Modelagem de Sistemas Eletricos

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIOSA

CENTRO DE CINCIAS EXATAS E TECNOLGICAS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELTRICA

MAXIMILIANO BARBOSA DA SILVA

MODELAGEM DE LINHAS DE TRANSMISSO TRIFSICA NO

DOMNIO DOS MODOS

VIOSA-MG

Agosto/2012



DOMNIO DOS MODOS

Monografia apresentada ao Departamento de

Engenharia Eltrica do Centro de Cincias

Exatas e Tecnolgicas da Universidade

Federal de Viosa, para a obteno dos

crditos da disciplina ELT 490 Monografia

e Seminrio e cumprimento do requisito

parcial para obteno do grau de Bacharel em

Engenharia Eltrica.

Orientador: Prof. Dr. Jos C.C. Campos

VIOSA-MG

Agosto/2012

Nesta pgina ser inserida a ficha catalogrfica correspondente

sua Monografia. Ela ser elaborada pelo pessoal da Biblioteca

Central da UFV.

A priori deixa a pgina em branco.



DOMNIO DOS MODOS

Monografia apresentada ao Departamento de Engenharia Eltrica do Centro de Cincias

Exatas e Tecnolgicas da Universidade Federal de Viosa, para a obteno dos crditos da

disciplina ELT 490 Monografia e Seminrio e cumprimento do requisito parcial para

obteno do grau de Bacharel em Engenharia Eltrica.

Aprovada em 03 de Agosto de 2012.

COMISSO EXAMINADORA

Prof. Dr. Jos Carlos Costa Campos - Orientador

Universidade Federal de Viosa

Prof. Dr. Tarcsio de Assuno Pizziolo - Membro


Prof. Ms. Mauro Prates- Membro


Tudo Posso Naquele que me Fortalece

Agradecimentos

Ao Senhor Meu Deus por ter me abenoado durante todos estes anos.

Aos meus Pais pela Pacincia e Amor.

Ao Prof. Dr. Jos Carlos Campos pela grande ajuda durante este trabalho.

Ao Prof. Dr. Tarcsio Pizziolo e ao Prof. Ms. Mauro Prates pela aceitao de participar desta

banca examinadora.

.

Resumo

As matrizes de transformao reais e constantes so aplicadas como matrizes de

transformao fase-modo caractersticas de um sistema simtrico com circuito trifsico duplo

transposto. Essas matrizes de transformao reais e constantes so baseadas na matriz de Clarke.

Usando a combinao linear dos elementos da matriz de Clarke, as tcnicas aplicadas para linhas

trifsicas simples so ampliadas para sistemas com 6 condutores de fase. Para uma linha trifsica

dupla transposta, as matrizes Z e Y so convertidas em matrizes diagonais no domnio dos

modos. Considerando um caso no transposto de uma linha trifsica dupla, os resultados no so

exatos e as anlises de erros so realizadas mediante os autovalores.

Abstract

Single real transformation matrices are applied as phase-mode transformation matrices of

typical symmetrical systems with double three-phase and These single real transformation

matrices are achieved from eigenvector matrices of the mentioned systems and they are based

on Clarkes matrix. Using linear combinations of the Clarkes matrix elements, the

techniques applied to the single three-phase lines are extended to systems with 6 phase

conductors. For transposed double three-phase lines, phase Z and Y matrices are changed

into diagonal matrices in mode domain. Considering non-transposed cases of double three-

phase lines, the results are not exact and the error analyses are performed using the

eigenvalues.

Sumrio

1 Introduo ........................................................................................................ 12

1.1 Linhas de Transmissao de Energia Eltrica ................................................................... 14

1.1.1 Introduo ............................................................................................................... 14

1.1.2 Parmetros de linhas transmisso de energia eltrica ............................................. 16

1.1.3 Impedncia longitudinal da linha ........................................................................................ 16

1.1.4 Admitncia transversal da linha de transmisso ..................................................... 21

1.1.5 Obteno das equaes diferencias de uma linha de transmisso

monofsica e obteno da tenso e corrente de entradas do quadrpolo

equivalente ....................................................................................................................... 23

1.2 Representao de Linhas de Transmisso no dominio Modal ...................................... 26

1.2.1 Introduo ............................................................................................................... 26

1.2.2 Linhas de transmisso trifsicas ............................................................................. 26

1.2.3 Representao da linha no domnio modal ............................................................. 27

1.3 A matriz de Clarke ......................................................................................................... 30

1.3.1 Introduo .............................................................................................................. 30

2 Materiais e Mtodos .................................................................................... 33

2.1 Base de Dados ................................................................................................................ 33

2.1.1 Modelo da linha trifsica de circuito duplo com altura convencial ........................ 33

2.1.2 Modelo da linha trifsica de circuito duplo com altura no convencial ................ 34

2.2 linha de transmisso de circuito duplo ........................................................................... 36

2.2.1 Representao esquemtica de uma linha de circuito duplo .................................. 36

3. Resultados e Discusses ................................................................................. 39

4 Concluses ................................................................................................... 46

Referncias Bibliogrficas ................................................................................. 47

Lista de Figuras

Figura 1.1.- Sistema Brasileiro de transmisso de energia eltrica. ......................................... 12

Figure 1.2- Linha de transmisso suportada por uma torre de 350 metros de altura. .............. 13

Figura 1.3-Sistema de dois condutores com distribuio de campos eltricos e magnticos. . 14

Figura 1.4- Linha de transmisso interligando centros de gerao de energia e as subestaes

de centros consumidores. ................................................................................................... 15

Figura 1.5-Condutores sobre o solo ideal e suas respectivas imagens. .................................... 17

Figura 1.6- Campo magntico que envolve os condutores. ...................................................... 17

Figure 1.7 -Capacitncia em um sistema de condutores .......................................................... 23

Figura 1.8-Circuito equivalente para um elemento infinitesimal da linha. .............................. 23

Figura 1.9-linha de 3 fases simtricas. ..................................................................................... 26

Figura 2.1 - Esquema da linha utilizada como exemplo com a configurao tpica de torre. .. 33

Figure 2.2- Esquema da estrutura fsica da torre e dos cabos................................................... 24

Figure 2.3- Regio da Amazonas para possvel instalao da linha de transmisso de altura

elevada. .............................................................................................................................. 35

Figura 2.4 - Representao de uma linha trifsica de circuito duplo. ...................................... 37

Figuras 2.5- Pares de condutores simtricos em uma linha trifsica de circuito duplo ............ 37

Figura 2.6- Acoplamentos mtuos de uma linha trifsica de circuito duplo. ........................... 38

Figure 3.1- Matriz impedncia diagonal da Linha de transmisso Milagres-Banabui. .......... 40

Figure 3.2- Matriz impedncia diagonal Linha de transmisso Macap-Tucuru. ................... 41

Figure 3.3 - Matriz impedncia fora diagonal Linha de transmisso Milagres-Banabui. ..... 42

Figure 3.4- Matriz impedncia fora diagonal Linha de transmisso Macap-Tucuru. .......... 42

Figure 3.5 erro percentual Linha de transmisso Milagres-Banabui. ................................... 44

Figure 3.6- erro percentual Linha de transmisso Macap-Tucuru. ....................................... 45

12

1 Introduo

O Sistema Eltrico brasileiro um dos maiores e mais complexos sistemas

interligados do mundo. Diferente de todos os outros sistemas em que a principal gerao o

carvo, a produo de energia eltrica no pas toda baseada em hidroeltricas. Isso, ao

mesmo tempo em que leva a vantagem de ser uma energia limpa e barata, tambm tem como

desvantagem apresentar suas maiores produes localizadas a grandes distncias das

metrpoles e dos centros industriais que so os maiores consumidores no sistema. Um

exemplo disto so as usinas de Itaipu e Tucuru que esto localizadas respectivamente a 1100

km e 2800 km de So Paulo, o maior consumidor do pas. Isto implica em construes de

grandes linhas de transmisso. Para se ter uma ideia hoje o sistema interligado mostrado na

Figura 1.1 (obtida do Operador Nacional do Sistema Eltrico (ONS)) conta com 900 mil

linhas, totalizando mais de 89000 km de extenso .

Figura 1.1.- Sistema Brasileiro de transmisso de energia eltrica.

Com o esperado crescimento da economia gerando principalmente a vinda de novas

industrias ao Brasil (a carga industrial responsvel por 70% do consumo de energia eltrica

no pais), a expanso do sistema inevitvel. Para isso novas usinas e novos campos de

energia devem ser instalados no pas.

13

Como deste vasto potencial hdrico citado apenas 30% est sendo utilizado, e destes

no utilizados, a maioria se encontra na regio Norte do pas, mais e maiores linhas de

transmisso devero ser construdas nos prximos anos.

Para reduzir o custo dessas construes a serem feitas e para efetivamente tornar

vivel o seu transporte ao longo de distncias da ordem de 1000 km, necessrio reduzir o

custo das linhas de transmisso, que sem dvida tm uma parcela significativa no

investimento para expanso do Sistema Interligado de Energia Eltrico Brasileiro.

Tendo conhecimento deste importante e valioso crescimento para o pas este trabalho

direcionado para o estudo da modelagem de linhas de transmisso de circuito duplo. O

principal objetivo deste ser a comparao entre a matriz impedncia longitudinal (composta

pelas matrizes indutncia e resistncia longitudinal) de uma linha trifsica dupla convencional

e uma linha trifsica dupla no convencial (altura muito elevada), sendo que esta ultima de

suma importncia seu estudo, pois poder ser uma soluo alternativa para utilizao de

linhas de transmisso no Estado do Amazonas, para expanso do Sistema Interligado

Brasileiro.

Figure 1.2- Linha de transmisso suportada por uma torre de 350 metros de altura.

Este trabalho composto por quatro captulos. Sendo o 1 composto pela introduo e

apresentao dos conceitos tericos que envolvem a manipulao matemtica de linhas de

transmisso. Pode-se citar dentre estes a teoria modal que facilita o trabalho e a anlise de

linhas de transmisso trifsicas. O 2 capitulo focado nos materiais e mtodos utilizados

para simulao, onde mostrada os parmetros e a estrutura fsica da linha de transmisso

14

trifsica utilizada para anlise no trabalho. O 3 capitulo direcionado para os resultados

obtidos com as simulaes e suas respectivas discusses. E finalmente o 4 capitulo a

concluso do trabalho.

1.1 LINHAS DE TRANSMISSO DE ENERGIA ELTRICA

1.1.1 Introduo

Denominam-se linhas de transmisso os sistemas de transmisso que operam com as

tenses mais elevadas do sistema e que transportam a energia eltrica entre os centros

geradores de energia e os centros consumidores. Em geral, as linhas de transmisso terminam-

nas subestaes abaixadoras regionais, onde a tenso reduzida para os nveis de sub-

transmisso.

Uma linha de transmisso pode ser definida como um sistema de condutores pelos

quais transfere um fluxo de potncia, entre dois ou mais terminais, por meio dos campos

eltricos ( ) e magnticos ( ) presentes no sistema.

A figura 1.3 mostra um sistema de dois condutores com distribuio de campos

eltricos e magnticos.

Figura 1.3-Sistema de dois condutores com distribuio de campos eltricos e magnticos.

O termo linha de transmisso aplica-se tanto a sistemas de transmisso de sinais (com

potncia da ordem de 10- Watts) quanto a sistemas de transmisso de energia eltrica

(potncias na ordem de Watts).

As linhas de transmisso de energia eltrica interligam os centros de gerao de

energia e as subestaes de centros consumidores conforme mostra a figura 1.4.

15

Figura 1.4- Linha de transmisso interligando centros de gerao de energia e as subestaes de centros

consumidores.

Uma vez que as linhas de transmisso interligam os sistemas eltricos, qualquer

distrbio que tenham origem nas mesmas, por exemplo, uma descarga atmosfrica, resulta em

sobretenses que se propagam por todo o sistema.

Para garantir que as sobretenses no danifiquem os diversos componentes do sistema

eltrico, e necessrio conhecer os nveis dessas sobretenses para que se possa tomar as

providencias necessrias para reparao do sistema eltrico.

Desse modo, e possvel dimensionar os equipamentos para que os mesmos no sejam

totalmente danificados.

Considerando que as linhas so elementos responsveis pela propagao de

sobretenses, importante que as mesmas sejam representadas por modelos adequados.

Uma linha de transmisso pode ser representada pela combinao dos seguintes

elementos: resistores (R), indutores (L), condutncias (G) e capacitncias (C).

No entanto, existem alguns fatores que dificultam a representao da linha. Dentre

esses fatores, podem ser citados:

Os parmetros R, L, G e C no esto concentrados em nico ponto da linha. Os mesmos

esto distribudos ao longo do comprimento da mesma;

Os parmetros R e L so variveis em relao frequncia [1].

16

1.1.2 Parmetros de linhas transmisso de energia eltrica

Uma linha de transmisso de energia eltrica possui quatro parmetros que

influenciam o seu comportamento como componente de um sistema de potncia, so eles

:resistncias, indutncias, capacitncias e condutncias.

Um dos aspectos mais importantes na representao da linha consiste em considerar

que os parmetros da linha so distribudos ao longo de seu comprimento e que so variveis

em relao frequncia [2].

1.1.3 Impedncia longitudinal da linha

Os parmetros longitudinais so a resistncia e a indutncia, que variam em relao a

frequncia [2]. A partir desses parmetros, possvel obter a matriz de impedncia

longitudinal [Z] do conjunto de condutores. Os parmetros transversais so as condutncias e

as capacitncias sendo que, no caso de condutores areos, as condutncias so

desconsideradas [3]. A partir desses parmetros possvel obter a matriz de admitncia

transversal [Y] do conjunto de condutores.

As impedncias prprias e mutuas, inseridas nas equaes de uma linha representada

no domnio da frequncia, podem ser obtidas por meio da soluo das equaes de Maxwell,

levando em considerao as condies de contorno de trs materiais que so: o condutor

propriamente dito, o ar e o solo [4]. Considerando que esses trs materiais podem ser

caracterizados por uma resistncia, por uma permeabilidade magntica e por uma

permissividade dieltrica, pode-se mostrar que as impedncias da linha podem ser escritas em

funo das propriedades fsicas do sistema (condutor, ar e solo) e da frequncia.

A impedncia longitudinal de uma linha de transmisso pode ser dividida em trs

componentes que so elas:

- Impedncia interna do condutor;

Impedncia interna do condutor;

- Impedncia devido ao efeito solo.

determinada a partir da disposio dos cabos condutores e dos cabos pra-raios.

Considere os condutor i e k genricos de uma linha de transmisso genrica dispostos

sobre o solo como mostra a figura 1.5:

17

Figura 1.5-Condutores sobre o solo ideal e suas respectivas imagens.

A impedncia externa devido ao campo magntico presente no ar que envolve os

condutores conforme figura 1.6:

Figura 1.6- Campo magntico que envolve os condutores.

A impedncia externa se divide em impedncia externa prpria, e impedncia externa

mutua. De acordo com [4] a impedncia externa prpria do condutor i tomado como referncia

dada por:

Sendo :

18

-permeabilidade relativa do ar;

frequncia;

-raio do condutor;

- altura do condutor em relao ao solo.

A impedncia externa mutua entre o condutor i e k pode ser escrita como [4]:

Onde:

distancia do condutor i a imagem do condutor k;

distancia do condutor i ao condutor k.

A impedncia externa escrita como:

No entanto a resistncia desprezvel (nula), logo se pode obter a indutncia

diretamente da equao (1.3), como sendo o componente da parte imaginaria das impedncias

externas prprias e mutuas.

(1.4)

A partir das equaes (1.1) e (1.2), pode obter a matriz de impedncias externas para

uma linha trifsica, como sendo:

[ ] [

]

(1.5)

Nesta matriz a diagonal principal representada pela impedncia externa prpria e os

elementos fora da diagonal principal representam a impedncia externa mutua.

19

Impedncia interna do condutor, determinada a partir de funes de Bessel.

A impedncia interna est presente sempre que um condutor excitado por uma

corrente alternada. Essa excitao resulta em uma distribuio no uniforme de corrente

eltrica na rea da seo transversal do condutor, que causa um aumento na resistncia do

condutor e diminuio na indutncia interna medida que a frequncia aumenta.

A impedncia interna de um condutor genrico pode ser calculada por meio das

equaes de Bessel. Desse modo, a impedncia interna pode ser expressa como sendo [15].

[

]

Sendo

;

raio do condutor;

condutividade do material condutor;

;

permeabilidade relativa do condutor

Os termos ber e bei so abreviaes de Bessel real e Bessel imaginrio,

respectivamente.

A matriz de impedncia interna corresponde s propriedades intrnsecas do condutor

logo possui componente apenas na diagonal principal, de tal forma que representada

matematicamente por:

[ ] [

]

(1.7)

Essa Matriz pode ser decomposta em sua componente real e imaginaria:

[ ] [ ] [ ] (1.8)

A matriz resistncia interna e indutncia interna que compe esta matriz so variveis

em funo da frequncia.

20

determinada com a aplicao de sries completas de Carson.

Os parmetros longitudinais de uma linha de transmisso so fortemente dependentes

da frequncia. Os efeitos do solo sobre os parmetros longitudinais podem ser calculados por

meio das equaes de Carson e de Pollaczeck. Ambas as equaes podem ser aplicadas em

linhas areas, mas as equaes de Carson e Pollaczeck so mais genricas, podendo ser

aplicadas tambm em cabos [16].

A impedncia interna resulta do fato de que o solo sob a qual a linha foi construda

no ideal. A interao do campo magntico com o solo resulta em impedncias prprias e

mutuas constitudas de componentes reais e imaginrios.

Considerando o condutor i disposto sobre um solo no ideal, conforme mostrou a

figura (1.5), pode-se escrever as equaes de impedncias prprias devido ao efeito solo do

condutor i como sendo [4].

[ ] [ ] [ ] (1.9)

Sendo:

-resistncia prpria de i devido ao efeito do solo;

-indutncia prpria de i devido ao efeito do solo;

E a impedncia mutua entre i e k devido ao efeito do solo como sendo [4]

[ ] [ ] [ ] (1.10)

-resistncia mutua entre i e k devido ao efeito do solo;

-indutncia mutua entre i e k devido ao efeito do solo;

Assim a matriz de impedncia devido ao efeito do solo escrita como:

[ ] [

]

(1.11)

Onde a diagonal principal representa a impedncia prpria e os elementos fora desta

representa a impedncia mutua.

21

Assim a matriz impedncia longitudinal escrita como:

[ ] [ ] [ ] [ ] (1.12)

1.1.4 Admitncia transversal da linha de transmisso

A diferena de potencial entre os condutores de uma linha de transmisso faz com que

estes se carreguem da mesma maneira que as placas de um capacitor quando entre elas existe

uma diferena de potencial. A capacitncia entre os condutores a carga dos condutores pela

diferena de potencial entre eles.

Considerando os condutores i e k, disposto sobre um solo no ideal, carregados com

cargas , respectivamente, conforme mostrou a figura 1.5, pode-se afirmar que os

condutores i e k tero, respectivamente, cargas

A diferena de potencial do condutor i em relao ao solo dada por [1]:

[ (

) (

) ]

E a diferena de potencial do condutor k em relao ao solo dada por [1]:

[ (

) (

) ]

Nas equaes ( ) e ( ), so os raios dos condutores i e k respectivamente.

O termo a permissividade eltrica do vcuo e assume o valor

F/Km.

Para um sistema de n condutores a diferena de potencial de um condutor em relao

ao solo dada por:

[ (

) (

) (

)]

Na equao (1.15), , e representam as cargas no primeiro, segundo e n-simo

condutor. Esses condutores apresentam raios r com ndices 1,2, ..., n para primeiro, segundo e

n-simo condutor, respectivamente.

22

Considerando os demais condutores temos a matriz [V] como

sendo:

[ ] [

]

(1.16)

E a matriz q como sendo:

[ ] [

]

A partir da definio de capacitncia de um sistema de dois condutores, pode-se

definir a seguinte relao matricial para uma linha de n condutores:

[ ] [ ][ ]

Na equao (1.18), a matriz [C] a matriz de capacitncias. Para um sistema trifsico

de condutores esta pode ser escrita matricialmente como:

[ ] [

]

(1.19)

23

Logo a matriz de admitncia transversal definida como [1]:

[ ] [ ]

Figure 1.7 -Capacitncia em um sistema de condutores

1.1.5. Obteno das equaes diferencias de uma linha de transmisso

monofsica e obteno da tenso e corrente de entradas do quadrpolo

equivalente

Para uma linha de transmisso monofsica longa (mais de 250 km), no podemos

desprezar a admitncia transversal [17], e sua representao e mostrada no circuito

equivalente da figura (1.8)

Figura 1.8-Circuito equivalente para um elemento infinitesimal da linha.

24

Analisando o circuito da figura (1.8), pela lei de kirchhoff das tenses, temos:

ou

(1.22)

A equao (1.22) a definio de derivada quando tende a zero [6], logo

(1.23)

Tambm da lei de kirchhoff das correntes temos

A equao (1.25) a definio de derivada quando tende a zero [6], logo

(1.26)

Diferenciando a equao (1.23) e substituindo (1.26) nesta, ns obtemos:

(1.27)

25

(1.28)

Analogamente diferenciando a equao (1.26) e substituindo a equao (1.22) nesta:

(1.29)

As solues para esta equao diferencial de 2 ordem so do tipo:

e

(1.31)

Nas equaes (1.30) e (1.31) [7] e [8] temos que a funo de propagao e

a impedncia caracterstica.

A partir das condies iniciais , , (mostradas na figura

1.8) substituindo nas equaes (1.30) e (1.31) obtm-se a tenso e corrente de entrada da linha

de transmisso.

26

1.2 REPRESENTAO DE LINHAS POLIFSICAS NO DOMNIO

MODAL

1.2.1 Introduo

As equaes diferenciais de segunda ordem que descrevem uma linha de transmisso

polifsica so de difcil soluo devido ao acoplamento entre as fases. Uma importante

ferramenta de analise de sistemas polifsicos a tcnica que desacopla as fases.

Dessa maneira, um sistema que possui n fases acopladas pode ser representado por n

sistemas monofsicos que so matematicamente idnticos ao sistema original.

Para um sistema polifsico genrico, a matriz com os autovetores do produto matricial

[Z] [Y] desacopla as fases da linha. Existem, para um nico produto [Z] [Y], diversos

conjuntos de autovetores que desacoplam a linha. Por outro lado, os autovalores so nicos.

1.2.2. Linhas de transmisso trifsicas

Considere uma linha com n fases, conforme mostra a figura 1.9;

Figura 1.9-linha de 3 fases simtricas.

A matriz de impedncia longitudinal [Z] e de admitncia transversal [Y] da linha

mostrada na figura 1.9, pode ser escrita como sendo:

[ ] [

]

(1.34)

27

[ ] [

]

(1.35)

Obtendo as equaes diferenciais de tenso e corrente dessa linha, semelhantemente

as equaes (1.23) e (1.26) , diferenciando-as e aps realizar algumas substituies, tem-se:

[ ]

[ ][ ][ ]

(1.36)

[ ]

[ ][ ][ ]

(1.37)

As equaes (1.36) e (1.37) esto no domnio das fases e so de difcil soluo, uma

vez que os produtos matriciais [Z] [Y] e [Y] [Z] so, de maneira genrica, distintos e as

matrizes [Z] e [Y] no so matrizes diagonais. Tais produtos podem ser transformados em

matrizes diagonais a partir da utilizao de uma transformao de similaridade [9].

1.2.3-Representao da linha no domnio modal

A partir das equaes (1.23) e (1.26) pode-se obter esta equao diferencial na sua

forma matricial para uma linha de circuito trifsico como:

[ ]

[ ][ ]

(1.38)

[ ]

[ ][ ]

(1.39)

Seja

[ ] [ ][ ] (1.40)

e

[ ] [ ][ ] (1.41)

28

Os autovalores das matrizes [Sv] e [ ] so iguais e podem ser escritos como sendo:

[ ] [ ] [ ][ ] (1.42)

e

[ ] [ ] [ ][ ] (1.43)

Na equao (1.42), a matriz cujas colunas so autovetores associados a [ ] e na

equao (1.43), a matriz cujas as colunas so autovetores associados ao produto [ ].

As matrizes [ ] e [ ] , nas equaes (1.42) e (1.43), so matrizes diagonais e podem

ser escritas de um modo genrico como sendo:

[ ] [

] (1.44)

Isolando [ ] na equao (1.42) e substituindo em (1.40) e isolando [ ] (1.43 ) e

substituindo em (1.41) tem-se:

[ ] [ ]

[ ][ ]

[ ] (1.45)

[ ] [ ]

[ ][ ]

[ ] (1.46)

e fazendo

[ ] [ ] [ ] (1.47)

[ ] [ ] [ ] (1.48)

Obtm-se a transformao para o domnio dos modos da matriz tenso e matriz

corrente para a matriz tenso modal e matriz corrente modal. Semelhantemente podem-se

obter as matrizes tenso e corrente no domnio das fases a partir destas matrizes no domnio

dos modos:

[ ] [ ][ ] (1.49)

[ ] [ ][ ] (1.50)

29

Substituindo respectivamente (1.47) e (1.48) em (1.38) e (1.39)

[ ][ ]

[ ][ ][ ]

(1.51)

[ ][ ]

[ ][ ][ ]

(1.52)

Pr-multiplicando-se as equaes (1.51) e (1.52) por [ ] e [ ]

, respectivamente

[ ]

[ ]

[ ][ ][ ]

(1.53)

[ ]

[ ]

[ ][ ][ ]

(1.54)

Comparao as equaes (1.53) e (1.54) com (1.38) e (1.39) nota-se claramente que

[ ] [ ] [ ][ ] (1.55)

[ ] [ ] [ ][ ] (1.56)

E finalmente as matrizes so diagonais do tipo:

[ ] [

] (1.57)

[ ] [

] (1.58)

Da equao (1.55)

30

[ ] [ ][ ][ ] (1.59)

A partir desta matriz longitudinal consegue-se obter as matrizes de parmetros

[ ] [ ] [ ] (1.60)

Onde [R] e [L] so as matrizes de resistncia e indutncia respectivamente.

Assim como as matrizes so diagonais, seu produto ser uma matriz diagonal tambm,

possibilitando o desacoplamento das fases e cada um dos modos se comporta como uma linha

monofsica.

1.3 A MATRIZ DE CLARKE

1.3.1 Introduo

O mtodo de clculo dos parmetros da linha a partir das correntes e tenses de fase

exige que a matriz de transformao modal seja conhecida. No entanto, para a maioria das

linhas, a matriz de decomposio modal funo dos parmetros da linha, inviabilizando,

assim, a aplicao do mtodo descrito.

Para linhas trifsicas que no podem ser consideradas idealmente transpostas, mas que

possuem um plano de simetria vertical sabe-se que a matriz de Clarke pode ser utilizada, de

forma aproximada, como sendo uma matriz de transformao modal [10].

O teorema fundamental de componentes simtricas expresso pela relao

[

] [

] [

]

(1.61)

31

Desenvolvendo a equao (1.61), substituindo os valores de e de e fatorando a

parte real e imaginaria:

+0( )

+

( )

( )

( )

(1.62)

Em matrizes a equao (1.62) expressa por:

[

] [ ]

[

]

[

]

(1.63)

A equao acima nos mostra a existncia de outras trs sequencias, nas quais a

sequencia dada decomponvel. Fazendo

( )

( )

(1.64)

Resulta

[

] [ ]

[

]

[

]

[

]

[

]

(1.65)

As sequencias , e representam as componentes de Clarke. Logo a matriz de

transformao de Clarke ( ) [11] dada como:

32

[

]

(1.66)

A matriz de Clarke converte uma linha trifsica em trs circuitos modais independentes.

2 Materiais e Mtodos

2.1 Base de Dados

2.1.1 Modelo da linha trifsica de circuito duplo com altura convencial

A linha de transmisso MLG-BNB de 230KV, extenso de 225 Km, utilizada como

exemplo de uma linha trifsica de circuito duplo com altura convencial esquematizada na

figura 2.1 [12] . a linha que interliga as subestaes de Milagres e Banabui, no estado do

Cear, que entrou em operao em 1988. A linha pertence ao sistema CHESF (Companhia

Hidroeltrica do So Francisco) e o interesse por essa linha devido a uma duplicao de

circuito, passando de uma linha de circuito simples para uma linha de circuito duplo, alm de

ser um importante elo no sistema de transmisso da regio Nordeste e do estado do Cear.

Figura 2.1 - Esquema da linha utilizada como exemplo com a configurao tpica de torre.

Nesse caso, os cabos condutores esto a uma altura de 22 m do solo. Esses cabos so

do tipo ACSR-26/7-636 MCM. Sua resistncia de 0,0919 /Km e a flecha a meio vo de

13,43 m. O dimetro externo do condutor de 2,518 cm e a alma de ao tem dimetro de

0,928 cm. Cada circuito composto por dois subcondutores alinhados verticalmente com uma

distncia de 0,46 m. Os cabos pra-raios esto a uma altura de 28,77 m, tendo uma resistncia

de 4,188042 /Km e um dimetro de 0,9144 cm. So cabos pra-raios do tipo EHS 3/8 7.

A flecha a meio vo de 6,40 m. A distribuio dos cabos pra-raios e dos cabos condutores

34

na torre tpica mostrada na figura 2.1. Foi adotado o valor de 1000 m para a resistividade

do solo.

2.1.2 Modelo da linha trifsica de circuito duplo com altura no

convencial

A Linha de transmisso utilizada para analise ser semelhante mostrada na figura

2.2, com uma extenso de 1850 km (projetada no Software Autocad 2009 ) e disposio

triangular, a linha ser uma linha de circuito duplo com 2 subcondutores por fase.

Figure 2.2- Esquema da estrutura fsica da torre e dos cabos.

35

O interesse nesse tipo de linha devido a sua proposta de construo em 2008 e est

em anlise para ser utilizada entre Tucuru/Macap-Manaus no Norte do Estado do

Amazonas, onde a transmisso de energia muito deficiente. Um dos motivos dessa falta de

transmisso as grandes distncias que as linhas de transmisso devem percorrer entre densas

florestas. A construo de linhas de transmisso com alturas muito elevadas possibilitar o

fornecimento de energia para regies com escassez deste produto, interligando-a ao sistema

interligado eltrico brasileiro, sua instalao ser realizada usando varias tecnologias,

incluindo helicpteros e outros mtodos no convencionais de instalao, no necessitando de

desmatar grandes reas para passagem de torres, como realizado com instalao de linhas com

alturas convencionais [13].

A figura 2.3 mostra a regio de possvel utilizao deste tipo de estrutura. Os cabos

condutores esto a uma altura de 280 m e 255 m do solo. Esses cabos so do tipo ACSR (cabo

de alumnio com alma de ao) 42/19 MCM(onde 1 CM a rea de um condutor com um

milsimo de polegada de dimetro). Sua resistncia de 0,122 /Km e a flecha a meio vo

de 56 m. O dimetro externo do condutor de 2,18 cm e a alma de ao tem dimetro de 0,688

cm. Cada circuito composto por dois subcondutores alinhados verticalmente com uma

distncia de 0,4 m. Os cabos pra-raios esto a uma altura de 300 m, tendo uma resistncia de

4,188042 /Km e um dimetro de 0,9144 cm. So cabos pra-raios do tipo EHS 3/8 7. A

flecha a meio vo de 20 m [14]. Foi adotado o valor de 1000 m para a resistividade do

solo .

Figure 2.3- Regio da Amazonas para possvel instalao da linha de transmisso de altura elevada.

36

2.2 linha de transmisso de circuito duplo

2.2.1 Representao esquemtica de uma linha de transmisso de

circuito duplo

Uma linha de transmisso de circuito duplo pode ser representada, genericamente,

pelo esquema mostrado na figura 2.4, no qual cada um dos circuitos trifsicos agrupado

separadamente do outro. Considerando os cabos pra-raios implicitamente includos nas

impedncias das fases e a existncia de um eixo de simetria vertical, determinam-se pares de

condutores simtricos, segundo a figura 2.5. Nessa figura, ao invs da identificao das fases

de cada circuito, os cabos condutores so numerados em sentido horrio a partir do canto

superior esquerdo. Utilizando essa identificao, a figura 2.6 mostra um esquema grfico dos

acoplamentos mtuos em relao ao condutor equivalente da primeira fase. Generalizando

para as outras fases, obtm-se as matrizes de impedncias e de admitncias de uma linha de

circuito duplo genrica.

Figura 2.4 - Representao de uma linha trifsica de circuito duplo.

No caso dessa modelagem, um produto matricial utilizado como matriz de

transformao. A primeira matriz de transformao denominada mdia-antimdia. A

transformao mdia-antimdia obtida baseando nos pares simtricos da figura 2.5 e

responsvel pelo desacoplamento dos dois circuitos trifsicos da linha. Ou seja, para que a

aplicao dessa primeira matriz de transformao resulte no desacoplamento dos circuitos,

necessita-se de um plano de simetria vertical. Dessa forma, tal transformao depende da

geometria da linha de transmisso, sendo determinada mediante soma e diferena das

correntes de linha, ou tenses de fase, de cada par de condutores mostrado na figura 2.5.

37

Figuras 2.5- Pares de condutores simtricos em uma linha trifsica de circuito duplo

Figura 2.6- Acoplamentos mtuos de uma linha trifsica de circuito duplo.

O principal objetivo da transformao mdia-antimdia alterar a base vetorial do

sistema, anulando determinados elementos das matrizes Z e Y. Ou seja, feita uma

combinao linear entre os elementos da matriz Z e tambm entre os elementos da matriz Y.

De forma mais concisa, dois novos circuitos trifsicos so criados e entre esses novos

circuitos trifsicos no existe acoplamento mtuo, ou seja, so circuitos desacoplados.

A partir da matriz de Clarke, os outros modos podem ser constitudos para o caso de

uma linha dupla trifsica transposta. A matriz de Clarke uma referncia para a obteno da

matriz , pois a matriz de transformao modal de uma linha trifsica simples transposta.

Assim, na matriz , quatro linhas so independentemente associadas aos circuitos

38

trifsicos da linha analisada. Nesse caso, so a primeira, a segunda, a quinta e a sexta linhas

dessa matriz. A terceira linha uma combinao linear obtida a partir dos elementos do modo

homopolar. A quarta linha da matriz o modo homopolar, configurada com elementos

de mesmo valor e de mesmo sinal.

[

]

(2.1)

39

3. Resultados e Discusses

Nesta etapa ser realizada a comparao das matrizes impedncias longitudinais

obtidas a partir da transformao no domino modal (MATLAB R2009a). realizada uma

anlise para a linha convencional de circuito duplo Milagres-Banabui e a linha no

convencional Tucuru-Macap-Manaus, tambm de circuito duplo.

Alm destas comparaes entre as matrizes impedncias longitudinais geradas, ser

por fim realizada a analise sobre os grficos dos erros entre a matriz de autovetores exatas e a

matriz para cada linha no transporta, e na sequncia verificar qual destas configuraes

possuem uma maior eficincia.

As matrizes impedncias longitudinais obtidas so dividas em:

Matriz impedncia longitudinal da Diagonal principal: Esta composta pela

impedncia prpria do condutor. Nesta impedncia prpria esta inserida a impedncia

prpria interna, intrnseca do condutor, que calculada atravs da equao de Bessel,

a impedncia prpria externa, na qual est inserida a indutncia externa prpria (a

resistncia praticamente desprezvel), e por ltimo a impedncia do solo prpria

(solo no ideal), que obtida matematicamente a partir das equaes de Carson e

Pollaczek.

Matriz impedncia longitudinal Fora da Diagonal principal: determinada pelas

impedncias mutuas do condutor tomado como referencia (no caso deste trabalho o

condutor 1 da fase A) com os outros condutores da linha e os pra-raios. composta

pela indutncia mutua entre as fases e pela a impedncia mutua devido ao efeito do

solo no condutor.

40

observado que para a figura 3.1 da linha Milagres-Banabui o modulo da

impedncia de todas as fases bem semelhante mesmo para uma alta frequncia (1 MHZ)

apresentando mesmo modulo (/km) para todas estas. Tal caracterstica devido resistncia

interna prpria depender apenas das caractersticas dos cabos condutores (idnticos), a

resistncia externa prpria desprezvel, e a resistncia prpria do solo muito baixa, sendo

que na parte real da matriz impedncia prpria (diagonal) predomina o comportamento da

resistncia interna prpria, que igual em modulo para todas as fases.

Quanto parte imaginaria, a indutncia mutua prpria predominante. Devido a estas

predominncias as impedncias prprias das fases, possuem comportamento uniforme ao

longo de toda a faixa de frequncia da simulao.

Em relao figura 3.2 da linha Tucurui/Macap-Manaus esta possui um

comportamento semelhante citada anteriormente, possuindo apenas uma inclinao do

modulo de impedncia menor dos condutores ao longo da variao da frequncia.

Figure 3.1- Matriz impedncia diagonal da Linha de transmisso Milagres-Banabui.

41

Figure 3.2- Matriz impedncia diagonal Linha de transmisso Macap-Tucuru-Manaus.

Pela figura 3.3 da linha Milagres-Banabui observado que com o aumento da

frequncia o modulo do acoplamento mutuo entre o condutor um da fase A e os demais

condutores vai aumentando gradativamente, nota-se tambm que quanto maior a distncia

geomtrica dos condutores, maior sua diferena modular.

Tal comportamento pode ser explicado devido predominncia da parte imaginaria da

impedncia mutua, ou seja, a indutncia mutua externa, que diretamente correlacionada com

a distncia entre o condutor tomado como referencia e os outros condutores e tambm com a

distncia do condutor de referencia imagem (mtodo das imagens) dos condutores vizinhos.

No entanto pela figura 3.4 pode-se observar que para linha Macap/Tucuru-Manaus

essa diferena modular das impedncias mutuas dos condutores com o condutor de referencia

menor, mesmo sendo a indutncia mutua externa tambm predominante. Isto pode ser

explicado, pois esta linha diferente da Milagres-Banabui, no possui uma disposio

horizontal, mas sim uma disposio triangular, isto influi diretamente no calculo das

indutncias mutuas entre os condutores e suas diferenas modulares, pois as distancias

42

geomtricas entre o condutor referencia (condutor 1 da fase A) e os demais condutores

modificada, interferindo na indutncia mutua entre estes.

Figure 3.3 - Matriz impedncia fora diagonal Linha de transmisso Milagres-Banabui.

43

Figure 3.4- Matriz impedncia fora diagonal Linha de transmisso Macap/Tucuru-Manaus.

Por fim analisado o erro entre os modos obtidos pela matriz de autovetores exatos e

a matriz de transformao que foi utilizada para o calculo das matrizes impedncias.

Nas figuras 3.5 e 3.6 a linha cheia representa os quase modos ( ) obtidos pela

matriz de transformao (elementos da diagonal da matriz impedncia longitudinal) no

semi-eixo esquerdo da linha e a linha tracejada representa os quase modos( ) obtidos

pela matriz de transformao (elementos da diagonal da matriz impedncia longitudinal)

semi-eixo direito da linha, para estes quase modos observado o erro relativo percentual com

seus respectivos modos exatos obtido pelas matrizes de autovetores atualizadas com a

variao da frequncia.

Observando as duas figuras pode-se notar que para ambas o erro pequeno na faixa de

-4% a 4% para a linha Milagres-Banabui e na faixa de -1.5% a 2,5% para a linha Macap-

Tucuru, notando que a matriz de transformao uma boa aproximao da matriz de

autovetores exatos.

Nestas figuras notado que o erro menor para baixas frequncia e torna-se maior

com o aumento desta. Tal caracterstica explicada pois a matriz de autovetores atualizada

44

para cada frequncia determinando-se novos autovalores, e a matriz de transformao

constante para qualquer frequncia. prazvel que para baixas frequncias (menor 100 HZ)

na faixa de regime permanente este erro relativo percentual seja menor.

Ainda nota-se a falta de simetria por parte dos quase modos obtidos. Por exemplo,

analisando a figura 3.5 da linha Milagres-Banabui, o modo possui um erro relativo

iniciando em 1,3% e estabilizando em -2,5% e o modo possui um erro relativo iniciando

em 0,8% e estabilizando em 1,2%, tal diferena modular dos erros devido ao fato de no

haver um desacoplamento total durante a aplicao da matriz de transformao , visto

que esta no simtrica em relao a diagonal principal, o que observado facilmente

comparando as linhas 2 e 4 da equao (2.1).

Figure 3.5 erro percentual Linha de transmisso Milagres-Banabui.

45

Figure 3.6- erro percentual Linha de transmisso Macap/Tucuru-Manaus.

4 Concluses

Realizando-se uma analise quantitativa conclui-se que comparando configurao

destas duas linhas, a aplicao da matriz sobre a linha Macap/Tucuru-Manaus, possui

uma eficincia maior para determinar a matriz impedncia longitudinal e consequentemente

os parmetros longitudinais (impedncia e resistncia) que a compem. A determinao

correta destes parmetros possibilitar uma menor perda na possvel construo desta linha,

pois como de conhecimento a determinao correta influencia diretamente na perda da linha

e na potncia a ser injetada na carga instalada.

Todavia a matriz de transformao no deixa de ser uma boa aproximao para

substituir as matrizes de autovetores exatos para a linha Milagres-Banabui tambm, visto que

o seu erro percentual no ultrapassou 5%. Um ponto favorvel da utilizao desta matriz para

ambos os casos que diferente das matrizes de autovetores exatos, a matriz independe

da frequncia.

Como proposta de trabalho futuro sugerido o estudo destas matrizes de

transformao sobre a ao de frequncia maiores nas quais os parmetros da matriz

admitncia transversal no sero desconsideradas, tal fato incluir a analise da capacitncia, o

que no foi realizado neste trabalho.

47

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Modelagem de Sistemas Eletricos