Embed Size (px)
DESCRIPTION
Izračun ljusaka pomoću konačnih elemenata
Citation preview
S v e u č i l i š t e u Z a g r e b u L a b o r a t o r i j z a n u m e r i č k u m e h a n i k u
Fakultet strojarstva i brodogradnje, Sveučilište u Zagrebu, I. Lučića 5, 10000 Zagreb
KONAČNI ELEMENTI ZA RJEŠAVANJE PROBLEMA SAVIJANJA PLOČA
Zagreb, 2011. Copyright © J. Sorić
Jurica Sorić [email protected]
S v e u č i l i š t e u Z a g r e b u L a b o r a t o r i j z a n u m e r i č k u m e h a n i k u
Copyright © J. Sorić
Savijanje ploča uz Reissner-Mindlinove pretpostavke
Normale na srednju plohu nakon deformiranja ostaju ravne, ali ne i okomite.
,x z ,y zDeformiranje elementa ploče: a) u ravnini ; b) u ravnini
Komponente pomaka
yxzu ,
yxzv ,
yxww ,
y zxwx
x yzwy
x
wy
ywx
Kirchhoff-Loveova pretpostavka
0yz zx
S v e u č i l i š t e u Z a g r e b u L a b o r a t o r i j z a n u m e r i č k u m e h a n i k u
Copyright © J. Sorić
Potencijalna energija elastičnog deformiranja
Savijanje ploča uz Reissner-Mindlinove pretpostavke
1 d2
T Ti b s
A
A κ σ γ σ
Konstitutivne jednadžbe:
b
s
σσ
σ
γDσ ss
xy
y
x
b
MMM
σ
y
xs Q
Qσ
κDσ bb
Vektor naprezanja (momenti i poprečne sile)
3
2
1 01 0 ,
12 1 10 02
bEh
D ,
x
y
y x
κ1 0,
0 1s k G h
D
,
ywxw
γ
Potencijalna energija vanjskog opterećenja ),( yxqq
deA
wq A
S v e u č i l i š t e u Z a g r e b u L a b o r a t o r i j z a n u m e r i č k u m e h a n i k u
Copyright © J. Sorić
Reissner-Mindlinov konačni element
Formulacija konačnog elementa (primjena Rayleigh-Ritzove metode)
Prva varijacija ukupne potencijalne energije
d d 0T Ti b s
A A
A wq A κ D κ γ D γ
Interpolacija međusobno neovisnih varijabli , ,w
n
iii wNw
1
n
iiyiN
1
n
iixiN
1
,
x
y
y x
κ
ywxw
γ
vNww
vBκ b
vBγ s
nynxnyxT ww ...........111v
S v e u č i l i š t e u Z a g r e b u L a b o r a t o r i j z a n u m e r i č k u m e h a n i k u
Copyright © J. Sorić
Reissner-Mindlinov konačni element
,b κ B v vBγ s,ww N v
Diskretizirani princip minimuma potencijalne energije. Jednadžba konačnog elementa
d d 0T Ti b s
A A
A wq A κ D κ γ D γ
AqAAA
Tw
Ass
A
Tsbb
Tb ddd
NvBDBBDB
ssb Fvkk
Jednadžba konačnog elementa
S v e u č i l i š t e u Z a g r e b u L a b o r a t o r i j z a n u m e r i č k u m e h a n i k u
Copyright © J. Sorić
AA
ssTsbb
Tb d BDBBDBk
A
bbTbb AdBDBk
A
ssTss AdBDBk
AqA
Tws d NF
Matrica krutosti:
- krutost poradi savijanja
- krutost poradi posmičnih deformacija
Reissner-Mindlinov konačni element
- vektor čvornih sila poradi poprečnog površinskog opterećenja
Prednost Reissner-Mindlinove u odnosu na Kirchhoffovu formulaciju:
Duž rubova elemenata potrebno je zadovoljiti samo C0-kontinuitet. Stoga je potreban znatno manji broj stupnjeva slobode u čvorovima elementa nego za Kirchhoffovu formulaciju. Interpolacijske funkcije su jednostavnije.
Nedostatak:
Pri modeliranju jako tankih ploča javlja se fiktivna posmična krutost elementa (posmični locking) što znatno otežava konvergenciju rješenja.
S v e u č i l i š t e u Z a g r e b u L a b o r a t o r i j z a n u m e r i č k u m e h a n i k u
Literatura
Bathe, K.-J., Finite Element Procedures, Prentice Hall New Jersey 1996.
Cook, R. D., Malkus, D.S., Plesha, M.E., Witt, R.J., Concepts and Applications of Finite Element Analysis, Fourth Edition, J. Wiley, New York 2002.
Hughes, T. J. R., The Finite Element Method, Dover Publications, New York 2000.
Krätzig, W. B., Basar, Y., Tragwerke 3, Theorie und Anwendung der Methode der Finiten Elemente, Springer-Verlag, Berlin 1997.
Zienkiewicz, O. C., Taylor, R. L., The Finite Element Method, Fifth edition, Vol. 1: The Basis, Butterworth-Heinemann, Oxford 2000.
Zienkiewicz, O. C., Taylor, R. L., The Finite Element Method, Fifth edition, Vol. 2: Solid Mechanics, Butterworth-Heinemann, Oxford 2000.
Copyright © J. Sorić
