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. CHAPITREI THEORIE DE LA MACHINE ELECTRIQUE

GENERALISEE

JI.. Les machines électriques sont généralement classées en cinq types: a) la machine à courant continu; b) le transformateur; c) la machine asynchrone; d) la machine synchrone; e) la machine à collecteur à courant alternatif.

On transforme l'énergie électrique en énergie mécanique, (et inversement) dans toutes ces types de machines (sauf dans le transformateur)"4'our étudier les machines électriques on fait appel à l'une

des trois méthodes basées sur : l. la théorie du champ électromagnétique,

(les équations de Maxwell); 2. la théorie des circuits (les lois de Kirchoff); 3. la méthode mixte combinant la théorie du champ et la

théorie des circuits. ,.

Connaissant le champ dans l'entrefer d'une machine électrique, on peut déduire les équations de tensions, et à l'aide des courants ou bien des flux on peut écrire l'équation du couple électromagnétique, [2].

Par conséquent, il est nécessaire de bien connaître la théorie du champ 6lectromagnétique et la théorie des circuits (électriques et

magn6tiques).

10

I.1. Les lois électromécaniques

Afin d'étudier les aspects de la transformation de l'énergie électromécanique dans les machines électriques, il faut tenir compte des considérations suivantes :

1. La transformation de l'énergie électromécanique se produit avec un rendement inférieur à 100%. Cela provient des pertes d'énergie qui apparaissent dans les éléments de la machine lors de son fonctionnement.

Le rendement d'une machine électrique s'exprime: - pour le régime moteur:

11 m = (l - ~ p ) .1 0 0 % · (1.1) a

- pour le régime générateur:

Tl g = (l - pu~:~ p ) .1 0 0 %

où: L\P - Les pertes de puissance; PaCPu) - La puissance absorbée (utile).

(1.2)

2. Toutes les machines électriques sont réversibles, c'est à dire qu'elles peuvent fonctionner en moteur ou en généra.leur. ·

Pour le régime générateur, la puissance active sur l'arbre de la machine électrique est transformée en une puissance électrique ; et pour le régime moteur la puissance du réseau électrique est transformée en une puissance mécanique. La puissance réactive qui crée le champ magnétique peut être « prise » ou « donnée » au réseau électrique indépendamment du régime du travail de la machine électrique.

La machine électrique est un 'concentrateur' d'énergie dans 1 ·entrefer. La puissance spécifique de l'entrefer de la machine ; c'est à dire le rapport de la puissance de la machine sur le volume de l'entrefer, est exprimée par:

L\W= PM ::::0,5 w3 ; (I.3) V entrefer mm

3. La transformation de l'énergie électromécanique est réalisée par les champs du stator et du rotor qui sont immobiles l'un par rapport à l'autre. Il s'ensuit que.le glissement:

o = Wos ±Wr e

Wos

Il

(1.4)

.. : .... ~

r

où hlos - La vitesse angulaire du champ; Wr- La vitesse angulaire du rotor.

Les champs du rotor et du stator sont immobiles l'un par rapport à l'autre et créent le couple électromagnétique:

C =Pern ; {,t) os

(1.5)

où Pe-m: La puissance électromagnétique concentrée dans l'entrefer.

.;;- 1.2. Machine électrique idéalisée. La machine électrique idéalisée est une machine électrique ayant les

hypothèses suivantes: -L'entrefer est d"épaisseur uniforme et l'effet d'encochage est

négligeable; · -La saturation du circuit magnétique, l 'hysterisis et les courants de

Foucault sont négligeables; -Les résistances des enroulements ne varient pas avec la température

et on néglige l'effet de peau. -On admet de plus que la f.m.m créée par chacune des phases des

deux armatures est à répartition sinusoïdale.

Parmi les conséquences importantes de ces hypothèses, on peut citer: -L'additivité des flux; -la constance des inductances propres; -la loi de variation sinusoïdale des inductances mutuelles entre les

enroulements du stator et du rotor en fonction de l'angle électrique de leurs axes magnétiques.

ot 1.3. Machine électrique généralisée.

Il existe deux modèles de la machine électrique généralisée: 1. Modèle diphasé de la machine généralisée; 2. Modèle triphasé de la machine généralisée.

La machine électrique généralisée diphasée est une machine ~ipolaire, biphasée idéale avec deux enroulements sur le stator et deux enroulements sur le rotor (Fig. 1.1 ).

12

•21 t't $'Î!'1 j•''éh&r·.,,.,tl~a • .o.t~k~~~~.«•2

En plus des équations de tensions on peut écrire I 'équatio caractérisant la position angulaire entre le stator et le rotor::

0:;: f Wrdt

0 - caractérise la positiofl angulaire du rotor par rapport au stator.

Cls

Usn

Ps 0

Fig.(1.1 ). Représentation d'une machine biphasée généralisée

La machine électrique généralisée triphasée est une machine bipolaire triphasée idéale, avec six enroulements (trois sur le stator et trois sur le rotor), ( fig. 1.2),

A·

a 0

w,. UA

Wc

WB

~.O

Wb

Ub

b B

-~c j uc J

~c Fig (1.2). Représentation d'une machine triphasée généralisée

lJ

c

r 1

1

:t i~' ,, I' ,1 ••

Pour ce modèle, le nomhre r'éq1n:ions ~lectriques ( par rapport aux enroulements du rotor et du stator ) est de six.

Du modèle de la machine généralisée biphasée, on peut obtenir n'importe quel modèle de la machine électrique.

If 1.3.1. Modèle de la machine asynchrone (fig. 1.3).

Les enroulements du stator sont alimentés par les tensions Usa et U513 , alors que pour l'alimentation des enroulements du rotor, deux cas sont envisageables:

a). Le rotor en «court-circuit»; aucune liaison galvanique n'est opérée;

b ). Le rotor est bobiné; il faut brancher les enroulements du rotor sur des résistances ou encore sur une source de tension (double alimentation).

<ls

usa

13.

Ur {3 1->r / ....,.

Fig.(1.3 ).: Représentation d'une ma~ine asynchrone biphasée

Pour obtenir la machine à d.ouble alimentation, il faut appliquer aux enroulements du rotor des tensions de fréquences f2•

~ 1.3.2. Modèle de la machine synchrone (fig. 1.4).

Pour Je stator nous avons le même modèle que la machine asynchrone avec des tensions d'alimentation Usa et U 513 de fréquence f1·50 Hz.

14

ET H ! '· ~•.i.I· ., • ' . , •.

Pour Je rotor, il y a un enroulement d'excitation placé sur l'axe ar qui est alimenté par une tension continue d'excitation Ur.

Si la machine est munie d'enroulements amortisseurs (appelés enroulements de démarrage pour le cas des moteurs), leur représentation est similaire à celle des enroulements du rotor de la machine asynchrone. Les champs du stator et du rotor sont également immobiles.

<ls wsa

usa

Ws{3 ···~'y

13. . 'vvvvv 1 /0

. 1

w,p ~ us/3

. Ur fJ

Pr Fig.(1.4). Représentation d'une machine synchrone

If 1.3.3. Modèle du transformateur. (fig. 1.5). Les enroulements se trouvent sur un seul axe; tous les circuits sont

statiques. a

wsa Usa

Wra Ura

p

0 Fig.(1.5). Représentation d'un transformateur

IS

< •• ,M..L ........ ~

1

il.

li d

,: 1

,,. 1.3.4. Modèle de la machine à courant continu (fig. l.fj).

Les enroulements Winda et Windl:l se trouvent sur l'induit de la machine à courant continu. Sur le stator, on trouve les enroulements suivants:

Ils

Wr: enroulement d'excitation séparé; W5: enroulement d'excitation série Wcom: enroulement de compensation Waux: enroulement des pôles auxiliaires;

CF: Convertisseur de fréquence mécanique,( collecteur de la machine à courant continu ).

as

Wr urnoo

Wcom Waui

+-~ I CF 1 1 i<vr µ ÀJ}()... = Ucom Uaux

(J. / Fig.(1.6). Représentation de fa machine à courant continu

'11 1.3.S. Modèle de la machine à collecteur à courant alternatif (fig. 1.7).

On désigne par CF le convertis~eur de fréquence pour transformer la tension du réseau avec la fréquence 50 Hz aux tensions URu et URl:l à la fréquenc::e du glissement pour alimenter les enroulements du rotor.

16

_,_,~L .• ,. ,,.1

t a.

( u~

W. Wm

Wsl.\

Ils +--~ CF

Us!.\

8.

/~ u~

Fig.(1.7). Représentation de la machine à collecteur

~ 1.4. Les équations de la machine électrique généralisée biphasée.

En considérant le modèle biphasé de la machine généralisée (fig. 1.1 ), on peut écrire les équations de KIRCHOFF pour chaque élément:

U,a = 1· r d'if · sa,+~ dt

u _. d\11 si\ - 1sflrs + ~

dt

Uru =irarr + d'l'm dt

U ru = i r + d\11 rf\ P ri\ r --

dt

17

(1.6)

1

OÙ

1-. Dans ces équations, les flux sont de la forme:

'If sa = Lsaisa + Msa-raira + Msa-rf3irf3

'If sf3 = L sf3 i sf3 + M sf3-ra ira + M sf3-rf3 i rf3

'l'ra =Lraira +Mra-saisa +Mra-s13is13;

'l'rf3 = Lrf3irf3 + Mrf3-saisa + Mrf3-sf3isf3

(1.7)

r5 , rr , Lsa , L513 , Lra , Lrf3 - les résistances et les inductances

propres des enroulements du stator et du rotor;

M sa-ra , M sf3-rf3 , M sa-rf3 , M ra-sf3 - les inductances mutuelles entre les phases statorique et rotoriq~e.

rt- Pour la machine idéale: r-Lsa = Lsf3 = Ls

Lra = Lrf3 = Lr ; (1.8)

Si M est l'inductance mutuelle entre les enroulements du stator et du rotor pour î}.:0 , alors on peut écrire:

Msa-ra = Msf3--rf3 = Mcos(0)

Msa-rf3 = Mrf3-sa = -M.sin(0)

Mra-sf3 = Msl3-ra ·= M.sin(0)

Pour les flux , on peut écrire:

'\j1 sa = L 5 .isa + M.c?s(0).ira - M.sin(0).irf3

'\jf sf3 = L 5 .is13 + M.sin(0).ira + M.cos(0).irf3

'\jf ra = Lr .ira + M:cos(0?.:isa '. M.sin(0).isf3;

'\j1 rf3 = Lr .irB + M.cos(0).is13 - M.sin(0).i5a

18

(1.9)

(l. l 0)

Les systèmes d'axes du stator « Us ~s » et du rotor « a. ~ » tournent l'un par rapport à l'autre avt:c la vitesse angulaire w : l'anglet} dépend de

r ffttc vitesse et varie en fonction du temps:

t

0 = f Wrdt ;

0

t (l.11)

Les systèmes d'équations (1.6) et (1.10) obtenus sont compliqués et d~pcndent des coefficients variables.

Pour simplifier la résolution du système d'équations de départ, on lui fait subir des transformations en remplaçant les grandeurs variables naturelles, ( courants, flux embrassés et tensions) par d'autres grandeurs variables plus commodes à utiliser; c'est à dire qu'il faut obtenir un système d'~quations différentielles avec des coefficients constants ..

A cet effet, on passe des axes naturels du stator ( « Us ~s » et du

rotor« u •. ~.»)aux axes réunis pour le stator et le rotor« U,V » qai tournent avec une vitesse quelconque Wcoor, [4].

..<: Le modèle de cette machine généralisée est représenté sur la fig.(1.8)

( Wcoor

Wsv

V

1 n esv

Usv l

Wrv

Wsu

Wru

1 nerv Urv l

1 u -

~-~ ~

1 eru

~-~ ~ru

0

Fig.(1.8). Modèle généralisé biphasé selon les axes UV.·

19

1'

1

1

1, 1

Le système d'axes de coordonnées tourne avec la vitesse Wrnor par rapport au stator et avec la vitesse (Wrnor-Wr) par rapport au rotor. Cependant, il faut cohsidérer dans chaque enroulement du stator et du rotor la force élcctrnmotrice supplémentaire « e ».

Du moment que le rotor est immobile par rapport au stator, 1 'inductance mutuelle ehtre les enroulements du stator et du rotor devient une valeur constante et les coefficients des dérivées des courants sont également constants.

'11.5. La transformation des équations différentielles.

On présente la grandeur de chaque enroulement (par exemple i. u, '\jf)

à l'aide de leurs projections sur les axes « U. V » qui tournent avec la vitesse w ... 11 par rapport aux axes d'enroulements:

tlux 'V·

« a-t~ » - les axes d'enroulements: « U. V » - les axes tournant avec Wrn,r·

u

~

. "' ' . I /-

/ /

( a.

iua

iva

Fig.(1.9). Passag~ du système « UV »au système« af3 »

Îa = iu cos()') - iv sin(y)

i~ = iu sin()')+ iv cos()') ( J.t2)

On procède de la même façon pour les valeurs des tensions U et des

20

-"fv&v-iî·'wln:. ' A.

Considérons le passage du système d'axes naturels (du stator «Us

l\11 » et du rotor « a, (3, ») aux axes réunis « U ,V » .. Nous pouvons écrire les expressions de U, 'V et· i des enroulements statorique et rotorique en tenant

rnmpte des angles formés par le système « U, V » et le système .. u."13' »("{!)et avec le système« a, (3, » (y2) , ainsi que de l'angle 0,

0=Y1-Y2; (1.13)

~s 0

~r

Fig.(1.10). Passage du système « UV >> aux système « « Cls,f3s » et « aR f3R >i

Les expressions des courants sont :

i sa = i su cos (y 1 ) - i sv sin (y 1 )

is13 = isu sin(')'1) + isv cos(Y1)

ira = i ru cos ( ')' 2 ) - i rv sin ( ')' 2 )

i~ = iru sin (')'2) + Ïrv cos(')'2);

Aussi on aura les expressions des tensions:

Usa = U su cos(')' 1) - U sv sin(')' 1)

U sj3 = U su sin ( ')' 1 ) + U sv cos ( ')' 1 )

21

(l.14)

,li.Ji.:

1

,!

,I 1

1:, !

·1 q : i,'

ii' il1

li 1i1 1: i:

'I

U ru = U ru cos (y 2 ) - U rv sin (y 2 )

U rP = U ru sin (Y2-) + U rv cos(y2)'

Par ailleurs, les expressions des flux:

'Il su ='JI su cos(y 1) -'l' sv sin (ylJ

'Il sf3 ='Il su sin (yl) + \jl sv cos(ylJ

'Il ra = 'l'ru cos(y2) -'l' rv sin (y2)

'Il rf3 ='Il ru sin (y2) + \jl rv cos(y2)

(1.15)

(I.16)

Pour détenniner les équations de tensions de!i enroulements du stator (avec l'angle yl ), il faut remplacer les expressions des courants, des tensions, etdesflux (1.14), (1.15), (I.16)dans (1.6):

Usu COS(Y1 )- Usv sin(Y1) = i5urs cos(y1.)- i5vrs sin(y1) +

d\jl su dy 1 . + --cos(y 1 ) - l1r . - sm}-rT/1 -

dt . . 'Y su dt \

d\j/ sv si11(y ) - 'Il dy 1 cos( y ) dt .. ' 1 SV dt 1

(1.17)

U su sin( y 1) + U sv cos( y 1) = isu r5 sin(y1) + i5v rs cos( y 1) +

d\jl su . dy 1 • 1 8 +--sm(y1)+\j/ 5u-COS(Y1)+ , ( .1 ) dt . dt

d\jl SV dy 1 • +--·-cos(y 1) -'l' sv -sm(y 1)

dt dt

Multiplions (1.17) par « cos(y1) » et (1.18) par « sin(y1) » et

faisons la somme des deux expressions ; après transfonnation , on obtient:

U su = i r + d\jl su dy 1 . sus ---\jl -dt SV dt (1.19)

22

_,'&*tfü:lt}\,

Multiplions (l.17) par « -sin(yi) » et (l.18) par «

additionnons ces expressions :

· d\jl SV dy J Usv = 'svrs +--+'l'su --

dt dt . ,,. De la même façon pour les enroulements rotoriques, on ob~-~ ...

Avec:

U - ,· d\j/ ru dy ru- rurr+---\j/ __ 2 dt rv dt

ul"\' =irvrr + d'l'rv +\j/ dy2 . dt ru dt '

~~1 =Waxr - la vitesse angulaire du système d'axes

« U, V » par rapport au stator immobile;

(l.21)

d;: =(Clbu- -W.-) - la vitesse angulaire du système d'axes

cc U,V » par rapport au rotor qui tourne à la vitesse w, par rapport au

11tator immobile.

:/t On obtient le système d'équations différentielles par rapport aux

axes« U, V »tournant avec la vitessew,00,:

- . d\j/ su Usu - !surs +~-'l'svWcoor

· d\jl SV U sv = lsv rs +~+'Il suWcoor

U . d\jl ru

ru = I ru r r + -- - 'Il rv ( W coor - W r ) dt

. d\jl rv U rv = 1 rv r r + -- + 'Il ru ( W coor - W r )

dt

23

(l.22)

/.

1 i

J

i,1

l

i,1lw.i (,,.,

!i'";, 11':' ,,

1 li 11 1

Les flux embrassés des enroulements sur les axes «U,V» sont:

'l'su =Lsisu +Miru

'l'sv =Lsisv +Mirv

V ru = Lriru +Mi su

V rv = Lrirv + Misv

d'où les eipressions suivantes des courants:

· 'l'suLr -vruM 1su = ~sLr -MZ

· 'If svLr -v rvM •sv =

2 LsLr -M

· V ru Ls - V su M •ru =

LsLr -M2

. V rv Ls ·- V sv M lrv =

-ILL -M 2 s r

(1.23)

(1.24)

(

En utilisant les expressions · (1.24), on peut écrire le système d'équations différentielles par rapport aux flux:

V K K ' <l'lfsu su = 1'1' su - 2'1' ru +--v svWcoor

dt

V sv = K 1'1' sv - Kz'lf rv + d'if sv +V suWcoor dt

d'if ru V ru = K3'1f ru -.K4'1f su + ili-'I' rv (Wcoor -(l)r)

d'if rv . Urv = KJ'lf rv - K4'1f sv + ili + 'l'ru(<Qçoor -(l)r)

où les coefficients :

.l.~Jb..ui

K - rsLr 1-

2 LsLr -M Kz = rsM

LsLr - M2

24

(1.25)

K3 = rrLs icL - M2 · s r .

K4 = rrM LsLr -M2

• On obtient un système d'équations différentielles de la machine électrique généralisée sur les axes « U,V » avec _des coefficients constants. Les axes« U,V »peuvent toµmer avec n'importe qu'elle vitesse wcoor

où

um

Les tensions statoriques sont définies par:

Us~·= U ms·è~Wos - Wcoor). t + 9os)

Usv = U ms sin [Cwos - Wcoor). t + 0os) ;

et pour lë rotor

Uru = U mr cos[(Wor + Wr -Wcoor). t + 0or) .

. [ ' ] ' Urv = U mr sm (Wor +(l)r -Wcoor). t + 0or

l'amplitude de la tension simple;

(1.26)

(1.27)

w0 s = 27tf s : la vitesse angulaire du champ électromagnétique du stator, ..

w = 21t. f : la vitesse angulaire du champ du rotor. or r

W coor : la vitesse angulaire de rotation du système d'axes

ù>r

905

9or

de coordonnées« U,V » par rapport au stator; , la vitesse angulaire de rotation du rotor.

- la phase initiale des tensions des' enroulements du

stator par-rapport aux axes « U,V »; la phase initiale des tensions des enroulements du

rotdr par rapport aux axes « U, V » . 1'

~ 1.6., Utilisation des différents systèmes d'axes de coordonnées de la machine électrique généralisée.

Pour étudier la théorie des processus transitoires des machi~s 6lectriques, on utilise trois systèmes d'axes de coordonnées qui sont des cas particulier du système d'axes« U,V >>., ,

25

' i 1

,, '

i i " .,,

!I d

!i

li

1°) Le système d'axes a,(3. Ce système d'axes est immobile par

'rapport au stator ( w = o ), fig.(1.11 ). Pour les formules (1.22), (1.25), coor

(1.26) et (1.27) il faut prendre w nulle et remplacer les indices U et V" ' coor

par a et ~:

Î a

Wsa ~----:, ~

( ffi.:oor=O

1 era

p , w,p . w,p Wm ( O-r w u •• :Ï A , ·. . Ur~ l er., (

Fig.(1.11). Système d'axes« af3 »

' - . d'if S(l

Usa -tsars+--dt

. d'if sf3 Us13 = lsf3rs +-. -

dt

. d'if ra U ra = 1rarr +--+'Il rf3Wr

dt

. . d'if rf3 U rf3 = lrf3rr +---'V raWr

dt

(1.28)

~Les tensions dans ce système varient en fonction du temps comme des valeurs sinusoïdales. Le courant i dans ce système est un courant

sa réel d'une phase statorique.kC'est un avantage pour ce système· tl'axes puisqu'il ne nécessite pas une transformation vers le système réel. Ce système peut être utilisé pour étudier les régimes de délnarrage et de freinage des machines à courant alternatif avec· le ·branchement de résistances supplémentaires au niveau, du circuit du stator. L'utilisation de ce système est possible pour les machines à courant alternatif et les transformateurs.

26

~ 2°) Le système d'axes d,q . Ce système d'axes est immobile par rapport au rotor tournant à une vitesse w , ( w =w ), fig.(I.12). De

r mT r

manière analogue, dans les formules (I.22), (1.25 ), (1.26 ), et (1.27) il faut passer au système d'axes d,q en prenant w = (!) et en remplaçant les

c o or r

indices U et V par d, q : t d

( csd

··-0-Wsd

Usd

W..·oor=W,

Wrd Urd

Wsq Wrq

q

Urq 1

0

ô csq

l'sq 1

Fig.(I.12). Système d'axes « dq ».

. d'if sù U sù = 1 sù r s + ~ - 'Il sq W r

11 • d'if sq

Usq =lsqrs +-d-+'lfsùWr 1 t

Usù = U ms cos[(Wos -Wr ). t + Oos]

Usq =Umssin[(w 0 s -Wr).t+0 0 s]

, U . d'if rù \ rù = 1rùrr +--. . dt

' U . d'if rq ~, rq = 1 rq r r + --

dt (I.29)

Urù =UmrCOS(Wort+Oor)

Urq =Umrsin(Wort+Onr>

*Le système d"axes d.q est utilisé pour étudier les processus

1rnnsitoires dans les machines synchrones et dans les machines asynchrones uvec une connexion non symétrique des circuits du rotor. Pour la machine

27

>_.i,

1 :1 i 1

I''

''!'1 1, !

'i ,(1

îii1

'1' 1

li !I'

il 'i!

11 1 ~,I, 11:r

!'

asynchrone la fréquence du rotor f ·et la vitesse angulaire du çhamp · or

sont nulles.. Par conséquent les tensions et les rotorique w = 27t. f or or

courants du rotor sont des paramètres continus .

~ 3°) Le système d"axes «'XY »: Le troisième système d'axes tourne avec la vitesse du champ électromagnétique créé par les enroulements du stator ( système « X, Y » avec Wç00,=w0.) Fig(l.13 ).

Ce système d'axes est immobile éiectromagnétique de la machine électrique .

par rapport au champ

Les équations de la machine électrique généralisée sur les axes « X,Y »sont:

:U . d'if sx sx = 1sx rs + -- - 'V syWos

' dt

. . d'if sy /~ · U sy = lsy rs + ili +'Il sxCilos

.~ ·1 ~

· d'if rx :. · Urx =•rxfr +---Vry(W.A..-Wr)

dt ~ ... . d'if ry

, Ury= lryrr +--+'l'rx(WllJrx -Wr) ' dt V";>

U sx = U ms COS 0 os

Usy = Ums sin~os

u rx = u mr cos[<wor + û)r - hlos) t + eor]

Ury =Umrsin[(w 0 r +wr -W0 s)t+00 r]

~

(I.30)

,..

y

1( Wsx

Wcoor=Wo,

Wr~· Wrx

{)esy

t:sy T () ('I~

t1r~ T

X c~x

0-l'sx

crx

0-l'n

0

Fig. (1.13). Système d"axes « XY »

L'utilisation du système d'axes «X.Y » est recommandée pour l1ludier les machines async:hrones . en partinilier les moteurs asynchrones à n>mmande fréquentielle car les tensions du <;tator sont des tensions continues cl ne dépendent pas de la fréquence du réseau .

Dans le cas général. le choix du syst0me d ·axes de coordonnées pour l'étude des phénomènes transitoires dans ks machines électriques dépend des conditions du problème posé .

W 1.7. Equations différentielles de la machine électrique généralisées sous forme complexe.

Pour étudier les phénomènes transitoires dans les machines étcct/iques . on utilis"e souvent des grandeurs complexes. 12] .

\ Faisons coïncider laxe réel avec laxe « U » et l" axe imaginaire

nvec l'axe « V »; alors:

'If S ='If SU+ j'lf SV

Is = isu + Hsv

lïs=Usu+jUsv

'If r ='If ru+ j'lf rv

Ir=iru\-jirv

ur=Uru+jUrv

Les tensions peuvent être pn!sentées sous forme complexe :

29

\

(1.31)

~ .,,

1:

: !.i 1 1

i 111.

t

11·1 r/1 ' !

11·

'" ,, "' l '/' :;.

i·,

üs = U m·ej0os.e.KCùos -wcoor)· t

ïir = Um·ej0cr .e.KCùcr+Cùr-Wccxr)· t (1.32

Le système d'équations différentielles sous forme complexe devien en utilisant les axes « U,V » tournant à une vitesse quelconque Wcoor

d-- -; "'s ·-us= Is·rs+--+ J'l's·Cùcoor dt d~

- . 'V r . ·- ( ) Tir= ir·rr+ili+ J'I' r· Cùcoor~wr

(1.33

Si on utilise un autre système d'axes de coordonnées , il faU! remplacer, dans le système (1.33), la vitesse correspondante à ce nouvea système d'axes . Par exemple , pour les axes « a,~ » où w coor = 0,

lïs= U 01 .c.Î0os.cÎ'•l"°.t d-

_ 7 . 'Ifs -is·fsT~

~ lïr= Um·ej0or.efüllor+wr).t;

( . - d'if = Îr·rr + __ r - J·w

dt "'r·Wr

Pour les axes« d,q »où <.ttuT=Wr :

lïs= Um·ej0os.ej<wos-wr).t

~7 d'ifs -is·rs+-.-+ l\lf~·O·

lll

iï r =V m .e j0or .e jwor"

_.,. d'lfr -ir·rr+--

dt

Et pour les axes « x. y » où Wcoor ==Cùr :

30

(l.33a

•

(1.33.b)

d-- u J·e - "'s ·-us= m·e OS::;>is·rs+--+J'lfs·Wos dt

iîr = Um·ej0or .ej(wor +wr-wos).t d-

= Ir·rr~ d'if r + j\jl r<Wos-wr) ' t •

(1.33.c)

~1.8. Les équations de la machine électrique généralisée triphasée

Pour étudier les processus transitoires dans une machine triphasée, il faut écrire les équations différentielles pour chaque enroulement cJu stator et du rotor selon le modèle présenté sur la fig(l.2) en axes réels (A.B.C pour le stator et a.b.c pour le rotor), [ l ]

u sA = i sA . r s + d 'Il sA dt

u sB = i sB . r s + d 'If sB dt

u sC = i sC . r s + d 'V sC •. . dt

u -· d'if ra - Ira. r r + ----1.!!. dt

u rb = i rb . r r + d 'V rb dt

u -· d'if rc-ircrr+~ dt

( 1.34)

Dans ces équations les flux embrassés représentent les sommes des nux dus à l'inductance propre de chaque phase et des inductances mutuelles entre celle ci et les autres phases :

""'

31

,.------_

I'

! 1

1

11'

1

' !1 1

' il· 'I'

'i'' i' ' il'

1

,. ·' l 1

i'·.

I ·

l'i

liL 1

1

'" '"

'V sA = LsisA + M>AB isB +MAC isC +

+ M Aa ira+ M Ab i rb + M Ac i rc

'V sB = LsisB + M AB isA + M BC isC +

+ M Ba ira + M B b i rb + M B c i rc

'V sC = L si sC + MAC i sA + M BC i sB +

+ M Ca i ra + M C b i rb + M Cc i rc

'V ra= L ri ra+ M Aa i sA + M Bai sB +

+ M Ca i sC + M ab i rb + Mac i rc

'l'rb = Lrirb + MAbisA + M BbisB +

+ M Cb isC + M ab ira+ M be i rc

'V rc = L r i rc + M Ac i sA + M B c i s B +

+ M Cc i sC + M ac ira + M be Î rb

où L,. L,: inductances propres du stator et du rotor ; , ·.

(I.3

Mk-n - inductance mutuelle entre l'enroulement f' k » et I' enrouleme « n ».

Les inductances mutuelles entre les différentes phases et enroulements statorique et rotorique sont définies comme suit :

MAa = MB~Cc = M .cos0

( . 27t MAb = MBc = Mca = M .cos(0 +-)

3 47t

MAc=Msa=Mcb=M .cos(0+3)

MAB= Msc= MAc= Mab= Moc= Mac= M ' 27t .

cos-3

(1.36

où M- l'inductance mutuelle entre les différentes phases du stator et du rotor pour 0 =0 .

.Pour la machine idéale on ne tient pas compte des harmoniqu supérieurs du champ magnétique dans l'entrefer . Ainsi on calcul 1 inductancey' m~tuelles entre les différentes' phases du stator et ~u rot suivant le tableau (Tab. 1.1)

32

Stator Rotor Axes A B c a b c

Stator A (~. -CX5 M -0,5 M Ml M2 M3 B -0,5 M L~~,, -0,5 M M3 Ml M2 c -0,5 M -0,5 M Ls M2 M3 Ml

Rotor a Ml M3 M2 Li -0,5 M -0,5M. b M2 Ml ' M3 -0,5 M Lr ~0,5M c M3 M2 Ml -0,5 M -0,5 M Lr

Tab. 1.1.

Ml= M.cos0; M2 = M.cos(0+27r/3); M3 == M.cos(0+47r/3)

On obtient les équations différentielles de Ill machine généralisée triphasée sur des axes réels pour ie stator et pour le rotor. La résolution de ce système est difficile ; à savoir :

I. les systèmes (1.34) et (1.35) comptent un grand nombre d'inconnues (six phases du stator et du rotorY;

Q. Les coefficients régissants ces systèmes sont variables avec la position

Pour simplifier la résolution des équations (1.34) et (1.3~) , il faut utiliser les systèmes d'axes réunis triphasés pour le stator et pour ie rotor de la même manière que pour les systèmes biphasés. Les axes réunis triphasés cc U, V,T »-tournent avec une vitesse quelconque. Le modèle de la machine électrique généralisée triphasée selon« U,V,T »est présenté sur la fig.(1.14).

1 . •

-~~...__V

Usu esu

Î ùlroor UÎ-u

., V~~ ""ff ' ' T

esT

Fig.(1.14). Système.d'axes réunis triphasé« UVT » . De la même façon que pour la transformation de la macbi~­

blphas6e, on introduit pour la machine triphasée des forces élec~omotrices 33 .

_,..,---- ,,, .. ~~

1,1, 1

I'.' .:1

1'

1,'1 1

'1: •1111

1111

jlj'

H

i: i il j)' ,, il: Il !11 tt 1

1

supplémentaires « e » qui sont créées par la différence de vitesse entre 1 axes« U,V,T »et le stator-rotor.

Le système d'équations différentielles de .la machine électriqUI généralisée sur les axes «U,V,T» est;

. d "'su usu = isu·rs+-d-t--esu

. d \If SV usv = isv·rs +-d-- esv

. t

. d 'If sT UsT= IsT·rs+-d-t--esT

. d'lfru uru = Jru·rr +~-eru

. d'lfrv urv = Jrv·rr +~-erv

. d 'I' rT UrT = IrT·rr +-d-t--erT

Les force électromotrices supplémentaires:

w coor esu =('If sv - 'If sT>· ..f3

w coor esv=<'lfsT-'l'su> ..f3

w coor; e sT = ('If su - "'SV). ..f3 1

• 1 · w coor

e ru = ('If rv - 'If rT) · ..[3

w coor e ~v =('If rT - 'If ru>· ..f3

w coor e rT = ('If ru - 'If rv ). ..f3

Et les flux embrassés, en utilisant le (îab.1.1) avec 0 = 0 :

34

L

(1.37

(1.3

'If su= Ls isu - 0.5M.isv - 0.5M isT +

+ M iru - 0.5M irv - 0.5M irT

·'If SV= Ls isv - 0.5M isit- o.~ isT-1

- 0.5M irü + M irv - 0.5M irT

\If sT = LsisT - 0,5Mi 5u - 0,5Mi 5v +

+ MirT - 0,5Miru - 0,5Mirv

'If ru = Lriru - 0,5Mi 5v - 0,5Mi 5T +

+ Misu - 0,5Mirv - 0,5MirT

'If rv = Lrirv - 0,5Misu - 0,5Mi 5T +

+ Misv - 0,5Miru - 0,5MirT

'V rT = LrirT - 0.5Misu - 0,5Misv +

+ MisT - 0,5Miru - 0.5Mirv

(1.39)

Pour modéliser la machine généralisée triphasée, on peut utiliser, de ln même façon que pour la machine généralisée biphasée, les différents référentiels;

a) - Les axes ( a,J3, y ) avec Wcoor = 0

b) - Le~ axes (.d, q, s) avec Wcoor = Wr;

c) - Les axes (X, Y, Z) avec Wcoor = Wos ·

En choisissant le système d'axes avec une vitesse Wcoor concrète,

on peut utiliser les équations (l.37), ( 1.38) et (1.39) en changeant les indices dnns les équations.

tJI: Le modèle triphasé est utilisé pour étudier les phénomènes dans les machines électriques avec plusieurs harmoniques de forces magnétomotrices dans l'entrefer et avec des tensions non sinusoïdales; de même que pour les machines asymétriques.

Pour les autres cas, il est recommandé d'utiliser le modèle biphasé car celui ci est plus simple et plus commode.

Les paramètres rotoriques dans les modèles biphasé et triphasé sont des paramètres ramenés.

Cependant, les machines électriques réelles sont des machines ayant plusieurs phases et enroulements. Par ronséquent il est nécessaire. d'utiliser ln méthode du passage d'un système polyphasé °(par exemple triphasé ) au 1ystème biphasé et inversement.

35

,,.-----._

'li .1

1:

1'1:

i ,. ,, jLl,i:

,1

1 "''

l,<1

·i ,1

i: ,. 1

1.9. Passage d'un système triphasé au système biphasé et inversement.

La condition de passage du sysfème triphasé au système biphasé est la création d'un champ électromagnétique tournant avec des forces magnétomotrices égales.

Prenons le vecteur du courant 11 qui est proportionnel à la force 1

magnétomotrice créée par les courants de toutes les phases. Admettons que les axes triphasés sont immobiles par rapport au stator, mais que les axes biphasés tournent avec la vitesse Wcoor. Projetons le vecteur de courant I 1

sur les axes triphasés ( A, B, C ) et sur les axes biphasés ( U, V ), Fig(l.15):

où:

A u

c

Fig.(1.15 ). Passage du système triphasé au système biphasé.

I 1 - le vecteur courant; iA; i8 ; ic - les projewtions du courant 11 sur les axes

triphasés; lu; lv - les projections du courant I 1 sur les axes

biphasés; ô - l'angle entre le vecteur courant 11 et l'axe de la

phase A;

~·

• 0 = J W coordt - 1' angle entre les systèmes d'axes

biphasé ~t triphasé; w - la vitesse angulàire de rotation du système d'ax.es biphasé

coor par rapport au système d'axes triphasé.

A partir de la Fig.(1.14), les projections sur les axes triphasés:

l A = 11 COS Ô

ta= 11 cos(ô+ 2

7t) 3

. . 47t l c = 1 1 c 0 s ( ô + _\ 3 '

cl pour les projections sur les axes biphasés:

iu = 11co8(0-ô)=1 1 cos(wcoort-ô)

iv =-1 1 sin(0-ô) =-1 1 sin(wcoort-ô)

A partir de (l.40) et (l.41) , en tenant compte de

l 2rt 2rt 1

2 cos0cosô + cos(0- -) cos(ô - -) +

cos(0 -ô) = - · · 3 3 . 3 ""' 2rt 2rt + cos(0 + -. -) cos( ô + -)

3 3

.. · 2

lsin0cosô+sin(e-2;)cos(ô-

2;)+1

• ll0(0-ô) = -• 3 . 2rt 21t + sm(0 +-)cos(ô +-)

' 3 3

on obtient:

\ . 2 [· 8 . (8 2rt . (n 4rt ] )' •u = J 'A cos +15COS +3)+•cCOS 0+3) ;

,, . 2 [· . 8 . . <8 2rt) . . <8 4rt )] tv =-- 1A sm +1 8 sm +- +1csm +-1. . 3 . 3 3

3"1

"'""~-·- ~

(1.40)

(1.41)

'(I.42)

' .. \:

1

:11:

' 11,I ,1

1

1 1

1

1'

"l'','i 1· ,1·

11

1

1

1 1 11: ri,1,,: ii

i'

ltl 1

'I ,i

,1

X.

Il faut ajouter à (1.42)) 'expression du courant i0

:

. . 1 (. . . ) lu=- lA +1s+1c ;

3 . Les formules (I.42) et (I.42a) sont utilisées pour

système triphasé au système biphasé sous forme de matrice:

cose lu

· 1 2 ly =-l-sin0 . 3 10 1 ]

2

cos(0 + 27t) 3

- sin(0 + 27t)

1 3

2

47t cos(0+-)

/ 3 iA 47t .

-sin(0+-) la 3 .

I 1c 2

La matrice A est appelée matrice de PARK

cose . 2

IAI = 3j-·Wi8 1

2

cos(e + 2rt) 3

-sin(e+ 2rt)

1 3

2

cos(8 + 4rt) 3

- sin(8 + 4rt -)

1 3

2

(I.42a) •

le passage du 1

(I.43)

J (I.44)

Pour la transformation inverse, c'est à dire pour le passage du système biphasé au système triphasé (qui peut être le système réel), il faut utiliser la matrice inverse:

cose

IA -11=lcos(0+27t) 3

47t cos(0+-)

3

-sine . (0 27t -sm +-)

3 . (0 47t -sm +-)

3

J. (I.45)

t Si le système d'axes biphasé est immobile par rapport au système d"axes triphasé, c'est à dire pour le système« a-f3 »la vitesse de rotation

des axes·,est nulle w""" = O; on obtient la transformation de CLARK et la matrice de CLARK :

·'8

- l.. - l..

IB 1J1-2 2

X 0 - .J3 ../31 \ 3 2 2

(1.46)

1 1 1 2 2 2

et

0

1B- 1l=l-i · -f li : (I.46a)

_ l. J3 2 2

En utilisant (I.46) et (l.46a) on passe d'un système triphasé au

système biphasé:

la iA

i J3 = IBI. IB (1.47)

io ic

et inversement, on passe du système biphasé au système triphasé par:

""' iA la

IB = IB -.11. i 1 . (I.47a)

J3 ic io

La même transf,ormation de Park définira leS,.çourants, les flux et les tensions d'ax~s (uvo). Cette transformation faite de l'égalité des amplitudes ne conduit pas à l'équivalence· des puissances. La transformation de Park s'applique généralement au système (dqo).{ t'• )\

Unè seconde transformation s'impose. La transformation modifiée de Park repose sur l'invariance des puissances instantanées dans les deux systèmes d'axes (abc) et (dqo), ce qui conduit, de toute évidence, à leur

~valence physique.

39

' ,...-- •.w. ... 1il:>

1

... 1.11

'1·1·,

,,l11i '

11· 1,

i(

';, !

::1 1

111

il! ,i·

11

ri ' 1,

I' 11", ...

~'

I,

'1 1 ili

Il 1111

:111:,

ji

11 .i

,.,.,

La matrices de passage de Park n'est pas orthogonale. En divisa chaque vecteur colonne par sa nonne on obtient une matrice orthogonale di~.

1.'~lransfonnation de Park modifiée. ··

cos0

[ ] - FI/-sin0 A P - ·fj r;:; • 1 I v2

cos(0+~n13) -sin(0+2n/3)

11 Ji

cos(0+4n13)

-sin(0+4n13)

11 Ji

cos0

[Ap-IJ=~/ cos(0+2n/3)

cos(0+4n13)

-sin0

- sin(0+2n13)

- sfo(0+4n13)

11 J2 li J2 11 Ji

(1.48)

Honnis linvariance de la puissance, cette nouveJle transfonnatio conduit a des schémas où les inductances sont réciproques.

Lorsque les sommes des composantes réelles (abc) sont nulles l'équation traduisant la composante homopolaire, toujours vérifiée c identiquement nulJe, devient inutile.

Un résultat fondamental de cette transfonnation appliquée au régim_, sinusoïdal pennanent : si le repère dq tourne· à la vitesse de synchronism les courants Î<t et iq sont constants.

1.10. Equation du mouvement de la machine électrique généralisée.

Pour étudier les phénomènes transitoires électromécaniques avec une vitesse rotorique variable (par exemple le <;lémarrage, le freinage, la variation de Ja charge à l'arbre, etc .•. ), il faur ajouter l'équation. du mouvement au. système d'équations différentielles (1.25), [3};

ol)

dO Ce -est =J-; (1.49)

dt

Ce - le couple électromagnétique de la machine; Cst ~Je couple ré!istanf (statique) à l'àrbte de la machine; J ~ fe moment d'inertie; ·

Q - la vitesse angulaire dÙ rotor ,ou la vitesse mécanique du rqtor;

• 40

La vitesse électrique du rotor,

(l)r = p.Q '(I.50) (

où: p - le nombre de paires de pôles.

, Dans les équations différentielles (1.25) , on utilise seulement l~ valeurs électriques ( angles, vitesse de rotation) c'est pour cela qu'il faut coordonner la vitesse dans l'équation (1.49) et la vitesse dans le système (1.25):

Ce :__ C _ J dw st __ ___L

p dt (1.51)

Dans la théorie du champ électromagnétique des machines électriques, le couple électromagnétique intervenant dans l'équation (1.51) s'exprime par la dérivée partielle de stockage d'énergie électromagnétique par rapport à l'angle géométrique de rotation du rotor:

aw aw Ce == . == P ; a 0 géom a 0 élect.

(1.52)

Pour la machine électrique biphasée, ~lectrqmagnétique est de la ronne :

l'expression . de è\ 'éne~gie

1 ( . • W = 2 '\jf SU 'l SU + '\jf SV • l SV +

(1.53)

+ 'I' ru • i ru + 'I' rv • i rv )

Considérons la puissance absorbée par la machine dans un système d'axes U,V, tout en négligeant les composantes homopolaires:

où

·~

·.,, •• ui.i.L....·.

Pa== Usuisu + Usvisv;

· d'if su Usu =='surs+-- -'\jl svWcoor

dt

U · d'if SV sv == lsvrs + ~ + 'I' suWcoor

'41 .

(1.54)

_... (1.55)

~ • i~ ~

r

.,,

En remplaçant Usu et Usv par leurs ~lpressions dans (1.54), on obtient: ~ t ~ '

P .2 d'l'su . .

a =rslsu +--·-lsu -'l'svlsuWcoor + dt

· 2 d'\jl SV · • + rslsv +--Isv + 'I' su 1svWcoor

dt

( d'\jl SU • d'\jl SV • ) ( • • \,,, +

= --Isu +--Isv + 'l'sulsv -'l'sv 1suf"coor dt dt

( .2 .2 ') + rslsu + rslsv

L'expression (1.56) est composée de trois parties:

(1.56)

(d'l'su. d'l'sv. ) --Isu +--t·sv

dt dt - la réserve d'énergie électromagnétique

ou variation d'énergie;

('1' su isv - 'I' svisu ~coor - la puissance électromagnétique;

{rsiiu + rsi~v )- les pertes par effet Joule.

Sachant que Pern =Ce .Warr, o.~ obtient

c t! = ( '\jl SU j SV - '\jl SV i SU )

où

'V su = Ls.Îsu + M.iru

'V sv = Ls.Îsv + M.irv

En remplaçant '\jl su et '\jf sv par leurs expressions

Ce = M(iruisv - Ïrvisu) ..... ,

En tenant compte de (1.50), le couple devient,

Ce = P('I' suÏsv -'\jl sv isu)

(1.57)

(1.58)

(1.59)

L __ .. 42

Ce= pM(iruisv - irvisu) ; . (I.59a)

De manière analogue, on peut déterminer le couple en fonction des

paramètres rotoriques.

Détem1inons les courants en fonctions des flux;

'\jl su = L s · i su + M · Î ru

'l'ru = Lriru - Misu

Par soustraction, on obtient :

XL r

X M

'V su L r - 'V ru· M = ( L s · L r - M 2

) · i su

On obtient l'expression du couple en fonction des flux

M . Ce= p

2 ('l'ru'l'sv -'l'rv'l'su);

LsLr - M •

Pour la machine polyphasée ( m phases ) ramenée biphasée, il faut niultiplier toutes les expressions

"électromagnétique par le coefficient K= m/2 ; par exemple:

mp (. . . ) . C = 2 '\jl SU l SV - '\jl SV l SU '

( 1.60)

à la machine du ~ouple

(l.61)

On peut conclure que le modèle mathématique de la machine électrique 9énéralisée biphasée par rapport aux axes « U,V » tournants à une vitesse

CA> ,.00

r se résume comme suit:

~

43

~ ..

1

i.JJ, ;11

d'ljf su U su = k 1 '\jf su - k 2 'ljf ru + -- - W coor 'ljf sv

dt

d'\jf SV u SV = k 1 '\jf SV - k 2 'ljf IV + -- + w coor 'ljf su dt

d'ljf ru O=k1'1jfru -k4'\jfsu +---(Wcoor -Wr)'lj!IV

- dt

d'\jf IV 0 = k 3 '\jf IV - k 4 '\jf sv + ~ + ( W coor - W r )'ljf ru

C=k1

5('\jfsv'ljfru -'ljfsu'lj!IV)

dwr k 5 ( 'ljf SV 'ljf ru - 'ljf su 'ljf IV ) - c st = k 6 "dt

(I.62)

Les coefficients K 1, K2, K3 et K4 sont détermines par rapport à (I.2~) et

lll'·•k1

M . !

'~ i

Ks = p L L -M~ , s r

K6 =_:!_ p

( I.63)

Le système équations (I.62) peut être utilisé pour étudier les différents types des maèhines électriques.

1.1·•.":' :111 ~ 1.11. Modélisation des machines électriques en tenant compte de

'!• · · la non linéarité des paramètres.

" 1:: Les causes de là ~on linéarité des coefficients et des paramètres dans les machines électriques sont de différentes natures.

La résistance rotorique varie à cause de l'effet de peau, ; alors que le { : résistance statorique dépend de la température. Les inductances sont liées à

la saturation. Le moment d'inertie dépend de la fréquence de rotation. Les paramètres de la machine dépendent de la tension, de la charge, ... Dans le cas général, ils sont fonction du temps.

Pour la modélisation de la machine deux approches sont envisageables :

'1.

l) l'introduction de coeffitients non linéaires dans le système d'équations;

~ ·le remplacement de l'équation non linéaire par un nombre donné , d'équations linéaires avec des coefficients constants.

44

Le modèle spatial de la machine avec des coefficients non linéaires est présenté par la fig.(I.16).

.~~"-W.. Rs(t) L

( \·

Usa

1 Rs(t) Rr(t) (--Lr(t)

I,.s(t) Lr(t) Rr(t) _

~. ~ ~ ·. Ura

usp urp

Fig.(I. 16). Modèle non linéaire de la machine électrique.

Le modèle mathématique est de la forme :

Usa 1 1 r5 (t)+!!. Ls(t) !!_ M(t) 0 0 dt \ dt

d d M(t)Wr U I j -M{t) rr(t)+-L~(t) Lr(t)Wr

ru= dt dt IX d d

~: 11

-M(t)Wr -Lr(l)Wr rr(t)+-Lr(l) -M(t) . dt dt .

0 0 d d -M(t) rs(t)+-Ls(t) dt dt -

isa

iru XI

1 (1.64)

i rf3

tsµ j

~.

45

,,,.---- ~'· .. ~ ..•

111 "1111

1

li ' 1

;i il J

! ,1 111111 11111

"' . \, ;,!I

il)'

La non linéarité des paramètres dans le système d'équations fait ,, apparaître des spectres d'harmoniques de champ.

Chaque harmonique peut être représenté dans le modèle spatial par une paire d'enroulements sur le stator ou sur le rotor en lui appliquant une tension sinusoïdale d'amplitude et de fréquence correspondantes avec un déphasage défini.

1.12.Modèle de la machine généralisée en tenant compte de la saturation.

Pour minimiser le poids de la machine, au cours de le conception, le point de fonctionnement est choisi dans la zone du coude de la caractéristique de magnétisation.

Au cours de la variation de la tension, de la fréquence et de la charge le phénomène de saturation varie. ce qui influe sur les caractéristiques de la i machine. Pour obtenir des résultats de simulation plus précis , il est nécessaire de tenir compte de la variation temporelle des réactances propres

et mutuelles en régime transitoire ou étal:>.li : L = f1 (t) , M = f2 (t) et 10 '

= f 3 (t). ' ·Les réactances de fuite des enro.Aements statoriques et rotoriques ,

n'ont pas une même loi de variation ; par conséquent 1, et Ir varient différemment.

Comme approche de résolution, on suppose que les flux de fuite se referment à travers l'air et que les réactances de fuite statoriques et rotoriques ne dépendent pas de la saturation ; et que L et M varient suivant une même loi, [32]:

Ls (t) = M(t) + 10 s Lr(t) = M(t) + 10 r ; (1.65)

Le~ expressions du flux dans le repère a.~ seront de la forme:

'l'sa = Ls(t)isa + M(t)ira

'l's13=Ls(t)is13+M(t)ir13.

'l'ra =Lr(tlira +M(t)isa·'

'I' rf3 = Lr (t)j rf3 + M(t) Ïsf3

46

(1.66)

Posons

n>toriques

courant de magnétisation suivant

Le système d'équations des tensions devient:

Usa =rsisa +los~isa +~{M(t)imO:} dt dt

U513=rsisf3+1 0 s ~i 813 +~{M(t)im13} dt dt

Ura =rrira +lor~ira +~{M(t)ima}+wr[Lrirf3 +M(t)imf3] dt dt

(1.67)

U rf3 = rri rf3 + lor ~ Îrf3 + ~ {M(t)im13}- Ci>r (Lrira + M(t)i ma] dt dt

L'équation du couple,

fe = pM(t)[im13ira - imairf3];. (l.68)

Dans les machines électriques aux fuites importantes, on peut considérer comme non linéaire la variation de la réactance de fuite seulement

L8 (t)=M+l 05 (t); Lr(t)=M+lor(t) ; (1.69)

Le système d'équations des tensions prendra la forme suivante:

~

47

,,-----

r

11~,I

,i, "lt .. • (t

!'

L

Usa ~rs~sa +~{lasisa}+ M~ima . . dt . . dt

U sf3 = rsisf3 + ~{1 0sisf3} + M ~ imf3 dt dt ; (1.70)

Ura =rrira +~{lorircx}+M~ima +wr[Lrir13 +Mim13] dt dt ..

Ur13 =rrirf3 +~{10rir13}+M~im13-wr[Lrira +Mima] dt dt

1

Par rapport aux inductances mutuelles, celles de fuite ont une plus ,\ grande influence sur les valeurs chocs des courants, des couples , ainsi que " sur la durée du phénomène transitoire. La. présence de la non linéarité dans le système d'équations entraîne une variation très accentuée des paramètres au début du phénomène transitoire.

~ 1.13.L'effet de peau dans le modèle de la machine généralisée. La variation de la résistance des enroulements est due à la variation '

de la température, ou à· l'effet de peau au cours de la variation de la fréquence. En général, la variation de la résistance sous ) 'influence de la température est très faible et n'influe pas sur la dynamique de la mach'ine ; . contrairement à l'effet de peau.

Au cours de la variation de la vitesse , la fréquence du courant rotorique varie entraînant une distribution non uniforme de la densité du courant par rapport à la hauteur du conducteur situé dans J'encoche, (fig.1.17). Le courant dans le conducteur .( ou les conducteurs) varie par rapport à la hauteur de l'encoche à cause de la différence de réactances des conducteurs placés en bas et haut des encoches ( il y a variation de l'amplitude et de la phase du courant). La distribution de ~I par rapport à la hauteur de l'encoche est représentée sur la fig.(1.17) ; [ 32 ;33 ]

h

D 1 n D n-1

CJ CJ

b ·~

2

Al

Fig.(1.17). Distrib1,1tion du c:ourant par rapport " à la hauteur de l'encoche.

48

La variation de la résistance due à J 'effet de peau dépend du type d'enroulement, de la géométrie dés encoches, du nombre et des dimensions des :onduct~u~élémenta!res, du matériau ... etc. La réactance de fuite varie

11uss1 sous I'mfllience del effet de peau. Après avoir déterminé la loi de variation de 'ta .résistance et de la

réactance, le système d'équations peut être présenté sous la forme:

avec:;

. 1 U rs . M . 1 --- ---1 -'-1 sa-LP sa LPsa L ra

s s s

. l U r5 • · M . lsf3 = L P sf3 - L p ls~ -Llrf3

s s s

. rr . l A M . l =---1 --Cù --1 ra LrP ra p r Lr .sa

. rr . 1 B M . l A =---1 A --Cù --1 A r.., L P r.., p r L . s.,

r r

Ce = pM Os13ircx - isair13)

dCùr p -- =-(Ce -Cst)

dt J

M. \A= irf3 + Lr 1sf3 et

M. B -i +-•sa - ra Lr

(1.71)

La variation non linéaire de la résistance rotorique a une influence

directe sur le démarrage des moteurs .

~-

49

... l.i11_~,~ ... ,,-----