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Modelos de procesos y linealizacinProf. Cesar de PradaDpt. Ingeniera de Sistemas y AutomticaUniv. De Valladolid
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
ModelosRepresentacin aproximada de la realidadAbstraccin: Incluimos solo aquellos aspectos y relaciones que son de inters.Modelos fsicos, cualitativos, cuantitativos,Usos de los modelos: diseo, entrenamiento, que pasa si., decisiones,...Como generarlos, resolverlos, utilizarlos, validarlos?
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Qu es un modelo matemtico?Conjunto de ecuaciones que relacionan las variables de inters del proceso y representan adecuadamente su comportamientoSiempre son aproximaciones de la realidadDistintos modelos para distintos objetivos y tipos de procesosCompromiso entre facilidad de uso y exactitud
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Representacin adecuadaProcesotiempoytiempoModeloymtiempo
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Procesos continuos y de eventos discretosqhProcesos continuos:Las variables evolucionancontinuamente en el tiempoy pueden tomar cualquier valor en un rango dadoProcesos de eventos:Las variables solo cambianen instantes discretosy pueden tomar solo un nmero finito de valores
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Procesos Continuos / EventosProcesos ContinuosDescritos principalmente por DAEs o PDE. Inters fundamental: la trayectoria de algunas variablesProcesos de eventos discretosDescritos principalmente por secuencias de actividades. Inters fundamental: el comportamiento estadstico de algunas variables.
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Modelos estticos y dinmicosqhModelo esttico: Relaciona las variables en unestado de equilibrioModelo dinmico:Relaciona las variables alo largo del tiempo
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Respuesta dinmicatiempoqh
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Modelos estticos y dinmicosModelos estticosRepresentan situaciones de equilibrioDescritos mediante ecuaciones algebraicasOrientados a diseoModelos dinmicos en tiempo continuoRepresentan la evolucin temporalDescritos mediante DAE y PDEUso mas general: control, entrenamiento,...
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Modelos para control por computador ProcesoOrdenadorD/AA/Dy(kT)u(kT) modelos en tiempo discreto deben relacionar las variables de entrada y salida en los instantes de muestreo kT Ecuaciones en diferencias y((k+1)T)=f(y(kT),u(kT))y(t)
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Como obtener modelos?Mediante razonamientos,usando leyes fsicas,qumicas, etcMediante experimentaciny anlisis de datos
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Modelos de conocimientoSe obtienen mediante razonamientos y la aplicacin de principios de conservacin de masa, energa, momento, etc. y otras leyes particulares del dominio de aplicacinTienen validez generalRequieren conocimiento profundo del proceso y de las leyes fisico-qumicas
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IdentificacinEl modelo se obtiene a partir de datos experimentales de entrada-salida del proceso ttYUUYProcesoModelo
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Modelos de conocimientoMetodologa de modelado:
Establecer los lmites y objetivos del modeloEstablecer las hiptesis bsicasEscribir las ecuaciones usando leyes de conservacin y del dominio de aplicacinEstimar el valor de los parmetrosValidar el modelo
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Tipos de modelosParmetros concentradosParmetros distribuidosNo-linealesLinealesTiempoFrecuencia.
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Conservacin de masaAcumulacin de masa en el sistema por unidad de tiempo =Masa que entra al sistema por unidad de tiempo - Masa que sale del sistema por unidad de tiempo -Masa que se genera en el sistema por unidad de tiempo -Masa que se consume en el sistema por unidad de tiempo -mFiF0GC
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Ejemplo: DepsitoConservacin de masa
Acumulacin=flujo entrada q - flujo salida Fm masa en el depsitoA seccin del depsito densidad, k constanteqhFp0p1
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Ejemplo: DepsitoConservacin de masa
Acumulacin=flujo entrada q - flujo salida Fm masa en el depsitoA seccin del depsito densidad, k constante u posicin de la vlvulaqhFEcuacin diferencial no-linealEcuacin algebraicau
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Modelos en variables de estadoVariables manipuladasRespuestas observablesuyxx Estadosperturbacionesp
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SimulacinIntegrando numricamente el modelo pueden obtenerse los valores del volumen de lquido en funcin de los valores de qIntegracin numrica mediante el mtodo de Euler
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CausalidadCausalidad fsica: causas y efectosqhFCausalidad computacional: orden de clculo de las variablesqhFEl uso del modelo (Qu pasa si..? Control, etc.) requiere una determinada causalidad computacional.
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HiptesiscicMezcla perfectaFlujo pistn
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FormulacincicMezcla perfecta constanteVolumen VConcentracin ci
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Computabilidadq1h1F1h2F2q2Leyes + restricciones
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Reactor Qumico IsotermoReactorFTATProductosMateria primaReaccin:AA, BA B
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Modelo MatemticoA BFCA CB TCAi , TiProducto ABalance msico del producto ABalance msico del producto BHiptesis:Mezcla perfecta en el reactorTemperatura T constanteVolumen constante V
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Presin en un recipienteFiFappf
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Conservacin de energaT temperatura, V voltajem masa en el depsitoH entalpia, ce calor especficoA seccin del depsito densidad, R resistenciaqEcuacin diferencial no-linealVRTHiptesis:T uniforme en el depsito Aislamiento perfecto densidad constanteTi
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Conservacin del momentoxmFSistema de referencia
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Masa suspendidamgm-kxx0F
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Vehiculos acopladosxmFMfkyK coef. resorte f coef. friccin viscosasin friccin de deslizamientosin resistencia del aire
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Grua unidimensionalFmgLxModelar la posicin de la masa m y el carro M respecto al sistema de referenciamposicin de la masa M: xposicin de la masa m : x + L sen Dos grados de libertad: x, Friccin viscosaSin friccin de deslizamiento M
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Grua unidimensionalFmgLxmConservacin de la cantidad de movimiento del carro y la masa m en la direccin xMSe necesita otra ecuacin para
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Grua unidimensionalFmgLxmConservacin del momento angular referido a unos ejes moviles asociados al eje de la gruaMRespecto a los ejes fijos, aparece una aceleracin - d2x/dt2 en direccin horizontal
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Flujo en una tuberiaqah p0Conservacin de cantidad de movimientoEcuacin diferencial no-lineal
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Vlvula de regulacinMuelleDiafragmaLquidoFriccinx desplazamiento desde la posicin de equilibrioL carrera de la vlvulap presin de airexp
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Circuito RCRI1CVEI1-I2I2Impedancia infinita I2 =0
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CircuitosLR1VECR2I1I2I1-I2
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Motor CCLRVExcitacin independienteIT par externok2 f.c.e.mT
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Procesos distribuidosxTiF
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Proceso distribuidoxTiTi+1Ti-1TsFSe divide el proceso en celdas de ancho x en las que T pueda considerarse uniformeBalance de energia en un elementoLimite cuando x 0T(x,t)x
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Proceso distribuidoxTiTi+1Ti-1TsFT(x,t)rBalance energticoEcuaciones en derivadas parciales
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Modelos de conocimientoFormados por conjuntos de ecuaciones diferenciales y algebraicas frecuentemente no linealesUtiles para muchos finesRequieren ciertos conocimientosDifciles de manipular matemticamenteSe resuelven mediante simulacin
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Simulacin: EcosimProLenguaje de Modelado / SimulacinQu pasa si?Basado en tecnologa orientada a objetosMtodos numricos y funcionalidades avanzadasESA: Agencia Europea del EspacioGenerador de cdigo C++ con un entorno de desarrollo y ejecucinLibrera / Componente / Particin / ExperimentoAbierto
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EcosimPro
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Entorno Grfico
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Simulacin
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Modelos linealizadosAproximaciones lineales de las ecuaciones no-linealesMas fciles de manipular matemticamente pero su rango de validez es limitado
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LinealizacinDesarrollo en serie de Taylor sobre un punto de operacin u0, y0, z0, .Ecuacin lineal en las nuevas variables u, y, z
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Modelo Linealizado del DepsitoEcuacin diferencial linealVariables desviacin h = h - h0 q = q - q0
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SimulacinRespuestas del modelo no lineal y linealizado para 2 saltos en q
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Modelo Linealizado del DepsitoEl valor de los coeficientes depende del punto de linealizacinVariables desviacin h = h - h0 q = q - q0
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Modelos linealizadosttYUU0UY0Ylas variables u e y soncambios sobre un punto de operacin U0 , Y0El rango de validez est limitado a un entorno del punto de operacinProceso
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Flujo en una tuberiaqah p0Ecuacin diferencial no-lineal
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Modelo linealizado del flujo
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Cambios del punto de operacinqtt crece en puntos de operacin con apertura alta K2 decrece en puntos de operacin con apertura alta
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Modelo linealizado qVRTTi
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Semejanza formalqVRTTiqah p0
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Modelo linealizado del reactorA BFCA CB TCAiProducto ADos ecuacionesF
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Modelo linealizado (1)Punto de operacin:Valor calculado en el punto de operacinDesarrollando en serie de Taylor.....
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Punto de linealizacinSi el punto de linealizacin corresponde a una operacin en equilibrio:Si cAi0 = 8 y cA0 = 0.8 cB0 = 7.2Si F0 = 26.66 y V = 80 ke-E/RT = 2.999
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Modelo linealizado (2)Mediante un desarrollo en serie en torno al punto de operacin:
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Modelo en variables de estado
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Reactor isotermoA BFCA CB TCAiProducto AFReactor isotermo
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Modelos en variables de estadoqah p0
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Modelos en variables de estadox variables de estado: conocido su valor en el instante inicial y los valores de u(t) a lo largo del tiempo, puede determinarse el valor de las salidas a lo largo del tiempoSolucin analtica:
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EquivalenciauyExisten muchas representaciones equivalentes entrada-salida
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AutovaloresLos autovalores son invariantes en representaciones equivalentes
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Modelo de Respuesta Impulsionalg(t)(t)respuesta impulsional
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Modelo de Respuesta Impulsionalg(t)(t)
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Transformada de Laplacef(t) funcin temporalf(t) = 0 para t < 0tf(t)Cambio de variable t s
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Transformada de LaplaceCambio de variable t sResolucin del problema en el dominio s X(s)Interpretacin y expresin de la solucin en el dominio tCambio de variable s t
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Ejemplof(t) funcin saltof(t) = 0 para t < 0f(t) = k para t >= 0tf(t)=kTablas de transformadas de las funciones mas comunes
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Tabla de Transformadas
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Tabla de transformadas
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Propiedades de la T. LaplaceTransformada inversa
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Propiedades I
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Propiedades
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Propiedades II
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Propiedades III
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Resolucin de LODESEjemplo:
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Descomposicin en fracciones simples
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Funcin de TransferenciaTomando transformadas de Laplace:s variable compleja
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Funcin de TransferenciaTomando transformadas de Laplace, con condiciones iniciales nulas:
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Funcin de TransferenciaG(s) es una funcin racional en la variable sSolo contiene operaciones racionales +-*/
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Representaciones matemticas de modelos linealizadosVariables de estadoRespuesta impulsionalFuncin de transferencia
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Matriz de TransferenciaEn un proceso con varias entradas y salidas (MIMO) G(s) es una matriz de funciones de transferenciau1u2y1y2y3
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Depsito. Modelo en FTTomando Transformadas de Laplace:Q(s)H(s)
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Circuito RC. Modelo en FTRI1CVEI1V(s)E(s)Tomando Transformadas de Fourier, con C.I. Nulas:
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Flujo. Modelo en FTqap0Tomando transformadas de Laplace con c.i. nulas:Q(s)P(s)A(s)
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Temperatura. Modelo en FTTomando transformadas de Laplace con c.i. nulas:T(s)Q(s)V(s)qVRTTi
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Reactor Isotermo. Modelo en FTTomando transformadas de Laplace con c.i. nulas:A BFCA CBCAi A
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Diagrama de bloquesA BFCA CBCAi ACAi(s)F(s)CA(s)CB(s)
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Diagrama de bloquesCAi(s)F(s)CB(s)
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Reactor IsotermoCAi(s)F(s)CB(s)A BFCA CBCAi A
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Bloques en serieG1(s)G2(s)U(s)Y(s)X(s)Y(s) = G2(s)X(s) = G2(s)G1(s)U(s) = G(s)U(s)G (s)Y(s)U(s)G(s) = G2(s)G1(s)
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Proceso distribuidoEcuacin en derivadas parcialesT(0,t)T(L,t)FTs P
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Proceso distribuidoPara F = cte.En equilibrio:En terminos de las desviaciones T sobre el equilibrio:s Transformada de Laplace respecto a tp Transformada de Laplace respecto a x
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Proceso distribuidoTransformada s respecto a t:p respecto a x:Tsx0LPerfil de los cambios de temperatura del vapor respecto a x
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Proceso distribuidoTsx0LxEl perfil puede obtenerse como la diferencia de dos perfiles tipo salto desfasados una distancia L
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Proceso distribuidoDoble funcin de transferencia en p y s respecto a los cambios de temperatura en la entrada y en el vapor de calefaccin
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Proceso distribuidoTomando la transformada inversa respecto a p: (0x L)Para x = L:Funcines de transferencia respecto a s: sistemas de primer orden con retardo T(L,s) temperatura a la salida del cambiador
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Proceso distribuidoV, volumen de los tubosA superficie de los tubosRetardo V/F en la respuesta a cambios en la temperatura de entrada
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Funcin de transferencia de un PIDR(s)U(s)E(s)
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Entradas Normalizadasuytutututuimpulsosaltorampat=0t=0t=0t=0seno
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Polos y cerosCeros de G(s) = races de N(s) = 0Polos de G(s) = races de D(s) = 0
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Por qu son importantes los polos (y los ceros)?Como se ver mas adelante, el tipo de respuesta temporal a una determinada entrada depende de las posiciones de los polos (y ceros) del sistema.Igualmente la estabilidad est ligada a las posiciones de los polos
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Gananciatuyuy
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Polos y AutovaloresAutovalores de A = polos de G(s) (salvo cancelaciones polo/cero)Polos: raices de D(s) = 0Autovalores: raices de
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Realizabilidad FsicaqhSistema fsico continuoExisteDada una funcin de transferencia G(s)Puede existir un sistema fsico cuya funcin de transferencia sea G(s)?
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RealizabilidadPara que G(s) sea fisicamente realizable: m nEn caso contrario:Para una entrada en salto en u(t) tendria que dar una y(t) infinita
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Un proceso con retardo (de transporte)TTuuq(1-u)qTcTfq , TeL, volTmSuponiendo , ce ctes.u: seal en tanto por uno
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Mezcla con retardoTTuuq(1-u)qTcTfq , TeL, volTmT0 , u0 punto de operacin estacionario
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Mezcla con retardoTTuuq(1-u)qTcTfq , TeL, volTmModelo con retardo a la entrada
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Retardo a la salidaTTuuq(1-u)qTcTfq , TeL, volTmModelo con retardo a la salidaTm
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RetardoqVRTTiTTLtyutd
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Aproximacin de PadeG(s) con un retardo d no es racional. Si se necesita, puede aproximarse el retardo por una expansin en serie:Aproximacin de Pade de primer ordenAprox. de 2 orden:resppade
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Control de procesos por computadorProcesoTransmisoru(t)y(t)4-20 mA4-20 mAOrdenadorD/AA/Dy(kT)u(kT)wRegulador digitalActuadorLas seales que recibe y procesa el ordenador son de naturaleza distinta: digitales y solo cambian en ciertos instantes de tiempo
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SealesProcesou(t)y(t)OrdenadorD/AA/Dy(kT)u(kT)wtu(t)ty(kT)ty(t)tTLa informacin en el ordenador se actualiza cada T unidades de tiempo (periodo de muestreo)
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Modelo discretizadou(t)y(t)OrdenadorD/AA/Dy(kT)u(kT)wtu(t)tu(kT)Encontrar un modelo y(kT) = f( u(kT) ) tal que y(kT) = y(t) en los instantes de muestreo
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Modelo discretizadoTomando como tiempos de inicio y final los instantes kT y (k+1)T de un periodo de muestreo:
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Modelo discretizadou(t)Durante un periodo de muestreo u(t) es constante e igual a u(kT)
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Modelo discretizadou(t)Para este tipo de entradas, el modelo discretizado da los mismos valores en los instantes t = kT que el modelo continuo. (Partiendo del mismo estado inicial y aplicando las mismas entradas)Ecuacin en diferenciasMatlab c2dy(t)y(kT)
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Modelo discretizadoNotacin simplificada:k se refiere al primer, segundo, tercer, etc. periodo de muestreo
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Ejemplo: DepsitoModelo discretizado: Ecuacin en diferenciasSi q = 0:
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Ejemplo: DepsitoModelo discretizado: Ecuacin en diferenciasSi q = 0:Si
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Respuesta temporalCondiciones iniciales: x(0)
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Respuesta impulsional pulsadaTu(k)ZOH+ProcesoTy(k)tTImpulso unitario en t = 01Respuesta partiendo de condiciones iniciales nulash(k)Modelo de respuesta impulsional
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Modelo respuesta impulsoth(k)Como h(i) = 0 para i 0 y para condiciones inociales nulas: u(i) = 0 para i < 0 :La salida es una combinacin lineal de valores pasados de la entrada
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Ejemplo: MezclaTTuuq(1-u)qTcTfq , TeL, volTmPara q=4 l/min, V=10 l, Tc=60C, Tf=10C, vol=4 l, periodo = 0.5 min.
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Operador desplazamiento q-1Funcin racional de q
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Funcin de transferencia pulsada
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Funcin de transferencia pulsadaLa salida es una combinacin lineal de valores pasados de la salida y de la entrada al proceso
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Ejemplo: DepsitoT = 0.5Polo = Autovalor = 0.535
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