MODELAMIENTO MATEMÁTICO COMO …oaji.net/articles/2016/3925-1473945462.pdf · EN ESTUDIANTES DE PRE CÁLCULO ... diagnostic test, ... we could find that from our proposal is possible

37MODELAMIENTO MATEMÁTICO COMO HERRAMIENTA DE ARTICULACIÓN DE LA MATEMÁTICA UNIVERSITARIAEN ESTUDIANTES DE PRE CÁLCULO

JUAN GUILLERMO NÚÑEZ OSUNA, ALFONSO SÁNCHEZ BERNAL

Rev. Ingeniería, Matemáticas y Ciencias de la InformaciónVol. 3 / Núm. 5 / enero-junio de 2016; pág. 37-50

MODELAMIENTO MATEMÁTICO COMOHERRAMIENTA DE ARTICULACIÓN DE LA

MATEMÁTICA UNIVERSITARIA ENESTUDIANTES DE PRE CÁLCULO

Mathematical modeling as a tool of interactionof mathematics university students of precalculus

JUAN GUILLERMO NÚÑEZ OSUNA*, ALFONSO SÁNCHEZ BERNAL**

Recibido: 4 de Noviembre de 2015. Aceptado: 22 de Noviembre de 2015

DOI: http://dx.doi.org/10.21017/rimci.2016.v3.n5.a4

RESUMEN

En la investigación se indaga sobre el rendimiento de los estudiantes del curso de pensamiento matemático a partirdel cual se diseña una estratégica didáctica apoyada en componentes tales como la educación matemática, pensa-miento variacional, cerebro tríadico y competencias como sustento teórico con el propósito de fortalecer el conceptode función para posteriores cursos de cálculo. El objetivo es desarrollar una estrategia didáctica centrada en elmodelamiento matemático para el afianzamiento del concepto de función en los estudiantes del curso de pensamien-to matemático de la jornada nocturna de la Universidad Jorge Tadeo Lozano. El propósito de esta investigación es elde establecer el rendimiento académico de los estudiantes de un curso de pensamiento matemático para diseñar unaestratégica didáctica que apoyada en la tricerebral y el modelamiento permita la consolidación del concepto defunción. El método fue desde el enfoque mixto mediante la aplicaccion el instrumento, se recogio la informacion enforma de prueba diagnostica, revision de notas, talleres y pruebas para ofrecer una visión conjunta, esta continua conel diseño de la propuesta. Como conclusión encontramos que desde nuestra propuesta se hace posible consolidarde manera integral el metalenguaje, la competencia numérica y el pensamiento variacional en lo referente con elconcepto de función.

PPPPPalabras clave: alabras clave: alabras clave: alabras clave: alabras clave: cerebro tríadico, competencias matemáticas, educación matemática, función, modelamiento mate-mático, pensamiento variacional.

ABSTRACT

In the research it is investigated about the performance of students in the course of mathematical thought from which isdesigned a teaching strategy supported by components such as mathematics education, variational thinking, triadic brainand skills as theoretical support in order to strengthen designing the function concept for future courses of calculus. Theobjective is develop an educational strategy focused on mathematical modeling for the strengthening the concept offunction in the students of mathematical thinking course, in the night shift at the Jorge Tadeo University. The main purposeof this research is to establish the academic performance of students in a course of mathematical thinking to design adidactic strategy supported in the tricerebral and this modeling allows the consolidation of function concept. The method

* Magíster en Educación de la Universidad Cooperativa de Colombia. Especialista en docencia universitaria de la Universidad Cooperativa deColombia y Licenciado en matemáticas y física de la Universidad de los Llanos. Diplomados en tutor virtual de curso académico. E-Mediadory diseñador en AVA de la UNAD. Diplomado en Gerencia Educativa en el Politécnico Superior de Colombia. Docente de Ciencias BásicasCorporación Unificada Nacional Superior. Docente de especializaciones, Universidad Nacional Abierta y A Distancia UNAD. Correo electrónico:[email protected]

* * Magíster en Educación de la Universidad Cooperativa de Colombia, Especialista en Docencia Universitaria de la Universidad Cooperativa deColombia y Licenciado en Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional. Docente de Ciencias Básicas en la Universidad Jorge TadeoLozano. Correo electrónico: [email protected]

38 REVISTA INGENIERÍA, MATEMÁTICAS Y CIENCIAS DE LA INFORMACIÓN


was conceived from the mixed approach through the application of the instrument, the information was collected asdiagnostic test, notes review, workshops and testing to offer a joint vision and this continues with the proposal design.In conclusion, we could find that from our proposal is possible to consolidate of integral manner the metalanguage, thenumerical competency and variational thought, in regard to the concept of function.

Keywords:Keywords:Keywords:Keywords:Keywords: triadic brain, math skills, mathematics education, function, mathematical modeling, variational thinking.

Consideramos que para lograr que los estudian-tes realmente consigan apropiarse del concepto defunción, y de cualquier otro, es fundamental dejaratrás las prácticas y clases rutinarias, es necesariocambiar la metodología tradicional basada en elcerebro izquierdo, en donde solo se privilegia elconocimiento e implementar una nueva estrategiapara la enseñanza de las matemáticas, en este casola enseñanza del concepto de función.

La modelación matemática se presenta Comouna herramienta poderosa para tratar la proble-mática anteriormente descrita, pues su utilizaciónadecuada y efectiva sirve de puente para com-prender y aplicar de manera significativa muchosconceptos y fenómenos de las ciencias exactas.Blum y Niss [3] proponen cinco argumentos, parala inclusión de la modelación en la enseñanza delas matemáticas:

A. Formativo

La modelación provee el conocimiento adecua-do para desarrollar competencias generales y ca-pacidades globales y creativas para la resoluciónde problemas.

B. Competencia crítica

Prepara a los estudiantes para vivir y actuarde forma íntegra, como ciudadanos críticos, enuna sociedad cada vez más influenciada por lasmatemáticas.

C. Utilidad

Prepara a los estudiantes para resolver proble-mas y para describir aspectos de situaciones extra-matemáticas.

D. Imagen de las matemáticas

Ofrece a los alumnos una imagen rica y com-prensiva de todas las facetas de las matemáticas,Como ciencia, y como campo de actividad en lasociedad y en la cultura.

I. INTRODUCCIÓN

EN LA actualidad en los distintos niveles edu-cativos encontramos diversas dificultades en lacomprensión, aplicación y apropiación del concep-to de función. En muchos casos los estudiantesasocian algunas características de la función, pero,finalmente llegan a la universidad entendiendoeste concepto de forma errónea o bastantesesgada y limitada. Esta problemática se eviden-cia en los cursos regulares de precalculo, el cualse centra en el estudio de dicha temática; la in-tención de este trabajo, por consiguiente, es rea-lizar un análisis acerca de las dificultades quepresentan los estudiantes del curso regular deprecalculo en cuanto a tareas de interpretación yrepresentación asociadas al concepto de funcióny proponer una alternativa de enseñanza de di-cho concepto utilizando como herramienta lamodelación matemática.

Por medio de las funciones se pueden abordardiversas situaciones cotidianas, de igual forma,observamos que está presente en gran variedadde fenómenos en distintos campos del conocimien-to, casi todo a nuestro alrededor es susceptible deser tratado a través del planteamiento y estudiode una o varias funciones.

Al respecto señala Spivak: «El concepto másimportante de todas las matemáticas es, sin du-darlo, el de función: en casi todas las ramas de lamatemática moderna, la investigación se centra enel estudio de funciones»[1].

Una de las metas que se debe proponer la edu-cación matemática es la de desarrollar en los estu-diantes las competencias necesarias para entenderque el cambio está y ha estado presente en todoslos estamentos sociales, económicos y políticos, queson la base de nuestra sociedad; al respecto señalaStewart: «Es de la mayor importancia la necesidadde entender y controlar el mundo cambiante enque vivimos»[2].




E. Aprendizaje de las matemáticas

Ayuda a los estudiantes en la adquisición yaprendizaje de conceptos matemáticos, nociones,métodos y resultados.

Las actividades que se presentan en la propuestapretenden apuntar hacia estos argumentos y con-vertirse en un medio para que se potencie en losestudiantes destrezas y habilidades propias delpensamiento matemático a través de accionesde tipo lógico-analíticas, intuitivo-sintéticas ymotoras-operacionales, es decir, prácticas quedesarrollen la inteligencia racional, emocional yoperacional, esto les va a proporcionar una mane-ra natural para actuar en su entorno, de tal formaque estén en capacidad de razonar en forma cohe-rente, desarrollando sensibilidad y creatividad, conla firme idea de mejorar constantemente.

Es importante destacar algunos estudios quesirvieron como soporte para la investigación, en-tre otros, encontramos a Carlos Guevara, quienestablece como premisa el aprendizaje significati-vo para estudiar el concepto de función y desarro-lla actividades de simulación y modelación,generando así procesos de meta cognición en losestudiantes [4].

De igual forma, Planchard, quien hace un análi-sis riguroso de la importancia de la modelación, lavisualización y los sistemas de representación enel proceso didáctico para la adquisición del con-cepto de función y como la práctica docente seencasilla en esquemas convencionales de transmi-sión de conocimientos [5].

También, se resalta el trabajo de FranciscioCórdoba, quien plantea la importancia de lamodelación en la enseñanza de las matemáticas,pues es el medio que permite a los estudiantes eldesarrollo de procesos de resignificacion que dandinamismo al conocimiento matemático, ya no ais-lado y desvinculado de la realidad [6].

II. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA

En relación con el marco teórico, se ha conside-rado reconocer aspectos tales como educaciónmatemática, didáctica de las matemáticas, compe-tencias matemáticas y cerebro tríadico.

A. Función

El concepto de función es, tal vez, una de lastemáticas más importantes a lo largo de la historiaen el desarrollo de las matemáticas, puesto que, seha utilizado con gran eficacia en distintas ramasdel conocimiento, en efecto, permite modelar odescribir y por consiguiente analizar gran canti-dad de fenómenos de diversa índole.

Para entender el concepto de función afirmaWilliam Ugalde, se deben tener en cuenta tres he-chos importantes, ellos son [7]:

1) Que el concepto de función está íntimamenteligado al concepto primitivo de conjunto (aligual que de otros conceptos como relación, va-riable, criterio, etc.).

2) Que el concepto de función desde su origen –cualquiera que este sea–, está ligado al desa-rrollo del concepto de cantidad, y más general-mente, al concepto de número.

3) Que el concepto de función nace del interés de lahumanidad por entender el mundo que le rodea.

Para descubrir el nacimiento de este conceptodebemos remitirnos a la antigüedad, desde la épocade los babilonios ya se trabajaban tablas con loscuadrados, los cubos y los inversos de los núme-ros naturales. Se puede afirmar que estas tablasdefinen funciones de N en N o de N en R.

En Grecia, figuran trabajos sobre proporción, através de la relación entre magnitudes de igual ta-maño, se distinguen relaciones entre magnitudesdependientes. En la edad media, se presentan estu-dios sobre el cambio, en particular al movimiento,aparecen conceptos fundamentales como la canti-dad variable y de ésta forma se avanza en la ideade relación funcional. Esto se podría catalogar comolas actuales variables dependiente e independiente,como lo afirma Crombie, citado por Ruiz [8].

Isaac Newton se dedicó a reestructurar las ba-ses del cálculo, encontrando que fuxión es la ve-locidad con que la variable se transforma con eltiempo. Jean Bernoulli afirmo que una función esuna cantidad compuesta de tal manera que den-tro de ella encontramos variable y constantes.Leonard Euler realiza un estudio sistemático detodas las funciones, define las funciones continuas



y finalmente gracias a él tenemos la actual nota-ción de función f(x). Joseph Lagrange interpretola función desde la perspectiva analítica funda-mental para el desarrollo de los fundamentos delanálisis, la elaboración de teoría de funciones.Joseph Baptiste Fourier representa la función entérminos de sucesiones de valores y ordenadaslas cuales están sujetas a una regla común.

Gustave Dirichlet estudio el concepto de funciónComo una variable independiente en un intervalodeterminado, el concepto de dominio y rango deuna función. Formula el concepto moderno «y es unafunción de una variable x, definida en el intervalo a<x<b,si a todo valor de la variable x en este intervalo le corres-ponde un valor definido de la variable y» según Kleiner,referido por Carlos Cuevas y Jose Díaz en «La his-toria de la matemática un factor imprescindible enla elaboración de una propuesta didáctica» [9].

En 1939 el grupo Bourbaki caracteriza una rela-ción de correspondencia entre un dominio y ran-go, donde ambos conjuntos son arbitrarios «SeanE y F dos conjuntos, que pueden ser distintos. Una rela-ción entre un elemento variable x de E y un elementovariable y de F se llama una relación funcional en y, sipara toda «x», existe un único «y» en «F» el cual está enla relación dada con x», según Rüting, nuevamentereferido por Carlos Cuevas y Jose Díaz en «La his-toria de la matemática un factor imprescindible enla elaboración de una propuesta didáctica [9].

Existen diferentes formas de representar unafunción:

a) Descripción verbal

Es un enunciado en el que se describe el com-portamiento de fenómenos naturales que implicauna relación entre dos o más variables.

b) Tablas

Corresponden a un listado organizado en dosfilas o columnas de valores de la variable indepen-diente y los correspondientes a variable.

5) Expresiones algebraicas

Son fórmulas que relacionan las dos variablesque intervienen en una función, correspondiente alectura de relaciones simbólicas.

f(x) = x2 – 3x + 2 (1)

1y(t) = vt – gt2 (2)

2

En conclusión las representaciones son un ins-trumento muy importante para la comprensión delos procesos de enseñanza y aprendizaje en mate-máticas además de las tareas de interpretación yargumentaciones de muchas situaciones matemá-ticas las cuales permiten la adquisición y consoli-dación del concepto de función y sus diferentesusos. De otra parte es importante mencionar quelos tipos de representaciones han evolucionado amedida que cambian y se trasforman las diferen-tes sociedades en cada una de las épocas.

III. EDUCACIÓN MATEMÁTICA

La Matemática Educativa está relacionado conaquellos factores que intervienen y hacen posibleque la Matemática se enseñe y se aprenda, por loque en la última década se ha reconocido por di-versos autores la influencia determinante que so-bre ella ejercen las posiciones filosóficas, las teoríasepistemológicas relativas al conocimiento matemá-tico desde diferentes contextos. Seguidamente en-contramos que gracias al sentido constructivista deella todas las actividades que se desarrollan co-rresponden a procesos cuyos resultados se

Tabla 1. Listado Organizado.

Unidades 1 2 3 4 5Costo total 20 25 30 35 40

Fuente: Los autores.

Fig. 1. Representación en el plano.

4) Gráficas

Es la representación en el plano mediante unalínea recta, curva u otro tipo de forma evidencian-do una relación entre variables.




enmarcan en los contextos sociales, culturales ehistóricos que se realizan como resultado el traba-jo tanto individual y colectivo en coherencia conlos objetos e investigaciones matemáticas que ade-lantan actualmente.

De otra parte según lo expuesto por A. Roberty Royalsk referido por Artigue, el doble enfo-que de la enseñanza de las matemáticas se reco-noce en el ergonómico cognitivo y la didácticade las matemáticas donde el docente realiza sulabor en un ambiente dinámico y abierto, parti-cularmente difícil y exigente de competencias[10]. Desde esta perspectiva encontramos nue-vos retos y tareas a desarrollar en nuestra labordocente, que necesita y requiere una serie acti-vidades apoyadas en las prácticas, modos deevolución del oficio docente.

El estudio de la didáctica de la matemática y laeducación matemática incorpora herramientasmateriales y simbólicas asociadas a las matemáti-cas como ciencia, de otra parte la evolución de losenfoques teóricos hacia los paradigmas de la natu-raleza sociocultural y antropológica están asocia-dos a la evolución tecnológica generando un nuevocontexto en las prácticas educativas en los diferen-tes niveles de escolaridad [10].

Es así como aprender matemáticas se ha con-vertido en la elaboración de definiciones, bus-car ejemplos y aplicaciones para encontrarsentido a los teoremas y otros elementos delobjeto matemático desde la aplicabilidad y laexistencia en la realidad objetiva, al respectoMiguel de Guzmán quién a partir del análisis delos principales movimientos, transformaciones yresultados en las últimas décadas concluye queel objeto de la actividad matemática se manifies-ta en modos peculiares de tratamiento que in-cluyen: una simbolización adecuada, unamanipulación racional rigurosa y un dominioefectivo de la realidad a la que se dirige [10].

Es así como la matemática educativa en gene-ral se refiere al estudio de los fenómenos didácti-cos relacionados con el saber matemático desdela que se generan problemas teóricos y prácticosreferidos a la adaptación del saber matemático ydel saber científico con la finalidad de usar esteresultado en la mejora de los procesos educati-vos. Por tanto en ella confluye la naturaleza

epistemológica, planos cognitivos y transmisiónde conocimiento, con referencia a nuestra pro-puesta incorporamos los elementos propuestos porTall y Vinner nos establecen lo siguiente: «La re-lación conceptual de los estudiantes se encuentrareferida a la experiencia y la estructura cognitivaasociada al concepto» [10].

IV. DIFICULTADES

A lo largo de la historia encontramos diferen-tes conceptos de función tales que como la rela-ción entre variables, una función numérica comola aplicación de un conjunto E y una relación de Xe U. La función relación entre conjuntos de nú-meros, tal que sea la existencia de un dominio conrespecto al rango y en nuestro caso no esdiferente.

La función es una expresión matemática quepuede ser representada, en términos de rectas,curvas continuas, y redondas y parábolas entreotras. Generalmente los estudiantes forman unconcepto de función como resultado de diferen-tes funciones estudiadas, adicionalmente a ellose debe a que estas se presentan en términos defórmulas, la lectura común de libros y la ense-ñanza llega a desarrollar modelos diferentes delcontenido formal general una errada trasposicióndidáctica.

Los conceptos dominio y rango son fuente debastantes errores por parte de los estudiantes enel campo de las matemáticas en los cursos de precalculo y en nuestro caso es un curso de pensa-miento matemático.

Dada la importancia de esta temática y su in-fluencia en la enseñanza de matemáticas y en cur-sos posteriores hemos creado las siguientescategorías:

A. Proceso de aprendizaje

Dependencia entre variables, pero no se com-prende la regla que domina dicha relación, mu-chos de los estudiantes no son capaces establecerla relación entre las variables de una función ennuestro estudio encontramos lo mismo [11]. Otrosestudiantes logran definir la función, pero fraca-san [12], es decir si una gráfica representa o no



una función, en tal caso tendremos lo expuesto porTall y Vinner [13]:

La existencia de una dependencia entre dosvariables, cuyo significado no se comprende einfluye en la respuesta del estudiante cuandodebe clasificar que relaciones son funciones ycuáles no.

Las funciones y ejemplos de funciones estudia-das en clase, como recuerdos inmediatos o pro-totipos, que necesita el estudiante para responderuna pregunta o para abordar la solución de unproblema.

De acuerdo con lo anterior, tenemos que:

«La estructura cognitiva de nuestros estu-diantes de la función es creciente, decrecientey existencia de extremos, en particular cuandoella se visualizan mediante la representacióngráfica» [14].

B. Las tareas de construcción como formas de pre-sentar una función

Afectadas cuando se desarrollan en el contex-to geométrico dado la importancia y valor quetiene las gráficas en este proceso tendremos losiguiente [15]:

La incomprensión entre el lenguaje común creaun conflicto en la tarea a concebir la función desdelo geométrico.

El nivel de conocimiento sobre el contextogeométrico para construir diferentes formas derepresentación del concepto de función, con lo cualno es posible tener una definición integral del con-cepto de función.

Muchos estudiantes no pueden transferir la fun-ción, de la tabla a la gráfica o viceversa, por tantono considerar el proceso integral.

Como conclusión para este caso muchos de losestudiantes no pueden trasladar del lenguajegeométrico al lenguaje de funciones [16] tal que lahabilidad para establecer relación entre los dife-rentes sistemas de representación y la dificultadpara la construcción, pues consiste en pasar de ladescripción verbal o grafica o tabla [15].

C. La comprensión del lenguaje común en elproceso de aprendizaje de los contenidos yconceptos

Con respecto a esta dificultad, el conocimientoresulta determinante en el proceso de aprendiza-je. La dificultad se halla en que el estudiante noposee la representación adecuada, los conceptosque intenta estudiar, provocando desconexión en-tre el sistema lingüístico y el contenido matemáti-co [10][15].

V. COMPETENCIAS

El término competencia nace en el sector indus-trial para designar el conjunto de elementos y fac-tores indispensables para alcanzar el éxito en eldesempeño profesional. El sector educativo haceya algún tiempo tomo este concepto y lo ha idotransformando, sin embargo, el significado de com-petencia y formación por competencias no resultaser muy diferente al usado en el sector producti-vo; «la competencia se puede expresar como la ca-pacidad para realizar una tarea, haciéndolo demanera eficaz; midiendo esta eficacia a través deresultados buscados vs logrados, la calidad delproceso seguido y el grado de fiabilidad de la so-lución al problema» [17].

Según el Ministerio de Educación Nacional,competencia es un conjunto de conocimientos, ha-bilidades, actitudes, comprensiones, y disposicio-nes cognitivas, socio afectivas y sicomotoras,apropiadamente relacionadas entre sí para facili-tar el desempeño flexible, eficaz y con sentido deuna actividad o de cierto tipo de tareas en contex-tos nuevos y retadores [18].

Se trata, por tanto, de un «saber hacer», un sa-ber que se aplica y es susceptible de adecuarse auna diversidad de situaciones y contextos y tieneun carácter integrador, abarcando conocimientos,procedimientos y actitudes [19].

En síntesis, ser competente es: interpretar de lamejor manera un determinado problema, saber conexactitud que recursos necesita para resolverlo yencontrar alternativas de solución, dando respues-tas adecuadas e innovadoras que favorezcan suentorno.




Uno de los fines de la educación matemática esel de propender porque en la sociedad actual, cadavez más influenciada por esta disciplina, todas laspersonas tengan la posibilidad de interpretarcríticamente la gran cantidad de información pro-veniente de diferentes fuentes, desenvolverse demanera natural en su entorno y tengan la claridady seguridad necesaria a la hora de tomar decisio-nes ante cualquier suceso.

PISA define la competencia matemática como:«La capacidad del individuo para formular, em-plear e interpretar las matemáticas en distintoscontextos. Incluye el razonamiento matemáticoy la utilización de conceptos, procedimientos, da-tos y herramientas matemáticas para describir,explicar y predecir fenómenos [20]. Ayuda a losindividuos a reconocer el papel que las matemá-ticas desempeñan en el mundo y emitir los jui-cios y las decisiones bien fundadas que losciudadanos constructivos, comprometidos y re-flexivos necesitan».

Se pueden establecer cuatro niveles de desarro-llo de las competencias [21]:

Nivel 0: en este nivel se encuentran aquellasrespuestas en las que no hay intento de resolver elproblema, se dan explicaciones confusas que po-nen de manifiesto que no hay comprensión algunade la situación, o se establece relaciones erróneasentre las variables.

Nivel 1: identifica algunos aspectos relevan-tes de la situación pero sin comprenderlaestructuralmente.

Nivel 2: identifica aspectos relevantes dela situación y establece sus relaciones mos-trando comprensión estructural de la misma.Construye un modelo eficaz para abordar labúsqueda de respuestas sin un uso convenientedel mismo.

Nivel 3: construye un modelo eficaz que refle-je el sentido dado por la situación y usa este mo-delo para tomar decisiones usándolo de maneraadecuada.

Nivel 4: Comprueba la validez de las decisio-nes tomadas y procede, satisfactoriamente, a sucomunicación.

En los estándares básicos de competencias seenuncian algunos procesos generales presentes entoda actividad matemática que pretenden explicarque es ser matemáticamente competente, ellos son:Formular y resolver problemas; modelar procesosy fenómenos de la realidad; Comunicar y utilizardiferentes registros de representación o sistemasde notación simbólica; razonar y usar la argumen-tación, la prueba y la refutación, el ejemplo y elcontraejemplo; formular, comparar y ejercitar pro-cedimientos y algoritmos.

En las pruebas saber 11° se definen tres compe-tencias que integran y recogen los elementos deestos procesos:

Interpretación y representación: Consiste enla habilidad para comprender y transformar lainformación presentada en distintos formatoscomo tablas, gráficos, conjuntos de datos,diagramas, esquemas, etcétera, así como la ca-pacidad de utilizar estos tipos de representa-ción para extraer de ellos información relevanteque permita, entre otras cosas, establecer rela-ciones matemáticas e identificar tendencias ypatrones.

Formulación y ejecución: La capacidad paraplantear y diseñar estrategias que permitan solu-cionar problemas provenientes de diversos con-textos, bien sean netamente matemáticos o del tipode aquellos que pueden surgir en la vida cotidianay son susceptibles de un tratamiento matemático.Se relaciona también con la habilidad o destrezapara seleccionar y verificar la pertinencia de solu-ciones propuestas a problemas determinados, yanalizar desde diferentes ángulos estrategias desolución.

Argumentación: Esta competencia se relacionacon la capacidad para validar o refutar conclusio-nes, estrategias, soluciones, interpretaciones y re-presentaciones en situaciones problemáticas, dandorazones del porqué, o del cómo se llegó a estas,utilizando ejemplos y contraejemplos, o bien seña-lando y reflexionando sobre inconsistencias pre-sentes.

En los Lineamientos para la formación por com-petencias en educación superior, elaborados en2010, los desempeños que se supone debe demos-trar el estudiante son:



Interpreta información presentada en gráficas,tablas, esquemas y problemas y a partir de ella,hace inferencias utilizando cálculos cuantitativos.Representa la información cuantitativa de diver-sas formas y utiliza métodos cuantitativos parasolucionar problemas. Analiza, modela y elaboradiferentes representaciones de una situación pro-blema. Identifica alternativas de solución y sustentasu selección con criterio profesional. Evalúa la so-lución dada a un problema, las estrategias utiliza-das y el impacto de su implementación en uncontexto determinado.

A. Modelación

Un modelo puede entenderse como un sistemafigurativo mental, gráfico o tridimensional quereproduce o representa la realidad en forma es-quemática para hacerla más comprensible, Es unaconstrucción o artefacto material o mental, un sis-tema que puede usarse como referencia para lo quese trata de comprender; una imagen analógica quepermite volver cercana y concreta una idea o unconcepto para su apropiación y manejo [18]

Sistema físico que sirve para representar un obje-to, situación o fenómeno del mundo real, en el cualse utilizan relaciones y conceptos matemáticos, cuyautilidad está dada al ser una herramienta para inter-pretar, transformar y predecir dicho fenómeno [6].

La modelación permite entender un sinnúme-ro de situaciones y abordar problemas en dife-rentes áreas del conocimiento, es de utilidad paraun sociólogo, ya que le permite conocer las varia-bles que determinan el problema de la explosióndemográfica; para un economista porque puedereconocer las variables que determinan la infla-ción, los factores que intervienen en la distribu-ción del ingreso, la acumulación de capital o laevolución de los valores bursátiles, para un inge-niero, pues le permite prever la cantidad de ener-gía que se requiere para una población enconstante aumento, para un biólogo le ayudaría aidentificar las variables que determinan el creci-miento de una población; en general lo podemosutilizar en todo tipo de fenómenos físicos, quími-cos o naturales, como la variación de la presiónatmosférica, la velocidad y la aceleración, la gra-vitación universal, las leyes del movimiento, lafunción de onda de una partícula a escala cuánticay la desintegración de sustancias radiactivas.

Existen varios esquemas para representar elproceso de modelación matemática, la mayoría deellos consta de cuatro etapas, a continuación sepresenta el modelo elaborado por Blum, el cualnos parece pertinente por cuanto tiene en cuenta,no solamente las etapas presentes en este ciclo, sinoque además, explicita los procesos que intervienenen cada una de las fases.

La Fig. 2 muestra el proceso de modelación pro-puesto por Blum, allí se describe paso a paso comoresolver un problema, se identifican cuatro etapas:

1) Situación real o un problema dado en un con-texto, en la cual se requiere obtener unameta, respuesta o decisión acerca de cómose deberá proceder.

2) La generación de un modelo real, que per-mite identificar e interpretar el problema,además, reconocer las posibles variables.

3) La formulación de la situación-problema delmundo real en términos matemáticos, esdecir, la construcción del modelo matemáti-co, generalmente a través de ecuaciones orelaciones entre variables que describen lasituación dada.

4) La solución y análisis del problema en tér-minos matemáticos.

Este modelo se presenta como un ciclo, pues,una vez se llega a la última etapa, los resultadosmatemáticos se deben interpretar en el contextode la situación real original, se debe verificar si elresultado obtenido corresponde con el problemaplanteado y efectuar un proceso de validación;en términos generales, se necesita adecuar la res-puesta a la situación, si esto no es posible, se em-pezara de nuevo el ciclo, generar un nuevo modeloreal y un nuevo modelo matemático, hasta que larespuesta obtenida pueda satisfacer las condicio-nes del problema.

VI. CEREBRO

Tricerebrar significa que hay que usar los trescerebros o los tres procesos-información creativa -creatividad, acción-siempre integrados, formandoun ciclo que solo se completa cuando se cumplen




las etapas. De otra parte el doctor Waldemar deGregori en su obra manifiesto de la proporcionali-dad con democracia directa expone lo siguiente:

«El cerebro tri uno ocupa el centro del centro por serel núcleo de toda la creación humana, es el resumen deluniverso. El colorido representa tres colores básicos. Elespiral tri-ramificado sobre el cerebro es la base en un sím-bolo tríadico de la energía, representa la tri- una propor-cionalidad» [22].

Continuando con nuestra exposición es impor-tante valorar que desde esta perspectiva tenemostres bloques integrados e intercomunicados comopuente interactor entre ellos es así como en loscontextos escolares se hace necesario crear un cu-rrículo antropogógico donde se replantea el cu-rrículo y la educación reconociendo los niveles delevolución del tricerebral donde tiene mucha im-portancia el CCT donde se regula realmente amarcha evolutiva de mundo. Desde este puntode vista nuestra perspectiva apunta a desarrollaruna estrategia didáctica centrada en el modela-miento matemático para el afianzamiento del con-cepto de función en los estudiantes del curso dePre cálculo en la cual se incorporan actividades

para el potenciamiento y desarrollo de los trescerebros.

Esta propuesta se enfoca de esta manera dadoque por un lado la fragmentación del conocimien-to en lo referente con el concepto de función y fal-ta de incorporación de la argumentación dentrodel campo de la enseñanza de las matemáticas,dado que dentro del equipo consideramos necesa-rio incluir el ¿Por qué de todas y cada una de lastemáticas en los cursos de matemáticas?

Finalmente desde este trabajo se hace posiblela incorporación de procesos futuristas que per-mitan abordar de manera positiva otros cursosde matemáticas y todo tipo de situaciones mate-máticas dado la integralidad de la enseñanza quebuscamos.

VII. METODOLOGÍA

El trabajo de investigacion se apoya en el en-foque mixto. Para el tipo de investigacion se apli-có una prueba diagnóstica que tenia comoproposito ingadar sobre los diferentes conceptos

Fig. 2. Modelo de Blum.



de funcion, sus usos y aplicaciones, por otra par-te se utilizó las revision de notas, talleres y prue-bas para ofrecer una vision conjunta, esta constabade una etapa posterior de analisis con los resulta-dos encontrados. Este trabajo es descriptivointerpretativo comparativo, porque se persigueprincipalmente comprender la realidad estudia-da desde la cual vamos a realizar una propuestapedagógica con el propósito de generar un nuevaforma de reconocer e interpretar el concepto defunción, sus diferentes interpretaciones, aplicacio-nes y usos.

El enfoque de investigación mixto correspon-de en sentido amplio la investigación mixta mez-cla los enfoques cuantitativo y cualitativo [23]permiten hacer un análisis mucho más integral delfenómeno de estudio que para nuestro caso co-rresponde al desarrollo del concepto que tienende función los estudiantes de un curso de pre cal-culo mediante una propuesta pedagógica y suevaluación, la posibilidad real se determina des-de estas dos perspectivas de las variables que in-tervienen en este fenómeno.

Seguidamente con el desarrollo encontramosque desde este enfoque se permite diferentes for-mas de recolección de la información mitigandolas posibilidades de errores en el desarrollo de lainvestigación [24]. Como segunda medida se esta-blece [25-27] lo siguiente:

Correlación entre métodos cualitativos,cuantitativos, nuestro marco teórico con la pro-puesta pedagógica entorno de nuestro proyec-to, mejor interpretación de los resultados deldiagnóstico y las diferentes pruebas en coheren-cia con la propuesta pedagógico para los estu-diantes a la Universidad Jorge Tadeo Lozano delcurso de pensamiento matemático, desde la pro-puesta diseñada, nuestro abordaje del conceptode función y propuesta pedagógica se hace demanera completa desde los diferentes componen-tes como resultado de la propuesta, con base enlos resultados del diagnóstico y los demás ins-trumentos, determinar las posibles contradiccio-nes entre el marco teórico y los resultadosarrojados por los instrumentos para hacer lasrespectivas reformulaciones, reconocer la proyec-ción de la problemática que nuestro caso corres-ponde al concepto de función en el curso depensamiento matemático.

La justificación para la aplicación del méto-do mixto se centra en aspectos tales como latriangulación para realizar un estudio muchomás detallado de las diferentes variables queintervienen en nuestro proceso de investigación,además realizar una mejor interrelación con elmarco teórico, la identificación de las debilida-des y dificultades presentes en los estudiantesdel curso que se está tomamos para nuestro pro-ceso y como resultado de ello diseñar la pro-puesta didáctica apoyada en el modelamiento yla teoría tricebral.

El curso de Pre cálculo se ofrece para todos aque-llos estudiantes que en sus programas de pregradotiene la necesidad de abordar elementos y concep-tos de pre cálculo, este curso es un prerrequisitopara tomar el curso de cálculo diferencial. Se tra-bajó con un total de 18 estudiantes, entre ellos 10mujeres que corresponde al 55,5% y 8 hombres quecorresponde al 44,5%. Se aplicó el test del cocientetríadico a estos estudiantes y estos fueron losresultados:

Tabla 2. Resultados.

Cerebro izquierdo Cerebro central Cerebro derecho

32,83 36,56 34,83

VIII. RESULTADO

Como elementos importantes para el análisistenemos los siguientes aspectos:

A. Diagnóstico. Dificultades

Con base en el diagnóstico encontramos elemen-tos importantes dentro del curso de precálculo es-tudiado y además con base en la fundamentaciónestablecimos las categorías que mencionamos acontinuación:

Fig. 3. Categorías.




1) Con referencia a los procesos de aprendizaje

La distinción entre la variable y la incógnita yel poco énfasis entre la representación en términosde X y Y a diferencia de la ecuación desconocien-do el concepto de función, es allí donde los estu-diantes lo asocian en términos de correspondenciaentre magnitudes, conjunto de números dejandosesgado y parcializado el concepto, finalmente alrespecto no hay una idea clara y concreta de larelación entre variables.

2) Las tareas de construcción con formas derepresentación

Al manejo algebraico de la función y ecuación,no estableciendo una diferencia clara entre el ma-nejo de función y las operaciones entre funcionesy las diferentes formas de representación de lasfunciones dado que es de vital importancia tenerclara cuando una relación es o no una función, esallí donde nuestros estudiantes manejan el proce-so de construcción de la gráfica con ayuda de latabla sin embargo los estudiantes no reconocencomo dominio y rango de las funciones en el con-junto ,no consideran las variables, no grafican y nioperan funciones de manera diferente como lohacen con las ecuaciones dejando parcializado elconcepto integral de función.

3) La comprensión del lenguaje común en elproceso de aprendizaje de los contenidos yconceptos

Los procesos algorítmicos dejan de lado todaslas características de las funciones, desconocen laprueba de las líneas verticales y hay desconocimien-to del metalenguaje matemático donde se usandiferentes tipos de gráficos geométricos dentro delcampo de las funciones encontrándose desconexiónentre el sistema lingüístico y el lenguaje matemáti-co elementos fundamentales para la comprensióne interpretación del concepto de función.

B. Nivel de competencias

Es importante aclarar que para determinar elnivel de competencia que manejan los estudiantes,se propone una clasificación de las competenciasque se deben manejar en matemáticas, esta clasifi-cación se hace teniendo en cuenta las señaladas porPISA y las evaluadas por el icfes, con algunas pe-queñas modificaciones, estas son:

Organización e Interpretación: Habilidad parainterpretar y comprender el problema que se daen un contexto real, leer la información presenta-da en distintos formatos como tablas, gráficos,conjuntos de datos, diagramas o esquemas y ex-traer de ellos la información relevante.

Formulación, representación y ejecución: Lacapacidad para representar la situación en térmi-nos matemáticos, por medio de tablas, expresio-nes algebraicas, graficas o esquemas, plantear ydiseñar estrategias que permitan su solución.

Argumentación y proposición: La capacidadpara proponer y evaluar alternativas de solución;verificar y validar la pertinencia de dicha solución.

Estas competencias se deben evidenciar en lasevaluaciones hechas durante el primer corte del se-mestre del curso de precalculo, razón por la cual op-tamos por analizar las notas de estas evaluaciones.Los resultados obtenidos se resumen en la figura 4.

Organización e Interpretación: Presenta un ni-vel aceptable, por cuanto no determinan las condi-ciones necesarias para determinar la existencia deuna función, la mayoría identifica el concepto defunción en gráficas, pero no en tablas o expresiónalgebraica.

Formulación, representación y ejecución:presenta un nivel bajo, ya que no establecen apro-piadamente la relación entre las diferentes represen-taciones del concepto de función. No establecen conclaridad cuál debe ser el modelo a utilizar para re-solver los problemas de función lineal.

Argumentación y proposición: presenta un ni-vel bajo, pues no consiguen realmente dar solu-ción a los problemas planteados sobre funciónlineal, en algunos casos se dan respuestas numéri-cas, pero no se contrasta con las condiciones delproblema para validar dicha solución.

IX. DISCUSIÓN

Para el análisis de resultados se estableció larelación entre los tres cerebros, las competenciasque se abordan en matemáticas y las dificultadesque presentan los estudiantes en el estudio de lasmatemáticas, se ve en la tabla 3.



Tabla 3. Relación entre los tres cerebros.

Cerebro lógico Cerebro operativo Cerebro creativo

Competencias Organización e Interpretación Formulación, representación Argumentación y proposición.y ejecución

Dificultades Distinción entre los tipos El manejo algebraico de la Los procesos algorítmicos quede variables. función, sus operaciones y el desconocen las características de

concepto de función. funciones.

Fig. 4. Porcentaje de aprobación y promedio en cada una de las evaluaciones.

Cuando los estudiantes deben resolver un pro-blema requieren del conocimiento de fórmulas,definiciones y algoritmos, por lo general estos pro-cedimientos se han trabajado y memorizado en laclase, sin embargo, no se dedica mucho tiempo parareflexionar sobre las implicaciones de sus respues-tas. En términos de competencias se podría decirque desarrollan más las competencias que con an-terioridad se han relacionado con el cerebro lógicoy el operativo, dejando rezagado a las correspon-dientes al cerebro creativo.

Es un tipo de enseñanza más adecuada porquedesde la propuesta se diseñan y desarrollan acti-

vidades que permiten el desarrollo y potenciaciónde los tres cerebros y conectar los componentesteóricos.

La enseñanza estimula el razonamiento en es-pecial si desde las practicas pedagógicas se pue-den conectar las ideas y conceptos, con lo prácticoy emocional es posible la construcción de un apren-dizaje significativo en el contexto del curso de pen-samiento matemático.

Resulta ser un aprendizaje más integraldado que considera actividades específicas paracada uno de los cerebros como constructor de




conocimiento desde el tricerebral y el modela-miento matemático. Es una manera de planifi-car y gestionar contenidos teóricos medianteactividades apoyadas en la teoría tricerebral yel modelamiento matemático.

Se propone una estrategia didáctica que se apo-ya en las categorías del marco teórico para unatransformación en las prácticas pedagógicas en laenseñanza de las matemáticas con relación al con-cepto de función.

En concordancia con los trabajos de Guevara yPlanchard, encontramos una marcada tendencia enlos estudiantes a tratar resolver problemas usan-do solo algoritmos, ante esto, se deben abandonarlas practicas rutinarias y convencionales para darpaso a la inclusión de la modelación, la visualiza-ción y diferentes formas de representación en laenseñanza del concepto de función [4] [5]. Adicio-nalmente, con referencia al problema desde el pun-to de vista epistemológico el concepto de funciónha tomado un direccionamiento contrario dado quela última forma que precede a la enseñanza consi-dera como herramienta de actividad matemática oextra matemática [8].

No es solamente «entrenar» a los jóvenes parautilizar la matemática en determinadas situacioneshipotéticas expuestas por el profesor, con patro-nes definidos y estudiados con anterioridad, paraque puedan utilizar herramientas o algoritmos quese han establecido como apropiados, es decir, vol-verlos hábiles calculistas, la finalidad es darles laoportunidad para que puedan razonar crítica-mente, poder predecir y elegir de manera razonable

lo mejor para el beneficio colectivo ante situacio-nes reales en tiempo real, enfrentándose así a in-numerables variables.

Después de hacer los análisis respectivos de losresultados obtenidos, se hace necesario construirun esquema del proceso de modelación, el cual seajusta a lo expuesto en el marco teórico, los resul-tados encontrados en la investigación y los objeti-vos propuestos, el cual servirá para implementaruna propuesta de actividades basadas en lamodelación que apoyen la enseñanza del conceptode función. Ver figura 5.

En este esquema se identifican dos espacios,bien diferenciados, el mundo real y el mundo ma-temático, pero conectados a través de tres fases,en cada una de ellas se establecen las competen-cias necesarias para resolver un problema, de igualforma, cada una de estas se encuadra con cada unode los tres cerebros. Las fases son:

Situación problema, allí se pretende lograr lainterpretación y comprensión del problema que seda en un contexto real. (Cerebro lógico).

Modelo matemático, en esta etapa se logra tras-ladar al mundo matemático por medio de fórmu-las, ecuaciones y cualquier otro objeto matemáticola representación de la situación. También se efec-túan los cálculos y operaciones necesarias para en-contrar un resultado matemático. (Cerebrooperativo).

Posible solución, después de hacer operacionesy cálculos en el mundo matemático, se transfiere

Fig. 5. Esquema problema- modelo matemático - Posible solución.



la respuesta que se obtuvo, es decir volver al mun-do real y tomar alguna decisión con respecto a lasolución encontrada, se proponen alternativas desolución. (Cerebro creativo).

REFERENCIAS

[1] M. Spivak, Calculus Cálculo infinitesimal, Segunda.Universidad de Brandeis: Reverté, S.A, 1992.

[2] J. Stewart, Cálculo de una variable. Conceptos y con-textos, Sexta. Cengage Learning, 1999.

[3] W. Blum, M. Niss, P. Galbraith and H. Henn,Modelling and aplications in mathematics education.The 14th ICMI Study: New York: Springer, 2007.

[4] C. Guevara, «Propuesta didáctica para lograraprendizaje significativo del concepto de funciónmediante la modelación y la simulación,» Univer-sidad Nacional de Colombia Sede Medellín,Medellín, 2011.

[5] E. Planchard, «Clasificación de los modelos peda-gógicos,» 2012.

[6] F. Córdoba, «La modelación en matemática educa-tiva: una práctica para el trabajo de aula eningeneniería,» Instituto Politécnico Nacional, Méxi-co, 2011.

[7] W. Ugalde, «Funciones: desarrollo histórico delconcepto y actividades de enseñanza aprendiza-je,» Revista digital — Matemática, Educación e Internet,vol. 14, No. 1, p. 48, 2014.

[8] L. Ruiz, «La noción de función: análisis epistemo-lógico y didáctico.» Universidad de Jaén. Serviciode publicaciones, Jaén, 1998.

[9] C. Cuevas and J. Díaz, «La historia de la matemáti-ca un factor imprescindible en la elaboración deuna propuesta didáctica. El caso del concepto defunción.» Departamento de Matemáticas, Univer-sidad de Sonora.

[10] M. Artigue, R. Douady, L. Moreno, Ingeniería Di-dáctica en educación matemática. Un esquema para lainvestigación y la innovación en la enseñanza y el apren-dizaje de las matemáticas, Universidad de los An-des. Bogotá: Grupo Editorial Iberoamérica, 1995.

[11] E. Ruhana, M. Bruekheimer, «Univalente: A Criticalon non-critical characteristics of functions? For thelearning in mathematics.» 1998.

[12] G. Leinhardt, O. Zaslavsky, M. Stein, «Functions,Graphs and Graphing: Task, Learning andTeaching.» Review of Educational Research, 1990.

[13] D. Tall, S. Vinner, Concept image and conceptdefiniton in mathematics, with particular reference to

limits and continuity., Educational Studies inMathematics. 1981.

[14] C. Azcárate, «Sistemas de Representación.,» UNO.Revista de Didáctica de las Matemáticas, 1990.

[15] C. Janvier, «The interpretation of complex cartesiangraphs representing situations,» University ofNottingham, 1978.

[16] R. Lesh, T. Post, M. Behr, Representation andtranslations among representations in mathematicslearning and problem solving. N.J: Lawrence ER,1987.

[17] C. Monereo, M. Castelló, «Las estrategias de apren-dizaje. Cómo incorporarlas a la práctica educati-va.» Edebé, 1997.

[18] Ministerio de Educación Nacional, «Competen-cia,» MEN. Colombia, 2006.

[19] Departamento de educación, universidades e in-vestigación., «Las competencias básicas en el Sis-tema Educativo de la C.A.P.V. .» Gobierno vasco,2009.

[20] Instituto Nacional de Evaluación Educativa, «5Claves para entender la competencia matemáticaen #PISA,» Educalab.

[21] L. Gutiérrez, «Gutiérrez, Luz (2008) Competenciabásicas en el área de matemáticas.» Consejería deeducación del gobierno de Cantabria, 2008.

[22] W. Gregori, «Manifiesto de la Proporcionalidad.»2008.

[23] B. Johnson, A. Onwuegbuzie, «Methods Research:A Research Paradigm Whose Time Has Come [Losmétodos de investigación mixtos: un paradigmade investigación cuyo tiempo ha llegado],»Educational Researcher, vol. 33, no. 7, pp. 14-26, Oct-2004.

[24] R. Sampieri, C. Collado, P. Lucio., Metodología de lainvestigación. Mexico, D.F: McGraw Hill Inter-americana, 2003.

[25] J. C. Greene, Mixed methods in social inquiry. SanFrancisco, CA, EE. UU: Jossey-Bass, 2008.

[26] A. Tashakkori, C. Teddlie, Introduction to mixedmethod and mixed model studies in the social andbehavioral sciences. The mixed methods reader, In V. L.Plano y J. W. Creswell (Eds.). Thousand Oaks, CA,EE. UU: Sage, 2008.

[27] R. Hernández Sampieri y C. P. Mendoza, El matri-monio cuantitativo cualitativo: el paradigma mixto.,Congreso efectuado por el Instituto Mexicano deSexología. Villahermosa, Tabasco, México.: Univer-sidad Juárez Autónoma de Tabasco, 2008.

Documents

MODELAMIENTO MATEMÁTICO COMO …oaji.net/articles/2016/3925-1473945462.pdf · EN ESTUDIANTES DE PRE CÁLCULO ... diagnostic test, ... we could find that from our proposal is possible