Modele ARMA(1)

8/15/2019 Modele ARMA(1)

1/71

Seminar Econometrie – Spătaru – (5–7 ian.2015) Analiza seriilor de timpExemplul 1. Analiza staţionarităţii seriei PIB1. Analiza graficului unei serii de timp Considerăm datele observate cu privire la 5 serii cronologice economice cu frecvenţă trimestrială,în perioada anilor 1985-2006, un total de 88 observaţii pentru fiecare serie de timp. Seriile sunt:

Produsul Intern Brut (PIB), Venitul Personal Disponibil (VPD), Cheltuielile de ConsumPersonal (CCP), Profiturile şi Dividendele.Valorile observate se află în fişierul Aplicatie 5 Serii Timp.xls din folderul Eviews 4.1 Stud.

Figura 1. Graficele seriilor de timp PIB, VPD, CCP, Profituri şi Dividende.Graficele seriilor arată că seriile au o tendinţă crescătoare, deşi trendul nu este neted, mai ales încazul seriei Profiturilor. Se observă că media, varianţa şi autocovarianţele fiecărei serii nu par a fiinvariante în raport cu timpul. Aceste serii sunt serii de timp nestaţionare.

2. Analiza staţionarităţii seriei de timp PIB, pe baza corelogramei serieiUn test simplu al staţionarităţii seriei este bazat pe funcţia de autocorelaţie (ACF). Graficul funcţiei de autocorelaţie în raport cu decalajul k , se numeşte corelogramă.Mai jos avem corelograma seriei cu date trimestriale privind PIB-ul , realizată în EViews.

Cum interpretăm corelograma? Observăm că începe cu valori foarte mari (0,969 la lag-ul 1) şiscade treptat. Chiar la lag-ul 14, coeficientul de autocorelaţie are o valoare destul de mare (0,500).Corelograma arată că seria PIB este nestaţionară. Pentru serii nestaţionare coeficienţii de


2/72

autocorelaţie scad foarte încet. Prin contrast, dacă un proces stochastic este pur aleator,autocorelaţia la orice lag 0>k , va fi zero.Bartlett a arătat că, dacă o serie de timp este pur aleatoare, coeficienţii de autocorelaţie de selecţiesunt aproximativ normal distribuiţi, cu media 0 şi varianţa n/1 , unde n este volumul selecţiei.

)/1,0(~ˆ n N k ρ . Putem determina un interval de încredere 95% în care se află k ρ .

))ˆ(*96,1);ˆ(*96,1( k k k se se ρ ρ ρ −∈ , deci )/1*96,1;/1*96,1( nnk −∈ ρ .

În exemplul dat, deoarece n=88, varianţa lui k ρ ˆ este 1/88, iar eroarea standard este

1066,088/1 = . Conform proprietăţilor distribuţiei normale standard, intervalul de încredere 95%

pentru orice k ρ va fi 2089,0)1066,0(96,1 ±=± . Astfel, dacă un k ρ estimat se află în intervalul

)2089,0;2089,0(− , nu respingem ipoteza că k ρ real este zero. Dacă k ρ estimat se află în afara

intervalului )2089,0;2089,0(− , atunci putem respinge ipoteza că k ρ real este zero. Intervalul de

încredere 95% este marcat prin două linii punctate. În corelogramă se observă că toţi coeficienţii

k ρ ˆ până la decalajul 23 sunt semnificativi statistic, adică sunt statistic diferiţi de 0. Pentru a testa

ipoteza că toţi coeficienţii de autocorelaţie sunt simultan nuli, folosim statistica Ljung-Box:

( )2

1

2

~

ˆ

2)( mm

k

k

k nnn LBmQ χ ρ

∑=

−+== .

0toti:0 =k H ρ (seria este staţionară)

0exista:1 ≠k H ρ (seria este nestaţionară)

Pentru seria de date PIB, statistica Q bazată pe 25 de decalaje are valoarea 891, deci estesemnificativ diferită de 0; probabilitatea de a obţine o astfel de valoare 2 χ este zero. Concluziafinală, bazată pe corelogramă, este că seria de timp PIB este nestaţionară.

3. Testul pentru staţionaritate sau pentru o rădăcină egală cu 1

t t t y y ε ρ += −1 Dacă 1= ρ , spunem că variabila t y are o rădăcină unitară.

t t t t t y y y ε δ ε ρ +=+−=∆ −− 11)1(Ipoteza de rădăcină unitară-Unit Root

0 H : seria are rădăcină unitară şi este nestaţionară

1 H : seria este staţionarăTestul Dickey-Fuller(Unit Root Test) Dacă 1= ρ sau 0=δ , atunci seria nu este staţionară. Dacă 1 respingem 0 H şi acceptăm că seria este staţionară.

Dacă |||| crt calc τ τ < acceptăm că seria este nestaţionară.

Dickey şi Fuller au propus trei ecuaţii de regresie diferite:

i) t t t y y ε δ +=∆ −1 (fără constantă şi fără trend);ii) t t t y y ε µ δ ++=∆ −1 (cu constantă şi fără trend);

iii) t t t t y y ε λ µ δ +++=∆ −1 (cu constantă şi cu trend);

Dacă 0=δ , seria conţine o rădăcină egală cu 1.Testul ADF include termeni AR(p) ai termenului t y∆ în cele trei modele alternative. Dacă

termenul eroare este autocorelat, ultimul din cele trei modele va fi:

t

p

i

it it t yt y y η α λ µ δ +∆+++=∆ ∑=

−−1

1 .


3/73

În cazul când avem Constantă dar nu avem Trend (fig. stânga) am obţinut:

Am obţinut următoarele rezultate:

11 3197,00033,07190,28ˆ −− ∆+−=∆ t t t PIB PIB IB P

t = (1,2143) ( – 0,5472) (3,0888)R 2=0,1047 DW=d=2,0405

Pentru scopul nostru este importantă statistica t (τ =tau) a variabilei PIBt-1. Ipoteza nulă este că0=δ , echivalent cu 1= ρ , sau există o rădăcină unitară. Pentru modelul nostru, valorile critice

sunt – 3,508326, – 2,895512 şi – 2,584952, corespunzătoare nivelurilor de semnificaţie de 1%, 5%

şi 10%. Valoarea calculată pentru statistica τ este – 0,547205, care în valoare absolută este maimică decât valorile critice. Probabilitatea=0,8756. Nu putem respinge ipoteza nulă (acceptăm H0).Există o rădăcină unitară, deci seria PIB este nestaţionară.

În cazul când avem Constantă şi Trend (fig. dreapta) obţinem următoarele rezultate:

11 355794,0078661,0892199,19729,234ˆ −− ∆+−+=∆ t t t PIB PIBt IB P

t = (2,383391) (2,152260) ( – 2,215287) (3,464708)R 2=0,152615 DW=d=2,085875

Pentru scopul nostru este importantă statistica t (τ =tau) a variabilei PIBt-1. Ipoteza nulă este că0=δ , echivalent cu 1= ρ , sau există o rădăcină unitară. Pentru modelul nostru, valorile critice

sunt – 4,06829, – 3,462912 şi – 3,157836, corespunzătoare nivelurilor de semnificaţie de 1%, 5% şi10%. Valoarea calculată pentru statistica τ este – 2,215287, care în valoare absolută este mai micădecât valorile critice. Prob=0,4749. Nu putem respinge ipoteza nulă, că există o rădăcină unitară,deci seria PIB este nestaţionară.

4. Seria de timp PIB devine serie staţionară după aplicarea operatorului de diferenţiere Pentru a aplica operatorul de diferenţiere, în EViews scriem: series DPIB=D(PIB).Pentru seria transformată realizăm graficul şi comparăm graficul seriei PIB cu cel al seriei DPIB.Seria diferenţiată, DPIB, nu mai prezintă trend.


4/74

Am aplicat testul ADF seriei diferenţiate şi am obţinut următoarele rezultate:

1682762,000498,16ˆ −−=∆ t t DPIB IB P D

t = (3,640211) ( – 6,630339)R 2=0,343552 DW=d=2,034425

Pentru modelul nostru, valoarea calculată pentru statistica τ este – 6,630339, care în valoareabsolută este mai mare decât valorile critice. Prob=0,0000. Respingem ipoteza nulă, că există orădăcină unitară. Acceptăm H1, deci seria diferenţiată DPIB, este o serie staţionară.

Exemplul 2.Se consideră 2 variabile economice cu date pe 25 perioade.

vt 1 4 2 2 5 5 3 3 1 4 4 3 3 5 4 4 4 1 3 3 3 3 1 2 2zt 1 1 2 1 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 5 5 5 5 6 5 6 6 7 8 8Coeficienţii de autocorelaţie obţinuţi pentru decalajele k=1, 2, 3 sunt: – pentru seria vt: r1 = 0,1053; r2 = – 0,0526; r3 = 0. – pentru seria zt: r1 = 0,8302; r2 = 0,6887; r3 = 0,5755.Să se caracterizeze seriile prin prisma testelor: Bartlett, Box-Pierce şi Ljung-Box.

Bartlett a arătat că, dacă o serie de timp este pur aleatoare, coeficienţii de autocorelaţie de selecţiesunt aproximativ normal distribuiţi, cu media 0 şi varianţa n/1 , unde n este volumul selecţiei.Putem determina un interval de încredere 95% în care se află k ρ .

))ˆ(*96,1);ˆ(*96,1( k k k se se ρ ρ ρ −∈ , deci )/1*96,1;/1*96,1( nnk −∈ ρ .

În exemplul dat, deoarece n=25, varianţa lui k ρ ˆ este 1/25, iar eroarea standard este 25/1 .

Conform proprietăţilor distribuţiei normale standard, intervalul de încredere 95% pentru orice k ρ

va fi )392,0;392,0(− . Astfel, dacă un k ρ estimat se află în intervalul )392,0;392,0(− , nu

respingem ipoteza că k ρ real este zero. Dacă k ρ estimat se află în afara intervalului

)392,0;392,0(− , atunci putem respinge ipoteza că k ρ real este zero.


5/75

Pentru seria vt: toţi r k sunt în interiorul intervalului. Seria este aleatoare.Pentru seria zt: toţi r k sunt în afara intervaluluiTestăm ipoteza că toţi coeficienţii de autocorelaţie sunt simultan nuli:

0toti:0 =k H ρ (seria este staţionară)

0exista:1 ≠k H ρ (seria este nestaţionară, folosim statisticile Box-Pierce şi Ljung-Box:

2

1

2

~ˆ mm

k

k BP nQQ χ ρ ∑=∗

== ; ( )2

1

2

~

ˆ

2)( mm

k

k

k nnn LBmQ χ

ρ

∑=

−+== .

Pentru vt: ∗Q =0,3463 iar Q=0,3929. Ambele sunt mai mici decât 815,72 3;05,0 = χ . Seria este

staţionară.Pentru zt: ∗Q =37,3685 iar Q=43,464. Ambele sunt mai mari decât 815,72 3;05,0 = χ . Seria este

nestaţionară.

Modele de MEDIE MOBILĂ (MA) şi modele AUTOREGRESIVE (AR)

Modelul MA(1) 1−⋅+= t t t y ε θ ε

Am arătat la curs că ACF pentru modelul MA(1) este:

10 = ρ ; 21 1 θ

θ ρ

+= şi 0=k ρ pentru 1>k .

Exemplu: Să se determine funcţia de autocorelaţie (ACF) şi corelograma fiecărui proces:1) 1*9,0 −+= t t t y ε ε

Determinăm ACF pentru modelul 1*9,0 −+= t t t y ε ε şi reprezentăm grafic.

10 = ρ ; 497,0)9,0(1

9,021

=+

= ρ ; 0=k ρ pentru 1>k . Reprezentăm grafic!

2) 1*9,0 −−= t t t y ε ε

10 = ρ ; 497,0)9,0(1

9,0 21 −=−+−= ρ ; 0=k ρ pentru 1>k . Reprezentăm grafic!

3) 1*5,0 −+= t t t y ε ε

10 = ρ ; =+

=21 )5,0(1

5,0 ρ ?; =1 ρ 0,4; 0=k ρ pentru 1>k . Reprezentăm grafic!

4) 1*5,0 −−= t t t y ε ε

10 = ρ ; =−+

−=

21 )5,0(1

5,0 ρ ?; =1 ρ – 0,4; 0=k ρ pentru 1>k . Reprezentăm grafic!

Să observăm semnul coeficientului 1 ρ , în cele 4 modele MA(1).

Simularea unui proces MA(1) : 1−⋅+= t t t y ε θ ε 1*9,0 −+= t t t y ε ε

Am creat un fişier pentru 100 observaţiigenr wn=nrndsmpl 1 1genr maunu1=wnsmpl 2 100

genr maunu1=wn+0.9*wn( – 1) ⇔ ( 1*9,0 −+= t t t y ε ε ) smpl 1 100


6/76

(NRND generează numere aleatoare dintr-o distribuţie N(0,1))maunu1=wn+0.9*wn( – 1) ⇔ 1*9,0 −+= t t t y ε ε maunu2=wn – 0.9*wn( – 1) ⇔ 1*9,0 −−= t t t y ε ε

Determinarea corelogramei seriei de date maunu: – Din meniul workfile selectăm seria de date maunu.

– Din meniul seriei maunu selectăm View/Correlogram. Se deschide o fereastră în care selectămtipul seriei(level) şi numărul de lag-uri (10) ce vor fi incluse în calcule.

maunu3=wn+0.5*wn( – 1) ⇔ 1*5,0 −+= t t t y ε ε maunu4=wn – 0.5*wn( – 1) ⇔ 1*5,0 −−= t t t y ε ε

Modelul de medie mobilă de ordinul doi, MA(2)

2211 −− ++= t t t t y ε θ ε θ ε , unde ),0(~2

σ ε WN t .

Am determinat, la curs, funcţia de autocorelaţie (ACF), a lui t y . Am obţinut:

10 = ρ , 22

2

1

2111

1 θ θ

θ θ θ ρ

++

+= ,

2

2

2

1

22

1 θ θ

θ ρ

++= şi 0=k ρ pentru 2>k .

Exemplu: Fie 21 25,05,0 −− +−= t t t t y ε ε ε . Să se determine ACF şi corelograma procesului.

Obţinem: 10 = ρ , =1 ρ – 0,476, =2 ρ 0,191, şi 0=k ρ pentru 2>k .Simularea unui proces MA(2) : genr wn=nrndsmpl 1 1genr madoi=wnsmpl 2 2

genr madoi=wn – 0.5*wn( – 1)


7/77

smpl 3 100

genr madoi=wn – 0.5*wn( – 1)+0.25*wn( – 2) ⇔ ( 21 25,05,0 −− +−= t t t t y ε ε ε ) smpl 1 100

Modelul AR(1) t t t y y ε φ +⋅= −1

Pentru un modelul AR(1) am arătat că:ACF este: k k k k k ∀==== −− ,1

21 φ ρ φ φρ ρ L .

PACF este: φ ρ φ == 111 şi 0=kk φ pentru 1>k .

Exemplu: Să se determine ACF, PACF şi corelogramele corespunzătoare proceselor:1) t t t y y ε += −1*8,0

ACF este: 10 = ρ ; 8,01 == φ ρ ; 64,0)8,0(22

2 === φ ρ ; 512,0)8,0(33

3 === φ ρ ;...

PACF este: 8,0111 === φ ρ φ şi 0=kk φ pentru 1>k . Reprezentăm grafic!

Procesul este staţionar deoarece 1k . Reprezentăm grafic!

Simularea unui proces AR(1): t t t y y ε += −1*8,0 şi t t t y y ε +−= −1*8,0

arunu= 0.8*arunu( – 1)+wn⇔ t t t y y ε += −1*8,0 arunu2= – 0.8*arunu2( – 1)+wn⇔ t t t y y ε +−= −1*8,0

Documents

Modele ARMA(1)