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8/17/2019 Mod_02 Divisibilidade (3º-Ext-Int) (1)
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MATEMÁTICA1
4 2 3
1 2 1 4
0
DIVISIBILIDADE
01. MÚLTIPLOS E DIVISORES
Sejam a e b dois números naturais. Se o resto da divisão de a por b for zero, isto é, se a divisão de a por b for exata, diz-se que a é divisve! por b "ou que a é mú!tip!o de b#. $esse %aso, diz-se ainda que b divide a.
& nota'ão b | a indi%a que b divide a.
EXEMPLOS
(.1# 2 ) * ⇔ * é divisve! por 2, pois+
* 2
0 3
(.2# 3 ) 1, 3 ) 2 e 3 ) 42 ⇔ 1, 2 e 42 são divisveis por 3, pois+
1 3 2
0 ,
2 - 3
0
(.3# * é divisve! por 1, 2, 3 e *. /ndi%ando-se o %onjunto dos divisores de * por "*#, temos+
"*# 1, 2, 3, *
(.4# zero é mú!tip!o de qua!quer número, mas s5 é divisor de!e mesmo.
%onjunto 6"a# dos mú!tip!os de um número a é o %onjunto dos naturais vezes a.&ssim+
6"2# 0, 2,4, *, 7, 10,...8 "2# 1, 26"3# 0, 3, *, , 12, 1,...8 "3# 1, 36"4# 0, 4, 7, 12, 1*,...8 "4# 1, 2,46"*# 0,*,12,17,...8 "*# 1,2,3,*
$ote que o %onjunto dos mú!tip!os de um número é infinito, e o %onjunto dos divisores é finito.9m número natura! é par quando é divisve! por 2 e é mpar quando não é par.
02. NÚMEROS PRIMOS
9m número, %om ex%e'ão do número 1, é primo quando é divisve! somente por e!e mesmo e pe!a unidade.:amos es%rever a!;uns números naturais em ordem %res%ente a partir de 2. estaquemos o 2 e risquemos todos os
mú!tip!os de!e que sur;em em se;uida. estaquemos o 3 e risquemos todos os mú!tip!os de!e que sur;em em se;uida.estaquemos o e risquemos todos mú!tip!os de!e que sur;em em se;uida et%.
2 3 4 , * - 7
1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 , 1 * 1 -
1 7 1 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 ,
2 * 2 - 2 7 2 3 0 3 1 3 2 3 3 e t % .
%onjunto P dos números primos é infinito e não existe nen
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MATEMÁTICA2
03. REGRAS DE DIVISIBILIDADE
9m número é divisve! por+
a# 2, quando o ú!timo a!;arismo da direita for 0,2, 4, * ou 7, isto é, quando o número for par.
EXEMPLOS
30, 7*, 104 são números divisveis por 2.
># 3, quando a soma dos a!;arismos que o representam formar um número divisve! por 3.
EXEMPLOS
4 é divisve! por 3, pois 4 ? " é divisve! por 3#87022 é divisve! por 3, pois 7 ? 0 ? 2 ? 2 12 "12 é divisve! por 3#.
%# 4, quando o número expresso pe!o a;rupamento dos dois ú!timos a!;arismos da direita de sua representa'ão édivisve! por 4.
EXEMPLOS
124 é divisve! por 4, pois 24 tam>ém o é837407 é divisve! por 4, pois 07 7 tam>ém o é8300 é divisve! por 4, pois 00 @ tam>ém o é.
d# , quando o ú!timo a!;arismo da direita for 0 ou .
EXEMPLOS
720 é divisve! por , pois termina em 0834 é divisve! por , pois termina em .
e# *, quando for divisve! ao mesmo tempo por 2 e por 3.
EXEMPLOS
24 é divisve! por *, pois é divisve! por 2 e por 38130 é divisve! por *, pois é divisve! por 2 e por 3.
f# 7, quando o número expresso pe!o a;rupamento dos trAs ú!timos a!;arismos da direita de sua representa'ão é divisve! por 7.
EXEMPLOS
34024 é divisve! por 7, pois 024 tam>ém o é8
3000 é divisve! por 7, pois 000 tam>ém o é.
;# , quando a soma dos a!;arismos de sua representa'ão formar um número divisve! por .
EXEMPLOS
4 é divisve! por , pois 4 ? " é divisve! por #87430 é divisve! por , pois 7 ? 4 ? 3 ? ? ? 0 2 "2 é divisve! por #.
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MATEMÁTICA3
4.1. B $C6(D $&B9D&E 6&/D F9( 1 9 G =D/6 9 =( S(D (H6=SB $96 C$/H=D9B ( I&BD(S =D/6S.
EXEMPLO
:amos de%ompor 0 em fatores primos.&p!i%ando as re;ras da divisi>i!idade, temos+
0 2.48 /S=S/B/: =DJB/H%omo
4 3.1 e 0 21 3., 4 3
1 3temos, i;ua!mente,
0 2 . 32 . 1 2 . 32 .
=ode-se o>servar me!inando esses fatores um a um, dois a dois et%.
:amos o>ter o %onjunto dos divisores de 42 e 04.
a# 42 2 &s %om>ina'Les dos produtos dos números 2, 3 e são+21 3 um a um+ 28 38
dois a dois+ "2.3# *8 "2.# 148 "3.# 211 trAs a trAs+ "2.3.# 42
(xiste, ainda, o número 1, que é divisor de qua!quer número.&ssim, o %onjunto "42# dos divisores de 42 é+ "42# 1, 2, 3, *, , 14, 21, 42
/S=S/B/: =DJB/H
142 2 2 "42# 1, 2, 3, *, , 14, 21, 4221 3 3 *
14 21 421
1 ># 04 2 2
22 2 412* 2 7
*3 3 3 * 12 2421 3 17 3* 2
14 27 * 21 42 74 1*7 *3 12* 22 041
=ortanto+
"04# 1, 2, 3, 4, *, , 7, , 12, 14, 17, 21, 24, 27, 3*, 42, *, *3, 2, 74, 12*, 1*7, 22, 04
$B&+ emonstra-se que o número de divisores naturais de um número pode ser dado somando-se 1 a %ada expoente das potAn%ias dos fatores primos e, em se;uida, mu!tip!i%ando esses novos expoentes.
&ssim+
42 21 . 31 . 1 tem "1 ? 1# . "1 ? 1# . "1 ? 1# 2 . 2 . 2 7 divisores.04 23 . 32 . 1 tem "3 ? 1# . "2 ? 1# . "1 ? 1# 4 . 3 . 2 24 divisores.
Neneri%amente, o número+
am . >n . % p . ... tem "m ? 1# . "n ? 1#. "p ? 1# ... divisores naturais.
0. MÁXIMO DIVISOR COMUM !".#.$%
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MATEMÁTICA4
Honsideremos os %onjuntos dos divisores de 24 e 30.
"24# 1, 2, 3, 4, *, 7, 12, 24"30# 1, 2, 3, , *, 10, 1, 30 e a%servamos que esse %onjunto tem um mnimo, diferente de zero, que é 12. Homo os e!ementos de 6"4# ∩ 6"*# sãomú!tip!os %omuns a 4 e *, dizemos que 12 é o mínimo múltiplo comum entre 4 e 6 .
/ndi%a-se m.m.%. "4,*# 12.
=ortanto+
O mnimo mú!tip!o %omum entre dois ou mais números é o menor e!emento, diferente de zero, da interse'ão dos%onjuntos dos mú!tip!os dos números dados.P
0(. M)TODO PRÁTICO PARA SE OBTER O !D!" . E O !!" . ENTRE DOIS OU MAIS NÚMEROS
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MATEMÁTICA
e%ompLem-se os números em fatores primos. Ieito isso+
o m.d.c. serK o produto dos fatores primos %omuns, tomando %ada um %om o menor expoente.o m.m.c. serK o produto dos fatores primos %omuns e não %omuns, tomando %ada um %om o maior expoente.
EXEMPLOS
(.1# :amos o>ter m.d.% e m.m.% entre 74 e 3*0.
74 2 3*0 242 2 170 2 74 22 . 3 . 21 3 0 2
4 3 3*0 23 . 32 . 1 1 3 1
=ortanto+
m.d.% "74, 3*0# 22
. 3 12m.m.% "74, 3*0# 23 . 32 . . 220
(.2# Sejam & 22 . 3m . 3 e Q 31 . n . . :amos %a!%u!ar m e n, sa>endo que o m.m.% "&, Q# 100.
ra, m.m.% "&, Q# 100 22 . 32 . 4 . 18 !o;o, m 2 e n 4.
0*. PROPRIEDADES DO !D!" . E DO !!" . ENTRE DOIS NÚMEROS
=.1# Se x é mú!tip!o de a e x é mú!tip!o de b, então x é mú!tip!o do m.m.%. "a8 >#.
EXEMPLOS
(.1# Se um número é mú!tip!o de 2 e 3, então é mú!tip!o de * "m.m.% "28 3##
(.2# Se um número é mú!tip!o de 4 e *, então é mú!tip!o de 12 "m.m.% "48 *##
=.2# Se x é divisor de a e x é divisor de b, então x é divisor do m.d.% "a8 >#
EXEMPLOS
(.1# Se um número é divisor de 30 e 4, então é divisor de 1.
Sim>o!i%amente, podemos dizer+
6"a# ∩ 6"># 6 "m.m.% "a8 >##"a# ∩ "># "m.d.% "a8 >##
=.3# Sejam a e b dois números naturais. produto a . b é i;ua! ao produto do m.d.% pe!o m.m.%. desses números. /sto é
a x > m.d.%. "a, ># x m.m.%. "a8 >#a 23 . 32 . 4 e > 2 . 33 .
EXEMPLOS
a 23 . 32 . 4 m.d.%."a,># 2 . 32
> 2 . 33 . m.m.%."a,># 23 . 33 . 4 . a x > 24 . 3 . 4 . m.d.%."a, ># x m.m.%."a, ># 24 . 3 . 4 .
e, portanto, a x > m.d.%. "a, ># x m.m.%. "a, >#.EXERC'CIOS
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MATEMÁTICA&
01. "I&B(H-S=# 9m %erto p!aneta possui dois saté!ites naturais+ Eua & e Eua Q8 o p!aneta ;ira em torno do So! e os saté!itesem torno do p!aneta, de forma que os a!in
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MATEMÁTICA(
Seja >
a uma fra'ão irredutve! de números inteiros, isto é, uma fra'ão que não pode mais ser simp!ifi%ada.
Se na fatora'ão de b s5 tiverem os fatores 2 ou , então a fra'ão terK %omo resu!tado um de%ima! exato.Se pe!o menos um dos fatores de b for diferente de 2 e , então a fra'ão terK %omo resu!tado um de%ima! inexato %ter o ;eratriz da dzima 0,333...
x 0,333... ⇒ 10x 3,333...
=ortanto+
10x 3,333 ... R x 0,333 ...
x 3 ⇔ x .
3
&ssim, 0,333... .3
(.2# /dem para 0,171717...x 0,171717... ⇒ 100x 17,171717...
=ortanto+100x 17,171717 ... Rx 0,171717 ...
x 17 ⇔ x
17
&ssim, 0,171717...
17
(.3# 1,2343434...
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MATEMÁTICA*
x 1,2343434... ⇒ 1000x 1234,343434...
=ortanto+1000x 1234,343434 ... R10x 12,343434 ...
x 1222
x 4*11
01222 =
EXERC'CIO
"9IQ Se x 0...00,1
31-1-,0.4...33,1....33,12.7−
−−, %a!%u!e o va!or de x .
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MATEMÁTICA-
EXERC'CIOS PROPOSTOS
01. &ssina!e V ou F.
a# número 43 é primo.
># izemos que um natura! a é divisor de >, se existir
um inteiro %, ta! que > a . %.%# número 100 tem 24 divisores naturais.
d# m.m.%."2480# é 3*0.
e# m.d.%."1208107# é !2.
f# Se x é mú!tip!o de 12 e x é mú!tip!o de 10, então xé mú!tip!o de 120.
;# Se x é mú!tip!o de 1 e x é mú!tip!o de 17, então xé mú!tip!o de 0.
tém-se um número que é divisve! por 2, por 3 e por . menor va!or que x pode assumir satisfaz V %ondi'ão+
a# 30 W x W 42
># 2 W x W 30%# 10 W x W 20d# W x W 10e# 0 W x W
0. "9IQ Benramsempre trAs. Ha!%u!e quantos !ivros possuo.
0*. 9ma sa!a retan;u!ar mede ,04m por ,40m. eseja-se%o!o%ar !ajotas quadradas, todas do mesmo tamanrar nenri! de 17, quando e!as a%onte%erão juntasnovamenteX
a# (m outu>ro de 2020 ># (m a>ri! de 201%# (m outu>ro de 2010d# (m a>ri! de 2007e# (m outu>ro de 200
07. Ha!%u!e+
"1,2222...# . "2,444...# R "1,7333...# . "0,444...#
0. Ha!%u!e+
"1,7333# . "1,*3*3*3...# ? "1,4***...# . "2,0444...#
10. "9HS&E# Se a fra'ão irredutve! >
a é a ;eratriz da
dzima peri5di%a 1, 0333..., então a soma a ? > éi;ua! a+
a# 27 ># 117%# 22d# 30e# 403
11. "9HS&E# Seja 6 um dos números naturais es%ritos%om trAs a!;arismos, que divididos por 2 ou 3, ou ou deixam resto 1. & soma dos a!;arismos de 6 podeser+
a# ># *%# d# 7e#
12. "9(IS# Se o md% "a, ># é 3 e a é um número par,então o md% "3a, *># é+
a# 17 ># 1%# 12d# e# *
13. "9$(Q# Sendo $ e n, respe%tivamente, o md% e omm% de 3*0 e 300, o quo%iente nYm é i;ua! a+
a# 3 ># *%# 10d# 30e# *0
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MATEMÁTICA10
2 2 , 5 m 2 7 m
3 1 , 5 m
14. "9HS&E# 9ma editora deverK enviar pe!o %orreioexemp!ares dos !ivros &, Q e H nas quantidades de 144,170 e 324 exemp!ares, respe%tivamente. Serão feitos
pa%otes, todos %om o mesmo número de exemp!ares, deum s5 tipo de !ivro. eseja-se que ém,restando 11m da pe'a. Sa>endo que o número de%ortes o>tidos foi o menor possve!, nas %ondi'Lesdadas, qua! é o va!or de nX
a# ># 11%# 1d# 23e# 34
1. "I9:(SB# $o a!to de uma emissora de B:, duas!uzes Opis%amP %om frequAn%ias diferentes. & primeiraOpis%aP 1 vezesYminuto e a se;unda Opis%aP 10vezesYminuto. Se num %erto instante as !uzes pis%amsimu!taneamente, ap5s quantos se;undos e!as vo!tarãoa pis%ar ao mesmo tempoX
a# 12 ># 10%# 20d# 1
e# 30
17. 9m enxadrista quer de%orar uma parede retan;u!ar,dividindo-a em quadrados, %omo se fosse umta>u!eiro de xadrez. & parede mede 4,40m por 2,m.
etermine o menor número de quadrados que e!e pode %o!o%ar na parede+
a# 10 ># 20%# 30d# 40e# 0
1. "9I6N# Sejam a, > e % números primos distintos, emque a Z >. mKximo divisor %omum e o mnimomú!tip!o %omum de m a2 . > . %2 e n a>2 são,respe%tivamente, 21 e 1*4.
=ode-se afirmar que a ? > ? % é+
a# ># 10%# 12d# 42e# *2
20. &ssina!e as proposi'Les verdadeiras.
"01# número 100 tem 24 divisores naturais."02# Se x é mú!tip!o de 1 e x é mú!tip!o de *, então x
é mú!tip!o de 0."04# Se o m.m.%. "a8 ># é a . >, então a e > são primos
entre si.
"07# Se x é divisor de *00 e x é divisor de *40, entãox é divisor de 40."1*# Se um número natura! n dividido por 13 deixa
resto , então "n ? # é mú!tip!o de 13.
21. 9m terreno de forma trian;u!ar, %om as dimensLesindi%adas na fi;ura a>aixo, deve ser %er%ado %omarame farpado. =ara isso, serão %o!o%adas esta%asequidistantes entre si. etermine o menor número deesta%as que podem ser uti!izadas.
a# 4 ># 30
%# 2d# 21e# 17
22. "9(SI-.1# Se x representa um número natura!qua!quer de dois a!;arismos distintos, es%revendo-se oa!;arismo 7 V esquerda de x, o>tém-se um novonúmero que tem a mais que x+
a# 7 unidades. ># x unidades.%# 7x unidades.
d# 70 unidades.e# 700 unidades.
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MATEMÁTICA11
23. "9HS&E-00.1# 9m número inteiro e positivo é%onstitudo de dois a!;arismos distintos %uja soma é11./nvertendo-se a posi'ão de seus a!;arismos, o>tém-seoutro número que ex%ede o primeiro em 4 unidades. menor dos números estK %ompreendido entre+
a# 0 e 10 ># 10 e 20%# 20 e 30d# 30 e 40e# 40 e 0
24. 9m número é %onstitudo de dois a!;arismos, %ujasoma va!e . 6udando-se a ordem dos a!;arismos,o>tém-se um número nove unidades superior ao
primitivo. Ha!%u!e o número primitivo.
2. 9m número natura! de dois a!;arismos é vezes asoma dos seus a!;arismos. Ha!%u!e esse número,
sa>endo que o a!;arismo das dezenas ex%ede em 3unidades o a!;arismo das unidades.
2*. "9$/D/# & fra'ão ;eratriz de 3,4111... é+
a#10000
3-41
>#10000
3-411
%#00
3-041
d# 000
3-041
e#000
3-041
2. "9$/D/# resto da divisão do inteiro n por 12 é .Fua! o resto da divisão de n por 4X
a# 0 ># 1%# 2d# 3e# 4
27. "II=-6N# número m 471*a, sendo a oa!;arismo das unidades, é divisve! por 1. va!or dea é+
a# 2 ># 0%# d# 3e# 4
2. "IN:-S=# Seja x o maior número inteiro de 4a!;arismos que é divisve! por 13, e %, o menor número inteiro positivo de 4 a!;arismos que édivisve! por 1. & diferen'a x R T é um número+
a# primo. ># mú!tip!o de *.%# menor que 00.
d# quadrado perfeito.e# divisve! por .
30. "I9:(SB-S=# Fua! dos %in%o números re!a%ionadosa>aixo não é um divisor de 101X
a# 2 ># 0
%# *4d# e# 20
31. "I9:(SB-S=# s números inteiros positivos sãodispostos em OquadradosP da se;uinte maneira+
1 2 3 10 11 12 1 .. ..4 * 13 14 1 .. .. .. .. .. 7 1* 1 17 .. .. ..
número 00 se en%ontra em um dessesOquadradosP. & O!in# 3 e 3%# 2 e 3d# 3 e 2e# 3 e !
GABARITO
01. a# : 02. 13. 24. 34
># : 03. 3 14. & 2. *3%# : 04. & 1. ( 2*. Hd# : 0. *3 1*. H 2. e# : 0*. 210 1. & 27. Hf# I 0. ( 17. 2. Q;# : 07. 02 1. H 30.
8/17/2019 Mod_02 Divisibilidade (3º-Ext-Int) (1)
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MATEMÁTICA12
3 cm
4 c m
5 c m
RA+ES E PROPORÇES
01. RA+ÃO
ados dois números, a e b, > ≠ , %
a ou a + >.
$a razão >
a
, a é %
8/17/2019 Mod_02 Divisibilidade (3º-Ext-Int) (1)
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MATEMÁTICA13
(.1# 10.31.21
10
3
2 =⇒= (.2# 2.420.20
2
4
=⇒=
(.3#
1.,220.12,020
1
,2
12,0==
2!3! .1 P1.P1*DD D P1.P.1,7
=.1#
d
%
>
a
d >
%a
d >
%a
d
%
>
a==
−
−=
+
+⇒=
=.2#%
d%
a
>a
d
%
>
a +=
+⇒=
=.3#%
d%
a
>a
d
%
>
a −=
−⇒=
2!4! 81+D9 D*1+ *+:1+ P1.P.1"*.+*
2!4!'! 8rande#as diretamente proporcionais
Ouas ;randezas são diretamente propor%ionais quando, aumentando-se uma de!as, a outra aumenta na mesma razão da primeira.P
EXEMPLO
:ejamos as duas ;randezas+ R quantidade de %anetas "F# R pre'o "=#Supon
8/17/2019 Mod_02 Divisibilidade (3º-Ext-Int) (1)
14/51
MATEMÁTICA14
>servamos que as ;randezas v e t são inversamente propor%ionais, visto que a razão entre as ve!o%idades*
*0
0= é
inversa a razão dos tempos %orrespondentes,
*.
OBSERVAÇES IMPORTANTES
1a
# Se num exer%%io dizemos que trAs ;randezas, a, b e c, são diretamente propor%ionais, respe%tivamente, a m, n e p, indi%amos+
p
%
n
>
m
a == .
Homo essas fra'Les são i;uais, dizemos que o seu resu!tado é %onstante e %ostumamos representar esse resu!tado por
m
a=== .
2a# Se num exer%%io dizemos que trAs ;randezas, a, b e c, são inversamente propor%ionais, respe%tivamente, a m, n e p,indi%amos+
p
1%
n
1 >
m
1a == .
o mesmo modo que o anterior, esse resu!tado pode ser representado pe!a %onstante
m
1
a==
U.
EXERC'CIOS
01. & soma de dois números é 1*2. maior estK para 13,assim %omo o menor estK para . $essas %ondi'Les,qua! a diferen'a entre os númerosX
02. Mosé, Moão e =edro jo;aram na Eoto a quantia de D\20,00, sendo que Mosé %ontri>uiu %om D\ ,00, Moão,%om D\ *,00 e =edro, %om D\ ,00. Se e!es ;aner, %onsiderando que o prAmio vai ser divido em
partes propor%ionais ao que %ada um investiuX
03. & soma de trAs números va!e 31. Ha!%u!e %ada número,se e!es são inversamente propor%ionais,respe%tivamente, a 2, 3 e .
04. "9HS&E-00# &o %onferir suas respostas, Vs 100questLes de um teste, dois a!unos, %uriosamente,o>servaram que os números de questLes que
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MATEMÁTICA1
REGRA DE TRS
01. REGRA DE TRS SIMPLES
:ejamos os pro>!emas+
1o# Se Mosé %omprou 3 metros de um te%ido por \ 1, por quanto e!e %ompraria * metros do mesmo te%idoX
SOLUÇÃO
C 2 " 3 4 5 " 6 7 0 2
3 m
* m
P 4 6 8 2
\ 1 ,
x
&s setas %o!o%adas apresentam mesmo sentido, pois as ;randezas são diretamente propor%ionais. =or isso, armamos a propor'ão na ordem apresentada no esquema a>aixo.
/sto é+
30x3
1.*x1.*x3
x
1
*
3 2 =∴==⇔=⇔= .
=ortanto, * m do te%ido seriam %omprados por \ 30.
izemos que esse é um pro>!ema de re=ra de tr>s simples e direta, pois as setas %on%ordantes ;eram uma propor'ão direta.
2o# =ara se %onstruir um muro, * pedreiros ;astam 12 dias. (m quanto tempo pedreiros %onstruirão o mesmo muroX
SOLUÇÃO
P 6 # 4 6 5 4 2 9
*
T 6 " 3 2
1 2 d i a s
x
&s setas %o!o%adas apresentam sentidos %ontrKrios, pois as ;randezas são inversamente propor%ionais. =or isso, armamosa propor'ão %onservando o sentido de uma fra'ão e invertendo a outra.
&ssim, podemos es%rever 7
12.*x12.*x
12
x
*
3
4
==⇔=⇔=
=ortanto, pedreiros %onstruirão o mesmo muro em 7 dias.izemos que esse é um pro>!ema de re=ra de tr>s simples e inversa, pois as setas dis%ordantes ;eram uma propor'ão inversa.
EXERC'CIOS
01. =ara pintar uma superf%ie de 10 m2, um pintor ;asta12 !atas de tinta. Fuantas !atas de tinta são ne%essKrias
para pintar 200 m2 da superf%ieX02. $uma via;em da %idade até a %idade ?, um ve%u!o
;asta * minutos, V ve!o%idade média de 100 UmY
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MATEMÁTICA1&
03. 9ma torneira en%!ema é 30 m.
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MATEMÁTICA1(
>servem que na primeira etapa da reso!u'ão do pro>!ema mantivemos a quantidade de dias %onstante e notamos que+
• dup!i%ando a quantidade de pedreiros, a quantidade de metros que podem ser %onstrudos dup!i%a.
$a se=unda etapa, aproveitamos a etapa anterior, mantivemos a quantidade de pedreiros %onstante e notamos que+
• trip!i%ando os dias de tra>a!
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MATEMÁTICA1*
M)DIAS
01. M)DIA ARITM)TICA
:ejamos o exemp!o+
=edro é um a!uno que %onse;uiu em quatro tra>a!stitui as quatro pode ser dada por+
*4
24
4
3-==
+++
=ortanto, o número * é o va!or médio das notas , , 3 e e é %tida somando-se as notas e dividindo-se o resu!tado por 4.
GENERALI+AÇES
& média aritméti%a " !!# dos n números, a1, a2, a3, ..., an, é dada porn
a...aaa.&.6 n321
++++=
02. M)DIA GEOM)TRICA
& média ;eométri%a " !8!# de n números, a1, a2, a3, ..., an, é dada por n n321 a.....a.a.a.N.6 =
EXEMPLOS
(.1# & !8 . entre 2 e 7 é 41*7.2 ==
(.2# & !8! entre 1, 3 e é 32-.3.1 33 ==
(.3# & !8 . entre 4, *, * e é *3.2#3.2"3.23.3.2.3.2.2.*.*.4 4 44 444 224 =====
03. M)DIA PONDERADA
:ejamos o exemp!o+
(m um determinado %o!é;io, existem trAs ava!ia'Les por unidade+ um teste, %om peso 3, um tra>a!a!stitui as trAs notas pode ser dada por+
2,*10
*2
10
30724
23
.*2.43.7==
++=
++++
GENERALI+AÇÃO
& média ponderada " !P!# de n números, a1, a2, a3, ..., an, %om os respe%tivos pesos p1, p2, p3, ..., pn é dada por+
n321
nn332211
p... p p p p.a... p.a p.a p.a.=.6
++++++++=
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MATEMÁTICA1-
EXERC'CIOS PROPOSTOS
01. "9IDS# 9ma estrada de 31 Um de extensão foiasfa!tada por trAs equipes, , ? e " , %ada uma de!asatuando em um tre%a!endo que a média anua! para essa es%o!aé o>tida %om os pesos 2, 2, 2 e 4, respe%tivamente,
para as quatro unidades e que qua!quer a!uno pre%isade média anua! para ser aprovado, sem re%upera'ão,%a!%u!e quanto o a!uno em fo%o pre%isa de média naquarta unidade para passar direto.
10. "9I6N# 9ma firma é %onstituda por dois s5%ios, e ?, %ujos %apitais investidos são 200 mi! e 30 mi! reais,respe%tivamente. Bodo !u%ro ou prejuzo da firma édividido, entre os dois, propor%iona!mente ao %apita!investido. & firma a%usou um prejuzo de 121 mi! reais.&s par%e!as do prejuzo, em mi! reais, %orrespondentesa %ada s5%io são, respe%tivamente+
a# 20 e 101 ># 40 e 0%# 44 e d# e 2
e# 100 e 21
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MATEMÁTICA20
11. "I9:(SB-DM# 9m >ar vende su%o e refres%o detan;erina. &m>os são fa>ri%ados di!uindo em K;ua um%on%entrado dessa fruta. &s propor'Les são de uma
parte de %on%entrado para trAs de K;ua, no %aso dosu%o, e de uma parte de %on%entrado para seis de K;ua,no %aso do refres%o. refres%o tam>ém poderia ser
fa>ri%ado di!uindo x partes de su%o em % partes deK;ua, se a razão
T
x fosse i;ua! a quantoX
a#2
1d#
3
4
>#4
3e# 2
%# 112. "I&I/-Q_# (m uma empresa, 7 fun%ionKrios
produzem 2.000 pe'as, tra>a!# 12%# 1d# 17e# 20
1. "9IS6-DS# 9ma ponte é feita em 120 dias por 1*tra>a!a!
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MATEMÁTICA21
2*. 9m a!a!a!a!a!a!a!
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MATEMÁTICA22
CON
a, quando a não é divisve! por b, s5 pode ser+
• 9m de%ima! exato "(.1 e (.2#• 9ma dzima peri5di%a "(.3 e (.4#
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MATEMÁTICA23
%onjunto dos ra%ionais é um %onjunto denso, isto é, entre dois ra%ionais quaisquer existem infinitos outros ra%ionais.&inda o %onjunto ; não reso!ve todos os pro>!emas8 vejamos o exer%%io+
Fua! o número positivo %ujo quadrado é i;ua! a 2X
SOLUÇÃO
1
1 20
x2 28 este número x , positivo, é %on
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MATEMÁTICA24
&na!ise %ada questão a se;uir e di;a se é verdadeira ou Balsa.
01. (xiste natura! que não é ra%iona!.
02. Bodo natura! é ra%iona!.
03. (xiste número inteiro que não é natura!.
04. Bodo número natura! é inteiro re!ativo.
0. 9m número inteiro re!ativo pode ser irra%iona!.
0*. Bodo número inteiro é ra%iona!.
0. (xiste número que é ra%iona! e irra%iona!, simu!taneamente.
07. Bodo irra%iona! é rea!.
0. (xiste número rea! que não é irra%iona!.
10. Bodo número irra%iona! é rea!.
11. s números da forma >
a, %om a ∈ ` e > ∈ ` podem não ser ra%ionais.
12. %onjunto dos números ra%ionais é formado pe!os e!ementos da forma >
a, %om a ∈ ` e > ∈ `.
13. Boda dzima peri5di%a é um número irra%iona!.
14. (xiste dzima peri5di%a que não pode ser es%rita so> a forma >
a
, %om a ∈ ` e > ∈ `.
1. produto de números reais sempre é ra%iona!.
1*. Se o%orrer pq ∈ `, isto é porque p ∈ ` e q ∈ `.
1. quo%iente entre ra%ionais, quando possve!, é sempre ra%iona!.
17. quo%iente entre irra%ionais é sempre irra%iona!.
1. Se x ∈ ` e T ∈ Fb, então x . T ∈ Fb.
20. Se x ∈ +
` e T ∈ c
F+ , então"x ? T# ∈ c
F+ .
21. Se x ∈ $ e T ∈ D, então "x ? T# ∈ F.
22. Se x ∈ Fb e T ∈ Fb, então "x . T# ∈ Fb.
23. número 2U ? 3, U ∈ `, sempre é mpar.
24. número U 2 ? U, U ∈ `, sempre é par.
2. Se n ∈ ` é um número par, então n2 tam>ém é par.
2*. Se n ∈ ` é um número mpar, então n2 tam>ém é mpar.
2. número U 3 ? U, U ∈ `, pode ser mpar.
27. &s expressLes 2U ? 1 e 2U ? 3, U∈ `, são ;enéri%as para a representa'ão de dois números mpares %onse%utivos.
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MATEMÁTICA2
2. %onjunto x ) x U, U∈ ` representa o %onjunto dos mú!tip!os de .
30. &s expressLes U e U ? 1 representam dois mú!tip!os %onse%utivos de , qua!quer que seja
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MATEMÁTICA2&
01. DEFINIÇÃO
H 0, %om a ≠ 0, sendo W, Z, ≤ ou ≥.
EXEMPLOS
(.1# 2x ? 4 W 0
(.2# 3x R ≥ "2 R x# ? 1
(.3# 12
x
*
1x2
4
3x+
−≥+−−
02. PROPRIEDADES DAS DESIGUALDADES
=.1.# Somando-se "ou su>traindo-se# um mesmo número aos dois mem>ros de uma desi;ua!dade, o>tém-se uma desi;ua!dadeequiva!ente.
EXEMPLOS Z 3 ⇔ ? 2 Z 3 ? 2, ou seja, Z x R 3 Z 0 ⇔ x R 3 ? "3# Z 0 ? "3#, ou seja, x Z 3x ? 4 Z 2 ⇔ x ? 4 R 4 Z 2 R 4, ou seja, x Z R2
=.2.# 6u!tip!i%ando-se "ou dividindo-se# am>os os mem>ros de uma desi;ua!dade por um número positivo, o>temos outradesi;ua!dade equiva!ente.
EXEMPLOS
Z 3 ⇔ . 2 Z 3 . 2, ou seja, 14 Z *
2
x
Z ⇔ 2
x
. "2# Z . "2#, ou seja, x Z 10
3x Z 12 ⇔ Z3
12, ou seja, x Z 4
=.3.# 6u!tip!i%ando-se "ou dividindo-se# am>os os mem>ros de uma desi;ua!dade por um número ne=ativo, o sina! dadesi;ua!dade deve ser invertido.
EXEMPLOS
Z 3 ⇔ . "R1# W 3 . "-1#, ou seja, R W R3 Rx Z R3 ⇔ Rx"R1# W R3 . "R1#, ou seja, x W 3
R2x ≥ 12 ⇔ 2x2−− ≤ 212− , ou seja, x ≤ *
G %ostume reso!ver a inequa'ão R 2x Z 12 mu!tip!i%ando ini%ia!mente am>os os mem>ros por R1.
&ssim+ R 2x ≥ 12 ⇔ 2 x ≤ R12
x ≤ 2
12−
x ≤ R*
PRODUTOS NOTÁVEIS
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MATEMÁTICA2(
(xistem, a!;uns produtos que são muitos usados na K!;e>ra e que, por isso, daremos um maior destaque+
01. =UADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS
"a ? >#2 a2 ? 2a> ? >2
02. =UADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
"a R >#2 a2 R 2a> ? >2
03. PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA
"a ? ># . "a R ># a 2 R >2
04. CUBO DA SOMA DE DOIS TERMOS
"a ? >#3 a3 ? 3a2 > ? 3a>2 ? >3
0. CUBO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
"a R >#3 a3 R 3a2 > ? 3a>2 R >3
0&. =UADRADO DA SOMA DE TRS TERMOS
"a ? > ? %#2 a2 ? >2 ? %2 ? 2a> ? 2a% ? 2>%
EXERC'CIOS
01. esenvo!va
a# "a ? > R %#2
># "x R 3#2 R "2x ? 3#2
%# "3x R 2# . "3x ? 2# R "2x R 3#3
02. Sa>endo-se que a ? > 10 e a . > 20, %a!%u!e a2 ? >2.
FATORAÇÃO
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MATEMÁTICA2*
PRIMEIRO CASO> .1 ".
a> ? a% a . "> ? %#
EXEMPLOS
SEGUNDO CASO> 81P+.
a> ? a% ? >d ? %d a. "> ? %# ? d. "> ? %# "> ? %# . "a ? d#
a> ? a% ? >d ? %d "> ? %# . "a ? d#
EXEMPLOS
TERCEIRO CASO> D*1+, D ;D1D.
a2 R >2 "a ? ># . "a R >#
EXEMPLOS
=UARTO CASO> 1*+C*. ;D1D. P1*.
a2 ? 2a> ? >2 "a ? >#2
EXEMPLOS
=UINTO CASO> 1*+C*. D. 8+D. 81
ax2 ? >x ? % a . "x R xb# . "x R xP#
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MATEMÁTICA2-
EXEMPLOS
SEXTO CASO> "?. P1*.
a3 ? 3a2 > ? 3a>2 ? >3 "a ? >#3
a3
R 3a2
> ? 3a>2
R >3
"a R >#3
EXEMPLOS
S)TIMO CASO> . . D*1+, D "?.
a3 ? >3 "a ? ># . "a2 R a> ? >2#
a3 R >3 "a R ># . "a2 ? a> ? >2#
EXEMPLOS
EXERC'CIOS
01. Iatore+
8/17/2019 Mod_02 Divisibilidade (3º-Ext-Int) (1)
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MATEMÁTICA30
a# x2 R 2x2 R x ? 17
># 4x2 - 2
%# x2 - *x ? 1
d# x2 R x R *
e# x3 *x2 ? 12x ? 7
f# x3 - 2
02. Simp!ifique 4x2x
7x
.1*x4x4x
7x2x2
3
23
2
++
−
+−−
−−.
POTNCIAS
01. DEFINIÇES
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MATEMÁTICA31
Seja a um número rea! e n um número natura! maior que 1.Bemos+
vezesn
na....a.a.aa =
aa1a 10 ==
0a%om,a
1a
n
n ≠=−
02. PROPRIEDADES
nnnnm
n
mnmnm # >.a" >.aa
a
aaa.a === −+
( ) n.mnmn
n
n
aa >
a
>
a=
=
EXERC'CIOS
01. Simp!ifique a expressão4n3n
2n1nn
22
222
++
++
+
++.
02. "I&B(H# as trAs senten'as a>aixo+
/# 2x?3 2x . 23
//# "2#x 2x///# 2x ? 3x x
a# somente a * é verdadeira. ># somente a ** é verdadeira.%# somente a *** é verdadeira.d# somente a ** é fa!sa.e# somente a *** é fa!sa.
RA'+ES
01. DEFINIÇES
1.1. Seja n um número natura! par e não nu!o e seja a um número rea! não ne;ativo.
8/17/2019 Mod_02 Divisibilidade (3º-Ext-Int) (1)
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MATEMÁTICA32
+∈=⇔= D >ea > >a nn
1.2. Seja n um número natura! ímpar e seja a um número rea!.
a > >a nn =⇔=
EXEMPLOS
(.1# 2 = (.# D x8)x)x2 ∈∀=
(.2# 273 = (.*# 0x8xx 2 ≥=
(.3# 32-3 −=− (.# D x8xx3 3 ∈∀=
(.4# 21*4 = (.7# D ∉−
OBSERVAÇÃO
$ote que 3, e não 3.
02. POTNCIA DE EXPOENTE RACIONAL
Seja a ∈ n
meD + ∈ F "m ∈ ` e n ∈ $#
n maa nm
=
EXEMPLOS
(.1# 33 2 422 32
== (.2# 33 21
= (.3# 44 3
12
1 4
3
== −−
03. PROPRIEDADES
Se a ∈ D ?, > ∈ D ?, m ∈ `, n ∈ $ e p ∈ $, temos+
=.1.# nnn >.a >.a = =.3.# ( ) n mmn aa =
=.2.# 0 >8 >
a
>
a
n
n
n ≠= =.4.# p.nn p aa =
EXEMPLOS
(.1# x2x.4x.4 == (.3# ( ) 323 42 =
(.2#3
x
x
x== (.4# *3 -- =
EXERC'CIO
Simp!ifique+
a# 0-2327 −++
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MATEMÁTICA33
># 3333 1271243- −+−
04. RACIONALI+AÇÃO DE DENOMINADORES
Da%iona!izar o denominador de uma fra'ão si;nifi%a e!iminar todos os radi%ais deste denominador, sem %om isso a!terar ova!or da fra'ão.
EXEMPLOS
(.1#3
3
3
3.
3
1
3
1 ==
(.2#1
10
30
102
10
10.
103
2
103
2===
(.3# 33
3 2
3 2
334
2
410
2
2.
2
10
2
10===
(.4#a
a
a
a.
a
1
a
1 - 4
- 4
- 4
- 3- 3==
(.# ( ) ( ) ( )2.22
2.*
2
2.
2
*
2
* +=−+=
++
−=
−
EXERC'CIOS
01. Da%iona!ize+
a#
10
8/17/2019 Mod_02 Divisibilidade (3º-Ext-Int) (1)
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MATEMÁTICA34
>#3 17
*
%#3
1
+
d#321
1
++
e#3
2
2
3 +
02. "9HS&E-00# Simp!ifi%ando-se( )23*
23
+, o>tém-se+
a# 423 −
># 223 −
%#4
423 −
d#4
23
e#3
2
E=UAÇES DO SEGUNDO GRAU
01. DEFINIÇÃO
Hx ? % 0, sendo a, b e c números reais, %om a ≠ 0.
EXEMPLOS
(.1# 3x2 ? 4x R 1 0 "a 3, > 4, % R1#
8/17/2019 Mod_02 Divisibilidade (3º-Ext-Int) (1)
35/51
MATEMÁTICA3
(.2# Rx2 ? 2x ? 7 0 "a R1, > 2, % 7#
(.3# 2x2 R 1* 0 "a 2, > 0, % R1*#
(.4# x2 R x 0 "a 1, > R, % 0#
(.#
==== 0%,0 >,21
a02
x2
$ote que o termo de maior ;rau da equa'ão do se;undo ;rau é ax2, %om a ≠ 0, o que justifi%a o seu nome. Se > 0 ou % 0ou > 0 e % 0, a equa'ão do se;undo ;rau é dita incompleta. Se > ≠ 0 e % ≠ 0, a equa'ão do se;undo ;rau é dita completa.
&s raí#es de uma equa'ão do se;undo ;rau são os va!ores que quando su>stitudos no !u;ar de x tornam o primeiromem>ro i;ua! ao se;undo mem>ro.
$ote nas equa'Les que+
(.1# x2 R x ? 10 0, Se su>stituirmos x por 2 ou por , temos+
=+−=+−=+−=+−
0103210.-010144102.-2
2
2
&ssim, dizemos que 2 e são as raí#es ou #eros da equa'ão x2 R x ?
10 0.
(.2# 3x2 R 12 08 se su>stituirmos x por 2 ou por - 2, temos+
=−=−−
=−=−
0121212#2".3
01212122.3
2
2
&ssim, dizemos que 2 e R 2 são as razes ou zeros da equa'ão 3x2 R 12 0.
02. RESOLUÇÃO DE E=UAÇES DO SEGUNDO GRAU INCOMPLETAS
evemos sa>er, antes de tudo, que é vK!ida a equiva!An%ia & . Q 0 ⇔ & 0 ou Q 0.
PRIMEIRO TIPO
ax2 ? >x 0 "% 0#
SOLUÇÃO
ax2 ? >x 0x ."ax ? ># 0x 0 ou ax ? > 0
a
>x
−=
−=a
>80S
SEGUNDO TIPO
ax2 ? % 0 "> 0#
SOLUÇÃO
8/17/2019 Mod_02 Divisibilidade (3º-Ext-Int) (1)
36/51
MATEMÁTICA3&
ax2 ? % 0ax2 R %
x2 a
%−
0a
%%om8
a
%x ≥
−−±=
Sea
%− ≥ 0, S
−±a
%
Sea
%− W 0, S φ
03. RESOLUÇÃO DE E=UAÇES COMPLETAS
$a prKti%a, a so!u'ão da equa'ão do se;undo ;rau %omp!eta é feita %om a f5rmu!a de QKsUara.:ejamos a dedu'ão dessa f5rmu!a+
ax2 ? >x ? % 0
ax2 ? >x R% "x 4a#
4a2x2 ? 4a>x R4a% "?>2#
4a2x2 ? 4a>x ? >2 >2 R 4a%
"2ax ? >#2 >2 R 4a%
2ax ? > a%4 >2 −
2ax R > a%4 >2 −
a2
a%4 > >x
2 −±−= , sendo >2 R 4a% ∆, que é %xe
a2
>cx
∆−−=
∆+−=
QS(D:&g(S
• Se ∆ Z 0, a equa'ão possui duas razes reais distintas.• Se ∆ 0, a equa'ão possui duas razes reais i;uais.• Se ∆ W 0, a equa'ão não possui razes reais.
04. RELAÇÃO ENTRE OS COEFICIENTES E AS RA'+ES
(xistem duas re!a'Les importantes numa equa'ão do tipo ax2 ? >x ? % 0 que envo!vem as razes xb e xP e os %oefi%ientesa, b, e c.
PRIMEIRA RELAÇÃO> . D 19
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37/51
MATEMÁTICA3(
Somando-se mem>ro a mem>ro as i;ua!dades a se;uir, temos
a
>
a2
>2
a2
> >xcx
a2
>
x
a2
>cx
−=−
=∆−−∆+−
=+
∆−−=
∆+−=
=ortanto+a
>ex.cx −=
SEGUNDA RELAÇÃO> P1.D. D 19
(a4
> >
a4
# >"a2 >.
a2 >x.cx
a2
>x
a2
>cx
2
22
2
2 −=∆−=
∆−−
∆+−=
∆−−=
∆+−=
=ortanto+a
%ex.cx =
0. E=UAÇES BI=UADRADAS
.1.DEFINIÇÃO
Hx2 ? % 0, sendo a, b ec números reais, %om a ≠ 0.
EXEMPLOS
(.1# x4 ? 4x2 ? 1 0(.2# x4 R 3x2 ? 2 0(.3# x4 R 71 0
.2. RESOLUÇÃO DE E=UAÇÃO BI=UADRADA
Boda equa'ão do tipo ax4 ? >x2 ? % 0 é equiva!ente ao mode!o a"x2#2 ? >"x#2 ? % 0.
Iazendo x2 T, temos+
aT2 ? >T ? % 0, que é uma equa'ão do se;undo ;rau de variKve! %. $e!a, en%ontramos as razes Tb e TP e da+
TxTx
cTxcTx
Tx 2
2
2
±=⇒=
±=⇒=
=
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MATEMÁTICA3*
EXEMPLOS
(.1# :ejamos qua! o %onjunto verdade da equa'ão x4 R 10x2 ? 0
SOLUÇÃO
& equa'ão é equiva!ente a "x2
#2
R 10x2
? 0
Iazendo x2 T, temos+
T2 R 10T ? 0, %ujas razes são Tb e TP 1.
ra, x 811x
3xT
±=±=
±=±= T R3, R1, 1, 3
E=UAÇES IRRACIONAIS
01. DEFINIÇÃO
H radi%a!.
EXEMPLOS
(.1# 2x3 =−(.2# 1x11x −=+
(.3# x2-x −=++(.4# 4x-2x10x2 +=−++
02. RESOLUÇÃO DE E=UAÇES IRRACIONAIS
=ara reso!vermos equa'Les irra%ionais, devemos e!iminar os radi%ais da equa'ão e, ao fina!, verifi%armos as so!u'Les.Honvém !em>rar que+
a > ⇒ a2 >2 "verdadeiro#a2 >2 ⇒ a > "fa!so#
a > ⇔ a2
>2
"fa!so#
EXEMPLOS
(.1# 2x3 =− . (!evando mem>ro a mem>ro ao %u>o, temos+
x R 78 x 13.
G importante verifi%ar, ap5s a reso!u'ão da equa'ão, se a so!u'ão rea!mente satisfaz.
VERIFICAÇÃO
x 13 ⇒ 33 7213 ⇔=−
2 ⇔ 2 2 ":#
&ssim+ : 13
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MATEMÁTICA3-
(.2# 11x + x R 18 e!evando mem>ro a mem>ro ao quadrado, temos+
x ? 11 "x R 1#2
x ? 11 x2 R 2x ? 1
x2 ? 3x R 10 08 xb e xP R2
VERIFICAÇÃO
xb ⇒ 4441*111 =⇔=⇔−=+ ":#
xb R2 ⇒ 33312112 −=⇔−=⇔−−=+− "I#
$ote que apesar de 3 ≠ R3, temos 32 "R3#2. =ortanto, quando se e!evou ao quadrado os mem>ros da equa'ão, umadas so!u'Les, x R 2, era estranro, temos+
-x-x =++ 8 e!evando am>os os mem>ros ao quadrado, temos+
( ) 22 -x-x =++
x ? ? 2 4xx#-x" =++
x242x-x2 2 −=+
ividindo por 2, temos+
x21x-x2 −=+
(!evando am>os os mem>ros outra vez ao quadrado, temos+
x2 ? x "21 R x#2
x2 ? x 441 R 42x x2
4x 441
4
441x ==
VERIFICAÇÃO
x ⇒ *24321*2- =+⇔−=+⇔−=++ ":#
&ssim+ :
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MATEMÁTICA40
(.4# 4x-2x10x2 +=−++
(!evando am>os os mem>ros ao quadrado, temos+
( ) ( )( ) ( )
4x420x10x4x22
4x-2x2x10x2210x2
4x-2x10x2
2
22
−=−++
+=−+−+++
+=−++
ividindo por 2, temos+
2x220x*x2 2 −=−+ 8
e!evando am>os os mem>ros ao quadrado, temos+
2x2 ? *x R 20 "2x R 2# 2
2x2 ? *x R 20 4x2 - 7x ? 4 R2x2 ? 14x R 24 0 +"R2#x2 R x ? 12 08 !o;o, xb 4 e xP 3.
VERIFICAÇÃO
$a equa'ão ini%ia! "antes de e!evarmos os dois mem>ros ao quadrado#, vamos su>stituir as razes xb 4 e xP 3en%ontradas.
xb 4 ⇒ 24242233221744.-24104.2 ==+⇔=+⇔+=−++ ":#
xP 3 ⇒ 14211*43.-23103.2 =+⇔=+⇔+=−++ ":#
&ssim+ : 3,4
(.# Deso!vamos a equa'ão 1x*xx*x 22 ++=++ .
SOLUÇÃOHomo vemos, esta equa'ão é do se;undo tipo e, portanto, se re%orrermos ao mesmo pro%esso das anteriores,
teremos que e!evK-!a duas vezes ao quadrado para e!iminar os radi%ais. (ntretanto, %as as so!u'Les satisfazem.
&ssim+ : R 7, 2
EXERC'CIOS
01. Deso!va as se;uintes equa'Les+
a# x ? 142x =−
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MATEMÁTICA41
># 2xx31x −=−+
EXERC'CIOS PROPOSTOS
01. esenvo!va+
a# "2x R 3#2 ? "1 ? 2x# . "1 R 2x# ># "x2 ? 2x#2 R "x R 2#3
%# "3x ? 1#3 ? "x2 R 4x R 3#2
02. Sendo x ? T ? z 10 e xT ? xz ? Tz 30, %a!%u!e x 2
? T2 ? z2.
03. Sa>endo que a ? > 10 e a . > 20, %a!%u!e a3 ? >3.
04. Ha!%u!e o va!or da expressão ( x3 R 3x2T ? 3xT2 R T3
para x 11 e T 11.
0. Iatore+
a# x2 ? 2xT ? x ? 10T ># x2T2 R %# 4x2 - 4xT2 ? T4
d# x3 R 7T3 R *x2T ? 12xT2
e# x2 ? 2x R 1
0*. Simp!ifique+
a#10x3x
7x.
4x4x
20x4xx2
3
2
23
−−
−
+−
+−−
>#
4T
2T.
4x12x
4x14x12T2xT-Tx*22
22
−
+
+−
−+−+−
%#1x
1xx.
xx
1x3x3x3
2
2
23
+
+−
+
+++
0. Se a>1
aa>
1 $ea>1
a >
a6
2
+
−
−=+
−
+= , %om a>
≠ -1, então %a!%u!e $
6.
07. Simp!ifique a expressão22
22
ax
a*axx
−++
.
0. Simp!ifique a expressão234
23
>a3 >a*a3
>aa
+−−
.
10. Se 2x ? 2 R2 a, então 7x ? 7 Rx é i;ua! a+
a# a3
># a2 R a%# a3 R 3ad# a3 - ae# $D&
11. & expressão 2a
>
>
a2
2
2
2
2
+++ , para a Z 0 e > Z 0 é
equiva!ente a+
a# >.a
>a +
># a ? > ? 2
%#a>
# >a" 2+
d#22
2
>a
# >a" +
12. Da%iona!ize+
a# 3
20
>#4 -2
12
%#3
1
−
d#31
11
−+
13. Fua! o maior entre os números *43 20e, X
14. Simp!ifique a expressão21
121
122−
++
− .
1. Ha!%u!e o va!or da expressão
134
2.13
3
13
−
−+
+.
1*. Se a Z 0 e > Z 0, a expressão
( ) ( ) a>3 >a.a > >a 1 +++ − é i;ua! a ...
1. & equa'ão 3x2 ? >x ? % 0 tem razes 1 e 4. s
va!ores dos %oefi%ientes b e c são, respe%tivamente+
a# e 4 ># R e 4%# e 12d# -1 e 12e# R1 e R12
17. $a equa'ão do se;undo ;rau x2 ? 3mx ? m R 0, seas razes são opostas, %a!%u!e m.
1. $a equa'ão x2 R 7x ? p R 1 0, uma raiz é o trip!o daoutra. Ha!%u!e.
20. Ha!%u!e a soma dos inversos das razes da equa'ão 3x2
? x R 0.
21. Sendo a e b as razes da equa'ão 2x2 R x ? m 3,
então se3
4
>
1
a
1=+ , qua! o va!or de mX
8/17/2019 Mod_02 Divisibilidade (3º-Ext-Int) (1)
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MATEMÁTICA42
22. Se a soma das razes da equa'ão "x R # . "x ? p# R 1é , qua! o va!or do produto das razesX
23. etermine o %onjunto so!u'ão das se;uintes equa'Les+
a# "x ? 3#2 "x R 1# . "x ? #
>#4x3x21
4x
−−=+−%# x ? 4 . "x R 1# x R 4d# * . "x ? 2# R 4x 2 . "x ? 1# ? 4
24. etermine o %onjunto so!u'ão das se;uintesinequa'Les+
a#*
1x3
3
x3
2
3x2 −# 4 . "x R 2# R "3x?2# Z x R * R 4 . "x R 1#%# * . "x ? 2# R 2 . "3x ? 2# Z 2 ."3x R 1# R 3 R "2x R 1#
2. Deso!va os sistemas+
a#
=−
=+
xT
1
T
2
x
1
,3
T
2
x
>#
=−
=−
T4x3
,T3x2
%#
=
=−
12T.x
-Tx 22
2*. Deso!va as se;uintes equa'Les+
a# 31x23 =++
># 117xx =−−−
%# 2x
1x
2
2 =+
−+
d# 3xx3xx 22 −−=+−
e# 311xx =++
GABARITO
01. a# 10-12x ># x4 ? 3x3 ? 10x2 R !2x ? 7%# x4 ? 1x3 ? 3x2 ? 33x ? 10
02. 40
03. 40004. 70. a# "x ? # . "x ? 2T#
># "xT ? 3# "xT R 3#%# "2x R T2#2
d# "x R 2T#3
e# "x ? # "x R 3#
0*. a# x2
? 2x ? 4 >#
2x3
1x2
−−
%#x
1x +
0. >
07.a3x
a2x
−+
0.# >a"a3
1
−10. H
11. H12. a#
3
4
># 4 172
%#2
33 +
d# 1233- +++
13. 4 14. `ero1. 21*. a>4
1. 17. m 01. p 13
20.
-
21.4
2-
22. 1123. a# R
># φ%# D
d# φ24. a# S x ∈ DYx Z R 3 ># φ%# D
2. a# "48 # ># "8 3#%# "48 3#8 "R48 R3#
2*. a# 24 ># 34%# R484d# 38 R2e#
EXERC'CIOS PROPOSTOS
=1. & equa'ão1
1x
10
12xx
+=−− é equiva!ente a
>
ax = , a e b primos entre si. (ntão a ? > é um+
8/17/2019 Mod_02 Divisibilidade (3º-Ext-Int) (1)
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MATEMÁTICA43
a# número primo. ># número par.%# divisor de .d# mú!tip!o de 3.e# quadrado perfeito.
=2. istri>u D\ 0,00 entre trAs po>res. Sa>e-se que o2o re%e>eu a ter'a parte do 1 o, o 3o re%e>eu D\ 0,00 amais que o 2o e que ainda so>raram D\ 0,00. Ha!%u!equanto re%e>eu %ada po>re.
=3. & soma das idades de pai e fi!#
1e#
-
%#2
1
=7. sistema de equa'Les !ineares
=+=−xTmx1Tx2 tem
so!u'Les e, e s5 se+
a# m ≠ 2 ># m ≠ R1
%# m ≠ 2
1
d# m ≠ 0
e# m ≠ 2
3
−
8/17/2019 Mod_02 Divisibilidade (3º-Ext-Int) (1)
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MATEMÁTICA44
=. Se x, T e z satisfazem V %ondi'ão
=−+
−=−
=+−
1zTx2
4xT2
-z3Tx
,
então x ? T ? z va!e+
a# R ># 2%# 0d# R11e# *
=10. %onjunto de va!ores reais que so!u%iona a equa'ão
1x
1
1x
3
1x
x32 +
=−
−−+
no universo 1 é+
a# R1 ># D R 1%# D d# 0e# 3
=11. Se o%orre x R T 2 e x . T , entãoT
1
x
1 − va!e+
a#
2−
># R*
%#2
3
d# R1
e#*
1
=12. & equa'ão do se;undo ;rau "3x R 1#2 ? "2x R 1# . "2x ? 1# 0 possui as razes x1 e x2. etermine, então, o va!or de x 1 ?x2.
a# R0,4 ># *Y13%# R3d#
e#2
1−
=13. & diferen'a entre o quadrado da soma de um número%om 3 e o do>ro do produto desse número pe!o seu%onse%utivo é 13. (sse número é+
a# R1 ># %# 2d# 3e# R*
8/17/2019 Mod_02 Divisibilidade (3º-Ext-Int) (1)
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MATEMÁTICA4
=14. Fua! o %onjunto so!u'ão da equa'ão
1x
xx122
2
=−
−− em 1.
a#
−2
-,3
># 2
%#
−
2
-
d# Re# φ
=1. & soma de dois números é p e a soma dos re%pro%os"inversos# desses números va!e &. Eo;o, o produtodos números é+
a# p . q
>#q
p
%# p
q
d# pq R pe# p2 q ? pq2
=1*. izer qua! o %onjunto so!u'ão da equa'ão
#3x"
3x*
3x
x
x
*x22
−
−=
−
+
−
+ em 1.
=1. va!or a>so!uto da diferen'a entre a soma e o produto das razes da equa'ão R2x2 ? 10x R 3 0 é+
a# 3 >#
%#2
-
d#3
e# 0
=17. & equa'ão do se;undo ;rau 2x2 R Ux ? 3 0 possui R 1 %omo uma de suas razes. (ntão a outra raiz é+
a# R3Y2 ># 1%# 0d# R1Y2e# Y2
=1. Se a equa'ão x2 R 2 αx ? β 0 possui R %omo raizdup!a, então α . β é+
a# R10 ># R12%# 7d# 1*0e# 2
8/17/2019 Mod_02 Divisibilidade (3º-Ext-Int) (1)
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MATEMÁTICA4&
=20. >serve a equa'ão do se;undo ;rau 2x2 R mx ? n 08a asser'ão Balsa é+
a# Se seus zeros são simétri%os, então m 0. ># Se uma das razes é nu!a, então n 0.
%# Se seus zeros são re%pro%os, então n 2.d# Se a diferen'a dos seus zeros for nu!a, então m2 7n.e# Se uma das razes é nu!a, então a outra raiz é n.
=21. &s razes da equa'ão do se;undo ;rau 3x2 R 1x ? λ 0, %onstante, diferem de uma unidade8 sendoassim, é um e!emento do %onjunto.
a# R2, , 13 ># 0, 1, %# !2, 1, 20#d# , 17, 1
e# R11, 4, 7
=22. Honsiderando a equa'ão 2x2 ? mx R 7 0 de razes
x1 e x2 e sa>endo-se que 2x
x
x
x
1
2
2
1 −=+ , as razes
dessa equa'ão formam o %onjunto+
a# xYx 0 ou x 1 ># xYx 1Y2 ou x 2%# xYx R1 ou x 2d# xYx 2
e# xYx 1Y2
=23. Deso!va a equa'ão x4 R x2 R 12 0, em 1.
=24. Deso!va a equa'ão x* ? x3 R 7 0.
=2. Deso!va a equa'ão "x3 R 1#2 R "x3 R1# R 14 0.
=2*. & equa'ão do se;undo ;rau %ujas razes são 32 +
e 32 − é+
a# 2x2 ? x R 1 0 ># Rx2 ? x R 3 0%# 3x2 ? x ? 2 0d# x2 R 4x ? 1 0e# x2 R x R 1 0
=2. %onjunto so!u'ão da equa'ão 1x1x23 =−+ possui quantos e!ementosX
a# um ># dois%# trAsd# quatroe# infinitos
8/17/2019 Mod_02 Divisibilidade (3º-Ext-Int) (1)
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MATEMÁTICA4(
=27. Deso!va 3x3x +=+ .
=2. Fuantas so!u'Les reais possui a equa'ãox212x1x −=−++ X
a# zero
># uma%# duasd# trAse# mais de trAs
=30. Ha!%u!e a soma das razes da equa'ão
x3x1x3x 22 +−=+− .
=31. Ha!%u!e as razes da equa'ão 2
x
x2
x2
x
3 2
3
3
3 2
=−
+
−.
=32. Sa>endo-se que *Tx =+ e que x ? T 32,então x% va!e+
a# 3 ># 4%# d# *e#
=33. Deso!ver a equa'ão x2xx3 = em 1.
=34. %onjunto de números reais x para que
13
1x3
2
x2+
−−≤
− forma o interva!o rea!+
a# "R ∞,2
>#
∞+− ,3
2
%#
∞−32,
d# "R ∞,0e# "-1,?∞#
=3. Deso!vendo a inequa'ão x4
3
x21
2
2x<
−−
+,
o>temos o %onjunto %omo so!u'ão.(ntão é verdadeiro que+
a# S2 ∈
># R π ∈ S%# 13 ∈ Sd# 1Y2 ∈ Se# R ∈ S
8/17/2019 Mod_02 Divisibilidade (3º-Ext-Int) (1)
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MATEMÁTICA4*
=3*. maior número inteiro que satisfaz V %ondi'ão
x2
1
2
111
,1x2+≥
+−
−, é
a# R1 ># 0
%# 1d# e# R
=3. %onjunto de reais x que satisfazem V %ondi'ão
>−
≤+−
<−
# 2
%#
3
d#
e#2
3
=41. Deso!va a equa'ão 0103x
xx3=−
+− .
=42. Ha!%u!ar o produto das razes da equa'ão
0x23x
3x2x 22
=++
−+ .
8/17/2019 Mod_02 Divisibilidade (3º-Ext-Int) (1)
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MATEMÁTICA4-
=43. Fua! o %onjunto so!u'ão da equa'ão
0x
2
*xx
*xx
22
2
=−−−+
+−X
=44. 9m dos va!ores de x para que
=−
−=−
3xTx
*xTTx
2
22
é+
a# R3 ># %# R11d# 3Y2e# 1Y2
=4. uas pessoas empre;am, juntas, DS 144.000,00 na%ompra de a'Les que rendem *k ao ano.&nua!mente, a primeira re%e>e D\ 1.200,00 a maisque a se;unda. Fua! o %apita! que %ada umaempre;ouX
=4*. 9ma mistura de 20m é %onstituda de duassu>st[n%ias, e ?, nas propor'Les 2k e k,respe%tivamente. Sa>endo que para um mesmovo!ume a su>st[n%ia pesa o do>ro de ?, que
per%enta;em do peso tota! da mistura representa o peso de X
=4. 9ma torneira %onse;ue en%
8/17/2019 Mod_02 Divisibilidade (3º-Ext-Int) (1)
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MATEMÁTICA0
=4. Simp!ifi%ar a expressão 34-34- ++− .
=. Ha!%u!e o va!or de ...222x +++= .
=*. uas rodas de en;rena;em tAm 40 e *0 dentes, %adauma %om um dente estra;ado. Se, num dado instante,esses dois dentes estão em %ontato, quantas vo!tas aroda pequena darK para que se repita esse en%ontroX
=. 9m terreno de forma trian;u!ar tem !ados demedidas 17 m, 24 m e 30 m. eve-se %er%ar esseterreno %om esta%as espa'adas i;ua!mente, V mKximadist[n%ia possve!.Fua! deve ser V dist[n%ia entre as esta%asX
=7. eterminar o maior número pe!o qua! se deve dividir 423, *, 17 para se o>ter os restos 3, 4 e 1,respe%tivamente.
=. 9ma senuir entre os seus 3 fi!
8/17/2019 Mod_02 Divisibilidade (3º-Ext-Int) (1)
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MATEMÁTICA1
GABARITO
01. & 33. 22,2,0: =
02. 1a# D\ 20,00 34. H2a# D\ 0,00 3. H3a# D\ 1*0,00 3*. Q
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