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Revista Científica Interdisciplinar - Instituto Federal do Paraná - IFPR Paranaguá, v3, n. 1. janeiro, 2018
RESUMO
Este artigo faz parte de um projeto de pesquisa do Programa Institucional de Bolsas de
Iniciação Científica (PIBIC), e tem como objetivo apresentar a descrição de um modelo
epidemiológico simples, o modelo SIR (Suscetíveis, Infectados e Removidos). Esse modelo é
composto por um conjunto de três equações diferenciais e simula a propagação de doenças
contagiosas. Originalmente o modelo SIR foi desenvolvido para explicar o aumento do
número de casos registrados durante a epidemia de peste bubônica ocorrida na Índia em
meados de 1905. Atualmente esse modelo e suas variações são utilizados para descrever a
propagação de doenças como por exemplo: gripe, dengue e a AIDS. Neste trabalho é feita
uma análise qualitativa do modelo SIR, com objetivo de fazer previsões sobre a ocorrência ou
não de uma epidemia numa população. Através desta análise foi possível identificar o impacto
da disseminação da doença e também estimar o número de pessoas que devem ser vacinadas
para evitar que uma epidemia aconteça.
Palavras-chave: Epidemiologia. Propagação de doenças. Modelo SIR. Equações diferenciais.
MODELAGEM MATEMÁTICA APLICADA
À SISTEMAS DINÂMICOS
EPIDEMIOLÓGICOS: O MODELO SIR
Isabeli Raiany de Miranda Silva¹, Jane Rosa¹
¹,²Instituto Federal do Paraná – Campus Paranaguá
¹e-mail: [email protected]
²e-mail: [email protected]
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1 INTRODUÇÃO
Epidemiologia é o estudo de padrões de saúde/doença e fatores associados, relativos às
populações humanas (MARTCHEVA, 2015, p. 01). Um dos objetivos da epidemiologia é o
estudo das doenças infecciosas, como por exemplo: doenças respiratórias como a pneumonia
e a AIDS (Síndrome da Imunodeficiência Adquirida).
Uma doença infecciosa é causada por um agente microbiano patológico, como por
exemplo, bactérias, fungos, parasitas, vírus, e pode ser transmissível ou não. No que diz
respeito ao meio de transmissão, as doenças infecciosas são classificadas da seguinte forma
(MARTCHEVA, 2015):
Doenças transmissíveis de pessoa para pessoa: são aquelas doenças que
precisam de contato direto ou indireto para serem transmitidas. O contato
direto inclui o toque, ou ainda contato sexual. Entre as doenças transmissíveis
por contato direto, incluem-se a AIDS, sífilis, gonorreia, entre outras. O
contato indireto pode ocorrer através da troca de um objeto infectado, sangue,
ou outros fluidos corporais. A influenza, popularmente conhecida como gripe,
é um exemplo de doença que pode ser transmitida por contato indireto.
Doenças transmitidas pelo ar: ocorrem quando há inalação de ar infectado.
Entre as doenças transmitidas pelo ar, incluem-se a influenza, tuberculose,
varíola, entre outras.
Doenças transmitidas através de água ou de alimentos: são transmitidas
através da ingestão de água ou comida contaminada. A cólera é um exemplo de
doença transmitida através da água, enquanto a salmonela é um exemplo de
doença transmitida pelo consumo de alimentos.
Doenças transmitidas por vetores: são as doenças transmitidas por um
artrópode, como o mosquito ou o carrapato, tais como a malária e a dengue.
Transmissão vertical: ocorre quando uma doença é transmitida através da
placenta, de uma mãe para o filho, antes do nascimento. Exemplos de tais
doenças são o HIV, sífilis, rubéola e a hepatite B.
No Brasil, todos os anos a Secretaria de Vigilância em Saúde registra um grande
número de pessoas infectadas pela influenza e outros vírus respiratórios: no ano de 2016,
entre as amostras com resultados positivos para vírus respiratórios, cerca de 72% mostraram
resultado positivo para influenza e aproximadamente 28% para outros vírus respiratórios. As
regiões Sul e Sudeste do país apresentam as maiores quantidades de amostras positivas, com
maior incidência da influenza A (H1N1) e influenza B. A Secretaria de Vigilância em Saúde
conta com uma rede de unidades sentinelas distribuídas em todas as regiões geográficas do
Brasil. A vigilância sentinela tem como objetivo identificar os vírus respiratórios circulantes,
além de permitir o monitoramento da demanda de atendimento para essas doenças
(MINISTÉRIO DA SAÚDE, 2016).
O acompanhamento dos números de novos casos associados às doenças infecciosas
transmissíveis é uma preocupação contínua dos órgãos governamentais das cidades, estados e
países. Esse monitoramento é importante para prever o risco de epidemias, bem como planejar
as estratégias de controle dessas doenças nas populações. Neste contexto, as pesquisas que
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utilizam modelos matemáticos podem contribuir com as investigações na área da
epidemiologia.
Um modelo matemático é a descrição de um sistema, utilizando linguagem e
ferramentas matemáticas. No caso das doenças infecciosas, utilizam-se modelos matemáticos
para descrever sua propagação em uma determinada população. Com isso, busca-se explicar o
comportamento da doença, estudar seus efeitos, além de fazer previsões sobre os impactos da
disseminação e as formas de controle da doença (MURRAY, 2002). Modelos
epidemiológicos possibilitam simular uma série de padrões de saúde/doença. O estudo desses
modelos tem como objetivo caracterizar os processos de infecção, cura e morte, bem como
elaborar estratégias para exterminar, ou pelo menos controlar a proliferação do agente
patológico (SCHIMIT, 2010, p. 09).
O processo de modelagem requer uma tradução de uma situação biológica para um
problema matemático. Para transformar essa situação biológica em equações matemáticas, é
necessário ter um objetivo específico. O modelo deve incorporar somente as características
que são relevantes para este objetivo específico. Assim que formulado, o modelo pode ser
investigado através de uma série de ferramentas matemáticas.
Os modelos matemáticos aplicados à epidemiologia podem ser úteis para fornecer
estimativas sobre as formas mais eficazes de controle. Como por exemplo, estimar o nível de
vacinação necessário para erradicar uma determinada doença contagiosa, como o sarampo
(MONTEIRO, 2009, p. 478).
Nesse sentido, a modelagem matemática de doenças infecciosas é uma ferramenta
importante, pois além de fornecer informações para a compreensão das mesmas, pode auxiliar
na escolha das estratégias de controle mais apropriadas para cada situação. Assim, o objetivo
deste trabalho é apresentar uma descrição qualitativa de um dos primeiros modelos
epidemiológicos proposto para estudar a disseminação de uma doença em uma população, o
qual é conhecido como modelo SIR.
Este trabalho faz parte de um projeto de pesquisa que está sendo desenvolvido com o
apoio do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação Científica (PIBIC) do IFPR. O
objetivo do projeto é utilizar modelos matemáticos para o estudo de sistemas
epidemiológicos.
2 O MODELO SIR
O modelo SIR foi originalmente proposto por Kermack e McKendrick (1927) para
explicar matematicamente o rápido crescimento e a queda súbita do número de pacientes
infectados pela peste bubônica, durante a epidemia ocorrida na Índia, entre 1905 e 1906.
Atualmente esse modelo e suas inúmeras variações têm sido utilizados para outras finalidades,
como por exemplo, para o estudo da disseminação de doenças como a AIDS (MURRAY,
2002) e a dengue (YANG, 2003).
Neste modelo, a população é dividida em três classes: 1ª) a classe de indivíduos
saudáveis, mas que podem contrair a doença através de contato com infectados, estes são
chamados de suscetíveis (𝑆); 2ª) a classe de indivíduos que contraíram a doença, chamados de
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indivíduos infectados (𝐼); 3ª) a classe de indivíduos removidos (𝑅), que morreram ou se
recuperaram e não podem contrair a doença novamente. Portanto, a cura de um indivíduo
confere a imunidade. Esse é um modelo do tipo compartimentado, pois cada letra (S, I e R) se
refere a uma das classes ou compartimentos. Cada indivíduo pode estar inserido em apenas
uma das classes, mas pode se mover de uma para a outra no decorrer do tempo. Uma
representação esquemática do modelo SIR é descrita pelo fluxograma mostrado na Fig. 1.
Neste esquema, as flechas indicam a direção do movimento dos indivíduos entre as classes
(MARTCHEVA, 2015).
Figura 1. Fluxograma do modelo SIR. As letras 𝑎 e 𝑏 que rotulam cada seta representam as
taxas de transição entre as classes.
Fonte: Os autores.
Os números de indivíduos (ou densidades) em cada uma dessas classes mudam com o
tempo, ou seja, 𝑆(𝑡), 𝐼(𝑡) e 𝑅(𝑡) são funções do tempo 𝑡; e a taxa de variação temporal de
cada classe é expressa pelas equações (MARTCHEVA, 2015, p. 11):
𝑑𝑆
𝑑𝑡 = −𝑎𝑆𝐼, (1)
𝑑𝐼
𝑑𝑡= 𝑎𝑆𝐼 − 𝑏𝐼, (2)
𝑑𝑅
𝑑𝑡= 𝑏𝐼 (3)
Nas equações acima, 𝑑𝑆/𝑑𝑡 representa a taxa de variação do número de suscetíveis ao
longo do tempo, 𝑑𝐼/𝑑𝑡 é a taxa de variação dos infectados ao longo do tempo, enquanto
𝑑𝑅/𝑑𝑡 é a taxa de variação dos indivíduos removidos ao longo do tempo. As constantes
positivas 𝑎 e 𝑏 caracterizam a interação entre o agente infeccioso e a população (MURRAY,
2002).
Na descrição desse modelo, assume-se que (MONTEIRO, 2011):
O número de infectados aumenta segundo uma taxa que é proporcional ao
produto entre o número de infectados e o de suscetíveis, que é 𝑎𝑆𝐼, sendo que
os suscetíveis diminuem a essa mesma taxa;
A taxa de passagem dos infectados para a classe dos removidos é proporcional
ao número de infectados, ou seja, 𝑏𝐼;
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O período de incubação é desprezível, de modo que um suscetível que contrai a
doença torna-se imediatamente infectado;
As três classes estão uniformemente distribuídas pelo espaço. Portanto, as
taxas de encontro não dependem da localização geográfica.
Além disso, considera-se que o tamanho total da população 𝑁 é constante, e que os
indivíduos infectados também podem transmitir a doença (MURRAY, 2002). Portanto, o
tamanho total da população 𝑁 é a soma dos tamanhos das três classes:
𝑁 = 𝑆(𝑡) + 𝐼(𝑡) + 𝑅(𝑡). (4)
A formulação matemática do modelo SIR fica completa quando são aplicadas
condições iniciais:
𝑆(0) = 𝑆0 > 0, 𝐼(0) = 𝐼0 > 0, 𝑅(0) = 0, (5)
ou seja, os valores iniciais de indivíduos suscetíveis (𝑆0) e infectados (𝐼0) devem ser maiores
que zero, enquanto o número inicial de removidos (𝑅0) é nulo.
Em qualquer situação que envolve uma doença infecciosa, é importante determinar se
a infecção se espalhará ou não, e se for, como ela se desenvolverá com o tempo e,
principalmente, quando começará a diminuir. No entanto, a resposta para essa questão vai
depender das características de cada modelo, dos valores dos parâmetros e das condições
iniciais do sistema. Para analisar o modelo SIR, substituem-se as condições iniciais 𝑆0 e 𝐼0 na
Eq. (2):
𝑑𝐼(𝑡)
𝑑𝑡|
𝑡=0 = 𝐼(0)(𝑎𝑆(0) − 𝑏), {
> 0< 0
𝑠𝑒 𝑆0 {> 𝜌< 𝜌 . (6)
O parâmetro crítico 𝜌 = 𝑏/𝑎 é chamado de taxa de remoção relativa (MURRAY,
2002). Da Equação (1), 𝑑𝑆/𝑑𝑡 ≤ 0 para 𝑆 ≤ 𝑆0, e no caso 𝑆0 < 𝜌, tem-se:
𝑑𝐼
𝑑𝑡= 𝐼 (𝑎𝑆 − 𝑏) ≤ 0 para todo 𝑡 ≥ 0. (7)
Nesse caso, se 𝐼0 > 𝐼(𝑡) → 0 para 𝑡 → ∞, o número de infectados diminui com o
tempo, e assim a infecção desaparece; ou seja, não ocorre epidemia. Por outro lado, se
𝑆0 > 𝜌, então 𝐼(𝑡) aumenta com o tempo, e então ocorrerá uma epidemia. O termo
“epidemia” significa, matematicamente, que 𝐼(𝑡) > 𝐼0 para qualquer 𝑡 > 0, ou seja, o número
de infectados será maior que o número de infectados inicial com o passar do tempo.
Dividindo a Eq. (2) pela Eq. (1):
𝑑𝐼
𝑑𝑆=
(𝑎𝑆−𝑏)𝐼
−𝑎𝑆𝐼= −1 +
𝜌
𝑆, 𝐼 ≠ 0. (8)
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Integrando a equação acima, encontram-se as trajetórias do plano de fase:
𝐼 + 𝑆 − 𝜌 ln 𝑆 = 𝐼0 + 𝑆0 − 𝜌 ln 𝑆0, (9)
para os valores do lado direito da igualdade (𝑆0 e 𝐼0), foram utilizadas as condições iniciais da
Eq. (5). As trajetórias 𝐼 versus 𝑆 são mostradas na Fig. 2.
Figura 2. Plano de fase do modelo SIR. Cada curva representa a evolução temporal do número
de suscetíveis e infectados para diferentes condições iniciais (𝑆0 e 𝐼0), todas as trajetórias
iniciam na reta 𝑆0 + 𝐼0 = 𝑁.
Fonte: Os autores.
A Figura 2 mostra como os números de infectados (𝐼) e suscetíveis (𝑆) evoluem com o
passar do tempo. Cada curva é determinada por diferentes condições iniciais 𝐼(0) = 𝐼0 e
𝑆(0) = 𝑆0. Com 𝑅(0) = 0, todas as trajetórias começam na linha 𝑆0 + 𝐼0 = 𝑁 e permanecem
dentro do triângulo, desde que 0 < 𝑆 + 𝐼 < 𝑁, para todos os instantes de tempo. Uma
epidemia irá existir se 𝐼(𝑡) > 𝐼0 para qualquer instante de tempo 𝑡 > 0; isso sempre irá
ocorrer se 𝑆0 > 𝜌 e 𝐼0 > 0 (MURRAY, 2002). Verifica-se na Fig.2 que se o número inicial
de suscetíveis for maior que um determinado valor crítico 𝑆𝑐, ou seja, se 𝑆0 > 𝑆𝑐 = 𝜌, então
ocorrerá uma epidemia (curvas na cor vermelha), enquanto que se 𝑆0 < 𝑆𝑐, a epidemia não
ocorre (curvas na cor azul). Assim, define-se o parâmetro 𝑅0 como:
𝑅0 ≡ 𝑎𝑆(0)
𝑏 , (10)
esse parâmetro é chamado de fator de reprodutividade basal e é considerado um parâmetro-
chave em investigações epidemiológicas. O parâmetro 𝑅0 é interpretado como o número
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esperado de pessoas contaminadas geradas por um indivíduo infectado colocado numa
população totalmente suscetível à doença (SCHIMIT, 2010, p. 21). Se 𝑅0 > 1, o número de
indivíduos infectados cresce e pode haver um surto epidêmico. Se 𝑅0 < 1, haverá um
declínio do número de indivíduos inicialmente infectados, e a doença irá desaparecer
naturalmente.
Na Figura 3 apresenta-se o gráfico de duas situações distintas: a ocorrência ou não de
uma epidemia. Na Figura 3 (a) é mostrada a situação em que não há epidemia. Neste caso, o
número de infectados diminui até zero com o passar do tempo a partir do valor inicial 𝐼0. Na
Figura 3 (b) é mostrada a situação de epidemia: o número de infectados, a partir do valor
inicial 𝐼0 aumenta com o tempo até o seu valor máximo (𝐼𝑚𝑎𝑥), e em seguida diminui até a
doença sumir (𝐼 = 0).
Na situação para a qual a doença infecciosa se espalha, é importante saber o número
máximo de infectados (𝐼𝑚𝑎𝑥). No modelo SIR, o valor máximo de infectados ocorre quando
𝑑𝐼/𝑑𝑡 = 0. Da Eq. (7), essa condição é satisfeita quando 𝑆 = 𝜌 = 𝑏/𝑎. Portanto, fazendo
𝑆 = 𝜌 na Eq. (9), encontra-se o número máximo de infectados:
𝐼𝑚𝑎𝑥 = 𝑁 − 𝜌 + 𝜌 ln (𝜌
𝑆0) , (11)
a constante 𝑁 é o número total de indivíduos, definido por 𝑁 = 𝐼0 + 𝑆0.
Figura 3. Evolução temporal do número de infectados. (a): Situação na qual não ocorre
epidemia; (b): Situação característica de uma epidemia.
Fonte: Os autores.
Para qualquer valor inicial de 𝐼0 e 𝑆0 > 𝜌, observa-se na Fig. 2 que a epidemia
acontece. No entanto, a epidemia não será grave se o valor de 𝐼0 é próximo de 𝐼𝑚𝑎𝑥 (isso
acontece quando 𝑆0 ~ 𝜌). Porém, se 𝑆0 < 𝜌, não ocorre epidemia, porque o número de
infectados diminuirá com o tempo, a partir do valor inicial 𝐼0 até 𝐼 = 0.
O número de suscetíveis 𝑆 diminui desde que 𝑑𝑆/𝑑𝑡 < 0 para 𝑆 ≠ 0 e 𝐼 ≠ 0.
Dividindo a Eq. (1) pela Eq. (3) e fazendo a integração, encontra-se:
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𝑆 = 𝑆0𝑒−𝑅/𝜌 . (12)
Na Figura 2, quando 𝑡 → ∞, 0 < 𝑆(∞) < 𝜌 para 𝐼(∞) = 0. Da Eq. (4), 𝑅(∞) = 𝑁 −𝑆(∞). Portanto, para tempos longos, (𝑡 → ∞), o número de suscetíveis que não adquirem a
doença, Eq. (12), é expresso por:
𝑆(∞) = 𝑆0𝑒[−(𝑁−𝑆(∞))/𝜌] , (13)
e 𝑆(∞) é a solução positiva dessa equação transcendental. Logo, o número de suscetíveis que
contraem a doença no decorrer da epidemia é:
𝐼𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐼0 + 𝑆0 − 𝑆(∞) . (14)
Uma implicação importante desse resultado é que a doença desaparece (𝐼(𝑡) → 0) por
falta de infectados, e não por falta de suscetíveis (𝑆(𝑡) → 𝑆(∞) > 0).
3 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste artigo, foi realizada a descrição de um modelo epidemiológico chamado de
modelo SIR, proposto por Kermack e McKendrick (1927). A simplicidade desse modelo está
relacionada com sua descrição matemática. Mas apesar disso, o modelo SIR é capaz de
fornecer resultados que condizem com a realidade. O primeiro resultado mostrou que o fator
de reprodutividade basal 𝑅0, Eq. (10), é fundamental para determinar se ocorrerá uma
epidemia. Esse parâmetro fornece o número de infectados produzidos a partir de um único
infectado em meio a uma população de suscetíveis. Portanto, se 𝑅0 > 1, a epidemia acontece,
e o número de infectados poderá aumentar com o tempo. O valor de 𝑅0 depende apenas do
número inicial de suscetíveis (𝑆0) e das constantes 𝑎 e 𝑏, respectivamente identificadas como
a taxa de infecção e a taxa de recuperação (ou remoção dos infectados). Diante de uma
situação real busca-se reduzir o valor de 𝑅0, e isso pode ser feito, por exemplo, reduzindo o
número de suscetíveis (𝑆0) com vacinação.
Considerando a situação para a qual a doença se espalha, é importante saber qual será
o nível de gravidade dessa epidemia. Neste caso, é necessário determinar quantos indivíduos
serão infectados a partir de um número inicial de infectados (𝐼0) e suscetíveis (𝑆0). No modelo
analisado, verificou-se que para qualquer 𝐼0 e 𝑆0 > 𝜌, a epidemia vai acontecer. A epidemia
não será grave se o número inicial de infectados (𝐼0) é próximo do número máximo de
infectados (𝐼𝑚𝑎𝑥). Por outro lado, se 𝑆0 < 𝜌, não ocorrerá epidemia.
Para uma determinada doença, o parâmetro 𝜌 varia com as características da
população (ou comunidade) e, portanto, determina se a epidemia ocorre em uma comunidade
e não ocorre em outra. Por exemplo, se a densidade de suscetíveis (𝑆0/𝑁) é alta e a taxa de
remoção dos infectados (parâmetro 𝑏) é baixa (por ignorância ou falta de cuidados médicos),
então provavelmente a epidemia ocorrerá. Finalmente, quando se considera tempos longos,
independente da situação inicial, o modelo SIR mostra que nem todos os indivíduos
suscetíveis serão infectados. Portanto, a doença se extinguirá naturalmente por falta de
infectados e não por falta de indivíduos suscetíveis.
O estudo do modelo SIR serviu de base para realizar análises de modelos
epidemiológicos mais complexos. Desse modo, os próximos passos da pesquisa baseiam-se
no estudo de doenças transmitidas por vetores (mosquitos). Mais especificamente, será
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realizado um estudo sobre a dinâmica de propagação da dengue, buscando-se identificar os
meios de controle mais eficientes para evitar epidemias.
AGRADECIMENTOS
Os autores agradecem a Fundação Araucária pelo financiamento da bolsa PIBIC.
REFERÊNCIAS
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Epidemics. Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Containing Papers of a
Mathematical and Physical Character. London, v. 155, Issue 772 (Aug.1,1927), 700-721.
MARTCHEVA, M. An Introduction to Mathematical Epidemiology. 1 ed. Gainesville:
Springer, 2015.
MINISTÉRIO DA SAÚDE. Secretaria de Vigilância em Saúde. Informe Epidemiológico:
Influenza: Monitoramento até a Semana Epidemiológica 52 de 2016. Brasília, 2016.
MONTEIRO, L. H. A. Sistemas Dinâmicos. 3 ed. São Paulo: Livraria da Física, 2011.
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SCHIMIT, P. H. T. Modelagem e controle de propagação de epidemias usando autômatos
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São Paulo, São Paulo, 2010.
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São Carlos, v. 4, n. 3, 2003. p. 387-396.