24

MOD - Atrey's home pageatrey.karlin.mff.cuni.cz/~ansa/neklasiky/modalni.pdf · hzenm s jazyk em neb o b ... Vidme e a k oli ti zmi o v an vlastnosti vypadaly celk em rozumn ede jejic

  • Upload
    lamanh

  • View
    214

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: MOD - Atrey's home pageatrey.karlin.mff.cuni.cz/~ansa/neklasiky/modalni.pdf · hzenm s jazyk em neb o b ... Vidme e a k oli ti zmi o v an vlastnosti vypadaly celk em rozumn ede jejic

�� MOD�LN� LOGIKY

Shled�v�me toti� ve v�cech n�kter�� u nich� jest mo�no b�ti a neb�ti� nebo� se shled�v�� �e n�kter� serod� a hynou a v d�sledku toho mohou b�ti a neb�ti Ale jest nemo�n�� aby vechno� co je takov�� bylov�dycky� pon�vad� co m��e neb�ti� n�kdy nen� Jestli�e tedy vechno m��e neb�ti� n�kdy nebylo skute�n�nic Jestli vak toto jest pravda� ani nyn� by nic nebylo� pon�vad� co nen�� neza��n� le� skrze n�co� cojest Nebylo�li tedy ��dn�ho jsoucna� nebylo mo�n�� aby n�co za�alo b�ti� co� je z ejm� nespr�vn� Tedyne vechna jsoucna jsou mo�n�� n�br� mus� b�ti ve v�cech n�co nutn�ho Ale ka�d� nutn� bu� m� p ��inusv� nutnosti odjinud� nebo nem� Nen� pak mo�no postupovati do nekone�na v nutn�ch� je� maj� p i�inusv� nutnosti� jako to nen� mo�n� u p ��in ��inn�ch� jako bylo dok�z�no Tedy jest nutno stanoviti n�co�co je samo sebou nutn�� nemaj�c odjinud p ��iny nutnosti� n�br� co jest p ��inou nutnosti jin�m

Tom� Akvinsk�� Summa theologicae�

Cvi�en� �� O �em mysl��� �e je p�edch�zej�c� text� Dok��e� v n�m objevit n�jakou logickou chybu�

Podle uk�zky jsi mo�n� uhodl� �e dnes bude �e� o tom� co je mo�n a co je nutn To jsou ot�zky�kter tr�pily �lozofy po cel� stalet�

Na konci � let zalo�ila skupinka v�dc�� z nich� nejv�znamn�j��m byl �lozof a logik Rudolf Carnap�uskupen� nazvan V�de�sk� kruh Jejich manifestem se stal text nazvan� V�deck� sv�tov� n�zor � V�de��sk� kruh�� ve kterm od samho po��tku prohla�uj�� �e v�echny problmy tradi�n� �lozo�e jsou bu�topseudoproblmy vytvo�en nespr�vn�m zach�zen�m s jazykem� nebo by je m�la �e�it fyzika �i biologie�

Vyjas�ov�n� tradi�n�ch �lozo�ck�ch probl�m� vede k tomu� �e budou ��ste�n� odhaleny jako probl�myzd�nliv�� a ��ste�n� p em�n�ny v probl�my empirick� a t�m pod �zeny soudu empirick�ch v�d

Jaroslav Peregrin� Analytick� �loso�e �n��rt��� kapitola �� str �

Z�kladn�m p��nosem V�de�skho kruhu modern� �lozo�i se stal jejich obrovsk� d�raz na to� aby bylojasn� �e�eno� co znamenaj� pojmy� se kter�mi se pracuje Carnap a ostatn� �lenov skupiny se toti�domn�vali� �e v�echny �lozo�ck problmy p�jde rozlousknout pomoc� logick anal�zy jazyka� tedy pomoc�rozboru logick�ch vztah� mezi pou�it�mi slovy a jejich v�znam�� Proto se pro n� v�ilo tak ozna�en�logi�t� pozitivist��

Vra�me se k textu od Tom��e Akvinskho a podobn� jako pozitivist se pokusme zamyslet nad t�m�co znamenaj� slova� kter� se v textu vyskytuj� D��ve ne� tak u�in�me� pod�vejme se do slovn�ku ciz�chslov� co znamenaj� v�razy� s nimi� se budeme �asto setk�vat�

mod�ln� slovesa �zp�sobov�� � obm��uj�c� v�znam slovesa po str�nce zp�sobov� �mo�nosti� v�le�nutnosti apod�� cht�t� m�t �za povinnost�� moci� musit� sm�t� nap nemocn� chce j�st� ale sm� jen p�t�mod�ln� ��stice � vyjad uj�c� stanovisko mluv��ho k obsahu v�ty� nap mo�n�� pr� atp�modalita � � mo�n� zp�sob� jak se n�co prov�d�� nebo okolnost� za n�� se �podle �mluvy� n�co

prov�d� � stupe� jistoty ur�it�ho soudu� jeho charakteristika z hlediska �s�ly� tvrzen� � uplat�ov�n�postoje mluv��ho ve v�pov�di� tj �e ji pova�uje za skute�nou� cht�nou atp

Doc dr Lum�r Klime� CSc� Slovn�k ciz�ch slov� str ���

Slovemmodalita budeme v�t�inou ozna�ovat slova �mo�n�� a �nutn�� a logick symboly� a�� kter�mije ozna�ujeme V �ir��m smyslu se v logice za modality pova�uj� v�echny v�razy� kter v n�jakm smysluvyjad�uj� vztah mluv��ho k ur�itmu v�roku nebo upravuj� jeho v�znam� nap��klad tedy v�razy �v���m��e�� �v�m� �e�� �je v�eobecn� zn�mo� �e�� �je p�ik�z�no�� �mus�m za��dit� aby�� �nesm�m dopustit� aby���je dokazateln� �e� a mnoh dal��

Rozhodne�li se logik za��t zkoumat logick vlastnosti n�jak�ch slov p�irozenho jazyka� v na�em p��pad�slov �nutn�� a �mo�n��� m� n�kolik mo�nost� jak za��t�

�P�elo�ili �e�t� dominik�ni� Franti�ek Marek� �tp�n Zapletal Filoso�ck� ��tanka� str� � �����Krom Carnapa se na sepisov�n� textu pod�leli tak� matematik Hans Hahn a sociolog Otto Neurath��U� d�vno p�ed nimi racionalista Gottfried Wilhelm Leibniz ����������� tvrdil� �e mnoh� �lozo�ck� probl�my by zmi�

zely� kdyby se podrobnji prozkoumaly nedokonalosti jazyka� My�lenkov� proudy � � stolet�� kter� rozv�jej� tuto my�lenku�naz�v�me souhrnn analytick� �lozo�e�

�Sl�vko pozitivismus zde ozna�uje p�esvd�en�� �e skute�n� smysl maj� pouze ot�zky� na kter� lze odpovdt na z�kladpozorov�n� a m�en�� tedy ot�zky empirick�� na kter� d�vaj� odpov� p��rodn� vdy�

Typeset by AMS�TEX

Page 2: MOD - Atrey's home pageatrey.karlin.mff.cuni.cz/~ansa/neklasiky/modalni.pdf · hzenm s jazyk em neb o b ... Vidme e a k oli ti zmi o v an vlastnosti vypadaly celk em rozumn ede jejic

�� Pomoc� n�kolika formul� popsat� jak se tato sl�vka chovaj�� a pou��t je jako axiomy logickho systmuTento zp�sob se naz�v� axiomatick� nebo tak syntaktick�� proto�e vede k vytv��en� systm�� se kter�mim��eme pracovat� i kdy� zapomeneme na p�vodn� v�znam symbol�� takov systmy se v logice naz�vaj�kalkuly a ��st logiky� kter� se jimi zab�v�� syntaxe Syntaxe zahrnuje i volbu symbol� pro d�le�it pojmya popis� jak sm�me tyto symboly �adit za sebe �Nap��klad posloupnost symbol� �B� � A� toti� ned�v���dn� smysl�

�� Formulovat kritria pro ur�ov�n� pravdivosti v�rok� �mo�n� A� a �nutn� A� Nap��klad m��emezkusit nalzt tabulky� kter by ur�ily pravdivostn� hodnotu v�rok� �mo�n� A� a �nutn� A� na z�klad�pravdivostn� hodnoty v�roku A Nebo m��eme vytv��et modely� pomoc� kter�ch ur��me pravdivost v�rok��mo�n� A� a �nutn� A� v r�zn�ch mo�n�ch stavech sv�ta Tento postup se naz�v� s�mantick�� proto�ese t�k� logickho zkoum�n� v�znamu� tedy ��sti logiky naz�van s�mantika

�� Popsat� jak argumenty a protiargumenty lze pou��t v diskuzi o v�t�� kter� zmi�ovan� sl�vkaobsahuje To lze ud�lat nap��klad ur�en�m pravidel logick hry Tento postup se naz�v� dialogick� nebodynamick�� proto�e se p�i n�m logiku nahl���me jako soubor pravidel pro rozhovor � dialog� nebo jakodynamick� proces p�esv�d�ov�n� partnera v dialogu�

�Lukasiewiczovo zkoum�n� vlastnost� modalit

Zkoum�n�m logick�ch vlastnost� modalit se zab�vali ji� st�edov�c� k�es�an�t� myslitel Na po��tkunovodob�ch d�jin logiky ve � letech � stolet� na n� nav�zal polsk� logik Jan �Lukasiewicz� kter�se p�vodn� zab�val pr�v� studiem st�edov�k �lozo�e �Lukasiewicz se pokusil zapsat z�kladn� pravidlast�edov�k mod�ln� logiky �tedy logiky zab�vaj�c� se v�roky o tom� co je mo�n a nutn� pomoc� symbol�modern� logiky v�rokov Jeho zna�en� umo��ovalo rozli�it n�sleduj�c� �ty�i typy v�pov�d� o mo�nm anemo�nm�

�A je mo�n� �e A possibile��A nen� mo�n� �e A impossibile��A je mo�n� �e ne�A contingens���A nen� mo�n� �e ne�A necessarium

Jak ukazuje �vodn� cit�t� k �vah�m o mo�nm pat�� tak �vahy o nutnm Pro nutnost m�me op�t�ty�i mo�nosti��A je nutn� �e A��A nen� nutn� �e A��A je nutn� �e ne�A���A nen� nutn� �e ne�A

Cvi�en� �� Latinsk� slova possibile� impossibile a necessarium znamenaj� mo�n� nemo�n a nutnRozhodni� jak tyto t�i mo�nosti zapsat pomoc� symbolu �

�Lukasiewicz d�le zkoum� t�i p�irozen vlastnosti tohoto typu v�rok��

���� Jestli�e nen� mo�n� �e A� pak ne�A ��A� �A���� Jestli�e ne�A� pak �v tomt� �asovm okam�iku� nen� mo�n� �e A �A� ��A���� Pro n�kter v�roky B plat�� �e je mo�n� �e B� i �e je mo�n� �e ne�B

Existuje B takov�� e �B � ��B

Odhldneme�li od toho� �e se n�m nepoda�ilo formalizovat t�et� vlastnost �ist� v�rokov��logickou for�mul�� m�me tu dal�� problm�

Cvi�en� �� Pomoc� axiomu �A�� klasick logiky

�A�� ��B� �A�� �A� B�

odvo� z ���� a ���� formuli C� �C

To u� je samo o sob� divn� ��k� to nap��klad� �e je�li mo�n� �e vyhraji ve Sportce mili�n �proto�ejsem si vsadila�� tak vyhraji ve Sportce mili�n� Jen�e to nen� v�echno�

Cvi�en� �� Na z�klad� p�ede�lho cvi�en� m��eme v�echny v�skyty znaku � v ���� vymazat Zjisti�co dostaneme

�Dialogick� p��stup k mod�ln� logice je pomrn komplikovan� a proto nen� v textu vylo�en�

Page 3: MOD - Atrey's home pageatrey.karlin.mff.cuni.cz/~ansa/neklasiky/modalni.pdf · hzenm s jazyk em neb o b ... Vidme e a k oli ti zmi o v an vlastnosti vypadaly celk em rozumn ede jejic

Vid�me� �e a�koli t�i zmi�ovan vlastnosti vypadaly celkem rozumn�� vede jejich p�ijet� k nep�ija�teln�m d�sledk�m Po tomto po��te�n�m ne�sp�chu s axiomatick�m postupem� se �Lukasiewicz obr�tilk smantickmu zp�sobu zkoum�n� logick�ch vlastnost� slov �mo�n�� a �nutn��

�Lukasiewiczova trojhodnotov� logika

�Lukasiewicz navrhuje m�sto v�rokov logiky� kter� pracuje pouze s dv�ma pravdivostn�mi hodnotami� v�rok je pravdiv� nebo nepravdiv� � pou��t logiku trojhodnotovou� ve kter je nav�c i pravdivostn�hodnota monost Tuto t�et� hodnotu budeme zna�it x

Ostatn� princip dvouhodnotovosti odm�tal u� Aristoteles Jeho obl�ben�m p��kladem byla v�ta �z�trabude n�mo�n� bitva� Pokud je tato v�ta pravdiv�� mus� se z�tra nutn� konat n�mo�n� bitva� a�koli o tomje�t� nikdo nerozhodl Je�li nepravdiv�� je nemo�n� aby se bitva konala Jestli�e tato v�ta mus� m�t jednuz pravdivostn�ch hodnot pravda nepravda� je o tom� zda se bitva bude konat� p�edem rozhodnuto anem��eme s t�m u� nic ud�lat

Pozd�ji byl tento problm zformulov�n je�t� razantn�ji Nap��klad �v�carsk� reform�tor Kalv�n tvrdil��e o ka�dm �lov�ku B�h p�edem v�� jestli bude spasen nebo ne � nem�me ��dnou �anci to sv�m jedn�n�movlivnit D�ky tomu� �e B�h je v�ev�douc�� mus� b�t p�edem d�no� koho spas� � � �

Na poli �lozo�e vede tedy dvouhodnotov� logika k deterministickmu pohledu na sv�t a pop�r� jakoukolimo�nost svobodn volby ohledn� toho� co budeme j�st� p�t� jak�mi cestami se budeme ub�rat a s k�m sebudeme p��telit V�echno je p�edem ur�eno� nebo� v�roky jako �budu�li je�t� na�ivu� d�m si �� �ervence� �� k ob�du gul��� maj� p�edem danou �a� n�m nezn�mou� pravdivostn� hodnotu

�Lukasiewicz nab�z� �e�en�� v�roky o budoucnosti nech� maj� pravdivostn� hodnotu x� kter budeme ro�zum�t jako �monost� Samoz�ejm� mus�me ur�it� jakou pravdivostn� hodnotu budou m�t slo�en v�roky�po vzoru klasick logiky to ud�l�me pomoc� tabulek

Hodnota x odpov�d� tomu� co se v logice a �lozo�i b��n� naz�v� kontingence � v�rok s pravdivostn�hodnotou x m��e b�t pravdiv� a m��e tak b�t nepravdiv� Vojt�ch Kolman p�esv�d�iv� dokl�d�� �eb��n u�it� slova �mo�n�� odpov�d� pr�v� kontingenci�

�ekneme�li v b��n� promluv�� �e n�jak� situace �A�� nap v�t�zstv� ur�it� strany ve volb�ch� je doceladob e mo�n� ��A�� nesporn� t�m pop�r�me� �e by tato strana ve volb�ch vyhr�t nemohla� tzn �e by jej�prohra byla nutn� ����A� To� �e by vyhr�t musela ��A�� samoz ejm� nep edpokl�d�me �nespolutvr�d�me�� zd� se ale� �e to dokonce implicitn� vylu�ujeme ���A�� nebo� na p �slun� dotaz ��mysl�te si� �emus� vyhr�t �� odpov�me nejsp� z�porn�� �Nemus� ani vyhr�t ani prohr�t� oboj� je mo�n��

Vojt�ch Kolman� Elementy kritiky modalit Ve sborn�ku Mo�nost� skute�nost� nutnost� str �!

�Lukasiewicz pro logick spojky navrhl n�sleduj�c� tabulky�

B �B �B �B� � �x x � �

A B A � B A � B A� B A� B� � � � � �� x x � x x� � x � x � � xx x x x � �x x x x � � � x x � x � �

M�sto toho� abychom pro ka�dou kombinaci hodnot A a B psali zvl��tn� ��dek� m��eme pro ka�douspojku napsat jej� vlastn� tabulku� ve kter hodnoty A nap��eme do levho sloupe�ku a hodnoty B dohorn�ho ��dku�

A � B � x �x

� x x x

A � B � x �x

� � �� x x� x

A� B � x �x

� x � � x� � �

A� B � x �x

� x x � x x �

Za tautologie tto trojhodnotov logiky budeme pova�ovat ty formule� kter pro v�echny mo�n hod�noty sv�ch prom�nn�ch maj� pravdivostn� hodnotu �

Page 4: MOD - Atrey's home pageatrey.karlin.mff.cuni.cz/~ansa/neklasiky/modalni.pdf · hzenm s jazyk em neb o b ... Vidme e a k oli ti zmi o v an vlastnosti vypadaly celk em rozumn ede jejic

N�sleduj�c� tautologie klasick logiky nejsou tautologiemi trojhodnotov mod�ln� logiky V z�vorce jepro zaj�mavost a zmaten� �ten��e uvedeno� zda se jedn� o intuicionistickou tautologii�

��� A � �A z�kon vylou�enho t�et�ho �intuicionisticky neplat����� ��A � �A� z�kon sporu �intuicionisticky plat����� �A � �A�� B spor implikuje cokoli �intuicionisticky plat���!� ��A� A�� A d�kaz sporem �intuicionisticky neplat���"� �A� �A�� �A vyvr�cen� sporem �intuicionisticky plat��

To� �e v trojhodnotov logice neplat� z�kon vylou�enho t�et�ho� bychom mo�n� uhodli u� z jeho n�zvu� samoz�ejm�� �e p�ipou�t�me i t�et� mo�nost� toti� �e v�rok nen� �ani pravdiv�� ani nepravdiv���

O n�co p�ekvapiv�j�� u� se m��e zd�t to� �e neplat� z�kon sporu� tedy �e n�jak� v�rok �m��e b�tsou�asn� pravdiv� i nepravdiv�� Ov�em je dobr si uv�domit� �e ve skute�nosti to znamen� pouze to� �eA � �A m��e m�t i jinou hodnotu ne� �nepravda� Konkrtn� m��e m�t i hodnotu �mo�n��� ale nem��em�t hodnotu �pravda�� V�me�li� zda je v�rok A pravdiv� �i nepravdiv� �pravdivostn� hodnota A je � nebo �� m� v�rok A � �A hodnotu �nepravda� Pouze v p��pad�� �e v�roku A p�i�ad�me hodnotu �mo�n���m� tak v�rok A � �A hodnotu �mo�n�� Zkr�tka a dob�e� v thle logice si m��eme dovolit n�sleduj�c�zbrklou �vahu� �Jestli�e m��e b�t pravdiv� v�rok A a tak m��e b�t pravdiv� v�rok �A �co� odpov�d�tomu� �e A m� hodnotu x�� tak m��e b�t pravdiv� i v�rok A � �A�

To� �e neplat� t�i zb�vaj�c� formule� je d�sledkem toho� �e neplat� z�kon sporu

Cvi�en� � Uka�� �e �e v trojhodnotov mod�ln� logice plat� n�sleduj�c��

��� �A� ���A de�nice � pomoc� ���� �A� ���A de�nice � pomoc� ��

��� ��A� B�� ��A� �B� axiom K�!� Jsou�li A a A� B tautologiemi tto logiky� je i B tautologi� tto logiky pravidlo modus ponens�"� Je�li A tautologi� tto logiky� je i �A tautologi� tto logiky pravidlo necesitace

Cvi�en� � Uka�� �e v tto logice plat� implikace �A� A a A� �A vyjad�uj�c�� �e je�li n�co nutn�pak to tak je� a pokud je n�jak� v�rok pravdiv�� pak je mo�n� aby byl pravdiv� Uka� tak� �e plat�ekvivalence ��A� �A a ��A� �A� tedy uka�� �e

��� A je mo�n� pr�v� kdy� je mo�n� �e A je mo�n��� A je nutn� pravdiv� pr�v� kdy� je nutn� �e A je nutn� pravdiv

Spojky tto logiky nejsou nez�visl� ve skute�nosti lze v�echny de�novat pomoc� implikace a negaceDe�nice jsou n�sleduj�c��

A � B je zkratkou za �A� B�� BA � B je zkratkou za ���A � �B�A� B je zkratkou za �A� B� � �B� A��A je zkratkou za �A� A�A je zkratkou za ���A

Cvi�en� �� Celkem p�ekvapiv� vypad� zji�t�n�� �e �Lukasiewicz de�noval tabulku pro �A na z�klad�ekvivalence �A� ��A� A� Ov��� �e tato ekvivalence je tautologi� trojhodnotov mod�ln� logiky

Cvi�en� �� Uka�� �e v mod�ln� trojhodnotov logice plat� ���� ��A� �A� ale neplat� ���� �A���A

Vid�me� �e �Lukasiewicz ve sv snaze vytvo�it form�ln� systm� kter� by odpov�dal st�edov�k mod�ln�logice� p��li� neup�l� kdy� to zkou�el axiomaticky� dosp�l ke sporu �viz cvi�en� !�� kdy� to zkou�el pomoc�

�V t�to logice ale plat� nkter� z �asto zpochyb�ovan�ch tautologi� klasick� logiky

��� A � �B � A� axiom �A��� �paradox implikace� �intuicionisticky plat����� �A � �A � B� �paradox implikace� �intuicionisticky plat����� ��B � �A� � �A� B� axiom �A�� �intuicionisticky neplat����� A � ��A z�kon dvoj� negace �intuicionisticky neplat��

�D�ky ekvivalenc�m �A � ���A a �A� ���A sta�� napsat tabulku pro jednu z modalit �� � a p�ijmout vhodnouz nich jako axiom� Ob tyto formule plat� t�m� ve v�ech mod�ln�ch logik�ch� proto�e popisuj� vlastnost vt�iny modalitnutn� je to� co nem��e b�t jinak� a mo�n� je to� co nemus� neb�t�

Page 5: MOD - Atrey's home pageatrey.karlin.mff.cuni.cz/~ansa/neklasiky/modalni.pdf · hzenm s jazyk em neb o b ... Vidme e a k oli ti zmi o v an vlastnosti vypadaly celk em rozumn ede jejic

tabulek� nepoda�ilo se mu zachytit vlastnosti� kter mo�nosti a nutnosti p�isuzovali st�edov�c� myslitel�viz cvi�en� #� Zd� se tedy� �e n�m nezb�v� nic jinho� ne� vr�tit se ke Carnapov� n�vrhu po��dn� sezamyslet na v�znamem slov �mo�n�� a �nutn��

R zn� druhy mo�nosti

P�i studiu logick�ch vztah� mezi v�roky o mo�nosti a nutnosti velmi brzy naraz�me na to� �e sl�vka�mo�n�� a �nutn�� pou��v�me v mnoha r�zn�ch kontextech a v ka�dm znamenaj� n�co trochu jinhoPokusme se nyn� popsat n�kolik z�kladn�ch zp�sob� ch�p�n� t�chto v�t

Redukcionistick� teorie modalitN�kter v�ty o mo�nosti a nutnosti lze p�eformulovat jako v�ty se sl�vky �ka�d�� a �n�kter��� Na�

p��klad �ekne�li matematik� �e prvo��sla v�t�� ne� � jsou nutn� lich�� m� t�m prost� na mysli� �e ka�dprvo��slo v�t�� ne� � je lich Podobn� si lze tvrzen�� �e �alky mohou b�t b�l� vykl�dat tak� �e n�kter�alky jsou b�l� A do t�etice� v �vodn�m cit�tu a koment��i k prvn�mu cvi�en� jsme vid�li� �e Tom��Akvinsk� pou��v� slov �nutn�� a �mo�n�� ve v�znamu �v�dy existuj�c�� a �n�kdy existuj�c�� ale n�kdyneexistuj�c���

Proto�e takto redukujeme v�roky mod�ln� v b��n v�roky bez modalit� ��k� se tomuto pojet� redukci�onistick�

V tomto ch�p�n� plat� dvojice implikac� �A� A �co nast�v� nutn� �v�dy�� to je pravdiv� a A� �A�skute�n� stav v�c� je mo�n� �nast�v� alespo� n�kdy��

Epistemick� modalityEpistemologie je ��st �lozo�e zab�vaj�c� se pozn�v�n�m Epistemick� zde tedy znamen� �t�kaj�c� se

aktu�ln�ho stavu na�eho pozn�n��Redukcionistick ch�p�n� v�znamu slov �mo�n�� a �nutn�� n�kdy vede k paradox�m� v�t� �je mo�n�

�e se Zem� st�etne s ciz�m t�lesem a zanikne� rozhodn� nechceme rozum�t tak� �e existuje t�leso� sekter�m se Zem� st�etne a zanikne � v�dy� ��k� pr�v� jen to� �e takov t�leso existovat m��e �ale nemus���Tuto v�tu si budeme vykl�dat jako tvrzen� �nejsou mi zn�my z�kony� z nich� by vypl�valo� �e Zem� toutocestou nezanikne�

Tak v detektivk�ch se �asto vyskytuj� situace� v nich� hrdinov usuzuj� na mo�nost �i nutnost n�jakhovysv�tlen� na z�klad� toho� co je jim zn�mo�

�Kdo zabil hostinsk�ho � za�al znovu Richards zmaten �V�dy� by s n�m m�lo pr�ci n�kolik mu���ne� by ho p emohli A�koli jich mohlo b�t v�c� kdo v tom m�li prsty Jestli byl n�kdo nen�vid�n� pak tobyl on�

�Byl to kram� �� ekla Mary zvolna �Zapomn�la jsem na kram� e Musil to b�t on� dostal se n�jakze zav en�ho skladit��

Chytila se t�to domn�nky� aby se vyhnula jin�� a za�ala znovu vypr�v�t cel� p �b�h� tentokr�t dychtiv��jak kram� p iel p edelou noc do hostince Hned se j� zd�lo� �e jeho vina je dok�z�na� a jin� vysv�tlen��e nen� mo�n

Daphne du Maurier� Hospoda Jamajka� p eklad Ladislav Bezpalec� Odeon� Praha �"#�� str ��$

Vid�me� �e sl�vko �musil� zde m� znamenat �vypl�v� to z toho� co v�m� Takto ch�pan modality�asto �zce souvis� s pojmem d�kazu� jak ostatn� nazna�uje i v�ta �jeho vina je dok�z�na�

Chceme�li se zab�vat epistemick�mi modalitami� mus�me jasn� ur�it� jak poznatky pova�ujeme zazn�m Dostaneme tak r�zn d�l�� druhy nutnosti a mo�nosti� jako nap��klad logickou nutnost �nap��kladplat� ��A��A�� proto�e A��A je tautologie klasick logiky� a fyzik�ln� nutnost �n�co je nutn� proto�eto odpov�d� zn�m�m fyzik�ln�m z�kon�m�

Mod�ln� logika by m�la popisovat ty vztahy mezi v�tami� kter nez�vis� na volb� mno�iny znalost�� zekter�ch vych�z�me Nap��klad

��A ��B�� ��A � B�

�M��eme t�� ��ci� �e pravdpodobnost� �e n�hodn vybran� �alka je b�l�� nen� nulov� �a�koli u� s�m n�zev nazna�uje��e s nejvt�� pravdpodobnost� bude �alov��� Proto se redukcionistick� pojet� t�� nkdy naz�v� statistick��

�Tom�� Akvinsk� si ov�em redukcionistick� pojet� nevymyslel� n�br� jej p�evzal od myslitele mnohem star��ho� Aristotela�Ten de�nuje nutn� jako to� co je v�dy aktu�ln�� nemo�n� jako to� co nen� nikdy aktu�ln�� a mo�n� jako to� co je aspo�jednou aktu�ln��

Page 6: MOD - Atrey's home pageatrey.karlin.mff.cuni.cz/~ansa/neklasiky/modalni.pdf · hzenm s jazyk em neb o b ... Vidme e a k oli ti zmi o v an vlastnosti vypadaly celk em rozumn ede jejic

je kandid�tem na pravdiv� v�rok ka�d mod�ln� logiky � kdy� dosp�ji k z�v�ru� �e �A a �B jsou pravdiv�budu si tak myslet� �e ��A � B� � nez�visle na tom� jestli �A � �B pova�uji za pravdiv na z�klad�logiky� fyziky� historie nebo psychologie

Cvi�en� �� Ur�i� na z�klad� jak�ch poznatk� jsou n�sleduj�c� v�ty epistemicky nutn O jak� poddruhepistemick nutnosti se jedn��

��� Jestli�e n�jak� �lov�k sko�� z Ei$elovy v��e� ur�it� spadne��� Jestli�e n�jak� rozumn� dosp�l� �lov�k sko�� z Ei$elovy v��e� bude ur�it� o�ek�vat� �e t�mto

p�dem zahyne��� Oz�nov� d�ra se ur�it� bude zv�t�ovat je�t� asi " let�!� Pokud Ji�� v��� t knize� ur�it� si mysl�� �e oz�nov� d�ra se bude zv�t�ovat je�t� asi " let�"� Plat��li A a tak A� B� tak nutn� plat� B

Formuli �A v epistemickm pojet� rozum�me tak� �e nemohu vylou�it pravdivost A� tedy �e z m�chpoznatk� nen� odvoditeln �A

Cvi�en� ��� Uka�� �e implikace �A � �A� kter� plat� ve v�t�in� mod�ln�ch logik� je d�sledkempo�adavku� aby n�� soubor znalost� neobsahoval spor

Praktick� �ili dispozi�n� modalityStejn� jako na m�ch znalostech z�vis�� o kter�ch situac�ch se domn�v�m� �e mohou nastat� bude na m�ch

schopnostech �dispozic�ch� z�viset to� co mohu ud�lat V konkrtn�ch situac�ch by m�lo b�t jednoduchov��it� zda jsou v�ty jako �mohu dok��u ub�hnout � metr� za " vte�in� pravdiv � prost� po��d�meo p�edveden� M��e se ale st�t� �e mluv�� v�roku se bude vykrucovat� �Mohl bych� ale zrovna se minechce�

Proto logikov zavedli pojem dosaiteln� stav a symbol �A �tou �stav A je dosa�iteln�� nebo �mohu mohla bych dos�hnout stavu A� Symbol �A interpretuj� jako neodvratnost stavu A� ozna�uje v�tu�nemohu za��dit� aby A nenastalo�� P�itom za neodvratn� pova�uji ka�d� stav� ktermu nemohu za�br�nit� tedy ka�d� stav A takov�� �e �A je pro mne nedosa�iteln Vz�p�t� uvid�me� �e tato interpretacesymbolu �A je celkem nep�irozen�� jej�m smyslem je zachovat ekvivalenci �A� ���A� na kterou jsoulogikov zvykl� z ostatn�ch mod�ln�ch logik a neradi by se j� vzd�vali

Tento typ modalit je zaj�mav� t�m� �e pro n�j neplat� �A � �A Nap��klad p�i h�zen� korunouneum�m za��dit� aby nepadl orel Z tohoto hlediska je pro m� stav �orel� neodvratn�� � orel Stejn� takale neum�m za��dit� aby orel padl� a tedy je pro m� nedosa�iteln� ��� orel�

Cvi�en� ��� Rozhodni� zda pro tento typ modalit plat� A� �A

Deontick� modalityStudiem p��kaz�� z�kaz� a dovolen� se zab�v� deontick� logika Do oblasti deontick logiky nespadaj� jen

skute�n z�kony� ale i ide�ln� soubory pravidel o tom� co je ��douc� a ne��douc�� co by se m�lo �i nem�lo�hovo��me pak o mravn� nutnosti Deontick� logika b�v� za�azov�na mezi logiky mod�ln�� proto�e tentotyp v�t �asto obsahuje slova ��ne�m��e �ne�sm��� ��nutn�� mus�� Pou�it� modalit k anal�ze pravidelnav�c souvis� s t�m� �e chceme�li jednat v souladu se z�kony a etick�mi pravidly na�� spole�nosti� jsouna�e mo�nosti podstatn� okle�t�ny v��i tomu� �eho bychom mohli dos�hnout na z�klad� sv�ch fyzick�cha du�evn�ch schopnost� a omezen�

Na druhou stranu se deontick logiky od ostatn�ch mod�ln�ch logik v n�kolika sm�rech v�razn� odli�uj�Proto�e symbol �A obvykle �teme jako �je p�ik�z�no nastolit stav A� a symbol �A jako �je dovolenonastolit stav A�� neplat� zde obvykl implikace �A� A �ne v�echno� co je p�ik�z�no� se skute�n� d�l��ani A� �A �ne v�echno� co d�l�m� je dovoleno�

Cvi�en� ��� N�sleduj�c� v�ty zkus za�adit do jednoho ze �ty� zmi�ovan�ch typ� modalit�

Je mo�n� �e Goldbachova domn�nka je nepravdiv�Nen� mo�n� �e Pythagorova v�ta je nepravdiv�� a � krokod�li jsou nutn� ! krokod�liM��e� mi p�j�it hodinky�

�V logick� literatu�e se pou��v� ozna�en� nevyhnuteln� stav� ale slovo �neodvratn�� pova�uji za jasnj��� Kdyby slovonezabraniteln� pat�ilo k b�n pou��van�m v�raz�m �esk�ho jazyka� vystihovalo by p�esn v�znam symbolu ��

Page 7: MOD - Atrey's home pageatrey.karlin.mff.cuni.cz/~ansa/neklasiky/modalni.pdf · hzenm s jazyk em neb o b ... Vidme e a k oli ti zmi o v an vlastnosti vypadaly celk em rozumn ede jejic

Prvo��sla mohou b�t sud�K zatm�n� Slunce dojde nutn� po��tkem p���t�ho m�s�ceVyhod�m�li kv�tin�� z okna� pad� nutn� k zemiNen� mo�n� aby se st�l vzneslNen� mo�n smrkat palcem u nohyTady nem��ete st�t�Ze severn�ho p�lu je mo�n j�t pouze na jihV�ty aritmetiky jsou nutn� pravdivSou�asn� existence faktu a jeho prot�j�ku je nemo�n�M��u u v�s b�t tak hodinuNen� pravda� �e ka�d� labu� je nutn� b�l� Labut� mohou b�t �ernK zavra�d�n� srbskho premira nemuselo doj�tTo snad ani nem��e� myslet v��n��%ten�� si z knihovny m��e vyp�j�it maxim�ln� deset svazk� najednouJe nutn� aby nemocn� zachov�val klid na l��ku a pravideln� u��val lkyVelk� ��jnov� socialistick� revoluce propukla s historickou nutnost�Nutn� pot�ebuji nov� po��ta�Svat u�en� m��e vyu��t pozn�n� ostatn�ch discipl�n� ne z nutnosti� ale pro v�t�� jasnost v�c�� kter

obsahuje��

Snadno lze uk�zat� �e takov nutn a p��sn� vzato obecn� tud�� �ist soudy apriorn� v lidskm pozn�n�skute�n� jsou��

Cvi�en� ��� Zkus v kr�sn nebo �lozo�ck literatu�e naj�t p��klady jednotliv�ch typ� modalit

Mo�n� sv�ty a relace dosa�itelnosti��

Na p��kladu formul� �A � �A� �A � A a A � �A jsme vid�li� �e pro r�zn typy modalit budememuset vytvo�it r�zn mod�ln� logiky �Lukasiewicz�v n�pad navrhnout tabulku s v�ce hodnotami� kter�by chov�n� modalit zachytila� se nejev� jako p��li� praktick�� pro ka�dou mod�ln� logiku bychom muselinavrhnout novou tabulku� p�i�em� nen� moc z�ejm� jak dos�hnout toho� aby tautologiemi byly pr�v�ty formule� kter chceme�� Metoda kripkovsk�ch model� vytvo�en� v & letech je zaj�mav� pr�v� t�m��e ji lze pou��t k zachycen� vlastnost� mnoha r�zn�ch typ� modalit N�pad vytv��et modely vych�z� zezji�t�n�� �e ka�dou modalitu charakterizuje rozd�len� �stav� sv�ta� �v logice obvykle p�ezd�van�ch mon�sv�ty� podle toho� za jak�ch okolnost� je pova�ujeme za mo�n a za jak�ch okolnost� nikoli

Pod�vejme se nap��klad na epistemick modality� M znalosti jsou omezen V d�sledku toho nedok��uo v�ech v�t�ch rozhodnout� zda jsou pravdiv nebo nepravdiv Nap��klad nedok��u ��ct� je�li v�ta �nasv�t� �ije v tomto okam�iku p�esn� & !"& !"& !"& lid�� pravdiv�� je to ale �vzhledem k m�m velmi chab�mznalostem o sv�tov populaci� docela dob�e mo�n Sv�t s & !"& !"& !"& obyvateli je vzhledem k m�mznalostem mo�n�� stejn� jako sv�t� ve kterm dnes v Brn� pr�elo Zato vzhledem k m�m znalostem nen�mo�n� sv�t� ve kterm byl dnes p�tek t�in�ctho� proto�e v�m� �e je ned�le

My v�ichni �bydl�me� v jednom z mo�n�ch sv�t�� nikdo z n�s ale nen� schopen p�esn� ur�it� ve kterm�Nanejv�� se m��eme omezit na mno�inu mo�n�ch sv�t�� ve kter�ch jsou pravdiv v�roky odpov�daj�c�na�im znalostem T�m je ur�ena relace dosaitelnosti� z na�eho sv�ta jsou dosa�iteln v�echny� kterodpov�daj� znalostem� kter m�me

Z hlediska logiky nen� mo�n� sv�t ni��m v�ce a ni��m mn� ne� objektem� o kterm v�me� kter v�rokyv n�m jsou pravdiv a kter dal�� mo�n sv�ty z n�j jsou dosa�iteln P�itom p�edpokl�d�me� �e pravdivostslo�it�j��ch v�rok� z�vis� na pravdivosti jednodu���ch v�rok� stejn� jako v klasick logice Nap��klad sv�t�ve kterm je pravda �Mars je planeta� a tak je pravda �Eustach je planeta� a p�itom nen� pravda �Marsa Eustach jsou planety�� nebudeme pova�ovat za mo�n�

��Tom�� Akvinsk� Summa theologicae� P�eklad Tom�� Han�il� Citov�no v Diogenes Allen Filoso�e jako br�na k teologii�nakladatelstv� Ml�n� T�ebenice ����� str� ����

��Immanuel Kant Kritika �ist�ho rozumu� p�eklad Franti�ek Krej��� Citov�no v Franti�ek Marek� �tp�n ZapletalFiloso�ck� ��tanka� nakladatel Franti�ek Nov�k� Praha ����� str� ����

��Proto�e epistemick� logiky jsou speci�ln�m p��padem mod�ln�ch logik� bude se tato ��st podobat p��slu�n� ��sti v ka�pitole o epistemick�ch logik�ch� Tam najde� tak� dal�� p��klady� Epistemick� logiky m�sto symbolu � u��vaj� symbol K aneobsahuj� symbol pro mo�nost�

��Bylo dok�z�no� �e pro mnoh� mod�ln� logiky takovou tabulku ani navrhnout nelze�

Page 8: MOD - Atrey's home pageatrey.karlin.mff.cuni.cz/~ansa/neklasiky/modalni.pdf · hzenm s jazyk em neb o b ... Vidme e a k oli ti zmi o v an vlastnosti vypadaly celk em rozumn ede jejic

N�zev relace dosa�itelnosti se m��e zd�t nahodil�� uv�dom si ale� �e dosud jsme se bavili o episte�mick�ch modalit�ch � to� co je mo�n� jsme ur�ovali na z�klad� na�ich znalost� Stejnou �vahu m��emeale provst nap��klad i pro modality praktick Schopnosti ka�dho �lov�ka jsou omezen Stavy sv�ta�kter�ch mohu dos�hnout� odpov�daj� pr�v� dosa�iteln�m mo�n�m sv�t�m� Nap��klad si dovedu p�edsta�vit sv�t� ve kterm ub�hnu � metr� za " vte�in� ale nen� to pro m� dosa�iteln� mo�n� sv�t � nemohu�neum�m� ub�hnout � metr� za " vte�in Kdybych �ila v mo�nm sv�t�� ve kterm plat� stejn fyzik�ln�z�kony jako v na�em sv�t�� ale lid by um�li b�hat desetkr�t rychleji� byl by pro m� dosa�iteln� i sv�t�ve kterm ub�hnu � metr� za " vte�in

Ka�d pojet� mo�nosti tedy ka�dmu mo�nmu sv�tu ur�uje mno�inu dosa�iteln�ch mo�n�ch sv�t�V p��pad�� �e mo�nost poj�m�me epistemicky� to budou ty mo�n sv�ty� kter jsou v souladu s na�imiznalostmi� v p��pad�� �e ji poj�m�me deonticky� to budou ty mo�n sv�ty� kter jsou v souladu s na�imiz�kony a etick�mi normami � � �

Rozmysli si� �e to� kter sv�ty jsou dosa�iteln� bude obecn� z�viset tak na tom� ve kterm mo�nmsv�t� se pr�v� nach�z�me Nap��klad v�me� �e hod�m�li m�� do vzduchu� spadne zp�tky na zem Pokud sezrovna nach�z�m v mo�nm sv�t�� ve kterm jsem pr�v� vyhodila m�� do vzduchu� omezuje tento poznatekmno�inu dosa�iteln�ch mo�n�ch sv�t� na ty� ve kter�ch m�� spadne na zem Nach�z�m�li se v mo�nmsv�t�� ve kterm jsem m�� do vzduchu nevyhodila� jsou �vzhledem k tomuto poznatku� dosa�iteln v�echnymo�n sv�ty

Zat�m jsme popisovali� kter mo�n sv�ty budeme pova�ovat za dosa�iteln� v�me�li� co pova�ujeme zamo�n Polo�me si nyn� opa�nou ot�zku� je d�no� kter mo�n sv�ty jsou dosa�iteln� o kter�ch v�roc�ch�ekneme� �e mohou b�t pravdiv� A o kter�ch �ekneme� �e jsou nutn� pravdiv�

Odpov�� nen� slo�it�� �A m��e b�t pravdiv� je pravdiv tehdy� je�li dosa�iteln� alespo� jeden mo�n�sv�t� kde je A pravdiv� �nutn� A� je pravdiv tehdy� je�li A pravdiv ve v�ech dosa�iteln�ch mo�n�chsv�tech

P�edstavme si situaci� ve kter Pep��ek ve �kole rozbil vitr�nu s vycpan�mi savci Kdy� si maminkap�e�te pozn�mku v ��kovsk kn��ce� dostane provinilec na vybranou� �Kdy� bude� cel odpoledne hodn��bude� bit ode mne a tat�nkovi nic ne�eknu� ale jestli bude� zlobit� dostane� od tat�nka po��dn� v�prask�Pep��ek vid�� �e v�prask je neodvratn�� tedy nutn� �v obou dosa�iteln�ch mo�n�ch sv�tech bude bit��ale �e m��e dos�hnout toho� aby nebyl moc velik� �sv�t� ve kterm dostane v�prask od maminky� jedosa�iteln�� V tto situaci tedy m��e Pep��ek ��ct� �Nutn� budu bit� ale mo�n� nebudu bit moc�

Cvi�en� ��� Zkusme nyn� de�novat relaci dosa�itelnosti pro deontick modality M��eme to ud�latnap��klad tak� �e z S jsou dosa�iteln sv�ty� v nich� nedoch�z� k poru�ov�n� ��dn�ch mor�ln�ch princip��kter nejsou poru�eny v S � tedy sv�ty� kter nejsou �o nic hor��� ne� sv�t S Rozhodni� jak vypad� relacedosa�itelnosti mezi n�sleduj�c�mi t�emi sv�ty�

��� Simon Legree vlastn� otroky a bije je��j Simon Legree vlastn� otroky� ale nebije je��� Simon Legree nevlastn� otroky ani nikoho nebije

P�edpokl�dej� �e mezi sv�ty ���� ��j a ��� nejsou ��dn dal�� rozd�ly vzhledem k mor�ln�m princip�m� kterzakazuj� vlastnit otroky a b�t kohokoli

Matematick� de�nice kripkovsk�ch model ��

P�ipome�me si� �e relace R na mno�in� W je n�jak� vztah� do kterho vstupuj� v�dy dva prvkymno�iny W Nap��klad vztah �A je bratr B� je relace na mno�in� lid�� Jen�k je bratrem Petra� Petr jebratrem Jen�ka� Jen�k je bratrem Ma�enky �ale Ma�enka nen� bratrem Jen�ka����

Kripkovsk� model se skl�d� z nepr�zdn mnoiny mon�ch sv�t W a relace dosaitelnosti � namno�in� W �� O ka�dm mo�nm sv�t� S je ur�eno� kter v�roky A v n�m jsou pravdiv �co� zna��me

��Tato de�nice se podob� de�nici kripkovsk�ch model� intuicionistick� logiky� ale je jednodu��� na relaci dosa�itelnostineklade ��dn� zvl��tn� podm�nky a podm�nky pro pravdivost �A� A�B� A�B� A � B a A � B jsou stejn� jako v klasick�logice� De�nice kripkovsk�ch model� pro epistemick� logiky je speci�ln�m p��padem de�nice pro mod�ln� logiky� Slovo�kripkovsk�� budeme �asto pro p�ehlednost vynech�vat v tomto textu jin� ne� kripkovsk� modely neuva�ujeme�

��Matematikov� pova�uj� relaci za mno�inu uspo��dan�ch dvojic� co� umo��uje p�edchoz� t�i vty napsat stru�nji �b�tbratrem� ! f�Jen�k� Petr�� �Petr� Jen�k�� �Jen�k� Ma�enka�� � � � g�

��Stejn jako v minul�ch kapitol�ch je t�eba zm�nit� �e form�ln vzato pat�� k modelu je�t valuace� kter� ka�d�mumo�n�mu svtu ur�uje� kter� atom�rn� formule� tedy v�roky bez logick�ch spojek �������������� v nm jsou pravdiv��

Page 9: MOD - Atrey's home pageatrey.karlin.mff.cuni.cz/~ansa/neklasiky/modalni.pdf · hzenm s jazyk em neb o b ... Vidme e a k oli ti zmi o v an vlastnosti vypadaly celk em rozumn ede jejic

S � A� a kter pravdiv nejsou �co� zna��me S �� A� Toto ur�en� ale nen� libovoln� mus� toti� spl�ovatn�sleduj�c� podm�nky���

S � A � B pr�v� tehdy� kdy� S � A a S � B S � A � B pr�v� tehdy� kdy� S � A nebo S � B S � �A pr�v� tehdy� kdy� neplat� S � A S � A� B pr�v� tehdy� kdy� S � B nebo neplat� S � A S � A� B pr�v� tehdy� kdy� S � A� B a S � B� A S � �A pr�v� tehdy� kdy� S � T potom T � A S � �A pr�v� tehdy� kdy� existuje T takov� �e S � T a T � A�

S � A �teme �v mo�nm sv�t� S je formule A pravdiv�� nebo �v mo�nm sv�t� S je spln�na formuleA� S �� A �teme �v mo�nm sv�t� S nen� spln�na formule A� nebo �v mo�nm sv�t� S nen� formuleA pravdiv��

V�imni si� �e de�nice modelu neklade ��dn podm�nky na pravdivost atomick�ch v�rok� To znamen���e si m��eme ur�it zcela libovoln�� kter atomick v�roky jsou v jednotliv�ch mo�n�ch sv�tech pravdiva kter nepravdiv

Model� v jeho� n�kterm sv�t� nen� formule A pravdiv�� nazveme protip��klad pro formuli A

Cvi�en� �� V p��pad� intuicionistick logiky se mohlo st�t� �e S �� A a sou�asn� S �� �A Uka�� �ev mod�ln�ch logik�ch plat� v�dy alespo� jedna z mo�nost� S � A a S � �A� tak�e vyj�d�en� �v mo�nmsv�t� S nen� formule A pravdiv�� �S �� A� ��k� tot� jako vyj�d�en� �v mo�nm sv�t� S je formuleA nepravdiv�� �S � �A�

Cvi�en� �� Uka�� �e ve sv�t�� ze kterho nejsou dosa�iteln ��dn mo�n sv�ty �ani on s�m�� jev�echno nutn� ale nic nen� mo�n

Cvi�en� ��� Uka�� �e pokud n�jak� formule obsahuje nejv��e n v�skyt� symbol� � a �� tak jej�pravdivost v danm sv�t� z�vis� na pravdivosti atomick�ch formul� ve sv�tech� do kter�ch se lze dostatpo nejv��e n �ipk�ch

N�kdy budeme pot�ebovat mluvit o v�ech modelech� kter lze vytvo�it k dan mno�in� mo�n�ch sv�t�W a relaci dosa�itelnosti � Proto dvojici W a � nazveme �kripkovsk� r�mec Vzhledem k tomu� �esi m��eme libovoln� zvolit� kter atomick v�roky jsou pravdiv v jednotliv�ch mo�n�ch sv�tech� lze nadanm r�mci vytvo�it r�zn modely

'ekneme� �e formule A plat� v danm r�mci� pokud je ve v�ech modelech na tomto r�mci pravdiv� vev�ech mo�n�ch sv�tech

Kalkuly mod�ln�ch logik

Jak u� bylo �e�eno v��e� omezuj� se logikov v�t�inou na ty mod�ln� logiky� v nich� nutn je to� conem��e neb�t a mo�n je to� co nen� nutn� jinak Proto budeme bez dal��ch zm�nek p�edpokl�dat� �ev�echny kalkuly obsahuj� n�sleduj�c� dvojici axiom��

�A� ���A de�nice � pomoc� ��A� ���A de�nice � pomoc� �

N�kter z obvykl�ch axiom� mod�ln�ch logik maj� tradi�n� a b��n� u��van n�zvy Jmenujme si alespo�n�kter���

K ��A� B�� ��A� �B�D �A� �AT �A� A� �A� ��A �A� ��A

��Vyjmenovan� podm�nky mus� b�t splnny ve v�ech mo�n�ch svtech S� T � W a mus� platit pro v�echny formule A�B"

��To jsou ale romantick� n�zvy"

Page 10: MOD - Atrey's home pageatrey.karlin.mff.cuni.cz/~ansa/neklasiky/modalni.pdf · hzenm s jazyk em neb o b ... Vidme e a k oli ti zmi o v an vlastnosti vypadaly celk em rozumn ede jejic

P�i formulaci kalkul� mod�ln�ch logik se setk�v�me se dv�ma pravidly Jedno je n�m u� zn�m pravidlomodus ponens�

Pokud jsi u� odvodil A a tak A� B� m��e� odvodit B pravidlo modus ponens

Druh pravidlo vyjad�uje� �e v�echny dokazateln v�ty jsou nutn� pravdiv�

Pokud jsi u� odvodil A� m��e� odvodit �A pravidlo necesitace

V�rokov mod�ln� logiky� kter obsahuj� klasickou v�rokovou logiku� axiomK a pravidla modus ponensa necesitace se naz�vaj� norm�ln� Obvykle jim d�v�me n�zvy podle toho� kter axiomy obsahuj�� tedynap� K� KD!" Logika KT se �asto ozna�uje pouze T� pro logiky KT! a KT" se pou��v� ozna�en� S! aS"

� Vlastnosti kripkovsk�ch model

Cvi�en� ��� Uka�� �e v�echny tautologie klasick logiky plat� ve v�ech modelech Rozhodni� zda lzezvolit mno�inu model�� ve kter by platily pr�v� tautologie �Lukasiewiczovy trojhodnotov mod�ln� logiky

Logikov se v�dy sna�� vytv��et kalkuly tak� aby v nich byly dokazateln pr�v� ty formule� kter jsoupravdiv bez ohledu na okolnosti� za jak�ch pravdivost vyhodnocujeme V klasick logice to znamenalo��e dokazateln by m�ly b�t v�echny tautologie a nic v�c� V mod�ln�ch logik�ch si budeme p��t� abydokazateln byly pr�v� ty formule� kter plat� ve v�ech r�mc�ch O tom� �e se takov kalkuly poda�ilosestrojit� vypov�daj� v�ty o korektnosti a o �plnosti�

V�ta ��� �O korektnosti logiky K� Vechny formule� kter� jsou dokazateln� v logice K� plat� ve vechr�mc�ch� tedy jsou pravdiv� ve vech mo�n�ch sv�tech vech model� Speci�ln� ve vech r�mc�ch�

plat� vechny tautologie klasick� logiky klasick� logika plat� ��A� B�� ��A� �B� axiom K plat��li A a A� B� plat� i B modus ponens pokud plat� A� plat� i �A necesitace

Dkaz� Dok��eme pouze axiom K� ostatn� ��sti jsou podobn Budeme postupovat sporem Nech� tedyv n�kterm mo�nm sv�t� S je implikace ��A� B�� ��A� �B� nepravdiv�

S �� �(A ⇒ B) ⇒ (�A ⇒ �B)

Proto�e pravdivost implikace je de�nov�na stejn� jako v klasick logice� m��eme z nepravdivosti im�plikace usoudit� �e prvn� �len je pravdiv�� ale druh� je nepravdiv�

S � �(A ⇒ B)S �� �A ⇒ �B

Z nepravdivosti �A� �B m��eme op�t usoudit� �e �A je pravda� ale �B nikoli

S � �(A ⇒ B),�AS �� �B

To znamen�� �e ve v�ech mo�n�ch sv�tech dosa�iteln�ch z S je A pravdiv� ale v n�kterm � ozna�mejej R � nen� pravdiv B

S � ¬(A ⇒ B),¬AS �� ¬B

R � AR �� B

�Tautologie je formule� jej�� hodnota je ve v�ech ��dc�ch tabulky ��

Page 11: MOD - Atrey's home pageatrey.karlin.mff.cuni.cz/~ansa/neklasiky/modalni.pdf · hzenm s jazyk em neb o b ... Vidme e a k oli ti zmi o v an vlastnosti vypadaly celk em rozumn ede jejic

��

V mo�nm sv�t� R tedy nen� pravdiv� implikace A � B� a proto�e R je dosa�iteln� z S� dost�v�meS �� ��A� B� To je spor s p�edpokladem� �e S � ��A� B�

Cvi�en� ��� Doka�� �e pravidlo necesitace je korektn� vzhledem k mno�in� v�ech r�mc�� tj doka�posledn� bod p�ede�l v�ty

Bez d�kazu si uve�me tak sest�i�ku v�ty o korektnosti�

V�ta ��� �O �plnosti logiky K� Formule� kter� plat� ve vech r�mc�ch� je dokazateln� v logice K

Podle v�ty o korektnosti nem� smysl sna�it se naj�t mno�inu model�� ve kter by neplatily n�kterz formul�� kter jsou dokazateln v logice K Konkrtn� to znamen�� �e modely jsou vhodn ke zkoum�n�pouze norm�ln�ch mod�ln�ch logik �tedy t�ch� kter obsahuj� v�echny formule dokazateln v logice K�P��kladem logiky� kter� toto kritrium nespl�uje� je �Lukasiewiczova trojhodnotov� mod�ln� logika� kter�neobsahuje n�kter klasick tautologie �viz cvi�en� "�

M��eme si zvolit n�jakou formuli F� kter� nen� v K dokazateln�� a zkoumat� co se stane� p�id�me�liji jako dal�� axiom Vzniklou logiku� kter� m� v�ce axiom� ne� logika K� ozna�me L Ve cvi�en� ��� v �kapitole jsme si uk�zali� �e bude�li p�idan� formule F obsahovat pouze spojky ������� a �� budeme��ist� na z�klad� klasick v�rokov logiky� um�t odvodit spor A � �A Proto logika L nebude m�t ��dn�model� proto�e v ��dnm mo�nm sv�t� nem��e b�t sou�asn� pravdiv A i �A Zkus�me tedy p�idatn�jakou formuli� kter� obsahuje tak symboly � a � a budeme zkoumat� jak vypad� mno�ina r�mc�� vekter�ch plat� v�echny formule dokazateln v logice L

(�dn r�mce nemohou p�ib�t� proto�e v�echny modely �nad v�emi r�mci� jsou modely logiky K Nav�cplat�� �e pokud n�jak� logika L obsahuje formuli F� tak tato formule bude obsa�ena i v ka�d logice L)�kterou z�sk�me p�id�n�m n�jakho axiomu k L Pokud F neplat� v danm r�mci� nic se na tom nezm�n�p�id�n�m dal��ho axiomu do L D�ky tomu se mno�ina r�mc�� ve kter�ch plat� v�echny formule ur�itlogiky� m��e p�id�n�m axiomu skute�n� jen zmen�it

Cvi�en� ��� Doka�� �e v n�jakm r�mci plat� axiom D� pr�v� kdy� je z ka�dho mo�nho sv�tadosa�iteln� n�jak� mo�n� sv�t

Na z�klad� p�edchoz�ho cvi�en� vid�me� �e mod�ln� formule mohou popisovat vlastnosti r�mc� Keka�d mod�ln� formuli m��eme zkoumat mno�inu v�ech r�mc�� ve kter�ch plat�� �asto nen� t��k po�psat vlastnost� kterou maj� v�echny spole�nou V n�sleduj�c� v�t� shrneme vlastnosti r�mc� odpov�daj�c�nejb��n�j��m mod�ln�m axiom�m a jejich kombinac�m

V�ta ��� �O korektnosti a �plnosti r�zn�ch logik� N�sleduj�c� norm�ln� logiky jsou korektn� a �pln�vzhledem k mno�in� vech model� s danou vlastnost� Jinak e�eno� vechny formule dokazateln� v kalkuluse zm�n�n�mi axiomy plat� ve vech modelech s danou vlastnost� a pokud n�jak� formule plat� ve vechmodelech s danou vlastnost�� je dokazateln� v kalkulu se zm�n�n�mi axiomy

KD �A� �A s�riovost S �W �T �W S � T

T * KT �A� A re%exivita S �W S � S

K! �A� ��A tranzitivita S� T� U � W �S � T � T � U�� S � U

K" �A� ��A eukleidovskost S� T� U � W �S � T � S � U�� T � U

S! * KT! re%exivita a tranzitivitaS" * KT" ekvivalence re%exivita� tranzitivita a symetrie

Zkusme si v lidsk �e�i p�e��kat� co znamenaj� ty podivn formule a ciz� slova v p�ede�l v�t��

sriovost� z ka�dho sv�ta je dosa�iteln� n�jak� sv�t re+exivita� ka�d� sv�t je dosa�iteln� s�m ze sebe tranzitivita� v�echny sv�ty� kam lze doj�t �po �ipk�ch�� jsou dosa�iteln eukleidovskost� mezi v�emi sv�ty� do kter�ch se lze dostat z u� vedou �ipky symetrie� �ipky jsou obousm�rn �S� T � W S � T � T � S� ekvivalence� mo�n sv�ty jsou rozd�leny na skupiny� mezi kter�mi nevedou ��dn �ipky� a uvnit�

ka�d vedou �ipky z ka�dho sv�ta do ka�dho

Page 12: MOD - Atrey's home pageatrey.karlin.mff.cuni.cz/~ansa/neklasiky/modalni.pdf · hzenm s jazyk em neb o b ... Vidme e a k oli ti zmi o v an vlastnosti vypadaly celk em rozumn ede jejic

��

seriovost eukleidovskostreflexivita symetrie tranzitivita

Na n�kolika cvi�en�ch si uk��eme� k �emu se n�m v�ty o korektnosti a �plnosti mohou hodit�

Cvi�en� ��� Uka�� �e v logice T je dokazateln� formule A� �A D�le uka�� �e v logice T je dokazateln�axiom D� tedy �e KT * KDT

Cvi�en� �� Uka�� �e formule ��A � B� � ���A � �B� nen� dokazateln� v logice T� ale jedokazateln� v logice S! * KT!

Cvi�en� �� Rozmysli si� �e mo�n sv�ty jsou rozd�leny do skupin tak� �e z ka�dho sv�ta jsou dosa�i�teln v�echny sv�ty v �jeho� skupin� a ��dn jin� pr�v� kdy� je relace dosa�itelnosti re+exivn�� tranzitivn�a symetrick� Takov relaci ��k�me ekvivalence

Cvi�en� ��� P�id�n� axiomu odpov�d� p�id�n� p��slu�n podm�nky na relaci dosa�itelnosti Nap��kladlogika S" * KT" je korektn� a �pln� v��i v�em model�m� v��i kter�m jsou korektn� a �pln jak logikaKT� tak logika K"� tedy v��i v�em re+exivn�m eukleidovsk�m model�m Uka�� �e relace dosa�itelnosti jere+exivn� a eukleidovsk�� pr�v� kdy� je re+exivn�� symetrick� a tranzitivn� �a tedy to je ekvivalence� jakjsme konstatovali ve zn�n� v�ty�

Te� jsme se na chv�li zabrali do ryze matematickho zkoum�n� model� a vlastnost� jejich relace dosa�i�telnosti Pro logika m��e b�t takov zkoum�n� skute�n� vzru�uj�c�� proto�e mu d�v� nov prost�edky� jakzkoumat vlastnosti r�zn�ch logik pomoc� jim odpov�daj�c�ch vlastnost� relace dosa�itelnosti Nap��kladze cvi�en� �, vypl�v�� �e axiom � je dokazateln� v logice S" * KT" To znamen�� �e KT" * KT!" a �elogika S" obsahuje v�echny formule� kter jsou dokazateln v logice S! * KT!�

Typy modalit a mod�ln� logiky

Mo�n� se pt��� jak to v�echno souvis� s r�zn�mi typy modalit� kter jsme m�li v �myslu formalizovatpomoc� model� Na z�klad� toho� co jsme si ji� �ekli� bys asi ji� s�m dok�zal ur�it� kter soustavy axiom�jsou vhodn �i nevhodn pro r�zn typy modalit

Page 13: MOD - Atrey's home pageatrey.karlin.mff.cuni.cz/~ansa/neklasiky/modalni.pdf · hzenm s jazyk em neb o b ... Vidme e a k oli ti zmi o v an vlastnosti vypadaly celk em rozumn ede jejic

��

Nap��klad o redukcionistickm pojet� modalit jsme si �ekli� �e v n�m plat� �A � A a A � �A� co�jsou formule� kter neplat� v logice K� ale plat� v logice T Logik zast�vaj�c� redukcionistick stanoviskotedy do svho systmu p�ijme axiom T

P�ipome�me� �e p�i epistemickm ch�p�n� modalit budeme formuli �A ��st jako �v�m� �e A� V tomtokontextu se pro osobu� o jej�ch� znalostech mluv�me� �asto pou��v� slovo agent U� jsme si �ekli� �e axiomD� �A � �A vyjad�uje po�adavek� aby agent�v systm znalost� neobsahoval spor Proto�e jsme serozhodli pracovat s norm�ln�mi logikami� mus�me p�ijmout i axiom K� ��A � B� � ��A � �B���

Ten vyjad�uje logickou racionalitu agenta� pokud v�m� �e A implikuje B �co� se zna�� ��A� B�� a v�m��e A �tj �A�� tak usoud�m� �e B �tj �B���

Nyn� si mus�me polo�it ot�zku� zda p�edpokl�d�me� �e znalosti agenta jsou v souladu se skute�n�mstavem v�c� a p�ij�m�me i axiom T� �A� A� nebo jestli p�ipou�t�me mo�nost� �e se m�l� V p��pad�� �emo�nost m�lky nep�ipou�t�me� m��eme se rozhodnout mezi logikou S! a S" V logice S! plat� �A� ��A�tedy pokud agent n�co v�� pak v�� �e to v� V logice S" plat� nav�c ��A� ���A� tedy pokud agent n�conev�� pak v�� �e to nev� V praxi se nej�ast�ji setk�v�me s agenty typu S! v podob� r�zn�ch po��ta�ov�chdatab�z�� ve kter�ch je v rozumnm �ase nemo�n ov��it� �e n�jakou informaci neobsahuj�� a tedy o nichneplat� ��A� ���A

Pod�vejme se nyn� na deontick modality Ji� jsme si �ekli� �e symbol �A obvykle �teme jako �jep�ik�z�no nastolit stav A� a symbol �A jako �je dovoleno nastolit stav A� P�i tvorb� model� budemeza mo�n sv�ty pova�ovat r�zn stavy sv�ta Z danho mo�nho sv�ta budou dosa�iteln pouze dovolen�stavy sv�ta � m�sto o relaci dosa�itelnosti bychom tedy mohli mluvit o relaci dovolen� Pokud jsou dovolenypouze stavy� v nich� je v�rok A pravdiv�� je �implicitn�� p�ik�z�no nastolit stav A Naopak� pokud nen�dovolen ��dn� stav� v n�m� je A pravdiv�� je A zak�z�no Nap��klad m�m dovoleno pou��vat r�zndopravn� prost�edky� tak�e mezi dosa�iteln�mi stavy sv�ta jsou ty� v nich� jedu autobusem� tramvaj�� nakole� na kanoi atd� ale sv�t� v n�m� ��d�m formuli � dosa�iteln� nen�� proto�e k tomu nem�m opr�vn�n�Tedy m�m dovoleno jet tramvaj� a m�m zak�z�no jet formul� �

Pro sv�ty dosa�iteln ze sv�ta S se �asto pou��v� ozna�en� deontick� alternativy S a lze je ch�pat jakodeonticky perfektn� � jsou v nich toti� spln�ny v�echny p��kazy P�i tom p�edpokl�d�me� �e v deontickyperfektn�ch sv�tech jsou spln�ny v�echny v nich platn p��kazy� tedy �e jsou dosa�iteln samy ze sebeP��slu�n� mod�ln� formule zn� ���A� A� a odpov�daj�c� vlastnost relace dosa�itelnosti popisuje formuleS� T �W S � T � T � T

Cvi�en� ��� a� Rozmysli si� �e ���A� A� ��k� tot� jako S� T � W S � T � T � T b� Uka�� �e ���A� A� je dokazateln� v logice Tc� Zd�vodni� pro� do deontick logiky nep�id�me p��mo axiom T

P�i budov�n� deontick�ch logik se neust�le nar��� na problmy s p�ekladem formul� zp�tky do p�irozen�e�i Snad nejzn�m�j�� je takzvan� Ross�v paradox�

V logice K �a tedy i ve v�ech zm�n�n�ch deontick�ch logik�ch� plat� �A � ��A � B� Nech� �Aozna�uje p��kaz �po�li tento dopis�� a �B ozna�uje �spal tento dopis��� zd� se� �e v logice K z p��kazu�po�li tento dopis�� vypl�v� p��kaz �po�li nebo spal tento dopis��

Spr�vn�ji bychom m�li napsat� �e A ozna�uje v�rok �dopis je posl�n�� �A ozna�uje pob�dku �nastolstav� ve kterm dopis je posl�n� a analogicky pro B Vid�me� �e mus�me b�t opatrn� � formule �A ���A� B� zachycuje zcela spr�vnou �vahu� �e plat��li ve v�ech deonticky perfektn�ch �a tedy dovolen�ch�stavech sv�ta v�rok� �e dopis je posl�n� plat� tam tak v�rok� �e dopis je posl�n nebo sp�len

��N�zev axiomu K poch�z� pravdpodobn pr�v z anglick�ho slova knowledge � pozn�n����Stru�n �e�eno� axiom K ��k�� �e agent nen� #pln hloup��

Page 14: MOD - Atrey's home pageatrey.karlin.mff.cuni.cz/~ansa/neklasiky/modalni.pdf · hzenm s jazyk em neb o b ... Vidme e a k oli ti zmi o v an vlastnosti vypadaly celk em rozumn ede jejic

��

Sm�sice pozn�mek a cit�t

Aristotel v pohled na v�roky o budoucnosti

Soud m� tedy podle Aristotela pravdivostn� hodnotu nutn�� ale neur�it�� tj nem� nutn� pr�v� tutopravdivostn� hodnotu Kdy� odhl�dneme od toho� �e �asto nedovedeme pravdivostn� hodnotu ur�it� �iliod tzv rozhodnutelnosti� pak je t��ko pochopiteln�� jak m��e soud m�t s�m o sob� pravdivostn� hodnotuneur�enou � � � � � Existuje ale hlub� d�vod� pro� se Aristoteles uch�lil ke koncepci zprvu neur�en� prav�divostn� hodnoty On se toti� ob�val� �e bychom �xov�n�m soudu o budouc�m jevu na ur�itou pravdivostn�hodnotu zruili nahodil� prediik�ty� �e bychom do reality zavedli striktn� determinismus � � � � � Skute�n��Aristoteles zam��uje nutnost logickou s nutnost� re�lnou Je�li pravda shoda pozn�n� s realitou a je�lisoud �Petr z�tra ud�l� zkouku� pravdiv�� pak skute�n� Petr nutn� m� ten predik�t� nutn� v ur�it�m �ase�z�tra� zkouku ud�l� Ale nutnost� v �du dedukce� nutnost� konsekven�n� To znamen�� �e za dan�chp edpoklad� mus�m uznat� �e Petrovi akt vyj�d en� predik�tem pat �� ta nutnost vypl�v� pr�v� z on�chp edpoklad� Je to tedy evidentn� nutnost logick�� dan� strukturou ur�it�ho mylenkov�ho pochodu �� � � � Aristoteles vak z t�to logick� nutnosti d�l� nutnost re�lnou� podle n�� je Petr k tomu aktu re�ln�determinov�n � a to je p echod neopr�vn�n� Jde toti� o prom�t�n� nutnosti zalo�en� toliko v ur�it�mmylenkov�m pochodu do reality� v n�� se takov� nutnost nenach�z� � � � � � M��li tedy soud o budouc�mjevu nutn� pravdivostn� hodnotu� nesignalizuje to ��dn� naprogramov�n� reality� nelze z toho vyvozovatne��douc� fatalismus

Ji � Fuchs� Filosife � &vod do �loso�e� � Filoso�ck� logika� str �!���!�

Co je nemo�n��

Co tedy vlastn� pokl�d�me za nemo�n� Je nap �klad nemo�n�� aby norm�ln� �lov�k ub�hl � m zap�t vte�in� aby nenastala bou�liv� reakce� kdy� bylo nalito do kyseliny s�rov mal mno�stv� vody� abyze slune�nicovho semena vyrostlo n�co jinho ne� slune�nice nebo aby s v�mi t eba krtek debatovalo koupi zahradn� seka�ky To jsou v�ci empiricky nemo�n� V�e uveden� je ve sporu s t�m� o �em n�sdnes a denn� p esv�d�uje sv�dectv� smysl� nebo soudob� v�da Poda ��li se spor formulovat tak� aby seprotivn�k�v n�zor uk�zal jako empiricky nemo�n�� lze jej snadno poukazem na sv�dectv� smysl� nebopoznatky soudob� v�dy zam�tnout

D�le se �asto setk�v�me se z�le�itostmi� kter� jsou nemo�n�� proto�e bychom byli doslova znemo�n�ni�a to spole�ensky znemo�n�ni� kdybychom je p ipustili Jednali bychom pak toti� proti zaveden�m zvyk�lostem� konvenc�m �i norm�m� kter� jsou v dan� spole�nosti uzn�van� a jejich� dodr�ov�n� je vy�adov�no�p �padn� kontrolov�no� a jejich p ekra�ov�n� se netoleruje� nebo dokonce postihuje V tomto smyslu jenemo�n� p�ej�t hranici bez platnho pasu� nepomoci �lov�ku� kter� je v ohro�en� �ivota a na�i pomocpot�ebuje� p�ech�zet ulici �na �ervenou�� nep�ij�t na sch�zku� kdy� jsme to sl�bili� sm�t se v nevhodnouchv�li� ale t eba i nepozdravit sv zn�m apod Jist� c�t�me� �e nemo�nost nedodr�et konvence a normym� �slab�� charakter ne� nemo�nost p ekra�ovat empirick� z�kony Kategori�nost konvenc� a noremje kategori�nost� ve smyslu Kantova kategorick�ho imperativu� jeho� uplat�ov�n� je z�le�itost� mor�lkyv p �pad� jednotlivce a mravn�ho �tosu v p �pad� spole�nosti Jej� charakter m��e b�t v konkr�tn�ch p ��padech poci�ov�n r�zn� nal�hav� Pova�ujeme za d�le�it� tento druh nemo�nosti uva�ovat zvl�� vedlenemo�nosti empirick� pro odlin� d�vody� kter� k jej�mu respektov�n� vedou Vedle nemo�nosti plynouc�z nerespektov�n� p �rodn�ch z�kon� chceme tedy br�t v �vahu i kategorickou nemo�nost nerespektov�n�konvenc� a norem� jakkoli jsou ony v�z�ny na ur�it� zaveden� zp�sob spole�ensk�ho kontaktu a mohouse proto v r�zn�ch spole�nostech v�znamn� liit Spory tohoto druhu spadaj� do oblasti pr�vn� a etick�� apoda ��li se je formulovat tak� aby se protivn�k�v n�zor uk�zal jako spole�ensky nep ijateln�� lze jej jakotakov� zam�tnout

Je jet� n�co� co pokl�d�me za nemo�n� Z logick�ho hlediska je nemo�n�� aby auto m�lo sou�asn� t�ia �ty�i kola� aby byl ur�it� obrazec sou�asn� �tverec i kruh Je nap �klad nemo�n� tvrdit� �e -t�p�nkaHilgertov� vyhr�la a sou�asn� nevyhr�la zlatou olympijskou medaili Nemo�n� je to proto� �e se v uve�den�ch p �kladech proh eujeme proti klasick�mu bezesporn�mu zp�sobu vyjad ov�n� � � � � � Chceme�livypov�dat o skute�nosti� pak logick� nemo�nost p edstavuje na jedn� stran� vyhrocenou formulaci dvouprotikladn�ch alternativ� a na druh� stran� v�zvu vybrat jednu z nich� toti� tu� kter� vyjad uje sku�te�nost� a zavrhnout tu druhou� empiricky� pr�vn� nebo eticky nemo�nou Logick� nemo�nost a spor jetedy z hlediska klasick� logiky tot�� P �klady jako auto m� pr�v� t�i a pr�v� �ty�i kola� tento obrazecje sou�asn� �tverec a kruh� -t�p�nka Hilbertov� vyhr�la a tak nevyhr�la zlatou olympijskou medaili seproh euj� proti z�konu sporu� kter� je z�kladn�m z�konem klasick� logiky

Page 15: MOD - Atrey's home pageatrey.karlin.mff.cuni.cz/~ansa/neklasiky/modalni.pdf · hzenm s jazyk em neb o b ... Vidme e a k oli ti zmi o v an vlastnosti vypadaly celk em rozumn ede jejic

��

Co rozum�me matematickou nemo�nost� Pokud v� �me� �e matematika je ve sv� podstat� empirick�v�da� pak matematick� nemo�nost je tot�� co empirick� nemo�nost Pokud v� �me� �e matematick� pravdymaj� charakter logick�ch �analytick�ch� pravd� pak je matematick� nemo�nost tot�� co logick� nemo�nostMezi v�znamn�mi mysliteli minul�mi i sou�asn�mi lze nal�zt zast�nce obou hledisek

Bo�ena 'vandov�� Explikace term�nu spor v logice Ve sborn�ku Miscellanea logica IV� str (��!

Co je mo�n� a nutn��

Hranice mo�n�ho jsou hranice smyslupln�ho� hranice smyslupln� v�ty� u�it� jazyka ve v� jeho r�znoro�dosti a %exibilit� Nutn� jsou pravidla� jimi� se p i tomto u�it� implicitn� �d�me� stalet�mi vyjet� koleje�do nich� jsme v�chovou uvedeni� abychom v souladu s naimi st�vaj�c�mi pot ebami pomalu� ale jist�m�nili jejich dr�hu a sm�r

Vojt�ch Kolman� Elementy kritiky modalit Ve sborn�ku Mo�nost� skute�nost� nutnost� str ��

Je na nutnosti n�co vzne�en�ho�Quine o tom� v jakm kontextu obvykle pou��v�me sl�vko �nutn��� napsal�

V�tu modi�kujeme p �slovcem �nutn�� tehdy� je�li to v�ta� kterou pokl�d�me za p ijatelnou pro toho�s k�m mluv�me� a je�li vyslovena jenom jako krok k �vah�m o v�t�ch sporn�ch Nebo p�eme �nutn���abychom nazna�ili n�co� co plyne z obecnost� ji� vylo�en�ch v kontrastu s hypot�zami nov�mi Takov� u�i�te�nost je lok�ln�� do�asn� a neproblematick�� jako u�ite�nost indexick�ch v�raz��� Vzneenost nutn�chpravd se tedy obrac� ne zcela v prach� ale v docela oby�ejnou hl�nu

Vojt�ch Kolman� Elementy kritiky modalit Ve sborn�ku Mo�nost� skute�nost� nutnost� str ����

Pro� se bavit o r zn�ch druz�ch modalit�

Jestli�e se v souladu s Quinovou dikc� ukazuje b�t tradi�n� �nutnost� �lozof� a metafyzik� alespo�kritick�mu oku jako pr�zdn� a ve sv�m smyslupln�m u�it� vedn�� snad je naopak d�l�� rozbor vedn�hou�it� slov jako �mo�n�� a �nutn�� v jeho rozmanitosti dokladem toho� jak v�znamnou a netrivi�ln�slo�kou naeho jazyka modality jsou� a jak netrivi�ln� mus� b�t p �slun� anal�za� abychom byli schopnip �padn� kon%ikty vznikl� z jejich neopatrn�ho� nekritick�ho �zu �sp�n� eit N�rys t�to rozmanitostispolu s pokusnou s�mantickou rekonstrukc� je tak� v duchu Wittgensteinovy pozdn� �loso�e jedin�� cov dan� v�ci m��eme skute�n� d�lat� toti� p ed vlastn�m hl�s�n�m toho� co je nutn� a co jenom mo�n��dok�zat rozliit p �pustku ��mohlo to b�t jak �k�te� nev�m � � � �� od irealis ��mohli jsme b�t osvobozeniAmeri�any �ale nebyli��� a kontrafaktu�ln�ho kondicion�lu ��kdyby lid� byli nesmrteln�� byl by nesmrteln�i S)krat�s��� praktickou modalitu od teoretick�� deontickou od ontick� atd

Vojt�ch Kolman� Elementy kritiky modalit Ve sborn�ku Mo�nost� skute�nost� nutnost� str �(��"

Jak si p�edstavit kripkovsk� model

Peter Volek vysv�tluje smantiku mo�n�ch sv�t� pomoc� n�sleduj�c�ho p�irovn�n��

Te)riu mo�n�ch svetov si mo�no predstavi� ako budovu s mnoh�mi izbami� z ktor�ch �iasto�ne vidnodo in�ch izieb Ka�d� izba predstavuje mo�n� svet V ka�dej izbe stoj� jedna tabu*a� na ktorej s� pop�san�v�roky pravdiv� v tejto izbe Ak sa postav�me do jednej z t�chto izieb� stoj�me v aktu�lnom svete a vid�mepritom do ostatn�ch izieb V�roky� ktor� uvid�me nap�san� na tabu*k�ch vo vetk�ch izb�ch� s� nutnepravdiv� v�roky� a v�roky� ktor� n�jdeme aspo� na tabule v jednej izbe� s� mo�ne pravdiv� v�roky

Pritom si mo�no predstavi� rozli�n� druhy rel�cie pr�stupnosti medzi jednotliv�mi izbami Pod*a toho�ako sa ch�pe rel�cia pr�stupnosti medzi jednotliv�mi mo�n�mi svetmi� jestvuj� rozli�n� syst�my mod�lnejlogiky

Situ�cia� v ktorej s� vetky mo�n� svety pr�stupn� zo vetk�ch� zodpoved� mod�lnemu syst�mu S�Peter Volek� &vod do logiky a te)rie vedy� str �������

��Indexick� v�raz je slovo� kter� k n�emu odkazuje k �emu odkazuje z�vis� na kontextu� Nap��klad slova jako �tam�nebo �on� jsou indexick� v�razy�

��Kolman cituje z Peregrinova p�ekladu �l�nku Willard Van Orman Quine Hled�n� pravdy� nakladatelstv� Hermann asynov�� Praha �����

Page 16: MOD - Atrey's home pageatrey.karlin.mff.cuni.cz/~ansa/neklasiky/modalni.pdf · hzenm s jazyk em neb o b ... Vidme e a k oli ti zmi o v an vlastnosti vypadaly celk em rozumn ede jejic

��

Je n�� sv�t nejlep���

Leibniz� jak zn�mo� pova�oval n� sv�t za �nejlep�� z mo�n�ch sv�t�� co� Schopenhauer pohotov�opravil na v�rohodn�j� �kdy� u�� tak nejhor��

Vojt�ch Kolman� Elementy kritiky modalit Ve sborn�ku Mo�nost� skute�nost� nutnost� str ��

G�del v d kaz Bo�� existenceV poz�stalosti v�znamnho logika Kurta G.dela se na�el n�sleduj�c� d�kaz Bo�� existence� kter� se

v mnohm podob� d�kaz�m st�edov�k�m� ale vyu��v� notaci modern� mod�ln� logiky �a to predik�tovlogiky druhho ��du�

Uva�ujme o vlastnosti b�t bo�sk�� to� �e n�jak� objekt x je bo�sk�� ozna��me Gx Podobn� Vx a Wx

zna��� �e objekt x m� vlastnost V� respektive WD�le p�edpokl�dejme� �e n�kter vlastnosti jsou pozitivn�� mno�inu pozitivn�ch vlastnost� zna�me �

D�kaz vych�z� ze �ty�ech axiom��

Je�li n�jak� vlastnost V pozitivn�� pak �V nen� pozitivn� V � � � ��V� �� � ���

V�echny vlastnosti� kter nutn� vypl�vaj� z pozitivn�ch vlastnost�� jsou pozitivn�fV � � ���Vx�Wx�g � W � � ���

Bo�sk� bytost m� nutn� v�echny dobr vlastnosti Gx � ��V � �� Vx� ���

B�t bo�sk� je pozitivn� vlastnost G � � �!�

Na z�klad� t�chto axiom� lze dok�zat� �e je�li n�jak� vlastnost pozitivn�� pak je mo�n� �e existujeobjekt s touto vlastnost�� V � � � ��xVx �"�

pro spor p�edpokl�dejme� �e �x�Vximplikace s nepravdiv�m p�edn�m �lenem je pravdiv�� tak�e ��Vx� �Vx�Podle axiomu ��� a p�edpokladu V � � dost�v�me �V � �� co� je spor s axiomem ���Tak�e V � � � ��xVx

Z �!� a �"� plyne� �e mo�n� existuje n�co bo�skho ��xGx �&�

Nyn� uk��eme� �e je�li n�co bo�sk� pak to je nutn� bo�sk� Gx� �Gx �,�Dle �!� G � �Dle ��� tedy Gx� �Gx

Nyn� uk��eme� �e nutn� existuje n�jak� bo�sk� objekt� ��xGxPodle �&� a �,� ��x�Gx Z toho lze na z�klad� predik�tov mod�ln� logiky S" odvodit� �e ���xGx

V logice S" je ov�em formule za��naj�c� v�ce modalitami ekvivalentn� formuli za��naj�c� posledn� z t�chtomodalit� ta�e dost�v�me ��xGx

Pozn�mka k Rossov� paradoxuOsobn� mne velmi p�ekvapilo zji�t�n�� �e n�kter�m �ten���m tohoto textu se na Rossov� paradoxu

nezd�lo nic podivnho Zd� se� �e mezi matematiky je roz���en� p�edstava� �e smantika klasick logiky�spr�vn�� vystihuje povahu spojek p�irozenho jazyka� z tohoto hlediska samoz�ejm� nen� na Rossov�paradoxu nic paradoxn�ho � pokud ke spln�n� �kolu mus�m donst dopis na po�tu� tak jej mus�m donstna po�tu nebo sp�lit� tak�e z p��kaz �dones tento dopis na po�tu�� vypl�v� p��kaz �dones tento dopis napo�tu nebo jej spal��

Pro� se n�m tato implikace nel�b�� Dostanu�li p��kaz �rozd�lej ohe���� budu v duchu uva�ovat asitakto� �nejprve mus�m donst n�jak d�evo� sehnat pap�r na podpal a sirky nebo zapalova�� V tomtosmyslu z p��kazu �rozd�lej ohe��� vypl�vaj� p��kazy �dones n�jak d�evo� se�e� pap�r na podpal� se�e�sirky nebo zapalova��� Mohu nyn� postupovat tak� �e �zapomenu� na p�vodn� p��kaz a nejprve spln�mp��kazy� kter jsou jeho d�sledkem� potom se mohu znovu rozpomenout� pro� jsem si donesla d�evo� pap�ra sirky a splnit p�vodn� zad�n� Ross�v paradox spo��v� v tom� �e vykon�n�m implikovanho p��kazu simohu znemo�nit vykon�n� p�vodn�ho p��kazu

Na druhou stranu je n�zor� �e na Rossov� paradoxu nen� nic paradoxn�ho� dob�e obh�jiteln� na z��klad� srovn�n� logiky p��kaz� s logikou oznamovac�ch v�t Tento paradox z�ejm� souvis� s rozd�lem mezi�logickou� smantikou a pragmatick�m u�it�m jazyka P�i praktickm u�it� jazyka toti� v�t�inou p�edpo�kl�d�me� �e s n�mi n�� partner v dialogu spolupracuje v tom smyslu� �e n�m pod�v� pr�v� ty informace�kter pot�ebujeme nap� k �sp��nmu zvl�dnut� �kolu � tedy ani ��dn d�le�it informace nevynech�� anin�m ned�v� ��dn nav�c Od implikace intuitivn� o�ek�v�me� �e se t�mto principem kooperace�� bude

��Principy konverza�n� kooperace poprv� formuloval lingvista H� P� Grice�

Page 17: MOD - Atrey's home pageatrey.karlin.mff.cuni.cz/~ansa/neklasiky/modalni.pdf · hzenm s jazyk em neb o b ... Vidme e a k oli ti zmi o v an vlastnosti vypadaly celk em rozumn ede jejic

��

��dit v n�sleduj�c�m smyslu� je�li implikace A� B obecn� zn�m� a m�j partner v diskuzi mi ��k� B� d�l�to proto� �e nepot�ebuji v�d�t A Kdyby mi toti� �ekl A� dok�zala bych si �na z�klad� znalosti implikaceA � B� domyslet i B� mus� tedy m�t n�jak� d�vod� pro� ne�ekl A� pravd�podobn� by mi t�m sd�lilnepot�ebnou informaci nav�c

Obdobou Rossova paradoxu pro oznamovac� v�ty je implikace A � �A � B� P��tel� ktermu �eknu�mus�m tento dopis odnst na po�tu nebo jej mus�m sp�lit� p�edpokl�d�� �e si mohu libovoln� vybrat�kterou z t�chto mo�nost� uskute�n�m� v opa�nm p��pad� jsem se ve svm proslovu ne��dila principemkooperace �lze se na to d�vat tak� �e jsem mu nesd�lila v�echny relevantn� informace� nebo naopak tak��e jsem p�idala zbyte�nou �informaci� nav�c� Vid�me tedy� �e Ross�v paradox nen� v�z�n na deontickoulogiku� ale je obecnou vlastnost� disjunkce Pokud p�ijmeme klasickou logiku za z�klad svho uva�ov�n�a nebudeme na n� shled�vat nic paradoxn�ho� m�li bychom bez v�hrad p�ijmout i tento aspekt deonticklogiky

Page 18: MOD - Atrey's home pageatrey.karlin.mff.cuni.cz/~ansa/neklasiky/modalni.pdf · hzenm s jazyk em neb o b ... Vidme e a k oli ti zmi o v an vlastnosti vypadaly celk em rozumn ede jejic

��

N�pov�dy� �e�en� a pozn�mky k n�kter�m cvi�en�m

�e�en� cvi�en� �Samoz�ejm�� �e se jedn� o d�kaz Bo�� existence Akvinsk� pod�v� ne jeden� ale hned p�t d�kaz��

v nich� B�h vystupuje postupn� jako prvotn� hybatel �p�vodce v�eho pohybu�� prvotn� p���ina� n�co samosebou nutnho �ten jsme citovali�� nejpravdiv�j�� a neju�lechtilej�� jsoucno a kone�n� p�vodce p��rodn�chz�kon�

Za chybu by bylo mo�n pova�ovat nap��klad tvrzen� �co m��e neb�ti� n�kdy nen�� Je ale d�le�itsi uv�domit� �e Akvinsk� o n��em �ekne� �e to �m��e neb�t�� pr�v� kdy� to skute�n� n�kdy nebylo �inebude ��i to nen� pr�v� te��� co� je vid�t z prvn� v�ty Pozd�ji tento zp�sob porozum�n� sl�vku mo�n�nazveme redukcionistick� � �mo�n� A� znamen� tot� jako �n�kdy je pravda� �e A�

Za nejslab�� m�sto tohoto d�kazu pova�uji v�tu �jestli�e tedy v�echno m��e neb�ti� n�kdy nebyloskute�n� nic� P�elo��me�li si �m��e neb�ti� jako �n�kdy nen��� bude tato v�ta zn�t �jestli�e tedy o ka�dv�ci plat�� �e n�kdy nebyla� tak n�kdy nebylo skute�n� nic� Jen�e my si dovedeme docela dob�e p�edstavit��e ka�d� v�c si sv�j ��as nebyt�� vybrala n�kdy jindy a tedy ��dn� spole�n� okam�ik� kdy nebylo nic�nastat nemusel�Pozn�mka ke cvi�en� �Pro zaj�mavost uve�me v�klad tohoto d�kazu� jak jej pod�v� Diogenes Allen� �ten�� by m�l v�d�t�

�e Akvinsk� ve svm my�len� vych�zel z d�kladn znalosti Aristotela �Osobn� se mi zd�� �e porozum�ttomuto v�kladu je mnohem n�ro�n�j�� ne� porozum�t p�vodn�mu d�kazu� ale mysl�m� �e stoj� za to sijej p�e��st�

Tom� charakterizuje Boha jako �nutnou� bytost i ve sv� t et� cest� Aristotel�s rozliuje mezi by�tostmi� kter� vznikaj� a zanikaj�� a bytostmi v��n�mi Pro Aristotela jsou nebesk� t�lesa a prvn� hybatelv��n� V tomto smyslu o nich mluv� jako o �nutn�ch� bytostech a naz�v� je bohy �jak bylo pro �ekyb��n� u veho nesmrteln�ho� Tom� jde v tomto bod� mnohem d�le I kdy� existuj� v��n� bytosti� jsoukontingentn� �nahodil�� podm�n�n��� proto�e jejich esence �to� co jsou� a existence �to� �e jsou� m��e b�todliena I kdy� existuj� v��n�� je mo�n� �e by nebyly� nebo� jejich esence jim neumo��uje sama o sob�existovat Abychom mohli vysv�tlit existenci bytost�� u nich� je mo�no rozliit esenci a existenci� mus�existovat bytost� u kter� je esence a existence identick� Touto bytost� je B�h� kter� je odlien od vechbytost�� nebo� je nejen v��n�� ale jeho v��nost je zakotvena v Bo�� esenci� kter� je identick� s Bo��maktem existence

Diogenes Allen� Filoso�e jako br�na k teologii� str ��#

�e�en� cvi�en� � Nutnost �necessarium� je samoz�ejm� symbolizov�na znakem �A� nemo�n �im�possibile� je to� co mus� neb�t� co� odpov�d� zna�en� ��A� a do t�etice mo�n �possibile� je to� co nen�nemo�n� tedy ���A

Pozn�mka ke cvi�en� � Formuli ��A� samoz�ejm� odpov�d� �tvrt� formule se symbolem �� ��A

�� n�pov�da ke cvi�en� � Uv�dom si� �e ���� a ���� maj� platit nejen pro v�rok A� ale pro ka�d�v�rok� tak�e za A klidn� m��eme dosadit C

�� n�pov�da ke cvi�en� �Nejprve pou�ij �A�� zvl��� na formuli ���� a zvl��� na formuli ����

�e�en� cvi�en� � Pou�it�m axiomu �A�� na ���� �a dosazen�m C m�sto A� dostaneme

C� �C�

pou�it�m na ���� dostaneme formuli�C� C�

Proto�e v�me� �e ekvivalence je konjunkc� dvou implikac�� m��eme odvodit po�adovanou formuli

C� �C�

�e�en� cvi�en� � V�sledkem vymaz�n� v�ech v�skyt� symbolu � z formule ���� je formule B��B�co� je kontradiktorick� formule �spor�

�e�en� cvi�en� %�sti ��� a ��� dok��eme prost�m dopln�n�m n�sleduj�c� tabulky�

Page 19: MOD - Atrey's home pageatrey.karlin.mff.cuni.cz/~ansa/neklasiky/modalni.pdf · hzenm s jazyk em neb o b ... Vidme e a k oli ti zmi o v an vlastnosti vypadaly celk em rozumn ede jejic

��

A �A �A �A ��A ��A ���A ���A� � � � �x � � x � � � � � � � �

Vid�me� �e ve sloupe�c�ch �A a ���A jsou stejn hodnoty� a ve sloupe�c�ch �A a ���A jsou takstejn hodnoty /pln� stejn� bychom ov��ili i platnost axiomu K� akor�t bychom museli vyplnit tabulkus dev�ti ��dky

Pravidlo modus ponens dok��eme takto� Je�li A tautologi� tto logiky� znamen� to� �e m� p�i v�echohodnocen�ch prom�nn�ch�� hodnotu � M��li A � B tak hodnotu � �co� jako tautologie mus��� mus�B tak m�t hodnotu � �v tabulce pro implikaci se toti� v ��dku� ve kterm m� A hodnotu �� nach�z� jenjedna jedni�ka � a to ve sloupe�ku� ve kterm m� B hodnotu �� Tak�e B je tak tautologie

Pravidlo necesitace dok��eme podobn�� jestli�e je A tautologie� m� v�dycky hodnotu �� a tedy i �Am� v�dycky hodnotu � a je to tautologie

Pozn�mka ke cvi�en� Pozd�ji si �ekneme� �e v�rokov mod�ln� logiky� kter obsahuj� klasickoulogiku��� axiom K a pravidla modus ponens a necesitace� se naz�vaj� norm�ln� �Lukasiewiczova trojhod�notov� logika nen� norm�ln�� proto�e existuj� formule� kter jsou tautologiemi klasick logiky� ale nejsoutautologiemi tto logiky

�e�en� cvi�en� Op�t prost� vypln�me tabulku�

A �A �A �A� A A� �A ��A ��A� �A ��A ��A� �A� � � � � � � � �x � � � � � � � � � �

Vid�me� �e v�echny zadan formule jsou tautologie

Pozn�mka ke cvi�en� Zat�mco prvn� dv� formule� toti� �A � A a A � �A zn�j� rozumn� iv p�ekladu do lidsk �e�i �plat��li n�co nutn�� tak to plat�� jestli�e n�co plat�� tak je mo�n� aby to platilo��druh� dvojice formul� se jev� pon�kud podez�el�� �Mo�n� pravdiv jsou pr�v� ty v�roky� kter mohou b�tmo�n� pravdiv Nutn� pravdiv jsou pr�v� ty v�roky� kter nutn� jsou nutn� pravdiv� Pozd�ji uvid�memod�ln� logiky� ve kter�ch ��dn� z t�chto formul� neplat�

�e�en� cvi�en� � a � Asi T� nep�ekvap�� �e op�t budeme vypl�ovat tabulku�

A �A �A �A� A �A� ��A� A� ��A����

��A� �A����

�A� ��A� � � � � �x � x � � � x � � � � �

Pozn�mka ke cvi�en� � V�rok A s pravdivostn� hodnotou x m� vlastnost ���� �A � ��A

�e�en� cvi�en� �Prvn� v�ta vypl�v� z na�ich fyzik�ln�ch poznatk�� jedn� se tedy o fyzik�ln� nutnostDruh� v�ta se t�k� na�ich znalost� o uva�ov�n� rozumn�ch lid�� tuto v�tu pova�ujeme za pravdivou na

z�klad� zku�enosti� �e rozumn� lid v�d�� �e kdy� spadnou z velk v��ky� zabij� se Z�rove� p�edpokl�d�me��e rozumn� �lov�k dok��e rozpoznat� �e p�d z Ei$elovy v��e je p�dem z velk v��ky� a domyslet si d�sledky�kter pro n�j v tto situaci m� jeho obecn� poznatek Mohli bychom ��ct� �e se jedn� o psychologickounutnost� nebo o epistemickou nutnost �nutnost zde vypl�v� z toho� co v�me o poznatc�ch lid� a o tom� jaks t�mito poznatky zach�zej��

T�et� v�tu bychom op�t mohli klasi�kovat jako fyzik�ln� nutnost� budeme�li fyziku ch�pat v �ir��msmyslu slova jako v�du zab�vaj�c� se v�emi p��rodn�mi z�kony a tedy zahrnuj�c� i chemii a biologii

%tvrt� v�ta nevypov�d� nic o fyzik�ln� realit� �a�koli na prvn� pohled mluv� o n��em podobnm jakot�et� v�ta�� ale o Jirkov� domn�nk�ch a p�esv�d�en�ch Mohli bychom v�ak tak ��ct� �e se jedn� o nutnost

��Slovo ohodnocen� znamen� p�i�azen� pravdivostn�ch hodnot promnn�m���O njak� logice �ekneme� �e obsahuje klasickou logiku� pokud ka�d� klasick� tautologie je tautologi� t�to logiky�

Page 20: MOD - Atrey's home pageatrey.karlin.mff.cuni.cz/~ansa/neklasiky/modalni.pdf · hzenm s jazyk em neb o b ... Vidme e a k oli ti zmi o v an vlastnosti vypadaly celk em rozumn ede jejic

logickou� �jestli�e Jirka v��� v�emu� co je naps�no v t knize� v��� i n�jakmu konkrtn�mu tvrzen�� kterse v t knize vyskytuje� je toti� tvrzen� pravdiv na z�klad� �ist logiky� i kdy� se nejedn� o logikuv�rokovou� ale predik�tovou� �xV �J� x��� V �J�A�

P�t tvrzen� je uk�zkov�m p��kladem logick nutnosti

�e�en� cvi�en� �� �A znamen�� �e z na�ich poznatk� je odvoditeln A� nem�me�li doj�t ke sporu��A odvoditeln nen� a tedy podle na�ich znalost� je A mo�n ��A�

�e�en� cvi�en� �� V situaci� kdy A u� je pravdiv� v�rok� mohu samoz�ejm� snadno dos�hnouttoho� aby byl pravdiv� � prost� nech�m v�echny v�ci tak� jak jsou Tak�e A� �A plat� �Pravd�podobn�u� se Ti stalo� �e se s Tebou n�kdo vsadil� �e doc�l� n��eho neuv��itelnho� ve skute�nosti v�ak u� ve chv�lis�zky byla ta neuv��iteln� v�c realitou�

�e�en� cvi�en� ��Samoz�ejm�� �e ze sv�ta ��� jsou dosa�iteln v�echny ostatn� sv�ty �v ��dnm u� to nem��e b�t hor����

zat�mco sv�t ��� je dosa�iteln� ze v�ech sv�t� �nejsou v n�m po�u�eny ��dn mor�ln� principy� Ze sv�ta��j je dosa�iteln� on s�m a sv�t ���� ze sv�ta ��� jen on s�m Pro p�ehlednost si m��eme nakreslit obr�zek�ve kterm �ipka z jednoho sv�ta do druhho zn�zor�uje� �e druh� je dosa�iteln� z prvn�ho�

:-(

:-)

:-|

Pozn�mka ke cvi�en� ��V�imni si� �e m��li relace dosa�itelnosti m�t v�znam �v dosa�itelnm sv�t� nen� poru�ov�no v�c pravidel

ne� v p�vodn�m�� bude ur�it� re�exivn� � ka�d� sv�t bude dosa�iteln� alespo� s�m ze sebe Mohli bychomji ov�em de�novat tak tak� �e dosa�iteln� sv�t je dokonal� ���dn� pravidla v n�m nejsou poru�ena� V tomp��pad� by se ov�em mohlo st�t� �e ��dn� sv�t dosa�iteln� nebude� proto�e v ka�dm mo�nm sv�t� jeporu�eno n�jak pravidlo �Nap��klad pokud si pravidla zvol�me tak� �e nebude mo�n ��dit se ob�masou�asn�� odv��nmu �t�st� p�eje� ale opatrnosti nikdy nezb�v��

�e�en� cvi�en� � Z de�nice modelu je vid�t� �e S � �A pr�v� kdy� S �� A

�e�en� cvi�en� � Jestli�e nen� dosa�iteln� ��dn� mo�n� sv�t� tak samoz�ejm� ��dn� v�rok nem��eb�t pravdiv� v n�jakm dosa�itelnm sv�t� �tak�e nic nen� mo�n�� ale zato je ka�d� v�rok pravdiv� vev�ech nula dosa�iteln�ch sv�tech �tak�e v�echno je nutn�

�e�en� cvi�en� �� Hloubka formule je celo��seln� �daj� kter� se po��t� n�sledovn��

��� Atomick formule maj� hloubku �

��� Jestli�e formule F vznikne z formul� A a B� kter maj� hloubku n a m� pomoc� spojek ����������je jej� hloubka rovna v�t��mu z ��sel n a m Je�li hloubka A rovna n� je hloubka formul� F * �A a F * �Arovna n0 �

Tvrzen� budeme dokazovat indukc� podle hloubky h formule F

��� Je�li h * � z�vis� pravdivost F ve sv�t� S pouze na mo�nm sv�t� S Spojen� formul� navz�jempomoc� negace� konjunkce� disjunkce nebo implikace nijak nezm�n� mno�inu mo�n�ch sv�t�� do kter�chse mus�me �pod�vat�� abychom zjistili� je�li dan� formule pravdiv�

��� P�edpokl�dejme� �e hloubka formul� A a B je nejv��e h Je�li F * �A nebo F * �A� mus�me se p�ivyhodnocov�n� pravdivosti F ve sv�t� S pod�vat� zda je A pravdiv� ve sv�tech T � kter jsou z S dosa�itelnpo � �ipce� k tomu mus�me �podle induk�n�ho p�edpokladu� nahldnout nejd�l do sv�t� vzd�len�ch o h

Page 21: MOD - Atrey's home pageatrey.karlin.mff.cuni.cz/~ansa/neklasiky/modalni.pdf · hzenm s jazyk em neb o b ... Vidme e a k oli ti zmi o v an vlastnosti vypadaly celk em rozumn ede jejic

��

krok� po �ipk�ch z T � tedy nejv��e h 0 � krok� z S� co� p�esn� odpov�d� hloubce F Spojen� formul�hloubky nejv��e h0� navz�jem pomoc� negace� konjunkce� disjunkce nebo implikace op�t nijak nezm�n�mno�inu mo�n�ch sv�t�� do kter�ch se mus�me �pod�vat�� abychom zjistili� je�li dan� formule pravdiv�

K dokon�en� d�kazu si sta�� uv�domit� �e hloubka formule je v�dy men�� nebo rovna po�tu v�skyt�symbol� � a �

N�pov�da ke cvi�en� �� Rozhodni� zda lze vybrat mno�inu model�� ve kter neplat� A��A Tatoformule toti� nen� tautologi� �Lukasiewiczovy trojhodnotov mod�ln� logiky

�e�en� cvi�en� �� To� �e A plat�� znamen�� �e je pravdiv� ve v�ech mo�n�ch sv�tech v�ech model�Speci�ln� tedy pro ka�d� mo�n� sv�t S ka�dho modelu dost�v�me� �e A je pravdiv� ve v�ech mo�n�chsv�tech� kter jsou z n�j dosa�iteln � co� podle de�nice modelu znamen�� �e S � �A

�e�en� cvi�en� ����� Nejprve uk��eme� �e pokud v n�jakm r�mci plat� �A� �A� tak je z ka�dho mo�nho sv�ta

dosa�iteln� n�jak� mo�n� sv�t Kdyby ze sv�ta S nebyl dosa�iteln� ��dn� mo�n� sv�t� byl by v S pravdiv�ka�d� v�rok tvaru �A� ale ��dn� v�rok tvaru �A� co� by byl spor s p�edpokladem �A� �A

� � P�edpokl�dejme� �e v danm r�mci je z ka�dho mo�nho sv�ta S dosa�iteln� n�jak� mo�n�sv�t T Pokud nyn� S � �A� mus� podle de�nice b�t A pravdiv ve v�ech mo�n�ch sv�tech dosa�iteln�chz S� speci�ln� tedy T � A Vid�me� �e existuje mo�n� sv�t dosa�iteln� z S� kde je A pravdiv� tak�eS � �A

T � A

S � �A

N�pov�da ke cvi�en� �� Pro uk�z�n�� �e A � �A pou�ij v�tu o korektnosti a �plnosti� v�me� �elogika T obsahuje pr�v� ty formule� kter jsou pravdiv ve v�ech re+exivn�ch r�mc�ch

�e�en� cvi�en� �� Re+exivita relace dosa�itelnosti znamen�� �e ka�d� sv�t je dosa�iteln� s�m zesebe Plat��li ve sv�t� S formule A �S � A�� je z n�j dosa�iteln� n�jak� sv�t �toti� on s�m�� kde plat� A�tak�e S � �A a tedy S � A� �A �P��pad S �� A nemus�me rozeb�rat� proto�e implikace s nepravdiv�mprvn�m �lenem je v�dy pravdiv��

S � A

Axiom D m��eme odvodit z pr�v� dok�zan formule a axiomu T na z�klad� klasick tautologie ��A�B� � �B� C��� �A� C�

�� n�pov�da ke cvi�en� � Op�t je vhodn pou��t v�tu o korektnosti a o �plnosti K uk�z�n�� �eformule nen� dokazateln� v T� sta�� naj�t model logiky T� tedy model s re+exivn� relac� dosa�itelnosti�v jeho� n�kterm sv�t� dan� formule nen� pravdiv� M��e� za��t t�m� �e si nakresl�� sv�t S� ve ktermtato formule neplat�� a bude� p�ikreslovat sv�ty� kter z n�j jsou dosa�iteln � sv�ty� kter z n�j dosa�itelnnejsou� toti� na pravdivost formul� v S nemaj� vliv

S �� �(A ⇒ B) ⇒ �(�A ⇒ �B)

P�i dokazov�n�� �e tato formule je dokazateln� v S!� m��e� zkusit postupovat sporem� uka�� �e ka�d�pokus nakreslit re+exivn� a tranzitivn� protip��klad na tuto formuli vede ke sporu Jinou mo�nost� jezkusit sepsat form�ln� d�kaz tto formule v kalkulu logiky S!

Page 22: MOD - Atrey's home pageatrey.karlin.mff.cuni.cz/~ansa/neklasiky/modalni.pdf · hzenm s jazyk em neb o b ... Vidme e a k oli ti zmi o v an vlastnosti vypadaly celk em rozumn ede jejic

��

�� n�pov�da ke cvi�en� � V�imni si� �e ze zad�n� je z�ejm� �e re+exivn� protip��klad� kter� m��naj�t� nen� tranzitivn� �proto�e m�� dok�zat� �e tranzitivn� protip��klad naj�t nelze� Speci�ln� to znamen���e hledan� protip��klad bude obsahovat alespo� t�i sv�ty se�azen do �et�zku podle n�sleduj�c�ho obr�zku�

S �� �(A ⇒ B) ⇒ �(�A ⇒ �B)

U

T

�e�en� cvi�en� �Re+exivn�m protip��kladem pro formuli ��A� B�� ���A� �B� je n�sleduj�c� model�

S � A ⇒ B

U � AU �� B

T � A,B

Ov��me� �e ve sv�t� S skute�n� nen� zadan� formule spln�na V�imni si� �e nen� d�le�it� jestli v�rokyA a B jsou ve sv�t� S pravdiv� d�le�it je jen to� aby tam byla pravdiv� implikace A � B Budemepostupn� k jednotliv�m sv�t�m dopl�ovat informaci o tom� kter slo�it�j�� formule v nich jsou a nejsouspln�ny �Doporu�uji Ti zakreslovat si z�skan informace p��mo do obr�zku�

T � �A proto�e T � A a tak U � AT �� �B proto�e U �� BT �� �A� �B proto�e T � �A� ale T �� �BT � A� B proto�e T � A a tak T � BS � ��A� B� proto�e S � A� B a tak T � A� BS �� ���A� �B� proto�e T �� �A� �BS �� ��A� B�� ���A� �B� proto�e S � ��A� B�� ale S �� ���A� �B�

Zb�v� dok�zat� �e zadan� formule je dokazateln� v logice S! Uk��eme si form�ln� d�kaz�� ��A� B�� ��A� �B� axiom K� ��A� �B�� ���A� �B� dosazen� do axiomu �� f1A� B2 � 1B� C2g � 1A� C2 tautologie klasick logiky! f1��A� B�� ��A� �B�2 � 1��A� �B�� ���A� �B�2g � 1��A� B�� ���A� �B�2

dosazen� do �" 1��A� B�� ��A� �B�2 � 1��A� �B�� ���A� �B�2 z � a �& ��A� B�� ���A� �B� pravidlem MP z ! a "

Page 23: MOD - Atrey's home pageatrey.karlin.mff.cuni.cz/~ansa/neklasiky/modalni.pdf · hzenm s jazyk em neb o b ... Vidme e a k oli ti zmi o v an vlastnosti vypadaly celk em rozumn ede jejic

��

�e�en� cvi�en� � Zkusme nejprve zjistit� jestli relace ze zad�n� je ekvivalence Re+exivita plynez toho� �e sv�t se samoz�ejm� nach�z� ve sv vlastn� skupin� Symetrie plyne z toho� �e nach�z��li se sv�tS ve stejn skupin� jako sv�t T � tak se sv�t T nach�z� ve stejn skupin� jako sv�t S Tranzitivita ne��k�nic jinho� ne� �e nach�z��li se sv�t S ve stejn skupin� jako sv�t T a sv�t T ve stejn skupin� jako sv�tU � tak se sv�ty S a U nach�zej� ve stejn skupin�� co� je o�ividn� pravda

P�edpokl�dejme naopak� �e je zadan� n�jak� re+exivn�� symetrick� a tranzitivn� relace a zkusme roz�d�lit sv�ty do skupin�� tak� aby z ka�dho sv�ta byly dosa�iteln pr�v� sv�ty v jeho skupin� Mno�inuv�ech sv�t�� kter jsou dosa�iteln ze sv�ta S� ozna��me 1S2 Na��m �kolem je uk�zat� �e ka�d dva sv�tyze skupiny 1S2 jsou navz�jem dosa�iteln� tedy �e T� U � 1S2 implikuje T � U Ov�em T � 1S2 znamen���e S � T Pomoc� symetrie v�me tak� �e T � S Nyn� na z�klad� tranzitivity a faktu S � U vid�me� �eT � U � co� jsme cht�li dok�zat

Tak se Ti zd�� �e jsme nikde nevyu�ili re+exivitu� Ta ��k� to� �e S � 1S2 a tedy S � S

�e�en� cvi�en� �� Nejprve dok��eme� �e re+exivn� eukleidovsk� relace je ekvivalenc� K tomumus�me dok�zat� �e je symetrick� a tranzitivn�

Symetrie� Je�li S � T � vyu�ijeme eukleidovskost �S � T � S � S�� T � S a dostaneme T � STranzitivita� Je�li S � T � U � pou�ijeme nejprve pr�v� dok�zanou symetrii na prvn� polovinu a

dostaneme T � S� T � U Nyn� u� z eukleidovskosti plyne S � U � co� jsme cht�li dok�zatK d�kazu� �e ekvivalence je eukleidovsk�� n�m pom��e p�ede�l cvi�en� P�edpoklady S � T � S � U

toti� znamenaj�� �e T� U � 1S2 a tedy T � U

�e�en� ��sti a� cvi�en� ��Pot�ebujeme uk�zat dv� implikace� m��li dan� model vlastnost

��� S� T �W S � T � T � T�

tak v n�m plat� ���A� A� a naopak��� Nech� nejprve dan� model m� vlastnost ��� Uk��eme� �e ve v�ech mo�n�ch sv�tech S je pravdiv

���A� A� Podle p�edpokladu jsou v�echny mo�n sv�ty T� S � T dosa�iteln samy ze sebe�

T

S

��Tmto skupin�m se obvykle ��k� t��dy ekvivalence�

Page 24: MOD - Atrey's home pageatrey.karlin.mff.cuni.cz/~ansa/neklasiky/modalni.pdf · hzenm s jazyk em neb o b ... Vidme e a k oli ti zmi o v an vlastnosti vypadaly celk em rozumn ede jejic

��

V T nyn� plat� �A� A� pokud je T � �A� je A pravdiv ve v�ech mo�n�ch sv�tech dosa�iteln�ch z T atedy i v T Tedy ve v�ech mo�n�ch sv�tech dosa�iteln�ch z S je �A� A pravdiv a tedy S � ���A� A�

� � Druhou implikaci uk��eme v matematice obvykl�m postupem� m�sto B� C uk��eme �C� �BPodrobn�ji �e�eno� uk��eme� �e pokud relace dosa�itelnosti v n�jakm r�mci nem� vlastnost ���� lzevytvo�it model �s t�mto r�mcem a n�jak�m p�i�azen�m pravdivostn�ch hodnot v�rok�m�� ve ktermneplat� ���A � A� Z toho bude vid�t� �e plat��li ve v�ech modelech na danm r�mci ���A � A��relace dosa�ielnosti m� vlastnost ���

Kdy� relace dosa�itelnosti nem� vlastnost ���� lze naj�t mo�n sv�ty S a T � S � T� T �� T �

T � �AT �� A

S

Pravdivostn� hodnoty p�i�a�m� v�rok�m tak� �e T �� A� T � �A Jinak �e�eno� ve v�ech mo�n�chsv�tech dosa�iteln�ch z T nech� je A pravdiv� ale v T nikoli Potom z�ejm� S �� ���A � A�� proto�eT �� �A� A

�e�en� ��sti b� cvi�en� �� K uk�z�n�� �e ���A� A� je dokazateln� v logice T� vyu�ijeme v�tuo korektnosti a �plnosti� ve v�ech modelech logiky T plat� axiom T �A � A a tedy ve v�ech t�chtomodelech plat� tak ���A� A� �Zd�vodni� �e pokud v n�jakm modelu plat� formule F� pak tam plat�i �F�

�e�en� ��sti c� cvi�en� �� Axiom T ��k�� �e v�e� co je p�ik�z�no� se skute�n� d�je� tedy �e v�echnymo�n sv�ty jsou deonticky perfektn� Ze zku�enosti ale v�me� �e tomu tak nen� � poru�ov�n� z�kaz� apravidel je na denn�m po��dku