Miljana Karanović

Modeliranje tolerancije rizika donosioca odluke

primenom FLC procesa

-master rad-

Novi Sad, 2012.

UNIVERZITET U NOVOM SADU

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET

DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I

INFORMATIKU

2

Sadržaj Uvod .............................................................................................................................................................. 3

1 Fazi skup .................................................................................................................................................... 5

1.1 Osnovne definicije i pojmovi ........................................................................................................ 5

1.2 Operacije sa fazi skupovima .......................................................................................................... 9

1.3 Trougaone norme ........................................................................................................................ 13

1.3.1 Operacije sa fazi skupovima bazirane na t-normama i t-konormama ........................................ 16

1.4 Fazi brojevi .................................................................................................................................. 18

1.4.1 L-R fazi brojevi .................................................................................................................... 20

1.4.2 Trougaoni fazi brojevi ......................................................................................................... 22

1.4.3 Fazi interval ......................................................................................................................... 24

1.5 Operacije sa fazi brojevima ......................................................................................................... 26

2 Fazi logika ........................................................................................................................................... 28

2.1 Viševrednosna logika .................................................................................................................. 28

2.2 Osnovni pojmovi fazi logike ....................................................................................................... 29

2.3 Osnovne operacije u fazi logici bazirane na t-normama i t-konormama ..................................... 32

3 FLC (Fuzzy logic control) procesi i njihova primena .............................................................................. 33

3.1 Modeliranje tolerancije rizika donosioca odluke pomoću FLC procesa ........................................... 33

3.2 Specijalan slučaj modela ............................................................................................................. 52

4 Modifikovani FLC procesi i njihova primena ..................................................................................... 61

4.1 Modeliranje tolerancije rizika donosioca odluke pomoću modifikovanih FLC procesa ............. 61

4.2 Specijalan slučaj modifikovanog modela .................................................................................... 73

Zaključak ..................................................................................................................................................... 81

Literatura ..................................................................................................................................................... 82

Biografija ..................................................................................................................................................... 83

Ključna dokumentacija ................................................................................................................................ 84

3

Uvod

Tema ovog master rada su FLC (Fuzzy logic control) procesi. Reč je o savremenoj tehnici

primene fazi skupova i fazi logike u cilju rešavanja različitih problema industrijskog inženjeringa,

finansijskih i menadžerskih sistema. U ovom radu FLC procesi su korišćeni kako bi se opisalo

ponašanje ljudi i izvršilo modeliranje klijentove spremnosti za prihvatanje rizika prilikom

investiranja sredstava u odreĎene projekte.

Rad se sastoji iz četiri poglavlja. Prva dva poglavlja za cilj imaju da čitaoca uvedu u osnove

fazi razmišljanja kroz osnovne pojmove iz teorije fazi skupova i fazi logike. Poslednja dva dela,

kroz nekoliko različitih modela, ilustruju primenu FLC procesa u rešavanju realnih problema.

U prvom poglavlju je dat detaljan pregled osnovnih pojmova i definicija vezanih za fazi

skupove. Kroz primere je predstavljena razlika izmeĎu klasičnih i fazi skupova. Posebna pažnja

je posvećena trougaonim fazi brojevima i operacijama definisanim nad njima. TakoĎe, ovaj deo

sadrži i opis trougaonih normi i konormi, kao i njihovih osobina, zbog izuzetne važnosti ovih

operatora na dalji rad. Literatura korišćena pri izradi ovog poglavlja je

[1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,13].

U drugom poglavlju su prikazani osnovni pojmovi iz oblasti fazi logike sa akcentom na if-

then pravilima i operacijama sa njima, baziranim na operatorima minimuma i maksimuma.

Rezultati prezentovani u ovom delu su iz [1,3,6,10,11].

U trećem delu je tema rada u potpunosti razraĎena. Pored teorijskog pristupa FLC procesima

sa dve ulazne i jednom izlaznom promenljivom, sa dva modela je na detaljan način opisana

njihova primena na klijentovu toleranciju rizika. Rezultati prikazani u ovom poglavlju se baziraju

na [1,2,10].

Poslednji deo rada je originalan, a zasniva se na modifikovanim FLC procesima do kojih se

dolazi uvrštavanjem Lukašievičeve 𝑇𝐿 norme. Novodobijeni FLC procesi su primenjeni na

modeliranje klijentove tolerancije rizika i kao krajnji rezultat svakog modela dobijene su

dekodirane izlazne vrednosti pomoću kojih su doneti zaključci o najprihvatljivijem nivou rizika

za donosioca odluke.

***

Izuzetnu zahvalnost dugujem svom mentoru, dr Ivani Štajner-Papuga, na ukazanom

poverenju, kao i na korisnim sugestijama i primedbama bez kojih rad ne bi primio sadašnji oblik.

Takođe, zahvaljujem se prof.dr Zagorki Lozanov-Crvenković na podršci i znanju koje mi je

pružila tokom studija, kao i svim članovima komisije.

4

Posebnu zahvalnost dugujem svojim roditeljima, naročito majci, bratu i prijateljima. Hvala im

na razumevanju i bezuslovnoj podršci koju su mi pružali tokom celokupnog školovanja.

Novi Sad, decembar 2012.godine Miljana Karanović

5

1 Fazi skup

U klasičnoj teoriji skupova, pripadanje objekta nekom skupu je jasno i precizno definisano:

objekat je ili član nekog skupa ili nije, što se može i uočiti iz toga da karakteristična funkcija

klasičnog skupa prima isključivo vrednosti 0 ili 1. MeĎutim, veoma su česte situacije kada nije

moguće napraviti jasnu razliku izmeĎu pripadanja i nepripadanja nekog elelmenta datom skupu.

Na primer, sistemi savremenog poslovanja, finansija i menadžerstva su izuzetno kompleksni i

zbog značajne uloge ljudskog faktora često ne raspolažu jasnim i preciznim informacijama, te

tradicionalne tehnike ne uspevaju na najbolji način da ih oslikaju. Upravo iz tih razloga,

vremenom se razvila teorija fazi skupova kao efikasno oruĎe za modeliranje takvih sistema.

1.1 Osnovne definicije i pojmovi

U ovom poglavlju prikazani su osnovni pojmovi vezani za fazi skupove počevši od definicije.

Pored toga, kroz primere će biti prikazana razlika izmeĎu klasičnih i fazi skupova i date su

definicije osobina koje su karakteristične samo za fazi skupove (videti [1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,13]).

Osnovna osobina fazi skupova je to što dozvoljavaju da neki element samo u odreĎenoj meri

pripada skupu. Funkcija kojom se opisuje stepen pripadnosti nekog elementa fazi skupu naziva se

funkcija pripadnosti i data je sledećom definicijom ([1,2,7,11]).

Definicija 1.1 Funkcija pripadnosti μ je preslikavanje μ : U → [0,1] gde je U univerzalni skup.

Fazi skupovi se definišu preko svoje funkcije pripadnosti ([1,7,11]).

Definicija 1.2 Neka je A klasičan podskup univerzalnog skupa U. Fazi skup Af je skup ureĎenih

parova (x, 𝜇𝐴𝑓(𝑥)) definisan na sledeći način:

𝐴𝑓={(x, 𝜇𝐴𝑓(𝑥)) | xϵA, 𝜇𝐴𝑓(𝑥)) ϵ[0,1] }.

Prvi element x iz para (x, 𝜇𝐴𝑓(𝑥)) predstavlja objekat iz klasičnog skupa A koji zadovoljava

neku osobinu P, dok drugi element 𝜇𝐴𝑓 𝑥 predstavlja broj iz intervala [0,1] i ukazuje na to s

kolikim stepenom x zadovoljava osobinu P. Veće vrednosti funkcije 𝜇𝐴𝑓 𝑥 ukazuju na veći

stepen pripadnosti.

Iz definicije se lako može uočiti da klasični skupovi predstavljaju specijalan oblik fazi

skupova gde su svi stepeni pripadanja jednaki jedinici.

6

Ukoliko fazi skup ima konačno mnogo elemenata, oni se mogu nabrojati pri čemu se

elementi koji imaju nulti stepen pripadnosti uglavnom ne navode. TakoĎe, u slučaju konačnog

broja elemenata fazi skupa, može se koristiti i tabelarni prikaz na dole dat način navodeći u

jednom redu elemente, a u drugom odgovarajuće vrednosti funkcije pripadnosti.

A ≜ pri čemu simbol ≜ označava ,,definisan pomoću”.

U radu je korišćena sledeća notacija: klasični skupovi su obeležavani velikim štampanim

latiničnim slovima A, B, C …, dok su fazi skupovi označeni velikim pisanim latiničnim slovima

sa indeksom 𝑓 koji ukazuju na to da je reč o fazi skupovima: 𝐴𝑓 ,𝐵𝑓 ,𝐶𝑓…

Uz sledeće primere biće prikazana razlika izmeĎu klasičnih i fazi skupova.

Primer 1.1. [1] Neka je dat klasičan skup pomoću koga želimo da opišemo visoke ljude, odnosno

neka je skup A={visoki ljudi}. Pretpostavimo da je čovek visok ako njegova visina iznosi 180 cm

ili više, dok u suprotnom čovek nije visok. Karakteristična funkcija (Funkcjia pripadnosti) skupa

A={visoki ljudi}, data je na sledeći način:

𝜇𝐴 𝑥 = 1 𝑧𝑎 180 ≤ 𝑥,

0 𝑧𝑎 160 ≤ 𝑥 < 180 .

Možemo zaključiti da opis skupa A={visoki ljudi} nije zadovoljavajući zbog toga što ne

dozvoljava gradaciju. Reč visok je neodreĎena. Na primer, osoba koja je visoka 179 cm nije iste

visine kao osoba od 160 cm. TakoĎe, po ovome zaključujemo da je osoba od 180 cm visoka kao

što je i osoba od 200 cm, dok se pravi drastična razlika izmeĎu osoba koje su visoke 179 cm i

onih čija je visina 180 cm.

Kod opisivanja jezičkih promenljivih pomoću klasičnih skupova dolazi do izražaja njihov

nedostatak, kojeg u teoriji fazi skupova nema zahvaljujući načinu na koji su definisani.

Primer 1.2. [1] Opisaćemo skup A={visoki ljudi} pomoću fazi skupa. Neka je dat fazi skup

𝑇𝑓={(x, 𝜇𝑇𝑓 𝑥 )}, gde x predstavlja vrednost iz intervala [160,200] izraženu u cm, a 𝜇𝑇𝑓 𝑥 je

definisana na sledeći način:

𝜇𝑇𝑓 𝑥 =

1

2 30 2 𝑥 − 140 2 , 𝑧𝑎 160 ≤ 𝑥 ≤ 170,

−1

2 30 2 𝑥 − 200 2 + 1 , 𝑧𝑎 170 < 𝑥 ≤ 200.

Brojevi na horizontalnoj x osi prikazuju visinu izraženu u cm, a vertikalna osa μ prikazuje

stepene kojima ljudi mogu biti označeni kao viosoki. Svi ljudi visine izmeĎu 160 i 200 cm

x1 x2 x3

μA(x1) μA(x2) μA(x3)

7

pripadaju skupu visoki ljudi, s tim da su im stepeni pripadnosti tom skupu različiti. Prema tome,

sa Slike 1.1 se vidi da funkcija pripadnosti za osobu visine 160 cm iznosi 0,22, za osobu visine

180 cm je 0,78, dok je vrednost funkcije pripadnosti 1 za osobu visine 200 cm. Interval [0,22,1]

vertikalne ose μ predstavlja kvantifikaciju stepena neodreĎenosti reči visok.

Slika 1.1 Opis pojma ,,visoka osoba" pomoću fazi skupa

Definicija 1.3 [1] Fazi skup 𝐴𝑓 je normalizovan ako postoji bar jedan element, iz univerzalnog skupa, takav da je vrednost funkcije pripadnosti jednaka jedinici. U suprotnom fazi skup nije

normalizovan.

Pretpostavimo da fazi skup 𝐴𝑓 nije normalizovan; odnosno da je 𝜇𝐴𝑓(𝑥)< 1. Možemo

normalizovati skup 𝐴𝑓 ukoliko izvršimo normalizaciju njegove funkcije pripadnosti na sledeći

način: 𝜇𝐴𝑓 (𝑥)

max 𝜇𝐴𝑓 (𝑥) .

Definicija 1.4 [1] α-presek (eng. α-cut) fazi skupa 𝐴𝑓 , u oznaci Aα, predstavlja klasičan skup

elemenata koji pripadaju fazi skupu 𝐴𝑓 sa stepenom pripadnosti bar α, tj.

𝐴𝛼 = { (𝑥 𝜖 𝑈 | 𝜇𝐴𝑓(𝑥) ≥ 𝛼 }, 𝛼ϵ [0,1].

α-presek nam pruža granicu nivoa poverenja α koji ćemo koristiti prilikom modeliranja

donošenja odluka pomoću fazi skupova. Pomoću te granice moguće je odbaciti iz razmatranja

one elemente x čiji je stepen pripadanja 𝜇𝐴𝑓(𝑥)< α .

𝜇

1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0,78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. T0,78

𝜇𝑇𝑓 𝑥

0,5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. T0,5

0,22 . . . . . . . . . . . T0,22

0 160 170 180 190 200 x

8

Slika 1.2 α-presek fazi skupa 𝐴𝑓

Na Slici 1.2 ([1]) je ilustrovan jedan α-presek fazi skupa 𝐴𝑓 .

Definicija 1.5 [1] Fazi skup 𝐴𝑓 je konveksan ako za svaka dva elementa u, v ϵ Aα i svako 𝛼ϵ

[0,1] važi: 𝜆𝑢 + (1 − 𝜆)𝑣 𝜖 𝐴𝛼 , 𝜆ϵ [0,1] ; odnosno, ako i samo ako je svaki α-presek

konveksan skup.

Konveksnost fazi skupa se može definisati i preko funkcije pripadnosti na sledeći način:

Definicija 1.6 Fazi skup 𝐴𝑓 je konveksan ako i samo ako važi :

𝜇𝐴𝑓 (𝜆x1 + (1-𝜆) x2) ≥ min{ 𝜇𝐴𝑓 (x1), 𝜇𝐴𝑓 (x2),}, za x1 i x2ϵU i 𝜆ϵ [0,1] .

Prethodna definicija se može tumačiti na sledeći način: Ako se uzmu dva elementa x1 i x2 iz

konveksnog fazi skupa 𝐴𝑓 i povuče duž koja ih spaja, vrednost funkcije pripadnosti za svaku

tačku sa te duži mora biti veća ili jednaka od minimum vrednosti funkcije pripadnosti za

elemente x1 i x2 .

Fazi skup sa Slike 1.2 jeste konveksan. Može se pokazati da je fazi skup konveksan ako i

samo ako se α-preseci sastoje iz jednog segmenata.

𝜇𝐴𝑓 (𝑥)

1

𝛼 . . . . . . ∎ . . . . . . . . . . . . . ∎

. .

. .

. .

0 a b x

9

1.2 Operacije sa fazi skupovima

U ovom poglavlju fokus je na fazi skupovima koji su definisani nad istim unverzalnim

skupom U. Neka su dati sledeći fazi skupovi:

𝐴𝑓={(x, 𝜇𝐴𝑓(𝑥)) | 𝜇𝐴𝑓(𝑥)) ϵ[0,1] }

i

𝐵𝑓={(x, 𝜇𝐵𝑓(𝑥)) | 𝜇𝐵𝑓(𝑥)) ϵ[0,1] }.

Operacije sa fazi skupovima definisane su preko operacija nad funkcijama pripadnosti.

Slika 1.3 Funkcije pripadnosti fazi skupova 𝐴𝑓 i 𝐵𝑓 .

Definicija 1.7 [1] Fazi skupovi 𝐴𝑓 i 𝐵𝑓 su jednaki, u oznaci 𝐴𝑓= 𝐵𝑓 , ako i samo ako za svako

xϵU, važi: 𝜇𝐴𝑓(𝑥) = 𝜇𝐵𝑓(𝑥).

Definicija 1.8 [1] Fazi skup 𝐴𝑓 je podskup fazi skupa 𝐵𝑓 u oznaci 𝐴𝑓 ⊆ 𝐵𝑓 , ako za svako xϵU,

važi: 𝜇𝐴𝑓(𝑥) ≤ 𝜇𝐵𝑓(𝑥).

Definicija 1.9 [1] Fazi skup 𝐴𝑓 je strogi podskup fazi skupa 𝐵𝑓 u oznaci 𝐴𝑓 ⊂ 𝐵𝑓 , kada je 𝐴𝑓

podskup od 𝐵𝑓 i 𝐴𝑓 ≠ 𝐵𝑓 , odnosno:

𝜇𝐴𝑓(𝑥) ≤ 𝜇𝐵𝑓 (𝑥), za svako x ϵ U

𝜇𝐴𝑓(𝑥) < 𝜇𝐵𝑓(𝑥), za najmanje jedno x ϵ U .

Definicija 1.10 [1] Fazi skupovi 𝐴𝑓 i 𝐴𝑓𝑐 su komplementni ako 𝜇𝐴𝑓

𝑐 𝑥 = 1 − 𝜇𝐴𝑓 𝑥 ili

𝜇𝐴𝑓𝑐 𝑥 + 𝜇𝐴𝑓 𝑥 = 1. Funkcija pripadanja 𝜇𝐴𝑓

𝑐 𝑥 je simetrična sa 𝜇𝐴𝑓 𝑥 u odnosu na liniju

μ=0,5.

10

a) b)

Slika 1.4 Funkcija pripadnosti fazi skupa 𝐴𝑓 (a) i njegovog komplementa (b)

Na Slici 1.4 (b) je prikazano kako izgleda komplement fazi skupa koji je dat na Slici 1.4 (a)

(videti [1]).

Definicija 1.11 [1] Presek fazi skupova 𝐴𝑓 i 𝐵𝑓 , u oznaci 𝐴𝑓 ∩ 𝐵𝑓 definišemo:

𝜇𝐴𝑓 ∩𝐵𝑓(𝑥) = min (𝜇𝐴𝑓(𝑥), 𝜇𝐵𝑓(𝑥)) , xϵU.

Definicija 1.12 [1] Unija fazi skupova 𝐴𝑓 i 𝐵𝑓 , u oznaci 𝐴𝑓 ∪ 𝐵𝑓 definišemo:

𝜇𝐴𝑓 ∪ 𝐵𝑓(𝑥) = max (𝜇𝐴𝑓(𝑥), 𝜇𝐵𝑓(𝑥)) , xϵU.

𝜇𝐴𝑓(𝑥) 𝜇𝐴𝑓𝑐 𝑥

11

Slika 1.5 Funkcija pripadnosti preseka fazi skupova 𝐴𝑓 i 𝐵𝑓

Slika 1.6 Funkcija pripadnosti unije fazi skupova 𝐴𝑓 i 𝐵𝑓

Na Slikama 1.5 i 1.6 ([1]) prikazan je presek i unija fazi skupova 𝐴𝑓 i 𝐵𝑓 , respektivno.

Kao što je već naglašeno, za razliku od klasičnih skupova, čiji članovi ili poseduju ili ne

poseduju odreĎenu osobinu, kod fazi skupova elementi mogu delimično posedovati neku

osobinu. Zbog toga treba naglasiti da kod fazi skupova ne važi zakon isključenja trećeg tj.

𝐴𝑓 ∩ 𝐴𝑓𝑐 ≠ ∅ i 𝐴𝑓 ∪ 𝐴𝑓

𝑐 ≠U. Šematski prikaz odsustva važenja zakona isključenja trećeg dat je na

Slici 1.7 (videti [1]).

12

Slika 1.7 Zakon isključenja trećeg ne važi kod fazi skupova.

Odsustvo zakona isključenja trećeg je značajna osobina fazi skupova jer ih čini mnogo

fleksibilnijim od klasičnih skupova i veoma pogodnim za opisivanje procesa sa nepotpunim,

nejasnim i nepreciznim informacijama.

13

1.3 Trougaone norme

Trougaone norme, kao klasa realnih binarnih relacija, se prvi put javljaju u matematičkoj

literaturi 1942. godine, zahvaljujući Karlu Mengeru (Karl Menger). Vremenom mnogi naučnici

počinju da ih izučavaju, razvijaju i usavršavaju. Danas se najčešće koristi definicija koju su uveli

Švajcer i Skalar 1960. godine (Berthold Schweizer, Abe Skalar) (videti [12]) i ove operacije su

svoju upotrebu pronašle, izmeĎu ostalog, u teoriji fazi skupova i fazi logike, te ovom prilikom

dajemo kratak pregled osnovnih pojmova.

Rezultati prezentovani u ovom poglavlju su iz [8,9,11].

Definicija 1.13 [11] Trougaona norma T (t-norma) je funkcija 𝑇 ∶ 0,1 2 → [0,1] takva da za

svako x,y i z ϵ [0,1] važe sledeći uslovi:

(T1): komutativnost: 𝑇(𝑥,𝑦) = 𝑇(𝑦, 𝑥)

(T2): asocijativnost: 𝑇(𝑥,𝑇(𝑦, 𝑧)) = 𝑇(𝑇(𝑥,𝑦), 𝑧)

(T3): monotonost: 𝑦 ≤ 𝑧 ⟹ 𝑇(𝑥,𝑦) ≤ 𝑇(𝑥, 𝑧)

(T4): rubni tj. granični uslovi: 𝑇(𝑥, 1) = 𝑥 𝑖 𝑇(𝑥, 0) = 0 .

Navodimo četiri osnovne t-norme: minimum 𝑇𝑀 , algebarski proizvod 𝑇𝑃, Lukašijevičeva

(Lukasiewich) 𝑇𝐿 i norma drastičnog preseka (eng. drastic intersection) 𝑇𝐷. Njihove definicije su:

1. 𝑇𝑀 (𝑥,𝑦) = 𝑚𝑖𝑛(𝑥,𝑦),

2. 𝑇𝑃 𝑥,𝑦 = 𝑥𝑦,

3. 𝑇𝐿 (𝑥, 𝑦) = 𝑚𝑎𝑥(0, 𝑥 + 𝑦 − 1),

4. 𝑇𝐷 = min 𝑥,𝑦 𝑎𝑘𝑜max 𝑥,𝑦 = 1

0 𝑖𝑛𝑎č𝑒.

Treba naglasiti da pored gore navedenih normi postoje i mnoge druge koje ovom prilikom

nećemo navoditi (videti [9,11]).

Definicija 1.14 [11] Kažemo da je trougaona norma 𝑇1 slabija od trougaone norme 𝑇2, u oznaci 𝑇1 ≤ 𝑇2, ako je 𝑇1 (x, y) ≤ 𝑇2 (x, y) za svako (x, y)ϵ 0,1

2 .

Može se reći i obrnutno, tj. t-norma 𝑇2 je jača od t- norme 𝑇1.

Trougaone norme 𝑇𝑀 i 𝑇𝐷 su, redom, najjača i najslabija t-norma, što je dato sledećim tvrĎenjem.

TvrĎenje 1.1 [11] Za svaku t-normu T važi:

∀ 𝑥,𝑦 ∈ [0,1] 𝑇𝐷 𝑥,𝑦 ≤ 𝑇 𝑥,𝑦 ≤ 𝑇𝑀 𝑥,𝑦 .

14

Dokaz: Neka su dati 𝑥,𝑦 ∈ [0,1] i neka je 𝑇(𝑥,𝑦) proizvoljna t-norma. Koristeći činjenicu da je

𝑦 ≤ 1 i osobine (T3) i (T4) dobijamo 𝑇(𝑥,𝑦) ≤ 𝑇(𝑥, 1) = 𝑥 ≤ 𝑥. Ako sada iskoristimo da je i

𝑥 ≤ 1, kao i osobine (T1), (T3) i (T4), redom, dobija se 𝑇 𝑥, 𝑦 = 𝑇 𝑦, 𝑥 ≤ 𝑇 𝑦, 1 = 𝑦 ≤ 𝑦.

Dakle, 𝑇(𝑥,𝑦) ≤ 𝑥 i 𝑇(𝑥,𝑦) ≤ 𝑦, a odatle sledi 𝑇(𝑥,𝑦) ≤ min(𝑥, 𝑦)= 𝑇𝑀 .

Dalje, za 𝑥 = 1 se dobija 𝑇 𝑥,𝑦 = 𝑇 1,𝑦 = 𝑦 = 𝑇𝐷 𝑥,𝑦 , a za 𝑦 = 1 imamo

𝑇 𝑥, 𝑦 = 𝑇 𝑥, 1 = 𝑥 = 𝑇𝐷 𝑥, 𝑦 . Odatle sledi da je 𝑇(𝑥,𝑦) baš jednako sa 𝑇𝐷 𝑥,𝑦 , te tako

važi 𝑇 𝑥,𝑦 ≥ 𝑇𝐷 𝑥,𝑦 . Sa druge strane, ako 𝑥, 𝑦 ∈ (0,1) dobija se 𝑇𝐷 𝑥,𝑦 = 0 ≤ 𝑇 𝑥,𝑦 . ■

TakoĎe, za elementarne trougaone norme važi: 𝑇𝐷 ≤ 𝑇𝐿 ≤ 𝑇𝑃 ≤ 𝑇𝑀 .

Asocijativnost proizvoljne t-norme T omogućava njeno proširenje na n-arnu operaciju

𝑇𝑖=1𝑛 : 0,1 𝑛 → [0,1] na sledeći način: 𝑇𝑖=1

𝑛 𝑥𝑖 = 𝑇 𝑇𝑖=1𝑛−1𝑥𝑖 , 𝑥𝑛 = 𝑇 𝑥1,… , 𝑥𝑛 .

Proširivanjem trougaonih normi 𝑇𝑀 , 𝑇𝑃, 𝑇𝐿 i 𝑇𝐷 dobijaju se sledeće n-arne operacije:

1. 𝑇𝑀 𝑥1,… , 𝑥𝑛 = min(𝑥1,… , 𝑥𝑛)

2. 𝑇𝑃 𝑥1,… , 𝑥𝑛 = 𝑥1 ∙ … ∙ 𝑥𝑛

3. 𝑇𝐿 𝑥1,… , 𝑥𝑛 = max(0, 𝑥𝑖 − (𝑛 − 1)𝑛𝑖=1 )

4. 𝑇𝐷 𝑥1,… , 𝑥𝑛 = 𝑥𝑖 , 𝑎𝑘𝑜 𝑥𝑗 = 1 𝑧𝑎 𝑗 ≠ 𝑖

0, 𝑖𝑛𝑎č𝑒 .

Sledi definicija trougaone konorme.

Definicija 1.15 [11] Trougaona konorma S (t-konorma) je funkcija 𝑆 ∶ 0,1 2 → [0,1] takva da

za svako x,y i z ϵ [0,1] važe sledeći uslovi:

(S1): komutativnost: 𝑆 𝑥,𝑦 = 𝑆 𝑦, 𝑥 ,

(S2): asocijativnost: 𝑆(𝑥, 𝑆(𝑦, 𝑧)) = 𝑆(𝑆(𝑥,𝑦), 𝑧),

(S3): monotonost: 𝑦 ≤ 𝑧 ⟹ 𝑆 𝑥, 𝑦 ≤ 𝑆 𝑥, 𝑧 ,

(S4): rubni tj. granični uslovi: 𝑆 𝑥, 1 = 1 𝑖 𝑆 𝑥, 0 = 𝑥.

Navodimo četiri elementarne t-konorme:

1. 𝑆𝑀 (𝑥,𝑦) = 𝑚𝑎𝑥(𝑥,𝑦),

2. 𝑆𝑃 𝑥,𝑦 = 𝑥 + 𝑦 − 𝑥𝑦,

3. 𝑆𝐿 (𝑥,𝑦) = 𝑚𝑖𝑛(1, 𝑥 + 𝑦),

4. 𝑆𝐷 = max 𝑥,𝑦 𝑎𝑘𝑜min 𝑥,𝑦 = 0

1 𝑖𝑛𝑎č𝑒.

IzmeĎu trougaonih normi i konormi postoji jaka veza koja je opisana sledećim tvrĎenjem.

15

TvrĎenje 1.2 [9] Funkcija 𝑆 ∶ 0,1 2 → [0,1] je t-konorma ako i samo ako postoji t-norma T

takva da za svako x,y i z ϵ [0,1] važi: 𝑆 𝑥,𝑦 = 1 − 𝑇 1 − 𝑥, 1 − 𝑦 .

Dokaz: (⇒) Neka je S t-konorma i neka je preslikavanje 𝑇 ∶ 0,1 2 → [0,1] definisano sa:

𝑇 𝑥, 𝑦 = 1 − 𝑆 1 − 𝑥, 1 − 𝑦 . Treba pokazati da je ovako definisano preslikavanje t-norma,

odnosno da zadovoljava uslove (T1)-(T4). Pokazaćemo redom:

(T1) 𝑇 𝑥,𝑦 = 1 − 𝑆 1 − 𝑥, 1 − 𝑦 = 1 − 𝑆 1 − 𝑦, 1 − 𝑥 = 𝑇(𝑦, 𝑥)

(T2) 𝑇 𝑥,𝑇 𝑦, 𝑧 = 1 − 𝑆 1 − 𝑥, 1 − 𝑇 𝑦, 𝑧 = 1 − 𝑆 1 − 𝑥, 1 − 1 + 𝑆 1 − 𝑦, 1 − 𝑧 =

= 1 − 𝑆(1 − 𝑥, 𝑆(1 − 𝑦, 1 − 𝑧))

= 1 − 𝑆(𝑆 1 − 𝑥, 1 − 𝑦 , 1 − 𝑧)

= 1 − 𝑆(1 − 1 + 𝑆 1 − 𝑥, 1 − 𝑦 , 1 − 𝑧)

= 1 − 𝑆(1 − 𝑇 𝑥,𝑦 , 1 − 𝑧)

= 𝑇(𝑇 𝑥,𝑦 , 𝑧)

(T3) Neka je 𝑦 ≤ 𝑧. Dalje, 1 − 𝑦 ≥ 1 − 𝑧 ⇒ 𝑆 1 − 𝑥, 1 − 𝑦 ≥ 𝑆 1 − 𝑥, 1 − 𝑧

⇒ 1 − 𝑆 1 − 𝑥, 1 − 𝑦 ≤ 1 − 𝑆 1 − 𝑥, 1 − 𝑧

𝑇 𝑥, 𝑦 = 1 − 𝑆 1 − 𝑥, 1 − 𝑦 ≤ 1 − 𝑆 1 − 𝑥, 1 − 𝑧 = 𝑇(𝑥, 𝑧)

(T4) 𝑇 𝑥, 1 = 1 − 𝑆 1 − 𝑥, 1 − 1 = 1 − 𝑆 1 − 𝑥, 0 = 1 − 1 + 𝑥 = 𝑥

𝑇 𝑥, 0 = 1 − 𝑆 1 − 𝑥, 1 − 0 = 1 − 𝑆 1 − 𝑥, 1 = 1 − 1 = 0 .

(⇐) Polazeći od toga da postoji t-norma T takva da za svako x,y ϵ [0,1] važi:

𝑆 𝑥,𝑦 = 1 − 𝑇 1 − 𝑥, 1 − 𝑦 , na sličan način se pokazuje da je ovako definisano preslikavanje

S t-konorma. ■

Trougaona konorma S definisana u prethodnom tvrĎenju se naziva dualna t -konorma za

t -normu T i obrnuto. Očigledno, elementarne t - konorme su dualne odgovarajućim elementarnim

t - normama. S obzirom da dualnost menja poredak, za elementarne trougaone konorme važi:

𝑆𝑀 ≤ 𝑆𝑃 ≤ 𝑆𝐿 ≤ 𝑆𝐷.

16

Analogno tome, dualnost utiče i na jačinu t – konormi, pa zato važi sledeće:

∀ 𝑥,𝑦 ∈ [0,1] 𝑆𝑀 𝑥,𝑦 ≤ 𝑆 𝑥,𝑦 ≤ 𝑆𝐷 𝑥,𝑦 .

Naredna tvrĎenja su data za trougaone norme, a anologna tvrĎenja za trougaone konorme se lako pokazuju

pomoću teoreme o dualnosti.

TvrĎenje 1.3 [9] Trougaona norma 𝑇𝑀 je jedina t-norma koja zadovoljava 𝑇(𝑥, 𝑥) = 𝑥 za svako

𝑥𝜖(0,1).

Dokaz: Neka za proizvoljnu t-normu T važi 𝑇(𝑥, 𝑥) = 𝑥, za svako 𝑥𝜖(0,1). Tada za 𝑦 ≤ 𝑥 < 1

na osnovu monotonosti T imamo:

𝑦 = 𝑇 𝑦,𝑦 ≤ 𝑇 𝑥,𝑦 ≤ min 𝑥,𝑦 = 𝑦

Odatle, na osnovu komutativnosti i rubnog uslova sledi da je 𝑇 = 𝑇𝑀 . ■

TvrĎenje 1.4 [9] Trougaona norma 𝑇𝐷 je jedina t-norma koja zadovoljava 𝑇 𝑥, 𝑥 = 0, za svako

𝑥𝜖(0,1).

Dokaz: Neka za proizvoljnu t-normu T važi 𝑇(𝑥, 𝑥) = 0, za svako 𝑥𝜖(0,1). Tada za svako

𝑦𝜖[0, 𝑥) važi:

0 ≤ 𝑇 𝑥,𝑦 ≤ 𝑇 𝑥, 𝑥 = 0,

što daje 𝑇 = 𝑇𝐷. ■

1.3.1 Operacije sa fazi skupovima bazirane na t-normama i t-konormama

U ovom delu ćemo formalno definisati operacije preseka i unije fazi skupova bazirane na t-

normama i t-konormama.

Definicija 1.16 [9] Neka je T proizvoljna t - norma. T – presek 𝐴 ∩ 𝐵 fazi skupova 𝐴𝑓 i 𝐵𝑓 se

definiše kao 𝜇𝐴∩𝐵 𝑥 = 𝑇 𝜇𝐴𝑓(𝑥), 𝜇𝐵𝑓(𝑥) ,∀𝑥 ∈ 𝑈.

Primer 1.3. Neka su dati fazi skupovi 𝐴𝑓 i 𝐵𝑓 čije su funkcije pripadnosti 𝜇𝐴𝑓(𝑥) = 1 − 𝑥2 ,

definisana nad intervalom 𝑥 ∈ [−1,1] i 𝜇𝐵𝑓(𝑥) = 1 − (1 − 𝑥)2, definisana nad intervalom

𝑥 ∈ [0,2] i neka je data trougaona norma 𝑇𝑃 𝑥,𝑦 = 𝑥𝑦. Tada dobijamo da je funkcija

pripadnosti fazi preseka 𝐴 ∩ 𝐵: 𝜇𝐴∩𝐵 𝑥 = 1 − 𝑥2 ∙ ( 1 − (1 − 𝑥)2).

17

Prikaz fazi preseka skupova 𝐴𝑓 i 𝐵𝑓 dat je na Slici 1.8 i označen je crvenom bojom.

Slika 1.8 T – presek fazi skupova 𝐴𝑓 i 𝐵𝑓

Definicija 1.17 [9] Neka je S proizvoljna t - konorma. S – unija 𝐴 ∪ 𝐵 fazi skupova 𝐴𝑓 i 𝐵𝑓 se

definiše kao 𝜇𝐴∪𝐵 𝑥 = 𝑆 𝜇𝐴𝑓(𝑥), 𝜇𝐵𝑓(𝑥) ,∀𝑥 ∈ 𝑈.

Primer 1.4. Neka su dati fazi skupovi 𝐴𝑓 i 𝐵𝑓 kao u prethodnom primeru i neka je data

trougaona konorma 𝑆𝑃 𝑥,𝑦 = 𝑥 + 𝑦 − 𝑥𝑦 . Tada dobijamo da je funkcija pripadnosti fazi unije

𝐴 ∪ 𝐵 data na sledeći način:

𝜇𝐴∪𝐵 𝑥 = 𝜇𝐴 𝑥 + 𝜇𝐵 𝑥 − 𝜇𝐴 𝑥 ∙ 𝜇𝐵 𝑥

=1 − 𝑥2 + 1 − (1 − 𝑥)2 − 1 − 𝑥2 ∙ ( 1 − (1 − 𝑥)2)

=−𝑥4 + 2𝑥3 − 𝑥2 + 1

Prikaz fazi unije skupova 𝐴𝑓 i 𝐵𝑓 dat je na Slici 1.9 i označen je crvenom bojom.

Slika 1.9 S – unija fazi skupova 𝐴𝑓 i 𝐵𝑓

18

S obzirom da su fazi skupovi uopštenje klasičnih skupova na isti način se i klasični

brojevi mogu predstaviti kao fazi brojevi. Neka je 𝑥 ,,običan” broj, tada se on može zapisati kao fazi broj p∈P(R), preko funkcije pripadnosti koju definišemo na sledeći način:

𝜇 𝑥 = 0, 𝑥 < 𝑥 1, 𝑥 = 𝑥 0, 𝑥 > 𝑥

za svako realno 𝑥; pri čemu je R skup realnih brojeva, a P(R) označava partitivni skup skupa R. Kada posmatramo broj u klasičnom smislu kao fazi broj, tada fazi broj predstavlja jednočlani fazi

skup koji drugačije nazivamo singlton.

Slika 1.10 Fazi singlton

TakoĎe i klasičan interval se može smatrati specijalnim slučajem fazi intervala sa funkcijom

pripadnosti oblika:

𝜇 𝑥 = 0, 𝑥 < 𝑙

1, 𝑥𝜖[𝑙, 𝑟]0, 𝑥 > 𝑟

pri čemu 𝑥 prolazi kroz ceo skup reanih brojeva.

1.4 Fazi brojevi

Od posebnog značaja za primenu su fazi skupovi specifičnog oblika poznati kao fazi brojevi.

U ovom radu su razmatrani fazi brojevi u skladu sa definicijom iz [7]. Više o ovoj temi se može

naći u [1,3,5,6,7,8,10,11,13].

Definicija 1.18 [7] Fazi skup 𝑃𝑓ϵ P(R) se naziva fazi broj p ako zadovoljava sledeće uslove:

1. 𝑃𝑓 je normalizovan fazi skup

2. 𝑃𝑓 je konveksan

19

3. Postoji tačno jedno 𝑥 ϵ R takvo da je 𝜇𝑃 𝑥 = 1

4. Funkcija pripadnosti 𝜇𝑃 𝑥 za 𝑥 𝜖 𝑅 je, bar po delovima, neprekidna.

Vrednost 𝑥 kojoj odgovara maksimalni stepen pripadnosti, naziva se modalna vrednost fazi

broja p.

Definicija 1.19 [7] Partitivni skup fazi brojeva, u oznaci P’(R), je skup svih mogućih fazi brojeva

p, ako P’(R)⊂ P(R).

Definicija 1.20 [2] Fazi broj p ϵ P’(R) je simetričan ako njegova funkcija pripadnosti 𝜇𝑃 𝑥

zadovoljava: 𝜇𝑃 𝑥 + 𝑥 = 𝜇𝑃 𝑥 − 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝑅.

Slika 1.11 Funkcija pripadnosti simetričnog fazi broja

Definicija 1.20 [7] Kažemo da je fazi broj 𝑝 ϵ P’(R) strogo pozitivan, u oznaci 𝑝 >0, ako i samo

ako nosač tog fazi broja supp(𝑝) ⊆ (0,∞); ili je strogo negativan, u oznaci 𝑝

20

Slika 1.12 Funkcija pripadnosti fazi-nula broja

Sledi pregled najčešće korišćenih oblika fazi brojeva. Rezultati prikazani u narednom delu su iz

[1,7,11], a više o ovoj temi se može naći i u [3,4,5,8,13].

1.4.1 L-R fazi brojevi

Osnovna ideja L-R fazi brojeva je razdvajanje funkcije pripadnosti 𝜇𝑃 𝑥 fazi broja p, na dva

dela: jednog koji se nalazi levo od modalne vrednosti 𝑥 i drugog koji se nalazi desno od 𝑥 .

Podelom funkcije pripadnosti 𝜇𝑃 𝑥 dobijamo funkcije 𝜇𝑙 𝑥 i 𝜇𝑟 𝑥 , redom.

Sada funkcija pripadnosti može biti prikazana na sledeći način:

𝜇𝑃 𝑥 = 𝜇𝑙 𝑥 = 𝐿

𝑥 −𝑥

𝛼 𝑧𝑎 𝑥 < 𝑥

𝜇𝑟 𝑥 = 𝑅 𝑥−𝑥

𝛽 𝑧𝑎 𝑥 ≥ 𝑥

.

Vrednosti 𝛼 i 𝛽 predstavljaju odstupanja u levu, odnosno, desnu stranu od modalne vrednosti

𝑥 , dok su L i R referentne funkcije, odnosno, funkcije oblika. Ove funkcije odreĎuju oblik fazi

broja i u zavisnosti od izbora tih funkcija razlikujemo nekoliko vrsta fazi brojeva kao što su

trougaoni, eksponencijalni, kvadratni….

Na Slici 1.13 prikazan je fazi broj p čija je funkcija pripadnosti 𝜇𝑃 𝑥 (videti [7]).

21

Slika 1.13 Funkcija pripadnosti L-R fazi broja

Da bi L i R bile referentne funkcije L-R fazi broja, one moraju zadovoljavati sledeće uslove:

1. L(u) ϵ[0.1] ∀u; R(u) ϵ[0.1] ∀u.

Vrednosti funkcija L i R moraju pripadati intervalu [0,1], s obzirom da su pomoću njih definisane

funkcije pripadnosti, čije vrednosti pripadaju upravo tom intervalu.

2. L(0)=R(0)=1.

Znamo da je 𝑥 modalna vrednost fazi broja p, te ona mora biti modalna vrednost levog i desnog fazi broja, odnosno, vrednosti funkcija pripadnosti 𝜇𝑙 𝑥 i 𝜇𝑟 𝑥 u tački 𝑥 moraju biti jednake jedinici.

1 = 𝜇𝑙 𝑥 = 𝐿 𝑥 − 𝑥

𝛼 = 𝐿(0)

1 = 𝜇𝑟 𝑥 = 𝑅 𝑥 − 𝑥

𝛽 = 𝑅 0 .

3. L(u) i R(u) su opadajuće funkcije na intervalu [0,∞ ).

Funkcija 𝜇𝑙 𝑥 je rastuća u intervalu [0,∞ ), što znači da je funkcija L opadajuća na tom intervalu.

Pokazaćemo:

𝑥1 > 𝑥2 ⇒ 𝜇𝑙 𝑥1 > 𝜇𝑙(𝑥2) ⇔ 𝐿 𝑥 −𝑥1

𝛼 > 𝐿

𝑥 −𝑥2

𝛼 , pri čemu važi: 𝑥1 < 𝑥 i 𝑥2 < 𝑥 .

Označimo sa 𝑢1 =𝑥 −𝑥1

𝛼 i 𝑢2 =

𝑥 −𝑥2

𝛼 , tada vidimo da iz gore navedenog izraza sledi L(𝑢1) >L(𝑢2)

22

Dalje, 𝑥1 = 𝑥 – 𝛼𝑢1 i 𝑥2 = 𝑥 – 𝛼𝑢2. Pošto je 𝑥1 > 𝑥2, dobija se 𝑥 – 𝛼𝑢1 > 𝑥 – 𝛼𝑢2 ⇒ 𝑢1 < 𝑢2 .

Dakle, za 𝑢1 < 𝑢2 važi L(𝑢1) >L(𝑢2), što znači da je L opadajuća funkcija. Slično se može

pokazati da je i R opadajuća funkcija na intervalu [0,∞ ) , polazeći od toga da je 𝜇𝑟 𝑥 opadajuća

na tom intervalu.

4. L(1)=0, ako je min𝑢 𝐿 𝑢 = 0

R(1)=0, ako je min𝑢 𝑅 𝑢 = 0

min𝑢 𝐿 𝑢 = 0 ⇔ min𝑢 𝜇𝑙 𝑢 = 0, a funkcija 𝜇𝑙 ima minimum u tački u*=𝑥 − 𝛼, pa je zato:

0 = 𝜇𝑙 u ∗ = 𝜇𝑙 𝑥 − 𝛼 = 𝐿(𝑥 − 𝑥 −𝛼

𝛼) = 𝐿(1).

5.Ako je 𝐿 𝑢 > 0 ∀𝑢 , onda je lim𝑢→∞ 𝐿 𝑢 = 0, jer je L opadajuća funkcija na[0,∞ ).

Analogno se pokazuje i za funkciju R.

Za zapis L-R fazi broja p se koristi oznaka p= 𝑥 ,𝛼,𝛽 𝐿 ,𝑅 , gde je 𝑥 modalna vrednost, a

𝛼 i 𝛽odstupanja od te modalne vrednosti.

Definicija 1.22 [7] L-R fazi broj je semi-simetričan, ako su funkcije L i R identične tj.

𝐿 𝑢 = 𝑅 𝑢 ,∀𝑢 𝜖 𝑅0+

Ako su vrednosti 𝛼 i 𝛽 jednake, onda se L-R fazi broj naziva simetričan.

1.4.2 Trougaoni fazi brojevi

Mada trougaoni fazi brojevi predstavljau specijalan slučaj L-R fazi brojeva, zbog njihove velike

uloge u različitiom oblastima sledi detaljan prikaz (videti [1,4,7,10]).

Trougaoni fazi brojevi imaju linearnu funkciju pripadnosti, odnosno, funkcije oblika su

linearne, te se zato još nazivaju i linearni fazi brojevi. Njihova funkcija pripadnosti je definisana

na sledeći način:

𝜇 𝑥 =

1 +

𝑥 − 𝑥

𝛼𝑙, 𝑥 − 𝛼𝑙 < 𝑥 < 𝑥

1 −𝑥 − 𝑥

𝛼𝑟, 𝑥 ≤ 𝑥 < 𝑥 + 𝛼𝑟

0, 𝑖𝑛𝑎č𝑒

23

Trougaoni fazi broj se označava sa 𝑝 = 𝑡𝑓𝑛(𝑥 ,𝛼𝑙 ,𝛼𝑟) ili 𝑝 = (𝑥 − 𝛼𝑙 , 𝑥 , 𝑥 + 𝛼𝑟), gde je

𝑥 modalna vrednost fazi broja, a 𝛼𝑙 i 𝛼𝑟 predstavljaju odstupanje sa leve, odnosno desne strane

od modalne vrednosti.

Slika 1.14 Trougaoni fazi broj

Interval [𝑥 − 𝛼𝑙 , 𝑥 + 𝛼𝑟 ] se naziva nosač fazi broja. Često se u praksi tačka 𝑥 nalazi u

sredini nosećeg intervala, 𝑥 = 𝑥 −𝛼𝑙 + 𝑥 +𝛼𝑟

2 , te zamenjujući tu vrednost u funkciji pripadnosti

dobijamo simetričan (centralni) trougaoni fazi broj.

Slika 1.15 Centralni trougaoni fazi broj

Funkcija pripadnosti trougaonih fazi brojeva se sastoji iz dva linearna dela, koja se spajaju u

tački (𝑥 , 1). Deo 𝑝𝑙 se naziva levi, a 𝑝𝑟 desni trougaoni fazi broj i oni se mogu zapisati na sledeći

način: 𝑝𝑙 = (𝑥 − 𝛼𝑙 , 𝑥 , 𝑥 ) i 𝑝𝑟 = (𝑥 , 𝑥 , 𝑥 + 𝛼𝑟). Levi trougaoni fazi broj je pogodan za

𝜇

1 (𝑥 , 1).

0 𝑥 − 𝛼𝑙 𝑥 𝑥 + 𝛼𝑟 x

𝜇

1

𝑝𝑙 𝑝𝑟

0 𝑥 − 𝛼𝑙 𝑥 𝑥 + 𝛼𝑟

24

reprezentovanje pojma sa značenjem: ,,veoma pozitivno-veoma veliko”, odnosno, u praksi da

označi pojmove poput ,,veoma star”, ,,veliki profit”, ,,veliki rizik” i sl., gde god je 𝑥 veliko. S

druge strane, desni trougaoni fazi broj se koristi da opiše pojmove sa značenjem: ,,veoma malo”,

odnosno u praksi da označi pojmove poput ,,mlad”, ,,mali profit”, ,,mali rizik”,…

Bitna osobina trougaonih fazi brojeva je to što mogu lako da se konstruišu na osnovu malog

broja podataka kojim raspolažemo. Pretpostavimo da možemo da odredimo najmanju i najveću

moguću vrednost neke neprecizne vrednosti kojom se bavimo. Na taj način se dobija noseći

interval [𝑥 − 𝛼𝑙 , 𝑥 + 𝛼𝑟 ]. Dalje, ako se odredi 𝑥 kao najpogodniji da predstavi tu posmatranu

vrednost, onda će vrh trougaonog fazi broja biti u (𝑥 , 1). Na taj način se dobijaju tri vrednosti

pomoću kojih se jednostavno može konstruisati trougaoni fazi broj i zapisati njegova funkcija

pripadnosti u skladu sa gore navedenim zapisom.

1.4.3 Fazi interval

Ako fazi skup 𝑃𝑓 ∈ 𝑃(𝑅) ne zadovoljava neki od četiri uslova iz definicije fazi broja, on se

samim tim ne može smatrati fazi brojem. MeĎutim, ako je narušen treći uslov, odnosno ako

postoji više od jedne modalne vrednosti, onda se takvi fazi skupovi nazivaju fazi intervali

([1,5,7,11]).

Definicija 1.24 [11] Neka su L i R referentne funkcije. Fazi L-R interval, u oznaci 𝐴 =

𝑙, 𝑟,𝛼,𝛽 𝐿 ,𝑅 definišemo preko funkcije pripadnosti date sa:

0, 𝑟 + 𝛽 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙 − 𝛼

𝐿 𝑙−𝑥

𝛼 , 𝑙 − 𝛼 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙

𝜇𝐴 𝑥 = 1, 𝑙 ≤ 𝑥 ≤ 𝑟

𝑅 𝑥−𝑟

𝛽 , 𝑟 ≤ 𝑥 ≤ 𝑟 + 𝛽

Trapezoidni fazi intervali predstavljaju jedan tip L-R fazi intervala, koji se u literaturi

često mogu naći i u sledećoj notaciji: 𝐴 = (𝑙 − 𝛼, 𝑙, 𝑟, 𝑟 + 𝛽). Iako po definiciji trapezoidni fazi

intervali nisu fazi brojevi, u literaturi ih je moguće naći i pod nazivom trapezoidni fazi brojevi.

TakoĎe, oni predstavljaju uopštenje trougaonih fazi brojeva, za 𝑙 = 𝑟 = 𝑥 .

25

Definicija 1.25 [1] Ako je [𝑙 − 𝛼, 𝑙] = [𝑟, 𝑟 + 𝛽], onda kažemo da je trapezoidni fazi interval

simetričan u odnosu na liniju 𝑥 =𝑙+𝑟

2 .

Slika 1.16 Trapeziodni fazi interval

Analogno levom i desnom trougaonom fazi broju, definisani su levi i desni trapezoidni

fazi interval, u oznaci 𝐴𝑙 = 𝑙 − 𝛼, 𝑙, 𝑟, 𝑟 sa nosećim intervalom [𝑙 − 𝛼, 𝑟] i 𝐴𝑟 = 0,0, 𝑟, 𝑟 + 𝛽

sa nosećim intervalom [0, 𝑟 + 𝛽], redom. Pogodni su za opisivanje sledećih pojmova:

malo≜ 𝐴𝑟 = 0,0, 𝑟, 𝑟 + 𝛽 i veliko≜ 𝐴𝑙 = 𝑙 − 𝛼, 𝑙, 𝑟, 𝑟 , gde je 𝑙 veliki broj.

Slika 1.17 Desni i levi trapezoidni fazi interval

𝜇

1

0 𝑙 − 𝛼 𝑙 𝑟 𝑟 + 𝛽

𝜇

1 𝐴𝑟

0 𝑟 𝑟 + 𝛽 𝑥

𝜇

1 𝐴𝑙

.

.

.

.

0 𝑙 − 𝛼 𝑙 𝑟 𝑥

26

1.5 Operacije sa fazi brojevima

Elementarne operacije na skupu fazi brojeva zasnivaju se na primeni uopštene verzije

Zadehovog principa proširenja. Njegova formulacija data je na sledeći način:

Definicija 1.26 [7] Neka su 𝐴1, . . ,𝐴𝑛 fazi podskupovi klasičnih skupova 𝑋1,… ,𝑋𝑛 , redom, i neka

je dato preslikavanje 𝑓: 𝑋1 × …× 𝑋𝑛 → 𝑌 takvo da za svaku n-torku 𝑥1,… , 𝑥𝑛 𝜖 𝑋1 ×…× 𝑋𝑛

važi: 𝑓 𝑥1,… , 𝑥𝑛 = 𝑦𝜖𝑌. Kao rezultat Zadehovog principa proširenja dobija se 𝐵 =

𝑓(𝐴1, . . ,𝐴𝑛), fazi podskup od 𝑌, čija je funkcija pripadnosti:

𝜇𝐵 𝑦 = sup𝑦 min 𝜇𝐴1 𝑥1 ,… , 𝜇𝐴𝑛 𝑥𝑛 ,𝑎𝑘𝑜 ∃𝑦 = 𝑓(𝑥1,… , 𝑥𝑛)

0, 𝑖𝑛𝑎č𝑒 .

Drugim rečima, princip proširenja tvrdi da je slika nekog fazi skupa opet fazi skup čija je funkcija

pripadnosti data na gore navedeni način.

Sledi primer koji pokazuje kako pomoću Zadehovog principa proširenja možemo

definisati sabiranje fazi brojeva.

Primer1.5 Neka su data dva fazi skupa 𝐴1 = { −1,0.1 , 0,0.2 , (1,0.7)}

i 𝐴2 = { 1,0.3 , (0,0.5)} i preslikavanje 𝑓 𝑥1, 𝑥2 = 𝑥1 + 𝑥2. Koristeći princip proširenja

potrebno je naći skup 𝐵 = 𝑓(𝐴1,𝐴2). Kako bi zapis bio što pregledniji koristi se tabelarni prikaz.

U prvoj koloni tabele se navode elemnti prvog fazi skupa 𝑥1𝑖, a u prvom redu elementi

drugog fazi skupa 𝑥2𝑗

. U preseku i-te vrste i j-te kolone nalazi se element 𝑦𝑖 ,𝑗 koji se

dobija primenom funkcije f na elemente 𝑥1𝑖 i 𝑥

2𝑗

. Stepen pripadnosti za element

𝑦𝑖 ,𝑗 se dobija kao min{𝜇𝐴1 𝑥1 ,𝜇𝐴2(𝑥2)}.

(1,0.3) (0,0.5)

(-1,0.1) (0,0.1) (-1,0.1)

(0,0.2) (1,0.2) (0,0.2)

(1,0.7) (2,0.3) (1,0.5)

Nakon što smo formirali tabelu, vidimo da za neke vrednosti 𝑦𝑖 ,𝑗 postoji više različitih stepena

pripadnosti, te se za konačan stepen uzima supremum svih stepena pripadnosti. Na taj način

dobija se traženi skup 𝐵 = 𝑓(𝐴1,𝐴2) i on u ovom primeru iznosi:

𝐵 = { −1,0.1 , 0,0.2 , 1,0.5 , (2,0.3)}.

Na sličan način se mogu definisati i ostale osnovne aritmetičke operacije. MeĎutim, prilikom

ovakve direktne primene principa proširenja nastaje problem, jer za beskonačno mnogo različitih

27

vrednosti 𝑥1 i 𝑥2 dobijamo istu vrednost 𝑦 = 𝑓 𝑥1, 𝑥2 . Svaka od tih kombinacija x-eva daje istu

vrednost za y, ali sa različitim stepenima pripadnosti, te je potrebno pronaći supremum svih

prethodno dobijenih stepeni pripadnosti za y. Problem je upravo u tome što takvih vrednosti ima

beskonačno mnogo. Iz tih razloga razvijeno je nekoliko različitih pristupa ovom problemu, od

kojih je za nas najznačajniji princip proširenja uopšten korišćenjem t-normi.

Definicija 1.27 [7] Neka su 𝐴1, . . ,𝐴𝑛 fazi podskupovi klasičnih skupova 𝑋1,… ,𝑋𝑛 , redom, i neka

je preslikavanje 𝑓: 𝑋1 ×…× 𝑋𝑛 → 𝑌 takvo da za svaku n-torku 𝑥1,… , 𝑥𝑛 𝜖 𝑋1 × …× 𝑋𝑛 važi

𝑓 𝑥1,… , 𝑥𝑛 = 𝑦𝜖𝑌. Za proizvoljnu t-normu T , kao rezultat uopštenog principa proširenja se

dobija 𝐵 = 𝑓(𝐴1, . . ,𝐴𝑛) , fazi podskup od 𝑌, čija je funkcija pripadnosti:

𝜇𝐵 𝑦 = sup𝑦 𝑇 𝜇𝐴1 𝑥1 ,… , 𝜇𝐴𝑛 𝑥𝑛 ,𝑎𝑘𝑜 ∃𝑦 = 𝑓(𝑥1,… , 𝑥𝑛)

0, 𝑖𝑛𝑎č𝑒 .

Ovaj princip se drugačije zove Zadehov 𝑠𝑢𝑝 − 𝑇 princip proširenja.

Bitno je primetiti da ako je za t-normu uzmeta t-normu 𝑇𝑀 , dobija se orginalni Zadehov

princip proširenja.

Primenom uopštenog principa proširenja moguće je dobiti formule za izračunavanje zbira

fazi brojeva pomoću odreĎenih t-normi. Zbir fazi brojeva 𝐴1, . . ,𝐴𝑛 se označava sa ⨁ ⋄ 𝑖=1𝑛 𝐴𝑖 ,

gde je ⋄ 𝜖{𝑇𝑀 ,𝑇𝑃 ,𝑇𝐿 ,𝑇𝐷 , . . }. Ukoliko se posmatra najjača trougaona norma 𝑇𝑀 , onda se fazi

brojevi mogu sabirati prema pravilu koje daje sledeće tvrĎenje.

TvrĎenje 1.5 [5] Neka su dati L-R fazi brojevi 𝐴𝑖 = 𝑥 𝑖 ,𝛼𝑖 ,𝛽𝑖 𝐿 ,𝑅 , 𝑖 = 1,… ,𝑛. Zbir tih brojeva,

u oznaci ⨁𝑇𝑀 𝑖=1𝑛 𝐴𝑖 je novi fazi broj dat sa: ⨁𝑇𝑀 𝑖=1

𝑛 𝐴𝑖 =< 𝑥 𝑖 ,𝑛𝑖=1 𝛼𝑖 ,

𝑛𝑖=1 𝛽𝑖 >𝐿𝑅

𝑛𝑖=1 .

Ako se uzme norma 𝑇𝐷, onda sabiranje vršimo u skladu sa narednim tvrĎenjem.

TvrĎenje 1.6 [5] Neka su dati L-R fazi brojevi 𝐴𝑖 = 𝑥 𝑖 ,𝛼𝑖 ,𝛽𝑖 𝐿 ,𝑅 , 𝑖 = 1,… ,𝑛. 𝑇𝐷 −

𝑧𝑏𝑖𝑟 𝑏𝑟𝑜𝑗𝑒𝑣𝑎, u oznaci ⨁𝑇𝐷 𝑖=1𝑛 𝐴𝑖 , je novi fazi broj dat sa:

⨁𝑇𝐷 𝑖=1𝑛 𝐴𝑖 =< 𝑥 𝑖 ,

𝑛𝑖=1 max𝛼𝑖 , max𝛽𝑖 >𝐿 ,𝑅.

Primer 1.6 Neka su dati fazi brojevi 𝐴1 =< 0,1,1 >𝐿 ,𝑅 i 𝐴2 =< −1,1,2 >𝐿 ,𝑅 . Koristeći formulu

iz TvrĎenja 1.6 dobija se fazi broj 𝐵 =< −1,1,2 >𝐿,𝑅 i u ovom slučaju on se poklapa sa 𝐴2 .

Množenje L-R fazi broja skalarom dato je na sledeći način.

Definicija 1.26 [1] Neka je dat L-R fazi broj 𝐴 =< 𝑥 ,𝛼,𝛽 >𝐿 ,𝑅 i broj 𝑟𝜖𝑅. Fazi broj 𝐴

pomnožen skalarom 𝑟 daje novi fazi broj sledećeg oblika:

𝐴 ∙ 𝑟 =< 𝑟 ∙ 𝑥 , 𝑟 ∙ 𝛼, 𝑟 ∙ 𝛽 >𝐿 ,𝑅

Napominjemo da fazi brojevi dobijeni primenom prethodna dva tvrĎenja i definicije,

zadržavaju oblik polaznih fazi brojeva, odnosno referentne funkcije L i R ostaju nepromenjene.

28

2 Fazi logika

Klasična logika ili drugačije, dvo-vrednosna logika se bavi tvrdnjama koje su ili tačne ili

netačne. Viševrednosna logika je uopštenje klasične logike, u kojoj tvrdnje mogu imati više od

dve istinitosne vrednosti.

UvoĎenjem fazi skupova i fazi relacija u sistem viševrednosne logike, Lofti Zadeh (1973.) je

izumeo novu naučnu oblast poznatu kao fazi logika. S obzirom da je reč o relativno mladoj nauci,

neka njena područja su nedovoljno istražena, meĎutim nesporna je primena koju ima u stvaranju

tehnika i metoda za suočavanje sa jezičkim promenljivama i olakšava opisivanje modifikatora

kao što su: ,,veoma”, ,,malo”, ,,skoro”, itd. Literatura korišćena u izradi ovog dela rada je:

[1,2,3,4,6,7,10,11].

2.1 Viševrednosna logika

Oduvek se princip klasične logike da je svaka tvrdnja ili tačna ili netačna, dovodio u pitanje.

Razlog za to je utvrĎivanje istinitosnih vrednosti za iskaze koji opisuju buduće dogaĎaje, kao što

je recimo iskaz: ,,Sutra će porasti vrednost dinara”. Budući dogaĎaji ne mogu biti procenjeni ni

kao tačni, ni kao netačni. Njihova istinitosna vrednost je nepoznata sve dok se taj dogaĎaj ne desi.

Jasno je da za opisivanje takvih tipova dogaĎaja klasična logika više nije dovoljna, pa se prirodno

javila potreba za uvoĎenjem treće istinitosne vrednosti koja nije ni potpuno tačna, ni potpuno

netačna.

Navodimo Lukašievičevu tro-vrednosnu logiku koja je nastala dvadesetih godina prošlog

veka (videti [1,7]).

Pretpostavimo da neki iskaz može da ima tri istinitosne vrednosti: ,,tačan” sa oznakom 1,

,,netačan” sa oznakom 0 i ,,neutralan” sa oznakom 1

2. Oni formiraju skup istinitosnih vrednosti

𝑇3 = {0,1

2, 1}. Ako su 𝑝 i 𝑞 iskazi čije istinitosne vrednosti pripadaju skupu 𝑇3, onda se logički

veznici definišu na sledeći način.

Negacija: 𝒑 = 𝟏 − 𝒑

Iskaz 𝑝 (čita se ne p) je tačan kad je 𝑝 netačan i obrnuto.

Konjukcija: 𝒑 ∧ 𝒒 = 𝒎𝒊𝒏(𝒑,𝒒)

Iskaz 𝑝 ∧ 𝑞 (čita se p i q) je tačan samo kada su i p i q tačni.

29

Disjunkcija: 𝒑 ∨ 𝒒 = 𝒎𝒂𝒙(𝒑,𝒒)

Iskaz 𝑝 ∨ 𝑞 (čita se p ili q) je tačan kada su oba iskaza i p i q tačni ili kada je bar jedan od njih

tačan.

Implikacija: 𝒑 ⟹ 𝒒 = 𝒎𝒊𝒏(𝟏,𝟏 − 𝒑 + 𝒒)

Iskaz 𝑝 ⟹ 𝑞 je tačan u svim slučajevima, osim kada je p tačno, a q netačno.

Istinitosne vrednosti navedenih iskaza date su u narednoj tabeli.

𝒑 𝒒 𝒑 𝒒 𝒑 ∧ 𝒒 𝒑 ∨ 𝒒 𝒑 ⟹ 𝒒 1 1 0 0 1 1 1

1 1

2

0 1

2

1

2

1 1

2

1 0 0 1 0 1 0 1

2

1 1

2

0 1

2

1 1

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

0 1

2

1 0 1

2

1

2

0 1 1 0 0 1 1

0 1

2

1 1

2

0 1

2

1

0 0 1 1 0 0 1

Tabela 2.1 Tabela istinitosnih vrednosti iskaza p i q

Dalje uopštavanje dozvoljava iskazima da imaju više od tri istinitosne vrednosti. Ako su za

bilo koji prirodan broj 𝑛 ≥ 3, istinitosne vrednosti nekog iskaza prikazane u vidu racionalnih

brojeva iz intervala [0,1] tako da dele taj interval na jednake delove, onda one formiraju skup

istinitosnih vrednosti 𝑇𝑛 = {0,1

𝑛−1,

2

𝑛−1,… ,

𝑛−2

𝑛−1, 1} i na taj način se dobija viševrednosna logika.

2.2 Osnovni pojmovi fazi logike

Lingvističke promenljive i lingvistički modifikatori čine bitan aspekt fazi logike.

Definicija 2.1 [1] Promenljive čije su vrednosti reči, nazivaju se lingvističke (jezičke)

promenljive.

Lingvističke odnosno, jezičke promenljive imaju važnu ulogu u odreĎenim oblastima

finansija i menadžerskih sistema. One pomažu da se opišu pojmovi poput: ,,inflacija”, ,,profit”,

,,rizik”, ,,investicija” i sl.

30

Jedna od najvažnijih lingvističkih promenljivih je istina (eng. truth). Opisana je pomoću fazi

skupa sa funkcijom pripadanja 𝜇𝑡𝑎č𝑛𝑜 𝑥 ,𝜇𝜖[0,1], pri čemu koristimo pojam tačno – istinito

(eng. true) umesto istina (truth). Netačno (eng. false) je jezička promenljiva koju tretiramo kao

negaciju promenljive tačno.

Promenljiva truth (istina) je opisana u fazi logici na mnoštvo različitih načina. Dalje je

prikazana Baldvinova (Baldwin) definicija koja je uvedena 1979.godine:

𝑡𝑎č𝑛𝑜 ≜ {(𝑥, 𝜇𝑡𝑎č𝑛𝑜 𝑥 )|𝑥𝜖 0,1 , 𝜇𝑡𝑎č𝑛𝑜 𝑥 = 𝑥, 𝜇𝜖[0,1]}.

Neka 𝑥𝜖𝑈 i neka je A fazi skup sa funkcijom pripadanja 𝜇𝐴 𝑥 i neka je 𝑚 lingvistički

modifikator koji opisuje pojmove kao što su: negacija (eng. not), veoma (eng. very), skoro (eng.

fairly) i sl. Sa 𝑚𝐴 označavamo modifikovani fazi skup sa funkcijom pripadanja 𝜇𝑚𝐴 𝑥 i

pomoću njega definišemo sledeće:

𝑛𝑒𝑔𝑎𝑐𝑖𝑗𝑎: 𝜇𝑛𝑒𝐴 𝑥 = 1 − 𝜇𝐴 𝑥 ,

𝑣𝑒𝑜𝑚𝑎: 𝜇𝑣𝑒𝑜𝑚𝑎𝐴 𝑥 = 𝜇𝐴 𝑥 2 ,

𝑠𝑘𝑜𝑟𝑜: 𝜇𝑠𝑘𝑜𝑟𝑜𝐴 𝑥 = 𝜇𝐴 𝑥 12

.

Gore navedeni modifikatori primenjeni na funkciju 𝜇𝑡𝑎č𝑛𝑜 𝑥 = 𝑥, 𝜇𝜖[0,1] daju sledeće:

𝜇𝑛𝑒𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 𝑥 = 𝜇𝑛𝑒𝑡𝑎 č𝑛𝑜 𝑥 = 1 − 𝑥,

𝜇𝑣𝑒𝑜𝑚𝑎 𝑡𝑎č𝑛𝑜 𝑥 = 𝜇𝑡𝑎č𝑛𝑜 𝑥 2 = 𝑥2 ,

𝜇𝑠𝑘𝑜𝑟𝑜 𝑡𝑎č𝑛𝑜 𝑥 = 𝜇𝑡𝑎č𝑛𝑜 𝑥 12 = 𝑥

12 .

Analogno tome možemo definisati:

𝜇𝑣𝑒𝑜𝑚𝑎 𝑛𝑒𝑡𝑎 č𝑛𝑜 𝑥 = (1 − 𝑥)2,

𝜇𝑠𝑘𝑜𝑟𝑜 𝑛𝑒𝑡𝑎 č𝑛𝑜 𝑥 = (1 − 𝑥)1

2.

U specijalnom slučaju za 𝑥 = 1 u 𝜇𝑡𝑎č𝑛𝑜 𝑥 = 𝑥 dobijamo singlton sa funkcijom pripadanja

𝜇𝑎𝑝𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑛𝑜 𝑡𝑎č𝑛𝑜 1 = 1, a prema tome je 𝜇𝑎𝑝𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑛𝑜 𝑛𝑒𝑡𝑎 č𝑛𝑜 0 = 1.

Na Slici 2.1 su prikazane lingvističke promenljive tačno i netačno, kao i njihovi

modifikatori.

31

Slika 2.1 ([1]) Lingvističke promenljive tačno i netačno, kao i njihovi modifikatori

Pored Baldvinove (Baldwin) definicije jezičke promenljive tačno, navodimo i Zadehovu

definiciju iz 1975.godine:

𝜇𝑡𝑎č𝑛𝑜 𝑥 =

0 , 𝑧𝑎 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎

2 ⋅ 𝑥 − 𝑎

1 − 𝑎

2

, 𝑧𝑎 𝑎 ≤ 𝑥 ≤𝑎 + 1

2

1 − 𝑥 − 1

1 − 𝑎

2

, 𝑧𝑎 𝑎 + 1

2≤ 𝑥 ≤ 1.

𝜇

1

skoro netačno skoro tačno

tačno

netačno

veoma netačno veoma tačno

apsolutno netačno

0 1 x

apsolutno tačno

32

2.3 Osnovne operacije u fazi logici bazirane na t-normama i t-konormama

U ovom delu je pokazano kako se mogu izraziti osnovne operacije fazi logike proširivanjem

operatora pomoću t-normi i t-konormi.

Definicija 2.2 [11] Neka je T proizvoljna t-norma i S njena dualna t-konorma, onda važi:

Konjukcija: 𝑥 ∧𝑇 𝑦 = 𝑇(𝑥,𝑦),

Disjunkcija: 𝑥 ∨𝑇 𝑦 = 𝑆(𝑥,𝑦).

Kao i u klasičnoj logici, moguće je uvesti implikaciju pomoću negacije, konjukcije i disjunkcije. Ako

uzmemo u obzir da u dvo-vrednosnoj logici važi: ˥𝑝 ∨ 𝑞 ⟺ (𝑝 ⟹ 𝑞), jedna od mogućnosti za

definiciju impikacije u fazi logici je pomoću funkcije 𝐼𝑇: 0,1 2 → [0,1] date kao:

𝐼𝑇 𝑥,𝑦 = 𝑆 1 − 𝑥,𝑦 = 1 − 𝑇 𝑥, 1 − 𝑦 .

Za dve osnovne t-norme 𝑇𝑀 i 𝑇𝐿 imamo:

𝐼𝑇𝑀 𝑥,𝑦 = 𝑦, 𝑧𝑎 𝑥 + 𝑦 ≥ 1

1 − 𝑥 , 𝑧𝑎 𝑜𝑠𝑡𝑎𝑙𝑒 ,

𝐼𝑇𝐿 𝑥,𝑦 = 1, 𝑧𝑎 𝑥 ≤ 𝑦

1 − 𝑥 + 𝑦, 𝑧𝑎 𝑜𝑠𝑡𝑎𝑙𝑒 .

Druga mogućnost za uopštenje klasične implikacije bazira se na operatoru

𝑅𝑇 𝑥, 𝑦 = sup 𝑧𝜖 0,1 𝑇(𝑥, 𝑧) ≤ 𝑦}.

Tako za dve prethodne osnovne t-norme 𝑇𝑀 i 𝑇𝐿 dobijamo:

𝑅𝑇𝑀 𝑥,𝑦 = 1, 𝑧𝑎 𝑥 ≤ 𝑦𝑦, 𝑧𝑎 𝑜𝑠𝑡𝑎𝑙𝑒

,

𝑅𝑇𝐿 𝑥,𝑦 = 1, 𝑧𝑎 𝑥 ≤ 𝑦

1 − 𝑥 + 𝑦, 𝑧𝑎 𝑜𝑠𝑡𝑎𝑙𝑒 .

U opštem slučaju 𝐼𝑇 i 𝑅𝑇 se razlikuju, ali važi: 𝐼𝑇𝐿 = 𝑅𝑇𝐿 .

33

3 FLC (Fuzzy logic control) procesi i njihova primena

FLC procesi predstavljaju tehniku primene fazi skupova i fazi logike na kontrolne probleme.

Ova tehnika je nastala sedamdesetih godina prošlog veka u cilju rešavanja različitih problema

industrijskog inženjeringa, ali vremenom izlazi iz početnih okvira. Danas je njena primena

prisutna i u mnogim drugim oblastima, poput teorije odlučivanja sa posebnim akcentom na

finansije i menadžment.

FLC procesi se zasnivaju na fazi logici, prvenstveno na if-then pravilu, koja uz pomoć fazi

skupova opisuje složene i nedovoljno precizne probleme sistema i upotrebom logičkih operatora

dovodi do zaključka.

Cilj ove tehnike je da nas dovede do optimalne akcije. Ukoliko se modelira neki problem iz

oblasti finansija, poslovanja ili menadžerstva, pod pojmоm ,,akcija” može se smatrati odreĎeni

savet, sugestija, procena, instrukcija i sl.

U narednom delu rada biće prikazan opis FLC procesa sa dve ulazne i jednom izlaznom

promenljivom, kao i njegova primena na model tolerancije rizika donosioca odluke. Opis je dat

postupno, korak po korak, a korišćena je literatura ([1,2,10]).

3.1 Modeliranje tolerancije rizika donosioca odluke pomoću FLC procesa

Procena tolerancije rizika predstavlja težak, ali značajan zadatak kojim se bave finansijske

službe, jer rizik ima važnu ulogu prilikom dizajniranja klijentovog investicionog portfolia.

Opisani model u ovom poglavlju se bazira na [1].

Korak 1: Modeliranje promenljivih

Svaki FLC proces ima svoje ulazne (eng. input) i izlazne (eng.output) vrednosti koje su date

u vidu lingvističkih promenljivih. Svaka od tih promenljivih je modelirana pomoću skupova 𝒜,

ℬ i 𝒞 čiji su elementi fazi brojevi 𝐴𝑖 ,𝐵𝑗 ,𝐶𝑘 definisani na sledeći način:

𝐴𝑖 = {(𝑥𝑖 , 𝜇𝐴𝑖(𝑥))|𝑥𝜖𝐴𝑖 ⊂ 𝑈1}, 𝑖 = 1,… ,𝑛

𝐵𝑗 = {(𝑦𝑗 , 𝜇𝐵𝑗 (𝑦))|𝑦𝜖𝐵𝑗 ⊂ 𝑈2}, 𝑗 = 1,… ,𝑚

𝐶𝑘 = {(𝑧𝑘 , 𝜇𝐶𝑘(𝑧))|𝑧𝜖𝐶𝑘 ⊂ 𝑈3}, 𝑘 = 1,… , 𝑙 .

Najčešći je slučaj da lingvističke promenljive prime od dve do sedam vrednosti.

34

Primena prvog koraka: U primeru modeliranja tolerancije rizika donosioca odluke posmatrane

su dve ulazne vrednosti: godišnji prihod (eng. annual income), u oznaci AI i ukupna neto

vrednost (eng. total networth), u oznaci TNW.

Cilj modela je da za bilo koji par ulaznih vrednosti pronaĎe odgovarajuću izlaznu vrednost, koja

je u ovom slučaju nivo tolerancije rizika (eng. risk tolerance), u oznaci RT.

Pretpostavimo da su jezičke promenljive date na sledeći način:

𝐴𝐼 = 𝐴1,𝐴2,𝐴3 = {𝐿,𝑀,𝐻},

𝑇𝑁𝑊 = 𝐵1,𝐵2,𝐵3 = {𝐿,𝑀,𝐻},

𝑅𝑇 = 𝐶1,𝐶2,𝐶3 = {𝐿,𝑀𝑂,𝐻},

pri čemu vidimo da je 𝑛 = 𝑚 = 𝑙 = 3.

Iskazne vrednosti posmatranih lingvističkih promenljivih date su u obliku trougaonih fazi brojeva

i fazi intervala i imaju značenje: 𝐿 ≜ 𝑚𝑎𝑙𝑖 (eng. low), 𝑀 ≜ 𝑠𝑟𝑒𝑑𝑛𝑗𝑖 (eng. medium), 𝐻 ≜ 𝑣𝑖𝑠𝑜𝑘

(eng. high) i 𝑀𝑂 ≜ 𝑢𝑚𝑒𝑟𝑒𝑛 (eng. moderate). Njihovi noseći intervali pripadaju sledećim

univerzalnim skupovima:

𝑈1 = {𝑥 × 103|0 ≤ 𝑥 ≤ 100},

𝑈2 = {𝑦 × 104|0 ≤ 𝑦 ≤ 100},

𝑈3 = {𝑧|0 ≤ 𝑧 ≤ 100}.

Realni brojevi 𝑥 i 𝑦 predstavljaju vrednosti u hiljadama i desetinama hiljada dolara, dok 𝑧 uzima

vrednosti izmeĎu 0 i 100 i predstavlja skalu merenja tolerancije rizika.

Vrednosti AI, TNW i RT kao fazi brojevi imaju svoje funkcije pripadanja opisane na dole

navedeni način:

𝜇𝐿 𝑣 = 1, 𝑧𝑎 0 ≤ 𝑣 ≤ 20

50−𝑣

30, 𝑧𝑎 20 ≤ 𝑣 ≤ 50

,

𝜇𝑀 𝑣 =

𝑣−20

30, 𝑧𝑎 20 ≤ 𝑣 ≤ 50

80−𝑣

30, 𝑧𝑎 50 ≤ 𝑣 ≤ 80

,

35

𝜇𝐻 𝑣 = 𝑣−50

30, 𝑧𝑎 50 ≤ 𝑣 ≤ 80

1, 𝑧𝑎 80 ≤ 𝑣 ≤ 100 .

Slika 3.1 Grafički prikaz ulazne vrednosti AI

Korak 2: If..and...then pravila

Kada smo uveli ulazne vrednosti, u sledećem koraku primenjujemo if-then pravila na

lingvističke promenljive. Ukupno treba primeniti 𝑛𝑚 pravila, što predstavlja proizvod brojeva

koji označavaju koliko vrednosti ulazi 𝒜 i ℬ mogu da prime. Posmatrana if-then pravila

definisana su tako da dobijemo 𝑙 različitih izlaznih vrednosti, pri čemu je 𝑙 < 𝑛𝑚.

U ovom delu rada korišćena je Mamdanijeva definicija implikacije (1975.) koja se bazira na

operatoru minimuma ([2]). Ako uvedemo oznake: 𝑝𝑖 ≜ 𝑥𝑖 𝑗𝑒 𝐴𝑖 , 𝑞𝑗 ≜ 𝑦𝑗 𝑗𝑒 𝐵𝑗 i 𝑟𝑘 ≜ 𝑧𝑘 𝑗𝑒 𝐶𝑘 ,

onda primena Mamdanijevog pravila zaključivanja na if-then pravila izgleda:

𝑝𝑖 ∧ 𝑞𝑗 ∧ 𝑟𝑘 = min(𝜇𝐴𝑖 𝑥 ,𝜇𝐵𝑗 𝑦 , 𝜇𝐶𝑘(𝑧)),

pri čemu je 𝑟𝑘 = 𝑟𝑖𝑗 ; 𝑖 = 1,… ,𝑛; 𝑗 = 1,… ,𝑚; 𝑘 = 1,… , 𝑙 i 𝑥,𝑦, 𝑧 𝜖 𝒜 ×ℬ × 𝒞 ⊆ 𝑈1 × 𝑈2 × 𝑈3.

Pravila sa mogućim fazi izlaznim vrednostima prikazana su u narednoj tabeli.

𝐵1 ... 𝐵𝑗 𝐵𝑗+1 ... 𝐵𝑚

𝐴1 𝐶11 ... 𝐶1𝑗 𝐶1𝑗+1 ... 𝐶1𝑚

: : : : :

𝐴𝑖 𝐶𝑖1 ... 𝐶𝑖𝑗 𝐶𝑖 ,𝑗+1 ... 𝐶𝑖𝑚

𝐴𝑖+1 𝐶𝑖+1,1 ... 𝐶𝑖+1,𝑗 𝐶𝑖+1,𝑗+1 ... 𝐶𝑖+1,𝑚

: : : : :

𝐴𝑛 𝐶𝑛1 ... 𝐶𝑛𝑗 𝐶𝑛 ,𝑗+1 ... 𝐶𝑛𝑚

Tabela 3.1 Tabela odlučivanja pomoći if-then pravila

𝑥 × 103

𝜇 L M H

0 20 50 80 100

36

Primena drugog koraka: U primeru je dato 𝑛 = 𝑚 = 𝑙 = 3 iskaznih vrednosti jezičkih

promenljivih, te ćemo stoga imati 9 if-then pravila i 3 različite izlazne vrednosti. Primenom tih

pravila na model tolerancije rizika dobijamo sledeću Tabelu odlučivanja:

L M H

L L L MO

M L MO H

H MO H H

Tabela 3.2 Tabela odlučivanja za model tolerancije rizika donosioca odluke

Pravila primenjena u Tabeli 3.2 čitamo na sledeći način:

Pravilo 1: Ako je klijentov godišnji prihod (AI) mali (L) i klijent ostvaruje malu (L) ukupnu neto

vrednost (TNW), onda je njegov nivo tolerancije rizika (RT) mali (L).

Pravilo 2: Ako je klijentov AI mali i klijent ostvaruje srednju TNW, onda je njegov RT mali.

Pravilo 3: Ako je klijentov AI mali i klijent ostvaruje visoku TNW, onda je njegov RT umeren.

Pravilo 4: Ako je klijentov AI srednje visine i klijent ostvaruje malu TNW, onda je njegov RT

mali.

Pravilo 5: Ako je klijentov AI srednje visine i klijent ostvaruje srednju TNW, onda je njegov RT

umeren.

Pravilo 6: Ako je klijentov AI srednje visine i klijent ostvaruje visoku TNW, onda je njegov RT

visok.

Pravilo 7: Ako je klijentov AI visok i klijent ostvaruje malu TNW, onda je njegov RT umeren.

Pravilo 8: Ako je klijentov AI visok i klijent ostvaruje srednju TNW, onda je njegov RT visok.

Pravilo 9: Ako je klijentov AI visok i klijent ostvaruje visoku TNW, onda je njegov RT visok.

Koristeći Mamdanijevu definiciju if-then pravila i tumačeći veznik ∧ trougaonom 𝑇𝑀

normom, dobijamo:

Pravilo 1: 𝑝1 ∧ 𝑞1 ∧ 𝑟11 = min(𝜇𝐿 𝑥 ,𝜇𝐿 𝑦 ,𝜇𝐿(𝑧)),

Pravilo 2: 𝑝1 ∧ 𝑞2 ∧ 𝑟12 = min(𝜇𝐿 𝑥 ,𝜇𝑀 𝑦 , 𝜇𝐿(𝑧)),

Pravilo 3: 𝑝1 ∧ 𝑞3 ∧ 𝑟13 = min(𝜇𝐿 𝑥 ,𝜇𝐻 𝑦 , 𝜇𝑀𝑂(𝑧)),

Pravilo 4: 𝑝2 ∧ 𝑞1 ∧ 𝑟21 = min(𝜇𝑀 𝑥 ,𝜇𝐿 𝑦 ,𝜇𝐿(𝑧)),

Pravilo 5: 𝑝2 ∧ 𝑞2 ∧ 𝑟22 = min(𝜇𝑀 𝑥 , 𝜇𝑀 𝑦 ,𝜇𝑀𝑂(𝑧)),

37

Pravilo 6: 𝑝2 ∧ 𝑞3 ∧ 𝑟23 = min(𝜇𝑀 𝑥 , 𝜇𝐻 𝑦 , 𝜇𝐻(𝑧)),

Pravilo 7: 𝑝3 ∧ 𝑞1 ∧ 𝑟31 = min(𝜇𝐻 𝑥 ,𝜇𝐿 𝑦 ,𝜇𝑀𝑂(𝑧)),

Pravilo 8: 𝑝3 ∧ 𝑞2 ∧ 𝑟32 = min(𝜇𝐻 𝑥 ,𝜇𝑀 𝑦 , 𝜇𝐻(𝑧)),

Pravilo 9: 𝑝3 ∧ 𝑞3 ∧ 𝑟33 = min(𝜇𝐻 𝑥 ,𝜇𝐻 𝑦 , 𝜇𝐻(𝑧)).

Navedena pravila su proistakla iz svakodnevnog života. Prirodno je da osoba koja ostvaruje

mali godišnji prihod i malu ukupnu neto vrednost preuzme i nizak nivo tolerancije na rizik, dok

osoba koja ostvaruje visok godišnji prihod i veliku ukupnu neto vrednost može sebi da priušti i

prihvatanje visokog nivoa tolerancije na rizik. MeĎutim, iz različitih razloga može se desiti da

klijent ne želi da prihvati visok nivo rizika ili nasuprot tome, možda je spreman da prihvati visok

nivo rizika, uprkos malom godišnjem prihodu i neto vrednosti koju ima. U tom slučaju,

finansijski stručnjaci bi trebalo da redizajniraju pravila.

Korak 3: Procena pravila

Neka su nam date konkretne vrednosti za ulazne promenljive FLC procesa 𝑥 = 𝑥0 i 𝑦 = 𝑦0.

Naš zadatak je da naĎemo odgovarajuću vrednost za izlaznu promenljivu 𝑧. Realni brojevi 𝑥0 i 𝑦0

su početne vrednosti koje možemo dobiti merenjem, posmatranjem, procenama i sl. Za početak,

moramo te ulazne vrednosti da transformišemo u odgovarajuće vrednosti lingvističkih

promenljivih. Taj postupak se naziva kodiranje ulaznih vrednosti i ilustrovan je na Slici 3.2.

Prava 𝑥 = 𝑥0𝜖 𝑈1 preseca fazi brojeve 𝐴𝑖 i 𝐴𝑖+1 i na taj način dobijamo singltone 𝜇𝐴𝑖 𝑥0 i

𝜇𝐴𝑖+1 𝑥0 koje zovemo fazi izmerene ulazne vrednosti. Presek ostalih fazi brojeva i prave 𝑥 = 𝑥0

je ∅ sa funkcijom pripadanja koja je jednaka nuli.

Slika 3.2 Fazi izmerene ulazne vrednosti za 𝑥0 𝜖 𝑈1

𝜇 𝐴𝑖−1 𝐴𝑖 𝐴𝑖+1 𝐴𝑖+2

1

𝜇𝐴𝑖 𝑥0 . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. … .. . ∎

𝜇𝐴𝑖+1 𝑥0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∎

0 𝑥0

0

𝑥0

38

Analogno se mogu pronaći fazi izmerene ulazne vrednosti za 𝑦0𝜖𝑈2,odnosno singltoni 𝜇𝐵𝑗 𝑦0 i

𝜇𝐵𝑗+1 𝑦0 .

Nakon što smo dobili fazi izmerene ulazne vrednosti za 𝑥 = 𝑥0 i 𝑦 = 𝑦0, potrebno je redukovati

tabelu odlučivanja i na taj način dobijamo novu tabelu koju zovemo Uzrokovana tabela

odlučivanja.

0 ... 𝜇𝐵𝑗 𝑦0 𝜇𝐵𝑗+1 𝑦0 ... 0

0 0 ... 0 0 ... 0 : : : : :

𝜇𝐴𝑖 𝑥0 0 ... 𝜇𝐶𝑖𝑗 (𝑧) 𝜇𝐶𝑖𝑗+1 (𝑧) ... 0

𝜇𝐴𝑖+1 𝑥0 0 ... 𝜇𝐶𝑖+1𝑗 (𝑧) 𝜇𝐶𝑖+1,𝑗+1 (𝑧) ... 0

: : : : :

0 0 ... 0 0 ... 0 Tabela 3.3 Uzrokovana tabela odlučivanja i aktivne ćelije

Svega četiri ćelije sadrže ne-nula vrednosti i njih nazivamo aktivnim.

U skladu sa pravilom 𝑝𝑖 ∧ 𝑞𝑗 = min(𝜇𝐴𝑖 𝑥 ,𝜇𝐵𝑗 𝑦 ), 𝑥, 𝑦 𝜖 𝒜 × ℬ ⊆ 𝑈1 × 𝑈2, ako je bar

jedna vrednost funkcije pripadanja jednaka nuli, operator minimum kao rezultat daje nulu.

Korak 4: Agregacija

Postupak primene kontrolnih pravila, koji je primenjivan u ovom delu rada, je u literaturi

poznat pod engleskim nazivom firing i ilustrovan je pomoću sledeća četiri pravila:

Pravilo 1: 𝐴𝑘𝑜 𝑗𝑒 𝑥 𝐴𝑖(0)

i 𝑦 𝐵𝑗(0)

, onda je 𝑧 𝐶𝑖𝑗 ,

Pravilo 2: 𝐴𝑘𝑜 𝑗𝑒 𝑥 𝐴𝑖(0)

i 𝑦 𝐵𝑗+1(0)

, onda je 𝑧 𝐶𝑖𝑗+1,

Pravilo 3: 𝐴𝑘𝑜 𝑗𝑒 𝑥 𝐴𝑖+1(0)

i 𝑦 𝐵𝑗(0)

, onda je 𝑧 𝐶𝑖+1𝑗 ,

Pravilo 4: 𝐴𝑘𝑜 𝑗𝑒 𝑥 𝐴𝑖+1(0)

i 𝑦 𝐵𝑗+1(0)

, onda je 𝑧 𝐶𝑖+1𝑗+1.

Veznik " 𝑖 " u ovim pravilima je tzv. preduslov i označava jačinu pravila. Za svako od navedenih

pravila, njegovu jačinu definišemo na sledeći način:

𝛼𝑖𝑗 = 𝜇𝐴𝑖 𝑥𝑜 ∧ 𝜇𝐵𝑗 𝑦0 = min 𝜇𝐴𝑖 𝑥𝑜 ,𝜇𝐵𝑗 𝑦0 ,

𝛼𝑖𝑗+1 = 𝜇𝐴𝑖 𝑥𝑜 ∧ 𝜇𝐵𝑗+1 𝑦0 = min 𝜇𝐴𝑖 𝑥𝑜 ,𝜇𝐵𝑗+1 𝑦0 ,

39

𝛼𝑖+1𝑗 = 𝜇𝐴𝑖+1 𝑥𝑜 ∧ 𝜇𝐵𝑗 𝑦0 = min 𝜇𝐴𝑖+1 𝑥𝑜 ,𝜇𝐵𝑗 𝑦0 ,

𝛼𝑖+1𝑗+1 = 𝜇𝐴𝑖+1 𝑥𝑜 ∧ 𝜇𝐵𝑗+1 𝑦0 = min 𝜇𝐴𝑖+1 𝑥𝑜 ,𝜇𝐵𝑗+1 𝑦0 .

UvoĎenjem dobijenih realnih vrednosti 𝛼𝑖𝑗 , 𝛼𝑖𝑗+1, 𝛼𝑖+1𝑗 i 𝛼𝑖+1𝑗+1 u Tabelu 3.3 dobijamo Tabelu

jačine pravila koja je prikazana ispod.

0 ... 𝜇𝐵𝑗 𝑦0 𝜇𝐵𝑗+1 𝑦0 ... 0

0 0 ... 0 0 ... 0 : : : : :

𝜇𝐴𝑖 𝑥0 0 ... 𝛼𝑖𝑗 𝛼𝑖𝑗+1 ... 0

𝜇𝐴𝑖+1 𝑥0 0 ... 𝛼𝑖+1𝑗 𝛼𝑖+1𝑗+1 … 0

: : : : :

0 0 … 0 0 … 0 Tabela 3.4 Tabela jačine pravila

Tabela 3.3 i Tabela 3.4 su veoma slične, ali je njihova razlika u tome što aktivne ćelije u

Tabeli 3.4 sadrže realne brojeve koji prikazuju jačinu pravila, dok aktivne ćelije u Tabeli 3.3

sadrže fazi skupove kao vrednosti izlaznih promenljivih. Da bismo dobili kontrolne izlazne

promenljive, potrebno je iskoristiti ćelije iz obe tabele.

Za svako pravilo imaćemo po jednu kontrolnu izlaznu promenljivu (eng. control output;

skraćeno CO), koju dobijamo na osnovu tzv. kontrolnih pravila koja se baziraju na konjukciji.

CO prvog pravila:𝛼𝑖𝑗 ∧ 𝜇𝐶𝑖𝑗 𝑧 = min(𝛼𝑖𝑗 , 𝜇𝐶𝑖𝑗 𝑧 ) ,

CO drugog pravila: 𝛼𝑖𝑗+1 ∧ 𝜇𝐶𝑖𝑗+1 𝑧 = min(𝛼𝑖𝑗+1, 𝜇𝐶𝑖𝑗+1 𝑧 ),

CO trećeg pravila: 𝛼𝑖+1𝑗 ∧ 𝜇𝐶𝑖+1𝑗 𝑧 = min(𝛼𝑖+1𝑗 , 𝜇𝐶𝑖+1𝑗 𝑧 ),

CO četvrtog pravila: 𝛼𝑖+1𝑗+1 ∧ 𝜇𝐶𝑖+1𝑗+1 𝑧 = min(𝛼𝑖+1𝑗+1, 𝜇𝐶𝑖+1𝑗+1 𝑧 ).

Dobijene kontrolne izlazne promenljive možemo prikazati u tabeli, pri čemu neaktivne ćelije

imaju vrednost 0 i ne prikazuju se.

… … … …

… 𝛼𝑖𝑗 ∧ 𝜇𝐶𝑖𝑗 𝑧 𝛼𝑖𝑗+1 ∧ 𝜇𝐶𝑖𝑗+1 𝑧 …

… 𝛼𝑖+1𝑗 ∧ 𝜇𝐶𝑖+1𝑗 𝑧 𝛼𝑖+1𝑗+1 ∧ 𝜇𝐶𝑖+1𝑗+1 𝑧 …

… … … …

Tabela 3.5 Tabela kontrolnih izlaznih promenljivih

40

Cilj nam je da dobijemo jednu kontrolnu izlaznu promenljivu, te stoga na dobijene kontrolne

izlazne promenljive, prikazane u Tabeli 3.5, moramo primeniti postupak agregacije. Agregacija je

tehnika koja se koristi prilikom donošenja odluke koja kontrolna akcija treba da se primeni na

rezultate dobijene upotrebom firinga. U ovom delu rada korišćena je agregacija bazirana na

operatoru maksimuma ( ∨ ). Na taj način se dobija jedna kontrolna izlazna promenljiva sa

funkcijom pripadanja:

𝜇𝑎𝑔𝑔 𝑧 = 𝛼𝑖𝑗 ∧ 𝜇𝐶𝑖𝑗 𝑧 ∨ 𝛼𝑖𝑗+1 ∧ 𝜇𝐶𝑖𝑗+1 𝑧 ∨ 𝛼𝑖+1𝑗 ∧ 𝜇𝐶𝑖+1𝑗 𝑧

∨ 𝛼𝑖+1𝑗+1 ∧ 𝜇𝐶𝑖+1𝑗+1 𝑧

=max { 𝛼𝑖𝑗 ∧ 𝜇𝐶𝑖𝑗 𝑧 , 𝛼𝑖𝑗+1 ∧ 𝜇𝐶𝑖𝑗+1 𝑧 , 𝛼𝑖+1𝑗 ∧ 𝜇𝐶𝑖+1𝑗 𝑧 , 𝛼𝑖+1𝑗+1 ∧

𝜇𝐶𝑖+1𝑗+1𝑧}.

Važno je uočiti da je operator minimuma, iskazan kroz veznik ∧ , u tom slučaju primenjen na

broj i funkciju pripadanja fazi broja. Pošto se s time do sada nismo susretali, uvodimo definiciju.

Definicija 3.1 [1] Neka je 𝛼 realan broj i C fazi broj sa funkcijom pripadanja 𝜇𝐶(𝑧), onda

važi: 𝜇𝛼∧𝜇𝐶 𝑧 = 𝛼 ∧ 𝜇𝐶 𝑧 = min(𝜇𝛼 𝑧 = 𝛼, 𝜇𝐶(𝑧)) .

Fazi vrednost čija je funkcija pripadanja 𝜇𝛼∧𝜇𝐶 𝑧 zovemo odsečeni fazi broj (eng. clipped fuzzy

number), iako odstupa od definicije fazi broja.

Za najčešće korišćene fazi brojeve, trougaone i trapezoidne, prikaz definicije dat je na narednoj

slici.

Slika 3.3 Odsečeni trougaoni i trapezoidni fazi brojevi

𝜇

1

𝛼

𝜇𝛼∧𝜇𝐶 (𝑧)

𝑧

𝜇

1

𝛼

𝜇𝛼∧𝜇𝐶 (𝑧)

𝑧

41

U nastojanju da dobijemo jedinstvenu izlaznu promenljivu, u vidu akcije, odluke ili saveta,

potrebno je izvršiti defazifikaciju tj. dekodirati funkciju 𝜇𝑎𝑔𝑔 𝑧 . Taj postupak je opisan u

narednom koraku.

Primena trećeg i četvrtog koraka: Pretpostavimo da klijent raspolaže sledećim ulaznim

vrednostima: godišnji prihod (AI u hiljadama $) 𝑥0 = 40 i ukupna neto vrednost (TNW u

desetinama hiljada $) 𝑦0 = 25.

Fazi oblik ulaznih vrednosti dobijamo zamenom 𝑥 i 𝑦 sa 𝑣 u odgovarajućim funkcijama

pripadanja, pa imamo:

𝜇𝐿 40 =1

3, 𝜇𝑀 40 =

2

3 ,

𝜇𝐿 25 =5

6, 𝜇𝑀 25 =

1

6.

Slika 3.4 Fazi ulazne vrednosti za model tolerancije rizika kada su ulazi 𝑥0 = 40, 𝑦0 = 25 .

Nakon toga, formiramo Uzrokovanu tabelu odlučivanja za model tolerancije rizika donosioca

odluke. Prikaz tabele je dat ispod, pri čemu vidimo da raspolažemo sa četiri aktivne ćelije.

𝜇 L M

1

2

3 ∎

1

3 ∎ x

0 20 40 50 80

𝜇 L M

1

5

6 ∎

1

6 ∎ y

0 25 50

42

𝜇𝐿 25 =

5

6 𝜇𝑀 25 =

1

6

0

𝜇𝐿 40 =1

3

𝜇𝐿(𝑧) 𝜇𝐿(𝑧) 0

𝜇𝑀 40 =2

3

𝜇𝐿(𝑧) 𝜇𝑀𝑂(𝑧) 0

0 0 0 0

Tabela 3.6 Uzrokovana tabela odlučivanja

Kada smo to uradili, računamo jačinu primenjenih pravila.

𝛼11 = 𝜇𝐿 40 ∧ 𝜇𝐿 25 = min 1

3,5

6 =

1

3,

𝛼12 = 𝜇𝐿 40 ∧ 𝜇𝑀 25 = min 1

3,1

6 =

1

6,

𝛼21 = 𝜇𝑀 40 ∧ 𝜇𝐿 25 = min 2

3,5

6 =

2

3,

𝛼22 = 𝜇𝑀 40 ∧ 𝜇𝑀 25 = min 2

3,1

6 =

1

6.

Dobijeni rezultati prikazani su u narednoj tabeli.

𝜇𝐿 25 =

5

6 𝜇𝑀 25 =

1

6

0

𝜇𝐿 40 =1

3

1

3

1

6

0

𝜇𝑀 40 =2

3

2

3

1

6

0

0 0 0 0

Tabela 3.7 Tabela jačine pravila

Zatim, pomoću aktivnih ćelija u obe tabele (Tabela 3.6 i Tabela 3.7), dobijamo kontrolne izlazne

promenljive (eng. CO) za svako pojedinačno pravilo:

CO prvog pravila: 𝛼11 ∧ 𝜇𝐿 𝑧 = min 1

3, 𝜇𝐿 𝑧 ,

CO drugog pravila: 𝛼12 ∧ 𝜇𝐿 𝑧 = min 1

6, 𝜇𝐿 𝑧 ,

CO trećeg pravila: 𝛼21 ∧ 𝜇𝐿 𝑧 = min 2

3, 𝜇𝐿 𝑧 ,

CO četvrtog pravila: 𝛼22 ∧ 𝜇𝑀𝑂 𝑧 = min 1

6, 𝜇𝑀𝑂 𝑧 .

43

Dobijene vrednosti možemo tabelarno prikazati, pri čemu zanemarujemo neaktivne ćelije.

. . . . . . . . . . . .

. . . 1

3∧ 𝜇𝐿 𝑧

1

6∧ 𝜇𝐿 𝑧

. . .

. . . 2

3∧ 𝜇𝐿 𝑧

1

6∧ 𝜇𝑀𝑂 𝑧

. . .

. . . . . . . . . . . .

Tabela 3.8 Tabela kontrolnih izlaznih promenljivih posmatranog modela

Aktivne ćelije iz Tabele 3.8 je potrebno grafički prikazati kako bismo lakše primenili postupak

agregacije.

𝛼11 = 𝜇𝐿 40 ∧ 𝜇𝐿 25 = min 1

3,5

6 =

1

3

𝛼11 ∧ 𝜇𝐿 𝑧 = min 1

3, 𝜇𝐿 𝑧

𝜇 L 𝜇 L

1 1

5

6 ∎ 𝜇𝐿(25)

1

3 ∎ 𝜇𝐿(40)

0 20 40 50 x 0 20 40 50 y

𝜇 L

1

𝒯1

1

3

0 20 40 50 z

44

𝛼12 = 𝜇𝐿 40 ∧ 𝜇𝑀 25 = min 1

3,1

6 =

1

6

𝛼12 ∧ 𝜇𝐿 𝑧 = min 1

6, 𝜇𝐿 𝑧

𝜇 L 𝜇 M

1 1

1

3 ∎ 𝜇𝐿(40)

1

6 ∎ 𝜇𝑀(25)

0 20 40 50 x 0 20 50 80 y

𝜇 L

1

𝒯2

1

6

0 20 40 50 z

45

𝛼21 = 𝜇𝑀 40 ∧ 𝜇𝐿 25 = min 2

3,5

6 =

2

3

𝛼21 ∧ 𝜇𝐿 𝑧 = min 2

3, 𝜇𝐿 𝑧

𝜇 M 𝜇 L

1 1

5

6 ∎ 𝜇𝐿(25)

2

3 𝜇𝑀(40) ∎

1

3

0 20 40 50 80 x 0 20 40 50 y

𝜇 L

1

𝒯3

2

3

0 20 40 50 z

46

𝛼22 = 𝜇𝑀 40 ∧ 𝜇𝑀 25 = min 2

3,1

6 =

1

6

𝛼22 ∧ 𝜇𝑀𝑂 𝑧 = min 1

6, 𝜇𝑀𝑂 𝑧

Slika 3.5 Primena firing tehnike i dobijanje CO svakog pojedinačnog pravila

𝜇 M 𝜇 M

1 1

2

3 𝜇𝑀(40) ∎

1

6 𝜇𝑀(25)∎

0 20 40 50 80 x 0 20 40 50 80 y

𝜇 M

1

𝒯4

1

6

0 20 40 50 80 z

47

Kao rezultat smo dobili trapezoidne fazi brojeve: 𝒯1 ,𝒯2,𝒯3 i 𝒯4.

Primenu postupka agregacije na dobijene kontrolne izlazne promenljive vršimo pomoću

funkcije pripadanja 𝜇𝑎𝑔𝑔 . U geometrijskom smislu to znači da treba da naĎemo supremume

dobijenih trapezoida u koordinatnom sistemu (𝑧, 𝜇). MeĎutim, sa Slike 3.5 vidimo da je izlazna

vrednost dobijena prvim i drugim pravilom sadržana u izlaznoj vrednosti iz trećeg pravila. Iz tih

razloga je postupak agregacije primenjen samo na treće i četvrto pravilo i dobijena je sledeća

vrednost:

𝜇𝑎𝑔𝑔 𝑧 = max{(min 2

3, 𝜇𝐿 𝑧 , min

1

6, 𝜇𝑀𝑂 𝑧 )}

i njen prikaz je dat na sledećoj slici.

Slika 3.6 Izlazna vrednost za model tolerancije rizika donosioca odluke nakon primene postupka

agregacije

𝝁 L MO

1

𝟐

𝟑

𝜇𝑎𝑔𝑔 𝑧

𝟏

𝟔

0 20 50 80 z

48

Korak 5: Defazifikacija

Pokazano je da se kao ishod agregacije dobija fazi izlazna promenljiva koju je neophodno

dekodirati tj. prevesti u realnu vrednost. Taj postupak se naziva defazifikacija.

Do sada je poznato više različitih metoda defazifikacije od kojih su dalje u radu prikazana tri

najčešće korišćena (videti [1]).

1. CAM metod (eng. Center of area method)

Pretpostavimo da se kao rezultat agregacije dobija funkcija pripadnosti 𝜇𝑎𝑔𝑔 𝑧 , 𝑧𝜖[𝑧0, 𝑧𝑞 ].

Ilustracija CAM metoda data je na sledećoj slici.

Slika 3.7 Postupak defazifikacije pomoću CAM modela

Interval [𝑧0, 𝑧𝑞 ] podeljen je na q jednakih podintervala pomoću tačaka 𝑧1,… , 𝑧𝑞−1. Tražena

vrednost je tačka 𝑧 𝐶 i ona prema ovoj metodi predstavlja težinski prosek brojeva 𝑧𝑘 i 𝜇𝑎𝑔𝑔 𝑧𝑘 :

𝑧 𝐶 = 𝑧𝑘𝜇𝑎𝑔𝑔 𝑧𝑘 𝑞−1𝑘=1

𝜇𝑎𝑔𝑔 𝑧𝑘 𝑞−1𝑘=1

.

Ovaj metod defazifikacije je najčešće korišćen, ali je njegov nedostatak u tome što su zahtevana

izračunavanja ponekad veoma složena.

𝜇

1

P1 P2

𝑝

𝜇𝑎𝑔𝑔 (𝑧)

𝑞 Q1 Q2

𝒛𝟎 𝜻𝟏 z1 z2 𝜼𝟏 𝜻𝟐 𝜼𝟐 𝒛𝒒 z

49

2. MMM metod (eng. Mean of maximum method)

Neka je data ista funkcija pripadanja 𝜇𝑎𝑔𝑔 𝑧 , 𝑧𝜖[𝑧0, 𝑧𝑞 ], kao na prethodnoj slici. Funkcija

ima dva ravna segmenta. Projekcija na 𝑧 -osu najvišeg ravnog s