MODELE MATEMATICE DE GESTIUNE A STOCURILOR

Prin stoc intelegem o rezerva de bunuri materiale deslinate vanzarii sau folosirii in procesul de productie.

Constituirea stocurilor presupune chcltuieli de aprovizionare sau productie, cheltuieli de stocaj (depozitare, lntretinere etc.), pierderi pentru deprecierea marfurilor ~i altele.

Orice gcstiune de stoc presupune intr(tri in stoc sau aprovizionari ~i iqiri din stoc, acestea putancl avca un caracter cleterrn inist sau aleator.

Deciziile ce se iau in organizarea ~tiintifica a stocurilor au la baza un criteriu de optim, determinat de politica economica, acesta fiincl de obicei costul global minim.

Politica optima reprezinta activitatea de management a stocurilor care implica un cost total minim. Elernentele unei politici optirne sunt:

> ni vel ul optim al stocuri !or >vol um ul optim de rcaprovizionarc > pcrioacla optima de reaprovizionarc > numarul optim de reaprovizionari etc.

1. Modele deterministe

Notatii: Q - cantitatea din stoc {} - intervaJul de timp in care se gestioneaza stocul T - perioacla fixa de aprovizionare

Q - cererea constanta s - stocul

Cs - costul unitar de stocaj c1 - costul de lansare a unei cornenzi

cP- costul uni tar de penalizare pentru lipsa de stoc

Modelul 1. Gcstiunea (stoc) cu pcrioada fixa, ccrerc constanta ~i fara posibilitatea lipsei de stoc.

Elementele unei politici optimc sunt:

q= 2Qc1

=> valoarea optima a une1 comenz1 Be

s

- Q /'6Qc, v = _ = -------- =--=> numarul optim de aprovizionrtri c/ V 2c1

- 0 J2Bc 1 . ! . cl .. T = - = ------ ~-=-:> penoac a optunft e aprov1z10nare ii r-ic ~ s C = J2Q(-k 1c 1_ => gestiunca optima

Modelul 2. Gestiunea (stoc) cu perioada fixa, cerere constanta ~i cu posibilitatea lipsei de stoc

Lipsa de s1oc va fi penalizata cu un cost uni tar de penalizare cP.

c p = _{!~ se nume~tefl:zctor de penalizare. c. +c

,\ /)

0 politica optima presupune:

1-----

, A / 2Qc 1 J-- l . s = qp = ~- ec, . p => stocu opt1m

A 1-----c = \} 2Q0c1cs p

Problemc rezolvate

r : 1 I ...

VP

1. 0 fabrica de confeqii realizcaza produqia semestriala folosincl 100000 m2 tesaturi de matase. Pcntru fiecare comanda de baloturi se cheltuiesc 5000 u.m. de la darea comenzii pana la

receptionarea baloturilor. $tiind ca aprovizionarea se face la intervale de timp egale, Cll cantitati cgale, iar costul

depozitf1rii este de 1 u.m. pentru 5m2 de tesaturi depozitate pe zi, sa sc determine lotul cu care trebuic sa se aprovizionezc clepozitul fabricii astfel ca procesul de procluqic sa nu fie !ntrerupt din cauza lipsei de tesaturi, nurnarul optim de aprovizionari, intervalul dintre doua aprovizionari ~i costul total al acestui program optim de aprovizionare ~i stocare.

Rezolvare

Avem: Q=100000m2 ; 0=180zilc C1=50()0 U.111. ; 1 I " I . C =-U.111. 111- ZZ

s 5

Comando opt im(t este:

Nunz(trul optim de aproviziomzri este:

v = Q_ = }_Q~_()g_ ""19 aprovizionari q 5270,46

Perioada optima de aprovizionare se calculeaza cu formula:

' {) 180 . T = -- = -- ~ 9 z1le v 19

Ciestiunea optima:

2. Un magazin alimentar are o cerere trimestriala de 900000 pachete de unt. Pcntru fiecare comanda de aprovizionare se cheltuiesc 1000 u.m., iar costul depozitarii estc de 2 u.m. pentru 9 paehete depozitate pe Zl. Aprovizionarca se face la intcrvale de timp cgale, cu cantitati egale ~i nu se admite lipsa de stoc. Sa se determine volumul optim al unei cornenzi, nu111{1rul optim de aprovizionari, perioada optima de aprovizionare $i gestiunea optima.

Rezolvare

Avem: Q=900.000 pachete; () = 90 zile 2

c1= 1000 u.m. ; c, = -- u.m./pachet I zi 9

q - J2;;L ~ fz:~::~~o-,- ~ 9487 pachetc de unt 9

- 0 900000 9 - . . - . v = = = ---- "" ) aprov1z1011an

q 9487

, e 90 . T = -- = --- "" 1 Zl

v 95

3. Necesarul lunar de came de pore la un restaurant este de 5000 kg. Costul de stocaj pentru 1 kg. de came este de l Lun. pe zi, costul de lansare al unei comenzi este de 1000 u.m., iar in caz de lipsa de stoc se aplica o penalizare cu 30 u.m./zi pentru 1 kg de carne lipsa. Sa se determine volumul optim al unei cornenzi, stocul optim, numarul optim de aprovizionari, perioada optima de aprovizionare ~i gestiunea optima, $tiind ca aprovizionarea se face cu cantilati egale, la intervale de timp egale.

Rezolvare

Avem: Q=5000 kg ; () = 30 zile

cs=l u.m./kg/zi ; cP = 30 u.m./zi I kg

Factoru! de penalizare pentru lipsa de stoc este:

30 =

31

, r-.2Q~~:.- 12:-5-()()6-.1-oc)_o_ . q = ~o;:~-p = \;---;~-.~~]() = 586,89 kg

31

-~ = lJ. p = 586,89. ~-Q = 567,95 kg 31

A Q 5000 (') N v = - = --- :::::: .1 aprov1z10nan q 586,89 ' 0 30 . T = - = - :::::: 3 zile

v 9

C = \/2QOc.c1 /; = (2 5000~().~~~-~lQ=17038,85 u.m . . I v 31

4. Un depozit de matcriale de constructii se aprovizioneaza cu tabla galvanizata in cantitati egale ~i la intervale de timp egale. Necesarul anual de tabla galvanizata este de 90000 m2, costul pentru o aprovizionare este de 200 tun., iar costul de stocaj este de l u.m./zi pentru l m2.

~tiind ca !n cazul lipsei de stoc depozi tul este penalizat cu 10 u .m ./zi pentru 1 ni2 de tabl[t galvanizata lips[1, s[1 se determine vollmml optim al unei comenzi, stoCLJ! optim, numarul optim de cornenzi, perioada optima de aprovizionare ~i gestiunea optima. Rezolvare

Avem: Q=90000m2; 0=360zile; c1=200u.m. c,=1 u.m./zi/nl ; c = 10 u.rn./zi I m 2

. . p

cP 10 p = ---- = ,, __ ,, . cs+ c) 11

. r

.~ = l]. p = 331,66 . .!_2 = 301,5 111 2 11

A Q 90000 271 N v = - = - ----- :::::: aprov1z1onan q 331,66

i =' ()_ = 3

2. Modele aleatoare

Gestiune (stoc) cu:

? cerere aleatoare,

~ picrderi 111 cazul surplusului de stoc,

? cheltuieli suplimentarc in cazul lipsei de stoc,

r cost de stocaj i1cgbjabi1. Notam cu s stocul la un moment dat $i cu X variabila alcatoare ce reprezinta ccrerea, avand reparti1ia:

x. ' . (x J x = 0,1,. .. n pentru cerere discreta

f (x) X E [ 0, CO) pentru cerere continua

c 1 cost unitar de penalizare pentru excedcnt de stoc

c2 cost unitar de penalizarc pentru lipsa de stoc

Cazul discret

In acest caz, variabila aleatoarc cerere are repartitia:

Functia de repartitie a variabilei aleatoare X va fi:

s

F(s) = P(X:; s )= LP(x) x~o

Notam cu p = -+ raport de penalizare c1 + c2

xz Stocu.l optim .~ este acea valoare a lui s care satisface rela1ia:

F(s-1)

3. Daca F(s - I)= p < F(s), atunci minimul functiei cost are loc pentru doua valori .? -1 ~1 s.

Gestiunea optima este:

i w C(c?)=c1 I(s-x)p(x)+c2 .'L(x-s)p(x)

Cazul continuu

x~o

X: l'x J, x E [O,oo) f(x) s

F(s) = J f (x)dx 0

x~.i+I

Stoczt! optim (.?) este solu\ia ecua~iei F(s) = p, unde p are aceea9i semnifi.catie ca 9i la cazul discret.

Gestiunea optima este:

co

C(S) = c1 J(s - x )J(x)dx + c2 J (x - s)f(x)dx () .i

Probleme rezolvate

1. Un depozit de alimente trebuic sa achizitionczc anual un numar de piese de schimb de un anumit tip pentru func\ionarea ne1ntrerupta a agregatelor frigorifice ce le detine. Experimental s-a constatat numarul agregatelor care au x clefectiuni intr-un an urmarindu-se 20 agregate. Datele experientei sunt trccute In urmatorul tabel:

__ l:'l_!_~- dt:'._~_~Ji u~~x 0 I 2 3 4 5 Nr agrcgatc care au avut 6 6 4 2 1 x defectiuni

Pierderea unitara datorata surplusului de piese de schimb este de 3000 u.m., iar cea datorata lipsci pieselor de schimb cste de 8000 u.rn. Costul stocarii este ncglij abil. Sa se determine numarul optim de piesc de schimb pc care sa le achizi\ioneze depozitul anual ~i gestiunea optima.

Rezolvarc

Avem: c1= 3000 u.m.; c2= 8000 u.m.

C7 8000 8 p = ----- = -- = - = 0,72 C1 + C2 l J 000 11

Pentru a lucra u~or construim tabelul:

------------ ------~,._....-------------- -----------------------

s

s x p(x) F(s)= _Ip(x) X=O

0 0 0,3 0,3 1 I 0,3 0,6 2 2 0,2 0,8 +--- p = 0,72

3 3 0,1 0,9 4 4 0,05 0,95 5 5 0,05 1

Cum p = 0,72 este cuprins intrc F( 1 )=0,6 ~i F(2)=0,8, rczultft dt stocul optim este s = 2

Pcntru gestiunea optima obtinem:

~ 00

CC)=c12,).l--x)p(x)+c2 Icx .np(x)= .r~o

=. 3000(2. 0,3 + 1'0,3) + 8000(10,1+2. 0,05 + 3. 0,05) = = 27()0 + 2800 == 5500 U./ll. 2. Din datele statistice sc cunoa~te ca cererea de fructe la o unitate comerciala pc o perioada de 4 luni sc prezinta ca in tabelul urmator:

~~rere (tone) x p (x)

2 3 4 0,2 0,3 0,4 0, 1

Surplusul de fructe in unitate se penalizeaza cu 60 u.m./zi pentru o tona de fructe, iar lipsa fructelor din unitate aduce un prejudiciu unitatii frind penalizata cu 500 u.m./zi pentru o tona de fructe lipsa. Costul de stoc2~j fiind neglijabil, sa se determine stocul optim al unita}ii, astfel inci.lt cheltuielile sa fie m1mme.

Rezolvarc

Avern: c1 = 60 u.m./zi/t; c2= 500 u.m./zi/t

c2 500 p = ------ = ---- = 0,89 c1 + c2 560

s x p(x) s -------- -----~r------------- . -F(s) '"' _Ip(x)

1 2 3 4

2 3 4

x~o

0,2 0,2 0,3 0,5 0,4 0,9 o, l ____ ... _________ L ___ ~---~---~--~--

+--- p = 0,89

Deoarece p = 0,89 cstc cuprins lntre F(2)=0,5 ~i F(3)=0,9, rezulta ca stocul optim este .s = 3,

Pentru gestiunea optima obtinem:

~: O'.)

C(.s)=c1.LC.5 x)p(x)+c2 .Lcx-,s)p(x)= r'.'.'.:!S + 1

= 60(2. 0,2 + l 0,3) + 500( 4- 3). 0,1 = = 60 0,7 + 500 0,1=42 + 50:.:::: 92 u.m.

3. Un fabricant de produsc de panificatie constata ca cererea pentrn un anumit tip de paine este uniforma $i cuprinsa intrc 2000 $i 3000 bucati pe zi. Daca nu se vinde painea coapta in aceea~i zi, atunci fabricantul o poate revindc cu un pret rnai sc~tzut, astfel ca el pierde 80 u.m. la o piline. Costul cercrii nesatisfacute este evaluat la 120 tun. pe bucata, iar costul de stocaj este neglijabil. Sa se determine numiirul optim de paini pc care fabricantul trcbuie sa le asigurc pe zi astfel !neat costul surplusului de stoc $i al lipsei de stoc sii fie minim. Care este acest cost?

Rczolvare

Cererea cle paine este o variabila a/eafoare continua cu densitatea de probabi litate:

J f(x) = JOOO, X E[20()(),3()()0]

0, x ~ [2000,3000]

c1= 80 u.m./buc/zi; c2= 120 u.m./buc/zi.

c0 120 p==---"'-=-.. =06 . c

1 + c2 200 '

Funciia de repartitie a variabilei aleatoare cerere va i:

s . s l s - 2000 F(s) = f j (x)dx = f dx =~--

2000 'OOU I ()()() l 000

Din rela\ia F(s) = p obtinem:

_s - 2000 = 0 6 => = 2600 1000 '

Pentru calculul gestiunii optimc folosirn formula:

lX)

CU)= c1 Jes - x)f (x)dx + c2 Jex - s)f(x)dx = 0 .i

2600 1 3000 . 1 = 80 f (2600 x) -----dx + 120 f (x-2600)---dx ==

2000 1 000 2600 1000

2600 x + - 2600x1 80 ( . . 2600 x2 12600J 120 x 2 3000 13000~

= 1 ().Oo 2000 - 212000 woo 2 2600 12600

= 24000 u.m.

4. Din datele statistice se ~tie ca cererea in tone pentru un anumit tip de marfa reprezinta o variabila aleatoare continua cu densitatea de probabilitate:

/(x) = { /8 (2x+1), pentru x E [l,4] 0, pentru x E (0,1) U (4,oo)

ln ipoteza dt surplusul de marfa se degradeaza ~i se vinde cu o pierdere de 800 u.m. pc tona, iar in cazul lipsei de mar fa se fac cheltuieli suplimentare de 1000 u.m. pentru o tona, sa se organizeze gestiunea optima.

Rezolvare

Avem: c1== 800 u.m./t; c2= 1000 u.m./t

1000 5 p = --------'~--- = = c1 + c2 1800 9

s 1 5 1 F(s) = f f(x)dx = --- J(2x + l)dx = -(s 2 + s - 2)

. 18 18 I I

Din rela\ia F(s) = p ob\inem

1 7 5 7 7 --- (s + s -- 2) = --- => s + s - 2 = 10 => s + s -12 = 0 18 9

f S1 = J E [1,4] => => Deei = 3t ls2 = -4 ~ [1,4]

Pentru calculul gestiunii optime lnlocuim 1n formula:

s w

C(s) = c1 J (s - x)f(x)dx + c2 J (x- s)f(x)dx 0

pe s cu .\' = 3 ~i obtinem:

J 1 4 1 C(.Y) = C(3) = 800 JC3 - x) -- (2x + J)dx + 1000 Jex ---3) - (2x + l)dx

I 18 3 18 = 385,18 + 231,48 = 616,66u.m.