8º CONGRESO IBEROAMERICANO DE INGENIERIA MECANICACusco, 23 al 25 de Octubre de 2007

MODELAMIENTO DE LOS PARÁMETROS DE FUNCIONAMIENTO DE LA TURBINA HIDRÁULICA DE FLUJO CRUZADO APLICANDO EL MÉTODO DE

ELEMENTOS FINITOS†

Gonzáles Chávez, S.º, Cotacallapa Vera, R. B.*

º Facultad de Ingeniería Mecánica, Universidad Nacional de Ingeniería, Lima – Perú, * VyP ICE S. A. C. salome@uni.edu.pe, rcotacallapa@vpice.com

RESUMEN

Se presenta una aplicación de la Dinámica de Fluidos Computacional (CFD) empleando el Método de Elementos Finitos (FEM) para el modelamiento del comportamiento de una Turbina Hidráulica de Flujo Cruzado (Cross Flow Turbine) de 50 kW (Q = 120 l/s, H = 50 m y = 124.61 rad/s), en el objetivo de explicar de forma metodológica numérica, los principios y supuestos clásicos de diseño, así como la búsqueda de su optimización. Como resultados se obtienen campos de presión y velocidad para diferentes condiciones (Q = 0 – 203.61 l/s, H = 9.40 – 580.71 m y = 25, 50, 100 y 125 rad/s) y regímenes (laminares, de transición y turbulentos) de operación, a partir de los cuales se cuantifican algunos indicadores del funcionamiento de la turbina (distribución de los vectores velocidad en el tramo de admisión, eficiencia y coeficiente del inyector directriz, curvas características de la turbina de 50 kW y de la turbina unidad). Finalmente se proyectan parámetros de operación de la turbina para las condiciones de diseño bajo una perspectiva teórica utilizando el modelamiento de flujos.

PALABRAS CLAVE: Turbina hidráulica, Flujo Cruzado, Michell – Banki, modelamiento del flujo, inyector directriz, rodete, CFD, FEM,

† Código: 1006

INTRODUCCIÓN

La Turbina Hidráulica de Flujo Cruzado (ver Fig. 1) es un motor hidráulico clasificado generalmente como una turbina de acción, que dependiendo del modelo, presenta ciertas características de una turbina de reacción (modelos donde el inyector se encuentra muy próximo al rodete), por ello se clasifica como turbina límite, recomendada para el aprovechamiento de pequeños saltos hidráulicos y caudales moderados (P < 1000 kW), por su bajo costo de manufactura ligado a su sencillez constructiva y su buen desempeño a cargas parciales, en comparación con las alternativas tecnológico – comerciales convencionales.

Desde su difusión en nuestro medio en 1961 [1], la turbina no ha sufrido modificaciones sensibles con respecto a su diseño original; tampoco se han revisado, reformulado y replanteado principios, supuestos y relaciones en los que se basa. En general la mayoría de los trabajos desarrollados se orientan al mejoramiento del diseño y operación [2], [3] y en menor grado a la formulación de modelos teóricos para el diseño y la optimización del comportamiento.

En este contexto, se plantea la necesidad de efectuar un análisis teórico a partir de un conjunto de ecuaciones que rigen al diseño de la turbina, resueltos bajo un enfoque alternativo, en cierto modo diferente al originalmente asumido en su concepción y difusión. Ello se aborda desde una perspectiva teórica en el análisis del efecto de espesor de álabe y la contracción de la vena al interior de la turbina, obteniéndose como resultado innovaciones en su diseño, específicamente en relación al diseño del rodete (ángulo relativo del flujo al abandonar el rodete, 1, relación de diámetros interno – externo, D1/D2, entre otros). Asimismo se hace una comparación entre los modelos teóricos propuestos y los modelos teóricos convencionales. [4]

Se presenta entonces la necesidad de establecer una metodología alternativa a fin de determinar el desempeño y ventajas de las innovaciones de la Turbina Hidráulica de Flujo Cruzado de Diseño Modificado, como resultado del análisis del efecto del espesor de álabe y la contracción de la vena al interior de la turbina; para ello se adopta el empleo de la Dinámica de Fluidos Computacional, comparativo al enfoque experimental, teniendo como ventaja de ello tanto la amplitud de análisis así como la economía.

Fig. 1: Turbina Hidráulica de Flujo Cruzado

METODOLOGÍA

La Dinámica de Fluidos Computacional es una de las alternativas en la solución de problemas que involucran movimiento de fluidos en complemento al enfoque analítico y al enfoque experimental. En general CFD consiste en obtener la solución numérica aproximada de las ecuaciones de Navier-Stokes que gobiernan al fenómeno utilizando técnicas computacionales. Actualmente existe una diversidad de programas especializados que facilitan su aplicación asimismo continúan abiertos una serie de problemas de fenómenos fluido-dinámicos que requieren su modelización y simulación numérica. La tendencia en el uso de CFD es creciente y va ligado al desarrollo del hardware, por tanto el costo relacionado a su empleo es pequeño, en comparación con la alternativa experimental. Por estas razones, el presente trabajo emplea la simulación numérica utilizando el FEM para formular y resolver las ecuaciones que gobiernan al comportamiento de la turbina hidráulica de flujo cruzado. El estudio se realiza bajo las siguientes etapas:

i. Etapa de parametrización: Se define la formulación matemática del caso, luego se establecen las condiciones iniciales, de contorno y los parámetros que caracterizan al régimen del flujo (propiedades del fluido).

ii. Etapa de discretización: Constituye el paso de la formulación continua de las ecuaciones gobernantes a la forma aproximada o discretizada de la solución. Se efectúa el mallado.

iii. Etapa de procesamiento: Empleando FEM se obtienen soluciones numéricas de las ecuaciones gobernantes, mostrando los campos de presión y velocidad.

iv. Etapa de ajuste: Se examinan los resultados numéricos evaluando su convergencia y dispersión con respecto a la tendencia general del fenómeno, se concluye aceptando o rechazando la solución numérica.

v. Etapa del post procesamiento: Se evalúan los parámetros relacionados al caso, p. ej. el torque en la turbina, a partir de los campos de presión y velocidad.

Regímenes analizados y ecuaciones gobernantes

Como restricciones del fenómeno se considera el fluido como isotrópico, isotérmico, newtoniano e incompresible, en flujo bidimensional, adiabático e isentrópico. Se considera también que el flujo evoluciona de un estado transitorio a otro permanente para arribar a la solución numérica, en regímenes laminares, de transición y turbulentos. Bajo estas suposiciones, las ecuaciones gobernantes del fenómeno lo conforman la ecuación de conservación de masa y la ecuación de conservación de cantidad de movimiento lineal de Navier – Stokes, la formulación vectorial es:

(1)

Recursos empleados para el presente trabajo

Se utiliza el programa FreeFEM+, que emplea FEM en la solución de ecuaciones diferenciales parciales estructurado en lenguaje C. Incluye un módulo para realizar el mallado automático y una subrutina específica para resolver el problema del acoplamiento presión – velocidad para mejorar en un paso el cálculo de los

términos convectivos , ello con el método Characteristics – Galerkin [5]. El hardware utilizado lo

constituye una PC común equivalente a Pentium IV de 2.8 GHz con 512 MB de RAM.

RESULTADOS

Modelamiento del flujo en el inyector directriz

Para efectuar el modelamiento del flujo en el inyector directriz de la turbina hidráulica de flujo cruzado, se considera la geometría de la sección transversal de una turbina de 50 kW (Fig. 2.a), diseñada para la minicentral hidroeléctrica “La Raya” [4], considerando las innovaciones propuestas por el modelo teórico adoptado [4], la cual luego de ser parametrizada es discretizada (Fig. 2.b) y empleada para encontrar los campos de presión y velocidad bajo diferentes regímenes. En el ingreso del flujo se asume una distribución de velocidades laminar o turbulenta según se trate el caso; a la salida se consideran condiciones de chorro libre; la velocidad es nula y la presión normal a la superficie de las paredes del inyector.

La simulación considera regímenes laminares, de transición y turbulentos variando los valores de la viscosidad cinemática ( = 10-1, 10-3 y 10-6 m2/s), la velocidad máxima de la distribución (Vmax = 0.5 – 150 m/s), manteniendo constante la densidad ( = 1 kg/m3), obteniéndose números de Reynolds para la velocidad máxima ReD = [1.2 – 3.6 x 106].

Con estas consideraciones, se obtienen los campos de presión y velocidad para diferentes regímenes (Fig. 3 presenta resultados sólo para régimen turbulento), a partir de los cuáles se obtiene la distribución de la velocidad en el tramo de admisión (Fig. 4.a y Fig. 4.b), determinado por las ecuaciones para el primer tramo (0º < < 36º) y para el segundo tramo (36º < < 90º):

(2)

(3)

Asimismo, se evalúa la eficiencia del inyector en función del número de Reynolds (Fig. 4.c): obteniéndose:

(4)

Del mismo modo los valores de la eficiencia y el coeficiente del inyector, resultan:

(5)

(6)

Álabe móvilTramo de

admisión I

Tramo deadmisión II

Álabe fijo

(a) (b)Fig. 2: Geometría y discretización del inyector

(a) Campo de presión (b) Componente x de V (c) Componente y de V

Fig. 3: Campos de presión y velocidad para régimen turbulento ReD = 1.05 x 106

Distribución de la velocidadaboluta al ingresar al rodetede la turbina Primer Tramo

Distribución de la velocidadaboluta al ingresar al rodete

de la turbina Segundo Tramo

Tram

o 1

36,0

°

Tramo 2

54,0°

(a)

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

_Ángulo de admisión_

_Cof

icie

nte

de v

eloc

idad

_

02468101214161820

_Áng

ulo

Abs

olut

o_

Coeficiente de Velocidad Ángulo de admisión

(b)

y = -0.0041Ln(x) + 0.9951

0%

20%

40%

60%

80%

100%

120%

10 100 1,000 10,000 100,000 1,000,000 10,000,000

Número de Reynolds

dt = 0.01 dt = 0.005 dt = 0.0025 dt = 0.001

(c)Fig. 4: (a) Distribución del ángulo de ingreso y del coeficiente de velocidad del flujo en el tramo de admisión,

(b) Funciones de distribución del vector velocidad y del ángulo de admisión, c) Eficiencia del inyector en función del número de Reynolds para diferentes pasos de tiempo dt del modelamiento

Modelamiento del flujo en el rodete

En analogía con el modelamiento del flujo en el inyector directriz se considera la geometría de la turbina de 50 kW diseñada para la minicentral hidroeléctrica “La Raya” [4] (Fig. 5.a), a su vez se emplean dos mallas para evaluar la interacción del flujo en su paso por el rodete (turbina de doble efecto, ver Fig. 5.b y ver Fig. 5.c). El flujo ingresa al rodete considerando la distribución vectorial de la velocidad relativa que depende de la velocidad absoluta C y del giro del rodete U = r x k, de modo que:

W = C – U (7)

El sistema de referencia es no inercial (gira a rad/s), aspecto considerado en el planteamiento de las ecuaciones gobernantes cuya formulación cartesiana resulta:

(8)

(9)

A'AF

BB'I

B'

BH

GAA'

Geometría consideradapara el modelamiento delflujo en el segundo efecto

Geometría consideradapara el modelamiento delflujo en el primer efecto

A'

AF

BB'

I

B'B

HGAA'

(a)

(b)

(c)Fig. 5: (a) Geometría del rodete, (b) y (c) Discretización de las mallas empleadas en el modelamiento del primer

y segundo efecto sobre el rodete de la turbina

(a) p (b) vx (c) vy

(d) p (e) vx (f) vyFig. 6: Campos de presiones y velocidad para régimen laminar casos a, b y c ( = 0.1 m/s2, = 1 kg/m3 y dt = 0.0005 s, = 50 rad/s, Vmax = 50 m/s) y régimen turbulento casos d, e y f ( = 0.001 m/s2, = 1 kg/m3 y dt =

0.0005 s, = 125 rad/s, Vmax = 75 m/s) para el primer efecto del flujo sobre el rodete

Se analizan regímenes laminares, de transición y turbulentos variando los valores de la viscosidad cinemática ( = 10-1, 10-3 y 10-6 m2/s), la velocidad máxima de la distribución (Vmax = 0.5 – 150 m/s) y manteniendo constante la densidad ( = 1 kg/m3), obteniéndose números de Reynolds para la velocidad máxima entre 1.2 y 3.6 x 106; adicionalmente se establecen regímenes de giro fijo para el rodete ( = 25, 50, 100 y 150 rad/s, siendo el giro nominal del rotor = 122.24 rad/s). Bajo estas suposiciones se obtienen los campos de presión y velocidad para los regímenes considerados, en la malla empleada para el primer efecto (ver Fig. 6) y para el segundo efecto (ver Fig. 7) del flujo sobre el rodete de la turbina.

(a) p (b) vx (c) vy

(d) p (e) vx (f) vyFig. 7: Campos de presiones y velocidad para régimen laminar casos a, b y c ( = 0.1 m/s2, = 1 kg/m3 y dt = 0.0005 s, = 25 rad/s, Vmax = 50 m/s) y régimen turbulento casos d, e, f ( = 0.001 m/s2, = 1 kg/m3 y dt =

0.0005 s, = 125 rad/s, Vmax = 150 m/s) para el segundo efecto del flujo sobre el rodete

Considerando los resultados numéricos y el análisis integral se evalúan los parámetros de operación de la turbina, obteniéndose caudales que varían entre 0 y 203.61 l/s y alturas netas que varían entre 9.40 y 580.71 m. Empleando las leyes de semejanza para la turbina unidad (Ecuaciones 10, 11, 12 y 13) y los resultados numéricos, se obtienen las curvas características de la turbina en función de la velocidad de giro relativa

(ver Fig. 8) y en función del caudal de la turbina unidad Q11 (ver Fig. 9).

(10)

(11)

(12)

(13)

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Velocidad relativa de giro

Q11

1234

(a)

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100

Velocidad relativa de giro

T11

1234

(b)

0.1

1

10

100

0.01 0.1 1 10 100

Velocidad relativa de giro

P 11

1234

(c)

0%

20%

40%

60%

80%

100%

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Velocidad relativa de giro

h h

1234

(d)

Fig. 8: Parámetros de operación de la turbina unidad en función de la velocidad relativa de giro, (a) Caudal, (b) Torque, (c) Potencia y (d) Eficiencia

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0.01 0.1 1 10

Q 11

N11

1234

(a)

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10

Q 11

T11

1234

(b)

0.1

1

10

100

0.01 0.1 1 10

Q 11

P11

1234

(c)

0%

20%

40%

60%

80%

100%

0.01 0.1 1 10

Q 11

h h

1234

(d)Fig. 9: Parámetros de operación de la turbina unidad en función de su caudal, (a) Revoluciones, (b) Torque, (c)

Potencia y (d) Eficiencia

Finalmente como resultado del caso de estudio, se proyectan los indicadores de operación de la turbina bajo la perspectiva del modelamiento, obteniéndose:

Caudal: Q = 120 l/s Altura: H = 50 m Eficiencia hidráulica: hh = 51.04% Potencia: P = 30.04 kW Revoluciones del rotor N = 743.71 rpm Torque: T = 0.3858 kN-m

CONCLUSIONES

Se ha elaborado una metodología que emplea el FEM utilizando el programa FreeFEM+ para resolver de manera numérica las ecuaciones de continuidad y Navier-Stokes y por ende evaluar el funcionamiento de la turbina hidráulica de flujo cruzado de diseño modificado para Q = 120 l/s, H = 50 m y P = 50 kW, así como la distribución del vector velocidad del flujo en el ingreso al rodete, la eficiencia del inyector en función del número de Reynolds y el coeficiente del inyector. Asimismo al modelar el doble efecto del flujo sobre el rodete de la turbina se obtienen indicadores de su operación para las condiciones de diseño y en sentido más general las curvas características de la turbina unidad.

La investigación complementa a estudios semejantes, relacionados con el modelamiento numérico-experimental del flujo sobre el inyector directriz [2], [6], [7]; y el modelamiento numérico del flujo sobre el rodete [8]. Se incluye en la metodología desarrollada el análisis del efecto del espesor de álabe y la contracción de la vena al interior de la turbina, aspectos poco abordados desde la perspectiva teórica, numérica, y/o experimentalmente.

REFERENCIAS

1. Coz Pancorbo, A. F., “Diseño de una Turbina Michell – Banki”. Tesis de Competencia Profesional, Universidad Nacional de Ingeniería, Lima, 1961.

2. Hernández Bazo, C. A.; “Diseño, Construcción y Ensayo de Turbinas de Flujo Transversal para Microcrentrales Eléctricas”. Tesis de Competencia Profesional, Universidad Nacional de Ingeniería, Lima, 1980.

3. INE – Instituto Nacional de Energía, “Estandarización de Turbinas tipo Michell Banki”, Quito, 1986.4. Cotacallapa Vera, R. B.; “Estudio del Efecto del Espesor de Álabe y la Contracción de la Vena en el Diseño

de Turbinas Hidráulicas de Flujo Cruzado”. Tesis de Competencia Profesional, Universidad Nacional de Ingeniería, Lima, 2006.

5. Bernardi, D.; Hecht, F.; Ohtsuka, K.; Pironneau, O.; “FreeFEM+ for Macs, PCs, Linux”, 1998.6. Costa Pereira, N. H.; Texeira Borges, J. E. B.; “Análise Computacional Bidimensional de Tubeiras Cross –

Flow”. Technical University of Lisboa, Lisboa, 1994.7. Costa Pereira, N. H.; Texeira Borges, J. E. B.; “Study of the Nozzle Flow in a Cross – Flow Turbine”.

Technical University of Lisboa, Lisboa, 1995.8. Ishimatsu, K.; Kage, K.; Okubayashi, T.; “Simulatión for the Flow around Cross Flow Turbine with end

plates”. JSCFP, Tokio, 2000.