Modelado Dinámico de Sistemas

UNIVERSIDAD AUTNOMA TOMS FRAS

DINMICA DE SISTEMAS TEORIA Y EJERCICIOS

Ing. Ditmar David Castro Angulo

03/04/2014

Apuntes sobre la metodologa de modelado Dinmica de Sistemas, un enfoque prctico

Universidad Autnoma Toms Fras Dinmica de Sistemas Sis-826 Ing. Ditmar David Castro Angulo

MODELADO DINMICO DE SISTEMAS

Tema 1

Introduccin a la dinmica de sistemas

1.1 Dinmica de sistemas

1.2 Definicin de la DS

1. 3 Historia de la DS

1.4 La dinmica de sistemas en el contexto de decisiones

1.5 Modelo y ayuda en la toma de decisiones1


Introduccin a la dinmica de sistemas

Dinmica de sistemas Antes de dar una definicin explicita a dinmica de sistemas como un todo es pertinente entender que se entiende por sistema. Un modo o una manera para resolver un problema y alcanzar un objetivo Un conjunto de entidades elementos relacionadas entre s para alcanzar un objetivo Este concepto visualiza el termino sistema de manera muy general, si tomamos en cuenta esta idea prcticamente casi todas las cosas podran ser sistemas, tiene un enfoque general. Tomemos la idea planteada de sistema pero limitmosla al estudio de sistemas complejos. En este contexto un sistema es un objeto dotado de alguna complejidad, formado por partes coordinadas, de modo que el conjunto posea una cierta unidad, que es precisamente el sistema.

Un sistema lo entendemos como una unidad cuyos elementos interaccionan juntos, ya que continuamente se afectan unos a otros, de modo que operan hacia una meta comn. Es algo que se percibe como una identidad que lo distingue de lo que la rodea, y que es capaz de mantener esa identidad a lo largo del tiempo y bajo entornos cambiantes

Definicin de la DS

Es un mtodo que nos ayuda a modelar sistemas complejos y analizar su comportamiento,

y se basa en las propiedades de retroalimentacin de estos sistemas.

Historia de la DS

A lo largo de los aos cincuenta comenz a fraguarse en el instituto de tecnologa de

Massachusetts (MIT) una destacada metodologa de sistemas, la dinmica de sistemas. Jay W

Forrester, ingeniero electrnico, haba pasado del laboratorio de servomecanismos, donde invent

las memorias magnticas de ncleo de ferrita, a coordinar un gran proyecto de defensa, el sistema

SAGE (Semi- automatic Ground Equipement). En la realizacin de este sistema de alerta en el

tiempo real se percat de la importancia del enfoque sistmico para concebir y controlar

entidades complejas como las que surgen de la interaccin de hombres y mquinas.

Tras esta expereriencia, Forrester pasara como profesor a la Sloan School of management del

MIT, donde observ que en las empresas se producan fenmenos de realimentacin que podan

ser causa de oscilaciones, igual que sucede en los servomecanismos. De esta forma, ide la

dinmica industrial [Industrial Dynamics 1961], una metodologa que permitira construir modelos

cibernticos de los procesos industriales. La peculiaridad de estos modelos resida en la

Universidad Autnoma Toms Fras Dinmica de Sistemas Sis-826 Ing. Ditmar David Castro Angulo posibilidad de simular su evolucin temporal con la ayuda del ordenador. Posteriormente aplicara

su metodologa a problemas de planificacin Urbana [Urban Dynamics, 1969] . A finales de los 60

se produce el estudio que posiblemente ms haya contribuido a la difusin de la dinmica de

sistemas. Se trata del primer informe al club de Roma, sobre los lmites al crecimiento, que se

bas precisamente en un modelo de dinmica de sistemas, en el que se analizaban la previsible

evolucin de una serie de magnitudes agregadas a nivel mundial como son la poblacin, los

recursos y la contaminacin. En este modelo se analizaba la interaccin de estas magnitudes y se

ponan de manifiesto cmo, en un sistema debido a las fuertes interacciones que se producen en

su seno, la actuacin sobre unos elementos, prescindiendo de los otros, no conducen a resultados

satisfactorios. El informe correspondiente tuvo una gran incidencia en la opinin pblica y ha sido

objeto de mltiples debates, tanto a favor como en contra. Recientemente se ha publicado una

reelaboracin de sus conclusiones, en la que prcticamente se mantienen las recomendaciones de

aquel informe.

La dinmica de sistemas en el contexto de la ingeniera de sistemas

Dinmica y comportamiento

Cuando hablamos de dinmica de sistemas, especialmente cuando nos referimos a la

palabra dinmica hablamos de el de manera superficial, esencialmente dijimos que el

termino dinmica lo usamos en oposicin al de esttica, y queremos expresar con l

carcter cambiante de aquello que adjetivamos con ese trmino. A algo que cambia con el

tiempo.


Conociendo la trayectoria de algunos elementos relevantes en el estudio del sistema

tenemos un indicador de la evolucin de los mismos, por ejemplo, podramos referirnos a

la evolucin de la bolsa.

La representacin grfica de las trayectorias muestra el comportamiento del sistema al

que se asocian esas magnitudes, ya que es una imagen geomtrica de ese

comportamiento. Se emplea aqu comportamiento en un sentido preciso: entendemos

por comportamiento la evolucin a lo largo del tiempo de las magnitudes que se

consideran relevantes para caracterizar los objetos considerados.

Cuando hablamos de estudiar su comportamiento, estamos asumiendo que los sistemas

cambian con el tiempo (es decir, que los atributos asociados a ellos sufren variaciones; por

eso registramos sus trayectorias) y nos interesa dar razn de esos cambios (buscamos una

descripcin racional del comportamiento).

Resulta especialmente importante que esas variaciones sean generadas endgenamente,

ya que esas variaciones si se dan en el seno del sistema podran ser corregidas tomando

las previsiones correspondientes, ya que estas tensiones vienen determinadas por las

interacciones entre las partes del sistema, que suministran, a su vez el vnculo que articula

a esas partes en la entidad que es el sistema. En este sentido el trmino dinmico no tiene

una connotacin solo de cambio, sino de fuerza que lo engendra.

Veamos el ejemplo del llenado de un vaso con agua. En estas trayectorias se ponen de

manifiesto los cambios que se han producido en los atributos asociados a S.


Tenemos la accin de llenar un vaso de agua, vemos el flujo dentro del contenedor que

ser regulado por el observador en un nivel deseado, cuando la diferencia entre el nivel

del vaso de agua y el deseado se haga mnima.

Descomponiendo los elementos bsicos de este sistema y poniendo nfasis en sus

relaciones tenemos.

Ahora veremos los cambios susodichos en todas las variables.


En esas trayectorias se ponen en manifiesto los cambios que se han producido en los

atributos asociados a S. Si queremos profundizar en el conocimiento del sistema interesa

conocer a qu pautas responden esos cambios (en el caso de que no sean enteramente

arbitrarios o caprichosos). En ello reside la pretensin de un anlisis racional del

comportamiento de un sistema.

Existen reglas matemticas que producen el comportamiento de estos sistemas.

Formalmente un sistema dinmico es el objeto matemtico formado por un espacio de

estados X y una regla que prescribe como varan estos estados a lo largo del tiempo. Esta

regla se puede expresar de diferentes formas, pero para nosotros de manera general

nos interesar esta:

Donde la funcin expresa precisamente la regla que rige el cambio

que se produce en

el estado . Donde es el conjunto de todos los comportamiento relacionados a .

Simulacin del comportamiento


En la materia vamos a simular estos comportamientos mediante una computadora

haciendo uso de un lenguaje formal para la creacin de modelos matemticos que sean

capaces de vislumbrar cierta realidad.

Los modelos M que aqu consideramos no son una representacin pasiva a modo de un

plano o mapa, si no tienen carcter dinmico y una computadora permitir generar los

comportamientos necesarias para un posterior estudio. Mediante la conjuncin de

tcnicas informticas y matemticas.

Estructura y comportamiento

Con lo visto hasta aqu ya estamos en condiciones de vislumbrar cmo se puede relacionar

estructura y comportamiento.

Por una parte la estructura viene dada por el conjunto de relaciones de influencia.

Por otra, su comportamiento se manifiesta mediante las trayectorias, por lo que se puede

decir que:

Por tanto, si a partir de la conjunto de relaciones se pudiesen obtener las trayectorias, se

tendran relacionadas estructura y comportamiento. Veremos cmo mediante la dinmica

de sistemas somos capaces de llevar a cabo esta relacin.

Metodologa sistmica

Para el estudio de los sistemas en general se ha desarrollado lo que se conoce como

metodologa sistmica, o conjunto de mtodos mediante los cuales abordamos los

problemas en los que la presencia de sistemas es dominante. En realidad, la metodologa

sistmica pretende aportar instrumentos con los que estudiar aquellos problemas que

resultan de las interacciones que se producen en el seno de un sistema y no de difusiones

de las partes consideradas aisladamente.

La ciencia clsica ha sido fundamentalmente reduccionista, en el sentido de asumir como

axioma metodolgico bsico el que para estudiar un objeto lo que haba que hacer era

reducirlo a sus partes y estudiarlas aisladamente. Una vez conocidas las propiedades de

las partes las propiedades del sistema se desprenden por si solas. Se trataba, por tanto de

reducir el estudio de un sistema a su anlisis, a su diseccin. Este principio analtico ha

sido enormemente fecundo, en particular en la fsica. Sin embargo, desde el punto de


vista de las disciplinas que se ocupan del estudio de objetos complejos, se vio claramente

que era insuficiente.

Pascal dijo que era imposible entender el todo sin conocer sus partes, as como entender

las partes sin conocer el todo.

Por ello, en el estudio de un sistema, tan importante es el anlisis como la sntesis. El

nfasis en la sntesis distingue la metodologa sistmica de las metodologas cientficas

ms clsicas de anlisis de la realidad, en las que se tiende a sobrevalorar los aspectos

analticos por oposicin a los sintticos, mientras que en la metodologa sistmica se

adopta una posicin ms equilibrada. Tan importante es el anlisis, que nos permite

conocer las partes de un sistema, como la sntesis, mediante la cual estudiamos como se

produce la integracin de esas partes.

El especialista en sistemas, al que se conoce como tambin sistemista, al estudiar cierto

aspecto de la realidad y representarlo en un modelo, analiza cuales son los elementos que

lo forman, al tiempo que trata de especificar como se produce la integracin de esos

elementos en la unidad del problema que est analizando. tanta importancia tiene el

todo, como las partes.

La metodologa sistmica suministra tambin un lenguaje que aporta nuevas formas de

ver los problemas complejos. Las herramientas que aporta la dinmica de sistemas desde

los diagramas de influencia hasta los modelos informticos nos van a permitir ver los

sistemas que pueblan nuestro entorno mediante una ptica diferente que nos descubrir

aspectos en los que posiblemente no hayamos reparado y que de este modo, nos permite

alcanzar una visin ms rica de la realidad.

Modelo y ayuda en la toma de decisiones

Como se haba mencionado anteriormente Forrester se rene en Roma con otras 34

personas, entre cientficos, investigadores, economistas, polticos, etc. Para hablar del

impacto del hombre sobre el planeta, en el ya mencionado club de Roma. Teniendo como

objetivo el estudio y anlisis de los grandes procesos y fenmenos que ataen a la

humanidad para su desarrollo equilibrado y su supervivencia, as como la divulgacin y

promocin de la concienciacin sobre los grandes temas y retos a los que se ha de

enfrentar la humanidad.

El informe vertido de dicho estudio se llam Los lmites de crecimiento

Los lmites de crecimiento


El citado informe The limits To Growth (los lmites del crecimiento) *Meadows,

Randers, Meadows, 1972] mostraba datos y resultados de simulaciones efectuadas por

ordenador de un modelo denominado World 3. En este modelo se incorporaron nuevos

aspectos no tenidos en cuenta en el anterior desarrollo de Forrester, el Word 2. En estos

esquemas de simulacin se analizaron principalmente cinco subsistemas, con multitud de

variables (tanto de flujo como de nivel). Dichos subsistemas eran: Poblacin, los recursos

no renovables, la produccin industrial, la produccin agroalimentaria y la polucin. Las

simulaciones se hicieron sobre un periodo de 100 aos a partir de entonces (o sea, hasta

el 2075 aprox). Y en casi todas las ejecuciones del modelo el resultado es un crecimiento

poblacional y una extralimitacin en el uso de los recursos y su progresivo agotamiento,

seguido por el colapso de las estructuras de produccin agrcola e industrial y finalmente

por un descenso brusco de la poblacin.

Evolucin sin intervencin limitando el crecimiento

En los que se denominada Anlisis de Sensibilidad, en las diversas modificaciones de

parmetros clave se consigue variar nicamente la amplitud del crecimiento y de su

posterior declive. Lo cierto es que con ese modelo, slo bajo unas restricciones muy

fuertes (y en ese momento imposibles de hacer cumplir, como drsticas cadas en las tasas

de fertilidad del Tercer Mundo o draconianas reducciones en el ritmo de consumo de

recursos en las sociedades de los pases ricos) se consegua un escenario bastante estable

y sin sobresaltos. La conclusin de dicho informe es que En un planeta limitado no es


posible con un continuo crecimiento econmico si todo contina segn las proyecciones

mostradas en el mismo. Estos lmites pueden ser de dos tipos: de recursos naturales y de

la capacidad de la tierra para absorber la polucin y regenerarse sin mermar la capacidad

de hacerlo con el tiempo.

Es cierto que la contaminacin, la sobrepoblacin, las enfermedades, la escasez de

alimento, la guerra, o alguna otra fuerza igualmente poderosa, pondrn un lmite en el

crecimiento de la poblacin si la persuasin o factores psicolgicos no lo hacen.

El crecimiento exponencial no puede continuar por siempre.

De seguir creciendo al ritmo actual, habr slo un metro cuadrado por persona antes de

400 aos.

Nuestro gran reto es esquiar la transicin del crecimiento al equilibrio.

A menos que el mundo entienda y comience a actuar pronto, la civilizacin ser

sobrepasada por fuerzas que nosotros mismos hemos creado pero que ya no podremos

controlar nunca ms

Jay Forrester


Tema Nro 2

Elementos de la Dinmica de Sistemas

1.-) Atributos y Sistemas

2.-) Bucle de realimentacin negativa

2.1.-) Formulacin matemtica del bucle de realimentacin

negativa

3.-) Bucle de Realimentacin positiva

3.1.-) Formulacin Matemtica del Bucle de Realimentacin

Positiva

3.2.-) Tiempo de Duplicacin

4.-) Retrasos

5.-) Estructuras Complejas de realimentacin

6.-) Arquetipo Sigmoidal

6.1.-) Formulacin matemtica del arquetipo sigmoidal


Atributos y Sistemas

En ejemplos anteriores vimos que un sistema se puede asociar a una descripcin mnima,

que bsicamente se reduce a un par de elementos y relaciones (C,R), y como este par

puede ser representado como un grafo, donde los nodos o vrtices del grafo

representan los elementos y las aristas son equivalentes a las relaciones de influencia

entre ellos figura 1.4.

Esta representacin nos suministra una perspectiva global de la organizacin de todo el

sistema sintetizando estos elementos que son de indudable inters. Adems esta

estructura conformada por los elementos y relaciones de influencia, nos brindan

indicadores genricos respecto a los modos del comportamiento.

En este tema vamos a centrarnos a las posibilidades de describir un sistema mediante un

lenguaje sistmico que aporta la descripcin mnima (C,R), para tener un entendimiento

correcto del todo. Es necesario que nos detengamos en analizar los supuestos elementos

bsicos de este lenguaje.

Cuando se est estudiando cierto sistema complejo un observador, le asocia a este

sistema un conjunto de atributos o caractersticas {Xi}, siendo estas cualidades

perceptibles del sistema, que da lugar a una unidad conceptual de representacin, a su

vez estos atributos tienen relacin entre ellos formando la estructura misma del sistema,

esta relacin es conocida como relacin de influencia, que bsicamente manifiestan

vnculos entre las partes del sistema.

Esta influencia como bien su nombre lo indica, representa cambio sobre los atributos que

tienen un vnculo asociado entre ellos, es decir:

En este caso se lee influye sobre .

El tipo de influencia asociada entre estas variables puede ser representada por una

polaridad positiva o negativa. Es decir si tenemos una influencia directa de la variable

la influencia de sobre positiva, nos da a entender explcitamente el

siguiente precepto, si el atributo aumenta o disminuye los mismo ocurrir con el valor

centrado en el atributo , caso contrario si si la influencia de sobre es

negativa, nos da a entender, si el atributo aumenta el valor de disminuye y si el

valor de disminuye el valor de aumenta, Cabe resaltar que este precepto terico


puede ser aplicado tanto en atributos cuantitativos o atributos cualitativos con el mismo

principio.

Bucle de realimentacin negativa

La figura . Recibe el nombre de bucle de realimentacin negativa, y representa un tipo

de situacin muy frecuente, con el que se trata de decidir acciones para alcanzar un

objetivo y de esta manera modificar su comportamiento. Un ejemplo claro de esta

naturaleza se puede ver en el sencillo hecho de elevar la temperatura dentro de una

habitacin calibrando el calefactor a una temperatura deseada, teniendo en cuenta la

diferencia entre la temperatura actual y la deseada.

Una caracterstica dentro de esta particular estructura es la notable propiedad de que si

por una accin exterior, se perturba alguno de sus elementos, el sistema, en virtud de su

estructura, reacciona tendiendo a anular dicha accin y alcanzar la estabilidad

asintticamente hacia el punto deseado.

En virtud de las relaciones de influencia, el incremento de B determinar el de C, ya que la

relacin de influencia correspondiente es positiva. A su vez, el incremento de C

determinar el decrecimiento de A, ya que as lo determina el carcter negativo de la

influencia, sobre A acta una variable constante X de manera positiva que marcara la

diferencia dentro de estado actual y el nivel deseado pues la relacin es positiva. El

decrecimiento de A dar lugar al de B Por tanto, el incremento inicial de B le vuelve, a lo

largo de la cadena de realimentacin, como un decremento; es decir, la propia estructura

de realimentacin tiende a anular la perturbacin inicial, que era un incremento,

generando un decremento. De este modo se comprende que los bucles de realimentacin

negativa son bucles estabilizadores, que tienden a anular las perturbaciones exteriores.

B

C+

A

-+

X

+

-


Por ello, los ingenieros que disean sistemas de regulacin automtica los incorporan en

sus proyectos como elementos bsicos para conseguir la accin reguladora (lo que logran

mediante la adicin de bucles de realimentacin negativa a los procesos que disean). El

efecto de un bucle de realimentacin negativa es, por tanto, el tratar de conseguir que las

cosas continen como estn, que no varen. Son bucles que estabilizan los sistemas.

Formulacin matemtica del bucle de realimentacin negativa

Reformulando el diagrama de influencias, llamaremos.

Agregaremos una constante K que tendr valores entre 0 a 1.

Dnde:

Estado

Accin Diferencia

Objetivo

+

-+

+

-

(1)

(2)

(3)

(4)


Despejando:

Hacemos un cambio de variable: sobre con y

-1

Reemplazamos en 5.

Los lmites representan = el estado de la variable inicial, = el estado en un

tiempo .

{

Aplicando los lmites de la integral definida tenemos:

Despejando x(t):

( )

La expresin matemtica final nos dice que el estado X en un tiempo t depende de la

expresin ( ) .

(5)


Observamos un carcter regulador entre las variables que interactan en la funcin, si

graficamos el comportamiento, con, teniendo en cuenta que el tiempo es la variable

independiente tenemos:

Observamos un elemento regulador, de manera descendente, que queda constante en un

el estado deseado xd, 20, si cambiamos los valores por ejemplo a

Vemos un lmite en su crecimiento que llega asintticamente al estado deseado xd.

El nico equilibrio del sistema es la meta xd. Conviene observar que este comportamiento

donde se ve que el estado X tiene como obetivo el estado Xd, y lo presentan todos los

sistemas en los que la relacin de influencia tiene carcter negativo, tiene una tendencia

estabilizadora.

BUCLE DE REALIMENTACIN POSITIVA


Se trata de un bucle en el que todas las influencias son positivas (o si es que las hubiese

pares, tendran que compensarse por pares). En general la Figura. Representa un

proceso en el que un estado determina una accin, que a su vez refuerza este estado, y as

indefinidamente. En este caso el estado es una poblacin, y la accin su crecimiento neto.

En tal caso, cuanto mayor sea la poblacin, mayor es su crecimiento, por lo que a su vez

mayor es la poblacin, y as sucesivamente. Se tiene, por tanto, un crecimiento explosivo

de la poblacin.

Por ello estos bucles tambin se conocen como bucles reforzadores, El comportamiento

que resulta de un bucle de esta naturaleza consiste en acelerar o bien el crecimiento, o el

declive.

Formulacin general. Crecimiento Psitivo


Crecimiento Negativo

En general se puede decir que cualquier proceso que implique crecimiento se puede

representar con los bucles de realimentacin positiva, como ser los sistemas econmicos,

sistemas sociales, ambientales, etc. La presencia de estos bucles es dominante, pero esto

tiene un carcter fuertemente inestabilizador.

Formulacin Matemtica del Bucle de Realimentacin Positiva

Partiremos del siguiente diagrama de influencias:

La variable X depende de la accin de entonces la dinmica respecto al tiempo de la

variable se puede expresar como sigue:

Dnde:

Reemplazando:


Despejando tenemos:

Conviene observar que el nico equilibrio del sistema es el origen que en este caso

es inestable.

El flujo determinar su accin basndose en un elemento constante que servir de

filtro vlvula. La relacin entre el Flujo y la accin se representa a continuacin.

Relacin entre el flujo y el estado

Donde llega a ser la pendiente constante del crecimiento del FLUJO.

Tiempo de Duplicacin


Debido al carcter del comportamiento del bucle de realimentacin positiva es posible

encontrar cuando el nivel acumulador llega a duplicarse. En un tiempo a esto se le

conoce como tiempo de duplicacin.

Partamos de la ecuacin:

Si queremos encontrar el tiempo en el que llega a ser podemos expresarlo

como sigue:

De manera general podemos expresarlo como:

Conviene observar que el tiempo de duplicacin es independiente del tiempo inicial que

se considere.

Siendo

Entonces s:

Reemplazando (2) en (4):

Dnde:

Despejando


Tiempo de duplicacin en un proceso de crecimiento explosivo

Retrasos.

Una caracterstica importante que se debe considerar en los sistemas dinmicos es el

retraso producido en la transmisin de material o en la transmisin de informacin, en

todo sistema se producen entre las acciones y sus consecuencias, en todo proceso de

realimentacin existen o se producen retrasos.

Ejemplo:

Imaginemos que tenemos nuestra tienda de computadoras y decidimos bajar el precio por

unidad de cada computadora vendida, el nmero de ordenadores vendidos no aumenta

sbitamente, debido al retraso que involucra la percepcin del cambio de precio, esa

percepcin requiere tiempo.


Los retrasos, especialmente cuando tiene mucha influencia dentro del sistema, pueden

producir inestabilidad especialmente en aquellos sistemas que tiene realimentacin

negativa, eso se observa ms, cuando ms agresivo es el cambio de un estado que pueda

afectar a otro estado relevante del sistema. Esta es una de las lecciones que se puede

extraer de los bucles de realimentacin negativa con retrasos: una accin excesivamente

agresiva a menudo produce un resultado que es justamente el opuesto del que se

pretenda. Produciendo oscilaciones de inestabilidad, en lugar de alcanzar de forma

razonablemente rpida el objetivo que se pretende.

Estructuras Complejas de Realimentacin

Arquetipo Sigmoidal

Cuando analizamos el bucle de realimentacin positiva se hizo mencin de que son

sistemas inestables, y su crecimiento se ve afectado de manera negativa pasado un

tiempo en su crecimiento, es decir se encuentra con unos lmites, Eso debido a la espiral

de crecimiento que produce, aunque sea de forma no deseada.

Ejemplo

Consideremos como ejemplo el crecimiento de una poblacin de conejos.


Diagrama de un sistema de crecimiento de una poblacin de conejos

El primer bucle es un bucle de realimentacin positiva se lee, a ms conejos ms ser el

crecimiento vegetativo entonces ser ms la poblacin de conejos.

El segundo bucle es un bucle de realimentacin negativa se lee, a ms conejos menos ser

el alimento disponible, y a menos alimento menos ser la poblacin de conejos.

El segundo bucle acta como elemento regulador imponiendo los lmites al crecimiento de

dicha poblacin.

El diagrama genrico de un sistema que presenta crecimiento sigmoidal presenta al

interactuar dos bucles. En la fase inicial del proceso, cuando se desencadena el

crecimiento de la poblacin, la limitacin de recursos no es perceptible, por lo que el

bucle de realimentacin positiva es dominante y se produce un crecimiento casi

exponencial de la poblacin, al crecer esta la limitacin de recursos empieza a

manifestarse, de modo que la dominacin del bucle positivo pasa a ser negativo.

De esta forma el bucle de realimentacin negativa resulta dominante hasta el final del

proceso.

Formulacin Matemtica del Arquetipo Sigmoidal

De manera general podemos describir el arquetipo sigmodal de la siguiente forma.


Dnde:

Entonces:

Haciendo un cambio de variable

Reemplazando en la ecuacin diferencial

{


Reemplazando:

{ ( ) ( ) }

( )

( )

( )

( )

( ) ( ( ) )

( ( ) )

( ( ) )

Siendo el estado inicial, el estado deseado y las constantes de filtro.

,

Siendo

Sentido exponencial

Si: ,

Siendo


Con un carcter regulador

Y si evaluamos con:

Si: ,

Siendo

Muestra el comportamiento de x segn los valores relativos de de k.

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