Modelação e Simulação Problemas 3 Análise do modelo

Modelação e Simulação - Problemas 3 Análise do modelo

J. Miranda Lemos – IST – DEEC/Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo 1

Modelação e Simulação

Problemas – 3 Análise do modelo

P1. Para cada uma das funções de transferência seguintes esboce qualitativamente a

resposta no tempo ao escalão unitário usando (sempre que aplicável) informações

sobre: Ganho estático, valor inicial e final da resposta e da sua derivada e posição dos

polos e zeros.

a) 𝐺1(𝑠) =4

𝑠+2 b) 𝐺2(𝑠) =

−4

𝑠+2 c) 𝐺3(𝑠) =

4

(𝑠+2)2 d) 𝐺4(𝑠) =

𝑠

𝑠+2

e) 𝐺5(𝑠) =1−𝑠

(𝑠+2)(𝑠+5) f) 𝐺6(𝑠) =

1+𝑠

(𝑠+2)(𝑠+5)

P2. Considere o sistema linear e invariante no tempo descrito pela função de

transferência

𝐺(𝑠) =3

𝑠2 + 3𝑠 − 3

a) Determine o ganho desta função de transferência à frequência nula.

b) Qual o valor final da resposta ao escalão deste sistema.

Atenção: Determine os polos do sistema.

P3. O bloqueio neuromuscular é uma das componentes da anestesia geral, que visa

privar o paciente, sujeito a uma cirurgia, de movimentos voluntários ou reflexos. Para

tal, é injetada no paciente, ao longo do tempo, uma dose de fármaco que tem como

efeito bloquear a junção neuromuscular. Deste modo, os sinais de comando dos nervos

não se transmitem aos músculos o que impede que estes se mexam.

Um dos problemas que se põe ao anestesista é o de determinar a dose de fármaco

para atingir o nível de bloqueio neuromuscular desejado. A partir dos anos 80, foram

desenvolvidas várias técnicas, conhecidas genericamente como TCI (do Inglês Target

Control Infusion) para fazer este cálculo automaticamente, algumas das quais estão

disponíveis comercialmente (o primeiro recebeu o nome comercial de Diprifusor). Este

problema mostra como calcular a dose a partir do inverso do ganho estático do modelo

do bloqueio neuromuscular. Repare-se que este cálculo constitui apenas uma parte da

questão. A outra, tão ou mais importante, consiste em estimar os parâmetros do modelo.



A figura seguinte mostra um diagrama de blocos do modelo que relaciona a dose de

fármaco 𝑢(𝑡) (expresso em [𝜇𝑔𝑘𝑔−1𝑚𝑖𝑛−1 ] ) administrada com o nível de

bloqueio neuromuscular (expresso em percentagem, com 𝑟(𝑡) = 100%

correspondendo a uma atividade muscular normal e 𝑟(𝑡) = 0%correspondendo à

paralisia total).

Este modelo consiste numa parte linear dinâmica (blocos 1 e 2), que permite calcular

as concentrações plasmática, 𝐶𝑝(𝑡), e de efeito, , e numa parte não linear estática

descrita pela equação de Hill. Esta, permite calcular o nível de bloqueio neuromuscular

em função da concentração de efeito através da expressão algébrica:

𝑟(𝑡) =100𝐶50

𝛾

𝐶50𝛾+ 𝐶𝑒

𝛾(𝑡)

em que e 𝛾 são constantes que dependem de paciente para paciente.

a) Mostre que 𝐶50 é o valor da concentração de efeito 𝐶𝑒(𝑡) que faz com que o

nível de bloqueio neuromuscular seja de 50%.

b) Tendo em conta o modelo da figura, determine um valor para a dose 𝑢(𝑡) tal

que, se esta for mantida constante neste valor, se aproxima de um valor de

equilíbrio especificado. A dose deve ser expressa nos parâmetros do modelo e

no nível de desejado. Por outras palavras, pretende-se o inverso do ganho

estático do sistema. Tenha em conta, no entanto, que este sistema tem uma parte

não linear.

P4. Considere os gráficos de resposta ao escalão unitário que se mostram nas figuras

seguintes e as funções de transferência de sistemas de 2ª ordem que se indicam a seguir

aos gráficos. Indique a que função de transferência corresponde cada gráfico.

Sugestão: Determine 𝜍 e 𝜔𝑛 em cada caso e tenha em atenção a existência de zeros.

)(tr

Equaçãode Hill

1 2 3

u(t) r(t)cp(t) ce(t)

s+1 s+2 s+

a1 a2+

)(tCe

)(tr )(tCe

50C

)(tr

)(tr

)(tr



0 2 4 6 8 10 12 14 16-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tempo [s]

a)

0 2 4 6 8 10 12 14 16-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tempo [s]

b)



0 2 4 6 8 10 12 14 16-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tempo [s]

c)

0 2 4 6 8 10 12 14 16-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tempo [s]

d)



0 2 4 6 8 10 12 14 16-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tempo [s]

e)

0 2 4 6 8 10 12 14 16-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tempo [s]

f)



𝐺1(𝑠) =1

𝑠2+0.1𝑠+1 𝐺2(𝑠) =

16

𝑠2+2𝑠+16 𝐺3(𝑠) =

1

𝑠2+0.5𝑠+1

𝐺4(𝑠) =−𝑠+1

𝑠2+2𝑠+1 𝐺5(𝑠) =

16

𝑠2+0.4𝑠+16 𝐺6(𝑠) =

3.3333𝑠+1

𝑠2+2𝑠+1

0 2 4 6 8 10 12 14 16-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tempo [s]

g)

0 2 4 6 8 10 12 14 16-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tempo [s]

h)



𝐺7(𝑠) =1

𝑠2+2𝑠+1 𝐺8(𝑠) =

−𝑠+1

𝑠2+0.5𝑠+1

P5. Diga que funções de transferência correspondem às seguintes respostas no tempo

ao escalão:

𝐺1(𝑠) =0.25

𝑠2+0.3𝑠+0.25 𝐺2(𝑠) =

1

(𝑠+1)3 𝐺3(𝑠) =

1

𝑠2+0.6𝑠+1

𝐺4(𝑠) =−0.6𝑠+2

𝑠2+3𝑠+2 𝐺5(𝑠) =

−2𝑠+2

𝑠2+3𝑠+2 𝐺6(𝑠) =

1

𝑠+1

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2A

0 1 2 3 4 5 6 7 8-0.5

0

0.5

1

1.5B

0 1 2 3 4 5 6 7 8-0.5

0

0.5

1

1.5C

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.5

1

1.5D

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.5

1

1.5E

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.5

1

1.5F



P6. As figuras seguintes representam a resposta em frequência numa banda de

frequências significativas e dois pedaços da resposta no tempo ao escalão, partindo de

condições iniciais nulas, (respetivamente no início e perto do fim do ensaio) de uma

função de transferência.

Diga justificadamente a que função de transferência, de entre as hipóteses seguintes,

pertencem estes troços de resposta.

𝐺1(𝑠) =1

𝑠2+0.4𝑠+2 𝐺2(𝑠) =

1

𝑠2+0.4𝑠+1 𝐺3(𝑠) =

3

𝑠2+0.4𝑠+1

𝐺4(𝑠) =1

𝑠2+2𝑠+1 𝐺5(𝑠) =

𝑠+1

𝑠2+0.4𝑠+1

P7. Considere o sistema autónomo (sem entrada), descrito pela equação de estado

homogénea

�̇�(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡)

em que

10-0.2

10-0.1

100

100.1

-180

-135

-90

-45

0

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-5

0

5

10

Magnitu

de (

dB

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

25 25.5 26 26.5 27 27.5 28 28.5 29 29.5 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6



𝐴 = [−2.5 0.50.5 −2.5

]

a) Recorrendo à decomposição modal, escreva a solução desta equação de estado

quando a condição inicial é

𝑥(0) = [21]

b) Resolva a mesma equação quando a condição inicial é

𝑥(5) = [21]

P8. Considere o sistema autónomo (sem entrada), descrito pela equação de estado

homogénea

�̇�(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡)

em que

𝐴 = [−1.25 0.752.25 0.25

]

a) Indique uma condição inicial tal que o estado tenda para zero.

b) Indique uma condição inicial tal que o estado seja uma única exponencial

crescente.

c) Esboce o retrato de fase com base nos valores próprios e vetores próprios da

matriz 𝐴.

P9. Considere os modelos de estado homogéneos, cujas matrizes da dinâmica são dadas

por

𝐴 = [1 14 1

] 𝐴 = [0 1−1 −3

] 𝐴 = [0 11 0

]

Para cada um deles, escreva a solução da equação de estado com condições iniciais

dadas por

𝑥(0) = [21]

P10. Considere o sistema linear e invariante de 2ª ordem, descrito pela equação

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝐴𝑥 com 𝐴 = [

1 −20 −1

]

Responda sucessivamente às seguintes perguntas:

a) Calcule os valores próprios e os vetores próprios da matriz 𝐴.



b) Com base nos valores próprios e nos vetores próprios escreva a solução da equação

diferencial quando a condição inicial é 𝑥(0) = [2

−0.5]

c) Indique uma condição inicial tal que o estado do sistema tenda para zero quando o

tempo 𝑡 → ∞.

d) Esboce graficamente o retrato de fase do sistema representado pela equação

diferencial.

P11. Considere as figuras seguintes, que correspondem a trajetórias no espaço de estado

de quatro sistemas lineares de 2ª ordem, diferentes, com equação

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝐴𝑥

Estes retratos de fase estão identificados de a) a d) no topo de cada figura.

-10 -5 0 5 10-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

x1

x2

a)



Considere ainda as respostas temporais das duas componentes do estado partindo de

uma dada condição inicial (que pode variar de figura para figura).

-10 -5 0 5 10-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

x1

x2

b)

-10 -5 0 5 10-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

x1

x2

c)

-10 -5 0 5 10-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

x1

x2

d)

0 2 4 6 8 10-10

-5

0

Tempo

x1

T1

0 2 4 6 8 10-10

-8

-6

-4

-2

0

Tempo

x2

0 2 4 6 8 10-10

-5

0

5

10

Tempo

x1

T2

0 2 4 6 8 10-10

-5

0

5

10

15

Tempo

x2



Finalmente, considere as seguintes matrizes da dinâmica

𝐴1 = [0 1−2 0

] 𝐴2 = [0 11 0

] 𝐴3 = [0 1−2 −0.7

] 𝐴4 = [0 −1−1 0

]

a) Diga qual das matrizes corresponde a qual retrato de fase. Deve justificar a sua

resposta com base nos valores próprios e vetores próprios (calcule os vetores próprios

apenas quando necessário). Pode ainda utilizar outros argumentos se a resposta baseada

nos valores próprios e vetores próprios não for suficiente.

b) Diga qual das respostas temporais corresponde a qual retrato de fase. Justifique.

P12. Considere as figuras seguintes, que correspondem a trajetórias no espaço de estado

de 4 sistemas lineares de 2ª ordem, diferentes, com equação

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝐴𝑥

Estes retratos de fase estão identificados de a) a d) no topo de cada figura.

0 2 4 6 8 10-20

-10

0

10

20

Tempo

x1

T3

0 2 4 6 8 10-20

-10

0

10

20

Tempo

x2

0 2 4 6 8 10-10

-5

0

Tempo

x1

T4

0 2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

Tempo

x2



Considere ainda as seguintes matrizes da dinâmica

𝐴1 = [−5

3⁄ −43⁄

43⁄

53⁄] 𝐴2 = [

0 −12 0

] 𝐴3 = [0 1−2 −0.6

] 𝐴4 = [0 11 0

]

a) Diga qual das matrizes corresponde a qual retrato de fase. Deve justificar a sua

resposta com base nos valores próprios e vetores próprios (calcule os vetores próprios

apenas quando necessário).

b) Calcule a resposta 𝑥(𝑡) quando a matriz da dinâmica é a matriz 𝐴3 do problema

anterior, e a condição inicial é 𝑥1(0) = 1 𝑥2(0) = 0.

-10 -5 0 5 10-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

x1

x2

a)

-10 -5 0 5 10-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

x1

x2

b)

-10 -5 0 5 10-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

x1

x2

c)

-10 -5 0 5 10-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

x1

x2

d)



c) Indique uma condição inicial não nula tal que o estado do sistema com matriz da

dinâmica 𝐴4 tenda para zero quando o tempo aumenta.

P13. A Teoria do Conflito de L. F. Richardson

Bibliografia: Braun, M. (1978). Differential Equations and Their Applications,

Springer-Verlag, 374-381.

A praça Plekszy-Gladz em Szohôd, capital da Bordúria

A Sildávia e a Bordúria são dois países dos Balcãs que, embora pouco conhecidos da

generalidade dos portugueses, estão ligados a um capítulo notável da história da

tecnologia. Com efeito, foi da Sildávia que partiu o primeiro foguete que levou à Lua,

e trouxe sãos e salvos de regresso, os primeiros seres humanos e um cão. Embora

partilhem muitos traços comuns da sua cultura, em particular na alimentação, a história

nem sempre registou relações pacíficas entre estes dois estados vizinhos. São estas

relações, potencialmente conflituosas, que se pretendem analisar neste problema

através de uma teoria devida a L. F. Richardson (que, tal como eu, nunca conheceu

pessoalmente Plekszy-Gladz).

Sejam 𝑥1 e 𝑥2, respetivamente, a quantidade de armamento da Sildávia e da Bordúria.

Richardson admitiu que a sua evolução no tempo se faz de acordo com o modelo:

𝑑𝑥1𝑑𝑡

= 𝑘𝑥2 − 𝛼𝑥1 + 𝑔

em que 𝑘𝑥2 é o termo que traduz o medo do adversário (quanto mais armado estiver,

mais “nós” nos vamos armar para nos defendermos), 𝛼𝑥1 é um termo que traduz uma

redução da taxa de crescimento do armamento devido ao custo e 𝑔 traduz o aumento



da taxa de armamento pelas “questões mal resolvidas do passado”. Analogamente, a

taxa de crescimento da Bordúria satisfaz:

𝑑𝑥2𝑑𝑡

= 𝑙𝑥1 − 𝛽𝑥2 + ℎ

a) Determine o ponto de equilíbrio do nível de armamentos;

b) Considere a situação em que os termos de “defesa” predominam, tendo-se

𝑑𝑥1

𝑑𝑡= 𝑘𝑥2

𝑑𝑥2

𝑑𝑡= 𝑙𝑥1

Determine as soluções deste sistema de equações diferenciais e conclua o que

acontece a longo prazo

c) Dê condições para a a instabilidade do ponto de equilíbrio no caso geral.

Interprete.

1

P14. Os modelos de combate de Lanchester

Bibliografia: Braun, M. (1978). Differential Equations and Their Applications,

Springer-Verlag, 381-390.

Durante as Guerras do Alecrim e Manjerona, a Brutópia enfrentou a República da

Bananuela numa série de combates entre forças convencionais. A evolução do número

de combatentes foi predita com notável precisão pelo modelo de Lanchester, depois

aplicado na batalha de Iwo Jima, ocorrida na 2ª Guerra Mundial. Seja 𝑥1 o número de

combatentes da Brutópia e 𝑥2 o número de combatentes da República da Bananuela.

Num combate entre forças convencionais, admite-se que cada um dos elementos de

cada uma das forças de combate está ao alcance da força inimiga. Quando um dos

elementos é morto, o fogo é concentrado nos combatentes remanescentes. Deste modo,

admite-se que a taxa de perdas de 𝑥1 é igual a 𝑎𝑥2 para uma cosntante 𝑎. Se não houver

reforços durante a batalha, o número de combatentes é então modelado por:

{

𝑑𝑥1𝑑𝑡

= −𝑎𝑥2

𝑑𝑥2𝑑𝑡

= −𝑏𝑥1

em que 𝑎 e 𝑏 são constantes. Considera-se que uma força de combate vence a batalha

se se atingir uma situação em que o número de combatentes da força oponente é zero e

o da sua própria diferente de zero.

1 Estes separadores foram inspirados pelos célebres bigodes de Plekszy-Gladz.



Mostre que

i) Se 𝑥2(0) > √𝑏

𝑎𝑥1(0) então a força 2 ganha;

ii) Se 𝑥2(0) < √𝑏

𝑎𝑥1(0) então a força 1 ganha;

Isto mostra que, para ganhar, uma força tem de concentrar inicialmente combatentes

em número suficientemente elevado.

P15. (Construção do modelo estado linear por linearização em torno de um ponto de

equilíbrio – Franklin and Powell) Considere o circuito elétrico que se representa na fig.

P14-1.

Fig. P14-1 – Problema P14. Circuito elétrico não linear

A característica da condutância G é não linear, sendo definida por

𝑖𝐺 = 𝑔(𝑣𝐺) = 𝑣𝐺(𝑣𝐺 − 1)(𝑣𝐺 − 4) As equações de estado são

𝑑𝑖

𝑑𝑡= −𝑖 + 𝑣

𝑑𝑣

𝑑𝑡= −𝑖 + 𝑔(𝑢 − 𝑣)

em que 𝑖 e 𝑣 são as variáveis de estado e 𝑢 é a entrada.

a) Um dos estados de equilíbrio que ocorrem quando a entrada toma o valor constante

�̄� = 1 é 𝑖1̄ = �̄�1 = 0 (o índice refere-se ao “ponto de equilíbrio número 1”).

Determine os outros dois pares de 𝑖 e 𝑣 que conduzem ao equilíbrio quando a

entrada toma o mesmo valor.

b) Obtenha os modelos linearizados em torno dos três pontos de equilíbrio que

determinou.

c) O que pode dizer sobre a estabilidade de cada um dos pontos de equilíbrio?



P16. Considere o modelo de estado não linear

𝑑𝑥1𝑑𝑡

= (1 − 𝑥1 − 𝑥2)𝑥1

𝑑𝑥2𝑑𝑡

= (1

2−1

4𝑥1 −

3

4𝑥2)𝑥2

a) Determine os pontos de equilíbrio (pense numa interpretação geométrica) e os

sistemas linearizados em torno de cada um desses pontos.

b) Classifique em termos de estabilidade o sistema em torno dos pontos de equilíbrio.

Desenhe qualitativamente o “retrato de fase” do sistema não linear a partir dos

sistemas linearizados e dos sinais das derivadas.

P17. Foi recentemente descoberta na Melanésia uma ilha habitada apenas por duas

novas espécies de herbívoros, a que foram dados os lindos nomes de Necs e Plaks.

Após aturados estudos de uma competente equipa de biólogos concluiu-se que estas

duas espécies competem entre si pelo alimento disponível, podendo o número médio

dos seus efetivos ser modelado pelo sistema de equações diferenciais não lineares:

{

𝑑𝑁

𝑑𝑡= 𝑁(1 − 𝑁 − 𝑃)

𝑑𝑃

𝑑𝑡= 𝑃 (

1

2−1

4𝑃 −

3

4𝑁)

em que 𝑁 é o número de Necs e 𝑃 é o número de Plaks. Estes números são normalizados

pelo que, para obter os valores das populações é necessário multiplicá-los por 1000.

Determine se é possível as duas espécies coexistirem a longo prazo.

Sugestão: Comece por mostrar que 𝑁 = 12⁄ , 𝑃 = 1

2⁄ é um ponto de equilíbrio do

sistema não linear e estude o que acontece às populações se este equilíbrio for

ligeiramente perturbado.

P18. Considere o seguinte modelo para a competição entre duas espécies com efetivos

𝑁1 e 𝑁2 dado pelo sistema de equações diferenciais:

em que

𝜆1 = 3, 𝜆2 = 2, 𝛾1 = 𝛾2 = 𝛿1 = 𝛿2 = 1

)()()()()()( 12111111 tNtNtNtNtNdt

d+−−=

)()()()()()( 22122222 tNtNtNtNtNdt

d+−−=



a) Determine os pontos de equilíbrio do sistema.

b) Linearize o sistema em torno de cada um dos pontos de equilíbrio e discuta o

comportamento local com base nestas linearizações.

c) A partir dos resultados das alíneas anteriores e dos sinais da derivada, esboce

aproximadamente o retrato de fase do sistema.

P19. Considere o sistema autónomo (isto é, sem entrada), de 2ª ordem, descrito pelo

sistema de equações não lineares

𝑑𝑥1𝑑𝑡

= −𝑥2 − 𝑥1(𝑥12 + 𝑥2

2)

𝑑𝑥2𝑑𝑡

= 𝑥1 − 𝑥2(𝑥12 + 𝑥2

2)

Mostre que a origem é um ponto de equilíbrio do sistema. Obtenha as equações do

sistema linearizado em torno da origem. Classifique a origem em termos dos valores

próprios do sistema linearizado. Diga o que pode concluir daqui sobre o comportamento

em torno da origem do sistema não linear.

P20. Considere o modelo epidemiológico simplificado em que 𝑥 representa a população

sã e 𝑦 a população infetada, e 𝐾 e 𝐿 são parâmetros positivos:

{

𝑑𝑥

𝑑𝑡= −𝐾𝑥𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝐾𝑥𝑦 − 𝐿𝑦

Recorrendo aos sinais da derivada esboce qualitativamente o retrato de fase deste

sistema.



Fig. P21-1. Característica estática da válvula.

P21. A fig. P21-1 (acima) representa a característica estática de uma válvula. O

comportamento estático da válvula é descrito por 3 variáveis:

• 𝑌 [𝑚𝑚] = deslocamento do veio de abertura da válvula.

• 𝑃 [𝑏𝑎𝑟] = pressão na descarga (isto é, à saída da válvula).

• 𝑄 [𝑚3/ℎ] = caudal na descarga.

Considere o ponto de trabalho definido por 𝑌0 = 25𝑚𝑚 e 𝑃0 = 5𝑏𝑎𝑟. Por linearização

da característica, obtenha graficamente os coeficientes 𝐾𝑌 e 𝐾𝑃 no modelo linearizado

𝛥𝑄 = 𝐾𝑌𝛥𝑌 + 𝐾𝑃𝛥𝑃

em que 𝛥𝑌 e 𝛥𝑃 são incrementos em relação ao ponto de operação.

0 5 10 15 20 25 30 35 400

50

100

150

200

250

300

Y[mm]

Q[m

3/h

]

P[bar]

7 6 5

4

3

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