-
SVEUILITE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE
METODA KONANIH ELEMENATA programski zadaci
Student: Damjan Ule 0035154401 Motori i vozila
Zagreb, sijeanj 2015.
-
Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski
zadaci
Sadraj 1 Zadatak 1
............................................................................................................................
1
1.1 Vektori pomaka
...........................................................................................................
2
1.2 Izraunavanje globalne matrice krutosti
......................................................................
7
1.2.1 Matrica krutosti elemenata s obzirom na lokalne stupnjeve
slobode ................... 7
1.2.2 Element 1
..............................................................................................................
9
1.2.3 Element 2
............................................................................................................
10
1.2.4 Element 3
............................................................................................................
11
1.2.5 Globalna matrica krutosti
...................................................................................
12
1.3 Izraunavanje globalnog vektora sila
........................................................................
13
1.4 Izraunavanje pomaka u vorovima
..........................................................................
13
1.5 Izraunavanje sile u tapu
..........................................................................................
15
1.6 Izraunavanje raspodjele naprezanja u ploi
.............................................................
16
1.6.1 Raspodjela naprezanja u elementu 1
..................................................................
16
1.6.2 Raspodjela naprezanja u elementu 2
..................................................................
17
1.7 Usporedba rjeenja dobivenih runo i programskim paketom
Abaqus CAE ............ 18
2 Zadatak 2
..........................................................................................................................
20
2.1 Modeliranje geometrije
..............................................................................................
21
2.2 Definiranje materijala i geometrijskih karakteristika
................................................ 22
2.3 Rubni uvjeti i optereenje
..........................................................................................
24
2.4 Kreiranje mree
.........................................................................................................
24
2.5 Konvergencija pomaka toke B
.................................................................................
26
2.6 Naprezanja u presjeku A-A
.......................................................................................
27
2.7 Deformirani oblik ploe
.............................................................................................
28
I
-
Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski
zadaci
Popis slika Slika 1.1 Zadatak 1
.....................................................................................................................
1
Slika 1.2 Diskretizirani model
....................................................................................................
2
Slika 1.3 Element 1
....................................................................................................................
3
Slika 1.4 Element 2
....................................................................................................................
3
Slika 1.5 Element 3
....................................................................................................................
4
Slika 1.6. Model u Abaqus CAE programskom paketu
........................................................... 19
Slika 2.1. Parametri za izradu skice
.........................................................................................
21
Slika 2.2. Model elementa zadanog zadatkom
.....................................................................
22
Slika 2.3. Odabir karakteristika materijala
...............................................................................
22
Slika 2.4. Unos Youngovog modula i Poissonovog koeficijenta
............................................. 23
Slika 2.5. Solid/Homogeneus element
.....................................................................................
23
Slika 2.6. Debljina elementa
....................................................................................................
23
Slika 2.7. Rubni uvjeti i optereenje
........................................................................................
24
Slika 2.8. Mrea s 45 elemenata
...............................................................................................
25
Slika 2.9. Mrea sastavljena od 1500 elemenata
......................................................................
25
Slika 2.10. Graf konvergencije
.................................................................................................
26
Slika 2.11. Naprezanja u smjeru osi X
.....................................................................................
27
Slika 2.12. Naprezanje u smjeru osi Y
.....................................................................................
27
Slika 2.13 Ekvivalentno naprezanje po von Misesu
................................................................
28
Slika 2.14. Nedeformirani oblik ploe i raspodjela pomaka u
smjeru osi X ............................ 28
Slika 2.15. Deformirani oblik ploe i raspodjela pomaka u smjeru
osi X ............................... 29
Slika 2.16. Puni, deformirani model ploe i raspodjela pomaka u
smjeru osi X ..................... 29
II
-
Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski
zadaci
Popis tablica Tablica 1.1 Lokalni stupnjevi slobode u odnosu na
globalne stupnjeve slobode ...................... 5
Tablica 1.2. Usporedba dobivenih rezultata
.............................................................................
18
Tablica 2.1. Pomak toke B u smjeru osi x ovisno o broju
elemenata ..................................... 26
III
-
Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski
zadaci
1 Zadatak 1 Tekst zadatka: Homogena pravokutna ploa BCDE
debljine t vezana je zglobom E te tapom AB za podlogu. Ploa je
optereena koncentriranim silama prema slici. Youngov modul
elastinosti za materijal ploe je E, a Poissonov koeficijent . Pomou
metode konanih elemenata odrediti sile u tapu kao i raspodjelu
naprezanja u ploi. Plou je potrebno diskretizirati pomou dva 2-D
osnovna pravokutna konana elementa. Na temelju prorauna skicirati
deformirani oblik konstrukcije! Rezultate provjeriti pomou
programskog paketa Abaqus! Zadano: F = 300 kN, A = 2000 mm2, E =
210000 N/mm2, = 0.3 a = 0,6 m, b = 0,6 m, c = 1,3 m, t = 3 mm, =
30.
Slika 1.1 Zadatak 1
1
-
Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski
zadaci
1.1 Vektori pomaka Napravljen je diskretizirani model u kojem su
naznaeni globalni stupnjevi slobode.
Slika 1.2 Diskretizirani model
Nakon diskretizacije prikazani su konani elementi sa svojim
lokalnim stupnjevima slobode.
2
-
Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski
zadaci
Element 1 (2-D osnovni pravokutni konani element):
Slika 1.3 Element 1
Element 2 (2-D osnovni pravokutni konani element):
Slika 1.4 Element 2
3
-
Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski
zadaci
Element 3 (osnovni tapni konani element):
Slika 1.5 Element 3
Vektor globalnih stupnjeva slobode:
[ ]T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 V V V V V V V V V V V V V
V=V .
Vektor lokalnih stupnjeva slobode za element 1:
[ ]T1 1 2 3 4 5 6 7 8 v v v v v v v v=v .
Vektor lokalnih stupnjeva slobode za element 2:
[ ]T2 1 2 3 4 5 6 7 8 v v v v v v v v=v .
Vektor lokalnih stupnjeva slobode za element 3:
[ ]T3 1 2 3 4 v v v v=v .
4
-
Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski
zadaci
Tablica 1.1 Lokalni stupnjevi slobode u odnosu na globalne
stupnjeve slobode
Globalni stupnjevi slobode 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Lokalni stupnjevi slobode
1 1 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 3 4 1 2
Kinematika matrica transformacije za element 1:
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0
=
1ga
1
2
3
1 4
2
3
4
5
6
7
8
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0
VVV
v Vv Vvvvvvv
= = =
1 1gv a V
1
5 2
6 3
7 4
8 5
9 6
10 11
11 12
12
13
14
VV
V VV VV VV VV VV VVVV
=
5
-
Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski
zadaci
Kinematika matrica transformacije za element 2:
2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0
=
ga
1
2
3
1 4
2
3
42 2
5
6
7
8
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0
VVV
v Vv Vvvvvvv
= = =
gv a V
11
125
56
67
78
89
910
1011
12
13
14
VVVVVVVVVVVVVV
VVV
=
Kinematika matrica transformacije za element 3:
3
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
=
ga
6
-
Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski
zadaci
1
2
3
4
5
131 6
142 73 3
93 8
104 9
10
11
12
13
14
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
VVVVV
Vv VVv VVv VVv V
VVVVV
= = = =
gv a V
1.2 Izraunavanje globalne matrice krutosti
1.2.1 Matrica krutosti elemenata s obzirom na lokalne stupnjeve
slobode Matrica krutosti za element 1 rauna se prema izrazu:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
12
3 3 3 34 2 1 (1 ) 4 1 (1 3 ) 2 1 (1 ) 2 2 1 (1 3 )2 2 2 2
3 3 3 3(1 ) 4 2 1 (1 3 ) 2 2 1 (1 ) 2 1 (1 3 ) 4 12 2 2 2
34 1 (1 3 ) 4 2 12
12 1
b a b a b a b aa b a b a b a b
a b a b a b a bb a b a b a b a
b a ba b a
E h
+ + + +
+ + + +
+ +
=
k
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3(1 ) 2 2 1 (1 3 ) 2 1 (1 )2 2 2
3 3 3 3(1 3 ) 2 2 1 (1 ) 4 2 1 (1 3 ) 4 1 (1 ) 2 12 2 2 2
3 3 32 1 (1 ) 2 2 1 (1 3 ) 4 2 1 (1 ) 4 12 2 2
a b a b ab a b a b
a b a b a b a bb a b a b a b a
b a b a b a ba b a b a b a
+ +
+ + + +
+ + + +
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
3 (1 3 )2
3 3 3 3(1 ) 2 1 (1 3 ) 4 1 (1 ) 4 2 1 (1 3 ) 2 2 12 2 2 2
3 3 3 32 2 1 (1 3 ) 2 1 (1 ) 4 1 (1 3 ) 4 2 1 (1 )2 2 2 2
3 3(1 3 ) 4 1 (1 ) 22 2
ab
a b a b a b a bb a b a b a b a
b a b a b a b aa b a b a b a b
a b ab a
+ + + +
+ + + +
+ + ( ) ( ) ( )3 31 (1 3 ) 2 2 1 (1 ) 4 2 12 2
b a b a bb a b a b a
+ +
7
-
Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski
zadaci
Matrica krutosti za element 2 rauna se prema izrazu:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
22
3 3 3 34 2 1 (1 ) 4 1 (1 3 ) 2 1 (1 ) 2 2 1 (1 3 )2 2 2 2
3 3 3 3(1 ) 4 2 1 (1 3 ) 2 2 1 (1 ) 2 1 (1 3 ) 4 12 2 2 2
34 1 (1 3 ) 4 2 12
12 1
b a b a b a b aa b a b a b a b
a b a b a b a bb a b a b a b a
b a ba b a
E h
+ + + +
+ + + +
+ +
=
k
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3(1 ) 2 2 1 (1 3 ) 2 1 (1 )2 2 2
3 3 3 3(1 3 ) 2 2 1 (1 ) 4 2 1 (1 3 ) 4 1 (1 ) 2 12 2 2 2
3 3 32 1 (1 ) 2 2 1 (1 3 ) 4 2 1 (1 ) 4 12 2 2
a b a b ab a b a b
a b a b a b a bb a b a b a b a
b a b a b a ba b a b a b a
+ +
+ + + +
+ + + +
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
3 (1 3 )2
3 3 3 3(1 ) 2 1 (1 3 ) 4 1 (1 ) 4 2 1 (1 3 ) 2 2 12 2 2 2
3 3 3 32 2 1 (1 3 ) 2 1 (1 ) 4 1 (1 3 ) 4 2 1 (1 )2 2 2 2
3 3(1 3 ) 4 1 (1 ) 22 2
ab
a b a b a b a bb a b a b a b a
b a b a b a b aa b a b a b a b
a b ab a
+ + + +
+ + + +
+ + ( ) ( ) ( )3 31 (1 3 ) 2 2 1 (1 ) 4 2 12 2
b a b a bb a b a b a
+ +
Matrica krutosti za element 3 u lokalnom koordinatnom
sustavu:
3
1 0 1 00 0 0 01 0 1 0
0 0 0 0
AEL
=
k
Matrica krutosti za element 3 u globalnom koordinatnom
sustavu:
3 3g
Tk = T k T
Matrica transformacije:
cos sin 0 0sin cos 0 00 0 cos sin0 0 sin cos
=
T
8
-
Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski
zadaci
1.2.2 Element 1 Zadani podaci za element 1:
E = 210000 N/mm2, h = t = 3 mm, = 0.3, a = 300 mm, b = 325
mm.
Kada podatke zadane za element 1 uvrstimo u izraz za raunanje
matrice krutosti dobivamo:
1
324556 112500 212721 8653 162278 112500 50443 8653112500 300517
8653 19008 112500 150258 8653 169267212721 8653 324556 112500 50443
8653 162278 1125008653 19008 112500 300517 8653 169267 112500
150258
162278 1
=
k
12500 50443 8653 324556 112500 212721 8653112500 150258 8653
169267 112500 300517 8653 1900850443 8653 162278 112500 212721 8653
324556 1125008653 169267 112500 150258 8653 19008 112500 300517
N/mm
1 1g =k k
1 1 1 1( )Tg g g= K a k a
324556 112500 50443 8653 137056 112500 86612 8653112500 469786
8653 169268 112500 234893 8653 404161
50443 8653 274112 112500 86612 8653 137056 112500865
0
3
0 0
16
0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
9268 112500 469786 86 0 053 404161 0
=1K
112500 234893137056 112500 86612 8653 274112 112500 50443
8653112500 234893 8653 404161 112500 4
0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
69786 8653 169268
86612 86530
137056 11250
0 50443 8653 274112 1125008653 404161 112500 234893 8653 169268
112500 469
0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
786
0 0
N/mm
9
-
Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski
zadaci
1.2.3 Element 2 Zadani podaci za element 2:
E = 210000 N/mm2, h = t = 3 mm, = 0.3, a = 300 mm, b = 162,5
mm.
Nakon uvrtavanja zadanih podataka za element 2 u izraz za
raunanje matrice krutosti dobivamo:
2
324556 112500 212721 8653 162278 112500 50443 8653112500 300517
8653 19008 112500 150258 8653 169267212721 8653 324556 112500 50443
8653 162278 1125008653 19008 112500 300517 8653 169267 112500
150258.
162278
=
k
112500 50443 8653 324556 112500 212721 8653112500 150258 8653
169267 112500 300517 8653 1900850443 8653 162278 112500 212721 8653
324556 1125008653 169267 112500 150258 8653 19008 112500 300517
N/mm
2 2g =k k
2 2 2 2( )Tg g g= K a k a
2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 324556 112500
50443 8653 162278 112500 212722 8653 0 00 0 0 0 112500 300518 8653
169268 112500 150259 8653 19008 0 00 0 0 0 50443 8653 324556 112500
212722 86
=K
53 162278 112500 0 00 0 0 0 8653 169268 112500 300518 8653 19008
112500 150259 0 00 0 0 0 162278 112500 212722 8653 324556 112500
50443 8653 0 00 0 0 0 112500 150259 8653 19008 112500 300518 8653
169268 0 00 0 0 0 212722 8653 162278
112500 50443 8653 324556 112500 0 00 0 0 0 8653 19008 112500
150259 8653 169268 112500 300518 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
N/mm
10
-
Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski
zadaci
1.2.4 Element 3 Zadani podaci za element 3:
A = 2000 mm2, E = 210000 N/mm2, = 60, L = 1200 mm.
3
350000 0 350000 00 0 0 0
350000 0 350000 00 0 0 0
=
k N/mm
1 3 0 02 2
3 1 0 02 2
1 30 02 2
3 10 02 2
=
T
3 T 3gk = T k T
3
87500 87500 3 87500 87500 3
87500 3 262500 87500 3 262500
87500 87500 3 87500 87500 3
87500 3 262500 87500 3 262500
g
=
k N/mm
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 87500 151554 0 0 87500 1515540 0 0
0 0 0 0 0 151554 262500 0 0 151554 2625000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
00
=
3K
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 87500 151554 0 0 87500
1515540 0 0 0 0 0 0 0 151554 262500 0 0 151554 262500
N/mm
11
-
Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski
zadaci
1.2.5 Globalna matrica krutosti
Globalna matrica krutosti dobiva se zbrajanjem globalnih matrica
krutosti pojedinih elemenata:
3
e 1 2 3
e=1K = K = K + K + K .
Globalna matrica krutosti nakon zbrajanja iznosi:
324556 112500 212722 8653 162278 112500 50443 8653112500 300518
8653 19008 112500 150259 8653 169268212722 8653 324556 112500 50443
8653 162278 112500
8653 19
0 0 0
008
0 0 00
112500 300518 8653 16
0 0 0 0 0
92680 0 0 0 0 00 0 0 10
=K
12500 150259162278 112500 50443 8653 649112 50443 8653 162278
112500 425444112500 150259 8653 1692
0 00 0 0 0
0 0 0 00
68 601036 8653 169268 112500 150259 3801750443 8653 324556
112500 212722 86530 0 0 0 0
0 0 0 0162278 112500
8653 169268 112500 300518 8653 19008 112500 150259162278 112500
212722 8653 412056 39054 50443 8653 87500 151554
112500 150259 8653 19008 39054 563018 8653 169268 151554
26250050443
0 00 0 0 0
8653 162278 112500 0 0 0
0 425
0 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0 0 0 0
444 162278 112500 50443 8653 6491128653 169268 112500 150259
38017 112500 150259 8653 169268 601036
87500 151554 87500 151554151554 262500 151554 262500
0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0
N/mm
12
-
Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski
zadaci
1.3 Izraunavanje globalnog vektora sila
Sila je zadana u globalnom koordinatnom sustavu pa odmah moemo
pisati:
0 00 00 00 00 00 0
300000 N
0 00 00 00 00 00 00 0
F
= =
R .
1.4 Izraunavanje pomaka u vorovima
Jednadba konanih elemenata glasi:
K V = R
Rubni uvjeti:
01 2 13 14V = V = V = V = .
Jednadbu konanog elementa moemo pisati i kao:
=
aa ap a a
pa pp p p
K K V RK K V R
Iz gornjeg izraza slijedi:
+ =
+ =aa a ap p a
pa a pp p p
K V K V RK V K V R
Ako su zadani pomaci Vp jednaki nuli, nepoznate pomake u
vorovima raunamo prema:
= -1a aa aV K R
13
-
Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski
zadaci
Vektor nepoznatih pomaka iznosi:
[ ]3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Ta V V V V V V V V V V=V .
Matrica aaK iznosi:
324556 112500 50443 8653 0 0 0 0 162278 112500112500 300517 8653
169267 0 0 0 0 112500 15025850443 8653 649112 0 50443 8653 162278
112500 425443 0
8653 169267 0 601035 8653 169267 112500 150258 0 380170 0 50443
8653 324556 11
=
aaK2500 212721 8653 162278 112500
0 0 8653 169267 112500 300517 8653 19008 112500 1502580 0 162278
112500 212721 8653 412056 39054 50443 86530 0 112500 150258 8653
19008 39054 563017 8653 169267
162278 112500 425443 0 16227
8 112500 50443 8653 649112 0112500 150258 0 38017 112500 150258
8653 169267 0 601035
N/mm2
Vektor sila iznosi:
0000
30000000000
=
aR
Nakon rjeavanja izraza za izraunavanje nepoznatih pomaka,
dobivamo njihove vrijednosti u vorovima:
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0.33358966580643189.622766098198529
8.7208257427670198.761829385552645
14.2860897039072328.094526352416727
12.7609081641933085.3880271264795
VVVVVVVVVV
= =
aV
18.715779246661358
2.59719672348477
mm
.
14
-
Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski
zadaci
1.5 Izraunavanje sile u tapu
Vektor globalnih stupnjeva slobode tapa (element 3) iznosi:
131
1423
93
104
0
12.7609081641933085.388027126479 1
0
5
g
VvVvVvVv
= = =
v .
Vektor lokalnih stupnjeva slobode tapa dobivamo:
1
23
3
4
cos sin 0 0sin cos 0 00 0 cos sin0 0 sin cos
vvvv
= =
3gv T v
3
1 3 0 02 2
0.3 1 0 0 0.2 212.760908164193308 1.71428571428572861 30 0
5.38802712647951 13.7452842087914042 2
3 10 02 2
00
= =
v mm.
Unutarnje sile raunamo prema izrazu:
3 31 10 0 600000 NN A EL L = =
v
Naprezanje u tapu iznosi:
32300 N/mmN
A= =3 .
15
-
Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski
zadaci
1.6 Izraunavanje raspodjele naprezanja u ploi
1.6.1 Raspodjela naprezanja u elementu 1
Matrica raspodjele naprezanja za element 1 glasi:
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1 1(1 )( ) (1 )( ) (1 )( ) (1 )( ) (1 )( ) (1 )(4 (1
)
) (1 )( ) (1 )( )2 2 2 2 2 2 2 2
y b v x a b y v a x b y v x a b y v a xv y b x a v b y a x v b y
x a v b y a x
v x a v y b v x a v b y v x a v y b v a
Ehab
x v y b
+ + + + + + + +
+ + +
=
+
1S
Vektor lokalnih stupnjeva slobode elementa 1 iznosi:
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 11
8 12
0.33358966580643189.622766098198529
8.7208257427670198.761829385552645
8.7157792466613582.5971967234 7
0
4 7
0
8
v Vv Vv Vv Vv Vv Vv Vv V
= = =
1v
mm.
Unutarnje sile izraunavamo prema:
1
1
1
x
y
xy
NNN
= =
1 1 1 S v
12
82.02363613148475 1.8416095221997557
0.5832127272794736866.0254037844434 6.138698407332525
0.17496381818384266
1.818989403545856 10 0.20412445454781558 2.1485444425663833
x yx y
x y
=
+ +
+
1 N/mm.
16
-
Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski
zadaci
Slijedi izraz za raunanje raspodjele naprezanja:
1
3
1
1
1
1
27.34121204382825 0.6138698407332519
0.19440424242649118288.67513459481444 2.046232802444175
0.05832127272794755
6.063298011819521 10 0.06804148484927186 0.7161814808
x
y
xy
x yx y
xt
= =
+ +
+
554611y
N/mm2
1.6.2 Raspodjela naprezanja u elementu 2
Izraz za raunanje matrice raspodjele naprezanja identian je
onome koji smo koristili kod elementa 1, a vektor lokalnih
stupnjeva slobode iznosi:
1 11
2 12
3 5
4 62
5 7
6 8
7 9
8 10
8.7157792466613582.59719672348477
8.7208257427670198.761829385552645
14.2860897039072328.094526352416727
12.
v Vv Vv Vv Vv Vv Vv Vv V
= = =
v
7609081641933085.38802712647951
mm.
Unutarnje sile raunamo prema:
2
2 2 2 2
2
x
y
xy
NNN
= =
S v .
Unutarnje sile za element 2 iznose:
12
543.5620976699474 1.8416095221997584
2.698464574452533866.025403784445 6.138698407332527
0.8095393723357613
3.865352482534945 10 0.9444626010583876 2.148544442566384
x yx y
x y
=
+ + + +
+ +
1 N/mm
Raspodjelu naprezanja raunamo prema:
22
2
2
x
y
xy
t
=
.
17
-
Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski
zadaci
Raspodjela naprezanja za element 2 glasi:
2
2
2
12
181.1873658899825 0.6138698407332528
0.8994881914841777288.67513459481495 2.0462328024441754
0.26984645744525376
1.288450827511648 10 0.31482086701946255 0.71618148085546
x
y
xy
x yx y
x
+ + + +
= + +
14y
N/mm2
1.7 Usporedba rjeenja dobivenih runo i programskim paketom
Abaqus CAE
Pomaci u vorovima dobiveni metodom konanih elemenata
Komponente pomaka Runo [mm] Programski
paket Abaqus [mm]
V1 0 0
V2 0 0
V3 0,33359 0,33359
V4 -9,62277 -9,62277
V5 8,72083 8,72083
V6 -8,76183 -8,76183
V7 14,2861 14,2861
V8 -8,09453 -8,09453
V9 12,7609 12,7609
V10 -5,38803 -5,38803
V11 8,71578 8,71578
V12 -2,5972 -2,5972
V13 0 0
V14 0 0
Tablica 1.2. Usporedba dobivenih rezultata
18
-
Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski
zadaci
Slika 1.6. Model u Abaqus CAE programskom paketu
19
-
Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski
zadaci
2 Zadatak 2
Pomou metode konanih elemenata potrebno je odrediti raspodjelu
komponenata naprezanja u smjerovima osiju i te ekvivalentnih
naprezanja prema von Misesu u presjeku A-A. Dijagramski prikazati
konvergenciju pomaka u toki B za razliit broj stupnjeav slobode
proraunskog modela. Prikazati deformirani oblik ploe! Koristiti
osnovne 2-D etverokutne elemente!
Zadano:
D, mm d, mm t, mm (debljina) E, MPa F, kN
160 80 1 206000 0.32 8
240 140 2 208000 0.27 6
360 180 1 210000 0.29 10
20
-
Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski
zadaci
2.1 Modeliranje geometrije
Kako je element dvostruko simetrian moemo modelirati samo
etvrtinu elementa i cijeli proraun izvesti na njemu. Kako bi pri
tome uvjeti simetrije bili u potpunosti zadovoljeni, potrebno je
silu koja djeluje kao optereenje upola smanjiti.
Prvi korak: Poinjemo s izradom elementa, odnosno modeliranjem
geometrije. Prije svega moramo postaviti parametre za izradu skice;
ti su parametri prikazani na slici 2.1. nas ograniava na skiciranje
2D elementa, odnosno skice. U ovom sluaju to je dovoljno za zadani
model. nam odreuje da je to deformabilnog tipa, a nam odreuje
element (ljuska). Broj 300 pod odreuje veliinu mree za
skiciranje.
Slika 2.1. Parametri za izradu skice
Drugi korak: Nakon to smo postavili parametre za izradu skice,
slijedi sama izrada. Pomou alata za skiciranje, modelirali smo
geometriju prema mrei za skiciranje. Nakon prihvaanja geometrije
izrauje se element prikazan na slici 2.2.
21
-
Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski
zadaci
Slika 2.2. Model elementa zadanog zadatkom
2.2 Definiranje materijala i geometrijskih karakteristika
Trei korak: U treem koraku odreujemo svojstva elementa. Prvo emo
postaviti da je element elastian, a potom emo odrediti i
karakteristike elastinosti (Youngov modul i Poissonov
koeficijent).
Slika 2.3. Odabir karakteristika materijala
22
-
Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski
zadaci
Slika 2.4. Unos Youngovog modula i Poissonovog koeficijenta
etvrti korak: Postavljamo geometrijske karakteristike, pa
element postavljamo kao , kao to je prikazano na slici 2.5., te
postavljamo zadanu debljinu koja
prema zadatku iznosi .
Slika 2.5. Solid/Homogeneus element
Slika 2.6. Debljina elementa
23
-
Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski
zadaci
2.3 Rubni uvjeti i optereenje
Peti korak: Definiramo rubne uvjete.
Slika 2.7. Rubni uvjeti i optereenje
esti korak: Definiramo optereenje tako da postavljamo
koncentriranu silu u suprotnom smjeru osi i to iznosa , to odgovara
polovici zadane sile, jer smo element podijelili na etiri dijela,
te na jednoj etvrtini vrimo proraun.
2.4 Kreiranje mree
Sedmi korak: Kada je element izmodeliran, kada su odreena
svojstva materijala, geometrije, te kada su postavljeni rubni
uvjeti i optereenje, kreemo u kreiranje mree. U sklopu ovog zadatka
bit e izraeno ukupno 7 mrea razliitog broja elemenata te e biti
prikazana konvergencija pomaka toke B ovisno o broju elemenata
pojedine mree. Tip elementa od kojeg su mree sastavljene je
CPS4.
24
-
Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski
zadaci
Prva, ujedno i najrjea mrea sastoji se 45 takvih elemenata.
Prikazana je na slici 2.8.
Slika 2.8. Mrea s 45 elemenata
Iza nje slijede mree sa: 104, 187, 416, 660, 1050 i 1500
elemenata. Najgua mrea sastavljena od 1500 elemenata prikazana je
na slici 2.9.
Slika 2.9. Mrea sastavljena od 1500 elemenata
25
-
Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski
zadaci
2.5 Konvergencija pomaka toke B
Slijedi prikaz konvergencije pomaka toke B u smjeru osi x ovisno
o broju elemenata koji se koristi u simulaciji.
BROJE ELEMENATA POMAK U TOKI B [mm] 45 -0,023579
104 -0,0241930 187 -0,024431 416 -0,0246026 660 -0,024682
1050 -0,024705 1500 -0,024722
Tablica 2.1. Pomak toke B u smjeru osi x ovisno o broju
elemenata
Iz tablice 2.1. dobivamo graf konvergencije koji je prikazan
slikom 2.10.
Slika 2.10. Graf konvergencije
26
-
Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski
zadaci
2.6 Naprezanja u presjeku A-A
Ovdje e biti prikazane raspodjele komponenata naprezanja u
presjeku A-A u smjeru osi X i Y te ekvivalentna naprezanja po von
Misesu.
Slika 2.11. Naprezanja u smjeru osi X
Slika 2.12. Naprezanje u smjeru osi Y
27
-
Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski
zadaci
Slika 2.13 Ekvivalentno naprezanje po von Misesu
2.7 Deformirani oblik ploe
Ovdje e biti prikazana ploa u nedeformiranom i deformiranom
obliku.
Slika 2.14. Nedeformirani oblik ploe i raspodjela pomaka u
smjeru osi X
28
-
Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski
zadaci
Slika 2.15. Deformirani oblik ploe i raspodjela pomaka u smjeru
osi X
Slika 2.16. Puni, deformirani model ploe i raspodjela pomaka u
smjeru osi X
29
1 Zadatak 11.1 Vektori pomaka1.2 Izraunavanje globalne matrice
krutosti1.2.1 Matrica krutosti elemenata s obzirom na lokalne
stupnjeve slobode1.2.2 Element 11.2.3 Element 21.2.4 Element 31.2.5
Globalna matrica krutosti
1.3 Izraunavanje globalnog vektora sila1.4 Izraunavanje pomaka u
vorovima1.5 Izraunavanje sile u tapu1.6 Izraunavanje raspodjele
naprezanja u ploi1.6.1 Raspodjela naprezanja u elementu 11.6.2
Raspodjela naprezanja u elementu 2
1.7 Usporedba rjeenja dobivenih runo i programskim paketom
Abaqus CAE
2 Zadatak 22.1 Modeliranje geometrije2.2 Definiranje materijala
i geometrijskih karakteristika2.3 Rubni uvjeti i optereenje2.4
Kreiranje mree2.5 Konvergencija pomaka toke B2.6 Naprezanja u
presjeku A-A2.7 Deformirani oblik ploe
