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Lajes Cristina Ferreira de Oliveira Outubro 2013 Modelação e Análise de Estruturas Licenciatura em Engenharia Civil

Modelação e Análise de Estruturas

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Teoria das Lajes Finas - 1ª parte

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Lajes

Cristina Ferreira de Oliveira

Outubro 2013

Modelação e Análise de Estruturas

Licenciatura em Engenharia Civil

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Peça laminar – corpo em que uma das dimensões é muito menor que as outras duas

Introdução às Lajes

espessura Estruturas laminares: planas não planas

placa membrana

laje casca

Para as ações verticais pavimentos têm comportamento de laje

Para as ações horizontais pavimentos têm comportamento de placa

Comportamento de laje: flexão numa direção conduz, geralmente, a que

se desenvolva também flexão na outra direção

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Simplificação da geometria e condições de apoio;

Representa-se plano médio da laje

Movimentos dos nós de laje:

1 translação transversal

1 rotação segundo x

1 rotação segundo y

Modelo de Laje

.

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Apoios de laje

Distribuídos segundo todo um bordo Bordo livre

Bordo simplesmente apoiado

Bordo encastrado

Apoios pontuais

Modelo de Laje

Viga sem rigidez de torção e com rigidez de flexão infinita

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Características relevantes:

Condições de fronteira

Relação entre vãos

Material constituinte

Relação da espessura com o menor dos vãos (ou maior dos vãos para lajes fungiformes) Lajes finas:

Lajes

5

1

vãomenor

espessuraespessura

5

1max

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Soluções analíticas

Tabelas

Técnicas numéricas

Método dos elementos finitos

Método dos elementos fronteira

Método das diferenças finitas

Modelação através de elementos de grelha

Técnica corrente

Definição do caminho ou trajetória das cargas até apoios

As distribuições de esforços estão sempre do lado da segurança (Teorema Estático da Análise Plástica Limite)

Determinação de soluções

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Solicitação

Esforços

Deformações

Deslocamentos

Equilíbrio

Constitutivas

Compatibilidade

Curvaturas

Equação de Lagrange

– equação diferencial que rege o

comportamento da laje

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Lajes de Kirchhoff

Lajes de Mindlin

Teoria das Lajes

Linearidade física

Linearidade geométrica

Homogeneidade e isotropia do material estrutural

Fibras retas inicialmente perpendiculares ao plano médio da laje permanecem retas após a deformação do elemento estrutural e perpendiculares ao plano médio

As fibras rectas normais ao plano médio da laje são inextensíveis

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Campo de Deslocamentos

x

z y

x

(x,y) .

x (x,y)

z

. P

y

(x,y) .

y (x,y)

z

x

y

. x

y

z

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Campo de Deslocamentos

x

z

.O Vetor dos deslocamentos: ux (x,y,z)

uy (x,y,z)

uz (x,y,z)

uz,P

ux,P

.P

.P

x,P

.O

(x,y)

= z sen x (x,y) = z x (x,y)

= z y (x,y)

= (x,y)

z

y

x

u

u

u

u

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Nas lajes de Kirchhoff despreza-se a deformação por esforço transverso xz = xz = 0

Campo de Deslocamentos

x

u

z

u zxxz

y

u

z

uzy

yz

x

yxyxx

),(),(

x

yxyxx

),(),(0

y

yxyxy

),(),(

y

yxyxy

),(),(0

ux= z x (x,y)

uy = z y (x,y)

uz = (x,y)

x(x,y) e y(x,y) não são independentes do campo de deslocamentos transversais (x,y)

O campo de deslocamentos transversais (x,y) permite caracterizar de forma completa os campos de deslocamentos de uma laje fina

),( yxu

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Nas lajes de Kirchhoff

despreza-se a deformação por esforço transverso xz = xz = 0

Fibras retas normais são inextensíveis zz = 0

Campo de Deformações

x

uxxx

y

uy

yy

x

u

y

u yxxy

2

1

ux= z x (x,y)

uy = z y (x,y)

uz = (x,y) x

yxz x

),(

y

yxz

y

),(

x

yx

y

yxz

yx),(),(

2

1

x

yxx

),(

y

yxy

),(

2

2 ),(

x

yxz

2

2 ),(

y

yxz

yx

yx

yx

yxz

),(),(

2

1 22

yx

yxz

),(2

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Campo de Deformações

2

2 ),(

x

yxzxx

2

2 ),(

y

yxzyy

yx

yxzxy

),(

xz

yz

xyz

Campo de Curvaturas:

2

2 ),(

x

yxx

2

2 ),(

y

yxy

yx

yxxy

),(2

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Campo de Esforços

y

x

xy

y

x

v

v

m

m

m

s x

z

y

. xx

xz

xy

Bordo normal exterior segundo x

Tensor das tensões aplicadas no bordo normal ao eixo x:

xz

xy

xx

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Campo de Esforços

Bordo normal exterior segundo y

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Campo de Esforços Sentidos positivos

vx e vy em kN/m, mxx, mxy, myy em kNm/m

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Campo de Esforços Mudança de eixoz

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Relações fundamentais

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Condições de compatibilidade

Relações fundamentais

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Condições de equilíbrio

Relações fundamentais

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Condições de equilíbrio

Relações fundamentais

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Condições de equilíbrio

Relações fundamentais

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Condições de equilíbrio

Relações fundamentais

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Relações de elasticidade

Relações fundamentais

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Relações fundamentais

Equação de Lagrange

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Solicitação

Esforços

Deformações

Deslocamentos

Equilíbrio

Constitutivas

Compatibilidade

Curvaturas

Equação de Lagrange

– equação diferencial que rege o

comportamento da laje

Equação de Lagrange

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Apontamentos sobre a Análise de Lajes

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