of 33 /33
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE METODA KONAČNIH ELEMENATA programski zadaci Student: Damjan Ule 0035154401 Motori i vozila Zagreb, siječanj 2015.

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Example of FEM analysis.

### Text of MKE programski zadatak

• SVEUILITE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

Student: Damjan Ule 0035154401 Motori i vozila

Zagreb, sijeanj 2015.

• Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski zadaci

1.1 Vektori pomaka ........................................................................................................... 2

1.2 Izraunavanje globalne matrice krutosti ...................................................................... 7

1.2.1 Matrica krutosti elemenata s obzirom na lokalne stupnjeve slobode ................... 7

1.2.2 Element 1 .............................................................................................................. 9

1.2.3 Element 2 ............................................................................................................ 10

1.2.4 Element 3 ............................................................................................................ 11

1.2.5 Globalna matrica krutosti ................................................................................... 12

1.3 Izraunavanje globalnog vektora sila ........................................................................ 13

1.4 Izraunavanje pomaka u vorovima .......................................................................... 13

1.5 Izraunavanje sile u tapu .......................................................................................... 15

1.6 Izraunavanje raspodjele naprezanja u ploi ............................................................. 16

1.6.1 Raspodjela naprezanja u elementu 1 .................................................................. 16

1.6.2 Raspodjela naprezanja u elementu 2 .................................................................. 17

1.7 Usporedba rjeenja dobivenih runo i programskim paketom Abaqus CAE ............ 18

2.1 Modeliranje geometrije .............................................................................................. 21

2.2 Definiranje materijala i geometrijskih karakteristika ................................................ 22

2.3 Rubni uvjeti i optereenje .......................................................................................... 24

2.4 Kreiranje mree ......................................................................................................... 24

2.5 Konvergencija pomaka toke B ................................................................................. 26

2.6 Naprezanja u presjeku A-A ....................................................................................... 27

2.7 Deformirani oblik ploe ............................................................................................. 28

I

• Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski zadaci

Popis slika Slika 1.1 Zadatak 1 ..................................................................................................................... 1

Slika 1.2 Diskretizirani model .................................................................................................... 2

Slika 1.3 Element 1 .................................................................................................................... 3

Slika 1.4 Element 2 .................................................................................................................... 3

Slika 1.5 Element 3 .................................................................................................................... 4

Slika 1.6. Model u Abaqus CAE programskom paketu ........................................................... 19

Slika 2.1. Parametri za izradu skice ......................................................................................... 21

Slika 2.3. Odabir karakteristika materijala ............................................................................... 22

Slika 2.4. Unos Youngovog modula i Poissonovog koeficijenta ............................................. 23

Slika 2.5. Solid/Homogeneus element ..................................................................................... 23

Slika 2.6. Debljina elementa .................................................................................................... 23

Slika 2.7. Rubni uvjeti i optereenje ........................................................................................ 24

Slika 2.8. Mrea s 45 elemenata ............................................................................................... 25

Slika 2.9. Mrea sastavljena od 1500 elemenata ...................................................................... 25

Slika 2.10. Graf konvergencije ................................................................................................. 26

Slika 2.11. Naprezanja u smjeru osi X ..................................................................................... 27

Slika 2.12. Naprezanje u smjeru osi Y ..................................................................................... 27

Slika 2.13 Ekvivalentno naprezanje po von Misesu ................................................................ 28

Slika 2.14. Nedeformirani oblik ploe i raspodjela pomaka u smjeru osi X ............................ 28

Slika 2.15. Deformirani oblik ploe i raspodjela pomaka u smjeru osi X ............................... 29

Slika 2.16. Puni, deformirani model ploe i raspodjela pomaka u smjeru osi X ..................... 29

II

• Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski zadaci

Popis tablica Tablica 1.1 Lokalni stupnjevi slobode u odnosu na globalne stupnjeve slobode ...................... 5

Tablica 1.2. Usporedba dobivenih rezultata ............................................................................. 18

Tablica 2.1. Pomak toke B u smjeru osi x ovisno o broju elemenata ..................................... 26

III

• Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski zadaci

1 Zadatak 1 Tekst zadatka: Homogena pravokutna ploa BCDE debljine t vezana je zglobom E te tapom AB za podlogu. Ploa je optereena koncentriranim silama prema slici. Youngov modul elastinosti za materijal ploe je E, a Poissonov koeficijent . Pomou metode konanih elemenata odrediti sile u tapu kao i raspodjelu naprezanja u ploi. Plou je potrebno diskretizirati pomou dva 2-D osnovna pravokutna konana elementa. Na temelju prorauna skicirati deformirani oblik konstrukcije! Rezultate provjeriti pomou programskog paketa Abaqus! Zadano: F = 300 kN, A = 2000 mm2, E = 210000 N/mm2, = 0.3 a = 0,6 m, b = 0,6 m, c = 1,3 m, t = 3 mm, = 30.

1

• Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski zadaci

1.1 Vektori pomaka Napravljen je diskretizirani model u kojem su naznaeni globalni stupnjevi slobode.

Slika 1.2 Diskretizirani model

Nakon diskretizacije prikazani su konani elementi sa svojim lokalnim stupnjevima slobode.

2

• Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski zadaci

Element 1 (2-D osnovni pravokutni konani element):

Slika 1.3 Element 1

Element 2 (2-D osnovni pravokutni konani element):

Slika 1.4 Element 2

3

• Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski zadaci

Element 3 (osnovni tapni konani element):

Slika 1.5 Element 3

Vektor globalnih stupnjeva slobode:

[ ]T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 V V V V V V V V V V V V V V=V .

Vektor lokalnih stupnjeva slobode za element 1:

[ ]T1 1 2 3 4 5 6 7 8 v v v v v v v v=v .

Vektor lokalnih stupnjeva slobode za element 2:

[ ]T2 1 2 3 4 5 6 7 8 v v v v v v v v=v .

Vektor lokalnih stupnjeva slobode za element 3:

[ ]T3 1 2 3 4 v v v v=v .

4

• Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski zadaci

Tablica 1.1 Lokalni stupnjevi slobode u odnosu na globalne stupnjeve slobode

Globalni stupnjevi slobode 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Lokalni stupnjevi slobode

1 1 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 3 4 1 2

Kinematika matrica transformacije za element 1:

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

=

1ga

1

2

3

1 4

2

3

4

5

6

7

8

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

VVV

v Vv Vvvvvvv

= = =

1 1gv a V

1

5 2

6 3

7 4

8 5

9 6

10 11

11 12

12

13

14

VV

V VV VV VV VV VV VVVV

=

5

• Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski zadaci

Kinematika matrica transformacije za element 2:

2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

=

ga

1

2

3

1 4

2

3

42 2

5

6

7

8

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

VVV

v Vv Vvvvvvv

= = =

gv a V

11

125

56

67

78

89

910

1011

12

13

14

VVVVVVVVVVVVVV

VVV

=

Kinematika matrica transformacije za element 3:

3

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

=

ga

6

• Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski zadaci

1

2

3

4

5

131 6

142 73 3

93 8

104 9

10

11

12

13

14

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

VVVVV

Vv VVv VVv VVv V

VVVVV

= = = =

gv a V

1.2 Izraunavanje globalne matrice krutosti

1.2.1 Matrica krutosti elemenata s obzirom na lokalne stupnjeve slobode Matrica krutosti za element 1 rauna se prema izrazu:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

12

3 3 3 34 2 1 (1 ) 4 1 (1 3 ) 2 1 (1 ) 2 2 1 (1 3 )2 2 2 2

3 3 3 3(1 ) 4 2 1 (1 3 ) 2 2 1 (1 ) 2 1 (1 3 ) 4 12 2 2 2

34 1 (1 3 ) 4 2 12

12 1

b a b a b a b aa b a b a b a b

a b a b a b a bb a b a b a b a

b a ba b a

E h

+ + + +

+ + + +

+ +

=

k

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

3 3 3(1 ) 2 2 1 (1 3 ) 2 1 (1 )2 2 2

3 3 3 3(1 3 ) 2 2 1 (1 ) 4 2 1 (1 3 ) 4 1 (1 ) 2 12 2 2 2

3 3 32 1 (1 ) 2 2 1 (1 3 ) 4 2 1 (1 ) 4 12 2 2

a b a b ab a b a b

a b a b a b a bb a b a b a b a

b a b a b a ba b a b a b a

+ +

+ + + +

+ + + +

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

3 (1 3 )2

3 3 3 3(1 ) 2 1 (1 3 ) 4 1 (1 ) 4 2 1 (1 3 ) 2 2 12 2 2 2

3 3 3 32 2 1 (1 3 ) 2 1 (1 ) 4 1 (1 3 ) 4 2 1 (1 )2 2 2 2

3 3(1 3 ) 4 1 (1 ) 22 2

ab

a b a b a b a bb a b a b a b a

b a b a b a b aa b a b a b a b

a b ab a

+ + + +

+ + + +

+ + ( ) ( ) ( )3 31 (1 3 ) 2 2 1 (1 ) 4 2 12 2

b a b a bb a b a b a

+ +

7

• Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski zadaci

Matrica krutosti za element 2 rauna se prema izrazu:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

22

3 3 3 34 2 1 (1 ) 4 1 (1 3 ) 2 1 (1 ) 2 2 1 (1 3 )2 2 2 2

3 3 3 3(1 ) 4 2 1 (1 3 ) 2 2 1 (1 ) 2 1 (1 3 ) 4 12 2 2 2

34 1 (1 3 ) 4 2 12

12 1

b a b a b a b aa b a b a b a b

a b a b a b a bb a b a b a b a

b a ba b a

E h

+ + + +

+ + + +

+ +

=

k

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

3 3 3(1 ) 2 2 1 (1 3 ) 2 1 (1 )2 2 2

3 3 3 3(1 3 ) 2 2 1 (1 ) 4 2 1 (1 3 ) 4 1 (1 ) 2 12 2 2 2

3 3 32 1 (1 ) 2 2 1 (1 3 ) 4 2 1 (1 ) 4 12 2 2

a b a b ab a b a b

a b a b a b a bb a b a b a b a

b a b a b a ba b a b a b a

+ +

+ + + +

+ + + +

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

3 (1 3 )2

3 3 3 3(1 ) 2 1 (1 3 ) 4 1 (1 ) 4 2 1 (1 3 ) 2 2 12 2 2 2

3 3 3 32 2 1 (1 3 ) 2 1 (1 ) 4 1 (1 3 ) 4 2 1 (1 )2 2 2 2

3 3(1 3 ) 4 1 (1 ) 22 2

ab

a b a b a b a bb a b a b a b a

b a b a b a b aa b a b a b a b

a b ab a

+ + + +

+ + + +

+ + ( ) ( ) ( )3 31 (1 3 ) 2 2 1 (1 ) 4 2 12 2

b a b a bb a b a b a

+ +

Matrica krutosti za element 3 u lokalnom koordinatnom sustavu:

3

1 0 1 00 0 0 01 0 1 0

0 0 0 0

AEL

=

k

Matrica krutosti za element 3 u globalnom koordinatnom sustavu:

3 3g

Tk = T k T

Matrica transformacije:

cos sin 0 0sin cos 0 00 0 cos sin0 0 sin cos

=

T

8

• Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski zadaci

1.2.2 Element 1 Zadani podaci za element 1:

E = 210000 N/mm2, h = t = 3 mm, = 0.3, a = 300 mm, b = 325 mm.

Kada podatke zadane za element 1 uvrstimo u izraz za raunanje matrice krutosti dobivamo:

1

324556 112500 212721 8653 162278 112500 50443 8653112500 300517 8653 19008 112500 150258 8653 169267212721 8653 324556 112500 50443 8653 162278 1125008653 19008 112500 300517 8653 169267 112500 150258

162278 1

=

k

12500 50443 8653 324556 112500 212721 8653112500 150258 8653 169267 112500 300517 8653 1900850443 8653 162278 112500 212721 8653 324556 1125008653 169267 112500 150258 8653 19008 112500 300517

N/mm

1 1g =k k

1 1 1 1( )Tg g g= K a k a

324556 112500 50443 8653 137056 112500 86612 8653112500 469786 8653 169268 112500 234893 8653 404161

50443 8653 274112 112500 86612 8653 137056 112500865

0

3

0 0

16

0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

9268 112500 469786 86 0 053 404161 0

=1K

112500 234893137056 112500 86612 8653 274112 112500 50443 8653112500 234893 8653 404161 112500 4

0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

69786 8653 169268

86612 86530

137056 11250

0 50443 8653 274112 1125008653 404161 112500 234893 8653 169268 112500 469

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

786

0 0

N/mm

9

• Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski zadaci

1.2.3 Element 2 Zadani podaci za element 2:

E = 210000 N/mm2, h = t = 3 mm, = 0.3, a = 300 mm, b = 162,5 mm.

Nakon uvrtavanja zadanih podataka za element 2 u izraz za raunanje matrice krutosti dobivamo:

2

324556 112500 212721 8653 162278 112500 50443 8653112500 300517 8653 19008 112500 150258 8653 169267212721 8653 324556 112500 50443 8653 162278 1125008653 19008 112500 300517 8653 169267 112500 150258.

162278

=

k

112500 50443 8653 324556 112500 212721 8653112500 150258 8653 169267 112500 300517 8653 1900850443 8653 162278 112500 212721 8653 324556 1125008653 169267 112500 150258 8653 19008 112500 300517

N/mm

2 2g =k k

2 2 2 2( )Tg g g= K a k a

2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 324556 112500 50443 8653 162278 112500 212722 8653 0 00 0 0 0 112500 300518 8653 169268 112500 150259 8653 19008 0 00 0 0 0 50443 8653 324556 112500 212722 86

=K

53 162278 112500 0 00 0 0 0 8653 169268 112500 300518 8653 19008 112500 150259 0 00 0 0 0 162278 112500 212722 8653 324556 112500 50443 8653 0 00 0 0 0 112500 150259 8653 19008 112500 300518 8653 169268 0 00 0 0 0 212722 8653 162278

112500 50443 8653 324556 112500 0 00 0 0 0 8653 19008 112500 150259 8653 169268 112500 300518 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

N/mm

10

• Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski zadaci

1.2.4 Element 3 Zadani podaci za element 3:

A = 2000 mm2, E = 210000 N/mm2, = 60, L = 1200 mm.

3

350000 0 350000 00 0 0 0

350000 0 350000 00 0 0 0

=

k N/mm

1 3 0 02 2

3 1 0 02 2

1 30 02 2

3 10 02 2

=

T

3 T 3gk = T k T

3

87500 87500 3 87500 87500 3

87500 3 262500 87500 3 262500

87500 87500 3 87500 87500 3

87500 3 262500 87500 3 262500

g

=

k N/mm

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 87500 151554 0 0 87500 1515540 0 0 0 0 0 0 0 151554 262500 0 0 151554 2625000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00

=

3K

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 87500 151554 0 0 87500 1515540 0 0 0 0 0 0 0 151554 262500 0 0 151554 262500

N/mm

11

• Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski zadaci

1.2.5 Globalna matrica krutosti

Globalna matrica krutosti dobiva se zbrajanjem globalnih matrica krutosti pojedinih elemenata:

3

e 1 2 3

e=1K = K = K + K + K .

Globalna matrica krutosti nakon zbrajanja iznosi:

324556 112500 212722 8653 162278 112500 50443 8653112500 300518 8653 19008 112500 150259 8653 169268212722 8653 324556 112500 50443 8653 162278 112500

8653 19

0 0 0

008

0 0 00

112500 300518 8653 16

0 0 0 0 0

92680 0 0 0 0 00 0 0 10

=K

12500 150259162278 112500 50443 8653 649112 50443 8653 162278 112500 425444112500 150259 8653 1692

0 00 0 0 0

0 0 0 00

68 601036 8653 169268 112500 150259 3801750443 8653 324556 112500 212722 86530 0 0 0 0

0 0 0 0162278 112500

8653 169268 112500 300518 8653 19008 112500 150259162278 112500 212722 8653 412056 39054 50443 8653 87500 151554

112500 150259 8653 19008 39054 563018 8653 169268 151554 26250050443

0 00 0 0 0

8653 162278 112500 0 0 0

0 425

0 0 0 0

0 0 0 00 0 0 0 0 0 0

444 162278 112500 50443 8653 6491128653 169268 112500 150259 38017 112500 150259 8653 169268 601036

87500 151554 87500 151554151554 262500 151554 262500

0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

N/mm

12

• Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski zadaci

1.3 Izraunavanje globalnog vektora sila

Sila je zadana u globalnom koordinatnom sustavu pa odmah moemo pisati:

0 00 00 00 00 00 0

300000 N

0 00 00 00 00 00 00 0

F

= =

R .

1.4 Izraunavanje pomaka u vorovima

K V = R

Rubni uvjeti:

01 2 13 14V = V = V = V = .

Jednadbu konanog elementa moemo pisati i kao:

=

aa ap a a

pa pp p p

K K V RK K V R

Iz gornjeg izraza slijedi:

+ =

+ =aa a ap p a

pa a pp p p

K V K V RK V K V R

Ako su zadani pomaci Vp jednaki nuli, nepoznate pomake u vorovima raunamo prema:

= -1a aa aV K R

13

• Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski zadaci

Vektor nepoznatih pomaka iznosi:

[ ]3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Ta V V V V V V V V V V=V .

Matrica aaK iznosi:

324556 112500 50443 8653 0 0 0 0 162278 112500112500 300517 8653 169267 0 0 0 0 112500 15025850443 8653 649112 0 50443 8653 162278 112500 425443 0

8653 169267 0 601035 8653 169267 112500 150258 0 380170 0 50443 8653 324556 11

=

aaK2500 212721 8653 162278 112500

0 0 8653 169267 112500 300517 8653 19008 112500 1502580 0 162278 112500 212721 8653 412056 39054 50443 86530 0 112500 150258 8653 19008 39054 563017 8653 169267

162278 112500 425443 0 16227

8 112500 50443 8653 649112 0112500 150258 0 38017 112500 150258 8653 169267 0 601035

N/mm2

Vektor sila iznosi:

0000

30000000000

=

aR

Nakon rjeavanja izraza za izraunavanje nepoznatih pomaka, dobivamo njihove vrijednosti u vorovima:

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0.33358966580643189.622766098198529

8.7208257427670198.761829385552645

14.2860897039072328.094526352416727

12.7609081641933085.3880271264795

VVVVVVVVVV

= =

aV

18.715779246661358

2.59719672348477

mm

.

14

• Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski zadaci

1.5 Izraunavanje sile u tapu

Vektor globalnih stupnjeva slobode tapa (element 3) iznosi:

131

1423

93

104

0

12.7609081641933085.388027126479 1

0

5

g

VvVvVvVv

= = =

v .

Vektor lokalnih stupnjeva slobode tapa dobivamo:

1

23

3

4

cos sin 0 0sin cos 0 00 0 cos sin0 0 sin cos

vvvv

= =

3gv T v

3

1 3 0 02 2

0.3 1 0 0 0.2 212.760908164193308 1.71428571428572861 30 0 5.38802712647951 13.7452842087914042 2

3 10 02 2

00

= =

v mm.

Unutarnje sile raunamo prema izrazu:

3 31 10 0 600000 NN A EL L = =

v

Naprezanje u tapu iznosi:

32300 N/mmN

A= =3 .

15

• Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski zadaci

1.6 Izraunavanje raspodjele naprezanja u ploi

1.6.1 Raspodjela naprezanja u elementu 1

Matrica raspodjele naprezanja za element 1 glasi:

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1 1 1 1 1(1 )( ) (1 )( ) (1 )( ) (1 )( ) (1 )( ) (1 )(4 (1 )

) (1 )( ) (1 )( )2 2 2 2 2 2 2 2

y b v x a b y v a x b y v x a b y v a xv y b x a v b y a x v b y x a v b y a x

v x a v y b v x a v b y v x a v y b v a

Ehab

x v y b

+ + + + + + + +

+ + +

=

+

1S

Vektor lokalnih stupnjeva slobode elementa 1 iznosi:

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 11

8 12

0.33358966580643189.622766098198529

8.7208257427670198.761829385552645

8.7157792466613582.5971967234 7

0

4 7

0

8

v Vv Vv Vv Vv Vv Vv Vv V

= = =

1v

mm.

Unutarnje sile izraunavamo prema:

1

1

1

x

y

xy

NNN

= =

1 1 1 S v

12

82.02363613148475 1.8416095221997557 0.5832127272794736866.0254037844434 6.138698407332525 0.17496381818384266

1.818989403545856 10 0.20412445454781558 2.1485444425663833

x yx y

x y

=

+ +

+

1 N/mm.

16

• Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski zadaci

Slijedi izraz za raunanje raspodjele naprezanja:

1

3

1

1

1

1

27.34121204382825 0.6138698407332519 0.19440424242649118288.67513459481444 2.046232802444175 0.05832127272794755

6.063298011819521 10 0.06804148484927186 0.7161814808

x

y

xy

x yx y

xt

= =

+ +

+

554611y

N/mm2

1.6.2 Raspodjela naprezanja u elementu 2

Izraz za raunanje matrice raspodjele naprezanja identian je onome koji smo koristili kod elementa 1, a vektor lokalnih stupnjeva slobode iznosi:

1 11

2 12

3 5

4 62

5 7

6 8

7 9

8 10

8.7157792466613582.59719672348477

8.7208257427670198.761829385552645

14.2860897039072328.094526352416727

12.

v Vv Vv Vv Vv Vv Vv Vv V

= = =

v

7609081641933085.38802712647951

mm.

Unutarnje sile raunamo prema:

2

2 2 2 2

2

x

y

xy

NNN

= =

S v .

Unutarnje sile za element 2 iznose:

12

543.5620976699474 1.8416095221997584 2.698464574452533866.025403784445 6.138698407332527 0.8095393723357613

3.865352482534945 10 0.9444626010583876 2.148544442566384

x yx y

x y

=

+ + + +

+ +

1 N/mm

Raspodjelu naprezanja raunamo prema:

22

2

2

x

y

xy

t

=

.

17

• Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski zadaci

Raspodjela naprezanja za element 2 glasi:

2

2

2

12

181.1873658899825 0.6138698407332528 0.8994881914841777288.67513459481495 2.0462328024441754 0.26984645744525376

1.288450827511648 10 0.31482086701946255 0.71618148085546

x

y

xy

x yx y

x

+ + + +

= + +

14y

N/mm2

1.7 Usporedba rjeenja dobivenih runo i programskim paketom Abaqus CAE

Pomaci u vorovima dobiveni metodom konanih elemenata

Komponente pomaka Runo [mm] Programski

paket Abaqus [mm]

V1 0 0

V2 0 0

V3 0,33359 0,33359

V4 -9,62277 -9,62277

V5 8,72083 8,72083

V6 -8,76183 -8,76183

V7 14,2861 14,2861

V8 -8,09453 -8,09453

V9 12,7609 12,7609

V10 -5,38803 -5,38803

V11 8,71578 8,71578

V12 -2,5972 -2,5972

V13 0 0

V14 0 0

Tablica 1.2. Usporedba dobivenih rezultata

18

• Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski zadaci

Slika 1.6. Model u Abaqus CAE programskom paketu

19

• Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski zadaci

Pomou metode konanih elemenata potrebno je odrediti raspodjelu komponenata naprezanja u smjerovima osiju i te ekvivalentnih naprezanja prema von Misesu u presjeku A-A. Dijagramski prikazati konvergenciju pomaka u toki B za razliit broj stupnjeav slobode proraunskog modela. Prikazati deformirani oblik ploe! Koristiti osnovne 2-D etverokutne elemente!

D, mm d, mm t, mm (debljina) E, MPa F, kN

160 80 1 206000 0.32 8

240 140 2 208000 0.27 6

360 180 1 210000 0.29 10

20

• Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski zadaci

2.1 Modeliranje geometrije

Kako je element dvostruko simetrian moemo modelirati samo etvrtinu elementa i cijeli proraun izvesti na njemu. Kako bi pri tome uvjeti simetrije bili u potpunosti zadovoljeni, potrebno je silu koja djeluje kao optereenje upola smanjiti.

Prvi korak: Poinjemo s izradom elementa, odnosno modeliranjem geometrije. Prije svega moramo postaviti parametre za izradu skice; ti su parametri prikazani na slici 2.1. nas ograniava na skiciranje 2D elementa, odnosno skice. U ovom sluaju to je dovoljno za zadani model. nam odreuje da je to deformabilnog tipa, a nam odreuje element (ljuska). Broj 300 pod odreuje veliinu mree za skiciranje.

Slika 2.1. Parametri za izradu skice

Drugi korak: Nakon to smo postavili parametre za izradu skice, slijedi sama izrada. Pomou alata za skiciranje, modelirali smo geometriju prema mrei za skiciranje. Nakon prihvaanja geometrije izrauje se element prikazan na slici 2.2.

21

• Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski zadaci

2.2 Definiranje materijala i geometrijskih karakteristika

Trei korak: U treem koraku odreujemo svojstva elementa. Prvo emo postaviti da je element elastian, a potom emo odrediti i karakteristike elastinosti (Youngov modul i Poissonov koeficijent).

Slika 2.3. Odabir karakteristika materijala

22

• Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski zadaci

Slika 2.4. Unos Youngovog modula i Poissonovog koeficijenta

etvrti korak: Postavljamo geometrijske karakteristike, pa element postavljamo kao , kao to je prikazano na slici 2.5., te postavljamo zadanu debljinu koja

Slika 2.5. Solid/Homogeneus element

Slika 2.6. Debljina elementa

23

• Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski zadaci

2.3 Rubni uvjeti i optereenje

Peti korak: Definiramo rubne uvjete.

Slika 2.7. Rubni uvjeti i optereenje

esti korak: Definiramo optereenje tako da postavljamo koncentriranu silu u suprotnom smjeru osi i to iznosa , to odgovara polovici zadane sile, jer smo element podijelili na etiri dijela, te na jednoj etvrtini vrimo proraun.

2.4 Kreiranje mree

Sedmi korak: Kada je element izmodeliran, kada su odreena svojstva materijala, geometrije, te kada su postavljeni rubni uvjeti i optereenje, kreemo u kreiranje mree. U sklopu ovog zadatka bit e izraeno ukupno 7 mrea razliitog broja elemenata te e biti prikazana konvergencija pomaka toke B ovisno o broju elemenata pojedine mree. Tip elementa od kojeg su mree sastavljene je CPS4.

24

• Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski zadaci

Prva, ujedno i najrjea mrea sastoji se 45 takvih elemenata. Prikazana je na slici 2.8.

Slika 2.8. Mrea s 45 elemenata

Iza nje slijede mree sa: 104, 187, 416, 660, 1050 i 1500 elemenata. Najgua mrea sastavljena od 1500 elemenata prikazana je na slici 2.9.

Slika 2.9. Mrea sastavljena od 1500 elemenata

25

• Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski zadaci

2.5 Konvergencija pomaka toke B

Slijedi prikaz konvergencije pomaka toke B u smjeru osi x ovisno o broju elemenata koji se koristi u simulaciji.

BROJE ELEMENATA POMAK U TOKI B [mm] 45 -0,023579

104 -0,0241930 187 -0,024431 416 -0,0246026 660 -0,024682

1050 -0,024705 1500 -0,024722

Tablica 2.1. Pomak toke B u smjeru osi x ovisno o broju elemenata

Iz tablice 2.1. dobivamo graf konvergencije koji je prikazan slikom 2.10.

Slika 2.10. Graf konvergencije

26

• Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski zadaci

2.6 Naprezanja u presjeku A-A

Ovdje e biti prikazane raspodjele komponenata naprezanja u presjeku A-A u smjeru osi X i Y te ekvivalentna naprezanja po von Misesu.

Slika 2.11. Naprezanja u smjeru osi X

Slika 2.12. Naprezanje u smjeru osi Y

27

• Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski zadaci

Slika 2.13 Ekvivalentno naprezanje po von Misesu

2.7 Deformirani oblik ploe

Ovdje e biti prikazana ploa u nedeformiranom i deformiranom obliku.

Slika 2.14. Nedeformirani oblik ploe i raspodjela pomaka u smjeru osi X

28

• Damjan Ule 0035182508 Metoda konanih elemenata Programski zadaci

Slika 2.15. Deformirani oblik ploe i raspodjela pomaka u smjeru osi X

Slika 2.16. Puni, deformirani model ploe i raspodjela pomaka u smjeru osi X

29

1 Zadatak 11.1 Vektori pomaka1.2 Izraunavanje globalne matrice krutosti1.2.1 Matrica krutosti elemenata s obzirom na lokalne stupnjeve slobode1.2.2 Element 11.2.3 Element 21.2.4 Element 31.2.5 Globalna matrica krutosti

1.3 Izraunavanje globalnog vektora sila1.4 Izraunavanje pomaka u vorovima1.5 Izraunavanje sile u tapu1.6 Izraunavanje raspodjele naprezanja u ploi1.6.1 Raspodjela naprezanja u elementu 11.6.2 Raspodjela naprezanja u elementu 2

1.7 Usporedba rjeenja dobivenih runo i programskim paketom Abaqus CAE

2 Zadatak 22.1 Modeliranje geometrije2.2 Definiranje materijala i geometrijskih karakteristika2.3 Rubni uvjeti i optereenje2.4 Kreiranje mree2.5 Konvergencija pomaka toke B2.6 Naprezanja u presjeku A-A2.7 Deformirani oblik ploe

Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents
Documents