109
1. Introducere. Modelarea matematică urmăreşte descrierea cantitativă a unor fenomene sau procese prin relaţii matematice. Ansamblul acestor relaţii formează modelul matematic al procesului considerat. Folosită încă din antichitate, în special pentru predicţia unor fenomene astronomice, modelarea matematică s-a extins astăzi în aproape toate domeniile activităţii umane, devenind un instrument de cunoaştere de prim rang. Această aplicare pe scară largă a modelării matematice a luat un avânt deosebit, odată cu introducerea calculatoarelor numerice; astăzi, vorbindu-se despre modelarea matematică, de obicei se subînţelege, în mod tacit, folosirea calculatorului pentru testarea modelului elaborat. În elaborarea modelului matematic al unui cuptor (proces termic) sunt parcurse, în general, următoarele etape: - analiza de proces; - alegerea tipului de model, funcţie de nivelul de cunoaştere şi de scopul urmărit; - scrierea ecuaţiilor care guvernează procesele din cuptor; - stabilirea algoritmului pentru rezolvarea ecuaţiilor care descriu procesele din cuptor; - proiectarea, implementarea şi testarea programului (programelor). În cazul în care rezultatele obţinute nu sunt corespunzătoare, este necesar să se reconsidere datele înlocuite, algoritmul folosit sau chiar ecuaţiile care descriu procesele din cuptor, începând cu ipotezele de lucru. După testarea cu succes, programul elaborat este, în continuare, folosit în proiectare, pentru optimizarea www.referat.ro

Modelarea Unui Cuptor

Embed Size (px)

DESCRIPTION

mate

Citation preview

Page 1: Modelarea Unui Cuptor

1. Introducere.

Modelarea matematică urmăreşte descrierea cantitativă a unor fenomene sau procese prin relaţii matematice. Ansamblul acestor relaţii formează modelul matematic al procesului considerat. Folosită încă din antichitate, în special pentru predicţia unor fenomene astronomice, modelarea matematică s-a extins astăzi în aproape toate domeniile activităţii umane, devenind un instrument de cunoaştere de prim rang. Această aplicare pe scară largă a modelării matematice a luat un avânt deosebit, odată cu introducerea calculatoarelor numerice; astăzi, vorbindu-se despre modelarea matematică, de obicei se subînţelege, în mod tacit, folosirea calculatorului pentru testarea modelului elaborat. În elaborarea modelului matematic al unui cuptor (proces termic) sunt parcurse, în general, următoarele etape: - analiza de proces; - alegerea tipului de model, funcţie de nivelul de cunoaştere şi de scopul urmărit; - scrierea ecuaţiilor care guvernează procesele din cuptor; - stabilirea algoritmului pentru rezolvarea ecuaţiilor care descriu procesele din cuptor; - proiectarea, implementarea şi testarea programului (programelor). În cazul în care rezultatele obţinute nu sunt corespunzătoare, este necesar să se reconsidere datele înlocuite, algoritmul folosit sau chiar ecuaţiile care descriu procesele din cuptor, începând cu ipotezele de lucru. După testarea cu succes, programul elaborat este, în continuare, folosit în proiectare, pentru optimizarea procesului sau pentru conducerea cu calculatorul de proces a cuptorului considerat. Ţinând seama că scrierea ecuaţiilor şi stabilirea algoritmilor fac obiectul capitolelor care urmează, în continuare se va vorbi, pe scurt, despre celelalte etape amintite mai sus.

1.1. Analiza de proces.

Mărimile fizice şi geometrice care caracterizează un cuptor (proces termic) pot fi împărţite în constante şi variabile de proces (figura 1.1).

www.referat.ro

Page 2: Modelarea Unui Cuptor

Figura 1.1. Constantele procesului considerat se referă, pe de o parte, la geometria cuptorului (lungimea, lăţimea sau diametrul, înălţimea, grosimea pereţilor, numărul şi locul de amplasare a arzătoarelor sau a elementelor de încălzire etc.) şi, pe de altă parte, la proprietăţile fizice (conductivitatea termică, căldura specifică, densitatea, emisivitatea termică etc.) ale materialului supus arderii, ale pereţilor cuptorului şi ale gazelor care circulă prin cuptor. Variabilele de proces se împart în mărimi de intrare şi mărimi de ieşire, între ele existând relaţii de tip cauză-efect. La rândul lor, mărimile de intrare pot fi mărimi de comandă şi mărimi perturbatoare; această împărţire este utilă, mai ales în cazul în care se urmăreşte conducerea procesului cu calculatorul. Mărimile de comandă sunt acele mărimi de intrare care pot fi modificate în mod voit, în scopul reglării procesului. Astfel de mărimi sunt, de exemplu, debitele de combustibil, de aer şi de material alimentat sau, în cazul cuptoarelor electrice, intensitatea curentului de încălzire. Mărimile perturbatoare sunt acele mărimi de intrare care nu pot fi folosite pentru reglarea procesului din cauza că modificarea lor este imposibilă sau greu de realizat. Astfel de mărimi pot fi compoziţia materiilor prime, temperatura acestora precum şi cea a mediului ambiant, presiunea atmosferică, puterea calorifică a combustibilului ş.a. Mărimile de ieşire sunt acele variabile de proces care îşi modifică valoarea ca urmare a modificării valorilor mărimilor de intrare. Asemenea mărimi sunt temperaturile gazelor (flăcării), materialului şi pereţilor, în diferitele părţi ale cuptorului, presiunea şi compoziţia gazelor din cuptor şi, în ultima instanţă, ansamblul caracteristicilor fizice şi chimice care determină calitatea produsului ars în cuptor.

1.2. Alegerea tipului de model matematic. Modelarea procesului urmăreşte stabilirea unei dependenţe funcţionale între mărimile de intrare şi cele de ieşire. Această dependenţă poate fi stabilită pentru regimul staţionar (cuasistaţionar), în care caz poartă numele de caracteristică statică, şi, respectiv, pentru regimul nestaţionar, urmărind evoluţia în timp a mărimilor de ieşire, la o variaţie dată a celor de intrare, în care caz se vorbeşte de caracteristica dinamică a procesului.

În principiu, este de dorit ca modelul matematic al unui cuptor (proces termic) să permită stabilirea atât a caracteristicii statice cât şi a celei dinamice. Totuşi, pentru anumite scopuri practice (proiectare, optimizare statică) este suficient un model static. Totodată

Page 3: Modelarea Unui Cuptor

trebuie menţionat că, în general, modelele dinamice conţin la limită şi pe cele statice deoarece majoritatea proceselor termice sunt procese cu autoechilibrare, adică, dacă se menţin constante valorile mărimilor de intrare, cele de ieşire tind către valori constante, corespunzătoare regimului staţionar. Totuşi, mergând pe această cale - de stabilire numai a modelului dinamic - în practică pot apare dificultăţi, datorită faptului că timpii necesari de rulare pe calculator devin foarte mari. Din punctul de vedere al modului de abordare a problemei precum şi a aparatului matematic folosit, modelele matematice se pot clasifica în modele fizico-matematice, modele statistice şi modele fuzzy. Modelele fizico-matematice pornesc de la ecuaţiile de conservare (bilanţuri de materiale şi termice), de transport (transfer de căldură, de masă şi de moment) şi de cinetică (combustie, reacţii gaz-solid, reacţii în fază solidă sau în topitură ş.a.). În cazul în care se consideră că mărimile care caracterizează procesul posedă, la un moment dat, valori bine determinate, se vorbeşte despre un model determinist. Modelele deterministe se exprimă, în general, prin sisteme de ecuaţii algebrice, ecuaţii diferenţiale ordinare sau cu derivate parţiale şi, uneori, chiar ecuaţii integro-diferenţiale. Dimpotriva, dacă o parte din mărimile care caracterizează procesul sunt supuse unor fluctuaţii aleatorii de care se ţine seama, modelul matematic astfel rezultat este un model stohastic şi cuprinde, de obicei, şi elemente de calcul probabilistic. Modelele stohastice sunt mai complicate decât cele deterministe. Înlocuind, pentru mărimile fluctuante, valori medii, modelele stohastice devin deterministe.

Modele statistice: În cazul investigării unui cuptor în funcţiune, dotat cu aparatură de măsură şi control corespunzătoare, pentru toate variabilele de proces semnificative, stabilirea dependenţei funcţionale între mărimile de intrare şi cele de ieşire poate fi efectuată prin metode de regresie. Modelul astfel obţinut poartă numele de model statistic. Din cele arătate, rezultă că, în cazul modelelor statistice, procesul este considerat drept o "cutie neagră" adică, în general, nu sunt necesare - dar nici nu se obţin - informaţii privind modul în care se desfăşoară fenomenele din cuptor. Astfel, modalitatea de obţinere a unui model statistic este asemănătoare pentru toate procesele de aparatură [1]

În practică, la identificarea caracteristicilor procesului, apar dificultăţi datorită decalajelor în timp între variaţiile mărimilor de intrare şi a celor de ieşire, decalaje care pot avea valori diferite pentru fiecare pereche de astfel de mărimi. Avantajul folosirii unui model statistic în scopul conducerii unui cuptor cu calculatorul de proces, rezultă din faptul că, pe această cale, se pot sesiza procesele evolutive sau accidentale care modifică comportarea sistemului cum ar fi: formarea sau căderea unor lipituri de material, deteriorarea căptuşelii refractare, îmbătrânirea rezistenţelor electrice ş.a. Modele fuzzy: Uneori, informaţiile despre un proces sunt de natură calitativă, în sensul că descrierea acestuia se face prin propoziţii de tipul "Dacă se menţin constante debitele de combustibil şi de aer şi se micşorează puţin debitul de materii prime, se obţine o creştere lentă a temperaturii din zona de ardere". Ansamblul acestor propoziţii, rezultate din experienţa practică, pot descrie comportarea unui sistem. Astfel se obţine un model fuzzy care foloseşte, pentru codificare pe calculator, teoria mulţimilor vagi.

Page 4: Modelarea Unui Cuptor

Aici trebuie menţionat că, la elaborarea unui model fuzzy trebuie să se precizeze, pentru fiecare mărime în parte, numărul de nivele şi limitele corespunzătoare acestora. Astfel, de exemplu, în cazul particular al temperaturii dintr-un apartament, o delimitare determi-nistă în domenii de temperatură este arătată în figura 1.2a. Un punct (o temperatură aparţine în întregime unui anumit domeniu). O delimitare fuzzy presupune anumite regiuni de tranziţie, astfel, că un punct poate aparţine, cu anumite ponderi, mai multor domenii învecinate. De exemplu, temperatura de 19°C este interpretată ca făcând parte din domeniile cald şi rece (figura 1.2b).

Figura 1.2În prezent, modele fuzzy sunt folosite, în special, pentru descrierea acţiunii

operatorului uman care conduce procesul. Astfel se obţine un algoritm fuzzy care poate fi implementat pe un calculator de proces. Algoritmele fuzzy sunt răspândite în multe domenii, printre care industria cimentului, cu procese complicate, greu accesibile pe cale teoretică, ocupă un loc important. Astfel, pe baza teoriei mulţimilor vagi, au fost create "sisteme expert" care fac posibilă conducerea proceselor de măcinare şi ardere, având la bază experienţa operatorilor celor mai pricepuţi. Din cele prezentate, rezultă că modelele fizico-matematice necesită şi, în acelaşi timp oferă, informaţiile cele mai profunde asupra procesului (cuptorului) modelat. Totodată, ele au şi sfera cea mai largă de aplicabilitate (inclusiv pentru proiectarea şi optimizarea parametrilor funcţionali ai cuptoarelor) şi pot fi obţinute "pe hârtie", fără a face apel la un cuptor în funcţiune decât pentru verificarea rezultatelor obţinute prin calcule teoretice. Ţinând seama de aceste aspecte, în cartea de faţă vor fi abordate numai modelele fizico-matematice de tip determinist. 1.3. Proiectarea, implementarea şi testarea programelor.

Ţinând seama de complexitatea problemelor care apar la modelarea unui cuptor, se recomandă, pentru scrierea programului, un limbaj de nivel înalt, de preferinţă PASCAL, FORTRAN, BASIC sau C. Alegerea limbajului trebuie făcută în funcţie de calculatorul disponibil, de cunoştinţele şi de experienţa celui care scrie programele şi, nu în ultimul rÎnd, de problema urmărită. Astfel, limbajele FORTRAN şi PASCAL permit o programare modulară, prin scrierea de subprograme independente care pot fi apoi utilizate în cadrul mai multor programe complexe, folosind transmiterea valorilor prin parametrii acestor subprograme. În plus, limbajul PASCAL se distinge prin posibilităţile sale de structurare a programelor; el beneficiază de implementări de excepţie pe microcalculatoare (TURBO PASCAL). Pe de altă parte, limbajul BASIC cunoaşte astăzi

Page 5: Modelarea Unui Cuptor

o răspândire foarte mare, în special pe microcalculatoare şi pe calculatoare personale. In cazul folosirii limbajului BASIC, programarea modulară este mai dificilă datorită faptului că notaţiile de variabile sunt comune întregului program şi, de asemenea, de cele mai multe ori, la refolosirea unor părţi din programe elaborate anterior, se impune renumerotarea liniilor de program. Limbajul BASIC, având un număr mai mic de cuvinte cheie, poate fi învăţat mai uşor, la unele implementări, erorile de sintaxă sunt semnalate, în marea lor majoritate, deja în faza de editarea programului, iar depanarea programelor este înlesnită de execuţia în regim de interpretor. Un dezavantaj major al limbajului BASIC este numărul mare de "dialecte", adică limbajul este specific implementării pentru calculatorul respectiv. Astfel, la trecerea de la un tip de calculator (sau de versiune de limbaj) la altul, în general se impune rescrierea programului. De asemenea, lucrul în regim interpretor este sensibil mai lent, ceea ce poate conta pentru programe mai complexe. Trebuie însă menţionat că, la ora actuală există şi compilatoare pentru limbajul BASIC (de exemplu QUICK-BASIC). Acestea permit, de asemenea, şi definirea unor module de program. Limbajul C are avantaje în lucrul cu adrese, cu facilităţi în scrierea unor interfeţe cu procesul real (conducerea proceselor), însă, pentru modelarea matematică propriu-zisă, este mai greu de abordat decât limbajul PASCAL. Alegerea unui anumit limbaj de programare mai trebuie să ţină seama de biblioteca matematică de care se dispune precum şi de anumite programe asemănătoare (sau module din acestea) care ar putea fi, eventual, refolosite. Nu este de neglijat nici tipul de interfaţă cu procesul care, uneori, impune folosirea unui anumit limbaj. Ţinând seama de răspândirea largă a calculatoarelor personale, pe care există implementări ale limbajului TURBO-PASCAL, standardizate, pentru exemplificarea programelor s-a ales, în cartea de faţă, limbajul PASCAL. Astfel, procedurile date ca exemple pot fi incluse fără rezervă în programe mai mari care rulează pe calculatoare personale compatibile IBM-PC.

Page 6: Modelarea Unui Cuptor

2. Cuptorul scurt în condiţii ideale.

Cuptorul scurt poate fi un cuptor de sine stătător sau o parte (un increment spaţial) dintr-un cuptor complex. El poate fi tratat ca un sistem cu parametrii concentraţi, în sensul că se admite că temperatura gazelor, , şi cea a suprafeţei interioare a pereţilor,

, sunt constante în spaţiu. În capitolul de faţă se tratează încălzirea unui material solid într-un asemenea cuptor. Se presupune, pentru început, că materialul are grosimea mică şi conductivitatea termică mare, astfel că poate fi caracterizat printr-o singură temperatură, . De asemenea, se consideră că temperatura gazelor este constantă în timp.

2.1. Cuptorul scurt cu pereţi cu inerţie termică neglijabilă.

În cuptorul considerat, temperatura gazelor este constantă, însă cea a materialului şi de obicei, şi cea a peretelui variază în timp. În cuptor, gazele de ardere transmit căldură prin convecţie şi radiaţie, atât materialului cât şi suprafeţei interioare a pereţilor în contact cu gazele. De asemenea, pereţii cuptorului transmit căldură materialului, prin radiaţie. Figura 2.1 Schema cuptorului scurt. Astfel, căldura transmisă în incrementul de timp dt, de la gaze la perete este:

(2.1)în care: este aria pereţilor în contact cu gazele;

- coeficientul total de transfer termic de la gaze la perete:

(2.2)unde : este coeficientul parţial de transfer termic prin radiaţie, de la gaze la perete; - coeficientul de înnegrire al pereţilor; - coeficientul parţial de transfer termic prin convecţie, de la gaze la perete.

Căldura transmisă de la gazele de ardere la material este:

(2.3)în care: este aria suprafeţei materialului în contact cu gazele de ardere;

- coeficientul total de transfer termic de la gaze la material:

(2.4)

unde : este coeficientul parţial de transfer termic prin radiaţie, de la gaze la material; - coeficientul de înnegrire a materialului.

Page 7: Modelarea Unui Cuptor

Căldura primită de suprafaţa interioară a pereţilor în contact cu gazele este transmisă în parte materialului, prin radiaţie, în parte acumulată şi în parte pierdută în mediul exterior, ceea ce se exprimă prin relaţia:

(2.5)

în care căldura transmisă de la perete la material este:

(2.6)unde : este coeficientul total de transfer termic de la perete la material:

(2.7)

în care: este coeficientul de transfer termic prin radiaţie de la perete la material;

- coeficientul reciproc de înnegrire perete - material;

- partea din radiaţia peretelui absorbită de gazele de ardere. Căldura pierdută prin pereţii în contact cu gazele, spre mediul ambiant, este:

(2.8)în care, pentru un perete plan compus din n straturi, cu grosimile şi conductivităţile

:

(2.9)

Deocamdată, căldura acumulată de perete se neglijează, adică:

(2.10) Căldura primită de material, din partea gazelor şi a pereţilor este în parte acumulată şi în parte pierdută prin pereţii în contact cu materialul (vatra cuptorului).

(2.11)

Căldura acumulată de material este:

(2.12)în care: este masa materialului; - căldura specifică a materialului. Căldura transmisă mediului exterior prin pereţii în contact cu materialul este:

(2.13)

în care: este aria pereţilor în contact cu materialul (vatra cuptorului).

Coeficientul global de transfer termic poate fi calculat cu o relaţie asemănătoare relaţiei (2.9).

Page 8: Modelarea Unui Cuptor

Din relaţiile (2.3), (2.6) şi (2.11 - 2.13) rezultă:

(2.14)în care:

(2.15) Pe de altă parte, din relaţiile (2.1), (2.5), (2.6) şi (2.10), rezultă:

(2.16)

de unde se explicitează:

(2.17)în care:

(2.18)

Dacă se notează:

(2.19)relaţia (2.14) se scrie în forma:

(2.20) În relaţia (2.20) se poate pune în evidenţă un coeficient complex de transfer termic:

(2.21) şi o temperatură echivalentă a spaţiului cuptorului :

(2.22) Astfel, relaţia (2.20) devine:

(2.23) Prin separarea variabilelor şi integrarea relaţiei se obţine:

Page 9: Modelarea Unui Cuptor

(2.24)de unde rezultă:

(2.25) În general, coeficienţii de transfer termic şi depind de temperatura materialului. Din acest motiv, ei trebuie calculaţi cu o temperatură medie a materialului, . Aceasta se obţine din relaţia:

(2.26)

Înlocuind Tm din relaţia (2.25) şi ţinând seama de relaţia (2.24), rezultă:

(2.27) în care este temperatura finală a materialului. Relaţiile (2.24 - 2.27) sunt asemănătoare cu cele date în literatura de specialitate [1-3], cu deosebirea că în locul temperaturii gazelor , se foloseşte temperatura

echivalentă , dată de relaţia (2.22). În cazul în care trebuie să se ţină seama şi de gradientul termic din interiorul materialului suspus încălzirii, relaţia (2.23) poate fi exprimată sub forma unei condiţii limită de tip III. Astfel, fluxul termic primit de suprafaţa materialului este:

(2.28)

În practică, ipoteza unor pereţi de cuptor cu capacitate calorică neglijabilă nu poate fi acceptată. Cu toate acestea, modelul matematic dedus aici rămâne valabil pentru acele cuptoare scurte în care, pe lângă temperatura gazelor, rămâne constantă şi temperatura suprafeţei interioare a pereţilor. În cazul acesta, conducţia prin perete are loc în regim staţionar şi evident, relaţia (2.10) este valabilă. Astfel de cuptoare scurte sunt acelea în care se realizează o avansare continuă a materialului cum ar fi, de exemplu, cuptoarele tunel cu transportul pro-duselor cu ajutorul unei plase de sârmă, unui conveior, cu bare sau cu role (figurile 2.2 şi 2.3). Bineînţeles că, în acest caz, se obţine un model static al acestor cuptoare.

Page 10: Modelarea Unui Cuptor

Figura 2.2 Schema generală a unui cuptor tunel cu role.

După cum se observă din figurile 2.2 şi 2.3, fiecare tronson al cuptorului tunel cu role poate fi considerat ca un cuptor scurt în care gazele de ardere sunt bine amestecate, deci au o temperatură constantă în spaţiu, iar un sistem de termostatare asigură şi menţinerea constantă în timp a acestei temperaturi. Astfel, modelul matematic al fiecărui tronson în parte va fi cel al unui cuptor scurt, ţinându-se seama, în modelul general al cuptorului, pe de o parte de legăturile existente între aceste tronsoane şi, pe de altă parte, de procesele de combustie care produc căldura necesară.

În cele ce urmează, se prezintă un program pentru calculul unui cuptor scurt, folosind modelul matematic prezentat în capitolul de faţă. Calculul coeficienţilor de transfer termic prin radiaţia solidelor şi gazelor foloseşte relaţii consacrate în literatura de specialitate [1,4].

Program Cuptor_scurt_conditii_ideale;

Page 11: Modelarea Unui Cuptor

const nspmax=6; { Nr. maxim straturi perete }type strat = array [1..nspmax] of real;var alc, alfe, algp, algm, alpm, alt, Amg, Apg, Apm, Cm, CO2, dt, epsp, epsm, epspm, h,H2O, kpg, kpm, M, psi, Ta, Tg, Tge, Tp, Tmo, Tmf, Tmm : real; ctpg, ctpm, Xpg, Xpm : strat; i, nspg, nspm : byte;

Procedure Date_Initiale;begin writeln(' Cuptorul scurt în conditii ideale '); writeln(' Pentru peretele în contact cu gazul indicati :');

write(' Aria suprafetei peretelui [m2] ='); readln(Apg); write(' - numarul de straturi = '); readln(nspg); for i:=1 to nspg do begin writeln('Pentru stratul ',i,' indicati :'); write(' - grosimea stratului de perete [m] = '); readln(Xpg[i]); write(' - conductivitatea termica [W/m.K] = '); readln(ctpg[i]); end; writeln(' Pentru peretele în contact cu materialul indicati :');

write(' Aria suprafetei peretelui în contact cu mater. [m2] ='); readln(Apm); write(' - numarul de straturi = '); readln(nspm); for i:=1 to nspm do begin writeln('Pentru stratul ',i,' indicati :'); write(' - grosimea stratului de perete [m] = '); readln(Xpm[i]); write(' - conductivitatea termica [W/m.K] = '); readln(ctpm[i]); end;

write(' Coef. transfer termic exterior [W/m2.K] = '); readln(alfe);

write(' Temperatura mediului ambiant [oC] = '); readln(Ta);

write(' Coef.transfer termic convectiv [W/m2.K] = '); readln(alc);

write(' Aria mat. în contact cu gazele [m2] = '); readln(Amg); write(' Masa materialului din cuptor [kg] = '); readln(M); write(' Cald. spec. a materialului [J/kg.K] = '); readln(Cm);

write(' Temperatura gazelor din cuptor [oC] = '); readln(Tg); write(' Dioxidul de carbon din gaze [% CO2] = '); readln(CO2); write(' Vaporii de apa din gaze [% H2O] = '); readln(H2O); write(' Drumul mediu al radiatiei = '); readln(h); write(' Coeficient înnegrire perete = '); readln(epsp); write(' Coeficient înnegrire material = '); readln(epsm);

write(' Temperatura initiala a mater. [oC] = '); readln(Tmo); write(' Durata încalzirii [secunde] = '); readln(dt);end;

Function Rput(a, b : Real) : Real; { ridicare putere fractionara }Begin Rput:=exp(b*ln(a)) end;

Page 12: Modelarea Unui Cuptor

Function Alrg(T11, T22, pCO2, pH2O, h : Real) : Real; { radiatia gazelor }Var qc, qh, T1, T2 : Real;begin T1:=(T11+273)/100; T2:=(T22+273)/100; If pCO2 > 0 then qc:=4*Rput(pCO2*h,0.33)*(Rput(T1,3.5)-Rput(T2,3.5)*Rput(T1/T2,0.65)) else qc:=0; If pH2O > 0 then qh:=40*Rput(pH2O,0.8)*Rput(h,0.6)*(Rput(T1,3)-Rput(T2,3)*Rput(T1/T2,0.45)) else qh:=0; alrg:=(qc+qh)/(T11-T22)end;

Procedure Complex(Tg, Tp, Tm : Real);Var alrpm, T1, T2 : real;begin psi:=Amg/Apg; epspm:=1/(1/epsm+psi*(1/epsp+1)); algp:=alrg(Tg, Tp, CO2/100, H2O/100, h)*epsp+alc; algm:=alrg(Tg, Tm, CO2/100, H2O/100, h)*epsm+alc; T1:=(Tp+273)/100; T2:=(Tm+273)/100; alrpm:=0.0577*(T1*T1+T2*T2)*(T1+T2); alpm:=alrpm*epspm-alrg(Tp,Tm, CO2/100, H2O/100, h)*epsp; alt:=algp+alpm*psi+kpg;end;

Procedure Cuptscurt1;var alfa, er, psi1, S, Tg1, Tp1, Tm1 : real;begin S:=1/alfe; for i:=1 to nspg do S:=S+Xpg[i]/ctpg[i]; kpg:=1/S; S:=1/alfe; for i:=1 to nspm do S:=S+Xpm[i]/ctpm[i]; kpm:=1/S; Tge:=Tg; Tmm:=Tmo; Tp:=(Tg+Tmm)/2; psi1:=Apm/Amg; repeat Complex(Tge, Tp, Tmm); Tg1:=Tge; Tp1:=Tp; Tm1:=Tmm; alfa:=algm+alpm*(algp+kpg)/alt+kpm*psi1; Tge:=((algm+algp*alpm/alt)*Tg+(kpm*psi1+alpm*kpm/alt)*Ta)/alfa; Tmf:=Tge-(Tge-Tmo)*exp(-alfa*Amg*dt/M/Cm); Tmm:=Tge-(Tmf-Tmo)/ln((Tge-Tmo)/(Tge-Tmf)); Tp:=(algp*Tge+alpm*psi*Tmm+kpg*Ta)/alt; er:=abs(Tge-Tg1)+abs(Tp-Tp1)+abs(Tmm-Tm1); writeln(' Tge =',Tge:6:1,' Tp =',Tp:6:1,' Tmm =',Tmm:6:1); until er < 1;end;

{ Programul principal }

Page 13: Modelarea Unui Cuptor

begin Date_initiale; Cuptscurt1;

writeln(' Temperatura finala a materialului =',Tmf:6:1,'oC'); { aici cititorul poate adauga scrierea rezultatelor care intereseaza } readlnend.

2.2. Cuptorul scurt cu pereţi a căror inerţie termică este concentrată pe faţa interioară.

În acest paragraf se consideră că peretele cuptorului este compus din două straturi şi anume un strat interior cu rezistenţa termică neglijabilă, având grosimea X, densitatea şi căldura specifică c şi un strat exterior cu inerţie termică neglijabilă. Astfel, peretele real al cuptorului este înlocuit printr-un perete echivalent idealizat care posedă atât o capacitate termică cât şi o rezistenţă termică, ca şi peretele real. De fapt, în metoda diferenţelor finite se face acealaşi lucru, cu precizarea că peretele cuptorului real se înlocuieşte cu un număr mai mare de asemenea pereţi, legaţi în serie. În cele ce urmează se notează cu

(2.28)

capacitatea calorică a peretelui echivalent în contact cu gazele şi, în mod asemănător, cu

(2.29)cea a peretelui în contact cu materialul. Ţinând seama că s-a propus, pentru stratul interior al peretelui cuptorului, o conductivitate termică foarte mare, temperatura acestuia va fi constantă în spaţiu şi variabilă numai în timp. În consecinţă, căldura acumulată în peretele cuptorului în contact cu gazele de ardere este:

(2.30)

Astfel, din ecuaţia de bilanţ termic al peretelui cuptorului (2.5) se obţine:

(2.31) Ecuaţia de bilanţ termic pentru materialul din cuptor (2.11) trebuie, la rândul ei, să fie completată cu un termen care exprimă căldura acumulată în peretele care vine în contact direct cu materialul. Conform ipotezelor făcute, temperatura stratului interior al acestui perete este egală cu cea a materialului, deci căldura acumulată va fi:

(2.32)

iar, în locul ecuaţiei (2.11) trebuie scris:

(2.33) Înlocuind termenii corespunzători, se obţine:

Page 14: Modelarea Unui Cuptor

(2.34) Astfel, se obţine un sistem de două ecuaţii diferenţiale care descriu evoluţia temperaturilor peretelui şi a materialului din cuptor:

(2.35)şi

(2.36) Dacă se notează:

; ;

(2.37-2.39)

;

(2.40-2.41)

(2.42)ecuaţiile (2.35 - 2.36) devin:

(2.43)

(2.44) În cazul în care se poate considera că, într-un interval de timp, , suficient de mic, atât coeficienţii de transfer termic cât şi capacităţile calorice nu depind de temperatură, din sistemul format de ecuaţiile (2.43) şi (2.44) se pot deduce două ecuaţii diferenţiale independente:

(2.45)

şi

(2.46)

Page 15: Modelarea Unui Cuptor

Ţinând seama că şi , ecuaţia caracteristică a ecuaţiilor diferenţiale (2.45) şi (2.46) are două rădăcini reale negative:

(2.46) Astfel se obţin soluţiile:

(2.47)

şi

(2.48)în care:

(2.49)şi

(2.50) Constantele şi reprezintă, în acelaşi timp, valorile către care tind temperaturile şi , la un timp de încălzire mare. Constantele şi trebuie astfel determinate încât să satisfacă condiţiile iniţiale. Astfel, pentru momentul iniţial ( t = 0):

(2.51)

(2.52)

(2.53)

(2.54) Din relaţiile (2.47), (2.51) şi (2.53) se obţine sistemul de ecuaţii:

(2.55)

(2.56)

De aici rezultă:

(2.57)şi

Page 16: Modelarea Unui Cuptor

(2.58) În mod asemănător se obţine:

(2.59)şi

(2.60)

La rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale (2.45-2.46) s-a presupus, în mod tacit, că coeficienţii acestor ecuaţii sunt constanţi. În realitate, aceştia depind, printre altele, şi de coeficienţii de transfer termic care, la rândul lor, depind de temperaturile în cauză. Din acest motiv, este necesar să se facă calculul coeficienţilor de transfer termic cu valorile medii ale temperaturilor şi . Aceste valori se obţin din relaţiile:

(2.61)şi

(2.62) Ţinând seama de relaţiile (2.47 - 2.48), se obţine:

(2.63)şi

(2.64) Comparând rezultatele obţinute la acest paragraf cu cele ale paragrafului precedent, se constată că variaţiile în timp ale temperaturilor materialului şi a feţei interioare aperetelui cuptorului sunt descrise de ecuaţii diferenţiale de ordinul doi. În consecinţă nu mai poate fi definită o condiţie la limită de tip III pentru încălzirea materialului (şi a pereţilor) ci, pentru rezolvarea acestei probleme trebuie căutată (şi găsită !) o cale nouă. Asimilarea peretelui cuptorului cu un perete echivalent format din două straturi este o aproximaţie prea grosolană pentru cazurile întâlnite în practică. Ea poate fi îmbunătăţită prin mărirea numărului unor astfel de straturi înseriate care au, în mod alternativ, fie numai capacitate termică, fie numai rezistenţă termică. Se poate ajunge, astfel, pe altă cale, la metoda diferenţelor finite.

În cele ce urmează este prezentat un program pentru modelarea acestui tip de cuptor scurt. Deşi el, ca atare, nu are aplicabilităţi deosebite, anumite module din acesta

Page 17: Modelarea Unui Cuptor

pot fi folosite pentru modelarea cuptoarelor prezentate la capitolul 5, aducându-i-se completarile privind câmpurile termice din material şi perete, pe baza celor dezvoltate în capitolele 3 şi 4.

Program Cuptor_scurt_cu_inertie_termica_concentrata;const nspmax=6; { Nr. maxim straturi perete }type strat = array [1..nspmax] of real;var alc, alfe, algp, algm, alpm, alt, Amg, Apg, Apm, Cm, CO2, dt, epsp, epsm, epspm, h,H2O, kpg, kpm, M, psi, Ta, Tg, Tmo, Tmf, Tmm, Tpo, Tpm, Tpf, Cppg, Cppm, Xpga, ropg, Wpg, Xpma, ropm, Wpm, A1, A2, B1, B2, C1, C2 : real; ctpg, ctpm, Xpg, Xpm : strat; i, nspg, nspm : byte;

Procedure Date_Initiale;begin writeln(' Cuptorul scurt in conditii ideale '); writeln(' Pentru peretele in contact cu gazul indicati :');

write(' Aria suprafetei peretelui [m2] ='); readln(Apg); write(' - numarul de straturi = '); readln(nspg); for i:=1 to nspg do begin writeln(' Pentru stratul ',i,' indicati :'); write(' - grosimea stratului de perete [m] = '); readln(Xpg[i]); write(' - conductivitatea termica [W/m.K] = '); readln(ctpg[i]); end; writeln(' Pentru stratul din perete care acumuleaza caldura indicati:'); write(' - grosimea stratului [m] = '); readln(Xpga); write(' - densitatea stratului [kg/mc] = '); readln(ropg); write(' - caldura specifica [J/kg.K] = '); readln(Cppg); writeln(' Pentru peretele în contact cu materialul indicati :');

write(' Aria suprafetei peretelui in contact cu mater. [m2] ='); readln(Apm); write(' - numarul de straturi = '); readln(nspm); for i:=1 to nspm do begin writeln(' Pentru stratul ',i,' indicati :'); write(' - grosimea stratului de perete [m] = '); readln(Xpm[i]); write(' - conductivitatea termica [W/m.K] = '); readln(ctpm[i]); end; writeln(' Pentru stratul din perete care acumuleaza caldura indicati:'); write(' - grosimea stratului [m] = '); readln(Xpma); write(' - densitatea stratului [kg/mc] = '); readln(ropm); write(' - caldura specifica [J/kg.K] = '); readln(Cppm);

write(' Coef. transfer termic exterior [W/m2.K] = '); readln(alfe);

write(' Temperatura mediului ambiant [oC] = '); readln(Ta);

write(' Coef.transfer termic convectiv [W/m2.K] = '); readln(alc);

write(' Aria mat. in contact cu gazele [m2] = '); readln(Amg); write(' Masa materialului din cuptor [kg] = '); readln(M);

Page 18: Modelarea Unui Cuptor

write(' Cald. spec. a materialului [J/kg.K] = '); readln(Cm);

write(' Temperatura gazelor din cuptor [oC] = '); readln(Tg); write(' Dioxidul de carbon din gaze [% CO2] = '); readln(CO2); write(' Vaporii de apa din gaze [% H2O] = '); readln(H2O); write(' Drumul mediu al radiatiei = '); readln(h); write(' Coeficient innegrire perete = '); readln(epsp); write(' Coeficient innegrire material = '); readln(epsm);

write(' Temperatura initiala material [oC] = '); readln(Tmo);

write(' Temperatura initiala perete [oC] = '); readln(Tpo); write(' Durata incalzirii [secunde] = '); readln(dt);end;

Function Rput(a, b : Real) : Real; { ridicare putere fractionara }Begin Rput:=exp(b*ln(a)) end;

Function Alrg(T11, T22, pCO2, pH2O, h : Real) : Real; { radiatia gazelor }Var qc, qh, T1, T2 : Real;begin T1:=(T11+273)/100; T2:=(T22+273)/100; If pCO2 > 0 then qc:=4*Rput(pCO2*h,0.33)*(Rput(T1,3.5)-Rput(T2,3.5)*Rput(T1/T2,0.65)) else qc:=0; If pH2O > 0 then qh:=40*Rput(pH2O,0.8)*Rput(h,0.6)*(Rput(T1,3)-Rput(T2,3)*Rput(T1/T2,0.45)) else qh:=0; alrg:=(qc+qh)/(T11-T22)end;

Procedure Complex(Tg, Tp, Tm : Real);Var alrpm, T1, T2 : real;begin psi:=Amg/Apg; epspm:=1/(1/epsm+psi*(1/epsp+1)); algp:=alrg(Tg, Tp, CO2/100, H2O/100, h)*epsp+alc; algm:=alrg(Tg, Tm, CO2/100, H2O/100, h)*epsm+alc; T1:=(Tp+273)/100; T2:=(Tm+273)/100; alrpm:=0.0577*(T1*T1+T2*T2)*(T1+T2); alpm:=alrpm*epspm-alrg(Tp,Tm, CO2/100, H2O/100, h)*epsp; alt:=algp+alpm*psi+kpg;end;

Procedure Cuptscurt2;var alfa, er, psi1, S, Tg1, Tp1, Tm1 : real; D1, D2, E1, E2, L1, L2, r1, r2, rad : Real;begin S:=1/alfe; for i:=1 to nspg do S:=S+Xpg[i]/ctpg[i]; kpg:=1/S;

Page 19: Modelarea Unui Cuptor

S:=1/alfe; for i:=1 to nspm do S:=S+Xpm[i]/ctpm[i]; kpm:=1/S; Wpg:=Xpga*cppg*ropg; Wpm:=Xpma*cppm*ropm; Tmm:=Tmo; Tpm:=Tpo; psi1:=Apm/Amg; repeat Complex(Tg, Tpm, Tmm); Tp1:=Tpm; Tm1:=Tmm; A1:=(algp*Tg+kpg*Ta)/Wpg; B1:=alpm*psi/Wpg; C1:=alt/Wpg; A2:=(algm*Tg+kpm*psi1*Ta)/(m*cm/Amg+psi1*Wpm); B2:=alpm/(m*cm/Amg+psi1*Wpm); C2:=(algm+alpm+kpm*psi1)/(m*cm/Amg+psi1*Wpm); rad:=sqrt(sqr(C1-C2)+4*B1*B2); r1:=(-(C1+C2)+rad)/2; r2:=(-(C1+C2)-rad)/2; L1:=(A1*C2+A2*B1)/(C1*C2-B1*B2); L2:=(A1*B2+A2*C1)/(C1*C2-B1*B2); D1:=(A1+r2*L1+B1*Tmo-(C1+r2)*Tpo)/(r1-r2); E1:=((C1+r1)*Tpo-A1-r1*L1-B1*Tmo)/(r1-r2); D2:=(A2+r2*L2+B2*Tpo-(C2+r2)*Tmo)/(r1-r2); E2:=((C2+r1)*Tmo-A2-r1*L2-B2*Tpo)/(r1-r2); Tpf:=L1+D1*exp(r1*dt)+E1*exp(r2*dt); Tmf:=L2+D2*exp(r1*dt)+E2*exp(r2*dt); Tpm:=L1+D1*(exp(r1*dt)-1)/(r1*dt)+E1*(exp(r2*dt)-1)/(r2*dt); Tmm:=L2+D2*(exp(r1*dt)-1)/(r1*dt)+E2*(exp(r2*dt)-1)/(r2*dt); er:=abs(Tpm-Tp1)+abs(Tmm-Tm1); write(' Tmf =',Tmf:6:1,' Tpf =',Tpf:6:1); writeln(' Tmm =',Tmm:6:1,' Tpm =',Tpm:6:1); until er < 1;end;

{ Programul principal }begin Date_initiale; Cuptscurt2; write(' Gata program !'); readln; { aici cititorul poate adauga scrierea rezultatelor care intereseaza }end.

Page 20: Modelarea Unui Cuptor

3. Încălzirea materialului solid într-un cuptor scurt.

Modelele cuptorului scurt idealizat, prezentate în capitolul precedent, au pus în evidenţă că tratarea problemei încălzirii materialului solid ca o problemă de conducţie termică cu condiţii limită de tip III nu este posibilă decât în anumite cazuri particulare, deşi literatura de specialitate tratează mai ales aceste cazuri. In cele ce urmează, se indică, pentru un material solid sub forma unei plăci, câteva exemple de rezolvare a ecuaţiei conducţiei termice, utile în modelarea matematică a cuptoarelor.

3.1. Încălzirea unei plăci în contact cu un mediu cu temperatura constantă.

Pentru materialul din cuptor, cu densitatea , căldura specifică cm şi

conductivitatea termică , ecuaţia conducţiei termice se scrie în forma:

(3.1) Dacă materialul din cuptor poate fi asimilat cu o placă cu grosimea 2 X, încălzită bilateral (respectiv cu o placă cu grosimea X, încălzită pe o parte şi izolată termic pe partea opusă), cu proprietăţile termofizice constante (figura 3.1), ecuaţia (3.1) se reduce la:

(3.2)în care este difuzivitatea termică a materialului:

Figura 3.1

(3.3) Ecuaţia (3.2) trebuie rezolvată împreună cu condiţiile la limită şi iniţiale care, pentru cazul de faţă, sunt: - pentru x = 0 (centrul plăcii):

(3.4) pentru x = X (suprafaţa plăcii):

(3.5)

- pentru t = 0 (momentul iniţial):

(3.6) Folosind coordonatele adimensionale:

Page 21: Modelarea Unui Cuptor

, şi (3.7-

3.9)ecuaţia (3.2) devine:

(3.10)iar condiţiile la limită se scriu în forma: - pentru (centrul plăcii):

(3.11) - pentru (suprafaţa plăcii):

(3.12)în care este criteriul lui Biot:

(3.13) Condiţia iniţială se exprimă prin relaţia: - pentru t = 0 :

(3.14)

Rezolvarea ecuaţiei (3.10) prin metoda Bernoulli pleacă de la ipoteza că soluţia poate fi exprimată ca un produs de două funcţii:

(3.15)

Astfel, derivatele temperaturii adimensionale devin:

; şi

(3.16 - 3.18) Astfel, relaţia (3.10) devine

(3.19)

sau(3.20)

în care este o constantă, deocamdată arbitrară, întotdeauna negativă. Din egalitatea se obţine soluţia:

(3.21)

Page 22: Modelarea Unui Cuptor

Din considerente fizice rezultă că, la un timp infinit, temperatura plăcii trebuie să tindă către temperatura , respectiv U trebuie să tindă către zero. Astfel, constanta din relaţia (3.20) trebuie să fie neapărat negativă. Egalitatea a doua din relaţia (3.20) duce la ecuaţia diferenţială:

(3.22)

care are soluţia:

(3.23) Derivata acestei funcţii este:

(3.24)

Condiţia la limită (3.11) impune . Astfel, soluţia (3.15) devine:

(3.25) Înlocuind această expresie în condiţia la limită (3.12), se obţine ecuaţia:

(3.26)

Ţinând seama de periodicitatea funcţiilor trigonometrice, ecuaţia (3.26) are o infinitate de soluţii . Astfel, în locul soluţiei (3.25) trebuie să se scrie:

(3.27)

Constantele trebuie să fie astfel determinate, încât să fie satisfăcută condiţia iniţială care, în cazul general, se exprimă printr-o relaţie de forma: - pentru t = 0 ( t = 0 ):

(3.28) În cazul de faţă, ortogonalitatea seriilor Fourier, se exprimă prin valoarea integralei:

(3.29) Astfel, constantele se exprimă prin relaţia:

Page 23: Modelarea Unui Cuptor

(3.30) In cazul de faţă, şi astfel se obţine:

(3.31) În concluzie, pentru un timp dat, (criteriul Fourier), câmpul de temperatură în materialul supus încălzirii devine:

(3.32)

Temperatura la suprafaţa plăcii, pentru , este:

(3.33)

Temperatura în centrul (sau pe faţa izolată) rezultă din relaţia (3.32), pentru :

(3.34)

Temperatura medie a materialului se obţine din calculul integralei:

(3.35) Ţinând seama de relaţia (3.32), se obţine:

(2.36)

Pentru corectarea relaţiei (2.25) cu rezistenţa termică a materialului, Heiligenstaedt [1] a introdus un coeficient . Astfel, temperaturile şi devin temperaturile medii iniţială şi finală ale materialului, iar relaţia (2.25) se scrie în forma:

(3.37)

Ţinând seama de relaţiile (3.9) şi (3.36) rezultă:

(3.38)

Pentru o placă cu grosimea 2 X , încălzită bilateral,

(3.39)şi

(3.40)

Astfel, se obţine:

Page 24: Modelarea Unui Cuptor

(3.41)

şi (3.42)

De fapt, în cazul folosirii calculatorului este mai simplu să se utilizeze direct relaţia (3.36). În continuare, se prezintă un program pentru calcularea funcţiilor , şi şi a coeficientului B , în funcţie de criteriile Bi şi Fo.

Program Incalzire_placa;var B, Bi, Fo, f1, f2, f3 : real; i : byte;

Procedure Placa(Bi, Fo : real; var f1, f2, f3, B : real);var E, er, p, pc : real;begin i:=0; f1:=0; f2:=0; f3:=0; p:=1; repeat p:=p+i*pi; repeat pc:=arctan(Bi/p)+i*pi; er:=abs(p-pc); p:=pc until er < 1E-6; E:=2*sin(p)/(p+sin(p)*cos(p))*exp(-p*p*Fo); f1:=f1+E*cos(p); f2:=f2+E; f3:=f3+E*sin(p)/p; i:=i+1 until abs(E) < 1E-6; B:=f1/f3;end;

{ Program principal }begin write(' Bi = '); readln(Bi); write(' Fo = '); readln(Fo); Placa(Bi,Fo,f1,f2,f3,B); writeln(' Nr. termeni=',i); writeln(' f1=',f1:6:4,' f2=',f2:6:4,' f3=',f3:6:4,' B=',B:6:4); readlnend.

3.2. Încălzirea unei plăci cu temperatura superficială linear variabilă în timp.

Din cele arătate în paragraful precedent, rezultă că soluţia dedusă nu este aplicabilă dacă temperatura gazului şi/sau a suprafeţei interioare a peretelui cuptorului variază în timp. Totuşi, problema încălzirii materialului solid (în cazul de faţă a unei plăci) într-un asemenea cuptor, poate fi rezolvată dacă se împarte procesul de încălzire în

Page 25: Modelarea Unui Cuptor

incremenţi de timp Dt şi se consideră că, pentru fiecare increment de timp, temperatura suprafeţei materialului creşte (sau scade) linear (figura 3.2). Sub acest aspect, metoda de calcul propusă aici are elemente comune cu metoda diferenţelor finite. Pentru o variaţie a temperaturii în timp care nu este lineară, în ambele metode apar erori de trunchiere însă, spre deosebire de metoda diferenţelor finite, în metoda propusă nu apar erori de trunchiere pe direcţia spaţială.

Figura 3.2. Din motive de ordin matematic, pentru cazul de faţă se adoptă un sistem de coordonate spaţiale cu pentru suprafaţa plăcii şi pentru centrul sau pentru faţa izolată a acesteia. Astfel, ecuaţia conducţiei termice (3.2) se scrie, folosind coordonatele adimensionale (3.7) şi (3.8), în forma:

(3.44) Condiţiile la limită se exprimă prin relaţiile: - pentru (suprafaţa plăcii):

(3.45)

- pentru (centrul plăcii):

(3.46) Pentru rezolvarea ecuaţiei diferenţiale (3.44) cu condiţiile limită date, se încearcă, pentru început, o soluţie particulară de forma:

(3.47) Astfel, se calculează:

(3.48)

(3.49)şi

(3.50)

Cu aceste relaţii, ecuaţia (3.44) devine:

(3.51) Ecuaţia (3.51) trebuie să fie valabilă pentru orice valoare a lui t , deci:

Page 26: Modelarea Unui Cuptor

(3.52)

de unde se obţine:

(3.53) Pe de altă parte, din ecuaţia (3.51) se mai obţine condiţia:

(3.54)

de unde rezultă, ţinând seama de relaţia (3.53):

(3.55) Astfel, câmpul termic în placa supusă încălzirii devine:

(3.56)

Derivata relaţiei (3.56) este:

(3.57) Constantele de integrare A, B, C şi D se determină cu ajutorul condiţiilor la limită. Astfel, pentru , din relaţiile (3.46) şi (3.57) se obţine egalitatea:

(3.58)

Egalitatea (3.58) trebuie să se păstreză pentru orice valoare a timpului adimensional t şi astfel se obţine:

(3.59-3.60) Pe de altă parte, din relaţiile (3.45) şi (3.56) se obţine, pentru , ţinând seama de relaţiile (3.59-3.60):

(3.61)

Ţinând seama că relaţia (3.61) este valabilă pentru orice valoare a timpului adimensional t , se deduce:

şi (3.62-3.63) Astfel ecuaţia câmpului termic (3.56) devine:

(3.64) Ţinând seama de relaţia (3.45), relaţia (3.64) se mai scrie în forma:

(3.65)

Page 27: Modelarea Unui Cuptor

La deducerea relaţiilor (3.64-3.65) nu au fost folosite decât condiţiile la limită. În consecinţă, ele nu ţin seama de condiţiile iniţiale, iar relaţiile de mai sus trebuie considerate drept soluţie asimptotică, pentru timpi mari. Pentru a putea ţine seama de condiţiile iniţiale, în relaţia (3.64) se adaugă o funcţie de corecţie . Astfel se obţine:

(3.66) Funcţia trebuie să fie, la rândul ei, o soluţie a ecuaţiei conducţiei termice, adică:

(3.67) De asemenea trebuie să fie satisfăcute condiţiile la limită: - pentru (3.68)

- pentru

(3.69) În plus, pentru timpi mari, funcţia U trebuie să tindă către zero. Ţinând seama de cele arătate în paragraful precedent, funcţia U va fi de forma:

(3.70) Funcţia U dată de relaţia (3.70) satisface, în mod automat ecuaţia (3.67) şi condiţia la limită (3.69). Condiţia la limită (3.68) impune, pentru :

(3.71)

de unde rezultă:

şi

(3.72) Coeficienţii se determină cu ajutorul condiţiilor iniţiale, ţinând seama de orto-gonalitatea seriilor Fourier, care, pentru cazul de faţă, rezultă din valoarea integralei:

(3.73) În consecinţă, dacă, la momentul iniţial, câmpul termic este exprimat printr-o funcţie , coeficienţii se obţin din relaţia:

(3.74)

Page 28: Modelarea Unui Cuptor

In cele ce urmează, se presupune că, la primul pas de timp, se pleacă de la o temperatura uniformă în material, adică, pentru orice x , la şi momentul :

(3.75)

Pe de altă parte, pentru şi , din relaţiile (3.66) şi (3.70) se obţine:

(3.76) Ţinând seama de relaţiile (3.74-3.76), se obţine:

(3.77) Ţinând seama de relaţia (3.74) şi efectuând integrarea, se obţine:

(3.78) În consecinţă, la primul pas de timp, distribuţia de temperatură în placă va fi:

(3.79) La începutul pasului doi de încălzire ( ), distribuţia iniţială de temperatură este cea de la sfârşitul primului pas, adică:

(3.80) Pe de altă parte, din relaţia (3.66) se obţine, pentru începutul pasului doi de încălzire:

(3.81) Egalând expresiile (3.80) şi (3.81) şi înlocuind funcţia U prin relaţia (3.70), se obţine:

(3.82) Ţinând seama de relaţia (3.74), se obţine, pentru pasul doi de încălzire:

(3.83) Astfel, profilul termic în placă, la al doilea pas de timp, devine:

Page 29: Modelarea Unui Cuptor

(3.84) Dacă se măreşte, din nou, j cu o unitate şi se consideră, la începutul pasului următor, , relaţia (3.84) poate constitui, la rândul ei, o condiţie iniţială. Astfel, repetând raţionamentul de mai multe ori, se obţine pentru pasul j, ecuaţia câmpului de temperatură:

(3.85) Temperatura medie în placă, la pasul j , se obţine din relaţia:

(3.86)

Înlocuind T din relaţia (3.85) şi ţinând seama de relaţia (3.72), se obţine:

(3.87) Fluxul termic prin suprafaţa plăcii se calculează cu relaţia:

(3.88) Dacă se înlocuieşte:

(3.89)se obţine, din relaţiile (3.85) şi (3.88):

(3.90)

Fluxul termic mediu, pentru pasul j , poate fi calculat cu relaţia:

(3.91) Ţinând seama de relaţia (3.90), se obţine:

Page 30: Modelarea Unui Cuptor

(3.92)

în care: - pentru primul pas de timp:

(3.93)

Page 31: Modelarea Unui Cuptor

- pentru se calculează cu relaţia de recurenţă:

(3.94) Relaţia (3.92) este o sumă a doi termeni şi se poate scrie în mod prescurtat :

(3.95)

în care:

(3.96)reprezintă capacitatea calorică aparentă a materialului, raportată la suprafaţa de încălzire şi la temperatura superficială şi

(3.97)reprezintă corecţia fluxului termic mediu prin suprafaţa materialului, la momentul j , care ţine seama de modul în care a variat, în trecut, temperatura superficială a materialului. Se observă că, în relaţia (3.94), temperaturile ultimilor paşi de încălzire intervin cu o pondere sensibil mai mare decât temperaturile mai "vechi". Aparent, materialul "uită" temperaturile vechi. Pe lângă produsul care reprezintă capacitatea calorică reală a plăcii, în relaţia (3.96) mai intervine coeficientul de corecţie e :

(3.98) Acest coeficient (subunitar) depinde numai de valoarea criteriului Fourier. Totodată, valoarea lui Fo determină şi numărul de termeni ai sumei, necesari pentru atingerea preciziei dorite. Acest număr de termeni descreşte cu creşterea valorii lui Fo. Datorită faptului că relaţiile deduse aici au multe puncte comune cu cele obţinute în capitolul următor, pentru calculul căldurilor pierdute şi acumulate în peretele cuptorului, a fost întocmit un singur program care permite calcularea coeficientului de corecţie , atât pentru materialul supus încălzirii cât şi pentru peretele cuptorului. Programul este dat la sfârşitul subcapitolului 4.1.

Page 32: Modelarea Unui Cuptor

4. Calculul căldurilor pierdute şi acumulate în pereţii cuptoarelor, în regim nestaţionar.

Aşa cum s-a arătat în capitolul 2.2, pentru modelarea matematică a cuptoarelor în regim nestaţionar este nevoie de definirea corectă a capacităţii calorice a pereţilor. Acest lucru poate fi făcut, ca şi în cazul materialului, prin metode analitice, deşi, în mod obişnuit, în literatura de specialitate sunt indicate mai ales metode cu diferenţe finite.

4.1. Calculul analitic al căldurilor pierdute şi acumulate.

4.1.1. Cazul peretelui simplu.

Pentru deducerea ecuaţiilor modelului matematic se consideră peretele plan al unui cuptor, confecţionat dintr-un material refractar cu densitatea r , conductivitatea termică l , căldura specifică c, difuzivitatea termică şi având grosimea . Temperatura

a suprafeţei interioare a peretelui variază după o lege dată. Temperatura mediului ambiant şi coeficientul de transfer termic , de la suprafaţa exterioară a peretelui spre mediul ambiant se presupun constante. Astfel, problema studiată presupune rezolvarea ecuaţiei conducţiei termice pentru un perete plan,

(4.1)împreună cu condiţiile la limită: - pentru x = 0 (suprafaţa interioară):

(4.2)

- pentru x = X (suprafaţa exterioară):

(4.3) Introducând coordonatele adimensionale:

şi

(4.4 - 4.5)ecuaţia conducţiei termice (4.1) devine:

(4.6)iar condiţia la limită (4.3), pentru , se scrie în forma :

(4.7)

Page 33: Modelarea Unui Cuptor

în care: este criteriul lui Biot.

Privitor la variaţia în timp a temperaturii suprafeţei interioare a peretelui se admite că, pe o durată mică de timp, , variaţia este lineară (aşa cum a fost reprezentată, pentru material, în figura 3.2). Astfel, condiţia la limită (4.2), pentru devine:

(4.8)

în care este viteza de încălzire, la pasul j. După cum s-a arătat în capitolul precedent, ecuaţia (4.6) are o soluţie particulară de forma (vezi relaţiile (3.47-3.57):

(4.9)

Constantele A, B, C şi D se determină din condiţiile la limită. Astfel, pentru , egalând relaţiile (4.8) şi (4.9), se obţine egalitatea:

(4.10)valabilă pentru orice valoare a lui t. În consecinţă, se deduce: şi (4.11 - 4.12)

În mod similar, se deduce, pentru , din relaţiile (4.7) şi (4.9):

(4.13)

Egalitatea (4.13) trebuie să-şi păstreze valabilitatea pentru orice valoare a lui t , deci se deduce:

(4.14)şi

(4.15)

Astfel, soluţia particulară (4.9) devine:

(4.16)care, ţinând seama de relaţia (4.8), se mai scrie în forma:

(4.17)

Din modul în care a fost dedusă, se observă că soluţia particulară (4.17) nu satisface condiţiile iniţiale, adică ea este valabilă numai pentru timpi mari. Astfel, pentru a ţine seama şi de condiţiile iniţiale, la soluţia (4.17) se adaugă funcţia , cu care profilul termic în perete devine:

(4.18)

Funcţia U trebuie să fie astfel definită încât să satisfacă următoarele condiţii:- să fie o soluţie a ecuaţiei diferenţiale (4.6), adică:

Page 34: Modelarea Unui Cuptor

(4.19)- să satisfacă condiţiile la limită:- pentru (4.20)

- pentru

(4.21) O funcţie care îndeplineşte relaţiile (4.19-4.20) este:

(4.22)

Parametrii se determină, ţinând seama de condiţia la limită (4.21). Astfel, derivata relaţiei (4.22) este:

(4.23)

Din relaţiile (4.21 - 4.23) se deduce (pentru ): (4.24)

Astfel, parametrii se obţin prin rezolvarea ecuaţiei implicite (4.24) care, ţinând seama de periodicitatea funcţiilor trigonometrice, are o infinitate de soluţii. Coeficienţii pot fi determinaţi din condiţia iniţială care impune, pentru :

(4.25)

În acest scop se foloseşte ortogonalitatea seriei Fourier, exprimată cu ajutorul valorii integralei ce urmează, în care şi sunt soluţii ale ecuaţiei trigonometrice (4.24).

(4.26)

În consecinţă,

(4.27)

Drept condiţie iniţială se consideră, în prima fază, profilul termic al conducţiei staţionare care poate fi obţinut din relaţia (4.17), pentru şi . Astfel, la primul pas, , condiţia iniţială se exprimă prin relaţia:

(4.28)

Pe de altă parte, din relaţia (4.18) , pentru şi (deci ), ţinând seama şi de relaţia (4.28) rezultă:

Page 35: Modelarea Unui Cuptor

(4.29)

Folosind relaţia (4.27), cu înlocuit din relaţia (4.29), se obţine prin integrare:

(4.30)

În continuare se notează:

(4.31)

Valorile coeficientilor ca şi exponenţialele din relaţia (4.21) descresc repede cu creşterea lui i , astfel că, pentru calculul practic, poate fi folosit un număr redus de termeni. Astfel, la primul pas de timp, profilul termic în perete este dat de relaţia:

(4.32)

La sfârşitul primului pas de timp, , , respectiv timpul

adimensional (criteriul Fourier, însă cu în loc de t). Astfel, relaţia

(4.32) devine:

(4.33)

Pe de altă parte, la începutul pasului doi, , şi , iar ecuaţia (4.18) devine:

(4.34) Ţinând seama de relaţia (4.21) şi egalând relaţiile (4.33) şi (4.34) se deduce:

(4.35) Dacă ambele părţi ale relaţiei (4.35) se înmulţesc cu şi se integrează între limitele 0 şi 1 (condiţia de ortogonalitate) rezultă:

(4.36)

sau (4.37)

Page 36: Modelarea Unui Cuptor

Astfel, la pasul doi de timp, distribuţia temperaturii în perete devine:

(4.38)

Dacă se măreşte, din nou, j cu o unitate şi se consideră, şi de data aceasta , relaţia (4.38) poate deveni şi ea o condiţie iniţială. Astfel, repetând raţionamentul, se obţine:

(4.39)

Astfel, la pasul j de timp, distribuţia de temperatură în perete devine:

(4.40)

Fluxul termic prin suprafaţa interioară a peretelui se obţine din relaţia:

(4.41)

Dacă se ţine seama că:

(4.42)

şi (4.43)

rezultă din relaţiile (4.40 - 4.41):

(4.44)

Fluxul termic mediu, pe intervalul de timp , la pasul j, se calculează cu ajutorul integralei:

(4.45) Ţinând seama de relaţia (4.44), se obţine:

Page 37: Modelarea Unui Cuptor

4.46)

în care este temperatura medie a suprafeţei interioare a peretelui, la pasul j. Dacă se înlocuieşte:

(4.47)

se obţine, din relaţia (4.46):

(4.48)

în care se calculează cu relaţiile: - pentru primul pas, j = 1 :

(4.49) - pentru paşii următori, j > 1 :

(4.50)

Relaţia (4.48) poate fi scrisă ca o sumă de trei termeni:

(4.51)

Termenul reprezintă fluxul termic prin perete, corespunzător conducţiei în regim staţionar. Al doilea termen este căldura acumulată în perete, la pasul de timp respectiv, iar al treilea termen, , este o corecţie pentru modul în care a variat temperatura suprafeţei interioare, în etapele anterioare. Capacitatea calorică echivalentă a peretelui, , raportată la temperatura suprafeţei interioare, este dată de relaţia :

(4.52)iar termenul de corecţie pentru căldura acumulată este:

(4.53)

Coeficientul de corecţie se obţine din relaţia:

(4.54)

Se observă că e depinde numai de criteriile Bi şi Fo. In continuare este dat un program scris în limbajul PASCAL, care permite calculul coeficientului de corecţie . În program este inclus şi cazul , care corespunde încălzirii materialului (v. paragraful 3.2).

Page 38: Modelarea Unui Cuptor

Program Perete_plan_incalzit_cu_viteza_constanta;Var Bi, Fo, eps : real;Procedure Pervico;var Di, E, ee, er, p, pj :real; i : byte;begin eps:=(Bi*Bi+3*Bi+3)/3/sqr(Bi+1); i:=1; repeat p:=-1+i*pi; repeat if Bi > 0 then pj:=arctan(-p/Bi)+i*pi else pj:=(2*i-1)/2*pi; er:=abs(p-pj); p:=pj; until er < 0.0001; Di:=2/p/p/(p-sin(p)*cos(p)); ee:=p*p*Fo; E:=Di/p/Fo; if ee < 10 then E:=E*(1-exp(-p*p*Fo)); eps:=eps-E; i:=i+1 until abs(E/eps) < 0.00001; writeln(' Nr. de termeni = ',i); writeln(' epsilon = ',eps:6:4)end;{ Program principal }begin write(' Bi = '); readln(Bi); write(' Fo = '); readln(Fo); Pervico; write(' Gata !!'); readlnend.

4.1.2. Cazul peretelui compus.

Rezolvarea analitică a cazului peretelui compus duce la expresii relativ complicate. Astfel, o soluţie simplificatoare este bine venită. În multe cazuri practice, se poate considera cu precizie suficientă că acumularea de căldură are loc numai în stratul interior al peretelui. Argumentele care sprijină această ipoteză sunt: - viteza de variaţie în timp a temperaturii este maximă pe suprafaţa interioară a peretelui cuptorului şi scade către exterior; - în multe cazuri, variaţiile de temperatură interioară a cuptorului sunt periodice, cu perioadă relativ mică (câteva ore), astfel incât oscilaţiile termice nu pătrund decât la o adâncime mică a peretelui; - straturile exterioare ale pereţilor cuptoarelor sunt, în general, confecţionate din materiale izolatoare cu densitate mică care, astfel, au o capacitate termică redusă. Făcând ipoteza sus menţionată, se pot aplica relaţiile de calcul deduse pentru peretele simplu în care grosimea X şi constantele termofizice l , c şi r se referă la stratul interior, însă în definirea criteriului Bi , în locul lui a se foloseşte k' , dat de relaţia:

Page 39: Modelarea Unui Cuptor

(4.55)

şi (4.56)

De asemenea, pentru calculul coeficientului total de transmisivitate a peretelui, k , se va folosi relaţia:

(4.57)

în care N este numărul de straturi din care este format peretele cuptorului. Precizia acestei metode simplificatoare pentru calculul căldurii acumulate într-un perete compus, este cu atât mai mare cu cât raportul

(4.58)

este mai mare şi cu cât oscilaţiile termice pe suprafaţa interioară a peretelui cuptorului au o periodicitate mai scurtă. Pe baza celor arătate, se pot trage următoarele concluzii privind metoda de calcul analitică, expusă aici: - deşi, la prima vedere, deducerea relaţiilor pare complicată, relaţiile finale sunt simple şi aşa cum arată programul anexat, pot fi aplicate cu un efort de programare redus; - viteza de calcul este mare şi necesarul de memorie este redus; - nu există erori de trunchiere pe direcţia spaţială.

4.2. Metode cu diferenţe finite.

Metodele cu diferenţe finite (şi cele cu elemente finite) sunt metode numerice care pot fi aplicate şi în situaţii mai complicate cum sunt: - pereţi cu mai multe straturi care, datorită structurii lor şi a periodicităţii mari a oscilaţiilor termice nu pot fi tratate cu ajutorul metodei analitice date mai sus; - pereţi din materiale ale căror proprietăţi termofizice (mai ales r şi l) variază mult cu temperatura; - coeficientul de transfer termic de la suprafaţa exterioară a peretelui cuptorului spre mediul ambiant, respectiv temperatura mediului ambiant nu rămân constante; - cazuri de conducţie pe două sau trei direcţii spaţiale; - cazurile unor pereţi curbaţi (cilindrici sau sferici). Spre deosebire de metodele analitice care calculează temperaturile în toate punctele corpului şi la orice timp, cele cu diferenţe finite discretizează atât spaţiul cât şi timpul. Astfel, dacă grosimea X a peretelui este împărţită în incremenţi de grosime Dx şi timpul în incremenţi cu durata Dt , temperatura la incrementul i×Dx şi la timpul j×Dt va fi scris, în continuare . Deducerea relaţiilor de calcul pentru metoda diferenţelor finite poate fi făcută prin două metode care, în principiu, duc la acelaşi rezultat şi anume: - metoda discretizării ecuaţiei diferenţiale a conducţiei termice;

Page 40: Modelarea Unui Cuptor

- metoda bilanţurilor elementare. De fapt, chiar ecuaţia diferenţială a câmpului de temperatură într-un perete a fost dedusă tot prin efectuarea unui bilanţ termic pe un volum elementar, urmat apoi de trecerea la limită, făcând ca volumul elementar să tindă către zero. Metoda discretizării ecuaţiilor diferenţiale foloseşte procedeul invers, de aproximare a derivatelor parţiale prin diferenţe finite.

Spre deosebire de metoda discretizării, cea a bilanţurilor elementare poate fi aplicată şi unor elemente spaţiale (suprafeţe sau volume) de formă oarecare, fără o legătură directă cu sistemul de coordonate folosit. Astfel, se ajunge la metoda elementelor finite care este mai generală decât cea a difenţelor finite, fiind aplicabilă unor secţiuni (suprafeţe) sau corpuri de forme complicate.

4.2.1. Metode cu diferenţe finite pentru pereţi plani.

Pentru un perete plan cu parametrii termofizici c, r şi l constanţi, ecuaţia conducţiei termice este

(4.1) Derivata spaţială a temperaturii, la stânga incrementului i se defineşte prin relaţia:

(4.59) În mod asemănător, se defineşte derivata la dreapta incrementului i :

(4.60) Derivata spaţială de ordinul doi (simetrică) este:

(4.61)sau, ţinând seama de relaţiile precedente:

(4.62) Derivata parţială în raport cu timpul poate fi înlocuită, de asemenea, în două moduri. Astfel, derivata raportată la timpul "trecut" este:

(4.63) În mod asemănător, poate fi definită derivata raportată la timpul "viitor":

Page 41: Modelarea Unui Cuptor

(4.64) Există, de asemenea, posibilitatea definirii unei derivate simetrice în raport cu timpul, luând media aritmetică a relaţiilor (4.63) şi (4.64):

(4.65) Prin combinarea derivatei simetrice de ordinul doi în raport cu direcţia spaţială cu una din derivatele în raport cu timpul, se pot deduce mai multe metode cu diferenţe finite. Clasificarea acestora poate fi făcută, pe de o parte, în metode explicite şi, respectiv, implicite şi, pe de altă parte, în metode cu două şi, respectiv, cu mai multe nivele de timp. Metoda explicită simplă, numită şi metoda Dusinberre, se obţine cu ajutorul relaţiilor (4.1), (4.62) şi (4.64), din care rezultă:

(4.66)

în care: (4.67)

Metoda este numită explicită datorită faptului că relaţia (4.66) permite, în mod explicit, calculul temperaturilor la momentul , cunoscându-le pe cele de la momentul j. Relaţia (4.66) poate fi aplicată tuturor straturilor, exceptând cele două suprafeţe, pentru care trebuie să se facă apel la condiţiile la limită. Metoda explicită simplă poate fi uşor implementată pe calculator, însă are dezavantajul că, în anumite condiţii, prezintă fenomenul de instabilitate numerică. Condiţia pentru asigurarea stabilităţii numerice a acestei metode este alegerea incremenţilor de spaţiu şi de timp astfel, încât toţi coeficienţii din membrul drept al relaţiei (4.66) să fie pozitivi, care, în cazul de faţă, se traduce prin cerinţa ca . Metoda grafo-analitică a lui Schmidt, pentru care , se află la limita de stabilitate numerică. În consecinţă, metoda explicită simplă necesită folosirea unui increment de timp mic, astfel că procedura de calcul trebuie să fie repetată pe un număr foarte mare de paşi de timp, ceea ce duce la cumularea erorilor de rotunjire de la fiecare pas în parte.

Metoda implicită simplă se obţine pe baza ecuaţiilor (4.1), (4.62) şi (4.63). Astfel, se obţine, pentru incrementul spaţial i

(4.68) De data aceasta, pe baza temperaturilor de la momentul trebuie să se determine temperaturile de la momentul j . Scriind ecuaţii asemănătoare relaţiei (4.68) şi completându-le cu condiţiile la limită, pentru cele două suprafeţe ale peretelui, se obţine, astfel, un sistem de ecuaţii lineare care trebuie să fie rezolvat la fiecare pas de timp. Metoda este mai complicată din punct de vedere matematic şi al programării, însă are avantajul că este stabilă numeric pentru orice valoare a incrementului de timp. Astfel, în practică, poate să apară, în mod frecvent situaţia că, deşi calculul pentru un pas de timp, folosind metoda implicită simplă, este mai lung, totuşi, pe ansamblu, datorită unui număr

Page 42: Modelarea Unui Cuptor

considerabil mai mic de asemenea paşi, să se realizeze o economie importantă de timp de calculator, faţă de metoda explicită. Metoda Crank-Nicolson face parte tot din cadrul metodelor implicite; ea se distinge prin erori de trunchiere sensibil mai mici decât cele două metode precedente. Astfel, în metodele precedente, calculul derivatei spaţiale de ordinul doi s-a efectuat la unul din capetele intervalului de timp. Spre deosebire de aceste metode, în metoda Crank-Nicolson se foloseşte media aritmetică a derivatelor spaţiale de ordinul doi, luate la începutul şi, respectiv, la sfârşitul intervalului de timp considerat. Astfel, pentru timpul

, derivata spaţială de ordinul doi este:

(4.69) Înlocuind, în relaţia (4.1), derivata în raport cu timpul prin relaţia (4.63) si derivata spaţială prin media aritmetică a relaţiilor (4.62) şi (4.69), se obţine, pentru un increment i oarecare, situat în interiorul peretelui:

(4.70) Ca şi în cazul precedent, temperaturile la momentul j se obţin prin rezolvarea unui sistem de ecuaţii. Procedura de calcul este stabilă numeric pentru orice valoare a incrementului de timp. Datorită erorilor de trunchiere mai mici, metoda Crank-Nicolson poate fi folosită şi în condiţiile unor incremenţi de timp mai mari decât în metodele precedente. Metodele cu trei nivele de timp au fost dezvoltate tot în ideea reducerii erorilor de trunchiere. O astfel de metodă poate fi dedusă, înlocuind în relaţia (4.1) derivata spaţială de ordinul doi prin relaţia (4.62) şi derivata temporală simetrică, dată de relaţia (4.65). Astfel, se obţine:

(4.71) Relaţia (4.71) duce la o procedură de calcul instabilă numeric, pentru orice valoare a incrementului de timp. Din acest motiv, se înlocuieşte temperatura prin

media aritmetică a temperaturilor şi . Astfel se obţine:

(4.72) Se obţine, astfel, o procedură explicită care permite calculul temperaturilor la momentul , cunoscându-le pe cele de la momentele şi j. Procedura este stabilă numeric pentru şi are erori de trunchiere mai mici decât metoda explicită simplă. În practică, apar unele probleme legate de faptul că, în general, prin condiţia iniţială, nu sunt cunoscute temperaturile în perete decât pentru un singur nivel de timp, astfel că, la aplicarea prezentei metode, pentru pornirea ei, trebuie folosită o metodă cu două nivele de timp, ceea ce complică algoritmul. De asemenea, erorile făcute la primul pas de calcul se transmit şi paşilor următori.

Page 43: Modelarea Unui Cuptor

După cum s-a mai spus, metodele cu diferenţe finite pot fi aplicate şi în cazul în care proprietăţile termofizice ale peretelui nu sunt constante. În acest caz, pentru un perete plan, ecuaţia conducţiei termice trebuie scrisă în forma:

(4.73) În noua situaţie, derivata la stânga devine:

(4.74)

iar pentru derivata la dreapta trebuie să se scrie:

(4.75)

în care conductivitatea termică trebuie calculată pentru materialul aflat în stânga incrementului i , la media aritmetică a temperaturilor şi , iar se calculează

pentru materialul aflat în dreapta incrementului i, folosind media temperaturilor şi

,j . De asemenea, în relaţiile (4.74) şi (4.75), s-a ţinut seama că, în anumite situaţii, de exemplu la interfaţa între două materiale diferite, grosimea incremenţilor spaţiali din stânga, şi, respectiv, din dreapta incrementului i , , pot avea valori diferite. Astfel, derivata spaţială de ordinul doi, respectiv partea dreaptă a ecuaţiei (4.73), devine:

(4.76)

În cazul în care incrementul i este situat la interfaţa dintre două materiale diferite, pentru produsul , în ecuaţia (4.73) trebuie înlocuită o valoare medie, calculată cu relaţia:

(4.77)

În relaţia (4.77), valorile constantelor fizice trebuie calculate la temperatura . Pentru exprimarea derivatei faţă de timp, poate fi luată oricare din relaţiile (4.63 - 4.65), obţinându-se astfel, după caz, o metodă explicită sau implicită, cu două sau cu trei nivele de timp. Dacă se notează, pentru incrementul i :

(4.78)

şi(4.78)

şi se foloseşte derivata în raport cu timpul, dată de relaţia (4.63), se obţine, pentru incrementul spaţial i :

(4.79)

Astfel, împreună cu condiţiile la limită, se ajunge la un sistem de ecuaţii lineare care permite calcularea temperaturilor la momentul j .

Page 44: Modelarea Unui Cuptor

Pentru exprimarea condiţiei la limită, se consideră că pe faţa sa din interiorul cuptorului, pentru care , peretele vine în contact cu gazul din cuptor care, la momentul j are temperatura , coeficientul de transfer termic fiind . Astfel, derivata spaţială, luată la stânga suprafeţei interioare, trebuie înlocuită prin relaţia:

(4.80)

Pentru exprimarea derivatei la dreapta, se foloseşte, în continuare, relaţia (4.75). De asemenea, trebuie să se ţină seama că la acumularea căldurii, la suprafaţa peretelui, participă un strat cu grosimea . Astfel, derivata spaţială de ordinul doi devine, pentru suprafaţa peretelui:

(4.81)

Dacă se înlocuiesc relaţiile (4.63) şi (4.81) în relaţia (4.73), pentru i = 1 , şi se notează:

şi (4.82-4.83)

se obţine, pentru suprafaţa interioară a peretelui:

(4.84)

În mod asemănător, se poate deduce şi relaţia corespunzătoare pentru suprafaţa exterioară a peretelui, pentru care . Dacă este temperatura mediului ambiant şi

coeficientul de transfer termic şi se notează:

şi (4.85-4.86)

se obţine, pentru suprafaţa exterioară:

(4.87)

Astfel, s-a ajuns la un sistem de n ecuaţii cu n necunoscute care permite calculul temperaturilor , aşa cum este arătat în programul prezentat în continuare, pentru calculul câmpului de temperatură şi a căldurilor pierdute şi acumulate în peretele unui cuptor.

Program Perete; { perete plan - metoda diferente finite }uses crt, printer;const nrmax = 20; { numar maxim de incrementi spatiali } nrstrat = 7; { numar maxim straturi perete }type matrice = array [1..nrmax,1..nrmax] of real; vector = array [1..nrmax] of real; vecstrat = array [1..nrstrat] of real;Var aa, alfaint, alfaext, b, DZ, p, Q1, Q2, Qp, Qac, Te, T0, Tg, Z1, Z2 : real; i, i1, i2, j, k, m, n, ns : byte; O : char; t, u, z : vector;

Page 45: Modelarea Unui Cuptor

F : array [1..nrmax,1..2] of real; cp, delta, dx, lambda, ro : vecstrat; ni : array[1..nrstrat] of byte; A : matrice;

Procedure Sisec;var i, j, k : byte; f : real;begin for k:=1 to n-1 do begin for i:=k+1 to n do begin; if A[i,k]<>0 then begin f:=A[i,k]/A[k,k]; for j:=k to n do A[i,j]:=A[i,j]-f*A[k,j]; T[i]:=T[i]-f*T[k] end; end; end; for k:=n downto 2 do begin for i:=1 to k-1 do begin if A[i,k]<>0 then begin f:=A[i,k]/A[k,k]; for j:=1 to k do A[i,j]:=A[i,j]-F*A[k,j]; T[i]:=T[i]-f*T[k] end; end; end; for i:=1 to n do T[i]:=T[i]/A[i,i];end;

Procedure TabelDateInitiale;begin writeln(lst,' Peretele cuptorului'); Writeln(lst,' ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'); Write(lst,'==========================='); For i:=1 to ns do Write(lst,'========'); Writeln(lst); Write(lst,' Stratul nr. '); For i:=1 to ns do Write(lst,i:8); Writeln(lst); Write(lst,'==========================='); For i:=1 to ns do Write(lst,'========'); Writeln(lst); Write(lst,' Grosimea [m] '); For i:=1 to ns do Write(lst,delta[i]:8:3); Writeln(lst); Write(lst,' Nr. incrementi '); For i:=1 to ns do Write(lst,ni[i]:8); Writeln(lst); Write(lst,' Densitatea [kg/mc] '); For i:=1 to ns do Write(lst,ro[i]:8:0); Writeln(lst);

Page 46: Modelarea Unui Cuptor

Write(lst,' Cald. specif. [J/kg.grd]'); For i:=1 to ns do Write(lst,Cp[i]:8:0); Writeln(lst); Write(lst,' Conduct. term. [W/m.grd]'); For i:=1 to ns do Write(lst,lambda[i]:8:2); Writeln(lst); Write(lst,'==========================='); For i:=1 to ns do Write(lst,'========'); Writeln(lst); Writeln(lst); Writeln(lst,'Alfa interior=',alfaint:4:0); Writeln(lst,'Alfa exterior=',aa:4:1,'+',b:5:3,'*T'); Writeln(lst,'Temperatura ambianta=',Te:3:0); Writeln(lst,'Temperatura initiala=',T0:3:0);end;

Procedure CapTabel;begin writeln(lst); writeln(lst,'Ciclul ',k); writeln(lst); for i:=1 to n+4 do write(lst,'-------'); writeln(lst,'--'); write(lst,' Timpul '); for i:=1 to n do write(lst,' T',i:2,' '); write(lst,'Qp[kJ/mp] '); writeln(lst,'Qac[kJ/mp] '); for i:=1 to n+4 do write(lst,'-------'); writeln(lst,'--');end;

Procedure LinieTabel;begin write(lst,Z2:6:1,' '); for i:=1 to n do write(lst,T[i]:7:1); writeln(lst,Qp:10:1,Qac:10:1)end;

{PROGRAM PRINCIPAL}begin write('Nr. straturi='); readln(ns); n:=1; for i:=1 to ns do begin writeln('Pentru stratul ',i,' indicati:'); write('Grosimea [m] ='); readln(delta[i]); write('Nr. incrementi ='); readln(ni[i]); n:=n+ni[i]; write('Densitatea [kg/mc] ='); readln(ro[i]); write('Caldura specifica [j/kg.grd] ='); readln(Cp[i]); write('Conductivitatea termica [W/m.grd] ='); readln(lambda[i]); dx[i]:=delta[i]/ni[i] end; writeln('Definiti curba de ardere');

Page 47: Modelarea Unui Cuptor

write('Nr. de puncte ='); readln(m); for i:= 1 to m do begin writeln('Coordonatele punctului ',i, ':'); write(' Timp [ore] ='); readln(Z[i]); write(' Temperatura ='); readln(U[i]); end; write('Increment timp [ore] ='); readln(DZ); Z1:=3600*DZ; write('Alfa interior ='); readln(alfaint); writeln('Pentru alfa exterior = a + b*T , indicati:'); write(' a ='); readln(aa); write(' b ='); readln(b); write('Temperatura ambianta ='); readln(Te); write('Temperatura initiala ='); readln(T0); TabelDateInitiale; for i:=1 to n do T[i]:=T0; F[1,1]:=2*alfaint*Z1/ro[1]/Cp[1]/dx[1]; F[1,2]:=2*lambda[1]*Z1/ro[1]/Cp[1]/sqr(dx[1]); i:=1; i1:=1; i2:=1+ni[1]; k:=1; for j:=2 to n-1 do begin if j>i2 then begin i:=i+1; i2:=i2+ni[i] end; if j=i2 then i1:=i+1; p:=2*Z1/(ro[i]*Cp[i]*dx[i]+ro[i1]*Cp[i1]*dx[i1]); F[j,1]:=P*lambda[i]/dx[i]; F[j,2]:=P*lambda[i1]/dx[i1] end; F[n,1]:=2*lambda[ns]*Z1/ro[ns]/Cp[ns]/sqr(dx[ns]); repeat Z2:=0; Qp:=0; Qac:=0; CapTabel; LinieTabel; repeat for i:=1 to n do for j:=1 to n do A[i,j]:=0; for i:=1 to n-1 do begin A[i,i]:=F[i,1]+F[i,2]+1; A[i,i+1]:=-F[i,2]; A[i+1,i]:=-F[i+1,1] end; alfaext:=aa+b*T[n]; F[n,2]:=2*alfaext*Z1/ro[ns]/Cp[ns]/dx[ns]; A[n,n]:=F[n,1]+F[n,2]+1; Z2:=Z2+DZ; i:=1; while Z2>Z[i+1] do i:=i+1; Tg:=U[i]+(U[i+1]-U[i])*(Z2-Z[i])/(Z[i+1]-Z[i]); T[1]:=T[1]+F[1,1]*Tg; T[n]:=T[n]+F[n,2]*Te; Sisec; Q1:=alfaint*(Tg-T[1])/1000; Q2:=alfaext*(T[n]-Te)/1000; Qp:=Qp+Q2*Z1; Qac:=Qac+(Q1-Q2)*Z1; writeln('Ciclul ',k,' timp [ore] =',Z2:5:2); for i:=1 to n do writeln('T',i,' =',T[i]:6:1);

Page 48: Modelarea Unui Cuptor

writeln('Qp [kJ] =',Qp,' Qac [kJ] =',Qac); LinieTabel; until Z2>=Z[m]; for i:=1 to n+4 do write(lst,'-------'); write(lst,'--'); writeln(lst); writeln(lst); k:=k+1; writeln('Continuam pentru un ciclu nou ? (d/n)'); repeat O:=readkey; O:=upcase(O) until O in ['D','N']; until O='N';end.

4.2.2. Metode cu diferenţe finite pentru pereţi cilindrici.

Pentru pereţi cilindrici prin care căldura se transmite numai în direcţia radială, ecuaţia conducţiei termice se scrie în forma:

(4.88) În cele ce urmează, se consideră că peretele cilindric este împărţit în incremenţi de grosime Dr ; incrementului i îi corespunde, astfel, raza . În aceste condiţii, derivata spaţială la stânga devine:

(4.89)

În mod asemănător, se defineşte derivata spaţială la dreapta:

(4.90)

în care este raza medie:

(4.91)

Astfel, pentru derivata spaţială de ordinul doi se obţine:

(4.92)

Se observă că, în numitorul relaţiei (4.92), apare produsul care reprezintă jumătatea volumului , aferent incrementului i , pentru o lungime a peretelui cilindric egală cu un metru şi un unghi egal cu un radian; în acest volum elementar are loc acumularea de căldură. Datorită trecerii la diferenţe finite, este mai corect ca volumul elementar să fie calculat cu relaţia:

(4.93) Astfel, relaţia (4.92) devine:

(4.94)

Page 49: Modelarea Unui Cuptor

În continuare, pentru deducerea metodei cu diferenţe finite, în ecuaţia câmpului termic (4.88) se înlocuieşte relaţia (4.94) şi una din derivatele temporale, date de relaţiile (4.63 - 4.65). Se pot deduce, astfel, toate tipurile de metode date mai sus pentru peretele plan. Tratarea condiţiilor la limită se face şi ea în mod asemănător cu peretele plan, având însă grijă de definirea corectă a volumelor elementare aferente celor două suprafeţe ale peretelui.

4.2.3. Metode cu diferenţe finite pentru două sau trei direcţii spaţiale.

Pentru un perete omogen, cu mărimile termofizice şi constante, ecuaţia conducţiei termice se scrie, în coordonate carteziene:

(4.95) În acest caz, discretizarea trebuie făcută pe mai multe direcţii spaţiale, adică, pe lângă incremenţii , vor fi şi incremenţi şi . Aceşti incremenţi spaţiali nu trebuie să fie egali între ei, dar este bine să fie de acelaşi ordin de mărime. În cele ce urmează, modul de lucru va fi exemplificat pentru cazul bidimensional, adică, în ecuaţia (4.95), nu se consideră ultimul termen. Prin împărţirea peretelui în incremenţi şi se obţine o grilă plană dreptunghiulară în care temperaturile sunt calculate în punctele nodale ale grilei, la intersecţia incremenţilor şi , la timpul . Astfel, derivata spaţială de ordinul doi, în raport cu direcţia x va fi, ţinând seama de relaţia (4.62):

(4.96)

În mod asemănător, se poate defini şi derivata spaţială de ordinul doi, în raport cu direcţia y :

(4.97) Derivata temporală, raportată la timpul trecut este:

(4.98) Înlocuind relaţiile (4.96 - 4.98) în ecuaţia (4.95) şi neglijând ultimul termen, se obţine, astfel, pentru fiecare nod spaţial caracterizat prin perechea de valori i şi j , o ecuaţie. Totalitatea acestor ecuaţii formează un sistem linear care permite calcularea temperaturilor la momentul k, cunoscându-le pe cele de la momentul k-1. Datorită numărului mare de ecuaţii este indicat ca, pentru rezolvarea sa, să se utilizeze metode iterative cum sunt: metoda relaxării, metoda Gauss- Seidel sau metoda direcţiilor alternante.

4.3. Rezolvarea ecuaţiei conducţiei termice prin metode de tip Runge-Kutta.

Ecuaţia conducţiei termice poate fi transformată într-o ecuaţie diferenţială ordinară, prin discretizarea sa numai pe direcţia spaţială, respectiv pe direcţiile spaţiale,

Page 50: Modelarea Unui Cuptor

dacă sunt mai multe. Astfel, în cazul conducţiei printr-un perete plan, din relaţiile (4.1) şi (4.62) se obţine:

(4.99)

Ecuaţii asemănătoare se scriu pentru toţi incremenţii spaţiali, făcând apel şi la condiţiile la limită. Se obţine, astfel, un sistem de ecuaţii diferenţiale de gradul întâi care poate fi rezolvat prin proceduri de tip Runge-Kutta, făcând apel la biblioteca matematică a calculatorului. Această metodă este aplicabilă şi în cazurile în care se ţine seama de variaţia proprietăţilor termofizice cu temperatura şi, de asemenea, pentru cazul conducţiei pe mai multe direcţii spaţiale. Metoda poate fi integrată cu uşurinţă în modelul matematic al cuptorului, chiar şi în cazul unor condiţii la limită complexe. Dezavantajul principal îl constituie faptul că, astfel, se ajunge la un sistem cu foarte multe ecuaţii a cărui rezolvare ridică probleme legate de memoria disponibilă, de timpul de calcul foarte mare şi de cumularea unor erori de trunchiere şi de rotunjire datorită numărului mare de operaţii aritmetice. Totuşi, la nivelul actual al cunoştinţelor există suficiente situaţii practice pentru care metoda schiţată aici este singura cale de rezolvare.

Page 51: Modelarea Unui Cuptor

5. Cuptorul scurt în condiţii reale.

Aşa cum s-a arătat în capitulul 2, conceptul de cuptor scurt se referă la un model cu parametrii concentraţi care sunt, în mod deosebit, temperaturile gazului, suprafeţei interioare a pereţilor şi suprafeţei materialului supus încălzirii. Apelând, în continuare, la rezolvările teoretice date în subcapitolele 3.2 şi 4.1, în capitolul de faţă se prezintă aplicarea metodelor prefigurate în capitolul 2, pentru cîteva tipuri de cuptoare scurte.

5.1. Cuptorul cameră electric.

Se consideră un cuptor cameră electric, cu rezistenţele montate pe toţi pereţii liberi ai cuptorului, inclusiv bolta şi uşa cuptorului (figura 5.1). Materialul se sprijină pe vatra cuptorului care nu are montate rezistenţe de încălzire. De asemenea, se consideră că materialul supus încălzirii poate fi asimilat cu plăci de grosime dată, iar pereţii cuptorului îndeplinesc condiţiile de aplicabilitate a modelului analitic expus în subcapitolul 4.1. Eventualele efecte termice la încălzirea materialului se pot include în căldura specifică care, astfel, devine o căldură specifică conventională. În cele ce urmează, se scriu trei bilanţuri termice parţiale în regim nestaţionar şi anume pentru gazul din cuptor (aer sau gaz de protecţie), pentru suprafaţa interioară a pereţilor cuptorului şi pentru materialul din cuptor.

Figura 5.1

Se presupune că transferul termic în cuptor are loc de la rezistenţele de încălzire, atât spre gazul cât şi spre materialul din cuptor, iar, datorită capacităţii termice mai mici, gazul se încălzeşte mai repede. Pentru faza de răcire a produsului, sensul de propagare a căldurii se schimbă, adică o parte din căldurile intrate şi, respectiv, ieşite devin negative însă, chiar şi aşa, ecuaţiile finale, deduse aici, rămân valabile.

Bilanţul termic al gazului:

Călduri primite: - entalpia gazului intrat: - căldura primită din partea suprafeţei interioare a pereţilor

(rezistenţelor electrice):

Călduri cedate: - entalpia gazului ieşit:

Page 52: Modelarea Unui Cuptor

- căldura cedată suprafeţei materialului: Căldura acumulată se neglijează, datorită densităţii mici a gazului din cuptor. Bilanţul termic al gazului se exprimă prin relaţia:

(5.1)în care:

(5.2)

(5.3)

(5.4) iar (5.5)

în care: este aria suprafeţei materialului, în contact cu gazul din cuptor;

- aria suprafeţei interioare a pereţilor cuptorului, în contact cu gazele;

- căldura specifică a gazului;

- temperatura gazului din cuptor;

- temperatura gazului, la intrare în cuptor; - temperatura suprafeţei materialului; - temperatura suprafeţei pereţilor, în contact cu gazul;

- debitul volumic al gazului, luat în condiţii normale;

- coeficientul de transfer termic între suprafaţa interioară a peretelui şi gazul din cuptor; - coeficientul de transfer termic între gazul şi materialul din cuptor.

Bilanţul termic al suprafeţei interioare a peretelui:

Călduri primite: - căldura dezvoltată de rezistenţele de încălzire:

Călduri cedate: - căldura cedată gazului

- căldura cedată materialului - căldura pierdută în mediul ambiant

Page 53: Modelarea Unui Cuptor

Căldura acumulată:

Bilanţul termic al suprafeţei interioare a pereţilor se exprimă prin relaţia:

(5.6)în care:

este coeficientul total de transmisivitate termică a peretelui cuptorului, dat de relaţia (4.57);

- corecţia pentru căldura acumulată în peretele în contact cu gazele, dată de relaţia (4.53);

- puterea de încălzire a rezistenţelor electrice, raportată la unitatea de suprafaţă; - temperatura mediului ambiant;

- capacitatea calorică echivalentă a peretelui în contact cu gazele, raportat la suprafaţă, dată de relaţia (4.52);

- coeficientul de transfer termic (prin radiaţie) de la perete la material; - raportul ariilor materialului şi peretelui:

(5.7)

Bilanţul termic pentru materialul din cuptor:

Călduri primite: - căldura primită de la gaze

- căldura primită de la perete

Călduri cedate:- căldura pierdută în mediul ambiant prin vatra cuptorului

Călduri acumulate: - în material

- în vatra cuptorului

Bilanţul termic pentru materialul din cuptor s-a făcut în ipoteza că vatra

cuptorului are, pe suprafaţa interioară, tot temperatura . El se exprimă prin relaţia:

Page 54: Modelarea Unui Cuptor

(5.8)în care:

este aria suprafeţei peretelui în contact cu materialul din cuptor (suprafaţa vetrei);

- coefientul global de transmisivitate termică a vetrei cuptorului, relaţia (4.57);

- corecţia pentru căldura acumulată în material, dată de relaţia (3.97);

- corecţia pentru căldura acumulată în vatră, calculată cu relaţia (4.53); - temperatura mediului ambiant; - capacitatea calorică aparentă a materialului, raportată la suprafaţa de încălzire şi la

temperatura superficială a materialului, dată de relaţia (3.96);- capacitatea calorică aparentă a vetrei, raportată la suprafaţa interioară, relaţia (4.52);

- raportul ariilor:

(5.9) În cele ce urmează, în ecuaţiile (5.6) şi (5.8), se înlocuieşte temperatura gazului, , prin expresia dată de relaţia (5.1). Astfel, se obţin ecuaţiile diferenţiale:

(5.10)şi

(5.11) În continuare, se notează:

(5.12 - 5.13)

(5.14)

(5.15)

(5.16)şi

(5.17)

Page 55: Modelarea Unui Cuptor

Astfel, sistemul de ecuaţii diferenţiale (5.10) şi (5.11) se reduce la forma indicată de relaţiile (2.43) şi (2.44). Metoda de rezolvare şi soluţiile indicate la subcapitolul (2.2) rămân valabile şi aici, cu deosebirea că temperaturile şi nu sunt temperaturi medii spaţiale ci, aşa cum s-a mai spus, temperaturi ale suprafeţelor în contact cu gazul din cuptor, iar coeficienţii şi sunt daţi de relaţiile (5.12- 5.17). La calculul concret al cuptorului cameră electric, este necesară împărţirea procesului în incremenţi de timp astfel, încât, pe fiecare increment de timp în parte, variaţia temperaturii materialului să nu depăşească 200°C. Se cunosc temperaturile iniţiale ale materialului şi peretelui cuptorului. În cazul în care se cunosc debitele de gaz şi puterile electrice ale rezistenţelor de încălzire, calculul urmăreşte determinarea, pentru fiecare increment de timp în parte, a temperaturilor finale ale gazului şi ale suprafeţelor pereţilor şi materialului. Temperaturile finale ale suprafeţelor peretelui şi materialului, astfel determinate pentru pasul de timp j, devin, la rândul lor, temperaturi iniţiale pentru pasul de timp următor. Astfel, ţinând seama de relaţiile deduse în subcapitolul (2.2), valoarea finală a temperaturilor suprafeţelor peretelui şi materialului, la pasul j, este dată de relaţiile:

(5.18)şi (5.19)în care:

(5.20)

(5.21 - 5.22)

(5.23)

(5.24)

(5.25)şi

(5.26)

Valoarea finală a temperaturii gazului se obţine din relaţiile (5.1), (5.17) şi (5.18):

(5.27)

La întocmirea programului de calcul, trebuie să se ţină seama de variaţia cu temperatura a coeficienţilor de transfer termic. Astfel, calculul coeficienţilor de transfer

Page 56: Modelarea Unui Cuptor

termic trebuie să se facă cu temperaturile ale gazului şi ale suprafeţelor peretelui şi materialului, medii pentru incrementul de timp respectiv. Ţinând seama de relaţiile (2.61 - 2.64) şi (5.1), se obţine, pentru cazul de faţă:

(5.28)

(5.29)şi (5.30) Astfel, calculul fiecărui pas de timp trebuie făcut cu ajutorul mai multor iteraţii în care, la început, se presupun temperaturile medii ale gazului şi ale suprafeţelor pereţilor şi materialului, se calculează apoi coeficienţii de transfer termic şi, cu relaţiile de mai sus, se verifică temperaturile presupuse. În cazul în care valorile presupuse şi recalculate nu coincid, calculul se reia, presupunând pentru iteraţia următoare, valorile recalculate în iteraţia precedentă. Temperatura medie a materialului, la sfârşitul pasului de timp j , poate fi calculată cu relaţia (3.87) care, pentru condiţiile de faţă, se scrie în forma:

(5.31)în care se calculează cu ajutorul relaţiei (3.72) iar este criteriul lui Fourier pentru material:

(5.32)în care: este difuzivitatea termică a materialului; - (semi)grosimea materialului. Sumele se calculează cu relaţiile (3.93) şi (3.94). La stabilirea necesarului de memorie, trebuie să se ţină seama că sume asemănătoare trebuie calculate şi pentru pereţii şi vatra cuptorului. În cazul în care se impune o anumită variaţie în timp a temperaturii medii a materialului (curba de ardere), calculul trebuie făcut, în mod diferenţiat, pentru etapele de încălzire şi, respectiv, de răcire. În etapa de încălzire, la fiecare pas de timp în parte, trebuie să se calculeze puterea electrică dezvoltată de rezistenţele de încălzire, astfel încât să se obţină temperatura dorită a materialului. Deoarece relaţiile de calcul nu permit explicitarea puterii specifice , aceasta se presupune, la începutul fiecărui pas de timp şi apoi, în modul arătat, se calculează temperatura medie finală a materialului. Dacă valoarea calculată este mai mare decât cea impusă, pentru iteraţia a doua, puterea de încălzire se măreşte, iar, în caz contrar, se micşorează cu 10 % (sau cu o altă valoare convenabilă). Calculul puterii de

Page 57: Modelarea Unui Cuptor

încălzire pentru iteraţiile următoare se face prin interpolare (sau extrapolare), folosind în acest scop întotdeauna ultimele două perechi de valori pentru şi (metoda secantei). Etapa de răcire presupune calcularea debitului de aer, astfel încât să se obţină, la sfârşitul fiecărui interval, valoarea dorită pentru temperatura medie a materialului. În această etapă, puterea de încălzire, , este nulă. ªi de data aceasta, la începutul fiecărui interval de timp, se presupune valoarea debitului de aer şi, cu aceasta, se calculează temperatura medie finală a materialului. Dacă valoarea obţinută este prea mare, debitul de aer se măreşte, iar, în caz contrar, pentru iteraţia a doua, se micşorează, în mod convenabil. Pentru iteraţiile următoare se foloseşte, ca şi în cazul precedent, metoda secantei, adică noua valoare presupusă pentru debitul de aer se obţine prin interpolare sau extrapolare, folosind ultimele două perechi de valori debit de aer - temperatura medie finală a materialului. Iteraţiile se repetă până ce se atinge precizia dorită. În cazul unor cuptoare industriale se recomandă reluarea calculului pentru mai multe cicluri de ardere consecutive, deoarece, la primul ciclu de ardere, consumul de energie este întotdeauna mai mare, datorită faptului că se pleacă de la pereţi reci. În consecinţă, dimensionarea rezistenţelor trebuie să se facă astfel, încât să se acopere necesarul de putere a primului ciclu de ardere, luând, în acest scop, etapa cu cel mai mare consum de putere, însă consumul specific mediu de energie electrică trebuie să fie stabilit pentru un număr mai mare de cicluri. Algoritmul descris oferă şi indicaţii privind temperatura maximă a rezistenţelor de încălzire, deşi aceasta este, întotdeauna, mai mare decât temperatura medie a suprafeţei peretelui, calculată aici.

5.2. Cuptorul vană de topit sticlă.

În prezentul subcapitol se tratează numai modelarea matematică a bazinului de topire. Modelul global al cuptorului mai trebuie să cuprindă, după caz, şi modelul regeneratorului sau recuperatorului de căldură şi, de asemenea, modelul bazinului de lucru sau al feederului. Modelarea regeneratorului şi a recuperatorului sunt tratate în capitolul 6, iar modelarea bazinului de lucru poate fi făcută cu o variantă simplificată a modelului bazinului de topire.

Page 58: Modelarea Unui Cuptor

Figura 5.2 Cuptor vană cu regenerator.

Având în vedere efectul egalizator al radiaţiei termice, aici s-a optat pentru un model cu parametri concentraţi care consideră că, în mod simplificator, regimul termic din bazinul de topire al cuptorului vană poate fi caracterizat prin temperaturile medii ale gazelor de ardere, topiturii de sticlă şi suprafeţei interioare a pereţilor în contact cu gazele (bolta, zidul inelar şi pereţii frontali). Aceste trei temperaturi depind de o serie de parametri constructivi şi funcţionali şi pot fi determinate, ca necunoscute, din trei bilanţuri termice parţiale: - al spaţiului gazelor; - al pereţilor în contact cu gazele; - al bazinului propriu-zis care conţine topitura de sticlă. La întocmirea acestor bilanţuri termice, trebuie făcute câteva ipoteze privind desfăşurarea proceselor din cuptor. Astfel, se consideră că evaporarea umidităţii amestecului de materii prime are loc la 100°C, iar produsele de degazare (CO2 şi H2O

rezultate din descompunera carbonaţilor, cristalohidraţilor, acidului boric etc.) se degajă la temperatura sticlei topite. De asemenea, este necesar să se ţină seama că o parte din gazele de ardere părăsesc cuptorul în stare disociată, ducând cu ele căldura de disociere care va fi eliberată, prin recombinarea lor, în regeneratorul, respectiv recuperatorul cuptorului. Indicaţii privind calculul căldurilor de disociere se găsesc în capitolul 8. În dorinţa de a evita unele complicaţii, s-au neglijat pierderile de căldură prin radiaţie prin orificiile cuptorului. Complicaţiile apar datorită faptului că radiaţiile pot proveni din partea gazelor, a pereţilor şi a topiturii de sticlă, în proporii diferite care depind de modul de amplasare a orificiilor. În general, suprafaţa orificiilor este mică şi neglijarea radiaţiei prin orificiile cuptorului nu afectează prea mult bilanţul cuptorului. De asemenea, se consideră că în cuptor există o uşoară suprapresiune, astfel, încât să nu se producă infiltraţii de aer rece.

Bilanţul spaţiului gazelor:

Page 59: Modelarea Unui Cuptor

Călduri intrate: - căldura chimică a combustibilului - căldura fizică a combustibilului - căldura fizică a aerului de combustie

- căldura fizică a vaporilor de apă rezultaţi

din evaporarea umidităţii amestecului - căldura fizică a produselor de degazare

Călduri ieşite: - căldura fizică a gazelor de ardere

- căldura de disociere - căldura transmisă pereţilor

- căldura transmisă sticlei topite

în care:

(5.33)

Datorită densităţii mici a gazelor, căldura acumulată în gaze poate fi neglijată.

Bilanţul termic al gazelor permite explicitarea:

(5.34)în care:

(5.35)

;

(5.36 - 5.37)şi (5.38)

În bilanţul gazelor s-au folosit notaţiile: este aria suprafeţei interioare a pereţilor, în contact cu gazele;

- aria suprafeţei sticlei topite,în contact cu gazele; - debitul de combustibil; - căldura specifică a aerului comburant; - căldura specifică a combustibilului; - căldura specifică a gazelor de ardere; - căldura specifică a vaporilor de apă; - puterea calorifică inferioară a combustibilului;

Page 60: Modelarea Unui Cuptor

- debitul de sticlă topită (productivitatea cuptorului); - călura de disociere, raportată la 1 de gaze de ardere nedisociate; - temperatura aerului comburant; - temperatura gazelor de ardere;

- temperatura suprafeţei interioare a pereţilor cuptorului; - temperatura medie a sticlei topite; - volumul de aer teoretic necesar arderii unui kg sau de combustibil, în condiţii

stoechiometrice; - volumul real de aer, raportat la 1 kg sau 1 de combustibil; - volumul de gaze, rezultat la arderea stoechiometrică a unui kg sau de

combustibil; - volumul de gaze, rezultat la arderea, în condiţii reale, a unui kg sau de

combustibil; - volumul din produsul de degazare i , raportat la l kg de sticlă; - volumul de vapori de apă rezultaţi din umiditatea amestecului, raportat la l kg de

sticlă; - coeficientul total de transfer termic (prin convecţie şi radiaţie) de la gazele de

ardere la pereţii cuptorului; - idem, de la gazele de ardere la sticla topită;

- coeficientul excesului de aer.

Bilanţul termic al suprafeţei interioare a pereţilor

Călduri intrate: - căldura primită de la gazele de ardere

Călduri ieşite: - căldura cedată sticlei topite

- căldura pierdută în mediul exterior Căldura acumulată:

Bilanţul termic al suprafeţei interioare a pereţilor în contact cu gazele se exprimă prin relaţia:

(5.39)în care: este transmisivitatea medie a pereţilor în contact cu gazele, dată de relaţia (4.57);

Page 61: Modelarea Unui Cuptor

- corecţia pentru căldura acumulată în pereţii în contact cu gazele, relaţia (4.53); - capacitatea calorică echivalentă medie a pereţilor în contact cu gazele, raportată la unitatea de suprafaţă şi indicată de relaţia (4.52); - timpul; - coeficientul de transfer termic prin radiaţie de la suprafaţa pereţilor la sticla topită, corectat cu partea din radiaţie care este absorbită de gazele de ardere; - raportul ariilor:

(5.40)

Bilanţul termic al bazinului cu sticla topită

Călduri intrate: - căldura primită din partea gazelor

- căldura primită din partea pereţilor

- căldura fizică a amestecului şi cioburilor

- căldura fizică a umidităţii amestecului şi cioburilor

- căldura fizică a curentului de recirculare

Călduri ieşite:

- căldura sticlei evacuate

- căldura consumată de reacţiile de formare a sticlei

- căldura pentru topirea sticlei - căldura pentru evaporarea umidităţii - căldura fizică a produşilor de degazare

- căldura fizică a vaporilor rezultaţi din evaporarea umidităţii

- căldura pierdută prin pereţii bazinului

Călduri acumulate:

- căldura acumulată în sticla topită

Page 62: Modelarea Unui Cuptor

- căldura acumulată în pereţii bazinului de topire

Bilanţul termic al bazinului de topire se exprimă prin relaţia:

(5.41)în care:

este aria pereţilor în contact cu sticla topită (vatra cuptorului); - căldura specifică a amestecului de materii prime + cioburi; - căldura specifică a sticlei topite; - căldura specifică a umidităţii; - consumul specific de amestec + cioburi (cantitatea necesară pentru 1 kg de sticlă); - transmisivitatea termică a pereţilor în contact cu sticla topită, relaţia (4.57); - căldura latentă de vaporizare; - masa sticlei din bazinul de topire; - fracţia gravimetrică de cioburi;

- corecţia pentru căldura acumulată în pereţii în contact cu sticla topită, relaţia (4.53);

- căldura de formare a compusului i , raportată la cantitatea de produs gazos de reacţie;

- căldura de topire a sticlei, din materii prime; - indice de recirculare; - temperatura amestecului de materii prime;

u - umiditatea materiilor prime, exprimată în kg apa/kg amestec+cioburi; - capacitatea calorică echivalentă a pereţilor în contact cu sticla topită, raportată la

unitatea de suprafaţă, relaţia (4.52). În continuare, modelarea cuptorului vană se poate face atât în regim staţionar, cât şi în regim netaţionar. Regimul staţionar presupune că atât acumulările de căldură în topitura de sticlă şi în pereţii cuptorului cât şi corecţiile şi sunt nule. Astfel, ecuaţiile diferenţiale (5.39) şi (5.41) se transformă în ecuaţii algebrice din care se pot calcula temperaturile gazelor, suprafeţei peretelui şi topiturii de sticlă. În acest scop, în relaţiile (5.39) şi (5.41), simplificate pentru regimul staţionar, se înlocuieşte temperatura gazelor cu expresia dată de relaţia (5.34) şi se notează:

(5.42)

(5.43) (5.44)

Page 63: Modelarea Unui Cuptor

(5.45)

(5.46)

(5.47)

Astfel, pentru regimul staţionar, temperaturile sticlei topite şi a suprafeţei interioare a pereţilor în contact cu gazele se obţin din sistemul de ecuaţii:

(5.48 -

5.49) Soluţiile acestuia sunt:

(5.50)şi

(5.51)

Aceste soluţii permit şi determinarea temperaturii gazelor pentru regimul staţionar, care se obţine din relaţia (5.33)

(5.52) La modelarea cuptorului vană în regim staţionar, coeficienţii de transfer termic, căldura de disociere a gazelor şi, eventual, căldurile specifice sunt dependente de temperaturile şi . Acestea trebuie, iniţial, presupuse; se trece apoi la calculul coeficienţilor de transfer termic şi a celorlalţi parametri ai modelului iar, în final, se obţin valorile temperaturilor recalculate cu ajutorul relaţiilor (5.50 - 5.51). În cazul în care valorile recalculate diferă de cele presupuse, calculul se reface, folosind temperaturile recalculate drept noile presupuneri. Pentru modelarea cuptorului vană în regim nestaţionar se notează:

; ; ;

(5.53 - 5.55)

;

(5.56 - 5.57)

şi(5.58)

Astfel, ecuaţiile diferenţiale (5.39) şi (5.41), în care temperatura gazelor a fost înlocuită cu expresia (5.34), devin:

(5.59)

Page 64: Modelarea Unui Cuptor

şi(5.60)

Din sistemul de ecuaţii diferenţiale (5.59) şi (5.60), se deduc două ecuaţii diferenţiale independente:

(5.61)şi

(5.62)

Ecuaţia caracteristică a acestor ecuaţii diferenţiale are două soluţii negative:

(5.63)

Astfel, soluţiile ecuaţiilor diferenţiale (5.61) şi (5.62) devin:

(5.64)şi (5.65) Temperatura gazelor se obţine, şi de data aceasta, din relaţia (5.33). Valoarea constantelor şi se obţine din condiiţile iniţiale care, pentru cazul de faţă, se exprimă prin relaţiile: - pentru : şi (5.66 - 5.67) În modul arătat amănunţit, pentru un caz asemănător, în cadrul subcapitolului 2.2 , se obţine:

(5.68)

(5.69)

(5.70)şi

(5.71)

Simularea modelului pentru regimul nestaţionar urmăreşte, de cele mai multe ori, determinarea modului în care variază în timp, temperaturile din cuptor. În acest scop se pleacă de la modelarea în regimul staţionar, prin care se determină un punct de pe caracteristica statică a cuptorului. Temperaturile gazelor, peretelui şi sticlei topite, astfel obţinute, constituie valorile iniţiale pentru simularea în regim nestaţionar. În continuare, se presupune o variaţie oarecare - de exemplu sub forma unui salt treaptă - a uneia sau a

Page 65: Modelarea Unui Cuptor

mai multor mărimi de intrare (de exemplu a debitelor de combustibil şi de aer) şi se împarte procesul în incremenţi de timp, . Pentru fiecare increment de timp, se determină temperaturile finale ale gazelor, pereţilor şi sticlei topite, cunoscându-le pe cele iniţiale. Valorile finale, astfel determinate, devin apoi valorile iniţiale pentru pasul următor. Calculul se face cu relaţiile (5.64 - 5.65), în care se înlocuieşte în loc de t. Valorile finale, astfel obţinute pentru temperaturile peretelui şi a sticlei topite, permit apoi şi calcularea temperaturii gazelor, cu relaţia 5.33). În acest caz, calculul coeficienţilor de transfer termic şi a căldurii de disociere a gazelor trebuie făcute la temperaturile medii (în timp) ale gazelor, peretelui şi sticlei. Ţinând seama de relaţiile (2.61 - 2.64) şi (5.64 - 5.65), temperaturile medii ale peretelui şi ale sticlei topite se obţin din relaţiile:

(5.72)şi

(5.73)

Temperatura medie a gazelor se obţine din relaţia (5.33), în care se înlocuiesc temperaturile medii ale peretelui şi sticlei topite, date de relaţiile (5.72 - 5.73):

(5.74) Valorile temperaturilor medii trebuie iniţial presupuse, eventual egale cu temperaturile iniţiale. Se calculează apoi coeficienţii dependeni de temperaturile în cauză şi, în final, cu ajutorul relaţiilor de mai sus, se verifică dacă presupunerea a fost corectă şi, la nevoie, se reface calculul, iar valorile recalculate devin noile presupuneri. Aici trebuie menţionat că, în general, există o legătură strânsă, tip conexiune inversă, între bazinul de topire şi regeneratorul sau recuperatorul de căldură. În consecinţă, rezultate corecte se vor obţine numai cu un model global care include şi sistemul de preîncălzire a aerului comburant, pe seama gazelor evacuate din cuptor. În mod obişnuit, la cuptoarele moderne cu canal de trecere cu secţiune mică, curentul de întoarcere este neglijabil şi, astfel, bazinul de topire lucrează independent de cel de lucru sau, respectiv, de feeder. În această situaţie, precum şi în cazul în care se admite că feederul sau bazinul de lucru au o termostatare perfectă, nu este necesară includerea lor în modelul cuptorului vană, decât, eventual, sub forma unui program independent.

5.3. Modelarea cuptorului tunel pentru produse refractare.

În acest paragraf se tratează modelarea unui cuptor tunel cu vagoneţi, cu flacără directă, în care circulaţia gazelor şi materialului se face în contracurent. Mişcarea materialui (împingerea vagoneţilor) se face intermitent, adică, la anumite intervale de timp (circa 1-2 ore), în cuptor se introduce un vagonet nou şi se scoate un vagonet cu produse arse, cu care ocazie toţi vagoneţii din cuptor avansează cu câte o poziţie. În restul

Page 66: Modelarea Unui Cuptor

timpului, materialul se află în repaus. Astfel, se poate considera că fiecare poziţie de vagonet formează câte un cuptor scurt cu material staţionar, iar aerul şi, respectiv, gazele de ardere trec, pe rând, prin aceste cuptoare scurte înseriate. În cele ce urmează se prezintă bilanţurile termice pentru gazele, suprafaţa interioară a pereţilor şi materialul dintr-o poziţie oarecare, j, de vagonet. Aceste bilanţuri sunt scrise într-o formă generală şi cuprind toate intrările şi ieşirile posibile. Bineînţeles că, funcţie de zona cuptorului, o parte din acestea vor fi nule. Astfel, în zonele de preîncălzire şi răcire, debitul de combustibil introdus este nul, iar în zona de ardere se anulează debitul de gaze extrase.

Figura 5.3 Schema generală a unui cuptor tunel cu vagoneţi.

Page 67: Modelarea Unui Cuptor

Figura 5.4 Schema poziţiei j de vagonet din cuptorul tunel pentru refractare.

Page 68: Modelarea Unui Cuptor

Bilanţul termic al spaţiului de gaze

Călduri intrate: - căldura chimică a combustibilului

- căldura fizică a combustibilului

- căldura fizică a aerului - căldura fizică a gazelor care vin din poziţia vecină,

- căldura de disociere din gazele care vin din poziţia Călduri ieşite: - căldura fizică a gazelor ieşite

- căldura de disociere din gazele ieşite - căldura cedată pereţilor

- căldura cedată materialului

Din bilanţul gazelor se obţine:

(5.75)în care s-a notat:

(5.76)

;

(5.77 - 5.78)şi (5.79)în care:

este aria suprafeţei materialului şi vagonetului, în contact cu gazele de ardere; - aria suprafeţei interioare a pereţilor cuptorului, în contact cu gazele - debitul de combustibil introdus în poziţia j ; - căldura specifică a aerului; - căldura specifică a combustibilului; - căldura specifică a gazelor de ardere; - debitul de gaze extrase din cuptor, în poziţia j; - debitul de gaze din poziţia j care trec în poziţia j-1 ; - puterea calorifică inferioară; - căldura de disociere a gazelor de ardere din poziţia j ;

Page 69: Modelarea Unui Cuptor

- temperatua aerului introdus (infiltrat) în poziţia j ; - temperatura combustibilului;- temperatura gazelor din poziţia j;

- temperatura suprafeţei materialului şi a suprafeţei interioare a platformei vagonetului din poziţia j;

- temperatura suprafeţei interioare a pereţilor cuptorului din poziţia j;

- coeficientul total de transfer termic (convecţie + radiaţie) de la gaze la material, pentru poziţia j;

- coeficientul total de transfer termic de la gaze la perete, pentru poziţia j.

Bilanţul termic al pereţilor din poziţia j

Călduri intrate: - căldura primită de la gazele de ardere

Călduri ieşite:

- căldura cedată materialului

- căldura pierdută în mediul exterior

Căldura acumulată:

Bilanţul termic pentru suprafaţa interioară a pereţilor din poziţia j se exprimă prin relaţia:

(5.80)

în care: este coeficientul total de transmisivitate a pereţilor cuptorului, relaţia (4.57);

- corecţia pentru căldura acumulată în pereţii cuptorului în contact cu gazele, relaţia (4.53);

- capacitatea calorică echivalentă a pereţilor în contact cu gazele, relaţia (4.52); - coeficientul de transfer termic de la perete la materialul din poziţia j, corectat cu

partea din radiaţie care este absorbită de gazele de ardere.

Page 70: Modelarea Unui Cuptor

Bilanţul termic pentru materialul şi vagonetul din poziţia j

Călduri intrate:

- căldura primită de la gaze

- căldura primită de la pereţi

Călduri ieşite:

- pierderi prin platforma vagonetului

Călduri acumulate: - în material

- în platforma vagonetului

Bilanţul termic pentru materialul şi platforma vagonetului se exprimă prin relaţia:

(5.81)în care:

este transmisivitatea termică a platformei vagonetului, relaţia (4.57); - corecţia pentru căldura acumulată în material, în poziţia j, relaţia (4.53);

- corecţia pentru căldura acumulată în platforma vagonetului din poziţia j, relaţia (4.53);

- capacitatea calorică echivalentă a materialului, raportată la unitatea de suprafaţă, relaţia (3.96);

- idem, a platformei vagonetului, raportată la unitatea de suprafaţă, relaţia (4.52). Se observă că, în bilanţul termic al materialului, s-au neglijat efectele termice ale unor eventuale reacţii, însă, la nevoie, acestea pot fi înglobate în căldura specifică. In cazul în care, pe anumite intervale de temperatură, există efecte puternic endoterme, însoţite de degajări de produse gazoase de reacţie (CO2 şi H2O), în locul modelului

matematic al încălzirii materialului, trebuie folosit un model pentru reacţii gaz-solid, iar ecuaţiile de bilanţ pentru gazele de ardere şi pentru materialul din cuptor trebuie completate în mod corespunzător. Ca şi în cazul cuptorului vană, modelarea cuptorului tunel poate fi făcută pentru regimul staţionar şi pentru regimul nestaţionar. La cuptorul tunel cu vagoneţi, regimul staţionar este caracterizat prin faptul că, pe de o parte, mărimile de intrare nu variază în timp şi, pe de altă parte, că, de la ultima schimbare a unei mărimi de intrare, a trecut un timp suficient de mare. În condiţiile regimului staţionar, toţi vagoneţii aflaţi în cuptor parcurg aceeaşi curbă de ardere. Împingerea vagoneţilor fiind discontinuă, temperatura

Page 71: Modelarea Unui Cuptor

materialului pentru o poziţie dată de vagonet şi, într-o măsură mai mică, temperaturile gazelor şi pereţilor variază în timp, însă aceste variaţii sunt periodice, adică valorile temperaturilor medii, respectiv finale, pentru o anumită poziţie de vagonet, sunt aceleaşi pentru toate ciclurile de împingere. Deşi, în general, este supusă unor variaţii în timp, pentru a evita unele complicaţii de ordin matematic, se consideră că temperatura gazelor de ardere intrate în poziţia j ,

, este constantă în timp şi egală cu temperatura medie a gazelor ieşite din poziţia . De asemenea, şi căldura de disociere a gazelor de ardere va fi calculată tot cu

temperatura medie a gazelor de ardere. În cele ce urmează, în relaţiile (5.80) şi (5.81) se înlocuieşte temperatura gazelor prin expresia dată de relaţia (5.75) şi se notează:

(5.82

- 5.83)

(5.84)

(5.85)

(5.86)

(5.87)

Astfel, se ajunge, pentru fiecare poziţie j în parte, la un sistem de două ecuaţii diferenţiale de ordinul 1 :

(5.88)şi

(5.89) Din sistemul format de ecuaţiile diferenţiale (5.88) şi (5.89), se deduc două ecuaţii diferenţiale independente:

(5.90)şi

(5.91) Ecuaţia caracteristică a acestor ecuaţii diferenţiale are două rădăcini negative:

Page 72: Modelarea Unui Cuptor

(5.92)

Astfel, soluţiile ecuaţiilor diferenţiale (5.90) şi (5.91) devin:

(5.93)şi (5.94)

în care:

(5.95)şi

(5.96)

Coeficienţii şi se obţin cu ajutorul condiţiilor iniţiale. În cele ce urmează, pentru simplificarea problemei, se consideră că procesul termic se împarte în incremenţi de timpi, egali cu timpul de împingere a vagoneţilor. Astfel, temperatura iniţială a vagoneţilor din poziţia j este egală cu temperatura finală a vagoneţilor din poziţia . În modul arătat în subcapitolul 2.2 se deduce, pentru poziţia j :

(5.97)

(5.98)

(5.99)şi

(5.100)

Temperaturile medii ale suprafeţei pereţilor şi materialului din poziţia j se calculează ca medii integrale cu expresii asemănătoare relaţiilor (2.61) şi (2.62). Astfel, rezultă:

(5.101)şi

(5.102)

Înlocuind această valoare în relaţia (5.75), se obţine temperatura medie a gazelor de ardere (aerului) din poziţia j :

Page 73: Modelarea Unui Cuptor

(5.103) Aplicarea relaţiilor de mai sus se face în mod diferenţiat, în funcţie de scopul urmărit. Astfel, în cazul în care se urmăreşte calculul debitelor de fluide (aer, combustibil, gaze de ardere) necesare pentru obţinerea unei curbe de ardere impuse, se procedează în felul următor: - se calculează capacităţile calorice echivalente şi ; - pentru curba de ardere (temperaturile materialului în lungul cuptorului) dată, se calculează, începând cu poziţia 1 , toate corecţiile pentru căldura acumulată în material şi platforma vagonetului ( şi ) ; - începând cu ultima poziţie de vagonet, se calculează, pentru fiecare poziţie j din zona de răcire, după caz, debitul de aer rece introdus, , sau debitul de aer care

trebuie extras din poziţia vecină, astfel încât să se atingă temperatura finală , conform curbei de ardere impuse; - pentru zona de ardere se procedează în mod asemănător, determinând, de data aceasta, debitele de combustibil şi de aer comburant, necesare pentru realizarea temperaturii impuse; - pentru zona de preîncălzire se ţine seama de infiltraţiile de aer şi se determină cantitatea de gaze care trebuie extrase din poziţia pentru a realiza, în poziţia j, temperatura prescrisă; la nevoie se poate prevedea şi o circulaţie de aer preîncălzit care trece din zona de răcire în zona de preîncălzire, ocolind zona de ardere, cu adăugarea termenul corespunzător în ecuaţia bilanţului termic pentru gazele din cuptor. Toate aceste calcule se fac, cu ajutorul unui program de calculator, prin mai multe iteraţii, pentru fiecare poziţie de vagonet în parte, în sensul că, la început, se presupun debitele în cauză şi temperaturile medii ale gazelor, pereţilor şi materialului cu care se calculează apoi coeficienţii de transfer termic şi celelalte mărimi fizice dependente de temperatură şi, la sfârşitul calculului, se obţin valorile recalculate cu relaţiile (5.101 - 5.103). Dacă acestea diferă de cele presupuse, calculul se reia cu noile valori. Dacă, după mai multe iteraţii, valoarea temperaturilor presupuse coincid cu cele recalculate, se verifică dacă temperatura finală a materialului are valoarea dorită, impusă prin curba de ardere, şi la nevoie, se schimbă debitele de gaz în cauză. În acest scop, este utilă folosirea metodei secantei, pentru găsirea rapidă a debitului necesar. Prin algoritmul schiţat, pe lângă debitele de gaze, se obţin şi temperaturile gazelor şi pereţilor în lungul cuptorului. În cazul în care se face simularea cuptorului în regim staţionar, se urmăreşte determinarea valorilor temperaturilor gazelor, pereţilor şi materialului, în lungul cuptorului, pentru debite de gaze date. La început, se presupun, pentru toate poziţiile din cuptor, temperaturile medii ale gazelor, pereţilor şi materialului. În continuare, algoritmul trebuie să îmbunătăţească treptat valorile presupuse, până când acestea nu se mai schimbă. În principiu, este posibilă obţinerea temperaturilor în cauză ( şi ) din rezolvarea unui sistem de 3n ecuaţii, n fiind numărul de vagoneţi din cuptor. Ţinând seama de numărul foarte mare de ecuaţii, este preferabil să se lucreze cu o metodă de explorare pe două direcţii. Calculul se începe cu determinarea capacităţilor calorice

Page 74: Modelarea Unui Cuptor

echivalente ale materialului, pereţilor şi vagonetului. Fiind vorba de căutarea regimului staţionar, corecţiile , pentru căldura acumulată în pereţii cuptorului sunt nule. În cazul explorării pe direcţia deplasării materialului, pentru prima poziţie de vagonet se cunoaşte temperatura de intrare a materialului. Cu aceasta se iniţializează sumele , necesare calculului corecţiilor pentru căldurile acumulate în material şi

platforma vagonetului, şi . La prima poziţie de vagonet, aceste corecţii sunt nule. Se calculează apoi, din aproape în aproape, pentru fiecare poziţie j, temperaturile gazelor, pereţilor şi materialului, presupunând cunoscută valoarea temperaturii gazelor care vin din poziţia . La explorarea pe direcţia de curgere a gazelor, se începe cu ultima poziţie de vagonet. De data aceasta, pentru o poziţie j dată, se presupun cunoscute temperaturile materialului venit din poziţia şi, de asemenea, sumele pentru calculul corecţiilor pentru căldura acumulată, atât în material cât şi în platforma vagonetului. Astfel, la fiecare poziţie j sunt calculate valori îmbunătăţite pentru temperaturile gazelor, pereţilor şi materialului. Aceste calcule se repetă până când, după o nouă explorare în cele două direcţii, temperaturile din cuptor, recalculate, nu se mai modifică. Bineînţeles că, la calculul fiecărei poziţii de vagonet în parte, coeficienţii de transfer termic sunt evaluaţi la temperaturile medii ale gazelor, pereţilor şi materialului care sunt apoi recalculate şi, în caz de nevoie, procedura se repetă până când valorile recalculate coincid cu cele presupuse. Pentru simularea cuptorului în regimul nestaţionar, mărimea pasului de timp este bine să coincidă cu timpul de împingere a vagoneţilor. De asemenea, se recomandă să se pornească de la o distribuţie de temperatură corespunzătoare regimului staţionar. În aceste condiţii, la momentul iniţial pentru simularea regimului nestaţionar, temperaturile din cuptor şi sumele pentru material şi platforma vagonetului sunt cunoscute. Simularea regimului nestaţionar urmăreşte determinarea evoluţiei în timp a temperaturilor gazelor, pereţilor şi materialului din cuptor, pentru o variaţiei cunoscută a unei (unor) mărimi de intrare, de exemplu a debitului de combustibil. Calculul acestor temperaturi se face, pentru fiecare pas de timp, începând cu ultima poziţie de vagonet. La primul pas de timp, corecţiile pentru căldura acumulată în pereţi sunt nule, însă trebuie iniţializate sumele pentru calculul acestora, folosind relaţia (4.49). Ţinând seama că mărimea pasului de timp a fost aleasă egală cu timpul de împingerea vagoneţilor, pentru calculul fiecărei poziţii j de vagonet, temperatura iniţială a materialului este egală cu temperatura finală a acestuia, la ieşire din poziţia . Astfel, pentru ultima poziţie de vagonet sunt cunoscute toate intrările şi, pe baza lor, pot fi calculate, în modul arătat, temperaturile medii şi finale ale gazelor (aerului), pereţilor şi materialului. Temperatura medie a gazelor este, la rândul ei, o mărime de intrare pentru poziţia de vagonet vecină. În consecinţă, algoritmul pentru simularea regimului nestaţionar se aseamănă cu cel descris pentru regimul staţionar, cu următoarele deosebiri: - se ţine seama şi de corecţiile pentru căldura acumulată în pereţii cuptorului; - explorarea se face într-o singură direcţie, rezultând, de fiecare dată, temperaturile corespunzătoare pasului de timp. În consecinţă, programul pe calculator poate fi astfel organizat, încât simularea regimurilor staţionar şi nestaţionar să folosească aceleaşi subprograme.

Page 75: Modelarea Unui Cuptor

Powered by http://www.referat.ro/cel mai tare site cu referate