MODELAGEM E CONTROLE DE UM SISTEMA “BALL AND BEAM”

Guilherme Américo Rosa*

Professor Feres Azevedo Salem**

Resumo: Este trabalho está fundamentado no desenvolvimento de uma modelagem matemática referente a um projeto de controle PID e espaço de estado na forma de alocação de polos por variável de fase, aplicado a um sistema ball and beam ou simplesmente bola e barra para utilização das teorias de sistemas de controle e multivariável, sendo um dos exemplos mais empregados. O processo consiste de uma barra com seu centro fixado a um motor de corrente contínua responsável por controlar o ângulo de inclinação. Uma esfera é posta sobre a barra podendo percorre-la, o problema é equilibra-la em uma posição determinada pelo sinal de entrada (Setpoint), pois em malha aberta esse processo é instável e não linear, por que a saída do sistema representada pela posição da esfera, tende ao infinito para qualquer sinal de saída diferente da entrada. Para viabilizar o controle e deixar a planta estável, foi necessário realizar uma realimentação deixando o sistema em malha fechada e projetar um controlador PID para torná-lo estável. Os gráficos foram gerados pelo software matemático Matlab®.

Palavras - chave: Sistema bola e barra, controle PID, Espaço de estado, modelagem matemática, estabilidade.

Abstract: This paper is based on the development of a mathematical approach which refers to a project of PID control and space state in the form of allocation of poles by phase variable applied to a “ball and beam” system for further use of the theories of control systems and multivariable, being one of the most used examples. The process is made up of a beam of which center is fixed to a motor of continuous current which controls the angle of inclination. A sphere is laid under the beam in such a way that it can run through the beam; the issue is to balance it in a position which is determined by the setpoint, since in an open loop this process is unstable and non-linear, as the exit of the system represented by the position of the sphere tends to infinite for any exiting signal different from the entrance. In order to make possible the control and make the plant stable, it was necessary to provide a feedback which turned the system into a closed loop, and to project a PID controller to make it stable. The graphics were generated by the mathematical software Matlab®.

Key Words: Ball and beam system, PID control, Space state, mathematical modeling, stability

*Discente do curso de Engenharia de Controle e Automação na Unicesumar – Centro Universitário de Maringá, Maringá – PR. E-mail: guilherme079@hotmailcom.

**Orientador: Docente dos cursos de Engenharia de Controle e automação, Automação Industrial e Engenharia Elétrica do Unicesumar – Centro Universitário de Maringá, Maringá – PR. E-mail: feres_salem@hotmail.com

1

1 INTRODUÇÃO

Atualmente os sistemas de

controle são utilizados em diversos

processos dentro da indústria, na

medição de vazão, temperatura e

pressão, podendo ser empregados nos

setores automobilísticos, aéreos, de

mineração, entre outros. “O sistema de

controle consiste em subsistemas e

processos (ou plantas), construídos

com o objetivo de se obter uma saída

desejada com um desempenho

adequado, dada uma entrada

especificada” (NISE, 2012).

Um bom exemplo para a

aplicação e ensino do sistema de

controle, é o projeto barra e bola (do

inglês ball and beam), pois é um

método relativamente simples de se

entender, por empregar as técnicas de

controle. “Ele tem uma propriedade

muito importante: em malha aberta é

instável, porque a saída do sistema

(posição da bola) aumenta sem limite

para uma entrada fixa (ângulo da

barra)” (ZAVALA, YU e LI, 2008).

O problema consiste em

controlar automaticamente uma

posição pré-determinada (Setpoint) da

bola (esfera) sobre uma barra

horizontal, onde seu centro será

acoplado a um servomotor, por meio do

movimento angular é possível equilibra-

la. Com isso, “o controle é uma tarefa

difícil, porque a bola não fica em um só

lugar quando a barra é inclinada”

(ZAVALA, YU e LI, 2008).

Existem diversas técnicas a

serem aplicadas e testadas nessa

planta, por exemplo: Lógica Fuzzy, PID,

Lógica Reconfigurável, Controle Neural

Fuzzy, entre outros. Contudo, para

esse sistema barra e bola, foi aplicado

o controlador Proporcional-Integral-

Derivativo (PID), que veio de encontro

com o tema abordado, pela

possibilidade de demostrar sua ação e

a sua aplicabilidade ser mais

abrangente, o qual possui todos os

elementos necessários de um sistema

de controle, tais como: atuador, sensor,

circuito condicionador de sinal,

comparador e método de controle

(PALLONE, 2013).

Para que a planta funcione

adequadamente, se faz necessário que

seja aplicado um sistema em malha

fechada (com retroação), que consiste

na utilização de uma medida adicional

da saída real para comparar essa com

a resposta desejada. “A medida da

saída é chamada de sinal de retroação”

(DORF e BISHOP, 1998).

2

1.1 OBJETIVO GERAL

Desenvolver um controlador

para tornar o sistema estável em malha

fechada, afim de equilibrar a esfera

sobre a barra em uma posição pré-

estabelecida pelo Setpoint.

1.2 OBJETIVO ESPECÍFICO

Este projeto foi dividido em

etapas, auxiliando na execução e no

detalhamento do que foi realizado no

trabalho, para se chegar ao resultado

esperado. A seguir, é descrito as

etapas que serão cumpridas para se

desenvolver o sistema bola e barra.

1ª ETAPA: Estudos

bibliográficos, referentes ao tema

proposto, para que seja possível obter

um entendimento geral de como o

sistema funciona, além dos métodos e

softwares que serão utilizados para o

seu desenvolvimento.

2ª ETAPA: Escolha dos

equipamentos e matérias a serem

utilizados. Nesse caso um servo motor

de corrente contínua (CC), o MG995,

que é o responsável por controlar o

sistema, logo, é obrigatório que sua

velocidade de operação para o projeto

seja rápida e precisa. Em seguida, foi

necessário definir um sensor que

atenda à demanda, sendo o

responsável em informar precisamente

a posição da esfera. Depois de

algumas pesquisas, definiu-se pelo

sensor ultrassônico, HCRS04.

3ª ETAPA: Com a definição dos

materiais que serão aplicados no

projeto, foi realizado a modelagem

matemática do sistema. Para isso, foi

utilizado o software Matlab®, a fim de

definir os parâmetros do PID. Com os

valores obtidos, foram gerados gráficos

para que se possa analisar a resposta

afim de melhora-la.

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

2.1 PID O algoritmo de controle

Proporcional – Integral - Derivativo

(PID), é a combinação da ação de

controle proporcional, ação de controle

integral e ação de controle derivativo, a

junção desses parâmetros formam o

PID (OGATA, 1997), o que faz a sua

aplicabilidade em sistemas de controle

ter uma grande abrangência na

indústria é a sua vasta utilização ser

associada ao seu desempenho robusto

e uma enorme gama de operações.

Assim, ele se torna o elemento

de maior importância para o sistema

proposto, pois atuará de forma

consistente para a estabilização da

bola sobre a barra. “Portanto será

possível melhorar o erro de regime

3

estacionário, a resposta transiente e a

velocidade de resposta do sistema”

(PALLONE, 2013).

Na Figura 1, pode-se observar

que o sinal de erro e(t) é utilizado como

entrada para os blocos proporcional

(Kp), integral (Ki) e derivativo (Kd), a

soma dessas três variáveis, formam o

controlador PID. Como pode ser

observado, u(t) é usado como sinal de

referência (Setpoint), Planta/Proces é o

processo do sistema e y(t) é o sinal de

saída.

2.2 ESTABILIDADE

A estabilidade é o requisito mais

importante quando queremos controlar

um processo, pois se ele for instável,

sua resposta transiente e seus erros de

estado estacionário deixam de ter

significado. “Um sistema instável não

pode ser projetado para atender uma

resposta transiente específica ou um

requisito de erro de estado

estacionário” (NISE, 2012).

Com isso, existem inúmeras

definições para estabilidade

dependendo do tipo de projeto. Esse

tópico é importantíssimo para o método

bola e barra, por ser instável em malha

aberta, sua saída é representada pela

posição da esfera que tende a infinito,

caso o ângulo de inclinação do motor

seja diferente de zero.

Assim, fazemos a retroação do

sistema, para deixa-lo com os polos na

metade esquerda do plano s, e se

possuírem uma parte real negativa, ele

será estável, isto é, “Os sistemas

estáveis possuem funções de

transferência em malha fechada com

polos apenas no semiplano da

esquerda” (NISE, 2012).

2.3 SISTEMAS EM MALHA FECHADA

Técnicas de controle com

retroação ou realimentação,

normalmente são chamados se

sistemas de controle em malha

fechada. Nesse contexto, “o sinal

atuante de erro que é a diferença entre

o sinal de entrada e o sinal de

retroação, excita o controlador de modo

a reduzir o erro e trazer o valor do sinal

de saída para o valor desejado”

(OGATA, 1997).

Na Figura 2, podemos observar

e entender melhor um sistema em

Figura 1 - Diagrama de um controlador PID

[Fonte:http://commons.wikimedia.org/wiki/File:PID_en.svg]

4

malha fechada. Para que ele seja

eficiente e exato, deve-se comparar a

saída y(t) com a referência r(t) (ou

Setpoint), a diferença entre eles nos dá

o erro e(t). O controlador utiliza o valor

do erro para calcular o sinal de controle

u(t), que por sua vez é aplicado ao

processo. Com isso é possível

monitorar o desvio entre o sinal da

saída com o de referência, tornando o

sistema preciso.

2.4 SISTEMA BALL AND BEAM (BOLA E BARRA)

A bola (esfera) é colocada sobre

uma barra (viga) e pode deslizar

livremente sobre ela. Um motor de

corrente contínua (CC) é preso ao

centro da viga, da qual a inclinação é

controlada através do movimento

angular do motor. Assim “o problema

de controle é manter a esfera em uma

determinada posição da barra. A esfera

pode ser de qualquer material

dependendo das características do

sensor utilizado para medir a sua

posição na barra” (LOBATO, CALDAS

e NETO). Na Figura 3, podemos

observar o comportamento do sistema.

2.5 TÉCNICAS DO LUGAR GEOMÉTRICO DAS RAÍZES

O lugar geométrico das raízes,

representa graficamente os polos de

um sistema em malha fechada, em

função da alteração de um parâmetro

da planta. Esse método, pode ser

utilizado com grande vantagem em

conjunto com o critério de Routh-

Hurwitz (DORF e BISHOP, 1998).

Com a representação gráfica é

possível se observar os valores de

estabilidade, as faixas de valores de

instabilidade e as condições

responsáveis por causarem a oscilação

no sistema (NISE, 2012).

Se a planta possuir um ganho de

malha variável, a localização dos polos

depende do valor de ganho escolhido,

assim o projetista deve saber como

esses polos em malha fechada se

movem no plano s (OGATA, 1997).

Figura 2 - Sistema em malha fechada

Figura 3 - Sistema bola e barra

5

Em alguns projetos é possível

mover os polos em malha fechada do

sistema para o local desejado, dando

um valor de ganho apropriado, mas se

esse ajuste não produz um resultado

esperado é necessário adicionar um

compensador a planta (OGATA, 1997).

3 DESENVOLVIMENTO

3.1 DESENVOLVIMENTO DO PROJETO

Para a realização deste projeto,

foi necessário aplicar alguns estudos

relacionados as áreas de eletrônica,

sistemas de controle e física. Em

relação a eletrônica foram estudados,

os equipamentos que irão ser utilizados

e como serão interligados. Na física, foi

preciso aprofundar a parte de sistemas

mecânicos, para entender o

comportamento da bola sobre a barra.

Já no que diz respeito a área de

sistemas de controle, o enfoque foi

sobre a estabilidade, pois o projeto bola

e barra, consiste em um sistema

instável, então precisou utilizar técnicas

para que ele pudesse se estabilizar e

funcionar como o esperado.

Ainda, foi preciso conhecer

sobre o controle PID, por ser o mais

utilizado em processos industrias e

controle por espaço de estado, com

isso suas aplicações e suas definições

possibilitaram o entendimento de como

seria o emprego desses conceitos ao

projeto.

3.2 MÉTODO

Os procedimentos apresentados

neste trabalho, propõe-se a controlar o

sistema proporcionando uma resposta

desejada, através da modelagem do

projeto. Para isso, foi desenvolvido um

controlador no espaço de estado por

variável de fase que regula a posição

da bola ao longo da barra, por meio de

uma realimentação, alterando assim a

posição do eixo do motor. Os softwares

utilizados auxiliam nos cálculos

matemáticos e simulações gráficas da

planta.

3.2.1 Desenvolvimento do Controlador

Para a execução desse trabalho,

foi proposto um controlador PID em

cascata, aplicando-se a técnica do

lugar geométrico das raízes, um

método poderoso de análise para

projeto com estabilidade em resposta

transitória (NISE, 2012). Com isso, foi

gerado representações gráficas da

estabilidade do sistema, a partir do

software matemático Matlab®.

A Figura 1.1 do apêndice 1 mostra a representação em diagrama

de blocos do projeto bola e barra

6

aplicando a forma em cascata. Ao

utilizar o controlador PD para o laço

interno, o modelo do servomotor

continua sendo um sistema de segunda

ordem.

O laço interno do controlador

PD, C1(s), deve ser elaborado de modo

que o ângulo da engrenagem (∅l) possa

deslocar-se juntamente com o sinal de

referência (∅ref) que vem do

potenciômetro, portanto é projetado

primeiro. O laço externo é o controlador

de espaço de estado por variável de

fase, C2(s), que monitora a posição da

bola e barra utilizando a realimentação

interna (RAHMAT, WAHID e WAHAB,

2010).

3.2.2 Sistema Bola e Barra

Para se calcular a equação do

sistema bola e barra, se faz necessário

desenvolver métodos para analisar

corpos que giram, dado que o sistema

tem o giro da esfera sobre a barra.

Segundo (YOUNG e FREEDMAN,

2003) todo movimento possível de um

corpo rígido pode ser representado

como uma combinação do movimento

de translação do centro de massa e de

uma rotação em torno de um eixo

passando pelo centro de massa, com

isso pode-se analisar o movimento

conjunto de rotação e translação do

ponto de vista da dinâmica.

A equação da aceleração, será

elaborada a partir do plano inclinado,

representado pela Figura 4.

A força devido ao movimento de

translação é dada aplicando-se a

segunda lei de Newton ao longo do eixo

x:

∑ 𝑓𝑓𝑥𝑥 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 (1)

A letra m representa a massa da

esfera e a é aceleração do centro da

bola. A aceleração de um corpo é a

derivada da velocidade, representada

pela Eq. (2), ou a derivada segunda da

posição, representada pela Eq. (3),

assim:

𝑚𝑚 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

(2)

Ou

Figura 4 - Diagrama de corpo livre

7

𝑚𝑚 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

= 𝑑𝑑²𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑²

= 𝑑 (3)

Somando as forças que atuam

no eixo x, e substituindo a Eq. (3) na Eq.

(1), temos:

𝑚𝑚𝑚𝑚 sin𝜙𝜙 + (−𝑓𝑓𝑠𝑠) = 𝑚𝑚𝑑

𝑓𝑓𝑠𝑠 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 sin∅𝑙𝑙 − 𝑚𝑚𝑑

(4)

Nessa equação fs representa a

força de atrito agindo contra o

movimento, sin ϕ é o ângulo de

inclinação da barra e g aceleração da

gravidade. “Os torques são calculados

em relação a um sistema de referência

que se move com o centro de massa,

então a segunda lei de Newton para

rotação pode ser aplicada sempre que

o centro de massa sofrer aceleração”

(TIPLER e MOSCA, 2006):

∑ 𝜏𝜏 = 𝐼𝐼𝑐𝑐𝑐𝑐𝛼𝛼 (5)

Na Eq. (5) Icm representa o

momento de inércia em relação a um

eixo que passa pelo centro de massa e

∑ τ a soma de todos os torques

externos em relação a esse eixo.

Substituindo na Eq. (5) o momento de

inércia de uma esfera sólida por Icm =

2mR² 5⁄ e somando-se as forças que

passam pelo centro de massa obtemos:

𝑓𝑓𝑠𝑠𝑅𝑅 = 𝐼𝐼𝑐𝑐𝑐𝑐𝛼𝛼

𝑓𝑓𝑠𝑠𝑅𝑅 = 25𝑚𝑚𝑅𝑅²𝛼𝛼

(6)

Nessa equação, α representa a

aceleração angular e R o raio da esfera.

Considerando que a bola gira sem

escorregar se tem a correlação da

aceleração do centro de massa (a) com

aceleração angular (α):

𝑚𝑚 = 𝑅𝑅𝛼𝛼

𝛼𝛼 = 𝑚𝑚𝑅𝑅

(7)

Agora se substituir as Eq. (7) e

(4) na Eq. (6):

(𝑚𝑚𝑚𝑚 sin∅ −𝑚𝑚𝑑)𝑅𝑅 = 25𝑚𝑚𝑅𝑅²

𝑚𝑚𝑅𝑅

(8)

Trocando a aceleração da Eq.

(8), pela derivada segunda da posição,

dada pela Eq. (3) e isolando x:

(𝑚𝑚𝑚𝑚 sin∅ −𝑚𝑚𝑑)𝑅𝑅 = 25𝑚𝑚𝑅𝑅²

𝑑𝑅𝑅

𝑑 = 57

𝑚𝑚 sin𝛼𝛼

(9)

8

O ângulo alfa é próximo ao ponto

de estabilidade, assim sin∅ ≈ ∅ para

ângulos até 15° logo:

𝑑 = 57

𝑚𝑚∅ (10)

Com essa equação, observa-se

que o ângulo da barra está relacionado

com a aceleração e não com a posição,

a transformada de Laplace para Eq.

(10):

𝑑𝑑(𝑠𝑠)∅(𝑠𝑠)

=57𝑚𝑚𝑠𝑠²

(11)

3.2.3 Modelagem do Servo Motor CC

A figura 1.2 do apêndice 1

representa todos os elementos

utilizados para modelar o

servossistema. O potenciômetro é

utilizado para gerar uma tensão

proporcional à posição do eixo do

motor, este sinal é então subtraído pela

referência por meio de um amplificador

diferencial (subtrator) gerando um erro,

que por sua vez é aplicado na entrada

do circuito elétrico do motor acionando-

o no sentido de igualar o erro a zero,

deixando assim a esfera em equilíbrio

sobre a barra.

O motor CC produz um

deslocamento na saída para uma

tensão de entrada, ou seja, uma saída

mecânica proveniente de uma entrada

elétrica, esses sistemas são chamados

de eletromecânicos. Para determinar a

função de transferência, será utilizado

um motor CC controlado pela

armadura.

A tensão de saída do

amplificador é igual a tensão de entrada

Vin no circuito, a diferença da posição

angular do potenciômetro Vpot e o sinal

de referência Vref, forma o erro e(t), determinado pelo amplificador

diferencial com ganho Kamp, esse

ganho é dado por:

𝐾𝐾𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎 = 𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖𝑒𝑒

=𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖

𝑉𝑉𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝 − 𝑉𝑉𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 (12)

No projeto foi utilizado um

potenciômetro linear como sendo o

sensor para determinar a posição

angular do eixo do motor. A figura 5

mostra a relação entre resistência e

ângulo do sensor em questão.

Como é linear, podemos

encontrar o valor das resistências e dos

ângulos através de uma simples regra

Figura 5 - Potenciômetro Linear de 100k e curso de 250 graus. (Silva, 2010)

9

de três com os dados da figura 5. É

necessário descobrir a corrente

máxima (Imax) no potenciômetro para se

determinar o valor das tensões para os

ângulos desejados, para isso é

empregado a primeira lei Ohm, onde V

é a tensão de alimentação e R sua

resistência, assim:

𝐼𝐼𝑐𝑐𝑎𝑎𝑥𝑥 =𝑉𝑉𝑅𝑅

(13)

Empregando a primeira lei de

Ohm novamente, pode-se encontrar as

tensões para os ângulos almejados:

𝑉𝑉125° = 𝑅𝑅125°𝐼𝐼𝑐𝑐𝑎𝑎𝑥𝑥

𝑉𝑉140° = 𝑅𝑅140°𝐼𝐼𝑐𝑐𝑎𝑎𝑥𝑥

𝑉𝑉110° = 𝑅𝑅110°𝐼𝐼𝑐𝑐𝑎𝑎𝑥𝑥

(14.1)

(14.2)

(14.3)

Tendo:

• 𝑉𝑉125° = Tensão para o motor em

equilíbrio;

• 𝑉𝑉140° = Tensão para o motor a

140° ou + 15°;

• 𝑉𝑉110° = Tensão para o motor a

110° ou – 15°;

• 𝑅𝑅125° = Resistência para o

potenciômetro a 125°;

• 𝑅𝑅140° = Resistência para o

potenciômetro a 140°;

• 𝑅𝑅110° = Resistência para o

potenciômetro a 110°;

Agora é possível descobrir o

ganho do amplificador para a esfera em

equilíbrio e quando ela estiver se

movendo ao longo da barra. Isolando

Vin na Eq. (12), teremos:

𝑑𝑑𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑑𝑑) = 𝐾𝐾𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑉𝑉𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝 − 𝑉𝑉𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟

𝑑𝑑𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑑𝑑) = 𝐾𝐾𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑒𝑒(𝑑𝑑)

(15)

Uma vez que a armadura conduz

a corrente que está girando em um

campo magnético, sua tensão é

proporcional a velocidade (NISE,

2012), logo:

𝑑𝑑𝑐𝑐𝑟𝑟(𝑑𝑑) = 𝐾𝐾𝑐𝑐𝑟𝑟𝑑𝑑∅𝑐𝑐(𝑑𝑑)𝑑𝑑𝑑𝑑

(16)

A variável vce(t) significa força

contraeletromotriz (fcem), Kce (V.s/rad)

é uma constante de força

contraeletromotriz, denominada de

constante da fcem e a velocidade

angular do motor pode ser descrita pela

derivada da posição, dado por d∅m(t)/

dt = ωm(t). Aplicando a transformada

de Laplace a Eq. (16):

𝑉𝑉𝑐𝑐𝑟𝑟(𝑠𝑠) = 𝐾𝐾𝑐𝑐𝑟𝑟∅𝑐(𝑠𝑠) (17)

10

Empregando a lei de tensão de

Kirchhoff ao circuito elétrico da Figura

1.2 do apêndice 1, é possível relacionar

a corrente da armadura ia(t), tensão de

entrada vin(t) e a força

contraeletromotriz vce(t), utilizando a

transformada de Laplace para essa

relação, temos:

𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑠𝑠) = 𝑅𝑅𝑎𝑎𝐼𝐼𝑎𝑎(𝑠𝑠) + 𝐿𝐿𝑎𝑎𝑠𝑠𝐼𝐼𝑎𝑎(𝑠𝑠)

+ 𝑉𝑉𝑐𝑐𝑟𝑟 (18)

Fazendo a função de

transferência na Eq. (15) e

substituindo-a na Eq. (18), obtemos:

𝐾𝐾𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝐸𝐸(𝑠𝑠) = 𝑅𝑅𝑎𝑎𝐼𝐼𝑎𝑎(𝑠𝑠)

+ 𝐿𝐿𝑎𝑎𝑠𝑠𝐼𝐼𝑎𝑎(𝑠𝑠) + 𝑉𝑉𝑐𝑐𝑟𝑟 (19)

Quando existe um erro, o motor

desenvolve um torque para girar a

carga de saída reduzindo-o a zero.

Para corrente de campo constante, o

torque desenvolvido pelo motor é

proporcional a corrente da armadura

(OGATA, 1997), com isso:

𝑇𝑇𝑐𝑐(𝑠𝑠) = 𝐾𝐾𝑝𝑝𝐼𝐼𝑎𝑎(𝑠𝑠) (20)

Assumimos que Tm(s) torque

gerado pelo motor, sendo Kt (N.m/A)

uma constante de proporcionalidade,

chamada de constante de torque do

motor.

O motor contém um trem de

engrenagens, que oferece vantagens

aos sistemas rotacionais. Em muitas

aplicações, as engrenagens

apresentam folgas, por girarem de um

pequeno ângulo antes de entrar em

contato umas com as outras (NISE,

2012). Nesse caso específico,

idealizou-se o comportamento das

engrenagens, admitindo que não haja

folgas e sejam sem perdas, ou seja,

não absorvem e nem armazenam

energia.

Podemos refletir Tm(s) em um

torque de saída Tl(s), multiplicando-o

pelo trem de engrenagens, assim:

𝑅𝑅2𝑅𝑅1𝑇𝑇𝑐𝑐(𝑠𝑠) = 𝐽𝐽𝑟𝑟𝑒𝑒𝑠𝑠2 + 𝐷𝐷𝑟𝑟𝑒𝑒𝑠𝑠∅𝑙𝑙 (𝑠𝑠)

𝑇𝑇𝑐𝑐(𝑠𝑠) = 𝑇𝑇𝑙𝑙(𝑠𝑠)

=(𝐽𝐽𝑟𝑟𝑒𝑒𝑠𝑠2 + 𝐷𝐷𝑟𝑟𝑒𝑒𝑠𝑠)∅𝑙𝑙 (𝑠𝑠)

𝑅𝑅2𝑅𝑅1

(21)

Na qual ∅l (s) representa a

velocidade angular da carga de saída,

Jeq é a inércia da combinação do motor,

carga e trem de engrenagens referente

ao eixo do motor e Deq o coeficiente de

atrito viscoso da combinação motor,

11

carga e trem de engrenagens referente

ao eixo do motor (OGATA, 1997).

Segundo (NISE, 2012), pode-se

afirmar que R1 é o raio da primeira

engrenagem e R2 o raio da segunda

engrenagem. Substituindo essa razão

por uma constante Keng, obteremos:

𝑇𝑇𝑙𝑙(𝑠𝑠) =𝐽𝐽𝑟𝑟𝑒𝑒𝑠𝑠2 + 𝐷𝐷𝑟𝑟𝑒𝑒𝑠𝑠∅𝑙𝑙 (𝑠𝑠)

𝐾𝐾𝑟𝑟𝑖𝑖𝑒𝑒 (22)

Isolando Ia(s) na Eq. (20) e

substituindo a Eq. (22) nela, conclui:

𝐼𝐼𝑎𝑎(𝑠𝑠) = 𝑇𝑇𝑐𝑐(𝑠𝑠)𝐾𝐾𝑝𝑝

𝐼𝐼𝑎𝑎(𝑠𝑠) = 𝐽𝐽𝑟𝑟𝑒𝑒𝑠𝑠2 + 𝐷𝐷𝑟𝑟𝑒𝑒𝑠𝑠∅𝑙𝑙 (𝑠𝑠)

𝐾𝐾𝑝𝑝𝐾𝐾𝑟𝑟𝑖𝑖𝑒𝑒

(23)

A relação entre o raio e o

deslocamento angular das

engrenagens, são inversamente

proporcionais:

∅𝑐∅𝑙𝑙

= 𝑅𝑅2𝑅𝑅1

∅𝑐(𝑠𝑠) = 𝐾𝐾𝑟𝑟𝑖𝑖𝑒𝑒∅𝑙𝑙 (𝑠𝑠)

(24)

Substituindo a Eq. (24) na Eq.

(17), tem-se:

𝑉𝑉𝑐𝑐𝑟𝑟(𝑠𝑠) = 𝐾𝐾𝑟𝑟𝑖𝑖𝑒𝑒𝐾𝐾𝑐𝑐𝑟𝑟𝑠𝑠∅𝑙𝑙(𝑠𝑠) (25)

Segundo (NISE, 2012), em um

conjunto consistente de unidade, o

valor de Kce= Kt, utilizando essa

relação e substituindo a Eq. (23) e a Eq.

(225) na Eq. (19), obtêm-se:

𝐾𝐾𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝐸𝐸(𝑠𝑠)

=(𝑅𝑅𝑎𝑎 + 𝐿𝐿𝑎𝑎𝑠𝑠)(𝐽𝐽𝑟𝑟𝑒𝑒𝑠𝑠2 + 𝐷𝐷𝑟𝑟𝑒𝑒𝑠𝑠)𝑠𝑠∅𝑙𝑙(𝑠𝑠)

𝐾𝐾𝑝𝑝𝐾𝐾𝑟𝑟𝑖𝑖𝑒𝑒

+ 𝐾𝐾𝑝𝑝𝐾𝐾𝑟𝑟𝑖𝑖𝑒𝑒𝑠𝑠∅𝑙𝑙(𝑠𝑠)

(26)

Para simplificar a Eq. (26),

admitimos que a indutância, La, é

pequena comparada a sua resistência,

Ra, o que é usual para motor CC (NISE,

2012), com isso a função de

transferência entre o deslocamento

angular do eixo do motor e o sinal de

erro, pode ser dado pela Eq. (27):

∅𝑙𝑙(𝑠𝑠)𝐸𝐸(𝑠𝑠)

= 𝐾𝐾𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝐾𝐾𝑝𝑝𝐾𝐾𝑟𝑟𝑖𝑖𝑒𝑒

𝑠𝑠𝑅𝑅𝑎𝑎𝐽𝐽𝑟𝑟𝑒𝑒𝑠𝑠 + 𝐷𝐷𝑟𝑟𝑒𝑒 + (𝐾𝐾𝑝𝑝𝐾𝐾𝑟𝑟𝑖𝑖𝑒𝑒)²

∅𝑙𝑙(𝑠𝑠)𝐸𝐸(𝑠𝑠)

=

𝐾𝐾𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝐾𝐾𝑝𝑝𝐾𝐾𝑟𝑟𝑖𝑖𝑒𝑒𝑅𝑅𝑎𝑎 𝐽𝐽𝑟𝑟𝑒𝑒

𝑠𝑠2 + 𝑠𝑠 𝐷𝐷𝑟𝑟𝑒𝑒𝐽𝐽𝑟𝑟𝑒𝑒

+ (𝐾𝐾𝑝𝑝𝐾𝐾𝑟𝑟𝑖𝑖𝑒𝑒)²𝑅𝑅𝑎𝑎 𝐽𝐽𝑟𝑟𝑒𝑒

∅𝑙𝑙(𝑠𝑠)𝐸𝐸(𝑠𝑠)

=𝐾𝐾

(𝑠𝑠2 + 𝐷𝐷𝑠𝑠)

(27)

12

Com a Eq. (27), obtemos novos

parâmetro, onde K= KampKtKeng RaJeq⁄

e D= Deq Jeq⁄ + KtKeng² RaJeq .

4 RESULTADOS

Para a elaboração dos gráficos e

desenvolvimento de algumas contas,

foi utilizado o software matemático

Matlab®.

Para calcular a modelagem da

bola sobre a barra, é considerado a

aceleração da gravidade como sendo

g=9.81 m s2⁄ , substituindo esse valor na

Eq. (11):

𝑑𝑑(𝑠𝑠)∅(𝑠𝑠)

=57𝑚𝑚

1𝑠𝑠²

𝑑𝑑(𝑠𝑠)∅(𝑠𝑠)

= 71𝑠𝑠²

(28)

O potenciômetro linear é de

100kΩ e cursor de 250°, em seu centro

ele tem uma resistência de 50kΩ para

um ângulo de 125° como mostrado na

figura 5, aplicando-se uma simples

regra de três encontrasse a resistência

de 56KΩ para 140° e 44KΩ para 110°.

Para determinar as tensões em seus

respectivos ângulos é necessário achar

a corrente que passa pelo

potenciômetro, adotando V = 5V,

R = 100x103Ω e substituindo esses

valores na Eq. (13) temos Imax = 50µA.

Substituindo os valores das

resistências e Imax nas Eq. (14.1), (14.2)

e (14.3) obtemos:

𝑉𝑉125° = 𝑅𝑅125°𝐼𝐼𝑐𝑐𝑎𝑎𝑥𝑥 = 2.5𝑉𝑉

𝑉𝑉140° = 𝑅𝑅140°𝐼𝐼𝑐𝑐𝑎𝑎𝑥𝑥 = 2.8𝑉𝑉

𝑉𝑉110° = 𝑅𝑅110°𝐼𝐼𝑐𝑐𝑎𝑎𝑥𝑥10−6 = 2.2𝑉𝑉

(29.1)

(29.2)

(29.3)

Para o sistema elétrico do

motor, “foi utilizado um multímetro para

a medição dos seguintes parâmetros:

Vin = 4.98V, Ra = 2.89Ω e Ia = 0.258A”

(PALLONE, 2013).

Tomando Vref = 2.5V, trocando

Vin e os resultados das Eq. (29.1),

(29.2) e (29.3) na Eq. (12),

encontramos os ganhos do

amplificador como: Kamp = 0,

Kamp = 16.66 e Kamp = -16.66.

Adotamos o Kamp em módulo, e

ganho zero para o circuito em

equilíbrio. Substituindo os parâmetros

elétrico do motor na Eq. (18), obtemos

o valor de Vce = 4.23V.

O valor de Kce foi obtido através

da medição da rotação no eixo do motor

CC, medido por um tacômetro. Sendo

Kce=7.34x10-3 V.s rad⁄ (PALLONE,

2013).

13

Trocando seus respectivos

valores na Eq. (17), temos

∅m=576.29 𝑟𝑟𝑚𝑚𝑑𝑑 𝑠𝑠⁄ .

O torque do motor é descoberto

substituindo os valores de Kt e Ia na Eq.

(20), lembrando que para valores

consistentes de unidade, Kt=Kce, assim

Tm=1.894x10-3𝑁𝑁.𝑚𝑚.

Para determinar o valor de Keng

foi utilizado um paquímetro para obter a

relação de raio das nove engrenagens,

que compõe a caixa de redução do

servo motor MG995, com isso

determinou-se que Keng=0.019

(PALLONE, 2013).

Para o torque de saída, foi

considerado Jeq = 5x10-5Kg.m e Deq=0,

assim Tl = 0.1 N.m (PALLONE, 2013).

Substituindo os parâmetros na

Eq. (27), encontramos a função de

transferência do servo motor:

∅𝑙𝑙(𝑠𝑠)𝐸𝐸(𝑠𝑠)

=16.079

𝑠𝑠2 + 0.000135𝑠𝑠 (30)

Com a definição da função de

transferência do motor, pode-se

calcular os parâmetros do controlador,

alusivo ao laço interno da figura 1.1 do

apêndice 1.

As raízes dos polos da função de

transferência da Eq. (30) são: S1 = 0 e

S2 = 0.000135. A partir do lugar

geométrico das raízes (LGR) mostrado

na figura 2.1 do apêndice 2, podemos

observar que ele se encontra muito

próximo a origem e paralelo ao eixo

imaginário.

Como o sistema é de segunda

ordem, não é possível aplicar uma

compensação integral ideal (PI), a qual

utiliza um integrador puro, adicionando

um polo na origem aumentando o tipo

do sistema, o que não é interessante

para o este caso. Porém, para melhorar

esse projeto uma compensação

derivativa ideal (PD) será acrescentada

adicionando um zero do compensador

(Zc), que pode ser representado por

(s + Zc), afim de deslocar o lugar

geométrico das raízes para a esquerda

afastando ele do eixo imaginário (NISE,

2012).

Para calcular os polos

dominantes do sistema de segunda

ordem em malha fechada, adotaremos

um tempo de acomodação (Ts) igual a

1.5s e uma ultrapassagem percentual

(%UP) de 2%.

A Eq. (31) será utilizada para

calcular o polo no eixo real (σ), assim:

𝑇𝑇𝑠𝑠 =4𝜎𝜎 (31)

14

Substituindo os valores na Eq.

(31), encontramos um σ = 2.667 rad s⁄ .

Para encontrar a parte imaginária (Wd),

é necessário encontrar o fator de

amortecimento (ζ) a partir da Eq. (32):

𝜁𝜁 = ln %𝑈𝑈𝑎𝑎 100⁄ ²

𝜋𝜋2 + ln %𝑈𝑈𝑎𝑎 100⁄ ² (32)

Substituindo a ultrapassagem

percentual na Eq. (32), temos um

ζ=0.78.

Aplicando-se trigonometria a

figura 6 concluímos que o

Wd = 2.14 rad s⁄ , deste modo é

determinado os polos dominantes:

S1,2 = -2.667 ± 2.14j, como eles não

estão sobre o lugar geométrico das

raízes é necessário ajustar a Eq. (30)

para que essas novas raízes sejam

compensadas e passem pela posição

escolhida em malha fechada (NISE,

2012).

Observando a figura 7 é possível

projetar o zero do compensador a partir

da Eq. (33), onde ∑ϕ representa o

somatório de todos os zeros e ∑ θ é o

somatório de todos os polos

compensados.

𝜙𝜙−𝜃𝜃 = (2𝑘𝑘 + 1)180° (33)

Analisando a figura 7, obtemos:

θ1 = 38.74° e θ2 = 38.74°. Trocando

esses valores nos polos da Eq. (33),

temos: ϕ1 = 102.52°. Aplicando

Pitágoras na figura 7 para o triângulo

retângulo (σZcWd), encontramos

Zc = 2.192.

Utilizando o Matlab foi gerado o

ganho K = 0.732 para os polos

dominantes, multiplicando-o na Eq.

(30), realimentando o sistema e em

seguida acrescentando o ganho,

chegasse a Eq. (34) para o sistema

compensado.

Figura 6 - Relação do eixo imaginário com o real

Figura 7 - Lugar geométrico das raízes

15

∅𝑙𝑙(𝑠𝑠)𝐸𝐸(𝑠𝑠)

=11.77(𝑠𝑠 + 2.192)

𝑠𝑠2 + 0.000135𝑠𝑠 + 11.77 (34)

Com isso o resultado para o

sistema PD do laço interno é dado por:

(11.77s + 25.78), onde Kp = 11.77 e

Kd = 25.78. A figura 2.2 no apêndice 2

representa o lugar geométrico das

raízes da Eq. (34) compensada.

A figura 8, representa uma

resposta para entrada em impulso,

referente a Eq. (34).

Para calcular o PID, laço externo

da figura 1.1 do apêndice 1, é

necessário multiplicarmos a Eq. (34)

pela Eq. (28), gerando uma função de

transferência em malha aberta.

𝐹𝐹(𝑠𝑠) =82.39(𝑠𝑠 + 2.192)

𝑠𝑠4 + 0.000135𝑠𝑠3 + 11.77𝑠𝑠² (35)

A figura 9, representa o lugar

geométrico das raízes para a Eq. (35).

Observando a figura 9, é

possível analisar que o sistema tem

dois polos na origem que arrastam o

lugar geométrico das raízes para o

semiplano da direita (SPD), o que torna

ele instável, isso ocorre, devido a

multiplicação do denominador por s² da

Eq. (28). Para que o sistema se torne

estável é imprescindível adicionar

zeros ao sistema para compensa-lo,

mas isso se torna inviável por que o

denominador é um sistema de quarta

ordem, portanto é difícil obter um

controle PID.

Em um sistema de controle com

realimentação típica, a variável de

saída é enviada novamente para a

junção somadora. Para espaço de

estado isso muda, por que todas as

variáveis de estado são realimentadas

através de um ganho Ki, com isso

existirá vários ganhos que podem ser

acertados para produzir os polos

Figura 8 - Resposta ao impulso

Figura 9 - Lugar geométrico das raízes (PID)

16

desejados em malha fechada (NISE,

2012), como mostrado na figura 10.

Portanto, para que seja possível

realizar o controle de todos os polos e

tornar o sistema estável, foi aplicada as

equações de espaço de estado do

sistema em malha fechada mostradas

nas Eq. (36.1) e (36.2) utilizando

alocação de polos para plantas na

forma de variáveis de fase.

𝒙 = 𝑨𝑨𝒙𝒙 + 𝑩𝑩𝑢𝑢 = (𝑨𝑨 −𝑩𝑩𝑩𝑩)𝒙𝒙+ 𝑩𝑩𝑟𝑟

𝑦𝑦 = 𝑪𝑪𝒙𝒙

(36.1)

(36.2)

Deste modo, a função de

transferência da Eq. (35), foi

transformada em uma matriz de espaço

de estado na forma direta,

representada pela Eq. (3.1) e (3.2) do

apêndice 3.

Acrescentando os ganhos

K=[K1 K2 K3 K4] para a relação

(A - BK) do sistema em malha fechada,

encontramos a forma de variável de

fase, Eq. (3.3) contida no apêndice 3.

Agora é necessário obter a

equação característica do sistema em

malha fechada, representada no

apêndice 3 como Eq. (3.4).

Para encontrar os valores de K é

imprescindível descobrir seus valores

de polo em malha fechada. Adotando

um Ts = 3s e %UP = 4%, e aplicando as

Eq. (31) e (33), obtém-se

S1,2=-1.33 ± 1.299, porém é um

sistema de quarta ordem, então é

necessário determinar o terceiro e

quarto polo. Para esse método, é

possível escolher os outros dois polos

em malha fechada, então determinou-

se que o terceiro polo será 5xReS1,2,

obtendo s3=-6.665 e o quero polo

20xReS1,2, obtendo s4=-26.66.

Multiplicando os polos encontrados,

chegasse em uma equação

característica desejada:

s4 + 35.991s3 + 269.9977s2 +

589.1664s + 615.5677 (37)

Comparando a Eq. (37) com a

Eq. (3.4) do apêndice 3 é obtido os

valores de K, com isso: K1 = 615.568,

K2 = 589.166, K3 = 258.228 e

K4 = 35.991. Logo, a matriz de controle

em malha fechada é expressa pela Eq.

(3.5) e (3.6) do apêndice 3, através

dessa matriz de controle em malha

Figura 10 - processo com realimentação das variáveis de estado (NISE, 2012)

17

fechada, encontrasse a função de

transferência do sistema bola e barra

expressa pela Eq. (3.7) no apêndice 3.

Aplicando-se uma um impulso a

Eq. (3.7), temos uma resposta

mostrada pela figura 11.

Com isso podemos concluir que

o controle do sistema no espaço de

estado se encontra estável, com um

tempo de resposta aceitável para os

polos que foram definidos, além de

possuir uma resposta transiente rápida,

aproximadamente 4s.

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Este trabalho foi elaborado por

meio de pesquisas bibliográficas

alicerçados em autores que deram

suporte teórico, para a elaboração da

modelagem matemática da planta.

Com base no que foi proposto,

concluiu-se que o controlador PID para

o sistema bola e barra não é viável,

demonstrado pelo lugar geométrico das

raízes da figura 9 referente a Equação

(35), no entanto o método de espaço de

estados por alocação de polos na forma

de variáveis de fase mostrou-se

apropriado para o sistema proposto

tornando-o estável, como pode-se

observar pela figura 11. O controlador

PD aplicado ao servomotor se adequou

perfeitamente e foi essencial para dar

continuidade ao projeto.

Infelizmente não foi possível

montar o sistema, mas futuramente

pretende-se desenvolver o protótipo

para compara-lo com um mesmo

modelo que será elaborado

virtualmente, mostrando se há

diferenças significativas entre eles.

6 REFERÊNCIAS BIBIOGRÁFICAS

ALYSON F. SCHVAREZ, I. S. D. CBA, SOROCABA - SP, 2010. Disponivel em: <http://www.eletrica.ufpr.br/anais/cba/2010/Artigos/66818_1.pdf>. Acesso em: 02 abr. 2014.

DORF, R. C.; BISHOP, R. H. Sistema de Controle modernos. 8ª. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1998.

FAVARETTO, C. F. et al. Controle de um sistema Bola- Barra com realimentação através de imagem. National Instruments. Disponivel em: <http://sine.ni.com/cs/app/doc/p/id/cs-11222>. Acesso em: 20 Março 2014.

Figura 11 - Resposta da Eq. (48) ao impulso

18

LOBATO, F. G. D. S.; CALDAS, F. V.; NETO, M. C. Núcleo de Tecnologias Interativas de Aprendizagem. NUTEIA. Disponivel em: <http://www3.iesam-pa.edu.br/ojs/index.php/controle_auto/article/viewFile/941/628>. Acesso em: 18 Março 2014.

NATIONAL INSTRUMENTS. Explicando a Teoria PID. National Instruments, 13 dez. 2011. Disponivel em: <http://www.ni.com/white-paper/3782/pt/>. Acesso em: 23 abr. 2014.

NISE, N. S. ENGENHARIA DE SISTEMA DE CONTROLE. Rio de Janeiro: LTC, 2012.

OGATA, K. ENGENHARIA DE CONTROLE MODERNO. 3ª. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1997.

OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 3ª. ed. [S.l.]: LTC, 1997.

PALLONE, M. F. MODELAGEM E CONTROLE PID DO SISTEMA "BALL AND BEAM". Maringá. 2013.

RAHMAT, M. F.; WAHID, H.; WAHAB, N. A. APPLICATION OF INTELLIGENT CONTROLLER INA BALL. [S.l.]: [s.n.], v. 3, 2010.

SCHVARCZ, A. F.; DINIZ, I. S. MODELAGEM, SIMULAÇÃO E CONTROLE DE UM SISTEMA BARRA E BOLA AUXILIADO POR COMPUTADOR: CAD E CAE. UFPR, Bonito, 16 Setembro 2010. Disponivel em:

<http://www.eletrica.ufpr.br/anais/cba/2010/Artigos/66818_1.pdf>. Acesso em: 25 abr. 2014.

TIPLER; MOSCA. Física 1 Mecânica, Oscilções e Ondas Termodinâmicas. 5ª. ed. Rio de Janeiro: LTC, v. 1, 2006.

YOUNG; FREEDMAN. Física 1 Mecânica. 10ª. ed. São Paulo: Pearson, 2003.

ZAVALA, S. J.; YU, W.; LI, X. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. NTNU, Seul, 06 Julho 2008. Disponivel em: <http://www.nt.ntnu.no/users/skoge/prost/proceedings/ifac2008/data/papers/1624.pdf>. Acesso em: 28 Junho 2014.

19

APÊNDICE 1 – FIGURAS

Legenda para o diagrama do controlador PID em série:

• R(s)= Setpoint ou valor desejado para a posição da esfera sobre a barra;

• Y(s)= Posição real da esfera sobre a barra;

• epb= Sinal de erro da posição da esfera;

• e∅= Sinal de erro do ângulo da barra;

• ∅ref(s)= Ângulo de referência gerado pelo controlador da posição;

• ∅l(s)= Ângulo real da barra;

• Vin(s)= Tensão de entrada no motor;

Figura 1.1 - Diagrama de blocos do controlador PID em série

Figura 1.2 - Representação do servossistema

20

APÊNDICE 2 - GRÁFICOS

Figura 2.1 -Lugar geométrico das raízes para um sistema não compensado

Figura 2.2 - Lugar geométrico das raízes para o sistema compensado

21

APÊNDICE 3 – FÓRMULAS

𝑑 =

⎣⎢⎢⎢⎡

000135.077.1100100001000010

−− ⎦⎥⎥⎥⎤

𝐴𝐴

𝑑𝑑 +

⎣⎢⎢⎢⎡

1000

⎦⎥⎥⎥⎤

𝑟𝑟

𝐵𝐵

𝒀𝒀 = 0039.826.180 𝑪𝑪

𝒙𝒙

(3.1)

(3.2)

Equações 3.1 e 3.2 - Representação no espaço de estado para a equação 35

(𝑨𝑨 − 𝑩𝑩𝑩𝑩) =

000−𝐾𝐾1

100

−𝐾𝐾2

010

−11.77

001

−0.000135 − 𝐾𝐾4

(3.3)

Equação 3.3 - Matriz na forma de variável de fase

𝑑𝑑𝑒𝑒𝑑𝑑𝑠𝑠𝑰𝑰 − (𝑨𝑨 − 𝑩𝑩𝑩𝑩) = 𝑠𝑠4 + 𝑠𝑠3(𝐾𝐾4 + 0.000135) + 𝑠𝑠2(𝐾𝐾3 + 11.77) + 𝑠𝑠𝐾𝐾2 + 𝐾𝐾1 (3.4)

Equação 3.4 - Equação característica do sistema em malha fechada

𝑑 =

⎣⎢⎢⎢⎡

991.35228.258166.589558.615100001000010

−−−− ⎦⎥⎥⎥⎤

𝑑𝑑 + 𝑦𝑦

𝒀𝒀 = 0039.826.180 𝒙𝒙

(3.5)

(3.6)

Equação 3.5 e 3.6 - Matriz de controle em malha fechada

𝑇𝑇(𝑠𝑠) =82.39𝑠𝑠 + 180.6

𝑠𝑠4 + 35.991𝑠𝑠3 + 258.228𝑠𝑠2 + 589.166𝑠𝑠 + 615.558 (3.7)

Equação 3.7 - Função de transferência para o sistema bola e barra