MODELAREA PROCESELOR FIZICO-CHIMICEmpfc.solidsoftsolutions.com/files/MPFC, C4_oct.2009-64 slides.pdf · toate, sau radacini multiple (repetate): forma solutiei yc(t) nu se schimba

Jan 20, 2010 CMP, C4, Instrumente matematice de modelare 1

MODELAREA PROCESELOR FIZICO-CHIMICE

C4, Miercuri, D01,anii I (A+ C), Instrumente de modelare


INSTRUMENTE MATEMATICEDE MODELARE UTILIZATE - cuprins

1. Ecuatii diferentiale ordinare (EDO) 2. Ecuatii diferentiale cu derivate partiale(EDP) 3. Ecuatii cu diferente (EDt) 4. Transformata Fourier 5. Transformata Laplace 6. Transformata z 7. Transformata z-modificata 8. Vectori si matrici 9. Algebra lineara 10.Variabile complexe


Bibliografie:EDO, EDt,transformate:

Fourier, Laplace, z.

[1] Jury, E.I.,Analysis and synthesis of sampled-data control systems, Communications and Electronics, 1954, 1-15

[2] Lathi, B.P., Linear Systems and Signals, OUP, Oxford, NY, USA, 2002

[3] Levine, W.S., The Control Handbook, CRC Press, Boca Raton, Florida, USA, 1996

[4] Smith,S.W., The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing, 2nd edition, San Diego: California Technical Publishing, 1999

[5] Stanasila, O., Analiza matematica a semnalelor si undinelor, Matrix Rom, Bucuresti, 1997

[6] http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_Laplace_Z-transform [7] http://www.fftw.org

http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_Laplace_Z-transform

http://www.fftw.org/

http://www.fftw.org/


Bibliografie-ii: Transformate Fourier, Laplace; link-uri utile

[8] http://www.falstad.com/fourier/[9] http://www.jhu.edu/~signals/[10] http://www.ni.com/events/tutorials/campus.htm[11] http://www.cf.ac.uk/psych/CullingJ/dictionary.html[12] http://jchemed.chem.wisc.edu/JCEWWW/Features/

McadInChem/mcad008/FT4FreeIndDecay.pdf[13] http://lcni.uoregon.edu/fft/fft.ppt

http://www.falstad.com/fourier/

http://www.falstad.com/fourier/

http://www.jhu.edu/~signals/

http://www.jhu.edu/~signals/

http://www.ni.com/events/tutorials/campus.htm

http://www.ni.com/events/tutorials/campus.htm

http://www.cf.ac.uk/psych/CullingJ/dictionary.html

http://www.cf.ac.uk/psych/CullingJ/dictionary.html

http://jchemed.chem.wisc.edu/JCEWWW/Features/McadInChem/mcad008/FT4FreeIndDecay.pdf





http://lcni.uoregon.edu/fft/fft.ppt




1. Ecuatii diferentiale ordinare(EDO) Ce sunt? - (i)

Expresie diferentiala: o functie care contine variabile si derivatele acestora

Ecuatie diferentiala (ED): o expresie diferentiala egalata cu zero.

EDO: o ED care contine numai o singura variabila independenta

EDP (ED Partiala): o ecuatie ce contine mai mult decat o singura variabila independenta. Variabila independenta: oricare marime precum: timp,

presiune,temperatura, distanta, viteza, acceleratie etc Ordinul unei ED: valoarea/ ordinul celei mai mari derivate


1. Ecuatii diferentiale ordinare (EDO), exemple (ii)

Exemplul 1: (d3y/dt3)5 + 2.5(dy/dt) + 12y2(t) = cos(t) (1)

este o EDO de ordinul trei, ordinul derivatei!

Exemplul 2:

an(t)(dny/dtn)+an-1 (t)(dn-1 y/dtn-1 ) + ..…..+a1(t)(dx/dt) + a0(t)y(t) = r(t) (2)

este o EDO de ord. n (cea mai mare derivata), cu coeficienti variabili in timp: ai(t), i = 0, 1, 2, …., n

Exemplul 3:

an(dny/dtn)+an-1 (dn-1 y/dtn-1 ) + ..…..+a1(dx/dt)+a0y(t) = r(t) (2-bis)

este o EDO de ord. n (cea mai mare derivata), cu coeficienti constanti


1. Ecuatii diferentiale ordinare (EDO)-(iii)-EDOn si EDO-LTI

EDO de ordinul n descriu sisteme LTI (LIT), deci MM aferente acestora

In ingineria sistemelor si la determinarea MM aferente sistemelor LTI (cu intrarea u si iesirea y), EDOn este (coeficientii ai, bi constanti):

an(dny/dtn)+an-1 (dn-1 y/dtn-1 )+….. +a1(dy/dt) +a0y(t) = b0u(t)+b1(du/dt)+b2(d2u/dt2)+… +bm-1 (dm-1 y/dtm-1 ) +bm(dmu/dtm), (m ≤ n) (3)


1. Ecuatii diferentiale ordinare (EDO)-(iv)- lineare, variante si invariante

EDO lineara: acea EDO la care coeficientii ai(t), bj(t) nu sunt functii de y(t)

EDO varianta: acea EDO la care coeficientii ai(t), bj(t) sunt functii de timp (variabila independenta “t”);

EDO lineara cu coeficienti constanti: acea EDO la care toti coeficientii ai(t), bj(t), sunt constanti (valori numerice, nu sunt functii de timp).


1. Ecuatii diferentiale ordinare (EDO)-(v)- solutia acestora!

O functie y(t) are o derivata unica (dy/dt), dar: Pentru o derivata data (dy/dt), exista o infinitate de

functii posibile, y(t). Rezulta deci ca e imposibil sa determinam in mod

unic pe y(t)

Totusi, putem determina in mod unic pe y(t), doar daca mai exista informatii suplimentare (constrangeri), despre ea (adica despre y(t)).


1. Ecuatii diferentiale ordinare (EDO)-(vi)- solutia acestora!

Solutia EDO de grad 2, 3, …,n, se poate determina in mod unic, doar daca avem 2, 3, ….,n informatii suplimentare despre y(t).

Aceste informatii suplimentare se mai numesc constrangeri sau conditii suplimentare

Daca aceste conditii suplimentare sunt date la timpul t=0 (in origine), ele se numesc conditii initiale.


1. Ecuatii diferentiale ordinare (EDO),viiMetode de determinare a solutiei (i)

• A). Metode in domeniul timp (t):1. La ecuatii diferentiale ordinare

1.a. Metoda clasica (numai anumite intrari) 1.b. Metoda convolutiei (moderna, generala)

2. La ecuatii cu diferente (EDt) 2.a. Solutie prin metoda clasica

2.b. Solutie prin metoda convolutiei

• B). Metode in domeniul frecventa (s, ω) 1. Metoda transformatelor Fourier, Laplace, z


1. Determinarea solutiei EDO, (ii)1.a): Metoda clasica (i)

Daca in ecuatia (3) avem u(t)=0, aceasta se numeste EDO omogena (sau complementara). Se arata (fara demonstratie aici) ca solutia EDO

este suma y(t)=yc(t)+yp(t), unde yc(t) – este solutia complementara yp(t) – solutia particulara

La analiza sistemelor automate LTI, cele doua solutii (raspunsuri ale sistemului) se numesc yn(t) –raspuns natural, si yf(t) –raspuns fortat, adica y(t)=yn(t)+yf(t)


1. Determinarea solutiei EDO, (iii)1.a): Metoda clasica (ii)

Solutia complementara (raspunsul natural) aferenta EDO, yc(t) (numita si yn(t)), se poate determina daca si numai daca yc(t) si toate cele n derivate succesive ale acesteia au aceeasi forma (altfel, suma acestora, in (3), niciodata nu va tinde spre zero pentru toate valorile lui t). Singura functie care are aceasta proprietate este functia

exponentiala eλt, deci solutia EDO yc(t) este de forma yc(t)=cieλit,

unde λi, i = 1, 2,….,n, sunt solutiile ecuatiei caracteristice aferente EDO (polinomul caracteristic egalat cu zero). De aceea, λi se numesc:

radacini caracteristice, sau, alteori valori caracteristice, sau valori proprii (eigenvalues) sau frecvente naturale.


1. Determinarea solutiei EDO, (iv)1.a): Metoda clasica (iii)

Observatia 1: eigenvalue (valoare proprie) este (in L. Germana), termenul pentru valoare caracteristica

Exponentialele eλit (i=1, 2, ….,n), din solutia complementara yc(t) se

numesc: - moduri caracteristice, sau, alteori - moduri naturale, sau, mai simplu - moduri

Observatia 2: exista cate un mod caracteristic pentru fiecare radacina caracteristica

Observatia 3: solutia complementara yc(t) este o combinatie lineara de moduri caracteristice

Observatia 4: cele n radacini caracteristice λ1, λ2, ……, λn pot fi distincte toate, sau radacini multiple (repetate): forma solutiei yc(t) nu se schimba


1. Determinarea solutiei EDO, (v)1.a): Metoda clasica (iv)

Solutia particulara (numita si raspuns fortat) aferenta EDO, yp(t), se poate determina numai daca (nu se poate, in oricare alt caz): Intrarea u(t) este ca forma a.i. rezulta numai un numar finit de

derivate independente ale acesteia, respectiv avem cazurile: u(t) exponentiala, est, – o singura derivata independenta

(diferentierea repetata a lui est este aceeasi est); u(t) = tm – diferentierea repetata, duce la m derivate

independente; u(t) = k (constanta) – derivata/ diferentiala rezulta zero; u(t) = cos(t) – intrare sinusoidala; u(t) = trest;

u(t) = ejt (s=jω), – intrare exponentiala complexa. Observatie: forma raspunsului fortat yp(t) este deci

asemanatoare cu forma functiei u(t) aplicata la intrare


1. Determinarea solutiei EDO, (vi)1.b): Metoda convolutiei (i)

Intrarea u(t) la aceasta metoda se exprima ca o suma de impulsuri

Solutia este obtinuta ca o suma a solutiilor aferente tuturor impulsurilor ce compun intrarea

Metoda se foloseste de proprietatea (principiul) superpozitiei, ce actioneaza numai la LTI – LIT


1. Determinarea solutiei EDO, (vii) 1.b): Metoda convolutiei (ii)

Daca intrarea u(t) este suma (sau integrala) unor componente impulsuri, adica

iar pentru LTI tip EDOn (ec. (2) sau ec. (3)), solutia este y(t) = h(t), in CI nule, atunci, utilizand proprietatea de liniaritate, rezulta ca solutia ecuatiei LTI-EDOn cu u(t) de mai sus, este

La aceasta solutie particulara trebuie sa se adauge si o solutie complementara (omogena), pentru a avea y(t)=yc(t)+yp(t)

( ) ( ) ( )t

ou t u t t x dxδ= −

( ) ( ) ( )t

oy t u t h t x dx= −


1. Ecuatii diferentiale ordinare (EDO) Compararea celor doua metode (I)

Metoda convolutiei este laborioasa, comparativ cu metoda clasica; pe de alta parte,

Metoda clasica are dezavantajul ca duce la obtinerea raspunsului total, din care nu pot fi separate cele doua componente, ce rezulta din conditiile interne si conditiile externe

La analiza SA este avantajos sa avem exprimat raspunsul sistemului la o intrare u(t) care este o functie explicita de u(t); cu metoda clasica nu e posibil acest lucru.


1. Ecuatii diferentiale ordinare (EDO) Compararea celor doua metode (ii)

Metoda clasica nu se poate aplica la orice tip de intrare, ci doar la cateva tipuri (numai la acele u(t) care au un numar finit de derivate independente)

Rezulta ca, desi se poate aplica mai usor uneori la determinarea raspunsului unui sistem LIT de forma particulara, totusi, la studiile teoretice ale sistemelor LIT, metoda clasica este fara utilitate practica.


2. Ecuatii cu diferente (EDt), (i)

2. Ecuatii cu diferente (EDt) 2.1. Generalitati, forme 2.2. Cauzalitate 2.3. Determinarea solutiei iterative 2.4. Metoda clasica de determinare a solutiei


2. Ecuatii cu diferente (EDt), (ii). Ce-i o relatie de recurenta?

O relatie de recurenta este una care, in matematica, defineste o secventa in mod recursiv; adica, fiecare termen al secventei este definit/ calculat, in functie de termenii anteriori (precedenti).

O ecuatie cu diferente este un tip specific de relatie de recurenta. Exemple de relatii de recurenta (lineare) cu coeficienti constanti:

Secventa (numerele) Fibonacci, cu relatia de recurenta: Fn = Fn-1 + Fn-2, cu numerele initiale F1 = 0 si F2 = 1. Astfel: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610 etc

Ecuatia determinarii dinamicii populatiei (ec. logistica): xn+1 = r.xn (1-xn); 0 < xn < 1 populatia in anul n, deci x0 este la anul 0, populatia initiala;

r > 0, e un numar pozitiv ce reprezinta rata combinata a natalitatii si mortalitatii (modelul de predictie, neliniar, are si comportari haotice populatii de dimensiuni negative etc)).

Seria Taylor Serii hipergeometrice (polinoame ortogonale si functii speciale)

Functia Bessel etc


2. Ecuatii cu diferente (EDt), (iii) 2.1 Generalitati, forme (i)

Consideram doar EDţ lineare cu coeficienti constanti EDţ se pot exprima in doua forme:

Prima, utilizeaza valorile din urma (intarziate, din trecut), cum sunt y[k-1], y[k-2], y[k-3], u[k-1], u[k-2], u[k-3],….etc (operator de intarziere)

A doua, utilizeaza termenii in avans, cum sunt y[k+1], y[k+2], y[k+3], u[k+1], u[k+2], u[k+3],….etc (operator in avans)

O EDţ lineara generala, ord. n, cu operator in avans este:

any[k+n]+an-1 y[k+n-1]+..…+a1y[k+1]+a0y[k] = =bmu[k+m]+bm-1 u[k+m-1]+…..+b1u[k+1]+b0u[k]

unde, in membrul stang sau drept, y[k] sau u[k] sunt valorile acestor variabile la momentele de timp k+n, k+n-1, k+n-2, respectiv k+m, k+m-1 etc, etc.


2. Ecuatii cu diferente (EDt), (iv) 2.1 Generalitati, forme (ii)

Conditia de cauzalitate cere ca solutia EDt sa nu depinda de valorile viitoare ale intrarii (nu se poate!)

Deci, cu forma operatorului in avans (ec. de mai sus), cauzalitatea cere ca m ≤ n.

Ecuatia cu diferente cauzala generala este atunci cand m = n, respectiv forma cu operator in/ de avans este:

any[k+n]+an-1 y[k+n-1]+….+a1y[k+1]+a0y[k] = bnu[k+n]+bn-1 u[k+n-1]+….+b1u[k+1]+b0u[k] (4)

Ecuatia cu diferente cauzala generala este atunci cand m = n, respectiv forma cu operator de intarziere este:

any[k]+an-1 y[k-1]+….+a1y[k-n+1]+a0y[k-n] = bnu[k]+bn-1 u[k-1] +.….+b1u[k-n+1]+b0u[k-n] (5)


2. Ecuatii cu diferente (EDt), (v) 2.1 Generalitati, forme, observatii (iii)

Observatii: Forma (5)-(cu operator de intarziere) se

obtine din forma (4), unde se inlocuieste timpul ‘k’ prin ‘k-n’, in intreaga ecuatie;

De obicei, la o EDt coeficientul lui y[k+n] este normalizat la 1 (adica an = 1);

Unii coeficienti, din oricare membru (ai sau bj), pot fi egali cu zero (adica sa lipseasca)


2. Ecuatii cu diferente (EDt), (vi) 2.2 Cauzalitate (i)

Conditia de cauzalitate cere ca solutia EDt sa nu depinda de valorile viitoare ale intrarii.

Deci, la formele EDt cu operator in avans (ec. (4) de mai sus), cauzalitatea cere ca m ≤ n.


2. Ecuatii cu diferente (EDt), (vii) 2.3 Determinarea solutiei iterative (i)

Ecuatia (5) se poate scrie sub forma (6):y[k] = -an-1y[k-1]-an-2y[k-2] -…..-a1y[k-n+1]-a0y[k-n]+ +bnu[k]+bn-1u[k-1]+.….+b1u[k-n+1]+b0u[k-n] (6)

Adica, solutia y[k] (la momentul de timp k), se calculeaza cu (2n+1) date:

adica solutia regreseaza in (se calculeaza cu) n valori din trecut ale y[k] (adica ale ei proprii), care sunt: y[k-1], y[k-2],…..,y[k-n],

plus, inca n valori din trecut si valoarea prezenta (una) ale

intrarii, adica valorile u[k], u[k-1], u[k-2], ,…..,u[k-n]


2. Ecuatii cu diferente (EDt), (viii) 2.3 Solutia iterativa; conditii initiale (ii)

DACA INSA intrarea u[k] este cunoscuta la k = 0, 1, 2, 3,…., atunci, valorile lui y[k] pentru k = 0,1,2,….., se pot calcula din cele 2n+1 conditii initiale (CI):

y[-1], y[-2],….,y[-n] si u[-1], u[-2],…..u[-n].

IN PLUS, daca sistemul este cauzal, adica daca u[k]=0 pentru k<0, vom avea u[-1] = u[-2]=….=u[-n]=0 si deci ne trebuie numai ‘n’ CI, adica y[-1], y[-2],…y[-n]. Deci, daca sistemul este cauzal, se pot calcula iterativ (adica recursiv), valorile y[0], y[1], y[2], y[3],.… etc. De aceea, in literatura, ecuatia (6) se mai numeste ecuatie cu diferente recursiva.


2. Ecuatii cu diferente (EDt), (ix) 2.3 Solutia iterativa, exemplu (iii)

Exemplu: Sa se rezolve iterativ ecuatia cu diferente y[k] - 0.2y[k-1] = u[k], ce are conditia initiala y[-1] = 24, intrarea este u[k] = k2 si pleaca din origine (adica din k=0).

Rezolvare: Forma de scriere (6) de mai sus, pentru ecuatia noastra,

este y[k] = 0.2y[k-1] + u[k]; La valorile k = 0, 1, 2, 3, 4,…, vom avea succesiv:

- k=0: y[0] = 0.2y[-1] + u[0] = 0.2(24)+0 = 4.8 - k=1: cu valoarea y[0] = 4.8 calculata mai sus, si u[1] = k2 = (1)2=1,

calculam y[1] = 0.2(4.8) + (1)2 = 1.96 - k=2: cu valoarea lui y[1] = 1.96 din pasul anterior si u[2] = (2)2,

obtinem y[2] = 0.2(1.96) + (2)2 = 4.392, apoi: - k = 3: y[3] = 0.2(4.392) + (3)2 = 9.8784 - k = 4: y[4] = 0.2(9.8784) + (4)2 = 17.97568 ………………………………………………………..


2. Ecuatii cu diferente (EDt), (x) 2.4 Det. solutiei prin alte metode (i)

Procedura de calcul iterativ de mai sus e valabila doar la EDt, nu si la EDO.

Ca si la EDO, la EDt se utilizeaza o notatie operationala similara operatorului de diferentiere, aici fiind vorba de un operator de avansare a secventei pe un interval de timp (pe o perioada de esantionare)

Pentru determinarea solutiei EDt (4), (5), sau (6) de mai sus, adica y[k] = yc[k] + yp[k], exista, iarasi, tot doua tipuri de metode (clasica si de convolutie), care insa, nu fac obiectul cursului.


B. Metode in domeniul frecventa (s, ω)

B). Metode in domeniul frecventa (s, ω) - Metoda transformatelor Fourier, Laplace, Z


Transformate Fourier, Laplace, z (i)

Fourier Jean-Baptiste-Joseph (1768-1830) matematician francez; fiu de croitor, orfan la 8 ani, colegiu militar

(calugari benedictini), sef catedra matematica la Ecole Normale (26 ani!), apoi la Ecole Polytechnique in Paris, baron, prefect de Paris, secretar al Academiei de Stiinta Paris, contemporan cu Napoleon, Laplace (1749-1827), Lagrange (1736 -1813), Legendre (1752-1833), Lavoisier (1743-1794); in timpul Revolutiei Franceze (1789-17 a scapat de doua ori de ghilotina; numit in 1798 de Napoleon (Expeditia Egipteana), Guvernatorul Egiptului de Jos (Champollion, traducerea hieroglifelor…). Creditat (1824) cu descoperirea faptului ca gazele din atmosfera cresc temperatura suprafetei Pamantului si dau efectul de sera; facut baron de Napoleon; L-L-L Laplace, Lagrange si Legendre nu i-au recunoscut ‘seria Fourier’ (“marele poem matematic”, zice Maxwell), spunand ca nu are rigoare matematica; abia 15 ani mai tarziu isi publica rezultatele in Theorie analitique de la chaleur

contributii: algebra, teoria ED, teoria analitica a propagarii caldurii in corpurile solide, serii F., transformate F.(TF-in timp continuu; TFD - in timp discret, iar aici si TFR-FFT)


Transformate Fourier, Laplace, z (ii)

Laplace Pierre Simon, marchiz de (1749 - 1827) (“transformata s”!) matematician, astronom si fizician francez, contemporan cu

Napoleon, Fourier, Legendre, Lagrange contributii: ED, EDO, EDP, teorie cosmogonica (‘Kant-Laplace’),

‘Tratat de mecanica cereasca’, contributii in electromagnetism, generalizarea TF (adica integrandul are si factor exponentila real, nu numai imaginar, s = jω, respectiv transformarea este o functie de variabila complexa, s=σ + jω); transformt Laplace in timp discret este transformata z

Transformata z este transformata Laplace pentru sisteme in timp discret, adica

transformata Laplace deghizata, sau transformata Laurent-deoarece se bazeaza pe aceasta serie) , a fost introdusa cu acest nume, in anul 1958, de E.I. Jurie, in “Sampled-Data Control”, J. Wiley & Sons.


Transformate Fourier, Laplace, z (iii)“Familia Fourier”, (i)

Cei patru membri ai ‘familiei’ Fourier:

TFD (DFT) -Transformata Fourier Discreta TFTD (DTFT) -Transformata Fourier in Timp Discret TF (FT) - Transformata Fourier Continua (in timp continuu) SF (FS) - Seria Fourier


Transformate, generalitati (iv): ‘Familia’ Fourier (ii)

Din tabel, se observa ca cele patru transformate ale familiei se caracterizeaza prin:

Cele doua domenii, care sunt temporal si frecvential (timp, frecventa)

Caracterul discret al unui domeniu implicit periodicitate in domeniul conjugat (‘imaginar’)

Continuitate intr-un domeniu implica aperiodicitate in domeniul conjugat

Domeniul real /realitatea implica simetrie in domeniul conjugat

Trans-for-mata

Timp[c/d]

Frec-venta

TF continua Continua, aperiodica

Continua, aperiodica

Seria Fourier Continua, periodica

Discreta, aperiodica

TF in timp discret(TFTD)

Discreta, aperiodica

Continua, aperiodica

TF discreta (TFD-DFT)

Discreta, periodica

Discreta, periodica


Transformate Fourier, interpretare in termeni de timp si frecventa (i)

TF Directa transforma/descompune o functie din domeniul timp (original, real), intr-un spectru al componentelor ei de frecventa, adica intr-o functie in domeniul frecventa.

Adica, TF descompune functia din domeniul timp in armonici de diferite frecvente

TF Inversa sintetizeaza o functie din spectrul componentelor ei de frecventa

Analogia obisnuita, posibila si utila este aceea dintre setul notelor muzicale (componentele de frecventa) si sunetul muzical reprezentat de aceste note (functia/ semnalul insusi)

TF a unui semnal x(t) din domeniul “t” in domeniul frecventa -“ω”-, trebuie inteleasa in sensul ”cat de mult fiecare frecventa contribuie la semnal”?. Aceasta idee este similara si de baza la oricare dintre transformarile Fourier.


Transformate Fourier, interpretare in termeni de timp si frecventa (ii, continuare)

Interpretarea obisnuita a acestei descompuneri (a functiei de timp, ce reprezinta un semnal fizic, de ex. tensiune, curent, turatie, nivel, pH etc), este aceea a spectrului de frecventa al semnalului. Modulul functiei imagine F rezultante de valoare complexa, reprezinta amplitudinile respectivelor frecvente (ω, ale armonicilor), in timp ce defazajele sunt calculate cu relatia arctan (Im {F}/ Re{F}) (caracteristicile Bode)

Observatie: TF nu se utilizeaza numai la functii de timp si la frecvente temporale. TF pot fi utilizate si la analiza frecventelor spatiale ([cicli/m] sau [linii/mm]) deci la functii avand orice fel de variabile reale/ domenii (adica nu numai functii de timp…)


Seria Fourier in formele trigonometrica si

exponentiala Consideram seria Fourier a unei functii periodice, de perioada 2T:

Datorita formulei lui Euler:

Functia de mai sus se poate rescrie ca in relatia (1):

In care coeficientii de descompunere se calculeaza cu relatia (2):

(1)

∑∞

=++=

1

0 )sincos(2

)(~

nnn T

nxb

T

nxa

axf

ππ

θθθ sincos ie i +=

∑∞

−∞==n

inxnecxf )(

~

∫−

−=

T

T

tT

in

n tfeT

c )(2

1 π

(2)


Transformata Fourier

Frecventele sunt si

Prin urmare, (1) si (2) reprezinta ca in (3):

Deoarece, pe de o parte, functia cu perioada T are, de asemenea, perioade kT pentru

orice intreg k, iar pe de alta parte orice functie neperiodica se poate considera drept o

functie cu perioada infinita, putem pune pe T la infinit si obtinem suma Riemann cu

∆w→∞, care converge catre integrala (4):

(3)

T

nwn

π=

wdttfeexfn

T

T

iwtiwx ∆

= ∑ ∫

∞

−∞= −

− )(2

1)(

~

π

Tw

π=∆

∫ ∫∞

∞− −

−

= dwdttfeexf

T

T

iwtiwx )(2

1)(

~

π(4)


Definitia transformatei Fourier

Integrala (4) sugereaza definitia formala de mai jos:

Functia F(w) se numeste transformata Fourier a functiei f(x) daca are loc (5):

Iar functia (6):

Se numeste transformata Fourier inversa a functiei F(w).

∫∞

∞−

−== dttfetfFwF iwt )(:)}({:)(

∫∞

∞−

− = dwwFewFF iwx )(2

1:)}({1

π (6)

(5)


Integrala Fourier

Daca f(x) and f’(x) sunt continue pe portiuni in fiecare interval finit, iar f(x) este absolut

integrabila pe R, adica converge, atunci e valabila relatia

Remarca: Conditiile de mai sus sunt suficiente, dar nu necesare.

∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

−

=++− dwdttfeexfxf iwtiwx )(2

1)]()([

2

1

π


Transformata Fourier continua (TF)t ∈ T → ℛ, (i)

Deci, daca f(t) este o functie reala de variabila reala t (t are valori intre -∞ si +∞), atunci transformata Fourier (TF) a lui f(t) este definita prin relatia (aici, TF este continua, adica t T ∈→ ):ℛ

unde: - ω este frecventa in [rad/s];

- i=sqrt(-1)

- si e-iωt este exponentiala complexa data de relatia lui Euler:

e-iωt = cos(ωt) – i sin(ωt)

Cu relatia lui Euler in cea de definitie, obtinem:

F(ω) = Re(ω) + i Im(ω)

unde R(ω) si Im(ω) sunt partile reala si imaginara ale F(ω), care permit obtinerea i) spectrului amplificarii,

ii) spectrul de faza

∫


Transformata Fourier continua (TF)(t ∈ T → ℛ), (ii) Aplicatii: In fizica, procesarea semnalelor,acustica, statistica, optica,

geometrie, teoria probabilitatilor Proprietati:

Descompune semnalul procesat in frecventele si amplitudinile sale componente

TF este un operator linear Functiile de baza sinusoidale sunt functii proprii de derivare, adica,

TF transforma EDO lineare cu coeficienti constanti in ecuatii algebrice ordinare.

Utilizand teorema convolutiei, TF transforma operatia de convolutie (complicata), intr-o simpla inmultire

TF discreta poate fi calculata rapid cu algoritmi TFR(FFT) utilizand calculatoare


Transformata Fourier continua(TF)(t ∈ T → ℛ), (iii) Proprietati (continuare)

TF este inversabila, TF inversa are apropximativ aceeasi forma ca si TF directa (se observa din relatie ca TF in timp continuu reprezinta orice functie f(t), finita sau periodica, de patrat integrabil, ca o suma de exponentiale complexe ce au frecventele unghiulare ω si amplitudinile complexe F(ω)):

Variante ale TF: TF continua (in timp continuu, t ∈ T → ℛ); TF discreta (in timp discret t ∈ T → Z); Seria Fourier


Functia sinc (cardinal; atenuat): sin(t)/t

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-40 -20 0 20 40

sin

(t)/

t

t

line 1


Transformata Fourier in timp discret (TFTD, (t ∈ T → Z) TFTD (DTFT) este un membru al

familiei TF, ce transforma o functie f(n) ce are variabila n de timp discret (un sir), adica n ∈ T → Z.

Functia imagine obtinuta cu TFTD este un spectru continuu si 2π periodic, adica F(ejω) = F(ej(ω+2π)).

TFTD directa a unui sir f(n) este data, prin definitie, de relatia:

TFTDI (IDTFT), adica transformata Fourier inversa [obtinerea sirului f(n)], se face cu relatia:

TFTD (DTFT) difera de TFD (DFT) prin aceea ca aceasta din urma se aplica doar functiilor in timp discret f(n) care sunt finite si periodice. Adica, pentru un semnal de lungime finita N, f(n):n {0, 1, ∈2,….N-1}, TFD esantioneaza TFTD la intervale egale (periodice) k {0, 1, 2,∈….N-1}, dar in domeniul frecventa:


Transformata Fourier Discreta-TFD (t ∈ T → Z), (I)- directa TF discreta (TFD) se utilizeaza: Numai daca functiile xk sunt

definite in timp discret (t T → ∈Z), si sunt finite si periodice, la:

Calcule stiintifice, EDP etc; Procesarea semnalelor etc.

TFD directa, prin care, o secventa de numere complexe x0, x1,….., xn-1 este transformata intr-o secventa de n numere complexe, f0, f1,….,fn-1, cu relatia:

Unde e este baza logaritmului natural, i este unitatea imaginara (i2=-1), iar π este Pi = 3.14159…

Aplicarea directa a acestei relatii de calcul necesita O(n2) operatii de calcul

DAR, utilizand algopritmul TFR (FFT), relatia de mai sus se poate calcula numai in O(nlogn) operatii.

Ordinul de complexitate in timp al algoritmului TFR este/ apartine numarului de n2 operatii, adica TFD(n)

O(n∈ 2), spre deosebire de algoritmul FFT(TFR) O(n log n).∈

(V. “notatia” matematica a “marimii O” – ‘big O notation’, nu big 0 - zero!), ce descrie comportarea asimptotica a functiilor, adica ordinul de complexitate a acestora).


Transformata Fourier Discreta-TFD (t ∈ T → Z), (II)-inversa TFD inversa (TFDI)se calculeaza cu:

unde, xk sunt reprezentate ca o suma de sinusoide, fj fiind amplitudinile Fourier.

Observatii importante.

i). TFD(DFT) este un caz special al TF in timp discret (TFTD, sau DTFT in L.E.), in care xk sunt definite pe domenii discrete dar infinite, deci spectrul este continuu si periodic

ii). TFTD (DTFT) este, in esenta, inversa seriei Fourier

iii). Diversele variante de mai sus ale TF se pot generaliza, obtinandu-se TFG (Transformata Fourier Generalizata)

iv). Exista si alte transformari timp-frecventa, prin care se poate obtine informatia in frecventa despre un semnal care este functie de timp:

1) TF in timp finit (scurt, mic), v. mai sus TFD

2) TF fractionara3) Transformate wavelets4) Transformate chirpletscare insa nu sunt decat mentionate aici.


Seria Fourier (i) TF continua de mai sus (in timp

continuu) este o generalizare a seriei Fourier (SF)de mai jos, ce se aplica numai functiilor f(x) periodice (cu perioada 2π, adica de domeniu finit). Ea reprezinta aceste functii ca o serie de sinusoide (forma complexa a SF):

unde Fn sunt amplitudinile complexe ale armonicilor de ordinul n.

Pentru functii de valoare reala, SF se scrie (f. trigonometrica) astfel:

unde coeficientii an si bn din SF trigonometrica, sunt amplitudinile reale ale acesteia.

Observatie: TFTD (DTFT) este inversa seriei Fourier


Chirp, chirplet(s), wavelet(s)…(i) Chirp este un semnal a carui frecventa

creste (‘up-chirp’) sau descreste (‘down- chirp’) linear sau exponential cu timpul, avand aplicatii la radare, sonare, in telecomunicatii digitale (modulatie chirp sau modulatie lineara in frecventa), compresia impulsurilor, procesarea imaginilor etc

Chirplet este o portiune (o fereastra) a unei functii chirp, fereastra furnizand unele proprietati de localizare in timp

Transformarea chirp (chirplet transform) este o modalitate de transformare parametrizata a frecventei semnalelor (alta decat lineara sau exponentiala), de forma g = f[(a.x +b)/(c.x + 1)], ce are trei parametri: a (scalare), b (translare), si c (modificare frecventa-chirpness) –(propusa in 1991).

Wavelet(s), in mod similar cu chirplet, este (sunt) o portiune dintr-o unda (numita si undina, undisoara, miniunda in literatura)

O comparatie intre unde (waves), undine (wavelets), chirp si chirplet se poate observa in figura:


Chirp, chirplet(s), wavelet(s)…(ii) Wavelet(s), transformari wavelet, analize wavelet, se refera la reprezentari ale

unor semnale de lungime finita, sau a unor unde oscilante rapid descrescatoare (numite si wavelet mama).

Transformarea wavelet poate fi continua (TWC) si discreta (TWD), cea discreta fiind cea mai utilizata, in special la bancuri de filtre FIR (Finite Impulse Response)

Comparatie cu TF (unde semnalul e reprezentat ca o suma de sinusoide): TF este localizat numai in frecventa, (ω), in timp ce Wavelets sunt localizate atat in timp cat si in frecventa ( t si ω) Wavelets au rezolutie mai buna decat TF de timp scurt (Short-time FT),

desi ultima e localizata, de asemenea, si in timp si in frecventa (nu e cazul aici)

Utilizari (aplicatii) ale wavelets: analiza semnalelor diverse (in locul TF), dinamica moleculara, geofizica seismica, procesarea imaginilor, compresia datelor, climatologie, analize diverse (proteine, AND, EKG etc)

Wavelet toolbox in Matlab!


Transformata Fourier –Proprietati (i) TF are o serie de proprietati, cu ajutorul carora se pot determina

(mai usor), TF ale multor functii comune: Linearitate (superpozitie) TF a functiilor deplasate in timp la stanga sau la dreapta TF a functiilor scalate in timp Inversarea (semnului) timpului Multiplicarea cu o putere a timpului t Multiplicarea cu exponentiala frecventei- exp(jω0t) Multiplicarea cu sinusul frecventei- sin(ω0t) Multiplicarea cu cosinusul frecventei- cos(ω0t) TF a derivatei unei functii in domeniul timp Inmultirea in domeniul timp Convolutia in domeniul timp Proprietatea de dualitate Teorema lui Parseval s.a….


Transformata Fourier –Proprietati (ii)

1. Linearitate (superpozitie): pentru usurinta, w = ω:

Pentru oricare constante a, b are loc urmatoarea egalitate:

Demonstratia se face substituind expresia in relatia (5) de mai sus.

2. Scalarea

Pentru oricare constanta c inmultita cu timpul t, are loc egalitatea de mai jos:

)()()}({)}({)}()({ wbGwaFtgbFtfaFtbgtafF +=+=+

)(||

1)}({

c

wF

cctfF =


Transformata Fourier –Proprietati (iii)3. Deplasarea in timp:

Demonstratie:

4. Deplasarea in frecventa:

Demonstratie:

)()}({ 00 wFettfF iwt−=−

dueufedtettfttfF iwuiwtiwt −∞

∞−

−−∞

∞−∫∫ =−=− )()()}({ 0

00

)()}({ 00 wwFtfeF iwt −=

)()()}({ 000 wwFdtetfetfeF iwtiwttiw −== ∫

∞

∞−

−−


Transformata Fourier –Proprietati (iv)

5. Simetria:

Demonstratie:

Transformata Fourier inversa este:

si prin urmare avem:

∫∞

∞−

− == dwewFwfFtf iwt)(2

1)}({)( 1

π

)(2)}({ wftFF −= π

)}({)(2

1)(2 tFFdtetFwf itw ==− ∫

∞

∞−

−

ππ


Transformata Fourier –Proprietati (v)

6. Modulare:

Demonstratie:

Utilizam formula lui Euler, proprietatea 1 (de linearitate) si 4 (deplasare in frecventa):

)]()([2

1)}sin()({

)]()([2

1)}cos()({

000

000

wwFwwFtwtfF

wwFwwFtwtfF

−−+=

−++=

)]()([2

1

)}]({)}({[2

1)}cos()({

00

000

wwFwwF

tfeFtfeFtwtfF tiwtiw

−++=

+= −


Transformata Fourier –Proprietati (vi)

7. Transformarea Fourier a derivatelor unei functii

Presupunem ca f(n) este continua pe portiuni si absolut integrabila pe R. Atunci:

In particular avem:

iar

Demonstratie:

Se integreaza prin parti, utilizand definitia lui F{f(n)(t)} .

)()()}({ )( wFiwtfF nn =

)()}({ ' wiwFtfF = )()}({ 2'' wFwtfF −=


8.Diferentierea (derivarea) in frecventa

In particular si

Care poate fi demonstrat utilizand definitia lui F{f(t)}, adica relatia de definitie a TF.

)()}({ )( wFitftF nnn =

)()}({ wFittfF ′= )()}({ 2 wFtftF ′′−=


9. Convolutia (teorema convolutiei)-iConvolutia a doua functii f(t) si g(t) este, prin definitie:

Teorema:

Demonstratie:

∫∞

∞−

−≡ duutgufgf )()(*

)](*[2

1)}()({

}{}{}*{

wGFtgtfF

gFfFgfF

π≡

≡

}{}{)()()(

)()(}*{

)( gFfFduutdutgeufe

dtduutgufegfF

utiwiwu

iwt

=

−−

=

−=

∫ ∫

∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

−−−

∞

∞−

∞

∞−

−


Seria si transformata Fourier in timp continuu, concluzii.

Cu seria Fourier, functiile periodice pot fi descompuse in componentele lor de frecventa, acestea fiind functii ordinare de timp.

Sistemele LTI pot fi considerate in termeni in care acestea au componente de frecventa (raspunsul in frecventa).

Sistemele LTI pot fi considerate in termeni in care acestea pot avea semnale in domeniul timp (convolutia cu raspunsul la impuls)

Prin intermediul transformatei Fourier pot fi observate si functiile aperiodice, ca avand componente de frecventa, ca semnalele periodice.

Transformata Fourier in timp continuu se poate obtine extinzand formula de calcul al coeficientilor seriei Fourier in timp continuu pentru semnale periodice, la semnale aperiodice, respectiv:

∫∫

−

ω−ω− ==2/p

2/p

tikp

0

tikk dte)t(x

p1

dte)t(xp1

X 00


Transformata Fourier si Matlab VEZI FUNCTIILE:

abs - calculeaza valoarea absoluta si modulul complex; angle - calculeaza defazajul in radiani al unui numar complex; fft si ifft – calculeaza TF directa si inversa a unei secvente fftshift- calculeaza/ shifteaza componenta de frecventa zero a TFD pentru a

centra spectrul ifftshift – inversa lui fftshift _______________________ fourier – transformarea integrala Fourier in timp continuu (Symbolic Math

Toolbox) ifourier - transformarea integrala Fourier inversa in timp continuu (Symbolic

Math Toolbox) ________________________________ windows- ferestre pentru fft directe si inverse pe timp scurt::-barthannwin

(Bartlett-Hann modificata); bartlett; blackman; blackmanharis; hann; chebwin (Chebyshev); kaiser; tukeywin; rectwin; gausswin; bohmanwin etc etc

filter – filtreaza o secventa de date utilizand un filtru digital


Exemplu de fft short-time cu o fereastra Bartlett-Hann, 128 puncte/esantioane, frecventa normalizata (x π rad/esantion), functia barthannwin

20 40 60 80 100 1200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Samples

Am

plitu

deTime domain

0 0.2 0.4 0.6 0.8-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

Normalized Frequency ( ×π rad/sample)

Mag

nitu

de (dB

)

Frequency domain


Fereastra Bartlett cu 128 esantioane, aceeasi

frecventa normalizata (fc. bartlett) .

20 40 60 80 100 1200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Samples

Am

plitu

deTime domain

0 0.2 0.4 0.6 0.8-80

-60

-40

-20

0

20

40

Normalized Frequency ( ×π rad/sample)

Mag

nitu

de (dB

)

Frequency domain


TC 2 !!! Si TC3 !!

TC2 (tema de casa 2) este cu calcul simbolic…

6 functii simbolice/ 6 pagini !

TC3 (tema de casa 3) este cu functiile din slide-ul 60, adica diverse transformate Fourier, 10

pag


Tema de casa nr. 4 (TC4)

Modificati, adaugati, revizuiti functia “why” din MATLAB, pentru a se potrivi gusturilor dvs. proprii (elev ajuns student; glumet; serios; neserios; cercetator; informatician; automatist; meticulos; bigot; amic/fiu/ fiica bun/ rau; visator; romantic; educat; cult; civilizat… etc)

Cea mai buna realizare (votata de dvs) va lua nota 10 si doua puncte in plus la examenul de semestru.

Adresele de email pentru dialog ale CD cu care interactionati la C si L: [email protected] si

[email protected]

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

Documents

MODELAREA PROCESELOR FIZICO-CHIMICEmpfc.solidsoftsolutions.com/files/MPFC, C4_oct.2009-64 slides.pdf · toate, sau radacini multiple (repetate): forma solutiei yc(t) nu se schimba