Mémoire présenté le : pour l’obtention du diplôme de ... · tableau 22 : bareme de coefficients d’antiselection.....87 tableau 23 : coefficients de majoration du tarif en

Mémoire présenté le :

pour l’obtention du diplôme

de Statisticien Mention Actuariat

et l’admission à l’Institut des Actuaires

Par : DOPIERRE Léa

Titre du mémoire :

La reprise de risques en prévoyance collective

Confidentialité : NON OUI (Durée : 1 an 2 ans)

Les signataires s’engagent à respecter la confidentialité indiquée ci-dessus

Membres présents du jury de

l’Institut des Actuaires

signature

Entreprise :

Nom : ALLIANZ France

Signature :

Membres présents du jury de la

filière

Directeur de mémoire en entreprise :

Nom : Mme Nathalie CALDEIRA

Signature :

Invité :

Nom :

Signature :

Autorisation de publication et de mise en

ligne sur un site de diffusion de documents

actuariels (après expiration de l’éventuel

délai de confidentialité)

Signature du responsable entreprise

Signature du candidat

RESUME

Mots-clés : Prévoyance collective, reprise de risque, provisions mathématiques, antisélection, modèles

linéaires généralisés

En prévoyance collective, de réelles questions se posent aujourd’hui lorsqu’une entreprise désire

changer d’organisme assureur. Lorsque le nouvel assureur accepte de reprendre le risque et que des

assurés sont en arrêt de travail au moment du changement d’assureur, le nouvel assureur doit prendre

en charge la revalorisation des prestations en cours ainsi que le maintien de leurs garanties décès. Pour

cela, il doit alors tarifer la reprise de risque et réclame généralement une prime unique à l’entreprise.

Le coût de cette reprise peut souvent s’avérer pénalisant et coûteux, notamment pour les petites

entreprises qui, du fait de leur petite taille, ont une mutualisation plus restreinte.

Ce mémoire nous amène donc à réfléchir à une tarification alternative de la reprise de risque,

principalement pour les petites entreprises qui désirent changer d’assureur.

Dans une première partie, nous étudierons le coût de la reprise de risque pour le nouvel assureur. Cette

partie consistera tout d’abord à modéliser la revalorisation des rentes en cours de service au moment

du changement d’assureur. Pour cela, nous effectuerons une régression linéaire afin de prédire

l’évolution du point AGIRC selon les prévisions de l’inflation. Nous étudierons ensuite la mortalité

des assurés en arrêt de travail afin d’évaluer le coût de la prime unique de reprise de risque.

Afin de fluidifier le marché et favoriser le changement d’assureur, une première solution serait

d’élargir la mutualisation de ces micro-entreprises. En procédant ainsi, nous verrons qu’une légère

hausse de l’ensemble des leurs cotisations permettrait de couvrir la charge supplémentaire aujourd’hui

réclamée à l’entreprise. En revanche, cet élargissement de la mutualisation impliquerait à l’assureur de

supprimer la sélection médicale aujourd’hui réalisée pour les entreprises inférieures à 6 têtes, ce qui

augmenterait considérablement le risque d’antisélection.

C’est pourquoi la dernière étape de ce mémoire est consacrée au traitement de l’antisélection. Pour

mesurer cette antisélection, nous nous baserons sur les contrats complémentaire santé souscrits par les

petites entreprises. En effet, aucune sélection médicale n’est effectuée à la souscription sur la santé, et

nous supposons que le comportement de l’assuré vis-à-vis de l’antisélection est similaire en santé et en

prévoyance. A l’aide des modèles linéaires généralisés, nous modéliserons la fréquence des sinistres

afin d’obtenir un barème de coefficients de majoration à appliquer au tarif.

ABSTRACT

Key-words: Social coverage, risk transfer, mathematical reserves, adverse selection, linear

generalized models

In group life insurance, many questions are asked today when a company wants to change insurer.

When the new insurer agrees to take the risk and when people are in short or long term disability

during the transition, the new insurer has to take care of the revaluation of their benefits and maintain

their death guarantees. To do this, he claims an additional premium to the company. The cost of this

premium can often be penalizing and expensive for the company, especially for small businesses

which have a limited pooling because of their small size.

Therefore, the aim of this report is to think about an alternative pricing of risk transfer, especially for

small companies who want to change insurer.

On the one hand, we will study the cost of risk transfer for the new insurer. In this part, we will begin

with modeling the revaluation of benefits by doing a linear regression in order to predict the evolution

of the AGIRC point, according to inflation forecasts. We will then study the mortality of people in

disability in order to evaluate the cost of the additional premium claimed to the company.

To make the market more fluid and encourage the change of insurer, a first solution would be to widen

the pooling of small companies. By doing this, we will see that a slight increase of their premium

would cover the additional cost that is today claimed to the company. But, this widening would

eliminate the medical selection that is made for companies with less than 6 employees, and this would

considerably increase the risk of adverse selection.

This is why the last step of this report consists on measuring the adverse selection. To measure the

adverse selection, we will concentrate on health contracts subscribed by small companies. Indeed,

there is no medical selection in group health insurance and we suppose that the behavior of insured

people with adverse selection is similar in both group health and life insurance. By using the

generalized linear models, we will model the frequency of claims in order to have a list of coefficients

to apply for adverse selection.

REMERCIEMENTS

Je tiens tout particulièrement à remercier Nathalie CALDEIRA, responsable du service des techniques

collectives, pour ses précieux conseils, son soutien et pour m’avoir encadrée tout au long de ce

mémoire.

Je remercie également Nathalie THOOL, directrice du département Santé, Prévoyance, Emprunteur, et

Dépendance, pour son aide, sa disponibilité et pour m’avoir fait bénéficier de son expérience en

assurances collectives.

Je souhaite également remercier Khaled AMRAT, ancien responsable du service Résultats et Comptes

Clients, pour m’avoir accueilli dans son service et pour m’avoir accordé toute sa confiance.

Je tiens aussi à remercier toute l’équipe du service des techniques collectives pour leur aide précieuse

et leur sympathie tout au long de mon alternance.

Enfin, je remercie Olivier LOPEZ, directeur de l’Institut de Statistiques de l’Université de Paris, pour

ses conseils avisés.

5

SOMMAIRE

Liste des tableaux .................................................................................................................................................. 7

Table des figures ................................................................................................................................................... 9

INTRODUCTION .................................................................................................................. 11

CHAPITRE 1 : CONTEXTE ................................................................................................ 13

I. Présentation de la prévoyance collective ....................................................................................................13

1. Le marché de la prévoyance ......................................................................................................................13

1.1. La Sécurité Sociale ............................................................................................................................13

1.2. Les organismes assureurs ..................................................................................................................14

1.3. Les obligations légales et conventionnelles en matière de protection sociale ...................................15

2. Le contrat d’assurance de groupe ..............................................................................................................17

3. Les risques couverts ..................................................................................................................................18

3.1. Risque Décès .....................................................................................................................................18

3.2. Risque arrêt de travail .......................................................................................................................19

II. Provisionnement du risque arrêt de travail ...............................................................................................21

1. Les provisions mathématiques ...................................................................................................................21

1.1. Calcul de la PM invalidite .................................................................................................................22

1.2. Calcul de la PM incapacité ................................................................................................................22

1.3. Calcul de la PM exonération décès ...................................................................................................23

2. Les provisions pour sinistres tardifs (PSAP) .............................................................................................25

III. La reprise de risques ...................................................................................................................................26

1. Aspects réglementaires ..............................................................................................................................26

1.1. La loi EVIN .......................................................................................................................................26

1.2. Le transfert des engagements et la réforme des retraites ...................................................................27

2. Tarification ................................................................................................................................................29

2.1. Revalorisation des prestations en cours de service ............................................................................29

2.2. Maintien et aménagement des garanties décès ..................................................................................30

CHAPITRE 2 : LE COUT DE LA REPRISE DE RISQUE .............................................. 35

I. Modélisation de la revalorisation des rentes..............................................................................................35

1. Evolution de l’inflation et des points AGIRC ARRCO .............................................................................35

2. Etude de la corrélation ...............................................................................................................................37

3. Prévision de l’évolution du point AGIRC .................................................................................................40

II. Tarification du maintien des garanties décès ............................................................................................41

1. Etude de la mortalité des assurés en arrêt de travail ..................................................................................41

1.1. Présentation de la base de données....................................................................................................41

1.2. Estimation des taux bruts ..................................................................................................................43

1.3. Lissage des taux par la méthode de Whittaker-Henderson ................................................................45

1.4. Etude de la surmortalité par rapport à la population générale ...........................................................48

2. Calcul de la prime unique de reprise de risque ..........................................................................................54

2.1. Définition des garanties décès ...........................................................................................................54

6

2.2. Calcul d’une prime unique moyenne .................................................................................................54

2.3. Mutualisation des petites entreprises .................................................................................................56

3. Conclusion .................................................................................................................................................58

CHAPITRE 3 : MESURE DE L’ANTISELECTION ........................................................ 59

I. Présentation des données ............................................................................................................................59

1. Constitution de la base de données ............................................................................................................59

1.1. Les cotisations ...................................................................................................................................59

1.2. Les prestations ...................................................................................................................................60

1.3. Retraitement des données ..................................................................................................................60

1.4. Création de nouvelles variables .........................................................................................................61

2. Statistiques descriptives du portefeuille ....................................................................................................62

2.1. Population assurée .............................................................................................................................62

2.2. Répartition des salariés selon l’âge et le sexe ...................................................................................63

2.3. Répartition des salariés selon les niveaux de garanties .....................................................................63

II. Modélisation de la fréquence des sinistres .................................................................................................65

1. L’antisélection et la fréquence de consommation ......................................................................................65

1.1. Généralités ........................................................................................................................................65

1.2. Analyse de la fréquence de consommation .......................................................................................66

2. Détermination des variables significatives par le test du Khi-Deux ..........................................................70

3. Les modèles linéaires généralisés ..............................................................................................................73

3.1. La composante aléatoire ....................................................................................................................73

3.2. La composante déterministe ..............................................................................................................74

3.3. La fonction de lien ............................................................................................................................75

4. Paramétrage des variables tarifaires ..........................................................................................................76

4.1. Segmentation de la variable « Région » ............................................................................................76

4.2. Calibrage des variables .....................................................................................................................77

5. Loi statistique pour la fréquence................................................................................................................79

5.1. La loi de Poisson ...............................................................................................................................79

5.2. La loi Binomiale Négative ................................................................................................................79

5.3. Ajustement des lois et comparaison ..................................................................................................80

6. Détermination des variables significatives par le test du rapport de vraisemblance ..................................82

7. Résultats et interprétation ..........................................................................................................................83

8. Validation du modèle ................................................................................................................................85

8.1. Déviance............................................................................................................................................85

8.2. Etude des résidus ...............................................................................................................................85

III. Application des coefficients de majoration ................................................................................................87

CONCLUSION ....................................................................................................................... 89

LISTE DES ABREVIATIONS ............................................................................................. 91

BIBLIOGRAPHIE ................................................................................................................. 93

ANNEXES ............................................................................................................................... 95

7

LISTE DES TABLEAUX

TABLEAU 1 : ETALEMENT DU PROVISIONNEMENT SUITE A LA REFORME DES RETRAITES ........................................27

TABLEAU 2 : VALEURS DES POINTS AGIRC ARRCO ENTRE 2000 ET 2016 ............................................................35

TABLEAU 3 : PREVISIONS DE L’INFLATION ET DE L’EVOLUTION DU POINT AGIRC .................................................40

TABLEAU 4 : TAUX DE MORTALITE DES ASSURES EN INCAPACITE ...........................................................................48

TABLEAU 5 : TAUX DE MORTALITE DE LA POPULATION GENERALE (TABLE ALLIANZ) ............................................48

TABLEAU 6 : COEFFICIENTS DE SURMORTALITE POUR L’INCAPACITE .....................................................................49

TABLEAU 7 : TAUX DE MORTALITE DE LA POPULATION EN INCAPACITE (TABLE BCAC) ........................................49

TABLEAU 8 : COMPARAISON DU TAUX DE MORTALITE D’EXPERIENCE AVEC LA LOI DE MORTALITE INCAPACITE DU

BCAC ............................................................................................................................................................49

TABLEAU 9 : TAUX DE MORTALITE DES ASSURES EN INVALIDITE ...........................................................................51

TABLEAU 10 : TAUX DE MORTALITE DE LA POPULATION GENERALE (TABLE ALLIANZ) ..........................................51

TABLEAU 11 : COEFFICIENTS DE SURMORTALITE POUR L’INVALIDITE ....................................................................51

TABLEAU 12 : TAUX DE MORTALITE DE LA POPULATION EN INVALIDITE (BCAC) ..................................................52

TABLEAU 13 : COMPARAISON DES QX AVEC LA LOI DE MORTALITE INVALIDITE DU BCAC ...................................52

TABLEAU 14 : DEFINITION DES GARANTIES DECES SELON LA CATEGORIE SOCIO-PROFESSIONNELLE ......................54

TABLEAU 15 : REPARTITION DES ASSURES SELON LA FORMULE SOUSCRITE ............................................................62

TABLEAU 16 : TABLE DE CONTINGENCE POUR LA VARIABLE "SEXE" ......................................................................71

TABLEAU 17 : RESULTATS DU TEST D’INDEPENDANCE DU KHI-DEUX POUR LA FREQUENCE...................................71

TABLEAU 18 : DISTRIBUTIONS APPARTENANT A LA FAMILLE EXPONENTIELLE .......................................................74

TABLEAU 19 : DEFINITION DES VARIABLES DE REFERENCE .....................................................................................77

TABLEAU 20 : RESULTATS DU TEST DU RAPPORT DE VRAISEMBLANCE POUR LA FREQUENCE .................................82

TABLEAU 21 : RESULTATS DU GLM POUR LA FREQUENCE .....................................................................................83

TABLEAU 22 : BAREME DE COEFFICIENTS D’ANTISELECTION..................................................................................87

TABLEAU 23 : COEFFICIENTS DE MAJORATION DU TARIF EN CAS DE MUTUALISATION ............................................87

8

9

TABLE DES FIGURES

FIGURE 1 : LA HIERARCHIE DES NORMES APPLICABLES A L’ENTREPRISE ................................................................15

FIGURE 2 : FONCTIONNEMENT D'UN CONTRAT COLLECTIF ......................................................................................17

FIGURE 3 : EVOLUTION DU POINT AGIRC ET DU TAUX D'INFLATION ......................................................................36

FIGURE 4 : AJUSTEMENT DES RESIDUS A UNE LOI NORMALE ...................................................................................39

FIGURE 5 : REPARTITION DES ARRETS DE TRAVAIL SELON L’AGE A LA SURVENANCE .............................................42

FIGURE 6 : REPARTITION DES SINISTRES SELON LE MOTIF DE L’ARRET DE TRAVAIL ................................................43

FIGURE 7 : LOI BRUTE DE MORTALITE DES ASSURES EN INCAPACITE ......................................................................44

FIGURE 8 : LOI BRUTE DE MORTALITE DES ASSURES EN INVALIDITE .......................................................................45

FIGURE 9 : LISSAGE DES TAUX BRUTS POUR L’INCAPACITE (TRANCHE 25-40 ANS) .................................................46

FIGURE 10 : LISSAGE DES TAUX BRUTS POUR L’INCAPACITE (TRANCHE 41-50 ANS) ...............................................46

FIGURE 11 : LISSAGE DES TAUX BRUTS POUR L’INCAPACITE (TRANCHE 51-60 ANS) ...............................................46

FIGURE 12 : LISSAGE DES TAUX BRUTS POUR L’INVALIDITE (TRANCHE 25-40 ANS) ................................................47



FIGURE 15 : COMPARAISON DES TAUX LISSES POUR L’INCAPACITE (TRANCHE 25-40 ANS) .....................................50



FIGURE 18 : COMPARAISON DES TAUX LISSES POUR L’INVALIDITE (TRANCHE 25-40 ANS) ......................................52



FIGURE 21 : REPARTITION DE LA POPULATION ASSUREE .........................................................................................62

FIGURE 22 : REPARTITION DES SALARIES SELON L'AGE ET LE SEXE .........................................................................63

FIGURE 23 : NIVEAU DE GARANTIE MOYEN SOUSCRIT PAR TRANCHE D'AGE ............................................................63

FIGURE 24 : NOMBRE MOYEN DE RENFORTS SOUSCRITS SELON LA CLASSE D'AGE ..................................................64

FIGURE 25 : REPARTITION DES ENTREPRISES SELON LE NOMBRE DE SALARIES .......................................................66

FIGURE 26 : NOMBRE D'ASSURES RENFORCES SELON LA TAILLE DE L'ENTREPRISE ..................................................66

FIGURE 27 : FREQUENCE DE CONSOMMATION SELON LE NIVEAU MOYEN DES GARANTIES ......................................67

FIGURE 28 : FREQUENCE DE CONSOMMATION PAR POSTES ET NIVEAUX DE GARANTIES ..........................................68

FIGURE 29 : EVOLUTION DE LA FREQUENCE DES SINISTRES SELON L'AGE ...............................................................69

FIGURE 30 : EVOLUTION DE LA FREQUENCE SELON LA FORMULE SOUSCRITE ..........................................................69

FIGURE 31 : EVOLUTION DU COUT MOYEN SELON LA REGION .................................................................................76

FIGURE 32 : AJUSTEMENT DE LA FREQUENCE PAR LES LOIS DE POISSON ET BINOMIALE NEGATIVE .......................80

FIGURE 33 : FONCTIONS DE REPARTITION POUR LA FREQUENCE .............................................................................80

FIGURE 34 : QQ-PLOT DE LA DISTRIBUTION EMPIRIQUE DES FREQUENCES PAR RAPPORT AUX LOIS DE POISSON ET

BINOMIALE NEGATIVE ...................................................................................................................................81

FIGURE 35 : REPRESENTATION DES RESIDUS DE LA DEVIANCE POUR LA FREQUENCE ..............................................86

10

11

INTRODUCTION

La prévoyance collective est un secteur assurantiel en perpétuel mouvement, où la réglementation ne

cesse d’évoluer depuis ces dernières années. Une des réformes majeures fut la remise en cause des

clauses de désignation par le Conseil Constitutionnel en juin 2013. Ces clauses permettaient

d’accorder le monopole à un organisme assureur pour couvrir l’ensemble des entreprises d’une

branche professionnelle en santé et prévoyance. Cela permettait notamment aux petites entreprises

d’accéder à l’assurance plus facilement, selon les mêmes conditions et aux mêmes tarifs que les

grandes entreprises. Ces clauses de désignation ont été remplacées par des clauses de recommandation,

qui ont pour but de recommander un organisme assureur aux entreprises de la branche. Les entreprises

ne sont pas obligées de rejoindre l’organisme recommandé, mais ce dernier est contraint d’accepter

toutes les entreprises de la branche souhaitant le rejoindre.

Les clauses de recommandation permettent aux entreprises de s’assurer ailleurs afin de bénéficier de

tarifs plus intéressants. En revanche, cela crée un vrai problème pour les entreprises ayant un profil

plus risqué (salarié handicapé ou atteint d’une maladie grave), notamment pour les petites entreprises

qui peinent à s’assurer, du fait de leur mutualisation plus restreinte. Ces entreprises, qui ne trouvent

pas à s’assurer ailleurs, rejoignent généralement l’organisme assureur recommandé. Cela crée alors un

éclatement des couvertures qui étaient jusqu’ici mutualisées.

Un réel débat se pose ainsi aujourd’hui en cas de changement d’assureur. Lorsqu’une entreprise

souhaite changer d’assureur et que l’un de ses salariés est en arrêt de travail, si le nouvel assureur

accepte de reprendre le risque, l’ancien assureur transfère ses provisions au nouvel assureur. Ce

dernier doit alors prendre en charge les revalorisations des prestations en cours et tarifer une prime

unique à l’entreprise afin de couvrir le maintien et l’aménagement des garanties décès des personnes

en arrêt de travail. Pour les petites entreprises qui incluent un risque aggravé, ce transfert s’avère

souvent bloquant : du fait de leur petite taille, la mutualisation est plus restreinte sur ces compagnies,

le coût de la reprise est alors particulièrement onéreux.

Ce mémoire consiste à réfléchir à une solution alternative pour la reprise des petites entreprises,

lorsque celles-ci désirent changer d’assureur.

Après avoir présenté les caractéristiques de la prévoyance collective, nous étudierons le coût du

changement d’assureur pour les petites entreprises afin de proposer une autre forme de tarification de

la reprise de risque. Nous verrons que cette alternative que nous proposerons pourra néanmoins avoir

des effets antisélectifs pour l’assureur, c’est pourquoi nous terminerons par une étude sur le traitement

de l’antisélection.

12

13

CHAPITRE 1 : CONTEXTE

I. PRESENTATION DE LA PREVOYANCE COLLECTIVE

La loi EVIN de 1989 définit la prévoyance comme étant : « une opération ayant pour objet la

prévention et la couverture du risque décès, des risques portant à l’intégrité physique de la personne

ou liés à la maternité ou des risques incapacité de travail ou d’invalidité ou du risque chômage ».

Cette partie a pour but de définir les principes fondamentaux de la prévoyance collective. Après avoir

présenté le marché, nous étudierons le contrat de prévoyance collective ainsi que les risques qu’il

couvre.

1. LE MARCHE DE LA PREVOYANCE

Les risques relevant de la prévoyance (incapacité, invalidité, décès) sont couverts par le régime

obligatoire de la Sécurité Sociale et les organismes assureurs complémentaires.

1.1. LA SECURITE SOCIALE

Créée en 1945 sous le gouvernement du Général de Gaulle, le régime général de la Sécurité Sociale a

pour but de protéger les individus contre divers risques associés à la personne (maladie, accident) ou

diverses situations (retraite, famille). Ce régime est financé par répartition, c’est à dire que les

ressources de l’année (cotisations) permettent de verser les prestations de l’année.

En prévoyance, les prestations de base versées par la Sécurité Sociale sont les suivantes :

Incapacité : l’assuré perçoit des indemnités journalières qui dépendent de son salaire et de la

cause de l’arrêt de travail. Si l’arrêt ne résulte ni d’un accident du travail ni d’une maladie

professionnelle, les prestations sont versées selon un délai de carence de 3 jours.

Invalidité : la rente versée par la Sécurité Sociale dépend de la catégorie d’invalidité.

Décès : le capital versé aux ayants-droits est limité à la tranche A et correspond à 3 mois de

salaire.

14

1.2. LES ORGANISMES ASSUREURS

Suite à la création de la Sécurité Sociale, les organismes complémentaires se sont considérablement

développés afin de réduire les charges des assurés. Ces organismes sont divisés en trois catégories : les

mutuelles, les institutions de prévoyance et les sociétés d’assurance.

1.2.1. LES MUTUELLES

Régies par le Code de la Mutualité, les mutuelles sont des groupements à but non lucratif qui,

essentiellement grâce aux cotisations des membres, mènent des actions de prévoyance. L’essentiel de

leur activité réside dans la couverture des frais de santé, elles interviennent plus rarement sur les

garanties de prévoyance lourdes (décès et arrêt de travail). Elles sont contrôlées par les adhérents qui

disposent chacun d’une voix dans le cadre des élections en Assemblée Générale.

1.2.2. LES INSTITUTIONS DE PREVOYANCE

Régies par le livre IX du Code de la Sécurité Sociale, les institutions de prévoyance sont des personnes

morales à but non lucratif. Elles sont administrées paritairement par des membres adhérents (i.e. les

entreprises souscrivant aux contrats) et des membres participants (les salariés bénéficiaires).

L’essentiel de leur activité relève de la prévoyance collective. Elles ont une forte implication dans ce

secteur notamment grâce aux clauses présentes dans les Conventions Collectives.

1.2.3. LES SOCIETES D’ASSURANCE

Régies par le Code des Assurances, les sociétés d’assurance interviennent dans tous les domaines de

l’assurance : Prévoyance, Santé, Assurance de Biens ou encore Retraite. Elles peuvent prendre deux

formes juridiques :

Société Anonyme

Société d’Assurance Mutuelle : elles sont gérées par leur sociétaires par le biais d’élections, et

qui revendiquent des valeurs mutualistes

Parmi plus de 300 sociétés d’assurance, seules une vingtaine interviennent régulièrement sur le marché

de la Prévoyance.

15

1.3. LES OBLIGATIONS LEGALES ET CONVENTIONNELLES EN MATIERE DE

PROTECTION SOCIALE

Pour mettre en place un régime collectif de prévoyance, l’organisme assureur doit tenir compte de la

convention collective de la branche professionnelle.

Une convention collective est un accord conclu entre les partenaires sociaux (organisations syndicales

des employeurs et des salariés), qui vise à instaurer un régime collectif pour les salariés d’une même

branche ou d’un même secteur d’activité. Elle permet de traiter de façon égalitaire les entreprises et les

salariés d’une même branche professionnelle.

En matière de prévoyance, les conventions collectives fixent les montants minimum des cotisations et

des prestations, préalablement négociées auprès d’un organisme assureur. Pour toute négociation ou

modification d’un régime de prévoyance, il est nécessaire pour l’organisme assureur de passer par ces

conventions collectives.

Par ailleurs, il existe des accords interprofessionnels qui imposent une même réglementation à

plusieurs secteurs d’activités. Par exemple, par l’accord du 14 mars 1947, la CCN des Cadres

(Convention Collective Nationale des Cadres) impose l’obligation pour les salariés cadres et assimilés

cadres de cotiser à un régime de prévoyance pour lequel l’employeur doit verser une cotisation égale à

1,50% de la tranche A du salaire (plafond fixé pour les cotisations de la Sécurité Sociale).

La hiérarchie des normes peut se résumer de la manière suivante :

Figure 1 : La hiérarchie des normes applicables à l’entreprise

Loi

Accord interprofessionnel

Convention collective et accord collectif

Accord d'entreprise ou d'établissement

Règlement intérieur

Contrat de travail individuel des salariés

16

Aujourd’hui, la diversité des conventions collectives complique la mise en place des régimes de

prévoyance pour les organismes assureurs. En effet, l’organisme assureur est limité car il n’est pas le

seul décideur de la modification du régime et il ne peut refuser d’assurer les entreprises de la branche.

Enfin, suite au remplacement des clauses de désignation par des clauses de recommandation en juin

2013 par le Conseil Constitutionnel, les entreprises d’une même branche professionnelle ne sont plus

obligées de rejoindre l’organisme assureur prévu par l’accord de branches et peuvent choisir de

s’assureur ailleurs. En revanche, l’organisme assureur est tenu d’assurer toute entreprise de la branche

désirant le rejoindre. Cela permet aux entreprises les moins risquées de s’assureur ailleurs afin de

bénéficier de tarifs plus intéressants. En revanche, cela pose un vrai problème pour l’organisme

assureur recommandé car il se retrouve à couvrir les mauvais risques qui peinent à s’assureur ailleurs.

17

2. LE CONTRAT D’ASSURANCE DE GROUPE

Selon l’article L. 141-1 du Code des Assurances, un contrat d’assurance de groupe est un contrat

souscrit par une personne morale ou un chef d’entreprise, qui permet de couvrir l’ensemble des

membres d’un groupe. En prévoyance, le contrat collectif permet ainsi à un employeur de faire

bénéficier à l’ensemble de ses salariés d’une couverture complémentaire en cas d’arrêt de travail ou de

décès. Il fait intervenir quatre parties :

La compagnie d’assurance : organisme auprès duquel est souscrit le contrat d’assurance, il

perçoit les cotisations et verse les prestations

Le souscripteur (l’employeur) : personne morale qui signe le contrat auprès de l’assureur et verse

une partie des cotisations

L’adhérent (le salarié) : il appartient au groupe assurable, verse une partie des cotisations et

bénéficie des garanties du contrat

Le bénéficiaire : il perçoit les prestations, il peut être le salarié assuré, l’un de ses ayants droits

(enfants, conjoint) ou un tiers désigné (en cas de décès)

En assurance collective, l’adhésion au contrat peut être :

Obligatoire : tous les individus appartenant au groupe sont dans l’obligation d’adhérer au contrat

d’assurance

Facultative : les individus du groupe ont le libre choix d’adhérer ou non au contrat d’assurance

Le fonctionnement d’un contrat groupe peut se résumer de la manière suivante :

Figure 2 : Fonctionnement d'un contrat collectif

Organisme assureur

Salarié (assuré et bénéficiaire)

Employeur

Versement des

prestations

Règlement d’une

partie des cotisations

Souscription

du contrat

18

3. LES RISQUES COUVERTS

3.1. RISQUE DECES

La couverture du risque décès consiste à verser des prestations aux bénéficiaires du contrat en cas de

décès de l’assuré. Il existe deux formes de prestations : les prestations en capital (capital décès) et les

prestations en rentes (rentes de conjoint et rentes éducation).

3.1.1. CAPITAL DECES

Le capital décès est versé - sous forme d’un versement unique - aux bénéficiaires du contrat en cas de

décès de l’assuré. Le montant de ce capital est exprimé selon un pourcentage du salaire annuel brut de

l’assuré.

Ce capital peut être accompagné de garanties annexes :

Garantie frais d’obsèques : versement d’un capital afin de couvrir les frais d’obsèques en cas

de décès de l’assuré ou d’un membre de sa famille ;

Majoration en cas de décès accidentel : versement de capitaux annexes en cas de décès par

accident ou en cas de décès simultané de l’assuré et de son conjoint ;

Garantie « double-effet » : versement d’un capital aux enfants à charge en cas de décès du

conjoint survivant ;

Capital « prédécès » du conjoint.

3.1.2. RENTE DE CONJOINT

La rente de conjoint est une rente versée au conjoint survivant du salarié décédé, afin de compenser la

disparition de revenu immédiat et/ou différé au sein de la famille. Cette rente peut être versée en

complément du capital décès, sous forme viagère et/ou temporaire.

La rente de conjoint viagère complète les droits effectivement acquis par l’assuré avant son décès

par ceux qu’il aurait dû obtenir au terme de sa carrière. Elle est généralement calculée en fonction du

salaire annuel brut de l’assuré décédé, et d’un pourcentage de la différence entre l’âge de la retraite et

l’âge de l’assuré au moment du décès.

19

La rente de conjoint temporaire (ou rente relais) est versée afin de compenser la perte de revenu à

partir du moment du décès de l’assuré, jusqu’au versement de la pension de réversion des régimes de

retraite obligatoires (Sécurité Sociale, AGIRC, ARRCO). Elle est généralement calculée en fonction

du salaire annuel brut de l’assuré décédé, et d’un pourcentage de la différence entre l’âge de l’assuré

au moment du décès et l’âge par défaut d’entrée en activité (25 ans).

3.1.3. RENTE EDUCATION

La rente éducation est une rente temporaire versée aux enfants à charge de l’assuré décédé. Cette rente

est généralement calculée au prorata du dernier salaire de l’assuré. A partir d’un certain âge, elle peut

dépendre de la poursuite d’études du bénéficiaire.

Le montant de la rente peut être constant ou exprimé par paliers en fonction de l’âge du bénéficiaire.

Par exemple, la rente versée peut être égale à :

12% du salaire jusqu’à 11 ans ;

18% du salaire de 12 à 17 ans ;

24% du salaire de 18 à 21 ans ou 26 ans (si poursuite d’études).

3.2. RISQUE ARRET DE TRAVAIL

L’arrêt de travail comprend deux types de risques : l’incapacité temporaire et l’invalidité permanente

de travail.

3.2.1. INCAPACITE TEMPORAIRE DE TRAVAIL

Un assuré est considéré en état d’incapacité s’il est totalement incapable d’exercer son activité

professionnelle, suite à une maladie ou un accident (privé ou professionnel). Cet état d’incapacité est

constaté par le médecin traitant.

En complément des prestations versées par le régime général de la Sécurité Sociale, les organismes

complémentaires versent des indemnités journalières, calculées selon un pourcentage du salaire de

l’assuré.

20

Les motifs de sortie de l’état d’incapacité sont le rétablissement, le passage en invalidité, et le décès.

La durée maximale de l’état d’incapacité est de 3 ans. Au terme de ces 3 ans, si l’assuré est toujours en

incapacité, il passe automatiquement en invalidité.

3.2.2. INVALIDITE PERMANENTE DE TRAVAIL

Pour être considéré en état d’invalidité, l’assuré doit présenter une réduction d’au moins 2/3 de sa

capacité de travail ou de gain.

Selon l’article L. 341-4 du Code de la Sécurité Sociale, l’invalidité est divisée en trois catégories :

1ère

catégorie : invalides capables d’exercer une activité rémunérée ;

2ème

catégorie : invalides incapables d’exercer une activité quelconque ;

3ème

catégorie : invalides incapables d’exercer une profession quelconque, et qui sont dans

l’obligation d’avoir recours à l’assistance d’une tierce personne pour effectuer les actes

ordinaires de la vie.

Le montant de la rente d’invalidité est calculé en fonction de la catégorie d’invalidité définie par la

Sécurité Sociale.

21

II. PROVISIONNEMENT DU RISQUE ARRET DE TRAVAIL

1. LES PROVISIONS MATHEMATIQUES

La provision mathématique est une réserve financière permettant à la compagnie d’assurance

d’assumer ses engagements contractuels à long terme vis-à-vis de ses clients. Elle est définie dans le

l’article R331-3 du Code des Assurances comme étant « la différence entre les valeurs actuelles des

engagements respectivement pris par l’assureur et par les assurés ».

Les engagements de l’assureur correspondent au montant qui va lui permettre, en tenant compte du

placement financier, de régler mensuellement ou trimestriellement toutes les échéances futures d’une

prestation périodique garantie en cas de réalisation d’un évènement. En prévoyance collective, le seul

engagement des assurés consiste à régler - par l’intermédiaire de leur employeur - les cotisations les

concernant.

En cas d’arrêt de travail d’un assuré, l’assureur doit provisionner le montant qui, placé chaque année

au taux d’intérêt technique réglementaire, lui permettra de verser à chaque échéance les indemnités

quotidiennes et/ou la rente d’invalidité qui sont dues jusqu’à la reprise d’activité, l’attribution par la

sécurité sociale de la pension vieillesse ou d’une pension pour inaptitude, ou le décès de l’assuré.

Les provisions sont calculées selon des méthodes actuarielles, en faisant intervenir le calcul des

probabilités (tables de mortalité) et les mathématiques financières (taux technique). Elles sont

calculées tête par tête, pour chaque bénéficiaire de prestations et prennent en compte les

revalorisations contractuelles prévues pour ces prestations.

Ces provisions sont très encadrées règlementairement, le taux d’intérêt technique et les lois de

maintien à utiliser sont fixés par l’arrêté du 28 mars 1996 :

Le taux d’intérêt technique correspond à 75% de la moyenne des 24 derniers taux moyens des

emprunts d’état (TME), avec un maximum de 4,5%.

Les lois de maintien utilisées en incapacité et invalidité sont celles établies par le BCAC

(Bureau Commun des Assurances Collectives). Ces tables sont établies en fonction de l’âge de

l’assuré et de l’ancienneté de l’arrêt de travail.

22

La provision appliquée à un assuré en arrêt de travail est composée de deux types de provisions :

La provision mathématique incapacité ou invalidité, qui correspond au provisionnement

des prestations périodiques (indemnités quotidiennes et/ou rente d’invalidité)

La provision mathématique dite « d’exonération », qui permet de provisionner le coût du

maintien des garanties décès (c’est-à-dire le montant des garanties exonérées) accordée à

l’assuré y compris après la résiliation du contrat.

1.1. CALCUL DE LA PM INVALIDITE

La PM de maintien en invalidité permet de couvrir l’assuré en arrêt de travail, pour la durée qu’il

risque de passer en invalidité. La formule de calcul de cette provision pour 1€ de rente est la suivante :

( )

∑ (

( )

( ) )

Avec :

« x » : âge de l’assuré au moment de l’entrée en invalidité

« anc » : ancienneté de l’arrêt de travail exprimée en années

« A » : âge maximum de versement de la rente d’invalidité

« i » : taux technique annuel

« » : nombre d’individus d’âge x en invalidité depuis j années (loi de maintien en invalidité

du BCAC)

1.2. CALCUL DE LA PM INCAPACITE

Lorsqu’un assuré est en incapacité, deux types de provisions sont à calculer : la provision de maintien

en incapacité et la provision de passage en invalidité. Les formules qui vont suivre font intervenir les

paramètres suivants :

« x » : âge de l’assuré au moment de l’entrée en incapacité

« anc » : ancienneté de l’arrêt de travail exprimée en mois

« D » : durée maximale de l’incapacité exprimée en mois (soit 36 mois)

« i » : taux technique annuel

« » : nombre d’individus d’âge x en incapacité depuis j mois (loi de maintien en

incapacité du BCAC)

«

» : nombre d’individus d’âge x en incapacité depuis j mois (loi de passage d’incapacité en

invalidité du BCAC)

23

1.2.1. PM DE MAINTIEN EN INCAPACITE POUR 1€ DE RENTE

La provision de maintien en incapacité permet de couvrir l’assuré en arrêt de travail pour la durée qu’il

risque de passer en incapacité. Elle est calculée selon la formule suivante :

( )

∑ (

( )(

)

( )(

))

1.2.2. PM DE PASSAGE EN INVALIDITE POUR 1€ DE RENTE

La provision de passage en invalidité (ou provision d’invalidité en attente) est constituée afin de

couvrir le risque que l’assuré en incapacité devienne invalide. Cette provision est calculée de la façon

suivante :

( )

∑ (

( )

( )

)

(

)

Où le terme (

) est calculé en effectuant une interpolation linéaire

entre ( [

] ) et ( [

] ).

1.3. CALCUL DE LA PM EXONERATION DECES

La provision d’exonération des garanties décès est constituée afin de couvrir le risque de décès des

assurés en arrêt de travail (incapacité et invalidité).

1.3.1. PM EXONERATION DECES POUR LES ASSURES EN INVALIDITE

Elle correspond à la provision du maintien des garanties décès pour la période que l’assuré risque de

passer en invalidité. La formule de calcul de cette provision pour 1€ de rente est la suivante :

( ) ∑ (

( )

)

24

Avec :

« x » : âge de l’assuré au moment de l’entrée en invalidité

« anc » : ancienneté de l’arrêt de travail exprimée en années

« A » : âge maximum de versement de la rente d’invalidité

« i » : taux technique

« » : nombre d’individus d’âge x en invalidité depuis j années (loi de maintien en invalidité

du BCAC)

« » : taux de mortalité d’un individu d’âge x en invalidité depuis j mois

1.3.2. PM EXONERATION DECES POUR LES ASSURES EN INCAPACITE

Pour provisionner le maintien des garanties décès des assurés en incapacité, comme vu précédemment,

nous distinguons l’incapacité en cours et l’invalidité en attente. Cette provision est calculée grâce à la

formule suivante :

( ) ∑ (

(

))

( )

Avec :

« x » : âge de l’assuré au moment de l’entrée en incapacité

« anc » : ancienneté de l’arrêt de travail exprimée en mois

« D » : durée maximale de l’incapacité exprimée en mois (soit 36 mois)

« i » : taux technique

« » : nombre d’individus d’âge x en incapacité depuis j mois (loi de maintien en

incapacité du BCAC)

« » : taux de mortalité d’un individu d’âge x en incapacité depuis j mois

25

2. LES PROVISIONS POUR SINISTRES TARDIFS (PSAP)

La Provision pour Sinistres A Payer est une provision constituée afin de matérialiser le montant des

prestations au titre des sinistres survenus au cours des exercices antérieurs et non encore versés à la

date d’inventaire (IBNR : Incurred But Not Reported). Elle est calculée par exercice de survenance.

La méthode couramment utilisée pour modéliser la PSAP consiste à étudier les triangles historiques de

liquidation (méthode Chain Ladder).

26

III. LA REPRISE DE RISQUES

En prévoyance, on parle de reprise de risques en cours lorsqu’il existe une prestation en cours de

versement ou susceptible d’être versée au moment de la date d’effet d’un contrat ou de sa

transformation, avec ou sans amélioration des garanties existantes.

Cette partie a pour but de présenter les principes de reprises de sinistres en cours, lorsque l’entreprise

souhaite changer d’organisme assureur. Nous commencerons par nous concentrer sur les aspects

réglementaires de la reprise de risques et du transfert des provisions, puis nous présenterons les

principes de tarification de cette reprise.

1. ASPECTS REGLEMENTAIRES

1.1. LA LOI EVIN

Selon la loi EVIN du 08/08/1994 (article L912-3 du code de la Sécurité Sociale) : « Lorsque la

convention, l’accord ou la décision unilatérale constatée par un écrit relevant de l’article L. 911.1

prévoient la couverture, sous forme de rente, du décès, de l’incapacité de travail ou de l’invalidité,

ils organisent également, en cas de changement d’organisme d’assurance (…), la poursuite de la

revalorisation des rentes en cours de service. »

En cas de changement d’assureur, cette législation impose à l’employeur d’organiser la poursuite des

revalorisations des prestations en cours de service à la date de résiliation du contrat, soit auprès de

l’ancien assureur, soit auprès du nouveau. Par prestations en en cours nous entendons : les rentes de

conjoint, les rentes éducation, les indemnités journalières et les rentes d’invalidité. L’assureur, au titre

de la loi EVIN, n’est engagé à poursuivre le versement des prestations périodiques qu’à leur niveau

atteint au moment de la résiliation du contrat d’assurance.

Cette loi impose également à l’employeur de veiller à la revalorisation du traitement de référence en ce

qui concerne le maintien des garanties en cas de décès pour les assurés en arrêt de travail.

La loi du 14 juillet 2001 complète la loi EVIN en précisant que le risque décès doit inclure une clause

de maintien de la garantie décès en cas d’incapacité ou d’invalidité, même après la résiliation ou le

non-renouvellement du contrat.

27

1.2. LE TRANSFERT DES ENGAGEMENTS ET LA REFORME DES RETRAITES

La loi n° 2010-1330 du 9 novembre 2010 portant sur la réforme des retraites évoque un prolongement

de 2 ans de l’âge légal de départ à la retraite. Cette loi oblige les assureurs à verser des prestations, au

titre des garanties incapacité et invalidité, deux années en plus. A partir des comptes de résultats

établis au titre de l’exercice 2010, les assureurs disposent d’une période transitoire de 6 ans maximum

pour constituer les provisions manquantes.

1.2.1. ETALEMENT DU PROVISIONNEMENT NECESSAIRE

L’étalement des provisions nécessaires tient compte de l’évolution des taux selon la règlementation en

vigueur.

Au 31/12/2010 les provisions sont calculées selon un âge de départ à la retraite à 60 ans, sauf pour la

génération 1951, pour laquelle l’âge de départ à la retraite est de 60 ans et 4 mois.

A partir de 2011, le montant de l’engagement supplémentaire provisionné doit être égal au montant

résultant d’un étalement linéaire :

Période Engagement supplémentaire

Fin 2011 20% * (PM62ans – PM60ans)

Fin 2012 40% * (PM62ans – PM60ans)

Fin 2013 60% * (PM62ans – PM60ans)

Fin 2014 80% * (PM62ans – PM60ans)

Fin 2015 100% * (PM62ans – PM60ans)

Tableau 1 : Etalement du provisionnement suite à la réforme des retraites

1.2.2. L’INDEMNITE DE RESILIATION

En cas de résiliation pendant la période transitoire, le souscripteur (l’entreprise) doit verser une

indemnité de résiliation à son ancien assureur afin de couvrir la hausse des engagements induite par le

prolongement de 2 ans.

L’indemnité de résiliation correspond à la différence entre le montant des provisions techniques

permettant de couvrir intégralement les engagements en application des articles 7 et 7.1 de la loi EVIN,

et le montant des provisions techniques effectivement constitué au titre des arrêts en cours, à la date de

rupture du contrat.

28

Prenons l’exemple d’une entreprise dans laquelle 3 assurés, nés en 1951, 1955 et 1960, sont en arrêt de

travail. L’indemnité de résiliation (IR) au 31/12/2010 est calculée de la façon suivante :

Génération 1951 : IR = 0

Génération 1955 : IR = (engagement à 61 ans et 8 mois) – (engagement à 60 ans)

Génération 1960 : IR = (engagement à 62 ans) – (engagement à 60 ans)

Pour les reprises de contrats entre le 1er janvier 2011 et le 31 décembre 2015, l’ancien assureur peut

également transférer les provisions mathématiques au nouvel assureur, si ce dernier accepte le transfert.

Dans ce cas, l’entreprise ne paie pas d’indemnité de résiliation. Dès la prise d’effet du contrat, le

nouvel assureur doit alors constituer les provisions mathématiques avec le nouvel âge de départ à la

retraite en vigueur.

La différence de provisions mathématiques nécessaires est réclamée sous forme d’une prime unique à

la date d’effet du contrat. Cette prime peut être lissée sur plusieurs exercices avec une clause spéciale

au contrat en cas de résiliation avant la fin de la période d’étalement. Dans ce cas, la prime est

exprimée sous forme de pourcentage de la masse salariale du contrat de référence.

29

2. TARIFICATION

Cette partie a pour but de présenter les méthodes de tarification lorsque le nouvel assureur accepte de

reprendre la charge des sinistres en cours de l’ancien assureur.

Lors de la reprise de risques, il convient de tarifer :

les revalorisations des prestations et rentes en cours de service

le maintien des garanties décès et l’éventuel aménagement des garanties des personnes en arrêt

de travail

Afin que le nouvel assureur puisse tarifer cette reprise, il doit réclamer à l’entreprise les éléments

suivants concernant les sinistres en cours :

La date de naissance de l’assuré en arrêt de travail

La date de l’arrêt initial

Le motif de l’arrêt (arrêt de travail, maladie, maternité,…)

La date de passage en invalidité et la catégorie d’invalidité

Le montant du salaire

Le montant de la prestation et/ou de la rente en cours

La masse salariale de l’entreprise

La situation familiale (situation matrimoniale et nombre d’enfants)

La catégorie socio-professionnelle

La date de naissance du conjoint et des enfants

Le niveau des garanties concernées par le calcul de reprise

2.1. REVALORISATION DES PRESTATIONS EN COURS DE SERVICE

Le coût des revalorisations des prestations en cours de service à la date de reprise (indemnités

journalières, rentes d’invalidité, rentes de conjoint, rentes éducation) correspond à la provision

mathématique nécessaire pour garantir la revalorisation de l’année. Cette charge est évaluée par une

prime annuelle incluse dans le tarif sous forme de taux de cotisation, en tenant compte de la masse

salariale.

30

Elle est calculée tête par tête, et correspond au coût moyen des revalorisations des cinq années qui

suivent la reprise du contrat :

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Les formules de tarification font intervenir :

le taux de revalorisation (t) : les revalorisations correspondent à la moyenne des évolutions

des points AGIRC et ARRCO sur les 5 dernières années.

le coefficient de PM, qui correspond à la provision mathématique pour 1 € de prestation

annuelle en incapacité/invalidité ou rente de conjoint/éducation. Le calcul du coefficient tient

compte du taux technique en vigueur au moment de la reprise et des chargements de gestion.

Le coefficient de PM est donné pour une ancienneté de travail en années (et non en mois). Pour les

personnes en incapacité depuis moins de 6 mois, ceci induit une surestimation du coefficient de PM (et

donc de la durée probable de versement de la prestation). Pour palier cela, nous faisons appel à des

abattements qui vont dépendre de l’ancienneté de l’arrêt de travail :

( )

Le taux d’abattement appliqué est de 14% pour les personnes en arrêt de travail depuis moins d’un an,

et nul dans les autres cas.

2.2. MAINTIEN ET AMENAGEMENT DES GARANTIES DECES

Lors de la reprise, le nouvel assureur réclame généralement une prime unique à l’entreprise. Cette

prime lui permet de financer l’engagement du maintien des garanties décès pour les personnes en arrêt

31

de travail, mais aussi le différentiel de leurs prestations en cas de proposition d’un nouveau régime

comprenant des aménagements de garanties.

La prime unique correspond ainsi au montant de la provision mathématique nécessaire afin de couvrir,

pour les personnes en arrêt de travail, la cotisation de leurs garanties décès ainsi que la hausse de leurs

prestations en cas d’aménagement des garanties. Elle est évaluée en prenant la somme des coûts

individuels. Si son montant est trop important, elle peut être étalée sur 2 ou 3 ans (elle est dans ce cas

exprimée en fonction du salaire).

Exemple :

Prenons le cas d’une entreprise dans laquelle un salarié né le 01/01/1970 est en arrêt de travail depuis

le 01/01/2014. Il a une femme née le 01/01/1973 et une fille née le 01/01/2000. L’entreprise souhaite

changer d’assureur. Le nouvel assureur qui reprend le risque au 01/01/2016 propose un nouveau

régime qui comprend :

Une amélioration de la garantie arrêt de travail qui passe de 70% à 80% du salaire, qui

représente une prestation supplémentaire de 5 000 €/an

La mise en place d’une rente éducation fixe de 5 000 €/an

La mise en place d’une rente de conjoint viagère de 5 000 €/an

Le nouvel assureur doit calculer les engagements nécessaires afin de couvrir ces prestations et

garanties supplémentaires. Pour cet assuré en arrêt de travail, il calcule ainsi la PM incapacité et la PM

exonération de chaque garantie décès. L’assureur doit procéder ainsi pour l’ensemble des arrêts en

cours. Cela lui permettra de déterminer la prime unique à réclamer à l’entreprise

La prime unique peut alors se définir selon la formule suivante :

Avec :

: provision de l’incapacité ou de l’invalidité

: provision de maintien de la garantie capital décès

: provision de maintien de la garantie rente éducation

: provision de maintien de la garantie rente de conjoint viagère

: provision de maintien de la garantie rente de conjoint temporaire

32

Un outil permet de calculer les engagements au 1er euro des garanties incapacité et invalidité, ainsi que

du maintien des garanties décès, selon les formules décrites dans la partie II.1.

Le montant total des engagements des garanties incapacité et invalidité correspond au montant de la

PM incapacité/invalidité au 1er euro multiplié par le montant de la rente versée.

Pour obtenir le montant total des engagements du maintien de chaque garantie décès, il convient de

multiplier le montant de la PM exonération décès au 1er euro par le capital sous risque. Pour la garantie

décès en capital, le capital sous risque équivaut au capital décès garanti. Pour les garanties rentes

éducation et rentes de conjoint, il correspond au capital constitutif de la rente, soit à la valeur actuelle

probable de verser la rente tant que le bénéficiaire est en vie et que la garantie est acquise.

Les formules ci-dessous permettent de calculer le capital sous risque d’une rente de conjoint.

Cas d’une rente de conjoint viagère :

∑ (

( ) )

Cas d’une rente de conjoint temporaire :

∑ (

( ) )

Avec :

: montant de la rente de conjoint temporaire ou viagère

: âge du bénéficiaire (conjoint)

: âge limite de la garantie

: taux technique

: nombre d’individus d’âge x dans les tables TGH05 (hommes) et TGF05 (femmes) du

BCAC

33

Le capital sous risque d’une rente éducation est défini par la formule suivante :

∑ (

( ) )

Avec :

: montant de la rente éducation

: âge des bénéficiaires (enfants)

: taux technique

: âge limite de versement de la rente éducation

: nombre d’individus d’âge x dans les tables TGH05 (hommes) et TGF05 (femmes) du

BCAC

: nombre d’individus d’âge x dans la loi de poursuite d’études

34

35

CHAPITRE 2 : LE COUT DE LA REPRISE DE RISQUE

I. MODELISATION DE LA REVALORISATION DES RENTES

Les revalorisations des rentes versées en cas d’arrêt de travail tiennent compte de certains paramètres

économiques comme l’inflation des prix à la consommation et l’évolution des points AGIRC et

ARRCO. Dans cette partie, nous allons étudier ces facteurs économiques afin d’évaluer le coût des

revalorisations futures.

1. EVOLUTION DE L’INFLATION ET DES POINTS AGIRC ARRCO

Les prestations des arrêts en cours au moment de la reprise sont revalorisées selon un coefficient

calculé par rapport à l’évolution des points de retraite AGIRC et ARRCO.

L’ARRCO (Association pour le Régime de Retraite Complémentaire des salariés) pilote le régime de

retraite complémentaire de l’ensemble des salariés du secteur privé, peu importe leur statut (cadres,

ouvriers, techniciens, employés, agents de maîtrise). L’AGIRC (Association Générale des Institutions

de Retraite Complémentaire des cadres) pilote le régime de retraite complémentaire des salariés cadres.

Le tableau ci-dessous représente les valeurs des points AGIRC et ARRCO de entre 2000 et 2016.

Année Valeur du point ARRCO Valeur du point AGIRC

2000 1,0171 0,3596

2001 1,0364 0,3678

2002 1,0530 0,3737

2003 1,0698 0,3796

2004 1,0886 0,3862

2005 1,1104 0,3940

2006 1,1287 0,4005

2007 1,1480 0,4073

2008 1,1648 0,4132

2009 1,1799 0,4186

2010 1,1884 0,4216

2011 1,2135 0,4233

2012 1,2414 0,4330

2013 1,2513 0,4352

2014 1,2513 0,4352

2015 1,2513 0,4352

2016 1,2513 0,4352

Tableau 2 : Valeurs des points AGIRC ARRCO entre 2000 et 2016

36

Nous pouvons remarquer que les points de retraite n’ont pas évolué depuis 2013.

Afin de tenir compte du pouvoir d’achat, les points AGIRC et ARRCO sont généralement indexés

selon l’inflation des prix à la consommation. Le graphique ci-dessous présente l’évolution de la valeur

du point AGIRC ainsi que l’inflation, de 1980 à 2015 :

Figure 3 : Evolution du point AGIRC et du taux d'inflation

Nous pouvons remarquer que le taux d’inflation de l’indice des prix à la consommation et le taux de

croissance du point AGIRC évoluent de manière similaire. Nous pouvons alors supposer qu’il existe

une relation linéaire entre ces deux facteurs économiques. La partie suivante consistera à étudier la

corrélation de ces deux paramètres.

0,0%

2,0%

4,0%

6,0%

8,0%

10,0%

12,0%

14,0%

16,0%

Tau

x

Années

Taux d'inflation Point AGIRC

37

2. ETUDE DE LA CORRELATION

Nous décidons d’étudier le lien entre l’inflation des prix à la consommation et les points AGIRC.

Soit Y la variable correspondant à l’évolution du point AGIRC et X la variable au taux d’inflation. Il

nous faut trouver et tel que . Pour cela, nous allons minimiser la somme des carrés

des écarts entre les observations et le modèle estimé (méthode des moindres carrés).

La formule suivante décrit le critère des moindres carrés :

∑( )

∑( )

En posant ∑ et ∑

les solutions sont déterminées par :

∑

∑

Nous effectuons la régression linéaire grâce au logiciel R et nous obtenons et

. La régression obtenue est alors la suivante :

Afin de vérifier la pertinence de ce modèle, nous allons procéder à l’analyse de la variance. Pour n

observations, on pose :

la variance des définie par √

∑ ( )

la variance des définie par √

∑ ( )

la covariance entre X et Y définie par

∑ ( )( )

Le coefficient de corrélation linéaire entre X et Y est compris entre -1 et 1 et est défini par :

Le coefficient de corrélation obtenu est égal à . Ce coefficient est très proche de 1,

ce qui confirme qu’il existe une forte corrélation entre les taux d’inflation et l’évolution du point

AGIRC.

38

L’équation d’analyse de la variance s’écrit sous la forme suivante :

Avec :

SCE (Somme des Carrés Expliquée) : ∑ ( ) ∑

SCR (Somme des Carrés Résiduelle) : ∑ ( )

SCT (Somme des Carrés Totale) : ∑ ( )

Nous pouvons alors calculer le :

Nous obtenons .

Nous allons maintenant étudier la pertinence du modèle à l’aide du test de Fischer. La statistique de

Fischer est définie de la manière suivante :

( )

( ) ( )

On pose les hypothèses suivantes :

H0 : la variance expliquée est à peu près égale à la variance résiduelle, ce qui signifie que le

facteur explicatif n’a aucun effet ;

H1 : la variance expliquée est supérieure à la variance résiduelle.

La statistique de Fischer est ensuite comparée à la loi de Fischer :

Si ( ) alors on ne rejette pas H0 ;

Si ( ) on rejette H0, ce qui signifie que le facteur explicatif a un impact, le

modèle est donc pertinent.

Nous obtenons . Cette valeur est supérieure au quantile à 95% de la loi de Fischer, ce qui

signifie que le modèle est pertinent.

39

Il nous reste à vérifier les hypothèses suivantes :

La variable explicative a une variance empirique non nulle ;

Les résidus sont homoscédastiques, non auto-corrélés et d’espérance nulle ;

D’après les données, la première hypothèse semble évidente.

Le graphique ci-dessous permet de valider l’hypothèse de normalité des résidus. La 2ème

hypothèse est

alors vérifiée.

Figure 4 : Ajustement des résidus à une loi normale

40

3. PREVISION DE L’EVOLUTION DU POINT AGIRC

Nous rappelons la fonction déterminée dans la partie précédente qui lie l’inflation à l’évolution du

point AGIRC, où représente le taux d’inflation et l’évolution du point AGIRC :

En octobre 2016, la Banque Centrale Européenne a publié une enquête menée auprès de

prévisionnistes professionnels mettant en avant les prévisions de l’inflation jusqu’à 2021. A l’aide de

ces prévisions, la fonction que nous avons déterminée va nous permettre de prédire l’évolution du

point AGIRC pour les prochaines années. Ces prévisions sont illustrées dans le graphique ci-dessous :

Tableau 3 : Prévisions de l’inflation et de l’évolution du point AGIRC

Ces prévisions nous permettent d’anticiper les revalorisations des prestations à tarifer pour les reprises

de risques des années à venir. Jusqu’à aujourd’hui (2016), le taux d’inflation était relativement bas,

l’évolution du point AGIRC était donc nulle, ce qui impliquait que les prestations en cours de service

lors des reprises de risques n’étaient alors pas revalorisées. A compter de 2017, les prévisions nous

montrent que le taux d’inflation tend à remonter. Il en est donc de même pour l’évolution du point

AGIRC. Nous pouvons en déduire que pour les prochaines années, il faudra s’attendre à inclure la

revalorisation des prestations en cours dans le tarif.

0,00%

0,50%

1,00%

1,50%

2,00%

2,50%

3,00%

Taux d'inflation Point AGIRC

41

II. TARIFICATION DU MAINTIEN DES GARANTIES DECES

Le principal enjeu qui intervient lors d’une reprise de risque est la prime unique réclamée à

l’entreprise afin de maintenir les garanties décès des assurés en arrêt de travail. Elle représente un coût

important, surtout pour les petites entreprises pour lesquelles la reprise peut être pénalisante. Dans

cette partie, nous analyserons les modalités de calcul de cette prime en étudiant la mortalité des assurés

en arrêt de travail, puis nous réfléchirons à une solution alternative de financement de cette prime pour

les petites entreprises.

1. ETUDE DE LA MORTALITE DES ASSURES EN ARRET DE TRAVAIL

Lorsque le nouvel assureur accepte le transfert des engagements, la prime unique de reprise de risque

correspond à la provision de maintien de chaque garantie décès. Cette provision est calculée en tenant

compte de la mortalité des personnes en arrêt de travail. En 2002, le BCAC a établi des tables

spécifiques pour les assurés en arrêt de travail (incapacité et invalidité). Nous allons donc, dans cette

partie, étudier la mortalité des assurés en arrêt de travail de notre portefeuille, afin de la comparer avec

la mortalité classique et les tables du BCAC.

1.1. PRESENTATION DE LA BASE DE DONNEES

1.1.1. PERIMETRE DE L’ETUDE

La base de données comprend l’ensemble des arrêts de travail en gestion interne Allianz (incapacité et

invalidité) pour lesquels des prestations ont été réglées entre le 01/01/2005 et le 31/12/2015.

Pour chaque arrêt de travail, les variables retenues sont les suivantes :

La date de naissance de l’assuré,

Le type d’arrêt de travail (incapacité ou invalidité),

La date d’entrée en arrêt de travail (elle correspond à la date de survenance du sinistre pour

l’incapacité, et à la date d’entrée en invalidité pour l’invalidité),

La date de la dernière indemnisation,

La date du décès, s’il a lieu,

42

La date de passage en retraite, si elle a lieu

Le motif de l’arrêt de travail,

L’état du sinistre (clos ou en cours).

A partir de ces paramètres, on définit les variables suivantes :

L’âge à l’entrée en arrêt de travail :

o Pour l’incapacité, on retient l’âge de l’assuré à la date de survenance de l’arrêt de travail

o Pour l’invalidité, on retient l’âge de l’assuré à la date d’entrée en invalidité

L’ancienneté de l’arrêt de travail : temps écoulé en arrêt de travail, qui correspond à la

période entre la date d’entrée en arrêt de travail et la date de la dernière indemnisation.

1.1.2. STATISTIQUES DESCRIPTIVES

La base de données comprend 57 509 arrêts de travail, composés de 43 072 incapacités et 14 437

invalidités. Parmi ces arrêts, on comptabilise au total 1 721 décès.

Risque Nombre d’arrêts Nombre de décès

Incapacité temporaire 43 072 876

Invalidité permanente 14 437 845

TOTAL 57 509 1 721

L’ancienneté moyenne passée en incapacité est de 6,2 mois et l’ancienneté moyenne passée en

invalidité est de 7,2 ans. L’âge moyen d’entrée en arrêt de travail est de 44,3 ans, avec un âge moyen

d’entrée en incapacité de 43,2 ans et un âge moyen d’entrée en invalidité de 49,8 ans.

Figure 5 : Répartition des arrêts de travail selon l’âge à la survenance

0

500

1000

1500

2000

2500

Age

43

Nous décidons de classer les arrêts de travail selon trois classes d’âges d’entrée dans le risque : 25-40

ans, 41-50 ans et 51-60 ans.

Sur le diagramme suivant, nous pouvons remarquer que l’arrêt maladie est le motif le plus fréquent

des arrêts de travail.

Figure 6 : Répartition des sinistres selon le motif de l’arrêt de travail

1.2. ESTIMATION DES TAUX BRUTS

1.2.1. ESTIMATEUR DE KAPLAN-MEIER

L’estimateur de Kaplan-Meier permet d’estimer la probabilité de survie dans un état. L’avantage de

cet estimateur est qu’il permet de tenir compte des données censurées. En effet, au 31/12/2015 (date

d’arrêté des données de notre portefeuille), il se trouve que des assurés sont encore en arrêt de travail,

nous ne disposons donc pas des informations les concernant à compter de cet instant : on parle alors de

données censurées à droite.

Nous définissons les notations suivantes :

- : nombre d’assurés en arrêt de travail au moment .

- : nombre de décès des personnes en arrêt de travail au moment .

- : nombre de sorties de l’arrêt de travail pour une raison autre que le décès.

- : nombre de données censurées sur l’intervalle ] ]

La probabilité de décès suite à un arrêt de travail au moment est estimée par :

90%

9%

1%

Maladie

Accident du travail

Autre

44

L’estimateur de Kaplan Meier s’écrit sous la forme suivante :

( ) ∏

Avec .

Cela nous permet ainsi de déterminer les taux de mortalité bruts selon l’âge et l’ancienneté de l’arrêt

de travail :

( ) ∑

∏

1.2.2. LOI DE MORTALITE POUR L’INCAPACITE

Pour chaque tranche d’âge, nous pouvons construire la loi brute de mortalité des personnes en

incapacité en fonction de la période passée dans l’arrêt.

Figure 7 : Loi brute de mortalité des assurés en incapacité

La mortalité des personnes en incapacité de travail varie en fonction de l’âge de l’assuré et de

l’ancienneté de l’arrêt de travail.

0,9700

0,9750

0,9800

0,9850

0,9900

0,9950

1,0000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36

Ancienneté (mois)

25-40 ans 41-50 ans 51-60 ans

45

1.2.3. LOI DE MORTALITE POUR L’INVALIDITE

Comme pour l’incapacité, nous construisons la loi brute de mortalité des invalides pour chaque

tranche d’âge, selon l’ancienneté de l’invalidité (en années).

Figure 8 : Loi brute de mortalité des assurés en invalidité

1.3. LISSAGE DES TAUX PAR LA METHODE DE WHITTAKER-HENDERSON

Le principe du lissage par la méthode de Whittaker-Henderson est de pénaliser les écarts importants

entre deux points tout en restant fidèle aux observations. Cela nécessite de combiner deux critères, un

critère de fidélité et un critère de régularité, puis de déterminer les ajustements qui minimisent la

somme de ces deux critères.

L’écart entre deux points (critère de régularité) est estimé de la façon suivante :

∑ ( ( ))

Où est un paramètre du modèle et ( )

L’adéquation aux observations (critère de fidélité) est assurée par le terme suivant :

∑ ( )

Où est le poids donné au point .

Le lissage optimum est donné par les qui minimisent , où est le poids que l’on

donne au lissage.

0,8800

0,9000

0,9200

0,9400

0,9600

0,9800

1,0000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Ancienneté (années)

25-40 ans 41-50 ans 51-60 ans

46

1.3.1. INCAPACITE

Les résultats du lissage par tranche d’âge sont présentés dans les graphiques ci-dessous.

Figure 9 : Lissage des taux bruts pour l’incapacité (tranche 25-40 ans)



0,00%

0,02%

0,04%

0,06%

0,08%

0,10%

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34

Ancienneté (mois)

Taux bruts Taux lissés

0,00%

0,02%

0,04%

0,06%

0,08%

0,10%

0,12%

0,14%

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34

Ancienneté (mois)


0,00%

0,05%

0,10%

0,15%

0,20%

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34

Ancienneté (mois)


47

1.3.2. INVALIDITE

Nous effectuons le lissage des taux bruts de la même manière que pour l’incapacité et nous obtenons

les résultats suivants pour chaque tranche d’âge :

Figure 12 : Lissage des taux bruts pour l’invalidité (tranche 25-40 ans)



0,0%

0,2%

0,4%

0,6%

0,8%

1,0%

1,2%

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20



0,0%

0,2%

0,4%

0,6%

0,8%

1,0%

1,2%

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20



0,0%

0,2%

0,4%

0,6%

0,8%

1,0%

1,2%

1,4%

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9



48

1.4. ETUDE DE LA SURMORTALITE PAR RAPPORT A LA POPULATION

GENERALE

Pour étudier la surmortalité, la table de mortalité prise en compte pour la population générale est la

table d’expérience construite par Allianz. Cette table dépend de l’âge des assurés et ne tient pas

compte d’une quelconque ancienneté. Pour pouvoir comparer la mortalité des assurés en arrêt de

travail par rapport à la population générale, il nous faut alors adapter cette table de mortalité. Pour cela,

nous recalculons les en prenant en compte une ancienneté, selon la formule suivante :

{

Où « » représente l’âge et « » la période d’ancienneté en années. Pour étudier la surmortalité à

l’incapacité, nous réalisons une extrapolation linéaire afin d’obtenir des anciennetés en mois.

1.4.1. SURMORTALITE DES ASSURES EN INCAPACITE

Détermination de coefficients de surmortalité

La surmortalité des assurés en incapacité est calculée en faisant le rapport du taux de mortalité des

personnes en incapacité sur le taux de mortalité de la population classique, pour chaque tranche d’âge

et année d’ancienneté.

Les résultats sont présentés dans les tableaux ci-dessous :

Tranche d’âge

Ancienneté 25-40 ans 41-50 ans 51-60 ans

0-1 0,240% 0,782% 1,350%

1-2 0,186% 0,785% 0,968%

2-3 0,203% 0,233% 0,584%

Tableau 4 : Taux de mortalité des assurés en incapacité

Tranche d’âge


0-1 0,046% 0,108% 0,250%

1-2 0,049% 0,117% 0,273%

2-3 0,051% 0,128% 0,296%

Tableau 5 : Taux de mortalité de la population générale (table Allianz)

49

Tranche d’âge


0-1 5,20 7,26 5,40

1-2 3,82 6,72 3,55

2-3 3,97 1,83 1,97

Tableau 6 : Coefficients de surmortalité pour l’incapacité

Nous pouvons constater que la surmortalité des assurés en incapacité de travail dépend non seulement

de l’âge mais aussi de l’ancienneté passée en arrêt de travail. Elle est très élevée pendant la première

année de l’arrêt de travail, cela s’explique notamment par les maladies graves (cancer). Puis, au bout

de plusieurs mois passés en arrêt de travail, la mortalité de l’assuré tend à rejoindre celle de la

population générale.

Comparaison avec les tables de référence

Pour tenir compte de cette surmortalité, le BCAC a publié en 2002 une table de mortalité spécifique

pour les assurés en incapacité. Cette table tient compte de l’âge au moment de l’entrée en arrêt de

travail et de l’ancienneté en mois. Le tableau ci-dessous présente ces taux de mortalité, regroupés par

tranches d’âge et années d’ancienneté :

Tranche d’âge


0-1 1,399% 4,218% 6,286%

1-2 0,432% 1,387% 2,356%

2-3 0,142% 0,555% 0,881%

Tableau 7 : Taux de mortalité de la population en incapacité (table BCAC)

Cette table de mortalité est aujourd’hui utilisée pour calculer la provision d’exonération décès des

assurés en incapacité. Nous décidons donc de comparer nos taux de mortalité avec ceux de la table du

BCAC.

Tranche d’âge


0-1 0,17 0,19 0,21

1-2 0,43 0,57 0,41

2-3 1,43 0,42 0,66

Tableau 8 : Comparaison du taux de mortalité d’expérience avec la loi de mortalité incapacité du BCAC

Nous pouvons remarquer que nos taux de mortalité se trouvent largement en dessous de ceux de la

table du BCAC principalement au début de l’arrêt de travail. Par exemple, le taux de mortalité observé

sur la tranche 41-50 ans durant la seconde année passée en incapacité correspond à 57% de celui du

BCAC. Comme le montrent les graphiques ci-dessous, nos taux de mortalités tendent à rejoindre ceux

du BCAC à partir de 18 mois d’ancienneté en incapacité.

50

Figure 15 : Comparaison des taux lissés pour l’incapacité (tranche 25-40 ans)



0,000%

0,050%

0,100%

0,150%

0,200%

0,250%

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34

Ancienneté (mois)

Population classique

(table Allianz)

Taux lissés Population en incapacité

(Table BCAC)

0,000%

0,200%

0,400%

0,600%

0,800%

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34

Ancienneté (mois)


(table Allianz)


(Table BCAC)

0,000%

0,200%

0,400%

0,600%

0,800%

1,000%

1,200%

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34

Ancienneté (mois)


(table Allianz)


(Table BCAC)

51

1.4.2. SURMORTALITE DES ASSURES EN INVALIDITE

Détermination de coefficients de surmortalité

De la même manière que pour l’incapacité, nous déterminons les coefficients de surmortalité selon

l’âge et l’ancienneté de l’invalidité. Les résultats sont présentés dans les tableaux ci-dessous :

Tranche d’âge


0-3 0,250% 0,724% 1,094%

4-9 0,216% 0,610% 0,313%

10-20 0,395% 0,307% -

Tableau 9 : Taux de mortalité des assurés en invalidité

Tranche d’âge


0-3 0,050% 0,123% 0,285%

4-9 0,070% 0,188% 0,386%

10-20 0,139% 0,354% -

Tableau 10 : Taux de mortalité de la population générale (table Allianz)

Tranche d’âge


0-3 4,99 5,90 3,83

4-9 3,10 3,25 0,81

10-20 2,85 0,87 -

Tableau 11 : Coefficients de surmortalité pour l’invalidité

Comme pour l’incapacité, nous remarquons que la mortalité d’un assuré en invalidité dépend de l’âge

et de l’ancienneté passée dans le risque. La surmortalité est plus élevée à l’entrée en invalidité. Puis,

au bout de 5 à 10 ans passés en arrêt de travail, la mortalité se rapproche de celle de la population

générale.

Comparaison avec les tables de référence

Pour tenir compte de cette surmortalité, le BCAC a également publié une table de mortalité spécifique

pour les assurés en invalidité, qui tient compte de l’âge d’entrée en invalidité et de l’ancienneté en

années.

52

Le tableau ci-dessous présente ces taux de mortalité, regroupés par tranches d’âge et d’ancienneté en

années :

Tranche d’âge


0-3 0,989% 1,363% 1,501%

4-9 0,697% 1,246% 1,873%

10-20 0,891% 2,037% -

Tableau 12 : Taux de mortalité de la population en invalidité (BCAC)

Comme pour l’incapacité, nous décidons donc de comparer nos taux de mortalité avec ceux de la table

du BCAC.

Tranche d’âge


0-1 0,25 0,53 0,73

1-2 0,31 0,49 0,17

2-3 0,44 0,15 -

Tableau 13 : Comparaison des Qx avec la loi de mortalité invalidité du BCAC

Comme pour l’incapacité, nous pouvons remarquer que les taux de mortalité obtenus se trouvent

largement en dessous de ceux de la table du BCAC.

Figure 18 : Comparaison des taux lissés pour l’invalidité (tranche 25-40 ans)

0,000%

0,200%

0,400%

0,600%

0,800%

1,000%

1,200%

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14



(table Allianz)

Taux lissés Population en invalidité

(Table BCAC)

53



0,000%

0,500%

1,000%

1,500%

2,000%

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14



(table Allianz)


(Table BCAC)

0,000%

0,500%

1,000%

1,500%

2,000%

2,500%

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9



(table Allianz)


(Table BCAC)

54

2. CALCUL DE LA PRIME UNIQUE DE REPRISE DE RISQUE

2.1. DEFINITION DES GARANTIES DECES

Soit un régime de prévoyance proposant des garanties en cas de décès et d’arrêt de travail. Ce régime

est financé moyennant un taux de cotisation de 1,5% du salaire pour les salariés cadres et 0,96% pour

les salariés non-cadres.

Les garanties décès, exprimées en pourcentage du salaire de référence et selon la catégorie socio-

professionnelle du salarié, sont définies dans le tableau ci-dessous :

CADRES NON CADRES

Capital Décès – PTIA 400% 150%

Capital Décès Accidentel 400% 150%

Rente Education 15% 7%

Tableau 14 : Définition des garanties décès selon la catégorie socio-professionnelle

2.2. CALCUL D’UNE PRIME UNIQUE MOYENNE

2.2.1. HYPOTHESES DE CALCUL

Age moyen et ancienneté de l’arrêt de travail

Lors de notre étude sur la mortalité des assurés en arrêt de travail, nous avons vu que l’âge moyen

d’entrée en incapacité était de 43,2 ans et l’âge moyen d’entrée en invalidité était de 49,8 ans. Nous

avons également vu que l’ancienneté moyenne d’un assuré en incapacité était de 6,2 mois et

l’ancienneté moyenne d’un assuré en invalidité était de 7,2 ans.

Nous décidons de retenir ces âges et anciennetés pour calculer une prime unique moyenne pour un

assuré en incapacité et un assuré en invalidité.

Salaire de référence

Nous supposons un salaire moyen de 40 000 € pour les cadres et 27 000 € pour les non-cadres.

Situation de famille

On suppose que l’assuré est marié et a un enfant.

55

Limite des garanties

Les garanties sont valables jusqu’à ce que l’assuré bénéficie de la pension retraite, soit 62 ans. L’âge

limite de l’enfant pour le versement de la rente éducation est fixé à 26 ans.

Franchise

La franchise retenue est de 90 jours pour les cadres et 60 jours pour les non cadres.

Taux technique

Le taux technique utilisé pour le calcul est fixé à 0,95% pour les garanties incapacité/invalidité et à

0,5% pour la rente éducation.

Taux de chargement

Le taux de chargement pour les frais de gestion est fixé à 4%.

2.2.2. RESULTATS

La prime unique est calculée selon les formules énoncées dans le chapitre I, partie II.1.3, en utilisant

les tables de mortalité du BCAC. Les résultats sont présentés dans le tableau ci-dessous :

CADRES NON CADRES

Garantie Incapacité Invalidité Incapacité Invalidité

Prime unique 16 490 € 18 489 € 4 460 € 4 777 €

Prenons l’exemple d’une entreprise composée de 5 salariés cadres, dont l’un des salariés perçoit des

indemnités journalières pour incapacité temporaire. Si l’entreprise souhaite changer d’assureur, elle

devrait payer en moyenne 16 490 € au nouvel assureur afin que ce dernier puisse maintenir les

garanties du salarié en arrêt de travail. Il est donc préférable pour l’entreprise de ne pas changer

d’assureur car cela représente un coût beaucoup trop important. Un réel problème se pose alors pour

les petites entreprises qui peinent à changer d’assureur, ce qui freine le marché.

Afin de favoriser la reprise de risques pour les petites entreprises, une solution serait d’élargir la

mutualisation entre les petites entreprises. Cela permettrait d’étaler le financement du maintien des

garanties des assurés en arrêt de travail sur plusieurs entreprises, et donc de réduire le coût de la

reprise de risque pour l’entreprise qui souhaite changer d’assureur. Dans la partie suivante, nous

évaluerons le coût de la reprise de risque en cas d’élargissement de la mutualisation.

56

2.3. MUTUALISATION DES PETITES ENTREPRISES

2.3.1. CONSTRUCTION DU PORTEFEUILLE

Soit un portefeuille composé de 52 070 assurés, dont 14 609 cadres et 37 461 non cadres. Nous

calculons une prime globale annuelle sur l’ensemble de ce portefeuille de la manière suivante :

La prime annuelle d’un salarié cadre est égale à 600 €, ce qui correspond donc sur l’ensemble du

portefeuille des cadres à une prime de 8 765 400 €. Quant à la prime annuelle d’un salarié non cadre,

elle est égale à 259,20 €, ce qui correspond, sur l’ensemble du portefeuille des non cadres à une prime

totale de 9 709 891,20 €.

La prime totale annuelle de l’ensemble de ce portefeuille est donc de 18 475 291 €.

2.3.2. CALCUL DE LA PRIME UNIQUE DE REPRISE DE RISQUE

Le coût global de la reprise de risque correspond au nombre d’assurés en arrêt de travail multiplié par

la prime moyenne de reprise. Le nombre de personnes en arrêt de travail équivaut au nombre de têtes

total multiplié par le taux d’incidence (taux d’entrée en arrêt de travail).

Ainsi, la prime globale de reprise est calculée de la manière suivante :

CADRES NON CADRES

Effectif 14 609 37 461

Franchise 90 jours 60 jours

Probabilité d’entrée en arrêt de travail 0,32% 0,88%

Nombre d’assurés en arrêt de travail 47 331

Proportion incapacité/invalidité Incapacité Invalidité Incapacité Invalidité

35 12 246 85

PU moyenne par tête 16 490 € 18 489 € 4 460 € 4 777 €

PU globale 804 277 € 1 503 305 €

57

2.3.3. COMPARAISON

Si l’on rapporte le coût de la prime unique au chiffre d’affaires, nous pouvons voir que la prime

unique de reprise représente 12,5% de la prime totale. Pour les cadres, elle équivaut à 9,2% de la

prime totale tandis que pour les non-cadres, elle correspond à 15,5% de la prime totale.

CADRES NON CADRES Total

Chiffre d’affaires 8 765 400 € 9 709 891 € 18 475 291 €

Prime unique de reprise 804 277 € 1 503 305 € 2 307 582 €

RAPPORT 9,2% 15,5% 12,5 %

En revanche, si l’on calcule la prime unique en tenant compte de nos taux de mortalité d’expérience,

nous obtenons les résultats suivants :

CADRES NON CADRES Total

Chiffre d’affaire 8 765 400 € 9 709 891 € 18 475 291 €

Prime unique de reprise 646 264 € 1 199 217 € 1 846 181 €

RAPPORT 7,4% 12,4% 10,0 %

Ainsi, si l’on décide d’élargir la mutualisation des petites entreprises, cela signifie que nous devons

majorer sur l’ensemble du portefeuille, la cotisation de 7,4% pour les cadres et 12,4% pour les non-

cadres, soit une majoration globale du tarif de 10% sur l’ensemble de notre portefeuille.

58

3. CONCLUSION

Afin de fluidifier le marché lors d’une reprise de risques et de faciliter le changement d’assureur pour

les petites entreprises, la solution serait de mutualiser les petites entreprises entre elles.

En prévoyance, lorsque l’effectif de l’entreprise est inférieur à six salariés, il est courant pour

l’organisme assureur de faire remplir un questionnaire d’état de santé au moment de l’adhésion, puis

pour toute nouvelle embauche tant que l’effectif du groupe ne dépasse pas 6 salariés. Lorsque l’un des

salariés est atteint d’une maladie grave, cela peut augmenter sa probabilité d’être en arrêt de travail ou

de décéder. Si le médecin conseil de l’assureur constate un tel cas, l’assureur peut refuser de couvrir

l’entreprise.

Le questionnaire médical permet ainsi à l’assureur d’évaluer au mieux le risque de l’entreprise, mais

aussi de réduire certains phénomènes d’antisélection ou d’aléa moral : une entreprise pourrait être

amenée à s’assurer lorsqu’elle sait qu’un de ses salariés est porteur d’une maladie, ou embaucher un

proche malade afin qu’il puisse bénéficier de l’assurance. Ce questionnaire sert également à vérifier

lors de la déclaration du sinistre s’il n’y a pas eu de fraude au moment de la déclaration du risque. S’il

s’avère que la déclaration est fausse et intentionnelle, l’assuré perd tout droit d’indemnisation et

l’assureur conserve les cotisations perçues.

Si l’on choisit d’élargir la mutualisation pour les petites entreprises, il faudrait alors supprimer cette

sélection des risques. Cela serait bénéfique pour les petites entreprises car elles n’auraient pas le

« frein » du questionnaire médical et pourraient ainsi s’assurer plus facilement, à un prix plus

abordable. En revanche, du côté de l’assureur, cela augmenterait considérablement le risque

d’antisélection. Le prochain chapitre nous amène donc à mesurer le risque d’antisélection.

59

CHAPITRE 3 : MESURE DE L’ANTISELECTION

I. PRESENTATION DES DONNEES

Pour cette étude, nous allons nous concentrer sur les données du produit complémentaire santé

« Allianz Composio Entreprise », spécifique pour les petites et moyennes entreprises. L’antisélection

est un phénomène très présent en santé collective car l’assureur n’effectue aucune sélection médicale à

l’adhésion, c’est pourquoi nous choisissons de réaliser notre étude sur un tel portefeuille. Puis, nous

supposons que le comportement de l’assuré vis-à-vis de l’antisélection est similaire en santé et en

prévoyance : un salarié ayant des problèmes de santé aura non seulement d’avantage de dépenses en

frais de santé, mais aussi une probabilité plus importante de tomber en arrêt de travail.

Les salariés d’une même entreprises sont couverts par cette complémentaire santé en étant rattachés à

un même contrat obligatoire dit « contrat socle ». Ce contrat comporte les garanties obligatoires

définies par l’entreprise, identiques pour tous les salariés de cette entreprise. Par ailleurs, chaque

salarié peut se renforcer sur les garanties de son choix en souscrivant un contrat facultatif dit « contrat

renfort ».

Nous disposons de deux types de données : les données concernant les assurés (caractéristiques des

assurés et montant de leurs cotisations) et celles concernant les prestations réglées. La période de

l’étude s’étend du 01/01/2014 au 31/05/2016.

1. CONSTITUTION DE LA BASE DE DONNEES

1.1. LES COTISATIONS

Cette base de données comporte les informations sur les salariés assurés par l’intermédiaire de leur

entreprise et les montants de leurs cotisations. Les variables retenues pour l’étude sont les suivantes :

Les numéros des contrats « socle » et « renfort » ;

Les niveaux de garanties des contrats « socle » et « renfort » ;

Le montant des cotisations ;

Le numéro du département ;

Le sexe ;

60

La date de naissance ;

La date d’effet et la date de résiliation du contrat renfort.

Les niveaux de garanties du contrat renfort correspondent aux niveaux de celles du contrat socle

auxquelles on ajoute les niveaux de renfort que l’assuré a choisi.

1.2. LES PRESTATIONS

La base des prestations renseigne tous les remboursements des frais de soins de santé effectués par

poste de garanties, pour chaque assuré. Nous nous intéressons aux variables suivantes :

Numéro de contrat renfort ;

Date de soin ;

Date de règlement ;

Montant des frais remboursés par l’assureur (qui correspond au montant des frais réels auquel

on soustrait les frais remboursés par la sécurité sociale).

1.3. RETRAITEMENT DES DONNEES

Pour construire la base de données finale, les bases des cotisations et des prestations ont été

regroupées en prenant pour clé le numéro du contrat renfort. La base obtenue, composée de 109 082

lignes, comportait quelques anomalies. Il a donc fallu procéder à un retraitement de cette base.

Tout d’abord, certaines prestations étaient rattachées à des contrats inexistants de la base des

cotisations. Etant inexploitables, nous avons supprimé ces données.

Ensuite, certaines données étaient erronées, du fait d’une mauvaise saisie au niveau de la gestion.

Nous avons donc supprimé les lignes pour lesquelles :

La date de naissance était erronée ;

L’assuré avait plusieurs conjoints ou concubins ;

La date de début du contrat était supérieure à la date de fin du contrat.

Enfin, au vu de leur faible effectif, nous avons supprimé les assurés ayant plus de 70 ans, pour ne pas

biaiser les résultats.

61

Pour mesurer l’antisélection, nous allons nous nous concentrer sur la consommation des frais de santé

des assurés. Ainsi, nous choisissons de garder dans notre base seulement les assurés pour lesquels des

prestations ont été versées.

Après retraitement des données, la base finale se compose de 65 900 lignes.

1.4. CREATION DE NOUVELLES VARIABLES

Pour notre étude, nous avons rajouté des variables suivantes :

Nombre de têtes de l’entreprise

Il correspond au nombre de contrats renforts rattachés à chaque contrat socle.

Région

La classification des assurés par région est effectuée selon le numéro de département.

Age

Le calcul de l’âge est réalisé en effectuant la différence entre la date de naissance et la date de

résiliation du contrat (ou le 31/05/2016 si le contrat est toujours en cours).

Calcul de la fréquence des sinistres par tête

L’exposition au risque correspond à la différence entre la date d’effet du contrat renfort et la date de

résiliation (ou le 31/05/2016 si le contrat est toujours en cours). Le nombre de sinistres est calculé en

prenant le nombre de dates de soins rattachées au salarié assuré.

Calcul du coût moyen des sinistres par tête

Le montant total des sinistres correspond à la somme des frais de santé remboursés par Allianz, après

remboursement de la Sécurité Sociale.

62

2. STATISTIQUES DESCRIPTIVES DU PORTEFEUILLE

2.1. POPULATION ASSUREE

La majeure partie de la population assurée est représentée par les salariés, car chaque contrat est

automatiquement rattaché à un salarié. Ce dernier peut, s’il le souhaite, faire bénéficier des garanties

aux membres de sa famille (conjoint, concubin, enfants, ascendants).

Figure 21 : Répartition de la population assurée

La variable « formule » nous permet d’identifier les contrats couvrant les bénéficiaires des salariés.

Cette variable est divisée en 4 modalités.

La formule « 123B+ » permet au salarié de faire bénéficier des garanties aux membres de sa famille.

Si le salarié souhaite couvrir l’ensemble de sa famille, il est alors rattaché à la formule « Famille ».

Lorsque le salarié est le seul bénéficiaire des garanties, il est rattaché à la formule « Assuré isolé ».

Puis, la formule « Assuré seul » est appliquée au salarié « isolé » lorsqu’il décide de faire couvrir les

membres de sa famille en souscrivant un contrat facultatif dit contrat « renfort ».

Formule du contrat Effectif

« Assuré isolé » 25 696

« Assuré seul » 20 745

« Famille » 13 785

« 123B+ » 5 709

Tableau 15 : Répartition des assurés selon la formule souscrite

Pour notre étude, nous ne tiendrons pas compte des caractéristiques des bénéficiaires des salariés.

Salariés

Conjoints

Concubins

Ascendants

Enfants

63

2.2. REPARTITION DES SALARIES SELON L’AGE ET LE SEXE

Le portefeuille des salariés assurés est composé de 46,7% de femmes et de 53,3% d’hommes. La

majeure partie de la population se situe entre 25 et 60 ans.

Figure 22 : Répartition des salariés selon l'âge et le sexe

2.3. REPARTITION DES SALARIES SELON LES NIVEAUX DE GARANTIES

Les salariés sont couverts par cinq garanties : hospitalisation, soins courants, optique, dentaire et

médecine douce.

Figure 23 : Niveau de garantie moyen souscrit par tranche d'âge

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66

No

mbre

de

sala

riés

Age

Hommes Femmes

2

2,5

3

3,5

4

4,5

15-30 31-45 46-60 60+

Niv

eau

mo

yen

de

gara

nti

e

Tranche d'âge

Hospitalisation

Soins courants

Optique

Dentaire

Médecine douce

64

Les garanties pour lesquelles le niveau est le plus élevé sont les garanties « optique » et « dentaire ».

Nous pouvons constater que le niveau de garanties souscrit augmente avec l’âge. En effet, plus

l’assuré est âgé, plus il risque d’être confronté à des problèmes de santé. Un salarié âgé sait qu’il va

consommer davantage, il aura alors tendance à renforcer ses garanties par rapport à un salarié plus

jeune. Sur le graphique suivant, nous pouvons en effet constater qu’un salarié âge souscrit en moyenne

un niveau de renfort plus important qu’un salarié plus jeune.

Figure 24 : Nombre moyen de renforts souscrits selon la classe d'âge

-

0,50

1,00

1,50

2,00

15-30 31-40 41-50 50+

Niv

eau

mo

yen

de

ren

fort

Tranche d'âge

65

II. MODELISATION DE LA FREQUENCE DES SINISTRES

1. L’ANTISELECTION ET LA FREQUENCE DE CONSOMMATION

1.1.GENERALITES

L’assureur est victime de phénomènes d’antisélection (ou de sélection adverse) lorsque les entreprises

qui souscrivent au régime présentent des risques plus élevés que la population générale. Il y a une

asymétrie d’information entre l’assureur et les assurés car l’assureur ne détient pas toutes les

informations concernant l’état de santé des assurés : les « mauvais risques » se font alors passer pour

des « bons risques ». Notre objectif est de déterminer des coefficients de majoration à appliquer au

tarif afin de prendre en compte cette antisélection.

Pour mesurer ce risque d’antisélection, nous allons chercher les facteurs qui seraient liés à une forte

consommation des frais de soins de santé. Nous allons alors modéliser la fréquence des sinistres à

l’aide de ces facteurs en utilisant les modèles linéaires généralisés.

Lorsque l’assuré a un profil plus risqué, il aura tendance à dépenser d’avantage de frais de santé par

rapport à un autre assuré dont le profil serait moins risqué. Lorsque l’assuré sait qu’il devra dépenser

des frais en matière de santé, il aura généralement tendance à renforcer ses garanties en souscrivant un

contrat facultatif, afin d’être mieux remboursé. Par exemple, nous avons vu précédemment qu’un

salarié âgé a tendance à choisir un niveau de garantie plus élevé car il sait qu’il sera sujet à davantage

de problèmes de santé qu’un salarié plus jeune.

Ainsi, nous pouvons supposer que plus l’assuré va choisir une garantie élevée, plus il aura

tendance à consommer des frais de soin de santé. Pour traiter l’antisélection, nous allons alors

nous concentrer sur les niveaux de garanties choisis par les salariés.

66

1.2. ANALYSE DE LA FREQUENCE DE CONSOMMATION

1.2.1. FREQUENCE DE CONSOMMATION SELON L’EFFECTIF DE L’ENTREPRISE

Le comportement du salarié vis-à-vis des renforts de garanties qu’il souscrit peut être différent selon le

l’effectif de l’entreprise. La majorité de notre portefeuille est constitué de petites entreprises, parmi

lesquelles nous comptons 38% d’entreprises 1 tête.

Figure 25 : Répartition des entreprises selon le nombre de salariés

Comme nous pouvons le constater sur les diagrammes suivants, lorsque le dirigeant de l’entreprise est

le seul et unique salarié (entreprises 1 tête), il est moins susceptible de renforcer ses garanties que les

salariés des autres entreprises.

Figure 26 : Nombre d'assurés renforcés selon la taille de l'entreprise

En effet, pour les entreprises d’une tête, le dirigeant de l’entreprise étant son seul et unique salarié, il

va choisir lui-même le niveau des garanties du contrat « socle », dans son propre intérêt. Ainsi, il

-

2 000

4 000

6 000

8 000

10 000

12 000

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

No

mbre

d'e

ntr

epri

ses

Nombre de salariés

79%

21%

Entreprises 1 tête

Non renforcé Renforcé

69%

31%

Entreprises ≥ 2 têtes

Non renforcé Renforcé

67

n’aura pas nécessairement intérêt à renforcer ses garanties. Nous pouvons donc supposer que le contrat

d’une entreprise 1 tête est assimilable à un contrat facultatif.

Au contraire, pour les autres entreprises, le niveau des garanties souscrites sur le contrat « socle » ne

dépend pas du choix du salarié. Etant donné qu’il n’est possible de se renforcer que sur 3 niveaux de

garanties au maximum, les salariés des entreprises comportant plusieurs têtes disposent donc de moins

de choix dans leurs niveaux de garanties. L’antisélection sera alors probablement plus élevée chez les

entreprises une tête qu’au sein des autres entreprises.

Si l’on étudie la fréquence de consommation selon le niveau moyen des garanties et le nombre de têtes

de l’entreprise, nous pouvons constater qu’elle est plus élevée chez les entreprises 1 tête que chez les

autres entreprises. L’antisélection est alors plus élevé au sein des entreprises une tête, ce qui confirme

notre hypothèse.

Figure 27 : Fréquence de consommation selon le niveau moyen des garanties

0

5

10

15

20

25

30

35

1 2 3 4 5 6 7

Niveau moyen des garanties

1 tête

2 têtes

3 têtes

4 têtes

5 têtes

6 têtes

7 têtes

8 têtes

68

0

10

20

30

1 2 3 4 5 6 7

Fréquence de consommation

(Soins courants)

Obligatoire Facultatif

1.2.2. FREQUENCE DE CONSOMMATION PAR POSTE DE GARANTIES

Les graphiques ci-dessous nous permettent de comparer les fréquences de consommation entre les

contrats obligatoires et les contrats facultatifs pour chaque poste de garantie, selon le niveau de la

garantie. Nous pouvons remarquer que l’écart est le plus important sur l’hospitalisation, l’optique et la

médecine douce. Ces écarts de fréquence nous confirment bien la présence d’antisélection sur notre

portefeuille.

Figure 28 : Fréquence de consommation par postes et niveaux de garanties

-

0,5

1,0

1,5

2,0

1 2 3 4 5 6 7


(Hospitalisation)


-

0,5

1,0

1,5

2,0

1 2 3 4 5 6 7


(Médecine Douce)


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1 2 3 4 5 6 7


(Optique)


0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

1 2 3 4 5 6 7


(Dentaire)


69

1.2.3. FREQUENCE DE CONSOMMATION SELON L’AGE ET LA FORMULE SOUSCRITE

Nous avons vu dans la partie précédente que le mode d’adhésion au contrat (obligatoire ou facultatif)

et le niveau de garanties ont de réels effets sur la fréquence des sinistres. D’autre part, nous pouvons

constater sur le graphique ci-dessous que la fréquence des sinistres augmente avec l’âge.

Figure 29 : Evolution de la fréquence des sinistres selon l'âge

A partir de 30 ans, les sinistres sont généralement plus fréquents car ils comptent les dépenses de santé

des enfants et des conjoints des salariés. Ainsi, comme nous pouvons constater dans le graphique

suivant, la fréquence des sinistres est plus importante pour les formules « Famille ».

Figure 30 : Evolution de la fréquence selon la formule souscrite

-

5

10

15

20

25

30

16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66

Fré

qu

ence

mo

yen

ne

Age

Hommes Femmes

-

5

10

15

20

25

123B+ Aseul Famille isole

Fré

qu

ence

mo

yen

ne

Formule du contrat

70

2. DETERMINATION DES VARIABLES SIGNIFICATIVES PAR LE TEST DU

KHI-DEUX

Notre but est de sélectionner les facteurs permettant d’expliquer le comportement de consommation

des frais de soins de santé des assurés, afin de pouvoir les intégrer dans notre modélisation. Dans la

partie précédente, nous avons vu que la fréquence des sinistres évoluait selon divers paramètres

comme l’âge, le sexe, le niveau de garanties, le caractère obligatoire ou facultatif du contrat, ou la

formule souscrite. Afin de déterminer si ces variables ont une réelle influence sur la fréquence, nous

allons effectuer le test d’indépendance du Khi-Deux.

Le test d’indépendance du Khi-Deux est un test qui permet d’étudier la corrélation entre deux

variables A et B ayant respectivement p et q modalités. Il permet de tester les hypothèses suivantes :

H0 : les deux variables sont indépendantes

H1 : les deux variables ne sont pas indépendantes

Nous allons tester l’indépendance des variables « Sexe », « Age », « Formule », « Region »,

« Niveau_garanties » et « Type_contrat » par rapport à la variable « FREQ ». Cette dernière prend la

valeur 1 si, pour la variable étudiée, la fréquence observée est supérieure ou égale à 15 (fréquence

moyenne du portefeuille), et 0 sinon.

Pour les variables A et B que l’on veut tester, il conviendra tout d’abord de recenser les effectifs

observés en dressant les tableaux de contingence de la façon suivante :

Total

Total

Avec :

: effectif pour lequel les variables A et B prennent les modalités i et j

∑

∑

∑ ∑

71

Par exemple, pour la variable « Sexe », nous obtenons les effectifs suivants :

Sexe FREQ < 15 FREQ ≥ 15 Total

F 20 254 10 504 30 758

M 23 347 11 795 35 142

Total 43 601 22 299 65 900

Tableau 16 : Table de contingence pour la variable "sexe"

La statistique du Khi-Deux observé est ensuite calculée selon la formule suivante :

( )

∑∑

(

)

Sous H0, suit une loi du Khi-Deux à (p-1)(q-1) degrés de liberté :

( )( )

Pour conclure sur le test, la statistique est comparée à sa valeur seuil dans la table du Khi-Deux,

selon le nombre de degrés de liberté et un risque d’erreur . Si ( )( )

, l’hypothèse H0

d’indépendance des variables est rejetée au risque d’erreur .

Sous le logiciel R, nous étudions les résultats du test en analysant la p-value : elle correspond à la

probabilité que le soit supérieur ou égal au . En choisissant un risque d’erreur , il

conviendra de rejeter l’hypothèse d’indépendance des variables si la p-value est inférieure à 5%.

Pour la variable « Sexe », où le nombre de degrés de liberté est de 1, la statistique du Khi-Deux est

égale à 2,50 et la p-value est égale à 0,1142. La p-value étant trop élevée, nous ne pouvons pas rejeter

l’hypothèse d’indépendance des variables. Il semblerait donc que la fréquence ne dépende pas du sexe.

Nous procédons de la même manière pour les autres variables et obtenons les résultats suivants :

Variable Valeur du Degrés de liberté P-value

Sexe 2,50 1 0,1142

Age 2676,98 3 < 2,2e-16

Region 265,88 13 < 2,2e-16

Niveau_garanties 1750,94 6 < 2,2e-16

Formule 3528,36 3 < 2,2e-16

Type_contrat 82,43 1 < 2,2e-16

Tableau 17 : Résultats du test d’indépendance du Khi-Deux pour la fréquence

72

Pour les quatre autres variables, les p-values sont très faibles : nous pouvons alors rejeter H0 et

conserver ces variables. La variable « Sexe » est la seule variable qui n’est pas significative, elle

n’aurait donc pas d’influence sur la fréquence des sinistres. Cependant, nous décidons pour l’instant de

conserver cette variable, nous verrons par la suite par différents tests si nous la retirons ou non.

73

3. LES MODELES LINEAIRES GENERALISES

Pour modéliser la fréquence des sinistres à l’aide des variables explicatives que nous avons

sélectionnées, nous allons utiliser les modèles linéaires généralisés.

Les modèles linéaires généralisés ont été introduits en 1972 par Nelder et Wedderburn. Ils généralisent

les modèles de régression linéaire lorsque la réponse est une variable discrète ou que le modèle diffère

par rapport aux modèles standards.

Le modèle linéaire généralisé vérifie la relation suivante :

( ( | )) ∑

Avec :

: la variable aléatoire à expliquer ;

: les variables explicatives ;

: la fonction de lien.

Ainsi, le modèle se divise en trois composantes principales : la composante aléatoire, la composante

explicative et la fonction de lien.

3.1. LA COMPOSANTE ALEATOIRE

La composante aléatoire correspond à la variable réponse qui n’est autre que la variable à expliquer.

Dans notre cas, elle correspond à la fréquence des sinistres. En considérant un échantillon composé de

variables aléatoires { } la loi de probabilité de la variable réponse est déterminée par

la fonction suivante :

( ) ( ( )

( ) ( ))

Avec :

: paramètre naturel de la famille exponentielle ;

: paramètre de dispersion ;

() : fonction non nulle définie sur

() : fonction définie sur deux fois dérivable dont la dérivée première est injective ;

() : fonction définie sur

74

La fonction () s’exprime généralement sous la forme suivante :

( )

Où correspond aux poids des observations Pour simplifier, nous décidons de fixer les à 1.

La loi de probabilité de la variable fait partie de la famille exponentielle. Le tableau suivant expose

les différentes distributions appartenant à la famille exponentielle :

Distribution ( ) ( ) ( )

Normale

Bernoulli (

) ( ) 1

Poisson ( ) 1

Gamma

( )

Gauss inverse

( )

Tableau 18 : Distributions appartenant à la famille exponentielle

La moyenne et la variance de la variable réponse sont définies par les formules suivantes :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

3.2. LA COMPOSANTE DETERMINISTE

La deuxième composante du modèle est la composante déterministe. Elle correspond au prédicteur

linéaire et s’exprime de la manière suivante :

Avec :

: matrice des variables explicatives ;

: vecteur des paramètres.

75

Sous forme vectorielle, cela donne :

(

) (

) (

)

3.3. LA FONCTION DE LIEN

La fonction de lien permet de relier le prédicteur linéaire et la composante aléatoire. En posant

{ ( ) } cette fonction, strictement monotone et différentiable, s’exprime sous la

forme suivante :

( )

Cela revient à écrire :

( )

Soit :

( )

Pour modéliser la fréquence des sinistres, la fonction de lien généralement utilisée est la fonction de

lien logarithme :

( ) ( )

∑

Cela implique :

( ∑

)

( )∏ ( )

Cette fonction de lien se base sur un modèle multiplicatif. Elle permet ainsi d’appliquer des

coefficients multiplicatifs à la fréquence moyenne, selon les caractéristiques de l’individu. La

fréquence de consommation d’un individu sera donc exprimée comme un pourcentage de la fréquence

d’un individu de référence, ce qui permettra de distinguer facilement les écarts de fréquences selon les

profils d’individus, et donc de déterminer des coefficients d’antisélection.

76

4. PARAMETRAGE DES VARIABLES TARIFAIRES

4.1. SEGMENTATION DE LA VARIABLE « REGION »

Afin de diminuer le nombre de modalités de la variable « région », nous décidons de regrouper les

régions en 3 catégories, en fonction du coût moyen des sinistres :

Région A : régions où le coût moyen est élevé par rapport à la moyenne du portefeuille

(Auvergne-Rhône-Alpes, Île-de-France, Provence-Alpes-Côte d'Azur) ;

Région B : régions où le coût moyen se rapproche le plus du coût moyen de l’ensemble du

portefeuille (Alsace-Champagne-Ardenne-Lorraine, Languedoc-Roussillon-Midi-Pyrénées,

Nord-Pas-de-Calais-Picardie) ;

Région C : régions où le coût moyen est bas par rapport à la moyenne du portefeuille

(Aquitaine-Limousin-Poitou-Charentes, Bourgogne-Franche-Comté, Bretagne, Centre-Val de

Loire, Corse, Normandie, Pays de la Loire, DROM).

Figure 31 : Evolution du coût moyen selon la région

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

A B C

Co

ût

Mo

yen

Région

77

4.2. CALIBRAGE DES VARIABLES

En tarification, les variables explicatives sont généralement toutes catégorielles. Pour effectuer notre

modélisation, il faut alors procéder à un paramétrage de ces variables.

Pour rappel, nous avons six variables explicatives : le sexe, l’âge, la région, le niveau de garanties, la

formule souscrite, et le type de contrat. Pour chaque variable, nous définissons une modalité de

référence : elle correspond à la modalité dont l’effectif est le plus important dans le portefeuille.

L’individu de référence correspond ainsi à un homme âgé entre 41 et 50 ans, résidant dans une région

où le coût moyen des frais de santé est élevé, rattaché à un niveau de garanties minimum, qui est

assuré seulement par le contrat obligatoire, et dont les membres de sa famille ne sont pas rattachés au

contrat.

Variable Nombre de modalités Modalité de référence

Sexe 2 Homme

Age 4 41-50

Region 3 A

Niveau garanties 7 1

Formule 4 isole

Type 2 obligatoire

Tableau 19 : Définition des variables de référence

Chaque variable comportant k modalités est divisée en k-1 variables binaires dont les valeurs sont

égales à 0 si la modalité correspond à la référence, et 1 sinon.

Par exemple, une femme de 45 ans résidant dans la région où le coût des sinistres se situe dans la

moyenne, avec un niveau moyen de garanties à 2, rattachée à la formule « famille », et qui est assurée

seulement par le contrat obligatoire, sera modélisée de la manière suivante :

Pour la variable « Sexe » : vecteur (1)

Pour la variable « Age » : vecteur (0,0,0)

Pour la variable « Region » : vecteur (1,0)

Pour la variable « Niveau garanties » : vecteur (1,0,0,0,0,0)

Pour la variable « Formule » : vecteur (0,1,0)

Pour la variable « Type » : vecteur (0)

Le vecteur modélisant cet individu correspond à la concaténation des vecteurs de chaque variable,

soit :

( )

L’individu de référence sera modélisé par un vecteur essentiellement composé de 0.

78

Le prédicteur linéaire est défini de la manière suivante :

( ) ∑

Où correspond à l’intercept (individu de référence) pour lequel tous les sont nuls.

Il peut également s’écrire sous la forme avec :

(

) le vecteur des paramètres ;

(( ) ( ) ( )) la matrice des variables explicatives composée de l’intercept et

des 5 variables du modèle (sexe, âge, région, antisélection, formule).

Le prédicteur linéaire peut également être décomposé de la manière suivante :

( )

Avec :

{

{

{

{

{

{

On note ( ) l’espérance de la variable aléatoire .

79

5. LOI STATISTIQUE POUR LA FREQUENCE

Pour modéliser la fréquence des sinistres, nous allons d’abord déterminer la loi selon laquelle nos

observations s’ajustent le mieux. Les lois généralement utilisées pour modéliser la fréquence sont la

loi de Poisson et la loi Binomiale Négative. Nous allons étudier ces deux lois puis nous déterminerons

celle qui s’ajuste le mieux à nos données.

5.1. LA LOI DE POISSON

Lorsqu’une variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre , autrement dit lorsque ( ),

elle vérifie la fonction suivante, pour tout :

( )

Pour ajuster les fréquences observées à la loi de Poisson, ce paramètre est estimé par la méthode du

maximum de vraisemblance selon la formule suivante :

∑

L’estimateur obtenu correspond à la moyenne empirique de l’échantillon. Nous estimons ce

paramètre à l’aide du logiciel R et nous obtenons :

5.2. LA LOI BINOMIALE NEGATIVE

Lorsqu’une variable aléatoire X suit une loi Binomiale Négative de paramètres et , autrement dit

lorsque ( ), elle vérifie, pour tout , la fonction suivante :

( ) (

) ( )

La loi Binomiale Négative correspond au nombre d’échecs nécessaires avant d’obtenir n succès. Le

paramètre correspond à la probabilité d’obtenir un succès et le nombre de succès. En assurance, le

succès est obtenu lorsque le coût de la sinistralité est nul : le paramètre est donc égal à 1 (le succès

n’est atteint qu’une seule fois).

80

Le paramètre est estimé par la méthode du maximum de vraisemblance selon la formule suivante :

5.3. AJUSTEMENT DES LOIS ET COMPARAISON

Après avoir estimé les paramètres des lois de Poisson et Binomiale Négative par le maximum de

vraisemblance, nous obtenons les courbes d’ajustement suivantes :

Figure 32 : Ajustement de la fréquence par les lois de Poisson et Binomiale Négative

Figure 33 : Fonctions de répartition pour la fréquence

81

Nous pouvons constater que l’écart entre les fréquences observées et la loi de Poisson est important.

Au contraire, la loi Binomiale Négative s’ajuste mieux aux observations, elle semble donc être la

mieux adaptée.

Pour analyser de manière plus précise la qualité de ces ajustements, nous pouvons étudier le graphique

Quantile-Quantile (« QQ-Plot ») des fréquences par rapport à l’ajustement des deux lois :

Figure 34 : QQ-Plot de la distribution empirique des fréquences par rapport aux lois de Poisson et Binomiale

Négative

Le QQ-Plot représente les quantiles d’une distribution empirique en fonction des quantiles d’une

distribution théorique (référence). Si la distribution empirique et la distribution théorique suivent la

même loi, leurs quantiles sont alignés. Ainsi, plus les quantiles sont alignés, meilleur est l’ajustement.

Sur ce graphique, il paraît clair que la loi Binomiale Négative est celle qui s’ajuste le mieux aux

observations. Nous décidons donc de retenir cette loi pour modéliser la fréquence.

82

6. DETERMINATION DES VARIABLES SIGNIFICATIVES PAR LE TEST DU

RAPPORT DE VRAISEMBLANCE

Afin de déterminer les variables ayant une influence sur le modèle, nous effectuons le test du rapport

de vraisemblance. Ce test est un test d’hypothèses qui compare deux modèles : un modèle non

contraint où tous les paramètres sont libres et un modèle contraint réduit, avec moins de paramètres. Il

permet ainsi d’analyser l’impact que peut avoir la suppression d’une variable sur la vraisemblance du

modèle.

Les hypothèses à émettre sont les suivantes :

H0 : la variable testée n’influe pas sur le modèle ;

H1 : la variable testée influe sur le modèle.

La statistique du rapport de vraisemblance est définie par la formule suivante :

(

)

Sous l’hypothèse H0, cette statistique suit asymptotiquement une loi de Khi-Deux à n degrés de liberté

où :

Pour la fréquence, le logiciel R nous fournit les résultats suivants :

Variables Degrés de liberté Pr (>Chi)

Sexe 1 < 0,6450

Age 3 < 0,0001

Region 2 < 0,0001

Niveau_garanties 6 < 0,0001

Formule 3 < 0,0001

Type_contrat 1 < 0,0001

Tableau 20 : Résultats du test du rapport de vraisemblance pour la fréquence

Nous constatons que la p-value de la variable « Sexe » est très élevée, nous ne pouvons donc pas

rejeter H0. Cette variable n’étant pas significative, nous décidons de ne pas la prendre en compte dans

notre modélisation. Les p-values des cinq autres variables étant très faibles, nous pouvons rejeter H0 et

conserver les variables car elles ont toutes une influence sur le modèle.

83

7. RESULTATS ET INTERPRETATION

Le tableau suivant présente les résultats du GLM obtenus grâce au logiciel R :

Variables Modalités ( ) Pr (> lZl)

(Intercept) 2,54 12,68 < 0,0001

Age

15_30 -0,53 59% < 0,0001

31_40 -0,08 92% < 0,0001

50+ -0,07 93% < 0,0001

Region B 0,04 104% < 0,0001

C 0,02 102% 0,00367

Niveau_garanties

Niv2 0,12 113% < 0,0001

Niv3 0,20 122% < 0,0001

Niv4 0,28 132% < 0,0001

Niv5 0,31 136% < 0,0001

Niv6 0,35 142% < 0,0001

Niv7 0,50 165% < 0,0001

Formule

Aseul -0,19 83% < 0,0001

Famille 0,31 136% < 0,0001

X123B. -0,05 95% < 0,0001

Type_contrat Facultatif 0,09 109% < 0,0001

Tableau 21 : Résultats du GLM pour la fréquence

correspond à l’estimation des coefficients associés à chaque modalité. Un estimateur négatif est

synonyme d’une amélioration de la sinistralité par rapport à la référence. Au contraire, lorsque

l’estimateur est positif, cela correspond à une aggravation de la sinistralité. Si nous regardons les

modalités de la variable correspondant au niveau de garanties, nous constatons que l’estimateur est

positif et augmente avec le niveau des garanties. Cela signifie que plus le niveau de garanties est élevé,

plus la fréquence des sinistres sera importante. Cela est cohérent par rapport aux analyses statistiques

précédemment effectuées.

Pr (> lZl) correspond à la probabilité que l’estimateur ne soit pas dans l’intervalle de confiance. Plus

la probabilité est faible, plus la variable est significative. Nous pouvons remarquer que la plupart des

variables ont une probabilité < 0,0001, elles sont donc significatives. La région « C » est la moins

significative avec une probabilité de 0,00367 : cela signifie que le coefficient estimé ne se situe pas

dans l’intervalle de confiance. Cependant, cette probabilité est relativement faible, nous pouvons donc

conserver la modalité.

Nous avons effectué notre modélisation selon la fonction de lien « log », ce qui implique que les

coefficients à appliquer sont donnés par ( ).

84

Nous rappelons la formule énoncée dans la partie 3.3, qui permet d’estimer la fréquence des sinistres :

( ∑

)

( )∏ ( )

Ainsi, pour une femme de 45 ans résidant dans une région où le coût moyen des sinistres se situe en

dessous de la moyenne (« région C »), avec un niveau moyen de garanties à 2, assurée par la formule

« famille », seulement par le contrat obligatoire, la fréquence moyenne des sinistres sera égale à :

.

Pour cet individu, la majoration à appliquer au tarif afin de tenir compte de l’antisélection sera de 13%.

85

8. VALIDATION DU MODELE

La dernière étape de la modélisation consiste à tester la qualité d’ajustement du modèle afin de le

valider. Pour cela, nous décidons d’étudier les résidus de la déviance. Après avoir présenté le principe

de déviance, nous calculerons les résidus afin de conclure sur le modèle.

8.1. DEVIANCE

La déviance permet de tester l’adéquation au modèle obtenu par rapport au modèle initial. Elle

correspond à la variation de la vraisemblance.

Le rapport de vraisemblance s’écrit sous la forme suivante :

( )

( )

Avec :

( ) : estimation du maximum de vraisemblance du modèle saturé ;

( ) : estimation du maximum de vraisemblance du modèle étudié.

La déviance normalisée est définie par l’équation ci-dessous :

( ( )

( ))

( ( ( )) ( ( )))

Lorsque le modèle étudié est exact, la déviance normalisée suit approximativement une loi de Khi-

Deux à (n-k) degrés de liberté. Plus la déviance est faible, meilleur est le modèle.

8.2. ETUDE DES RESIDUS

Pour valider le modèle, nous avons besoin d’étudier les résidus. Ils correspondent à l’écart entre les

valeurs réelles et les valeurs estimées :

( )

86

La déviance est définie par :

∑

Où correspond à la contribution des observations à la déviance D.

Les résidus de la déviance sont déterminés par la formule suivante :

( )√

Cette statistique suit asymptotiquement une loi du Khi-Deux à n-p-1 degrés de liberté.

Les résidus de Pearson permettent également de tester l’ajustement du modèle. Ils sont calculés selon

la formule suivante :

(

√ ( ))

Nous calculons les résidus de la déviance avec le logiciel R et nous obtenons le graphique suivant :

Figure 35 : Représentation des résidus de la déviance pour la fréquence

Plus les résidus sont centrés autour de 0, plus le modèle est fiable. Sur le graphique, nous pouvons

constater que la plupart des résidus sont uniformément répartis autour de 0. Il existe cependant une

sous-estimation pour les individus dont les résidus sont compris entre 2 et 8. Ces individus ne

représentant qu’une infime partie de notre échantillon, nous pouvons en conclure que le modèle est

acceptable.

87

III. APPLICATION DES COEFFICIENTS DE MAJORATION

Notre modélisation de la fréquence des sinistres nous a permis d’obtenir une grille de coefficients qui

minorent ou majorent la fréquence des sinistres selon certaines variables. Pour prendre en compte le

risque d’antisélection, nous nous basons sur les coefficients correspondants aux différents niveaux des

garanties.

Les coefficients de majoration à appliquer au tarif pour tenir compte de l’antisélection sont donc les

suivants :

Coefficient d’antisélection

Souscription d’une garantie

supérieure niveau 2 13%











Tableau 22 : Barème de coefficients d’antisélection

En prenant en compte la majoration du tarif dû à la mutualisation de la reprise de risques (soit une

majoration de 7% pour les cadres et 12% pour les non cadres), la majoration globale à appliquer sera

la suivante :

Cadres Non Cadres


supérieure niveau 2 20% 25%











Tableau 23 : Coefficients de majoration du tarif en cas de mutualisation

88

89

CONCLUSION

Ce mémoire nous a amené à réfléchir à une tarification alternative de la reprise de risques en cours en

prévoyance collective.

Pour fluidifier le marché et faciliter la reprise de risque lors du changement d’assureur, nous avons vu

que la solution serait d’élargir la mutualisation entre les entreprises. Cette technique permettrait :

Pour l’entreprise de réduire le coût de la prime unique de reprise de risque qui lui est réclamée

Pour le nouvel assureur d’élargir la mutualisation des résultats.

L’élargissement de la mutualisation et la suppression de la prime unique de reprise de risque

impliquerait à l’assureur de majorer son tarif de 10% sur l’ensemble des petites entreprises et de

supprimer toute sélection des risques en retirant le questionnaire médical à l’adhésion. En procédant

ainsi, cela attirerait les micro-entreprises présentant un risque élevé car elles n’auraient plus le

« frein » du questionnaire médical. Néanmoins, l’assureur se retrouverait à couvrir un fort taux de

mauvais risques, ce qui entrainerait un risque élevé d’antisélection.

Pour mesurer cette antisélection nous nous sommes basés sur les contrats santé collectifs souscrits par

les petites entreprises. Nous avons vu que la fréquence des sinistres augmentait fortement avec le

niveau des garanties souscrits par les salariés. Nous avons donc modélisé la fréquence des sinistres à

l’aide des modèles linéaires généralisés, ce qui nous a permis d’obtenir un barème de coefficients

d’antisélection à appliquer au tarif, variant de 13% à 65% selon les niveaux de garanties souscrits.

Cette technique de tarification pourrait cependant constituer un frein de souscription pour les petites

entreprises dans le sens où la suppression de la prime de reprise de risque et notamment la prise en

compte de l’antisélection nécessiteraient une importante majoration du tarif.

Une autre manière de limiter cette antisélection serait de continuer à faire remplir le questionnaire

médical tout en ne le prenant pas en compte au niveau de la tarification. Cela revient à ne pas tarifer la

reprise en fonction de l’état de santé. Le fait de garder le questionnaire médical permettrait de limiter

les cas de souscription des entreprises présentant un risque aggravé. Il servirait également, en cas

d’éventuelle fraude, à rompre le contrat.

90

91

LISTE DES ABREVIATIONS

AGIRC : Association Générale des Institution de Retraite Complémentaire des Cadres

ANI : Accord National Interprofessionnel

ARRCO : Association pour le Régime de Retraite Complémentaire des Salariés

BCAC : Bureau Commun des Assurances Collectives

CCN : Convention Collective Nationale

GLM : Modèle Linéaire Généralisé

PM : Provision Mathématique

PSAP : Provision pour Sinistres à Payer

92

93

BIBLIOGRAPHIE

Ouvrages :

BELLOCQ G., « La protection sociale dans l’entreprise », Editions l’Argus de l’Assurance, 2004.

PLANCHET F., WINTER J., « Les provisions techniques des contrats de prévoyance collective »,

Economica, 2006.

PLANCHET F., THEROND P., « Modèles de durée - Applications actuarielles », Economica, 2006.

Note technique du BCAC, « Provisionnement de la couverture décès des personnes en arrêt de

travail », 2002.

Cours :

SOULARD C., « Prévoyance sociale et assurance de groupe », cours ISUP, 2015.

WAJNBERG E., « Introduction au Modèle Linéaire Généralisé », cours de l’Université de Nice-

Sophia-Antipolis, 2011.

Mémoires :

MERCIER P.A., « Le maintien des garanties décès aux personnes en arrêt de travail », mémoire

ISFA, 2002.

WANG J., « Tarification santé : Mesure des risques associés aux produits modulaires », mémoire

EURIA, 2014.

Sites internet :

www.argusdelassurance.com

www.ameli.fr

www.ffa-assurance.fr

www.legifrance.gouv.fr

http://www.argusdelassurance.com/

http://www.legifrance.gouv.fr/

94

95

ANNEXES

96

97

Annexe 1 : Résultats de la régression linéaire entre l’inflation et l’évolution du

point AGIRC

Estimation des coefficients :

Variable Estimation Erreur Std t Pr(>|t|)

(Intercept) -0,001732 0,001738 -0,997 0,326

inflation 0,922547 0,036607 25,201 < 2e-16

R-squared 0,9492

Adjusted R-squared 0,9477

Analyse de la variance :

Df Somme des carrés Carré moyen F Pr(>F)

inflation 1 0,036736 0,036736 635,1 < 2,2e-16

Résidus 34 0,001967 0,000058 - -

98

Annexe 2 : Tables de mortalité des personnes en arrêt de travail issues du BCAC

Loi de mortalité des personnes en incapacité :

An

cien

net

é

(an

née

s)2

52

62

72

82

93

03

13

23

33

43

53

63

73

83

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04

14

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54

64

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05

15

25

35

45

55

65

75

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010

00

010

00

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00

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00

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00

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010

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00

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010

00

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00

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00

010

00

010

00

010

00

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00

010

00

010

00

010

00

010

00

010

00

010

00

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00

010

00

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00

010

00

010

00

010

00

0

19

98

59

98

59

98

59

98

59

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49

98

49

98

39

98

39

98

29

98

19

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09

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59

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95

99

95

49

94

99

94

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93

99

93

49

92

99

92

79

92

59

92

39

92

19

919

99

179

915

99

139

911

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99

02

98

95

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86

98

77

98

66

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97

49

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49

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49

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39

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29

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19

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96

89

96

79

96

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79

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89

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09

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19

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39

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99

06

98

97

98

89

98

80

98

76

98

73

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69

98

66

98

62

98

59

98

55

98

51

98

48

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44

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32

98

20

98

03

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88

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70

39

96

59

96

59

96

59

96

59

96

49

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19

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79

95

59

95

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41

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07

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97

97

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97

76

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59

97

37

97

179

69

3

49

95

79

95

79

95

79

95

69

95

59

95

39

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29

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89

79

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78

69

78

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76

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75

09

74

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67

79

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4

59

94

99

94

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89

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97

129

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89

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19

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19

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19

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69

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49

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79

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49

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49

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39

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29

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01

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Age

à la

surv

enan

ce

99

Loi de mortalité des personnes en invalidité :

Anci

ennet

é

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160

80

27

78

89

77

48

76

04

74

56

73

05

73

45

718

17

016

68

48

28

84

21

82

93

815

98

02

17

87

87

73

17

58

17

42

77

27

07

109

713

56

96

26

78

7

29

83

01

816

38

02

07

87

27

719

75

63

74

02

72

39

70

72

69

03

69

136

73

2

30

817

18

02

37

87

07

712

75

50

73

83

72

137

04

06

86

46

68

66

416

31

80

32

78

74

77

107

54

27

36

97

193

70

136

83

16

64

56

45

8

32

78

83

77

147

54

07

36

17

179

69

92

68

03

66

116

417

33

77

25

75

45

73

60

717

16

97

86

78

26

58

36

38

2

34

75

57

73

66

717

06

97

06

76

76

56

26

35

4

35

73

80

717

76

97

16

76

16

54

86

33

2

Age

à la

surv

enan

ce

100

Annexe 3 : Lois de mortalité d’expérience des assurés en arrêt de travail

Incapacité :

Invalidité :

0

5 10 1

5 20 2

5 30 3

5

0,000%

0,050%

0,100%

0,150%

0,200%

0,250%

303

5404

5505

560

Ancienneté (mois) Age à la survenance

Mortalité d'expérience pour l'incapacité

0 2 4 6 8 10 12 14

0,000%

0,200%

0,400%

0,600%

0,800%

1,000%

1,200%

1,400%

30

35

4045

5055

60


Age à la survenance

Mortalité d'expérience pour l'invalidité

101

Documents

Mémoire présenté le : pour l’obtention du diplôme de ... · tableau 22 : bareme de coefficients d’antiselection.....87 tableau 23 : coefficients de majoration du tarif en