MODELIRANJE KONSTRUKCIJA I NUMERICKE …MODELIRANJE KONSTRUKCIJA I NUMERI KE METODE Master akademske studije, I semestar Prof dr Stanko Br£i¢ email: [email protected] Departman za

MKE - Linijski kona£ni elementiAnaliza linijskih nosa£a

MODELIRANJE KONSTRUKCIJAI NUMERI�KE METODE

Master akademske studije, I semestar

Prof dr Stanko Br£i¢email: [email protected]

Departman za Tehni£ke nauke

Drºavni Univerzitet u Novom Pazaru

2015/16

Stanko Br£i¢ Modeliranje konstrukcija i numeri£ke metode


Sadrºaj

1 MKE - Linijski kona£ni elementiRa£unski modeli realnih problemaRe²etkasti i gredni kona£ni elementi

2 Analiza linijskih nosa£aFormiranje globalne matrice krutostiUno²enje grani£nih uslova



Ra£unski modeli realnih problemaRe²etkasti i gredni kona£ni elementi

Sadrºaj






Metoda kona£nih elemenata

Ra£unski modeli realnih problema

Posmatrani realan �zi£ki problem treba da se (dobro) razume

Za �zi£ke pojave i probleme od interesa postoje odgovaraju¢ematemati£ke formulacije

Ako moºe da se odredi analiti£ko re²enje matemati£keformulacije problema, problem je (na£elno) re²en

Ako je matemati£ka formulacija problema suvi²e kompleksna,analiti£ko re²enje (£esto) nije mogu¢e

U takvim slu£ajevima matemati£ka formulacija se upro²¢avai/ili se traºi numeri£ko re²enje






MKE je najpoznatija i najvi²e kori²¢ena metoda za numeri£kare²avanja posmatranih realnih problemaMKE ima niz prednosti u odnosu na druge numeri£kepostupke:

- MKE moºe da se primeni na bilo koji grani£ni i/ili po£etniproblem: prenos toplote, naponsku analizu, analizu magnetnihi elektromagnetnih polja, analizu kretanja �uida, problemeinterakcije �uida - konstrukcije, tla - konstrukcije, itd

- u primeni MKE nema geometrijskih ograni£enja: MKE moºeda se primeni na domen bilo kakve geometrije, odn. oblika

- nema nikakvih ograni£enja po pitanju grani£nih uslova ioptere¢enja koje deluje






MKE ima niz prednosti u odnosu na druge numeri£ke postupke(nastavak):

- materijalne osobine nisu ograni£ene, npr., na izotropiju(jednaka �zi£ka svojstva u svim pravcima), ve¢ mogu da buduproizvoljne, uklju£uju¢i i razli£ite u svakom elementu

- u istom ra£unskom modelu mogu da se istovremeno primenjujukona£ni elementi koji su me�usobno razli£itog pona²anja(kona£ni elementi za proste ²tapove, za gredene elemente, zakablove, za plo£e i ljuske itd)

- primenom MKE mogu da se posmatraju i nelinearni problemi:geometrijski i/ili materijalno






MKE ima niz prednosti u odnosu na druge numeri£ke postupke(nastavak):

- ra£unski model formiran primenom MKE najvi²e odgovararealnom prototipu

- numeri£ka aproksimacija moºe da se pobolj²a pove¢anjemgustine mreºe kona£nih elemenata: globalno, ali i lokalno, uzonama gde je ve¢i gradijent promene nepoznatih veli£ina

- imaju¢i u vidu sve ve¢e mogu¢nosti ra£unara, ra£unski modelimogu da budu jako veliki: n× 106 nepoznatih






MKE ne moºe da se realizuje �pe²ice�, bez ra£unara

Postoje brojni komercijalni programi zasnovani na MKE, kao islobodni (Open Source) programi za istraºiva£ke potrebeMKE ra£unarski programi mogu da budu

- op²te namene (prakti£no, za bilo kakav problem)- specijalizovani, za neku konkretnu klasu problema (npr. zauticaje zemljotresa na konstrukcije, za analizu mostova,zgrada, za analizu �uida (CFD - Computational FluidDynamics), za geotehni£ke probleme, . . . )

Prakti£no da nema oblasti u inºenjerstvu i �zici (pa i hemiji -Computational Chemistry) gde se ne koristi MKE






Vrhunski MKE programi op²te namene:MSC Nastran, NISA, FEMAP/NX Nastran, ANSYS, ADINA,ABAQUS

Vrhunski programi orjentisani na dinami£ke probleme:MSC Marc, LS-DYNA, Extreme Loading for Structures (AEM)

MKE programi orjentisani na analizu konstrukcija:So�stic, SAP2000, Robot Millennium, Advance, AxisVM,Tower, Lisa, Diana, STAAD

MKE programi orjentisani na analizu zgrada i mostova:ETABS, SAFE, CSI Bridge, Lusas






Open Source FEM programi op²te namene:FreeFEM++, GetFEM++, OOFEMOpen Source FEM programi speci�£ne namene

- za seizmi£ku analizu:OpenSees, SeismoStruc, SASSI

- za analizu �uida i interakciju �uida i konstrukcije:OpenFOAM

- za analizu dinami£ke interakcije tla i konstrukcije:SASSI




ANSYS - primena MKE na razne oblasti




ANSYS - mogu¢nosti u primeni na konstrukcije




Numeri£ki model automobila




Numeri£ki model kontakta to£ak - ²ina




Numeri£ki model sloºene pojave












Fasade od (perforiranog) bakarnog lima




Perforirani bakarni lim Tecu-Oxid-Mesh




Fasada od perforiranog bakarnog lima




Numeri£ki model fasade




Numeri£ki model £eli£no-betonske hale




Numeri£ki model stambeno-poslovne zgrade




Model koloseka Rheda 2000 u tunelu �ortanovac


















Program zasnovan na MKE moºe da koristi svako ko dovoljnonau£i �user interface�Me�utim, takvom korisniku name¢u se razna pitanja, npr:

- koji kona£ni elementi treba da se koriste i sa kojom gustinom- da li treba na nekim mestima domena da bude gu²¢a mreºa- koji nivo detalja �zi£kog problema treba da bude prikazan- da li je zna£ajni aspekt pona²anja posmatranog problemalinearan ili nelinearan / stati£ki ili dinami£ki

- koji parametri u dijalogu za neki algoritam treba da se usvoje- kolika ¢e da bude ta£nost dobijenih rezultata- kako da se proveri da li su rezultati dobri- itd . . .






Numeri£ko modeliranje konstrukcija (posmatranog problema)nije jednostavan posaoPotrebno je dovoljno poznavanje puno toga vezano za �zi£kiproblem koji se posmatra:

- teorija konstrukcija (statika, dinamika, stabilnost, . . . )- speci�£nosti materijala (beton, £elik, drvo, opeka, . . . )- speci�£nosti odgovaraju¢ih konstrukcija (AB, prednapregnute,£eli£ne, spregnute, zidane konstrukcije, . . . )

- na£ine prikazivanja pojedinih optere¢enja: uticaj vetra,zemljotresa, uskladi²tenog materijala u silosu, vodotornju,rezervoaru za naftu, . . .

- detalja raznih postupaka i algoritama u speci�£nim nelinearnimi/ili dinami£kim analizama






Podrazumeva se da onaj ko vr²i numeri£ku analizu u dovoljnojmeri poznaje i ra£unarski program koji koristi, kao imogu¢nosti i ograni£enja programa

Osim toga, potrebno je da se dovoljno poznaje i sama metodakona£nih elemenata, kao i aproksimacije koje su usvojene isadrºane u samoj MKE

Naravno, i pored svega veoma lako mogu da se naprave raznegre²ke u opisivanju problema ra£unarskom programu

Ra£unari rade onako kako je napravljen program, a neonako kako bi korisnik ºeleo da ra£unar radi




Sadrºaj






Rekapitulacija matri£ne analize konstrukcija

Osnovna ideja matri£ne analize linijskih nosa£a

Matri£na analiza konstrukcija je postupak analize linijskihnosa£a zasnovan na primeni matrica

Osnovna ideja matri£ne analize je da se linijski nosa£ posmatrakao skup odre�enog broja elemenata (²tapova) koji sume�usobno vezani u £vorovima nosa£a

U svakom elementu nosa£a sile i pomeranja unutar elementaizraºavaju se preko izabranih parametara u £vorovima nosa£a

Ti parametri u £vorovima nosa£a pretstavljaju osnovnenepoznate veli£ine u matri£noj analizi






Za nepoznate parametre u £vorovima nosa£a (u ravni) moguda se izaberu:

1 generalisanja pomeranja (komponente pomeranja i obrtanje). . .u, v, ϕ

2 sile u £vorovima (komponente sile i spreg) . . .H,V,M

Za odre�ivanje nepoznatih parametara u £vorovima koriste sedve grupe jedna£ina:

1 uslovi ravnoteºe sila u £vorovima2 uslovi kompatibilnosti generalisanih pomeranja u £vorovima






Ako se za nepoznate izaberu pomeranja u £vorovima onda setakva varijanta matri£ne analize naziva metoda deformacije(direct sti�ness method)

U tom slu£aju, nepoznata £vorna pomeranja odre�uju se izuslova ravnoteºe sila u £vorovima

Ako se za £vorne nepoznate usvoje sile u £vorovima nosa£a,onda se takva varijanta matri£ne analize zove metoda sila,metoda �eksibilnosti

Nepoznate £vorne sile se u tom slu£aju odre�uju iz uslovakompatibilnosti pomeranja u £vorovima






U matri£noj analizi linijskih nosa£a dominantna je metodadeformacije (direktna metoda krutosti), dok se metoda silaprakti£no ne koristiMatri£na analiza linijskih nosa£a sastoji se iz tri celine:

1 analize ²tapa . . . uspostavljaju se matri£ne veze izme�u sila nakrajevima ²tapa, £vornih pomeranja i optere¢enja duº ²tapa

2 analize nosa£a . . . matri£ne relacije za svaki ²tap �sabiraju� se iformiraju se uslovne jedna£ine za ceo sistem

3 re²avanja jedna£ina . . . uslovne jedna£ine sistema se re²e, pase, sa odre�enim osnovnim nepoznatim £vornim pomeranjima,odre�uju sile u preseku i pomeranja duº svih ²tapova nosa£a






Matri£na analiza linijskih nosa£a (u ravni) je osnov metodekona£nih elemenata

MKE se brzo razvila u znatno ²iri postupak od matri£ne analizelinijskih nosa£a (koja je zasnovana na linearnoj teoriji ²tapa)

MKE se brzo pro²irila sa linijskih (1D) na 2D i 3D nosa£e, kaoi na dinami£ke probleme i probleme stabilnostiParalelno, razvijali su se i prvi ra£unari:

- 1951 . . . Univac I- 1953 . . . IBM 701






Tako�e, pojavio se i prvi programski jezik za programiranja unauci i tehnici: FORTRAN, 1957

Osim toga, razvili su se postupci za analizu nelinearnihproblema, kako u domenu geometrijske, tako i u oblastimaterijalne nelinearnosti

Naravno, MKE se vremenom razvila i na primene u (prakti£no)svim drugim oblastima inºenjerstva, �zike, hemije, medicine(analiza krvotoka, kostiju, . . . ) itd.

Naziv MKE (t.j. FEM) dao je Ray Clough u radu iz 1960

Edward Wilson je doktorirao 1963 (mentor R. Clough) "FiniteElement Analysis of 2D Structures"




Nastanak MKE iz Matri£ne analize

MSA - Matrix Structural AnalysisDSM - Direct Sti�ness Method




Edward Wilson, PhD sa Fortran programom, 1963





Matri£na analiza ²tapa u ravni

Me�usobne veze ²tapova u £vorovima mogu da budu krute ilizglobneU zavisnosti od toga, razlikuju se ²tapovi:

- tipa k . . . na oba kraja ²tapa (i,k) je kruta veza- tipa g . . . na jednom kraju ²tapa (i) je kruta veza, na drugom(g) je zglobna

- prost ²tap . . . na oba kraja ²tapa je zglobna veza i nemaoptere¢enja duº ²tapa

Zglobna veza zna£i da je omogu¢ena relativna rotacija zglobnovezanog ²tapa u odnosu na osu u zglobu ⊥ na ravan nosa£a

Na zglobno vezanom kraju g ²tapa obrtanje ϕ nije nepoznataveli£ina (moºe da se odredi iz uslova Mg = 0)




Tipovi ²tapova kod linijskog nosa£a

Tipovi ²tapova kod linijskog nosa£a u ravni i odgovaraju¢ageneralisana £vorna pomeranja






Analiza ²tapa podrazumeva uspostavljanje veza izme�upomeranja i sila na krajevima ²tapa, odn. izme�u pomeranjana krajevima i optere¢enja ²tapa

Imaju¢i u vidu proizvoljnu topologiju linijskih nosa£a u ravni,geometrija nosa£a de�ni²e se u izabranom globalnomkoordinatnom sistemu OXY

Tako�e, za svaki ²tap se de�ni²e lokalni koordinatni sistemixy, gde je i po£etni £vor ²tapa, osa x je osa ²tapa (sasmerom od £vora i ka £voru k), dok je osa y upravna napravac ²tapa u ravni nosa£a






Oba koordinatna sistema, globalni i lokalni, su desne orjentacije

U analizi pojedina£nog ²tapa izvode se prvo veze izme�u sila ipomeranja na krajevima ²tapa u lokalnom sistemu

Imaju¢i u vidu poloºaj svakog ²tapa u odnosu na globalnikoordinatni sistem, izraºen preko ugla α = ∠(X,x), vr²i setransformacija iz lokalnog u globalni sistem

Veze izme�u sila i pomeranja na krajevima ²tapa, izraºene uglobalnom sistemu, �sabiraju� se i dolazi se do globalnihjedna£ina sistema





�vorna pomeranja i £vorne sile

Posmatra se, kao najop²tiji slu£aj, ²tap tipa k (kruta veza naoba kraja)

�vorna pomeranja na krajevima ²tapa u lokalnom sistemuobeleºavaju se sa:

- na kraju i . . .ui, vi, ϕi (pomeranja £vora i u pravcima osa x i yi obrtanje £vora oko ose z)

- na kraju k . . .uk, vk, ϕk

Alternativno, koriste se oznake qi (i = 1, 2, . . . , 6) i nazivgeneralisane koordinate:

- na kraju i . . . q1, q2, q3- na kraju k . . . q4, q5, q6






�vorne sile u lokalnom sistemu obeleºavaju se tako�e na dvana£ina

- na uobi£ajen na£in . . . £vor i: Ni, Ti,Mi, £vor k: Nk, Tk,Mk

- alternativno, sa oznakom Ri . . . £vor i: R1, R2, R3, £vor k:R4, R5, R6

Napominje se da su pozitivni smerovi £vornih sila i £vornihpomeranja, na oba kraja ²tapa, u pozitivnim smerovimalokalnih osa

�vorna pomeranja i £vorne sile, izraºene u globalnom sistemuobeleºavaju se sa gornjim indeksom (..)∗: q∗i , R

∗i , (i=1,2 . . . ,6)




Lokalni i globalni koordinatni sistem

Sile i pomeranja na krajevima ²tapa izraºene u (a) lokalnom i(b) globalnom koordinatnom sistemu






Vektori £vornih pomeranja i £vornih sila na krajevima ²tapatipa k, izraºeno u lokalnim koordinatama ixy, prikazuju se uobliku vektora kolona:

q =

q1q2q3q4q5q6

=

uiviϕi

ukvkϕk

R =

R1

R2

R3

R4

R5

R6

=

Ni

TiMi

Nk

TkMk





Matrica krutosti ²tapa u ravni

Veza izme�u vektora £vornih sila i £vornih pomeranja prikazujese u obliku

R = K q (1)

gde je sa K ozna£ena matrica krutosti ²tapa

Relacija (1) pretstavlja osnovnu jedna£inu neoptere¢enog ²tapa

Matrica K moºe da se posmatra kao preslikavanje vektora£vornih pomeranja q na vektor £vornih sila R






Za ²tap tipa k, sa 6 stepeni slobode, matrica krutosti K jekvadratna matrica reda 6

K =

k11 k12 · · · k1j · · · k16k21 k22 · · · k2j · · · k26...

......

...ki1 ki2 · · · kij · · · ki6...

......

...k61 k62 · · · k6j · · · k66






Ako se relacija (1) R = K q napi²e u razvijenom obliku:

R1

R2...Ri...R6

=

k11 k12 · · · k1j · · · k16k21 k22 · · · k2j · · · k26...

......

...ki1 ki2 · · · kij · · · ki6...

......

...k61 k62 · · · k6j · · · k66

·

q1q2...qj...q6

vidi se da je sila Ri jednaka

Ri =

6∑j=1

kij qj (2)






Iz relacije (2) dobija se �zi£ko zna£enje elemenata matricekrutosti:

Element kij matrice krutosti pretstavlja silu Ri usledpomeranja qj = 1, pri £emu su sva ostala pomeranjajednaka nuli qi = 0, i 6= j

To zna£i da elementi kolone j matrice krutosti:k1j , k2j , . . . , k6j pretstavljaju sile R1, R2, . . . , R6 usledjedini£nog £vornog pomeranja, odn. usled stanja qj = 1






Matrica krutosti je simetri£na: kij = kji usled stava ouzajamnosti reakcija (odn. Maxwell-ovog stava o uzajamnostipomeranja)

Matrica krutosti je singularna: od 6 sila na krajevima ²tapa 3su linearno nezavisne, dok ostale 3 mogu da se odrede izuslova ravnoteºe

Kada se totalno uklje²tenom i neoptere¢enom ²tapu zadageneralisano pomeranje qj = 1 i odrede reakcije oslonaca Ri

(i=1,2,. . . , 6) usled tog pomeranja, tada reakcije pretstavljajuelemente kolone j matrice krutosti






Ako se ovakav postupak ponovi za sva generalisana pomeranjaqj , j=1,2,. . . ,6, dobijaju se sve kolone matrice krutosti, a timei svi elementi matrice K

Ovakav na£in odre�ivanja matrice krutosti ²tapa naziva sedirektan postupak (metoda)

Relacija (1) je osnovna jedna£ina neoptere¢enog ²tapa

Ako je ²tap optere¢en duº svoje ose, uticaj optere¢enja seprikazuje preko vektora ekvivalentnog optere¢enja





Vektor ekvivalentnog optere¢enja

Ekvivalentno optere¢enje je koncentrisano optere¢enje nakrajevima ²tapa kojim se zamenjuju spolja²nji uticaji duº ose²tapa

Ekvivalentno optere¢enje Q u £vorovima datog nosa£a jednakoje negativnim vrednostima reakcija oslonaca i uklje²tenjadeformacijski odre�enog sistema datog nosa£a

Vektor ekvivalentnog optere¢enja ²tapa jednak je negativnimvrednostima reakcija oslonaca optere¢enog ²tapa kome suspre£ena pomeranja krajeva










Kao ²to je re£eno, nepoznata £vorna pomeranja nosa£aodre�uju se iz uslova ravnoteºe sila u £vorovimaSile u £vorovima poti£u od spolja²njeg optere¢enja, t.j. od:

- spolja²njih sila koje deluju direktno u £vorovima- ekvivalentnog optere¢enja u £vorovima koje zamenjujeraspodeljeno ili koncentrisano spolja²nje optere¢enje duº ose²tapova

Osim toga, prema vezi (1), nepoznate £vorne sile prikazuju sepreko matrice krutosti i nepoznatih £vornih pomeranja






Sve matrice i vektori prikazuju se u globalnom koordinatnomsistemu (vr²i se transformacija iz lokalnog u globalni sistem)

Posle odgovaraju¢eg �sabiranja� po pojedinim £vorovimanosa£a dolazi se do globalnih uslova ravnoteºe celog nosa£a:

K∗ q∗ = S∗ (3)

(sa gornjim indeksom (..)∗ ozna£ene su matrice i vektori uglobalnom sistemu OXY

U jedna£ine ravnoteºe (3) uneti su odgovaraju¢i grani£ni uslovi

Re²avanjem jedna£ina (3) dobija se vektor nepoznatih £vornihpomeranja u globalnom sistemu




Matrice krutosti ²tapova u ravni

Matrica krutosti prostog ²tapa

Posmatra se prost ²tap konstantnog popre£nog preseka F ,modula elasti£nosti E i duºine `

Koordinatni po£etak lokalnog sistema xy je u £voru i

�vorna pomeranja i £vorne sile su, redom, q1, q2, kao i R1, R2






Vektori £vornih pomeranja i £vornih sila dati su sa

q =

{q1q2

}=

{uiuk

}R =

{R1

R2

}=

{Ni

Nk

}Veza izme�u £vornih sila i £vornih pomeranja (1), u ovomslu£aju, je {

R1

R2

}=

[k11 k12k21 k22

] {q1q2

}






Element matrice krutosti kij je sila na mestu i usledjedini£nog pomenranja uj = 1, pri £emu su sva ostalapomeranja krajeva ²tapa jednaka nuli

Elementi prve kolone matrice K su sile na krajevima prostog²tapa usled pomeranja q1 = 1 i q2 = 0, dok su elementi drugekolone matrice krutosti sile na krajevima za pomeranje q1 = 0i q2 = 1






Promena duºine tetive (prostog) ²tapa jednaka je razlicipomeranja krajeva ²tapa:

∆` = q2 − q1

Dilatacija ose ²tapa je jednaka

ε =∆`

`=q2 − q1`

Imaju¢i u vidu relaciju teorije elasti£nosti σ = E ε, normalnasila u prostom ²tapu data je sa

N = σ F = EFε = EF∆`

`=EF

`(q2 − q1)






Sile na krajevima prostog ²tapa R1 i R2 jednake su normalnimsilama, sa odgovaraju¢im znakom:

- normalne sile su pozitivne za zategnut ²tap- £vorne sile su pozitivne kada su u pozitivnom smeru lokalneose (na oba kraja ²tapa)






Prema tome, dobija se

R1 = −N =EF

`(q1 − q2)

R2 = N =EF

`(q2 − q1)

Napisano u matri£nom obliku, ove relacije postaju:{R1

R2

}=EF

`

[1 −1−1 1

] {q1q2

}






Imaju¢i u vidu osnovnu relaciju za neoptere¢en ²tap R = Kq,matrica krutosti prostog ²tapa data je u obliku

K =EF

`

[1 −1−1 1

](4)

Matrica krutosti aksijalno napregnutog (prostog) ²tapa jekvadratna matrica reda 2

Kao ²to se vidi, matrica krutosti je simetri£na i singularna(determinanta je jednaka nuli):

detK = 0




Matrica krutosti prostog ²tapa u ravni





Vektor ekvivalentnog optere¢enja prostog ²tapa

Osnovna jedna£ina optere¢enog ²tapa data je u obliku

R = K q −Q (5)

gde je Q vektor ekvivalentnog optere¢enja

Vektor ekvivalentnog optere¢enja jednak je negativnimvrednostima reakcija oslonaca optere¢enog ²tapa kome suspre£ena pomeranja krajeva

Prost ²tap moºe da bude optere¢en silama u pravcu ose ²tapa iuticajem temperaturne promene duº ose ²tapa t






U slu£aju temperaturne promene duº ose ²tapa dodatnadilatacija je data sa

εt = αt t

gde je αt koe�cijent temperaturne dilatacije materijala ²tapa

Prema tome, normalna sila je data u obliku

N = EFε = EF (∆`

`+ αt t) =

EF

`(q2 − q1) + EFαt t






Imaju¢i u vidu konvenciju o pozitivnim smerovima sila nakrajevima ²tapa u matri£noj analizi, dobija se{

R1

R2

}=EF

`

[1 −1−1 1

] {q1q2

}− EFαt t

{−11

}Prema tome, vektor ekvivalentnog optere¢enja aksijalnooptere¢enog ²tapa, za slu£aj temperaturne promene u osi²tapa, dat je sa

Q = EFαt t

{−11

}(6)





Vektor ekvivalentnog optere¢enja prostog ²tapa za uticajtemperaturne promene u osi ²tapa:

Q = EFαt t

{−11

}






Ukoliko je ²tap optere¢en proizvoljnim raspodeljenimoptere¢enjem u pravcu ose ²tapa, komponente vektoraekvivalentnog optere¢enja dobijaju se kao reakcije obostranooslonjenog ²tapa, sa promenjenim znakom:






Prost ²tap kod koga su spre£ena pomeranja u pravcu ose ²tapana oba kraja je jednom stati£ki neodre�en nosa£

Reakcije oslonaca se odre�uju primenom metode sila

Ako je aksijalno optere¢enje konstantno, px(x) = p = const,reakcije veza su jednake 1/2 rezultante optere¢enja: p`/2, paje vektor ekvivalentnog optere¢enja u tom slu£aju jednak

Q =

{Q1

Q2

}=

{ p`2p`2

}




Re²etkasti ²tapovi u globalnom sistemu

Lokalni i globalni sistem

Osnovna jedna£ina neoptere¢enog, (1), ili optere¢enog ²tapa,(5), formulisana je u lokalnom koordinatnom sistemu

Lokalni sistem ²tapa ixyz ima koordinatni po£etak u jednom£voru, £voru i, osa x je u pravcu ose ²tapa, u smeru i− k, dokje osa y upravna na ²tap u ravni nosa£a, tako da ose xyz £inedesni koordinatni sistem

Topologija nosa£a (u ovom slu£aju ravne re²etke) odre�ena jeu odnosu na globalni koordinatni sistem OXY Z desneorjentacije, pri £emu je XY ravan nosa£a





�vorne sile i £vorna pomeranja prostog ²tapa prikazani u(a) lokalnom i (b) globalnom sistemu






Za razliku od vektora £vornih sila i pomeranja u lokalnomsistemu, koji imaju po dve komponente (jer su u pravculokalne ose x), ti isti vektori izraºeni u globalnom sistemuimaju po £etiri komponente, po dve u svakom £voru upravcima globalnih osa X i Y :

q∗ =

q∗1q∗2q∗3q∗4

R∗ =

R∗

1

R∗2

R∗3

R∗4





Transformacija £vorne sile R1 u £voru i iz globalnog u lokalnisistem:

R1 = R∗1 cosα+R∗

2 sinα

i obratno, iz lokalnog u globalni sistem:

R∗1 = R1 cosα R∗

2 = R1 sinα






Ugao koji de�ni²e poloºaj lokalne ose ²tapa x u odnosu naglobalni sistem XY odre�en je sa orjentisanim uglom izme�uglobalne ose X i lokalne ose x: α = ∠(X,x)

Projektovanjem komponenti u globalnom sistemu R∗1 i R∗

2 napravac lokalne komponente £vorne sile, dobija se


2 sinα

Sli£no se dobija i za sile u £voru k:


4 sinα






Napisano u matri£nom obliku dobija se relacija

{R1

R2

}=

[cosα sinα 0 0

0 0 cosα sinα

] R∗

1

R∗2

R∗3

R∗4

ili u skra¢enom obliku:

R = T R∗ (7)






Sa T je ozna£ena matrica transformacije:

T =

[cosα sinα 0 0

0 0 cosα sinα

](8)

Analogno izrazu (7) dobija se i za £vorna pomeranja

q = T q∗ (9)

Matrica transformacije prostog (re²etkastog) ²tapa pretstavljatransformaciju £vornih veli£ina (sila i pomeranja) iz globalnogu lokalni sistem






Imaju¢i u vidu razlaganje sila u £voru i, relacije kojima seprikazuju sile u globalnom sistemu preko sila u lokalnomsistemu, za £vor i, date su sa:


2 = R1 sinα

Analogne relacije vaºe i za £vor k:


4 = R2 sinα






Napisano u matri£nom obliku, ove relacije postajuR∗

1

R∗2

R∗3

R∗4

=

R1 cosαR1 sinαR2 cosαR2 sinα

=

cosα 0sinα 0

0 cosα0 sinα

{ R1

R2

}

Ova relacija moºe da se napi²e u obliku

R∗ = T T R (10)

i pretstavlja transformaciju £vornih sila iz lokalnog u globalnisistem






Analogna relacija vaºi i za £vorna pomeranja

q∗ = T T q

Posmatra se osnovna jedna£ina neoptere¢enog ²tapa, odn.veza izme�u generalisanih (£vornih) sila i generalisanihpomeranja u lokalnom sistemu, (1):

R = K q

Unose¢i u ovu relaciju vezu (9): q = T q∗ i mnoºe¢i sa levestrane sa transponovanom matricom transformacije T T , dobijase

T T R = T T KT q∗ (11)






Izraz na levoj strani (11) pretstavlja vektor £vornih sila uglobalnom sistemu, dat sa (10): R∗ = T T R, tako da sedobija:

R∗ = T T KT q∗ (12)

Relacija (12) moºe da se napi²e u obliku

R∗ = K∗ q∗ (13)

gde je K∗ matrica krutosti ²tapa u globalnom sistemu

K∗ = T T KT (14)






Dakle, relacija (13) pretstavlja osnovnu jedna£inuneoptere¢enog prostog ²tapa u globalnom sistemu

Ako je prost ²tap optere¢en duº svoje ose aksijalnimoptere¢enjem ili temperaturom u osi ²tapa, osnovna jedna£inaoptere¢enog ²tapa, u lokalnom sistemu, data je sa (5):

R = K q −Q (15)

Vektor ekvivalentnog optere¢enja Q pretstavlja £vorne sile kojezamenjuju optere¢enje duº ose ²tapa, izraºene u lokalnomsistemu ²tapa






Prema tome, i za vektor ekvivalentnog optere¢enja vaºerelacije transformacije iz lokalnog u globalni sistem:

Q∗ = T T Q (16)

Ako se jedna£ina (15) pomnoºi sa leve strane satransponovanom matricom transformacije ²tapa, dobija se

T T R = T T KTq∗ − T T Q

odn. dobija se osnovna jedna£ina optere¢enog ²tapa uglobalnim koordinatama

R∗ = K∗ q∗ −Q∗ (17)






Matrica krutosti prostog ²tapa u globalnim koordinatama dataje sa (14)

Ako se uvedu oznake λ = cosα, µ = sinα, matrica krutosti(14) moºe da se prikaºe u obliku:

K∗ = T T KT =

[k∗ −k∗

−k∗ k∗

]gde je

k∗ =EF

`

[λ2 λµλµ λ2

]






Vektor ekvivalentnog optere¢enja Q∗, dat sa (16), dobija se uobliku

Q∗ = T T Q =

λ 0µ 00 λ0 µ

{ Q1

Q2

}=

λQ1

µQ1

λQ2

µQ2




Matri£na analiza linijskih nosa£a u ravni

Puni ²tapovi u lokalnom sistemu

Posmatra se puni ²tap tipa k u ravni OXY , dakle ²tap koji jekruto vezan na svojim krajevima i, k

Lokalni sistem ²tapa u ravni nosa£a je xy, pri £emu jekoordinatni po£etak u (prvom) £voru i, a lokalna osa x je upravcu ose ²tapa, sa smerom i− kKao ²to je re£eno, nepoznate veli£ine su £vorna pomeranja:

- u £voru i . . .ui, vi, ϕi, ili, alternativno q1, q2, q3- u £voru k . . .uk, vk, ϕk, ili, alternativno q4, q5, q6

Dakle, ²tap tipa k (�beam�), kao deo nosa£a u ravni, raspolaºesa 6 stepeni slobode (6 �dof�)





Puni ²tapovi u lokalnom sistemu: £vorne sile i pomeranja

�tap tipa k je duºine ` i od materijala sa konstantnimmodulom elasti£nosti EPopre£ni presek je konstantnog oblika sa karakteristikama:

- povr²ina preseka . . .F- momenat inercije . . . J






�tap tipa k, koji je kruto vezan na oba kraja, osnovni jeelement punog nosa£a u ravni�tap tipa k moºe da bude izloºen

- aksijalnom naprezanju- savijanju

U linearnoj teoriji ²tapa (koja se usvaja), takva dva naprezanjasu me�usobno nezavisna i mogu da se posmatraju posebno

Istovremeni uticaji aksijalnog naprezanja i savijanja dobijaju sesuperpozicijom






Vektori £vornih pomeranja i £vornih sila (u lokalnom sistemu)imaju po 6 elemenata sa utvr�enim redosledom, prvo za £vor i,pa za £vor k:

q =

q1q2q3q4q5q6

=

uiviϕi

ukvkϕk

R =

R1

R2

R3

R4

R5

R6

=

Ni

TiMi

Nk

TkMk

Sa u i v su ozna£ene komponente pomeranja u pravcima osa xi y, dok je ϕ obrtanje oko ose z





Razdvajanje naprezanja kod punih ²tapova

Aksijalno naprezanje i savijanje su me�usobno nezavisni ulinearnoj teoriji ²tapa

Za istovremeno delovanje aksijalnih uticaja i savijanja koristi seprincip superpozicije






Matrica krutosti i odgovaraju¢e relacije za ²tap izloºenaksijalnom naprezanju su iste kao ²to je prikazano urazmatranju re²etkastih ²tapova

Posmatra se ²tap tipa k izloºen savijanjuZa savijanje relevantna su £vorna pomeranja

- u £voru i . . . vi, ϕi

- u £voru k . . . vk, ϕk

kao i £vorne sile- u £voru i . . .Ti,Mi

- u £voru k . . .Tk,Mk





Analiza savijanja kod punih ²tapova

U nezavisnom posmatranju savijanja ²tapa ima po dvenepoznate u svakom £voru

Radi jednostavnijeg pisanja, u analizi savijanja koriste seoznake q1, q2, q3, q4, za £vorna pomeranja, kao iR1, R2, R3, R4 za £vorne sile

Kada se objedinjuje savijanje i aksijalno naprezanje vodi sera£una o redosledu nepoznatih





Puni ²tapovi u lokalnom sistemu - savijanje

Po²to se savijanje posmatra odvojeno od aksijalnognaprezanja, £vorne sile i £vorna pomeranja, kao i drugeveli£ine, ozna£avaju se sa gornjim indeksom s

Vektori £vornih pomeranja i £vornih sila (u lokalnom sistemu)imaju po 4 elementa:

qs =

q1q2q3q4

Rs =

R1

R2

R3

R4





Matrica krutosti ²tapa tipa k

Matrica krutosti za slu£aj savijanja Ks moºe da se izvede nabazi �zi£kog zna£enja elemenata matrice krutosti:

Koe�cijent matrice krutosti kij pretstavlja £vornu silu Ri

obostrano uklje²tenog ²tapa usled jedini£nog £vornogpomeranja qj = 1, pri £emu su sva ostala pomeranjaqi = 0 jednaka nuli, i 6= j

Reakcije veza obostrano uklje²tene grede za jedini£napomeranja i obrtanja krajeva mogu da se odrede metodom sila




Dobijene reakcije vezaza za q1 = 1

Reakcije veza za q1 = 1: elementi prve kolone matrice krutosti





Reakcije veza za svako od jedini£nih pomeranja pretstavljajuodgovaraju¢u kolonu matrice krutosti Ks

Isprekidanom linijom prikazana je elasti£na linija ²tapa (ugibi)






Matrica krutosti Ks je kvadratna, simetri£na i singularnamatrica reda 4

Elementi matrice krutosti dati su sa

Ks =EJ

`3

12 6` −12 6`6` 4`2 −6` 2`2

−12 −6` 12 −6`6` 2`2 −6` 4`2

(18)






Vektor ekvivalentnog optere¢enja usled savijanja Qs ulokalnom sistemu, dat je kao vektor sa 4 elementa

Qs =

Q1

Q2

Q3

Q4

Elementi vektora ekvivalentog optere¢enja jednaki sunegativnim vrednostima reakcija obostrano uklje²tene gredeusled zadatog optere¢enja





Za jednostavna optere¢enja postoje gotova re²enja za reakcijeveza obostrano uklje²tene grede

Za proizvoljno optere¢enje py(x) reakcije veza se odre�ujuprimenom metode sila (za dva puta stati£ki neodre�en nosa£)





Vektor ekvivalentnog optere¢enja za jednakopodeljenooptere¢enje py(x) = p = const






Vektor ekvivalentnog optere¢enja usled savijanja Qs ulokalnom sistemu, za slu£aj jednakopodeljenog opter¢enjapy(x) = p = const dat je sa:

Qsp =

p`2p`2

12p`2

−p`2

12

=p`

2

1`61

− `6






Vektor ekvivalentnog optere¢enja Qs u lokalnom sistemu, zaslu£aj temperaturne razlike ∆t dat je sa:

Qst = E J αt

∆t

h

0−101

Sa αt je ozna£en koe�cijent temperaturne dilatacije, dok je hvisina preseka nosa£a









Matrice krutosti za aksijalno naprezanje Ka i za savijanje Ks

odre�uju se nezavisno

Ukupna matrica krutosti ²tapa tipa k je kvadtratna matricareda 6

Elemeti matrica krutosti Ka i Ks sme²taju se naodgovaraju¢e pozicije








�vorna pomeranja i £vorne sile ²tapa tipa k




Vektor ekvivalentnog optere¢enja ²tapa tipa k




Vektor ekvivalentnog optere¢enja ²tapa tipa k

Istovremeno ravnomerno aksijalno i transverzalno optere¢enjekonstantnih intenziteta






Vektor ekvivalentnog optere¢enja usled savijanja Qs ulokalnom sistemu, za slu£aj jednako-podeljenog aksijalnogopter¢enja px(x) = const, kao i istovremenogjednako-podeljenog transverzalnog opter¢enja py(x) = const,dat je sa:

Qsp =

px`2

py`2

py`2

12px`2

py`2

−py`2

12




Puni ²tapovi u globalnom sistemu

Transformacija koordinata za ²tap tipa k

�tap tipa k, u sastavu nosa£a u ravni, zauzima proizvoljanpoloºaj u odnosu na globalni koordinatni sistem

Poloºaj ²tapa u posmatranom nosa£u, koji pripada globalnojravni OXY , odre�en je sa poloºajem prvog £vora i ²tapai− k, kao i orjentisanim uglom α = ∠(X,x) koji zaklapalokalna osa ²tapa x prema globalnoj osi X

Transformacije vektora iz lokalnog u globalni sistem i obrnutoodre�ene su matricom transformacije T




Globalni i lokalni sistem

�vorna pomeranja i £vorne sile ²tapa tipa k u lokalnom i globalnomsistemu






Vektori £vornih pomeranja i £vornih sila imaju po 6 koordinata,koje se u vektore unose u istom redosledu

Vektori izraºeni u globalnim koordinatama imaju i gornji indeks(..)∗ u svojoj oznaci:

q =

q1q2...q6

R =

R1

R2...R6

q∗ =

q∗1q∗2...q∗6

R∗ =

R∗

1

R∗2...R∗

6




Globalni i lokalni sistem

Prikazi vektora £vornih pomeranja i £vornih sila ²tapa tipa k ulokalnom i globalnom sistemu






Matrica transformacije ²tapa tipa k dobija se kada se, npr.,£vorne sile u lokalnom sistemu Ri izraze preko £vornih sila uglobalnom sistemu R∗

i

Imaju¢i u vidu da je α = ∠(X,x), dobijaju se slede¢e relacije,posmatraju¢i £vorne sile u £voru i:


2 sinα

R2 = −R∗1 sinα+R∗

2 cosα

R3 = R∗3

(19)






Prikazano u matri£nom obliku, relacije (19) mogu da se napi²ukao

R1

R2

R3

=

cosα sinα 0− sinα cosα 0

0 0 1

R∗

1

R∗2

R∗3

(20)

Relacije (20) mogu da se napi²u u skra¢enom obliku:

Ri = tR∗i (21)






Analogne relacije mogu da se napi²u i za sile u £voru k:

Rk = tR∗k (22)

Matrica t je £vorna matrica transformacije

Relacije (21) i (22) mogu da se zajedno napi²u u obliku{Ri

Rk

}=

[t 00 t

] {R∗

i

R∗k

}(23)

ili u kompaktnijem obliku

R = T R∗ (24)






Relacija (24) pretstavlja transformaciju vektora £vornih sila izglobalnih u lokalne koordinate

Matrica T je matrica transformacije za ²tap

Napisano u razvijenom obliku, relacije (24) glase

R1

R2

R3

R4

R5

R6

=

cosα sinα 0 0 0 0− sinα cosα 0 0 0 0

0 0 1 0 0 00 0 0 cosα sinα 00 0 0 − sinα cosα 00 0 0 0 0 1

R∗1

R∗2

R∗3

R∗4

R∗5

R∗6

(25)






Napisana u razvijenom obliku, matrica transformacije T dataje sa

T =

cosα sinα 0 0 0 0− sinα cosα 0 0 0 0

0 0 1 0 0 00 0 0 cosα sinα 00 0 0 − sinα cosα 00 0 0 0 0 1

(26)

Matrica transformacije je simetri£na kvadratna matrica reda 6






Na isti na£in, vaºe relacije izme�u £vornih pomeranja q:

q = Tq∗ (27)

kao i izme�u vektora ekvivalentnog optere¢enja Q:

Q = TQ∗ (28)

Matrica transformacije (kao matrica rotacije) je ortogonalnamatrica, odn. njena transponovana matrica jednaka jeinverznoj matrici:

T T = T−1 (29)






Imaju¢i u vidu relacije (24) i (28), kao i svojstvo ortogonalnostimatrice transformacije, vektori £vornih sila i vektoriekvivalentnog optere¢enja, izraºeni u lokalnom sistemu, moguda se izraze u globalnom sistemu:

R = T R∗ ⇒ R∗ = T T R

Q = T Q∗ ⇒ Q∗ = T T Q(30)

Radi skra¢enog pisanja, koriste se oznake λ = cosα, µ = sinα






Matrica transformacije za £vor, kao i njena inverzna matrica,date su

t =

λ µ 0−µ λ 00 0 1

t−1 =

λ −µ 0µ λ 00 0 1

dok je matrica transformacije za ²tap data sa

T =

λ µ 0 0 0 0−µ λ 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 λ µ 00 0 0 −µ λ 00 0 0 0 0 1

(31)






Ako su poznate globalne koordinate £vorova i i k ²tapa i− k:(Xi, Yi), (Xk, Yk), onda se lako izra£unavaju elementi matricetransformacije λ i µ za dati ²tap:

` =√

(Xk −Xi)2 + (Yk − Yi)2

λ =1

`(Xk −Xi)

µ =1

`(Yk − Yi)





Transformacija matrice krutosti u globalni sistem

Posmatra se osnovna jedna£ina neoptere¢enog ²tapa

R = K q

Unose¢i u ovu jedna£inu relacije izme�u £vornih sila i £vornihpomeranja u lokalnim i globalnim koordnatama:

R = T R∗ q = T q∗

dobija seT R∗ = KT q∗ (32)






Ako se jedn. (32) pomnoºi sa transponovanom matricomtransformacije sa leve strane, dobija se

T T T R∗ = T T KT q∗

Imaju¢i u vidu ortogonalnost matrice transformacije,T T = T−1, dobija se

R∗ = T T KT q∗ (33)

ili skra¢eno,R∗ = K∗ q∗ (34)






Jedna£ina (34) pretstavlja osnovnu jedna£inu neoptere¢enog²tapa u globalnim koordinatama

U toj jedna£ini matrica K∗ pretstavlja vezu izme�u £vornihsila i £vornih pomeranja, u globalnim koordinatama, tako da jeK∗ matrica krutosti ²tapa u globalnim koordinatama:

K∗ = T T KT (35)



Formiranje globalne matrice krutostiUno²enje grani£nih uslova

Sadrºaj






Analiza linijskih nosa£a u ravni

Formiranje globalne matrice krutosti

Matrice krutosti ²tapova (punih i re²etkastih) u lokalnimkoordinatama zavise od

- duºine ²tapa . . . `- geometrijskih karakteristika popre£nog preseka . . .F, J- karakteristika materijala . . .E

Matrice krutosti ²tapova u globalnim koordinatama zavise jo² iod

- poloºaja ²tapa u odnosu na globalni sistem . . . ugaoα = ∠(X,x)





Ulazni podaci o ra£unskom modelu (text �le)

Ulazni podaci koji de�ni²u ra£unski model posmatranog nosa£asastoje se iz slede¢ih celina:

- op²ti podaci o ra£unskom modelu (naziv, vrsta analize, . . . )- podaci o topologiji nosa£a: koordinate £vorova i povezanost²tapova

- podaci o popre£nim presecima i o materijalima- podaci o grani£nim uslovima- podaci o optere¢enju: osnovni slu£ajevi optere¢enja ikombinacije optere¢enja

U posmatranom nosa£u (u ravni, ali i u 3D) svaki £vor i svaki²tap imaju svoj jedinstveni identi�kacioni broj






Numeracije £vorova, kao i ²tapova, me�usobno su nezavisne ipo£inju sa 1,2,3,. . .

Za svaki £vor unose se koordinate ta£aka (u globalnomsistemu)

Za svaki ²tap unose se globalni brojevi prvog i drugog £vora(i, k), pri £emu je lokalna x osa orjentisana od i ka k

Formiraju se liste razli£itih popre£nih preseka i razli£itihmaterijala u modelu nosa£a

Unose se podaci o grani£nim uslovima: koji £vor je grani£ni ikakvi su grani£ni uslovi






Unose se podaci o osnovnim slu£ajevima optere¢enja:- naziv slu£aja optere¢enja (eventualno i redni broj)- podaci o koncentrisanim silama i spregovima u £vorovimanosa£a

- podaci o raspodeljenim optere¢enjima duº osa ²tapova:konstantna, trougaona ili trapezna raspodeljena optere¢enja

- podaci o koncentrisanim optere¢enjima duº ose ²tapa(mada je mogu¢e da se ²tap podeli na 2 dela na mestukoncentrisanih uticaja, pa da uticaji budu u novom £voru)

- podaci o temperaturnim uticajima duº ose ²tapa

Podaci o kombinacijama osnovnih slu£ajeva optere¢enja






U fazi u£itavanja i analize ulaznih podataka svakom £vorunosa£a dodeljuju se globalni brojevi za £vorna pomeranja utom £voru

Ti globalni brojevi £vornih pomeranja pretstavljaju rednebrojeve (redosled) nepoznatih generalisanih pomeranja uukupnom vektoru generalisanih pomeranja q∗

Za svaki ²tap time su odre�eni globalni brojevi £vornihpomeranja njegovih £vornih ta£aka i i k

Za sve ²tapove koji su vezani u zajedni£koj £vornoj ta£kiglobalni brojevi £vornih pomeranja u zajedni£kom £voru su isti






Prema tome, svaki ²tap, recimo tipa k, ima svojih 6 lokalnihstepeni slobode (ui, vi, ϕi, uk, vk, ϕk) i svaka od tihgeneralisanih koordinata ima svoj jedinstven globalni redni broj

Globalni redni brojevi £vornih nepoznatih nazivaju se kodnibrojevi

Za svaki ²tap se formira odgovaraju¢a matrica krutosti, prvo ulokalnom sistemu, a zatim i u globalnom sistemu

Matrica krutosti ²tapa j u globalnom sistemu ima razdvojenesubmatrice koje odgovaraju njenim £vorovima i i k:k∗jii ,k

∗jik ,k

∗jki = k∗j

ik ,k∗jkk (£vorne matrice krutosti)






Posle toga vr²i se �sabiranje� matrica krutosti po svimelementima (�assembly�)

Prvo se alocira memorijski prostor za globalnu matricu krutostinosa£a K∗ i svi elementi se iniciraju sa nulom

Zatim se redom, za svaki ²tap j, u globalnu matricu krutostinosa£a unose £vorne matrice krutosti k∗j

ii ,k∗jik ,k

∗jki ,k

∗jkk, pri

£emu se £vorne matrice unose u pozicije globalne matrice kojeodgovaraju globalnim brojevima £vornih pomeranjaposmatrane £vorne matrice (postupak kodnih brojeva)






Kada se na istoj poziciji na�u £vorne matrice krutosti dva ilivi²e ²tapova, elementi matrica £vornih krutosti se sabiraju

Kada se �saberu� matrice krutosti svih ²tapova, odn. unesu£vorne krutosti svih ²tapova na odgovaraju¢e pozicije globalnematrice krutosti, formirana je matrica krutosti sistema ²tapovau globalnom sistemu K∗





Formiranje vektora slobodnih £lanova

Zatim se vr²i formiranje vektora slobodnih £lanova u globalnimkoordinatama S∗

Vektor slobodnih £lanova £ine spolja²nje sile koje su direktnokoncentrisane u £vorovima nosa£a, P ∗, kao i vektorekvivalentnog optere¢enja koji pretstavlja uticaj spolja²njegoptere¢enja duº ²tapova nosa£a R∗:

S∗ = P ∗ + R∗






Za svaki ²tap koji je optere¢en duº svoje ose formira se vektorekvivalentnog optere¢enja, prvo u lokalnom, a zatim uglobalnom sistemu

Vektor ekvivalentnog optere¢enja �pripada� £vorovima i i k²tapa na kome se nalazi raspodeljeno optere¢enje

Pri tome se zna koji su globalni brojevi (kodni brojevi)nepoznatih pomeranja u posmatranom £voru

Ako je vi²e optere¢enih ²tapova vezano u istom £voru,odgovaraju¢e komponente vektora ekvivalentnog optere¢enja utom £voru se sabiraju






Na sli£an na£in se formira i vektor slobodnih £lanova, koji jedat kao odgovaraju¢i zbir vektora koncentrisanih sila u£vorovima nosa£a, kao i vektora ekvivalentog optere¢enja kojipoti£e od optere¢enja duº ²tapova

Tako dobijen sistem jedna£ina

K∗q∗ = S∗

ne moºe da se re²i, jer je matrica krutosti sistema ²tapovasingularna matrica - nisu uneti grani£ni uslovi




Sadrºaj







Uno²enje grani£nih uslova

U vektoru £vornih pomeranja q∗ ve¢i deo su nepoznatageneralisana pomeranja, a jedan deo su poznata pomeranjaoslona£kih £vorova

Ako se nepoznata £vorna pomeranja ozna£e sa q∗f , a poznata£vorna pomeranja sa q∗b , onda je mogu¢e da se izvr²i particija:

q∗ =

{q∗fq∗b

}






Tako�e, mogu¢e je da se jedna£ine ravnoteºe (??) prikaºu udekomponovanom obliku koji odgovara razdvajanju nepoznatihi poznatih pomeranja:[

K∗ff K∗

fb

K∗bf K∗

bb

]{q∗fq∗b

}=

{S∗f

S∗b

}(36)

Jedna£ina (36) moºe da se napi²e u vidu dve jedna£ine:

K∗ffq

∗f + K∗

fbq∗b = S∗

f

K∗bfq

∗f + K∗

bbq∗b = S∗

b

(37)






Iz prve od jedna£ina (37) dobija se vektor nepoznatih £vornihpomeranja:

q∗f = K∗−1ff (S∗

f −K∗fbq

∗b ) (38)

Imaju¢i u vidu da je

S∗b = R∗

b + Q∗b

iz druge od jedna£ina (37) dobja se vektor nepoznatih reakcijaoslonaca:

R∗b = K∗

bfq∗f + K∗

bbq∗b −Q∗

b (39)






Grani£ni uslovi mogu da budu:- homogeni . . . q∗

b = 0- nehomogeni . . . q∗

b 6= 0

U slu£aju homogenih grani£nih uslova dobija se:1 vektor nepoznatih £vornih pomeranja

q∗f = K∗−1

ff S∗f

2 vektor nepoznatih reakcija veza

R∗b = K∗

bfq∗f −Q∗

b = K∗bfK

∗−1ff S∗

f −Q∗b






U slu£aju nehomogenih grani£nih uslova (zadata pomeranjaoslonaca), koriste se izrazi (38) i (39)Me�utim, u realnoj implementaciji matri£ne analize linijskihnosa£a, odn. u izradi odgovaraju¢ih ra£unarskih programa,koriste se drugi pristupi uno²enja grani£nih uslova:

1 redukcija matrice krutosti2 transformacija matrice krutosti

Svaki stepen slobode kretanja, odn. svaka komponentapomeranja, nepoznatog ili zadatog grani£nim uslovima, imasvoj jedinstven redni broj, prema kome se i unosi u matricukrutosti






Redukcija matrice krutosti zna£i slede¢e:- neka je, npr. m redni broj stepena slobode koji je poznat, odn.zadat grani£nim uslovom (jednak je nuli)

- vrsta broj m i kolona broj m uklone se iz matrice krutosti,uklju£uju¢i i element m u vektoru slobodnih £lanova (unesu senulte vrednosti)

- sve vrste (redovi) matrice krutosti ispod reda m translatornose pomere na gore za jedan red, tako ²to red m+ 1 dospe upoziciju reda m i tako ²to poslednji red N dospe u pozicijureda N − 1

- sve kolone matrice krutosti desno od kolone m translatorno sepomere levo za jednu kolonu, tako ²to kolona m+ 1 dospeva ukolonu m, a poslednja kolona N dolazi u poloºaj kolone N − 1






Redukcija matrice krutosti zna£i slede¢e (nastavak):- na taj na£in, za jedan grani£ni uslov matrica krutosti se smanjiza jedan: sa reda N na red N − 1

- takva redukcija matrice krutosti, kao i vektora slobodnih£lanova, vr²i se redom za sve grani£ne uslove po generalisanimpomeranjima

- time se dobija redukovana matrica krutosti koja se odnosisamo na nepoznata generalisana pomeranja, kao i redukovanvektor slobodnih £lanova

- tako dobijena redukovana matrica krutosti je regularnakvadratna simetri£na matrica koja ima inverznu matricu






Transformacija matrice krutosti zna£i slede¢e:- neka je zadat grani£ni uslov po pomeranjima: qm = 0, gde jem globalni broj promenljive (generalisanog pomeranja) q

- u matrici krutosti postoje¢em elementu na glavnoj dijagonalina mestu (m,m), dakle elementu kmm koji odgovara £vornompomeranju qm, dodaje se �jako� veliki broj

- �jako veliki broj� se dobija kada se najve¢i broj u matricikrutosti (to je, obi£no, neki od elemenata na glavnojdijagonali) pomnoºi sa, recimo, 106






Transformacija matrice krutosti zna£i slede¢e (nastavak):- isto se uradi i sa svim ostalim zadatima grani£nim uslovima:na glavnoj dijagonali matrice krutosti, na mestima zadatih(homogenih) grani£nih uslova dodaju se veliki brojevi

- takvom transformacijom matrice krutosti ne menja se redmatrice, jedino se glavnoj dijagonali, na mestima kojaodgovaraju zadatim grani£nim uslovima, dodaju veliki brojevi

- posledica takve transformacije matrice krutosti je da supromenjeni elementi na glavnoj dijagonali matrice krutosti kojiodgovaraju rednim brojevima £vornih pomeranja koja suzadata grani£nim uslovima (jednaka su nuli)






Transformacija matrice krutosti zna£i slede¢e (nastavak):- tako transformisana matrica krutosti nije vi²e singularna (imainverznu matricu) i sistem jedna£ina moºe da se re²i

- zbog unetih jako velikih brojeva na glavnu dijagonalu matricekrutosti ne mestima koja odgovaraju zadatim grani£nimuslovima, u re²enju se dobijaju nule za £vorna pomeranja kojasu zadata homogenim grani£nim uslovima (jer se �deli� sa jakovelikim brojem)

Metoda transformacije matrice krutosti vi²e je u upotrebi odmetode redukcije jer se lak²e implementira u programu


Documents

MODELIRANJE KONSTRUKCIJA I NUMERICKE …MODELIRANJE KONSTRUKCIJA I NUMERI KE METODE Master akademske studije, I semestar Prof dr Stanko Br£i¢ email: [email protected] Departman za