Modelarea Si Optimizarea Proceselor de Afaceri Si a Deciziilor Financiar-Bancare

5/16/2018 Modelarea Si Optimizarea Proceselor de Afaceri Si a Deciziilor Financiar-Bancare - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/modelarea-si-optimizarea-proceselor-de-afaceri-si-a-deciziilor-financiar-bancare 1/48

1

MODELAREA ŞI OPTIMIZAREA PROCESELOR DE AFACERI

ŞI A DECIZIILOR FINANCIAR -BANCARE

NOTE DE CURS



2

CUPRINS

Notă introductivă……………………………………………………………………………. 4

CAPITOLUL 1 MODELUL COSTULUI CAPITALULUI……………………............. 5

1.1. Formularea problemei…………………………………………….. 5

1.2. Rezolvarea problemei de optimizare……………………………... 5

1.2.1. Metoda multiplicatorului lui Lagrange……………………... 5

1.2.2. Metode specifice optimizării liniare…………………………. 6

1.2.3. Metoda secvenţială…………………………………………… 8

1.3. Calculul costului de oportunitate şi interpretarea economică….. 9

1.4. Consideraţii privind rezolvarea ecuaţiei de oportunitate……….. 11

CAPITOLUL 2 ECUAŢIA PIEŢEI MONETARE…………………………………….. 12

2.1. Cazul a două şi trei momente consecutive de timp………………. 12

2.2. Cazul general………………………………………………………. 14

CAPITOLUL 3 METODELE DE OPTIM ALE CONSUMATORULUI…………….. 16

3.1. Modelul static de optim al consumatorului………………………. 16

3.2. Modelul dinamic al consumatorului cu piaţa monetară………… 19

3.2.1. Cazul în care utilitatea depinde de două consumuri

consecutive………………………………………………………………. 19

3.2.2. Caz particular: utilitatea este de tip Cobb-Duglas…………. 21

CAPITOLUL 4 MODELE DE OPTIM ALE PRODUCĂTORULUI………………… 21

4.1. Scurte consideraţii asupra factorilor de producţie şi a funcţiei

de producţie……………………………………………………………... 21

4.2. Obţinerea volumului maxim de producţie la un buget dat……… 24

4.3. Obţinerea unui volum dat de producţie la un cost de producţie

minim……………………………………………………………………. 25

4. 4. Obţinerea profitului maxim………………………………………. 28

CAPITOLUL 5 ECHILIBRUL PIEŢEI………………………………………………… 29

5.1. Consideraţii asupra funcţiilor de cerere-ofertă şi asupra

preţului de echilibru……………………………………………………. 29

5.2. Modelul Cobweb…………………………………………………… 31

5.2.1. Formularea problemei şi stabilirea ecuaţiei dinamicii

preţurilor……………………………………………………………....... 31

5.2.2. Interpretarea economică……………………………………... 325.2.3. Determinarea ecuaţiei de dinamică în cazul în care nu se

cunosc expresiile analitice al funcţiilor cerere şi ofertă……………… 34

5.2.4. Calculul variaţiei cererii sau ofertei de echilibru, a



3

efectului generat de factorii de dependenţă şi ai elasticităţii

coordonatelor punctului de echilibru…………………………………. 37

5.3. Determinarea dobânzii de echilibru a pieţei……………………... 38

5.3.1. Cazul în care elasticităţile ( economisirii prin depozite şi a

cererii de credite) sunt liniare în raport cu rata dobânzii…………… 38

5.3.2. Soluţia aproximativă în cazul general………………………. 42

5.4. Probleme rezolvate………………………………………………… 44

BIBLIOGRAFIE ……………………………………………………………………………. 49



4

NOTĂ INTRODUCTIVĂ

Lucrarea se adresează într -o manieră modernă şi accesibilă studenţilor de la

învăţământul economic (formele de licenţă şi masterat). Este structurată în cinci capitole , fiecărui capitol asociindu-se, corespunzător, un

mic set de probleme rezolvate.

Un element de noutate al lucrării îl reprezintă interpretarea economică a

rezultatelor de referinţă precum şi indicarea posibilităţii de aplicare a unor rezul tate

teoretice în diverse domenii cu caracter economic.



5

Capitolul 1. Modelul costului capitalului

1.1. Formularea problemei

Sursele de capital ale unei unităţi economice sunt în general diverse, cele mai importante fiind

următoarele: împrumuturile obligatare, împrumuturile bancare, capitalurile proprii.

Costul capitalului este de fapt un cost mediu ponderat pornind de la următoarele elemente:• există n surse de capital notate 1,2,…,n;

• costul formării capitalului i este ci, ni ,1 ;

• ponderea capitalului în totalul capitalului atras se notează cu pi, ni ,1 (pi sunt mărimi necunoscute);

• funcţia de eficienţă este costul mediu, se notează cu C şi este dat de egalitatea următoare:

n

i

iin pc p p pC 1

21 ),...,,( .

Este evident că funcţia C ia valori cuprinse în intervalul [a,b] unde ii

ii

cbca max,min .

Punând condiţia de obţinere a unui cost mediu minim vom fi conduşi la rezolvarea următoarei

probleme de optimizare:

(P)

ni p

p

c p

i

n

i

i

n

i

iii

,1,0

1

min

1

1

Problema (P) este o problemă de optimizare liniară deoarece atât funcţia de eficienţă cât şi

restricţiile sunt liniare.

1.2. Rezolvarea problemei de optimizare (P)

Există mai multe modalităţi de rezolvare a acestei probleme:

1.2.1. Metoda multiplicatorului lui Lagrange (deoarece suntem în situaţia unei

probleme de optimizate cu restricţii)

Practic se parcurg următoarele etape:

• se construieşte funcţia lui Lagrange L definită prin egalitatea următoare:

n

ii

n

iiin pc p p p p L 11

21 1);,...,,(

• se determină punctele staţionare ale funcţiei lui Lagrange, practic se rezolvă următorul sistem

algebric:



6

0

,1,0

L

ni p

L

i deci

1...

.. .

21

21

n

n

p p p

ccc

După un calcul extrem de comod se ajunge la următoarele rezultate:

1) dacă },...,,{min 21 ni cccc atunci soluţia optimă ),...,,( 21

n p p p p este următoarea:

1

0...... *

1121

i

nii

p

p p p p p

Valoarea funcţiei de eficienţă este in c p p p f ),...,,( 21

2) dacă },...,,{min... 2121 ni

iii ccccccm adică există mai multe costuri de valoare minimă. Soluţia

optimă este:

},...,,{,0,1.. . 2121 m jinii iii j pm

p p p .

Valoarea funcţiei de eficienţă în acest caz este următoarea:

,.. .

),...,,( 2121 c

m

cm

m

ccc p p p f imii

n

undemiii cccc ...

21.

1.2.2. Metode specifice optimizării liniare

Deşi este problemă tipică de optimizare liniară, aplicarea algoritmului Simplex nu este comodă

deoarece nu dispune de o bază iniţială. În consecinţă această bază trebuie determinată utilizând metoda

celor două faze şi, deci, volumul de calcul creşte considerabil. În cazul problemei analizate (P)

matricea restricţiilor este A=(1 1 … 1). În situaţia n = 3 problema poate fi rezolvată cel mai comod

prin metoda grafică.

Exemplu. Sursele de capital ale unei unităţi economice şi costurile unitare ale realizării

acestora sunt următoarele:

1) credite bancare ale căror costuri unitare sunt c1 = 2 u.m.;

2) credite obligatare ale căror costuri unitare sunt c2 = 1 u.m.;

3) credite ordinare ale căror costuri unitare sunt c3 =3 u.m.

Să se determine ponderea optimă p0 = (p10,p2

0,p30) pentru care se realizează un cost minim al

formării capitalului.

Rezolvare. Suntem conduşi la rezolvarea problemei următoare:

(P)

3,1,0

1

)min(

321

332211

i p

p p p

pC pC pC

i

, adică (P)

0,,

1

)312min(

321

321

321

p p p

p p p

p p p

Numărul de variabile este n = 3 şi prin urmare problema poate fi rezolvată prin metoda grafică.



7

Vom nota mai întâi x =p1 , y = p2 şi din condiţia p1 + p2 + p3 = 1 rezultă imediat p3 = 1 - x – y .

Problema (P) capătă forma următoare:

(P1)

0,

01

)32min(

y x

y x

y x

, adică (P1)

0,

1

)32min(

y x

y x

y x

Problema (P1) poate fi rezolvată prin metoda grafică.

Dreapta x + y = 1 intersectează axele sistemului de coordonate xOy în punctele A(0,1) şi

B(1,0), iar mulţimea soluţiilor posibile ale problemei (P) este dat de punctele triunghiului AOB

(mulţimea soluţiilor posibile este de fapt mulţimea soluţiilor

0,

01

y x

y x.

Fiind o problemă de optimizare liniară, problema dată are soluţie optimă într -unul din vârfurile

triunghiurile AOB.

Funcţia de eficienţă este în acest caz dată de egalitatea 32)( y x x f şi vom calcula

valorile acesteia în fiecare din punctele A, O, B:

.2)0,1()0,1(

;3)0,0()0,0(

;1)1,0()1,0(

f B

f O

f A

Fiind o problemă de optimizare liniară, problema dată are soluţie optimă într -unul din vârfurile

triunghiurile AOB.

Figura 2.1.

Se observă că min{1,2,3}=1 şi prin urmare f îşi atinge minimul în punctul A(0,1), deci soluţia

optimă este x0

= 0, y0

= 1. Repartiţia optimă căutată este următoarea:

y

x

A(0,1)

B 1 0 O



8

01

1

0

000

3

00

2

00

1

y x p

y p

x p

,

ceea ce înseamnă că pentru unitatea economică analizată se recomandă utilitatea creditelor obligatare a

capitalului atras. Costul optim în acest caz este 1),,( 0

3

0

2

0

1

p p p f u.m.

1.2.3. Metoda secvenţială

Este o metodă tipică de optimizare dinamică şi se datorează lui Bellman. Principiul de

optimizare formulat de Bellman în optimizarea dinamică are la bază ideea că o politică optimă este

alcătuită din subpolitici optime, ceea ce din punct de vedere economic înseamnă că o acţiune optimă

globală se realizează ca un ansamblu de acţiuni optime locale.

În esenţă, prin aplicarea metodei secvenţiale, rezolvăm mai multe probleme de optimizare (mai

precis n-1 probleme), dar mai simple.

Mai precis, se construiesc mai întâi următoare sume parţiale:

nnnn pu p p pu

pu p p pu

pu p pu

pu

2211

313212

20211

10

.. .

.. .

de unde rezultă imediat:

2112301201 ,...,,, nnn uu puu puu pu p .

Se rezolvă succesiv următoarele probleme de optimizare:

))()((min

))((min)(....

))()((min))((min)(

))((min)(min)(

21

0

21,...,2,1)10(0

0

2,...,2,10

0

1,...,2,1

123

0

12,10

33

0

12,10

0

23,2,1

012010

22110

0

12,1

112

)110(12

2121

1010

nnnnnuuu

nnnnuu

nn

uuuu

uuuu

uuC u f

pC u f u f

uuC u f pC u f u f

uuC uC pC pC u f

nnn

nunn

şi se obţin soluţiile optime u00 , u1

0 ,…,un-20.

De aici rezultă imediat repartiţia optimă căutată:

0

2

0

1

00

0

0

1

0

2

0

0

0

1 ,...,, nnn uu puu pu p .

Exemplu. Sursele de capital ale unei unităţi economice şi costurile unitare ale realizăriiacestora sunt următoarele:

1) credite bancare ale căror costuri unitare sunt c1 = 0,3 u.m.;

2) credite obligatare ale căror costuri unitare sunt c2 = 0,8 u.m.;



9

3) credite ordinare ale căror costuri unitare sunt c3 =0,6 u.m.;

4) alte surse ale căror costuri unitare sunt c4 = 0,9 u.m.

Să se determine ponderea optimă p0

= (p10 ,p2

0 ,p3

0 ,p4

0) pentru care se realizează un cost minim

al formării capitalului.

Rezolvare. Ne situăm în cazul n = 4, deci metoda grafică nu poate fi aplicată. Vom rezolva

succesiv cele n – 1 = 4 – 1 =3 probleme de optimizare:

);8,05,0(min))(8,03,0(min

))((min)(min)(

100

0100

012010

22110

0

12,1

1010

1010

uuuuu

uuC uC pC pC u f

uuuu

uuuu

Minimul în raport cu u0 se atinge atunci când u0 = u1 = 1. Deci ,3,0)( 1

0

12,1 uu f 10

0 u .

)6,03,0(min))(8,03,0(min

))()((min))((min)(

210

0100

123

0

12,10

33

0

12,10

0

23,2,1

2121

2121

uuuuu

uuC u f pC u f u f

uuuu

uuuu

Minimul în raport cu u1 se atinge atunci când u1 = u2 = 1.

Deci ,3,0)( 2

0

23,2,1 uu f 10

1 u .

)9,06,0(min))(9,03,0(min

))((min)(

320

2320

44

0

23,2,10

0

34,3,2,1

)130(32

)130(32

)130(32

uuuuu

pC u f u f

uu

u

uuuu

uu

Rezultă imediat u20

= u30

= 1.

În concluzie, am obţinut 103

02

01

00 uuuu , de unde rezultă imediat repartiţia căutată:

0,0,0,1 0

4

0

3

0

2

0

1 p p p p .

Prin urmare sursele de formare a capitalului sunt creditele bancare.

1.3. Calculul costului de oportunitate şi interpretarea economică

După determinarea soluţiilor optime, urmează o analiză economică a rezultatului găsit. Această

analiză se realizează prin simpla comparaţie între costul minim găsit şi aşa numitul cost deoportunitate, notat uzual cu c . Necesitatea introducerii acestui tip de cost derivă din considerentele

prezentate în continuare.

În problema minimizării costului mediu de formare a capitalului vom fi conduşi la o problemă

de optimizare liniară:

(P)

ni p

p

pc

i

n

i

i

n

i

iii

,1,0

1

min

1

1

,



10

despre care se pot face următoarele observaţii:

• din punct de vedere matematic rezolvarea este extrem de comodă, practic imediată;

• din punct de vedere economic soluţia optimă obţinută nu este relevantă.

Din acest ultim motiv în analiza economică se preferă calculul efectiv al costului mediu de

capital şi compararea lui cu aşa numitul “cost de oportunitate”. Costul de oportunitate se notează uzual

cu c şi este soluţia următoarei ecuaţii algebrice de grad superior (numită uzual ecuaţia de oportunitate):

1 2

1 1

)1()1(t

t

t

t

t

t

t

t cF c I (1.1)

Semnificaţia parametrilor t 1, t 2, I t ,F t este următoarea:

• t 1 reprezintă durata de realizare a investiţiei;

• t 2 reprezintă durata de viaţă a investiţiei;

• I t reprezintă cuantumul investiţional în anul t ;

• F t reprezintă fluxul financiar pozitiv adus în anul t .Observaţia 1. De fapt cei doi membrii ai egalităţii (1.1) reprezintă:

• membrul drept reprezintă suma capitalizată pe toată durata în care se realizează investiţia;

• membrul stâng reprezintă valoarea actuală a tuturor fluxurilor financiare aduse în perioada de viaţă a

investiţiei.

În general ecuaţia (2.1) este extrem de dificil de rezolvat, lucru valabil dacă o punem în forma

echivalentă:

2

21

1 )1(...

)1(1)1(...)1()1(

2

212

21 t

t t

t c

F

c

F

c

F c I c I c I

Tehnica cea mai comodă de rezolvare a acestei ecuaţii (dar nu şi cea mai riguroasă) este aceea a

liniarizărilor. Practic pornind de la egalitatea ,1)1( x x suntem conduşi la rezolvarea ecuaţiei

liniare următoare:

)...(.. .

)...2...2()1(

...)21()1()1(.. .)21()1(

12

2122

1

2121

221121

21121

t t

t t t t

t

I I I F F F

F t F F I t I I cct F

cF cF ct I c I c I

deci

21

21

11

11

t

k

k

t

k

k

t

t

t

t

t

t

kF kI

I F

c (1.2)

Prin urmare costul de oportunitate c este dat de egalitatea (1.2). Costul optim (minim) de

structură a capitalului îl vom nota cu f şi este de fapt:

n p p p f f ,...,,( 21 )Există următoarele situaţii:



11

a) c > f - în această situaţie structura capitalului (de fapt structura optimă) este rentabilă pentru

unităţile economice, altfel spus alegerea de capital este rentabilă;

b) c < f - ceea ce dovedeşte că structura costului (chiar optimă din punct de vedere al minimizării

acestuia) se dovedeşte a fi nerentabilă, şi deci atragerea de capital este rentabilă.

1.4. Consideraţii privind rezolvarea ecuaţiei de oportunitate

Nu totdeauna rezolvarea unor ecuaţii de grad superior se poate realiza astfel încât soluţiile

obţinute să fie exacte. Practic doar în câteva cazuri particulare se cunosc tehnici precise de rezolvare

(ecuaţiile de gradul 2 şi 3, ecuaţii bipătrate, ecuaţii reciproce etc), în majoritatea cazurilor trebuiesc

apelate metodele aproximative de rezolvare a ecuaţiilor algebrice.

Chiar în cazul ecuaţiei de oprtunitate:

1 2

1 1

)1()1(

t

t

t

t

t t

t t cF c I

rezolvarea acesteia în variabila c sau echivalent în variabila x = 1+c este destul de dificilă şi presupune

tehnici specifice de rezolvare.

Practic se parcurg următoarele etape:

1) se determină intervalul [A,B] în care se găseşte soluţia acestei ecuaţii. Acest interval se găseşte

relativ uşor utilizând metoda şirului lui Rolle sau metoda şirului lui Sturn.

2) determinarea propriu-zisă a soluţiei x se realizează uzual folosind una din metodele următoare:

metoda aproximaţiilor succesive, metoda lui Newton (metoda tangentei), metoda înjumătăţirii

intervalului etc.

Metoda aproximaţiilor succesive. Practic se pune problema determinării în intervalul găsit a

soluţiei x a unei ecuaţii scrisă în forma generală F(x)= 0. Această ecuaţie trebuie scrisă mai întâi în

forma x = f(x), f fiind funcţie derivabilă şi care verifică cerinţa:

1)(sup],[

x f B A x

1)(max

],[ x f

B A x.

Se construieşte un şir de recurenţă nn x )( , regula de determinare a termenilor şirului fiind

următoarea:

),( 1 nn f x ],[0 B A x oarecare

Se poate arăta că limita acestui şir numeric este chiar soluţia căutată x , adică:

nn

x x

lim

Eroarea E care se produce aproximând soluţia x prin termenul xn este:

0011

x x x E n

Observaţia 2. Această metodă este extrem de comodă, dar prezintă dezavantajul reprezentării

ecuaţiei F(x) = 0 prin forma echivalentă x = f(x) astfel încât f să verifice cerinţa formulată.



12

Metoda tangentei. Constă de asemenea în construcţia unui şir numeric nn x )( în baza relaţiei

de recurenţă:

)(

)(

1

11

n

nnn

xF

xF x x , x0 oarecare

Primul termen al şirului x0 este oarecare, dar rapiditatea de convergenţă a şirului se

îmbunătăţeşte în situaţiile:

a) x0 = A dacă 0)()( AF AF

b) x0 = B dacă 0)()( BF BF

Ca şi în cazul precedent, se poate arăta că nn

x x

lim , adică şirul construit prin ecuaţia

anterioară tinde la limită către soluţia căutată.

Capitolul 2. Ecuaţia pieţei monetare

2.1. Cazul a două şi trei momente consecutive de timp

Ecuaţia pieţei monetare este practic, o ecuaţie de gradul întâi determinată de veniturile maximale.

Considerăm, pentru început, situaţia în care la momentele t=0 şi t=1 veniturile sunt V 0,

respectiv V 1 , iar dobânda unitară practicată în intervalul [0,1] este i.

t=0 i t=1

Venitul maxim 0V la momentul t=0 corespunde situaţiei în care la momentul t=1 nu se

consumă nimic, prin urmare:

1

100 )1( iV V V

Evident, mărimea 1

1 )1( iV reprezintă valoarea actualizată la momentul t=0 a venitului V 1.

Analog, venitul maxim 1V la momentul t=1 corespunde situaţiei în care la momentul

t=0 nu se consumă nimic, deci:

)1(011 iV V V .

Mărimea )1(0 iV reprezintă valoarea capitalizată la momentul t=1 a venitului V 0.

În consecinţă, la momentele t=0 şi t=1 punctele din plan corespunzătoare veniturilor maximale

sunt ),0(),0,( 10 V V .

Ecuaţia pieţei monetare în acest caz este de fapt ecuaţia unei drepte ce trece prin aceste puncte:



13

(D) 0

10

10

1

1

0

V

V

z x

de unde, după efectuarea calculelor rezultă imediat

(D) 0)1()1( 10 V iV yi x .

Se observă că pe această dreaptă se găseşte punctul ),(10

V V , adică punctul ale cărui coordonate

sunt tocmai veniturile la momentele 0 şi 1.

În continuare, vom determina ecuaţia pieţei monetare corespunzătoare momentelor t=0, t=1,

t=2. La aceste momente veniturile sunt V 0 , V 1 , V 2 , iar dobânzile unitare pe intervalele [0,1], [1,2] se

notează i1 , respectiv i2.

V 0 V 1 V 2

Veniturile maxime210 ,, V V V corespunzătoare acestor momente sunt următoarele (după un

raţionament asemănător cazului precedent):

2212102

1

221101

1

212

1

1100

)1()1)(1(

)1()1(

)1)(1()1(

V iV iiV V

iV V iV V

iiV iV V V

Ecuaţia pieţei monetare în acest caz este de fapt ecuaţia unui plan care trece prin punctele

),0,0(),0,,0(),0,0,( 210 V V V :

(P) 0

100

100

100

1

2

1

0

V

V

V

z y x

După efectuarea calculelor obţinem imediat ecuaţia căutată: (P) 0)1()1)(1()1()1)(1( 211210221 V iV iiV zi yii x .

Se constată imediat că veniturile V 0 , V 1 , V 2 verifică ecuaţia pieţei monetare, deci punctul

),,( 210 V V V se găsesc în planul (P). De asemenea, în cazul în care dobânzile unitare practicate sunt

egale , 21 iii , ecuaţia pieţei monetare devine:

(P) 0)1()1()1()1( 210

2 V iV iV zi yi x

t=0 t=1 t=2i1 i2



14

2.2. Cazul general

În cazul general ne vom raporta la momentele t =0, t=1, …,t=n. Veniturile la aceste momente

se notează V 0 , V 1 ,…,V n, iar i1 , i2 ,…,in reprezintă dobânzile unitare practicate în intervalele de timp

[0,1], [1,2],…,[n-1,n].

t=0 i1 t=1 i2 t=2 in-1 t=n-1 in t=n

V 0 V 1 V 2 V n-1 V n

Veniturile maxime210 ,, V V V ,…,

nV corespunzătoare acestor momente sunt următoarele:

nnnnnn

nn

nn

nn

V iV iiV iiV V

iiV iV V iV iiV V

iiiV iV V iV V

iiiV iiV iV V V

)1(...)1)...(1()1)...(1(

.. .

)1...()1(.. .)1()1()1)(1(

)1...()1()1(.. .)1()1(

)1...()1()1(...)1()1()1(

12110

11

3

1

332212102

11

3

1

2

1

221101

11

2

1

1

1

2

1

12

1

1100

Ecuaţia pieţei monetare în acest caz este de fapt ecuaţia unui hiperplan care se poate deduce

relativ comod:

(H) 0)1(...)1)...(1()1)...(1)(1(

)1(...)1)...(1()1)...(1)(1(

121210

121210

nnnnn

nnnnn

V iV iiV iiiV

xi xii xiii x

Concentrat, acestă ecuaţie poate fi scrisă sub forma următoare:

(H) 0)1()1(1010

n

k j

j

n

k

k

n

k j

j

n

k

k iV i x

Ca şi în cazurile precedente se poate verifica că veniturile V 0 , V 1 , V 2 ,…,V n verifică ecuaţia

pieţei monetare, adică punctul ),...,,,( 210 nV V V V se găseşte în hiperplanul (H).

Exemplu. Să se scrie ecuaţia pieţei monetare corespunzătoare momentelor

t = 0 , t = 1, în următoarele condiţii:

a) veniturile propuse sunt V0 = 3000 u.m., V1 = 5000 u.m.

b) rata dobânzii pe piaţa monetară este i = 0,2 u.m..

Rezolvare. Ecuaţia pieţei monetare este de fapt ecuaţia unei drepte de consumuri maxime în

momentele alese t = 0 şi t = 1.

V0 V1

0 1

Valoarea capitalizată a sumei S la momentul t cu dobânda i în regim de dobândă compusă

este: t

t iSS )1(0

Valoarea actuală a sumei S la mometul t şi cu dobânda i este: t iSS

)1(0



15

În cazul nostru consumul maxim la momentul t = 0 este dat de V0 + valoarea actuală a lui V1,

1

100 )1( iV V C ,

iar consumul maxim la momentul t = 1 este dat de V1 + valoarea capitalizată a lui V0:

1

011 )1( iV V C

Ecuaţia pieţei monetare este de fapt ecuaţia unei drepte ce trece prin punctele de coordonateA(a,0); B(0,b) unde:

1

01

1

10

)1(

)1(

iV V b

iV V a

Ecuaţia dreptei determinată de 2 puncte este:

01: b

y

a

x D AB

01)1()1(:10

1

10

V iV

y

iV V

x D AB

10

1010

)1()1(

01)1()(

)1(:

V iV i x y

V iV

y

V iiV

i x D AB

Se observă că pe această dreaptă se găseşte şi punctul de coordonate (V0, V1).

86002,1

5000)2,01(3000)2,01()1()1( 10

x y

x yV iV i x y

Vom obţine punctele de coordonate A(7166,6;0); B(0,8600) şi C(3000,5000). Graficul acestei

drepte este prezentat în figura de mai jos:

y

B(0,8600)

C(3000,5000)

A(7166,6;0) xFigura 2.1.



16

Capitolul 3. Modele de optim ale consumatorului

3.1. Modelul static de optim al consumatorului

Se porneşte de la următoarele elemente:

a) x1 , x2 ,…,xn reprezintă cantitatea de bunuri necesare, fixate de consumator;b) U reprezintă funcţia de utilitate, deci vom avea U = U(x1 , x2 ,…,xn);

c) p1 ,p2 ,…,pn reprezintă preţurile unitare ale bunurilor de consum;

d) A reprezintă un buget fixat.

Practic se pune problema maximizării utilităţii consumatorului în condiţiile raportării la un

buget dat, altfel spus, suntem conduşi la rezolvarea următoarei probleme de optimizare:

(P)

0

),...,,(max

1

21

i

n

i

ii

n x

x

A x p

x x xU

Deoarece funcţia de utilitate este în general neliniară, rezolvarea problemei (P) se realizează

uzual utilizând metoda multiplicatorilor lui Lagrange.

Din acest motiv vom construi mai întâi funcţia lui Lagrange, ,: 1 R R L

n definită prin

egalitatea următoare:

n

i

iinn A x p x x xU x x x L1

2121 ),...,,();,...,,(

Vom determina punctele staţionare ale funcţiei lui Lagrange rezolvând sistemul următor:

0

0

...

0

0

2

1

L

x

L

x

L

x

L

n

devine

0...

0

.. .

0

0

2211

2

2

1

1

A x p x p x p

p x

U

p x

U

p x

U

nn

n

n

(3.1)

Practic rezolvarea completă a sistemului (3.1) nu se poate realiza fără cunoaşterea exprimării

analitice a funcţiei de utilitate U , dar se poate formula o interpretare economică importantă, şi de

asemenea se poate da o rezolvare de principiu a problemei (P).

Se observă mai întâi că din primele n ecuaţii ale acestui sistem avem:

n

n

p

x

U

p

x

U

p

x

U

...2

2

1

1



17

De aici rezultă că toate rapoartele dintre utilităţile marginale în raport cu cantitatea de bunuri şi

preţurile acestor bunuri sunt constante.

În afară acestei interpretări economice pentru anumite sisteme particulare se poate studia precis

influenţa bugetului A precum şi influenţele preţurilor unitare p1,p2,…,pn asupra punctului de optim:

*)*,...,*,(* 21 n x x x x al problemei (P).

Înaintea rezolvării sistemului (3.1) se poate remarca că acesta admite o singură soluţie

),,...,,( ***

2

*

1 n x x x şi din acest motiv ),...,( **

2

*

1

*

n x x x x este chiar soluţia problemei (P).

Sistemul (3.1) poate fi scris în forma echivalentă:

n

i

ii

i

i

A x p

ni p x

U

1

,1,1

de unde rezultă imediat

A x

U x

ni x

U p

n

i i

i

i

i

1

1

,1,1

.

Dacă ),...,(**

2

*

1

*

n x x x x este soluţia optimă căutată a problemei (P), atunci **

2

*

1 ,...,, n x x x sunt

soluţiile sistemului următor (în general neliniar):

n

i i

n

n

n

i i

n

i i

x x

U x

A

p x

x

U

x x

U x

A

p x

x

U

x x

U x

A

p x

x

U

1

**

1

*

1

**

12*

2

1

**

11*

1

)()(

.. .

)()(

)()(

În plus preţul “umbră” optim * este dat de egalitatea următoare:

n

i i

i x x

U x

A 1

***)(

1 .

Caz particular. În continuare vom rezolva problema (P) pentru o funcţie de utilitate de tip

Coob- Douglas în forma generală:

n

nn x xax x x xU

...),...,,( 21

2121

unde • a reprezintă factorul de scară şi 1,0,...,,1

21

n

i

in .

Vom construi funcţia lui Lagrange a problemei (P) în acest caz particular :

n

i

iinn A x p x xax x x x L n

1

2121 ...);,...,,( 21



18

Sistemul

0

0

.. .

0

0

2

1

L

x

L

x

L

x

L

n

devine

A x p

p x x xa

p x x xa

p x x xa

n

i

ii

nnn

n

n

n

n

n

1

1

21

2

1

212

12

1

11

0.. .

.. .

0.. .

0.. .

21

21

21

de unde

A x p x p x p

p x

x x xa

p x x

x xa

p x x x

xa

nn

n

n

nn

n

n

n

n

n

.. .

0...

...

0.. .

0.. .

2211

21

2

2

212

12

1

11

21

2

1

2

1

.

Împărţind prima ecuaţie la următoarele n-1 ecuaţii obţinem:

11

1

1

1

1

1

3

1

1

33

3

1

1

3

3

1

1

2

1

1

22

2

1

1

2

2

1

.. .

x p

p x

p

p

x

x

x p

p x

p

p

x

x

x p

p x

p

p

x

x

n

nn

n

n

n

(3.2)

Introducând x1 ,x2 ,…,xn daţi de egalităţile anterioare în ultima egalitate a sistemului (3.2)

obţinem:

A x p x p x p x pn

1

11

1

311

1

21111 ...

,

de unde rezultă egalitatea:

A x p n

1

2111

.. .

(3.3)

Ţinând seama de condiţiile 1...21 n obţinem imediat1

11

p A x

.

În consecinţă soluţia optimă căutată (consumul optim) este următoarea:



19

n

nn

p A x

p A x

p A x

*

.. .

*

*

2

22

1

11

(3.4)

Pentru acest consum optim obţinem imediat valoarea optimă a utilităţii (utilitatea maximă):

n

n

n

nn

p p paA x x xU

.. .*)*,...,*,(

21

21

2

2

1

1...

21 ,

adică n

n

nn

p p paA x x xU

.. .*)*,...,*,(

21

2

2

1

121 (3.5)

Se observă că pentru funcţia de utilitate Cobb-Douglas utilitatea maximă este direct proporţională cu bugetul A şi este cu atât mai mare cu cât preţurile unitare sunt mai mici.

3.2. Modelul dinamic al consumatorului cu piaţa monetară

3.2.1. Cazul în care utilitatea depinde de două consumuri consecutive

Ne vom raporta pentru comoditatea calculelor la momentele t = 0, t = 1 şi vom nota:

• C 0 ,,C 1 reprezintă consumurile la momentul t = 0, respectiv t = 1; • V 0 ,,V 1 reprezintă veniturile la momentul t = 0, respectiv t = 1;

• d reprezintă dobânda practicată în intervalul de timp [0,1];

• 1+d reprezintă factorul de capitalizate.

În acest caz funcţia de utilitate U depinde doar de variabilele C 0 şi C 1 deci avem ),( 10 C C U U

. Vom fi conduşi la o problemă de maximizare a utilităţii consumurilor în care restricţiile sunt date de

ecuaţia venitului la momentul t = 0, respectiv ecuaţia consumului la momentul t =1:

(P)

0,

)1(

),(max

10

0111

0000

10

C C

E d V pC

E pC V

C C U

Prima restricţie a problemei (P) reprezintă ecuaţia venitului la momentul t = 0, iar cea de – a

doua restricţie reprezintă consumului la momentul t = 1. S-a notat cu E 0 economia de bunuri realizate

la momentul t = 0 pentru a fi consumată la momentul t = 1; p0 şi p1 reprezintă preţurile unitare

corespunzătoare momentelor t= 0 şi t = 1.Având în vedere forma restricţiilor problemei (P), după eliminarea mărimii E 0 vom fi conduşi

la problema de optimizare echivalentă:



20

(P1)

0,

))(1(

),(max

10

000111

10

C C

pC V d V pC

C C U

Ca şi în cazul modelului static problema poate fi rezolvată utilizând metoda multiplicatorului

lui Lagrange, variabilele curente fiind C 0 ,C 1.

Funcţia lui Lagrange admite în acest caz următoarea reprezentare analitică:

))1()1((),(),,( 0100111010 d V V d pC pC C C U C C L

Vom pune condiţiile de optim de ordinul 1 (adică vom preciza condiţiile de obţinere a

punctelor staţionare pentru funcţia lui Lagrange):

0

0

0

1

0

LC

L

C

L

, de unde

0)1()1(

0

0)1(

010011

1

1

0

0

d V V d pC pC

p

C

U

d pC

U

(3.6)

Ca şi în cazul modelului static rezolvarea completă a problemei (P) presupune cunoaşterea

precisă a funcţiei de utilitate U . În lipsa acestei informaţii, din primele două egalităţi ale ultimului

sistem se poate deduce o relaţie asemănătoare cu cea obţinută în cazul modelului static:

1

1

0

0

)1( p

C

U

d p

C

U

Ultima fracţie reprezintă raportul dintre utilitatea marginală în raport cu consumul la momentul

t = 1 şi valoarea capitalizată la momentul t=1 a preţului la momentul t=0.

Prima fracţie reprezintă raportul dintre utilitatea marginală corespunzătoare consumului la

momentul t = 0 şi preţul actualizat la acest moment.Pentru rezolvarea sistemului (3.6), observăm mai

întâi că are loc relaţia:

)1(

)1(

)1(01

0

0

1

1 d V V

C

U

d

d C

C

U C

,

de unde se va obţine egalitatea următoare:

1

1

0

0

10 )1(1

C

U C

C

U C

V d V

.

Se observă că soluţia optimă ),( *

1

*

0 C C a problemei (P) coincide cu soluţia unică a sistemului

(3.6) şi după un calcul imediat rezultă că soluţia optimă căutată este soluţia sistemului următor:



21

),(

),(),(

)1(

),(

)1(),(),(

)1(

*

1

*

0

1*

1

*

0

1

*

1

*

1

*

0

0

*

0

10*

1

*

1

*

0

0*

1

*

0

1

*

1

*

1

*

0

0

*

0

10*

0

C C C

U

C C C

U C C C

C

U C

V V d C

C C C

U

d C C C

U C C C

C

U C

V V d C

iar preţul “umbră” optim este următorul:

10

*

1

*

0

1

1

*

1

*

0

0

0

*

)1(

),(),(

V d V

C C C

U C C C

C

U C

.

3.2.2. Caz particular: utilitatea de tip Cobb-Douglas

Practic vom rezolva problema (P) pentru o funcţie de utilitate de tip Cobb-Douglas:

1

1010 ),( C aC C C U

Rezolvând problema (P) în acest caz particular, în urma soluţionării sistemului (3.6) se obţin

imediat consumurile optime:

)1()1(

*

)1(*

01

1

1

1

10

0

0

d V V p

C

d V V p

C

Observaţia 3.1. Cele două paranteze care apar în exprimările lui C 0* şi C 1* reprezintă de fapt

veniturile maxime pe care le poate realiza consumatorul la momentul t = 0 şi t = 1.

Capitolul 4. Modele de optim ale producătorului

4.1. Scurte consideraţii asupra factorilor de producţie şi a funcţiei de producţie

În mod sintetic, prin genericul de factori de producţie se înţelege ansamblul mijloacelor

participante la activitatea productivă. Este evident că numărul mijloacelor participante la activitatea de

producţie este dependent de complexitatea acestuia. Din acest motiv vom considera în mod formal că

dacă numărul mijloacelor de producţie este n, atunci ansamblul mijloacelor de producţie va fi o

submulţime n R A . În mod uzual se consideră n R A în baza observaţiei că mijloacele de

producţie nu pot lua decât valori nenegative.

Prin funcţie de producţie se înţelege practic orice funcţie R RQ n: care îndeplineşte

anumite cerinţe impuse de specificul activităţii productive:



22

1) funcţia de producţie este o funcţie continuă

Această restricţie se referă la faptul că variaţii mici ale factorilor de producţie nu modifică

semnificativ volumul producţiei. Din punct de vedere matematic aceasta înseamnă că dacă vom nota

n x x x ,...,, 21 factorii de producţie şi cu n Dx Dx Dx ,...,, 21 variaţia acestora, atunci

),...,,(),...,,( 221121 nnn Dx x Dx x Dx xQ x x xQ

cu condiţia ca n Dx Dx Dx ,...,, 21 să fie suficient de mici.

2) factorii de producţie sunt strict necesari

Această cerinţă se referă la faptul că dacă vectorul de producţie ),...,,( 21 n x x x x are cel puţin

o componentă nulă atunci volumul producţiei este de asemenea nul.

De exemplu, dacă 01 x , atunci 0),...,,,0( 32 n x x xQ .

3) funcţia de producţie este monoton crescătoare în raport cu fiecare din factorii de

producţie

Această proprietate înseamnă că orice variaţie pozitivă Dxi a factorului de producţie oarecare xi

conduce la un volum de producţie mai mare, adică

),...,,(),...,,,,...,,( 211121 nniiii x x xQ x x Dx x x x xQ

În cazul în care funcţia de producţie Q este derivabilă parţial, această cerinţă se exprimă prin

inegalitatea următoare:

ni

x

Q

i

,1,0

.

Aceste ultime inegalităţi înseamnă din punct de vedere economic că productivităţile marginale

în raport cu fiecare din factorii de producţie sunt nenegative.

4) producţia are randament descrescător (legea randamentelor descrescânde)

Matematic această proprietate se exprimă prin cerinţa

ni x

Q

i

,1,02

2

ceea ce din punct de vedere economic înseamnă că o creştere permanentă a unui factor de producţieconduce la un spor de producţie din ce în ce mai mic.

5) funcţia de producţie este supraaditivă

Dacă ),...,,( 21 n x x x x , ),...,,( 21 n y y y y sunt doi vectori de producţie oarecare, această

proprietare înseamnă verificarea cerinţei )()()( yQ xQ y xQ

ceea ce din punct de vedere economic înseamnă că efectul sumei a doi factori de producţie este

totdeauna cel puţin egal cu suma efectelor factorilor de producţie.

6) funcţia de producţie este omogenă



23

Această proprietate înseamnă că dacă ),...,,( 21 n x x x x este un vector de producţie oarecare,

atunci există un număr natural k (numit grad de omogenitate) aşa încât pentru orice 1 avem

îndeplinită egalitatea următoare:

),...,,(),...,,( 2121 n

k

n x x xQ x x xQ

Din punct de vedere economic această proprietate înseamnă că dacă fiecare factor de producţiese multiplică de ori, atunci volumul producţiei se multiplică de k

ori.

Observaţia 4.1. Vom prezenta în continuare principalii indicatori economici ai producţiei,

pentru comoditate vom considera că funcţia de producţie depinde doar de două variabile, deci

),( LK QQ unde K reprezintă capitalul, iar L reprezintă forţa de muncă.

Există trei categorii de astfel de indicatori:

1) indicatori medii

a) productivitatea medie a capitalului se notează cu Wk, este dată de egalitateaK LK QW k ),( şi

măsoară numărul mediu de produse realizate la o unitate de capital.

b) productivitatea medie în raport cu munca se notează cu WL, se calculează în baza egalităţii

L

LK QW L

),( şi măsoară numărul mediu de produse obţinute cu o unitate de forţă de muncă.

c) coeficient de înzestrare tehnică a muncii (înzestrarea muncii) se notează cu k şi se calculează în

baza egalităţii L

K k .

2) indicatori marginali

Există trei categorii de astfel de indicatori:

a) productivitatea marginală a muncii se notează cu mg

LW şi se calculează în baza relaţiei L

QW

mg

L

.

b) productivitatea marginală a capitalului se notează cu mg

K W şi se calculează cu ajutorul relaţiei

K

QW

mg

K

c) rata marginală de substituire a factorilor

• rata marginală de substituirea capitalului prin muncă se notează cu mgs

LK R / şi arată cu câte unităţi de

capital trebuie înlocuită o unitate de muncă astfel încât producţia să rămână aceeaşi. Se calculează

în baza egalităţii

K

Q L

Q

Rmgs

LK

/ .



24

• rata marginală de substituţie a forţei de muncă prin capital se notează cu mgs

K L R / şi măsoară cu cât

trebuie să crească numărul de unităţi de forţă de muncă pentru a înlocui o unitate de capital astfel încât

producţia să rămână constantă. Se calculează în baza egalităţii

L

QK

Q

Rmgs

K L

/ .

3) indicatori ai elasticităţii

a) elasticitatea producţiei în raport cu capitalul se notează K Q E / , măsoară cu câte procente creşte

producţia când capitalul creşte cu un procent şi se calculează în baza egalităţii

K

QK

Q

W

W E

K

mg

K K Q

/ .

b) elasticitatea producţiei în raport cu muncă se notează LQ E / , măsoară numărul de procente cu care

creşte producţia atunci când forţa de muncă creşte cu un procent şi se calculează în baza egalităţii

următoare:

L

Q L

Q

W

W E

L

mg

L LQ

/ .

4.2. Obţinerea volumului maxim de producţie la un buget dat

Este de fapt problema maximizării volumului de producţie la un cost fixat. Practic suntem

conduşi la rezolvarea următoarei probleme de optimizare:

(P)

ni x

const A p x

x x xQ

i

n

i

ii

n

,1,

),...,,(max

1

21

unde: • Q reprezintă funcţia de producţie; • p1 , p2 ,…,pn reprezintă costurile unitare;

• x1 , x2 ,…,xn reprezintă variabile de control şi depind de problema concretă analizată.

În mod uzual se lucreză cu două variabile x1 , x2 care reprezintă capitalul şi forţa de muncă. Se

cunosc mai multe reprezentări anlitice ale funcţiei de producţie Q, cea mai cunoscută fiind funcţia de

tipul Cobb-Douglas.

ni x xax x x xQ n

nn ,1,1,...),...,,( 1212121

,

n

i

i

1

1 (4.1)

Obsevaţia 4.2. Problema (P) a fost rezolvată pentru Q dată în reprezentarea (4.2) în cadrul

paragrafului (3.2).



25

4.3. Obţinerea unui volum dat de producţie la un cost de producţie minim

Practic suntem conduşi la rezolvarea problemei:

(P)

0),...,,(

min

21

1

i

n

n

i

ii

xconst A x x xQ

x p

Semnificaţia parametrilor şi a variabilelor de control este aceeaşi ca şi în cazul precedent.

Rezolvarea problemei (P) presupune parcurgerea următoarelor etape:

1) se construieşte funcţia lui Lagrange 1: n L , dată de egalitatea următoare:

)),,...,,(();,...,,( 21

1

21 A x x xQ x p x x x L n

n

i

iin

;

2) se pun condiţiile de optim de ordinul I (condiţiile prin care se determină punctele staţionare):

A x x xQ

ni p

x

Q

L

ni x

L

n

i

ii

),...,,(

,1,

0

,1,0

21

Practic se obţine un sistem cu n+1 ecuaţii şi n+1 necunoscute, acestea fiind ,,...,, 21 n x x x .

3) Pentru determinarea soluţiilor optime (deoarece în mod uzual ultimul sistem are mai multe soluţii)

se observă mai întâi că din primele n ecuaţii rezultă imediat (prin adunarea membru cu membru)

egalitatea următoare:

n

i

n

i

i

i

p x

Q

1 1

1

.

Prin urmare, dacă ),,...,,( ***

2

*

1 n x x x este o soluţie optimă, atunci:

)*(

*

1

1

n

i i

n

i

i

x xQ

p

,

unde ),...,,( **

2

*

1

*

n x x x x , iar nivelurile optime ale factorilor de producţie sunt soluţii ale următorului

sistem de ecuaţii diferenţiale:



26

n

i i

n

i

i

n

n

n

i i

n

i

i

n

i i

n

i

i

x x

Q

p

p x

x

Q

x x

Q

p

p x

x

Q

x x

Q

p

p x

x

Q

1

*

1

*

1

*

1

2*

2

1

*

1

1*

1

)()(

...

)()(

)()(

.

Observaţia 4.3. În cazul liniarizării funcţiei de producţie Q în punctul optim x* se poate ajunge

la o interpretare economică importantă. Pentru acesta se dezvoltă mai întâi Q în x* după formula de

dezvoltare a lui Taylor şi se reţin doar termenii de grad 0 şi 1:

)()(...)()(

)()()(),...,,(

***

2

*

22

*

1

*11

*21

x x

Q x x x

x

Q x x

x xQ x x xQ x x xQ

n

nn

n

Ţinând seama că ,)( * A xQ ,)(

*

*

i

i

p x

x

Q

0)0( Q , din ultima egalitate rezultă imediat

)()(*

1

** x x

Q x xQ

i

n

i

i

, de unde *

1

* A x p

n

iii

şi prin urmare are loc egalitatea următoare:

n

i i

n

i

in

i

ii

x x

Q

p

A x p

1

*

1

1

*

)(

.

Deoarece A, p1 , p2 ,…, pn sunt mărimi constante, din ultima egalitate rezultă că problema

minimizării costului de producţie la un nivel fixat al acesteia este echivalentă cu maximizarea sumei

productivităţilor marginale ai funcţiei de producţie în raport cu fiecare factor de producţie. Această

concluzie este o consecinţă imediată a observaţiei că dacă)(

)( xg

x f , este o mărime constantă,

atunci problema )(min x f x

este echivalentă cu problema )(min xg x

.

Caz particular. În cazul în care funcţia de producţie este de tip Cobb-Douglas, forma

generalizată, n

nn x xax x x xQ

...),...,,( 21

2121 , 11

n

i

i , condiţiile de optim de ordinul I conduc la

sistemul următor :



27

A x xax

x x xa p

x x xa p

x x xa p

n

n

n

n

n

nnn

n

n

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

21

121

21

211

21

21

1

2122

2111

, de unde

A x xax

a

p x x x

a

p x x x

a

p x x x

n

n

n

n

n

n

nn

n

n

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

21

121

21

21

21

21

2

21

21

1

12

1

1

.

Împărţind ecuaţiile 2,3,…,n la prima ecuaţie obţinem

A x xax

p

p

x

x

p

p

x

x

p

p

x

x

n

n

n

n

n

.. .

.. .

21

21

1

1

1

1

3

3

1

1

3

1

2

2

1

1

2

, de unde

1

12

1

1

21

1

11

1

3

3

113

1

2

2

112

.. .

.. .

.. .

21

21

a

p x x x

A x xax

p

p x x

p

p x x

p

p x x

n

n

n

n

n

n

n

.

Soluţia optimă căutată x*=(x1*,x2*,…,xn*) este imediată:

n

n

n

n

nn

n

n

n

n

p

p p

a

A x

p

p

p

a

A x

p p

pa

A x

1

2

2

1

1*

1

2

2

1

1*

2

2

2

1

1

1*

1

.. .

.. .

.. .

.. .

21

21

21

sau, într-o formă echivalentă

n

n

n

n

n

n

nn

n

n

n

n

p p p

pa

A x

p p p

pa

A x

p p p

pa

A x

.. .

.. .

.. .

.. .

21

21

21

2

2

1

1*

2

2

1

1

2

2*

2

2

2

1

1

1

1*

1

.

Se constată imediat că soluţia optimă este direct proporţională cu nivelul fixat al producţiei a şi

invers proporţională cu nivelurile preţurilor ridicate ale factorilor de producţie.



28

4.4. Obţinerea profitului maxim

Practic, suntem conduşi la rezolvarea problemei de optimizare fără restricţii:

(P) ))(max( Qg pQ

unde: • g(Q) reprezintă funcţia de cost;

• p reprezintă preţul de producţie;• Q reprezintă valoarea producţiei, de fapt singura variabilă de control.

Problema a fost analizată în cazul cel mai larg de către un colectiv de economişti ASE

Bucureşti.

Vom nota cu f funcţia de eficienţă şi deci avem:

f(Q)=p Q-g(Q)

Se pun condiţiile de optim:

0)(

0)(

Q f

Q f de unde

)()(

)()(

QgQ f

Qg pQ f .

Rezultă: pQgQg pQ f )(0)(0)( (4.2)

Din punct de vedere matematic volumul optim Q* al producţiei care maximizează profitul este

soluţia ecuaţiei (4.2). Rezolvarea acestei ecuaţii se face prin metode tipice de rezolvare exactă sau

aproximativă a ecuaţilor algebrice.

Din punct de vedere economic, egalitatea (4.2) arată că volumul de producţie Q* trebuie să

verifice cerinţa de a avea costul marginal egal cu preţul de producţie.

0)(0)(0)( QgQgQ f (4.3)Din punct de vedere matematic, egalitatea (4.3) exprimă cerinţa de a avea o funcţie de cost de

tip convexă.

Din punct de vedere economic, egalitatea (4.3) permite o interpretare importantă:

0))((0)( QgQg

deci )(Qg este o funcţie crescătoare, şi prin urmare costul marginal creşte astfel încât nivelul de

producţie căutat poate fi dedus în situaţii practice mai simple utilizând elementele unei reprezentări

grafice (fig.4.1).

g,g

g g

g(Q*) = p

Q* Q

Figura 4.1.



29

Capitolul 5. Echilibrul pieţei

5.1. Consideraţii asupra funcţiilor de cerere-oferta şi asupra preţului de echilibru

O trăsătură importantă a modelelor de comportament pentru producător şi consumator este

faptul că preţurile se presupun a fi cunoscute.

Specific modelelor de echilibru ale pieţei este faptul că trebuie determinat preţul pentru care se

realizează egalitatea (la un moment dat sau la momente diferite de timp) între cererea formulată de

consumator şi oferta realizată de producător.

Dacă se notează preţul practicat pe piaţă cu p, funcţiile cerere şi ofertă (în variabilă curentă p)

se notează uzual cu C , respectiv O şi verifică cerinţele următoare:

1) ROC ),0[:, , funcţii derivabile

2) 0,0)(,0)( p pO pC

Preţul echilibru se notează uzual cu p* şi este de fapt soluţia euaţiei următoare:

)()( pO pC (5.1)

Observaţia 5.1. Este evident, din condiţiile 2) că funcţia cerere este monoton descrescătoare,

iar funcţia ofertă este monoton crescătoare. Preţul echilibru corespunde practic intersecţiei graficelor

celor două curbe (fig.5.1).

p

O

p*

C

C,O

C(p*)=O(p*)

Figura 5.1.

Determinarea efectivă a preţului echilibru p* este, în general, o problemă dificilă şi presupunecunoaşterea exprimărilor analitice ale funcţiilor C şi O.



30

Desigur, în cazurile în care ecuaţia C(p) = O(p) este o ecuaţie algebrică de gradul unu, doi şi

trei, este o ecuaţie bipătrată sau o ecuaţie reciprocă, soluţia p* poate fi determinată precis. În alte

situaţii diferite de acestea p* poate fi determinat doar aproximativ.

În afara tehnicilor obişnuite de rezolvare aproximativă, determinarea lui p* se poate realiza prin

liniarizarea ecuaţiei (5.1.) (practic, dezvoltând în serie Taylor sau Mc-Laurin atât fucţia cerere cât şi

funcţia ofertă, într -un punct convenabil ales).

De exemplu, dezvoltând în serie Mc-Laurin cei doi membrii ai ecuaţiei (5.1), suntem conduşi la

ecuaţia următoare:

)0()0()0()0( O pOC pC (5.2)

de unde rezultă imediat soluţia căutată p*:

)0()0(

)0()0(*

C O

C O p

(5.3)

precum şi volumul de echilibru al tranzacţiilor :

)0()0(

)0()0()0()0(*)(*)(

OC

OC OC pO pC

Evident, se impun condiţiile 0)0( C , 0)0( O .

Dacă cei doi membrii ai ecuaţiei (5.1) se dezvoltă în serie Taylor într -un punct oarecare (dar

fixat) p , rezultă ecuaţia următoare:

)()()()()()( pO p p pO pC p p pC

de unde rezultă imediat: p pC pO

pC pO p

)()(

)()(* (5.4)

Evident, p este ales astfel încât 0)( pO , 0)( pC .

Observaţia 5.2. Dacă funcţiile cerere şi ofertă sunt derivabile de ordin superior, desigur,

dezvoltările în serie Mc-Laurin, respectiv Taylor ai celor doi membrii ai ecuaţiei (5.1) se pot extinde la

mai mulţi termeni şi vom fi conduşi la rezolvarea unor ecuaţii algebrice de ordin superior.

Observaţia 5.3. În cazurile particulare în care

0,0,)(,)( cad cp pObap pC

preţul echilibru căutat este dat de relaţia următoare:

ca

d b p

* (5.5)

iar funcţia cerere şi ofertă pentru preţul echilibru este următoarea:

ca

ad bc pO pC

*)(*)( , (5.6)

grafic fiind prezentată în (fig. 5.2):



31

p

O

p*

C

C,O

C(p*)=O(p*)

Figura 5.2.

5.2. Modelul Cobweb (modelul pânzei de paianjen)

5.2.1. Formularea problemei şi stabilirea ecuaţiei dinamicii preţurilor

Acest model este cunoscut sub denumirea “modelul pânzei de paianjen” datorită imaginilor

grafice generate de funcţiile cerere şi ofertă. Există situaţii practice în care cererea este influenţată de

preţul propus în momentul în care a fost formulată, iar oferta este influenţată de preţul practicat pe

piaţă la un moment precedent.

De exemplu, pentru produsele agricole, intenţia de a oferi şi oferta propriu-zisă se interpune un

interval de tim p (aproximativ o jumătate de an).

Prin urmare, vom nota pt , respectiv pt-1, preţurile la momentul t (momentul în care cererea este

formulată) şi momentul t-1 (momentul ofertei precedente).Condiţia de echilibru este în această situaţie următoarea:

)()( 1 t t pO pC (5.7)

şi va conduce la o relaţie de recurenţă între pt şi pt-1 (numită “ecuaţia recurentă a preţurilor”).

Ecuaţia de recurenţă a preţurilor se determină cel mai comod liniarizând cei doi membrii ai

ecuaţiei (5.7) (dezvoltând în serie Mc-Laurin, respectiv Taylor şi reţinând doar primii doi termeni ai

dezvoltării).

Astfel, dacă se dezvoltă în serie Mc-Laurin cei doi membrii ai ecuaţiei (5.7) obţinem:

)0()0()0()0( 1O pOC pC t t ,



32

de unde )0()0()0(

)0(1 C O p

C

O p t t

(5.8)

Dacă se notează: )0()0(,)0(

)0(C O B

C

O A

* p p x t t (adică xt măsoară abaterea de la preţul pt practicat la momentul t şi preţul echilibru p* dat

de (5.3)), atunci relaţia recurentă (5.8) devine: B Ap p t t 1

(5.9)

de unde, după un calcul imediat rezultă:

**)( 0 p p p A pt

t (5.10)

Practic egalitatea (5.10) reflectă dinamica preţurilor (motiv pentru care este denumită “ecuaţia

de dinamică a preţurilor”).

5.2.2. Interpretarea economică

În situaţia echilibru *1 p p p t t , din (5.9) rezultă:

B p x A p x t t *)(* 1 ,

de unde, după un calcul imediat obţinem:

1 t t Ax x (5.11)

Prin urmare 1

t

t

x

x

A , deci mărimea )0(

)0(

C

O

A

reprezintă indicele de dinamică a abaterii

preţului curent faţă de preţul de echilibru.

Observaţia 5.4. În situaţia în care funcţiile cerere şi ofertă sunt liniare, deci se cunosc

expresiile analitice

0,)(

0,)(

11

cd Cp pOO

abap pC C

t t t

t t t ,

atunci indicele de dinamică a abaterii preţului curent faţă de preţul echilibru A se poate calcula direct

ca raport între sensibilitatea ofertei faţă de preţ S0 şi sensibilitatea cererii faţă de preţ Sc:

cS

S A 0 .

Pe de altă parte aceste sensibilităţi se determină ca derivatele funcţiilor ofertă, respectiv cerere

în raport cu preţul curent pt :

t

t c

t

t

dp

dC S

dp

dOS ,0 .

Prin urmare, în afara egalităţilor

*

1

*

1 p p

p p

x

x A

t

t

t

t

se poate preciza şi un alt mod pentru determinarea indicelui de dinamică:



33

t

t

t

t

dp

dC

dp

dO

A .

Evident, această egalitate are valoareac

a A

în cazul în care cererea şi oferta sunt liniare,

dar poate fi folosită şi în alte condiţii în care exprimările analitice ale acestor funcţii sunt mai generale.

În baza acestei interpretări economice a mărimii A, din egalitatea (5.10) se pot desprinde

următoarele concluzii:

1) indicele de dinamică are modulul subunitar (adică A <1). În acest caz *lim p pt t

, deci avem o

situaţie de echilibru (fig. 5.3).

C,O

p

O

C

p 0 p 1 p 2 p 3 p 5 p 4

Figura 5.3.

2) indicele de dinamică are modulul supraunitar (adică A >1). În această situaţie şirul (pt )t este

divergent, practic avem o situaţie de hiperinflaţie şi dezechilibru



34

p p2 p0 p1 p3 p5 p4

C,O

C

O

Figura 5.4.

3) indicele de dinamică are valoarea A = 1 sau valoarea A = -1. În acest caz 0lim p pt t

, practic

suntem în cazul evoluţiei pe acelaşi echilibru pe două stări de valori (alternative), practic p0 şi p1

(fig.5.5).

C,OO

C

p0 p* p1 p

Figura 5.5.

Practic influenţa indicelui de dinamică este ilustrată în fig. 5.3, fig.5.4, fig.5.5.

5.2.3. Determinarea ecuaţiei de dinamică în cazul în care nu se cunosc expresiile

analitice ale funcţiilor cerere şi ofertă

În situaţia în care nu se cunosc exprimările analitice ale funcţiilor cerere şi ofertă dar se

cunoaşte dependenţa dintre preţul de bază pt şi preţurile anterioare pt -1 , pt-2 ,…,pt-k , determinarea

ecuaţiei de dinamică a preţurilor se realizează parcurgând câteva etape care presupun calcule relativ

simple. Dependenţa dintre preţul de bază şi preţurile anterioare se poate stabili din date statistice şi

utilizând metodele de aproximare cunoscute (metode de interpolare, adică aproximarea prin

polinoame, metoda celor ,mai mici pătrate etc.).

Se disting două situaţii:



35

Cazul I. Dependenţa dintre preţul de bază şi preţurile anterioare este de forma

0),...,,( 11 k t t t p p p f , f fiind o funcţie cunoscută.. Această situaţie este cunoscută uzual sub

denumirea de cazul omogen.

Preţurile se caută de forma 0,,,...,, 1

1

r p pr p pr p pr p

k t

k t

t

t

t

t .

Dependenţa funcţională dată 0),...,,( 1

k t t t p p p f se transformă într -una echivalentă deforma următoare 0),...,,( 1 k t t t

r r r F , numită ecuaţie caracteristică.

Se notează cu r 1 , r 2 , …,r k+1 soluţiile reale şi nenule ale acestei ultime ecuaţii. Preţul la

momentul t căutat este de forma următoare:

t

k k

t t t

t r cr cr cr c p ...332211

*

unde c1 , c2 , …,ck sunt constante reale ce se determină din condiţii iniţiale, adică ca în momentul iniţial

şi în k-1 momente anterioare preţurile să fie cunoscute.

Cazul II. Dependenţa dintre preţul de bază şi preţurile anterioare este de forma următoare:

)(),...,,( 1 t g p p p f k t t t ,

unde f şi g sunt funcţii cunoscute şi g este diferită de funcţia cerută (cazul omogen). Preţul la

momentul t se noteazăt p şi este de forma următoare:

0*

t t t p p p ,

unde *t p este preţul dat de ecuaţia omogenă 0),...,,( 1 k t t t p p p f ( şi care se determină după

metodologia anterioară), iar 0

t p este o soluţie particulară a ecuaţiei

)(),...,,( 1 t g p p p f k t t t , forma lui 0

t p fiind dată de forma membrului drept. Mai precis dacă g(t) este

de tip polinomial, 0

t p va fi de tip polinomial, dacă g(t) este de tip exponenţial atunci 0

t p va fi de tip

exponenţial etc.

Exemplul 1. Pentru o piaţă oarecare dependenţa dintre pt , pt-1 , şi pt-2 este dată de egalitatea

următoare:

032 21 t t t p p p

Din datele statice se cunoaşte că la momentul t=0 şi t=1 preţurile sunt de 1000 u.m., respectiv

de 900 u.m.. Să se determine ecuaţia de dinamică a preţurilor şi să se precizeze dacă preţurile converg

către un preţ echilibru.

Rezolvare. Ne situăm în cazul omogen, deci avem

0,,,, 2

2

1

1

r p pr p pr p pr p

t

t

t

t

t

t

Ecuaţia dată devine 0)132( 22 r r pr t , de unde obţinem soluţiile

2

1,1,0,0 r r r p .

Evident, convin doar soluţiile2

1,1 r r şi prin urmare obţinem:



36

t

t t

t ccr cr c p

2

1212211

*

La momentul de bază t=0 preţul practicat este 1000 u.m., deci 1000*

0 p , adică2

0

12

11000 cc

;

de asemenea la momentul t=1 preţul practicat este 900 u.m., de unde 2

1

12

1900 cc

.

Prin urmare, suntem conduşi la rezolvarea sistemului liniar:

9002

1000

21

21

cc

cc

a cărui soluţie este

200

800

2

1

c

c.

Ecuaţia dinamicii preţurilor este următoarea:

t

t p

2

1200800*

Deoarece 02

1lim

t

t , rezultă 800lim

*

t t

p , deci preţurile converg la punctul echilibru

p*=800 u.m.

Exemplul 2. Din date statistice, pentru o piaţă se cunoaşte relaţia de recurenţă între preţurile

corespunzătoare a patru perioade consecutive

23692624 321 t p p p p t t t t

Preţurile practicate la momentul de bază şi ale celorlalte momente anterioare sunt următoarele:

60 p u.m., 131 p u.m., 252 p u.m. Să se determine ecuaţia dinamicii preţurilor.

Rezolvare. Ne situăm în cazul neomogen şi prin urmare vom determina mai întâi ecuaţia

dinamicii în cazul omogen, adică *t p . Pentru ecuaţia 092624 321 t t t t p p p p vom căuta pt de

forma 0,, r p pr p t t .

Suntem conduşi la ecuaţia 0)192624( 232 r r r pr t ale cărui soluţii nenule (se caută

printre divizorii raportului dintre ultimul termen al ecuaţiei 0192624 23 r r r şi se utilizează

schema lui Horner) sunt4

1,

3

1,

2

1321 r r r . Prin urmare are loc relaţia:

t t t

t t t cccr cr cr c p

4

1

3

1

2

1321332211

*

Deoarece la momentele t=0, t= -1, t= -2 preţurile practicate sunt 6 u.m., 13 u.m. şi respectiv 25

u.m., vom fi conduşi la rezolvarea următorului sistem liniar:



37

251694

13432

6

321

321

321

ccc

ccc

ccc

a cărui soluţie este

2

5

3

3

2

1

c

c

c

.

Prin urmaret t t

t p

4

12

3

15

2

13* este soluţia ecuaţiei omogene. Soluţia căutată este

0*

t t t p p p , unde 0

t p este o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene. Deoarece membrul drept al

ecuaţiei neomogene este polinomul de gradul I, 236)( t t g , înseamnă că vom căuta 0

t p de forma

bat pt 0 .

Fiind soluţie particulară, înseamnă că 0

3

0

2

0

1

0 ,,, t t t t p p p p vor verifica ecuaţia iniţială. Înlocuind

în această ecuaţie expresiile

bt a pbt a pbt a pbat p t t t t )3(,)2(,)1(, 0

3

0

2

0

1

0 , obţinem

236))3(())2((9))1((26)(24 t bt abt abt abat ,

de unde, prin identificare rezultă a=1, b=2.

În consecinţă, 20 t pt şi prin urmare ecuaţia dinamicii preţurilor este 0*

t t t p p p , adică

24

12

3

15

2

13

t p

t t t

t .

Graficul funcţiei p este dat în figura 5.6.

Figura 5.6.

5.2.4. Calculul variaţiei cererii sau ofertei de echilibru, a efectului generat de

factorii de dependenţă şi ai elasticităţii coordonatelor punctului de echilibru

t p

t-1-2 0



38

Practic vor fi analizate două situaţii:

Cazul I. Se cunosc expresiile analitice ale funcţiei cerere C 0, C 0=C 0(p) şi ale funcţiei ofertă O,

O=O(p).

Ca rezultat al unor factori, alţii decât preţul, cererea se modifică şi devine C 1=C 1(p) (evident se

cunoaşte expresia analitică pentru C 1). În consecuinţă, se notează p0 preţul de echilibru în condiţiiiniţiale şi p1 preţul de echilibru în condiţii modificate. Preţurile p0 şi p1 sunt soluţiile ecuaţiilor

următoare:

)()(0 pO pC , respectiv )()(1 pO pC .

Varia ţia cererii de echilibru se notează cu C şi se calculează în baza egalităţii următoare:

)()( 0010 pC pC C .

Efectul generat de factorii de influen ţă, alţii decât preţul, se notează D1 şi se determină astfel:

)()( 00011 pC pC D .

Efectul generat de pre ţul echilibru se notează D2 şi se determină în baza egalităţii următoare:

)()( 01102 pC pC D .

Pentru a determina elasticitatea punctului de echilibru (p0 ,C 0(p0)), se calculează mai întâi

modificarea indusă de alţi factori, alţii decât preţul, notată M:

)(

)()(

)( 00

0001

00

1

pC

pC pC

pC

D M

.

Dacă se notează cu

,0

01

p

p p p

)(

)()(

)( 00

0010

00

3 pC

pC pC

pC

C D

, atunci elasticităţile E 1 şi E 2 ale coordonatelor p0 şi

C 0(p0) ale punctului de echilibru (p0 ,C 0(p0)) se calculează astfel:

M

D E 1

1 , M

D E 3

2

Cazul II. Se cunosc expresiile analitice ale funcţiei cerere C , C=C(p) şi ale funcţiei ofertă O0,

O0=O1(p). În baza influenţei unor factori, alţii decât preţul, oferta se modifică şi devine O1=O1(p).

Ca şi în cazul precedent, se notează p0 preţul de echilibru în condiţii iniţiale şi p1 preţul de

echilibru în condiţiile modificate. Evident p0 şi p1 sunt soluţiile ecuaţiilor:

)()( 0 pO pC , respectiv )()( 1 pO pC

)()(0 pO pC , respectiv )()(1 pO pC .

Variaţia ofertei de echilibru se notează cu O şi se calculează în baza egalităţii următoare:

)()( 0010 pO pOO .

Efectul generat de factorii de influen ţă, alţii decât preţul, se notează D1 şi se determină astfel:

)()( 00011 pO pO D .



39

Efectul generat de pre ţul echilibru se notează D2 şi se determină în baza egalităţii următoare:

)()( 01102 pO pO D .

Modificarea indusă de alţi factori, alţii decât preţul, se notează cu M şi se calculează astfel:

)(

)()(

)( 00

0001

00

1

pO

pO pO

pO

D M

.

Dacă se notează ,0

01

p

p p p

)(

)()(

)( 00

0010

00

3 pO

pO pO

pO

C D

, atunci elasticităţile E 1 şi E 2

ale coordonatelor p0 şi O0(p0) ale punctului de echilibru (p0 ,O0(p0)) se determină în baza egalităţilor

următoare:

M

D E 1

1 , M

D E 3

2 .

5.3. Determinarea dobânzii de echilibru a pieţei

5.3.1. Cazul în care elasticităţile (economisirii prin depozite şi a cererii de credite)sunt liniare în raport cu rata dobânzii

Este o problemă centrală în calcule financiare şi se rezolvă pornind de la următoarele elemente:

1) Dobânda minimă la care se constituie depozitele bancare este r 1, iar dobânda minimă la care se

acordă creditele este r 2;

2) În cazul practicării acestor dobânzi, se notează cu O0 valoarea depozitelor şi cu C0 valoarea cererii

de credite (evident, O0 şi C0 sunt mărimi cunoscute);

3) Elasticitatea economisirii prin depozite este e1, iar elasticitatea cererii de credite este e2, se

consideră e1 şi e2 ca fiind funcţii liniare în raport cu rata dobânzii r, unde 2,1, ibr ae iii

(mărimile a1, a2, b1, b2 sunt cunoscute);

4) Atât oferta de credite O cât şi cererea de credite C depind de rata dobânzii r, adică )(r OO ,

)(r C C . Expresiile analitice ale funcţiilor O şi C se presupun a fi cunoscute.

Problema poate fi rezolvată pornind în primul rând de la modul de definire ale elasticităţilor e 1

şi e2.

Elasticitatea ofertei de credit (economisirii prin depozite) e1 se determină ca raport între

variaţia ofertei de credit şi variaţia ratei dobânzii, adică:

r

r O

O

e

1.

Altfel spus, e1 este raportul dintre rapoartelor variaţiilor absolute ( O , respectiv r ) şi

nivelurile de referinţă (0, respectiv r).



40

Dacă variaţiile absolute sunt suficient de mici, egalitatea anterioară se poate scrie în forma

diferenţială astfel

r

dr O

dO

e 1

,

d fiind operatorul de diferenţiere.

Prin urmare, suntem conduşi la ecuaţia diferenţială de ordinul Ir

dr br a

r O

r dO)(

)(

)(11 , de fapt o

ecuaţie cu variabile separabile.

Dacă r* este nivelul dobânzii de echilibru a pieţei ( adică r* este acea dobândă pentru care are

loc egalitatea O(r*)=C(r*)) şi ţinând seama că r 1 este nivelul dobânzii minime la care se constituie

depozitele bancare, integrând ultima ecuaţie obţinem

*

1

*

1

)()(

)(11

r

r

r

r r

dr

br ar O

r dO

, de unde rezultă imediat

*

1

*

1

ln)()(ln 11

*

1

r

r

r

r

r br r ar O , adică relaţia următoare:

)(ln)()(ln)(ln 1

*

11

*

11

*r r br r ar Or O (5.30)

Ţinând seama că O(r1)=O0, din egalitatea (5.30) obţinem:

11110

*

1

*

1

* lnlnln)(ln r br aOr br ar O (5.31)

Procedând asemănător pentru cerea de credit, după un calcul asemănător celui legat de ofertade credit se ajunge la egalitatea

22220

*

2

*

2

* lnlnln)(ln r br aC r br ar C (5.32)

Ţinând seama că O(r*)=C(r*), din egalităţile (5.31) şi (5.32) rezultă imediat egalitatea

următoare:

22220

*

2

*

211110

*

1

*

1 lnlnlnlnlnln r br aC r br ar br aOr br a

Dacă se notează 2211221100 lnlnlnln r br br ar aOC A , egalitatea de mai sus devine

Ar bbaar *

2121

* ln)()( (5.33)

Practic egalitatea (5.33) este ecuaţia prin a cărei rezolvare se determină nivelul dobânzii de

echilibru r* căutate. Deoarece ecuaţia (5.33) este transcendentă, rezolvarea ei se poate realiza doar

aproximativ utilizând tehnici speciale de rezolvare a acestor tipuri de ecuaţii (metoda lui Newton,

metoda înjumătăţirii intervalului, metoda aproximaţiilor succesive etc) . Utilizarea acestor metode

presupune însă parcurgerea unei etape în prealabil, aceea a separării rădăcinilor ecuaţiei.

În cazul ecuaţiei (5.33), deoarece aceasta poate fi scrisă în forma

*

21

21

21

*ln r bb

aa

bb

Ar

(5.34)



41

din reprezentările graficelor funcţiilor *ln r y , *

21

21

21

r bb

aa

bb

A y

se constată imediat că există o

singură rădăcină a ecuaţiei situată în intervalul (0,1), dacă 021

bb

A, 0

21

21

bb

aa(fig. 5.8), sau

situată în intervalul

21,1 aa

A

, dacă 021

bb

A

, 021

21

bb

aa

(fig. 5.9).

După determinarea intervalului în care ecuaţia (5.33) are soluţie, determinarea efectivă a

acesteia se poate realiza imediat utilizând una din metodele amintite mai înainte.

Observaţia 5.7. Liniarizând funcţia logaritmică prin metoda Taylor, în punctul r 0=1, obţinem

1ln r r şi deci ecuaţia (5.33) devine:

*

21

21

21

* 1 r bb

aa

bb

Ar

Soluţia acestei ecuaţii este imediată:

2121

21*

bbaa

bb Ar

(5.35)

y

r*

y = ln r*

y

r*

y = ln r*

Figura 5.8 Figura 5.9Observaţia 5.8. Dobânda de echilibru poate fi determinată imediat în anumite cazuri

particulare ale elasticităţilor ofertei, respectiv cererii.

Cazul I. Analizăm situaţia în care 021 bb

În această situaţie avem ,11 r ae r ae 22 , iar dobânda de echilibru este soluţia ecuaţiei

următoare: Aaar )( 21

* .

*

21

21

21

r bbaa

bb A y

*

21

21

21

r bb

aa

bb

A y



42

În consecinţă, rezultă21

2211

0

0

21

*

ln

aa

r ar aO

C

aa

Ar

.

Cazul II. A doua situaţie este aceea în care 021 aa

În această situaţie funcţiile de elasticitate admit exprimările analitice 2211 , bebe (deci

elasticităţile sunt constante).

Ecuaţia (5.33) devine:

21

*lnbb

Ar

(5.36)

Ţinând seama că2

1

2

1

2

1

0

0

2

1

0

0 lnlnlnb

b

b

b

r

r

O

C

r

r

O

C A , ecuaţia (5.36) se poate scrie în forma

21

2

1

1

2

1

0

0* lnlnbb

b

b

r r

OC r

şi prin urmare dobânda de echilibru este 21

2

1

1

2

1

0

0*bb

b

b

r

r

O

C r

, adică

21

2

1

2

1

0

0* bbb

b

r

r

O

C r

Evident, dacă dobânzile minime sunt egale, adică r 1=r2, obţinem21

0

0*

bbO

C

r , deci dobânda de

echilibru depinde doar de valorile minimale ale cererii şi ofertei de credite precum şi de elasticităţile

economisirii prin depozite, respectiv a cererii de credite.

5.3.2. Soluţia aproximativă în cazul general

Faţă de cazul precedent vom presupune că se cunosc exprimările analitice ale elasticităţilor e1

(economisirii prin depozite) şi e2 (cererii de credite). Evident dacă r este rata dobânzii, vom avea

)(),( 2211 r eer ee . Restul notaţiilor, precum şi semnificaţia acestora se păstrează.

Ca şi în cazul precedent se porneşte de la semnificaţiile economice ale elasticităţilor e1 şi e2 şi

vom fi conduşi la următoarele ecuaţii diferenţiale:

• pentru ofertă dr r

r e

O

dO )(1 (5.37)

• pentru cerere dr r

r e

C

dC )(2 (5.38)

Integrând ambii membrii ai ecuaţiei (5.37) rezultă imediat:

2

11

)()( 1

)(

)(

r

r

r O

r O

dr r

r e

dr

r dO(5.39)



43

Dacă G1 este o primitivă a funcţieir

r e )(1 , din (5.39) obţinem

)()()(ln)(ln 1111 r Gr Gr Or O (5.40)

Analog integrând ambii membrii ai ecuaţiei (5.38) rezultă:

2

11

)()( 2

)(

)(

r

r

r C

r C dr r

r e

dr

r dC

(5.41)

Dacă G2 este o primitivă a funcţieir

r e )(2 , din (5.39) obţinem

)()()(ln)(ln 2221 r Gr Gr C r C (5.42)

Notând r* dobânda de echilibru, este evident că echilibrul pieţei este dat de condiţia următoare

)()( **r C r O (5.43)

În consecinţă, dobânda de echilibru r * se determină ca soluţie a ecuaţiei următoare:

)()()(ln)(ln)()( 22112121 r Gr Gr C r Or Gr G (5.44)

Se notează

)()()(ln)(ln 221121 r Gr Gr C r O A ,

21, erorile acceptate pentru abaterea de la dobânda de echilibru în raport cu economisirea prin

depozite, respectiv a cererii de credite.

Se dezvoltă în serie Taylor primitivele G1 şi G2 în punctele 2211 ; r r şi se reţin doar

primii doi termeni ţinând seama căr r er G

r r er G )()(,)()( 2

21

1 , după un calcul imediat rezultă:

)()(

)()( 111

11

1111111

r e

r

r er r Gr G

)()(

)()( 222

22

2222222

r e

r

r er r Gr G

În consecinţă, suntem conduşi la ecuaţia următoare:

Ar er

r er r G

r er

r er r G

)()(

)(

)()(

)(

222

22

222222

111

11

111111

,

de unde

)()(

)()()()(

222111

222111

22

222

11

111

r er e

r Gr G Ar

r e

r

r er

(5.45)

După un calcul imediat, din (5.45) rezultă:

)()(

)()(

)(

)(ln

)()(

222111

22

11

1

2

22

222

11

111

r er e

b

be

a

ae

r O

r C

r

r e

r

r er

(5.46)



44

unde: • a este o mărime din intervalul 111, r r ;

• b este o mărime din intervalul 222 , r r .

După efectuarea calculelor, soluţia aproximativă căutată este următoarea:

2

22

1

11

2

222

1

1112211

1

2

*

)()(

)()()()(

)(

)(ln

r

r e

r

r e

r

r e

r

r er er e

r O

r C

r

Observaţia 5.9. Soluţia r * dată de egalitatea anterioară este aproximativă deoarece în

rezolvarea ecuaţiei )()(**r C r O s-a avut în vedere următoarele elemente:

1) în dezvoltările Taylor utilizate s-au reţinut doar primii doi termeni;

2) mărimile ),(),,( 222111 r r br r a au fost aproximate prin r 1 respectiv r 2.

5.4. Probleme rezolvate

Aplicaţia 1. Pentru o piaţă dată se cunosc expresiile analitice ale funcţiilor cerere C şi de ofertă

O

723)(

522)(

2

2

0

p p pO

p p pC

Ca rezultat al unor factori, alţii decât preţul, cererea se modifică şi admite reprezentareaanalitică următoare:

72)( 2

1 p p pC

Se cere să se determine:

a) variaţia cererii de echilibru şi efectul generat de factorii de influenţă, alţii decât preţul;

b) elasticitatea coordonatelor punctului de echilibru în raport cu factorii de dependenţă alţii decât

preţul.

Rezolvare. a) Vom face următoarele notaţii: • p0* reprezintă preţul de echilibru în cazul condiţiilor iniţiale;

• p1* reprezintă preţul de echilibru în cazul condiţiilor finale;

• C0(p0*) reprezintă cererea de echilibru în cazul condiţiilor iniţiale;

• C0(p1*) reprezintă cererea de echilibru în cazul condiţiilor finale.

Ecuaţia de echilibru în condiţii iniţiale este următoarea:

)()(0 pO pC

Deci, înlocuind corespunzător expresiile analitice ale funcţiei cerere şi funcţiei ofertă suntemconduşi la rezolvarea ecuaţiei

723522 22 p p p p



45

adică 012452 p p .

Rezolvând această ecuaţie preţul de echilibru este p0*=1,2.

28,0.52,122,125*2*2*)( 2

0

2

000 p p pC u.m.

Ecuaţia echilibrului în condiţii finale este următoarea

)()(1 pO pC

Obţinem 72372

22 p p p p ,

adică 014352 p p şi deci preţul de echilibru este p1*=1,4

Cererea în condiţii finale este dată de egalitatea:

72,154,124,125*2*2*)( 2

1

2

110 p p pC u.m.

Variaţia absolută C a cererii este

44,172,128,0*)(*)(0010

pC pC C u.m.

iar procentual %14,528,0

44,1

*)(%

00

pC

C C .

Influenţa f a altor factori, diferiţi de preţ, asupra cererii se calculează astfel

2,328,092,2*)(*)( 0001 pC pC f


2,3

*)(%

00

pC

f f

unde 92,272,12,127**2*)(2

0

2

001 p p pC u.m.Variaţia preţului echilibru * p se determină astfel:

2,192,272,1*)(*)(* 0110 pC pC p u.m.


2,0

*

***%

0

01

p

p p p

b) Elasticităţile sunt date de următoarele egalităţi:

105,043,.11

2,1

%

*%

*

f

p E

p

45,043,11

14,5

%

%*)(

f

C E pC

Aplicaţia 2. Pentru o piaţă dată se cunosc expresiile analitice ale funcţiilor de cerere şi ofertă:

723)(

522)(

2

0

2

p p pO

p p pC

Ca rezultat al unor factori, alţii decât preţul, oferta se modifică astfel:

353)( 21 p p pO


a) variaţia ofertei de echilibru şi efectul generat de factorii de influenţă;



46

b) elasticitatea coordonatelor punctului de echilibru în raport cu factorii de influenţă alţii decât preţul.

Rezolvare. a) Ecuaţia de echilibru în condiţii iniţiale este dată de următoarea exprimare

analitică:

)()( 0 pO pC

Deci vom avea 723522 22 p p p p

adică 01245 2 p p şi prin urmare preţul de echilibru este p0*=1,2.

28,072,122,137*2*3*)( 2

0

2

000 p p pO u.m.

Ecuaţia echilibrului în condiţii finale este

)()( 1 pO pC

Deci 353522 22 p p p p ,

adică 0835 2 p p şi deci preţul de echilibru este p1*=1,6

88,376,126,137*2*3*)( 2

1

2

110 p p pO u.m.

Variaţia ofertei este 16,428,088,3*)(*)( 0010 pO pOO u.m.,


16,4

*)(%

00

pO

OO .

Influenţa f a factorilor de dependenţă se calculată în mărimi absolute imediat:

4,428,068,4*)(*)( 0001 pO pO f u.m.


4,4

*)(%

00

pO

f f

unde 48,4,432,152,133*5*3*)( 2

0

2

001 p p pO u.m.

Variaţia * p a preţului de echilibru ]n mărimi absolute este

56,868,488,3*)(*)(* 0110 pO pO p u.m.,

sau procentual %33,02,1

4,0

*

***%

0

01

p

p p p

b) Elasticităţile căutate sunt date de următoarele relaţii:

54,071,15

56,8

%

*%*

f

p E p

95,071,15

86,14

%

%*)(

f

O E pO .

Aplicaţia 3. Pe o piaţă dată, funcţia de cerere ),( 1t t p pC şi funcţia de ofertă ),( 1t t p pO sunt

date de expresiile următoare:

1

1

1030

5450

t t t

t t t

p pO

p pC ,

unde:



47

• pt reprezintă preţul la momentul t;

• pt-1 reprezintă preţul la momentul t-1.


a) preţul de echilibru;

b) ecuaţia de recurenţă a preţurilor şi ecuaţia de dinamică a preţurilor.

Rezolvare. a) Preţul de echilibru se determină în baza ecuaţiei de echilibru a pieţei Ct=Ot

08053 1 t t p p .

Deoarece preţul de echilibru este constant în timp, notăm 1limlim* t t

t t

p p p , vom fi

conduşi la ecuaţia

080*5*3 p p de unde 10* p .

b) Ecuaţia de recurenţă a preţurilor este o relaţie între pt şi pt-1 de forma următoare:

B Ap p t t 1 adică 11 6,16,2635

380 t t t p p p .

Ecuaţia de dinamică a preţurilor este acea relaţie în care preţul la un moment dat este pus în

relaţie cu preţul la momentul de bază:

**)( 0 p p p A pt

t (1).

Pentru obţinerea acestei ecuaţii se vor parcurge următoarele etape:

• se introduce o variabilă a abaterii preţului curent faţă de cel de echilibru:

* p p x t t

din care se obţine 10*

t t t x p x p .• se va ajunge la relaţia 16,16,2610 t t p x

• ţinem seama că timpul este t=0,1,2,…,t+2,t+1,t,…

În acest caz putem scrie 1011 t t x p şi relaţia de la pasul precedent devine

)10(6,16,2610 1 t t x x adică 16,16,0 t t x x .

Prin inducţie rezultă următoarea relaţie:

0)6,1( x xt

t unde 10* 000 p p p x .

Deci ecuaţia de dinamică a preţurilor va avea următoarea formă finală:

10)10()6,1(10)6,1(10 00 p x x pt t

t t .

Aplicaţia 4. Pe o piaţă dată, expresiile analitice ale funcţiilor de cerere şi ofertă sunt:

1

1

12240

8370

t t t

t t t

p pO

p pC

Să se determine dacă evoluţia preţurilor converge sau nu spre preţul de echilibru.

Rezolvare. Preţul de echilibru se determină în baza ecuaţiei de echilibru a pieţei t t OC adică01104 1 t t p p .



Deoarece preţul de echilibru este constant în timp, notăm 1limlim* t t

t t

p p p , vom fi

conduşi la ecuaţia 0110*4* p p de unde 22* p .

Tipul de evoluţie a preţurilor este determinat de ecuaţia de dinamică a preţurilor

**)( 0 p p p A pt

t

Indicele de dinamică a abaterii preţului curent faţă de cel de echilibru este dat de relaţia

*

*

11 p p

p p

x

x A

t

t

t

t

şi are următoarea interpretare economică:

• dacă A<1 preţurile au o evoluţie convergentă spre preţul de echilibru;

• dacă A>1 preţurile au o evoluţie divergentă spre preţul de echilibru.

Dar parametrul A este dat de relaţia

t

t

t

t

p

C

p

O

b

d A

adică

3

12

t

t

t

t

p

C b

p

Od

deci 43

12

A şi prin urmare A<1, deci preţurile au o evoluţie convergentă spre

preţul de echilibru.

Documents

Modelarea Si Optimizarea Proceselor de Afaceri Si a Deciziilor Financiar-Bancare