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Teoria das Lajes Finas - 1ª parte
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Lajes
Cristina Ferreira de Oliveira
Outubro 2013
Modelação e Análise de Estruturas
Licenciatura em Engenharia Civil
Licenciatura em Engenharia Civil
Modelação e Análise de Estruturas – Lajes
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Peça laminar – corpo em que uma das dimensões é muito menor que as outras duas
Introdução às Lajes
espessura Estruturas laminares: planas não planas
placa membrana
laje casca
Para as ações verticais pavimentos têm comportamento de laje
Para as ações horizontais pavimentos têm comportamento de placa
Comportamento de laje: flexão numa direção conduz, geralmente, a que
se desenvolva também flexão na outra direção
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Simplificação da geometria e condições de apoio;
Representa-se plano médio da laje
Movimentos dos nós de laje:
1 translação transversal
1 rotação segundo x
1 rotação segundo y
Modelo de Laje
.
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Apoios de laje
Distribuídos segundo todo um bordo Bordo livre
Bordo simplesmente apoiado
Bordo encastrado
Apoios pontuais
Modelo de Laje
Viga sem rigidez de torção e com rigidez de flexão infinita
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Características relevantes:
Condições de fronteira
Relação entre vãos
Material constituinte
Relação da espessura com o menor dos vãos (ou maior dos vãos para lajes fungiformes) Lajes finas:
Lajes
5
1
vãomenor
espessuraespessura
5
1max
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Soluções analíticas
Tabelas
Técnicas numéricas
Método dos elementos finitos
Método dos elementos fronteira
Método das diferenças finitas
Modelação através de elementos de grelha
Técnica corrente
Definição do caminho ou trajetória das cargas até apoios
As distribuições de esforços estão sempre do lado da segurança (Teorema Estático da Análise Plástica Limite)
Determinação de soluções
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Solicitação
Esforços
Deformações
Deslocamentos
Equilíbrio
Constitutivas
Compatibilidade
Curvaturas
Equação de Lagrange
– equação diferencial que rege o
comportamento da laje
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Lajes de Kirchhoff
Lajes de Mindlin
Teoria das Lajes
Linearidade física
Linearidade geométrica
Homogeneidade e isotropia do material estrutural
Fibras retas inicialmente perpendiculares ao plano médio da laje permanecem retas após a deformação do elemento estrutural e perpendiculares ao plano médio
As fibras rectas normais ao plano médio da laje são inextensíveis
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Campo de Deslocamentos
x
z y
x
(x,y) .
x (x,y)
z
. P
y
(x,y) .
y (x,y)
z
x
y
. x
y
z
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Campo de Deslocamentos
x
z
.O Vetor dos deslocamentos: ux (x,y,z)
uy (x,y,z)
uz (x,y,z)
uz,P
ux,P
.P
.P
x,P
.O
(x,y)
= z sen x (x,y) = z x (x,y)
= z y (x,y)
= (x,y)
z
y
x
u
u
u
u
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Nas lajes de Kirchhoff despreza-se a deformação por esforço transverso xz = xz = 0
Campo de Deslocamentos
x
u
z
u zxxz
y
u
z
uzy
yz
x
yxyxx
),(),(
x
yxyxx
),(),(0
y
yxyxy
),(),(
y
yxyxy
),(),(0
ux= z x (x,y)
uy = z y (x,y)
uz = (x,y)
x(x,y) e y(x,y) não são independentes do campo de deslocamentos transversais (x,y)
O campo de deslocamentos transversais (x,y) permite caracterizar de forma completa os campos de deslocamentos de uma laje fina
),( yxu
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Nas lajes de Kirchhoff
despreza-se a deformação por esforço transverso xz = xz = 0
Fibras retas normais são inextensíveis zz = 0
Campo de Deformações
x
uxxx
y
uy
yy
x
u
y
u yxxy
2
1
ux= z x (x,y)
uy = z y (x,y)
uz = (x,y) x
yxz x
),(
y
yxz
y
),(
x
yx
y
yxz
yx),(),(
2
1
x
yxx
),(
y
yxy
),(
2
2 ),(
x
yxz
2
2 ),(
y
yxz
yx
yx
yx
yxz
),(),(
2
1 22
yx
yxz
),(2
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Campo de Deformações
2
2 ),(
x
yxzxx
2
2 ),(
y
yxzyy
yx
yxzxy
),(
xz
yz
xyz
Campo de Curvaturas:
2
2 ),(
x
yxx
2
2 ),(
y
yxy
yx
yxxy
),(2
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Campo de Esforços
y
x
xy
y
x
v
v
m
m
m
s x
z
y
. xx
xz
xy
Bordo normal exterior segundo x
Tensor das tensões aplicadas no bordo normal ao eixo x:
xz
xy
xx
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Campo de Esforços
Bordo normal exterior segundo y
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Campo de Esforços Sentidos positivos
vx e vy em kN/m, mxx, mxy, myy em kNm/m
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Campo de Esforços Mudança de eixoz
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Relações fundamentais
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Condições de compatibilidade
Relações fundamentais
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Condições de equilíbrio
Relações fundamentais
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Condições de equilíbrio
Relações fundamentais
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Condições de equilíbrio
Relações fundamentais
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Condições de equilíbrio
Relações fundamentais
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Relações de elasticidade
Relações fundamentais
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Relações fundamentais
Equação de Lagrange
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Solicitação
Esforços
Deformações
Deslocamentos
Equilíbrio
Constitutivas
Compatibilidade
Curvaturas
Equação de Lagrange
– equação diferencial que rege o
comportamento da laje
Equação de Lagrange
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Apontamentos sobre a Análise de Lajes
Páginas 1 a 43
Leitura Recomendada