Credit Agricole SA Direction des Risques du Groupe Groupe de Recherche Operationnelle1

Modlisation du risque de crdit e eDEA de Statistique et Mod`les alatoires en conomie et nance e e e Universit Paris 7 Universit Paris 1 e e David KURTZ2 & Thomas B. PIGNARD

Mots-clefs : Risque de crdit, mod`les structurels, mod`les ` forme rduite, copules, e e e a e produits drivs de crdit. e e e

1 2

Le Centorial, 18 rue du 4 septembre, 75002 Paris. david.kurtz@creditlyonnais.fr

Hey, teacher, leave those kids alone ! Pink Floyd, The Wall (1979)

REMERCIEMENTS

Merci ` Thierry Roncalli et Romain Camus pour leur aide. a

Table des mati`res e

1 Introduction 9 1.1 Zoologie des risques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Enjeux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Mod`les du risque de crdit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 e e 2 Produits drivs de crdit e e e 2.1 Le march des produits drivs de e e e 2.2 Les obligations risques . . . . . . e 2.3 Credit default swap . . . . . . . . 2.4 Les Basket Default Swaps . . . . 2.5 Collateralized Debt Obligations . crdit e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15 17 18 21 23

3 Introduction aux mod`les structurels e 27 3.1 Mod`le de Merton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 e 3.2 Mod`les de premier instant de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 e 4 Mod`les ` forme rduite e a e 41 4.1 Prliminaires mathmatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 e e 4.2 Evaluation des actifs risqus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 e 5 Dfauts corrls e ee 5.1 Produits drivs sur un panier de crdits e e e 5.2 Corrlation dans les mod`les structurels e e 5.3 Corrlation des intensits . . . . . . . . . e e 5.4 Corrlation des instants de dfaut . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 54 56 57 58 65 65 65 66

6 Mod`le Hybride : le cas des obligations convertibles e 6.1 Caractristiques des obligations convertibles . . . . . . . . . . . . . . . e 6.1.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 6.1.2 Utilisation des obligations convertibles . . . . . . . . . . . . . .

8

Table des mati`res e

6.2 6.3

6.1.3 Obligations convertibles et options . . 6.1.4 Les dterminants du contrat . . . . . . e 6.1.5 Inuence des variables de march sur le e Modlisation du risque de crdit . . . . . . . . e e Implmentation des mod`les . . . . . . . . . . e e 6.3.1 Les arbres multinomiaux . . . . . . . . 6.3.2 Les quations aux drives partielles . e e e 6.3.3 Synth`se des obligations convertibles . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . prix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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66 67 67 68 69 70 71 72 77 77 78 79 79 80

A Thorie gnrale des processus e e e A.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . e e e A.2 Temps darrt et tribus associes . . e e A.3 Les tribus optionnelles et prvisibles . e A.4 Temps darrt prvisibles . . . . . . . e e A.5 Classication des temps darrt . . . e

B Formule dIt avec sauts o 83 B.1 Processus ` variation nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 a B.2 Les semimartingales simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 C Rappel sur les diusions 93 C.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 C.2 Diusions avec sauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 C.3 Diusion ane avec des sauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 D Les fonctions copules 99 D.1 Denitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 D.2 Les copules archimdiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 e E Dmonstration du Lemme 3.1 e 105

CHAPITRE

1

Introduction

Ces notes constituent le support dun cours de DEA concernant la modlisation e du risque de crdit. Les deux principales sources qui ont servi de base ` lcriture de e a e ce texte sont [11] et [2]. Le but de ce cours est de prsenter quelques outils et concepts qui peuvent servir e de base ` la modlisation du risque de crdit ; il est plus spciquement orient vers la a e e e e valorisation des produits dont la valeur dpend du risque de crdit auquel il est expos. e e e Les mod`les et techniques prsents peuvent nanmoins tre utiliss aussi bien pour la e e e e e e mesure que pour lvaluation du risque de crdit 1 . Les avances thoriques autour de e e e e la modlisation du risque de crdit est lun des facteurs qui ont rendu possible lessor e e dun march des produits drivs de crdit. e e e e Le dveloppement du march des produits drivs de crdit, qui a atteint cette e e e e e anne un encours total denviron 2300 milliards de dollars, a rvolutionn en retour la e e e gestion du risque de crdit ainsi que lingnierie nanci`re qui lui est lie. Les gestione e e e naires de portefeuille et les investisseurs disposent dsormais dinstruments nanciers e permettant le transfert ecace du risque de crdit. Dapr`s Alan Greenspan, la diue e 2 sion des risques que gn`re ce march des produits drivs de crdit augmenterait la e e e e e e rsistance de lconomie mondiale aux chocs systmiques comme laurait prouv son e e e e bon comportement face aux rcentes faillites dEnron et de WorldCom. e Dans ce chapitre introductif et apr`s avoir rappel quels sont les principaux risques e e auxquels sont confronts les institutions nanci`res, nous expliquons quels sont les e e enjeux de la modlisation du risque de crdit. Nous prsentons alors, bri`vement, les e e e e deux grandes classes de mod`les du risque de crdit : les mod`les structurels et les e e e mod`les ` forme rduite. e a eAutrement dit, ces techniques servent aussi bien sous la probabilit historique que sous une e probabilit risque-neutre. e 2 et donc la mutualisation1

10

Introduction

1.1

Zoologie des risques

On distingue traditionnellement quatre grands types de risques nanciers [11] : 1. Le risque de march. e Le risque de march peut se dnir comme le risque de perte li aux variations des e e e conditions de march (prix, taux, taux de change, volatilits, etc...) e e 2. Le risque de crdit. e Le risque de crdit est dni comme le risque de perte li ` lvolution de la qualit e e ea e e de la signature dun metteur. On peut distinguer deux types de risque de crdit : e e le risque de contrepartie et le risque de rfrence. Pour un metteur donn, ce risque ee e e peut se matrialiser sous la forme e du changement de sa note (upgrade ou downgrade) telle celle mise par les e grandes agences de notations Moodys et Standard & Poors, dune variation de son spread de crdit, e dun vnement de crdit (credit event) tel le dfaut de paiement ou la restruce e e e turation de sa dette. Ces trois risques sont, bien videmment, corrls. Une augmentation brutale du niveau e ee du spread metteur augmente la probabilit dun vnement de crdit. De la mme e e e e e e mani`re, un changement de notation inue fortement sur la probabilit du dfaut dun e e e metteur. e Lorsque A entre en relation avec une contrepartie B via un instrument nancier, il peut tre soumis au risque que B soit dans limpossibilit dhonorer ses engagements. e e Par exemple, si A est en possession dune obligation mise par B, il court le risque e qu` maturit B ne puisse lui rembourser le capital investi. On parle dans ce cas de a e risque de contrepartie unilatral puisque B nest pas soumis au risque de crdit de A. e e Si A et B sont les deux contreparties dun swap, ils sont tout deux soumis au risque de contrepartie : on parle alors de risque de contrepartie bilatral. e Supposons maintenant que la qualit de la signature des contreparties A et B e soit de qualit innie (de sorte que le risque de contrepartie bilatral soit nul). Les e e parties A et B peuvent entrer dans un contrat qui fait intervenir le risque de crdit e 3 dune troisi`me contrepartie C . Le risque de crdit associ ` C est appel risque de e e ea e rfrence. Nous verrons que le but des produits drivs de crdit est le transfert de ce ee e e e risque de rfrence. ee La distinction entre ces risques nest pas toujours aise : le risque de crdit li ` e e ea la variation des spread de credit default swap peut tre considr comme un risque e ee de march. Les portefeuilles de produits drivs OTC sont, bien videmment, soumis e e e e aux risques de march mais ils sont aussi exposs au risque de contrepartie. e e 3. Le risque de liquidit. e Il sagit, pour une entreprise, du risque de ne pas pouvoir mobiliser ` un instant a donn assez de liquidits pour pouvoir faire face ` ses engagements. Voir [11] pour un e e a supplment dinformation. e 4. Le risque oprationnel. eun credit swap dont le payo dpend de loccurrence dun vnement de crdit est un exemple e e e e de tel contrat.3

1.2 Enjeux

11

Dans cette catgorie sont regroups, par exemple, les risques de fraude, derreurs e e des oprateurs, de pannes des syst`mes, etc... Pour plus de dtails, voir [26]. e e e

1.2

Enjeux

Le risque de crdit peut tre dni, en premi`re approximation, comme le risque e e e e de perte li au changement de la qualit de la signature dune contrepartie. Toutes e e les institutions nanci`res (ainsi que tout les acteurs du march) accumulent une e e grande quantit de risque de crdit : soit directement par lintermdiaire de leurs e e e portefeuilles de crances, soit indirectement sous la forme de risques de contrepartie e dans leurs portefeuilles dactifs et de produits drivs OTC. e e Lenjeu que reprsente la modlisation de ce risque est donc tr`s important : il e e e sagit de pouvoir mesurer le risque de crdit contenu dans les portefeuilles, e valuer les instruments nanciers sensibles au risque de crdit et, plus e e gnralement, tout instrument expos ` ce risque (risque de contrepartie), e e ea et ce ` un niveau agrg. Il est, en eet, important de pouvoir contrler lexposition au a e e o risque de crdit contrepartie par contrepartie ainsi que lvolution de cette exposition e e par secteurs gographiques et industriels. De telles pratiques permettent, par exemple, e de rduire le risque de concentration. e La production de rsultats quantitatifs robustes permet alors ` linstitution e a concerne e dallouer ` chaque centre de prot un capital conomique adquat, a e e dvaluer la performance des centres de prot au regard des risques pris, e de fournir des informations ables sur son intgrit nanci`re aux rgulateurs, e e e e aux investisseurs et aux agences de notation, de diversier et rduire le risque en imposant, par exemple, des limites ` lexe a position au risque de crdit par contrepartie. e La mise en place de tels processus de gestion du risque correspond ` lvolution de la a e rglementation prudentielle et aux trois piliers du nouvel accord de Ble (sur ce sujet, e a nous renvoyons le lecteur ` [26] pour plus de dtails). a e

1.3

Mod`les du risque de crdit e e

Dans cette section, nous exposons les approches classiques de la modlisation du e risque de dfaut ` partir de ltude du concept central dobligation zro-coupon risque e a e e e (cest-`-dire soumise au risque de dfaut). Il existe deux grandes familles de mod`les a e e dvaluation de la dette risque : e e les mod`les structurels, e les mod`les ` forme rduite. e a e Nous mentionnons aussi les mod`les de corrlation dinstants de dfaut qui sont e e e ncessaires ` lvaluation des produits drivs exotiques de crdit ainsi que les mod`les e a e e e e e dit hybrides dont le but est de permettre lvaluation prcise du risque de contrepartie e e des portefeuilles de produits drivs OTC. e e

12

Introduction

Dans la suite, nous nous plaons dans le cadre de lvaluation risque-neutre des c e actifs nanciers : nous supposons donns un espace probabilis ltr (, F, P, (Ft )t0 ) e e e sur lequel est dni le processus des taux dintrt instantans (rt )t0 et une probabie ee e e lit risque-neutre P . Rappelons qualors la valeur des actifs contingents4 est calcule e comme lesprance sous cette probabilit de ses ux futurs actualiss au taux sans e e e risque. Une obligation zro-coupon (sans risque) est un actif qui paye 1 ` sa maturit T . e a e La valeur B(t, T ) de cet actif est B(t, T ) = E exp tT

r(s) dst

.

Si le risque de contrepartie de lmetteur du zro-coupon nest pas nul, lvaluation du e e e zro-coupon doit tenir compte de la possibilit du dfaut de celui-ci : deux nouveaux e e e risques entrent en jeu linstant du dfaut, e la perte en cas de dfaut (Loss Given Default). e La perte en cas de dfaut sexprime en terme dun taux de recouvrement ventuellee e ment alatoire et dune hypoth`se de recouvrement. Noter que ces hypoth`ses de e e e recouvrement, que nous prsentons maintenant, stendent immdiatement ` dautres e e e a actifs que les zro-coupons risqus. Nous notons D(t, T ) la valeur en t du zro-coupon e e e risqu de maturit T et linstant du dfaut de lmetteur de ce titre. e e e e Lhypoth`se de recouvrement la plus courante sappelle fractional recovery of par e value et consiste en le recouvrement ` linstant du dfaut dune fraction du nominal a e du titre. Dans ce cas, on a D(t, T ) = E e tT t

r(s) ds

I{ >T } + e

t

r(s) ds

I{tT } + I{tT } + e

t

r(s) ds

D( , T )I{t t] = t + o(t).

En pratique, on peut faire dpendre cette intensit de dfaut dun certain nombre de e e e variables conomiques (tels les taux dintrt) et/ou de variables lies ` lentreprise e ee e a (telle sa notation). Noter que ces mod`les sont couramment utiliss pour lvaluation e e e des produits drivs de crdit. e e e Dans le chapitre 4, nous gnralisons considrablement le mod`le poissonnien : e e e e nous traitons le cas gnral o` lintensit de dfaut est un processus stochastique en e e u e e donnant un sens prcis ` lexpression e aPt (t, t + dt] > t = t dt.

Nous verrons que lintensit de dfaut est intimement lie au spread metteur courte e e e terme s. Plus prcisment, nous montrerons que sous lhypoth`se de recouvrement e e e fractional recovery of market value, on a s(t) = (1 )(t),Par exemple, cette volatilit est plus forte pour une entreprise travaillant dans le secteur des e nouvelles technologies que pour une entreprise des secteurs traditionnels. 7 www.moodyskmv.com. 8 Autrement dit, suit une loi exponentielle de param`tre > 0. e6

14

Introduction

o` est le taux de recouvrement de lobligation considre. Cette galit fondamentale u ee e e est connue sous le nom dgalit du triangle. e e

Dfauts corrls e eeLvaluation des produits drivs de crdit exotiques9 tels les CDO10 et les TDP11 e e e e ncessitent la modlisation de la structure de dpendance qui existe entre les instants e e e de dfaut (1 , . . . , N ) de N entreprises. e Il existe, pour lessentiel, deux mani`res de modliser cette dpendance : e e e en choisissant une structure de co-dpendance pour les rendements instantans e e des processus de valeur des entreprises, en spciant la corrlation entre les intensits des instants de dfaut. e e e e Ces questions seront abordes en dtail dans le chapitre 5. Nous y prsentons aussi e e e quelques applications concr`tes de ces techniques. e

Mod`les hybrides ee Lvaluation du risque de contrepartie ou celle de produits mixtes12 ncessite la e mise en place de mod`les prenant en compte lvolution jointe de dirents facteurs e e e de risque : les taux dintrt, les taux de change, les cours des actions, lintensit de ee e dfaut des entreprises. Nous donnons un exemple de tels mod`les dans le chapitre 6 e e consacr aux obligations convertibles. e

Par opposition aux produits vanilla que sont les Credit Default Swap. Collateralized Debt Obligations. 11 Tranche Default Product. 12 cest-`-dire dont la valeur dpend de plusieurs facteurs de risques. a e10

9

CHAPITRE

2

Produits drivs de crdit e e e

Dans ce chapitre, nous prsentons les principaux drivs de crdit. Nous y dcrivons e e e e e leurs payos et donnons quelques indications sur leur intrt nancier. ee Apr`s un rapide tat des lieux du march des drivs de crdit, nous dcrivons les e e e e e e e caractristiques du Credit Default Swap (CDS), qui constitue le produit ` la vanille de e a ce march. Les CDS sont ` la base de produits exotiques plus complexes, et sont utiliss e a e ` la fois en tant que produits de couverture (diversication du risque, couverture dun a risque en prservant la relation commerciale, rduction du risque de concentration, e e transfert du risque de crdit (balance sheet CDO),...), et dinvestissement (long dun e risque de crdit ` laide dun instrument hors-bilan, eets de levier, cration de position e a e de crdit synthtique (CDO synthtiques),...). Enn, nous prsentons les produits de e e e e corrlation les plus courants : les nth -to default, et les Collateralized Debt Obligations e (CDO). t Dans la suite, r dsigne le taux sans risque, B le processus t exp 0 r(s) ds et e linstant de dfaut dune entreprise. e

2.1

Le march des produits drivs de crdit e e e e

Le march des produits drivs conna une croissance exponentielle depuis le dbut e e e t e des annes 1990. Pour xer les ides, prcisons tout de suite que le nominal total des e e e encours sur produits drivs de crdit est de 2306 milliards de dollars (Risk Magazine e e e 2003) en augmentation de plus de 50% par rapport ` lanne derni`re. La standara e e disation des CDS est devenue une ralit grce aux nouvelles normes et dnitions e e a e 1 e ee e mises en place par lISDA [16]. Lanne 2003 a t marque par les faits suivants : gnralisation de lutilisation des produits synthtiques, accroissement de la liquidit e e e e sur les produits de corrlation (cotation bid-ask de tranches synthtiques), croissance e e1

International Swap & Derivatives Association.

16

Produits drivs de crdit e e e

du march des credit default swaptions (credit option). Ils reste, cependant, de nome breux probl`mes ` rsoudre. Citons, par exemple, le besoin de liquidit sur le court e a e e et le long terme de la courbe de crdit qui se fait parfois sentir et les mthodologies e e de calibration de taux de recouvrement qui demandent ` tre amliores. ae e e Lessentiel de lencours se rpartit sur : les credit default swaps (73%) et les proe duits sur paniers de crdit (22%), en particulier, les nth -to-default swap ` hauteur e a de 0.3% et toutes les transactions synthtiques tels les CDO (Collateralized Debt Oblie gations) et les TDP (Tranche Default Product). Le reste de lencours est constitu de e Credit Linked Notes, de Total Rate of Return et de Spread Option.Total agrg des encours sur produits drivs de crdit

Credit Default Swaps Portfolio Transaction Total Return Swaps Credit Linked Notes Credit Spread Options Divers

Fig. 2.1 Rpartition des encours sur produits drivs de crdit. e e e e Le march vanilla (celui des credit default swaps) est essentiellement concentr e e sur lAmrique du nord et lEurope. Le point de plus grande liquidit est celui des e e CDS de maturit comprise entre 4 et 6 ans sur des signatures investment grade. Cette e rpartition gographique est intressante compte tenu du fait quelle ne correspond pas e e e ` celle des obligations (la proportion dobligations europennes est signicativement a e plus faible). La croissance de ce march est en partie due ` la demande toujours plus e a forte de produits permettant de couvrir les positions synthtiques (CDO). e Les banques sont les principales utilisatrices de produits drivs de crdit. Ceci e e e est d ` leur utilisation massive des CDS pour couvrir leurs portefeuilles de crances ua e 2 e e e et leurs positions synthtiques . Lactivit de couverture engendre par lmission de e CDO synthtiques a, pour la premi`re fois, permis de satisfaire ` la demande dachat e e a de protection provenant des gestionnaires de portefeuille de crances. Les principaux e investisseurs dans les positions synthtiques restent les compagnies dassurance : elles e dtiennent 65% des TDP et 81% des CDO de bilan3 . Les hedge funds participent e dsormais activement ` ce march : ils sont, par exemple, rguli`rement acheteurs de e a e e eUne position synthtique est une position de crdit courte ou longue (cest-`-dire acheteuse ou e e a vendeuse de protection) obtenue ` partir dun portefeuille de CDS donc sans prt eectif de capital. a e 3 Ces produits sont mis par les banques qui veulent couvrir le risque de crdit de leur portefeuille e e de crances en vue de rduire leur charge en capital conomique. e e e2

2.2 Les obligations risques e

17

Rpartition des utilisateurs de produits drivs de crdit

Bank

Insurance

Re-Insurance

Hedge Funds

Asset Managers

Corporates

SPV

Fig. 2.2 Rpartition des utilisateurs de produits drivs de crdit. e e e e

CDS pour leur activit darbitrage dobligations convertibles. e

2.2

Les obligations risques e

Outre les prts traditionnellement accords aux entreprises, une part importante e e du march de la dette risque consiste en obligations mises par les entreprises et e e e certains tats. Contrairement aux prts, les obligations schangent sur les marchs e e e e organiss et sont ainsi soumis au risque de march (risque de taux), au risque de crdit e e e (risque de contrepartie) et, dans une certaine mesure, au risque de liquidit. e Le rendement de ces obligations est, en gnral, suprieur au rendement dobligae e e tions identiques dont le risque de contrepartie est considr comme nul (par exemple, ee les obligation du Trsor pour les pays de lOCDE). La dirence de rendement ou e e spread est une prime demande par le march pour prendre en charge les risques de e e e a e contrepartie et de liquidit4 inhrents ` linstrument. On distingue, pour un metteur e donn, le spread calcul ` partir dobligations ` taux xe de celui cot dans les oblie ea a e gations ` taux variables. a Noter que les obligations peuvent prsenter des caractristiques particuli`res : elles e e e peuvent tre rappels par lmetteur avant maturit (callable bond), tre convertible e e e e e en actions (convertible bond).

En pratique, il est dicile de modliser le risque de liquidit. On consid`re souvent, en premi`re e e e e approximation, quil est pris en compte dans le spread de crdit. e

4

18

Produits drivs de crdit e e e

2.3

Credit default swap

Description du produitLe credit default swap (CDS) est le plus simple des produits drivs de crdit et e e e doit tre considr comme la brique de base (ou le sous-jacent) des produits drivs e ee e e plus exotiques. Le CDS permet le transfert de risque de crdit de rfrence dune entreprise C e ee (entit de rfrence) entre deux contrepartie A et B. Dans le contrat standard, lune e ee des parties en question, disons A, ach`te une protection contre le risque de perte en e cas de dfaut de lentit de rfrence C. Ce dfaut est dclench par un vnement de e e ee e e e e e crdit formel spci dans le contrat. Cet vnement peut tre la faillite de lentreprise, e e e e e e un dfaut de paiement ou la restructuration de sa dette. e La protection est valable jusqu` la maturit du swap. En change de cette proa e e tection, lacheteur A verse priodiquement (en gnral, tous les 3 mois) au vendeur e e e B une prime et ce jusquau dfaut de C ou jusqu` maturit du swap. La jambe du e a e swap correspondante est appel premium leg. e Si le dfaut intervient avant la maturit du swap, le vendeur de protection eectue e e un paiement ` lacheteur de protection. Ce paiement quivaut ` la dirence entre a e a e le nominal de la dette couverte par le swap et le taux de recouvrement observ ` e a linstant du dfaut. Ce paiement peut tre eectu selon deux modalits : physical e e e e settlement ou cash settlement. Dans le premier cas, lacheteur de protection A livre au vendeur de protection B un nombre dobligations mises par C correspondant au e nominal du swap et reoit en retour le nominal du swap pay en cash. Dans le deuxi`me c e e cas, un paiement en cash qui correspond au pair moins le taux de recouvrement est eectu par le vendeur de protection B vers lacheteur de protection A. Ce taux de e recouvrement est calcul ` partir de cotations obtenues quelques temps apr`s que le ea e dfaut se soit produit. e La prime (aussi appel spread ou marge) qui annule la valeur du CDS est dite ` e a la monnaie (fair margin ou fair spread ou simplement spread).s(T1 T0 ) s(T2 T1 ) s(Ti Ti1 )

0

T1

T2

Ti 1

Ti+1

TN = T

Fig. 2.3 Un credit default swap.

Soient T0 la date dentre dans le swap, T sa maturit, T0 < T1 < < TN = T e e les dates de paiements, le taux de recouvrement en cas de dfaut et s la valeur de e

2.3 Credit default swap

19

la marge. Le payo (pay en T ) correspondant ` la jambe xe scrit e a eN 1

(Ti+1 Ti )i=0

BT BT I{ >Ti } + ( Ti ) I{Ti+1 >Ti } . BTi+1 B

tandis que le payo associ ` la jambe variable scrit ea e 1 BT I{ T } . B

Evaluation de la marge dun CDSUn raisonnement simple dabsence dopportunit darbitrage permet dobtenir une e premi`re approximation du spread (fair margin) dun credit default swap. Nous noe tons C lentit de rfrence. e ee Considrons les deux portefeuilles suivants : e P1 long dune obligation ` taux variable mise par C de spread U a e court dune obligation ` taux variable sans risque a P2 court dun credit default swap sur C de spread S

Nous supposons que toutes les obligations et le CDS considrs ont mme maturit, ee e e mme dates de tombe de coupon et mme nominal. Nous supposons aussi que le e e e dfaut ne peut intervenir quimmdiatement apr`s une tombe de coupon. e e e e Les cash-ows gnrs par le portefeuille P1 sont dcrits dans la gure 2.4. Ils e ee e correspondent ` une position acheteuse de protection sur un CDS de spread U . Les a deux portefeuilles P1 et P2 tant ` cot dentre nul, on a ncessairement par absence e a u e e dopportunit darbitrage U = S. e Ainsi, en premi`re approximation, la fair margin dun CDS est gale au spread e e dune obligation ` taux variable (FRN = oating rate note) de mme maturit et a e e ayant les mmes dates de tombe de coupons. e e Remarque. Lgalit prcdente nest pas toujours observe dans la pratique. Ceci e e e e e est du au fait que les hypoth`ses implicites ` notre raisonnement5 ne sont pas toujours e a vries. e e Remarque. Ce genre de raisonnement nest valide que pour dterminer la marge ` e a la monnaie dun CDS. Pour dterminer sa valeur en cours de vie (NPV = net present e value) qui nest plus ncessairement gale ` 0, il faut avoir recours ` un mod`le. e e a a e Exemple. (Pricing dun CDS.) Nous considrons un CDS de maturit T . Nous supposons que le taux de recouvrement e e en cas de dfaut , le taux dintrt sans risque r et le taux de dfaut > 0 sont e ee e constants. Linstant de dfaut suit une loi exponentielle de param`tre : e eP[ > t] = et .telle labsence de cot de transaction (spread bid-ask) sur le march du cash et des obligations u e ` taux xes a5

20

Produits drivs de crdit e e esi + u 0 T1 s1 T2 s2 Ti si 1 u 0 T1 u T2 u u u Ti

s1 + u

s2 + u

P1

P2

1

Fig. 2.4 Synth`se dun CDS. e On cherche ` calculer la marge s qui annule la valeur du CDS ` lorigine. En a a considrant que la prime est paye jusquau dfaut, et sans tenir compte du coupon e e e couru, la valeur de la jambe xe scrit : eN 1

JF (s) = si=0 N 1

(Ti+1 Ti )E erTi+1 1{ >Ti+1 } (Ti+1 Ti )e(r+)Ti+1i=0 t

=s s0

e(r+)u du

=s

1 e(r+)T . r+

En supposant que le ux variable est pay ` linstant doccurrence du dfaut, la e a e valeur de la jambe variable est : JV = (1 )E er 1{ T }T

= (1 )0

e(r+)u du

= (1 )

1 e(r+)T . r+

Le fair spread s est tel que JF (s ) = JV soit s = (1 ).

2.4 Les Basket Default Swaps

21

Cette galit est connue sous le nom dgalit du triangle e e e e Exercice. (Credit Default Swap et risque de contrepartie.) On consid`re 3 contreparties A, B et C. La contrepartie A entre dans un credit default e swap avec la contrepartie B sur lentit de rfrence C. Nous supposons que A est e ee acheteur de protection ; que le taux sans risque est constant et gal ` r ; que le taux de e a recouvrement associ ` lentit C est RC ; que les intensits de dfaut des rmes B et C ea e e e valent B et C respectivement. On suppose de plus que la distribution jointe risqueneutre des dfauts (B , C ) des entit B et C est modlise de la mani`re suivante : il e e e e e existe trois variables alatoires indpendantes V, TB , TC suivant des lois exponentielles e e de param`tres , lB et lC respectivement telles que e B = min(V, TB ), C = min(V, TC ).

(1) Quelles conditions faut-il imposer aux param`tres pour que les hypoth`ses sur les e e intensits de dfaut soient vries ? e e e e (2) Calculer la survie jointe des instants de dfauts (B , C ). e (3) On suppose que le ux associ ` la jambe de dfaut est pay ` la n de la priode ea e ea e en cours pourvu que B ne fasse pas dfaut dici l` et que les ux associs ` la jambe e a e a de prime soient pays ` la n de chaque priode pourvu que ni B, ni C naient fait e a e dfaut. Calculer le fair spread. Donner en une expression approche et interprter ce e e e rsultat. e (4) Question subsidiaire. Calculer la copule associe ` la loi du couple (B , C ). e a Nous allons ` prsent nous intresser aux produits crits sur des paniers de crdits : a e e e e th les n -to-default et les Collateralized Debt Obligations.

2.4

Les Basket Default Swaps

Lintrt premier des paniers dactifs risqus est de pouvoir utiliser leur corrlation ee e e pour restructurer le risque de crdit dun portefeuille ` laide de plusieurs nouveaux e a titres par le truchement dun mcanisme de redistribution. La taille des portefeuilles e considrs peut varier de cinq ` plusieurs centaines de sous-jacents de crdit. ee a e En gnral, le mcanisme de redistribution ralloue les pertes dans lordre de leur e e e e arrive : certains titres supportent les premi`res pertes, et sont donc plus risqus que e e e dautres supportant des pertes plus lointaines. Ces mcanismes exposent les investise seurs ` la tendance quont les metteurs ` faire dfaut ou ` survivre ensemble. On a e a e a modlise gnralement cette co-dpendance des instants de dfaut par une corrlation, e e e e e e cest pourquoi on parle de produits de corrlation. e Le produit de corrlation le plus simple est le Basket Default Swap (nth -2-Default), e dont la composition typique comporte de 5 ` 10 crdits. Ce produit est dit idiosyna e cratique, car lidentit du dfaut, et donc ses caractristiques doivent tre connues : e e e e 1. le principe du swap est identique ` celui du Credit Default Swap ; a 2. seule change la dnition de lvnement de crdit qui devient le dfaut du e e e e e i`me e n crdit du panier. e

22

Produits drivs de crdit e e e

Nous allons ` prsent tudier deux cas particuliers ` titre dexemple : les First et a e e a Second-to-Default.

First-2-Default

(n = 1)

Dans ce cas, le vendeur de protection touche un spread plus important que celui pay par nimporte quel metteur du panier. En eet, ce spread est proportionnel ` la e e a probabilit darrive de lvnement de crdit multiplie par la perte en cas de dfaut. e e e e e e e Or, en supposant que le panier est homog`ne (i.e. que la perte 1 i = 1 , o` les e u i et reprsentent les taux de recouvrement, est identique pour chacun des actifs i), e on remarque que : P[1 T ] P[i T ], i. Linvestisseur obtient un eet de levier en augmentant le risque de crdit du produit. e Le risque reste cependant limit au pire cas, cest ` dire au risque de lmetteur e a e ayant la plus mauvaise qualit de crdit. Lvolution du spread des First-to-Default e e e en fonction de la corrlation est ngative. e e

Second-2-Default

(n = 2)

Pour ces produits, lvnement de crdit est le deuxi`me dfaut du panier. Le risque e e e e e pour linvestisseur tant moindre que dans le cas du First-2-Default, son rendement e lest galement. Contrairement au rst-to-Default, le spread dun Second-2-Default e augmente quand la corrlation augmente. e Par extension, beaucoup dautres produits sont envisageables (Third-2-Default, etc...)

Dterminants du spread dun produit sur basket e1. valeur de n : un FTD est par exemple plus risqu quun STD donc son spread e est plus lev ; e e 2. nombre de crdits : le risque dun Basket Default Swap augmente avec le e nombre de crdits ; e 3. qualit du crdit des metteurs ; e e e 4. maturit : leet de la maturit dpend de la forme des courbes de crdit des e e e e metteurs ; e 5. taux de recouvrement : son eet sur le prix est moindre car un taux de recouvrement plus lev est compens (` spread donn) par une probabilit de e e e a e e dfaut plus forte (ingalit du triangle) ; e e e 6. corrlation de dfaut : si la corrlation augmente, la tendance des crdits e e e e ` survivre ou ` faire dfaut ensemble augmente. Leet sur le prix est donc a a e fondamental, mais complexe. Ce dernier point souligne limportance des corrlations de dfaut entre les crdits e e e du panier. En eet, les Basket Default Swaps sont essentiellement des produits

2.5 Collateralized Debt Obligations

23

de corrlation. Le spread dun panier dpend donc sensiblement des hypoth`ses de e e e corrlation que lon fait. e En gnral, on suppose par exemple que les crdits dun mme secteur e e e e gographique et industriel sont plus corrls que ceux de secteurs dirents. On supe ee e pose aussi que le risque systmique est plus fort que le risque idiosyncratique, cest e ` dire que lon suppose que ces dfauts sont corrls positivement. Ces deux risques a e ee se re`tent dans les hypoth`ses de modlisation les plus couramment utilises. Le e e e e chapitre 5 sera consacr aux outils de modlisation de cette corrlation. e e e

2.5

Collateralized Debt Obligations

Les Collateralized Debt Obligations ou CDO sont des produits obligataires adosss e ` des dettes, rsultant dun mcanisme relativement complexe dingnierie nanci`re a e e e e ` appel titrisation (securitization). A partir dun panier de titres de dette (de 50 ` e a 10000 crances), lmetteur synthtise des actifs obligataires. Les CDO se distinguent e e e selon la nature de la dette sous-jacente : sil sagit de produits obligataires, on parle de Collateralized Bond Obligations ou CBO. Dans le cas ou le panier est constitu e uniquement de titres de prts, on parle de Collateralized Loan Obligations ou CLO. e Bien entendu, dans le cas gnral, le panier est mixte. Depuis sa cration dans le milieu e e e des annes 1990, le march des CDO na cess de se dvelopper. En 2000, il dpassait e e e e e les 100 Milliards de dollars dmission. Nous prsentons les enjeux du processus de e e titrisation ainsi que ses mcanismes, puis les techniques rcentes lies ` la gnration e e e a e e synthtique de tranches utilises en trading de corrlation. e e e

TitrisationLa titrisation est une technique de gestion de bilan consistant ` crer des produits a e obligataires ` partir dun ensemble de crances par le truchement dune entit juria e e dique particuli`re appele Special Purpose Vehicle (SPV). Un tablissement nancier e e e possdant un ensemble de crances ou de crdits aupr`s demprunteurs individuels ou e e e e institutionnels peut ainsi choisir de les titriser. Pour ce faire, il cre un SPV juridie quement indpendant, ` qui il vend ses crances. Cette tape est fondamentale, car e a e e elle lui permet, dune part, de transfrer le risque de crdit au SPV, et dautre part e e de retirer les crances titrises de son bilan. Enn, le SPV met les CDO (voir gure e e e 2.5). Les CDO mis comportent direntes tranches dinvestissement, chacune delle e e possdant une qualit de crdit, et donc une notation dirente : e e e e la tranche junior ou equity supporte les premi`res pertes sur lensemble de e crances. Il sagit donc dun produit tr`s risqu, payant un spread tr`s lev e e e e e e ` linvestisseur. Il sagit dun produit purement spculatif ; a e la tranche intermdiaire, dite mezzanine supporte les pertes au del` de la tranche e a equity, cest un produit moyennement risqu, orant un spread intressant ; e e la tranche senior supporte les pertes restantes, si elles ont lieu. Elle est la moins soumise au risque de crdit, et ore donc un coupon faible. e

24

Produits drivs de crdit e e e

e Emprunteurs emprunts, crdits Etablissement nancier

vente des crances e

Investisseursmission de CDO e

SPV

Fig. 2.5 Le mcanisme de Titrisation e Comme chacune de ces tranches porte sur un ensemble de crdits, leur valorisation fait e intervenir la corrlation entre les dfauts du panier. Nous laborderons plus en dtails e e e au chapitre 5. Il est ` noter que ltablissement nancier peut parfois conserver une a e partie du risque de crdit, ce qui amliore la notation des tranches. Alternativement, il e e peut aussi faire appel ` une compagnie dassurance externe pour augmenter la qualit a e du crdit. On parle alors de credit enhancement. e Lintrt de la titrisation est double : tout dabord, elle permet dconomiser ee e des fonds propres et ainsi damliorer leur rentabilit. En eet, tant donn que e e e e les crances titrises peuvent tre sorties du bilan, lexigence de fonds propres sera e e e moindre. De plus, la titrisation ore un acc`s simple et conomique au march nane e e cier ` des entreprises de faible notation, qui devraient autrement se renancer ` des a a cots prohibitifs. Elle permet lassainissement de leur structure de capital. u

Les produits synthtiques eDevant le dveloppement impressionnant du march des CDO et la demande de e e produits de corrlation de plus en plus forte de la part des investisseurs, des techniques e dingnierie nanci`re rcentes ont donn naissance au concept des CDO synthtiques. e e e e e De lutilisation originelle dans les stratgies de gestion de fonds propres, les CDO e deviennent peu ` peu des produits dinvestissement spculatifs. a e Le principe de la titrisation synthtique est de constituer des produits tranchs ` e e a partir, non plus dun ensemble de crdits ou crances, mais dun ensemble de CDS. e e Ceci revient ` dire que lorganisme metteur cr une exposition au risque de crdit a e ee e et de corrlation en prenant des positions sur un ensemble de CDS. La titrisation e synthtique peut donner naissance ` deux types de produits : e a 1. les CDO synthtiques en full capital structure sont des CDO classiques ` ceci e a prt quils sont crits sur un ensemble de CDS. Comme pour les CDO classiques, e e

2.5 Collateralized Debt Obligations

25

le risque de dfaut est enti`rement transfr aux investisseurs ; e e ee 2. les Tranche Default Products (TDP) consistent en lmission dune seule tranche e de CDO synthtique. Dans ce cas, lmetteur reste expos au risque de e e e corrlation, ce qui impose une gestion dynamique de cette corrlation par les e e traders, les positions deltas quivalentes tant values ` partir des spreads du e e e e a march et dun mod`le de co-dpendance. e e e Le dveloppement des produits synthtiques, et des TDP en particulier, ouvre des e e perspectives prometteuses dans le domaine du trading de corrlation, et renforce lime portance de la modlisation. e

CHAPITRE

3

Introduction aux mod`les structurels e

Les mod`les structurels sont des mod`les du risque de crdit o` une entreprise e e e u donne est considre en cessation de paiement lorsque la valeur de ses actifs ne sut e ee plus ` faire face ` sa dette. Dans cette approche initie par Merton (1974) [21], la a a e valeur de la dette est value ` laide de la thorie des options : laction de lentreprise e e a e et sa dette y apparaissent comme des produits drivs sur la valeur totale de ses actifs. e e La popularit de ce mod`le a permis la diusion des ides de Merton et a transe e e form en quelques dcennies la vision du risque de crdit. Le mod`le dvelopp par e e e e e e Moodys KMV [4] pour estimer les probabilits de dfaut ou le mod`le Credit Grade e e e de JP Morgan [22] sont de parfaites illustrations de cette tendance. Les mod`les ` e a la Merton sont toujours largement utiliss pour valoriser la dette risque, modliser e e e le spread de crdit, valuer la qualit dune signature, tablir des liens entre le risque e e e e equity et le risque de crdit, etc. e Apr`s avoir prsent le mod`le de base tel que lintroduit Merton dans son article e e e e fondateur, nous dcrivons, suivant Hull, Nelken et White [15], comment il peut tre e e implment. Nous tendons ensuite le mod`le de Merton dans la direction des mod`les e e e e e dits de premier instant de passage et traitons lexemple du mod`le Credit Grade de e JP Morgan. Les exemples retenus mettent en vidence le lien entre risque de crdit et e e risque equity.

3.1

Mod`le de Merton e

Dans le mod`le de Merton, laction et la dette dune entreprise sont considres e ee comme des produits drivs sur sa valeur de march et peuvent donc tre values e e e e e e dans le cadre de la thorie des options. Pour pouvoir appliquer cette thorie, il nous e e faut faire lhypoth`se de compltude suivante : il existe une classe dactifs (comprenant e e le cash) permettant de rpliquer les futurs cash-ows de lentreprise. Cette hypoth`se e e nous permet de justier la valorisation des actifs de lentreprise par absence doppor-

28

Introduction aux mod`les structurels e

tunit darbitrage. e Soit par A la valeur totale des actifs de lentreprise (A est la valeur de march de e lensemble des futurs cash-ows gnrs par lactivit de lentreprise) et nous suppoe ee e sons que ce processus satisfait ` lquation direntielle stochastique suivante (moua e e vement brownien gomtrique) : e e dAt = dt + dBt , At (, > 0),

o` B est un mouvement brownien unidimensionnel. Nous supposons aussi que les u propritaires de cette entreprise ont choisi de structurer son capital sous la forme e dactions (pure equity) et dun unique zro-coupon de maturit T et de nominal L e e (debt)1 . Le bilan dune telle entreprise est rsum dans le tableau suivant : e e Actif Actifs At = Et + Dt Passif Equity Et Debt Dt

Produits drivs sur la valeur des actifs de la rme e e` A maturit, si la valeur de lentreprise est infrieure ` la somme L due aux e e a dtenteurs dobligations (zro-coupon), nous considrons que la rme fait dfaut. Dans e e e e ce cas, elle passe aux mains des dtenteurs de sa dette qui ne rcup`rent quune portion e e e AT /L de leur capital initial. Ainsi, les dtenteurs dobligations reoivent min(AT , L) e c ` maturit tandis que les actionnaires peroivent le reliquat AT L + . a e cnoit c a 'l ed ru el a V200 250 300

200

Valeur liquidative

150

100

50

0 0 50 100 150

Fig. 3.1 Valeurs liquidatives pour une entreprise de dette 100. Notons Et et Dt les valeurs respectives en t des actions et de la dette et B(t, T ) la valeur en t dun zro-coupon sans risque de maturit T . Dapr`s la thorie des options e e e eCette hypoth`se simplicatrice nest que tr`s rarement vrie. En pratique, la structure de e e e e capital dune rme est inniment plus complexe et peut comprendre, par exemple, des portions de dette convertible en action.1

e tt e d al e d r u el a V

Valeur de la firme

3.1 Mod`le de Merton e

29

et en vertu de lhypoth`se de compltude, les processus E et D peuvent scrire sous la e e e forme de lesprance, sous la probabilit risque neutre, de leur valeur nale actualise. e e e Autrement dit, si nous avons Et = B(t, T )E (AT L)+ = At D(t, T ), t Dt = B(t, T )E min(AT , L) = B(t, T )L B(t, T )E (L AT )+ . t Posons Lt = B(t, T )L. Appliquer la formule de Black & Scholes permet alors dobtenir la formule de Merton pour la valeur de la dette risque : e (3.1) o` u ln(At /L) + (r + 2 /2)(T t) , T t d2 = d1 T t, d1 = etx 1 2 et /2 dt. N (x) = 2 La valeur de la dette appara comme celle dun zro-coupon au taux sans risque de t e nominal L auquel on retranche un put (appel put-to-default) sur la valeur de la rme e de strike L et de maturit T . La valeur de actions appara quant ` elle, comme celle e t, a dun call sur la valeur de la rme de strike L et de maturit T . e

Dt = At N (d1 ) + Lt N (d2 ),

Probabilits de dfaut et Loss Given Default e eLa formule (3.1) peut se rcrire ee D(t, T ) = Lt P AT L + E B(t, T )AT 1{L>AT } t t = Lt P AT L + At Pt AT < L , t e e a o` P est la mesure martingale quivalente pour le numraire A, cest-`-dire la probau bilit dnie par e e dP 1 AT = . A0 B(0, T ) dP Les probabilits de dfaut conditionnelles e e p := P AT < L , t t sont donnes par les formules suivantes e p = N (d2 ), t p = N (d1 ). t En utilisant ces notations, la formule de Merton devient Dt = Lt (1 p ) + Lt p t = Lt (1 p wt ), t t t

p := Pt AT < L , t

o` t est le taux de recouvrement (Recovery Rate) en cas de dfaut dni par u e e t

=

E AT 1{AT 0 ; Yt < 0 Appliquer le lemme prcdent ` Y y0 sut ` prouver : e e a a Proposition 3.2 La variable alatoire est distribu selon la loi gaussienne inverse. e e Plus prcisment, e eP s = P < s = N h1 (s) + e 2 y0 2

N h2 (s) ,

o` u h1 (s) = y0 + s , s h2 (s) = y0 s . s

Exemple. Nous considrons une entreprise dont la valeur A est dcrite comme dans e e le mod`le de Merton et nous supposons que linstant de dfaut de la rme se prsente e e e sous la forme = inf t > 0 ; At < v o` v est un rel infrieur ` A. u e e a Dans ce cas, nous avons :P > s At = N

ln(v/At ) (s t) v + At st

2a

N

ln(v/At ) + (s t) , st

o` u a= r 2 /2 = . 2 2

3.2 Mod`les de premier instant de passage e

37

Mod`le Credit Grade eDans ce paragraphe, nous prsentons un mod`le de premier instant de passage e e dvelopp par JP Morgan (Credit Grade, voir [22]). Nous avons choisi de prsenter ce e e e mod`le car il nous semble quil contient des intuitions puissantes sur ce que sont les e dterminants du risque de dfaut et les liens qui existent entre le risque de crdit et e e e le risque equity. Description du mod`le e Nous supposons que la valeur V dune entreprise est dcrite par un processus e satisfaisant ` lEDS a dVt = dWt , Vt ( > 0),

o` W est un mouvement brownien unidimensionnel et > 0 est la volatilit de V . Ici, u e V nest pas rellement la valeur de la rme mais plutt un indice mesurant lvolution e o e temporelle de la qualit du crdit de lentreprise. Dans ce mod`le, le dfaut est dni e e e e e comme le premier instant ou V atteint une barri`re LD o` e u (1) D est le ratio debt-per-share, (2) L est une grandeur alatoire reprsentant le taux de recouvrement moyen e e global en cas de dfaut. e e La variable L est suppose lognormale de moyenne L et dcart-type de sorte que e LD = LDeZ2 /2

o` Z suit une loi normale centre rduite. u e e La moyenne L et lcart-type sont estims historiquement en utilisant des e e donnes de taux de recouvrement telles celles fournies par Standard & Poors. Dans e [22], les auteurs mentionnent les valeurs L = 0.5 et = 0.3 obtenues ` partir des a donnes de dfaut de 300 entreprises amricaines (hors institutions nanci`res) entre e e e e 1987 et 1997. Le ratio debt-per-share D est obtenu en divisant le nominal de la dette globale par le nombre dactions mises par lentreprise. e Pour une valeur V0 donne, linstant de dfaut est donc e e = inf t > 0 ; Vt < LD , et si lon pose Xt = Wt Z 2 2 t , 2 2

u ee de sorte que Xt N (1/2A2 , A2 ) o` At = 2 t + 2 , cette formule peut se rcrire t t = inf t > 0 ; Xt < ln(LD/V0 ) 2 . Pour appliquer les formules prsentes dans le paragraphe prcdent (an dobtenir e e e e une formule ferme pour la structure par terme de probabilit de dfaut), les auteurs e e e

38

Introduction aux mod`les structurels e

proposent de remplacer Xt avec un mouvement brownien Yt de loi N (t, 2 t), o` u 2 t = A2 = 2 t + 2 et t = A2 /2. Dapr`s le lemme 3.1, lon a e t tP inf Ys > y = Nst2y t y t + y e 2 N t t

et en posant y = ln(LD/V0 ) 2 , lon obtient la formule P (t) := P[ > t] = N o` u V0 e d= . LD Remarque. Lon peut, au prix dune intgration supplmentaire, viter lapproxie e e mation (X Y ) prcdente. En eet, lon a e eP > t = P Ws 2 s/2 > ln(LD/V0 ) + Z 2 /2, s t+2

At ln d At ln d + dN , 2 At 2 At

= +

=

dz P Ws 2 s/2 > F (z), s t 2 F (z) 2 t/2 dz F (z) 2 t/2 eF (z) N N t t 2

o` u F (z) = ln LD 2 + z. V0 2

Remarque. Lintroduction dans un mod`le structurel dune barri`re alatoire ime e e plique que la probabilit de dfaut instantane nest plus nulle. Ceci conduit ` un e e e a spread court-terme non nul et permet de rsoudre lun des probl`mes inhrents aux e e e mod`les ` la Merton. e a Probabilit de dfaut et spread de crdit e e e Dans ce paragraphe, nous dsignons par spread de crdit la valeur de la marge e e dun Credit Default Swap qui annule sa valeur au moment de lentre dans le swap. e Autrement dit, le spread est donn par la formule e DF (0, s)P (ds) + 1 P (0) s(t) = (1 R)]0,t] t

. DF (0, s)P (s) ds

0

Il faut bien prendre garde au fait que R est le taux de recouvrement spcique au e titre couvert par le CDS et nest donc pas ncessairement gal ` L qui est un taux de e e a

3.2 Mod`les de premier instant de passage e

39

recouvrement moyen global. Typiquement, le taux de recouvrement pour une dette unsecured sera plus faible que L, alors que celui li ` une dette secured sera plus grand ea que L. Remarque. Si lon note 1 p(t) = ln P (t), t le taux de dfaut moyen et si lon suppose que e (1) p(t) p constant, (2) P (0) 1, alors lapproximation suivante est justie e s(t) (1 R)p.

Calibration du mod`le sur les donnes de march e e e Nous cherchons maintenant ` calibrer ce mod`le sur des donnes de march oba e e e servables (donnes equity). Soient S et S respectivement la valeur de laction et la e volatilit de laction de lentreprise considre. La mthode propose par JP Morgan e ee e e consiste ` examiner les conditions aux bords ` long terme sur une expression de type a a distance-au-dfaut pour les deux rgimes extrmes e e e pr`s du dfaut cest-`-dire S 0, e e a loin de la barri`re cest-`-dire S e a LD. Soit donc la distance-au-dfaut mesur en cart-type de V et dnie par e e e e ln V ln(LD) 1 V = ln . LD Reprendre le raisonnement qui nous a conduit ` la formule 3.3 permet dexprimer la a distance-au-dfaut sous la forme e V S V (3.8) = ln . S S V LD = Nous allons tablir les conditions aux bords pour . Pr`s du dfaut (S 0), nous e e e avons S V S + o(S 2 ) = LD + + o(S 2 ) V V (S = 0) + S En utilisant lquation prcdente et (3.8), on montre que lorsque S 0 e e e = 1 + o(S). S

Lorsque S LD, on suppose que S/V 1 (ce qui est cohrent avec le comportement e dun mod`le de Merton standard). Par suite, e S 1 ln , S LD (S LD).

40

Introduction aux mod`les structurels e

Lexpression la plus simple pour qui satisfasse simultanment ` ces deux conditions e a aux bords est = S + LD S + LD . ln SS LD

En comparant lquation prcdente avec (3.8) nous sommes conduits ` e e e a V = S + LD, et donc V0 = S0 + LD. Finalement, lon obtient = S

S , S + LD

pour une valeur de laction gale ` S et sa volatilit (historique ou implicite) correse a e pondante. La formule suivante pour la probabilit (risque neutre) de dfaut ne fait plus e e intervenir que des variables observables P (t) = N o` u A2 t = S

At ln d At ln d + dN , 2 At 2 At

S S + LD

2

t+ ,

2

S + LD 2 d= e . LD

CHAPITRE

4

Mod`les ` forme rduite e a e

Nous prsentons dans ce chapitre les bases de la modlisation du risque de dfaut e e e ` laide de mod`les ` forme rduite. a e a e Apr`s avoir pos les fondations mathmatiques des mod`les ` forme rduite, nous e e e e a e nous plaons dans le cadre des mod`les doublement stochastiques. Conditionnellement c e ` linformation de march, les instants de dfaut y apparaissent comme le premier a e e instant de saut dun processus de Poisson. Nous verrons que cette proprit est au ee coeur de la tractabilit analytique de cette approche. Nous terminons ce chapitre par e des exemples dapplications lorsque lintensit de dfaut est un processus ane (cf. e e appendice C).

4.1

Prliminaires mathmatiques e e

Dans cette section inspire de [2], [7] et de [29], nous prsentons les dnitions e e e et rsultats mathmatiques qui sous-tendent la thorie des mod`les ` intensit. Elle e e e e a e se veut lmentaire et cest pourquoi nous nentrons pas dans toutes les subtilits ee e techniques. Pour plus de dtails sur la thorie gnrale des processus, nous renvoyons e e e e ` lannexe A. a Dans la suite, (, F, P, G = (Gt )t0 ) dsigne un espace probabilis satisfaisant aux e e conditions habituelles. Toutes les ltrations considres dans la suite sont, elles aussi, ee supposes vrier les conditions habituelles. e e

Dnitions eNous introduisons la dnition suivante qui est centrale dans la suite : e Definition 4.1 Soient un temps darrt de la ltration G et N le processus t e Nt = 1{ t} . On dit que le processus G-adapt et positif = (t )t0 est l intensit (ou e e

42

Mod`les ` forme rduite e a e

taux de hasard) de sit t

Nt 0

1]]0, ]] (s)s ds = Nt 0

s ds

est une (G, P)-martingale. Remarque. Si est dterministe, ceci revient ` dire que est le premier instant de e a saut dun processus de Poisson dintensit . e Intuitivement, cette dnition signie que, conditionnellement ` la ralisation de e a e lvnement { > t}, on a e eP (t, t + dt] Gt = t dt.

Le rsultat suivant [1] formalise mathmatiquement cette derni`re galit. e e e e e ` Theoreme 4.2 Soient ( n )n0 une suite de rels strictement positifs dcroissant e e 1 vers 0 et Yn une version mesurable du processus Yn (t) = n P t < t + n |Gt . Sil existe deux processus et y tels que, pour tout t, la limite t = limn Yn (t) existe ett

|Yn (s) s | ys , s t et0

ys ds < + p.s ,

alors est lintensit de . e Nous utiliserons ce rsultat dans le prochain chapitre de la mani`re suivante : si la e e survie conditionnelle S(t, T ) = P > T Gt est un processus susamment rgulier, e alors lintensit de est donne par e e t = S(t, T ) T .T =t

Remarque. Par analogie avec la dnition des taux courts, on peut interprter e e comme un spread instantan : e rt = B(t, T ) T .T =t

Exercice. Soit une variable alatoire exponentielle de param`tre > 0 : par e e dnition, on a P[ > t] = exp(t). Montrer que dans la plus petite ltration e dans laquelle un temps darrt, admet pour intensit le processus constant gal ` . e e e a Soit un temps darrt tel que P[0 < < +] > 0. Si la ltration G est e engendre par un mouvement brownien (disons W ), le temps darrt ne peut pas e e admettre dintensit. En eet, dans le cas contraire, on pourrait trouver un processus e prvisible H tel que e t t

M t = Nt 0

(s) ds =0

Hs dWs ,

4.1 Prliminaires mathmatiques e e

43

ce qui est absurde car sur lvnement {0 < < +}, on aurait alors M = 0. En e e fait, pour quun temps darrt admettent une intensit, il faut quil soit totalement e e inaccessible (cest-`-dire quil arrive comme une surprise totale). A contrario, les temps a darrt dune ltration brownienne sont prvisibles et sont donc annoncs par une srie e e e e de signes avant-coureurs. Nous nous intressons dsormais ` la situation o` la variable alatoire est un e e a u e temps darrt dune ltration plus grande que celle dans laquelle est dnie son taux e e de hasard. Nous supposons donc que F = (F)t0 est une ltration telle que Ft Gt . Lutilisation de ce cadre peut se justier de la mani`re suivante : supposons que e linstant de dfaut est dni par un mod`le structurel brownien. Pour les agents ayant e e e acc`s ` linformation de cette ltration (disons le conseil dadministration de lentree a prise et ses managers), linstant de dfaut est un temps darrt prvisible qui nadmet e e e pas dintensit. Or, si lon fait lhypoth`se que les informations comptables ncessaires e e e 1 ` la calibration du mod`le structurel prcdent sont bruites , les agents de march a e e e e e nont acc`s, en terme dinformation, qu` une sous-ltration de la premi`re dans lae a e quelle linstant de dfaut est totalement inaccessible et poss`de une intensit [8]. Les e e e mod`les ` forme rduite rendent compte de lasymtrie dinformation qui existe entre e a e e lagent du march non-inform et le management dune entreprise.2 e e Definition 4.3 Soit un temps darrt de G dintensit . On dit que est doue e blement stochastique relativement ` la ltration F si est un processus F-adapt3 et a e si pour tout t s, on as

P > s|Fs Gt = exp t

u du 1{ >t} .

Cette dnition signie que conditionnellement ` F , est le premier instant de e a saut dun processus de Poisson N = (Nt , t 0) par rapport ` G dintensit (t , t 0). a e En eetP[ > s| F Gt ] = P Ns Nt = 0; Nt = 0 F Gt

= 1{Nt =0} P Ns Nt F e = 1{ >t} e et doncP[ > s| Fs Gt ] = E 1{ >t} et s t s

u du

,u du

Fs G t

= 1{ >t} e

t s

u du

.

Dans la pratique, nous partons dune ltration F qui est, en gnral, la ltration e e engendre par un processus de Markov (disons, un processus ane) reprsentant line e formation de march hors instant de dfaut et nous construisons une v.a. et une e e de la mani`re suivante (processus de Cox) : ltration G evoire incompl`tes, voire truques... e e le dlit diniti prot`ge, en principe, le march des abus potentiels li ` lutilisation en vue dun e e e e ea enrichissement personnel de cette asymtrie dinformation. e 3 en fait, prvisible. e2 1

44

Mod`les ` forme rduite e a e

t Soient un processus F-adapt et positif, le processus t exp( 0 s ds) et U e une v.a. de loi uniforme sur [0, 1] indpendante de F 4 Si nous dnissons la v.a. e e

= inf{t 0 ; (t) U } et la tribu Gt = Ft Ht o` Ht = ( t), alors il est facile de vrier que est un temps darrt de G dintensit u e e e (exercice !). Nous montrerons dans la prochaine sous-section que le temps darrt e est aussi doublement stochastique relativement ` F. a

Calculs desprances conditionnelles eNous dtaillons une srie de calculs desprances conditionnelles valable dans un e e e contexte assez gnral. Ces rsultats vont nous permettre de dmontrer que les proe e e e cessus de Cox sont doublement stochastiques mais aussi de prouver une formule qui interviendra de mani`re rcurrente dans la suite. e e Soient F G deux ltrations et une v.a. telle que si H dsigne la ltration e Ht = ( t), alors on a G = F H. Dans la pratique, G sera la ltration du trader de CDS, convertibles, sur la rme en question, tandis que F dsignera la ltration de e march hors dfaut de la rme considre. Nous aurons besoin du lemme fondamental e e ee suivant sur les tribus : Lemme 4.4 Soit T une sous-tribu de G . Pour tout t, on a Ht T A G ; B T, A { > t} = B { > t} , autrement dit Ht T est inclus dans lensemble des lments de G dont la restriction ee a ` { > t} est dans T. Preuve. Notons G le membre de droite dans lgalit ci-dessus. Il est clair que G e e t t est une sous-tribu de G . Il sut donc de prouver que Ht G et que T G . Pour t t ce faire, il sut encore de prouver que si A = { u}(u t) ou A T, alors il existe B T tel que A { > t} = B { > t}. Dans le premier cas, on peut choisir B = , dans le second B = A. Proposition 4.5 Soient T une sous-tribu de G et Y une v.a. G -mesurable et intgrable. On a eE[Y 1{ >t} |Ht T] = 1{ >t} E[1{ >t} Y |T] P[ > t|T]

,

ce qui revient ` dire que si lon se restreint ` { > t}, la tribu Ht ne contient plus a a dinformation.On pourrait dire que cest dans lala de cette variable alatoire que se concentre linformation e e non disponible.4

4.1 Prliminaires mathmatiques e e

45

Preuve. Puisque le membre de droite dans lgalit prcdente est Ht T-mesurable, e e e e il sut de prouver que pour tout A Ht T, on a1C Y P[C|Ft ] dP =A A

1C E[1C Y |Ft ] dP.

o` C = { > t}. Dapr`s le lemme prcdent, il existe B T tel que A C = B C u e e e et par suite, on peut crire que e1C Y P[C|T] dP =A AC

Y P[C|T] dP =BC

Y P[C|T] dPE[1C Y |T]P[C|T] dPB

=B

1C Y P[C|T] dP =

=B

E[1C E[1C Y |T]|T] dP =BC

E[1C Y |T] dP

=BA

E[1C Y |T] dP =A

1C E[1C Y |T] dP,

do` le rsultat. u e Nous allons dmontrer que le processus de Cox dni dans la sous-section e e prcdente est doublement stochastique. Nous reprenons pour un instant les notae e tions dnies prcdemment. Il sagit de prouver que e e e P[ > s|Fs Gt ] = exp s

u du 1{>t} , t

(t s).

Les hypoth`se du lemme prcdent tant vries (G = F H), il sapplique ` nos e e e e e e a ltrations pour donner dune part P[ > s|Fs Gt ] = P[ > s|Fs Ht ] = 1{>t} P[ > s|Fs ] P[ > t|Fs ] .

Dautre part et puisque par hypoth`se U est indpendant de G et donc de Fs , on e e peut aussi crire que pour tout t s e P[ > t|Fs ] = exp t

u du .0

Le rsultat dsir est alors immdiat. e e e e Nous sommes dsormais en mesure de prouver le principal thor`me de ce parae e e graphe. Celui-ci est fondamental et il interviendra ` de nombreuses reprises dans la a suite. ` Theoreme 4.6 Soient un temps darrt de G dintensit et doublement stochase e tique relativement ` F et Z un processus F-prvisible born. Alors, pour tout s t, on a e e aE 1{tt} e(t) E]t,s]

Zu u eu du Ft ,

46t

Mod`les ` forme rduite e a e

o` (t) = u0

s ds.

Noter que ce thor`me sapplique aux processus de Cox. e e Remarque. Ce rsultat tr`s puissant nous dit que les calculs dans la ltration e e tendue (du trader) peuvent se ramener (dans le cadre des mod`les doublement stoe e chastiques) ` des calculs dans la ltration de march (o` les calculs sont simples, par a e u exemple lorsque F est engendre par un processus ane). e Remarque. (admise) La tribu F-prvisible est la tribu sur R+ engendre par e e 1. les processus (Xt , t 0) continus et F-adapts ; e 2. les ensembles de la forme A]s, t], s < t, A Fs A 0, A F0 .

Preuve. Nous commenons par prouver le rsultat pour un processus F-prvisible Z c e e de la forme 1]u,v] Yu o` Yu est une v.a. Fu -mesurable. Dans ce cas, le rsultat se dduit u e e des calculs suivants :E 1{tt} 1{utt}

E 1{ut t Ft

= 1{ >t} et E Yu (1{ >ut} 1{ >sv} ) Ft = 1{ >t} et E Yu (E 1{ >ut} Fut E 1{ >sv} Fsv ) Ft = 1{ >t} et E Yu (eut esv ) Ft = 1{ >t} e(t) E]t,s]

Zw dew Ft Zw w ew dw Ft .]t,s]

= 1{ >t} e(t) E

Par linarit, le rsultat reste vrai pour un Z de la forme N 1]ti ,ti+1 ] Yti o` les e e e u i=1 Yti sont des v.a. Fti -mesurables bornes. Pour prouver le cas gnral, il sut alors e e e de remarquer quun processus F-prvisible born Z peut tre approch uniformment e e e e e par une suite de processus prvisible de la forme prcdente. e e e

Un thor`me de reprsentation e e eNous terminons cette section par lnonc dun thor`me qui prcise la structure e e e e e de la ltration G lorsque F est une ltration brownienne. Nous supposons donc ici que F est la ltration engendre par un mouvement brownien B (ventuellement multie e dimensionnel). ` Theoreme 4.7 Soient X une v.a. et M la G-martingale Mt = E X Gt , t [0, T ].

4.2 Evaluation des actifs risqus e

47

Alors, il existe un processus F-prvisible et un processus G-prvisible tels que e et

Mt = M0 +0

s dBs +]0, t]

u u du dNu .

Preuve. Voir [2].

4.2

Evaluation des actifs risqus e

Dans cette section, nous nous intressons ` lvaluation des actifs soumis au risque e a e de dfaut. Nous nous plaons dans le cadre de labsence dopportunit darbitrage. e c e Nous supposons donc que tous les actifs considrs sont dnis sur un espace proee e babilis ltr , A, P , G = (Gt )t0 . Nous supposons de plus quil existe un temps e e darrt de la ltration G, dintensit , doublement stochastique relativement ` une e e a ltration F G telle que G = F H, o` Ht = ( t). Ce temps reprsente linsu e tant de dfaut dune entit de rfrence xe. Lhypoth`se sur les ltration signie e e ee e e que toutes les informations de march autres que linstant de dfaut sont contenues e e dans la ltration F. La probabilit P est une probabilit risque-neutre relativement au processus de e e e ne, taux dintrt r = (rt )t0 que nous choisirons F-adapt. Ceci entra en particulier, ee que les prix des actifs contingents ` valuer se calculent comme lesprance sous P ae e des ux futurs ractualiss ` laide du taux sans risque r. e e a

Le cas du fractional recovery of par valueNous considrons un produit donnant droit en T ` un ux F reprsent par une e a e e v.a. GT -mesurable et payant un ux W (taux de recouvrement) si lentit de rfrence e ee fait dfaut avant la maturit T du titre o` W est un processus F-prvisible. La valeur e e u e en t dun tel actif scrit e p(t, T ) = E eT 0

rs ds

F 1{ >t} + e

0

rs ds

W 1{tt} Gt = 1{ >t} e = 1{ >t} e

t 0 t 0

u du u du

E e E e

T t

ru du

F 1{ >t} Ft F Ft ,

T t (ru +u ) du

etE e 0

rs ds

W 1{tt} e = 1{ >t} e

t 0

u du

E(t,T ]

Ws s e (t, s) ds,(t,T ]

s t (ru +u ) du

ds Ft

t 0

u du

o` u (t, s) = E es 0 (ru +u ) du

Ws s Ft ,

48

Mod`les ` forme rduite e a e

et nalement, la valeur de lactif scrit e p(t, T ) = 1{ >t} E eT 0 (rs +s ) ds

F Ft + e

t 0

s ds ]t,T ]

(t, s) ds .

Remarque. Le calcul de la premi`re esprance met en lumi`re le fait que la valeur e e e dun ux de la forme F 1{ >t} se calcule comme celle dun ux de la forme F avec un taux dactualisation r + . Ceci constitue une premi`re interprtation de lintensit e e e de dfaut comme un spread metteur instantan. e e e

Le cas du fractional recovery of market valueUne hypoth`se de recouvrement particuli`rement intressante est lhypoth`se dite e e e e Market Value Recovery (MVR). Soient une variable alatoire FT -mesurable F et un e processus F-prvisible l ` valeurs dans (0, 1), nous considrons lactif contingent W e a e comme le processus F-prvisible payant le ux suivant : e F en T si lentit de rfrence na pas fait dfaut ` maturit ; e ee e a e Wt = (1 lt )p(t, T ) si le dfaut intervient en t < T o` p(t, T ) reprsente la e u e valeur en t de cet actif. Par absence dopportunit darbitrage, la valeur p(t, T ) en t de cet actif doit sae tisfaire ` lquation a e p(t, T ) = E eT t

rs ds

F 1{ >t} + e

T t

rs ds

l p( , T )1{tt} est lunique u solution de lquation direntielle stochastique backward e e Ut = E e T t

rs ds

F 1{ >t} + e

T t

rs ds

l U 1{t 0

o` est une fonction dterministe strictement positive et , (0, +). u e

50

Mod`les ` forme rduite e a e

(1) Vrier que yt := et xt satisfait ` lEDS e a dyt = et t dt + dWt , y 0 = x0 .

(2) Montrer que, pour tout s t, z(s, t) = xs e(st) xt est une gaussienne indpendante de la tribu Ft , dont on dterminera la variance. e e (3) En dduire lexistence de deux fonctions A et B (que lon ne cherchera pas ` e a calculer) telles queE[eT t

xs ds

|Ft ] = exp A(t, T ) xt B(t, T ) =: (t, xt ).

(4) Montrer que les fonctions A et B sont solutions des EDO B (t, T ) = B(t, T ) 1, B(T, T ) = 0, t A 2 (t, T ) = B 2 (t, T ) + t B(t, T ), A(T, T ) = 0. t 2 [Indication : le processus Mt = e (5) En dduire que e 2 B 2 (s, T ) ds 2 1 e(T t) B(t, T ) = B(t, T ; ) = . A(t, T ) = A(t, T ; , , ) =Tt 0

xs ds

(t, xt ) est une F-martingale.]

s B(s, T ) ds,t

Partie II. Tous les processus et v.a. considrs dans la suite vivent sur un espace ee 1 2 probabilis complet (, A, P). Soient B = (Bt , Bt ; t 0) un mouvement brownien e standard et W = (Wt1 , Wt2 ; t 0) le processus dni par e W 1 = B1, W 2 = B 1 + 1 2 B 2 ( [1, +1]),

de sorte que W soit un mouvement brownien tel que d W 1, W 2t

= dt.

On dsigne par F = (Ft )t0 la ltration engendre par B. On consid`re une conomie e e e e dans laquelle les dynamiques risque-neutre des taux sans risque r et de lintensit de e dfaut de lentit de rfrence sont de la forme e e ee drt = (kt art ) dt + dWt1 , dt = (k t at ) dt + dWt2 . Les fonctions strictement positives et dterministes k et k ainsi que les param`tres e e e e a a, a, et sont supposs connus. On consid`re une v.a. ` valeurs dans [0, +] telle que, si G est la ltration engendre par F et , ` savoir Gt = Ft ( t), alors e a

4.2 Evaluation des actifs risqus e

51

(i) admet pour G-intensit, e (ii) est doublement stochastique relativement ` F. a On admettra que, dans ce cas, la proprit suivante est vrie : tout F-mouvement ee e e brownien est un G-mouvement brownien. Lespace probabilis ltr (, A, P, G) est la base du mod`le dvaluation des e e e e actifs de sorte que la tribu Gt modlise linformation disponible ` linstant t et e a reprsente linstant de dfaut de lentit de rfrence. e e e ee (1) Montrer que la valeur B(t, T ), en t, dune obligation zro-coupon sans risque de e maturit T scrit e e exp A(t, T ; a; k; ) rt B(t, T ; a) . Quelle est la volatilit de cette obligation zro-coupon ? e e (2) Montrer que la probabilit de survie de lentit de rfrence au del` de linstant e e ee a T , conditionnellement ` linformation disponible ` linstant t, scrit a a e I{ >t} exp A(t, T ; a; k; ) t B(t, T ; a) . (3) Soit PT la probabilit forward-neutre de la maturit T dans le monde sans risque e e de dfaut. Autrement dit, PT est dni par les relations e e dPT 1 B(t, T ) , = t dP Ft e 0 rs ds B(0, T ) (0 t T ).t

T 1 2 (i) Montrer que le processus Bt = (Bt + 0 B(s, T ; a) ds, Bt ) est un PT mouvement brownien standard. (ii) En dduire que la valeur B(t, T ), en t, dune obligation zro-coupon risqu de e e e maturit T et de taux de recouvrement nul scrit e e

I{ >t} B(t, T ) exp A(t, T ; a; k; ) t B(t, T ; a) o` u kt = k t B(t, T ; a). e e (4) Montrer que la valeur B RM V (t, T ), en t, dune obligation zro-coupon risqu de maturit T soumise ` lhypoth`se Fractional Recovery of Market Value et de taux e a e de recouvrement gal ` R (0, 1) scrit e a e I{ >t} B(t, T ) exp A (t, T ) (1 R)t B(t, T ; a) o` u A (t, T ) = (1 R)2 2 2T t

B(s, T ; a)2 ds (1 R)

T t

B(s, T, a)ks ds.

52

Mod`les ` forme rduite e a e

(5) Montrer que la valeur, en t, dun titre rapportant 1 ` linstant du dfaut, si celui-ci a e se produit avant la maturit T , scrit e eT

I{ >t}t

e(t, s) ds

o` u e(t, s) = E[(s)es t (ru +u ) du

],

(s t).

e e (6) Soit PT la probabilit dnie par les relations dPT = dP Ft e o` P (t, T ) = E[e t (rs +s ) ds |Ft ]. u (i) Montrer que le processus1 T Bt = Bt + t 0 2 B(s, T ; a) + B(s, T ; a ds, Bt + tT

1t 0 (rs +s ) ds

P (t, T ) , P (0, T )

(0 t T )

1 20

B(s, T ; a) ds

est un PT -mouvement brownien. (ii) En dduire que e e(t, s) = B(t, T ) t e o` u k (t) = k(t) B(t, T ; a) 2 B(t, T ; a).a(T t) T

+t

ea(T s)k (s) ds

CHAPITRE

5

Dfauts corrls e ee

Dans ce chapitre, nous dcrivons plusieurs mthodes pour dnir la loi jointe dune e e e famille dinstants de dfauts. e Une entreprise donne poss`de ncessairement des liens conomiques avec dautres e e e e acteurs (fournisseurs, clients, dbiteurs...), de telle sorte que son dfaut peut aecter la e e qualit du crdit dautres entreprises. Il sav`re donc crucial de modliser cette relation e e e e de dpendance (souvent appele corrlation) entre les dfauts lorsque lon sintresse e e e e e ` des situations faisant intervenir le risque de dfaut de nombreux metteurs. De a e e telles situations sont courantes : citons les probl`mes dvaluation et couverture des e e produits drivs de crdit sur panier (Nth-to-default, CDO), ceux de la mesure du e e e risque de crdit dun portefeuille de crance et des calculs dexposition au risque de e e contrepartie dun portefeuille de produits drivs OTC. e e De mani`re gnrale, on distingue deux grands principes : e e e 1. On suppose en gnral que le principal facteur de risque de crdit est un face e e teur conomique global. La qualit du crdit des entreprises dun mme secteur e e e e conomique (Europe, Etats-Unis, Asie) est donc a priori corrle positivement. e ee 2. La dgradation de la qualit de crdit dune rme donne peut entra e e e e ner la dgradation de la sant nanci`re des entreprises partenaires dun mme secteur e e e e industriel. L` encore, la corrlation est donc positive. a e Dans la pratique, la co-dpendance sobserve eectivement sur les marchs par e e la dgradation du spread de crdit des entreprises partenaires lors du dfaut dune e e e entreprise particuli`re. e Lenjeu est dlaborer des mod`les qui rendent compte de ces phnom`nes tout en e e e e restant aisment interprtables. Nous nous restreindrons ici ` la modlisation la plus e e a e courante ` laide des copules. a Nous prsentons tout dabord des mthodes de modlisation du dfaut dun ene e e e semble de crdits. Nous nous intressons ensuite ` la gnralisation des deux approches e e a e e prcdentes, structurelle et ` forme rduite, dans le cadre des dfauts multiples. Enn, e e a e e

54

Dfauts corrls e ee

nous traitons le probl`me de la calibration sur sauts de spread. e

5.1

Produits drivs sur un panier de crdits e e e

On consid`re ici des produits drivs crits sur un panier de k crdits possdant e e e e e e les caractristiques suivantes : e e Ri (0, 1) est le taux de recouvrement du i`me crdit ; e `me e crdit ; e Ni est le nominal du i e i est linstant de dfaut du i`me crdit ; e e On fait lhypoth`se selon laquelle les instants de dfaut sont indpendants du taux e e e court : (rs )s0 (1 , . . . , k ) et lon suppose connue la distribution risque neutre Fi (t) = P [i t] de chacun des instants de dfaut. Par exemple, dans le cas dune intensit i de dfaut e e e constante, le spread de CDS si scrit e si = (1 Ri )i , ce qui conduit ` la distribution suivante : a Fi (t) = ei t = exp Dans la suite, on notera min(i ) = (1) < (2) < < (k) = max(i ) le vecteur des statistiques dordre du vecteur = (1 , . . . , k ). Nous allons distinguer deux types de produits drivs sur panier de crdits : les e e e th n -to-default et les CDO. si t . 1 Ri

nth -to-defaulte Un nth -to-default ore une protection contre le ni`me dfaut dun panier de crdits. e e n {1, . . . , k} est appel ordre de dfaut. Nous supposerons pour simplier que le e e panier est homog`ne, i.e. e

i {1, . . . , k}, Ni = N, Ri = R.e Une prime (spread) dassurance est paye jusqu` loccurrence du ni`me dfaut. Le e a e th vendeur de protection paye alors ` lacheteur du n -to-default la quantit L dnie a e e par : L = (1 Ri )N si (n) = i .

5.1 Produits drivs sur un panier de crdits e e e

55

La valorisation dun nth -to-default ncessite lvaluation des jambes xe et variable e e sous la forme des esprances suivantes : e N P V (JF ) = Ni

s(Ti+1 Ti )E e

Ti 0

rs ds

1{(n) >Ti } ,

et sous lhypoth`se dindpendance r (1 , .., k ) : e e N P V (JF ) = Ni T

s(Ti+1 Ti )B(0, Ti )P (n) > Ti B(0, t)Qn (t) dt0

SN

e o` Qn (t) dsigne la survie du ni`me crdit ` faire dfaut au temps t. En ce qui concerne u e e a e la jambe variable :

N P V (JV ) = E e

(n) 0

rs ds

L1{(n) T } ,

et sous lhypoth`se dhomognit, L = (1 R)N : e e e eT

N P V (JV ) = (1 R)N0 T

B(0, t)P (n) dt B(0, t)Qn (t) dt,

(1 R)N0

ce qui permet den dduire lexpression du spread immdiatement. e e

Collateralized Debt Obligations (CDO)Dans cette partie, on note 0 A < B 1 et N = i Ni le nominal du panier. Lacheteur de protection sur la tranche A-B paye ` chaque priode un spread corresa e pondant au capital restant sur la tranche et reoit en change une protection contre c e toutes les pertes comprises entre A N et B N . La perte cumule Lt ` linstant t e a scrit : ek

Lt =i=1

Ni (1 Ri )1{i t} ,

et donc la perte cumule sur la tranche A-B est e Lt (A, B) = (Lt A)+ (Lt B)+ . On en dduit le pourcentage du capital CtA,B restant ` linstant t : e a CtA,B = 1 (Lt A)+ (Lt B)+ . BA

56

Dfauts corrls e ee

A,B On peut donc calculer le prix du CDO : lacheteur de protection verse SN (B A)CTi ` linstant Ti donc la jambe xe sexprime comme : a

N P V (JF ) =i

A,B (Ti+1 Ti )SN (B A)E [CTi ] T

SN (B A)0

B(0, t)Q(A, B, t) dt,

A,B o` Q(A, B, t) = E [CTi ] est la survie sur la tranche A-B. Le vendeur de protection u (A,B) (A,B) e verse ` linstant du i`me dfaut L(i) L(i) , donc la jambe variable vaut : a e

N P V (JV ) = ET

T 0

B(0, t) dLA,B t

=0

B(0, t) dE LA,B tT

= (B A)0

B(0, t)Q(A, B, dt).

Tout le probl`me se rsume donc au calcul de e e Q(A, B, t) = E CtA,B pour tout t, ce qui ncessite de modliser la loi jointe des (1 , . . . , k ) connaissant les e e lois marginales, i.e. la loi des i , (1 i k). Loutil privilgi pour rsoudre ce type de probl`me est la fonction copule (voir e e e e lannexe D).

5.2

Corrlation dans les mod`les structurels e e

Dans cette partie, on suppose que chaque dfaut est dclench par un mcanisme e e e e ` la Merton, i.e. i {1, . . . , k}, Xi N (0, 1) telles que a i t Xi Bi (t). Xi peut sinterprter comme le rendement normalis de valeur de la rme. Pour que e e lhypoth`se sur la loi des i soit vrie, il faut que e e e Fi (t) = P[Xi Bi (t)] = (Bi (t)), soit Bi (t) = 1 (Fi (t))),x t2 1 (x) = e 2 dt. 2 Exemple. (Mod`le ` un facteur) e a On suppose que les variables Xi partagent un facteur commun X, dcrivant ltat e e

o` u

5.3 Corrlation des intensits e e

57

de lconomie mondiale. Un tel facteur est dit facteur systmique car il modlise un e e e risque global, par opposition aux facteurs idiosyncratiques Yi modlisant un risque de e crdit spcique ` lmetteur. En dautres termes, X, Y1 , . . . , Yn iid suivant une loi e e a e N (0, 1) et i [0, 1] tels que Xi = i X + 1 2 Yi . i

i est une mesure de la dpendance de la qualit du crdit aux facteurs conomiques e e e e globaux. Remarque. Conditionnellement au facteur X, les instants de dfaut sont e indpendants. En consquence, la loi jointe peut scrire : e e eP[1 t1 , . . . , k tk ]

= E P[1 t1 , . . . , k tk |X] = E P[X1 B1 (t), . . . , Xk Bk (t)|X] = E P[X1 B1 (t)|X] . . . P[Xk Bk (t)|X] x2 1 = P[X1 B1 (t)|X = x] . . . P[Xk Bk (t)|X = x]e 2 dx, 2 o` uP[Xi Bi (t)|X = x] =

1 (Fi (t)) i x 1 2 i

.

Remarque. Cet exemple est en fait un cas de modlisation avec la copule gaussienne. e Dans la pratique, le choix de la copule ` utiliser est guid par lhypoth`se que lon fait a e e sur la dpendance jointe des rendements des actifs des entreprises. Des tudes rcentes e e e tendent ` prouver que cette dpendance nest pas eectivement gaussienne, mais de a e type student (dont le degr de libert est estim ` 8 ou 9). Ces tudes justieraient la e e ea e pratique courante qui consiste ` utiliser la copule de student. a

5.3

Corrlation des intensits e e

Dans cette section, (, F, P, G = (Gt )t0 ) dsigne un espace probabilis satisfaisant e e aux conditions habituelles. Nous introduisons la dnition suivante qui gnralise la e e e dnition unidimensionnelle introduite au chapitre prcdent (cf. dnition 4.3). e e e e Definition 5.1 Une famille (1 , . . . , N ) de G-temps darrt dintensit i est dite e e doublement stochastique relativement ` la ltration F si les processus i sont F-adapt a e et si pour tout t1 , . . . , tN [t, s], on aN ti

P 1 > t1 , . . . , N > tN Fs Gt =i=1

exp t

i (u) du 1{i >t} .

58

Dfauts corrls e ee

Exercice. Montrer que dans ce cadre le G-temps darrt = 1 N est e doublement stochastique relativement ` la ltration F dintensit = N i . a e i=1 reprsentant linformation de march Ici encore, nous partons dune ltration F e e N et une ltration hors instant de dfaut et nous construisons une famille de v.a. 1 , e G de la mani`re suivante : e t Soient i des processus F-adapt et positif, i les processus t exp( 0 i (s) ds) e et les Ui des v.a. indpendantes de loi uniforme sur [0, 1] et indpendante de F . Si e e nous dnissons les v.a. e i = inf{t 0 ; (t) U } et les tribus 1 1 Gt = Ft Ht Ht , o` Ht = (i t), alors il est facile de vrier que les i sont des temps darrt de u i e e G dintensit i (exercice !). On peut montrer en utilisant des arguments similaires e ` ceux dj` employ dans le chapitre prcdent (exercice !) que les i sont, de plus, a ea e e e doublement stochastique relativement ` F. a

5.4

Corrlation des instants de dfaut e e

Lapproche que nous prsentons dans cette section est due ` Schonbcher et Schue a u bert [29]. Dans ce mod`le, lon corr`le directement les instants de dfaut ` laide e e e a dune copule. Cette technique va permettre dclairer limpact de la modlisation sur e e les trajectoires des intensits. e Dans la suite (, A, P) est lespace probabilis de base sur lequel nous travaillons. e Il est suppos susamment riche pour contenir toutes les v.a. que nous introduirons e par la suite.

Description du mod`le eOn suppose donns une ltration F contenant linformation sur le march autre e e que les dfauts (background ltration) et une famille de processus F-adapts et positifs e e i . Nous appelons pseudo-intensit ces processus pour des raisons qui seront bientt e o claires. Soit U = (U1 , . . . , UN ) une v.a. indpendantes de F de loi dtermine par e e e e une copule C (voir annexe D pour plus de dtails sur ces objets). Pour tout 1 i N , nous dnissons le temps alatoire i en posant e e i = inf t 0 ; i (t) Ui o` i (t) = exp( u des i :t 0

i (s) ds). Il est facile (exercice !) de calculer la fonction de survieP[1 > t1 , . . . , N ] = E C(1 (t1 ), . . . , N (tN ) .

5.4 Corrlation des instants de dfaut e e

59

Nous introduisons aussi les ltrations suivantes :G i = F Hi ,N

G i = F G i ,N

G=i=1

Gi ,

G=i=1

Gi ,

o` Hi = ((i t))t0 . u Le point important ` comprendre (et qui est aussi la raison pour laquelle nous a avons appel les processus i pseudo-intensit), est que lintensit des i dpend de e e e e mani`re cruciale de la ltration de rfrence considre. Par exemple, le processus i e ee ee est bien la Gi -intensit de i (exercice !), mais ce rsultat nest plus vrai relativement e e ` la ltration qui nous intresse ici cest-`-dire G. a e a

Dynamique de lintensit eNous allons calculer la G-intensit des instants i induite par le mod`le et e e dterminer sa dynamique. Pour ce faire, nous allons utiliser le thor`me 4.2 et nous e e e commenons par la remarque suivante qui simpliera nos calculs : si lon note Pi (t, T ) c et Pi (t, T ) la survie conditionnelle de i relative ` la ltration G et G respectivement, a alors la G-intensit hi de i peut se calculer de la mani`re suivante : e e hi (t) = Pi (t, T ) T ,T =t

hi (t) =

Pi (t, T ) T

.T =t

Pi (t, T ) = E i > T Gt ,

Pi (t, T ) = E i > T Gt .

Avant de dmontrer le lemme ` la base de ces calculs, nous introduisons quelques e a notations : si d est un sous-ensemble de {1, . . . , N }, on note Cd la drive (kd k )C ; e e plus gnralement, si d1 et d2 sont deux sous-ensembles de {1, . . . , N }, on note Cd1 +d2 e e la drive (k1 d1 k1 k2 d2 k2 )C ; si d2 = {j}, on crira simplement Cd1 +j ; on dsigne e e e e par d(t) lensemble alatoire {k ; k t}. Si u = (u1 , . . . , uN ) est un vecteur et e v un nombre rels, on note u v et (ui , v) les vecteurs (u1 v, . . . , uN v) et e (u1 , . . . , ui1 , v, ui+1 , . . . , uN ) respectivement. Lemme 5.2 La survie conditionnelle Pi (t, T ) de i est donne par la formule suivante e Cd(t) (i (t ), i (T )) Pi (t, T ) = 1{i >t} . Cd(t) ((t )) o` (t) = e ut 0

1 (s) ds

,...,e

t 0

k (s) ds

Preuve. Pour montrer ce lemme, on commence par remarquer que Pi (t, T ) = P i > T F Ht =d;d i

1{d(t)=d} P i > T F , j > t, j d, Uk = (k ), k d .

60

Dfauts corrls e ee

Il sut alors pour conclure de remarquer que pour tout d tel que i d, on aP i > T F , j > t, j d, Uk = (k ), k d = P i (T ) > Ui , j (t) > Uj , j d {i}, Uk = (k ), k d F P j (t) > Uj , j d, Uk = (k ), k d F

=

Cd (i (t ); i (T )) , Cd ((t )) en vertu de lindpendance de U et de F . e Remarque. Ce lemme signie que la survie conditionnelle dpend du nombre de e sauts (dfauts) dj` arrivs avant linstant t. En eet, cette formule prend en compte e ea e linformation sur la structure de dpendance qui arrive au fur et ` mesure que les e a dfauts se produisent. e Exemple. (Application 1 ) De la proposition prcdente, on dduit de faon immdiate que sur {(1) > t} (pas e e e c e de dfaut) e Ci ((t)) hi (t) = i (t)i (t) = hi (t) C((t)) car hi (t) = E hi (t) Gt = hi (t). Exemple. (Application 2 ) On va chercher ` dterminer lintensit de lmetteur i sachant quen t, lmetteur a e e e e j = i ` dj` fait dfaut. Autrement dit, on se place sur lvnement {(1) = j t}. a ea e e e On a alors : Pi (t, T ) = Cj (i (t ), i (T ))) Cj ((t ))

hi (t) = hi (t) Cij ((t)) hi (t) = i (t)i (t) . Cj ((t))

La proposition suivante dcrit la dynamique de lintensit induite par le mod`le. e e e Une fois un mod`le de recouvrement choisi, nous pourrons en dduire la dynamique du e e spread court terme. Ce rsultat nous ouvrira aussi la voie dune mthode de calibration e e de ce type de mod`le. e Proposition 5.3 Pour tout 1 i N , on a dhi di = (hi ii + i ) dt dNi + ij (dNj hj ) dt, hi i jd : j=i

5.4 Corrlation des instants de dfaut e e

61

o` Ni (t) = 1{ t} et u ij = ij (t, d(t)) = Cd(t)+i+j Cd(t) (( t)) 1. Cd(t)+i Cd(t)+j

Le terme di /i est le terme de risque de diusion de hi : i et hi ont la mme e volatilit. Le terme suivant est un terme correctif exprimant le fait que hi = i . Le e terme dNi est le saut ` 0 si lmetteur i fait dfaut. Le terme de somme reprsente a e e e linuence sur lintensit de i du comportement des autres metteurs : il prend e e en compte linformation contenue dans les dfauts potentiels et la survie de toutes e les entits de rfrence du panier. Cette information est rsume dans la matrice e ee e e = (ij )ij . Cette matrice dpend pour une grande part des caractristiques de la e e copule. Preuve. Nous supposons que i est une diusion. Au vu du lemme prcdent, hi e e saute ` chaque dfaut et tombe ` 0 en cas de dfaut de lmetteur i. Soient (k) < (k+1) a e a e e deux instants de dfauts conscutifs tels que i > (k) . Le saut de lintensit hi en e e e t = (k+1) se calcule explicitement : hi (t) 1, Cd+i+j Cd+i = , hi (t) Cd+j Cd si (k+1) = i , si (k+1) = j , i = j.

Pour obtenir la dynamique du terme de diusion de hi sur lintervalle ]](k) , (k+1) [[, on applique la formule dIt ` oa hi = i f (), o` f () = i u pour obtenir dhi = i df () + f () di = i fi di + ij d : j i / /

Cd+i () , Cd ()

fj () dj + hi

di i Cd+i+j Cd 1 hj dt dt. Cd+i Cd+j

= hi

di Cd+i+i Cd + i dt + hi 1 dt + i Cd+i Cd+i

j d : j=i /

Pour trouver la dynamique de hi sur lintervalle ]](k) , (k+1) ]], il sut dintgrer le saut e en (k+1) ; il vient alors dhi di = (hi ii + i ) dt dNi + ij (dNj hj ) dt, hi i jd : j=i et le rsultat sen dduit immdiatement. e e e

62

Dfauts corrls e ee

Calibration sur sauts de spreadNous allons nous servir de ce rsultat pour expliquer comment calibrer la structure e de corrlation du mod`le sur un a priori de sauts du spread court-terme. e e Supposons quaucun dfaut na eu lieu juste avant t et quen t lmetteur j fasse e e j dfaut. Si lon note hi (t) la valeur juste apr`s cet vnement de crdit, on dduit du e e e e e e rsultat prcdent que e e e hj (t) i = 1 + ij (t, ). hi (t) et dans le cadre du mod`le de recouvrement MVR la mme relation est vrai pour le e e spread court-terme (et est approximativement vrai pour le mod`le de recouvrement e dit RFV recovery of face value). Par consquent, tant donn un a priori du trader e e e sur la valeur du saut de spread de lmetteur i en cas de dfaut de lmetteur j, il est e e e possible dans les bons cas, de choisir les param`tres de la fonction copule redonnant e cet a priori. Commenons par examiner la nature de ce saut de spread lorsque la copule utilise c e est archimdienne. Autrement dit, on suppose quil existe une fonction , appele e e gnrateur (qui est, par exemple, la transforme de Laplace inversible dune v.a. Y > e e e 0 : (s) = E[esY ], = 1 ) telle queN

C(u) = i=1

(ui ) .

Par exemple, la copule de Gumbel a pour gnrateur la fonction (s) = ( ln(x)) et e e