Misure sul circuito RC

0V

500mV

Misure sui sistemi del primo ordine

v0 vc

R=22kΩ

C=2.2nF

Il circuito RC: studio nel dominio del tempo

dt

tdvC

dt

tdqti c )()()( ⋅==

)()()(0 tvtvtv CR +=

)()()(0 tvtiRtv C+⋅=

)()(

)(0 tvdt

tdvRCtv C

C +⋅=

00 )( Vtv =

)e(V(t)v RC

t

C

−−= 10

Misure sui sistemi del primo ordine - Ing. B. Andò - DIEES - Università degli Studi di Catania 1

Time

0s 50us 100us 150us 200us 250us 300us

V(C1:1) V(V1:+)

-500mV

•Un parametro molto importante, che quantifica la velocità del circuito, è la costante di tempo τ :

RC=τdefinita come il tempo necessario affinché la tensione ai capi del

condensatore sia pari al 63.2 % della tensione a regime. Infatti per t = τsi ha:

0

1

0c V632.0)e1(V)(v =−=τ −

dopo un tempo t =5ττττ la tensione sul condensatore sarà:

0

5

0C V993.0)e1(V)5(v =−=τ −cioè il 99.3% del valore di regime V0 .

•Tempo di salita (rise time) del circuito: l’intervallo di tempo che

intercorre tra l’istante in cui la tensione Vc=0.1V0 e l’istante di tempo

richiesto affinchè Vc=0.9V0.


v0 vc

R=22kΩ

C=2.2nF

Per calcolare la costante di tempo, bisogna valutare l’istante di tempo in

corrispondenza del quale la risposta al gradino raggiunge il 63.2%

dell’ampiezza del gradino [(63.2*1V)/100]. Tale valore, nel caso di un’oda

quadra con Vpp=1V, vale 132mV.

sRC µτ 50≅=

500mV

(50.000u,132.820m)



Time

0s 50us 100us 150us 200us 250us 300usV(C1:1)

-500mV

0V

Il tempo di salita si ottiene calcolando la differenza tra gli istanti di tempo relativi al 10% e al 90% del valore massimo della risposta al gradino ed è pari a:ts = 112.515µs-6.108µs= 106.406µs .

Time

0s 40us 80us 120us 160us 200usV(C1:1)

-500mV

0V

500mV

(112.515u,400.181m)

(6.1088u,-400.000m)


v0 vc

R=22kΩ

C=2.2nF

2

2

12

)(1

CR

AA

ω+

=

( )ωRCarctgΦΦ −= 12

)sin(sin)( 2222 φωφ ++−=−

tAeAtv RC

t

c

( )11 sin)( φω += tAtvo

0V

1.0V

(30.577u,-47.933m)

(14.577u,176.285m)



Time

0s 10us 20us 30us 40us 50us

V(V1:+) V(C1:1)

-1.0V

Il circuito RC sollecitato da un segnale sinusoidale fornisce una risposta

a regime di tipo sinusoidale con:

-la stessa pulsazione angolare ω;

-ampiezza attenuata al crescere di ω;-sfasamento in ritardo crescente con ω da 0° a 90°;

Da queste proprietà, cioè riduzione di ampiezza e sfasamento inritardo all’aumentare della frequenza, si vede che il circuito RC ha delle

proprietà filtranti. Il sistema filtra le componenti con frequenza

maggiore di 1/(2πRC):

KHzRC

f t 183.32

1==

π


Il circuito RC: studio nel dominio della freq.

RCj1

1

Cj

1R

Cj

1

V

V)j(G

i

u

ω+=

ω+

ω==ω

v0 vc

R=22kΩ

C=2.2nF

T

j

jG

ω

ωω

+

=

1

1)(

RCT

1=ω

Nota: per ω = ωT, si ha:

°−=∠

=

45)(2

1)(

T

T

jG

jG

ω

ω


0

1

1|)(|

2

≈≈

+

=ω

ω

ω

ωω T

T

jG

|G(jω)| ≈ 1.

°−≈−=∠ 90)(T

arctgjGω

ωω

°=∠ 0)( ωjG

Se ω>> ωT

Se ω<< ωT

•Filtro passa basso•Integratore

T


Il circuito RC: studio nel dominio della freq.

v0 vc

R=22kΩ

C=2.2nF

Nota: per ω = ωT, si ha:

°−=∠

=

45)(2

1)(

T

T

jG

jG

ω

ω



Il circuito RC: comportamento da integratore

v0 vc

R=22kΩ

C=2.2nF

0V

1.0V


Time

0s 50us 100us 150us 200us 250us 300us

V(V1:+) V(C1:1)

-1.0V

La forma d’onda in uscita è sfasata di 90°rispetto a quella in ingresso!!


Il circuito RC: comportamento da integratore

v0 vc

R=22kΩ

C=2.2nF

Forzando il circuito con un’onda quadra si ottiene in uscita un’onda triangolare!!!!


τττ

tV

tVeVv

t

c 000 111 =

−−≅

−=

−


Misure sul circuito RC:il problema della non idealità del generatore

•Es. risposta in frequenza.Si invia un segnalesinusoidale all’ingresso delcircuito RC e ad un canaledell’oscilloscopio; l’uscita Vu

si invia all’altro canaledell’oscilloscopio.


•Mantenendo costante l’ampiezza di Vi, al variare dellafrequenza, possiamo valutare l’ampiezza della sinusoided’uscita e la sua fase. Questa operazione mi consente dideterminare i diagrammi di Bode del modulo e della fasedella f.d.t. del circuito RC.•Affinché il risultato della misura non venga compromesso,l’ampiezza del segnale d’ingresso sinusoidale Vi devemantenersi costante al variare della frequenza.

•In realtà al variare della frequenza varial’impedenza d’ingresso del circuito RC, equindi l’effetto caricante del circuito RC sulgeneratore (varia la caduta su R

G).

•Tale effetto è trascurabile se:

dell’oscilloscopio.

2

2

ωC

1R

+<<GR



•Es. si invia un’ondaquadra all’ingresso delcircuito RC e ad un canaledell’oscilloscopio mentrel’uscita Vu si invia all’altrocanale dell’oscilloscopio.


•Gli effetti di carico sul generatore si manifestano anche inquesto caso con la deformazione dell’onda quadra iningresso al circuito RC.



•Per evitare gli effetti di carico sul generatore si deve farein modo che RG risulti trascurabile rispetto al carico RC.

•A tal proposito viene inserito un partitore resistivo postotra il generatore ed il circuito RC, come mostrato in figura:

R


•Lo scopo del partitore resistivo è che il circuito RC veda al suo ingresso

un generatore ideale: e che il generatore sia adattato sul

carico (RG<Req,Gen).

•Se R1 > R2 e R2 << R si ha:

Req=R2 // (R1 + RG)≅R2 << R e quindi:eqRR

ωCRZ >>≥

+=

2

2 1

Req

eqRZ >>

•Per opportuni valori di R1 (>RG) il generatore vede uncarico >RG e quindi le cadute su RG diventano trascurabilie così anche gli effetti di carico al variare delle frequenza.

Req, Gen



Valori tipici per le resistenze del partitore sono:R1=100Ω R2=10Ω.L’effetto del partitore è quello di ridurre ledistorsioni della forma d’onda in ingresso alcircuito RC:

Onda quadra in ingresso al circuito RC senza partitore.


Caso con partitore.


Ro Co

Zo = Ro // Co

Ro = 1 MΩ

Co = 15÷20 pFZo

VGR

R1

RG

G

Misure sul circuito RC:effetti dell’impedenza di ingresso dell’oscilloscopio


•L’impedenza di ingresso Zo non è infinita,pertanto l’oscilloscopio può causare un effetto dicarico nei riguardi del circuito sotto misura.

•La presenza del circuito di ingressodell’oscilloscopio provoca evidenti modifichenella costante di tempo del circuito RC.

VuVi CoRoCR2


Req

D

CB

A

Ceq

R1

RGC CoRo

R

R2

RAB = R2 // (R1 + RG) ≈ R2

perché R2< R1+RG

Req=Ro//(R + RAB)≈Ro//(R + R2)≈Ro//R

perché R <<R



perché R2<<R

Req≈Ro//RCeq = C + Co

In definitiva si ricava che: τ = (Ro//R)(C+Co)

Le condizioni da verificare affinché non si verifichinoeffetti di carico dovuti all’oscilloscopio sono:

R<<Ro e C>>Co

In tali condizioni il modulo dell’impedenza d’ingresso

dell’oscilloscopio sarà grande anche a frequenze elevate:

τ = RC


Req

D

CB

A

Ceq

R1

RGC CoRo

R

R2

•Per valutare gli effetti della ZIN dell’oscilloscopio è possibile

effettuare misure su un circuito RC con :

C = 2.2 nF e R = 200 kΩ

•La frequenza di taglio teorica dovrebbe essere:



•Tenendo conto invece del carico offerto dall’oscilloscopio si ottiene:

τ = (Ro // R) (C + Co)= 373 µs

da cui fT= 426.7 Hz

•Da osservazione sperimentale si ricava: τ = 370 µs

da cui si ottiene f T= 430 Hz

•Come ulteriore verifica, a tale frequenza si è misurato uno

sfasamento pari a:

dove A = 455 mV, B = 643.7 mV

Hz5.361RC2

1

2

1 fT =

π=

πτ=

°== 45)/arcsin( BAϕ

sµτ 440=


•L’energia assorbita al circuito da parte dell’oscilloscopiopuò essere minimizzata disaccoppiando le impedenzemediante una sonda opportuna.

•La sonda realizza una connessione elettrica tra il circuitosotto misura e l’oscilloscopio attraverso un cavo flessibilee schermato.

•Alcune sonde sono dotate di un commutatore:

Commutatore in posizione 1: la tensione prelevatadalla sonda è direttamente inviata in ingresso



dalla sonda è direttamente inviata in ingressoall’oscilloscopio.Commutatore in posizione 10: la tensione prelevatadalla sonda viene attenuata attraverso un opportunocircuito RC.

•L’effetto della sonda è quello di modificare l’impedenzadi ingresso dell’oscilloscopio, aumentando la resistenzae diminuendo la capacità.

VuVi

Co

C

R

Ro

CS

RSsonda

os

osi

si

CC

CCC

RRR

+=

+= 0



VuVi

Co

C

R

Ro

CS

RSsonda

La sonda deve garantire un trasferimento tra Vi e Vu

indipendente dalla frequenza: compensazione.


os

o

i

u

ZZ

Z

V

V

+=

=+ω++ω

+ω=

+ω+

+ω

+ω=

ω

ω+

ω

ω

ω

ω

=⋅⋅

⋅

++

+

)1RCj(R)1RCj(R

)1RCj(R

1RCj

R

1RCj

R

1RCj

R

Cj

1R

Cj

R

Cj

1R

Cj

R

Cj

1R

Cj

R

V

V

ssooos

sso

oo

o

ss

s

oo

o

o

o

o

o

s

s

s

s

o

o

o

o

i

u

1)CC(RR

RRj

1RCj

RR

R

so

os

so

ss

os

o

+++

ω

+ω

+=

ssso

os

soRC)CC(

RR

RR=+

+

La condizione di compensazione è data da:

)RR(C)CC(R osssoo +=+

ssoo RCCR =


VuVi

Co

C

R

Ro

CS

RSsonda

Essendo la sonda composta da:

un condensatore variabile Cs di valore

1÷15 pF

una resistenza R di elevato valore, in



una resistenza Rs di elevato valore, in

genere 9 MΩ

la resistenza Ri e la capacità Ci del sistema

sonda- oscilloscopio sono date da:

Ri = Rs + Ro = 9 MΩ + 1MΩ = 10 MΩ

pFCC

CCC

os

osi 10≅

+=

Misure sui sistemi del secondo ordine

Misure sul circuito RLC nel dominio del tempo

)(1

)(1)()(

2

2

tvLC

tvLCdt

tdv

L

R

dt

tvdic

cc =++

( ) )(11

)( 21

12 tuesesss

tvtsts

c

+−

−=

−−−=

−+−=

2

0

2

2

2

0

2

1

ωαα

ωαα

s

s

L

R

2=α

LCO

1=ω

Caso sovrasmorzato

>

>

LR 2

0ωα

Risposte al gradino unitario


( ) )(1)( 12

21

tuesesss

tvc

+−−

=

( ) )(1cos)( 0 tutetv d

t

d

c

+−

−= − φω

ω

ω α

=+=

d

dω

αφωαω arctan22

0

>C

LR 2

Caso sottosmorzato

<

>=

00

01)(

se t

se ttu

( )[ ] )(1cos)( 0 tuttvc +−= φω Caso loss-less 0=α

<

<

C

LR 2

0ωα

Misure sul circuito RLC nel dominio del tempo

)(1

)(1)()(

2

2

tvLC

tvLCdt

tdv

L

R

dt

tvdic

cc =++

( ) )(1cos)( 0 tutetv d

t

c

+−

−= − φω

ω

ω α

−−−=

−+−=

2

0

2

2

2

0

2

1

ωαα

ωαα

s

s

L

R

2=α

LCO

1=ω

Caso sottosmorzato

Caso sottosmorzato

<

<

LR 2

0ωα



( ) )(1cos)( tutetv d

d

c

+−= φωω

=+=

d

dω

αφωαω arctan22

0

<

>=

00

01)(

se t

se ttu

<C

LR 2

Sovraelongazione S: differenza fra il picco massimo ed il valore a regime della risposta del circuito, oppure valore percentuale del loro rapporto;tempo di salita ts: tempo necessario affinchè la forma d’onda di uscita passi dal 10% al 90% del valore a regime.

S

−−−

−=

−−=

ξ

ξπ

ξω

ξ

πξ

2

2

2

1

1

1

)1

exp(

arctgt

S

n

s

Misure sul circuito RLC: la risonanza

−+=

CLjRZ

ωω

1.

•Alla frequenza di risonanza

•La corrente che scorre nel circuito, alla

risonanza, può essere elevata:

•Le cadute su L e C sono uguali in modulo:

R

E

Z

EI

.

.

.

0

.

==

IL

LIjV == ω

R Z si ha: LC

ω ==1



•Fattore Q:C

L

RQ

1

2

0 ==α

ω Caso sovrasmorzato Q<1/2

Caso sottosmorzato Q>1/2

Caso loss-less Q→∞

0

0

00

1I

C

LI

CjV

IC

LIjV

C

L

==

==

ω

ω

00

00

ωωωω ==

==

====

i

C

i

L

iCL

V

V

V

VQ

QVQRIIC

LVValla risonanza

e quindi:

Misure sul circuito RLC:

interpretazione del fattore di bontà

Tanto più è alto il valore di Q, cioè tanto piùpiccola è la resistenza rispetto ad ω0L, tanto piùle componenti in frequenza vicine allapulsazione di risonanza vengono esaltaterispetto alle altre.

•Q può essereinterpretato comemisura della selettivitàin frequenza del



•Un’ altra interpretazione del parametro Q si basa suconsiderazioni di carattere energetico. E’ possibiledimostrare che Q è proporzionale al rapporto tral’energia immagazzinata nel circuito e la potenza mediadissipata ad ogni ciclo. Ne segue che tanto più Q èelevato tanto più lentamente il circuito dissiperà l’energiain esso contenuta, ovvero tanto più prolungato sarà iltransitorio che caratterizza la risposta del sistema neldominio del tempo.

in frequenza delcircuito: un circuitoRLC con un Q elevatoè molto selettivo.

Misure sul circuito RLC: dominio della frequenza

1) Se ξ>1 i poli sono reali e distinti :

1

1

)(

)()(

2 ++==

RCsLCssU

sYsG

12

1)(

0

2

0

2

++

=

ss

sG

ω

ξ

ωLC

10 =ω

L

CR

LC

RC

22==ξ

1

2

001 1 λξωξω =−−−=s



2

2

002

1001

1

1

λξωξω

λξωξω

=−+−=

=−−−=

s

s

2) Se ξ=1 i poli sono coincidenti :

[ ][ ]2

2

2

1

1

1

ξωξω

ξωξω

−+−=

−−−=

nn

nn

js

js

ns ξω−=2,1

3) Se ξ<1 i poli sono complessi e coniugati :

( )221 ξωω −= nR

Misure sul circuito RLC: in laboratorio!!!

Un esempioCOMPONENTI CIRCUITALI:

R1=56ΩR=100Ω oppure 680ΩC=127nF

L=0.01H

Precisione ±1% a 1KHz

Imax =1.5A,

Resistenza in CC a 20°C: 2.1Ω

Al variare della resistenza R inserita nel circuito,

possiamo distinguere i seguenti casi :

1.sottosmorzato ( R < Rc )

2.sovrasmorzato ( R > Rc )



2.sovrasmorzato ( R > Rc )

dove Rc rappresenta la resistenza critica:

Ω== 21.5612C

LRC

Lo scopo dell’esercitazione di laboratorio sulcircuito RLC è la determinazione dei seguenti parametri:

Caso sottosmorzato: ts, S da cui ξ ed ωn (dominio del tempo)diagrammi di bode e fr. (dominio della freq.)

Caso sovrasmorzato: ts (dominio del tempo)diagrammi di bode (dominio della freq.)

Ω per Rω

.ξ

n

10028060

17810=

=

=

Ω per Rω

.ξ

n

68028868

21161=

=

=


Misure nel dominio del tempo

Per effettuare le misure nel dominio del tempoè necessario inviare all’ingresso del circuitoRLC un’onda quadra di ampiezza nota efrequenza tale da portare a regime larisposta.Scopo: misura di ts, S, ξξξξ, ωωωωn.



Misure nel dominio della frequenza

Per effettuare le misure nel dominio del tempoè necessario inviare all’ingresso del circuitoRLC un’onda sinusoidale di ampiezza nota efrequenza variabile.Scopo: diagrammi di Bode, fR, ξξξξ, ωωωωn.



Nel caso in particolare è stata scelta un’ondaquadra di ampiezza 1Volt misurata conl’oscilloscopio.

Caso sottosmorzato ( R=100Ω )In questo caso si è ottenuta la seguente formad’onda d’uscita:

Vu



S=∆V2 – ∆V1 =

=1.55V-1V = 0.55V

ts=45.9 µs

−−−

−=

−−=

ξ

ξπ

ξω

ξ

πξ

2

2

2

1

1

1

)1

exp(

arctgt

S

n

s

=

=

27206

1869.0

nω

ξExp.

Theor. ω

.ξ

n

=

=

28060

17810

t

Vu



Nel caso in particolare è stata scelta un’ondaquadra di ampiezza 1Volt misurata conl’oscilloscopio.

Caso sovrasmorzato ( R=680Ω )In questo caso si è ottenuta la seguente formad’onda d’uscita:

V



Si rimanda allo studio in frequenza per la determinazionedi ξ ed ωn.

Vu

t


Misure nel dominio della frequenza•I parametri caratteristici del sistema vengono ricavatimediante l’ausilio dei diagrammi di Bode ricavatisperimentalmente.

Diagramma delle ampiezze: rapporto tra i valori massimidelle sinusoidi d’ingresso e d’uscita al variare dellafrequenza;

Diagramma delle fasi: mediante le figure di Lissajous.

•Nel caso di un sistema sottosmorzato:la fR si ricava osservando la frequenza per cui si ottiene



la fR si ricava osservando la frequenza per cui si ottienela massima ampiezza del segnale d’uscita;Il Modulo alla risonanza si ottiene………

Da queste grandezze misurate è possibile determinare ξed ωn:

2

2

212

1

21

ξξ

ξωω

−=

−=

R

nR

M

•Nel caso di un sistema sovrasmorzato:ωn si ricava dal diagramma delle fasi cercando lafrequenza in corrispondenza della quale abbiamo una fasedi – 90°.

ξ si ricava una volta noto il valore di ( )n

jGωω

ω=


f (Hz) Vi Vu Vu/Vi Vu/Vi(dB) A B φφφφ

100 1 1.01 1.01 0.086427476 1 0 0

1000 1 1.08 1.08 0.66847511 1.07 0.082 -4.39743

2000 1 1.29 1.29 2.211794206 1.22 0.24 -11.351

3000 1 1.7 1.7 4.608978428 1.53 0.64 -24.7399

4000 1 2.2 2.2 6.848453616 1.9 1.64 -59.7033

4200 1 2.23 2.23 6.966097261 1.91 1.81 -71.4139

4300 1 2.32 2.32 7.309759698 1.85 1.85 -90.0456

4400 1 2.18 2.18 6.769129872 1.84 1.83 -95.9336


Caso sottosmorzato (R=100 Ω)



fR ≈ 4300 Hz, ωR=27017

MR=2.32

4500 1 2.14 2.14 6.608275467 1.835 1.8 -101.169

5000 1 1.87 1.87 5.436832131 1.55 1.35 -119.398

7000 1 0.74 0.74 -2.615365605 0.572 0.23 -156.279

2

2

212

1

21

ξξ

ξωω

−=

−=

R

nR

M

=

=

28442

221.0

nω

ξ

ω

.ξ

n

=

=

28060

17810

Exp.

Theor.



Caso sottosmorzato (R=100 Ω)

-4

-2

0

2

4

6

8

1.0E+02 1.0E+03 1.0E+04

f(Hz)

Vu/V

i (dB

)

0



fR ≈ 4300 Hz, ωR=27017

MR=2.32

2

2

212

1

21

ξξ

ξωω

−=

−=

R

nR

M

=

=

28442

221.0

nω

ξ

ω

.ξ

n

=

=

28060

17810

Exp.

Theor.

-200

-150

-100

-50

1.0E+02 1.0E+03 1.0E+04

f(Hz)

φ



Caso sovrasmorzato (R=680 Ω)

f (Hz) Vi Vu Vu/Vi Vu/Vi(dB) A B φφφφ

100 1 1.05 1.05 0.423785981 1.055 0 0

1000 1 0.98 0.98 -0.175478486 0.98 0.485 -29.6781

2000 1 0.76 0.76 -2.383728154 0.765 0.59 -50.4911

3000 1 0.605 0.605 -4.364892507 0.61 0.53 -60.3562

4000 1 0.46 0.46 -6.744843366 0.48 0.48 -90.0456



fn ≈ 4000 Hz, ωn=25132

|G(jωn)| = 0.465

=

=

25132

175.1

nω

ξ

ω

.ξ

n

=

=

28060

17810

Exp.

Theor.

5000 1 0.41 0.41 -7.744322866 0.41 0.4 -102.641

6000 1 0.33 0.33 -9.629721202 0.32 0.29 -114.975

10000 1 0.14 0.14 -17.07743929 0.19 0.12 -140.813

( ) ( ) 12

1)(

2

2

++

=

n

nn

n

n

jj

jG

ωω

ξ

ω

ωω



Caso sovrasmorzato (R=680 Ω)

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

1.0E+02 1.0E+03 1.0E+04

f(Hz)

Vu/V

i (dB

)

-40

-20

0



fn ≈ 4000 Hz, ωn=25132

|G(jωn)| = 0.465

=

=

25132

175.1

nω

ξ

ω

.ξ

n

=

=

28060

17810

Exp.

Theor.( ) ( ) 12

1)(

2

2

++

=

n

nn

n

n

jj

jG

ωω

ξ

ω

ωω

-140

-120

-100

-80

-60

-40

1.0E+02 1.0E+03 1.0E+04

f(Hz)

φ

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Misure sul circuito RC