Model Log 3 Dimensi

Model Log 3 dimensi

Dalam kehidupan sehari-hari, sering dijumpai data yang dikelompokkan ke dalam suatu

kategori tertentu. Data yang memuat beberapa kategori tersebut disebut data kategorik. Data

kategorik lebih mudah dianalisis jika data tersebut disajikan dalam bentuk tabel kontingensi.

Berikut akan dijelaskan mengenai model log tiga dimensi beserta tabel kontingensi tiga

dimensi.

1. Tabel kontingensi tiga dimensi

Tabel kontingensi merupakan suatu tabel yang memperlihatkan tingkat dari masing-

masing variabel kategorik berdasarkan frekuensi pengamatannya.

Uji independensi dan uji homogenitas juga berlaku pada tabel kontingensi tiga dimensi.

a. Uji independensi / kebebasan

Hipotesis:

H 0 : p ijk=pi++¿ . p+ j+¿ . p++k¿¿

H 1: p ijk≠ pi++¿ . p+ j+¿ .p++ k¿¿

Statistik uji:

χ2=∑i=1

I

∑j=1

J

∑k=1

K (nijk−mijk )2

mijk

Keterangan :

nijk=¿ frekuensi pengamatan sel ke-ijk

mijk=¿ frekuensi harapan sel ke-ijk

Frekuensi harapan dalam tabel kontingensi 3 dimensi dihitung dengan menggunakan

rumus

mijk=¿¿

Taraf signifikansi : umumnya digunakan 𝛼=0,05 Kesimpulan:

Tolak H 0 pada taraf signifikansi α , jika χhitung2 ≥ χ tabel

2

dengan derajat bebas=(I−1)(J−1)(K−1).

2. Model Log Linear Untuk Tabel 3 Dimensi

Model log linear merupakan salah satu cara menganalisis data kategorik jika variabel

yang diperhatikan dalam suatu data kategorik tersebut berbentuk variabel kategorik. Ada dua

model log linear untuk tabel kontingensi yaitu model bebas dan model lengkap.

2.1 Model Bebas (Independen)

1

Diketahui probabilitas dari sel kategori 3 dimensi yang saling bebas sehingga

pijk=p i++¿ . p+ j+¿ . p++k ¿¿

dalam bentuk logaritma diperoleh persamaan

log ( p¿¿ ijk )=log ¿¿¿

dan jika diketahui mijk=n . pijk

mi++¿=n . pi++¿ ¿¿

m+ j+¿=n . p+ j+¿¿ ¿

m++k=n. p++k

maka

mijk

n=¿

mijk=¿¿

sehingga

log (mijk)=log ¿

log (mijk)=log mi++¿+ logm+ j+¿+ logm+ +k−2 logn¿¿

dan bila variabel baris dilambangkan dengan A, variabel kolom dengan B dan variabel layer

dengan C, maka

log (mijk )=μ+λ iA+λiB+λ iC

Keterangan :

mijk=¿frekuensi harapan dalam sel-ij

μ=¿ parameter rata-rata keseluruhan

λ iA=¿parameter pengaruh tingkat ifaktor A

λ iB=¿ parameter pengaruh tingkat jfaktor B

λ iC=¿parameter pengaruh tingkat kfaktor C

Untuk mencari nilai parameter dari μ , λiA , λ i

B , dan λiC

μ=∑i=1

I

∑j=1

J

∑k=1

K

log (mijk )

IJ K

λ iA=

∑j=1

J

∑k=1

K

log (mijk )

JK−μ

2

λ iB=

∑I=1

I

∑k=1

K

log (mijk )

IK−μ

λ iC=

∑i=1

I

∑j=1

J

log (mijk )

IJ−μ

Dengan syarat

∑i=1

I

λiA=∑

j=1

J

λiB=∑

k=1

K

λiC=0

2.2 Model Lengkap (saturated)

Apabila terdapat interaksi pada setiap variabelnya, maka Model Log Linear lengkapnya

adalah

log (mijk )=μ+λ iA+λ jB+λkC+ λijAB+λ ikAC+λ jkBC+λ ijkABC

keterangan :

mijk=¿frekuensi harapan dalam sel-ij

μ=¿ parameter rata-rata keseluruhan

λ iA=¿parameter pengaruh tingkat ifaktor A

λ iB=¿ parameter pengaruh tingkat jfaktor B

λ iC=¿parameter pengaruh tingkat kfaktor C

λ iAB=¿parameter pengaruh faktor interaksi sel – ij

λ iAC=¿parameter pengaruh faktor interaksi sel – ik

λ iBC=¿parameter pengaruh faktor interaksi sel – jk

λ iABC=¿ parameter pengaruh faktor interaksi sel – ijk

dimana,

μ=∑i=1

I

∑j=1

J

∑k=1

K

log (mijk )

IJK

λ iA=

∑j=1

J

∑k=1

K

log (mijk )

JK−μ

λ iB=

∑I=1

I

∑k=1

K

log (mijk )

IK−μ

3

λ iC=

∑i=1

I

∑j=1

J

log (mijk )

IJ−μ

λ ijAB=

∑k=1

K

log (mijk )

K−∑j=1

J

∑k=1

K

log (mijk )

JK−∑I=1

I

∑k=1

K

log (mijk )

IK−μ

λ iBC=

∑j=1

J

log (mijk )

J−∑j=1

J

∑k=1

K

log (mijk )

JK−∑i=1

I

∑j=1

J

log (mijk )

IJ−μ

λ iAC=

∑i=1

I

log (mijk )

I−∑I=1

I

∑k=1

K

log (mijk )

IK−∑i=1

I

∑j=1

J

log (mijk )

IJ−μ

λ iABC=log (mijk )−

∑i=1

I

log (mijk )

I−∑j=1

J

log (mijk )

J−∑k=1

K

log (mijk )

K

+∑i=1

I

∑j=1

J

log (mijk )

IJ+∑I=1

I

∑k=1

K

log (mijk )

IK+∑j=1

J

∑k=1

K

log (mijk )

JK

Dengan syarat

∑i=1

I

λiA=∑

j=1

J

λiB=∑

k=1

K

λiC=∑

i=1

I

λijAB=∑

j=1

J

λijAC=…=∑

i=1

I

∑j=1

j

∑k=1

K

λiC=0

3. Analisis Model Log Linear

Model Log Linear merupakan suatu model khusus yang dipergunakan untuk melakukan

analisis data kategorik berskala nominal. Model Log Linear pada dasarnya merupakan model

linier univariat yang dipergunakan untuk melakukan analisis varians dengan variabel tak bebas

atau respons adalah logaritma dari frekuensi yang diharapkan dalam tiap-tiap sel tabel silang yang

diperhatikan. Jika mijkmenyatakan frekuensi ekspektasi dalam sel-(i,j,k) dari tabel silang

berdimensi tiga, maka model Log Linear yang diperhatikan mempunyai variabel respons log (mijk )Analisis Log Linear dapat digunakan untuk menganalisis pola hubungan antar sekelompok

variabel kategori yang mencakup asosiasi dua variabel, asosiasi tiga variabel atau lebih. Pola

hubungan antar variabel dapat dilihat dari interaksi antar variabel itu sendiri. Analisis Log Linear

tidak membedakan antara variabel penjelas dan variabel respons.

Pada analisis data kategorik, untuk mencari model yang paling sesuai terlebih dahulu harus

diketahui statistik cukup dan statistik cukup minimal.

Definisi 3.1

4

Misalkan X 1 , X 2, X 3 , ... , X nsampel random dari fungsi probabilitas f (x ;θ). Statistik

W=h(X1 , X 2 , X3 , ... , X n)dikatakan cukup (sufficient) untuk θapabila semua θdan semua hasil

yang mungkin, fungsi probabilitas X 1 , X 2, X 3 , ... , X njika diketahui w tidak tergantung pada θ,

baik dalam fungsi itu sendiri atau dalam wilayah fungsi itu. (Soejoeti, 1990).

Menurut Bain dan Engelhardt (1991:337), suatu himpunan statistik dikatakan sebagai

himpunan statistik cukup minimal jika anggota-anggotanya adalah statistik cukup gabungan

untuk parameter dan jika statistik-statistik tersebut merupakan fungsi dari himpunan statistik

cukup gabungan yang lain.

5

Langkah-langkah mencari model yang sesuai: 1. Kecukupan dan Likelihood

a. Statistik Cukup Minimal

Diasumsikan sebuah sampel (n ijk )untuk klasifikasi silang dari variabel-variabel A, B dan C.

Diasumsikan variabel A, B dan C adalah variabel random Poisson dengan nilai harapanmijk.

Fungsi kepadatan probabilitas Poissonbersama dari nijkadalah

Π iΠ jΠ k=e−mijk (mijk )

nijk

mijk !

Dengan

mijk : frekuensi harapan

Π iΠ jΠ k : hasil kali seluruh frekuensi sel dalam tabel

nijk : frekuensi pengamatan pada baris ke-i, kolom ke-jdan layer ke-k

Dalam bentuk logaritma, persamaan tersebut dapat ditulis

log (mijk )=μ+λ iA+λiB+λ iC+ λiAB+λ iAC+λ iBC+λ iABC

Model log linear untuk tabel 3 dimensi secara umum dapat disajikan dalam persamaan yaitu

mij k=exp (μ+λiA+λi

B+λiC+ λi

AB+λiAC+λ i

BC+λiABC )

Kemudian diperoleh LogLikekihoodsebagai berikut

L (m )=nμ+∑i

ni++¿ λ iA+∑

j

n+ j+¿ λ jB+∑

k

n++k λkC+¿∑

i∑j

nij+¿λijAB ¿¿

¿¿

∑i∑k

nik+¿ λikAC+¿∑

j∑k

ni+k λ jkBC+¿∑

i∑j∑k

nijk λ ijkABC−¿¿¿¿¿

∑i∑j∑k

exp(μ+ λiA+ λ j

B+ λkC+λij

AB+ λikAC+λ jk

BC+ λij kABC)

Dengan λ adalah parameter dalam model.

Tabel 4 Tabel Statistik Cukup MinimalMODEL Statistik cukup minimal

(A,B,C) ¿

(AB,C) ¿

(AC,B) {n i+k } ,¿(BC,A) {n+ jk } ,¿

(AB, BC) ¿

(AC,BC) {n i+k } , {n+ jk }(AB,AC) ¿

(AB,AC,BC) ¿

(ABC) {n ijk }

Keterangan:

6

• Model (A,B,C) yaitu model yang ketiga faktornya tidak ada interaksi.

• Model (AB,C) yaitu model yang hanya terdapat satu interaksi (interaksi antar faktor A dan

faktor B).

Begitu juga dengan model-model yang lainnya.

b. Persamaan Likelihood

Estimasi maksimum Likelihooddiperoleh dari derivatif persamaan Log Likelihood

L (m )=nμ+∑i

ni++¿ λ iA+∑

j

n+ j+¿ λ jB+∑

k

n++k λkC+¿∑

i∑j

nij+¿λijAB ¿¿

¿¿

∑i∑k

nik+¿ λikAC+¿∑

j∑k

ni+k λ jkBC+¿∑

i∑j∑k

nijk λ ijkABC−¿¿¿¿¿

∑i∑j∑k

exp(μ+ λiA+ λ j

B+ λkC+λij

AB+ λikAC+λ jk

BC+ λijkABC)

Derivatif terhadap parameter-parameternya diperoleh estimasi maksimum Likelihoodberikut:

1) Derivatif terhadap 𝜇diperoleh

m̂++¿=n¿(frekuensi harapan total = frekuensi pengamatan total)

2) Derivatif terhadap λ iAdiperoleh

m̂i++¿ ¿=𝑛𝑖++ dengan i= 1,2,3,...,I

3) Derivatif terhadap λ jBdiperoleh

m̂+ j+¿¿=𝑛+j+ dengan j= 1,2,3,...,J

4) Derivatif terhadapλ iCdiperoleh

m̂++k=𝑛++kdengan k= 1,2,3,...,K

5) Derivatif terhadap λ ijABdiperoleh

m̂ij+¿¿=n ij+¿ dengan i= 1,2,3,...,I ; j= 1,2,3,...,J

6) Derivatif terhadap λ ikACdiperoleh

m̂i+ k=𝑛i+kdengan i= 1,2,3,...,I ; k= 1,2,3,...,K

7) Derivatif terhadap λ jkBCdiperoleh

m̂+ jk=𝑛+jkdengan j= 1,2,3,...,J ; k= 1,2,3,...,K

Penyelesaian tunggal untuk m̂ijkpada model sesuai dengan data sampel dalam statistik cukup

minimalnya, sehingga merupakan penyelesaian maksimum Likelihoodnya.

2. Estimasi frekuensi harapan

Misal diasumsikan sebuah model (AC, BC) dengan A dan B adalah variabel bebas dan C adalah

variabel terikat memenuhi:

pijk=pi+k p+ jk

p++ k,untuk semua i, jdan k

7

Menurut Bishop (2007), untuk sampel berdistribusi Poissondigunakan rumus yang berkaitan

dengan frekuensi harapan

mijk=δijkmi+km+ jk

m++k

dari persamaan tersebut kemudian diperoleh estimasimijk yaitu

m̂ijk=δijkni+ kn+ jk

n++k

Keterangan

δ ijk=¿0 ,untuk sel kosong1 ,untuk sel yang terisi ¿

3. Uji Godness of Fit

Menurut Suryanto (1988:274), setelah diperoleh estimasi frekuensi harapan, perlu

membandingkan frekuensi-frekuensi hasil pengamatan dengan estimasi frekuensi harapan untuk

mengetahui apakah model log linear yang digunakan cocok dengan keadaan sebenarnya.

Rumusan hipotesisnya adalah sebagai berikut:

H 0 : model Log Linear yang digunakan cocok dengan keadaan sebenarnya

H 1 : model Log Linear yang digunakan tidak cocok dengan keadaan sebenarnya

Untuk menguji hipotesis bahwa estimasi frekuensi harapan populasi memenuhi model yang

diberikan dengan menggunakan statistik chisquare

χ2=Σ¿ (nijk−mijk )2

mijk

Σ¿ menunjukkan bahwa sel yang digunakan hanya sel yang terisi saja (Bishop, 2007), Apabila

χhitung2 ≥ χ tabel

2 dengan taraf signifikansi 𝛼=0,05 maka gagal tolak H 0 yang berarti model Log Linear

yang digunakan sesuai dengan keadaan sebenarnya.

Selain statistik chisquare, dapat juga menggunakan statistik rasio Likelihooddengan rumus

sebagai berikut:

G2=2 Σ¿nijk log(nijk )mijk

Derajat bebas dalam uji GoodnessofFit ini adalah selisih antara jumlah sel yang bebas

dengan model yang ditentukan. Perhitungan derajat bebas pada tabel kontingensi tak sempurna

yaitu derajat bebas pada tabel kontingensi sempurna dikurangi banyaknya sel kosong.

Jika dihitung secara manual, maka derajat bebas pada tabel sempurna dapat dihitung sebagai

berikut:

8

Tabel 5 Tabel Derajat BebasModel Log Linear Derajat bebas (A,B,C) IJK – I – J – K + 2 (AB,C) (IJ - 1) (K - 1) (AC,B) (IK - 1) (J - 1) (BC,A) (JK - 1) (I - 1) (AB,BC) J (I - 1) (K - 1) (AC,BC) K (I - 1) (J - 1) (AB,AC) I (J -1) (K - 1) (AB,AC,BC) (I - 1) (J - 1) (K - 1) (ABC) 0

4. Pemilihan Model

Model dalam hal ini dipilih menurut nilai statistik rasio Likelihood dan derajat bebasnya.

Urutan pertama dipilih model yang mempunyai nilai statistik rasio Likelihood paling besar dan

derajat bebasnya juga yang paling besar. Langkah selanjutnya analog dengan langkah

sebelumnya. Apabila ada dua model atau lebih yang mempunyai derajat sama, maka dipilih

salahsatu saja yaitu model yang mempunyai nilai statistik rasio Likelihoodpaling kecil.

5. Partisi ChiSquared untuk Membandingkan Model

Diberikan dua model parametrik m1dan m1dengan m2merupakan kasus khusus dari m1.

Karena m2lebih sederhana dari m1maka model m2dikatakan bersusun dengan m1.

G2(m1)≤G2(m2)

Secara teoretis, G2(m1)tidak akan pernah melampaui G2 (m2)diasumsikan model m1

ditentukan, pendekatan rasio Likelihooduntuk menguji m2dapat dihitung dengan uji statistik

G2 (m2)=G2 (m1)+G 2 (m1+m2 )

G2 (m1)mendekati distribusi chisquaredengan derajat bebasv1, G2 (m2)mendekati distribusi chi

squaredengan derajat bebas v2,. Oleh sebab itu, diperoleh G2 (m2|m1) mendekati distribusi chi

squaredengan derajat bebasv2−v1.

6. Analisis Residual

Pada dasarnya, uji Goodness of fit hanya memberikan kesimpulan yang umum tentang

bagaimana sebuah model sesuai dengan data. Untuklebih jauhnya, dapat dilihat pada analisis

residu yang dilakukan dalam memilih sebuah model.

Residu adalah frekuensi pengamatan (ni) dikurangi dengan frekuensi harapan (m̂i) dalam

bentuk persamaan diperoleh:

9

ε=ni−m̂i , i=1,2 ,…,n

Tujuan daripada analisis residual ini adalah untuk mengukur sisa variabilitas data

pengamatan yang tidak dapat dijelaskan baik oleh masing-masing variabelnya maupun interaksi

antar variabelnya. Analisis residual juga sering digunakan pada pendeteksian dan penaksiran

derajat perbedaan antara model yang diasumsikan dengan data hasil pengamatan.

Plot yang sederhana antara nilai residual versus nilai estimasi frekuensi harapan sangat

bermanfaat dalam mendeteksi apakah model telah sesuai dengan spesifikasi ataukah ada

penyimpangan terhadap asumsi. Plot residual yang ideal adalah yang menggambarkan titik-titik

yang menyebar di sekitar nol dengan penyimpangan tidak terlalu besar dari titik nol dan tidak

memberikan suatu kecenderungan pola tertentu / berpola acak.

10

MODEL LOG LINEAR UNTUK TABEL KONTINGENSI TAK

SEMPURNA BERDIMENSI TIGA

(Studi Kasus Jumlah Penduduk Kabupaten Sleman Tahun 2008

Menurut Umur, Pendidikan dan Jenis Kelamin)

Berdasarkan dari data BPS Kabupaten Sleman diperoleh tabel yang memuat data 238.275

orang yang diklasifikasikan berdasarkan tiga kategori yaitu pendidikan, jenis kelamin dan

umur sebagai berikut:

Tabel 1. Data Jumlah Penduduk

Umur (Tahun) Pendidikan tertinggi Jenis Kelamin Jumlah

Anak-anak

SDLaki-laki 38587

Perempuan 34365

SMPLaki-laki 2797

Perempuan 3298

Muda

SDLaki-laki 3006

Perempuan 1503

SMPLaki-laki 20201

Perempuan 18750

Sumber : Susenas BPS Kabupaten Sleman Tahun 2008

Keterangan:

Kategori anak-anak umur 7-12 tahun

Kategori muda umur 13-15 tahun

Kategori

Variabel 1: 1 (Anak-Anak)2 (Muda)

Variabel 2: 1 (SD)2 (SMP)

Variabel 3: 1 (Laki-laki)2 (Perempuan)

11

PEMBAHASAN

1. Dengan Software SPSS

Dengan menggunakan software SPSS, didapatkan output untuk estimasi parameter

dan uji efek.

Estimasi parameter

Parameter Estimates

Effect

Parame

ter Estimate Std. Error Z Sig.

95% Confidence Interval

Lower Bound Upper Bound

VAR00001*VAR00002*VAR0

0003

1-.042 .005 -7.927 .000 -.053 -.032

VAR00001*VAR00002 1 1.175 .005 220.480 .000 1.164 1.185

VAR00001*VAR00003 1 -.102 .005 -19.156 .000 -.112 -.092

VAR00002*VAR00003 1 .112 .005 21.096 .000 .102 .123

VAR00001 1 .246 .005 46.147 .000 .235 .256

VAR00002 1 .067 .005 12.657 .000 .057 .078

VAR00003 1 .090 .005 16.863 .000 .079 .100

Dari tabel diperoleh bahwa:

λ1A = 0.246 λ2

A = -0.246

λ1B = 0.067 λ2

B = -0.067

λ1C = 0.090 λ2

C = -0.090

λ11AB = 1.175 λ22

AB = -1.175

λ11AC = -0.102 λ22

AC = 0.102

λ11BC = 0.112 λ11

BC = -0.112

λ111ABC = -0.042

Pengujian Efek

12

K-Way and Higher-Order Effects

K df

Likelihood Ratio Pearson Number of

IterationsChi-Square Sig. Chi-Square Sig.

K-way and Higher Order

Effectsa

1 7 1.093E5 .000 1.034E5 .000 0

2 4 89726.430 .000 81042.468 .000 1

3 1 335.666 .000 328.685 .000 1

K-way Effectsb 1 3 19531.964 .000 22367.272 .000 0

2 3 89390.764 .000 80713.783 .000 0

3 1 335.666 .000 328.685 .000 0

a. Tests that k-way and higher order effects are zero.

b. Tests that k-way effects are zero.

K-way and Higher Order Effect1. Untuk k = 3

H0 : Efek order ke-3 = 0 (log (eijk) = λ + λi A + λj

B + λkC + λij

AB + λik AC + λ jk

BC) H1 : Efek order ke-3 ≠ 0 (log (eijk) = λ +λi

A + λj B + λk

C + λij AB + λik

AC + λ jkBC + λ

ijkABC)

P-value = 0.000 (baik dengan metode likelihood maupun pearson)α = 0.05

P-value < α (0.000 < 0.05) Tolak H0

Kesimpulan: Efek order ke-3 ≠ 0 (log (eijk) = λ +λi A + λj

B + λkC + λij


BC + λ ijk

ABC)2. Untuk k = 2


B + λkC)

H1 : Efek order ke-3 ≠ 0 (log (eijk) = λ +λi A + λj

B + λkC + λij


BC + λ

ijkABC)


P-value < α (0.000 < 0.05) Tolak H0


B + λkC + λij


BC + λ ijk

ABC)3. Untuk k = 1

H0 : Efek order ke-3 = 0 (log (eijk) = λ) H1 : Efek order ke-3 ≠ 0 (log (eijk) = λ +λi

A + λj B + λk

C + λij AB + λik

AC + λ jkBC + λ

ijkABC)


13

P-value < α (0.000 < 0.05) Tolak H0


B + λkC + λij


BC + λ ijk

ABC)

K-way Effect1. Untuk k = 3

H0 : Efek order ke-3 = 0 (λ ijkABC = 0)

H1 : Efek order ke-3 ≠ 0 (λ ijkABC ≠ 0)


P-value < α (0.000 < 0.05) Tolak H0

Kesimpulan: Efek order ke-3 ≠ 0 (λ ijkABC ≠ 0)

2. Untuk k = 2H0 : Efek order ke-2 = 0 (λij

AB = λik AC = λ jk

BC = 0 )H1 : Efek order ke-2 ≠ 0 (min terdapat 1 : λij

AB, λik AC, λ jk

BC ≠ 0 )


P-value < α (0.000 < 0.05) Tolak H0

Kesimpulan: Efek order ke-2 ≠ 0 (min terdapat 1 : λij AB, λik

AC, λ jkBC ≠ 0 )

3. Untuk k = 1H0 : Efek order ke-1 = 0 (λi

A = λj B = λk

C = 0)H1 : Efek order ke-1≠ 0 (min terdapat 1 : λi

A, λj B, λk

C ≠ 0


P-value < α (0.000 < 0.05) Tolak H0

Kesimpulan: Efek order ke-1≠ 0 (min terdapat 1 : λi A, λj

B, λkC ≠ 0

14

2. Secara Manual

i j k frekuensi ln frek

1 1 1 3858710.560

7

1 1 2 3436510.444

81 2 1 2797 7.9363

1 2 2 32988.1010

7

2 1 1 30068.0083

7

2 1 2 15037.3152

2

2 2 1 202019.9134

9

2 2 2 187509.8389

5

Estimasi parameter

λ1A = ∑j=1

2

∑k=1

2

lnm1 jk

jk−∑i=1

2

∑j=1

2

∑k=1

2

lnmijk

ijk

= 9.260 – 9.014 = 0.2458

λ2A = ∑j=1

2

∑k=1

2

lnm2 jk

jk−∑i=1

2

∑j=1

2

∑k=1

2

lnmijk

ijk

= 8.769 – 9.014 = -0.2458

λ1B = ∑i=1

2

∑k=1

2

lnmi1k

ik−∑i=1

2

∑j=1

2

∑k=1

2

lnmijk

ijk

= 9.082 – 9.014 = 0.0674

λ2B = ∑i=1

2

∑k=1

2

lnmi2k

ik−∑i=1

2

∑j=1

2

∑k=1

2

lnmij k

ijk

= 8.974 – 9.014 = -0.0674

λ1C = ∑i=1

2

∑j=1

2

lnmij1

ij−∑i=1

2

∑j=1

2

∑k=1

2

lnmijk

ijk

= 9.104 – 9.014 = 0.0898

λ2B = ∑i=1

2

∑j=1

2

lnmij2

ij−∑i=1

2

∑j=1

2

∑k=1

2

lnmijk

ijk

= 8.974 – 9.014 = -0.0898

λ11AB = ∑k=1

2

lnm11k+∑k=1

2

lnm22 k

ij−∑i=1

2

∑j=1

2

∑k=1

2

lnmijk

ijk

= 10.189– 9.014 = 1.1746

15

λ22AB = ∑k=1

2

lnm12k+∑k=1

2

lnm21k

ij−∑i=1

2

∑j=1

2

∑k=1

2

lnmijk

ijk

= 7.840– 9.014 = -1.1746

λ11BC = ∑i=1

2

lnmi11+∑i=1

2

lnmi22

jk−∑i=1

2

∑j=1

2

∑k=1

2

lnmijk

ijk

= 9.127– 9.014 = 0.112

λ22BC = ∑i=1

2

lnmi12+∑i=1

2

lnmi21

jk−∑i=1

2

∑j=1

2

∑k=1

2

lnmijk

ijk

= 8.902-9.014 = -0.112

λ11AC = ∑j=1

2

lnm1 j1+∑j=1

2

lnm1 j1

ik−∑i=1

2

∑j=1

2

∑k=1

2

lnmijk

ijk

= 8.912– 9.014 = -0.1020

λ11AC = ∑j=1

2

lnm1 j2+∑j=1

2

lnm2 j1

ik−∑i=1

2

∑j=1

2

∑k=1

2

lnmijk

ijk

= 9.116– 9.014 = 0.1020

λ111ABC = lnm111+ lnm122+ lnm212+ lnm221

ik−∑i=1

2

∑j=1

2

∑k=1

2

lnmijk

ijk

= 8.972– 9.014 = -0.442

Estimasi parameter

K-way and Higher Order Effect1. Untuk k = 3


B + λkC + λij


BC) H1 : Efek order ke-3 ≠ 0 (log (eijk) = λ +λi

A + λj B + λk

C + λij AB + λik

AC + λ jkBC + λ

ijkABC)

Dengan menggunakan iterasi Newton Rhapson dicapai kondisi steady state pada iterasi ke-4 dengan nilai ekspektasi:

iterasi e111 e112 e121 e122 e211 e212 e221 e222

1 36476 36476 3047.5 3047.5 2254.5 2254.519475.

519475.

5

2 38193 347593190.9

62904.0

42407.7

42101.2

620799.

318151.

7

339126.

433823.

33058.9

83040.8

92466.5

8 2044.7 1993919007.

1

439127.

633824.

43056.5

43038.4

62465.3

32043.6

719941.

519009.

5

G2=2∑i=1

2

∑j=1

2

∑k=1

2

mijk ln(mijk

eijk ) = 335.66

16

χ2=∑i=1

2

∑j=1

2

∑k=1

2 (mijk−eijk)2

e ijk = 328.845


P-value < α (0.000 < 0.05) Tolak H0


B + λkC + λij


BC + λ ijk

ABC)

2. Untuk k = 2H0 : Efek order ke-3 = 0 (log (eijk) = λ + λi

A + λj B + λk

C) H1 : Efek order ke-3 ≠ 0 (log (eijk) = λ +λi

A + λj B + λk

C + λij AB + λik

AC + λ jkBC + λ

ijkABC)

Dengan menggunakan rumus ekspektasi e ijk=mi++¿m+1+¿m++i

¿¿¿ ¿¿ diperolehnilai ekspektasi:

e111 e112 e121 e122 e211 e212 e221 e222

26352.3 23629 15324.694 13741 14488.5 12991.2 8425.51 7554.8

G2=2∑i=1

2

∑j=1

2

∑k=1

2

mijk ln(mijk

eijk ) = 89726.43

χ2=∑i=1

2

∑j=1

2

∑k=1

2 (mijk−eijk)2

e ijk = 81042.47


P-value < α (0.000 < 0.05) Tolak H0


B + λkC + λij


BC + λ ijk

ABC)

3. Untuk k = 1H0 : Efek order ke-3 = 0 (log (eijk) = λ) H1 : Efek order ke-3 ≠ 0 (log (eijk) = λ +λi

A + λj B + λk

C + λij AB + λik

AC + λ jkBC + λ

ijkABC)

Dengan rumus ekspektasi e=

∑i=1

2

∑j=1

2

∑k=1

2

mijk

ijk

= 15313.38

G2=2∑i=1

2

∑j=1

2

∑k=1

2

mijk ln(mijk

eijk ) = 109258.4

17

χ2=∑i=1

2

∑j=1

2

∑k=1

2 (mijk−eijk)2

e ijk = 103409.7


P-value < α (0.000 < 0.05) Tolak H0


B + λkC + λij


BC + λ ijk

ABC)

18

Documents

Model Log 3 Dimensi