Modélisation d'ondes gravitationnelles

Ondes gravitationnelles dans des systèmes binaires à

grand rapport de masse

17eme journée CaSciModOT

RITTER Patxi

(LPC2E - MAPMO)

– p. 1/23

Plan

- Ondes gravitationnelles

- Modélisation dans le cas des EMRIs

- Optimisation du code de calcul

- Réaction de radiation

– p. 2/23

Ondes gravitationnelles

� Relativité Générale : Cadre formel décrivant l’interaction entre matière etgéométrie de l’espace-temps (Einstein 1915).

� Espace-temps : Variété différentielle décrite localement par les 10

composantes du tenseur metrique gµν obéissant à l’équation de champ

d’Einstein

Gµν�

gµν�

︸︷︷︸

Géométrie

=8πG

c 4Tµν�

gµν�

︸︷︷︸

Matière

– p. 3/23


� Onde Gravitationnelle (OG) : déformation de la courbure del’espace-temps qui se propage à la vitesse de la lumière.

� OG engendrées par le mouvement et la dynamique de la source.

– p. 4/23


� Onde Gravitationnelle (OG) : déformation de la courbure del’espace-temps qui se propage à la vitesse de la lumière.

� OG engendrées par le mouvement et la dynamique de la source.

� Mesure de variation relative de distance entre 2 points matériels (parinterférométrie).

b

b

t1

t2

L

L =1

2c (t2− t1)

Variation de la longueur L au passage d’une OG

δL/L ≈ 10−21 !!

– p. 5/23


Détecteur interférométrique VIRGO sur le site de Cascina, près de PiseCibles : TN binaire (5M⊙<M < 20M⊙), pulsar binaire (1.4M⊙).

Bande de fréquence : 10Hz - 1kHz

– p. 6/23


Laser Interferometer Space Antenna (LISA/NGO)

Cibles : TN super-massifs (106M⊙<M < 108M⊙), EMRIs.

Bande de fréquence : 10−4Hz - 0.1Hz

– p. 7/23

Modélisation, cas des EMRIs

Intérêt de la modélisation :

� Dans la technique de filtres adaptés on corrèle la sortie bruitée dudétecteur avec la forme d’onde prédite par la théorie ou patron d’onde.

� Le patron d’onde doit rester en phase avec la forme d’onde exacte aussilongtemps que possible.

– p. 8/23


� Trou noir (TN) : Objet compact formant une singularité de

l’espace-temps = degré de courbure infini

� Liens intimes entre trous noirs et OG

� TN et OG sont des distorsions de l’espace-temps (extrême pour le TN, minime

pour les OG)

� TN et OG sont tous deux solutions du vide des équations d’Einstein.

TN TN+OG

– p. 9/23


m∗≪M

M

– p. 10/23


– p. 11/23


� Extreme Mass Ratio Inspiral

� Perturbation de la métrique

gµν = g Trou Noirµν +hµν

hµν ∼O (m∗/M )

� Linéarisation des équations de champ

Gµν

h

g Trou Noirµν +hµν

i

=8πG

c 4δTµν

� Etoile supposée ponctuelle

δTµν = m∗

∫ +∞

−∞

δ(4)(xα−Xα(τ))d Xµ

dτ

d X ν

dτdτ

M

m∗≪M

X (τ)

� Décomposition sur une base d’harmoniques tensoriels

hµν =∑

ℓ,m

10∑

i=1

h(i )ℓm (r , t )Y(i )ℓmµν (θ ,φ)

– p. 12/23


Equation de Regge-Wheeler-Zerilli

�

−∂ 2

∂ t 2+∂ 2

∂ r ∗2−Ve /o(r )ℓ�

ψℓme /o

(r , t ) = F ℓme /o

(t )∂

∂ rδ (r −R(t ))+G ℓm

e /o(t )δ (r −R(t ))

�ψℓme fonction d’onde paire

ψℓmo fonction d’onde impaire

«

exprimées à partir des h(i )ℓm

� Discontinues à la position de la particule.

� Liées à l’énergie du système d Ed t

= 164

∑

ℓm(ℓ+2)!(ℓ−2)!

�

|ψℓme |2 + |ψℓmo |

2�

V ℓe /o

, F ℓme /o

,G ℓme /o

fonctions analytiques

r ∗= r +2M ln�

r2M−1�

coordonnée tortue

R(t ) trajectoire de la particule

−10 −5 0 5 10 15 20 25

r ∗ /2M

0.0

0.5

1.0

1.5

(2M/m

0)ψ

ℓm e

Re{ψ ℓme

}Im

{ψ ℓme

}

-100 -50 0 50 100 150

−0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

– p. 13/23


Exemple pour des orbites génériques�

t , R(t ), Θ(t ), Φ(t )

F ℓmo (t ) =8K

λR�

R2− f (R)2�

Aℓm

G ℓmo (t ) =−

8K

λRR

d Aℓm

d t−

8K

λ

�R

U 0

d

d t(U 0R)+�

R2− f (R)��

Aℓm

V ℓo (r ) = 2 f (r )

�λ+1

r 2−

3M

r 3

�

F ℓme (t ) =−8KR f (R) (R2− f (R)2)

λR +3MY ℓm

G ℓme (t ) =16K

RR f (R)

λR +3M

d Y ℓm

d t−16

K

λR f (R)ΘΦ∂φ

�

∂θ −cot Θ

�

Y ℓm +8KR2 f (R)2

λR +3M

�

Θ2 + sin2

ΘΦ2�

Y ℓm

−4K

λR f (R)�

Θ2− sin2

ΘΦ2��

∂ 2θ −cot Θ∂θ −

1

sin2Θ∂ 2φ

�

Y ℓm

+8KR2 [(λ+1)(6RM +λR2)+3M 2]

R(λR +3M )2Y ℓm −8K

f (R)2 [R2λ(λ+1)+6λRM +15M 2]

R(λR +3M )2Y ℓm

V ℓe (r ) =2 f (r )[λ2(λ+1)r 3 +3λ2M r 2 +9λM 2r +9M 3]

r 3(λr +3M )2

où K = (πm0 U 0)/(λ+1), λ= 12(ℓ−1)(ℓ+2), f (r ) = 1−2M /r et Aℓm =

�Θ

sin Θ∂φ − sin ΘΦ∂θ

�

Y ℓm– p. 14/23


t

r ∗

R∗(t )T

RO

UN

OIR

Différence finie d’ordre 2

Zone de discontinuité

R(χ) =p M

1+ e cosχ,

dχ

d t=

(p −2−2e cosχ)(1+ e cosχ)2

M p 2

r

p −6−2e cosχ

(p −2)2−4e 2

d Φ

d t=

(p −2−2e cosχ)(1+ e cosχ)2

p 3/2Mp

(p −2)2−4e 2– p. 15/23


� Cellules vides

bc

bc

bc

bcA

D

CBψℓmA =−ψℓmD +

�

ψℓmB +ψℓmC

��

1−∆r ∗2

2V (r )

�

+O(∆r ∗3)

� Cellules traversées par la trajectoire = zone de discontinuité de lafonction d’onde

bc

bc

bc

bcA

D

CBx

bc

bc

bc

bcA

CBx

D

bc

bc

bc

bcA

CBx

D

bc

bc

bc

bcA

CBx

D

ψℓmA =bψℓmB + cψℓmC +dψℓmD +∑

p+q<3

αpq

�

∂p

t ∂q

r ∗ψℓmx

�

+O(∆r ∗3)– p. 16/23


−50 0 50 100 150

r ∗ /2M

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

1300

t/2M

−0.5 0.0 0.5

Re{ψ 22e (r ∗ =400M,t)

}

Exemple pour une orbite elliptique (e = 0.5) dans le cas du mode

quadrupolaire (ℓ,m ) = (2,2)

– p. 17/23


−8 −6 −4 −2 0 2 4 6x

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

y

0 100 200 300 400 500 600

u/2M

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

(2M/m

0)ψ

22

e

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20x

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

y

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

u/2M

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

(2M/m

0)ψ

22

e

−4 −2 0 2 4x

−4

−2

0

2

4

y

0 100 200 300 400 500 600

u/2M

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

(2M/m

0)ψ

22

e

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4x

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

y

0 50 100 150 200 250 300 350

u/2M

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

(2M/m

0)ψ

22

e

−6 −4 −2 0 2 4 6x

−6

−4

−2

0

2

4

6

y

500 600 700 800 900 1000

u/2M

−0.5

0.0

0.5

(2M/m

0)ψ

22

e

−40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40x

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

y

0 500 1000 1500 2000

u/2M

−0.5

0.0

0.5

(2M/m

0)ψ

22

e

– p. 18/23

Optimisation du code de calcul

Code en C (lib. GSL pour fonctions spéciales, syst. linéaires, ODE et

harmoniques sphériques)

Cas de l’équation homogène (cellules vides).

�

−∂ 2

∂ t 2+∂ 2

∂ r ∗2−V (r )ℓ�

ψℓm (r , t ) = 0

Stages étudiants au LIFO encadrés par S. Jubertie

� version C++

� Optimisation des routines de

calcul

� SSE

� Threads Open MP

� CUDA

Gain de plus d’un ordre de grandeuren temps de calcul Ref. opt. SSE parall. CUDA

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

– p. 19/23

Réaction de radiation

d 2xα

dτ2+Γ

αβγ

d xβ

dτ

d xγ

dτ= 0

– p. 20/23

Réaction de radiation

d 2xα

dτ2+Γ

αβγ

d xβ

dτ

d xγ

dτ= −

1

2

�

g αλ+uαu λ��

2∇µhλν −∇λhµν�

uµu ν

– p. 21/23

CONCLUSION

� Code permettant de générer les formes d’ondes à l’infini (sans réactionde radiation) pour tous types d’orbites.

� Code pour le problème de la chute radiale avec réaction de radiation.

PERSPECTIVES

� Finaliser le travail sur la réaction de radiation.

� Passer à l’évolution orbitale dans le cas d’orbites génériques.

� Jauge harmonique

– p. 22/23

Merci

– p. 23/23

Documents

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