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Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez
Modelos de caja gris Calibración de modelos Estimación de parámetros Análisis de la estimación Regresión no lineal
ÍNDICE
Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez
1. Modelos de caja gris
Son modelos de un sistema (o proceso), donde:
• Desarrollados a partir de ecuaciones basadas en principios fundamentales (modelos de caja blanca)
• Existe una parte del mismo del cual se desconocen sus parámetros y/o estructura.
Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez
2. Calibración de modelos
Dados:
1. Modelo de caja gris
2. Conjunto de mediciones (datos de calibrado)
3. Una medida del ajuste (función de pérdida)
Estimar:
• El valor de los parámetros o la estructura que no esté determinada.
Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez
Pasos en la calibración de un modelo
1. Análisis de la especificación del modelo
2. Análisis de los datos y preprocesamiento
3. Estimación de parámetros y/o estructura
4. Análisis de la calidad de la estimación
Posteriormente realizar una validación del modelo obtenido.
Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez
Análisis de las especificaciones del modelo
• Analizar el modelo de ecuaciones obtenido
• Seleccionar qué parámetros y/o elementos de la estructura se quieren estimar
• Ver de qué conjunto de datos de medida se puede disponer
Análisis de los datos y preprocesamiento Los datos obtenidos deben de ser analizados en busca de:
• Existencia de bias
• Existencia de valores atípicos
• Existencia de errores de medida (debido a la instrumentación o grandes perturbaciones)
Los errores de medida deberían de estar normalmente distribuidos y tener una media CERO. (es difícil de detectar a priori)
Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez
3. Estimación de parámetros Dado:
Modelo del sistema (caja gris) Conjunto de datos (preprocesados)
Una función de pérdida (medida del ajuste)
Calcular:
Estimación de los parámetros
Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez
Regresión lineal
Variablidad de los datos
Media
Desviación estándar
Varianza
Coeficiente de variación
Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez
Dados unos datos
Encontrar unos valores para β1 y β0 tal que hagan el error de la predicción mínimo.
y modelo lineal en los parámetros
El modelo en este caso es:
¿Qué significa que sea regresión lineal? ¿Cómo son los siguientes casos?
Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez
Queremos minimizar el error, es decir, la diferencia entre el valor real y el modelo
Suma de errores
Suma del valor absoluto del error
Suma de los cuadrados de los errores
Posibles criterios para obtener los parámetros.
Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez
En el caso general de n variables
El modelo es:
Encontrar unos valores para todos los β tal que hagan el error de la predicción mínimo.
Regresión lineal múltiple
Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez
Ajuste por el método de Mínimos cuadrados
Minimizar la suma de los cuadrados de los errores.
Derivamos respecto de cada parámetro:
Poco robusto numéricamente
Formulación para resolución numérica
Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez
Estimación de la estructura
Dado: Modelo del sistema (caja gris)
Conjunto de datos (preprocesados)
Una función de pérdida (medida del ajuste)
Calcular:
Estimación de la estructura del modelo (en un dominio de modelos)
Realizar una estimación de parámetros para todo el dominio de modelos
Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez
4. Análisis de la estimación
1. Análisis de los residuos
2. Análisis de la calidad de la estimación
1. Suma del cuadrado de los errores (o desviación típica residual)
2. Desviación típica del parámetro(s) (comparación con su valor)
3. En caso de varios parámetros, correlación entre ellos.
Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez
Análisis de los residuos
• Media CERO
• Distribución aleatoria (residuos independientes)
Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez
Suma de cuadrado de errores
Desviacion típica residual
Desviacion típica de los datos y
Coeficiente de correlación
Propiedades del estimador β1
Análisis de la estimación caso una variable
Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez
Propiedades de los estimadores βi
Análisis de la estimación caso multivariable
Suma de cuadrado de errores
Desviacion típica residual
Matriz de varianzas y covarianzas parámetros
Coeficiente de determinación corregido
Desviacion típica
Correlación entre parámetros
Matriz de varianzas y covarianzas de datos
Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez
Desviacion típica residual
Desviacion típica parámetro
Ejemplo: Análisis de los resultados
Media de los errores
-4.4409e-016
Distribución de los errores
Valor estimado parámetro
Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez
Se transforma en
Se transforma en
Se transforma en
Modelo exponencial
Ecuación en potencias
Fracciones
5. Regresión no lineal
Transformar el problema a uno de regresión lineal
Modelo NO lineal
Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez
Regresión con Aspen Plus
1. Construir el modelo
Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez
3. Indicar los parámetros de regresión