AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA im. Stanisława Staszica w Krakowie

Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki

Katedra Maszyn Elektrycznych

mgr inż. Waldemar Milej

Modele o parametrach zmiennych maszyn

indukcyjnych, ich własności i zastosowanie

Rozprawa doktorska

Promotor

dr hab. inż. Wiesław Jażdżyński prof. nz. AGH

2

Składam serdeczne podziękowania Panu

profesorowi Wiesławowi Jażdżyńskiemu

za poświęcony czas i pomoc meryto-

ryczną konieczną do powstania pracy.

Dziękuje także wszystkim, którzy swą

życzliwością wspierali mnie w tym czasie.

3

Spis treści

Wykaz oznaczeń i indeksów........................................................................................... 5

1. Wprowadzenie............................................................................................. 11 1.1. Teza i omówienie pracy. ............................................................................... 11 1.2. Modele maszyn elektrycznych...................................................................... 12 1.3. Zmienność parametrów schematu zastępczego. ........................................... 18 1.3.1. Zmienności parametrów gałęzi poprzecznej schematu zastępczego. ........... 19 1.3.2. Zmienność parametrów gałęzi podłużnej schematu zastępczego................. 24 1.3.3. Wpływ stanu pracy maszyny indukcyjnej na wartości parametrów jej

modelu. ......................................................................................................... 30 1.4. Procesy identyfikacji..................................................................................... 32

2. Wykonanie pomiarów silnika indukcyjnego. ........................................... 35 2.1. Opis układu napędowego i schematu pomiarowego..................................... 35 2.2. Pomiar biegu jałowego. ................................................................................ 37 2.3. Próba zwarcia................................................................................................ 40 2.4. Wybieg.......................................................................................................... 43 2.5. Rozruch......................................................................................................... 43 2.6. Pomiary cieplne. ........................................................................................... 47

3. Modele cieplne silnika indukcyjnego. ....................................................... 51 3.1. Modele obwodowe. [17, 18, 19, 43, 45, 46] ................................................. 51 3.1.1. Model cieplny dla próby nagrzewania prądem stałym. ................................ 52 3.1.2. Model cieplny dla próby zwarcia.................................................................. 53 3.1.3. Model cieplny dla rozruchu. ......................................................................... 57 3.2. Modele do polowych obliczeń cieplnych [42, 44]........................................ 60 3.2.1. Model silnika z uwzględnieniem symetrii. ................................................... 61 3.2.1.1. Wyniki próby nagrzewania dla modelu ćwiartki silnika. ............................. 65 3.2.1.2. Wyniki obliczeń dla próby zwarcia. ............................................................. 69 3.2.2. Uproszczony polowy model cieplny............................................................. 71 3.2.2.1. Uproszczony polowy model cieplny do jednej podziałki żłobkowej. .......... 71 3.2.2.2. Obliczenia dla próby nagrzewania................................................................ 73 3.2.2.3. Obliczenia dla próby zwarcia. ...................................................................... 75 3.2.2.4. Uproszczone modele cieplne silnika dla jednego żłobka stojana oraz jednego

żłobka wirnika............................................................................................... 78 3.3. Porównanie modeli obwodowych i polowych.............................................. 82

4. Elektromagnetyczne obliczenia polowe .................................................... 84 4.1. Obliczenia polowe dla biegu jałowego. ........................................................ 90 4.2. Obliczenia polowe dla próby zwarcia........................................................... 90 4.3. Próba wyjaśnienia różnic wynikających z obliczeń polowych..................... 92

4

5. Identyfikacja modeli silnika indukcyjnego............................................... 95 5.1. Model niestacjonarny i o parametrach stałych. ............................................ 95 5.2. Porównanie wyników identyfikacji dla biegu jałowego............................. 101 5.3. Porównanie wyników identyfikacji dla próby zwarcia............................... 103

6. Weryfikacja modeli................................................................................... 106 6.1. Weryfikacja modeli na podstawie charakterystyk roboczych. ................... 106 6.2. Weryfikacja modeli na podstawie zwarcia w stanie przejściowym. .......... 107 6.3. Weryfikacja modeli na podstawie rozruchu silnika.................................... 108

7. Wnioski i uwagi. ........................................................................................ 112

Literatura .................................................................................................................... 114

5

Wykaz oznaczeń i indeksów

- oznaczenia

B - wektor indukcji magnetycznej

B - indukcja magnetyczna

bδ - obliczeniowa podziałka biegunowa

Bδ - indukcja magnetyczna maksymalna przebiegu rzeczywistego w szczelinie

Bδx - indukcja magnetyczna w punkcie x

b1 - długość rzeczywistego otwarcia żłobka

B1 - amplituda podstawowej harmonicznej indukcji magnetycznej w szczelinie

b1n - długość otwarcia żłobka uwzględniająca nasycenie

b2 - szerokość podstawy sklepienia żłobka

Bds - amplitudy indukcji w zębach stojana

Beδ - zastępczą indukcję w szczelinie powietrznej

Bm - indukcja magnetyczna średnia w obszarze podziałki biegunowej τ

bn0 - szerokość strefy nasycającej się

bpr - szerokość pręta

Bys amplitudy indukcji w jarzmie stojana

bż - szerokość żłobka

c - ciepło właściwe

d - współczynnik cieplny rezystancji

D - wektor indukcji elektrycznej

E - wektor natężenia pola elektrycznego

Es - siła elektromotoryczna indukowana w uzwojeniu fazowym stojana

f - częstotliwość

f1 - częstotliwość w obwodzie pierwotnym

FD - siły dyssypacji

fs - częstotliwość prądu uzwojenia stojana

FZ - siły zewnętrzne

g - strumień ciepła

H - wektor pola magnetycznego

h1 - wysokość rzeczywistego otwarcia żłobka

6

hpr - wysokość pręta

I - prąd fazowy

Iμ - prąd magnesujący

IN - prąd znamionowy

Is - prąd fazowy płynący w uzwojeniu stojana

Iz - zwarciowy prąd skuteczny

j - wektor gęstości prądu

j - gęstość prądu

j - jednostka urojona 1−

J - moment bezwładność

j0 - gęstość prądu w przewodzie przy równomiernym rozkładzie prądu

k - współczynnik przewodzenia ciepła

k0 - współczynnik efektywności wentylacji

kB - współczynnik kształtu krzywej pola

kc - współczynnik Cartera

kd - współczynniki wzrostu strat dla zębów

knz - współczynnik nasycenia głównego obwodu magnetycznego

kR - współczynnik wzrostu rezystancji wskutek wypierania prądu

ktsq - współczynnik technologiczny klatek odlewanych

kw1 - współczynnik uzwojenia dla harmonicznej rzędu 1

kX - współczynnik zmniejszania reaktancji wskutek wypierania prądu

ky - współczynniki wzrostu strat dla jarzma

l - długość

L - funkcjonał Lagrange’a

lFe - długość rdzenia

li - długość twornika

m - liczba faz

m - masa

mds - masa zębów

n - prędkość obrotowa

n - składowa normalna

nN - prędkość obrotowa znamionowa

p - liczba par biegunów

7

P - moc źródła ciepła

pFe - stratność blach przy indukcji 1 (T)

PFe - straty jałowe w rdzeniu

PFed - straty jałowe w zębach

PN - moc czynna znamionowa

Py - straty jałowe w jarzmie

Pz - zwarciowa moc czynna

q - współczynnik przenoszenia ciepła

Q - źródło ciepła

q’i - prędkość uogólniona

qi - współrzędna uogólniona

R’r - rezystancja uzwojenia wirnika sprowadzona na stronę stojana

R0 - rezystancja przy temperaturze 0ϑ

RFe - rezystancja reprezentująca straty w żelazie odpowiadająca jednej fazie

Rj - rezystancja obliczona dla temperatury jϑ

Rs - rezystancja uzwojenia fazowego stojana

RX0 - wartość rezystancji z równomiernym rozkładem gęstości prądu w przekroju

RXr - wartość rezystancji z uwzględnieniem wypierania prądu

Rz - rezystancja zwarcia

Rz0 - rezystancja zwarcia w chwili t0=0

Rzp - rezystancja zwarciowa z pomiarów

s - poślizg

S - pole powierzchni

Tel - elektryczny moment rozruchowy

Tk - koenergia kinetyczna system

U - napięcie

UN - znamionowe napięcie fazowe uzwojenia stojana

Us - napięcie fazowe uzwojenia stojana

V - objętość

Vmz1 - spadek napięcia magnetycznego zębów stojana

Vmz2 - spadek napięcia magnetycznego zębów wirnika

Vp - energia potencjalna

Xμ - reaktancja magnesująca

8

Xμ0 - nienasycona reaktancja magnesująca

Xμ0 - reaktancja strumienia głównego

Xσs - reaktancja rozproszenia uzwojenia stojana

X’σr - reaktancja rozproszenia uzwojenia wirnika sprowadzona na stronę stojana

Xsq - reaktancja od skosu żłobków

XX0 - wartość reaktancji z równomiernym rozkładem gęstości prądu w przekroju

XXr - wartość reaktancji z uwzględnieniem wypierania prądu

z1 - liczba zwojów jednej fazy uzwojenia pierwotnego połączonych szeregowo

α - współczynnik oddawania ciepła

αi - współczynnik rozkładu pola w szczelinie

αw - współczynnik wypierania prądu

δ - długość szczeliny powietrznej

Δϑ - przyrost temperatury

Δϑp - uśredniony przyrost temperatury silnika

Φ - strumień indukcji magnetycznej

ΦB - strumień indukcji magnetycznej

ΦD - strumień indukcji elektrycznej

γ - konduktywność

ϑ - temperatura

ϑ0 - temperatura początkowa

ϑj - temperatura końcowa

ϑp - uśredniona temperatura silnika

ϕN - znamionowy kąt przesunięcia fazowego między napięciem a prądem

κ - współczynnik nasycenia obwodu magnetycznego przez strumienie rozproszone

μ0 - przenikalność magnetyczna próżni

μFe - przenikalność magnetyczna żelaza

∇ - operator dywergencji

∇x - operator rotacji

νa - prędkość obrotowa wirnika

θ - przepływ prądu

θδ - przepływ na szczelinę powietrzną

9

θt - przepływ całkowity

ρ - gęstość

ρV - gęstość ładunku elektrycznego

σsq - współczynnik rozproszenia wywołanego skosem

τ - podziałka biegunowa

ω0 - pulsacja sieci zasilającej

ω0m - synchroniczna prędkość kątowa

ωr - prędkość kątowa wirnika

ωw - prędkość kątowa wirnika podczas próby wybiegu silnika

ξ - współczynnika wysokości pręta

- indeksy

j - dla próby biegu jałowego (indeks górny)

n - dla próby nagrzewania (indeks górny)

r - wirnik

r - dla rozruchu silnika (indeks górny)

s - stojan

z - dla próby zwarcia (indeks górny)

10

ROZDZIAŁ 1

WPROWADZENIE

11

1. Wprowadzenie.

1.1. Teza i omówienie pracy.

Silniki indukcyjne są najczęściej stosowanymi maszynami elektrycznymi

używanymi do przetwarzania energii elektrycznej na mechaniczną. Ocenia się, że

przeszło 50% całej energii elektrycznej wytwarzanej przez człowieka jest

przetwarzana w ten sposób. Każde usprawnienie konstrukcji czy działania skutkuje

poważnymi skutkami o znaczeniu środowiskowym i ekonomicznym. W przypadku

napędów regulowanych z silnikami indukcyjnymi wiarygodność modelu silnika ma

duże znaczenie, gdy ważną jest jakość regulacji i sterowania. Właściwy model jest

ważny również w przypadku, gdy wyniki symulacji z jego wykorzystaniem mają

być wykorzystane w praktyce.

Zjawiska fizyczne takie jak nasycenie elementów ferromagnetycznych,

wypieranie prądu w masywnych przewodnikach oraz nagrzewanie części

i elementów przewodzących są przyczyną, że modele, które ich nie uwzględniają,

dają mniej lub bardziej błędne wyniki. Najprostszym sposobem ominięcia

powyższych trudności jest wprowadzenie do modelu parametrów zależnych od

stanu pracy. Takie podejście zaproponowano np. w pracy [22] do opisu modelu

rozrusznika wiroprądowego współpracującego z silnikiem indukcyjnym

pierścieniowym. W efekcie powstał jednoklatkowy model silnika, którego schemat

zastępczy zawierał parametry zmienne w obwodzie wirnika zależne od nasycenia

i wypierania prądu. Kontynuacja tej idei m. innymi w pracach [17, 25] doprowadziła

do powstania modelu silnika, który uwzględniał wpływ wszystkich trzech zjawisk

fizycznych.

Jednym z celów niniejszej pracy jest zweryfikowanie wcześniejszych pomysłów

dotyczących uwzględnienia zjawisk cieplnych z wykorzystaniem techniki obliczeń

polowych. Przyjętą główną tezą pracy było, że modele obwodowe niestacjonarne są

skutecznym narzędziem analizy własności maszyn indukcyjnych pozwalającym

otrzymać wyniki obliczeń bardziej wiarygodne niż przy pomocy modeli

o parametrach stałych. Przyjęte w pracy modele niestacjonarne mają tą własność, że

w przypadku stałej prędkości silnika stają się modelami liniowymi. W niniejszej

rozprawie modele niestacjonarne są nazywane również „modelami o zmiennych

parametrach”.

12

W kolejnych punktach tego rozdziału określono obszar badań, którego dotyczy

praca, a także wskazano i pokrótce omówiono literaturę fachową, która dotyczy tego

obszaru.

Rozdział 2 jest poświęcony opisowi laboratoryjnego stanowiska badawczego

oraz testów eksperymentalnych w celu wyznaczenia wielkości potrzebnych do

identyfikacji i weryfikacji modelu. Zamieszczono wyniki opracowania danych

eksperymentalnych.

W rozdziale 3 analizowany jest wpływ nagrzewania uzwojeń silnika.

Zaproponowano i opisano modele obwodowe oraz polowe opisu zjawiska.

Wykonano z ich pomocą wyczerpujące obliczenia w celu uzyskania możliwie

prostej i wiarygodnej metody uwzględnienia zjawisk cieplnych w modelu

analizowanego silnika o parametrach zmiennych.

W rozdziale 4 przeprowadzono obliczenia elektromagnetyczne silnika

z wykorzystaniem programu do obliczeń polowych FLUX 2D. Uzyskane wyniki

porównano z pomiarem w celu oceny możliwości wykorzystania tej metody do

wyznaczania funkcji parametrów modelu niestacjonarnego.

W rozdziale 5 zdefiniowano w sposób formalny dynamiczny model

niestacjonarny silnika. Przeprowadzono jego identyfikację metodą regresji

nieliniowej. Zamieszczono wyniki identyfikacji.

Rozdział 6 zawiera informacje dotyczące weryfikacji opracowanego i badanego

modelu. Weryfikacja polega na porównaniu wyników symulacji i pomiarów w tych

stanach pracy silnika, które nie były brane pod uwagę w identyfikacji. W przypadku

próby zwarcia ze zmiennym napięciem ocenie poddano model dynamiczny

uwzględniający nasycenie obwodu magnetycznego i zjawiska cieplne. Ze względu

na znikome znaczenie (mała wysokość żłobka wirnika) pominięto wpływ zjawiska

wypierania prądu.

1.2. Modele maszyn elektrycznych.

Rola modeli w dziedzinie maszynach elektrycznych w zasadzie nie różni się od ich

znaczenia w innych dziedzinach nauki i techniki. Wyniki symulacji otrzymane przy

ich pomocy pozwalają oszacować zachowanie się istniejących lub projektowanych

maszyn bez potrzeby wykonania eksperymentów na rzeczywistym obiekcie.

W szczególności dotyczy to symulacji eksperymentów, które w warunkach

13

rzeczywistych są trudne lub niemożliwe do zrealizowania w interesujących stanach

pracy. Takie podejście stwarza również praktycznie nieograniczone możliwości

analizy zmian w przyszłym obiekcie. Pozwala to np. na skrócenie czasu, który w

przypadku projektowania jest potrzebny do budowy prototypu.

Wiarygodne wyniki analizy wymagają tworzenia dokładnych modeli

matematycznych. Powinny one opisywać zjawiska fizyczne zachodzące w badanych

urządzeniach (takich jak np: zjawiska elektromagnetyczne, mechaniczne czy

cieplne), które z punktu widzenia celu badań są istotne. Maszyna elektryczna jest

złożonym, nieliniowym obiektem fizycznym, czego efektem jest skomplikowany

model matematyczny. Często do celów obliczeniowych wprowadza się modele

uproszczone, w których pomija się zjawiska o mniejszym znaczeniu dla

analizowanych stanów pracy.

Istnieje wiele sposobów klasyfikacji modeli. W pracy zostaną pokrótce omówione:

• modele polowe i obwodowe,

• modele liniowe i nieliniowe,

• modele stacjonarne i niestacjonarne.

- Modele obwodowe i polowe.

Modele obwodowe zawierają elementy skupione takie jak źródła energii oraz takie

wielkości jak indukcyjności i pojemności reprezentujące konserwatywną część

systemu, czy też rezystancje reprezentujące w modelu zjawisko rozpraszania

energii. Wspomniane parametry są pewnymi wielkościami całkowymi

reprezentującymi w sposób syntetyczny własności generowania, magazynowania

i rozpraszania energii w jakimś obszarze. Jednym z najczęściej stosowanych

sposobów opisów przemiany energii jest wykorzystanie formalizmu Lagrange’a.

Proces tworzenia modelu polega na zdefiniowaniu pewnego funkcjonału energii

konserwatywnej części systemu zwanego funkcjonałem Lagrange’a, a następnie

zastosowaniu równań Eulera - Lagrange’a drugiego rodzaju w postaci rozszerzonej

dla systemu zawierającego również elementy niekonserwatywne:

14

ZDii

FFqL

qL

dtd

=+∂∂

−∂∂

' (1)

gdzie:

pk VTL −= - funkcjonał Lagrange’a reprezentujący konserwatywną część systemu,

kT - koenergia kinetyczna systemu,

pV - energia potencjalna,

ii qq ', - i-ta współrzędna i prędkość uogólniona,

ZF - siły zewnętrzne,

DF - siły dyssypacji.

DZ FF , są elementami niekonserwatywnej części systemu i reprezentują wymianę

energii z otoczeniem.

Efektem postępowania jest model matematyczny w postaci układu zwyczajnych

równań różniczkowych. Jeżeli współrzędne uogólnione były wybierane w taki

sposób, aby reprezentować stan energetyczny systemu, równania takie nazywa się

często równaniami stanu.

Istotnym problemem w maszynach indukcyjnych jest istnienie harmonicznych

przestrzennych i czasowych takich wielkości fizycznych jak np. napięcia, prądy,

indukcja magnetyczna, co skutkuje m. innymi powstaniem tak zwanych momentów

pasożytniczych synchronicznych i asynchronicznych [29, 55, 58]. Harmoniczne

czasowe są spowodowane odkształconymi napięciami zasilającymi, natomiast

harmoniczne przestrzenne są skutkiem użłobkowanej struktury wirnika i stojana.

Modele, które uwzględniają tylko podstawową harmoniczną czasową i przestrzenną

nazywane są modelami monoharmonicznymi. Najczęstszym założeniem

w przypadku analizy modeli wieloharmonicznych jest założenie stałej prędkości

obrotowej. W połączeniu z założeniem liniowości obwodu magnetycznego jest to

wystarczające do przedstawienia modelu wieloharmonicznego maszyny w postaci

układu równań liniowych, które przy wymuszeniach harmonicznych można

analizować z wykorzystaniem metody symbolicznej. Rozwiązanie liniowego układu

równań różniczkowych zwyczajnych sprowadza się wtedy do rozwiązania

zespolonego układu równań algebraicznych zespolonych, co jest znacznie prostsze

do rozwiązywania i analizy. Rozszerzenie modelu o uwzględnienie magnetycznej

15

nieliniowości skutkuje pojawieniem się m. innymi zbioru dodatkowych

harmonicznych prądów nieparzystego rzędu, których parametry są zależne od stanu

pracy maszyny. W ogólności przypadki takie można analizować prawie wyłącznie

metodami symulacyjnymi.

Podobną rolę, jaką w przypadku modeli obwodowych odgrywają równania

Lagrange’a, w modelach polowych pełnią równania Maxwella. Ich ogólna postać

różniczkowa jest [3, 14]:

tx

tx

V

∂∂

+=∇

=⋅∇∂∂

−=∇

=⋅∇

DjH

B

BE

D

0

ρ

(2)

natomiast całkowa:

∫

∫∫

∫∫

+=⋅

=⋅

−=⋅

⋅=⋅

LD

S

LB

V VS

dtdId

ddt

dd

dVd

Φ

Φ

ρ

lH

SB

lE

SD

0 (3)

Jeżeli do opisu modelu użyjemy równania Maxwella w postaci różniczkowej, to

dalsza analiza jest realizowana najczęściej metodami elementów skończonych lub

różnic skończonych. Wykorzystanie równania Maxwella w postaci całkowej

prowadzi do metody elementów brzegowych bazującej na teorii równań całkowych.

W odróżnieniu od modeli obwodowych związki pomiędzy wielkościami fizycznymi

w układzie są zdefiniowane w modelach polowych w każdym punkcie przestrzeni

przyporządkowanej maszynie.

Modele polowe są wykorzystywane od dość dawna tak do badania własności

maszyn indukcyjnych w stanach ustalonych i dynamicznych [9, 10] jak

wyznaczanie parametrów jego modeli obwodowych, np. [35, 67].

16

- Modele liniowe i nieliniowe.

Najprostszą, a zarazem dającą najszerszą możliwość analizy, jest postać liniowa

modelu. W przypadku tym równania definiujące model są liniową kombinacją

zmiennych i ich pochodnych względem czasu. Aby uzyskać taką formę równań,

w dziedzinie wirujących maszyn elektrycznych poszukuje się transformacji, w

wyniku których macierze indukcyjności, których elementy w ogólności zależą od

kąta obrotu, stają się macierzami o współczynnikach stałych. Jeżeli wspomniana

transformacja istnieje, to warunkiem koniecznym uzyskania liniowego układu

równań jest spełnienie założenia o stałej prędkości obrotowej i liniowości

magnetycznej obwodu.

Jeżeli powyższe nie zachodzi, model maszyny jest nieliniowy. Wyróżniamy dwa

typy nieliniowości, nieliniowość strukturalną i nieliniowość parametryczną. W

przypadku maszyn elektrycznych źródłem nieliniowości strukturalnych są składniki

równań zawierające iloczyny współrzędnych, ich pochodnych, lub funkcji

przestępnych, których argumentami są zmienne niezależne. Przykładem może być

siła elektromotoryczna rotacji przy zmiennej prędkości obrotowej w równaniu

napięciowym maszyny indukcyjnej.

Nieliniowość parametryczna powstaje, gdy wartość parametru modelu zależy od

zmiennych niezależnych. Przykładem nieliniowości parametrycznej jest

indukcyjność cewki z rdzeniem ferromagnetycznym o nieliniowej charakterystyce

magnesowania.

Szczególnie prostą postać modelu liniowego silnika indukcyjnego uzyskuje się przy

założeniach [25]:

• uzwojenie stojana jest trójfazowe,

• obwody elektryczne oraz struktura magnetyczna silnika są symetryczne tak

pod względem budowy jak własności materiałów aktywnych,

• wszystkie obwody magnetyczne są liniowe,

• rozkład pola magnetycznego w szczelinie powietrznej między stojanem

i wirnikiem jest sinusoidalny,

• strumień magnetyczny ma składową główną oraz rozproszenia,

• zmienne wirnika są sprowadzone do układu współrzędnych stojana –

zmienne te po transformacji będą oznaczone indeksem (’).

17

Przy powyższych założeniach w przypadku pracy maszyny w stanie ustalonym

z prędkością kątową rω model ma powszechnie znaną reprezentacje graficzną w

postaci schematu zastępczego:

Rs

Xμ RFe

Is

Es

R ’rs

Us

I ’r

XσsX ’σr

Iμ

Rys. 1 Schemat zastępczy silnika indukcyjnego.

gdzie:

sR - rezystancja uzwojenia fazowego stojana,

'rR - rezystancja fazowa uzwojenia wirnika sprowadzona na stronę stojana,

sXσ - reaktancja rozproszenia uzwojenia fazowego stojana,

'rXσ - reaktancja rozproszenia uzwojenia fazowego wirnika sprowadzona na stronę

stojana,

μX - reaktancja magnesująca,

FeR - rezystancja reprezentująca straty w żelazie dla jednej fazy,

sE - siła elektromotoryczna indukowana w uzwojeniu fazowym stojana,

sU - napięcie fazowe uzwojenia stojana,

sI - prąd fazowy płynący w uzwojeniu stojana,

'rI .- prąd fazowy płynący w uzwojeniu wirnika sprowadzony na stronę stojana,

Iμ - prąd magnesujący

m

rms0

0

ωωω −

= - poślizg

m0ω - synchroniczna prędkość kątowa.

W przypadku modeli nieliniowych maszyn indukcyjnych postępowanie związane

z ich użyciem do analizy oraz z wyznaczaniem parametrów jest z reguły znacznie

18

bardziej złożone, co utrudnia ich zastosowanie w praktyce. Istnieje wiele prac

poświęconych temu zagadnieniu, np. [1, 2, 4, 5, 15, 26, 32, 56, 58, 63]. W wielu

pracach proponuje się postępowanie przybliżone, które obniża stopień złożoności

modelu nieliniowego.

- Modele stacjonarne i niestacjonarne.

Jeżeli jakiś parametr równania maszyny jest zależny od czasu w sposób jawny,

model taki będzie nazywany w pracy modelem niestacjonarnym. Modelami

stacjonarnymi będą nazywane te modele, dla których powyższy warunek nie

zachodzi.

Wykorzystanie idei modelu niestacjonarnego w znacznym stopniu upraszcza analizę

własności maszyn indukcyjnych uwzględniających zjawiska nasycenia obwodów

magnetycznych, efektu wypierania prądu, a także nagrzewania uzwojeń [17, 23, 25].

Praca jest poświęcona procedurze wyznaczania takiego modelu oraz badania jego

własności.

1.3. Zmienność parametrów schematu zastępczego.

W punkcie tym zostaną pokrótce omówione niektóre problemy związane

z zależnością parametrów modelu maszyny indukcyjnej od stanu pracy.

Znajomość modelu silnika indukcyjnego i jego parametrów ułatwia diagnostykę

i sterowanie rzeczywistym obiektem w różnych stanach pracy. Jednym z głównych

problemów na jakie można napotkać przy wyznaczaniu parametrów jest ich

zmienność, która wynika, np. dla indukcyjności, z wpływu nasycenia obwodów

magnetycznych, czy też dla rezystancji, z wpływu temperatury i efektu

naskórkowości. Metody wyznaczenia tych parametrów są opisane w literaturze. Tak

np. w [27] autor wykorzystuje idee zredukowania klasycznego modelu silnika,

w postaci schematu zastępczego typu „T”, do modelu, w którym indukcyjności

gałęzi podłużnej są reprezentowane poprzez jedną uśrednioną. Takie podejście jest

bardziej przyjazne z punktu widzenia przyszłych aplikacji dotyczących sterowania

rzeczywistym obiektem. Prezentowany w [27] model zredukowany jest od strony

wirnika, co oznacza, że wartość indukcyjności wirnika jest zawarta w stojanie

i w gałęzi poprzecznej schematu zastępczego.

19

1.3.1. Zmienności parametrów gałęzi poprzecznej schematu zastępczego.

Reaktancja magnesująca μX reprezentuje strumień główny silnika sprzęgający

uzwojenia stojana i wirnika. Zgodnie z rys. 1 wartość tej reaktancji jest równa:

μμ I

EX s= (4)

Wielkość sE jest wartością skuteczną siły elektromotorycznej indukowanej

w uzwojeniu stojana. Przyjmując jednoharmoniczny rozkład pola magnetycznego

w szczelinie powietrznej można określić [7] wartość skuteczną prądu

magnesującego μI jako:

11250

wkzm.pI

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=θπ

μ (5)

Zgodnie z prawem przepływu, jeżeli wartość θ jest przepływem obejmującym

jedną podziałkę biegunową stojana, to jest ona równa sumie spadków napięć

magnetycznych wzdłuż zamkniętego obwodu magnetycznego obejmującego ten

przepływ. Obwód ten ma elementy:

• szczelinę powietrzną (dwukrotnie),

• zęby stojana (dwukrotnie),

• zęby wirnika (dwukrotnie),

• rdzeń stojana,

• rdzeń wirnika.

W przypadku sinusoidalnego rozkładu pola w szczelinie wartość siły

elektromotorycznej sE jest związana ze strumieniem Φ zależnością:

Φπ ⋅⋅⋅⋅⋅= 1112 ws kzfE (6)

gdzie: iilB ατ ⋅⋅⋅=Φ 1

oraz π

α 2=i - współczynnik rozkładu pola w szczelinie.

20

Jeżeli rozkład pola nie jest sinusoidalny zależność (6) przyjmuje postać:

iiwBs lBkzfkE ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= τα11114 (7)

w której współczynnik kształtu krzywej pola Bk oraz współczynnik rozkładu pola

w szczelinie iα zależą od współczynnika nasycenia głównego obwodu

magnetycznego nzk zdefiniowanego jako:

c

mzmznz kB

VVk⋅⋅⋅⋅+⋅

⋅+=1

210 2

221δ

μ (8)

Współczynnik Cartera ck reprezentuje użłobkowaną strukturę stojana i wirnika.

Przebieg funkcji Bk i iα przedstawia rys. 2 [7].

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2knz

11.011.021.031.041.051.061.071.081.09

1.11.111.12

k B

0.625

0.65

0.675

0.7

0.725

0.75

0.775

0.8

0.825

0.85

αi

kB

αi

Rys. 2. Zależność współczynników kształtu Bk i zapełnienia podziałki

biegunowej iα od współczynnika nasycenia zębów nzk .

Próba wyznaczenia wartości parametru μX dla założonego stanu pracy maszyny

metodą obliczeniową jest związana z koniecznością rozwiązania złożonego układu

21

nieliniowych równań algebraicznych uwzględniających wszystkie elementy

wspomnianego wyżej obwodu magnetycznego. Biorąc pod uwagę skomplikowane

zależności definiujące spadki napięć magnetycznych w zębach i jarzmach stojana

i wirnika jest to proces złożony [13, 64], który musi być zrealizowany w przypadku

klasycznych obliczeń projektowych. Wartość parametru μX zależy od stanu

nasycenia obwodu magnetycznego, a tym samym od stanu pracy maszyny.

Zależność funkcyjna ( )sEX μ będzie wyznaczona w dalszej części pracy na drodze

obliczeniowo-pomiarowej poprzez zastosowanie odpowiedniej procedury

identyfikacji. Przykład takiej zależności przedstawia rys. 3 [13]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1Es/UN

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Xμ/

Xμ0

Rys. 3. Zależność względnej reaktancji magnesowania od napięcia stojana

przykładowego silnika indukcyjnego.

22

B

B

B

B

B1

δ

δτ

δ

bx

X

m

x

Rys. 4. Przebieg indukcji magnetycznej w szczelinie powietrznej.

gdzie: B1 – amplituda podstawowej harmonicznej indukcji magnetycznej w szczelinie

Bm – indukcja magnetyczna średnia w obszarze podziałki biegunowej τ

(obliczeniowa),

Bδ – indukcja magnetyczna maksymalna przebiegu rzeczywistego,

Bδx– indukcja magnetyczna w punkcie x.

Rezystancja FeR na schemacie zastępczym silnika indukcyjnego (rys. 1)

reprezentuje straty mocy czynnej w rdzeniu FeP . Przyjmuje się, że są one sumą strat

podstawowych spowodowanych zjawiskami histerezy i prądów wirowych oraz strat

dodatkowych. Można zapisać, że:

Fe

sFe P

ER23⋅

= (9)

Najczęściej w klasycznych obliczeniach projektowych straty FeP reprezentują straty

biegu jałowego, a straty histerezowe i wiroprądowe oblicza się łącznie, dzieląc je na

straty w zębach:

23

3.12

50⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅⋅⋅= s

dsFedsdFedfBpmkP (10)

i w jarzmie:

3.1

2

50⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅⋅⋅= s

ysFeysyyfBpmkP (11)

gdzie:

dsm i ysm - masa zębów i jarzma stojana,

Fep - stratność blach przy indukcji 1 (T),

dsB i ysB - amplitudy indukcji w zębach i jarzmie stojana,

dk i yk - współczynniki wzrostu strat dla zębów i jarzma.

Współczynniki dk i yk uwzględniają czynniki (np. technologiczne), które

powiększają straty. Należą do nich:

• zgniot blach rdzenia na krawędziach wykroju,

• zwieranie blach wskutek zadziorów przy wykrawaniu i prasowaniu pakietu,

• obróbka mechaniczna rdzenia, niedoskonała izolacja blach, ich zwieranie

przez kadłub,

• spłaszczenie krzywej pola w szczelinie (powstawanie harmonicznych),

• straty w kadłubie,

• nierównomierny rozkład indukcji wzdłuż drogi w jarzmie.

Czasem przyjmuje się [13], że straty dodatkowe są w przybliżeniu równe stratom

podstawowym w zębach, pomnożone przez współczynnik Cartera.

Można przyjąć, że wielkością, która decyduje o wartościach parametrów μX oraz

FeR jest dla założonej stałej częstotliwości zasilania siła elektromotoryczna sE

indukowana w uzwojeniu fazowym stojana. Uzasadnia to zależność (6).

24

1.3.2. Zmienność parametrów gałęzi podłużnej schematu zastępczego.

Następujące trzy zjawiska fizyczne wpływają w sposób decydujący na wartości

parametrów gałęzi podłużnej schematu zastępczego:

a) zjawisko nagrzewania,

b) zjawisko naskórkowości,

c) zjawisko nasycenia elementów ferromagnetycznych.

Ad. a). Zmienna temperatura uzwojeń silnika jest przyczyną zmiany jej rezystancji.

Rezystancja może się zmienić tak na skutek zmiany temperatury otoczenia, jak na

skutek zmiany warunków chłodzenia czy też zmiany ilości ciepła dostarczanego

przez płynący prąd. W pracy przyjęte będzie założenie, że temperatura otoczenia

i warunki chłodzenia nie ulegają zmianie. Zgodnie z polskimi normami [51]

zależność pomiędzy rezystancją uzwojenia oraz jego temperaturą określa wzór:

- dla miedzi

00 235

235ϑϑ

+

+⋅= j

j RR (12)

- oraz dla aluminium

00 225

225ϑϑ

+

+⋅= j

j RR (13)

gdzie:

jR - rezystancja obliczona dla temperatury jϑ ,

0R - rezystancja przy temperaturze odniesienia 0ϑ

Zmiana temperatury rdzeni powoduje zmianę ich rezystywności, a to wpływa na

straty FeP .

Ad. b). Zjawisko naskórkowości występuje w przewodach elektrycznych, w których

płynie zmienny prąd. Intensywność tego zjawiska zależy od parametrów fizycznych

jak i geometrycznych uzwojenia. Jeżeli w maszynie indukcyjnej uzwojenie ma

25

stosunkowo niewielkie wymiary, co na przykład występuje w uzwojeniu stojana

małej maszyny, wpływ tego zjawiska jest niewielki i pomija się go. Zmniejszenie

wymiarów przewodu elementarnego uzwojenia stojana jest często celowym

zabiegiem projektanta dążącego do usunięcia przyczyn zmniejszenia sprawności

maszyny. Ze względu na wielkość maszyny indukcyjnej badanej w pracy

(PN=1.5kW), wpływ zjawiska naskórkowości na rezystancję uzwojenia stojana jest

pominięty.

W przypadku maszyn indukcyjnych klatkowych wpływ zjawiska naskórkowości na

rezystancje prętów klatki można pominąć tylko w przypadku małych lub bardzo

małych maszyn. Zjawisko polega na nierównomiernym rozkładzie gęstości prądu

w przekroju pręta (rys. 5) wskutek czego rezystancja pręta zwiększa się.

0 1 2 3 4 5j/j0

0

10

20

30

40

h pr (

mm

)

Rys. 5. Przykład rozkładu stosunkowej gęstości prądu w pręcie prostokątnym

w funkcji wysokości pręta dla częstotliwości 50 Hz (j0 – gęstość dla prądu

stałego).

Intensywność zjawiska zależy od takich czynników jak: częstotliwość prądu,

wymiary i kształty pręta, rezystywności i innych. Przykładowo podczas rozruchu

maszyny indukcyjnej częstotliwość prądu w uzwojeniu wirnika maleje ze wzrostem

prędkości obrotowej, wskutek czego wypieranie prądu w początkowej fazie

rozruchu jest największe, a przy pełnej prędkości praktycznie zanika. Zjawisko

wypierania prądu można badać metodami analitycznymi i numerycznymi [47, 64].

W jednej z metod analitycznych celem jest wyznaczenie impedancji przewodu

z niejednorodnym rozkładem prądu w przekroju, a zagadnienie rozwiązywane jest

dwuwymiarowo z założeniem jednakowego rozkładu pola wzdłuż żłobka.

26

Sprowadza się to do rozwiązania równania Helmholtza przy zadanych warunkach

brzegowych. Dla sinusoidalnych przebiegów czasowych ma ono postać [57]:

EE ⋅⋅=Δ 2wj α (14)

gdzie: γμωα ⋅⋅= 00w - współczynnik wypierania prądu,

1−=j

Po rozwiązaniu równania (14) znajomość wektora natężenia E jest wystarczająca do

obliczenia wydzielanego ciepła lub rezystancji.

Powyższa metoda jest skuteczna dla prostokątnych prętów, natomiast dla innych

kształtów pręta rozwiązania analityczne prowadzą do skomplikowanych wyrażeń.

Uproszczenie problemu do jednowymiarowego rozkładu pola reprezentuje tzw.

metoda „klasyczna”, pozwalająca na określenie stopnia intensywności zjawiska przy

pomocy dwóch współczynników Rk i Xk zdefiniowanych wzorami:

- dla rezystancji:

0X

XrR R

Rk = (15)

- dla reaktancji:

0X

XrX X

Xk = (16)

gdzie 0XR i 0XX są to wartości dla równomiernego rozkładem gęstości prądu

w przekroju, natomiast XrR i XrX są wartościami obliczonymi z uwzględnieniem

wypierania prądu.

Reaktancja XrX , jest w tym przypadku reaktancją żłobkową reaktancji rozproszenia

uzwojenia wirnika.

Wartości współczynników wypierania prądu można wyznaczyć uzależniając je od

współczynnika wysokości pręta ξ określonego wzorem:

27

γμωξ ⋅⋅⋅⋅= 0rż

prpr b

bh (17)

W przypadku pręta o przekroju prostokątnym współczynniki Rk i Xk mają

stosunkowo prostą postać.

( )( ) ξ

ξξ ξξ

ξξ

2cos5.02sin5.0

22

22

−+⋅+−⋅

⋅= ⋅−⋅

⋅−⋅

eeeekR (18)

( )( ) ξ

ξξ ξξ

ξξ

2cos5.02sin5.0

23

22

22

−+⋅−−⋅

⋅⋅

= ⋅−⋅

⋅−⋅

eeeek X , (19)

których przebieg zależności funkcyjnych przedstawia rysunek:

0 1 2 3 4 5ξ

0

1

2

3

4

5

k R

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

k X

kX

kR

Rys. 6. Współczynniki wypierania prądu dla pręta prostokątnego.

Zjawisko wypierania prądu można analizować również metodami numerycznymi.

Przykładem jest metoda przewodów elementarnych [57], która pręt w żłobku

traktuje jako sieć elektryczną o „n” gałęziach równoległych powiązanych ze sobą

sprzężeniami magnetycznymi, a linie pola zagęszcza się tak, aby gęstość prądu

28

w każdym z nich można było uznać za stałą. Z metody korzysta się w przypadku,

gdy kształt żłobka znacznie odbiega od kształtu prostokątnego.

Ad. c). Zjawisko nasycenia jest przyczyną zmniejszenia efektywnej przenikalności

magnetycznej materiałów ferromagnetycznych, co w przypadku obwodów

elektrycznych zawierających te materiały skutkuje zmniejszeniem odpowiadającej

reaktancji.

Obliczenie wpływu nasycenia na reaktancję rozproszenia wykonuje się w pierwszej

kolejności dla rozproszenia szczelinowego [57], to znaczy tej części strumienia

rozproszenia, która np. w przypadku uzwojenia stojana zamyka się wokół żłobków

stojana nie obejmując przepływu uzwojenia wirnika. Wartość przepływu tθ

powodującego rozproszenie w szczelinie przyjmuje się jako średnią algebraiczną

przepływu żłobka stojana i wirnika. Wprowadza się zastępczą indukcję δeB

w szczelinie powietrznej:

δθμδ ⋅

⋅=20

teB (20)

a następnie wprowadza się współczynnik κ nasycenia obwodu magnetycznego

przez strumienie rozproszone w postaci:

δμ

μθθ

κδ

δ

FeFe

Fe

et lBB

+===

(21)

przy czym pojęcie obwód magnetyczny dotyczy drogi strumienia odpowiadającej

średniej podziałce żłobkowej stojana i wirnika oraz dwukrotnego przejścia przez

szczelinę powietrzną.

Idea powyższego postępowania została zaproponowana po raz pierwszy przez

Normana [47]. W literaturze [13, 57] proponuje się aproksymować współczynnik κ

zależnością:

29

25.07

25.52 +

+=

δ

κeB

(22)

Poniższy rysunek przedstawia zależność współczynnika nasycenia od zastępczej

indukcji w szczelinie:

0 1 2 3 4 5 6Beδ

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

κ

Rys. 7. Zależność współczynnika nasycenia od indukcji zastępczej w szczelinie.

Współczynnik κ jest pośrednio związany z nasyceniem reaktancji żłobkowej.

Problem ten jest szeroko dyskutowany w literaturze dotyczącej projektowania.

Przykładowo w przypadku kształtu żłobka wirnika silnika badanego w pracy

b2

b1

b1n

bn0

h 1Δh

1

α0

αn

Rys. 8. Oznaczenia wymiarowe uwzględniające nasycenie rdzenia w pobliżu

otwarcia żłobka wirnika przy szczelinie powietrznej.

30

postępowanie sprowadza się do zwiększenia rzeczywistego otwarcia żłobka 1b do

wartości nb1 uwzględniającej nasycenie, gdzie np. wg [13]:

nn bbb 111 Δ+= (23)

( ) ( )κ−⋅−=Δ 1101 bbb nn (24)

( )120 431 bbbn −⋅⋅= (25)

oraz odpowiedniego zwiększenia wysokości otwarcia żłobka o wartość 1hΔ .

Zmienione wartości wymiarów otwarcia żłobka reprezentują wpływ nasycenia i są

wykorzystane przy obliczeniach przewodności, a następnie reaktancji żłobkowej.

Zjawisko nasycenia ma również wpływ na reaktancje od skosu. Dokładne obliczenie

tego wpływu jest skomplikowane i w przypadku modeli analitycznych możliwe do

uwzględnienia tylko na drodze obliczeń przybliżonych [13, 57].

Podobne rozumowanie jak w przypadku reaktancji rozproszenia wirnika obowiązuje

przy ocenie wpływu nasycenia na reaktancje rozproszenia uzwojenia stojana.

Należy zauważyć, że metoda oceny wpływu nasycenia na wartość reaktancji

rozproszenia przedstawiona powyżej ma związek z zasadą superpozycji i stąd ma

znaczenie wyłącznie przybliżone w praktyce, a dokładny wpływ tego zjawiska może

być określony wyłącznie na drodze odpowiednich obliczeń polowych

pozwalających na syntetyczne ujęcie zjawiska nasycenia.

1.3.3. Wpływ stanu pracy maszyny indukcyjnej na wartości parametrów jej modelu.

Obliczenia możliwe do przeprowadzenia już na etapie projektowania maszyny,

np. wg postępowania zasygnalizowanego w poprzednich rozdziałach, wskazują na

znaczny wpływ stanu pracy maszyny na wartości parametrów schematu

zastępczego. Sytuacja ta wynika głównie z dążności projektantów do

maksymalnego wykorzystania czynnych materiałów użytych do konstrukcji

maszyny.

31

W przypadku biegu jałowego prąd w uzwojeniu stojana jest minimalny, przez co

siła elektromotoryczna sE indukowana w uzwojeniach stojana osiąga wartość

maksymalną. Jest to równoznaczne z maksymalnym strumieniem w głównym

obwodzie magnetycznym, a to w efekcie końcowym jest przyczyną maksymalnego

nasycenia w tej części obwodu. Ma to swoje odbicie w wyraźnym zmniejszeniu

wartości reaktancji magnesującej μX , co ilustruje rys. 3. Duża wartość indukcji

magnetycznej w rdzeniach maszyny pociąga za sobą wyraźne zwiększenie strat

mocy czynnej w żelazie, co z kolei jest reprezentowane przez zależności (10-11),

a temu odpowiada zmiana rezystancji FeR zgodnie ze wzorem (9).

Drugim skrajnym stanem pracy maszyny jest stan zwarcia. Na skutek braku siły

elektromotorycznej rotacji w uzwojeniach stojana maszyna zachowuje się jak

transformator w stanie zwarcia. Przy znamionowym zasilaniu w uzwojeniach płyną

duże prądy, które w przypadku małych maszyn mogą przekroczyć nawet 8-krotnie

wartość znamionową. Powoduje to bardzo znaczne nasycenie strefy zębowej stojana

i wirnika. Zgodnie z wcześniejszymi uwagami ma to wpływ na reaktancje

rozproszenia uzwojeń powodując nawet kilkakrotne zmniejszenie ich wartości.

W tym stanie pracy w przypadku maszyn klatkowych o odpowiednio wysokich

żłobkach wirnika manifestuje się też zjawisko wypierania prądu. W większych

maszynach głębokożłobkowych może to spowodować kilkakrotny wzrost

rezystancji zastępczej uzwojenia wirnika.

Stanem pracy, w którym w sposób ciągły zmienia się wpływ zjawisk wypierania

i nasycenia jest rozruch maszyny. W przypadku pracy samotnej proces rozruchu jest

stosunkowo krótki, jednak w przypadku maszyn, szczególnie dużych,

zainstalowanych w napędach przemysłowych, np. kopalnianych, czas rozruchu

może wyraźnie wzrosnąć.

Wszystkie stany pracy charakteryzujące się występowaniem dużych prądów

powinny być reprezentowane przez modele, w których rezystancje zależą od

temperatury uzwojeń. Uzasadnieniem tej opinii może być fakt, że na przykład

w przypadku ciężkich rozruchów temperatura uzwojenia klatki wirnika może

wzrosnąć nawet o kilkaset stopni. Łatwo zauważyć, że w takim przypadku

rezystancja zastępcza uzwojenia może wzrosnąć ponad dwukrotnie. Ponieważ takie

wielkości jak poślizg krytyczny, moment i prąd zwarcia maszyny zależą wyraźnie

od wartości rezystancji, zjawiska nagrzewania uzwojenia nie można pominąć.

32

Podobne uwagi są słuszne w przypadku napędów regulowanych, ponieważ

w algorytmach sterowania wartość rezystancji uzwojenia wirnika ma istotny wpływ

na ich działanie.

Rozważania przeprowadzone w punktach 1.3.1-1.3.3. uzasadniają modyfikacje

modelu na rys. 1 dla stanu ustalonego do postaci zaproponowanej w [25]:

Rs( )ϑsjX (I )σs s

jXμ(E )s R (s, E )Fe s

Is

Es

R ’(s, )r ϑr

s

Us

jX ’(s, I )σr s

I ’rIμ

Rys. 9. Schemat zastępczy silnika indukcyjnego o parametrach zmiennych dla

stałej częstotliwości zasilania.

która uwzględnia wpływ stanu pracy maszyny na wartości parametrów modelu.

Rozważania w tym punkcie zostały przeprowadzone dla modelu jednoklatkowego.

Można zauważyć, że w przypadku innych modeli, np. wieloklatkowych opisane

zjawiska uzasadnią uzmiennienie parametrów również w tych modelach.

1.4. Procesy identyfikacji.

W odróżnieniu od modeli maszyny magnetycznie liniowych opisanych zwykle

przez zbiór ich parametrów, modele maszyn indukcyjnych uwzględniających

zjawiska nasycenia i wypierania prądu są opisywane z reguły przy pomocy funkcji

parametrów. To stwarza większe trudności w procedurze wyznaczania modeli.

Funkcje parametrów można wyznaczyć na drodze pomiarowej lub przy pomocy

obliczeń polowych. Postępowanie może być oddzielne dla parametrów gałęzi

poprzecznej i podłużnej schematu zastępczego, np. [27], lub w sposób syntetyczny

dla całego modelu.

Stosowane są metody obliczeń identyfikacyjnych polegających na zastosowaniu

metody najmniejszych kwadratów, metody największej wiarygodności, przy czym

33

wykorzystywane są tak algorytmy deterministyczne (gradientowa lub

bezgradientowa) jak genetyczne. Z reguły stosowane są metody optymalizacji

skalarnej, ale spotyka się również prace, w których wykorzystuje się optymalizację

wielokryterialną [23, 25]. Wiele szczególnych informacji dotyczących problemów

identyfikacji maszyn indukcyjnych można znaleźć w licznej literaturze fachowej,

np. [1, 12, 15, 26, 35, 38, 39, 65].

34

ROZDZIAŁ 2

WYKONANIE POMIARÓW SILNIKA INDUKCYJNEGO

35

2. Wykonanie pomiarów silnika indukcyjnego.

Celem wykonania pomiarów wybranych stanów pracy silnika indukcyjnego było

dostarczenie danych potrzebnych do identyfikacji i weryfikacji badanych modeli.

Zgodnie z procedurą przyjętą w rozprawie, a stosowaną już we wcześniejszych pracach

[21, 25], przeprowadzono próby:

• biegu jałowego,

• zwarcia,

• rozruchu i wybiegu,

• obciążenia.

Szczególną uwagę zwrócono na problem nagrzewania uzwojeń. W każdym

eksperymencie mierzono rezystancje uzwojenia stojana przed rejestracją i po jej

zakończeniu, co umożliwiło określić lub oszacować średnią temperaturę uzwojeń

silnika w czasie eksperymentu.

2.1. Opis układu napędowego i schematu pomiarowego.

Wszystkie pomiary wykonane zostały dla silnika indukcyjnego klatkowego

o poniższych danych katalogowych:

Silnik klatkowy typ Sg90L-4

PN=1.5 kW

UN=380 V

IN=3.7 A

cosϕN=0.797

nN=1420 obr./min.

Układ napędowy przedstawiony na rys. 10 umożliwił wykonanie pomiarów we

wszystkich potrzebnych stanach pracy silnika. Badany silnik był elementem

klasycznego układu Leonarda.

Zasilanie silnika realizowane było z autotransformatora o własnym układzie

napędowym rdzenia.

36

3M 3M

+ _ + _

Silnik badany

Rys. 10. Schemat układu napędowego.

W pomiarach wykorzystano system pomiarowy [21], który został opracowany

w czasie realizacji projektu badawczego KBN nr 4T10A03922 [24], którego autor

był wykonawcą. System składa się z:

• komputera PC z kartą pomiarową PCI 1710 firmy Advantech,

• zestawu pomiarowego złożonego z napięciowych i prądowych

przetworników LEM,

• impulsatora do pomiaru kąta obrotu z układem elektronicznym do obróbki

cyfrowej,

• programu do rejestracji danych w środowisku LabVIEW 6.0,

• pakietu programów w języku FORTRAN do obróbki danych pomiarowych.

Wyniki pomiarowe zostały zarejestrowane za pomocą przetwornika a/c i zapisane

na komputerze. Do karty pomiarowej doprowadzone zostały sygnały:

• napięć przewodowych RSU i TSU ,

• prądów RI i TI ,

• kąta obrotu z układu impulsatora i przetwornika c/a,

• napięcia i prądu stałego potrzebnych do wyznaczenia rezystancji.

37

Ogólny schemat pomiarowy przedstawia poniższy schemat:

W1

AsR

S

T

P1

W3

A2

**

*kKL

l

kKL

l

P2

A3

R

S

T

W2

UTS ITURS IR

Tr

A1

V1

Impulsator

URS

Pomiar kąta

ϕ

Stanowisko regulatora napięcia

UTS

Silnikbadany

*

PrzetwornikiLEM

{ {

Przetworniksygnału kąta

Rys. 11. Układ pomiarowy.

Dane pomiarowe były przetworzone z uwzględnieniem kompensacji błędów

statycznych i dynamicznych toru pomiarowego [21].

2.2. Pomiar biegu jałowego.

Celem pomiaru biegu jałowego silnika było uzyskanie danych potrzebnych do

założonego postępowania identyfikacyjnego. Jak wiadomo, dane te w decydującym

stopniu wpływają na parametry gałęzi poprzecznej schematu zastępczego (rys. 9).

Pomiar biegu jałowego wykonany został dla trzech różnych częstotliwości

napięcia zasilającego. I tak dla częstotliwości 50 Hz regulację zasilania realizowano

z autotransformatora o własnym układzie napędowym rdzenia, a dla częstotliwości

30 i 70 Hz do regulacji zasilania użyto generatora synchronicznego napędzanego

silnikiem prądu stałego. Mierzone były napięcie przewodowe, prąd liniowy oraz

moc czynna. Otrzymane wyniki przedstawione są w poniższych tabelach:

38

Tabela 1. Wyniki biegu jałowego:

a) dla częstotliwości 50 Hz.

URS [V] Iśr [A] P0 [W]

101 0.825 122.5

149 0.81 132

200.8 0.975 149

250 1.19 167.5

298 1.49 200

348 1.825 240

398.4 2.55 318

455.2 4.05 525

b) dla częstotliwości 30 Hz.

URS [V] Iśr [A] P0 [W]

60 0.675 60

92 0.725 67

121 0.925 79

150 1.16 92.5

184 1.525 119.5

220 2.125 172.5

242 2.78 235

248.4 3.1 270

c) dla częstotliwości 70 Hz.

URS [V] Iśr [A] P0 [W]

81 1.11 139.3

119.6 0.94 143.6

163.2 1.04 158.8

198 1.23 174.7

244.8 1.55 207.9

282 1.99 242.5

318.4 2.74 303.1

Na rys. 12 przedstawione zostały charakterystyki biegu jałowego w postaci

funkcji prądu oraz mocy biernej jednej fazy od napięcia zasilającego,

39

0 100 200 300 400 500napięcie międzyfazowe U0 (V)

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5sk

utec

zny

prąd

fazo

wy

I 0 (A

)

0 100 200 300 400 500napięcie międzyfazowe U0 (V)

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

fazo

wa

moc

bie

rna

Q0 (

VA

r)

a) b)

Rys. 12. Charakterystyki skutecznego prądu fazowego 0I (a) i fazowej mocy

biernej (b) wyznaczone przy biegu jałowym silnika dla f=50 Hz.

a na rys. 13 - funkcje mocy czynnej wejściowej zmierzonej dla różnych

częstotliwości napięcia zasilającego.

0 100 200 300 400 500napięcie międzyfazowe U0 (V)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

wejśc

iow

a m

oc c

zynn

a (W

)

50 (Hz)30 (Hz)70 (Hz)

Rys. 13. Charakterystyki wejściowej mocy czynnej dla biegu jałowego.

40

Pomiar rezystancji uzwojenia fazy stojana przedstawiają wyniki:

a) w chwili rozpoczęcia testu: Ω= 75.4jsbR ,

b) w chwili zakończenia testu: Ω= 0.5jseR .

2.3. Próba zwarcia.

Wykonanie pomiaru polegało na zarejestrowaniu wspomnianych

wcześniej dwóch prądów i dwóch napięć liniowych. Napięcie zasilające

regulowane było w sposób ciągły, od wartości maksymalnej w dół, za

pomocą autotransformatora z własnym układem napędowym.

Poniższe wykresy przedstawiają zarejestrowane wielkości jednego z napięć

i prądów:

0 5 10 15 20 25czas (s)

-800

-400

0

400

800

napięc

ie m

iędz

yfaz

owe

(V)

0 5 10 15 20 25czas (s)

-40

-20

0

20

40

prąd

fazo

wy

(A)

a) b)

Rys. 14. Przebieg napięcia (a) i prądu (b) liniowego w czasie próby zwarcia.

Kolejne wykresy przedstawiają funkcje wartości skutecznych powyższego

napięcia i prądu liniowego

41

0 5 10 15 20 25czas (s)

050

100150200250300350400450

skut

eczn

e na

pięc

ie m

iędz

yfaz

owe

(V)

0 5 10 15 20 25czas (s)

0

4

8

12

16

20

24

28

skut

eczn

y prąd

fazo

wy

(A)

a) b)

Rys. 15. Funkcje wartości skutecznych napięcia (a) i prądu (b) liniowego stojana

w czasie próby zwarcia.

oraz funkcje mocy biernej i mocy czynnej wejściowej jednej fazy, które mogą

służyć jako wielkości odniesienia w procedurze identyfikacji modelu silnika

indukcyjnego.

0 5 10 15 20 25czas (s)

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

wejśc

iow

a m

oc c

zynn

a (W

)

0 5 10 15 20 25czas (s)

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

wejśc

iow

a m

oc b

iern

a (V

Ar)

a) b)

Rys. 16. Charakterystyka mocy biernej (a) oraz mocy czynnej (b) wejściowej

podczas próby zwarcia.

42

Dodatkowym pomiarem towarzyszącym próbie zwarcia był pomiar rezystancji

uzwojenia stojana przed i po eksperymencie, który wykonano metodą techniczną.

Potrzebne do tego napięcie i prąd były rejestrowane przy pomocy przetwornika a/c,

dzięki czemu zminimalizowano błąd oszacowania wartości rezystancji w chwilach

rozpoczęcia i zakończenia testu zwarcia.

Wykonanie próby zwarcia spowodowało wyraźne nagrzanie się uzwojeń

maszyny. W chwili odłączenia zasilania od uzwojeń stojana rozpoczął się proces

chłodzenia. Konieczna była aproksymacja funkcji rezystancji od chwili odłączenia

układu zasilania silnika do momentu rozpoczęcia pomiaru wielkości definiujących

rezystancje.

Rys. 17 przedstawia wynik tych działań:

0 2 4 6czas (s)

4.76

4.765

4.77

4.775

4.78

4.785

rezy

stan

cja

uzw

ojen

ia st

ojan

a (Ω

)

0 2 4 6 8czas (s)

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9

6re

zyst

ancj

a uz

woj

enia

stoj

ana

(Ω)

a) b)

Rys. 17. Przebiegi czasowe zmierzonej rezystancji początkowej (a) i końcowej (b)

stojana metodą techniczną

Uzyskano wartości rezystancji jednej fazy stojana:

a) w chwili rozpoczęcia testu zwarcia: Ω= 4.773zsbR ,

b) w chwili zakończenia testu zwarcia: Ω= 5.926zseR .

43

2.4. Wybieg.

W celu określenia rozruchowego momentu elektrycznego na podstawie momentu

rozruchowego na wale wykonano test wybiegu silnika w celu uwzględnienia strat

mechanicznych. Wielkością rejestrowaną był kąt obrotu.

Na poniższym rysunku przedstawiono prędkość i przyspieszenie w czasie próby.

0 4 8 12 16 20czas (s)

0

50

100

150

200

250

300

pręd

kość

kąt

owa

(rad

/s)

0 50 100 150 200 250 300prędkość kątowa (rad/s)

-30

-25

-20

-15

-10

-5

przy

spie

szen

ie (1

/s2 )

a) b)

Rys. 18. Przebieg prędkości obrotowej w czasie (a) i przyspieszenia w funkcji

prędkości obrotowej (b) podczas wybiegu silnika badanego.

2.5. Rozruch.

Rozruch został przeprowadzony przy obniżonym napięciu zasilającym U=230V.

Ze względu na elastyczną sieć, napięcie na zaciskach silnika zmieniało się wraz

ze zmianą prądu. Pomiar wielkości napięć, prądów i sygnału napięciowego kąta

obrotowego wykonano przy pomocy systemu opisanego wcześniej.

Wynik rejestracji wielkości mierzonych jako funkcji czasu przedstawiają poniższe

rysunki.

44

0 0.4 0.8 1.2 1.6czas (s)

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

prąd

fazo

wy

(A)

0 0.4 0.8 1.2 1.6czas (s)

-400

-200

0

200

400

napięc

ie m

iędz

yfaz

owe

(V)

a) b)

Rys. 19. Przebieg napięcia (a) i prądu (b) liniowego podczas rozruchu.

Wielkości skuteczne tych wielkości są przedstawione na rys. 20

0 0.4 0.8 1.2 1.6czas (s)

0

2

4

6

8

10

12

skut

eczn

y prąd

fazo

wy

(A)

0 0.4 0.8 1.2 1.6czas (s)

210

215

220

225

230

235

skut

eczn

e na

pięc

ie fa

zow

e (V

)

a) b)

Rys. 20. Funkcje wartości skutecznych napięcia (a) i prądu (b) jednej fazy stojana

podczas rozruchu.

Przebiegi kąta i prędkości obrotowej uzyskane w wyniku obróbki sygnału

pomiarowego z impulsatora [21] są zamieszczone na rys. 21,

45

0 0.4 0.8 1.2 1.6czas (s)

0

20

40

60

80

100

120

140ką

t obr

otu

0 0.4 0.8 1.2 1.6czas (s)

0

40

80

120

160

pręd

kość

kąt

owa

(rad

/s)

a) b)

Rys. 21. Przebiegi w czasie podczas rozruchu zarejestrowanego kąta obrotu (a) i

obliczonej prędkości kątowej (b).

a czynna i bierna moc wejściowa jednej fazy stojana:

0 0.4 0.8 1.2 1.6czas (s)

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

fazo

wa

moc

czy

nna

(W)

0 0.4 0.8 1.2 1.6czas (s)

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

fazo

wa

moc

bie

rna

(VA

r)

a) b)

Rys. 22. Przebieg funkcji mocy biernej (a) i czynnej (b) wejściowej jednej fazy

stojana podczas rozruchu.

46

Wyniki na rys. 18 pozwalają oszacować przebieg funkcji elektrycznego momentu

rozruchowego na wale zgodnie z zależnością:

( ) ( ) ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅= ω

ωωωω

dtd

dtdJT wr

el (26)

gdzie:

J - moment bezwładność wyznaczony wg procedury opisanej w [20],

dtd rω - pochodna funkcji prędkości wyznaczonej w próbie rozruchu silnika

badanego,

dtd wω - pochodna funkcji prędkości wyznaczonej w czasie wybiegu silnika

badanego.

0 20 40 60 80 100 120 140 160prędkość kątowa (rad/s)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

mom

ent

rozr

ucho

wy

(Nm

)

Rys. 23. Estymata elektrycznego momentu rozruchowego w funkcji prędkości

kątowej.

Dodatkowo wykonano pomiar rezystancji przed i po rozruchu wg procedury

opisanej w pkt. 2.3

47

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2czas (s)

4.6

4.64

4.68

4.72

4.76

rezy

stan

cja

uzw

ojen

ia st

ojan

a (Ω

)

0 0.4 0.8 1.2 1.6czas (s)

4.6

4.64

4.68

4.72

4.76

4.8

rezy

stan

cja

uzw

ojen

ia st

ojan

a (Ω

)

a) b)

Rys. 24. Przebiegi czasowe zmierzonej rezystancji początkowej (a) i końcowej (b)

uzwojenia stojana metodą techniczną.

Uzyskano wartości rezystancji jednej fazy stojana:

a) w chwili rozpoczęcia próby rozruchu: Ω= 4.717rsbR ,

b) w chwili zakończenia próby rozruchu: Ω= 724.4rseR .

2.6. Pomiary cieplne.

Do wykonania pomiaru nagrzewania uzwojeń stojana w silniku badanym

zmieniono konfiguracje połączeń uzwojeń fazowych łącząc je w szereg i zasilono je

z maszyny prądu stałego wg poniższego schematu.

U

V

W

X

Y

Z

A

V

3M

+ _

Rys. 25. Układ do pomiaru nagrzewania uzwojenia stojana.

48

Wielkościami mierzonymi w czasie rejestracji było napięcie i prąd płynący przez

uzwojenia. Wynikiem pomiaru są funkcje napięcia i prądu przedstawione na rys. 26.

Pomiar ten został wykorzystany do weryfikacji modeli cieplnych silnika.

0 100 200 300czas (s)

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

prąd

(A)

0 100 200 300czas (s)

60

62

64

66

68

napięc

ie (V

)

a) b)

Rys. 26. Przebieg napięcia (a) i prądu (b) podczas próby grzania.

Obliczona z wartości zmierzonych rezystancja uzwojeń połączonych szeregowo jest

przedstawiona na rys. 27. Pozwoliła ona na ocenę ich średniego stanu cieplnego

w każdej chwili czasowej eksperymentu,

0 100 200 300czas (s)

14

14.5

15

15.5

16

16.5

sum

a re

zyst

ancj

i (Ω

)

Rys. 27. Przebieg otrzymanej rezystancji uzwojeń stojana połączonych w szereg

podczas próby grzania.

49

a tym samym wykreślenie funkcji zmieniającej się temperatury uzwojeń w czasie

pomiaru wg (12):

0 50 100 150 200 250 300czas (s)

15202530354045505560

tem

pera

tura

uzw

ojeń

(°C

)

Rys. 28. Wyznaczona funkcja zmieniającej się średniej temperatury uzwojeń

stojana połączonych w szereg podczas próby grzania.

Uzyskano wartości rezystancji jednej fazy stojana:

a) w chwili rozpoczęcia próby nagrzewania: Ω= 4.754nsbR ,

b) w chwili t=30 (s) próby nagrzewania: Ω= 929.430nsR ,

c) w chwili zakończenia próby nagrzewania Ω= 368.5nseR

50

ROZDZIAŁ 3

MODELE CIEPLNE SILNIKA INDUKCYJNEGO

51

3. Modele cieplne silnika indukcyjnego.

Zjawisko nagrzewania w silniku elektrycznym przedstawione w punkcie 1.3.2 jest

wywołane stratami mocy czynnej, głównie w uzwojeniach stojana, wirnika i rdzeniach.

Straty elektryczne reprezentowane są poprzez rezystancje gałęzi podłużnej schematu

zastępczego (rys. 9), a wielkość tych strat zależy od prądów płynących przez uzwojenia.

Zjawisko to jest przyczyną między innymi zmiany temperatury, a tym samym zmiany

rezystancji uzwojeń.

Przedstawione poniżej modele cieplne silnika indukcyjnego mają na celu

wyznaczenie funkcji rezystancji uzwojeń w czasie wykonywania pomiaru.

W pierwszym podejściu do wyznaczenia tych funkcji utworzono obwodowy model

cieplny silnika klatkowego za pomocą pakietu Simulink znajdującego się w programie

Matlab.

W celu zwiększenia dokładności obliczeń i zweryfikowania modelu obwodowego

został utworzony cieplny model polowy. Do wykonania geometrii modelu i obliczeń

wykorzystano pakiet PDETool, który również znajduje się w Matlabie.

3.1. Modele obwodowe. [17, 18, 19, 43, 45, 46]

Analizowane były następujące trzy stany pracy silnika klatkowego:

• nagrzewanie uzwojenia stojana prądem stałym,

• zwarcie,

• rozruch.

Uzwojenia silnika są traktowane jako ciała cieplnie jednorodne o równomiernym

rozkładzie temperatury. Dopuszczone jest oddawanie ciepła do otoczenia.

Krótkie czasy niektórych procesów pozwalają na przyjęcie dodatkowego

założenia modelu o adiabatycznym charakterze zjawisk cieplnych w czasie tych

procesów.

Zmierzona wartość skuteczna prądu w pkt. 2.3 i 2.5 wprowadzana jest do modelu

jako wielkość wejściowa. Przebieg tych prądów wykorzystany jest do obliczenia

mocy czynnej potrzebnej do wyznaczenia ciepła w uzwojeniach.

Przyjęty model cieplny jest opisany ogólnym równaniem (27) przedstawiającym

nagrzewanie się uzwojenia silnika:

52

{ }ϑαϑΔ⋅⋅−Δ⋅

⋅=

Δ SPcmdt

d 1 (27)

gdzie: ϑ – temperatura ciała,

Δϑ – przyrost temperatury

c – ciepło właściwe,

m –jego masa,

P – moc źródła ciepła,

S – pole powierzchni, przez którą ciepło jest oddawane,

α – współczynnik oddawania ciepła.

3.1.1. Model cieplny dla próby nagrzewania prądem stałym.

Przyjęty model cieplny dla próby nagrzewania uzwojenia stojana przedstawia

równanie (28). Wyznaczenie parametrów Ss ⋅= αα i cmcm ⋅= polegało na

dopasowaniu ich wartości w celu uzyskania zadawalającego wyniku końcowego

tak, aby funkcja rezystancji otrzymana z obliczeń modelowych miała wartości

zbliżone do zmierzonej.

2

003 I

ddR

dtdc sm ⋅

++

⋅⋅=Δ⋅+Δ

⋅ϑϑϑαϑ (28)

gdzie: 0ϑ - jest temperaturą początkową

d- współczynnik cieplny rezystancji (dla miedzi przyjmuje wartość 235, a

dla aluminium 225)

I – prąd skuteczny w uzwojeniu.

W modelu uwzględniono funkcję wartości prądu (rys. 26b) zmierzonego podczas

próby nagrzewania. Porównanie wyników modelu cieplnego z wynikami

pomiarowymi przedstawia rys. 29, z którego wynika, że zaproponowany model

dobrze opisuje charakter zjawisk cieplnych.

53

0 5 10 15 20 25 30czas (s)

4.68

4.72

4.76

4.8

4.84

4.88

4.92

4.96

5

rezy

stan

cja

jedn

ej fa

zy st

ojan

a (Ω

)

pomiarmodel

0 5 10 15 20 25 30czas (s)

0

2

4

6

8

10

12

przy

rost

tem

pera

tury

Δϑ

s (°C

)

pomiarmodel

a) b)

Rys. 29. Porównanie otrzymanych funkcji rezystancji dla jednej fazy stojana (a)

i przyrostu temperatury (b) modelu z wynikami pomiarowymi.

Rys. 30 przedstawia schemat blokowy modelu obliczeniowego utworzonego

w pakiecie Simulink wg zależności (28) dla uzwojenia stojana:

2deta_s

1 Rs1

teta_s

teta_0

teta_0

u[1]^2

i^2 -K-

alfa_s_s

Rs

Product

1s

Integrator

-K-

Gain3

-K-

Gain2 -K-

Gain1

-K-

Gain

-C-

235/(235+teta_0)

-K-

1/(235+teta_0)

1i(t)

Rys. 30. Schemat blokowy do symulacji nagrzewania uzwojenia stojana.

3.1.2. Model cieplny dla próby zwarcia.

We wstępnym pierwszym etapie analizy utworzony został model, w którym silnik

potraktowany został jako całość bez podziału na stojan i wirnik. Obliczenia bazują

na zwarciowych danych pomiarowych, które są przedstawione na rys. 15 i rys. 16

54

(prąd zwarcia, moc zwarcia). Dodatkowo wyliczona została rezystancja zwarcia

w chwili początkowej t0 według równania:

( )( )0

20

0 3 tItPR

z

zz ⋅

= (29)

gdzie: Rz0 – rezystancja zwarcia w chwili t0=0,

Pz(t0), Iz(t0)– zmierzone wartości mocy czynnej i prądu skutecznego zwarcia

w chwili t0

Takie podejście pozwala wyznaczyć parametry równania (27) Ssz ⋅= αα

i cmcmz ⋅= potrzebne do obliczeń wyjściowego modelu cieplnego.

Po zastosowaniu metody regresji liniowej otrzymano równanie:

( ) bAAAc TT

sz

mz 1−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡α

(30)

gdzie: [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡Δ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ Δ= p

p

dtd

A ϑϑ

jest macierzą eksperymentu

Δϑp – funkcja zmienności temperatury wyznaczona z zależności [46]:

( ) ( )( )

( )( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅= 11

20

0 tItI

tPtP

dt

z

z

z

zp Δ

ΔϑΔ (31)

[ ]zPb Δ= wektor zmierzonej mocy czynnej wejściowej

Tabela 2. Wartości wyznaczonych parametrów równania (27) wg (30).

αsz 19.1269

cmz 1452.874

Obliczone wartości liczbowe parametrów αsz i cmz podstawiono do modelu

cieplnego (27), a rozwiązanie Δϑ otrzymane z modelu zostało porównane z funkcją

Δϑp wyznaczoną przy pomocy pomiarów (rys. 31b).

55

0 5 10 15 20 25czas (s)

7.67.8

88.28.48.68.8

99.29.49.6

rezy

stan

cja

zwar

ciow

a R

z (Ω

)

Rz pomiarRz model

0 5 10 15 20 25czas (s)

0

10

20

30

40

50

60

przy

rost

tem

pera

tury

Δϑ

(°C

)

Δϑ pomiarΔϑ model

a) b)

Rys. 31. Porównanie otrzymanych funkcji rezystancji zwarciowej (a) i przyrostu

temperatury modelu (b) z wynikami pomiarowymi.

Z rys. 31 wynika, że zaproponowany model dobrze opisuje charakter zjawisk

cieplnych i może być wykorzystany do wyznaczenia modeli cieplnych stojana

i wirnika traktowanych jako niezależne układy.

Wartości współczynników cm i αs wyznaczane były metodą prób i błędów do

momentu uzyskania zadawalającego wyniku końcowego w taki sposób, aby funkcje

rezystancji stojana Rs oraz wirnika 'rR wynikające z rozwiązania (28) miały

wartości początkowe i końcowe równe zmierzonym. Postępowanie takie przyjęto

wobec braku innych informacji o procesie na tym etapie badań.

Model uwzględniał funkcję wartości skutecznej prądu (rys. 15) zmierzonego

podczas próby zwarcia jako wielkość wymuszającą.

W tabeli 3 przedstawiono wyznaczone wartości współczynników cm i αs dla

uzwojenia stojana i wirnika.

Tabela 3. Wartości współczynników αs i cm dla uzwojenia stojana i wirnika.

αss 0.122

cms 9.78

αsr 0.3

cmr 27.1

56

Uzyskane wyniki w postaci funkcji czasu rezystancji i temperatury uzwojeń stojana

i wirnika są przedstawione na rys. 32.

0 5 10 15 20 25czas (s)

3

4

5

6

7

rezy

stan

cja

uzw

ojen

ia R

s, R

' r (Ω

)

R'r

Rs

0 5 10 15 20 25czas (s)

0

10

20

30

40

50

60

70

przy

rost

tem

pera

tury

Δϑ

s, Δ

ϑr (

°C)

Δϑs

Δϑr

a) b)

Rys. 32. Przebiegi funkcji rezystancji uzwojeń (a) i ich przyrostu temperatury (b)

otrzymanych z rozwiązania modelu cieplnego.

Jako wielkości odniesienia w weryfikacji wyznaczonych modeli cieplnych

stojana i wirnika użyto przebieg rezystancji zwarciowej obliczony z zależności:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=

00 ϑ

ϑdd

RtR pzzp (32)

gdzie: Rzp – rezystancja zwarciowa z pomiarów

Rz0 – rezystancja zwarciowa w chwili t0=0

ϑp – uśredniona temperatura silnika wg rys. 29.

Na rys. 33 jest to krzywa Rz pomiar.

Następnie z wyników wyznaczonych za pomocą modelu cieplnego, w którym

uzwojenia stojana i wirnika traktowane są oddzielnie, została wyliczona funkcja

czasowa rezystancji zwarcia według równania (33).

57

( ) ( ) ( )tRtRtR rsz

'+= (33)

gdzie: Rz(t) – funkcja rezystancji zwarciowej z modelu,

Rs(t) – funkcja rezystancji stojana z modelu,

( )tRr' – funkcja rezystancji wirnika z modelu.

Porównanie rezystancji zwarciowych wyznaczonych powyższym sposobem

przedstawia rys. 33.

0 5 10 15 20 25czas (s)

7.6

8

8.4

8.8

9.2

9.6

rezy

stan

cja

zwar

ciow

a R

z (Ω

)

Rz pomiarRz model

Rys. 33. Porównanie rezystancji zwarciowej otrzymanej z modelu cieplnego dla

stojana i wirnika z pomiarem.

Schemat blokowy modelu obliczeniowego wg zależności (28) dla uzwojenia

stojana jest przedstawiony na rys. 30.

Dla uzwojenia wirnika został utworzony i wykorzystany w obliczeniach podobny

schemat blokowy.

3.1.3. Model cieplny dla rozruchu.

Proponowany model cieplny zdefiniowany w równaniu (27) odpowiada stanowi,

w którym wirnik silnika jest zablokowany. W przypadku rozruchu maszyny model

cieplny silnika rozbudowany został o człon, który uwzględnia chłodzenie

58

pochodzące od wentylacji wywołanej prędkością obrotową wirnika [30]. Ogólne

równanie dla tego przypadku zostało zdefiniowane poniżej:

[ ]{ }ϑαϑΔ⋅⋅+⋅⋅−Δ⋅

⋅=

ΔavkSP

cmdtd

011 (34)

gdzie: ϑ -temperatura ciała,

Δϑ - przyrost temperatury uzwojenia,

c – jego ciepło właściwe,

m –jego masa,

P – moc źródła ciepła,

S – pole powierzchni, przez którą ciepło jest oddawane,

k0 – współczynnik efektywności wentylacji,

α – współczynnik oddawania ciepła,

νa – prędkość obrotowa wirnika.

Współczynnik k0 związany z wentylacją od wirującego wirnika dla silnika

klatkowego został przyjęty na podstawie literatury [30], a wartości współczynników

cm i αs dla uzwojeń stojana i wirnika przyjęte zostały jak w pkt. 3.1.2 (tabela 3).

Można zauważyć, że jeżeli przyjmiemy prędkość va=0, to model cieplny opisany

równaniem (27) ma postać odpowiedniego modelu dla stanu zwarcia analizowanego

w pkt. 3.1.2.

Model uwzględniał funkcję wartości skutecznej prądu (rys. 20) zmierzonego

podczas rozruchu. Wynikiem rozwiązania modelu cieplnego (34) są przebiegi

funkcji rezystancji i przyrostu temperatury uzwojeń stojana i wirnika przedstawione

na rys. 34. Przebiegi przyrostów temperatury uzwojeń, dla których parametr 0=sα ,

oznacza założenie procesu adiabatycznego w modelu.

59

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2czas (s)

1

1.001

1.002

1.003

1.004w

zgle

dne

war

tosc

i Rs i

Rr

Rr

Rs

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2czas (s)

0

0.4

0.8

1.2

1.6

przy

rost

tem

pera

tury

Δϑ

s, Δ

ϑr (

°C)

Δϑs, αss=αss

Δϑr, αsr=αsr

Δϑr, αsr=0

Δϑs, αss=0

a) b)

Rys. 34. Funkcje rezystancji uzwojeń (a) i ich przyrosty temperatury (b) podczas

rozruchu.

Rys. 35 i rys. 36 przedstawiają schematy blokowe modelu obliczeniowego

wg zależności (33) dla uzwojenia stojana:

f(u)

n(t)i(t)

n(t)

Rr1

deta_r

Wirnik

simout

To Workspace

i(t)

n(t)

Rs1

deta_s

Stojan

ki

I2'/I1

f(u)

I(t)

Clock

Rys. 35. Model cieplny silnika z uwzględnieniem wentylacji od kręcącego się

wirnika.

60

2deta_s

1 Rs1

teta_s

teta_0

teta_0

u[1]^2

i^2

-K-

alfa_s_s1

-K-

alfa_s_s

Rs

Product1

Product

1s

Integrator

-K-

Gain3

-K-

Gain2 -K-

Gain1

-K-

Gain

-C-

235/(235+teta_0)

-K-

1/(235+teta_0)

2n(t)

1i(t)

Rys. 36. Model cieplny uzwojenia stojana z uwzględnieniem wentylacji od

kręcącego się wirnika (blok „stojan” na rys. 35).

3.2. Modele do polowych obliczeń cieplnych [42, 44].

Podejście do problemu symulacji zjawisk cieplnych silnika indukcyjnego tak jak

w pkt. 3.1. jest uproszczone i wymagało zweryfikowania proponowanych modeli.

Do tego celu utworzone zostały polowe modele cieplne silnika badanego, które

rozwiązywane są metodą polową przy pomocy cząstkowych równań

parabolicznych. Geometria oraz obliczenia polowe modeli wykonywane zostały

w oparciu o pakiet PDE Toolbox znajdujący się w programie Matlab 7.2. Pakiet ten

umożliwia obliczenia cieplne w dwuwymiarowym układzie współrzędnych.

Model cieplny zdefiniowany w równaniu (35) przedstawia nagrzewanie obszaru

jednorodnego w maszynie.

61

( ) Qkt

c =∇⋅⋅∇−∂∂

⋅⋅ ϑϑρ (35)

gdzie: ϑ - temperatura ciała ( C° ),

c – jego ciepło właściwe ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛°⋅ Ckg

J ,

ρ - gęstość ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

3mkg ,

k – współczynnik przewodzenia ciepła ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

°⋅ CmW ,

Q – źródło ciepła ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

3mW .

Model silnika został podzielony na obszary w taki sposób, aby każda

z wyodrębnionych części spełniała warunki ciała cieplnie jednorodnego.

W analizowanych modelach są to uzwojenia stojana i wirnika, pakiety blach stojana

i wirnika, szczelina powietrzna oraz warstwy izolacyjne między żłobkami

i rdzeniem.

3.2.1. Model silnika z uwzględnieniem symetrii.

Wykorzystując fakt, że silnik indukcyjny ma cztery bieguny, stojan ma

36 żłobków, a wirnik 28, pełny geometryczny model silnika został zredukowany

w obliczeniach polowych do jednej ćwiartki, na którą przypadało dziewięć żłobków

stojana i siedem żłobków wirnika. Model ten przedstawiony jest na rys. 37.

62

Rys. 37. Obliczeniowy model geometrii silnika (jedna ćwiartka).

Wykonanie geometrii modelu polegało na składaniu figur geometrycznych

i zapisaniu odpowiedniej formuły logicznej. Rys. 38 przedstawia wygląd ekranu

interfejsu graficznego, na którym przykładowo utworzony został jeden żłobek

wirnika.

Rys. 38. Geometria żłobka wirnika dla modelu obliczeniowego.

Na rys. 39 przedstawiony jest kompletny zestaw figur potrzebnych do utworzenia

modelu ćwiartki silnika. Po zapisaniu odpowiedniej formuły w miejscu oznaczonym

czerwoną ramką na rys. 39 można było przejść do kolejnego etapu, w którym można

było określić warunki brzegowe dla modelu.

63

Rys. 39. Kompletna geometria modelu obliczeniowego.

W modelu założono warunek brzegowy Neumana drugiego rodzaju w postaci:

( ) gqgradkn =⋅+⋅⋅ ϑϑ (36)

gdzie: ϑ - temperatura ciała ( )C° ,

n – składowa normalna,

k – współczynnik przewodzenia ciepła ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

°⋅ CmW ,

q – współczynnik przenoszenia ciepła ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

°⋅ CmW2 ,

g – strumień ciepła ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2mW .

64

Rys. 40. Warunki brzegowe dla modelu.

Na rys. 40 oznaczono cyframi 1-4 powierzchnie, dla których zdefiniowano warunki

brzegowe. Dla powierzchni 1, 2 i 3 w warunku Neumana założono brak oddawania

ciepła na zewnątrz. Natomiast dla zewnętrznej części pakietu oznaczonej cyfrą 4

dobrano parametry równania (36), tak aby ciepło z pakietu stojana mogło być

oddawane na zewnątrz.

Po zdefiniowaniu warunków brzegowych wyodrębniono obszary modelu, które

różniły się między sobą własnościami fizycznymi wynikającymi z użytego materiału

(żłobek stojana i wirnika, izolacja żłobkowa stojana, otaczająca powierzchnia

pakietów oraz szczelina powietrzna) i zdefiniowano dla nich parametry równania

cieplnego (35).

Kolejna ilustracja przedstawia wygenerowaną poprzez program przykładową siatkę

obliczeniową dla analizowanego modelu.

Przyjęcie do obliczeń tak gęstej siatki wynikało z geometrii modelu. Dla małych

elementów modelu, takich jak np. szczelina powietrzna i izolacja żłobkowa stojana

siatka jest odpowiednio zagęszczona, natomiast dla pozostałych elementów gęstość

siatki jest generowana przez program.

65

Rys. 41. Siatka obliczeniowa dla modelu ćwiartki silnika.

3.2.1.1. Wyniki próby nagrzewania dla modelu ćwiartki silnika.

Celem obliczeń polowych jest wyliczenie metodą iteracyjną średniej funkcji

rezystywności uzwojenia stojana przy założonej funkcji wymuszającej prądu stałego

wg rys. 26b.

W pierwszym podejściu do obliczeń przyjmuje się rezystywność uzwojeń jako

wartość stałą niezależną od czasu. Z otrzymanych wyników cieplnych obliczeń

polowych dla kolejnych kroków czasowych wylicza się średnią temperaturę dla

powierzchni żłobka stojana i wirnika, a następnie wg zależności (12 i 13) otrzymuje

się średnią rezystywność dla danego kroku obliczeń. Algorytm obliczenia średniej

rezystywności przedstawia rys. 42.

66

ρi=const

I=1

| - |<ρ ρ εi+1 i ρ

i=i+1

i>imax STOPN T

N T

ρ (t) - wg (12) i (13)i+1

maxt

rozwiązanie (35) (t)ϑ i

Rys. 42. Algorytm obliczania wartości średniej rezystywności.

Wyniki rozwiązania dla stałej rezystywności przedstawia iteracja 1 na rys. 43.

W kolejnych iteracjach do modelu polowego wprowadza się funkcję rezystywności

wyliczaną w poprzedzających obliczeniach.

67

0 10 20 30czas (s)

1.75E-008

1.76E-008

1.77E-008

1.78E-008

1.79E-008

1.8E-008

1.81E-008

1.82E-008

rezy

styw

ność

uzw

ojen

ia st

ojan

a ρ s

(Ωm

)

iteracja 1iteracja 2iteracja 3

Rys. 43. Funkcja średniej rezystywności uzwojenia stojana w kolejnych

iteracjach.

Jak widać z rys. 43, już po drugiej iteracji można zaobserwować zbieżność

procedury dla funkcji średniej rezystywności.

Wynikiem obliczeń polowych jest zmiana temperatury w czasie dla wydzielonych

obszarów jednorodnych. Poniżej przedstawione są wyniki obliczeń rozkładu

temperatury dla wybranych czasów symulacji podanych w sekundach (Time=0.1, 1,

2, 5, 10, 15, 20, 25 sek.).

68

Rys. 44. Wyniki obliczeń rozkładu temperatury dla próby nagrzewania.

69

3.2.1.2. Wyniki obliczeń dla próby zwarcia.

Procedura obliczeń funkcji średniej rezystywności uzwojeń stojana i wirnika jest

wykonana jak w pkt. 3.2.1.1. Wymuszeniem dla uzwojenia stojana jest funkcja

wartości skutecznej prądu przemiennego przedstawionego na rys. 15b, natomiast dla

uzwojenia wirnika funkcja wartości prądu została przyjęta zgodnie z procedurą

projektowania silnika [13].

0 5 10 15 20 25czas (s)

1.8E-008

1.9E-008

2E-008

2.1E-008

2.2E-008

2.3E-008

rezy

styw

ność

uzw

ojen

ia st

ojan

a ρ s

(Ωm

)

iteracja 1iteracja 2iteracja 3iteracja 4

0 5 10 15 20 25czas (s)

2.9E-008

3E-008

3.1E-008

3.2E-008

3.3E-008

3.4E-008

rezy

styw

ność

uzw

ojen

ia w

irnik

a ρ r

(Ωm

)

iteracja 1iteracja 2iteracja 3iteracja 4

a) b)

Rys. 45. Funkcje średniej rezystywności dla uzwojeń stojana (a) i wirnika (b)

w kolejnych iteracjach.

Jak widać z rys. 45, już po trzeciej iteracji funkcji średniej rezystywności można

uznać procedurę za zbieżną.

Wyniki zmiany temperatury w czasie obliczeń polowych dla wydzielonych

obszarów jednorodnych przedstawia rys. 46 dla wybranych czasów symulacji.

70

Rys. 46. Wyniki obliczeń modelu ćwiartki silnika dla próby zwarcia.

71

3.2.2. Uproszczony polowy model cieplny.

Obliczenia polowe dla modelu ćwiartki silnika są długotrwałe i pracochłonne.

Celem kolejnego etapu jest skrócenie czasu obliczeń poprzez utworzenie

w pierwszej kolejności modelu uproszczonego sprowadzonego do jednej podziałki

żłobkowej stojana, a następnie dwóch modeli, w których żłobek stojana i wirnika

potraktowano oddzielnie.

3.2.2.1. Uproszczony polowy model cieplny do jednej podziałki żłobkowej.

Model obliczeniowy silnika dla jednej podziałki żłobkowej odpowiadał podziałce

żłobkowej stojana i został wykonany dla jednego żłobka stojana, jednego żłobka

wirnika oraz odpowiadającej części pakietu blach. W rzeczywistym silniku

badanym podziałka żłobkowa stojana sτ jest mniejsza od podziałki żłobkowej

wirnika rτ (rys. 47a). W tym przypadku model, który ma być uproszczony do jednej

podziałki żłobkowej można dopasowywać na wiele sposobów przyjmując różne

kryteria.

Do analizy w pracy przyjęto model, w którym podziałka żłobkowa wirnika została

zmniejszona do podziałki żłobkowej stojana. W modelu tym pomniejszone zostały

proporcjonalnie wymiary geometryczne żłobka wirnika. Tak uproszczony model

przedstawiony jest na rys. 47b. Podejście to umożliwiło wykorzystanie warunków

symetrii w definicji warunków brzegowych.

72

τs

τr

τs

1

2

3

4

a) b)

Rys. 47. Modele: (a) rzeczywisty, (b) obliczeniowy sprowadzony do jednej

podziałki żłobkowej stojana.

W powyższym modelu wymiary żłobka wirnika oraz otaczającego wycinka

pakietu blach są zmniejszone, a więc aby wycinek wirnika odwzorowywał

rzeczywistość dodatkowo zmieniono parametry równania cieplnego (35) tak, aby

procesy cieplne w żłobku były takie same jak w żłobku wirnika o wymiarach

rzeczywistych. Zmniejszenie gabarytów wycinka wirnika równocześnie w osiach

x i y podyktowane zostały brakiem możliwości analizy anizotropii materiałowej

w wykorzystywanych obliczeniach polowych przy pomocy oprogramowania

Matlab.

W modelu przyjęto warunek brzegowy Neumana drugiego rodzaju podobnie jak

dla modelu z jedną ćwiartką silnika. I tak dla powierzchni 2-4 (rys. 47b) założono

brak możliwości oddawania ciepła na zewnątrz, a dla powierzchni oznaczonej cyfrą

1 dobrano parametry równania (36), tak aby ciepło mogło być oddawane z pakietu

stojana na zewnątrz. Odniesieniem były wyniki pomiarowe.

73

3.2.2.2. Obliczenia dla próby nagrzewania.

Rys. 48 przedstawia kolejne iteracje funkcji średniej rezystywności dla uzwojenia

stojana podczas próby nagrzewania wg procedury w pkt. 3.2.1.1.

0 5 10 15 20 25 30czas (s)

1.75E-008

1.76E-008

1.77E-008

1.78E-008

1.79E-008

1.8E-008

1.81E-008

1.82E-008

1.83E-008re

zyst

ywność

uzw

ojen

ia st

ojan

a ρ s (

Ωm

)

iteracja 1iteracja 2iteracja 3

Rys. 48. Funkcja średniej rezystywności dla uzwojenia stojana w kolejnych

iteacjach.

Wyniki obliczeń dla modelu uproszczonego do jednej podziałki żłobkowej stojana

dla wybranych czasów symulacji podanych w sekundach (Time= 0.1, 5, 10, 15, 20,

25 sek.) przedstawia rys. 49.

74

Rys. 49. Wyniki obliczeń dla próby nagrzewania modelu uproszczonego do jednej

podziałki żłobkowej stojana.

Porównanie modeli dla jednej ćwiartki silnika oraz jednej podziałki żłobkowej

stojana podczas próby nagrzewania przedstawia rys. 50.

75

0 5 10 15 20 25 30czas (s)

1.75E-008

1.76E-008

1.77E-008

1.78E-008

1.79E-008

1.8E-008

1.81E-008

1.82E-008

1.83E-008

rezy

styw

ność

stoj

ana

ρ s (Ω

m)

model ćwiartkamodel uproszczony

Rys. 50. Porównanie funkcji średniej rezystywności uzwojenia stojana otrzymanej

z analizowanych dwóch modeli polowych silnika

Można zaobserwować dobrą zgodność wyników sugerującą możliwość

wykorzystania modelu uproszczonego w dalszych badaniach zamiast modelu

ćwiartki silnika.

3.2.2.3. Obliczenia dla próby zwarcia.

W modelu polowym uproszczonym do jednej podziałki żłobkowej stojana dla

uzwojeń stojana i wirnika przyjęto funkcje wymuszające jak w pkt. 3.2.1.2.

Na rys. 51 przedstawione są funkcje rezystywności stojana i wirnika w kolejnych

iteracjach, a na rys. 52 wyniki rozwiązania obliczeń polowych dla wybranych

czasów symulacji podanych w sekundach (Time= 0.1, 5, 10, 15, 20, 25 sek.).

76

0 5 10 15 20 25czas (s)

1.8E-008

1.9E-008

2E-008

2.1E-008

2.2E-008

2.3E-008

rezy

styw

ność

uzw

ojen

ia st

ojan

a ρ s

(Ωm

)

iteracja 1iteracja 2iteracja 3iteracja 4

0 5 10 15 20 25czas (s)

2.9E-008

3E-008

3.1E-008

3.2E-008

3.3E-008

3.4E-008

rezy

styw

ność

uzw

ojen

ia w

irnik

a ρ r (

Ωm

)

iteracja 1iteracja 2iteracja 3iteracja 4

a) b)

Rys. 51. Funkcje średniej rezystywności modelu uproszczonego dla uzwojeń

stojana (a) i wirnika (b) w kolejnych iteracjach.

77

Rys. 52. Wyniki obliczeń modelu cieplnego dla jednej podziałki żłobkowej

stojana.

W celu zweryfikowania modelu uproszczonego do jednej podziałki żłobkowej

stojana wykonano obliczenia dla modelu ćwiartki silnika. Wynikiem są

przedstawione na rys. 53 funkcje rezystywności uzwojeń stojana i wirnika.

0 5 10 15 20 25czas (s)

2.9E-008

3E-008

3.1E-008

3.2E-008

3.3E-008

3.4E-008

rezy

styw

ność

uzw

ojen

ia w

irnik

a ρ r

(Ωm

)

model ćwiartkamodel uproszczony

0 5 10 15 20 25czas (s)

1.7E-008

1.8E-008

1.9E-008

2E-008

2.1E-008

2.2E-008

2.3E-008

rezy

styw

ność

uzw

ojen

ia st

ojan

a ρ s

(Ωm

)

model ćwiartkamodel uproszczony

a) b)

Rys. 53. Porównanie funkcji średniej rezystywności uzwojenia stojana (a)

i wirnika (b) otrzymanej z analizowanych dwóch modeli polowych

silnika.

78

Jak widać z powyższych ilustracji model uproszczony daje dobre wyniki, które

porównane zostały z modelem pełnym silnika i może być używany w dalszych

obliczeniach.

3.2.2.4. Uproszczone modele cieplne silnika dla jednego żłobka stojana oraz jednego żłobka wirnika.

Kolejnym uproszczeniem modelu cieplnego silnika są modele, w których żłobek

stojana i wirnika potraktowano jako oddzielne układy cieplnie niezależne. Funkcje

wymuszające oraz procedura obliczeń funkcji średniej rezystywności uzwojeń dla

tych modeli zostały przyjęte jak w pkt. 3.2.1.2.

Model cieplny dla jednej podziałki żłobkowej stojana składa się z jednego żłobka

stojana, odpowiedniej części pakietu stojana, warstwy izolacji żłobkowej oraz

szczeliny powietrznej (rys. 54a). Model cieplny dla jednej podziałki żłobkowej

wirnika przedstawia rys. 54b, w którym został przyjęty jeden żłobek wirnika,

odpowiednia część pakietu blach wirnika oraz szczelina powietrzna.

W modelach założono dla powierzchni 1-4 warunek brzegowy Neumana drugiego

rodzaju bez możliwości oddawania ciepła na zewnątrz.

a) b)

1

2

3

4

1

2

3

4

Rys. 54. Uproszczone obliczeniowe modele cieplne dla jednego żłobka stojana (a)

oraz jednego żłobka wirnika (b)

79

Funkcje rezystywności dla stojana i wirnika po ostatniej iteracji porównano dla

modelu (rys. 55):

• ćwiartki silnika,

• uproszczonego do jednej podziałki żłobkowej stojana,

• uproszczonego do jednego żłobka stojana,

• uproszczonego do jednego żłobka wirnika.

0 5 10 15 20 25czas (s)

2.9E-008

3E-008

3.1E-008

3.2E-008

3.3E-008

3.4E-008

rezy

styw

ność

uzw

ojen

ia w

irnik

a ρ r

(Ωm

)model ćwiartkamodel uproszczonymodel 1-żłobek

0 5 10 15 20 25czas (s)

1.7E-008

1.8E-008

1.9E-008

2E-008

2.1E-008

2.2E-008

2.3E-008

rezy

styw

ność

uzw

ojen

ia st

ojan

a ρ s (

Ωm

)

model ćwiartkamodel uproszczonymodel 1-żłobek

a) b)

Rys. 55. Porównanie funkcji średniej rezystywności uzwojenia stojana (a) i

wirnika (b) otrzymanej z analizowanych czterech modeli polowych

silnika.

W modelach o jednym żłobku stojana oraz jednym żłobku wirnika przyjęcie

warunków brzegowych Neumana bez możliwości oddawania ciepła na zewnątrz dla

wszystkich powierzchni modeli (rys. 54 a i b) spowodowała niewielką różnicę

otrzymanych funkcji rezystywności stojana i wirnika w porównaniu z poprzednimi

modelami.

Poprzez modyfikację warunku brzegowego Neumana na brzegu ze szczeliną

powietrzną powierzchni 4 w modelu z jednym żłobkiem stojana (rys. 54a) oraz dla

powierzchni 2 w modelu z jednym żłobkiem wirnika (rys. 54b) można uzyskać

wyniki symulacji dla tych modeli prawie tak dobrych jak dla pełnego modelu

cieplnego.

Na rys. 56 przedstawione są wyniki rozwiązania obliczeń polowych modelu

o jednym żłobku stojana dla wybranych czasów symulacji podanych w sekundach

(Time= 0.1, 5, 10, 15, 20, 25 sek.)

80

Rys. 56. Wyniki obliczeń modelu cieplnego dla jednego żłobka stojana.

To samo dla modelu z jednym żłobkiem wirnika jest przedstawione na rys. 57.

81

Rys. 57. Wyniki obliczeń modelu cieplnego dla jednego żłobka wirnika.

Przedstawione wyniki, w szczególności na rys. 55, uzasadniają celowość

posługiwania się modelem z jedną podziałką żłobkową stojana i zmodyfikowaną

podziałką żłobkową wirnika (rys. 47b), ponieważ otrzymane wyniki dla takiego

modelu są bliższe wynikom dla modelu pełnego (rys. 37) niż otrzymane przy

pomocy oddzielnych modeli jednego żłobka stojana (rys. 54a) i jednego żłobka

wirnika (rys. 54b).

82

3.3. Porównanie modeli obwodowych i polowych.

Otrzymane rozwiązania modeli obwodowych i polowych dla rezystancji

uzwojenia stojana (rys.58a) i wirnika (rys. 58b) porównano z wynikami

pomiarowymi.

0 5 10 15 20 25czas (s)

3

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

rezy

stan

cja

uzw

ojen

ia w

irnik

a R

' r (Ω

)pomiarmodel obwodowypolowe

0 5 10 15 20 25czas (s)

4.8

5

5.2

5.4

5.6

5.8

6

rezy

stan

cja

uzw

ojen

ia st

ojan

a R

s (Ω

)

pomiarmodel obwodowymodel polowy

a) b)

Rys. 58. Porównanie rezystancji uzwojeń modelu polowego i obwodowego dla

próby zwarcia.

W obliczeniach obwodowych rezystancja uzwojenia stojana jest wyliczana

w modelu cieplnym jako suma rezystancji uzwojenia w części żłobkowej oraz

w połączeniach czołowych. W przypadku obliczeń polowych rezystancja uzwojenia

jest sumą rezystancji części uzwojenia w żłobku (metoda polowa) oraz części

rezystancji uzwojenia połączeń czołowych otrzymanej z rozwiązania modelu

obwodowego silnika.

83

ROZDZIAŁ 4

ELEKTROMAGNETYCZNE OBLICZENIA POLOWE

84

4. Elektromagnetyczne obliczenia polowe

Obliczenia elektromagnetyczne z wykorzystaniem modelu polowego silnika

wykonane zostały za pomocą programu FLUX 2D. Program ma budowę modułową.

Licencja pozwala na dwuwymiarową analizę zagadnień elektromagnetycznych metodą

elementów skończonych.

Program posiada własny interfejs graficzny działający w środowisku Windows,

w którym kolejno:

• zamodelowano geometrię modelu,

• utworzono siatkę obliczeniową,

• zdefiniowano obwód elektryczny silnika indukcyjnego,

• dokonano przydziału własności fizycznych do poszczególnych obszarów,

• wykonano obliczenia,

• przeprowadzono analizę otrzymanych wyników.

Ogólnymi zaletami oprogramowania w tworzeniu modelu są możliwość sprzężenia

ruchu liniowego i obrotowego, sprzężenia z zewnętrznym obwodem elektrycznym,

wykonanie analizy wieloparametrycznej na etapie obliczeń i obróbki wyników, analizy

stanów statycznych nieustalonych, możliwość użycia wielu układów współrzędnych itp.

W pracy obliczenia były zrealizowane przy pomocy programu o ograniczonej

licencji, z dostępem do modułów: „Magneto Static”, „Steady AC magnetic”, „Transient

magnetic”.

Utworzenie geometrii modelu silnika jest proste dzięki możliwości

wprowadzania wymiarów w sposób parametryczny co pozwala w prosty sposób

zmieniać kształty oraz przeprowadzać analizę jedno i wieloparametryczną modelu.

Poniżej przedstawiony jest wygląd ekranu interfejsu graficznego oraz proponowany

model obliczeniowy silnika indukcyjnego.

85

Rys. 59. Interfejs graficzny programu FLUX 2D z proponowanym modelem

silnika.

Następnym krokiem było utworzenie obwodu elektrycznego, który reprezentuje

uzwojenia silnika badanego (rys. 60). Wymuszeniami w modelu są źródła napięciowe

V1, V2, V3 umieszczone w fazach obwodu elektrycznego stojana, natomiast prądy

płynące w uzwojeniach silnika są wyznaczane przez program.

86

Rys. 60. Model obwodu elektrycznego stojana silnika i jego klatki (blok Q1)

utworzony w FLUX 2D dla wymuszenia napięciowego.

Zadawanie własności fizycznych i materiałowych dla wyodrębnionych regionów

modelu (rys. 62a) wykonuje się w kolejnym podprogramie FLUXA. Rys. 61

przedstawia zdefiniowaną charakterystykę magnesowania materiału M530-50A, który

jest przydzielony obszarom reprezentującym pakiet blach silnika.

Rys. 61. Interfejs graficzny z charakterystyką magnesowania B(H) dla M530-50A.

87

Po zdefiniowaniu wielkości fizycznych i materiałowych program generuje siatkę

obliczeniową (rys. 62b), która powstaje za pomocą zdefiniowanych punktów gęstości

siatki (Mesh points) rozmieszczonych na liniach geometrii modelu. Parametry tych

punktów określają zagęszczenie struktury siatki. Program kontroluje poprawność

wygenerowanej siatki co zapewnia otrzymanie wyników z odpowiednią dokładnością.

Wybranie większego zagęszczenia siatki w szczelinie powietrznej spowodowane jest

dużą zmiennością gradientu gęstości energii magnetycznej w tym obszarze.

Rys. 62. Podział modelu silnika na obszary (a) oraz wygenerowania siatka

obliczeniowa (b).

Przeprowadzenie obliczeń dla modelu silnika wykonuje się za pomocą modułu Solver

2D (rys. 63), w którym można wybrać i zdefiniować zmienność wybranych parametrów

(jedno i wieloparametryczność). Otrzymane wartości zdefiniowanych parametrów w

wyniku obliczeń są automatycznie przenoszone do innych modułów programu.

a) b)

88

Rys. 63. Interfejs graficzny modułu Solver 2D do wykonywania obliczeń (zakładka „Options”).

Użytkownik może definiować parametry rozwiązania, w szczególności jego dokładność

i wybór metody.

Po wykonaniu obliczeń w module Solver 2D, dzięki wbudowanemu w oprogramowanie

post-procesorowi, można w prosty sposób przeglądać wyniki obliczeniowe oraz

przeprowadzać szczegółową analizę. Na rys. 64 przedstawiony jest przykład interfejsu

graficznego programu PostPro 2D,

89

Rys. 64. Przykład interfejsu graficznego modułu PostPro 2D do prezentacji i analizy wyników.

a na rys. 65a prezentacja rozkładu lini sił pola magnetycznego w pakietach stojana

i wirnika. Rys. 65b ilustruje rozkład indukcji magnetycznej dla biegu jałowego

w chwili t=0.

Rys. 65. Przykładowa prezentacja wyników wykonanych w PostPro 2D. Linie sił (a) i indukcja (b) w stanie ustalonym dla biegu jałowego w chwili t=0.

a) b)

90

4.1. Obliczenia polowe dla biegu jałowego.

Wynikiem obliczeń polowych za pomocą programu Flux 2D dla biegu jałowego

przy różnych częstotliwościach napięcia zasilającego przedstawia rys. 66. Jak widać

na poniższym rysunku, opracowany model polowy silnika dobrze odzwierciedla

zjawiska zachodzące w maszynie dla biegu jałowego.

Rozbieżność wyników dla małych wartości napięcia wynika z wpływu strat

mechanicznych w silniku rzeczywistym i jego braku w modelu.

0 100 200 300 400skuteczne napięcie fazowe (V)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

skut

eczn

y prąd

fazo

wy

(A)

pomiar 70 Hzobliczenia 70 Hzpomiar 50 Hzobliczenia 50 Hzpomiar 30 Hzobliczenia 30 Hz

Rys. 66. Porównanie wyników obliczeń polowych z pomiarowymi dla biegu

jałowego.

4.2. Obliczenia polowe dla próby zwarcia.

Obliczenia polowe dla próby zwarcia wykonane zostały dla temperatury

początkowej pϑ i końcowej kϑ uzwojenia stojana, które wynikały ze zmierzonej

rezystancji przed (rys. 17a) i po pomiarze (rys. 17b) zwarcia.

91

0 50 100 150 200 250 300skuteczne napięcie fazowe (V)

02468

10121416182022242628

skut

eczn

y pr

ad fa

zow

y (A

)

flux dla ϑp

flux dla ϑk

pomiar

0 50 100 150 200 250 300skuteczne napięcie fazowe (V)

0

4000

8000

12000

16000

20000

wejśc

iow

a m

oc c

zynn

a (W

)

flux dla ϑp

flux dla ϑk

pomiar

a) b)

Rys. 67. Otrzymane wyniki obliczeń polowych dla prądu fazowego stojana (a) oraz mocy czynnej wejściowej (b) w czasie zwarcia.

Z rys. 67 i rys. 68 wynika, że uwzględnienie zjawisk cieplnych w obliczeniach

polowych dla zwarcia powinno dać lepsze dopasowanie modelu silnika.

40 80 120 160 200 240 280skuteczne napięcie fazowe (V)

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

wejśc

iow

a m

oc b

iern

a (V

ar) flux dla ϑp

flux dla ϑk

0 100 200 300skuteczne napięcie fazowe (V)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

mom

ent z

war

ciow

y (N

m) flux dla ϑp

flux dla ϑk

a) b)

Rys. 68. Wyniki obliczeń polowych: wpływ temperatury na moment zwarciowy (a) i wejściową moc bierną (b) w czasie zwarcia.

92

4.3. Próba wyjaśnienia różnic wynikających z obliczeń polowych.

Z porównania wyników obliczeń polowych wykonanych za pomocą programu

Flux 2D i przedstawionych w pkt.4.2 z pomiarami silnika indukcyjnego dla zwarcia

otrzymano różnice (rys. 67), które wynikają z odstępstw między przyjętym do

obliczeń modelem, a rzeczywistym silnikiem indukcyjnym.

Jedną z przyczyn, które wpłynęły w znacznym stopniu na wyniki obliczeń jest

ograniczenie programu Flux 2D, który umożliwia obliczenia modeli silników tylko

bez skosu żłobków. Brak możliwości uwzględnienia skosu żłobków wirnika

występującego w badanym silniku spowodowało pominięcie w całkowitej reaktancji

rozproszenia klatki wirnika reaktancji pochodzącej od skosu żłobków. Można

oszacować wzorem (37) [13]:

tsqsqsq kXX ⋅⋅= σμ 0 (37)

gdzie: tsqk - współczynnik technologiczny klatek odlewanych,

- reaktancja dla strumienia głównego:

2

80 107540 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅⋅= −

pkN

kdlf.X wss

c

ss δμ (38)

- współczynnik rozproszenia wywołanego skosem:

21 sqsq k−=σ , sq

sq

sq

sink

α

α2

2 ⋅= (39)

W próbie zwarcia napięcie zmieniało się od wartości maksymalnej w dół. Gdyby nie

było powyższych przyczyn, to punkty pomiarowe na rys. 67 dla napięcia

maksymalnego powinny być minimalnie oddalone od krzywych obliczeniowych

dla temperatury początkowej pϑ , a dla napięcia minimalnego – od krzywej dla

temperatury kϑ . Wyniki na rys. 67 wskazują, że oczekiwania te są bliskie prawdy.

93

Można zauważyć, że powyższe rozważania dotyczące poszukiwania przyczyn

niedokładności modelu dotyczą elementów gałęzi podłużnej schematu zastępczego

silnika, czyli dotyczą tylko tych stanów pracy maszyny, w których jest ona aktywna.

Potwierdzeniem tej tezy jest zgodność wyników obliczeń z pomiarami dla biegu

jałowego silnika w pkt. 4.1 (rys. 66).

94

ROZDZIAŁ 5

IDENTYFIKACJA MODELI SILNIKA INDUKCYJNEGO

95

5. Identyfikacja modeli silnika indukcyjnego.

5.1. Model niestacjonarny i o parametrach stałych.

W identyfikacji modelu silnika asynchronicznego przyjęto model niestacjonarny

zaproponowany i analizowany w [25], rozszerzony o uwzględnienie zjawisk

cieplnych. Model ma taką własność, że dla stałej prędkości obrotowej staje się

modelem silnika magnetycznie liniowego reprezentowanym przez klasyczny

jednoklatkowy schemat zastępczy [25, 34]. Modyfikacja polega na tym, że parametry

modelu zależą od stanu pracy maszyny.

Dla modelu niestacjonarnego przyjęto założenia, które zostały przedstawione

w pkt. 1.2, oraz dodatkowo przyjęto następujące założenia dotyczące modelu nie

zmieniające ogólności rozważań:

• wszystkie parametry modelu mogą być funkcjami czasu,

• analizowane są quasi-stacjonarne stany pracy maszyny,

• układem odniesienia jest stojan,

• silnik jest zasilany symetrycznym, trójfazowym układem napięć fazowych

o amplitudzie VS i pulsacji ω0, tzn. ν ν0 0 0 0 0s r s ri i= = = =' ' ,

• zmiennymi stanu są strumienie skojarzone na sekundę zdefiniowane jako

Ψ i i= ⋅ω λ0 .

Przy powyższych założeniach równania stanu we współrzędnych d-q dla modelu

silnika klatkowego o zmiennych parametrach mają formę:

a) równania napięciowe

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅+⋅⋅

−

−⋅+⋅⋅

−

⋅−⋅+

⋅

⋅−⋅+

⋅

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

'

'

0

'

0

'00

''0

'0

'

10

10

010

001

00

dr

qr

ds

qs

ssrrr

rssrr

srrs

srrs

ds

qs

dtd

DXR

DXR

dtd

DXR

DXR

DXR

dtd

DXR

DXR

dtd

DXR

ψψψψ

ωωω

ωω

ω

ω

ω

νν

μ

μ

μ

μ

(37)

96

b) równanie momentu

( )Jp

ddt

p i i Tr ds qs qs ds⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅ ⋅ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⋅ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅ ⋅ − ⋅ −2 1 3

2 200ω

ωψ ψ (38)

c) równanie cieplne – zgodnie z (27)

( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ){ }r,sr,sr,sr,es

r,sr,s

r,s SPcmdt

dϑΔαΔ

ϑ⋅⋅−

⋅=

1 (39)

gdzie: Xi – reaktancje ( ii LX ⋅= 0ω )

( )

( )

tsinV

tcosVD

XXi

DXX

i

XXXD

XXX

XXX

Sds

Sqs

'drds

'rr

ds

'qrqs

'rr

qs

'rrss

'r

'rr

sss

0

0

2

ων

ων

ψψ

ψψ

μ

μ

μ

μσ

μσ

⋅−=

⋅=

⋅−⋅=

⋅−⋅=

−⋅=

+=

+=

Xσs, '

rXσ , Xμ – odpowiednio reaktancja rozproszenia stojana, wirnika, oraz

reaktancja magnesująca.

Model reprezentowany jest poprzez jednoklatkowy schemat zastępczy, przedstawiony

na rys. 9. Zakłada się, że parametry analizowanego modelu silnika są funkcjami czasu.

Funkcje parametrów są zdefiniowane [17] jak poniżej:

97

( ) ( )( ) ( )[ ]{ }( ) ( )[ ( )]( )

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]{ ( )][ }sakaIaaaI,sX

sakaka,sR

EaEaEaaEX

EaEaEaas/E,sR

IaaaIXkaR

Xss'

r

Rrrr'r

sXsXsXXs

srsrsrr.

sFe

sss

ssss

794108

765

33

2210

66

44

220

51432

1

111

1

13

11

−⋅−⋅⋅−⋅−⋅=

⋅⋅⋅+⋅⋅=

⋅+⋅+⋅+=

⋅+⋅+⋅+⋅+=

⋅⋅−⋅−⋅=⋅=

κ

ϑϑ

κϑϑ

σ

ϑ

μ

σ

ϑ

(40)

gdzie: 101 aa − - zmienne w procesie identyfikacji,

κ - krzywe Normana do opisu wpływu zjawiska nasycenia na reaktancje

rozproszenia (krzywa na rys. 7),

s – poślizg,

XR k,k - współczynniki wypierania prądu dla prętów wirnika tak jak w 1.3.

Ad. b (rys. 6),

0235

235

s

ssk

ϑϑ

ϑ ++

= ,

0225

225

r

rrk

ϑϑ

ϑ ++

=

Równania (40) są rozszerzeniem równań podanych w [25] polegającym na

uwzględnieniu wpływu temperatury na wartości rezystancji sR i 'rR . Wpływ ten

reprezentują funkcje ( )ssk ϑϑ i ( )rrk ϑϑ . Równania te były wykorzystane w pracy [17].

Parametry a1 – a10 mają interpretacje fizykalną. Np. a1, a5 – rezystancje uzwojeń

w chwili początkowej, a2, a8 – reaktancje rozproszeń nienasycone.

Zakłada się, że wielkości Is, Es, s, ( )ssk ϑϑ , ( )rrk ϑϑ w równaniach (40) są

funkcjami czasu. Współczynniki funkcji opisujących RFe i Xμ są wyznaczane przy

pomocy metody regresji liniowej zastosowanej w każdej iteracji procesu

optymalizacji w identyfikacji.

Zastosowano procedurę identyfikacyjną oraz oprogramowanie opisane w [25].

Zakłada się, że poszukiwane parametry modelu są wynikiem rozwiązania problemu

optymalizacji w postaci:

98

|Fmin:P VV a

MaX ℜ⊂∈a (41)

gdzie: a –zbiór poszukiwanych parametrów tak jak w (40),

aX - dopuszczalny obszar optymalizacji

F f f fV N N J J Z Z= ⋅ + ⋅ + ⋅α α α' ' ' - jest minimalizowaną funkcją celu będącą

zmodyfikowaną funkcją chi-kwadrat [25],

α α αN J Z' ' '+ + = 1 , α α αN J Z

' ' ', , ≥ 0 - współczynniki α α αN J Z' ' ', ,

reprezentujące priorytety odpowiadające stanom pracy silnika uwzględnionym

w identyfikacji, a zarazem parametry metody mnożników rozwiązania problemu

optymalizacji wielokryterialnej,

ZJN f,f,f - funkcje kryterialne odpowiednio dla stanu znamionowego, biegu

jałowego i rozruchu.

Każdy z rozważanych stanów pracy silnika jest reprezentowany w identyfikacji przez

odpowiednią funkcję kryterialną oznaczoną jako:

∑= ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅

⋅=

kN

jk

j,P

ej,

mj,

j,I

ej,s

mj,s

kk

PPIIN

f1

211

2

21

σσ (42)

gdzie: k – indeks wskazujący stan pracy silnika, Z,J,Nk = ,

Is ,I σ - ustalony prąd skuteczny stojana oraz jego błąd pomiarowy,

kN - liczba próbek dla k-tego stanu pracy silnika.

e – górny indeks oznaczający wartość zmierzoną

m – górny indeks oznaczający wartość obliczoną przy pomocy modelu.

W obliczeniach identyfikacyjnych przedstawiono wyniki dla modeli o stałych

i zmiennych parametrach schematu zastępczego silnika (rys. 9).

Dla modelu o zmiennych parametrach, parametry a2, a3, a4, a8 i a10 w równaniach (40)

są zmiennymi w procesie optymalizacji, natomiast parametry a1 i a5 reprezentujące

rezystancje uzwojenia stojana i wirnika założone zostały jako wartości stałe.

Zmienność temperatury uzwojeń w czasie pomiaru uwzględniono poprzez

wprowadzenie odpowiednich funkcji do procedury identyfikacji. Pominięcie

99

parametrów a6 i a7 w identyfikacji, które reprezentują wypieranie prądu w prętach

wynika z niewielkiej wysokości żłobka wirnika (14.93 mm).

Dodatkowo w optymalizacji przyjęto ograniczenia dla parametrów a8 i a10:

3103

282

22812281

a.aa.a.aa.⋅≤≤⋅

⋅≤≤⋅

Stałe liczbowe w powyższych ograniczeniach są wynikiem wcześniejszej analizy

obliczeń projektowych dla badanego silnika.

Natomiast w modelu o stałych parametrach zmiennymi optymalizacji są parametry a1,

a2, a5 i a8. Zostały przyjęte dla nich poniższe ograniczenia w procesie optymalizacji:

0703945204025604

8

5

2

1

.a.

.a.

.a..a.

≤≤≤≤≤≤≤≤

Powyższe ograniczenia definiują zbiór Xa w (41).

Wyniki rozwiązania problemu identyfikacyjnego zdefiniowanego w (41)

przedstawia, gdzie współczynniki równań (40) parametrów schematu zastępczego

silnika zostały zapisane dla modeli o stałych (Model const) i zmiennych (Model var)

parametrach.

100

Tabela 4. Wyniki rozwiązań problemu VP (41).

Model const Model var Wielkość przed

optymalizacją po optymalizacji

przed

optymalizacją po optymalizacji

a1 5.0 6.16 4.773 4.773

a2 3.0 3.555 1.0 3.697

a3 0 0 0.36 0.341

a4 0 0 0.74 0.986

a5 3.0 2.5 3.0333 3.0333

a6 0 0 0 0

a7 0 0 0 0

a8 5.0 3.0 1.0 6.654

a9 0 0 0 0

a10 0 0 0.76 0.75

aX0 - 101.8 - 88.435

aX1 - 0 - 0.54614

aX2 - 0 - -0.1786e-2

aX3 - 0 - -0.37158e-5

ar0 - 0.17535e-2 - 0.31059e-2

ar2 - 0 - -0.74233e-7

ar4 - 0 - 0.2280e-11

ar6 - 0 - -0.19134e-16

j,Iσ bieg jałowy – 0.03 A zwarcie – 0.3 A

j,Pσ bieg jałowy – 3 W zwarcie – 200 W

FV 11.469 2.7281 267.43 0.10806

W tabeli 4 umieszczona została wartość funkcji celu przed i po optymalizacji. Zasady

wyliczenia minimum funkcji celu przy spełnionych warunkach zbieżności

przedstawiono w [25].

101

Przedstawione wyniki dotyczą przypadku, gdy w identyfikacji są uwzględnione funkcje

kryterialne reprezentujące stan biegu jałowego oraz zwarcia silnika. Funkcje ( )ssk ϑϑ

i ( )rrk ϑϑ zostały wyznaczone przed identyfikacją na drodze pomiarowej [17, 18, 19,

43, 45, 46] i wprowadzone do procedury obliczeniowej.

Analizę porównawczą wyników identyfikacyjnych dla modeli z wynikami

pomiarowymi przedstawione zostały dla dwóch stanów pracy silnika:

• biegu jałowego,

• zwarcia.

Otrzymane wielkości obliczeniowe związane z analizowanym modelem o parametrach

zmiennych są wynikiem iteracyjnego rozwiązania schematu zastępczego na rys. 9.

5.2. Porównanie wyników identyfikacji dla biegu jałowego.

Poniżej zestawiono wyniki porównania rozwiązania dla modeli o stałych (model-

const) i zmiennych (model-var) parametrach z pomiarem. Rys. 69 przedstawia

przebiegi skutecznego prądu fazowego oraz fazowej mocy czynnej podczas biegu

jałowego.

0 100 200 300skuteczne napięcie fazowe (V)

0

100

200

300

400

500

fazo

wa

moc

czy

nna

(W)

pomiarmodel-varmodel-const

0 100 200 300skuteczne napięcie fazowe (V)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

skut

eczn

y prąd

fazo

wy

(A) pomiar

model-varmodel-const

a) b)

Rys. 69. Skuteczny prąd fazowy (a) oraz fazowa moc czynna (b) podczas biegu

jałowego.

102

Można zauważyć, że dopasowanie modelu o zmiennych parametrach do wyników

pomiarowych jest lepsze. Nieuwzględnienie wpływu nasycenia obwodu głównego

maszyny na wartość prądu i mocy wejściowej w modelu o stałych parametrach jest

przyczyną prawie liniowych przebiegów prądu i kwadratowej zależności od

napięcia dla mocy czynnej.

0 50 100 150 200 250siła elektromotoryczna fazowa (V)

20

40

60

80

100

120

140

reak

tanc

ja m

agne

sują

ca (Ω

)pomiarmodel-varmodel-const

0 50 100 150 200 250siła elektromotoryczna fazowa (V)

600700800900

100011001200130014001500160017001800

rezy

stan

cja

RFe

(Ω)

pomiarmodel varmodel-const

a) b)

Rys. 70. Rezystancja RFe (a) i reaktancja magnesująca μX (b) podczas testu biegu

jałowego.

Przedstawione na rys. 70 funkcje parametrów gałęzi poprzecznej schematu

zastępczego silnika w funkcji siły elektromagnetycznej potwierdzają zmienność

parametrów RFe i Xμ podczas próby biegu jałowego.

103

5.3. Porównanie wyników identyfikacji dla próby zwarcia.

Rys. 71 przedstawia charakterystyki zwarcia. Można zauważyć, że na rys. 71a

przebieg prądu dla modelu o stałych parametrach jest prawie liniowy. Przyczyną

tego jest brak uwzględnienia nasycenia obwodu rozproszenia, który jest

uwzględniony przez model o parametrach zmiennych.

0 50 100 150 200 250 300skuteczne napięcie fazowe (V)

0

5

10

15

20

25

30

skut

eczn

y pr

ad fa

zow

y (A

)

pomiarmodel-varmodel-const

0 50 100 150 200 250 300skuteczne napięcie fazowe (V)

0

4000

8000

12000

16000

wejśc

iow

a m

oc c

zynn

a (W

) pomiarmodel-varmodel-const

a) b)

Rys. 71. Skuteczny prąd fazowy (a) oraz wejściowa moc czynna (b) podczas

próby zwarcia.

Na rys. 72a przedstawione zostały funkcje parametrów gałęzi podłużnej schematu

zastępczego silnika (rys. 9), a na rys. 72b funkcje parametrów gałęzi poprzecznej

podczas próby zwarcia.

104

0 50 100 150 200 250 300skuteczne napięcie fazowe (V)

2

3

4

5

6

7re

zyst

ancj

e R s,

R'r i

reak

tanc

je X

σs, X

' σr si

lnik

a (Ω

)

Xσs

Rs

R'rX'σr

0 50 100 150 200 250 300skuteczne napięcie fazowe (V)

0

100

200

300

400

500

600

700

rezy

stan

cja

R Fe i r

eakt

ancj

a Xμ

(Ω)

XmiRfe

a) b)

Rys. 72. Parametry silnika podczas próby zwarcia.

Analiza wyników na rys. 70 i rys. 72 pozwala zauważyć, że przyjęcie stałych

parametrów schematu zastępczego dla każdego stanu pracy silnika może prowadzić

do błędnych wyników obliczeniowych symulacji (model-const). Przyjęcie

parametrów silnika jako funkcji (model-var) otrzymuje się dokładniejsze

dopasowanie modelu do wyników pomiarowych (rys. 69 i rys. 71).

105

ROZDZIAŁ 6

WERYFIKACJA MODELI

106

6. Weryfikacja modeli.

Dla celów weryfikacji modeli wykonano pomiary dla następujących stanów pracy

maszyny:

• obciążenie w stanie ustalonym,

• zwarcia traktowanego jako proces przejściowy

• rozruchu silnika.

W obliczeniach symulacji dynamiki wykorzystano istniejące oprogramowanie

w języku Fortran [25]. Było ono wykorzystywane również w pracy badawczej [24].

6.1. Weryfikacja modeli na podstawie charakterystyk roboczych.

Poniższe rysunki przedstawiają porównanie wyników obliczeń przy pomocy

wyznaczonych modeli z pomiarami. Można zauważyć, że rys. 73-75 przedstawiają

lepsze dopasowanie modelu o zmiennych parametrach do zmierzonego prądu

fazowego uzwojenia stojana silnika. Należy mieć na uwadze, że żaden punkt

charakterystyk roboczych, w szczególności znamionowy, nie był brany pod uwagę

w identyfikacji.

0 500 1000 1500 2000 2500moc czynna wyjściowa (W)

2

3

4

5

6

7

skut

eczn

y prąd

fazo

wy

(A)

pomiar-varmodel-varmodel-const

0 500 1000 1500 2000 2500moc czynna wyjściowa (W)

0

1000

2000

3000

4000

moc

czy

nna

wejśc

iow

a (W

) pomiar-varmodel-varmodel-const

a) b)

Rys. 73. Skuteczny prąd fazowy (a) oraz wejściowa moc czynna (b).

107

0 500 1000 1500 2000 2500moc czynna wyjściowa (W)

0.2

0.4

0.6

0.8

1co

sϕ

pomiar-varmodel-varmodel-const

0 500 1000 1500 2000 2500moc czynna wyjściowa (W)

0.2

0.4

0.6

0.8

spra

wność

pomiar-varmodel-varmodel-const

a) b)

Rys. 74. Współczynnik mocy ϕcos (a) oraz sprawność silnika (b).

0 500 1000 1500 2000 2500moc czynna wyjściowa (W)

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

pośl

izg

pomiar-varmodel-varmodel-const

Rys. 75. Poślizg.

6.2. Weryfikacja modeli na podstawie zwarcia w stanie przejściowym.

Zmieniające się liniowo napięcie zwarcia, które uzyskano za pomocą

autotransformatora z własnym układem napędowym, pozwala na analizę

i weryfikację modeli w stanie przejściowym silnika dla próby zwarcia. Wynikiem

weryfikacji modeli jest przebieg prądu fazowego i mocy czynnej przedstawiony na

rys. 76 oraz funkcji parametrów schematu zastępczego na rys. 77.

108

0 5 10 15 20 25czas (s)

0

4

8

12

16

20

24

28sk

utec

zny

prąd

fazo

wy

(A) pomiar

model-constmodel-var

a)

0 5 10 15 20 25czas (s)

0

1000

2000

3000

4000

5000

moc

czy

nna

pobi

eran

a (W

)

pomiarmodel-constmodel-var

b)

Rys. 76. Skuteczny prąd fazowy (a) oraz fazowa moc czynna wejściowa (b) podczas próby zwarcia.

0 5 10 15 20 25 30skuteczny prąd fazowy (A)

2

3

4

5

6

7

reak

tanc

je X

σs, X

' σr s

ilnik

a (Ω

) Xσs-constXσs-varX'σr-constXσr-var

a)

0 40 80 120siła elektromotoryczna fazowa (V)

90

100

110

120

130

reak

tanc

ja X

μ (Ω

)

model-constmodel-var

b)

Rys. 77. Funkcje parametrów schematu zastępczego podczas zwarcia.

6.3. Weryfikacja modeli na podstawie rozruchu silnika.

Kolejnym stanem pracy silnika, w którym proponowane modele zostały

poddane analizie pomiarowej i weryfikacji jest rozruch silnika. Rys. 78 przedstawia

przebiegi symulacyjne prądu i napięcia podczas rozruchu silnika.

109

0 0.4 0.8 1.2czas (s)

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20prąd

(A)

0 0.4 0.8 1.2czas (s)

-200

-100

0

100

200

napięc

ie (V

)

a) b)

symulacja-obwiednia

pomiar

Rys. 78. Przebiegi prądu (a) oraz napięcia (b) pomiarowego i obwiedni otrzymanej z modelu podczas rozruchu.

Rys. 79a przedstawia porównanie względnych prędkości kątowych silnika,

rzeczywistej i otrzymanej z symulacji z wykorzystaniem modelu o zmiennych

parametrach. Na rys. 79b zestawiono przebiegi momentu elektrycznego

otrzymanego z pomiaru wg (26), a także wynik identyfikacji modelu o zmiennych

parametrach oraz symulacji z jego wykorzystaniem.

0 0.4 0.8 1.2czas (s)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

wzg

lędn

a pręd

kość

kąt

owa

pomiarsymulacja

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0poślizg

-4

0

4

8

12

16

20

mom

ent e

lekt

rycz

ny (N

m)

pomiarsymulacjaidentyfikacja

a) b)

Rys. 79. Przebiegi prędkości obrotowej (a) i momentu elektrycznego (b) w czasie rozruchu silnika.

110

0 0.4 0.8 1.2czas (s)

-4

0

4

8

12

16

20

mom

ent e

lekt

rycz

ny (N

m)

pomiarsymulacja

Rys. 80. Przebiegi momentu elektrycznego dla modelu o parametrach zmiennych w czasie rozruchu (zależności od czasu).

Można zauważyć różnice przebiegu momentów pomiarowego oraz pozostałych na rys. 79b. Problem ten był badany w [36]. Uzyskano wynik, że zbieżność pomiarów z obliczeniami uzyskuje się tylko dla symulacji stanów dynamicznych przy pomocy modelu polowego. W chwili obecnej przyczyna rozbieżności nie jest znana. Zgodnie z wnioskami w [36] do czasu jej ustalenia należy przyjąć, że wspomniane rozbieżności są cechą charakterystyczną modeli obwodowych, również o zmiennych parametrach.

111

ROZDZIAŁ 7

WNIOSKI I UWAGI

112

7. Wnioski i uwagi.

Przeprowadzono badania obliczeniowo-pomiarowe mające na celu stwierdzenie

przydatności modelu silnika indukcyjnego o zmiennych parametrach, inaczej

niestacjonarnego [25], do celów symulacji i analizy. Obliczenia były wykonane przy

pomocy modeli obwodowych i polowych, tak w zakresie zjawisk

elektromagnetycznych jak cieplnych. W rozdziale 6 były porównane wyniki otrzymane

dla modeli obwodowych o parametrach zmiennych oraz stałych. Przeprowadzone prace

i wyniki pozwalają uznać tezę pracy za udowodnioną. Wynika to między innymi

z wyników zamieszczonych w rozdziale 6.

W wyniku prac w rozdziale 3 został opracowany i zaproponowany m. innymi model

polowy silnika do analizy przejściowych zjawisk cieplnych, który łączy w sobie dwie

cechy: dokładności uzyskanych wyników i względną prostotę. Model ten obejmuje

obszar jednej niezmienionej podziałki żłobkowej stojana oraz zmodyfikowanej

podziałki żłobkowej wirnika sprowadzonej do stojana (pkt. 3.2.2.1). Uzyskano wyniki

symulacji przejściowych stanów cieplnych praktycznie nie różniących się od

otrzymanych dla pełnego modelu (rys. 50 i rys. 53).

Uzyskano i potwierdzono szereg wniosków szczegółowych, m. innymi:

1. Pomiarowe wielkości odniesienia w postaci wyników próby biegu jałowego

i zwarcia są wystarczające do uzyskania wiarygodnego modelu niestacjonarnego

silnika indukcyjnego (pkt. 6).

2. Opracowanie wiarogodnego modelu niestacjonarnego silnika indukcyjnego wymaga

uwzględnienia zjawisk cieplnych w czasie pomiarów wykorzystywanych

w identyfikacji.

3. Obwodowe modele niestacjonarne silników indukcyjnych pozwalają uwzględnić

zjawiska nasycenia obiektów magnetycznych, wypierania prądów oraz cieplne

w stanach dynamicznych i dostarczają wiarygodnych wyników w zakresie wartości

skutecznych prądów i napięć, mocy czynnej i średniego momentu elektrycznego.

4. Obwodowy model cieplny wykorzystany w [17] i niniejszym opracowaniu do

symulacji dynamiki pozwala uzyskać poprzez odpowiednią procedurę identyfikacji

wyniki praktycznie pokrywające się z pomiarem i wynikami obliczeń polowych

(rys. 58)

113

5. Wyniki elektromagnetycznych obliczeń polowych 2D mogą być wykorzystane do

wyznaczania funkcji parametrów modeli pod warunkiem zachowania ostrożności

przy wyborze wielkości odniesienia [36].

6. Zastosowana w rozdziale 5 procedura identyfikacji jest skutecznym narzędziem

wyznaczania niestacjonarnego modelu maszyny indukcyjnej.

7. Modele silników indukcyjnych o parametrach zmiennych są źródłem wyników

symulacji o znacznie większej wiarygodności od modeli o parametrach stałych;

modele te mają własności modeli uniwersalnych w przeciwieństwie do modeli

o parametrach stałych (rozdział 6).

Oryginalnym dorobkiem w rozprawie są w ogólności te jej elementy, w których nie

ma odwołań do prac innych autorów. W szczególności są to:

- wykonanie stanowiska laboratoryjnego, przeprowadzenie pomiarów

i opracowanie ich wyników (rozdział 2),

- opracowanie modeli obwodowych i polowych, algorytmów, wykonanie obliczeń

i analizy ich wyników dotyczących zagadnień cieplnych (środowisko MATLAB

– PDETOOL) (rozdział 3),

- opracowanie modelu polowego do obliczeń elektromagnetycznych, wykonanie

obliczeń (FLUX 2D) (rozdział 4).

W rozdziałach 5 i 6 wykorzystano w obliczeniach istniejące wcześniej

oprogramowanie (symulacja, identyfikacja) użyte do realizacji projektu badawczego

KBN nr 4T10A03922 [24], którego autor był jednym z wykonawców.

114

Literatura

1 Al. Miah H., Lagonotte P., Trigeassou J-C.: „Modelling and Recursive

Identification of Parameters of Saturated Induction Machines”, s. 3656-3661,

6th European Conference on „Power Electronics and Applications”, Sevilla

1995, Spain

2 Bargallo R., Llaverias J., Martin H.: „Contribution to Parameter Validation of

the Induction Motor with Saturation. Transient Behaviour and PWM Supply”,

s. 1533-1537, Intern. Conf. on Electrical Machines (ICEM’98), 1998 Istanbul

3 Bolkowski S., Stabrowski M., Skoczylas J., Sroka J., Sikora J., Wincenciak S.:

„Komputerowe metody analizy pola elektromagnetycznego”, Warszawa WNT

1993

4 Bouillault F.,Razek A.: „Dynamic model for eddy current calculation in

saturated electric machines”, s. 2639-2642, IEEE transaction on Magnetics,

vol. 19, no. 6, 1983

5 Brown J.E., Kovacs K.P., Vas P.: „A method of including the effects of main

flux path saturation in the generalized equations of A.C. machines”, s. 96-103,

IEEE Transaction on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-102, No. 1,

1983

6 Dems M., Komeza K.: „The Comparison Study of Different Models Used for

Calculation of the Transient Processes of an Induction Motor During

Frequensy and Soft Starting”, s. 63, Intern. Conf. on Electrical Machines

(ICEM’06), 2006 Chania – Crete Island, Greece

7 Dubicki B.: „Maszyny elektryczne – Silniki indukcyjne”, tom III, PWN

Warszawa 1964

8 Dubicki B.: „Maszyny elektryczne – Uzwojenia prądu zmiennego”, tom II,

PWN Warszawa 1953

9 Fuchs E.F., Chang L.H., Appelbaum J.: „Magnetizing current, iron losses and

forces of three-phase induction machines at sinusoidal and nonsinusoidal

terminal voltages”, s. 303-312, Part I: Analysis, IEEE Transaction on Power

Apparatus and Systems, Vol. PAS-103, No. 11, 1984

10 Fuchs E.F., Roesler D.J., Chang L.H.: „Magnetizing current, iron losses and

forces of three-phase induction machines at sinusoidal and nonsinusoidal

115

terminal voltages”, s. 313-325, Part II: Results, IEEE Transaction on Power

Apparatus and Systems, Vol. PAS-103, No. 11, 1984

11 Gajda J.: „Mierzalność modeli złożonych obiektów przemysłowych”,

Wydawnictwa AGH, seria „Elektrotechnika”, nr 18, Kraków 1991.

12 Ganji A., Guillaume P., Pintelon R., Lataire P.: „Induction motor dynamic and

static inductance identification using a broadband excitation technique”,

s. 15-20, IEEE Transaction on Energy Conversion, vol. 13, 1998

13 Głowacki A.: „Obliczenia elektro-magnetyczne silników indukcyjnych

trójfazowych”, Warszawa WNT 1993

14 Goworkow W. A.; tł. Dziedzic J.: „Pola elektryczne i magnetyczne”,

Warszawa WNT 1962

15 Hickiewicz J., Macek-Kamińska K., Wach P.: „Simulations investigations and

parameters estimation of induction machines model considering saturation of

leakage inductances”, Intern. Conf. on Electrical Machines (ICEM’88), Pisa,

1988

16 Hinkkanen M., Repo A. K., Luomi J.: „Influence of Magnetic Saturation on

Induction Motor Model Selection”, s. 61, Intern. Conf. on Electrical Machines

(ICEM’06), 2006 Chania – Crete Island, Greece

17 Jażdżyński W., Milej W.: „Determining an Improved Dynamic Model of a

System: Induction Motor and Direct-Current Machine”, Intern. Conf. on

Electrical Machines (ICEM’04), 2004 Cracow, Poland

18 Jażdżyński W., Milej W.: „Identyfikacja niestacjonarnego modelu silnika

indukcyjnego z uwzględnieniem zjawisk cieplnych”, s. 483-492 (Mater.

XXXVIII Międzynarodowego Sympozjum Maszyn Elektrycznych SME’2002,

Cedzyna-Kielce, 18-21.06.2002).

19 Jażdżyński W., Milej W.: „Wpływ kryterium identyfikacji modelu silnika

indukcyjnego na jej wyniki”, Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, seria

Elektryka, 2001, s. 73-80 (Mater. XXXVII Międzynarodowego Sympozjum

Maszyn Elektrycznych SME’2001, Ustroń Zawodzie, 19-22.06.2001).

20 Jażdżyński W., Milej W.: „Wyznaczanie modelu dynamicznego maszyny prądu

stałego”, s. 378, (Mater. XLI Międzynarodowego Sympozjum Maszyn

Elektrycznych SME’2005, Opole-Jarnołtówek, 14-17.06.2005).

116

21 Jażdżyński W.: „A low-budget measurement system and ist application to

identification of electrical machine models”, s. 57, (Mater. XXXIX

Międzynarodowego Sympozjum Maszyn Elektrycznych SME’2003, Gdańsk-

Jurata, 9-11.06.2003).

22 Jażdżyński W.: „A Model for the Simulation od Dynamic States in the System

of Slip-Ring Induction Motor and Eddy-Current Starter”, s. 261-262,

Proceedings of AMSE International Conference on „Applied Modelling and

Simulation”, AMS’81, Lyon 1981

23 Jażdżyński W.: „A Procedure for Determining Variable Parameters of

Induction Motor Models”, s. 139-142, Proceedings of IASTED International

Conference on „Applied Informatics”, Annecy, 1994

24 Jażdżyński W.: „Identyfikacja niestacjonarnego modelu maszyny indukcyjnej

przy pomocy optymalizacji wielokryterialnej”, Sprawozdanie merytoryczne

z wykonania projektu badawczego nr 4T10A03922, AGH, Kraków 2003

(niepublikowane)

25 Jażdżyński W.: „Projektowanie maszyn elektrycznych oraz identyfikacja ich

modeli z wykorzystaniem optymalizacji wielokryterialnej”, Wydawnictwa

AGH, seria „Rozprawy i Monografie”, nr 28, Kraków 1995

26 Keyhani A., Tsai H.: „IGSPICE simulation of induction machines with

saturable inductances”, s.118-125, IEEE Transaction on Energy Conversion,

vol. 4, 1989

27 Keyhani A., Wanzhe L., Proca B.: „Modeling and Parameter Identification of

electric Machines” w „Handbook of Automotive Power Electronics and Motor

Drives”, Boca Raton, CRC Press Taylor & Francis 2005

28 Khenfer N., et al.: „Identyfication of Parameters of Asynchronous Machines.

Experimental Methods and Results”, s. 283-287, Proceedings of ICEM,

Manchester 1992

29 Kluszczyński K., Miksiewicz R.: „Momenty pasożytnicze w indukcyjnych

silnikach klatkowych”, Warszawa – Gliwice PTETiS 1993

30 Kopyłow J.P.: „Projektirowanie elektriczeskich maszin”, Moskwa, Energia,

1980.

31 Kostowski E.: „Przepływ ciepła”, WPŚ-Gliwice 1995

117

32 Kovacs K.P.: „On the theory of cyryndrical rotor A.C. machines, including

main flux saturation”, s. 754-761, IEEE Transaction on Power Apparatus and

Systems, Vol. PAS-103, No. 4, 1984

33 Kozłowski H. S., Turowski E.: „Silniki indukcyjne : projektowanie,

konstruowanie, wytwarzanie”, WN-T-Warszawa 1961.

34 Krause P.C.: „Analisis of Electric Machinery”, McGraw-Hill, 1986

35 Kudła J., Burlikowski W.: „Pomiarowa weryfikacja parametrów maszyn

indukcyjnych klatkowych wyznaczonych metodami polowymi (MES)”, s. 63-

80, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, seria „Elektryka”, nr 159, Gliwice

1997

36 Kudła J., Jażdżyński W.: „A Problem of Torque Accuracy in Models of a

Squirrel-Cage InductionMachine”, Intern. Conf. on Electrical Machines

(ICEM’04), 2004 Cracow, Poland.

37 Kudła J.: „Modele matematyczne maszyn prądu przemiennego uwzględniające

nasycenie magnetyczne rdzeni”, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice

2005

38 Kudła J.: „Wykorzystanie algorytmu genetycznego i gradientowego do

estymacji parametrów elektromagnetycznych nieliniowego modelu

matematycznego maszyny indukcyjnej”, s. 63-80, Wydawnictwo Politechniki

Śląskiej, seria „Elektryka”, nr 171, Gliwice 2000

39 Lima A.M.N., Jacobina C.B., de Souza E.B.F.: „Nonlinear Parameter Estimation of Steady-State Induction Machine Models”, „IEEE Transactions on Industrial Electronics”, Vol. 44, No. 3, 1997

40 Macek-Kamińska K.: „Estymacja parametrów modeli matematycznych

silników indukcyjnych dwuklatkowych i głębokożłobkowych”, Wydawnictwo

Wyższej Szkoły Inżynierskiej, Opole 1992

41 Mademils C., Xypteras J., Margaris N.: „Magnetic and Thermal Analysis of a

Wound-Field Cylindrical Rotor Synchronous Motor in Optimal Efficiency

Operation”, Intern. Conf. on Electrical Machines (ICEM’98), Istanbul, 1998

42 Milej W.: „Cieplne obliczenia polowe maszyny indukcyjnej w stanach

nieustalonych”, s. 175, (Mater. XLII Międzynarodowego Sympozjum Maszyn

Elektrycznych SME’2006, Kraków, 3-6.07.2006).

118

43 Milej W.: „Identyfikacja niestacjonarnego modelu silnika indukcyjnego na

podstawie biegu jałowego i rozruchu z uwzględnieniem zjawisk cieplnych”, s.

112 (Mater. XXXIX Międzynarodowego Sympozjum Maszyn Elektrycznych

SME’2003, Gdańsk-Jurata, 9-11.06.2003).

44 Milej W.: „Model polowy maszyny indukcyjnej w aspekcie zwiększenia

dokładności symulacji stanów dynamicznych”, (Mater. VII

Międzynarodowych Warsztatów Doktoranckich OWD 2005, Wisła 22-

25.10.2005).

45 Milej W.: „Wpływ nagrzania uzwojeń silnika indukcyjnego na moment

rozruchowy”., vol.3 s.191 (Mater. VI Międzynarodowych Warsztatów

Doktoranckich OWD’2004, Wisła 16-19.10.2004).

46 Milej W.: „Wpływ nagrzewania uzwojeń na wyniki identyfikacji modelu silnika

indukcyjnego”, s. 92 (Mater. XVII Beskidzkiego seminarium elektryków

BSE’2003, Istebna-Zaolzie 21-24.09.2003).

47 Norman H.M.: „Induction Motor Locked Saturation Curves”, Electrical

Engineering, 1934

48 Nowak L.: „Modele polowe przetworników elektromechanicznych w stanach

nieustalonych”, Poznań WPP 1999

49 Pełczewski W.: „Zagadnienia cieplne w maszynach elektrycznych”, PWT

Warszawa 1956.

50 Plamitzer A.: „Maszyny elektryczne”, Warszawa WNT 1962

51 PN-EN 60034-1 „Maszyny elektryczne wirujące-Część 1: Dane znamionowe

i parametry”, Warszawa PKN 2005

52 Puchała A.: „Dynamika maszyn i układów elektromechanicznych” Warszawa

PWN 1977

53 Rams W., Czajkowski J.: „Methode der Identifizierung der Parameter der

Induktion-machinen mit Käfigläufer”, s. 99-102, 22 Intern. Wiss. Koll. TH,

Ilmenau 1977

54 Ražnjević K.: „Tablice cieplne z wykresami”, Warszawa WNT 1966

55 Rusek J.: „Analiza harmoniczna stanu ustalonego silnika asynchronicznego”,

Wydawnictwa AGH, seria „Elektrotechnika” nr 9, Kraków 1986

56 Slemon G.R.: „Modelling of Induction Machines for Electric Drives”, s. 1126-

1131, „IEEE Transactions on Industry Applications”, Vol. 25, No. 6, 1989

119

57 Śliwiński T., Głowacki A.: „Parametry rozruchowe silników indukcyjnych”,

PWN Warszawa 1982

58 Sobczyk T.J.: „Metodyczne aspekty modelowania matematycznego maszyn

indukcyjnych”, Warszawa WNT 2004

59 The MathWorks: „Partial Differential Equation Toolbox User’s Guide”

60 Turowski J.: „Elektrodynamika techniczna”, Warszawa WNT 1993

61 Turowski J.: „Obliczenia elektromagnetyczne elementów maszyn i urządzeń

elektrycznych”, Warszawa WNT 1982

62 Vandevelde L., Rasmussen C. B., Melkebeek J. A. A.: „Radial forces and

torque ripples in split-phase induction motors”, s. 58, Intern. Conf. on

Electrical Machines (ICEM’06), 2006 Chania – Crete Island, Greece

63 Vas P., Deleroi W.,Brown J.E.: „Transient analysis of smooth-air-gap

machines incorporating the effects of main and leakage flux saturation”,

Intern. Conf. on Electrical Machines (ICEM’84), Lausanne, 1984

64 Vogt u. a. K.: „Elektrische Maschinen – Berechnung rotierender elektrischer

Maschinen”, VEB Berlin 1972

65 Wamkeue R., Kamwa I.: „Saturated electromechanical transients based

maximum likelihood identification of double-cage induction generator

parameters”, s. 286-290, Intern. Conf. on Electrical Machines (ICEM’00),

Helsinki, 2000

66 Xypteras J., Hatziathanassiou V.: „Transient Thermal Field of a Squirrel Gage

Motor with deep-bar effect”, Intern. Conf. on Electrical Machines (ICEM’96),

Vigo, 1996

67 Yamazaki K.: „Comparison of induction motor characteristics calculated from

electromagnetic field and equivalent circuit determined by 3D FEM”, s. 1881-

1885, IEEE transaction on Magnetics, vol. 36, 2000