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Mit Zahlen spielenMit Zahlen spielen
Fachwissenschaftliches SeminarFachwissenschaftliches SeminarProf. Dr. R. HochmuthProf. Dr. R. Hochmuth
Referentinnen: Nina Fiethen, Referentinnen: Nina Fiethen, Christiane Grundkötter Christiane Grundkötter
und und Tanja Przyklenk Tanja Przyklenk
Universität Kassel WiSe 2005/ 2006
Gliederung
Regeln und Muster - Spielereien
mit Ziffern Stellenwertsysteme
Ursprung, Idee, Umwandlung und
Rechnen
Spielereien für den Alltag
Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern
Erläuterung des Themas:
Innermathematische Entdeckungenmathematische Muster erkennen und mit Zahlen spielen
Eigenaktive Durchdringung vertrauter Kenntnisse über Zahlen
Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern
ANNA- Zahlen
Finde den Fehler:
9449 7272 6116
-4994 -2727 -1661
4455 4545 4455Wie wäre die Aufgabe richtig?Was fällt auf?
Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern
Definition von ANNA- Zahlen:
Es sind vierstellige Zahlen„Zu je zwei verschiedenen Ziffern lassen sich genau zwei ANNA- Zahlen bilden“
Aufgabe:
Versuche durch das Berechnen von weiteren Differenzen von ANNA - Zahlen noch zwei andere Ergebnisse herauszufinden!
Dividiere jedes Ergebnis durch 891!
Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern
Erläuterung an Hand der Stellenwerttafel, mit dem Beispiel 3443:
T H Z E
●●● ●●●● ●●●● ●●●
+1000 - 100
+ 1 - 10
______
900
______
- 9
900- 9______
891
Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern
Weitere Zahlenmuster:
NANA- Zahlen 5454 - 4545
909
AABB- Zahlen 3322 - 2233
1089
Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern
Muster bei der Addition
Löse folgende Aufgaben:
45678 56789 123456 345678
+41976 +41976 +530865+530865
87654 98765 654321 876543
Welches Muster kannst du entdecken?
Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern
„Warum funktioniert das?“
Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern
Regeln zur MultiplikationBeispiel, 5·8:
1.Regel
50
Setze hinter die kleinere Ziffer eine 0, Ziehe die größere Zahl von 10 ab und multipliziere den
Rest mit der kleineren Zahl, das Ergebnis wird nun vom Zehnfachen der kleineren Zahl abgezogen.
(10-8)(5· )50 - =40
Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern
Algebraische Formeln
Zur 1. Regel:
a·b = a·10 - (a · (10 - b) )
= a∙10 – (a∙10 – a ∙ b)
= a∙10 - a∙10 + a∙b
= a∙b
Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern
2. Regel853
Addiere die beiden Ziffern schriftlich und notiere nur die Einerziffer vom Ergebnis,
Multipliziere die jeweiligen Reste, die beim Subtrahieren der Ziffern mit 10 herauskommen und schreibe wie folgt das Ergebnis neben die vorhergehende Rechnung. Sollte bei der Multiplikation eine Zahl mit zwei Ziffern herauskommen, so addiere die erste Ziffer zu der bereits aufgeschriebenen.
8.25.540
= 10·a+10b-100+(100 - 10a -10b +a∙b)
Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern
= 10·a+10b-100+100 - 10a -10b +a∙b
Algebraische Formeln
Zur 2. Regel:
a·b = 10·(a+b-10)+(10-a) ·(10-b)
= a·b
Muster bei der MultiplikationMuster bei der Multiplikation
77∙13 77∙26 77∙52 77 1540 3850 231 462 154 1001 2002 4004
Dadurch, dass man einen der beiden ursprünglichen Faktoren verdoppelt, verdreifacht, …wird auch das Ergebnis verdoppelt, verdreifacht.
77∙38 2310 616 2926
77739
77∙39 2370 693 3003
Andere Muster
111∙111 = 12321
1111∙1111 = 1234321
11111∙11111 = 123454321
111111∙111111 = 12345654321
Hier kann man das Ergebnis von vorne nach hinten und andersrum lesen.
Spielereien mit Zahlen
„Immer 1089“Wir suchen uns eine dreistellige
Zahl, deren Ziffern nicht alle gleich
sind.Differenz der Umkehrzahl bildenDazu die Umkehrzahl des
Ergebnisses addierenNullen berücksichtigen
Spielereien mit Zahlen
625 634 912
-526 -436 -219
099 198 693
+990 +891 +396
1089 1089 1089
Spielereien mit Zahlen
Begründung:Im ersten Schritt kommen bei der Differenz nur Zahlen in Frage, bei denen die Zehnerziffer, sowie die Summe der Einer- und Hunderter Ziffer jeweils 9 betragen.(099,198,297,…,891)Im zweiten Schritt entsteht in der Zehnerspalte ein Übertrag, der zu dem Ergebnis 1089 führt.
Spielereien mit Zahlen
912
-219 Zehnerziffer, sowie
693 Summe der Einer- und
+396 Hunderterziffer ergibt 9
1089Übertrag in der Zehnerspalte
1
Ursprung des Ziffernrechnens
Die griechische Mathematik (3.Jh.v.Chr.)
nutze kein Stellenwertsystem sondern ein alphabetisches
Ziffernsystem
Aus Müller, Steinbring, Wittmann: „Arithmetik als Prozess“ S. 24
Welche Zahl verbirgt sich hinter diesen Buchstaben?
Welche Zahl verbirgt sich hinter diesen Buchstaben?
´ ´
Ein Apostroph vor einem Buchstaben bedeutet: mal 1.000
Die Idee der Stellenwertsysteme
Die Anzahl dieser Objekte abzuzählen erweist sich als schwierig. Eine Strichliste ist hierbei sinnvoll.
///////////////////////////
Die Idee der Stellenwertsysteme
Es ist übersichtlicher die Objekte zu bündeln. Z.B. in Fünfer-päckchen.
//// //// //// //// //// ///
= 28 Striche
Die Idee der Stellenwertsysteme
Nun kann man je 5 Bündel zu einem großen Bündel mit 5∙5 = 52 = 25 zusammenfassen.//// //// //// //// //// //// //// //// //// //// //// ///
2∙52 +1∙5 +3 =58Dieses Bündeln ist die Idee des
Stellenwertsystems
Die Idee der Stellenwertsysteme
„Die Anzahl g der Objekte pro Bündel heißt Basis. Unser Stellenwertsystem hat die Basis 10.“
1547 =1∙1000 +5∙100 +4∙10 +7
=1∙103 + 5∙102 + 4∙101 + 7∙100
T EZH
51 4 7
Die Idee der Stellenwertsysteme
Im 5er-System ist die Basis 5. Der mögliche Rest bei der Division durch g ist 0, 1, 2, 3, 4.
58 = 2∙52+1∙51+3∙10= 213(5)
105152
2 1 3
53
Die Idee der Stellenwertsysteme
Wichtig:Wichtig:Die jeweilige Basis wird in
Klammern als Index hinzugefügt
(außer im 10er-System)Ziffernweise lesen, sonst würde
das zu einer Verwechslung mit
dem 10er-System führen
Die Idee der Stellenwertsysteme
AusmessenAusmessen
Wir wollen nun
das Gewicht
58 = 213(5) auf
dieser Waage
darstellen.
Die Idee der Stellenwertsysteme
Beginnend mit dem größten GewichtNächst kleinereBis hin zum kleinsten
2∙25 + 1∙5 + 3∙1 = 58 = 213(5)
58 = 2∙52+1∙5+3 = 213(5)
Umwandeln in verschiedene Systeme
Was bedeutet 125?
125 = 12 · 10 + 5
12 = 1 · 10 + 2
1 = 0 · 10 + 1
Umwandeln in verschiedene Systeme
Wie stelle ich die Zahl 350 im 6er System dar?
350 = 58 · 6 + 2
58 = 9 · 6 + 4
9 = 1 · 6 + 3
1 = 0 · 6 + 1
350(10) = 1342(6)
Stelle 205 im 7er System dar
205 = 29 · 7 + 2
29 = 4 · 7 + 1
4 = 0 · 7 + 4
205(10) = 412(7)
Umwandeln mit dem Horner-Schema
Was ist 21303(5) im 10er System?
2 1 3 0 3
21303(5) = 1453(10)
·5 2 11 58 2901453
10 55 290 1450
Horner-Schema
2 1 3 0 321303(5) = 1453(10)
·5
2 11 58 290 1453
10 55 290 1450
denn:
(2·5+1) ·5+3)· 5+0)·
5+3((
=((2·5² +1·5+3)·5+0)·5+3
=(2·5³+1·5²+3·5+0)·5+3
=2·54+1·5³+3·5²+0·5+3 =2·54+1·5³+3·5²+0·5+3 = 1453(10)
Umwandeln in verschiedene Systeme
Was ist 21443(5) im 10er System?
21443(5) = 1498(10)
2 · 54 + 1 · 53 + 4 · 52 + 4 · 51 + 3 · 50
= 2·625 + 1·125 + 4·25 + 4·5 + 3·1
= 1250 + 125 + 100 + 20 + 3
= 1498
Rechnen im 5er System
Zur Erinnerung:
5(10) schreibt man als 10(5)
6(10) schreibt man als 11(5)
322
+ 43
420 1 1
Zur Kontrolle:
322(5) = 3·5² + 2·5 + 2·1 = 87(10)
43(5) = 4·5 + 3·1 = 23(10)
420(5) = 4·5² + 2·5 = 110(10).
Rechnen im 5er System
Das 1x1 wird wieder anspruchsvoll
• 11 22 33 44 1010
11 1 2 10
22 2 13
33
44 22
1010 10 100
Zur Erinnerung:
5(10) schreibt man als 10(5)
10(10) schreibt man als 20(5)
6(10) schreibt man als 11(5)
Rechnen im 5er System
• 11 22 33 44 1010
11 1 2 33 44 10
22 2 44 1111 13 2020
33 33 1111 1414 2222 3030
44 44 1313 22 3131 4040
1010 10 2020 3030 4040 100
Warum piepsen Ladenkassen?
4 9 0 2 0 3 0 1 4 5 6 3 7
HerstellerProdukt- nummer
Herkunfts-land
Prüfziffer
Die Prüfziffer wird so gewählt,
dass die Prüfsumme
ein Vielfaches von 10 ergibt.
4 9 0 2 0 3 0 1 4 5 6 3 7
4 0 0 0 4 6 719 2 3 1 5 3 3
796154309060274
=90
4•1 + 9•3 + 0•1 + 2•3 + 0•1 + 3•3 + 0•1 + 1•3 + 4•1 + 5•3 + 6•1 + 3•3 + 7•1
Berechnen der Prüfsumme:
Welche Ziffer passt?
EAN: 40017_6015520
Prüfsumme: 47(4+0+0+3+7+x·3+6+1+15+5+6)
Fehlende Ziffer wird mit 3 multipliziert.
1
Prüfsumme :50
Welche Ziffer ist falsch?
EAN: 5097748693624
Prüfsumme: 114(5+0+9+21+7+12+8+18+9+9+6+6+4)
0
Prüfsumme: 110(5+0+9+21+7+12+8+18+9+9+6+6+00·1)
oder
Prüfsumme: 120(5+22·3+9+21+7+12+8+18+9+9+6+6+0)
2
Werden alle Fehler von der Kasse erkannt?
Wird eine Ziffer falsch gelesen, so verändert sich die Prüfsumme um eine Zahl (1-9) oder um das Dreifache einer Zahl (1-9). Die Prüfsumme ergibt dann nicht mehr ein Vielfaches von 10.
=> Fehler wird erkannt=> Fehler wird erkannt
Das Vertauschen von zwei Ziffern mit gleichen Multiplikatoren
wird nicht erkanntnicht erkannt.
Fehler die sich zu Vielfachen von 10 ergänzen, werden von der Ladenkasse nicht erkanntnicht erkannt.
Nicht jeder Fehler wird von der Kasse erkannt
Aus Müller, Steinbring, Wittmann: „ „Arithmetik als Prozess“ “ S. 195
Spielereien im Alltag
Spielereien im Alltag
Erklärung:
Bleistift = 1 (1) Fahrrad = 6 (2,3) Dia = 11 (1,2,4)
Briefkasten = 2 (2) Bücher = 7 (1,2,3) Zeitung = 12 (3.4)
Hammer = 3 (1, 2) Sanduhr = 8 (4) Auge = 13 (1,3,4)
Satellit = 4 (4) Maus = 9 (1,4) Peperoni = 14 (2,3,4)
Stern = 5 (1,3) Bild =10 (2,4) Herz = 15 (1,2,3,4)
= 8= 4= 2= 1
Karten Karten Karten