0,82 𝑟𝑎𝑑 ≅ 47°

Quindi la frequenza caratteristica è pari a:

𝑓𝑐 =1

2𝜋𝜆= 105,2 𝐻𝑧

Paragonando i risultati alla frequenza teorica di 100 Hz, l’errore commesso nella determinazione della 𝑓𝑐 è al massimo del 5%, dovuto all’approssimazione grafica nel calcolo di T0 ed A.

-1,50E+00

-1,00E+00

-5,00E-01

0,00E+00

5,00E-01

1,00E+00

1,50E+000

0,0

05

0,0

1

0,0

15

0,0

2

0,0

25

0,0

3

0,0

35

0,0

4

0,0

45

0,0

5

CH2

CH3

Circuito CR - Filtro passa alto (PA)V

t


2) Circuito RC - Funzionamento da passa basso (PB)

In corrispondenza della frequenza critica 𝑓𝑐 , ovvero alla pulsazione 𝜔 = 1/𝑅𝐶, si ha:

𝐴 = 0,7 ; 𝜙 = 𝜋/4

Per pulsazioni minori l’attenuazione e lo sfasamento sono più bassi, in particolare per 𝜔 → 0 si ha:

𝐴 → 1 ; 𝜙 → 0

Pertanto il circuito RC può considerarsi un filtro passo basso (PB) con frequenza di taglio pari

proprio ad 𝑓𝑐.

Con una pulsazione 𝜔 ≫ 1/𝑅𝐶, si ha → 𝐴 = 1/𝑗𝜔𝑅𝐶

Ed il circuito si comporta come un integratore, cioè il segnale di uscita è proporzionale all’integrale

del segnale in ingresso.

Di seguito si riporta un caso di funzionamento da integratore con segnale non sinusoidale.

-1,50E+00

-1,00E+00

-5,00E-01

0,00E+00

5,00E-01

1,00E+00

1,50E+00

0,0

0E+

00

5,0

0E-

04

1,0

0E-

03

1,5

0E-

03

2,0

0E-

03

2,5

0E-

03

3,0

0E-

03

3,5

0E-

03

4,0

0E-

03

4,5

0E-

03

5,0

0E-

03

CH2

CH3

RC - filtro passa basso (PB)Funzionamento da integratore con onda quadraV

t


3) Circuito CR - Funzionamento da passa alto (PA)

In corrispondenza della frequenza critica 𝑓𝑐 , ovvero alla pulsazione 𝜔 = 1/𝑅𝐶, si ha:

𝐴 = 0,7 ; 𝜙 = 𝜋/4

Per pulsazioni maggiori l’attenuazione e lo sfasamento sono più bassi, in particolare per 𝜔 → ∞ si

ha:

𝐴 → 1 ; 𝜙 → 0

Pertanto il circuito CR può considerarsi un filtro passo alto (PA) con frequenza di taglio pari proprio

ad 𝑓𝑐 .

Con una pulsazione 𝜔 ≪ 1/𝑅𝐶, si ha → 𝐴 = 𝑗𝜔𝑅𝐶

ed il circuito si comporta come un derivatore, cioè il segnale di uscita è proporzionale alla derivata

del segnale in ingresso.

Di seguito si riporta un caso di funzionamento da derivatore con segnale non sinusoidale.

-2,00E+00

-1,50E+00

-1,00E+00

-5,00E-01

0,00E+00

5,00E-01

1,00E+00

1,50E+00

2,00E+00

2,50E+00

0

0,0

5

0,1

0,1

5

0,2

0,2

5

0,3

0,3

5

0,4

0,4

5

0,5

CH2

CH3

CR - filtro passa alto (PA)Funzionamento da derivatore con onda quadraV

t


4) Limiti di frequenza di un segnale a gradini per cui il circuito RC funzioni da PB

Affinché il circuito RC funzioni da passa basso per un segnale a gradini, in base alla considerazioni

dei punti precedenti i limiti di frequenza sono:

𝑓 ≤ 𝑓𝑐 ≤ 100 𝐻𝑧

5) Limiti di frequenza di un segnale a gradini per cui il circuito CR funzioni da PA

Affinché il circuito RC funzioni da passa basso per un segnale a gradini, in base alla considerazioni


𝑓 ≥ 𝑓𝑐 ≥ 100 𝐻𝑧

6) Limiti di frequenza di un segnale a gradini per cui il circuito RC funzioni da integratore

Affinché il circuito RC funzioni da integratore per un segnale a gradini, in base alla considerazioni


𝜔 ≥10

𝑅𝐶=

10

𝜆= 6250 𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝑓 ≥ 𝜔

2𝜋≥ 1 𝑘𝐻𝑧

7) Limiti di frequenza di un segnale a gradini per cui il circuito CR funzioni da derivatore

Affinché il circuito CR funzioni da derivatore per un segnale a gradini, in base alla considerazioni


𝜔 ≤0,1

𝑅𝐶=

0,1

𝜆= 66,6 𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝑓 ≤ 𝜔

2𝜋≤ 10 𝐻𝑧

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

1,25

0 1 2 3 4 5 6

u

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

1,25

0 1 2 3 4 5 6

Vu/Vi

u


Esercitazione n.7 (Sensore LVDT e Potenziometro angolare)

1) Determinare a intervalli di 1 mm, la curva di taratura di un LVDT; utilizzare allo scopo un

dispositivo tipo palmer. Un’apposita centralina (elaboratore), provvede ad alimentare il primario e

a raddrizzare e ad amplificare l’uscita del secondario, inviandola a un voltmetro digitale

(terminale).

Determinare il campo di misura del sensore facendo riferimento al tratto lineare della curva

rilevata; calcolare in corrispondenza la sensibilità del dispositivo.

2) Determinare a intervalli di 20°, la curva di taratura di un sensore angolare di tipo

potenziometrico; utilizzare allo scopo un settore circolare graduato. Alimentare il circuito con un

alimentatore stabilizzato (10 V), e utilizzare un voltmetro digitale per rilevare il segnale uscente.

Determinare la sensibilità del sensore, con riferimento alla retta interpolante, e valutare

l’attendibilità dell’interpolazione stessa (Pearson).



1) Sensore induttivo LVDT

Al fine di tarare il sensore induttivo LVDT si procede assegnando

ciclicamente degli spostamenti noti attraverso un palmer centesimale

collegato all’elemento mobile del sensore e rilevando la differenza di

potenziale in uscita attraverso un voltmetro digitale.

Iniziando il procedimento di taratura dallo zero del palmer

centesimale, a cui corrisponde una certa tensione sul voltmetro, si

registrano le tensioni corrispondenti in uscita al sensore LVDT in

relazione a ciascun avanzamento di 1 mm, fino ad arrivare sul palmer

ad un massimo di 20 mm.

I risultati vengono riportati nella seguente tabella ed attraverso il seguente grafico:

s (mm) tensione (V)

0 10,834

1 10,170

2 9,380

3 8,477

4 7,494

5 6,447

6 5,557

7 4,237

8 3,100

9 1,944

10 0,792

11 -0,362

12 -1,510

13 -2,647

14 -3,763

15 -4,851

16 -5,907

17 -6,923

18 -7,885

19 -8,762

20 -9,551

Per determinare il campo di misura del sensore facendo riferimento al tratto lineare della curva

rilevata, si procede come segue:

- si eliminano i tratti non lineari della curva ottenuta, in particolare il tratto iniziale (primi 5

punti) ed il tratto finale (ultimi 3 punti)

Tensione V in funzione dello spostamento Δs V

Δs


- si calcola il coefficiente di correlazione al fine di verificare l’ipotesi di linearità (𝑟 = ±1) tra

le due variabili in considerazione (V e s)

Di seguito si riporta il grafico della curva senza i tratti non lineari.

Per quanto riguarda il calcolo del coefficiente di correlazione si ha:

𝑟 =𝜎𝑥𝑦

𝜎𝑥 ∙ 𝜎𝑦= −0,99 ≅ −1 (𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑠𝑖 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟𝑖𝑡à 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑎)

dove 𝜎𝑥 e 𝜎𝑦 sono rispettivamente la deviazione standard di V e s, mentre 𝜎𝑥𝑦 è la loro

covarianza:

Si conclude quindi che il campo lineare di misura del sensore LVDT è compreso nell’intervallo

[6 ; 17] mm ed il campo di misura si estende quindi per 11 mm.

Si procede ora attraverso il metodo dei minimi quadrati all’individuazione della retta che meglio

interpola il tratto lineare considerato.

Avendo posto:

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑐𝑜𝑛 𝑎 =𝜎𝑥𝑦

𝜎𝑥2

𝑒 𝑏 = �̅� − 𝑎�̅�

Si ottiene:

𝑦 = −1,07 𝑥 + 11,5

Tensione V in funzione dello spostamento Δs V

Δs


Infine per il calcolo della sensibilità dello strumento in corrispondenza del tratto lineare si fa

riferimento alla retta interpolatrice determinata con il metodo dei minimi quadrati, ed in

particolare al suo coefficiente angolare 𝑎 :

𝑆 =𝑑𝑉

𝑑𝑠= 1,07 𝑉/𝑚𝑚

2) Potenziometro angolare

Per determinare la curva di taratura di un sensore angolare di tipo

potenziometrico, si procede dividendo il settore circolare del

potenziometro in intervalli di 20° ciascuno. Successivamente per ogni

intervallo viene effettuata una misurazione, per un totale di 18 misure

comprese tra

0° e 360°.

Ruotando l’indicatore sul settore circolare viene a variare la lunghezza

del tratto resistivo, variando di conseguenza la tensione in uscita. In

questo caso la variazione di resistenza è proporzionale alla posizione

angolare.

Durante le misurazioni il sensore potenziometrico è stato alimentato con una tensione fissa e nota

di 10V. I dati sperimentali vengono riportati nella seguente tabella ed attraverso il grafico:

alimentazione : 10V

angolo (°) tensione (V)

0 7,627

20 7,074

40 6,492

60 5,916

80 5,350

100 4,782

120 4,213

140 3,638

160 3,071

180 2,504

200 1,927

220 1,353

240 0,774

260 0,210

280 9,911

300 9,356

320 8,773

340 8,202

360 7,638


Dall’andamento del grafico si nota una discontinuità, la quale è dovuta all’interruzione del ramo

resistivo del settore circolare. Al fine di procedere al calcolo della sensibilità attraverso la retta

interpolante i dati sono stati traslati i punti ottenuti successivi alla discontinuità compresi tra i 280°

ed i 360°.

0

2

4

6

8

10

12

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380

Tensione V in funzione dello spostamento angolare

0

2

4

6

8

10

12

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340

Tensione V in funzione dello spostamento angolareV

° gradi

V

° gradi



interpola il tratto lineare considerato.

Avendo posto:


𝜎𝑥2

𝑒 𝑏 = �̅� − 𝑎�̅�

dove 𝜎𝑥 e 𝜎𝑦 sono rispettivamente la deviazione standard di V e della variazione angolare in gradi,

mentre 𝜎𝑥𝑦 è la loro covarianza:

Si ottiene quindi:

𝑦 = −0,029 𝑥 + 9,92

Infine per il calcolo della sensibilità dello strumento si fa riferimento alla retta interpolatrice

determinata con il metodo dei minimi quadrati, ed in particolare al suo coefficiente angolare 𝑎 :

𝑆 =𝑑𝑉

𝑑𝑠= 0,029 𝑉/ ° 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 = 1,66 𝑉/𝑟𝑎𝑑

Per quanto riguarda l’attendibilità dell’interpolazione si procede al calcolo del coefficiente di

correlazione:

𝑟 =𝜎𝑥𝑦

𝜎𝑥 ∙ 𝜎𝑦= −0,99 ≅ −1 (𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑠𝑖 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟𝑖𝑡à 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑎)


Esercitazione n.8 (Estensimetri)

Su una lamina incastrata (sez.: 30x4 mm2), a 200 mm dall'estremo libero sono applicati, sulle facce

opposte, due estensimetri identici. I due estensimetri hanno resistenza di base

R1 = R2 = 120 e fattore di taratura F=2.

Mediante una centralina estensimetrica si completi il ponte con resistenze R3 = R4 = 350 , lo si

alimenti con tensione non superiore a 2 V, lo si bilanci a lamina scarica. Collegata la centralina a un

voltmetro digitale, si effettui la calibrazione della catena di misura inserendo in parallelo a R3 o R4

una resistenza di calibrazione Rcal= 175 k. Determinata la 휀𝑐𝑎𝑙:

휀𝑐𝑎𝑙 = ± 1

𝐹𝐴∙

𝑅3

𝑅3 + 𝑅𝑐𝑎𝑙

(A è il fattore di ponte), si vari il guadagno dell’amplificatore in modo che risulti 1 mV = 1 m/m.

Si applichino all’estremità della lamina masse crescenti (1kg, 2kg, 5kg), si determinino le

deformazioni sperimentali 휀𝑠𝑝 e, note le sollecitazioni teoriche =Mf/W, si calcoli il modulo di

Young E = /.

Si verifichi che il valore trovato sia compreso nel campo E = 200 10 GPa; si discutano eventuali

scostamenti dal valore teorico.



Per rilevare le deformazioni della lamina

incastrata vengono applicano due estensimetri

identici sulle facce opposte della lamina (Fattore

di ponte A=2), con lo scopo di compensare

eventuali effetti dovuti a variazioni di

temperatura e ad eventuali forze normali.

Il tutto è collegato ad una centralina

estensimetrica che completa il ponte di Wheastone, con le opportune resistenze a formare i

quattro rami. Il ponte viene alimentato a 2 V e bilanciato a lamina scarica.

La successiva operazione è la calibrazione della catena di misura, inserendo in parallelo ad R3 una

resistenza di calibrazione, tale da provocare una deformazione fittizia di calibrazione:

휀𝑐𝑎𝑙 = ± 1

𝐹𝐴∙

𝑅3

𝑅3 + 𝑅𝑐𝑎𝑙=

1

2 ∙ 2∙

350

350 + 175 ∙ 103= 500 m/m

Infine si varia il guadagno dell’amplificatore sulla centralina estensimetrica al fine che risulti

1 mV = 1 m/m, in modo tale da visualizzare sul display del voltmetro digitale direttamente il

valore della deformazione ottenuta.

Applicando all’estremità della lamina le masse crescenti (1kg, 2kg, 5kg), si determinino le

deformazioni sperimentali 휀𝑠𝑝 riportate nella seguente tabella:

Massa (kg) Deformazione 𝜺𝒔𝒑 (𝐦/𝐦)

0 0

1 128

2 257

5 649

Le sollecitazione teoriche sono date da =Mf/W:

Massa (kg) Forza Peso (N) Momento Flettente (Nm) Sollecitazione (MPa)

0 0,00 0,00 0,00

1 9,81 1,96 24,53

2 19,62 3,92 49,05

5 49,05 9,81 122,63

Dove:

𝑊 = 1

6𝑏ℎ2 = 8 ∙ 10−8 𝑚3 ; 𝑀𝑓 = 𝑃𝐿

𝑏 = 0,03 𝑚 ; ℎ = 0,004 𝑚 ; 𝐿 = 0,2 𝑚



interpola il tratto considerato (sollecitazione - deformazione):

Avendo posto:


𝜎𝑥2

𝑒 𝑏 = �̅� − 𝑎�̅�

dove 𝜎𝑥 e 𝜎𝑦 sono rispettivamente la deviazione standard della sollecitazione della deformazione,

mentre 𝜎𝑥𝑦 è la loro covarianza:

Si ottiene quindi:

𝑦 = 0,190 𝑥 + 0,049 (𝑎 = 0,190 𝑀𝑃𝑎 𝑚

𝑚 ; 𝑏 = 0,049 𝑀𝑝𝑎)

Il coefficiente angolare della retta interpolatrice è pari al modulo di Young E e risulta essere pari a:

𝐸 = 190 𝐺𝑃𝑎

Per quanto riguarda la differenza tra in valore del modulo di Young determinato e quello teorico di

un acciaio (200 GPa), è imputabile ad errori effettuati durante il processo di misura,

principalmente quello di isteresi meccanica applicando all’estremità della lamina le masse via via

crescenti, in ogni caso il valore calcolato rientra nel campo E = 200 10 GPa.

Per quanto riguarda l’attendibilità dell’interpolazione si procede al calcolo del coefficiente di

correlazione:

𝑟 =𝜎𝑥𝑦

𝜎𝑥 ∙ 𝜎𝑦= 0,99 ≅ 1 (𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑠𝑖 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟𝑖𝑡à 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑎)


Esercitazione n.9 (Accelerometri)

Ad una lamina incastrata viene imposta, mediante un eccitatore, un’oscillazione di caratteristiche

note; allo scopo, un generatore di segnali è collegato a un amplificatore di potenza che alimenta

l’eccitatore.

Sulla lamina sono posti due accelerometri, uno sull’incastro, l’altro sull’estremo libero; le

sensibilità sono pari a 1,008 pC/(ms-2), e 0,314 pC/(ms-2); gli accelerometri sono collegati a due

amplificatori di carica (assemblati in un’unica centralina), che amplificano i segnali entranti e sono

in grado di integrarli due volte; i segnali uscenti dagli amplificatori di carica sono visualizzati da un

oscilloscopio digitale, sia in funzione del tempo, sia in modalità X,Y.

Si invii all’eccitatore un segnale sinusoidale; se ne faccia variare la frequenza; si confrontino i

segnali degli accelerometri, dopo doppia integrazione; si determinino la frequenza di risonanza

della lamina (sfasamento pari a π/2), e il coefficiente di smorzamento.

Si invii all’eccitatore un’onda quadra e se ne valutino gli effetti; si spieghi, in particolare, perché si

osserva una diminuzione del valore della frequenza (o delle frequenze!), di risonanza nel passaggio

da onda sinusoidale a onda quadra; si ricorda, al riguardo che un’onda quadra, sviluppata in serie

di Fourier, dà luogo soltanto ad armoniche dispari (fondamentale di frequenza f, successive

armoniche di frequenza 3f, 5f, ecc.)



ONDA SINUSOIDALE

Attraverso il generatore di segnali viene inviata all’eccitatore un

onda sinusoidale. L’eccitatore è direttamente a contatto con il

primo l’accelerometro A1 posizionato all’incastro della lamina.

Il segnale sinusoidale propagandosi attraverso la lamina

raggiungerà il secondo accelerometro A2 posizionato in

prossimità dell’estremo libero.

Entrambi gli accelerometri sono collegati a degli amplificatori

che inviano i segnali ad un oscilloscopio digitale.

Vengono ora confrontati i segnali dei due accelerometri facendo variare la frequenza dell’onda

sinusoidale inviata all’eccitatore, al fine di individuare la frequenza di risonanza.

(Confronto tra i due segnali)

Partendo da una frequenza iniziale di circa 4 Hz, ed aumentandola fino ad arrivare ad una

frequenza di 8 Hz, si nota analizzando gli andamenti dei segnali sull’oscilloscopio che, a parte una

un’amplificazione, i segnali risultano ancora in fase. Aumentando ancora la frequenza si nota che i

segnali incominciano a sfasarsi, fino ad arrivare ad uno sfasamento 90° ad una frequenza di circa

8,6 Hz: si è giunti quindi alla frequenza di risonanza. Aumentando ancora la frequenza si nota che

l’amplificazione del segnale diminuisce (tipico andamento degli strumenti del 2° ordine).

Per determinare il coefficiente di smorzamento della lamina si imposta l’oscilloscopio in modalità

X,Y. In tale modalità alla frequenza di risonanza sullo schermo viene visualizzato un ellisse con gli

assi principali coincidenti con gli assi principali dello schermo dello oscilloscopio (cioè è dovuto alla

composizione dei due segnali sinusoidali).

Per determinare il coefficiente di smorzamento della lamina bisogna calcolare la lunghezza degli

assi dell’ellisse.

y (t)

t


Per fare ciò si procede empiricamente calcolando la lunghezza degli assi attraverso le divisioni

presenti sullo schermo dello oscilloscopio:

- segnale in uscita: scala di 0,5 V per divisione, l’asse è lungo circa 3 divisioni → 1,5 V = 1500 mV

- segnale in entrata: scala di 20 mV per divisione, l’asse è lungo circa 1,5 divisioni → 30 mV

La distorsione in ampiezza è quindi pari a:

𝐴 =1500 𝑚𝑉

30 𝑚𝑉= 50

Il coefficiente di smorzamento in prossimità della risonanza invece è pari a:

𝜉 =1

2𝐴=

1

2 ∙ 50= 0,01

Come ultima operazione si determina l’ampiezza dello spostamento all’estremo libero della

lamina sempre in condizioni di risonanza.

Per fare ciò è sufficiente conoscere la scala di amplificazione della centralina. Successivamente

facendo il rapporto con la lunghezza dell’asse dell’ellisse corrispondente al segnale in uscita

(estremo libero) è possibile determinare l’ampiezza dello spostamento:

- scala centralina: 100 V/m = 100 mV/mm

- segnale in uscita: scala di 0,5 V per divisione, l’asse è lungo circa 3 divisioni → 1,5 V = 1500 mV

L’ampiezza dello spostamento all’estremo libero è pari a:

𝛿 =1500 𝑚𝑉

100 𝑚𝑉𝑚𝑚

= 15 𝑚𝑚


ONDA QUADRA

Attraverso il generatore di segnali viene inviata all’eccitatore un onda quadra. Anche in questo

caso vengono confrontati i segnali dei due accelerometri facendo variare la frequenza dell’onda

quadra inviata all’eccitatore, al fine di individuare la frequenza di risonanza.

(Onda quadra)

Si osserva in tale circostanza che già ad una frequenza di 3 Hz si ha un notevole sfasamento tra i

due segnali in ingresso ed in uscita, con una conseguente riduzione della frequenza di risonanza

rispetto al caso di segnale sinusoidale.

Tale risultato è dovuto al fatto che un’onda quadra, sviluppata in serie di Fourier, dà luogo

soltanto ad armoniche dispari e già con la terza armonica a 3 Hz, abbiamo una frequenza in realtà

di 9 Hz (terza armonica 3f).

(Fondamentale: blu, terza armonica: rosso, quinta armonica: giallo, composizione: celeste)

In conclusione quindi un onda quadra risulta più pericolosa di un onda sinusoidale perché è capace

di mandare il sistema in risonanza ad una frequenza più bassa.

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 3 6 9 12 15 18 21

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 3 6 9 12 15 18 21


Esercitazione n.10 (Termometri elettrici)

Sono disponibili due riferimenti termici a 0°C (ghiaccio fondente) e 100°C (acqua bollente). Sono

disponibili tre termometri elettrici (TRP, termistore, coppia Cromel-Alumel).

1) Si verifichino con il TRP e con il termometro a termocoppia i valori delle temperature di

riferimento spiegando gli eventuali scostamenti.

2) Si spieghi perché, nel caso in esame, si utilizza per il TRP un circuito voltamperometrico per la

conversione resistenza-tensione.

3) di graduazione del termistore e si calcoli

la sensibilità del termistore stesso a 0°C e a 100°C. Si ricorda che la curva di graduazione è data da:

RT=Roe -1/To), con le temperature misurate in kelvin.

4) Si misuri la temperatura dell’acqua contenuta in un recipiente con il TRP, con il termometro a

termocoppia e con il termistore. Si valuti la precisione dei diversi dispositivi.



1) Vengono predisposti due riferimenti termici, il primo a 0 °C (ghiaccio fondente) ed il secondo a

100 °C (acqua in ebollizione).

Attraverso il termometro TPR (Termometro a Resistenza di Platino) e la termocoppia (Cromel-

Alumen) vengono verificati i due riferimenti termici.

Per quanto riguarda la termocoppia viene utilizzata la tabella di riferimento e si nota che nella

misura dei due riferimenti termici ci sono delle lievi variazioni rispetto ai valori tabellati. Anche per

quanto riguarda il TPR viene utilizzata la tavella di riferimento e si nota anche in questo caso la

stessa situazione della termocoppia.

Gli scostamenti dai valori tabellati sono imputabili alla non perfetta realizzazione del giunto freddo

a ghiaccio fondente.

2) Nel caso in esame viene utilizzato un circuito voltamperometrico per il TPR perché ci troviamo

in presenza di elevate variazioni di temperatura (nel caso di piccole variazioni di temperatura si

preferisce utilizzare un collegamento al ponte di Wheastone) e si deve optare per un collegamento

a 4 fili, due per l’alimentazione in corrente e due per il rilievo della tensione, in moda da escludere

il contributo della variazione di resistenza dei fili di collegamento.

3) Nei termometri nei quali l’elemento sensibile è un semiconduttore (termistori) si ha una

diminuzione della resistenza 𝑅 all’aumentare della temperatura 𝑇. Se con 𝑅0 si indica la resistenza

alla temperatura di riferimento, si avrà:


1𝑇

−1𝑇0

) (𝑙𝑒𝑔𝑔𝑒 𝑛𝑜𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟𝑒)

Per determinare il coefficiente 𝛽 si procede come segue:

𝑅0 = 22,8 𝑘Ω (𝑇0 = 273,15 𝐾 = 0°𝐶)

𝑅 = 0,6 𝑘Ω (𝑇 = 373,15 = 100 °𝐶)

Ricavare 𝛽:

𝑙𝑛𝑅

𝑅0= 𝛽 (

1

𝑇−

1

𝑇0)

𝛽 =𝑙𝑛

𝑅𝑅0

1𝑇 −

1𝑇0

=𝑙𝑛

0,622,8

1373,15

−1

273,15

=−3,638

−0,001= 3637,59 𝐾

Le dimensioni di 𝛽 sono quelle di una temperatura.


Sensibilità:

𝑆 =𝑑𝑅

𝑑𝑇= 𝛽 ∙ (−

1

𝑇2) ∙ 𝑅0 𝑒

𝛽(1𝑇

−1𝑇0

)

𝑆(𝑇 = 273,15 𝐾) = −1111,59 Ω/K

𝑆(𝑇 = 373,15 𝐾) = −16,79 Ω/K

Il termistore presenta un’alta sensibilità per le basse temperature, ed una bassa sensibilità per

alte: presenta una curva di graduazione iperbolica.

4) Viene ora misurata dell’acqua a temperatura ambiente contenuta in un recipiente sia con la

termocoppia, sia con il termistore.

Per quanto riguarda la termocoppia in base ai valori tabellati abbiamo un uscita di 0,89 mV quindi

una temperatura di circa 22 °C, mentre per quanto riguarda il termistore in base ai dati del punto

precedente si ha:


1𝑇

−1𝑇0

) → 𝑅 = 8 𝑘Ω

Da cui si ricava la temperatura 𝑇:

𝑇 = (𝑙𝑛

𝑅𝑅0

𝛽+

1

𝑇0)

−1

= 296,47 𝐾 = 23,3 °𝐶

Il termistore presenta una modesta precisione e viene utilizzato di solito come indicatore piuttosto

che come vero e proprio termometro. Per quanto riguarda la termocoppia la precisione dipende

essenzialmente dalla fedeltà che la temperatura del sensore sia la stessa dell’oggetto da misurare

e non ci siano differenze sensibili.

Termistore ∆𝑻 ∆𝑹

Documents

Misure Meccaniche Termiche Esercitazioni