8/9/2019 MKE.pdf

1/38

 Jednačine grede

117

JEDNAČINEGREDE 

444  

4.1. Uvod

Greda je najčešći konstrukcioni element u strukturama mostova, tornjeva,zgrada i drugih objekata. Prilikom proračuna smatra se da je greda prava ida ima konstantan poprečni presjek. Svaki čvor elementa grede ima dvastepena slobode i to pomjeranje poprečno na gredu i rotaciju oko oseokomite na gredu. Opterećenja u čvorovima su poprečne (transverzalne)sile i momenti savijanja. Naći rješenje greda znači odrediti nepoznate sile inepoznata pomjeranja u čvorovima.

Opterećenje greda sastoji se od koncentrisanih sila i kontinuiranogopterećenja. U narednom razmatranju problema greda, biće izvedenamatrica krutosti za element greda sa zglobom u čvoru. Poslije toga

 jednačine za računanje sile i pomjeranja biće izvedene korištenjemminimuma potencijalne energije, a potom i Galerkinovog metoda rezidualaza element grede.

4.2.  Krutost gredePo definiciji greda je dug i tanak element strukture izložen djelovanjupoprečnog opterećenja koje dovodi do savijanja koje je mnogo izraženije uodnosu na uvijanje ili aksijalne efekte. Usljed savijanja javlja se poprečno(transverzalno) pomjeranje ili ugib i rotacija ili nagib. U čvoru se javljaju dvastepena slobode pomjeranje i rotacija za razliku od štapa gdje se javljasamo aksijalno pomjeranje.

Na slici 4.1. prikazan je element grede. Greda je dužine L u lokalnom

koordinatnom sistemu (x, y). U tom sistemu poprečno pomjeranje su ugibi

8/9/2019 MKE.pdf

2/38

 Jednačine grede

118 

iyd  , a rotacije tj nagibi i  . Sile u lokalnom sistemu su iy f     i momenti

savijanja im . Svi aksijalni uticaji se zanemaruju.

Slika 4.1. a) Element grede, pozitivna pomjeranja u čvorovima,rotacije sile i momenti

b) Konvencija o znaku sila i momenata

U svim proračunima koriste se konvencije o predznacima:

  Momenti su pozitivni ako su suprotnog znaka od kretanja kazaljke nasatu.

  Nagibi su pozitivni ako su suprotnog znaka od kretanja kazaljke na

satu.  Sile su pozitivne ako su istog znaka kao +y osa.  Ugibi su pozitivni ako su istog znaka kao +y osa.

Na slici 4.2 prikazano je djelovanje kontinuiranog opterećenja w(x)

 

  

 duzina

 sila na gredu.

Slika 4.2. a) Djelovanje kontinuiranog opterećenja na gredu;b) Savijanje elementa grede

V V 

L

m2

2

y

 

x

f 1y  d1y

 

m1 

1  L

f 2y d2y

a) b)

m m 

dx

M

v

y

x

w(x)

a) b)

V+dVV

w(x)M+dM

8/9/2019 MKE.pdf

3/38

 Jednačine grede

119

Kada se za element na slici 4.2.b postave uslovi statičke ravnoteže

dx

dM 

V dM Vdx

dx

dV wdxwdV 

;0

;0

  (4.1)

dobiju se veze kontinualnog opterećenja i sile, te sile i momenta.

Izraz za krivinu k izveden je u otpornosti materijala. Za čisto savijanje glasi:

  

1

 EI 

 M k  ,

gdje je I moment inercije za osu z

 

okomitu na x i y u lokalnom koordinatnomsistemu. Za male zakrivljenosti ,

dx

dv  krivina je

2

2

)(dx

vd k    

Korištenjem gornjih jednačina zakrivljenost se može pisati u obliku:

 EI 

 M 

dx

vd 

2

2

)( 

Zamjenom M iz prethodne jednačine dobije se:

0)(

0)()(

4

4

2

2

2

2

 

  

 

dx

vd  EI 

dx

vd  EI 

dx

d 

  (4.2)

Za rješavanje problema greda pomoću konačnih elemenata najvažniji korak

 je postavljanje matrice krutosti.

Da bi se napisala matrica krutosti elementa grede treba napraviti slijedećekorake:

1. Izvrši se izbor vrste elementa, tako što se usvoji odgovarajući tipelementa (onaj koji najbolje odgovara problemu koji se rješava), nakončega se obilježe čvorovi.

2. Izabere se funkcija promjeranja.

8/9/2019 MKE.pdf

4/38

 Jednačine grede

120 

Poprečno pomjeranje duž grede treba pretpostaviti u obliku kubnogpolinoma.

v(x) = a1 (x)3 + a2 (x)

2 + a3 (x) + a4 (4.3)

Kubna funkcija je pogodna jer u dva čvora ima po dva nepoznatapomjeranja – ukupno 4 a funkcija (4.3) ima 4 člana. Također funkcijazadovoljava osnovne jednačine štapa i uslove kontinuiteta izmeđuelemenata u čvorovima koji povezuju elemente.

v je funkcija čvornih pomjeranja 2121   ,,      y y   d d  , tj. stepeni slobode

elementa grede.

223)(

2)(

1)0(

0

1)0(0

32

2

12

43

2

2

3

12

31

41

č voruu

rotacijaa La Ladx

 Lvd  L x za

č voruu

 pomjeranje

a La La Lad  Lv L x za

č voruu

rotacija

adx

vd  x za

č voruu

 pomjeranje popreč op

ad v x za

 y

 y

 

    (4.4)

Jednačina (4.3) se rješava kada se odrede koeficijenti a1 do a4 i dobije se:

  y y y

 y y

d  x x L

d d  L

 x L

d d  L

v

112

21212

3

212213

)(213

)(12

   

  

  (4.5)

ili u matričnom obliku:

  d  N v     (4.6)

gdje je:

8/9/2019 MKE.pdf

5/38

 Jednačine grede

121

  4321

2

2

1

1

;   N  N  N  N  N d 

d 

d  y

 y

 

   (4.7)

gdje je:

22334

2333

3223

32

323

31

)()(1

)(3)(21

)()(2)(21

)(3)(21

 L x L x L

 N 

 L x x L

 N 

 L x L x L x L

 N 

 L L x x L

 N 

  (4.8)

Funkcije N1, N2, N3  i N4  su funkcije oblika za element grede. Vrijednostifunkcija oblika kreću se od 0 do 1. Npr. N1 = 1 u čvoru 1 N1 = 0 u čvoru 2.

Funkcija N2 pridružena je ugibu 1, 12

dx

dN  u čvoru 1.

Treći korak u postupku definisanja matrice krutosti grede je postavljanjerelacije deformacija – pomjeranje i napon – deformacija

Za aksijalno stanje napona važi relacija:

dx

du y x x   ),(    (4.9)

gdje je u funkcija aksijalnog pomjeranja.

Na slici 4.3. je deformirani oblik grede sa kojeg se može vidjeti odnosizmeđu aksijalnog i transverzalnog pomjeranja:

.dx

dv yu     (4.10)

8/9/2019 MKE.pdf

6/38

 Jednačine grede

122 

Slika 4.3. a) nedeformirana greda; b) deformirana greda

Iz otpornosti materijala poznato je da presjeci poslije deformacije savijanja

ostaju nedeformirani samo se zaokrenu za ugaodx

dv. Može se pisati da je:

2

2

)()(

 xd vd  y xy x       (4.11)

Veza momenta savijanja i transverzalne sile sa pomjeranjima je:

3

32

2

2

)()()(

 xd 

vd  EI V 

 xd 

vd  EI  xm     (4.12)

Četvrti korak je postavljanje matrice krutosti i jedna

čina. Koriste

ći direktnipristup odrede se elementi matrice i jednačine.

222121322

2

221133

3

2

2

2

21

2

132

2

1

221133

3

1

4626)(

)(

612612)(

)(

2646)(

)0(

612612)(

)0(

  

  

  

  

 L Ld  L Ld  L

 EI 

 xd 

 Lvd  EI mm

 Ld  Ld  L

 EI 

 xd 

 Lvd 

 EI V  f  

 L Ld  L Ld  L

 EI 

 xd 

vd  EI mm

 Ld  Ld  L

 EI 

 xd 

vd  EI V  f  

 y y

 y y y

 y y

 y y y

  (4.13)

  d k  f      (4.14)

-y

D

C

B

 A

z

vx

D

CB

 A

dx

y

u

dx

dv 

dx

dv 

8/9/2019 MKE.pdf

7/38

 Jednačine grede

123

2

2

1

1

22

22

3

2

2

1

1

4626

612612

2646

612612

 

 

 y

 y

 y

 y

d 

d 

 L L L L

 L L

 L L L L

 L L

 L

 EI 

m

 f  

m

 f  

  (4.15)

gdje je matrica krutosti elemenata grede:

22

22

3

4626

612612

2646

612612

 L L L L

 L L

 L L L L

 L L

 L

 EI k    (4.16)

Nakon što je određena matrica krutosti elementa grede vrši se sastavljanjeglobalnih jednačina i uvođenje graničnih uslova.

Postupak se može najbolje objasniti na konkretnom primjeru. Neka je togreda konstantne savojne krutosti =EI. Na sredini grede, slika 4.4., djelujusila V = 1000 N i moment m = 1000 Ncm.

Slika 4.4 Greda opterećena silom i momentom

Greda se distretizira na dva konačna elementa, svaki dužine L. To suelementi 1 i 2. Ako se koristi matrica krutosti (4.16), iznad matrica sunaznačeni stepeni slobode pridruženi svakom elementu:

y

31 2

m

1 2

L LV

8/9/2019 MKE.pdf

8/38

 Jednačine grede

124 

d1y  1  d2y  2 

22

22

3

)1(

4626612612

2646

612612

 L L L L L L

 L L L L

 L L

 L

 EI k    (4.17)

d2y  2  d3y  3 

22

22

3

)2(

4626

612612

2646

612612

 L L L L

 L L

 L L L L

 L L

 L

 EI k    (4.18)

Lokalni i globalni koordinatni sistemi se poklapaju.

Matrice krutosti dobiju se sabiranjem matrica krutosti elemenata 1 i 2 ilibolje rečeno združivanjem matrica (4.17) i (4.18):

d1y  1  d2y  2  d3y  3 

3

3

2

2

1

1

22

2222

22

3

3

3

2

2

1

1

462600

61261200

26446626

612661212612

002646

00612612

 

 

 

 y

 y

 y

 y

 y

 y

d 

d 

d 

 L L L L

 L L

 L L L L L L L L

 L L L L

 L L L L

 L L

 L

 EI 

 M 

 F 

 M 

 F 

 M 

 F 

  (4.19)

Šematski se matrica krutosti iz (4.19) može prikazati kao:

 x x x x

 x x x x

 x x x x

 x x x x

00

00

0000

 

Slika 4.5. Šematski prikaz sabiranja matrica (4.17) i (4.18)

0 00 0

0 00 0

Oznake:- članovi matrice (1)x članovi matrice (2)0 nulti članovi matrice

8/9/2019 MKE.pdf

9/38

 Jednačine grede

125

Nakon postavljanja izraza (4.19) uvrste se granični uslovi za pomjeranja.Oslonci konkretne grede određuju da je 1  = 0 d1y  = 0 d3y  = 0, pa sunepoznata pomjeranja nagibi 2  i 3  i ugib d2y. Poznata sila i momentV = F2y = -1000 N i M2  = m = 1000 Ncm djeluju u čvoru 2. Nepoznate su

poprečne sile F1y, F3y i moment M1 dok je moment M3 = 0, s obzirom da ječvor 3 kraj grede.

Kada se sve to uvrsti u jednačinu (4.19) i izvrši particija po nepoznatimpomjeranjima dobije se jednačina (4.20):

3

2

2

22

22

3

426

280

6024

0

1000

1000

 

 

 yd 

 L L L

 L L

 L

 L

 EI   (4.20)

Iz jednačine se izračunaju d2y  , 2  i 3  , a onda iz jednačine (4.19)nepoznate sile F1y, F3y i M1.

Primjer 4.1.

Korištenjem direktnog metoda odrediti nagibe, ugibe i reakcije za nosač naslici 4.6. Savojna krutost  = EI = const, a dužina je 2L.

Slika 4.6. Konzolni nosač 

Nosač se diskretizuje na 2 elementa grede koji imaju na kraju čvorove 1 i 2,odnosno 2 i 3. Ukupna matrica krutosti je:

P

LL

1 2 3

8/9/2019 MKE.pdf

10/38

 Jednačine grede

126 

d1y  1  d2y  2  d3y  3 

2

222

22

3

4

612

2644

612661212

00264

00612612

 L

 L

 L L L L

 L L L

 L L L

 L L

 L

 EI  K    (4.21)

3

3

2

2

1

1

2

22

22

3

3

3

2

2

1

1

4

612

268

61202400264

00612612

 

 

 

 y

 y

 y

 y

 y

 y

d 

d 

d 

 L

 L

 L L L

 L L L L

 L L

 L

 EI 

 M 

 F 

 M 

 F  M 

 F 

  (4.22)

Granični uslovi su: d2y = 0 d3y = 0 3 = 0.

Izvrši se particija matrica po nepoznatim pomjeranjima d1y  1  i 2.

2

1

1

22

22

3

426

246

6612

0

0

 

 

 yd 

 L L L

 L L L

 L L

 L

 EI  P 

  (4.23)

Transformacijom izraza (4.23)na način opisan u prilogu može se pisati:

  yd  L L L

 L L L

 L L L

 L

 EI 

 P  1

2

1

22

222

22

3

426

242

624

0

0

 

 

  (4.24)

Matrica krutosti kC je kondenzovana i za ovaj slučaj je:

8/9/2019 MKE.pdf

11/38

 Jednačine grede

127

 L

 L

 L L

 L L L L

 L

 EI k c

6

6

82

246612

1

22

22

3  (4.25)

    

  

7

123 L

 EI k c   (4.26)

   P k d  c y1

1

  (4.27)

 EI 

 PLd  y

12

7   3

1     (4.28)

 

 EI 

 PL

 L

 L

 L L

 L Ld 

12

7

6

6

7

1

14

1

14

1

7

23

22

22

2

1

1 

   (4.29)

 EI 

 PL

 EI 

 PL

44

3   2

2

2

1          (4.30)

Nakon određivanja globalnih ugiba i nagiba treba odrediti nepoznate sile iz jednačine (4.22) U jednačinu se uvrste izračunati ugibi i nagibi u vektorpomjeranja. Nepoznate sile su: F2y, F3y, M3, a poznate F1y = -P M1 = 0 iM2 = 0.

Dobiju se rješenja za F2y  =2

5  P,  PL M  P  F  y

2

1,

2

333     a dijagrami

transverzalnih sila i momenata savijanja dati su na slici 4.7.

Slika 4.7. Dijagram transverzalnih sila i momenata savijanjaza problem na slici 4.6

-PL

3/2 P

-P

½ PL

8/9/2019 MKE.pdf

12/38

 Jednačine grede

128 

4.3.  Kontinuirano opterećenje

Osim koncentrisanog opterećenja, grede mogu biti izložene djelovanjukontinuiranog opterećenja. Kod računanja opterećenja i unošenja u vektor

opterećenja kontinuirano opterećenje se proračuna u koncentrisano irasporedi u susjedne čvorove u vidu sila i momenata. Rad koji vršikontinuirano opterećenje jednak je radu koncentrisanih sila raspoređenih učvorovima na odgovarajućim pomjeranjima. Za nosač  na slici (4.8) radkontinuiranog opterećenja dat je izrazom (4.31):

a)

b)

Slika 4.8. a) Nosač opterećen kontinuiranim opterećenjemb) Kontinuirano opterećenje zamijenjeno

koncentrisanim silama i momentima

dx xv xwW 

 L

kont    )()(0

  (4.31)

 Ako se posmatra diskretni sistem na slici 4.8.b onda rad vrše momenti i sileu čvorovima 1 i 2 na pomjeranjima na tim mjestima pa je:

 y y y ydiskr    d  f  d  f  mmW  22112211          (4.32)

Mogu se odrediti momenti i sile kojima je zamjenjeno kontinuiranoopterećenje: f 1y, f 2y, m1, m2. Radovi kontinuiranog opterećenja i diskretnog

sistema su jednaki.

xL

2

w(x)v

1

y

m2

wL/2  wL/2 

m1

L21

f 1y f 2y

8/9/2019 MKE.pdf

13/38

 Jednačine grede

129

Da bi se ovaj pristup ilustrirao posmatraće se jednostavan slučaj (slika 4.9).

Primjer 4.2.Greda prikazana na slici 4.9. je izložena djelovanju kontinuiranogopterećenja. Treba naći sile u čvorovima.

a)

b)

Slika 4.9. a) Greda izložena djelovanju ravnomjernogkontinuiranog opterećenja

b) zamjena kontinuiranog opterećenja koncentrisanim silama

Oslonci nisu prikazani jer nisu bitni za analizu koja se vrši. Rad diskretnihsila jednak je radu kontinuiranog opterećenja

Wdiskr  = Wkont

kada se koriste pomjeranja i rotacije u čvorovima za koje odgovarajuće silevrše rad:

 y y y y

 L

d  f  d  f  mmdx xv xw 2211220

11)()(          (4.33)

Jednačinom (4.5) definirano je pomjeranje v. Kada se uvrsti w = - w, kao naslici i v iz (4.5) dobije se (4.34):

f 2y m2

wL/2  wL/2 

m1

L21

f 1y

x

L

2

w(x)v

1

8/9/2019 MKE.pdf

14/38

 Jednačine grede

130 

  wLd w Lw L

d d  Lww L

d d  Lw

dx xv xw

 y

 y y y y

 L

1

2

121

2

1221

2

21

0

22

3

42)()(

 

 

 

 

  (4.34)

Opterećenja se određuju za slučaj maksimalnih pomjeranja ili rotacija. npr.

za 11     , a 000 122     y y   d d    dobije se:

1223

2

4)1(

222

2

1

wLw

 Lw L

w Lm  

 

  

    (4.35)

Sljedeće za 00,01 1212     y y   d d a       dobije se:

1234)1(

222

2

wLw Lw Lm  

 

  

    (4.36)

Nakon toga se uzme da je 000,1 2121        y y   d ad  .

Dobije se:

221

 Lw Lw Lw

 Lw f   y     (4.37)

I na kraju za 00,0,1 2112          id ad   y y  

222

 Lw Lw

 Lw f  

 y

    (4.38)

U opštem slučaju moguće je bilo koju funkciju opterećenja w (x) pomnožitisa v i naći integral (4.33) da bi se dobile sile i momenti kojima se zamjenjujekontinuirano opterećenje. Za različite vrste opterećenja date su u tablicamaodgovarajuće sile u čvorovima.

8/9/2019 MKE.pdf

15/38

 Jednačine grede

131

4.4.  Opća formulacija

Opća jednačina strukture za kontinuirano ili diskretno opterećenje kojedjeluje na elemenat štapa je:

  0 F d  K  F      (4.39)

gdje: 0 F    predstavlja vektor ekvivalentnih čvornih sila u globalnimkoordinatama. Vrijednost sila odgovara pomjeranjima na tim mjestima bezobzira da li je opterećenje kontinuirano ili kocentrisano. Vektor  F    osimkoncentriranih sila sadrži i nepoznate reakcije. U primjeru na slici 4.9 nisuzadane koncentrisane sile, a nema ni oslonaca pa ni reakcija zbog čega je

 F  = 0 zato se (4.39) može pisati kao (4.40)

  d  K  F    0   (4.40)

Iz jednačine (4.40) nađe se d   a tada se zamijene vrijednosti čvornih silau jednačinu (4.39) i izračunaju sile u  F  .

I ova procedura može se pokazati na konkretnom jednostavnom primjeru.

Primjer 4.3.

a)

b)

Slika 4.10 Konzola opterećena kontinuiranim opterećenjemi ekvivalentne čvorne sile

x

L

2

wv

1

wL2/12wL2/12

L21

wL/2  wL/2 

8/9/2019 MKE.pdf

16/38

 Jednačine grede

132 

Za konzolu na slici izračunati ugibe i nagibe, a potom sile u čvorovima ako je EI = const.

Prvo se konzola diskretizuje jednom gredom tj. jednim elementom. Zatimse kontinuirano opterećenje pretvori u čvorne sile (4.10b) korištenjemizraza za rad. Radovi sila u čvorovima su ekvivalentni radovimakontinuiranog opterećenja koje djeluje duž cijele grede.

Nepoznata pomjeranja su ugib i nagib u čvoru 2. Matrica krutosti se dobijetako što se krene od izraza (4.4) za element grede.

 

23 46

612

 L L

 L

 L

 EI k    (4.41)

Vektor ekvivalentnih čvornih sila prema (4.40) je:

12

2

46

612

2

2

2

23 wL

wL

d 

 L L

 L

 L

 EI    y

   (4.42)

Prethodno su usvojeni granični uslovi da je d1y = 0 1 = 0 pa se (4.43)dobije poslije množenja (4.42) inverznom matricom matrice k 

12

2

63

32

6   2

2

2

2

wL

wL

 L

 L L

 EI 

 Ld   y

   (4.43)

 EI 

wL

 EI 

wLd   y

6

83

4

2

2

   (4.44)

Rješenja za d2y  i 2 su tačna rješenja. Nakon što su određena pomjeranjaračunaju se efektivne sile u globalnim koordinatama.To su sile koje su zbirkako reakcija tako i čvornih sila:

8/9/2019 MKE.pdf

17/38

 Jednačine grede

133

 EI 

wL EI 

wL

 L L L L L L

 L L L L

 L L

 L

 EI 

 M  F 

 M 

 F 

 y

 y

6

8

0

0

4626612612

2646

612612

3

4

22

22

3

2

2

1

1

  (4.45)

Poslije množenja matrica na desnoj strani dobije se:

12

2

125

2

2

2

2

2

1

1

wL

wL

wL

wL

 M 

 F 

 M  F 

 y

 y

  (4.46)

Tražene sile prema (4.39) su:

0

0

2

12

2

12

2

12

2

12

5

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

wL

wL

wL

wL

wL

wL

wL

wL

wL

wL

 M 

 F 

 M 

 F 

 y

 y

  (4.47)

F1y  i M1  su reakcije u osloncu 1, dok u čvoru 2 nema oslonaca pa sureakcije 0. Tražena pomjeranja dobivena su iz (4.44), a sile iz (4.47).

8/9/2019 MKE.pdf

18/38

 Jednačine grede

134 

4.5.  Dobivanje jednačina grede primjenomprincipa o minimumu potencijalneenergije

Ukupna potencijalna energija grede je zbir unutrašnje energije deformacije ipotencijalne energije vanjskih sila

p = U +  

gdje je:

v

 x x   dV U      2

1- unutrašnja energija deformacije cijelog volumena

 - potencijalna energija vanjskih sila za jedan element

 

1

2

1 1 s   i

n

m

iiiyiy y   md  P dsvT        (4.48)

U jednačini (4.48) članovi sa desne strane su poprečno površinskoopterećenje po jedinici površine s1, koncentrisane sile u čvorovima imomenti. v  predstavlja funkciju pomjeranja za element grede dužine L

prikazane na slici 4.11.

Slika 4.11. Greda opterećena površinskim opterećenjemi silama u čvorovima

Elementarna zapremina je:

dV = dA dx (4.49)

pri čemu je poprečni presjek konstantan a x lokalna koordinata.

P1y P2y

x

L 2

T

y

1

m m

8/9/2019 MKE.pdf

19/38

 Jednačine grede

135

Elementarna površina na koju djeluje opterećenje je:

dS = b dx (4.50)

gdje je b konstantna širina grede. Ukupna potencijalna energija štapa saslike 4.11 je:

 

 L

i

iiiyiy y x x

 A

 p   md  P dxvT bdxdA0

2

12

1       (4.51)

Veza između pomjeranja i deformacija je:

2

2

)(dx

vd 

 y x      

d  L

 L xL

 L

 L x

 L

 L xL

 L

 L x y x  

 

3

2

33

2

3

2661246612    (4.52)

ili   d  B y x       (4.53)

gdje je:

 

 

3

2

33

2

3

2661246612

 L

 L xL

 L

 L x

 L

 L xL

 L

 L x B   (4.54)

Veza napona i deformacija je:

 

 E  D

 D  x x

      (4.55)

Uvrštavanjem (4.53) u (4.55) dobije se:

  d  D B y x       (4.56)

Ukupna potencijalna energija elementa grede može se napisati umatričnom obliku kao:

8/9/2019 MKE.pdf

20/38

 Jednačine grede

136 

       A

 LT T 

 y x

T 

 x p   P d dxvT bdxdA0

2

1      (4.57)

Kada se u (4.57) uvrsti  yT bw    i prethodno izvedeni matrični izraz sa x 

potencijalna energija postaje:

         L L

T T T T T 

 p   P d dx N d wdxd  B Bd  EI 

0 02

    (4.58)

Potencijalna energija se diferencira po 2211   ,,        id d   y y   i svaki izvod

izjednači sa nulom da se minimizira potencijal. Tako se dobiju četiri jednačine čiji je matrični oblik:

         L L

T T  P wdx N d dx B B EI 

0 0

0   (4.59)

Matrica čvornih sila je zbir ekvivalentnih sila kojima je zamijenjenokontinuirano opterećenje i sila u čvorovima. U lokalnim koordinatama vektorsila je:

     P dxw N  f   L

T  0

  (4.60)

Koristeći jednačinu (4.60) četiri jednačine su ekvivalentne jednačinama(4.59).

Iz jednačina (4.59) i (4.60), znajući da je:

  d k  f     

dobije se da je:

 L

T dx B B EI k 

0

  (4.61)

8/9/2019 MKE.pdf

21/38

 Jednačine grede

137

4.6.  Ravni okviri

Kao što su rešetke izrađene od štapova analizirane i rješavane na krajupoglavlja o štapovima, tako će se i ravni okviri koji se sastoje od greda

analizirati nakon izvođenja osnovnih jednačina greda. Mnoge strukture susastavljene od okvira ili niza greda.

Prvo će se izvesti matrica krutosti za proizvoljni element grede u ravni.Uvodi se i aksijalno pomjeranje u čvoru za element grede, tj različite vrsteoslonaca kao i nagnuti ili zakrenuti oslonci.

4.6.1.  Dvodimenzionalni element grede

Na slici 4.12. prikazan je element grede u lokalnom koordinatnom sistemu(x, y) sa pomjeranjima i silama datim u čvorovima. Veza između pomjeranjau lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu data je izrazom (4.62):

Slika 4.12. Proizvoljno postavljeni element grede u ravni

 y

 x

l 

 y

 x

d 

d 

C S 

S C 

d 

d   (4.62)

Za element grede izraz (4.60) se može napisati kao:

y d2

y lokalno 

d1

x

L  

x lokalno2

1

8/9/2019 MKE.pdf

22/38

 Jednačine grede

138 

2

2

2

1

1

1

2

2

1

1

100000

0000

000100

0000

 

 

 

 

 y

 x

 y

 xl 

 y

 y

d 

d 

d 

d 

C S 

C S 

d 

d 

  (4.63)

gdje je transformaciona matrica:

100000

0000000100

0000

C S 

C S 

T    (4.64)

Jednačina (4.63) je invarijantna s obzirom na bilo koji koordinatni sistem.

Npr. 1111   mmi  l l      normalan na lokalnu x1, y1  ili globalnu x, y ravan, tj.

u pravcu lokalne ose z' ili globalne z. Ako se matrica (4.64) uvrsti u izraz zalokalnu matricu k dobije se k=TT ke T  tj.

2

2

2

22

22

22

3

4

612

61212

2664

61212612

6121261212

 L

 LC C 

 LS SC S 

 L LC  LS  L

 LC C SC  LS C 

 LS SC S  LS SC S 

 L

 EI k   (4.65)

Matrica (4.65) je globalna matrica krutosti grede i uključuje poprečne isavojne otpore. Lokalni aksijalni efekti nisu još uključeni. Množenje matricaTT  k  T  obavlja pomoću računara, a u programima koji se koriste zaproračune metodom konačnih elemenata postoji neki podprogram kojiobavlja ovu radnju. Dalje treba posmatrati opterećenja grede i njihovodjelovanje, slika 4.13.

8/9/2019 MKE.pdf

23/38

 Jednačine grede

139

Slika 4.13. Greda opterećena u čvorovima

Veza između lokalnog opterećenja i pomjeranja čvorova prije je izvedena i

njom se unose aksijalni efekti:

 x

 x

 x

 x

d 

d 

 L

 AE 

 f  

 f  

2

1

2

1

11

11  (4.66)

Zajedno sa već  izvedenim izrazima za pomjeranje dobije se jednačina ulokalnim kooridnatama:

2

2

2

1

1

1

2

2222

2222

11

2

22

2

22

2222

11

2

2

2

1

1

1

460260

61206120

0000

260460

61206120

0000

 y

 x

 y

 x

 y

 x

 y

 x

d 

d 

d 

d 

 LC  LC  LC  LC 

 LC C  LC C 

C C 

 LC  LC  LC  LC 

 LC C  LC C 

C C 

m

 f  

 f  

m

 f  

 f  

  (4.67)

gdje je:321  L

 EI C 

 L

 AE C     

Sada matrica krutosti u lokalnom koordinatnom sistemu u izrazu (4.65)uključuje osim savojnih i aksijalne efekte u x pravcu.

Veza između lokalnih i globalnih pomjeranja ostvaruje se pomoću T transformacione matrice.

ym2

y lokalno

f 1y

x

 

f 2xf 1y

m1

x lokalno

8/9/2019 MKE.pdf

24/38

 Jednačine grede

140 

2

2

2

1

1

1

2

2

2

1

1

1

100000

0000

0000

000100

0000

0000

 

 

 

 

 y

 x

 y

 x

l 

 y

 x

 y

 x

d 

d 

d 

d 

C S 

S C 

C S 

S C 

d 

d 

d 

d 

  (4.68)

Globalna matrica krutosti dobije se po izrazu (4.69)

T k T  K    l T    (4.69)

 

  

 

 

  

   

  

 

 

  

   

  

   

  

 

 I 

C  L

 I 

C  L

 I 

 AS 

C  L

 I CS 

 L

 I  AS 

 L

 I  AC 

 I C  L

 I S 

 L

 I  I 

C  L

 I C 

 L

 I  AS CS 

 L

 I  AC 

 L

 I C 

 L

 I  AS 

S  L

 I CS 

 L

 I  AS 

 L

 I  AC S 

 L

 I CS 

 L

 I  AS 

 L

 I  AC 

 L

 E  K 

4

612

61212

266

4

61212612

6121261212

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

 (4.70)

Primjenjujući izvedene izraze može se definirati i okvir kao strukturasastavljena od čvrsto povezanih greda. Uglovi između članova se nemijenjaju prije i poslije deformacije.

Primjer 4.4.

Element 2 u obliku štapa služi da ukruti konzolu 1 kako je prikazano na slici4.14. Odrediti pomjeranja čvora 1 i sile na elementu.

Zadano je: A = 10-3 m2 za konzolu i A = 2 x 10-3 m2, I = 5 x 10-5 m4, L = 3 m.Štap i konzola su izrađeni od istog materijala (E = 210 GPa). Ugao izmeđunjih je 45. Spoljašnja sila u čvoru 1 je F = -500 N.

8/9/2019 MKE.pdf

25/38

8/9/2019 MKE.pdf

26/38

 Jednačine grede

142 

d1x  d1y  1 

20,010,00

10,0421,0354,0

0354,0354,2

1070   3 K    (4.74)

Jednačina strukture je

1

1

1

3

20,010,00

10,0421,0354,0

0354,0354,2

1070

0

500

0

 y

 x

d 

d 

  (4.75)

Rješavanjem jednačine se dobije:

d1x = 0,00338 md1y = -0,0225 m1 = 0,0113 rad

Sile na elementima se dobiju iz jednačine

 y

 x

 y

 x

l 

 x

 x

d 

d 

d 

d 

S C 

S C 

 L

 AE 

 f  

 f  

3

3

1

1

3

1

00

00

11

11   (4.76)

Sila f 1xl i f 3x

l su lokalne sile štapa 1.

 y x

l 

 x   Sd Cd  L

 AE  f   111     (4.77)

Uvrštavanjem vrijednosti dobije se

kN  f  

kN  f  

 f  

 x

l 

 x

l 

 x

670

670

0225,000338,02

2

24,4

10210101

3

1

63

1

 

8/9/2019 MKE.pdf

27/38

 Jednačine grede

143

Za element 2 lokalni i globalni koordinatni sistem se poklapaju pa je jednačina

1

1

1

2

22

22

1

1

1

1

460

6120

00

 y

 x

 y

 x

d 

d 

 LC  LC 

 LC C 

C 

m

 f  

 f  

  (4.78)

Pomjeranja u čvoru 2 su mala pa se uzima gornji dio matrice. Uvrštavanjemvrijednosti dobije se

0113,0

0225,0

00338,0

20,010,00

10,0067,00

002

1070   3

1

1

1

m

 f  

 f  

 y

 x

  (4.79)

odakle su rješenja za sile

0

5,26

473

1

1

1

m

kN  f  

kN  f  

 y

 x

 

Sile u čvoru 2 su

0113,0

0225,0

00338,0

20,010,00

10,0067,00

002

1070   3

2

2

2

m

 f  

 f  

 y

 x

  (4.80)

odakle je

kNmm

kN  f  

kN  f  

 y

 x

3,78

5,26

473

2

2

2

  (4.81)

Rezultati su prikazani na slici 4.15.

8/9/2019 MKE.pdf

28/38

 Jednačine grede

144 

a) b)

Slika 4.15. Prikaz rješenja ravanske strukturea) Kosi štap 2; b) Konzola 1

4.7.  Prostorni ramovi

Prostorni ramovi su strukture sastavljene od greda na koje djelujeopterećenje okomito na ravan konstrukcije. Zbog toga će se osim svihdosad analiziranih uticaja javiti i uvijanje. Elementi prostornih ramova su

grede čvrsto spojene, a nakon opterećenja uglovi između elemenatakonstrukcije ostaju nepromijenjeni.

Na slici 4.16 prikazana su opterećenja elemenata strukture prostornograma.

Slika 4.16. Stepeni slobode i opterećenja u čvorovima

m1z,1z m1x,1x m2x,2x

L z21

x

y

f 1y,d1yf 2y,d2y

m2x,2z

670 kN

670 kN3

1

xl 2

473 kN 473 kN

26,5 kN26,5 kN

y = yl

x = x

78,3 kNm1

8/9/2019 MKE.pdf

29/38

 Jednačine grede

145

U čvorovima djeluju transverzalne sile, momenti savijanja i momentiuvijanja. Dobivanje matrice krutosti vrši se na isti način kao za elementgrede, a uvodi se još G-modul klizanja i J – polarni moment inercije.

Za dobivanje matrice krutosti elementa grede izložene i uvijanju postupak je slijedeći:

1. Znak momenta uvijanja i ugla uvijanja

Slika 4.17. Znak momenta i ugla uvijanja prema konvencijidati su na slici

2. Kod postavljanja funkcije pomjeranja za ugao uvijanja smatra se da jelinearna funkcija pa je:

 = a1 + a2 x (4.82)

Postupak za određivanje a1 i a2 u dijelovima nepoznatih uglova uvijanja

x2x1   i   , dobije se:

 x

 x x  x L

  1

12  

  

      (4.83)

i matrica postaje:

 

 x

 x N  N 

2

1

21  

     (4.84)

sa funkcijama oblika datim kao:

 L

 x N 

 L

 x N      21   1   (4.85)

3. Veza smicanja i uvijanja data je preko ugla klizanja  i ugla uvijanja .

1 2

m1x,1x m2x,2x x

1 2

mx mxx

8/9/2019 MKE.pdf

30/38

 Jednačine grede

146 

Slika 4.18. Torzione deformacije štapa

  d  Rdx AB max   (4.86)

odakle je:

dx

d  R   max   ili

x1x2L

r 

dx

d r   

  (4.87)

Tangencijalni napon   i klizanje   za linearno elastične matrijale povezanisu relacijom:

      G   (4.88)

4. Matrica krutosti dobije se na način koji slijedi. Prvo, ima se u vidu da jemoment uvijanja:

R m x

  (4.89)

x1x2xL

GJm     (4.90)

pri čemu su momenti uvijanja:

x1x1   mm     (4.91)

x2x1x1L

GJm     (4.92)

max

R

dxd x

z

y

8/9/2019 MKE.pdf

31/38

 Jednačine grede

147

xx2   mm     (4.93)

x1x2x2L

GJm     (4.94)

x2

x1

x2

x1   d 

11

11

L

GJ

m

m  (4.95)

Izrazom (4.93) u matričnom obliku definirana je veza momenatauvijanja i ugaonih dilatacija  a to je matrica krutosti:

 

11

11

L

GJk    (4.96)

Često elementi grede izloženi uvijanju nisu kružnog poprečnogpresjeka nego oblika nekog profila ili zatvorenog oblika pa je J različito.Kombinovanjem uvijanja i savijanja dobije se lokalna matrica krutostiza element grede iz jednačine (4.97).

d1y 1x 1z d2y 2z 2z

 z 

 x

 y

 z 

 x

 y

 z 

 x

 y

 z 

 x

 y

d 

d 

 L

 EI 

 L

GJ 

 L

 EI 

 L

 EI 

 L

 EJ 

 L

 EJ 

 L

 EI 

 L

GJ 

 L

GJ 

 L EI 

 L EI 

 L EI 

 L EI 

mm

 f  

m

m

 f  

2

2

2

1

1

1

23

2

2323

2

2

2

1

1

1

4

0

60

12

20

64

000

60126012

  (4.97)

Transformaciona matrica koja povezuje lokalne i globalne stepene slobodegrede izložene savijanju i uvijanju je:

8/9/2019 MKE.pdf

32/38

 Jednačine grede

148 

C S 

S C 

C S 

S C 

T G

0000

0000001000

0000

0000

000001

  (4.98)

gdje su C = cos  = , L

 x x i j   S = sin   = L

 z  z  i j  , su cos   i sin  ugla

između koordinatnih sistema.

Globalna matrica krutosti je:

GGT 

GG   T k T  K      (4.97)

Nakon nalaženja globalne matrice krutosti dalji postupak procedure je istikao kod ravnih okvira.

Primjer 4.5.

Na slici 4.19 je prikazan prostorni okvir koji se sastoji od dvije grede u zxravni, na koje djeluje opterećenje F = 22 kN.

Zadano je: E = 210 GPa, G = 84 GPa, I = 16,6 x 10 -5 m4, J = 4,6 x 10-5 m4.Odrediti opterećenja u čvorovima.

Slika 4.19. Prostorni okvir

3m

3m

xy

z 3

21

1

2F

8/9/2019 MKE.pdf

33/38

 Jednačine grede

149

Granični uslovi za zadani problem su:

d1y = 1x = 1z = 0d3y = 3x = 3z = 0

Matrice za elemente okvira se dobiju na osnovu već poznate procedure

Element 1:

  456

356

4

2

56

2

4

3

56

3

1

12

1

12

1065,43

106,161021044

1028,13

106,41084

1032,23

106,161021066

1055,13

106,16102101212

01

 L

 EI 

 L

GJ 

 L

 EI 

 L

 EI 

 L

 z  z S 

 L

 x xC 

  (4.98)

100

010

001

10

65,4032,2

0128,00

32,2055,1

100

010

0014)1(k    (4.99)

Lokalna i globalna osa elementa su paralelne pa je [Tc] jedinična matrica,pa je

  4)1( 1065,4032,2

0128,00

32,2055,1

k    (4.100)

Element 2:

102

23

2

23

 L

 z  z S 

 L

 x xC    (4.101)

8/9/2019 MKE.pdf

34/38

 Jednačine grede

150 

  4)2(

4)2(

10

128,000

065,432,2

032,255,1

010

100

001

10

65,4032,2

0128,00

32,2055,1

010

100

001

k 

k 

  (4.102)

Globalna matrica krutosti je

  410

78,4032,2

078,432,2

32,232,210,3

G

 K    (4.103)

Jednačina strukture je

4

2

2

2

2

2

2

10

78,4032,2

078,432,2

32,232,210,3

0

0

22

 z 

 x

 y

 z 

 x

 y   d 

 M 

 M 

 F 

  (4.104)

Rješavanjem jednačina dobiju se pomjeranja i uglovi uvijanja

rad 

rad 

md 

 z 

 x

 y

2

2

2

2

2

2

10126,0

10126,0

10259,0

  (4.105)

Sljedeći korak je određivanje sila u čvorovima u lokalnim koordinatama za

svaki element po izrazu (4.97). Za element 1 je

2

2

2

10126,0

10126,0

10259,0

0

0

0

100000

010000

001000

000100

000010

000001

d T G   (4.106)

8/9/2019 MKE.pdf

35/38

 Jednačine grede

151

2

2

2

2

2

2

1

1

1

10126,0

10126,0

10259,0

0

0

0

65,4032,233,2032,2

0128,0000128,00

32,2055,132,2055,1

33,2032,265,4032,2

0128,000128,00

32,2055,132,2055,1l 

 z 

 x

 y

 z 

 x

 y

m

m

 f  

m

m

 f  

  (4.107)

Sile u lokalnim koordinatama su:

kNmmkNmmkN  f  

kNmmkNmmkN  f  

 z  x y

 z  x y

5,15,111

315,111

222

111

  (4.108)

Za element 2 postupak je analogan, a rješenja sila u čvorovima u lokalnimkordinatama su:

kNmmkNmmkN  f  

kNmmkNmmkN  f  

 z  x y

 z  x y

315,111

5,15,1110

333

222

  (4.109)

4.7.1.  Prostorne proizvoljno postavljene gredeU opštem slučaju konstrukcije koje se sastoje od greda koje savijajumomenti u dvije ravni imaju matrice krutosti kao rezultat savijanja u x-zravni tj. oko ose y:

 

3

2

323

22

4

4

612

264

612612

 L

 L L

 L L L

 L L L L

 L

 EI k 

  y N 

 y   (4.110)

i u x-y ravni tj. oko ose z:

8/9/2019 MKE.pdf

36/38

 Jednačine grede

152 

3

2

323

22

4

4

612

264

612612

 L

 L L

 L L L

 L L L L

 L

 EI k    x

e

 z    (4.111)

Superpozicijom matrica (4.110) i (4.111) te matrica aksijalne krutosti itorzione krutosti dobije se ukupna matrica krutosti trodimenzionalnogprostornog okvira u lokalnim koordinatama.

Takva matrica prevede se u globalnu matricu krutosti korištenjemtransformacione matrice oblika:

33

33

33

33

 x

 x

 x

 x

T 

 

 

 

 

  (4.112)

gdje je  matrica krutosti koja se sastoji od kosinusa uglova između lokalnih

i globalnih koordinata:

zyyyxy

zxyxxx

CCC

CCC  (4.113)

4.8.  Principi analize podstruktura

U praksi se često susreću vrlo složene strukture, kako sa aspektageometrije tako i opterećenja. Da bi se problem pojednostavio složenastruktura se dijeli u manje zasebne cjeline koje se zovu podstrukture. Npr.prostorni ram se sastoji od više sekcija, obloga avina od krila i nekolikodijelova plašta itd. Podjelom na podstrukture problem se pojednostavljuje aračunarsko vrijeme njegovog rješavanja se smanjuje. Analiza strukturepodijeljena na podstrukture podrazumijeva zasebnu analizu svakepodstrukture vodeći računa o silama i pomjeranjima na tim dijelovima.

8/9/2019 MKE.pdf

37/38

 Jednačine grede

153

Kako se postupa sa podstrukturama može se vidjeti na primjeru jednogkrutog okvira na slici 4.20.

a)

b)

Slika 4.20. a) Kruti okvir sa naznačenim podstrukturamab) Podstruktura B

Prvo se definiraju pojedine podstrukture, slika 4.20.a. nastoji se izvršitipodjela tako da veličine podstruktura budu slične. Tipična podstruktura Buključuje grede na vrhu a-a zajedničke i za podstrukturu C, a grede b-b suzajedničke i za podstrukturu A.

Jednačina koja povezuje sile i pomjeranja sadrži unutrašnje i vanjske sile iunutrašnja i vanjska pomjeranja:

 B

e

 B

i

 B

ee

 B

ei

 B

ie

 B

ii

 B

e

 B

i

d 

d 

 K  K 

 K  K 

 F 

 F 

  (4.114)

gdje B označava podstrukturu, i-unutrašnje sile, a e-vanjske sile. Statičke jednačine postaju:

 Be Bie Bi Bii Bi   d  K d  K  F      (4.115)

 Be Bee Bi Bei Be   d  K d  K  F      (4.116)

a a

b b

Podstruktura C

Podstruktura B

Podstruktura A

a a

b b

veze čvorova

8/9/2019 MKE.pdf

38/38

Rješavanjem jednačina dobije se vektor pomjeranja:

   Bi Bei Be Bee Be   d  K  F  K d      1

  (4.117)

Na sličan način riješe se i pomjeranja čvorova podstruktura A i B.

4.9.   Algoritam analize ravnih i prostornihramova

Mnogi računarski programi za proračun i analizu ravnih i prostornih ramovasu slično postavljeni. Naime, za sve njih treba unijeti odgovarajuće podatke

za svaki pojedinačni slučaj rama. Postupak unošenja podataka dat je unekoliko tačaka.

1. Uvijek se i kod svih računanja odabere koordinatni sistem globalnihkoordinatnih osa x i y za ravni ili x, y i z za prostorni okvir. U svakomčvoru, u principu, postoji stepen slobode pomjeranja u x i y pravcu isavijanje oko ose z za slučaj ravnog rama. Prostorni ram bi, u opštemslučaju, imao y pomjeranje i savijanje oko osa x i z.

2. Nakon izbora koordinatnog sistema izvrši se diskretizacija modela na

konačne elemente što daje broj konačnih elemenata i broj čvorova.

3. Koordinate svih čvorova u ravni su date kao x j  , y j  za prostornikoordinatni sistem kao x j , y j  i z j.

4. Nakon specificiranja koordinata odrede se granični uslovi, odnosnostepeni slobode u osloncima.

5. Definiraju se opterećenja u globalnom koordinatnom sistemu tj. odrede

se pravci, smjerovi i intenziteti koncentrisanih sila, kontinuiranogopterećenja i momenata. Npr. sila Fxj  djeluje u čvoru j u pravcu x ipozitivnog je smjera u odnosu na smjer ose x. Ili Mzj  je momentsavijanja oko ose z. Prvi indeks označava pravac djelovanja sile, adrugi broj čvora. Označavanje je, u stvari, specifikum svakog softwarepaketa za MKE.

6. Osobine materijala elementa ili elemenata konstrukcije se unose zasvaki proračun. Često su date u ponudi za različite materijale. To su E,, , G i drugi.