CAMS

Cogmaster - CS

Modélisation de phénomènes collectifs en sciences économiques et sociales

Jean-Pierre NadalLaboratoire de Physique Statistique de l’ENS

etCentre d’Analyse et de Mathématique Sociales, EHESS

nadal@lps.ens.fr

2

CAMSDe l’individuel au collectif

• Les systèmes étudiés donneront l’occasion d’introduire des concepts et outils adaptés à l’analyse du passage d’un niveau « microscopique »(description des agents et de leurs modes d’interaction), à un niveau « macroscopique » (description du comportement collectif).

• Exemples de domaines d’application : théorie économique, modélisation en neurosciences, physique statistique :

Caractéristiques des unités élémentaires

Interactions Niveau collectif

règle d’activation des neurones

poids synaptiques psychophysique : mémoire associative

préférences des agents influences sociales(« externalités »)

marché :prix d’équilibre

modèle de spins(moments magnétiques)

interactions thermodynamique :ferromagnétisme

3

CAMSDe l’individuel au collectif …et vice versa

• A l’inverse on peut étudier comment le niveau « macroscopique »(contexte écologique, organisation sociale) influence le niveau « microscopique » : par exemple, on peut se demander quel niveau de cognition individuelle est indispensable pour rendre possible tel ou tel type d’organisation sociale.

• Exemples : mécanismes de co-évolution cognition individuelle / organisation sociale ; adaptation de la structure du système nerveux àl’environnement visuel.

• Voir le cours de Jean-Louis Dessalles sur l’émergence et l’évolution de la coopération et du langage

• Dans ce cours, on ne s’interessera qu’au premier aspect, de l’individuel au collectif.

CAMS

Cogmaster - CS

Qui se ressemble s’assemble(modèles de Schelling, Axelrod, Hopfield)

5

CAMSplan

• Introduction

• T. C. SchellingSégrégation résultant de préférences faiblesIllustration : simulations « multi-agents »

• R. AxelrodFormation de coalitionsApplication : coalitions avant la 2nde guerre mondiale

• J. J. Hopfieldmodèle de mémoire associative

cas particulier : équivalence avec un modèle de spins d’Ising (ferromagnétisme)

6

CAMSintroduction

• Réseau d’un (généralement) grand nombre d’unités (‘agents’ selon la terminologie des économistes et des informaticiens) (individus, pays, entreprises, neurones,...) en interaction :le choix de chacun est influencé par celui de ses voisins, et réciproquement.

• « réseau » : décrit les voisinages (qui interagit avec qui), et la nature des interactions.

• « Qui se ressemble s’assemble » : nous allons considérer dans ce cours des situations où les interactions favorisent le regroupement d’agents aux caractéristiques similaires.

Les trois exemples considérés - ségrégation (Schelling), formation de coalitions (Axelrod), mémoire associative (Hopfield) - sont, sur le plan formel, intimement reliés.

7

CAMSSégrégation

Modèle de ségrégation avec préférences faiblesexemple pris par Schelling (1971, 1978): ségrégation blancs/noirs

Hypothèse : chaque individu accepte un voisinage majoritairement différent de lui,à condition de ne pas être trop minoritaire.

Modèle particulier : deux types d’agents, les bleus et les rouges ;sur un damier, chaque habitant a 8 voisins au plus (un par case voisine).Règles de comportement - chaque agent considère que :

en présence de 6 à 8 voisins, il reste si au moins 3 voisins sont de sa couleuren présence de 3 à 5 voisins, il reste si au moins 2 voisins sont de sa couleuren présence de 1 ou 2 voisins, il reste si au moins 1 voisin est de sa couleurdans tous les autres cas, il déménage pour un autre endroit pris au hasard.

Références et travaux récents autour de ce modèle :

http://gemas.msh-paris.fr/dphan/segregationSchelling.htm

8

CAMSThe prehistory of multi-agents simulations…

A self-forming neighborhood model Thomas C. Schelling, 1971

« Some vivid dynamics can be generated by any reader with a half-hour to spare, a roll of pennies and a roll of dimes, a tabletop, a large sheet of paper, a spirit of scientific inquiry, or, lacking that spirit, a fondness for games. »

T C Schelling, in From micromotives to macrobehavior (Norton & Cy, 1978)

9

CAMSSégrégation (Schelling, suite)

Variante : « bounded-neighborhood model »

Hypothèses : - deux types d’agents, les bleus et les rouges ;- voisinage global : par exemple un quartier (ou une ville, un club, …)- chaque individu a son propre seuil de tolérance : l’agent numéro i accepte (ou souhaite) vivre dans ce quartier à condition que la fraction d’individus différents de lui soit au plus égale à son seuil de tolérance xi.Dans le cas contraire il quitte le quartier/il ne vient pas.

Résultat principal : selon la distribution des seuils de tolérance dans les deux populations,- soit existence de deux points fixes ‘purs’ : convergence vers un quartier entièrement bleu ou entièrement rouge ;- soit existence d’un troisième point fixe avec une population mélangée.

Ref. : T C Schelling, op. cité, p. 155

10

CAMSSchelling

• Segregation

R

B

0 50 100

100

50

0

maximal number of Baccepted by the most tolerant R

maximal number of Raccepted by the most tolerant B

11

CAMSSchelling

• Segregation

R

B

0 50 100

100

50

0

maximal number of Baccepted by the most tolerant R

maximal number of Raccepted by the most tolerant B

12

CAMSSchelling

• Segregation

R

B

0 50 100

100

50

0

maximal number of Baccepted by the most tolerant R

maximal number of Raccepted by the most tolerant B

maximal number of R allowed to come

13

CAMSSocial segregation / coalition formation

• R Axelrod (1984)• and also more recent works: S Galam, R Cont and Lowe...

N agents (or countries, firms,...) i = 1,…,Naffinities: agent i ‘likes/dislikes’ agent k with affinity Jik

affinities are based on p criteria τ = 1,...,p:ξi

τ = 1 / -1

τ = 1 smoker/non smokerτ = 2 baseball/operaτ = 3 junior/seniorτ = 4 Bush/Obamaτ = …

Jik = (number of identical criteria) – (number of different criteria)

Jik = Στ ξiτ ξk

τ

14

CAMSSocial segregation / coalition formation

• Task / game:

make 2 groups, A and B

every agent wants to be in the group which maximises its mean affinitywith the other agents:

dynamics with myopic best response:

if: (affinity with A) – (affinity with B)> 0 Σ{k} Jik Sk (t) > 0

join group A Si (t+1) = +1

otherwise join group B Si (t+1) = -1

affinity of i with A = Σ{k in A} JikJik = (number of identical criteria) – (number of different criteria)

15

CAMSSocial segregation / formal neural network

• social segregation (Axelrod) / neural network (Hopfield)

affinity Jik synaptic efficacy

join group A Si = 1 send a spike

join group B Si = 0 neuron at rest

(affinity with A) – (affinity with B) ~ post-synaptic potential

= Σ{k} Jik (2 Sk (t) – 1) = 2 Σ{k} Jik Sk (t) – θ

criteria patterns to be learned

16

CAMSAssociative memory

(formally same model) :Hopfield 1982 : attractor neural networks

N binary neurons Si = 0 (rest) or 1 (sends a spike), i = 1,...,NJik = synaptic weight (efficacy) between neurons i and kP objects to memorise : (τ = 1,...,P ) {ξi

τ , i = 1,...,N } = activity of the network when coding for object τ

Network dynamics (simplest case: deterministic dynamics):•Si (t=0) = activity imposed by a stimulus

•Si (t+1) = 1 if: hi (t) = Σ{k} Jik Sk (t) > θ= 0 otherwise

•Fixed point ( = network’s response) = {Si* , i = 1,...,N } • If {Si (t=0) , i = 1,...,N } similar to {ξi

1 , i = 1,...,N } (stimulus is ~ object τ = 1)

and {Si* , i = 1,...,N } (almost) identical to {ξi1 , i = 1,...,N },

then object τ = 1 is « recognized » / « memorized », by the network

17

CAMSLearning as a reinforcement dynamics

•Jik( 0 ) = 0•Jik(τ ) = Jik(τ - 1) + 1 if ξi

τ = ξkτ (affinity is reinforced)

= Jik(τ - 1) - 1 if ξiτ ≠ ξk

τ (affinity is weakened)

Learning (inspired from Hebb, 1949) = modifying the weights according to the neural activity associated to the objects to be memorised

( Hopfield model, 1982)

α = P/N

(total number of stored objects) /N

γ = number of object effectively memorised /N

0

N small

N → ∞« critical capacity »αc

αc ≈ 0.14

18

CAMS•convergence towards a local minimum of the « energy »

•for large N and p = α N:

α < αc , solutions correlated with one of the criteria(self-organised focus on one of the criteria) (e.g. non smokers go together)

α > αc , no correlation with the criteria (tolerance)

• non deterministic dynamics

‘noise’ level T

αc (T)

αc (T) smaller as T increases

( deterministic limit: T = 0 )hi (t)-θ

(slope = 1/ T)

½

0

1

P(Si (t+1) = +1)

19

CAMS« Landscape theory » (Axelrod)

E ( S ) = - ½ Σi k Ji k Si Sk

Heterogeneous affinitieswith some > 0 others < 0⇒ For large Nlarge number of minima

Symmetric interactions( Ji k = Jk i )⇒ ‘energy’ EConvergence towards one of the (local) minima of E

20

CAMS

Application: formation of coalitions (Axelrod)(N not large)

• WWII

21

CAMSCoalitions

• Alliances

22

CAMS

Bibliographiehttp://www.lps.ens.fr/~nadal

• T. C. Schelling« Micromotives and Macrobehavior » (Norton & Cy, 1978)traduction française : « La tyrannie des petites décisions » (PUF, 1980)

• R. Axelrod« The complexity of cooperation » (Princeton Univ. Press, 1977)

• Sur le modèle de J. J. Hopfield et ses variantes :D. J. Amit « Modeling Brain Function » (Cambridge Univ. Press, 1990)J.-P. Nadal « Réseaux de neurones : de la physique à la psychologie »(1993) (bientôt disponible sur mon site web)