Modele de Turbulenta

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Prezentare modele de turbulenta

Citation preview

  • MODELE DE TURBULEN

    Dup cum s-a artat n Cap.2, ntr-o micare turbulent, vom fi nevoii s mediem ecuaiile Navier-Stokes, iar nchiderea sistemului de ecuaii necesit modelarea tensiunilor Reynolds (i a fluxurilor turbulente de cldur) printr-un model de turbulen. Aceast cale de modelare matematic a curgerilor turbulente utilizat i n prezent, i are originea n lucrrile publicate de ctre O. Reynolds*) i, respectiv, J. Boussinesq**) la sfritul secolului al IX-lea. Dac O. Reynolds introduce idea medierii temporale a ecuaiilor Navier-Stokes, J. Boussinesq, pe baza analogiei cu difuzia vscoas molecular, introduce conceptul de vscozitate aparent (sau de vrtej) pentru modelarea difuziei turbulente. Totui, primele soluionri sistematice a ecuaiilor ce descriu micarea unui fluid n regim turbulent i se datoreaz lui L. Prandtl, dup introducerea n 1904 a conceptului de strat limit***), i n special, dup publicarea modelului lungimii de amestec****) n anul 1925. n aceeai perioad, contribuii importante n studiul turbulenei sunt aduse de Th. von Karman*****).

    Pentru mbuntirea acurateei de estimare a dinamicii tensiunilor turbulente, independent, A. N. Kolmogorov******) n anul 1942 i L. Prandtl*******) n anul 1945 postuleaz modele n care vscozitatea aparent este proporional cu produsul dintre o scar de viteze i o scar de lungimi caracteristice turbulenei. Pentru calculul scrii de viteze, ambii autori propun ecuaii aproximative de transport ale energiei cinetice turbulente, k, derivate din ecuaiile Navier-Stokes. Dac modelul lui Prandtl, rmne incomplet, pentru c scara de lungimi, dei este pus n relaie cu lungimea de amestec, rmne nespecificat, modelul Kolmogorov conine i o a doua ecuaie de transport pentru o mrime , numit rata de disipaie a energiei cinetice turbulente pe unitatea de mas i timp. Inversa acestei

    mrimi reprezint scara de timp a turbulenei, iar raportul /k , scara de lungimi.

    *) O. Reynolds, On the dynamical theory of incompressible viscous fluids and the determination of the

    criterion, Phil. Trans. Roy. Soc., A 86, 123, 1895. **) J. Boussinesq, Thorie des coulements tourbillonnaires, CRAS T23, 1887. ***) L. Prandtl, ber Flssgkeitsbewegungn bei sehr kleiner Reibung, Proc. 3-rd Match. Congr., Heidelberg, pp. 484-481, 1904. ****) L. Prandtl, Berich ber Untersuchungen zur susgebildeten Turbulenz, Zeitschr. fr Angev. Math. u. Mech., 5, 136, 1925. *****) Th. von Karman, Mechanishe Ahnlichkeit und Turbulentz, Nachrichten der Akademie der Wissenschaften Gttingen, Math. Phys. Klasse, pp. 58, 1930. ******) A. N. Kolmogorov, Equation of turbulent motion of an incompressible fluid, Izv. Akad. Nauk, SSR, Seria VI, No. 1-2, pp. 56-58, 1942, Imperial College, Mech. Eng. Dept. Rept. ON/6, 1968. *******) L. Prandtl, ein Formelsystem fr die ausgebildete Turbulentz, Nachrichten der Akademie der Wissenschaften Gttingen, Math. Phys. Klasse, pp. 6, 1945.

  • MODELE DE TURBULEN 1

    n anul 1951 J.C. Rotta1) elaboreaz primul model de turbulena care renun la conceptul de vscozitate aparent, avnd n componen apte ecuaii difereniale, ase aproximaii ale ecuaiilor de transport ale tensiunilor Reynolds i o ecuaie pentru o scar de lungimi. Deoarece efortul de calcul presupus de aplicarea acestui model este considerabil, acesta va reveni n actualitate odat cu dezvoltarea calculatoarelor numerice.

    Dup anul 1950, literatura n domeniul modelelor de turbulen este extrem de bogat, majoritatea lucrrilor fiind mbuntiri ale modelelor menionate anterior (modele algebrice de tip lungime de amestec, modele cu una sau dou ecuaii difereniale sau modele cu ecuaii de transport a tensiunilor Reynolds). Dezvoltarea ntr-un ritm extrem de susinut a cercetrilor n domeniul modelelor de turbulen a fost impulsionat, pe de o parte, de Conferina de la Stanford2) din anul 1968 i, pe de alt parte, de creterea capacitii de calcul numeric. Dintre contribuiile cele mai importante citm lucrrile lui Harlow i Nakayama3) i, respectiv, Daly i Harlow4) de la Los Alamos Laboratory asupra teoriei generale de transport n turbulena neizotroap. Sugerat de cercetrile anterioare ale lui Chou5), teoria se bazeaz pe modelarea ecuaiilor difereniale cu derivate pariale de transport a tensiunilor Reynolds i a energiei cinetice. n paralel, Donaldson i col.6) dezvolt metoda nchiderii sistemului de ecuaii de transport ale tensiunilor Reynolds printr-o ecuaie diferenial pentru o scar de lungimi.

    La Imperial College din Londra implementarea cu succes a metodei lui Patankar i Spalding7) de soluionare a ecuaiilor difereniale de tip parabolic a permis o dezvoltare rapid a modelelor de turbulen. Ng, Rodi i Spalding8) abordeaz modele cu dou ecuaii difereniale de tip kLk , pe cnd Hanjali, Jones i Launder9) investigheaz modele difereniale cu dou sau trei ecuaii difereniale de tip k 1). Dezvoltat iniial pentru turbulena dezvoltat, modelul

    1) J.C. Rotta, Statistische Theorie nicht homogener Turbulentz, Zeitschr. fr Physik, 129, 547- 131, 51, 1951. 2) S.J. Kline, N.V. Morkovin, G. Sovran, D.J. Cockrell, (ed.), Computation of turbulent boundary layer, AFOSR-IFP Stanford Conference, vol. I, 1968; D. Coles, E. A. Hirst (ed.), Computation of turbulent boundary layer, AFOSR-IFP Stanford Conference, vol. II, 1968 3) F.H. Harlow, P.I. Nakayama, Transport of turbulence decay rate, Rep. LA-3854, Los Alamos Science Laboratory, Los Alamos NM, 1968. 4) B.J. Daly, F.H. Harlow, Tansport equations of turbulene, Physics of Fluids, 13, pp. 2634, 1970. 5) P.V. Chou, On velocity correlations and the solution of the equation of turbulence fluctuation, Q. J. Appl. Math., 3, pp. 38-54, 1945. 6) C. Donaldson, R.D. Sullivan, H. Rosenbaun, Theoretical study of generation of atmosferic clear air turbulence, AIAA Journal, 10, pp. 162, 1972. 7) S.V. Patankar, D.B. Spalding, Heat and mass transfer in boundary layers, Morgan-Grampian, Londra, 1967. 8) W. Rodi, D.B. Spalding, A two-parameter model of turbulence and its application in free jets, Wrme und Stuffbertragung, B3, pp. 85-95, 1970. 9) R. Hanjali, W.P. Jones, B.E. Launder, Some notes on energy-dissipation model of turbulence, Internal Memorandum, Imperial College of Science and Technology, Londra, 1970. 1) W. Jones, B. Launder, The prediction of laminarisation with two-equation model of turbulence, International Journal of Heat and Mass Transfer, 15, 311--1314, 1972.

  • DINAMICA FLUIDELOR N REGIM TURBULENT 2

    este, n scurt timp extins i pentru zona din vecintatea pereilor (Jones i Launder2)) Utilizarea energiei cintetice turbulente k , pentru determinarea scrii de viteze i a ratei de disipaie turbulent , pentru determinarea scrii de lungimi, confer o mai mare simplitate i robustee modelelor. n prezent, modelele difereniale de tip k sunt cele mai utilizate n aplicaii inginereti, fiind implementate practic n toate programele de calcul pentru rezolvarea ecuaiilor ce descriu o curgere turbulent.

    Mai recent, o serie de lucrri propun o nou cale de abordare a modelrii turbulenei, inspirat de rezultatele obinute prin simulrile numerice directe3). Astfel, se introduc aproximri mai riguroase ale ecuaiilor de transport, bazate pe teoria grupurilor de renormalizare (de exemplu, Yakhot i Orszag4), Yakhot i col.5), Yakhot i Smith6)) sau pe metoda relaxrii eliptice (de exemplu Durbin7)).

    Analiza critic a diverselor modele i evoluia acestora n decursul timpului poate fi urmrit n lucrri de sintez cum ar fi cele ale lui P. Bradshaw8), G. L. Mellor i H.J. Herring9), W.C. Reynolds10), J.L. Lumley11), B. Lakshminarayana12), M. Nallasamy13), W. Rodi14), B.E. Launder15), R.M.C. So i col.16), C.G. Speziale17), K. Hanjali18), V.C. Patel i col.19), D.C. Wilcox20) etc.

    2) W. Jones, B. Launder, The calculation of Low--Reynolds number phenomena with two--equation model of turbulence, International Journal of Heat and Mass Transfer, 16, 1119--1130, 1973. 3) P. Spalart, Direct simulation of a turbulent boundary layer up to 1410Re = , Journal of Fluid

    Mechanics, 187, 61-98, 1988. 4) ) V. Yakhot, S.A. Orzsag, Renormalization group analysis of turbulence I. Basic Theory, Journal Sci. Computing, 1, 1, pp.3, 1986. 5) V. Yakhot, S.A. Orzsag, S. Thangam, T.B. Gaski, C. Speziale, Development of turbulence model for shear flow by double expansion technique, Physics of Fluids A, 4, 7, pp. 1510, 1992. 6) V. Yakhot, L.M. Smith, The renaormalization group the -expansion and derivation of turbulence models, Journal of Sci. Computing, 3, pp. 35, 1992. 7) P. A. Durbin, Near-wall turbulence closure modeling without dumping function, Theor. Comp. Fliud Dynamics, 3, pp. 1-3, 1991; A Reynolds-stress model for near-wall turbulence, Journal of fluid Mech., 249, pp. 465-498, 1993. 8) P. Bradshaw, The understanding and prediction of turbulent flow, Aeronautical Journal, 76, 739, pp.403, 1972 9) G.L. Mellor, H.J. Herring, A survey of the mean turbulent field closure models, AIAA Journal, 11, 5, pp. 590, 1973. 10) W.C. Reynolds, Computation of turbulent flows, Annu. Rew. Fliud Mech, 8, pp. 183, 1976. W.C. Reynolds, Physical and analyttical foundation concepts and new directions in turbulence modeling and simulations, n B.E. Launder, W.C. Reynolds, W. Rodi, Turbulence models and their applications, (vol. II), Eyrolles, Paris, 1984. 11) J.L. Lumley, Computational modeling of turbulent flow, Adv. Appl. Mech., 18, pp.123, 1978. 12) B. Lakshminarayana, Turbulence modeling for complex shear flow, AIAA Journal, 24, 12, pp. 1900, 1986. 13) M. Nallasamy, Turbulence models and their application to prediction of internal flows : a review, Comp. Fluids, 15, 2, pp. 150, 1987. 14) W. Rodi, Examples of turbulence models for incompressible flows, AIAA Journal, 20, 7, pp. 873-879, 1982; Turbulence modelling for incompressible flows-A report on the Euromech 180 Colloquium, Physics Chem. Hydr., 7, 5/6, pp.207, 1986; Recent developments in turbulence moddeling, Proc. 3rd Inmt. Symp. Refined Flow Modeling and Turbulence Measurements, Universal Academy Press, Tokyo, 1988.

  • MODELE DE TURBULEN 3

    La ora actual nu exist un model de turbulen acceptabil pentru orice micare turbulent; toate modelele cunoscute prezint limite care restrng gama domeniului lor de aplicabilitate. Clasificri ale modelelor de turbulen se poat face dup mai multe criterii. Astfel, dup numrul de ecuaii difereniale cu derivate pariale (sau ecuaii de transport) care se ataeaz sistemului de ecuaii Reynolds pentru nchiderea acestuia, ntlnim modele de turbulen cu zero ecuaii difereniale (modele algebrice), modele cu o ecuaie de transport etc. (menionm c modelul Donaldson i Rosenbaun21) cuprinde 12 ecuaii difereniale cu derivate pariale). n prezent, cele mai utilizate modele n aplicaiile practice ale micrilor turbulente sunt modelele algebrice, modelele cu o ecuaie i modelele cu dou ecuaii de transport.

    Dup completitudine, modelele pot fi separate n dou clase: modele incomplete i, respectiv, modele complete de turbulen. Dac modelele complete includ toate elementele necesare pentru a putea fi aplicate ntr-o problem dat (de exemplu, modelele de tip k sau k ), modelele incomplete necesit specificarea, de ctre utilizator a unor mrimi specifice unei aplicaii date (spre exemplu, modelele de tip lungime de amestec).

    Dup invocarea conceptului de vscozitatea aparent exist dou categorii de modele de turbulen: modele care fac apel la ipoteza Boussinesq i, respectiv, modele care nu introduc vscozitatea artificial (second order closure models). n continuare vom prezenta elementele de baz ale modelor de turbulena care sunt cel mai frecvent utilizate n practica inginereasc la ora actual.

    5.1. Conceptul de vscozitate aparent

    15) B.E. Launder, Phenomenological moddeling: present and future, Proc. Winter Turbulence Workshop, n J. Lumley (ed.), Lectures in Physics, 357, pp. 439, 1990. 16) R.M.C. So, Y.G. Lai, H.S. Zhang, Second-order near-wall turbulent closures: a review, AIAA Journal, 29,11, pp. 1819, 1991. 17) C.G. Speziale, Analytical methods for the development of Reynolds-stress closures in turbulence, Annu. Rev. Fluid Mech., 23, 107, 1991. 18) K. Hanjali, Advenced turbulence closure models: a view of current status and future prospects, Int. Journal of Heat and Fluid Flow, 15, 3, pp. 178-203, 1994. 19) V.C. Patel, W. Rodi, G. Scheuerer, A review and evolution of turbulence models for near-wall and law-Reynolds-number flows, AIAA Journal, 23, pp. 1320, 1985. 20) D. C. Wilcox, Reassessment of the scale determining equation for advanced turbulence models, AIAA Journal, 26, 1988; Comparison of two-equation turbulence models for boundary layers with pressure gradient, AIAA Journal, 31, 8, pp. 1414, 1993. 21) D. C. Wilcox, Turbulence Modeling for CFD, DCW Industries, Inc., La Canada, California, 1993.

  • DINAMICA FLUIDELOR N REGIM TURBULENT 4

    Pentru prima dat conceptul de vscozitate turbulent (sau aparent) este introdus de ctre Boussinesq*), n anul 1877. Avnd drept criteriu utilizarea ipotezei Boussinesq, se pun n eviden dou categorii de modele de turbulen: modele de vscozitate aparent (care fac apel la ipoteza Boussinesq) i modele cu ecuaii de transport a tensiunilor Reynolds (care nu introduc conceptul de vscozitate aparent). Dei nu reprezint el nsui un model de turbulen, conceptul de vscozitate aparent este implicit invocat n marea majoritate a modelelor de turbulen de interes practic.

    5.1.1. Ipoteza Boussinesq Pe baza analogiei cu tensiunile de frecare molecular, Boussinesq propune exprimarea tensiunilor aparente (turbulente) n funcie de vitezele medii de deformaie, prin intermediul legii gradientului:

    jii

    j

    j

    itji kx

    U

    x

    Uuu ,3

    2

    +

    = (5.1)

    unde iU sunt componentele vitezei medii, k este energia cinetic turbulent,

    (2.165), iar t este vscozitatea aparent (sau turbulent). Termenul cu energia cinetic turbulent trebuie adiionat pentru ca relaia (5.1) s poat fi aplicat i pentru evaluarea tensiunilor normale

    kx

    Uuu

    i

    itii

    =3

    22 , (5.2)

    a cror sum este dublul energiei cinetice turbulente. S observm c n absena acestui termen urma tensorului Reynolds este nul, pentru c ecuaia de continuitate arat c 0/ = ii xU . Pentru a calcula un termen de pe diagonala tensorului Reynolds cu relaia (5.1), este necesar s fie specificat doar vscozitatea turbulent, t , dei ar prea c este necesar i determinarea energiei cinetice turbulente, k . Deoarece termenii diagonali ai tensorului Reynolds pot fi asimilai unor tensiuni normale n fluid (care acioneaz pe direcia normalei la suprafaa unui volum de control), iar suma lor, k, reprezint un scalar, ntocmai ca i presiunea static, de regul, contribuia termenului cu energia cinetic turbulent n ecuaiile mediate Reynolds este adiionat termenului ce conine gradientul presiunii. Apare astfel, n locul presiunii statice medii, P, o nou necunoscut, kP 3/2+ . Pentru problema stratului limit (Cap. 4), ipoteza Bousssinesq se scrie:

    y

    Uvu t

    = (5.3)

    *) J. Boussinesq, Thorie des coulements tourbillonnaires, CRAS T23, 1887.

  • MODELE DE TURBULEN 5

    Spre deosebire de vscozitatea molecular, , vscozitatea aparent nu este o proprietate fizic a fluidului. Aceasta variaz de la punct la punct, depinznd turbulena local din fluid. Relaia (5.1) nu rezolv problema determinrii tensiunilor Reynolds, dar stabilete un cadru general de modelare a acestora prin intermediul unei singure mrimi scalare, i anume, coeficientul t .

    Relaia (5.1) implic o distribuie izotrop a vscozitii aparente, deoarece aceeai mrime scalar, t , caracterizeaz toate componentele tensorului Reynolds. Aceast ipotez nu poate fi acceptat pentru curgeri turbulente complexe, pentru care ar trebui introdus cte o vscozitate turbulent caracteristic fiecrei direcii spaiale.

    Observaii. Ipoteza Boussinesq fiind formulat pe baza unei analogii dintre micarea Brownian i micarea turbulent, vom prezenta, un model simplificat*) al transferului de impuls datorat agitaiei moleculare (fig. 5.1). Astfel, s considerm o micare de forfecare pur avnd viteza macroscopic definit de:

    )(yUU = . (5.4)

    Dei la scar macroscopic fluidul este n micare n direcia spaial x , la scar molecular moleculele de fluid sunt ntr-o micare aleatoare (haotic) numit agitaie molecular (sau micare Brownian). n teoria cinetico-molecular, moleculele de fluid sunt modelate ca nite sfere identice care schimb impuls i energie prin ciocniri perfect elastice. Distana medie ntre dou ciocniri succesive, pml , poart denumirea de

    liber parcurs molecular. Dac notm cu u , v i w componentele vitezei de agitaie molecular atunci viteza instantanee a unei molecule va fi ( uU + , v , w ).

    Lund ca referin planul 0=y ,

    fluxul instantaneu de impuls n direcia x, ixyfd , a curgerii va fi:

    svuUf ixy d)(d += , (5.5)

    unde sd este elementul de suprafa n planul considerat. Mediind statistic relaia de mai sus se obine:

    svuF ixy dd = , (5.6)

    *) J. Jeans, An introduction to the kinetic theory of gases, Cambridge University Press, Londra, 1940; H. Tennekes, J.L. Lumley, A first course in turbulence, MIT Press, 1972; D. C. Wilcox, Turbulence Modeling for CFD, DCW Industries, Inc., La Canada, California, 1993.

    Fig. 5.1 Schema agitaiei moleculare

  • DINAMICA FLUIDELOR N REGIM TURBULENT 6

    iar tensiunea local corespunztoare sF ixyxy d/d= . Deoarece n dinamica

    fluidelor exist convenia jijiji p ,,, = pentru ca presiunea static s fie

    pozitiv, tensiune tangenial va fi:

    vuxy = . (5.7)

    Sa remarcm c, dac vitezele de agitaie molecular u i v sunt nlocuite cu fluctuaiile u i v membrul drept al relaiei de mai sus, devine identic cu

    tensiunea turbulent, vutxy = . Aceast observaie st la baza ipotezei

    Boussinesq. S estimm acum fluxul de impuls prin suprafaa 0=y utiliznd modelarea specific teoriei cinetico-moleculare. n medie, o molecul care vine de la pmly = , (fig. 5.1) se ciocnete cu o molecul (identic) aflat n planul 0=y .

    Dac vom considera c, n urma ciocnirii (perfect elastice), molecula de mas m, care vine din partea inferioar i adapteaz impulsul la condiiile din planul considerat, atunci aceasta trebuie s primeasc un impuls egal cu:

    [ ])()0(1 pmxy lUUmI = , (5.8)Aceeai cantitate xyI1 va reprezenta i impulsul pierdut de noul mediu al

    moleculei (planul 0=y ) la o ciocnire, deoarece molecula care provine din partea inferioar are un deficit de impuls n raport cu impulsul mediu de la 0=y . Deoarece n teoria cinetico-molecular moleculele au o micare haotic, dar nu exist nici o direcie spaial favorizat (deplasarea se face cu aceeai probabilitate pe toate direciile spaiale), este justificat s presupunem c, simultan cu molecula care vine din partea inferioar a planului considerat, sosete i o molecul din partea superioar a acestuia. Urmnd acelai raionament, schimbul de impuls n urma ciocnirii moleculei ce vine de la pmly = , va fi:

    [ ])0()(1 UlUmI pmxy = + . (5.9)n consecin, schimbul total de impuls la o ciocnire va fi:

    [ ])()(111 pmpmxyxyxy lUlUmIII +=+= + (5.10)Dezvoltnd )( pmlU i )( pmlU n serie Taylor, se obine:

    +

    +

    === 0

    2

    22

    0

    1 2y

    pm

    y

    pmxy y

    Ulm

    y

    UlmI . (5.11)

    Dac:

    2

    2

    2

    1

    y

    Ul

    y

    Upm

    >>

    , (5.12)

    atunci seria (5.11) poate fi trunchiat la primul termen i rezult:

  • MODELE DE TURBULEN 7

    y

    UmlI pmxy

    = 21 . (5.13)

    Definind o scar de lungimi, n direcia transversal, pentru viteza medie, )(yU prin:

    22 /

    /

    yU

    yULy

    = , (5.14)

    atunci restricia (5.12) se va scrie:

    pmy lL 2

    1>> . (5.15)

    care reprezint o condiie impus unei scri de lungimi yL a micrii medii.

    Aceast condiie este satisfcut n majoritatea aplicaiilor practice, deoarece liberul parcurs molecular este cu cteva ordine de mrime mai mic dect scara vitezelor medii, iar ipoteza mediului continuu prevede c:

    1Kn

  • DINAMICA FLUIDELOR N REGIM TURBULENT 8

    y

    UNmlvI

    Nv pmxyxy

    == 12

    , (5.18)

    unde este un coeficient de proporionalitate care are ordinul de mrime al unitii. De exemplu, pentru aer n condiii normale de temperatur i presiune,

    3/2= . Deoarece, prin definiie, densitatea fluidului este:

    Nm= , (5.19)

    relaia (5.18) se scrie:

    y

    Ulv pmxy

    = . (5.20)

    Pe de alt parte, n mecanica mediilor continue, pentru micarea de forfecare pur considerat:

    y

    Uxy

    = . (5.21)

    Comparnd (5.20) i (5.21) rezult:

    pmlv= , (5.22)

    relaie care pune n eviden c vscozitatea molecular este proporionala cu produsul dintre o scrile de viteze i de lungimi ale agitaie moleculare. S remarcm c relaia de mai sus se poate pune sub forma:

    ,= pmlv (5.23)

    care arat c un numr Reynolds cu viteza de agitaie molecular i cu liberul parcurs molecular are ordinul de mrime al unitii (am menionat anterior c

    1 ). Ipoteza Boussinescq (5.1) sau (5.3) se bazeaz pe analogia dintre

    transportul de impuls prin fluctuaiile turbulente i, respectiv, prin agitaie molecular. Astfel, ntr-o curgere turbulent domeniul fluid este imaginat ca o aglomerare de structuri (vrtejuri) care, la fel ca moleculele n teoria cinetico-molecular a gazelor, schimb impuls prin ciocniri elastice. Trebuie remarcat faptul c aceast analogie nu este justificat; agitaia molecular este independent de micare i subzist ntr-un fluid n repaus, pe cnd fluctuaiile turbulente sunt intrinsec legate de micare. n plus, dup cum arat printre alii Corsin****), Bradshaw*****) i Rodi******), vrtejurile nu sunt structuri rigide care i pstreaz

    ****) S. Corrsin, Some current problems in turbulent shear flow, n Naval Hydrodynamics, Cap. IX, Publication 515, National Academy of Science National Research Concil, 1957. *****) P. Bradshaw, The use of transport equation for Reynolds stresses, Proceedings Boeing Symposyum on Turbulence, Seatle, 1969.

  • MODELE DE TURBULEN 9

    identitatea (ele se deformeaz continuu), iar scara de lungimi (a structurilor energetice care sunt responsabile cu transferul de impuls) nu este mic n comparaie cu o dimensiune caracteristic domeniului fluid, aa cum este liberul parcurs molecular. De asemenea, din punct de vedere energetic, exist deosebiri fundamentale ntre agitaia molecular i turbulen. Dac n teoria cinetico-molecular, ipoteza ciocnirilor perfect elastice conduce la invariana energiei totale a moleculelor, o micare turbulent are nevoie de un aport continuu de energie pentru a se ntreine. Sursa care alimenteaz energetic micarea fluctuant este tocmai viteza medie de forfecare yU / . Mai mult, rata extragerii energiei din micarea medie nu este uniform; am artat c structurile de talie mare au contribuie ntr-o msur esenial la schimbul energetic, iar aportul structurilor de dimensiuni mici este n mare msur neglijabil. Dup cum arat Townsend*) i Bakewell i Lumley**), chiar i pentru structurile de aceeai talie, mrimea sursei de energie va depinde de orientarea spaial a acestora.

    Cu toate acestea, conceptul de vscozitate artificial este intensiv utilizat, pentru simplu motiv c vscozitatea turbulent poate calculat fi relativ simplu, iar rezultatele obinute sunt n bun concordan cu datele experimentale pentru foarte multe aplicaii de interes practic. Exist totui situaii, unele fiind curgeri extrem de simple, cnd ipoteza Boussinesq i pierde validitatea. De exemplu pentru curgeri n canale bidimensionale cnd cei doi perei au rugoziti diferite, pentru jeturile n turbulente n vecintatea unui perete etc., n relaia (5.3) tensiunea turbulent

    vu i gradientul vitezei yU / au semne diferite, ceea ce impune o

    vscozitate aparent negativ. Dac din punct de vedere matematic aceasta este posibil, din punct de vedere fizic este mai greu de acceptat.

    5.1.2. Lungimea de amestec. Ipoteza Prandtl-Kolmogorov Dei o analiz riguroas a dinamicii structurilor turbulente se poate face prin metode statistice (Cap.3), pentru o nelegere mai bun i mai intuitiv a conceptului de lungime de amestec se va prezenta n continuare un model simplificat al micrii turbulente bazat pe analiza micrii aleatoare a unei particule de fluid, care, la scar macroscopic, este perceput ca un punct n micare****) S presupunem c o particul de fluid, se afl, la momentul de timp 0=t la 0=y , avnd componenta vitezei instantanee )0,0(u , ca n fig. 5.2. Dac admitem c particula nu pierde impuls pe drum, cnd particula trece la momentul

    ******) W. Rodi, Turbulence models and their applications in hydraulics, Technical report, 2--nd Edn. International Association for Hydraulic Research--Publication, Delft, 1984. *) A.A. Townsend, The strucure of turbulent shear flow, Cambridge University Press, Londra, 1958. **) H. P. Bakewell, J. L. Lumley, Viscous sublayer and adjacent wall region in turbulent pipe flow, Physics of Fluids, 10, pp. 1880, 1967. ****) H. Tennekes, J.L. Lumley, A first course in turbulence, MIT Press, 1972.

  • DINAMICA FLUIDELOR N REGIM TURBULENT 10

    Fig. 5.2. Transportul impulsului n

    micarea turbulent

    de timp t printr-un punct arbitrar n y deficitul de impuls, n direcia x, al acesteia va fi:

    )0,0(),( utyuix = . (5.24)

    Descompunnd viteza instantanee n suma dintre o valoare medie staionar (micare de forfecare) i o fluctuaie aleatoare (variabil n timp i spaiu):

    ),()(),( tyuyUtyu += , )0,0()0()0,0( uUu += , (5.25)

    variaia impulsului (5.24) se va scrie:

    [ ] [ ])0,0(),()0()( utyuUyUix += . (5.26)Dac se va neglija contribuia fluctuaiilor turbulente, se obine:

    [ ])0()( UyUix = . (5.27)Deoarece:

    +++= 22

    2

    d

    d

    2

    1

    d

    d)0()( y

    y

    Uy

    y

    UUyU , (5.28)

    reinnd doar termenul cu derivata de ordinul nti, relaia (5.27) devine:

    y

    Uyix d

    d= . (5.29)

    Fluxul mediu de impuls pe unitatea de timp i suprafa, prin planul 0=y , txy , se va obine nmulind impulsul xi cu viteza medie de transport n lungul

    axei y, tyv d/d= :

    y

    U

    t

    y

    y

    U

    t

    yytxy d

    d

    d

    d

    2d

    d

    d

    d 2== (5.30)

    unde s-a notat cu y distana medie parcurs de particula de fluid n direcia y pe unitatea de timp, iar derivata td/d va fi evaluat la 0=y . De notat c:

  • MODELE DE TURBULEN 11

    vyt

    yy

    t

    y2

    d

    d2

    d

    d 2== . (5.31)

    Deoarece s-a admis anterior ipoteza c particula de fluid nu pierde impuls n mod continuu, atunci componenta v este constant i aceeai pentru toate particulele. n

    consecin corelaia vy crete proporional cu distana y, ceea ce nu corespunde realitii. ntr-o curgere turbulent toate mrimile au caracteristicile unor variabile aleatoare, iar corelaiile dispar odat cu creterea distanei dintre puncte. Apare deci necesar s presupunem c v i y rmn corelate pn la o anumit distan de ordinul de mrime a unei scri de lungime al (fig.5.2), iar:

    alvvy (5.32)

    unde v este o scar de viteze (n direcia y) a fluctuaiilor turbulente. Scara de disipare a impulsului, introdus pentru prima dat de ctre L.

    Prandtl*), care poart numele de lungime de amestec, reprezint un concept pe care se bazeaz multe modele practice de turbulen, dei aproximaia (5.27) nu respect principiul conservrii impulsului pentru particula de fluid n micare. Introducnd (5.32) n (5.30) se obine:

    y

    UlvC a

    txy d

    d= , (5.33)

    n care C este o constant numeric necunoscut. Prin analogie cu relaia (5.21), se introduce vscozitatea turbulent, t , definit de:

    y

    Ut

    txy d

    d= . (5.34)

    Din relaiile (5.33) i (5.34) rezult:

    at lvC = . (5.35)

    Aceast relaie similar cu definiia vscozitii moleculare din teoria cinetico-molecular (5.22) care arat c vscozitatea turbulent este proporional cu produsul dintre o vitez caracteristic fluctuaiilor vitezei i o lungime caracteristic structurilor turbulente, poart numele de ipoteza Prandtl**)Kolmogorov***). *) L. Prandtl, Berich ber Untersuchungen zur susgebildeten Turbulenz, Zeitschr. fr Angev. Math. u. Mech., 5, 136, 1925. **) L. Prandtl, ein Formelsystem fr die ausgebildete Turbulentz, Nachrichten der Akademie der Wissenschaften Gttingen, Math. Phys. Klasse, pp. 6, 1945. ***) A. N. Kolmogorov, Equation of turbulent motion of an incompressible fluid, Izv. Akad. Nauk, SSR, Seria VI, No. 1-2, pp. 56-58, 1942, Imperial College, Mech. Eng. Dept. Rept. ON/6, 1968.

  • DINAMICA FLUIDELOR N REGIM TURBULENT 12

    Prezentm n continuare cteva observaii asupra validitii i aplicabilitii conceptului de lungime de amestec.

    1. Relaia (5.33) nu respect principiul conservrii impulsului deoarece n expresia (5.27) pentru calculul variaiei impulsului s-a neglijat impulsul fluctuaiilor vitezei care apare n (5.26). Dac s-ar menine i contribuia fluctuaiilor vitezei longitudinale, atunci n relaia (5.33) ar trebui adiionat un

    termen de forma vu , unde v reprezint fluctuaia n direcia transversal y,

    )0,0(),( utyuu = , iar notaia barat semnific medierea peste un numr mare

    de puncte n micare. S remarcm faptul c, dac pentru aly > , (5.36)

    n care y are ordinul de mrime al lungimii de amestec al . Dac se introduce o scar de lungimi pentru micarea medie n direcia transversal y prin*):

    2

    2

    d

    d

    d

    d

    y

    U

    y

    ULy = , (5.37)

    atunci relaia (5.36) se poate scrie n forma:

    ay lL 2

    1>> . (5.38)

    Evidena experimental arat ns c structurile turbulente de talie mare au scrile de lungime comparabile cu dimensiunea caracteristic a curgerii n direcie transversal la perete (grosime stratului limit, de exemplu). Prin urmare al i yL

    au acelai orin de mrime, iar numrul Knudsen turbulent 1/Kn = ya Ll . n

    consecin, trunchierea seriei Taylor (5.28) nu este justificat, iar modelul (5.33) nu ar trebui utilizat pentru micri turbulente. Se probeaz nc o dat observaia din Cap.1 cum c turbulena nu constituie o proprietate simpl a fluidului, fiind o proprietate a micrii.

    3. S remarcm faptul c ipoteza Prandtl-Kolmogorov este n acord cu ipotezele stratului limit. Astfel, s-a artat c n stratul limit turbulent tensiunile aparente au acelai ordin de mrime, de exemplu:

    *) Th. von Karman, Mechanishe Ahnlichkeit und Turbulentz, Nachrichten der Akademie der Wissenschaften Gttingen, Math. Phys. Klasse, pp. 58, 1930.

  • MODELE DE TURBULEN 13

    2uvuxy =

    , (5.39)

    n care u este o vitez caracteristic structurilor turbulente. Considernd vu i nlocuind (5.36) n expresia (5.33) se regsete relaia (4.14):

    y

    U

    l

    u

    a

    , (5.40)

    care constituie ipoteza stratului limit conform creia, timpul caracteristic turbulenei este impus de viteza de forfecare medie.

    4. Dac, cu toate criticele menionate mai sus, se accept conceptul de lungime de amestec i, dac se cunosc, n orice punct al domeniului fluid, scara de viteze v i lungimea caracteristic al , atunci, pe baza relaiei (5.35) se poate estima vscozitatea turbulent. iar ulterior, se poate calcula tensiunea turbulent txy (5.33). n acest mod s-ar obine nchiderea sistemul de ecuaii al stratului limit

    (4.46), care poate fi soluionat pentru determinarea cmpului de viteze medii. Din nefericire, v i al nu sunt a priori cunoscute, fiind proprieti ale

    micrii i nu ale fluidului aa cum aprea n cazul vscozitii moleculare, (5.22). Deoarece att scara de viteze ct i cea de lungimi variaz de la punct la punct, vscozitatea turbulent va depinde de punct, ceea ce complic extrem de mult problema determinrii tensiunilor turbulente. n consecin, uzual, relaia (5.35) este utilizat n aplicaii n care, att scara de viteze ct i lungimea de amestec pot fi considerate, fie constante, fie variabile dup legi simple n funcie de geometrie. Pentru c ntr-o curgere turbulent, spectrul scrilor de lungime i de viteze este continuu, n general, conceptul de lungime de amestec este nsoit de ipoteza c doar structurile de talie mare au contribuii semnificative n transferul de impuls.

    5.2. Modele algebrice de turbulen

    Modelele algebrice sunt cele mai simple modele turbulen. Aceste modele utilizeaz ipoteza Boussinesq (5.1) pentru a exprima tensiunile Reynolds ca produsul dintre vscozitatea aparent i tensorul vitezelor de deformaii medii. n general, vscozitatea aparent este exprimat n funcie de o lungime de amestec care este dedus prin analogie cu liberul parcurs molecular al unui gaz. Deoarece vscozitatea aparent i lungimea de amestec depind de micarea particular considerat, ele trebuie cunoscute a priori, ceea ce face ca modelele algebrice s fie considerate modele incomplete. Domeniul lor de aplicabilitate este limitat, la micri n straturi subiri fr gradient de presiune sau cu gradieni de presiune moderai (favorabili sau adveri, dar fr separare). n general, modelele algebrice presupun turbulena n echilibru local, adic o situaie n care producia de energie

  • DINAMICA FLUIDELOR N REGIM TURBULENT 14

    cinetic turbulent echilibreaz disipaia acesteia, existnd totui variante n care se renun la aceast ipotez (de exemplu, modelul Johnson-King).

    5.2.1. Modelul lungimii de amestec Prandtl

    n cazul unui strat limit bidimensional, pe baza analogiei cu modelul agitaiei moleculare din teoria cinetico-molecular a gazelor, Prandtl*) n anul 1925 consider vscozitatea aparent de forma (5.35), sau:

    t

    lClvC aat

    2

    == , (5.41)

    n care scara de timp t este impus de viteza de forfecare:

    y

    U

    t

    1

    . (5.42)

    Substituind (5.42) n (5.41) se obine:

    y

    Ulat

    = 2 , (5.43)

    constanta C fiind inclus n lungimea de amestec al . n relaia de mai sus a fost introdus modulul, pentru ca aceasta s rmn valabil i pentru curgeri de forfecare n care viteza medie de forfecare poate fi negativ (de exemplu, curgeri de forfecare ntre doi perei).

    Pentru stratul limit tridimensional sau pentru micarea n straturi subiri, o relaie mai general este:

    222

    +

    =y

    W

    y

    Ulat . (5.44)

    Aceste formulri rmn incomplete pentru c modelul lui Prandtl, nlocuiete problema determinrii vscozitii turbulente cu problema determinrii lungimii de amestec.

    Modelul lungimii de amestec a fost i, nc este aplicat, cu succes la curgeri relativ simple, deoarece n aceste situaii lungimea de amestec poate fi specificat printr-o singur formul empiric. De exemplu, n curgerile de forfecare libere, lungimea de amestec al poate fi considerat constant i proporional cu

    grosimea local a stratului de forfecare:

    =Cla (5.45)

    *) L. Prandtl, Berich ber Untersuchungen zur susgebildeten Turbulenz, Zeitschr. fr Angev. Math. u. Mech., 5, 136, 1925.

  • MODELE DE TURBULEN 15

    Constanta de proporionalitate C depinde de tipul de curgere considerat. De exemplu, pentru un strat liber de forfecare (bidimensional plan) 7,0=C , iar pentru dra plan 16,0=C . Pentru jeturi n mediu imobil, 9,0=C dac micarea este plan i 075,0=C dac micarea este axial-simetric.

    Pentru curgerea n stratul limit, L. Prandtl face ipoteza c lungimea de amestec, al , este proporional cu distana la perete, y. Aceast nou ipotez se dovedete a fi bine verificat doar pe o zon limitat a stratului limit turbulent, i anume zona inerial. ntr-adevr, n zona inerial, profilul de viteze medii satisface legea logaritmic (4.302):

    Cyu

    U+

    = +

    ln1

    , (5.46)

    n care = /wu este viteza de frecare, =0,41 este constanta lui Karman, C

    este o constant universal, 25,5C , iar lungimea vscoas +y este definit de:

    = +

    yuy . (5.47)

    Din relaiile (5.46) i (5.47) se obine:

    yu

    u

    yu

    y

    U

    =

    =

    +11

    , (5.48)

    iar din (5.43) rezult:

    yulat

    = 12. (5.49)

    n consecin, conform modelului lungimii de amestec, tensiunea turbulent n zona inerial este:

    2

    2 1

    =

    = yul

    y

    Uvu at . (5.50)

    Pe de alt parte, dup cum s-a artat n 4.4, n zona inerial a stratului limit, tensiunile vscoase sunt neglijabile n raport cu cele turbulente i:

    2= uvu w . (5.51)

    nlocuind (5.51) n (5.50), rezult:

    yla = . (5.52)

  • DINAMICA FLUIDELOR N REGIM TURBULENT 16

    Fig. 5.3 Lungimea de amestec pentru

    curgeri n vecintatea pereilor.

    Relaia (5.52) nu este aplicabil pe ntreaga grosime a stratului limit, ci doar n zona inerial. Pentru valori mari ale distanei la perete, y, relaia (5.52) nu mai este aplicabil i cea mai simpl alternativ este impunerea unei valori maxime admisibile pentru al . ntr-o serie de lucrri, cum ar fi cele ale lui S.V. Patankar i D.B. Spalding***), T. Cebeci i A.M.O. Smith****), M.E. Crawford i W.M. Kays*****) se propune exprimarea lungimii de amestec sub forma unei funcii pant, ca n fig. 5.3:

    >

    =

    ./pentru ,

    ;/pentru ,

    yy

    yyla (5.53)

    Pe baza comparaiei cu datele experimentale ntr-un numr mare de cazuri test n curgerile plane n vecintatea pereilor (inclusiv curgerile n care profilul de viteze medii admite un maxim, ca n cazul jeturilor), S.V. Patankar i D.B. Spalding propun alegerea valorilor 09,0= i, respectiv, 435,0= (pentru constanta lui Karman).

    O alt alternativ de a controla valoarea maxim a lungimii de amestec este propus de von Karman******) printr-o relaie similar cu (5.37), n care dependena de distana la perete este nlocuit cu o exprimare n funcie de profilul de viteze medii:

    22 /

    /

    yU

    yUla

    = . (5.54)

    Evident aceast formulare este limitat la curgeri n care profilul de viteze nu prezint puncte de inflexiune i, n consecin, nu poate fi aplicat n cazul jeturilor, n cel al drelor i nici chiar n cel al stratului limit cu gradient advers de presiune.

    Pentru curgeri turbulente dezvoltate ntre perei (conducte, canale plane) o estimare a lungimii de amestec se poate face cu formula lui Nikuradze*):

    ***) S.V. Patankar, D. B. Spalding, Heat and mass transfer in boundary layers, Intertext, Londra, 1970. ****) T. Cebeci, A.M.O. Smith, Analysis of Turbulent Boundary Layer, Academic Press, New--York, San--Francisco, London, 1974. *****) M.E. Crawford, W.M. Kays, STAN-S A program for numerical computattion of two-dimensional internal/external boundary layer flow, Stanford University, Dep. Mech. Eng., Rep. HMT-23,1975. ******) Th. von Karman, Mechanishe Ahnlichkeit und Turbulentz, Nachrichten der Akademie der Wissenschaften Gttingen, Math. Phys. Klasse, pp. 58, 1930.

  • MODELE DE TURBULEN 17

    42

    106,0108,014,0

    =R

    y

    R

    y

    R

    la , (5.55)

    n care R este raza conductei sau jumtate din nlimea canalului plan (in cazul curgerii n canale plane) sau, nc nlime canalului (pentru curgeri cu suprafa liber).

    5.2.2. Extensii ale modelul lungimii de amestec Prandtl

    Eforturi considerabile au fost fcute pentru a gsi reprezentri ale lungimii

    de amestec pe ntreaga grosime a stratului limit (istoricul acestora poate fi urmrit n monografiile publicate de H. Schlichting*) sau J. Hinze**)). Vom prezenta, n continuare, cteva dintre variantele cele mai utile, din punct de vedere aplicativ, ale modelului lungimii de amestec Prandtl.

    Modelul Van Driest. Pentru a extinde aplicabilitatea modelului lungimii de amestec i n substratul vscos, n anul 1956 E. Van Driest***), propune ca lungimea de amestec (5.52) s fie afectat de o funcie de amortizare, lf :

    yfl la = (5.56)Funcia de amortizare trebuie s satisfac condiiile:

    0,0 + lfy , (5.57a)

    1, + lfy , (5.57b)

    unde +y este definit de relaia (5.47). Pe baza unor consideraii teoretice, dar n special dup analiza rezultatelor experimentale, Van Driest propune:

    )1(,1 A/A/++++

    == yay

    l eylef , (5.58)

    unde 26A =+ este o constant empiric. Pentru 0y , dezvoltarea n serie Taylor corespunztoare expresiei (5.58)

    se scrie:

    +

    =

    +

    =

    += ++ 22

    2

    2

    1

    2

    1y

    uyuyuyyyyla , (5.59)

    i:

    *) H. Schlichting, Boundary Layer Theory, Springer, Berlin, 1968, H. Schlichting, Boundary Layer Theory, Springer, Berlin, 1979. **) J. Hinze, Turbulence, an Introduction to its Mechanics and Theory, Mc Graw Hill Co, New York, 1975. ***)E. Van Driest, On turbulent flow near a wall, Journal of Aeronautical Sciences, 23, 1007-1011, 1956.

  • DINAMICA FLUIDELOR N REGIM TURBULENT 18

    2

    0

    2

    2

    +

    =

    =

    =

    y

    aty

    Uy

    u

    y

    Ul

    y

    Uvu . (5.60)

    Deoarece n substratul vscos profilul de viteze medii este dat de relaia (4.292):

    ++ = yu , (5.61)

    se obine:

    1=y

    U, (5.62)

    i deci, pe baza relaiilor (5.60) i (5.61), pentru 0y , formula Van Driest prezice o comportare asimptotic de forma:

    4yvu . (5.63)

    Aceast dependen este n concordan cu rezultatele obinute de Hinze**), dei, la ora actual, pe baza datelor experimentale, cei mai muli autori consider c, n vecintatea peretelui, are loc o comportare asimptotic de forma:

    3yvu (5.64)

    Formula Van Driest permite obinerea unei reprezentari a profilului de viteze medii n zona intern a stratului limit. Astfel, se cunoate c, n zona intern, tensiunea din fluid este aproximativ constant i egal cu tensiunea la perete:

    wvu = , (5.65)

    sau, cu ipoteza Boussinesq:

    ( ) wt yU

    =

    + . (5.66)

    Exprimnd vscozitatea turbulent n funcie de lungimea de amestec se obine:

    wa y

    U

    y

    Ul =

    + 2 . (5.67)

    n variabilele adimensionale + = uUu / , =

    + /yuy , n care = /wu relaia

    (5.67) se scrie:

    1122 =

    + +

    +

    +

    +

    y

    u

    y

    uula . (5.68)

    Lund lungimea de amestec dat de formula Van Driest (5.58) se obine relaia:

    ( ) ( )2/2222/2222 11 ++++ + =

    =

    AyAya ey

    uey

    ul , (5.69)

  • MODELE DE TURBULEN 19

    care, nlocuit n (5.68) rezult:

    ( ) 0112

    2/22 =

    +

    ++

    +

    ++ ++

    y

    u

    y

    uey Ay . (5.70)

    Soluionnd ecuaia de mai sus, se obine:

    ( )( )2/22

    2/22

    12

    1411++

    ++

    +

    +

    +

    +

    +=

    Ay

    Ay

    ey

    ey

    y

    u. (5.71)

    Deoarece n stratul limit 0/ ++ yu , se va alege semnul plus n faa radicalului i rezult:

    ( )2/22 14112

    ++++

    +

    ++=

    Ayeyy

    u. (5.72)

    Integrnd aceast ecuaie i, avnd n vedere condiia la limit 0=+u pentru

    0=+y , se obine formularea legii la perete (4.318) propus de Van Driest*):

    ( )+

    +++

    ++

    ++=

    y

    Ayey

    yu

    02

    /22 1411

    d2. (5.73)

    Modelul Clauser. Dup cum am subliniat n finalul 5.2.1, n zona extern a stratului limit trebuie impus o valoare constant a lungimii de amestec. Deoarece n aceast zon i gradientul vitezei medii nu are variaii semnificative, apare posibilitatea de a presupune c nsi vscozitatea turbulent este constant. Pe baza acestor considerente precum i a datelor experimentale, F. Clauser**), ajunge la concluzia c, n zona extern, vscozitatea aparent constant, 0t , poate fi calculat cu relaia:

    *0 et U= , (5.73)

    unde )(xU e viteza la frontiera stratului limit, 56/1= este o constant empiric,

    iar * este grosimea de deplasare a stratului limit incompresibil:

    =

    )(

    0

    * d1 yU

    u

    e

    . (5.74)

    Modelul Klebanoff. S. Corrsin i A. Kistler*), precum i P. Klebanoff**), n urma a numeroase cercetri experimentale arat c, n zona extern, spre frontiera

    *) E.R. Van Driest, On turbulent flow near a wall, Jour. Aero. Sci., 23,1007, 1956. **) F. Clauser, The Turbulent Boundary Layer, Academic Press, 1956. *) S. Corrsin, A. Kistler, The free--stream boundaries of turbulent flow, Technical Report NACA TN 3133, National Advisory Committee for Aeronautics, 1954. **) P. Klebanoff, Characteristics of turbulence of a boundary layer with zero pressure gradient, Technical Report NACA TN 3178, 1954.

  • DINAMICA FLUIDELOR N REGIM TURBULENT 20

    stratului limit, curgerea nu este n permanen turbulent. Intervale scurte de timp n care micarea are caracteristici laminare se succed cu intervale la fel de scurte n care micarea este turbulent. Aceast comportare poart numele de intermiten. n consecin, relaia (5.73), conduce la o valoare supraestimat a vscozitii aparente 0t . Corecia propus de Klebanoff const n introducerea unui factor de

    intermiten, KlebF : 1

    6Kleb )/(

    5,51),(

    +=

    yyF , (5.75)

    unde este grosimea stratului limit, iar formula (5.73) se nlocuiete cu:

    ),(Kleb*

    0 yFUet = . (5.76)

    Funcia KlebF poart numele de funcia lui Klebanoff i reprezint o msur a intermitenei micrii n zona extern a stratului limit. S remarcm faptul c, introducerea funciei Klebanoff face ca, n zona extern, vscozitatea aparent s nu mai pstreze o valoare constant.

    Modelul Michel***) este similar modelului Van Driest:

    y

    Ut

    t

    = , 2at l = ()

    const n modificarea funciei de amortizare propus de Van Driest, (5.58), prin nlocuirea tensiunii de frecare la perete, w , cu tensiunea local :

    2

    2

    +

    =y

    Ul

    y

    ua , (5.77)

    iar

    =26

    exp1y

    f l,

    (5.76)

    n care este tensiunea total local: . (5.77)

    modelul Reichardt****):

    7,10,tanh =

    = ++

    +++

    ee

    et

    yy (5.78)

    modelul Dnil*****):

    ***) J. Cousteix, Aerodynamique en fluide visqueux. Turbulence et couche limite, ENSAE, Toulouse, France, 1988. ****) H. Elrod, C. Pan, A theory for turbulent fluid film and its application to bearing, ASME Journal of Fluid Engineering, 104, 381--391, 1967.

  • MODELE DE TURBULEN 21

    y

    Uyy tt

    +=

    = )(,

    Aexp1 (5.79)

    unde A o constant empiric, A=38,2. Modelul Cebeci-Smith. Modelul Cebeci-Smith*), face parte din categoria modelelor numite cu dou straturi, pentru c stratul limit este divizat n dou zone (intern i, respectiv, extern) n care vscozitatea aparent, t este estimat prin legi distincte:

    =

    extern, zonapentru,

    ;intern zonapentru,

    0 mt

    mtit yy

    yy (5.80)

    unde my este cea mai mic valoare a distanei la perete pentru care 0tti = . Pentru substratul intern, se generalizeaz modelul lungimii de amestec Prandtl:

    2/122

    2

    +

    =x

    V

    y

    Ulati , (5.81)

    iar lungimea de amestec al este estimat prin funcia Van Driest:

    ( )A/1 += ya eyl (5.82)unde 26A = pentru curgerea fr gradient de presiune. Pentru includerea efectului gradientului de presiune, se propune:

    4,0,d

    d126A

    2/1

    2=

    +=

    x

    P

    u

    y (5.83)

    n zona extern:

    ),(Kleb*

    0 = yFU vet (5.84)

    unde ),(Kleb yF este funcia lui Klebanoff (5.75), )(xUe este viteza la frontiera

    stratului limit, constanta empiric =0,0168, iar *v reprezint grosimea de vitez a stratului limit:

    yU

    U

    ev d1

    )(

    0

    **

    == , (5.85)

    care este identic cu grosimea de deplasare a stratului limit (n fluidul incompresibil).

    Se poate estima, n prim aproximaie, punctul de racordare ntre zona intern i cea extern. Astfel, ne ateptm ca punctul de racordare s fie n zona

    *****) V. Lucas, S.Dnil, O.Bonneeau, J.Frene, Roughness influence on turbulent flow trough annular seals, ASME Journal of Tribology, 116, 321--329, 1994. *) T. Cebeci, A. Smith, Analysis of Turbulent Boundary Layer, Academic Press, New--York, San--Francisco, London, 1974.

  • DINAMICA FLUIDELOR N REGIM TURBULENT 22

    logaritmic, unde funcia de amortizare Van Driest poate fi considerat de ordinul unitii i putem aproxima:

    +

    ==

    yyuy

    uyti22

    . (5.86)

    n acelai timp, punctul de racordare va aparine i zonei externe, dar destul de aproape de perete pentru a accepta 1/

  • MODELE DE TURBULEN 23

    Modelul Baldwin-Lomax. Baldwin i Lomax*), formuleaz un model care prezint avantajul c poate fi aplicat i n cazul n care o serie de proprieti ale stratului

    limit, cum ar fi grosimea sau grosimea de vitez *v sunt dificil de estimat. Astfel de situaii apar pentru curgerile cu separare i, n special n micrile n prezena undelor de oc. Ca i modelul Cebeci-Smith, modelul Baldwin i Lomax este un model cu dou straturi: n substratul intern:

    = 2ati l , (5.92)

    unde:

    = +

    +

    )exp(1A

    yyla , (5.93)

    iar este modulul rotorului vitezei medii:

    +

    +

    =222

    x

    W

    z

    U

    z

    V

    y

    W

    y

    U

    x

    V (5.94)

    n substratul extern:

    )C,(

    Kleb

    maxKlebwake0

    yyFFCcpt = , (5.95)

    unde:

    =

    max

    2max

    maxmaxwake ,min F

    UyCFyF difwk , (5.96a)

    ( )

    = ay

    lF max1

    max , (5.96b)

    iar maxy este distana fa de perete unde produsul al atinge valoarea maxim.

    Celelalte mrimi reprezint constante empirice ale modelului

    1,3,0,6,1,26A,0168,0,4,0 Kleb ======+

    wkcp CCC , (5.97)

    iar difU este viteza la frontier (pentru problema stratului limit), sau diferena

    dintre viteza maxim i valoarea vitezei U la maxyy = (pentru micrile de forfecare libere). Modelul Johnson-King. Modelul Johnson-King**), este un model algebric pentru turbulena departe de echilibru". Idea de baz este aceea c tensiunile aparente, pentru o turbulen departe de echilibru, nu mai verific o simpl relaie algebric. n literatur, el mai este cunoscut i ca un model cu o jumtate de ecuaie diferenial deoarece introduce o ecuaie diferenial ordinar i nu una cu derivate pariale. Modelul Johnson-King a fost aplicat cu succes la curgeri cu separare. *) B. Baldwin, H. Lomax, Thin--layer approximation and algebraic model for separated turbulent flow, AIAA Paper, 78, 257, 1978. **) D. Wilcox, Turbulence Modeling for CFD, DCW Industries, Inc., La Canada, California, 1993.

  • DINAMICA FLUIDELOR N REGIM TURBULENT 24

    Punctul de start l constituie modelul algebric de echilibru n care vscozitatea aparent este:

    =0

    0 tanht

    titt , (5.98)

    iar stratul limit este divizat n dou zone: intern i, respectiv, extern. n zona intern, expresia vscozitii aparente este similar cu cea din modelele Cebeci-Smith sau Baldwin--Lomax. Singura diferen este nlocuirea gradientului vitezei cu distana la perete, prin intermediul a dou scri de viteze u i mu :

    yuyu

    sD

    ti

    = +

    2

    Aexp1 (5.99)

    unde:

    [ ] *22 )1(,,max mmwsmD uuuuuu

    +

    == , (5.100a)

    m

    mm

    c

    uL

    y

    =

    = *2 ,tanh , (5.100b)

    >

    =,pentru,

    ;pentru,

    1m1

    1m

    CyC

    Cyy

    Lm

    c (5.100c)

    iar indicele m se refer la valorile n punctul myy = n care tensiunea aparent

    vuxy = atinge valoarea maxim, m .

    Pentru determinarea lui m se deduce o ecuaie diferenial ordinar:

    ( ))(11d

    d

    2

    2/3**

    1 xyCC

    L

    uua

    xu

    mm

    mdif

    m

    m

    m

    meq

    m

    mm

    =

    , (5.101)

    unde *equ este valoarea lui *u pentru turbulena de echilibru ( )(x =1). Caracterul

    de turbulen departe de echilibru este simulat prin parametrul )(x . Aceast ecuaie este rezolvat simultan cu ecuaiile mediate Reynolds i permite determinarea valorii m .

    Parametrul )(x se determin astfel ca maximul tensiunii aparente s fie dat de relaia:

    m

    mtm x

    V

    y

    U

    +

    = )( , (5.102)

    ceea ce reprezint condiia ca distribuia vscozitii aparente, t s fie n

    concordan cu m Vom nota c procedeul de rezolvare este iterativ deoarece, valoarea parametrului )(x nu este cunoscut a priori.

  • MODELE DE TURBULEN 25

    n stratul extern, se folosete o expresie similar cu cea din modelul Cebeci-Smith:

    )(),(Kleb*

    0 xyFU vet = . (5.103)

    Constantele empirice ale modelului sunt:

    7,0,09,0,25,0,17A,0168,0,4,0 211 ======+ CCa , (5.104a)