Mjerenje, Regulacija, Automatizacija, 31.12.2012.God

1

MJERENJE, REGULACIJA I

AUTOMATIZACIJA

(Radni materijal za pripremu drugog dijela ispita na predmetu mjerenje, regulacija i automatizacija )

Dr. sci. Zehrudin Osmanović, vanr. prof.

2 1 0 UVOD U REGULACIJU PROCESA..................................................................................................4 1. 1. Uloga regulacije proesa u energetskim , procesnim i termotehničkim postrojenjima ......................4 1.1. 1. Energetska, procesna i termotehnička postrojenja.............................................................................4 1.1.2 Tehnološki proces i oprema...................................................................................................................4 1.1. 2. Regulacija procesa ...............................................................................................................................5 1.1. 3.Upravljanje.............................................................................................................................................5 1.1. 4. Nadzor ..................................................................................................................................................5 1.1. 5.Tehnološke zaštite .................................................................................................................................5 1.1. 6.Posebnost regulacije procesa ................................................................................................................6 1. 2. POSTROJENJE KAO SISTEM ................................................................................................................6 1.2. 1. Značenja pojma "sistem" ......................................................................................................................6 1.2. 2. Pojam "sistem" kao metodološko sredstvo .........................................................................................6 1.2. 3. Fizikalni sistemi....................................................................................................................................7 1.2. 4. Dinamički sistemi................................................................................................................................7 1.2.4. 1 Pojam dinamičkog sistema ..............................................................................................................7 1.2.4. 2 Stacionarno i nestacionarno stanje dinamičkih sistema ................................................................7 1.2.4. 3. Prijelazne pojave i stabilnost dinamičkih sistema...........................................................................8 1.2.4. 4 Karakteristične strukture dinamičkih sistema .................................................................................8 1. 3 REGULACIJA PROCESA JE PROBLEM DINAMIKE SISTEMA .........................................................9 1.3. 1. Preduvjeti za ostvarivanje regulacije ..................................................................................................9 1.3. 2. Dvije elementarne strategije regulacije .............................................................................................10 1.3. 3. Regulirani proces i regulacijski uređaj tvore jedinstven dinamički sistem....................................12 1.3. 4. Znanja, metode i inženjerski alati za rješavanje problema regulacije ............................................12 2. 1 UVODNA RAZMATRANJA O AUTOMATSKOM UPRAVLJANJU ...............................................14 2. 3. Upravljanje bez povratne veze i s povratnom vezom ........................................................................17 2. 7. Sistemi u dinamičkim i stacionarnim stanjima (režimima)................................................................24 2. 8.Svojstva sistema .....................................................................................................................................25 2.2. 1 Linearni i nelinearni sistemi ...............................................................................................................25 2.2. 2. Sistemi s koncentriranim i raspodijeljenim parametrima ...............................................................28 2.2. 3. Vremenski promjenljivi i vremenski nepromjenljivi sistemi ..........................................................29 2.2. 4. Sistemi s kontinuiranim ili diskretnim načinom rada .....................................................................29 2.2. 5. Sistemi s determinističkim ili stohastičkim sistemskim varijablama .............................................30 2.2. 6. Kauzalni i nekauzalni sistemi............................................................................................................31 3 0 OPIS LINEARNIH KONTINUIRANIH SISTEMA U VREMENSKOM PODRUČJU ........................32 3. 1 Opis pomoću diferencijalnih jednadžbi ...............................................................................................32 3. 2 Opis sistema pomoću specijalnih izlaznih signala ........................................................................34 4 0. OPIS LINEARNIH KONTINUIRANIH SISTEMA U FREKVENCIJSKOM PODRUČJU ................38 4. 1. Laplaceova transformacija (L -transformacija) ...................................................................................38 4. 2.Prijenosna funkcija .................................................................................................................................46 4. 3. PID regulator i iz njega izvedeni tipovi regulatora ............................................................................50 5 0 STABILNOST LINEARNIH KONTINUIRANIH SISTEMA UPRAVLJANJA ...................................54 5. 1. Definicija stabilnosti i uslovi stabilnosti ..............................................................................................54 5. 2.Algebarski kriteriji stabilnosti ...............................................................................................................56 5. 3.Grafički (grafoanalitički) kriteriji stabilnosti........................................................................................59

36. DINAMIKA I REGULACIJA PROCESA SA PRENOSOM KOLlČlNE KRETANJA IMAKROSKOPSKIM PRENOSOM MASE .........................................................................................................................................63 6.4. Regulacija odnosa dva protoka .............................................................................................................77 6.5. Sistemi regulacije pritiska i nivoa .........................................................................................................80 6.5.1. Opšti sistem regulacije pritiska ..........................................................................................................80 6.5.2, Opšti sistem regulacije nivoa..............................................................................................................81 6.5.3. Kaskadna regulacija nivoa..................................................................................................................83 7. DINAMIKA I REGULACIJA PROCESA SA PRENOSOM TOPLOTE .................................................85 7.1. Dinamičke karakteristike izmjenjivača toplote sa idealno izmiješanim fluidima na obje strane.....86 7.2. Dinamičke karakteristike izmjenjivača toplote bez aksijalnog miješanja ....................................89 7.2.1. Izmjenjivač toplote kao sistem sa rasporednim parametrima .........................................................90 7.2.2. Približni dinamički model izmjenjivača toplote bez aksijalnog miješanja ...................................92 7.3. Regulacija temperature kod izmjenjivača toplote..........................................................................94 7.3.1. Regulacija temperature u sudu grejanom parnim omotačem ..................................................94 7.32. Regulacija temperature kod izmjenjivaca bez aksijalnog mesanja .................................................100 8. DINAMIKA I REGULACIJA PROCESA SA PRENOSOM MASE ......................................................104 8.1. Principi regulacije rektifikacione kolone ............................................................................................105 8.1.1. Osnovni ciljevi regulacije rektifikacione kolone .............................................................................105 8.1.2. Dinamika poda rektifikacione kolone .............................................................................................107 8.1.3. Dinamika vrha kolone ......................................................................................................................110 8.1.4. Dinamika isparivada.........................................................................................................................111 8.15. Približni modeli za dinamičke karakteristike ..................................................................................111 8.2. Sema regulacije materijalnog bilansa i sastava kod rektifikcije ..................................................111 8.3. Uprošten sheme regulacije rektifikacione kolone ........................................................................113 8.3.1. Međusobna dejstva kod kompleksnog sistema regulacije .............................................................114 8.4. Dinamika gasnog apsorbera..........................................................................................................115 9. DINAMIKA I REGULACIJA PROCESA SA HEMIJSKOM REAKCIJOM .........................................119 9.1.1. Sistem reaktora sa reakcijom prvog reda ........................................................................................119 9.1.2. Nelinearni dinamički modeli izotermnih reaktora .........................................................................123 9.2. Dinamika i regulacija neizotermnih reaktora sa idealnim mesa ......................................................123 9.2.1. Dinamički model reaktora ................................................................................................................123

41 0 UVOD U REGULACIJU PROCESA 1. 1. Uloga regulacije proesa u energetskim , procesnim i termotehničkim postrojenjima 1.1. 1. Energetska, procesna i termotehnička postrojenja Energetska, procesna i termotehnička postrojenja javljaju se u vrlo različitim oblicima, što pokazuje već i sljedeći okvirni opis tih kategorija. Energetska postrojenja pretvaraju dio energije zatečene u prirodi u oblike koji su pogodni za transport do mjesta potrošnje i za korištenje npr. u električnu energiju. Toj kategoriji pripadaju elektrane javnog elektroenergetskog sistema (termoelektrane, hidroelektrane, termoelektrane-toplane), industrijske energane, brodske energane i sl. Procesna postrojenja prerađuju različite tvari sa svrhom dobivanja tvari veće upotrebne vrijednosti. To su npr. postrojenja kemijske i prehrambene industrije, industrije lijekova, postrojenja za proizvodnju cementa i drugih građevinskih materijala, za preradu nafte i sl. Termotehnička postrojenja održavaju u određenim prostorima željene mikroklimatske uvjete neovisno o trenutnim meteorološkim prilikama, pa toj kategoriji pripadaju postrojenja za grijanje, hlađenje i klimatizaciju. Zajedničko je obilježje svih navedenih postrojenja da se njihovo funkcioniranje temelji na pretežno kontinuiranim procesima pretvorbi energije i tvari. Osim ovog obilježja koje omogućuje da se pri rješavanju dijela njihove tehničke problematike koriste jedinstvena temeljna znanja i metode, postrojenja moraju ispunjavati i neke uvjete koji na tehnička rješenja postavljaju dodatne zahtjeve. Postrojenje ne smije ugrožavati sigurnost ljudi i opreme, mora funkcionirati pouzdano, a utjecaj njegova rada na okolinu ne smije prelaziti dozvoljene granice. Promatrana postrojenja najčešće djeluju u gospodarskom okruženju pa se u tom slučaju na njih postavljaju isti zahtjevi kao i na svakog drugog proizvođača robe izloženog tržišnoj utakmici: kakvoća proizvoda mora zadovoljavati propisane ili ugovorom utvrđene zahtjeve; isporuka proizvoda mora biti pouzdana, a tokom vremena mora pratiti potrebe tržišta; ukupni troškovi proizvodnje od investicijskih i pogonskih troškova do troškova održavanja moraju biti primjereni ostvarivoj prodajnoj cijeni proizvoda na tržištu.

Proizvodni karakter nekog postrojenja za proizvodnju cementa zacijelo nije sporan, ali tvrdnja da termoelektrana proizvodi energiju može zbuniti zbog mogućeg proturječja s osnovnim prirodnim zakonom o očuvanju energije. Proizvodom energetskog postrojenja smatrat ćemo upotrebljivi dio energije koji postrojenje predaje potrošačima i koji u gospodarskom smislu predstavlja predmet trgovine, a ne energiju u smislu tog pojma kojim se bavi fizika. Kakvoću energije kao tako definiranog proizvoda određuju fizikalni parametri o kojima ovisi njena upotrebljivost na mjestu potrošnje, npr. napon i frekvencija električne struje, temperatura i tlak medija kojim se toplinska energija prenosi potrošačima i sl. Proizvodom termotehničkih postrojenja mogu se smatrati mikroklimatski uvjeti u zadanom prostoru, a kakvoću tog proizvoda određuju fizikalni parametri mikroklime koji su važni za funkciju tog prostora npr. temperatura i vlažnost zraka, razina buke i sl. 1.1.2 Tehnološki proces i oprema U postrojenjima se istovremeno odvija veliki broj međusobno spregnutih procesa pretvorbi i transporta energije i tvari koji zajedno čine tehnološki proces postrojenja. Dijelovi postrojenja i opreme u kojima se odvija tehnološki proces predstavljaju tehnološku opremu. Osnovna svrha tehnološkog procesa je ostvarivanje zadanog proizvodnog učina postrojenja uz što povoljnije ekonomske učinke i uz još dopušteno djelovanje na okolinu. Stvaranje povoljnih uvjeta za odvijanje tehnološkog procesa odgovarajućim oblikovanjem i izvedbom tehnološke opreme nije, međutim, i dovoljno za funkcioniranje postrojenja. Da bi rad postrojenja u svim pogonskim uvjetima bio siguran, ekonomičan i ekološki prihvatljiv, u postrojenju uz tehnološku opremu moraju biti i uređaji koji će tokom pogona izvršavati funkcije regulacije, upravljanja, nadzora i zaštite.

5 1.1. 2. Regulacija procesa Intenzitet tehnološkog procesa prilagođava se tokom vremena promjenjivim zahtjevima okoline. Kako bi se tehnološki proces pri tome odvijao na približno optimalan način, vrijednosti nekih fizikalnih veličina u procesu (npr. tlakova, temperatura, brzine vrtnje i sl.) potrebno je održavati na nekoj određenoj razini. Zadaća je regulacije procesa da vrijednosti određenih fizikalnih veličina u procesu (reguliranih veličina) održava na zadanoj razini usprkos promjenama intenziteta tehnološkog procesa i usprkos promjenjivim utjecajima okoline. Ako regulaciju provodi čovjek govorimo o ručnoj regulaciji, a čovjeka u toj ulozi nazivamo operaterom. Posredstvom mjernih uređaja i svojih osjetila operater prima informacije o vrijednostima reguliranih veličina i na temelju njihove prosudbe djeluje na proces u smislu izjednačavanja stvarnih vrijednosti reguliranih veličina s njihovim zadanim vrijednostima. Automatska regulacija procesa djeluje bez izravnog učešća čovjeka pa se sva djelovanja u funkciji regulacije ostvaruju tehničkim sredstvima. Sposobnost uređaja automatske regulacije da pri nepredvidivim promjenama vanjskih utjecaja na proces održavaju vrijednosti reguliranih veličina na zadanim razinama ovisi isključivo o tehničkim rješenjima kojima je automatska regulacija ostvarena. 1.1. 3.Upravljanje Postrojenja nisu u pogonu tokom cijelog svojeg radnog vijeka -tehnološki proces povremeno se prekida da bi se nakon nekog vremena ponovo pokrenuo. Postupci pokretanja i obustavljanja tehnološkog procesa u kompleksnijim postrojenjima sastoje se od velikog broja pojedinačnih radnji, kao npr. otvaranje ili zatvaranje različitih zapornih organa, uključivanje i isključivanje pomoćnih uređaja i sl. Da bi se u postrojenju uspostavio normalni tehnološki proces na siguran i ekonomičan način potrebno je te radnje izvoditi određenim redoslijedom i pravovremeno s obzirom na dostignuti stupanj uspostavljanja procesa. Postupci kojima se vrši promjena pogonskog stanja postrojenja nazivat ćemo upravljanjem, a opremu i uređaje koji omogućuju automatsko provođenje tih postupaka nazivat ćemo uređajima za automatsko upravljanje. 1.1. 4. Nadzor Pogonsko osoblje mora imati mogućnost nadzora nad radom postrojenja bez obzira na stupanj automatiziranosti funkcija regulacije i upravljanja. Operateru su za to potrebne informacije o stanju procesa i o stanju pojedinih dijelova opreme, a uz to mora imati i mogućnost djelovanja na pojedine dijelove opreme. Uređaji koji to omogućuju nazivaju se uređajima za nadzor. Tokom pogona postrojenja mogući su poremećaji u tehnološkom procesu, a i nepredvidivi kvarovi na opremi. Neželjene posljedice takvih događaja bitno ovise o pravovremenom djelovanju operatera. Uređaji signalizacije upozoravaju operatera na pojavu nenormalnog stanja i daju informaciju o mjestu i prirodi smetnje ili kvara. 1.1. 5.Tehnološke zaštite U situacijama koje zahtijevaju brzo i točno provođenje određenih postupaka nakon pojave kvara ili nenormalnog pogonskog stanja u postrojenju, velika je opasnost od pogrešnog djelovanja čovjeka. Zbog toga se postrojenja opremaju i sredstvima zaštite. Tehnološkim zaštitama nazivaju se sredstva zaštite koja štite cijelo postrojenje i njegovu tehnološku opremu od nastanka i posljedica štetnih događaja. Mogu se svrstati u dvije skupine ovisno o načinu djelovanja: Pasivne zaštite (naziva ih se i blokadama) djeluju tako da tehničkim sredstvima onemogućavaju operateru provođenje postupaka koji bi u datim uvjetima mogli ugroziti pogonsku sigurnost postrojenja;

6Aktivne zaštite ostvaruju se tehničkim uređajima koji neprekidno nadziru kritične veličine u tehnološkom procesu (kritične sa stajališta sigurnosti) i u slučaju prekoračenja sigurnosne granice automatski djeluju u smislu sprečavanja štetnih posljedica. Zbog osnovne zadaće tehnoloških zaštita njihovo djelovanje mora biti potpuno automatizirano, a funkcionalnost uređaja zaštite treba biti što neovisnija o funkcioniranju ostalih dijelova postrojenja. 1.1. 6.Posebnost regulacije procesa Za razliku od tehnološkog procesa koji se ostvaruje pretvorbama i prijenosom energije i tvari, ključnu ulogu u ostvarivanju funkcija regulacije, upravljanja, nadzora i zaštite imaju informacije i njihove pretvorbe. Neke od informacija npr. informacije o vrijednostima pojedinih fizikalnih veličina u tehnološkom procesu dobivaju se mjerenjem, neke su pohranjene u uređajima koji ostvaruju pojedinu funkciju (npr. granične vrijednosti aktiviranja tehnoloških zaštita, zadane vrijednosti nekih reguliranih veličina i sl.), a neke unosi operater tokom rada postrojenja. Posebnost je regulacije procesa da pretvorbe informacija u funkciji regulacije neprekidno djeluju na regulirani proces, pa je ponašanje reguliranog procesa tokom vremena podjednako uvjetovano svojstvima samog procesa kao i načinom njegove regulacije. Regulirani proces, zajedno s pretvorbama informacija koje na njega djeluju u funkciji regulacije, čine cjelovit dinamički sistem. 1. 2. POSTROJENJE KAO SISTEM 1.2. 1. Značenja pojma "sistem" Pojam "sistem" općenito označava neku cjelinu sastavljenu iz dijelova između kojih postoje uzajamna djelovanja. Taj se pojam, međutim, koristi na dva različita načina: Pojmom "sistem" često se označava neku prepoznatljivu funkcionalnu cjelinu ili poredak koji

služe određenoj svrsi npr. uljni sistem turbine, napojni sistem generatora pare, elektroenergetski sistem zemlje, ili npr. pravni sistem države, sistem školstva, zdravstveni sistem, prometni sistem i sl.

U znanstvenoj analizi ili pri inženjerskom rješavanju nekog problema pojam "sistem" koristi se kao apstraktno sredstvo razmišljanja kao metodološki alat. Značenje tog pojma u svakom se konkretnom slučaju dovoljno jasno razabire iz konteksta da nema opasnosti od zabune.

1.2. 2. Pojam "sistem" kao metodološko sredstvo Bez namjere izricanja neke filozofske odredbe apstraktnog pojma "sistem", u daljnjem prikazu podrazumijevat će se njegovo značenje u smislu sljedeće ograničenije definicije:

Sistem je dio univerzuma, misaono i s nekom svrhom iz njega izdvojen i omeđen zamišljenom granicom. Preostali dio univerzuma, izvan zamišljene granice, smatra se okolinom tog sistema.

Sistem se sastoji iz sastavnih dijelova, komponenata, između kojih postoje uzajamna djelovanja, interakcije. Kroz granice sistema može se ostvarivati i djelovanje okoline na sistem. Suštinsko je obilježje sistema da njegova svojstva kao cjeline ne ovise samo o svojstvima svih njegovih komponenata, već i o njihovim interakcijama. Iste komponente, ali s različitim interakcijama između njih, mogu tvoriti sisteme posve različitih svojstava. Zbog toga neku cjelinu ima smisla promatrati kao sistem u slučaju kada se o njenim svojstvima ne može zaključivati samo na temelju svojstava njenih komponenata, već pri tome treba uzeti u obzir i njihove interakcije. Međusobni odnos pojmova sistem i komponenta je relativan jer se svaku od komponenata nekog sistema može promatrati kao sistem za sebe, tj. kao cjelinu izgrađenu od komponenata na nekoj nižoj, elementarnoj razini. Isto tako svaki se

7sistem može smatrati komponentom nekog većeg, složenijeg sistema. Mogućnosti razlaganja sistema na komponente na različitim razinama nemaju nekih konačnih objektivnih granica. 1.2. 3. Fizikalni sistemi U duhu polazne definicije pojma sistem, fizikalni sistemi rezultat su misaonog izdvajanja dijelova neživog materijalnog svijeta u kojem se uzročne veze uspostavljaju kao posljedica djelovanja fizikalnih zakona. Toj kategoriji sistema pripada i tehnološki proces postrojenja s pripadnom tehnološkom opremom, kao i njegovi dijelovi. U uzročnim vezama unutar fizikalnih sistema temeljnu ulogu imaju zakoni očuvanja – npr. mase, energije, količine gibanja. Svaka fizikalna veličina za koju vrijedi zakon očuvanja pohranjuje se u omeđenom dijelu prostora koji ćemo nazivati spremnikom te veličine. Ako se u nekom dijelu prostora istovremeno pohranjuje više fizikalnih veličina (npr. masa tvari, energija, količina gibanja), taj dio prostora ima ulogu onolikog broja spremnika koliko se fizikalnih veličina u njemu pohranjuje (akumulira). Stanje sistema određeno je u svakom trenutku vremena stupnjem ispunjenosti svih njegovih spremnika fizikalnim veličinama koje se u njima pohranjuju. Veličine koje neposredno ili posredno odražavaju stupanj ispunjenosti svakog od spremnika nazivaju se varijablama stanja. Stanje sistema u nekom trenutku vremena određeno je vrijednostima svih varijabli stanja u tom trenutku. Djelovanje okoline na fizikalni sistem ostvaruje se njenim utjecajem na tokove veličina koje se pohranjuju u spremnicima sistema. 1.2. 4. Dinamički sistemi 1.2.4. 1 Pojam dinamičkog sistema Sistem čije trenutno stanje ne ovisi samo o trenutnom djelovanju okoline već i o njegovom prethodnom stanju naziva se dinamičkim sistemom. Toj kategoriji sistema pripadaju svi realni fizikalni sistemi, ali takvima se mogu smatrati i mnoge druge cjeline koje u svrhu njihova boljeg razumijevanja promatrač izdvaja iz njene okoline. Iskorak iz kategorije fizikalnih sistema u širu kategoriju dinamičkih sistema potreban je za shvaćanje suštine problema regulacije procesa, u kojoj se uzročne veze ostvaruju podjednako djelovanjem fizikalnih zakona kao i algoritmima pretvorbi informacija. Ako se u pretvorbama informacija osim trenutnog sadržaja neke informacije u svakom trenutku vremena koristi i njen sadržaj iz prethodnog trenutka, tada tu informaciju treba pohranjivati u dijelovima sistema koji imaju sposobnost “pamćenja” informacije – u memorijama. U postupcima pretvorbi informacija memorije imaju sličnu ulogu kakvu u fizikalnim sistemima imaju spremnici u kojima se pohranjuju fizikalne veličine. Stanje dinamičkog sistema u kojem se uzročne veze istovremeno ostvaruju i djelovanjem fizikalnih zakona i pretvorbama informacija, definirano je u svakom trenutku vremena stupnjem punoće spremnika fizikalnim veličinama i sadržajem informacija pohranjenih u memorijama sistema. Regulaciju procesa obilježava isprepletenost pojmova fizikalnih veličina i fizikalnih zakona s pojmovima informacija i algoritama njihovih pretvorbi. Usprkos različitoj prirodi tih pojmova i velikoj raznolikosti u načinu ostvarivanja njihovih uzajamnih djelovanja kojima se u konkretnom slučaju ostvaruje krajnji učinak regulacije, pokazat će se da raznorodnost tih pojmova ne predstavlja poteškoću u razumijevanju i rješavanju problema regulacije. Ipak, u ovom trenutku bit će jednostavnije da se u upoznavanju s nekim temeljnim obilježjima dinamičkih sistema ograničimo na fizikalne dinamičke sisteme. 1.2.4. 2 Stacionarno i nestacionarno stanje dinamičkih sistema Trenutno stanje fizikalnog dinamičkog sistema određeno je stupnjem napunjenosti svakog od njegovih spremnika veličinom koja se u tom spremniku pohranjuje. Pohranjivana veličina dotječe u pojedini spremnik i istječe iz njega svojim ulaznim i izlaznim tokovima. Kada je intenzitet ulaznih

8tokova jednak intenzitetu izlaznih, količina pohranjivane veličine u spremniku s vremenom se ne mijenja, vrijednost varijable stanja koja odražava stupanj napunjenosti tog spremnika je s obzirom na vrijeme konstantna i stanje spremnika je u tom slučaju stacionarno. Ako su svi spremnici unutar dinamičkog sistema u stacionarnom stanju, tada je i stanje sistema stacionarno. Naprotiv, kada intenzitet ukupnog ulaznog toka u spremnik nije jednak intenzitetu ukupnog izlaznog toka pa njihova razlika izaziva promjenu količine pohranjivane veličine u spremniku, vrijednost varijable stanja s vremenom se mijenja pa je stanje tog spremnika, ali i stanje cijelog sistema kojem taj spremnik pripada, nestacionarno. 1.2.4. 3. Prijelazne pojave i stabilnost dinamičkih sistema Ako se u sistemu u jednom trenutku uspostavi nestacionarno stanje i zatim se sistem izolira od djelovanja okoline, njegovo će se stanje tokom vremena mijenjati kao posljedica zatečenih tokova između pojedinih spremnika sistema. Promjene svih veličina koje se tokom vremena mijenjaju kao posljedica promjena stanja sistema u takvim uvjetima nazivat ćemo prijelaznim pojavama. Ako se prijelazne pojave s vremenom smiruju, tj. ako su prigušene, pa se unutar radnog područja ponovo uspostavi neko stacionarno stanje, sistem je unutar tog područja stabilan. Naprotiv, ako se njegovo stanje neprekidno mijenja ili se bez obzira na uzrok i intenzitet polazne nestacionarnosti stacionira tek na granici radnog područja, sistem je nestabilan. Premda je ovakav prikaz pojma stabilnosti samo uvjetno točan, dovoljan je da na ovoj uvodnoj razini uočimo stabilnost kao dinamičko svojstvo s kojim se inženjer susreće pri rješavanju problema regulacije procesa. 1.2.4. 4 Karakteristične strukture dinamičkih sistema Već u polaznom opisu pojma "sistem" rečeno je da on označava neku cjelinu sastavljenu iz dijelova – komponenata – između kojih postoje uzajamna djelovanja – interakcije. Skup svih komponenata sistema i njihovih interakcija određuje strukturu sistema. Dinamička svojstva sistema, pa tako i njegova stabilnost ili nestabilnost, posljedica su njegove strukture i dinamičkih svojstava svake od njegovih komponenata. Strukturu sistema pogodno je prikazati grafički, za što se u teoriji sistema koriste različiti oblici prikaza. U sljedećim poglavljima koristit će se “blokovski prikaz” ili, kako se često naziva, prikaz u obliku “blok-dijagrama”. Komponentom sistema smatrat ćemo uzročno-posljedičnu vezu (kauzalitet) kojom neki uzrok izaziva neku posljedicu, a grafički ćemo je prikazati pravokutnikom – blokom. Veličine koje u toj uzročno-posljedičnoj vezi imaju ulogu uzroka simbolički se prikazuju strelicama koje ulaze u blok i nazivat ćemo ih ulazima, a veličine koje nastaju kao posljedica djelovanja tih uzroka prikazuju se strelicama koje izlaze iz bloka i nazivat ćemo ih izlazima.

Primjer bloka s jednim ulazom i s jednim izlazom prikazan je na Sl. 1

Slika 1 Grafički prikaz uzročne veze

Veličina koja djeluje kao ulaz u neki blok može nastajati unutar sistema kao izlaz iz nekog drugog bloka, a može i dolaziti iz okoline sistema kroz njegovu granicu. Interakcije između komponenata sistema ostvaruju se tako da izlaz iz jedne komponente djeluje kao ulaz neke druge, što je u blok-dijagramu sistema izraženo vezama između ulaza i izlaza pojedinih blokova. Na Sl. 2, prikazane su dvije karakteristične strukture koje se značajno razlikuju s obzirom na ukupna dinamička svojstava sistema, a napose s obzirom na stabilnost.

9

Slika 2.Dvije karakteristične strukture sistema – otvoreni i zatvoreni sistem

Dinamičke sisteme čiji su ulazi neovisni o izlazu nazivat ćemo sistemima bez povratne veze, ili otvorenim sistemima. Sa stajališta stabilnosti njihova je odlika da je takav sistem nužno stabilan ako su stabilne sve njegove komponente. Dinamički sistem čiji izlaz posredno djeluje sam na sebe, nazivat ćemo sistemom s povratnom vezom. Povratnom vezom smatra se djelovanje kojim posljedica putem uzročne veze djeluje sama na sebe. Zbog kružnog zatvorenog toka djelovanja u takvim sistemima nazivat ćemo ih i zatvorenim sistemima. Povratna veza može biti ili pozitivna ili negativna, što ovisi o učinku kojim neka zamišljena inicijalna promjena posljedice, tj. izlaza sistema, putem povratne veze utječe na njenu daljnju promjenu: povratna veza je pozitivna ako inicijalna promjena izlaza posredstvom povratne veze potiče

daljnju promjenu izlaza u istom smjeru; povratna veza je negativna ako inicijalna promjena izlaza djeluje putem uzročne veze

suprotstavljen daljnjoj promjeni izlaza u istom smjeru i nastojanjem da izazove njegovu promjenu u suprotnom smjeru.

Bez obzira na karakter povratne veze, tj. i u slučaju pozitivne i u slučaju negativne povratne veze, dinamička svojstva zatvorenog sistema bitno se razlikuju od svojstava sistema oko kojeg je zatvorena povratna veza. Krajnji učinak povratne veze na dinamička svojstva zatvorenog sistema bitno ovisi o njenom karakteru: pozitivna povratna veza već samim svojim postojanjem čini zatvoreni sistem nestabilnim, bez

obzira na dinamička svojstva sistema oko kojeg je zatvorena; negativna povratna veza svojim postojanjem ne predodređuje stabilnost zatvorenog sistema,

ali njenim zatvaranjem nastaje sistem posve drugačijih dinamičkih svojstava u odnosu na sistem oko kojeg je povratna veza zatvorena.

Zaključivati o svojstvima sistema kao cjeline na temelju poznatih svojstava komponenata i poznatih interakcija između komponenata nije moguće bez oslonca na osnovne spoznaje teorije dinamičkih sistema, uz pomoć odgovarajućeg matematičkog aparata. 1. 3 REGULACIJA PROCESA JE PROBLEM DINAMIKE SISTEMA 1.3. 1. Preduvjeti za ostvarivanje regulacije Vrijednosti fizikalnih veličina kojima je određeno stanje tehnološkog procesa u postrojenju mijenjaju se tokom vremena kao posljedica djelovanja brojnih, najčešće nepredvidiv utjecaja okoline. Ako je s obzirom na prirodu i svrhu procesa važno da vrijednost neke od tih veličina ne bude podložna vanjskim poremećajima već da tokom vremena bude što bliža nekoj zadanoj vrijednosti, takvu veličinu treba regulirati i u promatranom procesu ona ima ulogu regulirane veličine. Ako razliku između zadane i stvarne vrijednosti regulirane veličine nazovemo regulacijskim odstupanjem, svrha je regulacije da se regulacijsko odstupanje tokom vremena održava što manjim, a svakako unutar granica normalnog odvijanja procesa. Ostvarivanje regulacije uvjetovano je sljedećim preduvjetima: Između procesa i njegove okoline mora postojati bar jedno, dovoljno snažno upravljivo djelovanje, tj.

10djelovanje čijim se intenzitetom može tokom vremena upravljati sukladno informaciji o trenutno potrebnom intenzitetu; Upravljivim djelovanjem treba tokom vremena upravljati tako da ono, zajedno s nekontroliranim vanjskim utjecajima na proces, rezultira održavanjem regulacijskog odstupanja unutar prihvatljivih granica. Upravljivo djelovanje je dovoljno snažno ako se njime i uz najnepovoljnije nekontrolirane vanjske utjecaje na proces regulacijsko odstupanje može djelotvorno svesti na nulu. Tehničko sredstvo kojim se upravlja intenzitetom upravljivog djelovanja nazivat ćemo izvršnim organom. Izvršni organ mijenja intenzitet upravljivog djelovanja na temelju upravljačke informacije o potrebnom intenzitetu tog djelovanja. Drugim riječima, izvršni organ pretvara upravljačku informaciju u njoj odgovarajući intenzitet upravljivog djelovanja. Djelotvornost regulacije bitno ovisi o svrsishodnosti generiranja upravljačke informacije tokom vremena, tj. o kakvoći ispunjavanja drugog preduvjeta. Da bi upravljačka informacija koja putem izvršnog organa djeluje na proces, zajedno s istovremenim nekontroliranim i nepredvidivim utjecajima okoline na proces, rezultirala s još dopustivim regulacijskim odstupanjem, ona mora nastajati svrsishodnom obradom nekih drugih informacija. U slučaju ručne regulacije tu obradu vrši čovjek, a u slučaju automatske regulacije to radi tehnički uređaj -regulator. Prije upoznavanja s elementarnim strategijama regulacije koje se razlikuju po informacijama na temelju kojih regulator generira upravljačku informaciju, ovaj prikaz preduvjeta za regulaciju zaključit ćemo konstatacijom da u ostvarivanju regulacije bitnu ulogu imaju pretvorbe i prijenos informacija. Neke od njih dobiva se mjerenjem, neke su pohranjene u regulatoru ili se dovode iz okoline, a upravljačka informacija nastaje u regulatoru. Da bi se informacije mogle prenositi i da bi se obradom jednih mogle generirati neke druge, informacije moraju biti izražene nekim mjerljivim fizikalnim ili geometrijskim veličinama. Te veličine, kada su u ulozi nosilaca informacija, nazivat ćemo signalima. Sve komponente koje reguliranom procesu treba dodati u svrhu njegove automatske regulacije (regulator, mjerni uređaji i izvršni organ, zajedno s uređajima za pretvorbu informacija u signale i za prijenos signala između tih komponenata) tvore podsistem koji ćemo nazivati regulacijskim uređajem. Proces u kojem se formira regulirana veličina i regulacijski uređaj čine jedinstveni dinamički sistem čija struktura ovisi o primijenjenoj strategiji regulacije -ponajviše o izboru informacija na temelju kojih se u regulatoru generira upravljački signal koji upravlja izvršnim organom. 1.3. 2. Dvije elementarne strategije regulacije Da je problem regulacije procesa zapravo problem dinamike sistema, zorno će pokazati dvije elementarne strategije regulacije koje se u različitim oblicima, samostalno ili u međusobnoj sprezi, primjenjuju u tehničkoj praksi: regulacija povratnom vezom (engl. feed-back control); regulacija unaprijednim vođenjem (engl. feed-forward control)

Regulacijski krug najjednostavnija realizacija regulacije povratnom vezom

Najjednostavniji oblik regulacije povratnom vezom je regulacijski krug, kako ćemo nazivati strukturu prikazanu blok-dijagramom na Sl. 3,

Regulacijski krug

11

Slika 3 Blok-dijagram jednostavnog regulacijskog kruga

Napomena: Kružić na slici predstavlja simbol algebarskog zbrajanja

Regulator upravlja izvršnim organom na temelju informacije o regulacijskom odstupanju koja nastaje kao razlika informacija o zadanoj i o stvarnoj vrijednosti regulirane veličine. Informaciju o stvarnoj vrijednosti regulirane veličine dobiva se njenim mjerenjem, a informacija o zadanoj vrijednosti može biti ili pohranjena u regulacijskom uređaju ili se u regulacijski uređaj dovodi iz okoline. Pogled na strukturu regulacijskog kruga pokazuje da je to zatvoreni dinamički sistem s negativnom povratnom vezom, čime je uvjetovan i odnos između dinamičkih svojstava regulacijskog kruga kao cjeline i dinamičkih svojstava njegovih komponenata. Primjerice, u regulacijskom krugu može se ispoljiti nestabilnost i u uvjetima u kojima su sve njegove komponente, promatrane pojedinačno, stabilne. Nedostatkom te strategije može se smatrati i činjenicu da regulator djeluje na proces tek na temelju pojave regulacijskog odstupanja, bez obzira da li je ono izazvano djelovanjem vanjskih poremećaja na proces ili promjenom zadane vrijednosti regulirane veličine. Drugim riječima, neželjeno regulacijsko odstupanje mora se pojaviti da bi regulator putem izvršnog organa djelovao u smislu njegova otklanjanja. Povoljno je svojstvo regulacije povratnom vezom, zbog kojeg ona predstavlja temeljnu strategiju regulacije, da regulator putem izvršnog organa djeluje na proces u smislu otklanjanja regulacijskog odstupanja bez obzira na uzroke njegova nastajanja. Unaprijeđeno vođenje

Unaprijeđeno vođenje je strategija regulacije u kojoj se upravljački signal generira na temelju informacija o uzrocima pojave regulacijskog odstupanja, tj. obradom informacija o vanjskim poremećajima i o eventualnoj promjeni zadane vrijednosti regulirane veličine. Za razliku od regulacije povratnom vezom, na upravljivo djelovanje kod unaprijeđenog vođenja ne utječu niti stvarna vrijednost regulirane veličine niti regulacijsko odstupanje. Struktura sistema unaprijeđenog vođenja prikazan je blok-dijagramom na Sl. 4, . Kako je u tom slučaju regulacijsko odstupanje mjerodavni pokazatelj djelotvornosti regulacije s obzirom na regulirani proces, ono je na slici ucrtano tanjom isprekidanom strelicom. Sistem unaprijeđenog vođenja

odstupanje

Slika 4 Blok-dijagram unaprijeđenog vođenja

12Struktura sistema unaprijeđenog vođenja pokazuje ja to otvoreni dinamički sistem jer ne sadrži povratne veze. Stabilnost takvog sistema kao cjeline osigurana je stabilnošću svih njegovih komponenata. U idealnom slučaju, kada bi regulator na temelju informacija o trenutnom intenzitetu vanjskih poremećaja i informacije o zadanoj vrijednosti regulirane veličine upravljao izvršnim organom upravo tako da njime poništi učinke poremećaja i ostvari promjenu regulirane veličine u skladu sa željenom promjenom njene zadane vrijednosti, do pojave regulacijskog odstupanja ne bi niti došlo regulacija bi bila idealna. U realnosti, međutim, primjena unaprijeđenog vođenja kao samostalne strategije najčešće ne može pružiti zadovoljavajuću djelotvornost regulacije zbog ograničene točnosti informacija na temelju kojih se generira upravljački signal i ograničene točnosti pretvorbe tog signala u njemu odgovarajući intenzitet upravljivog djelovanja. Sve pogreške u generiranju upravljačkog signala i u njegovoj pretvorbi u stvarni intenzitet upravljivog djelovanja odražavaju se pojavom regulacijskog odstupanja, a regulator ne raspolaže informacijom o njegovu postojanju pa ne može niti djelovati u smislu njegova smanjenja. Prednosti i nedostaci opisanih temeljnih strategija regulacije utječu i na njihovu primjenu u tehničkoj praksi: za regulaciju dinamički jednostavnijih i sa stajališta točnosti manje zahtjevnih procesa

primjenjuje se regulacija jednostavnim regulacijskim krugom; u nekim se situacijama unaprijeđeno vođenje primjenjuje kao samostalna strategija regulacije; zahtjevnije procese regulira se kombinacijom obiju strategija.

1.3. 3. Regulirani proces i regulacijski uređaj tvore jedinstven dinamički sistem Regulirani proces i regulacijski uređaj čine funkcionalnu cjelinu koja se ponaša kao jedinstven dinamički sistem. Njegova dinamička svojstva podjednako ovise o svojstvima svih njegovih komponenata i o njihovim interakcijama, bez obzira na to da li se uzročne veze u komponentama i interakcije između njih ostvaruju izravnim djelovanjem fizikalnih zakona ili tokovima informacija i algoritmima njihove pretvorbe. Dinamička svojstva reguliranog procesa ovise o njegovoj prirodi i o konstrukciji tehnološke opreme u kojoj se odvija. Tehnološke značajke procesa i konstrukcijske značajke tehnološke opreme podređene su krajnjoj svrsi procesa, što ograničava mogućnosti prilagođavanja dinamičkih svojstava procesa potrebama njegove regulacije. Naprotiv, regulacijski uređaj sa svim njegovim komponentama i svim tokovima signala upravo služi ostvarivanju potrebne djelotvornosti regulacije datog procesa. Rješavanje problema automatske regulacije nekog procesa velikim se dijelom svodi na nalaženje takve strukture regulacijskog uređaja da sistem koji nastaje sprezanjem regulacijskog uređaja s reguliranim procesom rezultira potrebnom kakvoćom regulacije. Prijenos i pretvorbe informacija u regulacijskom uređaju mogu se ostvariti vrlo različitim tehničkim sredstvima od smisleno oblikovanih tehničkih sklopova koji neposrednim djelovanjem fizikalnih zakona ostvaruju jednostavnije algoritme pretvorbi informacija, pa do moćnih računala kojima se realiziraju i vrlo složeni, računalnim programima definirani algoritmi. Izbor načina tehničke realizacije regulacijskog uređaja ne ovisi u konkretnom slučaju samo o njegovim dinamičkim svojstvima koja su potrebna za postizanje očekivane djelotvornosti regulacije, već i o nizu drugih zahtjeva i ograničenja, npr. s obzirom na cijenu i sl. 1.3. 4. Znanja, metode i inženjerski alati za rješavanje problema regulacije Matematičko modeliranje Dinamička svojstva nekog sistema ispoljavaju se ovisnošću promjene stanja sistema i njime uvjetovanih izlaznih veličina tokom vremena o promjenama ulaznih veličina ili, izrazimo li se rječnikom dinamike sistema, oblikom odziva sistema na zadanu pobudu. Skup matematičkih objekata, koji na određenoj razini točnosti sadrži informaciju o odzivu dinamičkog sistema na bilo kakvu, unaprijed nepoznatu pobudu, naziva se matematičkim modelom sistema. Matematički modeli

13dinamičkih sistema najčešće se izražavaju diferencijalnim jednadžbama u kojima je vrijeme nezavisna varijabla. Rješenje tih jednadžbi su funkcije vremena koje izražavaju odziv modela na zadanu pobudu. Stupanj sličnosti između odziva modela i odziva modeliranog sistema na istu pobudu ovisi o točnosti modela. Veća točnost modela uvjetovana je i njegovim složenijim oblikom i težim nalaženjem njegova rješenja, pa je svaki matematički model nekog realnog dinamičkog sistema rezultat kompromisa između točnosti modela i složenosti postupka njegova rješavanja. Dinamička svojstva istog dinamičkog sistema mogu se modelirati vrlo različitim modelima na različitim razinama točnosti, a i samu točnost modela može se definirati na različite načine i ocjenjivati različitim kriterijima, ovisno o svrsi modela i načinu njegova korištenja. Matematički model dinamike nekog fizikalnog sistema, pa tako i reguliranog procesa, može se izvesti matematičkim formuliranjem fizikalnih zakona na temelju projektnih podataka o procesu i o tehnološkoj opremi, ali i obradom rezultata mjerenja ulaznih i izlaznih signala realnog procesa u pogonu. Simulacija Predviđanje odziva nekog dinamičkog sistema na zadanu pobudu najčešće se ostvaruje rješavanjem diferencijalnih jednadžbi kojima je izražen njegov matematički model. Pri rješavanju problema regulacije to se najčešće ostvaruje numeričkim postupcima uz pomoć računala. Računalom mehanizirano rješavanje matematičkog modela naziva se simulacijom. Postupak simulacije odvija se tako da se od početnog trenutka modulskog vremena, u kojem je stanje modela definirano početnim uvjetima, vrijednost izlaza u svakom sljedećem trenutku izračunava na temelju rezultata izračunavanja iz prethodnih trenutaka i aktualne vrijednosti ulaza. Oblik promjene ulaza ne mora biti zadan u analitičkom obliku, što omogućuje predviđanje odziva modeliranog sistema i na slučajne promjene ulaza. Informacije o ponašanju dinamičkog sistema dobiva se simulacijom njegova modela u sličnom obliku u kojem bi se dobile i mjerenjem na realnom sistemu, zbog čega se simulaciju može shvatiti poput numeričkog eksperimenta. U odnosu na mjerenja na realnom objektu prednost joj je da omogućuje predviđanje dinamičkih svojstava sistema i prije njegove fizičke izvedbe, kao i predviđanje ponašanja postojećih sistema u pogonskim uvjetima u kojima bi mjerenja bila opasna, teško izvodiva ili suviše skupa. Simulacija je djelotvorno sredstvo za ispitivanje i provjeru projektnih rješenja regulacije, njena upotrebljivost kao inženjerskog alata raste s razvojem računalne tehnike, a njenu primjenu uvelike olakšavaju različiti simulacijski programi koji se nude na tržištu računalnih inženjerskih alata. Teorija linearnih dinamičkih sistema Matematičko modeliranje i simulacija omogućuju dobivanje dragocjenih informacija o ponašanju sistema, ali ovladavanje tim metodama samo za sebe nije i dovoljno za razumijevanja i uspješno rješavanje problema regulacije imalo zahtjevnijih procesa. Neke tvrdnje izrečene u ovom, a i u prethodnim poglavljima potiču niz pitanja, npr. o prirodi razlike između zahtjevnijih i manje zahtjevnih procesa, o kriterijima za ocjenu točnosti matematičkog modela nekog procesa, o utjecaju pojedinačnih dinamičkih svojstava reguliranog procesa i regulacijskog uređaja na dinamička svojstva sistema koji nastaje njihovim sprezanjem i sl. Odgovore na takva i slična pitanja izražava se uz pomoć pojmova iz teorije sistema, a osnovne predodžbe o temeljnim oblicima tih pojmova, kao i o nekim općim spoznajama o prirodi dinamičkih sistema, daje teorija linearnih dinamičkih sistema. Pojam linearnih dinamičkih sistema obuhvaća jednu apstraktnu kategoriju dinamičkih sistema kojima je zajedničko svojstvo linearnosti. Na posjedovanju tog svojstva temelji se teorija linearnih dinamičkih sistema koja vrijedi za svaki takav sistem bez obzira na njegovu složenost. Između apstraktnog pojma linearnog dinamičkog sistema i vrlo široke lepeze realnih sistema postoji, međutim, dovoljno jasan odnos koji omogućuje da osnovni pojmovi i spoznaje iz teorije linearnih dinamičkih sistema čine nezaobilazni temelj za razumijevanje i rješavanje problema automatske regulacije procesa. Teorija regulacije

14Upotrebljivost i učinak mnogih tehničkih sistema uvjetovani su kakvoćom regulacije nekih veličina koje su presudne za funkcioniranje i ostvarivanje krajnje svrhe sistema. Ta je činjenica doprinijela stvaranju i razvoju širokih i matematički snažno utemeljenih teorijskih zasada koje se mogu obuhvatiti zajedničkim nazivom "teorija regulacije" (u smislu engl. "Control Theory"). Sve širu primjenu dostignuća te teorije u regulaciji procesa omogućuje razvoj automatizacijske oprema temeljene na računalnoj tehnici, koja zahvaljujući pouzdanosti i računalnoj moći svojih komponenata zauzima sve značajnije mjesto u suvremenim postrojenjima. U sljedećim poglavljima čitatelj će se upoznati s osnovnim spoznajama koje će mu omogućiti racionalni pristup problemima dinamike i regulacije procesa, a ponekog će čitatelja možda i potaknuti na dublji ulazak u ovo zanimljivo područje inženjerskog djelovanja. 2. 1 UVODNA RAZMATRANJA O AUTOMATSKOM UPRAVLJANJU Doba automatizacije temelji se na automatskom upravljanju i informacijskim tehnologijama. Automatsko upravljanje je strogo metodički orijentirano stručno područje koje se koristi ili je zastupljeno u: • tehničkim sistemima; • netehničkim dinamičkim sistemima:

-biološkim, -ekonomskim, -sociološkim, -političkim.

Zato dinamički sistem treba promatrati vrlo globalno, što bi se moglo izraziti na sljedeći način: Dinamički sistem predstavlja funkcijsku cjelinu za obradu i prijenos energije, materije, informacije i kapitala, gdje se ulazne veličine sistema promatraju uzrokom, a izlazne veličine sistema njegovom vremenskom posljedicom. Struktura dinamičkog sistema može biti: •s jednim ulazom i jednim izlazom - SISO sistem (Single Input Single Output) prikazan na Sl. 5

Slika 5. SISO sistem jedan ulaz i jedan izlaz

•s više ulaza i više izlaza - MIMO sistem (Multiple Input Multiple Output) prikazan na Sl. 6 u

1 y1

Slika 6 - MIMO sistem, više ulaza i više izlaza

odnosno na Sl. 7,

15

Slika 7 MIMO sistem • hijerarhijski strukturirani višerazinski sistemi, prikazani na Sl. 8:

Slika 8. Hijerarhijski strukturirani višerazinski sistem U osnovi se dinamički sistem promatra kroz tzv. kibernetski pristup: Kibernetika je nauka pomoću koje se spoznaju zakonitosti procesa upravljanja u prirodi, tehnici i društvu (→ANALIZA) kako bi se temeljem tih spoznaja (analize) projektirali tehnički sistemi (→SINTEZA) odnosno poboljšali prirodni sistemi. (Norbert Wiener )

2. 2. Blokovski prikaz sistema

U smislu definicije dinamičkog sistema, dinamički se sistem može promatrati kao prijenosni sistem (prijenosni član, ako se promatra element sistema). Prijenosni sistemi imaju jednoznačni smjer djelovanja određen smjerom strelice, prikazan na Sl. 9:

Slika 9 Prijenosni sistemi

16 Za povezivanje signala koriste se sljedeći tipični simboli prikazani u Tab. 1: Tabela 1. Tipični simboli za povezivanje signala

Naziv Simbol Matematička operacija Tačka grananja

x1=x2=x3

Tačka sumacije

x3=x1x2

Množenje

x3=x1 x2

Postoji više načina za prikaz prijenosnog vladanja sistema (člana) upotrebom blokova: • pomoću diferencijalne jednadžbe, prikazane na Sl. 10

Slika 10. Pomoću diferencijalne jednadžbe

pomoću prijelazne funkcije (odziv na jediničnu skokovitu funkciju u=1 S(t) prikazanu na Sl. 11

Slika 11. Odziv na jediničnu skokovitu funkciju

•pomoću prijenosne funkcije, prikazane na Sl. 12

TssG

11)( YU

Slika 12.Prikaz pomoću prijenosne funkcije

Ako u sistemu postoje nelinearni članovi oni se prikazuju pomoću statičke nelinearnosti. Isto tako, sistemi se mogu prikazati pomoću dijagrama toka signala, prikazani u Tab. 2:

17Tabela 2. Sistemi prikazani pomoću dijagrama toka signala

2. 3. Upravljanje bez povratne veze i s povratnom vezom

•upravljanje bez povratne veze (upravljanje u otvorenoj petlji) (feedforward control )

•upravljanje s povratnom vezom (feedback control) Primjer 1. Upravljanje temperaturom prostorije (bez povratne veze) prikazano je na Sl. 13

Slika 13. Upravljanje temperaturom prostorije Mjeri se vanjska temperatura A, mjerni signal se dovodi na upravljački uređaj, koji djeluje na motor M ventila V i na taj način utječe na protok Q koji ide na radijator prikazano na Sl. 14.

18

Slika 14.Funkcija protoka o temperaturi Pri tome je Q = f (A). Kod promatranog upravljanja imamo 2 poremećaja (smetnje) na sistem: 1z - temperaturni poremećaj uslovljen otvaranjem prozora (u ovakvom upravljanju ne može se kompenzirati) 2z -vanjska temperatura (koja se mjeri). Primjer 2. Upravljanje temperaturom prostorije (s povratnom vezom) prikazano je na Sl. 15

Slika 15. Upravljanje temperaturom prostorije (s povratnom vezom)

U ovom slučaju mogu se s pomoću regulatora R kompenzirati utjecaji svih poremećaja. a)upravljanje u otvorenoj petlji prikazano je na Sl. 16:

19

Slika 16. Upravljanje u otvorenoj petlji Upravljanje u otvorenoj petlji: -predstavlja otvoreni tok djelovanja (upravljački lanac); -kompenzira utjecaj samo one smetnje s obzirom na koju se projektira upravljački uređaj; -ako je upravljani objekt sam po sebi stabilan, ostaje stabilan i uz djelovanje ovakvog upravljanja. b) upravljanje u zatvorenoj petlji prikazano je na Sl. 17:

Slika 17. Upravljanje u zatvorenoj petlji Upravljanje u zatvorenoj petlji: -predstavlja zatvoreni tok djelovanja (regulacijski krug, regulacijska petlja); -može kompenzirati utjecaj svih smetnji (negativna povratna veza); -može postati nestabilan (regulirana veličina može oscilirati, teoretski, preko svih granica).

20

2. 4 Principni način funkcioniranja upravljanja

Upravljanje (regulacija) treba obaviti sljedeće zadaće:

•zadaća je regulacije da kompenzira utjecaje smetnji koje djeluju na proces. Pri tome regulirana veličina y (regulirane veličine) trebaju ostati na vrijednosti određenoj namještenom XR (željenom) vrijednošću regulatora. (eng.setpoint) Ovdje se radi o čvrstoj regulaciji (stabilizaciji, regulaciji smetnje).

•zadaća je regulacije da regulirana veličina y čim bolje slijedi promjenljivu referentnu vrijednost XR. Ovdje se radi o slijednoj regulaciji. U oba slučaja mora se trajno mjeriti regulirana veličina y i uspoređivati s referentnom vrijednosti XR s ciljem da regulacijsko odstupanje izčezne (e → 0). Primjer 3. Regulacija brzine vrtnje parne turbine (problem stabilizacije) prikazana je na Sl. 18

Slika 18. Regulacija brzine vrtnje parne turbine

Na zupčanik je spojeno centrifugalno njihalo koje preko poluge aktivira ventil kroz koji prolazi para (pod određenim pritiskom i temperaturom). Centrifugalno njihalo s polugom predstavlja centrifugalni regulator. Da bi se održavala brzina vrtnje turbine konstantnom mora se dovoditi konstantna struja pare na turbinu (ako nema smetnji). Smetnje koje mogu djelovati na sistem: •promjena stanja pare (pritisak, temperatura) – z1'; •protupritisak – z2'; •promjena opterećenja generatora – z3'. Centrifugalni regulator kompenzira utjecaje smetnji. Položaj uporišta P poluge u centrifugalnom regulatoru određuje pojačanje regulatora prikazano na Sl. 19.

21Slika 19. Centrifugalni regulator

a) Ako je uporište poluge pomaknuto daleko u lijevo (malo pojačanje regulatora), tada se relativno veliku promjenu brzine vrtnje relativno malo promjeni položaj ventila. U ovom slučaju nije zajamčeno da će regulator kompenzirati utjecaj poremećaja. b) Ako se uporište poluge pomakne prema desno (veliko pojačanje regulatora), onda će mala promjena brzine vrtnje jako djelovati na položaj ventila. U ovom slučaju mogu nastupiti oscilacije brzine vrtnje. Ako se oscilacije raspiruju, može nastupiti nestabilni rad sistema. Na temelju razmatranja na ovom primjeru dolazi se do suštinske postavke automatskog upravljanja u pogledu tehničke uporabe sistema: •regulator se mora tako projektirati da osigura stabilnost sistema. Pored toga , moraju se ispuniti i dodatni zahtjevi, npr.: -da vrijeme potrebno za kompenzaciju utjecaja smetnje bude minimalno; -da regulacijsko odstupanje prouzročeno smetnjom bude minimalno; - da slijeđenje vodeće vrijednosti bude čim bolje; Ovi dodatni zahtjevi formuliraju se obično u obliku kriterija dobrote (kakvoće) regulacije. Ako sistem upravljanja ispunjava ove kriterije onda se takav sistem naziva optimalnim u smislu primijenjenih kriterija. Prema tome:

•analiza stabilnosti, i •projektiranje optimalnog regulatora

predstavljaju najvažnije zadaće automatskog upravljanja. Primjer 4. Regulacija zakreta (Slijedno upravljanje) prikazana je na Sl. 20.

Slika 20. Regulacija zakreta

Ovdje istosmjerni motor pogoni potenciometar (slijedni potenciometar) čiji kutni položaj 2 treba slijediti kutni položaj vodećeg potenciometra 1, a da pri tome odstupanje 1-2 bude čim manje. Oba potenciometra spojena su u mosni spoj s konstantnim naponom napajanja Us. Dijagonala mosnog spoja ima napon: ud = u1- u2 Ako je ud = 0, onda je 1=2. Ako se zakrene slijedni potenciometar (ud ≠ 0), preko diferencijalnog pojačala se djeluje na napon armature motora, koji preko prigona djeluje na zakret slijednog potenciometra. Taj proces traje sve dotle dok se ne postigne ud = 0. Ovdje je : UA=KRud ,

22gdje je KR-pojačanje (podesivo) što je prikazano na Sl. 21.

Slika 21. Djelovanje slijednog potenciometra

2. 5.Osnovna struktura sistema upravljanja

Na temelju dva prethodna primjera može se postaviti struktura regulacijskog kruga. Regulacijski krug sadrži 4 glavna sastavna dijela: -proces (regulacijska staza); -mjerni član; -regulator; -izvršni (postavni) član. Sastavni dijelovi regulacijskog kruga prikazani su na Sl. 22. :

Slika 22. Sastavni dijelovi regulacijskog kruga

y - regulirana veličina (stvarna vrijednost) (controlled variable engl.) xR – referentna veličina (referenca) (reference value (engl.) e – regulacijsko odstupanje , e - actuating signal (engl.) u – upravljačka, izvršna veličina (postavna veličina) u - manipulated variable (engl.) z – smetnja, poremećaj Suštinska je uloga regulatora da obrađuje regulacijsko odstupanje: e(t) = xR(t) – y(t), → uR = f(e) po određenom algoritmu (zakonu upravljanja), djelujući preko izvršnog člana na proces. Prikaz regulacije brzine vrtnje parne turbine i regulacije zakreta prikazani su blokovski na Sl. 23

23

Slika 23. Prikaz regulacije brzine vrtnje parne turbine i regulacije zakreta

i Sl. 24, s pridruženim funkcijama elementima sistema.

Slika 24. Prikaz regulacije brzine vrtnje parne turbine i regulacije zakreta

Često nije moguće regulacijski krug podijeliti u 4 navedena dijela, iz razloga izvedbe, pa se koristi pojednostavljeni blokovski prikaz kao na Sl. 25,

Slika 25.pojednostavljen blokovski prikaz

Regulacijski uređaj = Regulator + Izvršni član. Proces uključuje mjerni član. Na prethodnim blokovskim prikazima e(t) se određuje na temelju negativne povratne veze, a koncept upravljanja zasniva se na principu negativne povratne veze.

242. 6. NEKA VAŽNIJA SVOJSTVA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

Općenito se za opis vladanja sistema koriste fizikalne i/ili druge zakonitosti ili se o vladanju sistema zaključuje na temelju mjerenja. Matematički prikaz vladanja sistema je matematički model koji se sastoji od diferencijalnih, algebarskih ili logičkih jednadžbi. Čemu služe matematički modeli? - općenito predstavljaju polazište pri:

•analizi i sintezi sistema upravljanja •simulaciji sistema na računalu (omogućava se "eksperimentiranje" na matematičkom modelu

umjesto na stvarnom sistemu) Određivanje matematičkog modela složen je posao! Treba odrediti strukturu i parametre matematičkog modela (posebno važno u fazi projektiranja sistema) Identifikacija: -teoretska, -eksperimentalna. •Teoretska identifikacija (sistemska analiza) temelji se na poznavanju fizikalnih i drugih zakonitosti procesa i postavljanju jednadžbi ravnoteže (mase, energije, impulsa gibanja). •Eksperimentalna identifikacija zasniva se na mjerenju ulazno/izlaznih veličina procesa te obradbi tih veličina. Specijalni oblici matematičkog modela ovise o stvarnim svojstvima procesa (sistema), kako slijedi prikazano na Sl. 26.,

Slika 26 Specijalni oblici matematičkog modela ovisni o stvarnim svojstvima procesa (sistema)

2. 7. Sistemi u dinamičkim i stacionarnim stanjima (režimima)

25Dinamičko vladanje (vremensko vladanje) :opisuje vremenski tok izlazne veličine sistema (procesa) y(t) uz ulaznu veličinu sistema (procesa) x(t). Ova veza između ulazno/izlaznih veličina dade se općenito izraziti pomoću operatora T; dakle, svakom realnom x(t) pridružen je realni y(t):

)()( txTty (2- 1) Primjer 5. Veza ulazno/izlaznih veličina prikazana na Sl. 27,

Slika 27. Veza između ulazno/izlaznih veličina

Vladanje sistema u stacionarnom stanju (statičko vladanje). Za različite vrijednosti xs = konst. Prikazane na Sl. 28.

Slika 28 Vladanje sistema u stacionarnom stanju (statičko vladanje)

Krivulja ys = f(xs) predstavlja statičku karakteristiku (krivulju)(indeks "s" upućuje na stacionarno stanje ) 2. 8.Svojstva sistema 2.2. 1 Linearni i nelinearni sistemi Sistem je linearan ako vrijedi princip superpozicije

za proizvoljnu linearnu kombinaciju ulaznih veličina xi(t), gdje je: i = 1, 2, ... n, ki - realne konstante. Ako ne vrijedi princip superpozicije, sistem je nelinearan.

26Linearni kontinuirani sistemi obično se opisuju pomoću linearnih diferencijalnih jednadžbi:

Za linearne sisteme upravljanja zaokružena je teorija, što nije slučaj za nelinearne sisteme. Za nelinearne sisteme šire se primjenjuju približne metode, kao što je linearizacija. a) Linearizacija statičke karakteristike ys = f(xs) → može se rastaviti u Taylorov red u proizvoljno odabranoj radnoj točki (x0 , y0 ):

ako je odsupanje (x-x0) oko radne tačke dovoljno mala onda je :

)( 00 xxKyy (2-5) gdje je:

Slično se linearizacija može provesti za funkcije dviju ili više neovisnih varijabli. Za

y= (x1,x2) (2 - 6) Taylorov razvoj u radnoj točki (y0, x10, x20) je:

iz čega slijedi:

b)Linearizacija nelinearne diferencijalne jednadžbe Neka je nelinearni dinamički sistem s ulazom x(t) i izlazom y(t) opisan nelinearnom diferencijalnim jednadžbom 1. reda:

koju treba linearizirati u okolišu radne točke (x0, y0). Za stacionarno (mirno) stanje je:

27

Stacionarno stanje se, prema tome, dobije rješenjem jednadžbe:

Označimo s ∆y(t) odstupanje varijable y(t) od mirnog položaja y0:

Analogno vrijedi za x(t):

Razvoj u Taylorov red u radnoj točki jednadžbe

daje:

(2.12) Iz (2 - 9) do (2 - 12) slijedi:

gdje je:

Sasvim analogno može se linearizirati nelinearna vektorska diferencijalna jednadžba:

gdje je:

Linearizacija daje linearnu vektorsku diferencijalnu jednadžbu:

pri čemu su A i B Jacobijeve matrice:

28

2.2. 2. Sistemi s koncentriranim i raspodijeljenim parametrima Ako se sistem zamisli da je sastavljen od konačno mnogo idealiziranih pojedinačnih elemenata (npr. omski otpori, kapaciteti, induktiviteti, prigušivači, opruge, mase itd.), onda se takav sistem naziva sistemom s koncentriranim parametrima. Ako pak sistem posjeduje beskonačno mnogo beskonačno malih pojedinačnih elemenata, onda se radi o sistemu s raspodijeljenim parametrima. Primjer 6: Električni vod Napon na vodu je funkcija mjesta i vremena, pa se stoga opisuje pomoću parcijalnih diferencijalnih jednadžbi. Primjer 7. Oscilatorni sistem Sistem s koncentriranim parametrima prikazan je na Sl. 29

Slika 29. Sistem s koncentriranim parametrima

Sistem s raspodijeljenim parametrima prikazan je na Sl. 30

29

Slika 30. Sistem s raspodijeljenim parametrim

2.2. 3. Vremenski promjenljivi i vremenski nepromjenljivi sistemi Ako parametri sistema nisu konstantni nego se mijenjaju s vremenom, onda se radi o vremenski promjenljivim sistemima. Ako to nije slučaj, onda se radi o vremenski nepromjenljivim sistemima. Primjeri vremenski promjenljivih sistema:

-raketa (promjena mase); - temperaturno ovisni otpornik (pri vremenskoj promjeni temperature).

(vremenski varijantan =vremenski varijabilan = nestacionaran ) (vremenski invarijantan =stacionaran ) Vremenska nepromjenjivost (invarijantnost) može se iskazati formalno pomoću operatorskog zapisa:

Primjer 8. Oscilatorni sistem (vremenski pomak ulaznog signala x(t) za t0 ima za posljedicu isti pomak izlaznog signala y(t), bez da se y(t) izobliči.) prikazan na Sl. 31

Slika 31. Oscilatorni sistem

2.2. 4. Sistemi s kontinuiranim ili diskretnim načinom rada y je unutar određenih granica kontinuirano promjenljiva (kontinuirani signal) prikazan na Sl. 32,

Slika 32. Kontinuirani signal

30 y može poprimiti samo određene vrijednosti amplitude (kvantizirani signal ), prikazan na Sl. 33

Slika 33. Kvantizirani signal

y je poznat samo u vremenski diskretnim trenucima (vremenski diskretan signal ) prikazan na Sl. 34

Slika 34. Vremenski diskretan signal

Gdje je T - konstantna perioda uzorkovanja (ekvidistantno uzorkovanje) Kvantizirane i vremenski diskretne signale susrećemo u digitalnim sistemima. 2.2. 5. Sistemi s determinističkim ili stohastičkim sistemskim varijablama Deterministički signali (a onda i sistemi) jednoznačno su određeni (dadu se analitički opisati i mogu se reproducirati) prikazan na Sl. 35

Slika 35. Deterministički signali Stohastički signali (a onda i sistemi) imaju potpuno neregularan karakter (ne dadu se analitički opisati i ne mogu se reproducirati), prikazan na Sl. 36

31

Slika 36. Stohastički sagnal

Vrijednost signala u svakom trenutku može se opisati samo pomoću statističkih zakonitosti. 2.2. 6. Kauzalni i nekauzalni sistemi Za kauzalni sistem mora nastupiti prvo pobuda, da bi se potom dobio odaziv. Svi realni sistemi su stoga kauzalni! 2.2. 7.Stabilni i nestabilni sistemi Ako svaka po iznosu ograničena pobuda daje izlazni signal sistema koji je također ograničen, onda je sistem stabilan prikazan na Sl. 37.

Slika 37. Stabilan sistem

Nestabilan sistem prikazan je na Sl. 38.

Slika 38. Nestabilan sistem

32Dodatak: Uz navedena sistemska svojstva važna su još i svojstva: -upravljivost ( controlability (engl.) -osmotrivost. observability (engl.) 3 0 OPIS LINEARNIH KONTINUIRANIH SISTEMA U VREMENSKOM PODRUČJU 3. 1 Opis pomoću diferencijalnih jednadžbi

• obične linearne diferencijalne jednadžbe (sistemi s koncentriranim parametrima ) • parcijalne linearne diferencijalne jednadžbe (sistemi s raspodijeljenim parametrima )

Fizikalni zakoni su polazište pri postavljanju matematičkog modela procesa (dinamičkog modela procesa). • Za električke sisteme su od posebne važnosti:

-Kirchhoffovi zakoni, - Ohmov zakon, -zakon indukcije, (za sisteme s koncentriranim parametrima)

kao i -Maxwellove jednadžbe(za polja kao i sisteme s prostorno raspodijeljenim parametrima) • Za mehaničke sisteme su od posebne važnosti: -Newtonovi zakoni; - zakoni ravnoteža sila i momenata; -zakoni održanja impulsa gibanja i energije. • Za termodinamičke sisteme su od posebne važnosti: -zakoni očuvanja unutarnje energije ili entalpije; -zakoni vođenja topline i prijenosa topline (često povezani sa zakonima termodinamike i dinamike plinova). Primjer 9. Električki sistem prikazan na Sl. 39

Slika 39. Električki sistem

Za petlju 1:

Za petlju 2:

33

-Za čvor A:

Iz ovih triju jednadžbi slijedi:

gdje je:

Za rješenje ove diferencijalne jednadžbe 2. reda mora biti poznato:

Primjer 10. Mehanički sistem Mehanički sistem prikazan je na Sl. 40

Slika 40 Mehanički sistem

Gdje v1, v2 i xu opisuju brzine u označenim tačkama Prema Newtonovu zakonu je:

U promatranom slučaju je:

Iz ravnoteže sila u točki P slijedi: (sila prigušenja = sila opruge):

Iz ovih dviju jednadžbi slijedi:

34

gdje je:

Analogije: • sila i struja F i •brzina i napon v u Koriste se i druge analogije, kao: • sila i napon F u • brzina i struja v i) 3. 2 Opis sistema pomoću specijalnih izlaznih signala 1.Prijelazna funkcija h(t) (odziv na skokovitu pobudu S(t))

ako je pobuda sistema:

tada je prijelazna funkcija:

2. Težinska funkcija (impulsni odziv) g(t) To je odziv sistema na impulsnu funkciju δ(t) . δ(t) nije funkcija u smislu klasične analize, nego se mora promatrati kao poopćena funkcija ili distribucija. Jednostavnosti radi, δ(t) se nadomješta pravokutnim impulsom:

35

odnosno prikazano na Sl. 41

Slika 41 Jakost impulsa

Svojstva δ(t):

U smislu teorije distribucija δ(t) i S(t) su povezane na način:

Isto tako:

3. Konvolucijski integral (Duhamelov integral) Promatramo dinamički sistem s: u(t) - ulaz (pobuda), y(t) - izlaz (odziv). Tada vrijedi:

Ako je poznata težinska funkcija g(t) sistema i pobuda u(t), onda se može odrediti i odziv sistema y(t). Isto tako: dekonvolucijom se dobije, za poznati tok signala u(t) i y(t), težinska funkcija g(t).

363. 3 Prikaz u prostoru stanja 1. Prikaz u prostoru stanja za SISO sisteme Na RLC mreži prikazanoj na Sl. 42 dat je opis sistema u prostoru stanja.

Slika 42. Opis sistema u prostoru stanja na RLC

Dinamičko vladanje sistema je u cijelosti definirano za t ≥t0, ako su poznati: - početne vrijednosti uC(t0) i i(t0) i - ulazni napon uu(t) za t >t0. Veličine uC(t) i i(t) karakteriziraju stanja mreže i označavaju se varijablama stanja mreže. Za promatranu mrežu vrijedi:

Matrični zapis:

Pri tome su početni uslovi:

Prethodna linearna vektorska diferencijalna jednadžba opisuje odnos između ulazne veličine u i varijabli stanja x:

37

Algebarska jednadžba koja opisuje odnos izlazne veličine y s varijablama stanja x i ulaznom veličinom u glasi:

Za analizirani primjer je:

2. Prikaz u prostoru stanja za MIMO sisteme

gdje je:

A (n×n) matrica sistemska matrica; B (n×r) matrica ulazna matrica (upravljačka matrica); C (m×n) matrica izlazna matrica(matrica osmatranja, matrica mjerenja); D (m×r) matrica ulazno/izlazna matrica. Značajke prikaza u prostoru stanja: 1. SISO i MIMO sistemi mogu se formalno obrađivati na isti način;

382. Ovaj je prikaz jako prikladan za teoretsku analizu (analitička rješenja, optimiranje), kao i za numeričko računanje (s računalom); 3. Vrlo je jednostavno izračunavanje vladanja sistema uz poznat početni uslov x(t0 ) 4. Ima se dobar uvid u unutarnje vladanje sistema. U ovakvom prikazu definiraju se opća sistemska svojstva, kao: - upravljivost, - osmotrivost. Prikaz sistema u prostoru stanja (3-dimenzionalnom), dat na Sl. 43.:

Slika 43. Prikaz sistema u prostoru stanja (3-dimenzionalnom)

4 0. OPIS LINEARNIH KONTINUIRANIH SISTEMA U FREKVENCIJSKOM PODRUČJU 4. 1. Laplaceova transformacija (L -transformacija) Najvažnije pomoćno sredstvo za rješavanje linearnih diferencijalnih jednačina s konstantnim koeficijentima L - transformacija je linearna integralna transformacija:

gdje je: f(t) - originalna funkcija (original); F(s) - slika funkcije (slika); s j = + σ ω - kompleksna varijabla. Primjena definicijske relacije (4 - 1) temelji se na pretpostavkama:

a) f(t) = 0 za t < 0, b) integral (4 - 1) mora konvergirati.

Pridruženje između slike i originala:

• Integral za obrnutu (inverznu) L – transformaciju

39

Da bi se izbjeglo računanje L-1 F (s) postoje korespodentne tablice L - transformacija:

40

• Glavna svojstva L - transformacije

41 a)Teorem superpozicije:

za proizvoljne konstante a1 i a2

b)Teorem sličnosti:

za proizvoljnu konstantu a > 0. c)Teorem pomaka:

za proizvoljnu konstantu a > 0. d) Teorem o deriviranju:

Za derivaciju n - tog reda je:

e)Teorem o integriranju

f)teorem o konvoluciji (kompoziciji) u vremenskom području. Kompozicija dviju funkcija f1(t) i f2(t):

g) Teorem o konvoluciji (kompoziciji) u frekvencijskom području:

p - kompleksna varijabla integracije .

42 h) Teoremi o graničnim vrijednostima Teorem o početnoj vrijednosti

Dokaz:

Ovdje je integracija neovisna o s, pa, uz pretpostavku konvergencije integrala, slijedi:

Teorem o konačnoj vrijednosti

Dokaz:

• Obrnuta (inverzna) Laplaceova transformacija

Zbog složenosti određivanja f(t) prema (4-2) koriste se korespodentne tablice L – transformacija. Ako se u tablicama ne nalazi složenija funkcija F(s), onda se ta funkcija prikaže sljedećim rastavom:

F(s ) =F 1(s ) +F 2(s ) +… + Fn (s ) (4 - 13)

i primjeni L - transformacija:

43

F(s) je u sistemima upravljanja često razlomljena racionalna funkcija:

Faktorizacijom polinoma N(s) u izrazu (4 - 14) dobije se:

Polinom N(s) ima n korijena (nul točaka): s = s1, s2,... sn. Ove nul točke predstavljaju polove od F(s). Ovisno o polovima, imamo sljedeće slučajeve: Slučaj 1: F(s) posjeduje samo jednostruke polove

ck -reziduum (realna ili kompleksna konstanta)

44Ovdje se c k može odrediti:

-usporedbom koeficijenata ili -teoremom o reziduumu:

gdje je:

Slučaj 2:F(s) posjeduje i višestruke polove. Ako imamo višestruke polove od F(s), višestrukosti r k (k = 1,2,......... l), tada se rastavom u parcijalne razlomke dobije:

Slučaj 3: F(s) posjeduje i konjugirano kompleksne polove.

•Rješavanje linearnih diferencijalnih jednadžbi pomoću L – transformacije, dat je na Sl. 44

Slika 44. Rješavanje linearnih diferencijalnih jednadžbi pomoću L – transformacije

Rješenje homogene diferencijalne jednadžbe predstavlja vlastito gibanje sistema, dakle vladanje koje je ovisno samo o početnim uslovima:

45

Za n početnih uslova:

primjenom L - transformacije na (4 - 22) dobije se:

Vlastito gibanje opisano je polovima sk (k = 1, 2, ............. n) od X(s), koji se dobiju rješenjem:

Faktorizacijom (4 - 24) dobije se:

Izraz (4 - 23) može se, dakle, razložiti u parcijalne razlomke. Ako se radi, primjerice, o jednostrukim polovima , dobije se:

Položaji polova sk u s - ravnini u cijelosti karakteriziraju vlastito vladanje sistema opisanog homogenom diferencijalnom jednadžbom:

Za slučaj sk < isčezavajuće oscilatorno vladanje Za slučaj sk > 0 raspirivajuće oscilatorno vladanje Za slučaj sk = trajno osciliranje

Stoga se jednadžba (4-24), odnosno (4-25) naziva karakterističnom jednadžbom sistema. Polovi sistema sk od X(s) nazivaju se vlastitim vrijednostima.

46 4. 2.Prijenosna funkcija Linearni, kontinuirani, vremenski invarijantni sistem s koncentriranim parametrima opisuje se sljedećom diferencijalnom jednadžbom:

Ako su svi početni uslovi jednaki nuli, dobije se L -transformacijom:

iz čega slijedi:

G(s) je prijenosna funkcija sistema.

Uslov realizacije za prijenosnu funkciju G(s):

Prijenosna funkcija sistema je L - transformacija impulsnog odziva sistema:

Dokaz:

Primjenom L - transformacije i teorema o konvoluciji (4 - 9) slijedi (iz 3 – 8):

• Polovi i nule prijenosne funkcije Za čitav niz istraživanja sistema prikladno je razlomljenu stabilnosti sistema racionalnu prijenosnu funkciju G(s) faktorizirati:

gdje je:

sNi -nule od G(s) spj -polovi od G(s)

sNi i spj mogu biti: -realni,

-konjugirano kompleksni što je prikazano na Sl. 45

47

Slika 45. Polovi i nule prijenosne funkcije

• Operacije s prijenosnim funkcijama (blokovska algebra)

a) Serijski spoj, prikazan na Sl. 46.

Slika 46 Serijski spoj

b) Paralelni spoj, prikazan na Sl. 47

Slika 47 Paralelni spoj

48

c) Kružni spoj ili povratni spoj prikazan na Sl. 48.

Slika 48 Kružni spoj ili povratni spoj

Kružni spoj s jediničnom povratnom vezom prikazan na Sl. 49,

Slika 49. Kružni spoj s jediničnom povratnom vezom

49

Svođenje na jediničnu povratnu vezu prikazano je na Sl. 50

Slika 50. Svođenje na jediničnu povratnu vezu

Primjer 11. Operacijsko pojačalo s povratnom vezom prikazano na Sl. 51

Slika 51. . Operacijsko pojačalo s povratnom vezom

iu

+ip

=0 jer je točka A virtualna nula (sumacijska točka). Iz

slijedi:

odnosno:

U slučajevima gdje trajno regulacijsko odstupanje e ∞ ima konačan iznos (izrazi (5 - 15), (5 - 19) i (5 - 24)), može se konstatirati da se za veće kružno pojačanje Ko dobije manje regulacijsko odstupanje. Izborom tipa regulatora značajno se utječe kako na stacionarno tako i na dinamičko vladanje regulacijskog kruga.

504. 3. PID regulator i iz njega izvedeni tipovi regulatora Regulator tvori regulacijsko odstupanje e(t) = xR(t) - y(t), koje se dalje obrađuje kako bi se dobila upravljačka veličina u(t). Upravljačka veličina u(t) osigurava, preko izvršnog člana, kontrolirani tok energije (materije) upravljanom procesu i na taj način "držanje" regulirane veličine na određenom iznosu i uz djelovanje poremećajnih veličina. Upravljani proces ne može trenutačno reagirati na promjenu upravljačke veličine u(t), zbog vremenskog zatezanja, odnosno energetski (materijalni) spremnici procesa ne mogu se trenutačno puniti/prazniti. Brzina promjena stanja energetskih (materijalnih) spremnika procesa određena je vremenskim konstantama. Prema tome, struktura i parametri regulatora moraju proizaći iz strukture i parametara matematičkog modela procesa. Proces sam po sebi može biti nestabilan. U tom slučaju regulator mora osigurati kompenzaciju nestabilnog rada procesa. Zato se prijenosni član GR(s) - regulator naziva i kompenzacijskim članom ili korekcijskim članom, jer korigira dinamiku procesa. U osnovi se pretvorba regulacijskog odstupanja e(t) u upravljački signal u(t) obavlja na način prikazan na Sl. 52

Slika 52 Pretvorba regulacijskog odstupanja e(t) u upravljački signal u(t)

U praksi se danas široko u upotrebi regulatori koji se zasnivaju na P, I i D djelovanju.

Najčešće korišteni standardni regulator je PID tipa, prikazan na Sl. 53

Slika 53 standardni regulator je PID tipa

ovdje je KR=KP-koeficijent pojačanja.

TI = KP/KI- integralna vremenska konstanta TD = KD/Kp- derivacijska vremenska konstanta

51KR, TI i TD - obično se mogu podešavati (ugađati) u određenom području vrijednosti. Izborom podesivih parametara regulatora, može se regulator prilagoditi vladanju procesa tako da se postigne najpovoljnije regulacijsko vladanje sistema. Iz (5 - 27) dobije se:

Ako je e(t) = S(t), onda se dobije prijelazna funkcija h(t) PID regulatora prikazana na Sl. 54.

Slika 54. Prijelazna funkcija h(t) PID regulatora

Idealno D - vladanje ne može se tehnički realizirati. Stoga se umjesto idealnog D - člana koristi DT 1 -član:

pa se dobije za realni PID:

odnosno ,

gdje su podesivi parametri:

h(t) za realni PID ima oblik kao na Sl. 55

52

Slika 55 Realni PID

Kao posebni slučajevi PID regulatora dobiju se: a) TD = 0 → PI regulator:

b) TI → ∞ → PD regulator:

odnosno PDT1 regulator

c) TD = 0 i TI → ∞ → P regulator:

d) I – regulator:

Prijelazna funkcija za P regulator ima oblik prikazan na Sl. 56

53

Slika 56 Prijelazna funkcija za P

Prijelazna funkcija za PI regulator ima oblik prikazan na Sl. 57

Slika 57 Prijelazna funkcija za PI regulator

Prijelazna funkcija za I regulator ima oblik prikazan na Sl. 58

Slika 58 Prijelazna funkcija za I regulator

Prijelazna funkcija za PD regulator ima oblik prikazan na Sl. 59

Slika 59 Prijelazna funkcija za PD regulator

Prijelazna funkcija za PDT1 regulator ima oblik prikazan na Sl. 60

54

Slika 60 Prijelazna funkcija za PDT1 regulator

5 0 STABILNOST LINEARNIH KONTINUIRANIH SISTEMA UPRAVLJANJA 5. 1. Definicija stabilnosti i uslovi stabilnosti Regulacijski krug (sistem upravljanja) može zbog povratne veze biti nestabilan, tj. mogu nastupiti oscilacije regulirane veličine čije bi amplitude poprimile beskonačne vrijednosti (teoretski).Sistem je stabilan ako se za ograničenu pobudu (ulazni signal) ima ograničeni odziv. Prema tome, valjana bi bila sljedeća definicija stabilnosti: Linearni vremenski nepromjenljivi sistem upravljanja asimptotski je stabilan ako za njegovu težinsku funkciju vrijedi:

Sistem je nestabilan ako g(t) poprimi beskonačan iznos za rastući t. Sistem se nalazi na granici stabilnosti kada g(t) poprimi konstantan iznos za rastući t. Prethodna definicija stabilnosti pokazuje da je kod linearnih sistema stabilnost sistemsko svojstvo, budući da težinska funkcija u cjelosti opisuje sistemsko vladanje. Ako je ispunjeno :

onda ne postoje takvi početni uslovi niti takve ograničene ulazne veličine koje mogu izazvati neograničeni rast izlazne veličine. Stoga bi se ova definicija mogla iskoristiti za ispitivanje stabilnosti linearnih sistema. Međutim, često nije na raspolaganju g(t); na raspolaganju je češće G(s) (prijenosna funkcija sistema). Ako G(s) ima oblik racionalne prijenosne funkcije:

i ako su:

polovi prijenosne funkcije , odnosno nule polinoma N(s):

onda se dobije pripadajuća težinska funkcija g(t) iz konačnog broja sumanada sljedećeg oblika:

gdje je:

55 ck - općenito kompleksna konstanta, µ - višestrukost pola sk.

Iznos g k(t) dobije se kao:

Ako je σ k < 0, onda gk(t)→ 0 za t → ∞ . Prema tome, sistem je stabilan ako njegovi polovi imaju negativne realne dijelove. Ako je realni dio od sk pozitivan ili ako se radi o višestrukom polu, koji je jednak nuli, tada g(t) raste preko svih granica. Prema tome, dovoljno je za ispitivanje stabilnosti sistema ispitati polove prijenosne funkcije G(s) sistema, odnosno korjene sk njegove karakteristične jednadžbe:

Na temelju rečenog mogu se formulirati nužni i dovoljni uslovi stabilnosti linearnih sistema:

a) Asimptotska stabilnost

b) Nestabilnost

Barem jedan pol se nalazi u desnoj poluravnini s - ravnine ili ako se najmanje jedan višestruki pol (višestrukost µ ≥ 1) nalazi na imaginarnoj osi s - ravnine.

c) Granična stabilnost

Ne postoje polovi prijenosne funkcije sistema u desnoj poluravnini s - ravnine, niti višestruki polovi na imaginarnoj osi. Postoji međutim na imaginarnoj osi barem jedan

jednostruki pol prikazan na Sl. 61

Slika 61 Granična stabilnost

Evidentno je da za istraživanje stabilnosti nije nužno znati vrijednosti korijena karakteristične jednadžbe. Važno je znati da li se te vrijednosti nalaze u lijevoj ili desnoj poluravnini s - ravnine. Za to se koriste kriteriji stabilnosti. Ovi kriteriji mogu biti:

-algebarski (numerički),

56-grafički.

5. 2.Algebarski kriteriji stabilnosti Algebarski kriteriji stabilnosti polaze od karakteristične jednadžbe analiziranog sistema. Pri tome se postavljaju uslovi na koeficijente a i karakteristične jednadžbe (6 - 5). Nužan, ali ne i dovoljan uslov za asimptotsku stabilnost sistema, jest da su svi koeficijenti a i (i = 0,1,......, n) karakteristične jednadžbe različiti od nule i da su istog predznaka. Dokaz: Faktorizirajmo karakterističnu jednadžbu (6 - 5):

(s - s1)(s - s2)......(s - sn) = 0. (6 - 6)

Neka prvih 2q korjena (od ukupno n korjena) tvori q konjugirano-kompleksnih korjenskih parova:

onda se dobije:

Za asimptotsku stabilnost vrijedi: σ k < 0 , odnosno σk = -σk za sve realne dijelove σk . Iz jednadžbe (6 - 7) slijedi:

Nakon množenja u jednadžbi (6 - 8) dobiju se za koeficijente ai ispred članova s

i (i = 0, 1,......n) samo

pozitivne i od nule različite vrijednosti (ovo nije i dovoljan uslov za stabilnost. Za određivanje dodatnih uslova stabilnosti promotrimo sistem koji se nalazi na granici stabilnosti. Neka taj sistem ima par polova na imaginarnoj osi:

Ovom paru polova odgovara komponenta težinske funkcije:

Ako je si= jω korjen karakteristične jednadžbe:

onda se dobije:

iz čega slijedi:

57

Eliminacijom ωi iz (6-10) i (6-11) dobiju se dovoljni uslovi za granično stabilno vladanje sistema. Primijenimo jednadžbe (6-10) i (6-11) na sistem trećeg reda:

Dakle, da bi sistem 3. reda bio asimptotski stabilan potrebno je ispuniti: a) uslov predznaka, b) nejednadžbu

Za sistem 4. reda dobilo bi se:

Prethodna razmatranja mogu se interpretirati kroz prikladne kriterije stabilnosti.

• Hurwitzov kriterij stabilnosti Polinom

naziva se Hurwitzovim polinomom ako svi korjeni si (i = 1, 2,......n) imaju negativni realni dio. Linerni sistem je asimptotski stabilan ako je njegov karakteristični polinom Hurwitzov polinom. Hurwitzov kriterij stabilnosti može se izraziti pomoću nekoliko uslova koji se postavljaju na koeficijente Hurwitzova polinoma:

a) svi koeficijenti ai polinoma P(s) su različiti od nule; b) svi koeficijenti ai imaju pozitivan predznak; c) sljedećih n determinanti su pozitivne:

58

Sljedeći poredak koeficijenata može poslužiti za postavljanje Hurwitzovih determinanti:

Hurwitzov kriterij prikladan je kako za ispitivanje stabilnosti, uz poznate koeficijente ai, tako i za određivanje područja vrijednosti podesivih parametara sistema uz koje je sistem asimptotski stabilan Primjer 12 .primjer prikazan na Sl. 62

Slika 62 Asimptotski stabilan sistem

T1 i T2 - poznate vremenske konstante. Treba odrediti područje vrijednosti K o da bi zatvoreni regulacijski krug bio asimptotski stabilan.

59

Karakteristična jednadžba zatvorenog kruga je:

Uslovi Hurwitzovog kriterija:

a) Koeficijenti

moraju biti pozitivni. b)

odnosno:

Prema tome, regulacijski krug je asimptotski stabilan za:

Hurwitzov kriterij stabilnosti ekvivalentan je Routhovom kriteriju stabilnosti. 5. 3.Grafički (grafoanalitički) kriteriji stabilnosti

• Nyquistov kriterij stabilnosti prikazan na Sl. 63

Slika 63 Nyquistov kriterij stabilnosti

60x(t) = Xmsinωt - pobuda sistema generirana u generatoru funkcija (GF) promjenljive frekvencije ω. Pretpostavimo da je sklopka S2 otvorena (tj. povratna veza je prekinuta) i S 1 zatvorena. Ako elementi sistema ne bi unosili vremenska kašnjenja (fazno zaostajanje), onda bi izlazni signal y(t) bio u fazi s ulaznim signalom x(t). U realnom sistemu izlazni signal y(t) fazno zaostaje za ulaznim signalom x(t) s porastom frekvencije ω. Kod neke frekvencije ( ω= ω1) izlazni signal može fazno zaostajati za 180°, što znači da su x(t) i y(t) u protufazi. Pretpostavimo da je pri toj frekvenciji amplituda izlaznog signala Ym jednaka amplitudi ulaznog signala Xm. Ako istovremeno isključimo ulazni signal x(t) i uključimo signal povratne veze y(t), signal povratne veze nadomjestit će ulazni signal. Sistem podržava oscilacije (samooscilacije); sistem se nalazi na rubu stabilnosti. Ako je pak uz iste uslove Ko > 1, sistem je apsolutno nestabilan, amplitude oscilacija bi se povećavale teoretski do beskonačnosti. Za K o < 1 sistem je stabilan. Stabilnost sistema određena je isključivo parametrima sistema; stabilnost ne ovisi o pobudi sistema.

Grafička interpretacija fizikalnog objašnjenja

Promatramo otvoreni regulacijski krug: S 1 - zatvoreno, S2 – otvoreno:

Pretpostavimo sistem 3. reda prikazan na Sl. 64:

Slika 64. Frenkvencijski hodograf

Sa slike iz frenkvencijskog hodografa slijedi: 1 - sistem stabilan, 2 - sistem na granici stabilnosti

3 - sistem je apsolutno nestabilan

61(Nyquisto v dijagram siječe negativnu realnu os s lijeve strane točke: -1, j0). (Iz frekvencijske karakteristike otvorenog regulacijskog kruga G 0(jω ) zaključuje se o stabilnosti zatvorenog regulacijskog kruga. )

• Pokazatelji stabilnosti sistema upravljanja korištenjem Nyquistovog kriterija stabilnosti prikazani na Sl. 65,

Slika 65. Pokazatelji stabilnosti sistema upravljanja korištenjem Nyquistovog kriterija stabilnost

Amplitudna rezerva (amplitudno osiguranje):

Fazna rezerva (fazno osiguranje):

gdje je:

ω c -presječna frekvencija otvorenog regulacijskog kruga G0(jω). Pri tome je:

Sistem je stabilan ako je:

Sistem je prigušeniji i sporiji za veće iznose A r i γ . Amplitudno osiguranje nema smisla za sisteme 1. i 2. reda. Zato je fazno osiguranje bolja mjera za ocjenu stabilnosti sistema. Za praktičnu primjenu je orijentacijski:

62

Dobre strane Nyquistovog kriterija stabilnosti:

nije potrebno poznavati diferencijalnu jednadžbu sistema; polarna krivulja se može odrediti pokusom ili iz poznatih prijenosnih funkcija pojedinih elemenata,

pored apsolutne stabilnosti dolazi se do uvida i u relativnu stabilnost preko amplitudne i fazne rezerve,

može se odrediti utjecaj pojedinačno svakog elementa sistema što je važno sa stajališta i analize i sinteze,

mogu se analizirati i sistemi s raspodijeljenim parametrima (npr. sistemi s mrtvim vremenima).

Nedostaci Nyquistovog kriterija stabilnosti: -iziskuje puno vremena da se dođe do informacije o stabilnosti sistema.

• Bodeov kriterij stabilnosti Vrlo je praktičan i često se koristi. Razmatranja provedena uz Nyquistov dijagram lako se mogu prenijeti u Bodeov dijagram.

1.Ako otvoreni regulacijski krug ima pojačanje manje od 1 (0 dB) na frekvenciji kod koje je fazno kašnjenje 180°, onda je regulacijski krug stabilan prikazan na Sl. 66,

Slika 66. Bodeov dijagram.

I na Sl. 67,

63

Slika 67. Bodeov dijagram

Gruba procjena stabilnosti sistema: sistem je vjerojatno nestabilan ako G0dB siječe frekvencijsku os pod nagibom - 40 dB/dek. Bodeov dijagram veoma je prikladan za analizu i sintezu sistema upravljanja:

-vrlo je zoran utjecaj parametara sistema na stabilnost sistema; -relativno je jednostavno povezati frekvencijske karakteristike otvorenog sistema s

vremenskim ponašanjem zatvorenog sistema upravljanja. 6. DINAMIKA I REGULACIJA PROCESA SA PRENOSOM KOLlČlNE KRETANJA IMAKROSKOPSKIM PRENOSOM MASE Za ovu grupu procesa karakterističan je prenos količine iz jednog dijela sistema u drugi i prenos mase na koju je prenijeta odgovarajuća količina kretanja. Pogonska sila za ove procese je razlika potencijala mehaničke energije. U toku procesa mehanička energija se pretvara u kinetičku ili potencijalnu energiju elemenata sistema ili se rasipa u obliku toplote nastale uslijed viskoznog trenja. Ovi procesi se mogu podijeliti na kinematiku kretanja i nagomilavanja materijala u elementima sistema i regulaciju materijalnog bilansa vezanu za kretanje materijala; zatim na dinamiku kretanja fluida ili čvrstog materijala kroz cijevi, vodove i transportere i regulaciju protoka, nivoa i pritiska; i dinamiku miješanja i taloženja i regulaciju odgovarajućih operacija. Uz ove procese su priključene i stacionarne i dinamičke karakteristike crpki, kompresora i ventilatora, kao i karakteristike regulacionih ventila. 6.1. Kinematika kretanja i nagomilavanja materijala Osnovni principi rukovanja materijalom i kretanja i nagomilavanja materijala u sistemu u kome se odigrava određeni proces, vezani su vise za projektovanje procesa i opšte principe optimalnog vođenja procesa, nego za upravljanje u užem smislu. Međutim, primjena zakonitosti i matematičkog aparata automatske regulacije omogućava jasnije sagledavanje tokova i akumulacije materijala i daje osnove za projektovanje optimalnih kontinualnih ili saržnih procesa, za stratege vođenja procesa pri postojanju poremećaja, za strategije puštanja u rad i zaustavljanja postrojenja i za inženjersku i ekonomsku optimizaciju dopreme sirovina i otpreme gotovih produkata. Pri tome se ne uzimaju u obzir pogonske sile i otpori, tako se za kompletno rješenje moraju uzeti u obzir i dinamičke karakteristike pojedinih elemenata sistema. Kinematika materijala operiše sa materijalnim bilansima u diferencijalnom obliku i njihovim integralima za pojedine slučajeve. Za kinematiku materijala vezana

64je regulacija materijalnog bilansa. Treba napomenuti da se preko kinematike materijala dobijaju samo koncepcijska rješenja za regulaciju materijalnog bilansa, a da se i slučajevi svode na regulaciju protoka, nivoa ili pritiska. 6.1.1. Tokovi i skladišta materijala Kao tok materijala u procesu ćemo definirati svako kretanje materijala, dok se skladištem podrazumijeva svaka akumulacija materijala. Pri tome možemo da imamo čist tok, kod koga se akumulacija ne uzima u obzir, čistu akumulaciju kod koje se kretanje materijala zanemaruje i kombinovane slučajeve, kod kojih postoji i tok i akumulacija. I u tokovima i u akumulacijama materijal može ostajati nepromijenjen podvrgnut procesu ili obradi. Tokovi materijala mogu biti kontinualni (stacionarni ili nestacionarni), diskontimualni, periodični oko neke srednje vrijednosti ili potpuno eratični. Protok može biti izražen kao masa u jedinici vremena, zapremina u jedinici vremena, broj objekata u jedinici vremena ili broj šarži u jedinici vremena. Tokovi materijala se moraju promatrati kao veličine koje zavise od mjesta duž toka i vremena:

Q = f ( x , y , z , t ) Duž jednog toka se može nalaziti proizvoljan broj mjesta na kojima se materijal akumulira, tako da jedan dio toka može biti kontinualan, drugi diskontinualan sa periodičnim promjenama oko srednje vrijednosti. Tokovi se mogu spajati i razdvajati u proizvoljnom broju tačaka. Skladišta se mogu podijeliti na ulazna skladišta, intermedijarna skladišta u procesu i izlazna skladišta. Svi elementi procesne opreme kao i cjevovodi i transporteri predstavljaju također skladišta materijala. Međutim, pošto je pojam skladišta vezan za akumulaciju, pojedini elementi opreme se mogu ponašati kao skladišta samo u specijalnim slučajevima (punjenje postrojenja pri puštanju u rad ili pražnjenje pri zaustavljanju), tako da je pojam skladišta vezan i za režim rada. Pojedini elementi opreme ponašaju kao skladišta i pri normalnom radu (šaržni elementi opreme) ili pri postojanju poremećaja (reaktori sa miješanjem, destilacione kolone). Svako skladište materijala predstavlja dio sistema koji zahtjeva određeno vrijeme punjenje, pražnjenje i varijacije sadržaja. Također svako skladište zahtjeva prostor koji je proporcionalan količini materijala. Zbog toga su broj skladišta, njihova veličina i reguliranje skladišta veoma važni faktori za optimizaciju procesa. Ako se uzme u obzir i zadržavanje materijala u skladištu i njegova vrijednost, dolazi se također do zaključka o važnosti skladišta za optimizaciju procesa. U izvjesnim slučajevima se mora voditi računa i o prosječnom vremenu zadržavanja materijala u skladištu (kada se skladište materijala koji se mijenja sa vremenom) ili se skladišta moraju minimizirati (kada postoji opasnost od eksplozije). Ako u bilo kakvo skladište ulazi više tokova materijala i ako iz njega također izlazi više tokova, materijalni bilans za neravnotežne uslove se može prikazati izrazom:

koji daje zavisnost između akumulacije materijala u skladištu i tokova materijala. Laplace-ovom transformacijom ovog izraza dolazi se do jednačine:

Ova jednačina opisuje idealno skladište. Vidi se da idealno skladište predstavlja integrator količine materijala po vremenu.U obliku blok dijagrama, idealno skladište se može prikazati shemom prikazanoj na Sl. 68:

65

Slika 68.Blok dijagram idealnog skladišta

Idealno skladište predstavlja element bez samoregulacije i svaki trajan poremećaj bilansa mora da izazove pražnjenje ili prelivanje skladišta. 6.1.2. Regulacija skladišta Protoci iz pojedinih skladišta i u pojedina skladišta i količina materijala u skladištima mogu se regulirati na različite na6ine,,prema namjeni skladišta i strategiji vođenja procesa. Ovdje 6emo razmatrati samo skladišta koja se nalaze u toku procesa i koja služe za izravnavanje tokova, održavanje materijalnog bilansa i kontinualizaciju diskontinualnih dijelova procesa. Ako analiziramo ulogu ovih skladišta, nameće se misao, da se proces uz njihovu pomoć reguliše održavanjem konstantnih protoka važnih za proces, ne vodeći računa o samoj akumulaciji. Ovim bi se mogao teorijski postići idealan režim rada procesa, jer za svaki protok postoji obično neka optimalna vrijed-nost. Međutim, ako analiziramo blok dijagram koji predstavlja skladište, videćemo da je ovo nemoguće, jer bi se pri bilo kakvim neuravnoteženostima, suma protoka akumulacije mijenjala do potpunog pražnjenja ili punjenja skladišta. Zbog toga se sistem tokova i skladišta reguliše preko količine materijala u skladištu izbjegavajući velike, a naročito nagle promjene tokova. Na taj način skladište postaje prigušnica, koja uravnotežava neravnomjernosti protoka, ali ne može da djeluje na trajne promjene tokova. Ono služi za uravnoteživanje materijalnog bilansa postrojenja i nesmetano odvijanje procesa.Ako se promatra skladište sa jednim ulaznim i jednim izlaznim tokom, vidi se da se količina materijala u skladištu (nivo) može da reguliše bilo preko regulacije ulaznog toka prikazano na Sl. 69,

Slika 69. Regulacija preko regulacije ulaznog toka

ili preko regulacije izlaznog toka prikazanog na Sl. 70,

66

Slika 70. regulacija preko izlaznog toka

U prvom slučaju imamo regulaciju nasuprot toku, a u drugom u pravcu toka. Blok dijagram za regulaciju nasuprot toku, prikazan je na Sl. 71,

Slika 71. Regulacija skladišta nasuprot toku

Faktor proporcionalnosti regulatora, Kc, dobija se iz uslova da skladište ne smije niti da se isprazni, niti pak prepuni i mogu6nosti dovođenja materijala. Iz toga slijedi relacija:

gdje T predstavlja vremensku konstantu skladišta. Na osnovu prethodne jednačine sa danog blok dijagrama, lako se utvrđuje prenosna funkcija zatvorenog kola, skladišta kao:

dok je zavisnost izlaznog protoka od ulaznog protoka, data prijenosnom funkcijom oblika:

Iz ovih prijenosnih funkcija se vidi da ovakvom regulacijom skladište postaje prigušnica za brze promjene protoka i da je povoljno da njegova zapremina bude što veća i time konstanta regulatora, Kc, što manja (veoma širok proporcionalni opseg). Blok dijagram za regulaciju skladišta u pravcu toka prikazan je na Sl. 72.

Slika 72.Regulacija skladišta u pravcu tok

67Kao u prethodnom slučaju mogu se definirati prijenosne funkcije:

Kako se vidi, skladište sluzi kao filter (prigušnica), koji propušta poremećaje niskih frekvencija i uklanja poremećaje viših frekvencija (kraćeg trajanja). 6.1.3. Regulacija sistema skladišta (regulacija materijalnog bilansa cijelog postrojenja) Regulacija materijalnog bilansa cijelog postrojenja može se izvesti analogno regulaciji pojedinačnog mjesta nagomilavanja materijala (skladišta). I ovdje se u principu mogu primijeniti sheme reguliranja pojedinačnih skladišta u pravcu toka materijala ili nasuprot toku. Kod regulacije pojedinačnih skladišta nasuprot toku, cijeli sistem je prost lanac pojedinačnih zatvorenih regulacionih kola prikazan na Sl. 73,

Slika 73. Regulacija sistema skladišta nasuprot toku

Blok dijagram za ovako vezani sistem skladišta, može se dobiti direktnim povezivanjem blokova koji prikazuju dinamičke karakteristike pojedinačnih skladišta prikazan na Sl. 74:

Slika 74.Blok dijagram za sistem skladišta sa regulacijom nasuprot toku

Pojedine vremenske konstante se mogu odrediti, kao i u slučaju pojedinačnog skladišta, na osnovu kapaciteta i maksimalnog protoka koji se očekuje:

Pošto se kod ovog sistema, jednostavni elementi sa vremenskom konstantom, koji su uvijek stabilni, nastavljaju u lanac, u kome se u svakoj karici prigušuju nastale oscilacije, sistem ostaje stabilan pri bilo kome opterećenju (nivou proizvodnje). Regulacija sistema skladišta u pravcu toka se može izvesti samo ako se kolo zatvori poslovnim djelom sistema (uprava). Dijagram tokova za ovakav sistem je prikazan na Sl. 75,

Slika 75. Skladišta sa regulacijom u pravcu toka

Blok dijagram ovog sistema prikazan je na Sl. 76,

68

Slika 76.Skladišta sa regulacijom u pravcu toka

Tj, Tp i Ts su ovdje definirani kao i u prethodnom slučaju. Zatvoreno kolo, obuhvaćeno skladištima u procesu, skladištem produkta i odgovarajućim regulacionim kolima i upravom, predstavlja sistem n+1 reda (n = broj skladišta u procesu). Ovakav sistem može da postane nestabilan, odnosno poremećaji opterećenja i oscilacije u proizvodnji mogu da izazovu potpuno pražnjenje ili prepunjavanje pojedinih skladišta i znatne poremećaje proizvodnje. To se može otkloniti pravilnim dimenzioniranjem skladišta produkta, koje treba da primi ove oscilacije. Ako definišemo odnos kapaciteta skladišta produkta prema kapacitetu pojedinog procesnog skladišta (uzimajući sva procesna skladišta kao jednaka) izrazom:

može se naći da će cijeli sistem biti stabilan ako je ispunjen uslov:

n = 1; N 4 n = 2; N 7 n = 3; N 12 n = 6; N 27

U suštini, regulacija materijalnog bilansa treba da obezbijedi određeni željeni nivo proizvodnje i nesmetani rad pojedinih elemenata opreme i regulacionih sistema, za održavanje kvaliteta proizvoda na željenom nivou. Zbog toga se zahtjeva da cijeli ovaj regulacioni sistem radi relativno sporo i bez naglih oscilacija i poremećaja. Uspoređeno sa vremenskim konstantama sistema reguliranja kvaliteta proizvoda, vremenske konstante koje se javljaju kod reguliranja materijalnog bilansa treba da budu znatno veće i ne smije ni u kome dijelu procesa da dođe do interferencije ova dva nezavisna regulaciona sistema. 6.2. Dinamika elemenata za transport fluida i reguliranje toka fluida Pod ovim elementima podrazumijevamo vodove, ventile, crpke i kompresore, odnosno ventilatore. Aktivni elementi su crpke i kompresori, koji predaju fluidu kinetiku ili potencijalnu energiju, dok su pasivni elementi vodovi i ventili (upotrebljavamo zbirni naziv ventili, za sve elemente za promjenljivo prigušivanje toka fluida), kod kojih se kinetička energija fluida pretvara u toplotu. I aktivni i pasivni elementi mogu da imaju stacionarno ili upravljajuće dejstvo. Kod aktivnih elemenata upravljajuće dejstvo imaju volumetrijske crpke sa mogućnošću reguliranja zapreminskog protoka tečnosti, dok kod pasivnih elemenata upravljajuće dejstvo imaju regulacioni ventili. 6.2.1. Karakteristike regulacionih ventila

69Unutrašnje karakteristike ventila su one karakteristike ventila koje zavise od konstrukcije i koje odgovaraju stvarnim karakteristikama ventila samo pri nekim idealnim uslovima ugrađivanja. Ako promatramo blok koji daje model regulacionog ventila

i uzmemo da je razlika pritisaka sa lijeve i desne strane ventila jednaka jedinici i da je pad pritiska u vodovima ispred i iza ventila zanemarljivo mali u odnosu na pad pritiska u ventilu dolazimo do blok dijagrama:

gdje je: Cv[(m3/s)/(kg/m2) protočni koeficijent ventila. Koeficijent Kj u opštem slučaju zavisi od položaja tanjura ventila Y, odnosno karakteristika ventila, u opštem slučaju, ne mora da bude linearna. Unutrašnja karakteristika ventila se obično daje u bezdimenzionalnom obliku:

Ako promatramo regulacioni ventil uključen u cjevovod, sa njegovim protočnim karakteristikama, možemo da postavimo jednačinu za materijalni bilans u obliku:

i

gdje su P1 i P2 pritisci sa lijeve i desne strane ventila a M protok kroz ventil. Regulacioni ventil kao element cjevovoda prikazan je na Sl. 77,

Slika 77.Regulacioni ventil kao element cjevovoda

Kombinacijom ovih jednačina dolazi se do izraza:

70Prvi član sa desne strane diferencijalne jednačine predstavlja unutrašnju karakteristiku ventila, dok druga dva člana zavise od promjena pritiska ispred i iza ventila u funkciji protoka kroz cjevovod. Karakteristika ventila i cjevovoda je prikazana na Sl. 78,

Slika 78. Karakteristika ventila u cjevovodu

U opštem slučaju potrebno je naći analitičke ili eksperimentalne izraze za pojedine dijelove karakteristike, da bi se za neku radnu tačku nasla funkcija, koja nas interesuje pri regulaciji:

Q(s)=f(Y) 6.2.2. Centrifugalne crpke Dinamika centrifugalnih crpki je suviše kompleksna da bi mogla ovdje da bude obuhvaćena. Zbog toga ćemo razmatrati samo neke aspekte rada crpke pod stacionarnim uslovima. Za ove uslove vazi aproksimativni izraz:

P2 - P1 = An2 + BnQ + DQ2 gdje je: Q - protok, n - broj obrtaja, P2–P1 - razlika pritisaka koju daje crpka, a A, B i D - koeficijenti koji zavise od konstrukcije crpke i od režima rada pri velikim promjenama broja obrtaja. Međutim, većina proizvođača ne daje ove koeficijente, nego dijagrame u kojima je data zavisnost između razlike pritiska koju crpka daje i protoka za određeni broj obrtaja ili eventualno za vise brojeva obrtaja. Razlika pritisaka se obično daje u metrima tečnosti koja se potiskuje. Tipičan dijagram centrifugalne crpke dat je na Sl. 79,

Slika 79. Karakteristike centrifugalne crpke

Stacionarna karakteristika crpke se može na osnovu ovakvog dijagrama prikazati i blok dijagramom na Sl. 80

71

Slika 80 Stacionarna karakteristika crpke

Najčešće promjena broja obrtaja ne dolazi u obzir, tako da je dovoljna jedna kriva za opis karakteristike crpke ili blok dijagram koji opisuje samo P= f(Q).Slična razmatranja vaze za centrifugalne kompresore i ventilatore. I ovdje se dobija familija empirijskih krivih iz kojih se može odrediti statička karakteristika. Dinamičke karakteristike crpki i ventilatora najčešće dolaze do izražaja pri puštanju u rad ili zaustavljanju. S obzirom da na dinamiku crpke utiču i karakteristike fluida i vodova, kao i karakteristike motora i konstrukcije, obično je potrebna sj jalna studija dinamike sistema, naročito za velike kapacitete.

6.2.3. Dinamika cjevovoda Prenos fluida u cjevovodima predstavlja jednu od najopštijih operacija. Ovdje će se navesti neke od stacionarne karakteristike cjevovoda, nego ćemo samo prikazati i; ne aspekte dinamike cjevovoda, promatrajući cjevovod kao sistem sa nagomilanim parametrima. U izvjesnim slučajevima cjevovod se može predstaviti kao sistem sa nagomilanim parametrima i model, u tom slučaju, ima samo obične diferencijalne jednačine postoje sigurni kriterijumi da se odredi kada se neki cjevovod može posmatrati sistem sa nagomilanim parametrima, ali se mogu uzeti kao gruba pravila:

1.Cijevovodi ispunjeni tečnošću mogu se posmatrati kao sistem sa nagomik parametrima, ako im duzina nije veća od 100 m i ako promjene pritiska nemaju frekvenciju od 1 Hz.

2.Cijevovodi ispunjeni gasom u najvećem broju slučajeva ne mogu se promatrati kao sistem sa nagomilanim parametrima (samo ako je frekvencija promjena tiska toliko mala da duzina cjevovoda iznosi manje od 10% od talasne dužine zvučnih talasa u cijevi, sistem se može predstaviti običnim diferencijalnim jednačinama). Ako se cjevovod promatra kao sistem sa nagomilanim parametrima mora se voditi računa i o impendanci završnog dijela. Uzet će se za analizu samo slučaj 1 je kapacitet suda u koji ističe fluid veliki u odnosu na kapacitet cjevovoda i impendanca suda može zanemariti u odnosu na cjevovod. Ovo je najčešći slučaj cjevovoda koji se završavaju rezervoarom, reaktorom ili kolonom. Za ovaj slučaj stoji potpuna analogija sa električnom impendancom i odnos između izlaznog i izlaznog pritiska u transformiranom obliku odgovara izrazu:

gdje je: PT -pritisak u sudu na kraju voda, P0 - pritisak na početku, L1 - inercija fluida u vodu, CT - kapacitet suda na kraju voda. Impedanca voda na ulazu se dobija u obliku izraza:

72Na osnovu ovih izraza mogu se dobiti parametri za proticanje gasa ili tečnosti kroz vod, za laminarno ili turbulentno strujanje. 6.2.4.Dinamika cjevovoda sa centifugalnom crpkom i ventilom Do sada smo analizirali samo jednostavan primjer reguliranja protoka u vodu, kada je otpor voda redno vezan sa otporom ventila. Sada ćemo analizirati tehnički veoma važan slučaj, kada je na potisni vod centrifugalne crpke postavljen regulacioni ventil i kada se iza ventila nalazi cjevovod određene duzine, l. Skica ovog sistema data je na Sl. 81,

Slika 81. Sistem sa centrifugalnom crpkom, vodom i ventilom

Uzećemo da je fluid koji protiče kroz vod uniformna tečnost i da voda nema toliko veliku dužinu, da bi sistem odgovarao sistemu sa raspoređenim parametrima. Treba napomenuti da kod izvođenja pojedinih relacija vodimo računa samo o dinamičkim parametrima, odnosno odstupanjima od izabranog radnog režima. Kapacitet voda se može zanemariti. Poremećaji sistema mogu da dolaze od promjena pritisaka P0 i P3, odnosno promjena ulaznog i izlaznog pritiska, korekciona akcija je u obliku pomjeranja tanjura ventila Y. Smatrat će se da crpka radi pri stalnom broju obrtaja i da joj je karakteristika stabilna. Na osnovu ovih pretpostavki i izraza ranije dobivenih za pojedine elemente sistema, definirat će se primitivni blok dijagram u obliku prikazan na Sl. 82

Slika 82. Primitivni blok dijagram

Ako se izvrši linearizacija pojedinih elemenata oko neke radne tačke Q0(s) i uzme da za nestišljiv fluid važi relacija:

21 PQ

PQ vv

Qv= Qp= Ql= Q može se doći do lineariziranih veličina.

ivvv

p KYQK

PQK

PQR

QP

;;;)(

12

11

73

za Qv=QQ0. Na osnovu ovih linearizovanih koeficijenata eliminacijom oba kola povratne sprege, dolazimo do finalnog blok dijagrama prikazanog na Sl. 83,

Slika 83. Finalni blok dijagram

Analizom ovog blok dijagrama možemo da dođemo do zaključaka o stacionarnoj i dinamičkoj karakteristici sistema. Pošto je jasno da je sistem I reda, možemo blok na desnoj strani da prevedemo u karakterističan oblik za sisteme I reda. Time dolazimo do blok dijagrama prikazanog na Sl. 84

Slika 84.Karakterističan oblik finalnog blok dijagrama

Gdje je:

i

Ke je uvijek veće od nule pošto su Rl i 1/K1, veći od nule, a Rp manje od nule. Tako je izlazni pritisak uvijek veći od ulaznog pritiska. Do stacionarne karakteristike ventila, u sistemu sa crpkom i cjevovodom, može se doći na taj način, što će se u izrazu predstavljenom u prethodnim blok dijagramom, uzeti da s0 kada je Q = Q0, pri čemu se dobija:

Diferenciranjem ovog izraza po Y dolazi se do instalirane karakteristike ventila:

Veličina Ke nije konstantna nego se mijenja u funkciji Q. Za veoma male protoke Ke 1, dok kod velikih protoka, Ke 0. Za određivanje instalirane karakteristike ventila i dobivanje parametara za projektovanje sistema može se upotrijebiti slijedeća procedura:

1.Treba odrediti maksimalan, minimalan i srednji protok kroz ventil.

742.Za svako Q, koristeći podatke o cjevovodu i fluidu, treba odrediti padove pritiska u

cjevovodu (P2 – P3). 3.Iz poznate vrijednosti P3 i pada pritiska u vodu treba odrediti P2 4.Iz krive koja predstavlja karakteristiku crpke, treba odrediti H koje odgovara svakom

određenom Q. 5.Iz poznate vrijednosti P0 treba odrediti P1 (koristeći H = P1 - Po). 6.Za pojedine protoke treba odrediti Cv. 7.Na osnovu analize procesa i sistema treba odabrati unutrašnju karakteristiku ventila. Iz Cv i podataka proizvoda treba naći veličinu ventila (nominalan prednik) i za pojedine veličine Q treba naći Y. 8.Za svaki protok treba izračunati Ke i Te. 9.Treba ponoviti prikazani postupak za vise tačaka između maksimalne i minimalne vrijednosti protoka i konstruirati krivu Q = f(Y).

S obzirom da dinamičke karakteristike navedenog sistema ulaze u karakteristike kola, ukoliko je Te veličina koja nije zanemarljiva, treba provjeriti uticaj Te na karakteristike kola pri različitim opterećenjima procesa. 6.3. Regulacija protoka fluida Regulacija protoka fluida predstavlja u suštini osnovu za reguliranje gotovo svih parametara u procesnoj industriji, po§to sa protokom može da bude vezana regulacija nivoa i pritiska, zatim regulacija količine toplote, preko reguliranja protoka zagrevnog ili rashladnog medijuma, regulacija procesa sa prijenosom mase (na primjer preko reguliranja refluksnog odnosa kod rektifikacionih kolona) i regulacija hemijskih reaktora, bilo preko odnosa protoka reaktanata, bilo preko količine zagrevnog ili rashladnog fluida. U svim ovim slučajevima, regulirana promjenljiva može biti fizička veličina koja se reguliše ili protok, sa posrednom vezom sa reguliranom fizičkom veličinom, dok se korekcija vrši protokom odgovarajućeg fluida. U ovom poglavlju razmatraćemo samo slučajeve kada je protok i regulisana i korigujuća promjenljiva, dok neka druga promjenljiva može samo posredno da utiče na regulaciju protoka, bilo preko referentne vrijednosti, bilo preko. promjena drugih parametara regulatora protoka. Kod sistema za reguliranje protoka osnovna karakteristika su veoma mali kapaciteti i male vremenske konstante objekta regulacije. Zbog toga se mora voditi racu-na o kašnjenjima i vremenskim konstantama svih drugih elemenata regulacionog kola, kao što su mjerni instrument, prijenosni vodovi, motorni dio regulacionog ventila itd. Također su karakteristične nelinearnosti koje se unose u sistem bilo preko mjernog instrumenta (mjerenje protoka prigušnicama), bilo preko regulacionih ventila, bilo preko nelineamih karakteristika crpki ili ventilatora. Ove nelinearnosti mogu da izazovu znatne promjene u osjetljivosti sistema i kvalitetu regulacije, pri različitim režimima rada sistema (opterećenju). Male vremenske konstante objekta regulacije i znatni izvori energije u sistemu izazivaju i stalne poremećaje sistema. Ovi poremećaji mogu biti periodični, ako je u sistem uključena klipna crpka ili klipni kompresor, mogu biti oblika hidrauličnih udara, odnosno u obliku impulsa veoma velikog intenziteta, a uvijek su prisutni poremećaji oblika sumova, koji nastaju usljed turbulentnih pulzacija, interakcije različitih elemenata u toku sa strujom fluida (prigušnice, ventili) i kod proticanja fluida sastavljenog od vise faza. Ovi poremećaji mogu imati veoma različite učestalosti, pa čak i relativno visoke zvučne učestalosti. Oni se ne mogu konstatovati običnim mjernim instrumentima, koji služe za dobivanje impulsa za regulaciju, zbog inercije ovih instrumenata. Zbog toga obično instrument za mjerenje protoka mjere srednje vrijednosti toka i daju idealizovanu sliku strujanja. Također se ovakvi poremećaji ne mogu otkloniti normalnim regulacionim sistemima za reguliranje protoka, nego se moraju upotrijebiti različiti sistemi prigušivanja pulzacija, šumova i udara. Ovi se zasnivaju na ubacivanju kapaciteta i otpora u cjevovod

75(vazdušni kotlovi kod klipnih crpki), na ubacivanju rešetki i sistema uzanih cijevi za umirivanje strujanja, na podešavanju duzine cjevovoda i dodavanju specijalnih akustičkih amortizera na cjevovode, na upotrebi specijalnih osjetnih elemenata mjernih instrumenata za mjerenje protoka (dvostruka prigušna ploča za mjerenje protoka pulzirajućeg strujanja) i na otklanjanju uzroka pojedinih šumova (upotrebom klipnih crpki višestrukog dejstva, zamjenom prigušnih ploča sa oštrim ivicama Venturi mjerilima, izbacivanjem ventila čiji dijelovi mogu da vibriraju, uravnotezavanjem ventilatora i postavljanjem ventilatora i crpki na odgovarajuće temelje). Kao sto se vidi iz ovog pregleda, uklanjanje ili smanjivanje nivoa pulzacija i šumova, postiže se uglavnom odgovarajućim projektnim rješenjima i zato se ne6emo vise zadržavati na ovoj problematici. Regulacioni sistemi koje ćemo razmatrati, uglavnom, imaju zadatak otklanjanja trajnih poremećaja nastalih promjenom opterećenja ili zadatak praćenja promjena drugih promjenljivih u sistemu. Metode reguliranja protoka se mogu podijeliti na metode reguliranja pasivnim elementima, odnosno ventilima i metode reguliranja aktivnim elementima, odnosno volumetrijskim crpkama. 6.3.1. Regulacija protoka pomoću regulacionih ventila

Često se događa da se pojedini sudovi ili aparati napajaju iz napojnih, uzdignutih rezervoara ili, kada je u pitanju gas, napajanje se vrši iz sudova pod pritiskom. U oba slučaja, sistem se može predstaviti dijagramom datim na Sl. 85,.

Slika 85.Regulacija protoka između dva suda pod pritiskom

Blok dijagram za ovaj sistem može se sintetizovati na osnovu poznatih elemenata, prema sljedećoj shemi prikazanoj na Sl. 86, (za nestisljiv fluid):

Slika 86. Blok dijagram sistema regulacije protoka

gdje su upotrebljene standardne oznake za pojedine elemente. Na osnovu ranije iznijetog, možemo da definišemo:

76

Vidi se da su u pitanju isti izrazi kao izrazi za Ke i Te, sem što je Rp = 0 (u sistemu nema crpke). Za analizu uticaja promjene opterećenja na promjenu protoka, dovoljno je ispitati uticaj promjene pritiska napajanja P1, pošto promjene oba pritiska utiču na isti način (samo sa suprotnim znakom) na Q (s). Na osnovu blok dijagrama datog na slici dobija se:

Analizom ovog izraza može se doći, pri različitim karakteristikama pojedinih elemenata kola, do optimalnih karakteristika ventila i regulatora. Karakteristika ventila se može dobiti na osnovu statičke karakteristike kola (s0). Ako definišemo pojačanje zatvorenog regulacionog kola kao:

možemo da izvršimo analizu pojačanja za cjelokupnu oblast promjena protoka i padova pritisaka u sistemu. Obično se tezi da pojačanje, K, bude konstantna veličina za čiju oblast promjena protoka i opterećenja, pa se bira karakteristika ventila (dQv/dY), tako da zadovolji ovaj uslov. Ako uzmemo da su statičke karakteristike regulatora i aktuatora konstantne u cjeloj oblasti rada:

vidi se da karakteristika ventila zavisi od karakteristika mjernog instrumenta i cjevovoda:

Za različite mjerne instrumente i otpore cjevovoda mogu se izvesti sljedeća pravila za izbor ventila:

1.Mjerni instrument tipa prigušnice zahtjeva ventil sa karakteristikom kvadratnog korena, ako je otpor voda mali u odnosu na pad pritiska u prigušnici (relativno redak slučaj u praksi). 2.Mjerni instrument tipa prigušnice zahtjeva linearan ventil, ako je otpor cjevovodaa veliki u odnosu na pad pritiska u prigušnici. 3.Linearan mjerni instrument za mjerenje protoka zahtjeva linearan ventil pri malim padovima pritiska u cjevovodu. 4.Linearan mjerni instrument, pri znatnim padovima pritiska u cjevovodu, zahtjeva ugradnju semilogaritamskog ventila. Ukoliko u kolu postoji i centrifugalna crpka, u statičkoj karakteristici se mijenja veličina K . U tom slučaju se pojačanje kola može dobiti, grafički ili analitički, za opseg promjena protoka koji se očekuje. I u ovom slučaju karakteristika ventila se bira tako da ispravi nelinearnost kola. Kao osnovno uputstvo za izbor ventila ovdje se može uzeti da, pri mjerenju protoka prigušnicama, treba (kod normalnih karakteristika crpke) uzeti ventil sa semilogaritamskom karakteristikom, dok, ako je upotrijebljen neki linearan instrument za mjerenje protoka, treba usvojiti ventil sa oštrom hiperbolifinom karakteristikom. Slična pravila vaze i za reguliranje protoka gasova pri niskim pritiscima i relativno malim brzinama (kada se gustina gasa može uzeti kao konstantna). I u ovom slučaju se karakteristika kola dobija u obliku pojačanja. Karakteristika ventilatora potpuno odgovara

77po svojoj ulozi u kolu karakteristici centrifugalne crpke. Ukoliko se promjena gustine gasa ne može zanemariti, uticaji promjena uzvodnog i nizvodnog pritiska na promjenu protoka nisu isti, odnosno važi:

tako da se moraju zasebno razmatrati uticaji promjena oba pritiska. Osim toga moraju se uzeti u razmatranje i promjene režima strujanja pri podzvučnim ili zvučnim brzinama strujanja kroz pojedine elemente opreme (naročito kroz ventil). Jednačine za pojačanje i karakteristike zatvorenog kola postaju u ovom slučaju znatno složenije i svaki slučaj se mora zasebno računati ili simulirati na analognom ili digitalnom računaru. 6.4. Regulacija odnosa dva protoka Odnos dva protoka se veoma često reguliše u procesnom inženjerstvu. Na osnovu odnosa dva ili vise protoka, regulišu se sastavi različitih smjesa (deterdženti, boje i lakovi itd.) ili sastavi reakcione smjese u hemijskom reaktoru. Regulacija odnosa dva protoka se može vršiti sa dejstvom unaprijed (upravna sprega), u otvorenom kolu, i sa različitim kombinacijama upravno-povratne sprege. Regulacija se može izvesti upotrebom standardnih regulacionih ventila ili upotrebom regulacionih crpki. Ovdje ćemo diskutovati samo dva slučaja regulacije odnosa sa upotrebom standardnih ventila oba slučaja je upotrijebljen dopunski računski element, koji će se nazvati regulator odnosa (u shemama RR). Ovaj regulator se može predstaviti funkcijom:

gdje R nije konstantna veličina, nego veličina koja zavisi od signala xc: R = f(xc) ili u najprostijem slučaju: R = Kxc. Prema tome, regulator odnosa bio bi tada analogan proporcionalnom regulatoru. Najobičniji slučaj regulacije dva protoka prikazan je na Sl. 87,

Slika 87. Regulacija odnosa dva protoka

Ovdje je riješen slučaj regulacije odnosa protoka dvije struje reaktanata A i B (QA i QB ). Kod protoka QA, koji je obično znatno veći od QB, vrši se regulacija na osnovu optimalnog nivoa u reaktoru (LIC). Protok reaktanta A mjeri se mjeračem (FI-1). Signal iz mjernog instrumenta (xa) ulazi u regulator odnosa iz koga izlazi signal xb = Rxa. Ovaj signal predstavlja referentnu vrijednost za kolo regulacije protoka reaktanta B, koje se sastoji od mernog instrumenta (FI-2), regulatora protoka (FC) i ventila. Sa

78fiksnim odnosom reaktanata (R) ovaj sistem može da radi bez povratne sprege iz reaktora. Međutim, najčešće je potrebno podesiti određene uslove za izlaznu struju C (na primjer, ako se u reaktoru odigrava neutralizacija A pomo6u B, pH u struji C treba da ima određenu vrednost). Da bi se to osiguralo, odnos R se mijenja pomoću signala xc, koji se dobija iz regulatora koncentracije (CIC). Djelimični blok dijagram ovog regulacionog sistema prikazan je na Sl. 88,

Slika 88. Djelimični blok dijagram regulacije odnosa dva protoka

Regulaciono kolo B predstavlja standardno kolo regulacije protoka B za koje vaze sve relacije koje smo usvojili ranije za regulaciju protoka. Regulator odnosa prikazan je množačem (X) i blokom (K), dok je regulator koncentracije predstavljen kao proporcionalni sistem (Kc) u koji ulazi razlika signala (Xmc - Xoc).S obzirom na brzo reagovanje u kolu B i na gotovo momentalne promjene signala xa sa promjenom protoka A i reagovanje regulatora odnosa, osnovne greške u ovom sistemu mogu da nastanu uslijed kašnjenja signala xc. Ovo kašnjenje zavisi od dinamike reaktora i mole pri sporim reakcijama da bude znatno. Također, na promjene režima rada regulacije odnosa utiče i kolo regulacije protoka QA preko nivoa u reaktoru, jer promjene QB uvijek prate QA. Za analizu svih ovih uticaja potrebno je poznavati kako dinamiku reaktora, tako i dimenzije reaktora i dinamiku sistema regulacije nivoa. Nešto bolji rezultati se dobijaju rasporedom istih elemenata tako da čine zatvoreno prikazano na Sl. 89,

Slika 89.Regulacija odnosa protoka sa zatvorenim kolom

Ovdje dva signala iz mjerača protoka xma i xmb, ulaze u regulator odnosa koji proračunava izlazni signal x prema odnosu:

79gdje signal xr ide u regulator protoka QB, (FIC). U isti regulator ulazi promjenljiva, referentna vrijednost xc, koju predstavlja signal iz regulatora sastava (CIC). Linearizaciju rada regulatora odnosa protoka možemo izvršiti na sljedeći način. Uzimajući da xr zavisi od dvije promjenljive, xma i xmb, može se postaviti relacija:

Ako se vrijednosti xma, xmb i R, mijenjaju oko neke srednje vrijednosti, vaze izrazi:

gdje su odgovarajuće veličine sa crtom, srednje vrijednosti datih promena. Na osnovu ove linearizacije možemo da postavimo blok dijagram na Sl. 90,

Slika 90.Djelimični blok dijagram odnosa protoka sa zatvorenim kolom

Na slici dinamika regulatora odnosa predstavljena je blokom KRGR, dok su ostale veličine date ranije, ili predstavljaju linearizovane relacije. Ako ovaj blok dijagram usporedimo sa prethodnim, vidimo da je regulator odnosa u zatvorenom kolu, tako da i njegove karakteristike utiču na karakteristike i stabilnost kola. Pri mjerenju protoka QB pomoću prigusnice može se pokazati, na osnovu statičkog pojačanja kola, da ventil za regulaciju protoka QB treba da bude semilogaritamski. S obzirom da se u ovom slučaju odnos dva protoka ne dotjeruje, nego ostaje na nekoj postavljenoj vrijednosti, zahtjevi za preciznošću regulatora odnosa su mnogo oštriji nego u prethodnom slučaju. U ovom slučaju regulacioni sistem je osjetljiviji na promjene protoka QA, jer se pri stalnom odnosu R, QB mijenja relativno brzo, u skladu sa dinamikom kola reguliranja protoka, tako da dinamika reaktora ne utiče na brzinu dotjerivanja odnosa. Shema veza ovakvog regulatora odnosa data je na Sl. 91

Slika 91.Regulator odnosa sa promjenjivim odnosom zavisnim od PH

80 Međutim, ostaje povratna sprega od mjerača sastava na izlazu iz reaktora, za dotjerivanje promjena nastalih uslijed netačnosti odnosa ili promjena koncentracija u struji A ili B. U praksi se koriste i složeniji regulatori odnosa. Na primjer, pretpostavimo d se u reaktoru, diskutovanom u prethodnom slučaju, neutralizuje kiseli rastvor A alkalnim rastvorom B i da se i protok i pH kiselog rastvora mijenjaju u relativno širokim granicama. U tom slučaju prethodno diskutovani sistem postaje neefikasan pri stalnom odnosu R, jer se, pri velikim poremećajima pH na ulazu, javljaju velike greške koje povratna sprega sporo otklanja. Ovaj nedostatak se može otkloniti upotrebom regulatora odnosa kod koga je R= f(pHA). S obzirom na to da pH nije linearna funkcija koncentracije kiselini i ovakav regulator mora da bude nelinearan.

6.5. Sistemi regulacije pritiska i nivoa Sistemi regulacije pritiska i nivoa su relativno slični, naročito zbog sličnih matematskih modela samog procesa, koji se mogu prikazati jednačinama:

Ova sličnost modela vodi u suštini i istovjetnim metodama analize i sinteze regulacionog sistema. Ipak, postoje i izvjesne bitne razlike. Prva razlika je u tome da kod svih sistema regulacije pritiska postoji samoregulacija, što kod sistema regulacije nivoa ne mora da bude slučaj. Drugo, kod regulacije pritiska dolaze u obzir i uticaji stisljivosti i promjena gustine (isticanje brzinom zvuka). Treće, sistemi regulacije pritiska su podložni poremećajima visokih učestalosti, dok su sistemi regulacije nivoa podložni poremećajima niskih učestalosti. I sistemi reguliranja pritiska i sistemi reguliranja nivoa mogu biti sistemi za održavanje materijalnog bilansa, odnosno prigušivanje poremećaja i pulzacija i sistemi za pravu regulaciju pritiska i nivoa. S obzirom na razlike ciljeva kod ove dvije grupe sistema, postoje velike razlike i kod izvođenja regulacije. 6.5.1. Opšti sistem regulacije pritiska

Posmatraćemo sistem sa regulacijom pritiska u pravcu protoka prikazan na Sl. 92,

Slika 92. Sistem regulacije pritiska

Uvođenjem smjene:

81mogu se dobiti pojedine prijenosne funkcije zatvorenog kola bitne za analizu. Kod problema praćenja zadate vrijednosti (servo problem), prenosna funkcija zatvorenog kola ima oblik:

Kod ispitivanja uticaja poremećaja nizvodnog pritiska, P3, prenosna funkcija dobija oblik:

Slične prijenosne funkcije se mogu dobiti za uticaj poremećaja bilo koje ulazne veličine na pritisak P1, uticaj snabdijevanja (Qi), potrošnje (Q0) i različite odnose ovih veličina. U ovim slučajevima pojavljuje se karakteristična jednačina oblika:

od koje zavisi stabilnost sistema. Analizom ove jednačine ili odgovarajuće jednačine otvorenog kola bilo kojom od ranije obrađivanih tehnika (uz linearizaciju nelinearnih elemenata), može se doći do osnovnih karakteristika regulatora. Blok slike regulacije pritiska prikazan je na Sl. 93,

Slika 93. Blok dijagram sistema regulacije pritiska

Ukoliko se želi da se pritisak održava na nekoj željenoj vrijednosti ili da prati željene promjene, poželjna je upotreba PI regulatora. Ukoliko se želi samo održavanje pritiska između datih vrijednosti (materijalni bilans), dovoljna je upotreba proporcionalnog regulatora. Upotreba integralnog regulatora se ne preporučuje, jer sistem postaje nestabilan ako je Qv/P1 = 0, a može da bude nestabilan i u drugim slučajevima. 6.5.2, Opšti sistem regulacije nivoa

Na Sl. 94, prikazan je opšti slučaj regulacije nivoa u pravcu toka, u sudu pod povišenim ili sniženim pritiskom i sa centrifugalnom crpkom koja crpi tečnost iz suda.

82

Slika 94. Regulacija nivoa

Za ovaj sistem se može razviti blok dijagram, koji je potpuno analogan blok dijagramu za regulaciju pritiska na Sl. 95,

Slika 95. Blok dijagram regulacije nivoa

Kapacitet u ovom slučaju odgovara poprečnom presjeku suda, dok je blok koji definiše dinamiku izlaznog cjevovoda, označen sa K Gp(s), relativno složen zbog centrifugalne crpke i može se predstaviti prijenosnom funkcijom:

gdje je: Rp - visina dizanja crpke, (izražena kao negativan otpor); Rl; - otpor cjevovoda, i Ll — inercija fluida u cjevovodu. Kao i u prethodnom slučaju može se uvesti smjena:

Uvođenjem ove smjene pojedine prijenosne funkcije zatvorenog kola regulacije nivoa dobijaju oblik:

83

Prenosna funkcija za odnos nivoa prema zadatoj vrijednosti (servo problem) ima oblik (bez skraćivanja):

I ovdje je za ocjenu stabilnosti kola važna karakteristična jednačina:

U izrazu za (s) mogu se cijeniti relativne veličine stacionarnih dijelova članova Qv/Hi i KmKrKa Qv/ Y. Ako crpka ima ravnu karakteristiku:

(klipne ili rotacione crpke) u izrazu za (s) može se uzeti u obzir samo drugi elan. Kod prave regulacije nivoa preporučuje se upotreba PI regulatora sa pažljivom analizom opsega stabilnosti sistema. Kod regulacije materijalnog bilansa, adekvatan je proporcionalan regulator (i sam mjerač nivoa može da sluzi kao proporcionalni regulator sa opsegom 100%). 6.5.3. Kaskadna regulacija nivoa

Regulacija nivoa se može izvesti na adekvatan način pomoću jednostavnog regulacionog kola, prikazanog u prethodnom paragrafu, samo ukoliko je pritisak P1 stalan ili se relativno malo mijenja (isto vazi i za pritisak P4). Kod velikih varijacija ovih pritisaka i kod potrebe da se nivo održava sa malim varijacijama, poremećaji postaju suviše veliki i mora se upotrijebiti složeni kaskadni sistem regulacije nivoa na Sl. 96,

84

Slika 96. Kaskadna regulacija nivoa

Kod kaskadne regulacije nivoa, regulator nije vezan direktno za regulacioni ventil, nego signal iz njega predstavlja referentnu vrijednost za regulator protoka, koji prima signal iz mjerača protoka. Blok dijagram za sistem kaskadne regulacije nivoa, prikazan je na Sl. 97, (indeksi f označavaju kolo mjerenja protoka, a indeksi h kolo mjerenja nivoa).

Slika 97.Blok dijagram kaskadne regulacije nivoa

Dinamičke karakteristike ovog sistema su relativno složene. Međutim, ako je rezervoar u kome se reguliše nivo dovoljno veliki, kašnjenja u kolu regulacije nivoa su velika u odnosu na kašnjenja u kolu regulacije protoka i cjelokupna dinamika unutrašnjeg kola regulacije protoka se može zanemariti (kao regulator KcfGcf se obično predviđa proporcionalni regulator). U tom slučaju vazi aproksimacija (za relativno spore promjene protoka prouzrokovane promjenama nivoa):

Također se može uzeti da su efekti promjene P1,P4 i H beznačajni (pri dobrom radu regulatora protoka). Ako još uzmemo da je zanemarljiva dinamika mjernog instrumenta za mjerenje nivoa (Gmh=1) dolazimo do prijenosnih funkcija zatvorenog kola:

za promjenu postavne vrijednosti, i

85

za promjenu promjenljive opterećenja (ulaznog protoka). I u ovom slučaju za stabilnost sistema je bitna karakteristična funkcija:

Međutim, sa datim uproštavanjem, za proporcionalni ili PI regulator, dobijaju se veoma jednostavni izrazi. Kod proporcionalne regulacije nivoa dobija se sistem prvog reda, oblika:

Vidimo da je ovakav sistem stabilan pri svim uslovima i da bi se, teorijski, statička greslca mogla svesti na nulu. Međutim, pri znatnom povećanju Kch dolazi do izražaja dinamika ostalih elemenata koja je zanemarena i može da dođe do nestabilnosti sistema. Ako umjesto proporcionalnog regulatora upotrijebimo PI regulator sa prijenosnom funkcijom:

dobijamo prenosnu funkciju zatvorenog kola za opterećenje Qi u obliku:

Koeficijent prigušenja, dobija se onda kao:

Vidimo da u ovom slučaju, raste sa povećanjem Kch, tako da sistem, što je neuobičajeno, postaje stabilniji sa povećanjem faktora proporcionalnosti. Razlog tome treba tražiti u činjenici da su zanemareni mnogi dinamički elementi, te prema tome ne treba nikako ići preko neke granične vrijednosti Kch. 7. DINAMIKA I REGULACIJA PROCESA SA PRENOSOM TOPLOTE Kod procesa sa prenosom toplote, ukoliko se ne javlja promjena faza, u sistemu se javlja prenošenje količine kretanja, makroskopski prenos mase (strujanje fluida) i prenos toplote. Prenošenje toplote se može odigravati provođenjem, konvekcijom i zračenjem. Sistemi u kojima se javlja prenošenje toplote, jesu sistemi u kojim fluid ili 5vrst materijal zagrijeva različitim izvorima toplote (grijači tečnosti, kaloriferi, i peci), sistemi u kojima se vrši razmjena toplote između dva fluida (izmjenjivači toplote) i

86sistemi za mjerenje temperature (termometri i zračni pirometri). Kod daleko većeg broja sistema procesne industrije javlja se promjena faza ( grijači, kondenzatori, peci za topljenje materijala), prenos mase difuzijom (rektifikacione kolone, apsorberi) i hemijska reakcija (neizotermni hemijski reaktori). ovih sistema se javlja interakcija prenosa toplote sa drugim fenomenima i dinar modeli postaju znatno složeniji. Međutim, kod pojedinih sistema ove vrste m se mogu svesti na osnovni fenomen prenošenja toplote (na primjer: pojedini sistemi sa promjenom faza mogu se analizirati kao obični izmjenjivači toplote). 7.1. Dinamičke karakteristike izmjenjivača toplote sa idealno izmiješanim fluidima na obje strane Jedan od slučajeva u kojima se dinamički model izmjenjivača toplote : na sistem diferencijalnih jednačina, koje se posle linearizacije mogu transformirati pomoću Laplace-ovih transformacija, jesu izmjenjivači toplote, kod kojih su fluidi obje strane površine za razmjenu idealno izmiješani i temperatura se ne mijenja duž. Ovo nije čest slučaj kod industrijskih izmjenjivača toplote, ali se laboratorijski termostati sa dva suda, jedan u drugom, mogu predstaviti pomoću ovog modela. Također, se kratki izmjenjivači toplote, sa visokim stepenom miješanja i recirkulacije fluida, mogu približno predstaviti modelom prikazanim na Sl. 98 ( izmjenjivač toplote sa idealnim mesa fluida na obje strane)

Slika 98. Izmjenjivač toplote sa idealnim miješanjem

Topli fluid ulazi u lijevu komoru B sa promjenljivim masenim protokom qB i promjenljivom temperaturom B1. Specifična toplota toplog fluida se može smatrati kao stalna i iznosi cB. Toplotni kapacitet fluida u lijevoj komori je označen je sa CB. Pošto je fluid idealno izmiješan u cijeloj komori je ista temperatura B koja je jednaka izlaznoj temperaturi toplog fluida. Iste oznake i pretpostavke su usvojene za komoru A i hladni fluid i odgovaraju veličine su označene indeksom A. Količina toplote koja se razmjeni kroz zid između komora je označena sa GAB. Površina zida iznosi S, a koeficijent prolaza toplote se u opsegu promjena protoka i temperatura može usvojiti kao konstantna veličina K. Ukoliko se sve promjenljive drže na konstantnom nivou, možemo da napišemo jednačine toplotnog bilansa za stacionarno stanje,

iz ovih jednačina se može doći do izraza za temperaturu u komori B,

Kombinovanjem jednačina dobija se temperatura grejnog fluida,

87

Jednačina je osnovna jednačina koja opisuje stacionarne osobine razmeijivača sa idealnim miješanjem. Parcijalnim diferenciranjem temperature A sa A1, B1,qA i qB može se doći do izraza koji definišu linearizovane koeficijente razmjenjivača (pri čemu se uzima da je vrijednost ostalih promjenljivih jednaka srednjoj vrijednosti za neki interval). Ove srednje vrijednosti su označene sa crtom iznad odgovarajuće veličine. Linearizovani koeficijenti izmjenjivača imaju oblik:

gdje zamjenjuje izraz:

Jednačine se mogu se upotrijebiti za izračunavanje promjene 0A u funkciji bilo koga ulaza. Dinamičke karakteristike izmjenjivača sa idealnim miješanjem, mogu se dobiti preko nestacionarnih toplotnih bilansa. Za grejani fluid se dobija izraz:

Za grejni fluid toplotni bilans se dobija u obliku izraza:

Ako izvršimo Laplace-ovu transformaciju ovih izraza (uzimajući samo devijacije od početnih uslova) dolazimo do transformiranih toplotnih bilansa:

88

Ovdje promjenljive sa crtom iznad predstavljaju srednje vrijednosti za radni interval. Poslije sređivanja jednačina i uvođenja smjena:

može se doći do primitivnog blok dijagrama izmjenjivača. Ove smjene se mogu dobiti iz stacionarnih karakteristika izmjenjivaca.Za pripremu blok dijagrama potrebno je riješiti transformirane jednačine po promjenljivima 0A i 0B i prikazati ih u obliku blokova prikazanog na Sl. 99,

Slika 99. Primitivni blok dijagram izmjenjivača sa miješanjem

89

Eliminacijom zatvorene konture sa pozitivnom povratnom spregom i množenjem blokova, može se doći do konačnog blok dijagrama prikazanog na Sl. 100,

Slika 100. Standardni oblik blok dijagrama izmenjivača sa miješanjem

Pojedini blokovi, u ovako redukovanom blok dijagramu, mogu se dovesti na oblik transformiranih jednačinama prvog i drugog reda uvođenjem parametara:

Kod izmjenjivača toplote sličih tipova najčešće regulirana promjenljiva temperatura grijanog fluida na izlazu iz izmjenjivača (A), a korigujuća promjenljiva protok grejnog fluida ili količina toplote koja se dovodi u jedinici vremena u odjeljak B (termostati sa električnim grijačima i dva suda). 7.2. Dinamičke karakteristike izmjenjivača toplote bez aksijalnog miješanja Kod izmjenjivača toplote bez aksijalnog miješanja (na primjer izmjenjivač cijev u cijevi), ne mogu se lako dobiti linearizovani dinamički modeli u obliku sistema običnih diferencijalnih jednačina. Egzaktno rješenje dinamičkog modela ovakvih izmjenjivača daje sisteme parcijalnih diferencijalnih jednačina, koje se relativno teško numerički rješavaju (obično samo uz pomoć digitalnih računara).Za određivanje dinamičkih karakteristika ovakvih izmjenjivača, mogu se koristiti i približni modeli sa nagomilanim parametrima (podjela izmjenjivača na sekcije u kojima se pretpostavlja idealno miješanje) i poluempirijskim modelima, koji sadrže sistem drugog reda i mrtvo vrijeme i gdje su osnovni parametri određeni iz prosječnog vremena zadržavanja grejnog i grejanog fluida u izmjenjivaču.

90 7.2.1. Izmjenjivač toplote kao sistem sa rasporednim parametrima

Za ovu analizu uzet će se izmjenjivač toplote prikazan na Sl. 101,

Slika 101. Izmjenjivač toplote (cijev u cijevi) sa parom kao grejnim fluidom

Da bi relativno uprostili model usvojićemo sljedeće uslove:

- fluid koji protiče kroz unutrašnju cijev ima konstantan protok; - grejni fluid u spoljnoj cijevi je para koja se kondenzuje tako da se temperatura ne mijenja duž zida; - zanemaruje se toplotni otpor zida (uzima se u obzir samo toplotni kapacitet zida); - mijenja se sa vremenom temperatura pare i ulazna temperatura grejanog fluida.

Cilj analize je nalaženje prijenosnih funkcija za zavisnost izlazne temperature grejanog fluida (A1) od ulazne temperature grejanog fluida (AO) i temperature zasićene pare (B).Neravnotežni energetski bilans za element unutrašnje cijevi Ax se može dobiti u obliku izraza:

gdje prvi i drugi član predstavljaju toplotu koja dolazi, sa fluidom, u element Ax i izlazi iz tog elementa, treći član toplotu koja se prenese kroz odgovarajući element zida unutrašnje cijevi, a četvrti član, akumulaciju toplote u elementu fluida dužine Ax i presjeka koji odgovara unutrašnjem presjeku cijevi. Skraćivanjem pojedinih članova i uvođenjem vremenske konstante:

dobijamo parcijalnu diferencijalnu jednačinu:

Za dio unutrašnje cijevi (metalni zid cijevi, dužine x) može se dobiti neravnotežni toplotni bilans:

Uvođenjem vremenskih konstanti definiranih izrazima:

91

toplotni bilans zida svodi se na parcijalnu jednačinu:

Time smo dobili sistem diferencijalnih jednačina koje opisuju dinamičke karakteristike izmjenjivača. Stacionarne karakteristike izmjenjivača možemo da dobijemo izjednačavanjem desnih strana jednačina sa nulom. Time se dobija sistem običnih diferencijalnih jednačina, koje definišu stacionarno stanje izmjenjivača:

Promjenljive sa indeksom s definišu stacionarne veličine (radne karakteristike izmjenjivača). Raspored temperatura grejanog fluida po dužini izmjenjivača, računa se na na osnovu izraza:

Predhodna jednačina daje poznatu jednačinu rasporeda temperatura grejanog fluida duž izmjenjivača, pri stalnoj temperaturi grejnog fluida. Ovdje AO predstavlja ulaznu temperaturu grejanog fluida, kada ne postoje nikakvi poremećaji u sistemu. Matematskom kombinacijom jednačina i uvođenjem promjenljivih, koje predstavljaju odstupanja od radne tačke, dobija se :

i

gdje su novouvedene promjenljive date kao

Transformacijom jednačina dobija se

Eliminacijom temperature zida, Z, i uvođenjem smjena:

92

dobij a se diferencijalna jednačinu prvog reda:

Ova diferencijalna jednačina se može riješiti za granični uslov:

Rješenje ima oblik izraza:

Uzimajući kao izlaznu promjenljivu, temperaturu grejanog fluida na izlazu iz izmjenjivača, A(L,s), dolazimo do prijenosnih funkcija:

za promjenu temperature grejnog fluida i

za promjenu temperature pare. Iz ovih prijenosnih funkcija može se dobiti blok dijagram za dinamičke karakteristike izmjenjivača prikazane na Sl. 102,

Slika 102. Blok dijagram za dinamičke karakteristike izmjenjivača

Dobivanje inverznih transformacija za određene vrste poremećaja, iz ovih prijenosnih funkcija, ili analiza samih prijenosnih funkcija, je veoma teško, tako da je jedini praktični put, numeričko rješavanje parcijalnih diferencijalnih jednačinama, pomoću digitalnog računara. 7.2.2. Približni dinamički model izmjenjivača toplote bez aksijalnog miješanja

Iz prethodnog primjera se vidi da je dinamički model, čak i najjednostavnijeg izmenjivača toplote, toliko slozen da se analiza dinamičkih karakteristika na osnovu ovog modela, ne može izvršiti uobičajenim tehnikama. Kod složenijih tipova izmjenjivača (izmjenjivač sa plaštom i cijevima i više prolaza grejanog fluida ili unakrsni izmjenjivači toplote), egzaktna analiza se uopšte ne može izvesti.

93Zbog toga su na osnovu egzaktnih modela jednostavnih izmjenjivača i na o novu eksperimentalnih ispitivanja odziva, na pojedine standardne poremećaje, razvijeni različiti približni modeli, Od ovih modela bit će prikazan Thal-Larsen-ov (Tal-Larsensen) model, koji je relativno najpogodniji za sintezu regulacionih sistema za upravljanje izmjenjivačima toplote. Uzmimo izmjenjivač toplote sa protivstrujnim tokom prikazan na Sl. 103,

Slika 103. Protivstrujni razmjenjivač bez aksijalnog miješanja

Analizom karakteristika izmjenjivača toplote, koji se nalazi pod stacionarni uslovima, može se doći do veličina, koje definišu odnose pojedinih ulaznih i izlazni promjenljivih. Linearizacijom se može doći do izraza:

Predhodne jednačine se mogu se upotrijebiti za izračunavanje zavisnosti temperature AO, od bilo koje ulazne promjenljive, pod stacionarnim uslovima. Uvođenjem vremenskih konstanti, koje se dobijaju iz prosječnih vremena zadržavanja grejnog i grejanog fluida u izmjenjivaču, i koje su definisane izrazima:

dolazi se do blok dijagrama, koji definiše Thal-Larsen-ov približni model izmjenjivača bez aksijalnog mijesanja dat na Sl. 104,

94

Slika 104. Thal-Larsen-ov priblizni model izmjenjivača

Na eksperimentalnim izmjenjivačima vršena su upoređivanja dinamičkih karakteristika, koje su dobijene:

- eksperimentalnim putem, - numeričkim rješavanjem parcijalnih diferencijalnih jednačina i - na osnovu Thal-Larsen-ovog modela.

Pokazano je da u frekventnom domenu postoji dosta dobro slaganje tačnih i približnih modela, osim za prenosnu funkciju: TA0(j )/TA1(j ), gdje se javljaju znatnija odstupanja. U cjelini se može smatrati da se Thal-Larsen-ov model može koristiti za sintezu regulacionog sistema, kod izmjenjivača toplote. 7.3. Regulacija temperature kod izmjenjivača toplote Kod izmjenjivača toplote reguliše se izlazna temperatura grejnog ili grejanog fluida, dok promjene ostalih promjenljivih predstavljaju poremećaje. 7.3.1. Regulacija temperature u sudu grejanom parnim omotačem

Industrijski sistem koji najviše odgovara izmjenjivaču sa idealnim miješanjem fluida, jeste sistem sa parnim omotačem (duplikatorom), koji je prikazan na Sl. 105,

Slika 105.Regulacija suda sa omotačem za paru

Kroz sud protiče voda sa promjenjivim protokom W. Ulazna temperatura vode 1, može da se mijenja sa vremenom. Voda u sudu je dobro miješana i grije se parom, koja se u omotaču kondenzuje na

95

temperaturi v i pritisku pv. Temperatura vode u sudu mjeri se i prenosi na regulator. Izlazni signal iz regulatora upotrebljava se da mijenja položaj vretena ventila, kojim se, opet, reguliše dovod pare u omotač. Osnovni problem kod ovog primera je da se odredi dinamička karakteristika suda. Sud je stvarno nelinearan sistem i da bi se dobio linearni model, potrebno je da se izvrši veći broj usvajanja, kojima će se cijeli problem pojednostaviti. 1. Analiza suda. Za analizu suda treba izvršiti sljedeća usvajanja:

a) gubitak toplote u atmosferu je neznatan, b) materijalni sadržaj - zapremina - vode u sudu je konstantan, c) termički kapacitet zida suda, koji razdvaja paru od vode, neznatan je u poređenju sa termidkim kapacitetom vode u sudu, d) termički kapacitet spoljnjeg zida omotača, onog prema okolnoj atmosferi, konačan je i temperatura ovog zida je jedinstvena i jednaka temperaturi pare, u bilo kom trenutku, e)voda u sudu je dobro miješana, tako da se nalazi na jedinstvenoj temperaturi, f) prelaz toplote sa pare na vodu u sudu, dat je jednačinom: Q = U(v-2)

gdje je: Q - količina prenete toplote, U - opšti koeficijent prelaza toplote, koji je konstantan, v- temperatura pare i 2- temperatura vode. g) toplotni kapaciteti vode i metalnog zida su konstantni, h) gustina vode je konstantna i i) para o otaču je zasićena.

Za rješenje ovog problema, potrebno je da se napišu jednačine energetskog bilansa na strani vode i na strani pare. Da bi se olakšao razvoj i dobijanje prijenosnih funkcija, dat je shematski dijagram suda prikazan na Sl. 106,

Slika 106. Shematski prikaza suda

Jednačina energetskog bilansa, na strani vode, daje:

Izrazi: cp, U, A i M u jednačini su konstantni. Prvi izraz u jednačini je nelinearan, posto sadrži proizvod protoka i temperature (W1 i W2). Da bi se iz jednačime dobila prenosna funkcija, ovi nelinearni izrazi moraju da se linearizuju. Opsti problem linearizacije funkcije sa nekoliko promjenljivih, sastoji se u adekvatnoj primeni Taylor-ove serije. Uzmimo, u opštem slučaju, da funkcija ima dvije promjenjive, z(x, y). Koristeći Taylor-ovu seriju, ova funkcija može da se proširi, oko radne tačke (xs, ys), na sljedeći način:

96

gdje se oznaka s, odnosi na uslove ravnotežnog stanja, odnosno na vrijednosti promjenjivih u izabranoj, radnoj tački . U problemima regulacije, radna tadka (xs, ys) oko koje je izvrseno proSirivanj funkcije, uvijek je izabrana kod vrijednosti ravnoteznog stanja promjenjivih, dakle pi nego sto se dogodio bilo kakav poremećaj. Linearizacija funkcije z, sastoji se u izdvajanju samo linearnih izraza, smatrajući da će devijacije: (x - xs) itd., biti male. Na taj način, ima se:

gdje je: zs - vrijednost funkcije kod radne tačke, a zxs i zys -parcijalni izvodi . Ako je z, funkcija tri ill više promjenjivih, linearizovani oblik će biti kao u prethodnoj jednačini s tim što će po jedan član više za svaku novu promjenjivu. Linearizacija, predstavljena jednačinom može da se primjeni na izraz W1 i W2 pa imamo:

Parcijalni izvodi prvog reda, koji su dobijeni kod izabrane radne tačke, dati su sa

Kombinacijom jednačina dobija se sljedeća linearizirana jednačina:

Kod ravnotežnog stanja, d2/dt = 0, pa se jednačina može napisati oblik u:

Oduzimanjem jednačina i definisanjem promjenjive:

Preuređenjem dobijamo:

Transformacijom jednačine i rjesenjem po 2, imamo:

97

gdje je,

Iz jednačine se vidi, da je odziv ,2 na promjene ,1 ,v ili W,, odziv prvoga reda sa vremenskom konstantom Tw. Sva tri pojačanja ravnotežnog stanja (K1, K2 i K3) su pozitivna. Jednačina energetskog bilansa, na strani pare, daje:

gdje je,

Hc-specifična entalpija kondenzata, Wy-protok pare, Wc--protok kondenzata, v-gustina pare u omotadu, Uy-specifična unutrašnja energija pare u omotaču, V-zapremina parnog prostora omotača, M1 -masa zida omotača, cp1-toplotni kapacitet metala u zidu omotaca, v -temperatura pare u omotacu.

Kod poslednjeg člana jednačine upotrebljeno je usvajanje dato pod d) po kome je metal u spoljnjem zidu omotaca uvijek na temperaturi pare.Jednačina materijalnog bilansa na parnoj strani suda, glasi:

pa kombinovanjem jednačina, da bi se eliminisalo Wc, dobijamo:

Promjenjive y, Hv, Hc i Uw jesu funkcije temperatura pare i kondenzata i mogu se aproksimovati proširenjem u Taylor-ove serije i linearizacijom. Postupajući na isti način kao u prethodnom slučaju i zanemarujući neke članove intermedijarnih jednačina, koji imaju neznatan efekt, dobija se, na kraju, prenosnu funkciju oblika,

gdje je,

98

Iz jednačine, vidimo da temperatura pare v zavisi od protoka pare Wv i temperature vode ,2. Kombinacijom jednačina dobija se dinamički odziv temperature vode na promjenu količine protoka vode, ulazne temperature vode i količine protoka pare. Prije nego što se završi analiza kontrolnog sistema, mora se još razmotriti efekat položaja vretena ventila na količinu protoka pare. 2. Analiza ventila. Protok pare kroz ventil zavisi od tri promjenjive: pritiska kojim se dovodi para u omotač suda, pritiska pare u samom omotaču i položaja vretena ventila, za koji će se usvojiti da je proporcionalan pneumatskom pritisku p, na vrhu ventila. Usvojit će se, radi jednostavnijeg rada, da je pritisak u dovodu pare konstantan. U tom slučaju protok pare je funkcija samo dvije, preostale promjenjive, dakle:

K = f(p,pv)

Pošto smo usvojili da je para u omotaču uvijek zasićena, zna se da je pv funkcija v data na Sl. 107,

Slika 107.Linearizacija karakteristike ventila, na osnovu eksperimentalnih rezultata

Pv = g()

Jednačine se mogu se kombinovati, pa se dobija: Wv = f[p,g(v)] = f1(p, v )

Funkcija f1 (p,v) je, uopšte govoreći, nelinearna i ukoliko postoji odgovarajuća matematička relacija, ona se može linearizovati na naprijed opisani način. Za ova primjer, usvojit će se da nemamo odgovarajud analitički izraz. Linearizovani oblik funkcije f1 (p, v), može se dobiti izvođenjem eksperimentalnih ogleda na ventilu. Ako je pritisak na vrhu ventila stalan, kod njegove ravnotežne vrijednosti, dok Wv mjerimo za nekoliko vrijednosti v (ili py), možemo dobiti odgovarajuću krivu. Ako je temperatura pare v (ili pv) konstantna, a količina protoka se mjeri kod nekoliko vrijednosti pritiska na vrhu ventila, može se dobiti kriva. Obje krive mogu da se upotrebe za dobijanje parcijalnog

99

izvoda, sa linearnom ekspanzijom funkcije ft (p,v). Ekspanzija Wv oko radne tačke ps, vs i izdvajanje samo linearnih izraza, daje jednačinu :

Ova jednačina može da se napiše u obliku:

gdje je,

Koeficijenti Kv i 1/RV odgovaraju nagibu krivih na slici kod radne tačke ps, vs. Do ovoga se dolazi samom definicijom parcijalnih izvoda. Posto je 1/RV definisano kao negativan nagib, izlazi daje Rv pozitivna veličina. Ovakav eksperimentalni nalaz, za dobijanje linearnog oblika karakteristike ventila, u principu je uvijek moguć. Međutim, on je koristan samo u slučaju kada dolazi do malih odstupanja od radne tačke. Ako se radna tačka značajnije izmjeni, potrebno je da se koeficijenti Kv i 1/Ry, ponovo odrede.

3. Blok dijagram kompleksnog sistema regulacije. Kada je izvršena analiza sistema koristeći dobijene jednačine, može da se nacrta odgovarajući blok dijagram. U našem slučaju, poslije analize suda i ventila, može se nacrtati blok dijagram sistema dat na Sl. 108,

Slika 108. Blok dijagram kompleksnog sistema, za regulaciju suda sa omotačem za paru

Dejstvo regulatora u ovom blok dijagramu, nije specificirano, već je samo označeno opštom oznakom Gc. Također je i element povratne sprege označen opštim simbolom H. On može da se upotrebi, da se dobije opšta prenosna funkcija između bilo koje dvije promjenjive. Posle znatne algebarske manipulacije dobija se slijedeći rezultat:

gdje je:

100

izrazi G1, G2, G3 G4 G5 Gc i H. Na primjer ako je Gc=Kc i H=1 dobija se prenosna jednačina,

gdje je,

Iz jednačine se vidi da je odziv sistema drugog reda, ukoliko je upotrijebljen proporcionalni regulator, i ako u liniji povratne sprege nema dinamičkog kašnjenja. Parametri K, l/2n i 2 /n su pozitivni, što proizlazi iz činjenice da su svi parametri Kc, Kv, K2, Ks, Rv, Tv i Tw, pozitivni i da je K2 < 1. Kada je blok dijagram kompleksnog kontrolnog sistema vrlo komplikovan ukoliko je moguće, da se sistem simulira analognim računarom. U tom slučaju, za proučavanje prelaznog odziva kontrolnog sistema, jednostavno se blok dijagram prenosi u kolo računara. 7.32. Regulacija temperature kod izmjenjivača bez aksijalnog mesanja U ovom slučaju korišteni su Thal-Larsen-ovi modeli koji dovoljno dobro prikazuju izmjenjivač. Do sličinih rezultata bi se došlo i kada bi se primijenio bilo koji model sa nagomilanim parametrima. 1. Regulacioni sistem sa jednim regulacionim kolom i povratnom spregom

Ovaj regulacioni sistem je prikazan na Sl. 109,

Slika 109. Konvencionaini sistem regulacije razmenjivaia toplote

U ovom slučaju korekciono dejstvo se vrši ventilom koji mijenja protok grejnog fluida qB. Promjenjive opterećenja (poremećaji) dolaze usljed promjena protoka qA temperatura 0A1 i 0B1. Također se mora uzeti u obzir poremećajno dejstvo pritiska fluida B ispred ventila PB1 i na izlazu iz izmjenjivača PB4.Blok dijagram ovog sistema se može dobiti uvođenjem približnog modela izmjenjivača i blokova za ostale elemente sistema. Ako usvojimo PI-regulator (obično adekvatan u ovom slučaju) i termometar sa odzivom I reda (zanemaren otpor obloge) dobijamo blok dijagram prikazan na Sl. 110.,

101

Slika 110. Blok dijagram za regulaciju razmjenjivača toplote (konvencionalni sistem)

U dijagramu je zanemarena vremenska konstanta cijevovoda.Na osnovu ovog dijagrama se može izvršiti analiza uticaj a svih promjenjivih i mogu se odrediti Kc, Ti i karakteristika ventila, odnosno qB/Y. Kao primer ćemo uzeti uticaj promene ulaznog pritiska fluida B na AQ. Prenosna funkcija zatvorenog kola se u ovom sludaju dobija u obliku izraza:

Analizom pojadanja kola može se doći do zaključka da kod standardnih izmjenjivaca najvise odgovara ventil sa semilogaritamskom karakteristikom (mada nijedna konvencionalna karakteristika ne daje isto pojafianje pri razli£itim opterecenjima).Analizom stabilnosti kola (pomoću Bode-ovog dijagrama ili Nyquist-ovog kriterijuma) može se do6i do vrijednosti za Kc i Tj. Na osnovu ove analize može se doći do zaključka da karakteristike sistema bitno kvari velika vremenska konstanta ter-mometra i da treba odabrati termometar sa što manjom inercijom. Ako se umesto na osnovu pribliznog Thal-Larsen-ovog modela, numeri£kom analizom na osnovu modela sa rasporedenim parametrima, za odredeni izmjenjivac izracunaju egzaktni parametri, dolazi se do zaključka da približni model daje priguse-nije odzive i duže vrijeme stabilizovanja sistema posle poremećaja. To pokazuje da se približni model u ovom slufiaju može bezbjedno upotrijebiti za projektovanje regulaci-onog sistema, ali da se kasnijim eksperimentalnim podešavanjem može doći i do nešto boljih rezultata (u granicama zadovoljavajuće stabilnosti sistema).Ako vremenska konstanta termometra predstavlja dominantno kašnjenje u regulacionom kolu, karakteristike sistema se mogu donekle popraviti uvođenjem PID-regulatora.

2. Kaskadni sistem regulacije izmjenjivača. Ukoliko se kod izmjenjivača očekuju bitni poremećaji, uslijed promjena pritisaka PB1 ili PB4, karakteristike regulacionog sistema, prikazanog u prethodnom primjeru, mogu se bitno popraviti uvođenjem regulatora protoka kaskadno vezanog sa regulatorom temperature dat na Sl. 111,

102

Slika 111. Kaskadni sistem regulacije izmjenjivača

Ovdje se u kolu regulacije temperature može upotrijebiti PI ili PID regulator (kao i u prethodnom slučaju), dok se u kolu regulacije protoka najčešće upotrebljava proporcionalni regulator (važno je brzo reagovanje kola, a od sekundarne važnosti je otklanjanje statičke greške u potpunosti). Sa ovom kombinacijom regulatora (PI u glavnom kolu) možemo da sintetizujemo blok dijagram sistema prikazan na Sl. 112,

Slika 112. Blok dijagram kaskadne regulacije izmjenjivača toplote

Za sintezu ovog blok dijagrama uzeli smo da termometar i mjerač protoka (prigušnica i Barton-ova celija ili neki drugi diferencijalni manometar) predstavljaju elemente sa vremenskom konstantom. Analizom regulacije temperature u eksperimentalnom izmjenjivaču toplote može se doći do podataka da, (pri zanemarljivom kašnjenju termometra) uvođenje kaskadne regulacije smanjuje uticaj poremećaja pritiska P1 za oko 3,5 puta u odnosu na konvencionalni sistem. Kada se uticaj termometra ne može zanemariti (uobičajeno u praksi) pozitivni efekti kaskadne regulacije su još znatno veći. 3. Regulacija izmjenjivača sa upravnom spregom.

Ukoliko se jedna od ulaznih promjenjivih mijenja u znatnijoj mjeri (na primjer protok grejanog fluida qA) može se kompenzovati uticaj ove promjene uvođenjem upravne sprege na Sl. 113,

103

Slika 113. Regulacija izmjenjivača sa upravnom spregom

Ovdje signal iz regulatora temperature i signal iz mjerača protoka dolaze u kompenzator (FK) i rezultantni signal iz kompenzatora ide u aktuator regulacionog ventila. Blok dijagram koji predstavlja ovaj sistem je prikazan na Sl. 114,

Slika 114. Blok dijagram regulacije izmjenjivača sa upravnom spregom

Potpuna kompenzacija uticaja promene protoka može da se obezbijedi ako se statička i dinamička karakteristika bloka, koji predstavlja kompenzator, podesi tako da signal koji poništava efekt promjene stigne do izlaza iz procesa u isto vrijeme kada i promjena. Prema tome blok KRGK treba da sadrži donekle modifikovan model procesa. Statička karakteristika bloka kompenzatora može se dobiti iz blok dijagrama u obliku izraza:

Vidi se da ova karakteristika nije u opstem slučaju linearna i da se mora napraviti specijalan nelinearan element koji ce da predstavlja ovaj blok. Da bi se izbeglo kašnjenje kompenzacionog signala, vremenske konstante mernog instrumenta za mjerenje protoka i aktuatora moraju da budu zanemarljive (na primer hidraulicki aktuator i elektromagnetni merad protoka). Ukoliko se postigne potpuna kompenzacija ova vrsta regulacije daje gotovo idealne rezultate, ali zbog nedovoljnog poznavanja statičkih i dinamičkih karakteristika pojedinih elemenata gotovo je nemoguce pos-tici potpunu kompenzaciju poremećaja q. Konvencionalni regulacioni sistem sa povratnom spregom ispravlja eventualne nedostatke kompenzacije i poremećaje nastale uslijed promjena drugih ulaznih promjenjivih.

1044. Regulacija izmjenjivača pomoću razdvajanja tokova fluida. Izlazna temperatura grejanog fluida kod izmjenjivaca toplote se može regulisati i razdvajanjem struje grejanog fluida, koji ulazi u izmjenjivač i vođenjem dela ove struje kroz obilazan tok. Poslije miješanja tokova kroz izmjenjivač i obilaznog toka, može se postići neka željena temperatura.Na taj način se složena dinamika izmjenjivača zamjenjuje jednostavnim modelom miješanja fluida i može se postići veoma dobra regulacija izlazne temperature. Shema ovakvog regulacionog sistema je prikazana na Sl. 115,

Slika 115. Regulacija izmjenjivača toplote razdvajanjem toka grejanog fluida Treba naglasiti da se ovakav sistem ne smije upotrijebiti ako pregrijavanje fluida u izmjenjivaču može da dovede do nepovratnih promjena kvaliteta, ili ako pothlađivanje može da dovede do kristalizacije u izmjenjivaču i do ometanja toka kroz izmjenjivač. Sistem se podesava tako da obilazni tok fluida predstavlja samo 10-20% toka kroz izmjenjivač. Za miješanje glavne i obilazne struje mogu se upotrijebiti brzi mlazni ili vrtložni mješač, gdje su vremenske konstante relativno male (reda veličine vremenske konstante termometra). Dinamički modeli, čak i najjednostavnijih tipova izmjenjivača toplote, relativno su složeni i ne mogu se dobiti direktnom teorijskom analizom. Kod geometrijski ili fizički složenih izmjenjivača (na primjer kod različitih tipova isparivača i kondenzatora gdje dolazi do promjene faze) modeli mogu biti i znatno složeniji. Zbog toga se obični regulacioni sistemi koje smo prikazali, često pokazuju kao nedovoljno adekvatni. Adekvatnije upravljanje izmjenjivačima toplote postiže se različitim adaptivnim sistemima, kod kojih se model ispituje tokom rada i kod kojih se mijenjaju parametri upravljanja prema dobijenim informacijama o modelu. 8. DINAMIKA I REGULACIJA PROCESA SA PRENOSOM MASE Kod upravljanja operacijama kao što su apsorpcija, kristalizacija, ekstra destilacija, vlaženje i sušenje, masa se prenosi kroz pojedine faze ili kroz međufazne granične površine, molekulskom ili turbulentnom difuzijom. Pri tome se javljaju uticaji makroskopskog prenošenja mase (strujanje ili mesanje fluida), prenošenja toplote, (kod neizotermnih difuzionih operacija) i prenošenja mase molekulskom ili turbulentnom difuzijom. Pojedini od ovih uticaja su isprepletani i dodaju se ili oduzimaju, tako da, makroskopski posmatrano, dinamika jedne iste operacije prenosenja mase se može gotovo isključivo da zavisi od jednog od nabrojanih faktora ili podjenakoi od viš parametara.Na primer, dinamika susenja (posmatrano makroskopski) može da zavi prenosa mase vodene pare molekulskom difuzijom, od prenosa mase turbuler difuzijom , od prenosenja toplote na tijelo koje se suši, od kretanja vode u kapilara tela koje se suši i od svih ovih faktora uzetih zajedno, ukoliko oni imaju približno iste brzine. Kod upravljanja procesom sušenja moramo da vodimo računa o koji mehanizam pretežno utiče na makroskopsku dinamiku sušenja (za određeni sistem) i da postavimo dinamički model koji obuhvata promjenjive i parametre od binog uticaja. Zbog toga se sušenje može posmatrati kao mehanička, toplotna ili difuziona operacija ili kao složena operacija, gdje svi uticaji

105dolaze do izražaja. Ne treba miješati stvarni mehanizam prenošenja mase, koji definite operaciju, sa upravljanjem pokretnim silama, kapacitetima i otporima, koji regulišu određeni sistem. Kod procesa sa prenošenjem mase reguliše se materijalni bilans postrojenja kvalitet proizvoda i utrošak energije. S obzirom na znatan udio troškova za energiju i manipulativnih troškova izvođenja ovakvih procesa, često se zahteva optimizacija utroška energije u odnosu na proizvodnju (materijalni bilans) i kvalitet proizvoda. Potreba za optimizacionim upravljanjem, kontinualno izvođenje, veliki kapaciteti veoma složeni sistemi, sa velikim brojem regulacionih kola, koja su međuzavisna, zahtevaju složene sisteme upravljanja, tako da su sistemi sa procesnim računarom razvijeni u prvom redu za upravljanje procesima sa prenosom mase (rektifikacija). Dinamički modeli procesa sa prenosom mase su obično nelinearni i moraju se pojednostaviti ili analizirati nelinearnim tehnikama. Kod pojedinih slučajeva moraju upotrijebiti modeli sa rasporedenim parametrima, ali kod velikog broja sistema sa stupnjevima modeli sa nagomilanim parametrima se nameće kao najprirodniji. 8.1. Principi regulacije rektifikacione kolone Rektifikacija predstavlja tipičnu operaciju sa stupnjevima u kojoj se javljaju fenomeni prenosa količine kretanja, prenosenja toplote i difuzionog prenosa mase. S obzirom na broj parametara i promjenjivih koji utiču na proces rektifikacije, na složenost napojne smjese koja se destiliše, na oštrinu zahtjeva koji se postavljaju u odnosu na stepen razdvajanja smjese, kvalitet destilata i teških frakcija, na tipične veličine postrojenja i kapacitete (na primjer u naftnoj industriji), na potrošnju toplotne energije i vode za hlađenje i na niz drugih tehničkih i ekonomskih faktora, dobro upravljanje rektifikacionom kolonom i vođenje procesa rektifikacije je od velikog značaja. Složenost sistema čini postavljanje matematičkog modela, narodito za nestacionarne uslove, veoma teškim, a eksperimentalno ispitivanje dinamičkih karakteristika rektifikacione kolone je složeno i teško zbog sporih odziva, interakcija različitih uticaja i nepostojanja brzih metoda analize pojedinih parametara i promjenjivih (sastava pojedinih smjesa). Iz ovih razloga, u posljednjih 25 godina, veliki broj radova je bio posvećen dinamici i upravljanju rektifikacione kolone, a naporedo sa razvojem metoda proračuna kolone pomoću računara, razvijane su i metode dinamičke analize i simulacije rektifikacione kolone na analognom i digitalnom računaru. Principi upravljanja rektifikacionom kolonom prošireni su i na druge operacije sa stupnjevima, kao što su ekstrakcija ill apsorpcija. 8.1.1. Osnovni ciljevi regulacije rektifikacione kolone Osnovni ciljevi upravljanja rektifikacionom kolonom su održavanje predviđenog kvaliteta proizvoda, uz predviđene kapacitete proizvodnje i utroške sirovina, energije i rashladnih fluida. Da bi se ostvarili ovi ciljevi rektifikaciona kolona treba da ima obezbijeđeno održavanje materijalnog bilansa na željenom nivou i regulaciju kvaliteta proizvoda, odnosno sastava frakcija na vrhu kolone, na dnu kolone ili na mjestima gdje se izdvajaju određeni produkti. Za regulaciju materijalnog bilansa kolone potrebno je obezbijediti sljedeće uslove: 1. Zbir izlaznih tokova na vrhu i dnu kolone (eventualno i svih tokova koji napuštaju bilo koji pod i izlaze iz kolone) treba da bude jednak toku napajanja kolone (srednje vrijednosti za neki vremenski period). 2. Svi protoci treba da se mijenjaju postepeno i bez skokova i prekida. 3. Sadržaji materijala u svim sudovima i dijelovima kolone treba da budu uvijek između maksimuma i minimuma dozvoljenih za rad kolone. Kod regulacije kvaliteta proizvoda idealan slučaj bi bilo održavanje sastava na vrhu i na dnu kolone na optimalnom nivou. Međutim, kod multikomponente rektifikacije moguće je održavati samo jedan od ova dva sastava na konstantnom dok se drugi sastav može samo održavati u nekim granicama. Obično se teži održavanju stalnog sastava lakih frakcija na vrhu kolone.

106Kod regulacije rektifikacione kolone, moraju se poštovati slijedeća ograničenja

1.Kolona ne smije biti potopljena (potpuno ispunjena tečnošću u nekom dijelu ili cjelini). 2.Pad pritiska kroz kolonu mora biti dovoljno visok za nesmetan rad (u protivnom dolazi do

produvavanja kolone). 3.Razlika temperatura u isparivaču kolone ne smije da pređe neku kritičnu vrijednost

Rektifikaciona kolona je izložena cijelom nizu poremećaja. Ovi poremećaji su različitog karaktera, učestanosti, veličine i uticaja na proces. Glavni poremećaji su sljedeći:

-protok napojne smješe; -sastav napojne smješe; -entalpija napojne smješe; -pritisak zagrijevne pare (entalpija pare); -temperature rashladne vode; -pritisak rashladne vode; -temperatura okoline; -uslovi prenosa toplote na okolinu (kiša, vetar itd.).

Može se dati još i veći broj specifičnih poremećaja i promjenjivih, koji na rad kolone, kao što su količina permanentnih gasova, količina neisparljivih materija i dr.. Normalno se od regulacionog sistema rektifikacione kolone zahteva stabilizacija sastava na izlazu iz kolone. Međutim, u specijalnim slučajevima se mogu zahtjevati promjene sastava u skladu sa radom drugih elemenata postrojenja ili zahtjeva za optimizacijom rada kolone. Također su specijalni slučajevi regulacije kolone, slučajevi gdje se pri radu mijenja napojni pod (rješenje kome se pribegava u slučaju veoma širokih promjena sastava napojne smjese) ili gdje se ista kolona koristi za rektifikaciju različitih sistema.Ako konstruišemo Mc Cabe-Thiele-ov (Mekkeb-Tile) dijagram za dati sistem i kolonu, dolazimo do slijedećih zaključaka o relacijama bitnim za stabilizacionu regulaciju kolone (uzimajući u obzir izvedene relacije):

a) Sastav i entalpija napajanja konstantni, a mijenja se samo protok napojne smješe Ukoliko želimo da sastav produkata na vrhu i na dnu kolone budu konstantni (xD = const.; xB = const.) potrebno je odrzavati slijedeće odnose na konstantnom nivou:

D/F = const.; LR/F= const.; VB/F = const.; B/F = const. odnosno, potrebno je čuvati sve tokove iz kolone u određenom odnosu prema toku napajanja (uz zadržavanje konstantnih temperaturnih uslova u svim dijelovima kolone). b) Sastav i protok napojne smjese promjenljivih, a samo entalpija napojne smjese približno konstantna (napojna smjesa zagrejana do temperature ključanja). Da bi se u tom slučaju održali Xp = const., xB * const., potrebno je mijenjati nagib operativne linije u Mc Cabe-Thiele-ovom dijagramu, a na osnovu toga mijenjati količine ZR i V%, odnosno refluks i količinu pare na dnu kolone. Promjene refluksa i protoka pare iz isparivača mogu se izračunati prema približnim linearizovanim izrazima:

AVB = Kfl AZF + Kf2 AF ALR = Kf3 AZF + Kf4 AF

gdje su Kfl, Kf2, K^ i Kf4 koeficijenti koji se za dati sistem mogu odrediti iz Mc Cabe--Thiele-ovog dijagrama i podataka o ravnotežnim stanjima kolone, za date promjene sastava napojne smjese, ill se mogu odrediti eksperimentalno.U oba slučaja pretpostavlja se stalna entalpija napojne smjese. Ukoliko se uzme da se pri promjeni sastava, entalpija smjese neznatno mijenja (slučaj kod rektifikacije smjesa

107ugljovodonika), treba održavati stalnu temperaturu napojnog rastvora (obično na temperaturi kljucanja smjese). 8.1.2. Dinamika poda rektifikacione kolone

Na Sl. 116, prikazan je, sematski, pod rektifika cione kolone sa tokovima ma-terijala na pod i sa poda i akumulacijom materijala na podu (M.).

Slika 116.Shema poda rektifikacione kolone

Za isparljivu komponentu u smjesi na podu može se napisati neravnotežni materijalni bilans u obliku izraza (za slučaj binarne smjese):

Uvođenjem poznatih izraza za efikasnost poda:

I za ravnotežnu zavisnost sastava tečne i parne faze koje napuštaju pod,

može se doći do izraza, koji definiše sastav parne faze koja napušta pod, u f sastava tečne faze na podu i parne faze koja dolazi na pod:

108

Također se može dati neravnotežni materijalni bilans za cjelokupnu masu u obliku izraza:

Tečna faza se preliva sa poda kroz prelivnik, koji može imati različite koncentracije i karakteristike. Međutim, količinama materijala koja se preliva sa poda u jedinicama zavisi od količine tečnosti na podu u skladu sa izrazom:

Laplasovom transformacijom jednačine dolazi se do izraza:

Sastav parne faze koja odlazi sa poda bice funkcija X i Jj_j (za bilo koji efikasnost poda manju od jedinice), pa se može napisati opšti izraz:

Parcijalnim diferendranjem izraza dolazi se do izraza koji definisu cijalne diferencijale u jednacmi,

Eksperimentalna ispitivanja su pokazala da se mogu zanemariti kašnjenja u proticanju parne faze kroz pod kolone, tako da vazi izraz:

Kombinovanjem prethodno izvedenih jednačinama dolazi se do prijenosnih funkcija koje daju zavisnost sastava i količine smjese na podu, u funkciji ulaznih protoka i sastava:

109

Ako još definišemo hidrauličnu vremensku konstantu poda, kao:

gdje je A površina poda, i ako uvedemo izraz za protok preko prelivnika:

dolazimo do linearizovane vremenske konstante poda:

uvođenjem vremenske konstante,

i koeficijenta,

dolazimo do blok dijagrama koji definise dinamiku poda prikazanog na Sl. 117,

110

Slika 117.Blok dijagram za pod rektifikacione kolone

Analizom dobijenog blok dijagrama može se zaključiti da se pod rektifikacione kolone ponaša, u suštini, kao sistem prvog reda i da obje vremenske konstante javljaju u sistemu (TH i T.), zavise od provednog vremena zadržavanja materije na podu. Pri tome, hidraulička vremenska konstanta (T„) zavisi od prose vremena zadržavanja tečnosti na podu, a vremenska konstanta T. zavisi od provedenog vremena zadržavanja, računatog na ukupni protok parne i tečne faze. Tin-pod svodi na mesa6 i zanemaruju se kašnjenja koja nastaju uslijed prenosa mase između tečne i parne faze. Kod multikomponentne rektifikacije mogu se dobiti, za svaku komponentu analogni izrazi i blok dijagrami, a odgovarajuće veličine za cijeli sistem, mogu se kazati uz pomoć matrica. Slični blok dijagrami mogu se dobiti za napojni pod kolone, izuzev što se jaljaju dvije razlike: a) postoji dodatni napojni tok; b) zbog toplotnog stanja nap< smjese, tokovi parne i tečne faze su bitno različiti iznad napojnog poda i ispod p< 8.1.3. Dinamika vrha kolone Pod pri vrhu kolone, na koji dolazi kondenzovani refluks iz kondenzaton suštini je sličan bilo kome podu kolone, izuzev Sto se javlja znatno kašnjenje pro ne sastava kondenzovane smjese, koja se vraća kao refluks u odnosu na sastav smjese. Ovo kašnjenje se sastoji od mrtvog vremena putovanja pare od vrha kolone do kondenzatora, vremena utrošenog na kondenzaciju i mijenje kondenzata i vremena putovanja kondenzata do poda. Ukupno ka[njenje se može prikazati izrazom:

gdje su: L1 i L2, vremena kretanja pare i kondenzata izmedu kolone i kondenzatora, a TD, vremenska konstanta dobijena kada se kondenzator računa kao mješač. U principu, ovo kašnjenje je štetno po kvalitet regulacije vrha kolone i neophodno ga je svesti na najmanju meru.

111 8.1.4. Dinamika isparivada

Dinamičke karakteristike isparivača se mogu vidjeti iz blok dijagrama prikazanog na slici. Ovdje je uključeno i regulaciono kolo za regulaciju sastava smješe na dnu kolone. Prikazana na Sl. 118,

Slika 118. Blok dijagram za dinamifeke karakteristike isparivafia

Dovedena toplota Q(s) dovodi se pomoću zagrevanog medijuma (pare Oi difi-la) ili direktnim zagrevanjem. KoU6ina dovedene toplote reguli§e se preko povratne sprege pomoću mjeraca sastava smese iz isparivaca, XB(s), eventualno u kaskadnoj vezi sa mjeračem količine napojne smese u upravnoj sprezi. Kašnjenje u isparivaču, nastalo pri prenosu toplote sa zagrevnog medijuma na smjesu i pri isparavanju smjese, prikazano je blokom Gj(s), dok je kasnjenje nastalo usled mešanja u isparivaču, u suštini isto kao kašnjenje na bilo kome podu (uz obi ve6i sadržaj tecnosti i vremensku konstantu). 8.15. Približni modeli za dinamičke karakteristike Cak i uz velika upro§6avanja i aproksimacije, dinamički model rektifikacione kolone, dobijen kombinovanjem blok dijagrama za individualne podove, kondenzator i isparivač, je veoma složen. Eksperimentalnim ispitivanjem dinamike kol analognom ili digitalnom simulacijom, mogu se dobiti upro§6eni linearizovani m li za dinamiku cele kolone. 8.2. Shema regulacije materijalnog bilansa i sastava kod rektifikcije

S obzirom na složeni sistem rektifikacione kolone, ciljeve regulacije, broj menljivih i veoma slozene dinamifike modele kolone sa velikim kašnjenjima i vel brojem vremenskih konstanti, regulacioni sistem za regulisanje materijalnog bilansa i sastava produkata na vrhu i na dnu kolone je veoma slozen i sastoji se od elemenata sa povratnom i upravnom spregom, kao i kaskadno vezanih elemenata. Na Sl. 119 prikazana je shema regulacije rektifikacione kolone sa dejstvom u pravcu toka.

112

Slika 119. Shema regulacije rektifikacione kolone

Protok napojne smjese, kojom se napaja kolona, dotjeruje se prigušnim i voarom i regulatorom nivoa. Isti protok se meri, i signal o protoku napojne s sluzi za korekciju refluksnog odnosa i kolicme isparenog ostatka (preko reguli protoka pare u isparivaču). Tačno podešavanje sistema za regulisanje sastava destilata vr§i se preko regulatora odnosa (RR), koji odreduje odnos refluksa prema toku napajanja, koji se mijenja pomocu regulatora koncentracije (CC). Regulator nosa je kaskadno vezan za regulator protoka refluksa, koji sluzi da se smanje i ji promena pritisaka u refluksnom vodu. Protok vode za hladenje, kojom se kondenzuje destilat, reguliše se preko temperature destilata. Destilat kao produkt se skuplja u prigušnom rezervoaru, koji za napajanje slede6e kolone ili bilo kog drugog sistema. Isparivač na dnu kolone reguliše se, takode, regulatorom odnosa (RR), je kaskadno vezan za regulator protoka pare, kojom se isparava ostatak. Ostat skuplja u izlaznom rezervoaru. Ovo je samo jedna od mogućih shema regulacije kolone i kod nje se pretpostavlja atmosferski pritisak na vrhu kolone. Ukoliko kolona radi pod pritiskom ili umom i ukoliko se u smjesi nalaze znatne količine inertnih gasova, regulacija ko zatora se mora izvršiti na drugačiji način nego u prethodnom slučaju. Jedna od mogućih shema za regulisanje kolone pod vakuumom ili pritiskom, data je na Sl. 120,

Slika 120. Regulacija kondenzatora kod kolona pod vakuumom ili priitskom

U ovom slučaju se količina vode za hlađenje reguliše preko pritiska u kondenzatoru, a crpljenje inertnih gasova i održavanje pritiska koji odgovara naponu pare na kojem se destilat kondenzuje, vrši se preko regulatora temperature kondenzata. Kod termosifonskog isparivača obično se nivo tečnosti na dnu kolone mora odrzavati u nekim granicama. U tom slučaju se upotrebljava regulaciona shema prikazana na Sl. 121,

113

Slika 121 Regulacija nivoa na dnu kolone

Ovdje smjesa pare i tečnosti dolazi iznad nivoa na dnu, razdvaja se, i tecnost se mesa sa tecnoScu iz prelivnika. Nivo se regulise preko protoka ostatka. S obzirom na broj regulacionih kola kod rektifikacione kolone, na slozenost sistema i na ekonomske koristi od optimalnog vođenja rektifikacije, upravljanje radom rektifikacionih kolona je bilo jedno od prvih podrucja gdje su korišteni procesni računari. Oni su korišteni u prvo vrijeme za konvencionalne regulatorske akcije, zatim za simuliranje dinamike kolone kod regulacije sa upravnom spregom, a u punom razvoju je njihovo korištenje za optimalno vođenje rektifikacionih kolona. 8.3. Uprošten sheme regulacije rektifikacione kolone

U mnogo slučajeva, moguće je uprostiti sistem upravljanja kolonom. Ako se efikasno regulise dovod napojne smjese, pritisak na vrhu kolone, nivo na dnu kolone i protok pare stalne entalpije u predgrejac, moguće je svesti sistem regulacije kolone na sistem regulacije refluksnog odnosa prema temperaturi vrha kolone. Ovim se može dobiti zadovoljavajuća regulacija sastava lakih frakcija i pri promenama sastava napojne smjese. Na Sl. 122, prikazan je ovakav uprošten regulacioni sistem za rektifikacionu kolonu.

Slika 122. Uprošteni sistem regulacije rektifikacione kolone

114Blok dijagram, kojim je prikazana regulacija temperature poda na vrhu kolone, dat je na Sl. 123,

Slika 123.Regulacija temperature poda na vrhu kolone

Izbor regulatora za ovaj sistem nije jednostavan. To je zbog toga Sto prijenosne funkcije, koje daju relaciju izmedu količine refluksa i temperature vrha kolone, kao i između sastava dovoda i temperature vrha kolone (Gi i G2), stvaraju velika kašnjenja i imaju velike vremenske konstante, Sto je posledica velicine opreme i fenomena prenosa. Prakticno može proći i nekoliko časova, od momenta promjene sastava dovoda, da bi doslo do znatnijeg efekta ove promene na temperaturu na vrhu kolone. S druge strane, teškoca je i u tome sto su prijenosne funkcije Gx i G2, nedovoljno poznate. Često se, za kola koja pokazuju ovakve karakteristike, jednostavno usvaja PID regulacija. Ovakav regulator se postavi u kolo sa početnim — proračunom — vrijednostima parametara, koji se onda dalje podeSavaju, kroz sticanje odredenog iskustva na samoj koloni. Kao slijedeće, u koloni treba da se kontrolise pritisak kolone i nivo u predgrejaču. Pritisak se može kontrolisati podešavanjem količine protoka vode za hladenje u kondenzatoru. Povećanje količine vode za hlađenje smanjuje pritisak i obrnuto. Kontrolni sistem pritiska kolone obuhvata nepoznate prijenosne funkcije sa velikim vremenskim konstantama, pa se kao i kod slučaja kontrolnog sistema temperature na vrhu kolone, projekt sistema često realizuje približnim postupcima. 8.3.1. Međusobna dejstva kod kompleksnog sistema regulacije

Kada je svako od pojedinačnih regulacionih kola projektovano tako da radi na zadovoljavajući način, ipak nije sigurno da 6e, kada se sva kola postave da rade istovremeno u destilacionoj koloni, ukupan rad kolone biti zadovoljavajući. Stvarno je moguće da su kola pojedinacno stabilna, a da u kompletnoj koloni dovode do nestabilnog rada. Do ovoga dolazi uslijed pojave medusobnog dejstva izmedu različitih promjenjivih. Prema tome, regulacija svake promjenjive jednostavno, nezavisno kolo, već složeno kolo, koje dovodi u vezu međusobna dejstva pojedinih promjenjivih. Tako, za regulaciona kola pritiska i temperature na vrhu kolone, realniji blok dijagram bio bi onaj, koji je dat na Sl. 124

115

Slika 124. Blok dijagram destilacione kolone, koji pokazuje medusobna dejstva izmedu pojedinacnih kola

Projekat kontrolnog sistema procesa teško može biti zasnovan na takvim kompleksnim dijagramima, zato što prijenosne funkcije nisu poznate. Medutim, mora se voditi računa o postojanju medusobnog dejstva i nastojati da se ovaj efekat ucmi što manjim.

8.4. Dinamika gasnog apsorbera

Kao i kod rektifikacione kolone, dinamički modeli drugih stupnjevitih sistema mogu se dobiti analizom dinamike pojedinih stupnjeva (podova kolone) i sintezo kompleksnog modela za cijeli sistem. U sljedećem primeru dat je ovaj postupak za relativno uprošten model gasnog apsorbera dat na Sl. 125,

Slika 125.Gasni apsorber

116U apsorberu, vazduh koji sadrži rastvorljivi gas, kao npr., NH3, dovodi se u kontakt sa svezom vodom, da bi se uklonio dio amonijaka. U našem primeru, apsorber ima ukupno dva poda, a mehuranje gasa kroz tecnost obezbeduje potpuno miješanje dvije faze na svakom podu. Za vrijeme mesanja, amonijak difunduje iz mehurida gasa u tecnost. U industrijskom postupku upotrebljeno je uglavnom vise podova, međutim, osnovni principi koje ovde razmatramo, nezavisni su od broja podova. Problem se sastoji u analizi sistema, da bi se utvrdila dinamika njegovog odziva Drugim recima, potrebno je da se utvrdi kako se mijenjaju koncentracije tečnosti i gas ne faze, kao rezultat promene ulaznog sastava gasne faze ili količine tečnosti koja protiče kroz apsorber. U analizi su upotrijebljeni sledeći simboli:

Ln — protok tečnosti na izlazu sa n-tog poda, mol/min, Vn-protok gasa koji napušta n-ti pod, mol/min, Xn- koncentracija tečnosti, koja odlazi sa n-tog poda, molski deo NH3, Yn-koncentracija gasa, koji napušta n-ti pod, molski deo NH3, Hn-materijalni sadržaj (količina) tečnosti na n-tom podu, mol.

Da analiza ne bi bila previše komplikovana, upotrebljava se sledeca usvajanja:

a) Temperatura i ukupni pritisak u apsorberu su jedinstveni i ne mijenjaju se sa promenom protoka,

b) Gasovita faza na ulazu u apsorber je razblažena (recimo do 5 molskih procenata NH3), tako da možemo da zanemarimo smanjenje ukupne molarne količine gasa, kada se ukloni NH3. Isto tako, usvajamo da se molarna količima tečnosti ne povećava apsorpcijom NH3,

c)Efikasnost poda je 100%, §to znači da su tečnost i gasovita faza, koji odlaze sa posmatranog poda, u ravnoteži.

d)Ravnotežni odnos je linearan i dat je izrazom: yn = mx*+b

gdje su m i b, konstante koje zavise od temperature i ukupnog pritiska sistema, a x* je koncentracija tecnosti u ravnoteži sa gasnom fazom, koncentracije yQ. Za idealan pod: xn = x*. e)Materijalni sadržaj tečnosti, Hn, na svakom podu je konstantan i nezavisan od protoka. Takode, materijalni sadržaj na svakom podu je isti, tj. Hi = H2 = H.

F) Materijalni sadržaj gasne faze izmedu podova je zanemarljiv. Usled ovoga i usvajanja uCinjenog pod b), protok gasne faze sa svakog poda je isti i jednak protoku gasne faze naulazuuapsorber, tj. Vo= V\- Vi= V. Od svih usvajanja, koja su ovde učinjena, najmanje je tačno ono koje pretpostavlja idealno ravnotezno stanje poda.Analizu apsorbera počinjemo pisanjem bilansa amonijaka na svakom podu. Materijalni bilans amonijaka na podu 1, daje:

Po jednačini akumulacija amonijaka na podu 1, jednaka je razlici do-voda i odvoda amonijaka sa posmatranog poda. Veličine H i V, nemaju indekse uslijed usvajanja koja su izvršena pod e) i f). Materijalni bilans amonijaka na podu 2, daje:

Jednačina ne sadrži izraz L3X3, posto smo usvojili daje X3 = 0. Za idealni pod je: xn = x*, pa jednačina ravnoteze postaje:

117yn = mxn + b

Zamjenom ravnotežne jednačine u jednačinama dobiva se:

gdje je: x0 = (y0 - b)/m, koncentracija tečnosti koja je u ravnoteži sa ulaznom koncentracijom gasne faze y0.Rješenje ovih dvaju jednačina daje,

Tako dobijamo dvije nelinearne diferencijalne jednačine prvog reda. Nelinearni izrazi u ovim jednačinama su: L2X2 i LiXi. Pogonske funkcije u sistemu, koje se moraju specificirati kao funkcije vremena, jesu ulazna koncentracija gasne f?ze, Xo -= (^0 - b)/m, i ulazni protok tečnosti, L3. Da bi dobili rješenje za Xi(t) i x2(t), mo-ramo da formuliSemo jo§ dvije jednačine, koje se mogu dobiti razmatranjem dinamike protoka tecnosti na svakom podu. Svaki se pod može smatrati sistemom prvog reda, za koji vazi slijedeći odnos:

Vremenske konstante ovih jednačina (Tj i T2), mogu se odrediti eksperimentalno, o cemu smo vec ranije govorili. Sada imamo ukupno cetiri diferencijalne jednačine i šest promjenjivih (x\, X2, Xo, L\, L2 , L3). PoSto su JCo i L3, pogonske funkcije, koje su formulisane kao funkcije vremena, ove četiri jednačine mogu se riješiti : xi(t),X2(t),L1(t) iZ,2(05pomo6u izrazazaxo i^-3-. Problem dinamike ovog apsorbera može sada da se rješava na dva načina. Po prvom, ako se zahtjeva odziv j>2 na promjene ulazne koncentracije gasne faze, pri čemu protok tecnosti ostaje konstantan. U torn sludaju problem je linearan.I drugo, ako želimo da znamo promjenu izlazne koncentracije gasne faze, y2, na promene ulaznog protoka i ulazne koncentracije gasne faze. U torn slučaju moraju se riješiti četiri simultane diferencijalne jednačine, od kojih dvije sadrze nelinearne izraze. Jedna mogucnost resavanja jeste da se linearizuju nelinearni izrazi, kao §to je to učinjeno u prethodnom primeru suda za zagrevanje tečnosti, Sto smo vec detaljno razmatrali.Za prvi slučaj, gdje je ulazna koncentracija tečnosti konstantna (Lt = L2 = L), jednačine e mogu se pisati kao:

Gdje su:

U ravnoteznom stanju: dxi/dt = dx2/dt = 0, pa se jednacme mogu pisati kao:

118

Oduzimanjem ovih jednačina ravnotežnog stanja, od jednačina (8.33) i (8.34), i uvođenjem devijacionih promjenjivih: X\ =X\ — Xis,X2 = x2 - X2S,X0= x0 — x0s, dobijamo:

Jednačine se mogu se transformisati, pa dobijamo:

sXt = -aX1 + bX2 + cX0 sX2 = cX1- aX2

Sada imamo dvije algebarske jednačine i tri nepoznate {X\, X2 i Xo). Rješenjem ovog para jednafiina, da se eliminiSe Xi i zamjenjujući: X2 = Y2/m i X0 = Y0/m, dobijamo prenosnu funkciju:

Jednačina pokazuje da je odziv sistema, promjena izlazne koncentracije gasne faze na promjenu ulazne koncentracije, drugog reda. Jednačina ima standardni oblik prijenosnih funkcija drugog reda, sa parametrima:

Resenjem ovih jednafiina, dobijamo:

Zamjenjujući sada a i b, njihovim pravim vrijednostima, dobijamo da je:

ili uproštavanjem tog izraza

Posto je Vm/L > 0, izlazi da je > 1. Iz toga slijedi da će odziv sistema bi uvijek previše prigušen. Ako bi se analiza ponovila, za gasni apsorber koji sadrzi n-podova, našli bi da se sistem ponaša kao sistem n-tog reda.

119 9. DINAMIKA I REGULACIJA PROCESA SA HEMIJSKOM REAKCIJOM Upravljanje procesima sa hemijskom reakcijom stavlja najviše problema pred hemijskog inzenjera i to iz vise razloga. U prvom redu, kod upravljanja ovim procesima, javlja se simultani prenos količine kretanja, toplote i mase, udruzen sa slozenom kinetikom hemijskih transformacija. U drugom redu, geometrija sistema može da bu-de veoma slozena (na primjer, heterogeni katalitički reaktor) sa svim ovim fenomenima u zrnu katalizatora i u granicnom sloju oko zrna, sa zbirnim fenomenima prenosa toplote, mase i količine kretanja, za nepokretni ili pokretni sloj zrna katalizatora i sa složenim fenomenima u reaktoru, gdje se može javiti vise sistema sa slojevima katalizatora, izmjenjivacima toplote, separatorima i unutrasnjim ili spoljnim recirkulacionim tokovima. Treća vrsta problema vezana je za visoku nelinearnost izraza kojim se mogu opisati pojedini dijelovi sistema, za ograničenja uslova pod kojima reaktor može da radi i za mogućnosti tretiranja siroke klase reaktora samo kao sistema sa rasporedenim parametrima. Četvrta grupa problema, vezana je za stabilnost egzotermnih reaktora, kod kojih se javija efekat pozitivne povratne sprege i postoje mogućnosti nestabilnog rada, kako u obliku eksponencijalnih promena rezima, tako i u obliku ciklicnih promena. Slozenost problematike upravljanja hemijskim reaktorima se jos potencira raznovrsnoscu tipova reakcija i reaktora. Ako uporedimo reakcije u plazmi, u gasnoj smjesi, u sistemu gas-čvrsto, gas-tečno, čvrsto-tečno, videćemo da na dinamiku sistema uticu veoma različiti faktori kod pojedinih grupa. Ako uporedimo hemijske reaktore, sa elektrohemijskim ili biohemijskim reaktorima, videcemo također da se javljaju izvanredno velike razlike u kinetici, fenomenima prenosa, geometrije i i parametrima procesa. Zbog toga ne postoji do sada udžbenik ili monografija koja obuhvata cijelu problematiku upravljanja reaktorima. Niz problema je riješen samo za specijalne slučajeve, a pojedini problemi su neriješen ili se rješavaju aproksimativno ili empirijski. 9.1. Dinamika i regulacija izotermnih reaktora sa idealnim miješanjem 9.1.1. Sistem reaktora sa reakcijom prvog reda U ovom slučaju se dobijaju linearni dinamički modeli za koje se upravljačka shema može sintetizovati i analizirati bez teskoća, tehnikom koja je razvijena u prvom dijelu knjige.

Uzmimo daje reaktor, sud sa mješalicom stalne zapremine V dat na Sl. 126,

Slika 126. Protocni reaktor sa idealnim meSanjem U reaktoru je pomoću zmijaste cijevi moguće održavati stalnu temperaturu . U reaktoru se odvija nepovratna reak-cija I reda, u kojoj se reaktant A razla-ze prema izrazu:

Brzina reakcije se može definisati izrazom:

120

Konstanta brzine reakcije je funkcija temperature prema izrazu:

U reaktor utice tok Q0, sa koncentracijom reaktanta A, cA0. Iz reaktora istice tok Qx, sa koncentracijom cA1. Zbog stalne zapremine može se uzeti:

Qo = Q1 = Q Materijalni bilans reaktora može se dati u obliku:

Zamjenom:

Dolazi se do izraza

Na osnovu ove diferencijalne jednačine, Laplace-ovom transformacijom se može doti do bloka, koji prikazuje model reaktora prikazanog na Sl. 127,

Slika 127. Model reaktora

Regulacija izlazne koncentracije kod sistema ovakvih reaktora ilustrovana je na sledecem primeru.Uzmimo da su dva reaktora različitih zapremina V\ Wi, vezani na red i da se koncentracija reaktanta A odrzava na izlazu iz drugog reaktora, dodatkom Cistog reaktanta A u prvi reaktor. Uzmimo da su oba reaktora izotermna, ali da se temperature, koja se održava u njima, razlikuje, Q\ =£ 02 • Shema tokova i regulacije prikazana je, za ovaj sistem, na Sl. 128,

121

Slika 128. Regulacija izlazne koncentracije kod sistema dva protočna reaktor

Za prvi reaktor jednačina materijalnog bilansa je modifikovana u oblik:

mcVkcmQcQdtdcV AA

AAoo

A 111101

1 )(

gdje je: m - broj molova u jedinici vremena za cistu komponentu A, a A, molska gustina A. Ako je zapreminski protok eistog reaktanta A mali u odnosu na protok Q0:

0Qm

A

i ako se iz materijalnog bilansa dobije blok dijagram drugog reaktora, dobija se sistem blokova prikazan na Sl. 129,

Slika 129. Sistem blokova

Gdje su vremenske konstante definisane izrazima,

Iz ovog primitivnog blok dijagrama može se doći do konačnog blok dijagrama prikazanog na Sl. 130:

122

Slika 130. Konačni blok dijagram

Uključivanjem modela u standardno zatvoreno kolo može se do6i do karakteristika regulacionog sistema:

Kod zatvorenog kola, zbog malih dimenzija i protoka kroz vod kojim se reguliše protok eistog reaktanta m, zanemarene su dinamičke karakteristike cjevovoda. S obzirom na karakteristike instrumenata za merenje koncentracije uzeto je da treba uzimati kontinualan uzorak iz izlaznog cjevovoda, pa se u kolu javlja mrtvo vreme Lm. Analiza sistema se može sprovesti preko analize pojačanja kola, da bi se definisala karakteristika ventila, i prijenosne funkcije zatvorenog kola, da bi se utvrdili k,T iTj. Pojačanje kola se dobija iz izraza:

Kod linearnog sistema, u ovom slučaju, i uz mali uticaj otpora u cjevovodu, za dist reaktant A, ventil je linearan, tako da se dobija konstantno pojačanje kola prikazano na Sl. 131,

Slika 131. blok shema regulacije reaktora

Prenosna funkcija zatvorenog kola ima oblik:

123Primenom Bode-ovih dijagrama ili Nyquist-ovog kriterijuma, mogu se odrediti osnovni parametri regulatora. 9.1.2. Nelinearni dinamički modeli izotermnih reaktora U slučajevima kada reakcija nije prvog reda materijalni bilans reaktora sa idealnim mesanjem vodi do nelinearnih diferencijalnih jednačima, koje se u opštem slučaju ne mogu analitički riješiti, niti se mogu transformisati primenom linearnih operatora. Uzmimo isti protočni reaktor stalne zapremine. Ako se u reaktoru odvija reakcija:

AB i ako se brzina može definisati izrazom:

-JA= kcA2 pod istim uslovima kao u prethodnom primeru iz materijalnog bilansa se dobija di-ferencijalna jednačina: Ova diferencijalna jednacma može da se napiše u obliku:

)()()(0

21

1 tcVtQkc

VtQ

dtdc

AAA

Ova jednačina predstavlja poseban oblik Riccati-jeve jednačine i analitička rješenja mogu da se dobiju samo za posebne ulazne funkcije Q(t) i cA0(t). Za neku radnu tačku:

cA1=cA10 može se izvršiti linearizacija izraza za brzinu reakcije, uzimajuci da je:

10111

AAA

A cckcJ

dobija se izraz koji je identičan sa modelom reakcije prvog reda, tako da se dalje, sinteza upravljanja može vrsiti kao u prethodnom primjeru. Očigledno je da je u ovom slucaju celokupna analiza ogranicena na neposrednu blizinu radne tadke i da se ne može ništa reci o dinamici sistema daleko od radne tačke. Ako se usvoji princip da je stabilnost nelinearnog sistema ista kao stabilnost odgovarajućeg linearnog sistema u okolini radne tačke, ovakva linearizacija se može izvršiti u cilju određivanja stabilnosti. Međutim, ako zelimo da ispitamo dinamičke karakteristike ovakvog reaktora u cijeloj oblasti koncentracija, moramo se služiti nelinearnim tehnikama, kao Sto je tehnika fazne ravni, koje izlaze iz okvira ove knjige. Kao zaključak se može dati da, ukoliko se u reaktoru odvija bilo kakva reakcija sa redom koji se razlikuje od prvog reda, klasična dinamička analiza se može prime-niti samo ako se za neku radnu tačku usvoji da je reakcija pseudo-prvog reda, a u opštem slučaju se moraju koristiti nelinearne matematičke tehnike ili simulacija reaktora na računaru. 9.2. Dinamika i regulacija neizotermnih reaktora sa idealnim mesa 9.2.1. Dinamički model reaktora U prethodnim primjerima uzeto je da je temperatura u reaktoru stalna i prema tome konstanta brzine reakcije mo£e uzeti kao stalna veličina. Ovo va slučajeve kada je toplotni efekat reakcije mali ili kada su reaktanti jako razbh Ukoliko to nije slučaj, dinamika reaktora postaje znatno složenija. Pošto u ton caju, sastav i temperatura uticu jedno na drugo, za defimciju dinamike reaktora potrebne su jednačine kako materijalnog, tako i toplotnog bilansa. Reaktor predsi i razmenjivači toplote, pa se u model

124moraju uvesti velicme, vezane za razmenu toplote.Uzmimo protodni reaktor sa idealnim miješanjem i nepovratnom egzoterm reakcijom I reda. Sistem je definisan kao sistem na slici 9.1., izuzev §to ulazna peratura d0, nije jednaka temperaturi u reaktoru 6\, koja predstavlja promen velidinu. Sistem je prikazan na Sl. 132,

Slika 132. Egzotermni protočni reaktor sa idealnim miješanjem

Iz materijalnog bilansa ovde se dobija identičan izraz, kao za izotermni rektor, s tim što se mora voditi računa, da je veličina k promenljiva, funkcionalno vezana sa temperaturom u reaktoru:

V dcA1/dt = QcA0 - QcA1 - kV cA1 Iz energetskog bilansa, uzimajuci u obzir da toplotna akumulacija mora t jednaka zbiru količina toplota dovedenih u reaktor ili odvijedenih iz njega i količina toplote oslobođenoj reakcijom, dolazi se do druge diferencijalne jednačine, koja o suje dinamiku sistema:

Vcp d/dt = Qcp (0 -1) + (-AH)kVcA1 + aRSR(R -1) gdje je: cp — specificna toplota reakcione smjese, - gustina, H — toplota reakcije, r - koeficijent prelaza toplote između zida cijevi za hlađenje i fluida u reaktoru, Sr - površina cijevi za hladenje i r — temperatura zida cijevi za hladenje. Da bi se dobio tačniji dinamički model, mora se uzeti u obzir i dinamika cijevi za hladenje. Iz materijalnog i energetskog bilansa dobija se sistem od dvije obične nelinearne diferencijalne jednačine u kojima su zajedničke promjenjive, koncentracija u reaktoru cA1 i konstanta brzine reakcije, definisane izrazom:

k = k0 e-E/RT gdje je:

k0 — faktor frekvence, E - energija aktivacije i T - apsolutna temperatura fluida u reaktoru T= 1 + 273°C.

Izjednačavanjem desne strane jednačina sa nulom, dobija se ravnotežni toplotni i materijalni bilans reaktora u obliku izraza:

Qi=Qcp(0-1)+(-H)kVcA1+rSr((r-1)

Eliminisanjem koncentracije u reaktoru, dolazimo do izraza koji daje uslove ravnoteže u reaktoru, odnosno uslove pod kojima je temperatura stalna, jer su izjednačene količine toplote koje se dovode u reaktor i kolicme toplote koje se odvode iz reaktora. Količina toplote dovedena reakcijom, iznosi:

Vek

QVQcHQ

RE

AoR

)273(/0

1

)(

125 dok se određena količina toplote može dati izrazom:

Qi=Qcp(1-)+rSr((1-r)

Za određene uslove mogu se izjednačiti, toplota dovedena reakcijom i toplota odvedena reaktantima, odnosno produktima reakcije i preko cijevi za hlađenje. Ako se ovo izvrši na grafiku, koji daje količine toplote u funkciji temperature u reaktoru, dobijaju se uslovi ravnoteže . Ovi uslovi su dati: za stalnu temperaturu na ulazu, stalnu koncentraciju na ulazu i stalnu zapreminu reaktora, uz promjenu tem-perature rashladne cijevi (krive 1 i 2), odnosno koeficijenta prelaza toplote (krive 1 i 3).Zavisnost temperature u reaktoru i dovedene količine toplote reakcije, data je sigmoidnom krivom, koja se asimptotski približava nekoj vrijednosti, pri kojoj je konverzija u reaktoru potpuna. Zavisnost odvedene toplote od temperature u reaktoru je približno linearna u sva tri slučaja, pri čemu je strmina krive proporcionalna koeficijentu prelaza toplote otr prikazano na Sl. 133,

Slika 133. Ravnotežni uslovi za egzotermni reaktor

Presjeci sigmoidne krive sa linijama 1 i 2 (tačke A i B) su jednoznačni, odnosno moguća su stanja reakcionog sistema sa visokom konverzijom i visokom temperati rom (tačka B), sto bi kod sagorevanja moglo da se nazove „buktanje", i niskom koi verzijom i temperaturom (tačka A) — „tinjanje". Sistem je u oba stanja stabilan. M( dutim, linija 3 ima tri presjeka sa sigmoidnom krivom (tačke C, D i E). Tačke C i'. su ekvivalentne tačkama A i B, odnosno predstavljaju stabilna stanja reaktora, dok j tačka D nestabilna, jer je kriva zavisnosti dovedene toplote od temperature strmiji od krive odvedene toplote. Ukoliko se temperatura spusti ispod vrijednosti tačke E sistem prelazi u „tinjanje", a ukoliko se makar i malo poveća u „buktanje>'. Prema tome tačka D je nestabilna i reaktor ne može da radi spontano u njenoj blizini. Stabilizacija reaktora u blizini tačke D se može izvesti uvođenjem proporcionalne regulacije temperature reaktora prikazano na Sl. 134. Povećanjem faktora proporcionalnosti, Kc, pri dovoljno niskoj temperatui rashladnog fluida, može se po volji mijenjati strmina linije zavisnosti odvijedene topic te od temperature u reaktoru, tako da prava 3 prelazi u isprekidanu liniju 4 na dijagramu. Ovdje se stabilnost sistema očigledno povećava sa faktorom proporcionalnosti

126

Slika 134. Egzotermni protočni reaktor sa proporcionalnom regulacijom temperature

S obzirom na nelinearni karakter sistema, potpuniji dinamički opis sistema, bez regulacije i sa regulacijom, moguće je izvesti samo nelineamim tehnikama, kao što je tehnika fazne ravni.

Documents

Mjerenje, Regulacija, Automatizacija, 31.12.2012.God