Upload
lamkien
View
228
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Modelisation elastoplastique avec endommagement du
beton de structures. Application aux calculs statiques et
dynamiques de structures en beton arme et beton
precontraint
Franz-Josef Ulm
To cite this version:
Franz-Josef Ulm. Modelisation elastoplastique avec endommagement du beton de struc-tures. Application aux calculs statiques et dynamiques de structures en beton arme et betonprecontraint. Mecanique [physics.med-ph]. Ecole Nationale des Ponts et Chaussees, 1994.Francais. <tel-00529366>
HAL Id: tel-00529366
https://pastel.archives-ouvertes.fr/tel-00529366
Submitted on 25 Oct 2010
HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinee au depot et a la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publies ou non,emanant des etablissements d’enseignement et derecherche francais ou etrangers, des laboratoirespublics ou prives.
MODELISATION ELASTQPLASTIQUE AVEC ENDOMMAGEMENT DU BETON DE STRUCTURES.
APPLICATION AUX CALCULS STATIQUES ET DYNAMIQUES DE STRUCTURES EN BETON ARME ET BETON
PRECONTRAINT
Thèse présentée par
Franz-Josef ULM
pour Tobterition du titre de docteur de l'Ecole Nationale des Poms et Chaussées
¿ "mtenue le 11 janvier 1994, devant la commission d'examen composée de Messieurs :
Bernard HALPHEN
Harry GRUNDMANN Jacky MAZARS
Fierre ARJSTAGHES René de BORST Olivier COUSSY Pierre HUMBERT Jean-Luc CLEMENT
Président
Rapporteur Rapporteur
Examinateur Examinateur Examinateur Examinateur Examinateur
Ars /? ^J4(^}
x
MODELISATION ELASTOPLASTIQUE AVEC ENDOMMAGEMENT DU BETON DE STRUCTURES.
APPLICATION AUX CALCULS STATIQUES ET DYNAMIQUES DE STRUCTURES EN BETON ARME ET BETON
PRECONTRAINT
Thèse présentée par
Franz-Josef ULM
pour l'obtention du titre de docteur de l'Ecole Nationale des Ponts et Chaussées
Soutenue le 11 janvier 1994, devant la commission d'examen composée de Messieurs
Bernard HALPHEN
Harry GRUNDMANN Jacky MAZARS
Pierre ARISTAGHES René de BORST Obvier COUSSY Pierre HUMBERT Jean-Luc CLEMENT
Président
Rapporteur Rapporteur
Examinateur Examinateur Examinateur Examinateur Examinateur
E.N.P.C.
INV00020
La première page..., blanche; pleine de ma gratitude...
Je tiens tout d'abord à remercier Bernard HALPHEN de m'avoir fait l'honneur de
présider mon jury de thèse, et qui m'a accueilli au sein du Service de Mécanique du LCPC, à
mon arrivée à Paris en 1990 dans le cadre de la coopération Franco-Allemande entre l'Ecole
Nationale des Ponts et Chaussées (ENPC) et le Technische Universität München (TUM).
Je souhaite y associer Harry GRUNDMANN, professeur universitaire de mécanique à
Munich, qui a accepté d'être rapporteur de cette thèse. Il ne m'a pas seulement appris l'équilibre
tant mécanique (sa compétence) qu'humain (son charisme) pendant mes années munichoises.
Mais c'est lui, qui m'a enflammé pour l'idée et la réalisation d'un séjour à Paris de "quelques
mois" en 1990 : ...il y a maintenant plus de quatre ans. Je ne peux parler de mon installation à
Paris sans remercier Hannes GOEBBEL, maître de conférence à l'ENPC, pour toute son amitié.
Je remercie Jacky Mazar s d'avoir assumé la tâche d'être rapporteur de cette thèse, ainsi
que les membres de son équipe de l'Ecole Nationale Supérieure de Cachan pour les échanges
d'idées que nous avons eus, dans le cadre de projets de recherche commun au sein du GRECO
Géomatériaux. Je ne saurais parler du GRECO Géomatériaux sans remercier Alain MILLARD.
J'ai beaucoup apprécié la rigueur et le perfectionnisme sous-entendus mais omniprésents, dont
ce dernier a fait preuve lors du travail commun dans le groupe "Béton armé".
Ces travaux sont résolument tournés vers les applications. Ils doivent donc beaucoup aux
ingénieurs prêts à tester les lois de comportement pour la conception des ouvrages d'art. J'ai le
plaisir de remercier Pierre ARISTAGHES de Bouygues, d'avoir être examinateur dans mon jury
de thèse, et pour l'intérêt continu et les conseils qu'il m'a apporté durant ces travaux. Je suis très
honoré que René de BORST, professeur de l'université technique de DELFT, ait bien voulu
participer à ce jury, lui dont les travaux font date notamment dans le domaine de la
modélisation numérique du comportement du béton.
Mais cette thèse a avant tout été possible grâce à trois personnes, qui en ont assuré
l'orientation.
77 s'agit tout d'abord de Pierre HUMBERT, qui m'a accueilli au sein de son équipe de la
section Modèles Numériques du LCPC pendant les trois ans de ma thèse. Je le remercie pour
son soutien et ses conseils numériques malgré son emploi du temps surchargé, ainsi qu'a
l'ensemble de son équipe, et en particulier à Jaques 0CZK0WSK1 pour son amitié renforcée
d'une solide compétence informatique.
Je voudrais témoigner ici toute ma reconnaissance envers Olivier COUSSY qui m'a
enseigné l'essence des lois de comportement. A travers le projet de la traduction de son livre
"mechanics of porous continua" qui s'est déroulé en parallèle avec cette thèse, j'ai été marqué
par sa vision de la mécanique, tant sur le plan scientifique, qu'humain, par sa rigueur, son
enthousiasme - voire sa passion.
Enfin, toute ma reconnaissance va à Jean-Luc CLEMENT, mon directeur de thèse
(effectif), pour sa confiance, ses conseils, sa disponibilité..., qui par ses grandes qualités
pédagogiques et diplomatiques, a assuré ma formation complémentaire d'ingénieur par la
recherche à travers un langage universel, celui de l'amitié.
Je ne pourrais terminer ces remerciements sans exprimer une gratitude particulière à
tout ma famille, à ma mère, ingénieur elle-même, et à mon oncle, Chlodwig SELMER, qui m'ont
encouragé - pas toujours sans douleur et inquiétudes - à rester en France pour cette formation
par la recherche après la mort accidentelle de mon père aimé. Enfin - last but not least -, c'est à
LAILA, ma femme : ce travail lui doit beaucoup, ...beaucoup plus !
Franz- Josef ULM
Juillet 1994
TABLE
Résumé - Abstract - Zusammenfassung 11 Avant-Propos 15
^MODELISATION ELASTOPLASTIQUE AVEC ENDOMMAGEMENT DU BETON DE STRUCTURES 19
1-0. Introduction 21
1-1. Modélisation du comportement non-iinéaire du béton 22 1-1-1. Description des non linéarités matérielles 22 1-1-2. Loi élastoplastique 23
1-1-2-1. Critère de plasticité 24 1-1-2-2. Règle d'écoulement,.... 25 1-1-2-3. Dissipation intrinsèque 26 1-1-2-4. Loi d'écrouissage 27 1-1-2-5. Restrictions thermodynamiques, énergie bloquée par éerouissagc 31 1-1-2-6. Formulation élastoplastique dans l'espace des déformations 32 1-1-2-7. Limites de la modélisation élastoplastique du béton 34
1-1-3. Modèles de détérioration 35 1-1-3-1. Formalisme général 35 1-1-3-2. Modèles orthotropes de fissuration 37 1-1-3-3. Un potentiel de détérioration 39
1-1-4. Théorie de l'endommagement 40 1-1-4-1. Contraintes effectives en endommagement 40 1-1-4-2. Modèles d'endommagement 42 1-1-4-3. Plasticité et endommagement 43 1-1-4-4. L'évolution de l'endommagement 45 1-1-4-5. Cadre thermodynamique d'un modèle élastoplastique avec endommagement 47
1-1-5. Vers un modèle élastoplastique avec endommagement 48
1-2. Modélisation élastoplastique du béton 49 1-2-1. Quelques notations et définitions 50 1-2-2. Faits expérimentaux... 51
1-2-2-1. Limites de rupture 51 1-2-2-2. Comportement uniaxial du béton 54 1-2-2-3. Variation de volume anélastique 54
1-2-3. Porosité plastique et... microfissuration 57 1-2-4. Critère de Willam-Warnke à trois paramètres 60
1-2-4-1. Critère de plasticité parfaite 60 1-2-4-2. Critère de plasticité avec écrouissage isotrope 62 1-2-4-3. Règle d'écoulement 63 1-2-4-4. Loi d'écrouissage 65 1-2-4-5. Domaine d'application 68
1-2-5. Critère de Willam-Warnke modifié 69
6 Modélisation du béton de structure - Application aux calculs statiques et dynamiques
1-2-5-1. Critère de plasticité modifié 69 1-2-5-2. Règle d'écoulement 70 1-2-5-3. Extension au cas d'écrouissage 71 1-2-5-4. Domaine d'application.. 76
1-2-6. Récapitulatif de la modélisation éiastoplastique 78
1-3. Extension : couplage plasticité - endommageaient 80 1-3-1. Effet du dommage à la décharge-recharge et endommagement 81 1-3-2. Variation des caractéristiques élastiques 83
1-3-2-1. Porosité plastique et endommagement 84 1-3-2-2. Fonctions K(«|>P) et GOP) 85
1-3-3. Couplage de ia plasticité et de l'endommagement 87 1-3-3-1. Les composantes 87 1-3-3-3. Cas d'étude : le cisaillement pur 89
1 -3-4. Récapitulatif du modèle éiastoplastique avec endommagement 90
1-4. Conclusion 92
2-APPLICATION AUX CALCULS STATIQUES ET DYNAMIQUES DE STRUCTURES EN BETON ARME ET BETON PRECONTRAINT
MODELISATION POUTRE MULTD7D3RE 95
2-0. Introduction ..97
2-1. Niveau de Discrétisation des structures poutres par éléments finis 99 2-1-1. Discrétisation globale 100 2-1-2. Discrétisation locale 101 2-1-3. Discrétisation semi-globale 102
2-2. Elément poutre muitifibre 104 2-2-1. Quelques notations et définitions 105
2-2-1-1. Hypothèse des petites perturbations 105 2-2-1-2. Efforts intérieures de poutres tridimensionnelles 105
2-2-2. Présentation de l'élément poutre muitifibre , 107 2-2-2-1. Approche semi-globale appliquée au poutres tridimensionnelles 107 2-2-2-2. Rappel des hypothèses de déformation des poutres 109 2-2-2-3. Vecteur de déplacement de la fibre k..„ 109 2-2-2-4. Tenseur de déformations linéarisé 111 2-2-2-5. Rigidité à la torsion 113
2-2-3. Mise en équation du problème 117 2-2-3-1. Formulation faible de l'équation d'équilibre mécanique 117 2-2-3-2. Vecteurs d'efforts intérieurs 119 2-2-3-3. Matrice de rigidité tangente 121 2-2-3-4. Equations d'équilibre incrémentales... 122
2-2-4. Récapitulatif. 124
Table 7
2-3. Extensions de la formulation poutre multifibre 125 2-3-1. Modélisation poutre multifibre en grands déplacements 126
2-3-1-1, Transformation finie et déformation infinitésimale des poutres , 126 2-3-1-2. Description du mouvement des poutres tridimensionnelles 127 2-3-1-3. Vecteur de déplacement de la fibre k 133 2-3-1-4. Mise en équation 134 2-3-1-5. Récapitulatif 137
2-3-2. Modélisation multifibre du déplacement relatif entre fibres 139 2-3-2-1. Déplacement relatif : le glissement..... 140 2-3-2-2. Position du problème dans le cas des poutres 141 2-3-2-3. Modélisation géométrique d'une fibre curviligne k 145 2-3-2-4. Vecteur de déplacement de la fibre k 146 2-3-2-5. Facteur de glissement 149 2-3-2-6. Loi de comportement d'une fibre inclinée 150 2-3-2-7. Prise en compte du frottement.... 152 2-3-2-8. Vecteur des efforts intérieurs et matrice de rigidité tangente 154 2-3-2-9. Récapitulatif.... 158
2-3-3. Commentaires 159
2-4. Conclusion 161
3-MISE EN OEUVRE NUMERIQUE DANS CESAR-LCPC 163
3-0. Introduction 165
3-1. Code de calcul par éléments finis : CESAR-LCPC 166
3-2. Méthode de résolution numérique..... 168
3-2-1. Discrétisation temporelle du problème 168 3-2-2. Méthode d'intégration locale de la loi de comportement 170 3-2-3. Algorithme de Newmark 171
3-3. Mise en oeuvre dans CESAR : 173 3-3-1. De "MCNL" à "DYNL" 173 3-3-2. Critères de convergence 173 3-3-3. Calcul du vecteur des efforts intérieurs 176 3-3-4. Bibliothèque des lois de comportement 176
3-5. Conclusion......... 183
8 Modélisation du béton de structure - Application aux calculs statiques et dynamiques
4-EXEMPLES D'APPLICATIONS NUMERIQUES 185
4-0. Introduction « 187
4-1. Exemple : Portique plan —...— 189 4-1-1. Géométrie, modélisation, chargements 189
4-1-1-1. Géométrie et modélisation par éléments poutre multicouche 189 4-1-1-2. Chargement statique, cyclique 189
4-1-2. Lois du comportement uniaxiales, caractéristiques matérielles 191 4-1-2-1. Béton : loi uniaxiale élastoplastique avec endommagement 191 4-1-2-2. Acier 192
4-1-3. Quelques résultats 193 4-1-3-1. Cas de chargement statique 193 4-1-3-2. Cas de chargement cyclique 194
4-1-4. Commentaires 195
4-2. Exemple : Flambement d'un poteau 196 4-2-1. Données et modélisation 196
4-2-1-1. Géométrie et modélisation 196 4-2-1-2. Matériaux 197 4-2-1-3. Chargement 197
4-2-2. Résultats 198
4-3. Exemple : Portique plan multi-étagé - structure ISPRA 199 4-3-1. Données et modélisation 200
4-3-1-1. Choix d'un modèle plan "équivalent" 201 4-3-1-2. Modélisation de la structure "ISPRA plane" 202 4-3-1-3. Matériaux 202
4-3-2. Etude du comportement dynamique non-linéaire de la structure 203 4-3-2-1. Chargement 203 4-3-2-2. Résultats 204 4-3-2-3. Effets du dommage : variation de la fréquence, évolution de l'amplitude 206
4-3-3. Réponse sous chargement sismique 208 4-3-3-1. Chargement 208 4-3-3-2. Résultats 208 4-3-3-3. Effets du dommage sous chargement sismique 2i0
4-4. Exemple : Déversement des poutres.... ...211 4-4-1. Données et modélisation ...212
4-4-1-1. Système de chargement.. 212 4-4-1-2. Défauts géométriques 212 4-4-1-3. Matériaux 212 4-4-1-4. Modélisation 214
4-4-2. Comparaisons essais-calculs... 215 4-4-2-1. Exploitation des calculs 215 44-2-2. Résultats 216
4-4-3. Commentaires 218
4-5. Exemple : Poutres précontraintes 219 4-5-1. Données et modélisation , 220
Table 9
4-5-1-1. Géométrie , 220 4-5-1-2. Matériaux, 220 4-5-1-3. Maillage 222 4-5-1-1. Chargement 222
4-5-2. Mise en précontrainte 223 4-5-2 -1. Application de la force de précontrainte (condition aux limites en force) 223 4-5-2-2. Résultats..... 223
4-5-3. Capacité portante en précontrainte extérieure et intérieure , 226 4-5-3-1. Précontrainte extérieure et intérieure (condition aux limites en glissement) 226 4-5-3-2. Résultats 226
4-5-4. Commentaires 228
4-6. Exemple : Structure 3D à portiques multi-étagés sous chargement sismique.. .229 4-6-1. Structure "ISPRA 3D portiques", modélisation 230 4-6-2. Résultats 230 4-6-3. Commentaires 232
4-7. Conclusion..... 233
CONCLUSIONS 235
BIBLIOGRAPHIE ......239 RB1. Références Chapitre 1 24Ï RB2. Références Chapitre 2 245 RB3. Références Chapitre 3 250 RB4. Références Chapitre 4 251
ANNEXE..... .....253
./».IllItJLC i m \_^ï H C l C& HC TT 11 let 111*' TT Ml I11\C *•••••***••«*•••••#**•*••«•••••*•»«*•#••***«••«••••*•*•••••»*•*•••••*•••• é**D^
Al-1. Expression explicite du critère 255 Al-2. Expression de la dérivée du critère par rapport à G 256 Al-3. Paramètres du modèle de Willam-Wamke modifié 257
Annexe 2 : Elément poutre muitifibre ..259 A2-1. Champ de déplacement discrétisé 259 A2-2. Matrice des dérivées des fonctions d'interpolation 261
A2-2-1. Matrice [B] standard 262 A2-2-1. Matrice [B] pour le cas du glissement 263
A2-3. Matrice de rigidité de l'élément muitifibre à 14 DDL 264
Annexe 3 : Rotations semi-tangentielles 267 A3-1. Rotations infinitésimales et rotations finies 267 A3-2. Rotations semi-tangentielles.. 268
RESUME
Le but de cette thèse est l'étude prédictive par calcul aux éléments finis des effets de la fissuration à l'échelle de structures en béton armé et précontraint soumises à des chargements statiques, cycliques et dynamiques. Il s'agit d'une part de préciser les lois de comportement des matériaux constitutifs de ces structures, et d'autre part de développer des outils numériques adaptés.
Pour la modélisation du comportement du béton, un modèle du comportement macroscopique est présenté, couplant la plasticité à l'endommagement. Pour la partie plastique, il s'agit d'adapter la loi élastoplastique au comportement spécifique du béton. La (rnicro)fissuration du matériau est représentée à l'échelle macroscopique en termes de déformations plastiques, et l'apparition et l'évolution du dommage par l'évolution de variables plastiques. En particulier, la porosité plastique modélise la variation irréversible de l'espace poreux connecté créé par (micro)fissuration. Cette signification physique est à la base du couplage phénoménologique de la plasticité et de l'endommagement : les effets du dommage sont modélisés par une variation des caractéristiques élastiques fonction de la variable d'endommagement choisie : la porosité plastique.
Cette loi de comportement est utilisée au sein d'un élément fini particulier : l'élément poutre multifibre, issu de l'extension des approches multicouches au cas tridimensionnel. L'outil numérique développé permet de prendre en compte des phénomènes non-linéaires tant matériels que géométriques dans l'analyse de structures à poutres sous des chargement divers avec un temps de calcul raisonnable. Pour l'application au cas des structures en béton précontraint, la formulation prend en compte des déplacements relatifs (glissement) entre câble précontraint et béton : la précontrainte est traitée comme un problème de condition aux limites à l'interface acier-béton.
Ces développements sont mis en oeuvre dans un code de calcul par éléments finis. Au travers d'exemples d'applications numériques, le domaine d'application et les limites des outils proposés sont précisés. Ces outils se veulent une aide à la conception pour les ingénieurs, dans les études prédictives des effets du dommage à l'échelle des structures.
Mots clés : Béton armé - Béton précontraint - Plasticité - Endommagement - Porosité plastique -Elément fini pouffe multifibre - Analyse non-linéaire matériel et géométrique - Glissement à l'interface acier, béton - cyclique et dynamique.
12 Analyse statique et dynamique des structures en béton armé
ABSTRACT
This thesis seeks to study the effects of cracking at a structural level of reinforced and
prestressed concrete structures when subjects to static, cyclic and dynamic loading. This is done
by exploring the constitutive equations of materials at a structural level and by developing
appropriate numerical tools.
A macroscopic model coupling plasticity with damage is used for modelling the non-linear
behaviour of concrete. For the plastic part, the elastoplastic law is adapted to the specific
behaviour of concrete. The (micro)cracking of the material is presented at the macroscopic level
in terms of plastic strains, and the occurrence and development of damage by the evolution of
plastic variables. In particular, the plastic porosity models the irreversible variation of connected
porous space created by micro-cracking. This physical significance is at the basis of a
phenomenological coupling of the plasticity model with the damage model. Damage effects are
then accounted for by a degradation of elastic moduli as a function of the chosen damage
variable: the plastic porosity.
This material law is used within a multi-fiber finite beam element which is the extension of the
well established planar multi-layer beam element to the three dimensional case. This numerical
tool allows to account for material and geometrical non linear effects in the structural analysis of
beam type structures subject to various loadings at low computation costs. For prestressing, the
formulation takes into account the relative displacement between prestressing tendon and
surrounding concrete. It is thus treated as a boundary problem at steel-concrete interface.
These developments are implemented in a finite element program. Through a set of numerical
applications, we show the field of application of these developments, as well as their limits, as
design tools for structural engineers.
Keywords : Reinforced concrete - Prestressed concrete - Plasticity - Damage - Plastic porosity -Multifibre finite beam element - Material and geometrical non linear analysis - Slip at interface steel, concrete - cyclic and dynamic loading.
Résumé - Abstract - Zusammenfassung 13
ZUSAMMENFASSUNG
Diese Arbeit hat die Untersuchung des Tragverhaltens von Stahlbeton- und Spannbetonbauwerken unter statischen, zyklischen und dynamischen Lasten unter Berücksichtigung des Rissverhaltens von Beton zum Ziel. Es werden zum einen die Materialgleichungen für Beton untersucht, zum anderen angemessene numerische Hilfsmittel entwickelt.
Zur Modellierung des nichtlinearen Materialverhaltens von Beton, wird ein Modell entwickelt, das die Plastizität mit Damage (Steifigkeitsveriust des Materials) koppelt. Für den plastischen Teil wird die klassische Elastoplastizitätstheorie (Fliessflächen) im Rahmen der Thermodynamik irreversibler Prozesse an das spezifische nichtlineare Verhalten von Beton angepasst. Micro-risse des Materials werden auf dem Macro-level der Materialbeschreibung durch plastische Variablen beschrieben. Eine neue plastische Variable, die plastische Porosität, wird vorgeschlagen, die die irreversible Entwicklung des verbundenen porösen Hohlraumes infolge Microrissbildung beschreibt. Diese physikalische Bedeutung der plastischen Porosität bildet die Grundlage zur phenomenologischen Erweiterung des Models zu einem gekoppelten Plastizitäts-Damage Materialmodell für Beton.
Diese Materialgleichung wird infolge innerhalb eines finiten Multifiber-Balkenelements benutzt. Dieses Finite Element, welches die ebenen finiten Multischichten-balkeniemente in den SD-Bereich erweitert, kann zur Untersuchung von Raumstabtrakwerken unter Berücksichtigung von geometrischen und physikalischen Nichtlinearitäten mit geringen Rechenzeiten benutzt werden. Zur Modellierung der Vorspannung wird eine neue Finite-Element-Formulierung vorgeschlagen, wobei Relatiwerschiebungen zwischen Beton und Spannkabei als zusätzliche Freiheitsgrade eingeführt werden.
Diese Entwicklungen, Materialgleichung und Finîtes Element, sind in ein Finites-Element-
Programm integriert. Eine Reihe von Beispielen umreisst den Anwendungsbereich als auch die
Grenzen dieser Entwicklungen als Hilfsmittel für entwerfende Ingenieure.
Schlüssel : Stahlbeton - Spannbeton - Plastizitätstheorie - Damage - Plastische Porosität - Finites Balken-Fiber-Element - Physikalisch und geometrisch nichtlineare Berechnungen -Relatiwerschiebungen zwischen Stahl und Beton - Zyklische und dynamische Lasten.
AVANT-PROPOS
La fissuration des structures en béton armé fait partie intégrale de ieur fonctionnement, volontairement ou non : elle est à la base de l'activation des armatures sous sollicitations mécaniques, et elle résulte, même en l'absence de sollicitations mécaniques, du développement d'un champ d'auto-contraintes à l'échelle de la structure durant la phase de refroidissement qui suit la prise du béton. De plus, elle intervient à une large gamme d'échelles, de l'échelle microscopique à l'échelle de la structure. Alors, quelle est la relation entre la pathologie des ouvrages et leur fissuration ? -
On ne peut répondre à cette question sans considérer la fonction de l'ouvrage construit : c'est l'effet de la fissuration à une échelle et sous un type donné de sollicitation qui est à maîtriser par le concepteur d'un ouvrage en béton armé ou précontraint. L'échelle en considération est alors -avant tout - l'échelle de la structure.
L'effet de la fissuration à cette échelle (ou plutôt : l'effet du dommage) se quantifie de façons diverses liées au type de sollicitation. Par exemple, sous chargement dynamique, l'effet du dommage à l'échelle de la structure en béton armé correspond à une perte de rigidité globale, qui peut être caractérisée et quantifiée par la variation de fréquences propres (lemura et Jennings,
1974). Sous chargements cycliques, l'effet du dommage sur la structure peut être observé sous forme d'une dégradation progressive des boucles d'hystérésis charge appliquée - flèche (cf. Del
Toro, 1988).
La prise en compte de ces phénomènes pendant la phase de conception d'un ouvrage présente un
intérêt certain pour la sécurité des constructions, et un intérêt économique.
Les travaux présentés ici ont pour but l'étude numérique et prédictive de ces effets du dommage à l'échelle d'une structure soumise à des chargements statiques, cycliques et dynamiques. Pour cela, on utilise la méthode des éléments finis. Ce travail se compose de 4 parties :
16 Analyse statique et dynamique des structures en béton armé
Le premier chapitre est consacré à la modélisation des non-linéarités du matériau. Ceci nécessite
d'abord de modéliser le dommage qui se produit à l'échelle de la structure. Ici, après un bref
rappel des principes généraux utilisés dans les modèles existants, on a choisi d'adapter une loi
élastoplastique au comportement spécifique du béton. Le dommage est ainsi représenté en
termes de déformations plastiques (ou plutôt : permanentes), modélisant la fissuration du
matériau. Une variable plastique particulière est utilisée : la porosité plastique, quantifiant la
variation irréversible de l'espace poreux connecté. Dans un modèle élastoplastique adapté aux
bétons de structures, elle peut s'interpréter comme la porosité créée par fissuration. Par la suite,
cette signification physique est à la base de l'extension phénoménologique de 3a loi de
comportement élastoplastique à un modèle élastoplastique avec endommagement. Les effets du
dommage sont modélisés par une variation des caractéristiques élastiques, fonction de la variable
d'endommagement choisie : la porosité plastique.
Cette loi de comportement est utilisée au sein d'un élément fini particulier, l'élément poutre
muitifibre, présenté au second chapitre. L'outil numérique développé, issu de l'extension des
approches multicouches au cas tridimensionnel, permet de rendre compte des phénomènes non-
linéaires tant matériels que géométriques pour l'analyse de structures constituées de poutres, sous
des chargements divers, avec un temps de calcul raisonnable. L'élément est tout d'abord
développé dans le cadre de l'hypothèse des petites perturbations. Des extensions de la
formulation sont ensuite présentées, en intégrant d'une part les effets non-linéaires géométriques
des poutres (grands déplacements, déformation infinitésimale), et d'autre part l'effet de la
précontrainte. La prise en compte des non-linéarités géométriques s'effectue en utilisant des
techniques bien établies : une description lagrangienne actualisée avec traitement semi-tangentiel
des paramètres de rotation. La précontrainte est traitée dans un cadre nouveau, en tant que
problème de conditions aux limites à l'interface acier-béton, avec la prise en compte de manière
explicite des déplacements relatifs (glissements) entre les câbles de précontrainte et le béton.
La mise en oeuvre numérique des développements est présentée au troisième chapitre, où la
méthode itérative et l'algorithme d'intégration du temps pas à pas pour des problèmes
dynamiques sont précisés.
Enfin, le quatrième chapitre est consacré aux applications numériques. Les exemples précisent le
domaine d'application et les limites des développements effectués. Ces outils se veulent une aide
Avant-Propos 17
à la conception pour l'ingénieur, dans les études prédictives des effets du dommage à l'échelle
des structures.
Les travaux présentés ici sont le fruit d'une contribution du LCPC aux projets de recherche commun 3.3. et 3.4. du GRECO Géomatériaux (sols, bétons, roches). Ce cadre a joué un rôle important pour la direction choisie de ces travaux de formation complémentaire d'ingénieur par la recherche.
n - MDiDisiiJisfflr3Eif Mi^^irciHLasinoiJE mmü IMWMMEOMSMT
HSU METOK IDE STSMICTlimiES
1-0. INTRODUCTION
Toute loi de comportement est construite à une échelle de description donnée. Le modèle choisi
doit être d'une part assez complet pour rendre compte des phénomènes physiques observables, et
d'autre part assez simple pour identifier les variables introduites et quantifier les grandeurs
physiques correspondantes accessibles par l'expérience.
Le travail présenté a pour but le calcul non linéaire des structures en béton armé. La description
choisie est macroscopique et s'inscrit dans le cadre de la mécanique des milieux continus.
La difficulté de la modélisation du comportement du béton vient de la nécessité de prendre en
compte des phénomènes qui sont discontinus, intervenant à une large gamme d'échelles (ordre de
grandeur micrométrique pour les microfissures et ordre de grandeur centimétrique pour les
macrofissures). L'objectif de ce premier chapitre est de développer un modèle de comportement
élastoplastique avec endommagement pour le béton.
Ce chapitre est divisé en 4 parties.
Une première partie présente les principes généraux utilisés par les modèles existants basés sur la
mécanique des milieux continus. Parmi ceux-ci figurent les modèles élastoplastiques, les
modèles type "détérioration" et les modèles d'endommagement continu.
Une deuxième partie est consacrée à la modélisation élastoplastique du béton. Une loi
élastoplastique est développée dans le cas de chargements monotones croissants.
Dans une troisième partie, le domaine d'application de ce modèle est étendu aux cas des
chargements cycliques, avec un couplage entre plasticité et endommagement.
Enfin, la quatrième partie est consacrée aux limites du modèle proposé.
22 Modélisation élastoplasîique avec endommagement du béton de structure
1-1. MODELISATION DU COMPORTEMENT NON-LINEAIRE DU BETON
Dans ce qui suit, on se limite aux cas des évolutions isothermes et nous restons dans le cadre des
petites déformations. De plus, tout phénomène d'origine visqueuse ou de vieillissement est
négligé.
1-1-1. Description des non linéarités matérielles
Le matériau béton peut être observé à différentes échelles, de l'échelle microscopique à l'échelle
de la structure. L'échelle microscopique du béton non fissuré est donnée par la dimension de ses
plus grandes hétérogénéités, les agrégats. En revanche, la fissuration du matériau peut intervenir
à toutes les échelles, de celle des agrégats à celle de la structure, qui peut présenter des fissures
franches nettement localisées. Cet aspect multi-échelîe de la fissuration rend pratiquement
impossible la construction complète d'un modèle partant du microscopique pour arriver à un
comportement macroscopique, à l'aide de techniques d'homogénéisation. A cet aspect muiti-
échelle s'ajoute un aspect mulfi-composants du béton (pâte de ciment durcie, granulats et liaisons
pâte de ciment-granulats).
Pour modéliser cette fissuration, il faut d'abord supposer qu'une description continue des
phénomènes discontinus d'une matière hétérogène est possible à l'échelle macroscopique de la
structure, en postulant :
• l'hypothèse de continuité,
• l'hypothèse d'homogénéité de la matière (dans un sens "statistique").
L'hypothèse de continuité signifie que les propriétés physiques varient d'une façon continue d'un
point à un autre, tout en faisant abstraction de la constitution intime de la matière. On suppose
ainsi que le comportement non-linéaire du matériau est principalement imputable au
développement d'une microfissuration à une échelle inférieure : les variables utilisées pour
modéliser ce comportement non-linéaire rendront alors compte à l'échelle macroscopique des
effets de cette micTofissuration.
Chapitre 1 23
Les lois de comportement appliquées à l'échelle macroscopique pour le béton diffèrent en terme
de variables d'état. Les premiers modèles proposés ont été des relations élastiques non linéaires,
reliant contraintes et déformations {cf. Chen, 1982). Ces modèles ne seront pas développés ici.
Le but de cette partie n'est pas de détailler les divers modèles pour le béton. Il s'agit plutôt de
tracer les grandes lignes utilisées pour modéliser, à l'échelle macroscopique,
• l'apparition et l'évolution des déformations permanentes,
• le phénomène d'adoucissement et
• le phénomène d'assouplissement du béton.
illustrés sur la figure 1-1.
Déformations permanentes y n Figure 1-1 : Courbe uni-axiale de compression simple sous chargement cyclique (d'après Sinha et al. Î964) :
Illustration des effets macroscopiques à modéliser.
Assouplissement
Adoucissement
1-1-2. Loi élastoplastique
Dans la théorie de î'élastoplasticité appliquée à la description du comportement du béton, les
déformations permanentes observées lors de déchargements sont attribuées à un (ou plusieurs)
mécanisme(s) plastique(s). L'incrément de déformations totales est décomposé en une partie
élastique et une partie plastique (ou plutôt permanente) :
(1) d£ = de e +d£ p
et l'incrément de contraintes est calculé par :
24 Modélisation êlastoplastique avec endommagement du béton de structure
(2) dG = C 0 : (d£-d£ p )
avec C c le tenseur de comportement élastique.
Les modèles existants pour le béton diffèrent en termes :
• de la définition des domaines d'élasticité CE initial et actuel,
• de la loi d'évolution des déformations permanentes,
• du comportement écrouissable.
Dans la théorie êlastoplastique, c'est
• la notion de la surface de charge, qui répond à la question "quand" y a-t-il évolution des
déformations plastiques ?
• la règle d'écoulement répondant à la question "comment" s'effectuent ces évolutions ?
• la notion d'écrouissage, liant le "quand" et le "comment".
Dans les ouvrages de Germain (1973), de Lemaitre et Chaboche (1988) ou bien de Coussy
(1991), la notion de loi de comportement est développée dans un cadre thermodynamique global.
Ici, nous n'évoquerons l'approche thermodynamique que lorsqu'elle apportera une information
utile au problème que nous désirons traiter.
Pour les modèles élastoplastiques existants pour le béton, nous invitons le lecteur intéressé à se
reponer aux travaux de synthèse plus complets, notamment ceux de Chen (1982), repris et
complétés dans Chen et Han (1988), $ Eberhardsteiner et al. (1987) ou de Labbane et al.
(1993), où se trouve l'application de tous les éléments de la théorie rappelée brièvement ci-
dessous.
1-1-2-1. Critère de plasticité
Le domaine d'élasticité CE du matériau peut être défini comme un sous-ensemble de l'espace R6
des contraintes, sous la forme d'une fonction de charge f(<J). Pour un matériau plastique parfait
ou pour un matériau vierge, nous notons :
Chapitre 1 25
Figure 1-2 : Domaines d'élasticité du béton initial (1) et actuel (2).
(3) G e e E « f ( G ) < 0
Dans le cas d'un matériau écrouissable, le domaine d'élasticité £?E n'est plus fixe {figure 1-2). Il
dépend également de paramètres d'écrouissage Z, scalaires et/ou tensoriels :
(4) a6eE<=»f(a,z)<o
Il n'y a évolution des variables plastiques que lorsque le point de charge est situé sur la frontière
du domaine d'élasticité.
1-1-2-2. Règle d'écoulement
Le critère de plasticité défini par la fonction de charge f (G,z) répond à la question, "quand" y a-
t'il apparition et évolution des déformations plastiques. "Comment" s'effectue cette évolution, est
l'objectif de la règle d'écoulement.
Si l'on introduit une fonction convexe g(0,z), appelée potentiel plastique, l'évolution des
déformations plastiques est supposée vérifier les relations suivantes :
(5) dep = dÀ-^ 8o avec
|dX>0sif = 0 et df = 0
lc& = 0 s i f < 0 o u f = 0e td f<0
où dX est le multiplicateur plastique, et :
26 Modélisation élastoplastique avec endommagement du béton de structure
.. dî _ 8f AT df = —-:dG+-p.dÇ (6) df = ~
Si f(G,Z) = g(CF,Z), la règle d'écoulement est associée, et la direction des incréments de déformations plastiques est normale à la frontière du domaine d'élasticité actuelle CE (figure l-3a). Lorsque f (0,Z) * g(CT,z), la règle d'écoulement est non associée (figure l-2b). Le matériau est dit non standard (Halphen et Nguyen, 1975). Dans un cadre thermodynamique, £p est une variable d'état interne, et 3g/ do représente la direction suivie par d£p, parmi les directions possibles.
a.
Figure 1-3 : Illustration de la règle d'écoulement : a. associée / b. non associée
1-1-2-3. Dissipation intrinsèque
L'inégalité fondamentale locale de Clausius-Duhem pour des évolutions isothermes s'écrit
(7) G:è-WZ0
L'équation précédente exprime la non-négativité de la dissipation intrinsèque avec *F, l'énergie libre volumique, fonction des variables d'état thermodynamique. Dans le cas d'un matériau élastoplastique écrouissable, on a :
Chapitre 1 27
(8) ^ = T(£I£p,X) = ^-(E-ep):C0:(e-£p)+U(5C)
d'où :
• d*F • . dU • (9) ^ = ~ = a : 8 - 0 : £ P + ^ - . X
dt d%
où X s o n t l e s variables d'écrouissage et lî(%) l'énergie bloquée par écrouissage. Utilisant (9)
dans (7), la non-négativité de la puissance intrinsèque dissipée (en chaleur) s'écrit (Coussy,
1991):
3U • (10) # = O:£ p ~~- .X>0
où le premier terme de cette équation est la puissance plastique <I>P et le second est dû aux phénomènes d'écrouissage. On déduit de l'expression (10) de la dissipation intrinsèque, que les forces thermodynamiques associées dans la dissipation aux vitesses du tenseur des déformations plastiques et des variables d'écrouissage, sont respectivement le tenseur de contraintes G et le terme -8U ¡d%, appelé force d'écrouissage Ç :
(11) 2 = C et Ç = - | £
Dans (8) l'énergie bloquée U(%) est supposée indépendante de l'état de déformation £.
Enfin, l'évolution de £p est donnée par la règle d'écoulement (5). L'évolution de % est donnée
par la loi d'écrouissage.
1-1-2-4. Loi d'écrouissage
Le domaine d'élasticité initiale est donné par l'expérience. Son évolution dans l'espace des contraintes est décrite par les modèles d'écrouissage. La dépendance du domaine d'élasticité
28 Modélisation élastoplastique avec endommagement du béton de structure
actuel dans l'espace R6 de contraintes permet l'identification expérimentale des paramètres
d'écrouissage Z.
En vue de leur identification expérimentale, les modèles font intervenir un nombre limité de
paramètres d'écrouissage. On peut citer :
• le modèle d'écrouissage isotrope, où un seul paramètre scalaire z définit une transformation homothétique du domaine d'élasticité dans l'espace des contraintes;
• le modèle d'écrouissage cinématique, où un seul paramètre tensoriel Z définit la translation des frontières du domaine d'élasticité.
Les différents modèles et leur combinaison possible sont schématisés sur là figure 1-4.
OB=zOA a. Ecrouissage isotrope b. Ecrouissage cinématique
Figure 1-4 : Modèles d'écrouissage
c. Ecrouissage isotrope et cinématique
Supposons déterminée une fonction Z = Z(C|) représentative de l'évolution du domaine
d'élasticité CE (équation (4)). Cf regroupe les variables mesurables contrôlant l'évolution des
paramètres d'écrouissage Z. Il n'y aura possibilité d'évolution élastoplastique, avec modification de l'état d'écrouissage, que si un point de charge actuel est situé sur la frontière du domaine d'élasticité (f = 0), qu'il entraîne avec lui (df = 0), tout en le modifiant. On pourrait déterminer la relation supplémentaire pour l'écrouissage uniquement à partir de la relation de consistance (6) sous la forme :
Chapitre 1 29
(12) â-a-s-âi-*«-aî:*'c-*H
où H est le module d'écrouissage actuel. Une relation q = q(£p), avec la règle d'écoulement (5)
conduit à :
( 1 3 ) * * * * * .
az aq dep da
Dans le cadre de la thermodynamique, où les paramètres d'écrouissage Z sont les forces d'écrouissage C, associées aux variables d'état internes % (équation (11)), l'évolution des
variables d'écrouissage est décrite par une règle d'écrouissage, en supposant que l'on peut définir
un potentiel h tel que :
(14) dX = d l - F
où dh/dC, représente la direction prise par d%, parmi les directions possibles. Compte tenu des
relations (8) et (14), la relation de consistance df = 0, s'écrit :
d'où l'expression de H :
..,. „ df d2U dh (16) H-~p.-—-y.-rp
que nous utiliserons par la suite.
Pour un point de charge situé sur la frontière d'élasticité actuelle (f=0), on peut distinguer le cas de l'écrouissage positif, défini par H>0, de l'écrouissage négatif, défini par H<0, avec quelques implications sur la règle d'écoulement concernant le critère de charge / décharge :
30 Modélisation élastoplastique avec endommagement du béton de structure
(17a) PourH>0
c & > 0 s i f = 0 e t — : d G > 0
df d?, = 0 s i f < 0 o u s i f = 0e t~^ - :dG<0
(17b) PourH<0 {
àX>0 df
o u ?sif = 0 e t - — : d G < 0
d?.=oJ da
df dX = 0s i f<0ous i f=~:dG = 0
dû
On note que l'écrouissage négatif (équation (17b)) pose une difficulté inhérente de modélisation:
si le pilotage s'effectue en incrément de contraintes dG, et que cet incrément est tel que le
nouveau point de charge G + dG rentre à l'intérieur du domaine d'élasticité actuel CE, il est
impossible de distinguer une charge plastique (àX > 0) d'une décharge élastique (dÀ, = 0), figures
1-5. Par conséquent, un pilotage en incréments de déformations d£ est nécessaire pour
déterminer le domaine d'élasticité actuel d'un matériau adoucissant.
f(a ....)= 0
G + dG
- O G ,
f(G ,-)= 0
a. Charge plastique (dÀ. > 0) en écrouissage négatif (H < 0)
b. Décharge élastique (dA. = 0)
Figure 1-5 : Illustration de la difficulté de déterminer de façon univoque la condition charge/décharge dans le cas d'un matériau adoucissant
Chapitre 1 31
1-1-2-5. Restrictions thermodynamiques, énergie bloquée par écrouissage
L'approche thermodynamique évoquée ci-dessus pour décrire l'évolution de la variable d'écrouissage permet de déterminer les directions possibles, suivies par d£p et d%, imposées par
la non-négativité de la dissipation intrinsèque (10). Le potentiel non associé h, précisant la règle
d'écrouissage (14), peut être différent du potentiel non associé g, précisant la règle d'écoulement
(5). En revanche, les fonctions g et h ne peuvent être choisies de façon quelconque. Utilisant (5),
(11) et (14) dans l'inégalité (10), les potentiels g et h doivent satisfaire la condition suffisante :
(18, o£ + Cf *0 sif=0
La condition (18) définit ainsi les directions thermodynamiquement admissibles suivies par d£p
(éq.(5))ct d% (éq. (14)).
D'autre part, l'inégalité de Clausius-Duhem (10) montre que l'énergie dissipée en chaleur pendant
le temps dt est égal à <I>dt = <E>pdt - dU. Le terme -dU apparaît comme une énergie infinitésimale
non convertie en chaleur pendant le temps dt, mais qui ne peut être immédiatement restituée sous
forme d'un travail lors d'une rechargement (Coussy, 1991). C'est pourquoi on l'appelle énergie
bloquée par écrouissage. Les composantes de la puissance intrinsèque sont illustrées sur la figure
1-6, où les aires représentent l'intégrale des puissances des composantes de l'équation (10)
pendant un cycle de charge à partir de l'origine.
J<î>pdt = Energie plastique
Be1, 5e
J^dt Energie dissipée en chaleur Energie bloquée par écrouissage
Figure 1-6 : Illustration de la dissipation intrinsèque
32 Modélisation élastoplastique avec endommagement du béton de structure
Indiquons ici aussi l'origine de l'énergie bloquée par écrouissage. Pour cela, il faut descendre à
l'échelle microscopique, échelle en deçà de l'échelle adoptée pour la description continue des
évolutions élastoplastiques. Les phases de l'évolution élastoplastique provoquent à l'échelle
microscopique une modification de la structure de la matrice hétérogène. Une partie de ces
modifications est irréversible. Après une décharge complète du système, en raison de la structure
hétérogène de la matrice, l'état de déformation à l'échelle microscopique ne peut pas
correspondre à un état de plastification homogène. Par exemple, il pourrait exister des forces
résiduelles de contact élastique entre les composants de la matrice. En effet, comme un champ
de déformation purement plastique n'est pas compatible à lui seul, c'est à dire qu'il ne dérive pas
d'un champ de déplacement, la déformation élastique induite par ces contributions élastiques à
l'échelle microscopique assure la compatibilité cinématique des modifications irréversibles de la
structure de la matrice. Une certaine énergie n'est pas récupérée à la décharge sous forme de
travail, ni convertie sous forme de chaleur, mais bloquée - par écrouissage.
1-1-2-6. Formulation élastoplastique dans l'espace des déformations
Le comportement adoucissant (écrouissage négatif) pose une difficulté inhérente à la
modélisation (cf. 1-1-2-4) : on ne peut pas a priori distinguer une décharge élastique d'une
charge plastique, lorsque le pilotage s'effectue en contraintes. Cette difficulté a amené plusieurs
auteurs à proposer une formulation élastoplastique dans l'espace des déformations analogue à la
formulation plus classique dans l'espace des contraintes.
L'idée de base consiste à définir un état de contraintes de référence du matériau vierge élastique.
Sous forme incrémentale, on a :
(19) dO = d d - d O p avec dd = C0:d£
dap=C„:dep
où G est le tenseur de contraintes totales associé par l'équilibre mécanique à un effort extérieur
défini à l'échelle du système élémentaire, à est le tenseur de contraintes dites effectives, et <JP
est le tenseur dit de relaxation dû à la plastification. La règle d'écoulement s'écrit :
Chapitre 1 33
(20) dGp = dA 9G(e,q)
9e avec : {
dÀ>OsiF = O e t ^ : d £ > 0 de dF
dA = 0 s i F < 0 o u — :dE<0 8e
où ia fonction G ( E , q) est le potentiel plastique et la fonction F(Ê , q) la surface de charge ou
surface de relaxation {Yoder et Iwan, 1981). F définit le domaine d'élasticité CE dans l'espace des
déformations :
(21) E e e E « F ( £ , q ) < 0
L'équation (20) montre l'avantage de la formulation élastoplastique dans l'espace des
déformations par rapport à celle dans l'espace des contraintes : la définition de la condition
charge/décharge est univoque. A l'aide d'un état de contraintes effectives de référence attribué à
un état vierge de la matière, on ne fait pas la distinction entre î'écrouissage (positif)
( d<T >]dOTpj) . l'adoucissement ( dO <|d<Jp|), ou ie comportement plastique parfait (de = d<Tp)
du matériau, (figure 1-7). C'est pourquoi cette formulation est fréquemment utilisée pour
modéliser le comportement du béton {Han et Chen, 1986; Chen et Han, 1988; Chen, Yamaguchi
et Zhang, 1991; Pekau, Zhang et Liu, 1992; Mizuno et Hatanaka, 1992). Par ailleurs, comme
tout critère, qu'il soit de plasticité, d'endommagement ou de rupture fragile, ne peut se mettre a
priori que sous la forme f(G,...), (Coussy, 1991), le critère de relaxation F(£,q) peut
seulement être déduit d'un critère de plasticité f (C,Z) établi dans l'espace des contraintes (e.g.
Mizuno et Hatanaka, 1992).
oe
Adoucissement ~* r~ Ecrouissage positif
Figure 1-7 : Illustration de la modélisation du comportement ecrouissage (positif), plastique parfait et adoucissement dans ia formulation élastoplastique dans l'espace de déformations.
34 Modélisation élastoplastique avec endommagement du béton de structure
1-1-2-7. Limites de ia modélisation élastoplastique du béton
Une modélisation élastoplastique permet de modéliser les déformations permanentes, et le
comportement écrouissable et adoucissant du béton. Mais elle ne rend donc pas compte du
phénomène d'assouplissement (variation des caractéristiques élastiques), et surestime la valeur
des déformations permanentes dans le domaine d'adoucissement, (figures 1-8). D'un point de vue
pratique, cela signifie en particulier que ce type de modèle n'est pas adapté à l'étude des
structures en béton soumises à des chargements cycliques.
a. Courbe uni axiale de compression simple sous b. Modélisation élastoplastique correspondante, chargement cyclique (d'après Sinha et al., 1964). a v e c écrouissages posiüf et négatif.
Figure 1-8 : Illustration des limites de la modélisation élastoplastique concernant l'application au cas d'un chargement cyclique
Supposant qu'une description continue du phénomène d'assouplissement est possible à l'échelle
macroscopique de la structure, on est amené à définir une variable macroscopique, prenant en
compte d'une façon explicite ou implicite la variation des caractéristiques élastiques. La
définition même d'une telle variable mécanique pose un problème complexe, car les phénomènes
discontinus de microfissuration auxquels cette détérioration est attribuée sont difficilement
quantifiables à l'échelle de description macroscopique. Les paragraphes suivants sont consacrés à
quelques modèles existants qui prennent en compte ce phénomène.
Parmi les modèles décrivant le comportement d'assouplissement à l'échelle macroscopique, on
peut distinguer, selon les variables utilisées :
Chapitre 1 35
• les modèles de détérioration due à la fissuration, caractérisés par l'utilisation explicite d'une variable de déformation associée à la fissuration,
• les modèles d'endommagement avec des variables (scalaires ou tensorielles) décrivant d'une façon explicite la dégradation progressive des caractéristiques élastiques.
La principale différence entre ces deux ensembles de modèles réside dans l'existence ou non d'une élasticité infinitésimale.
1-1-3. Modèles de détérioration
1-1-3-1. Formalisme général
D'une façon générale, les modèles de détérioration due à la fissuration attribuent les déformations anélastiques à deux mécanismes, l'un d'origine plastique et l'autre associé à des fissures réparties d'une façon régulière dans un volume élémentaire dû :
(22) d£ = d£e+d£p+d£ f
La décomposition (22) conduit à exprimer l'incrément de contrainte de manière analogue à celle de l'équation (2) :
(23) dö = C0 :(d£-d£p-d£ f)
avec C0 le tenseur de comportement élastique, indépendant de l'état physique (plastification,
détérioration) du matériau. Ainsi, on constate l'existence d'une élasticité infinitésimale. L'effet d'assouplissement est pris en compte d'une façon implicite par l'intermédiaire de d£f. On écrit également : (24) dG = dÔ-dGp-dG f
où d<Tf est l'incrément du tenseur de relaxation due à la fissuration.
Les relations précédentes sont illustrées sur la figure 1-9.
36 Modélisation élastoplastique avec endommagement du béton de structure
La déformation permanente due à la refermeture incomplète des fissures dans le cas d'un
déchargement total est seulement attribuée à des déformations d'origine plastique, tandis que les
déformations de fissuration 6f s'annulent après une décharge totale, figure 1-9 {Han et Chen,
1986; Klisinski et Mroz, 1988), ce qui revient à supposer pour un cycle complet de charge-
décharge en contraintes :
(25) E f = | d £ f = 0
La condition (25) peut être considérée comme une relation supplémentaire pour le
déchargement. D en existe de variées.
Figure 1-9 : Illustration de la décomposition incrémentale du tenseur des déformations et des contraintes (d'après Han et Chen, 1986).
de fi"+d£P
Les modèles existant diffèrent en termes de détermination de d£f ou àOf. On peut distinguer
deux approches différentes, qui peuvent être toutefois complémentaires :
• d'une pan, il s'agit des modèles issus des modèles orthotropes de fissuration répartie
("smeared cracking approaches") (de Borst et Nauta, 1985; Gajer et Dux, 1990)
• à distinguer de ceux postulant un potentiel de dissipation pour décrire leur évolution (Bazant
etKim, 1979; Han et Chen, 1986; Klisinski et Mroz, 1988; GajeretDux, 1991).
Chapitre 1 37
1-1-3-2. Modèles orthotropes de fissuration
Les premiers modèles orthotropes de fissuration répartie ("smeared cracking approaches") datent de la fin des années 60 (Rashid, 1968). Après fissuration, le comportement initialement isotrope est remplacé par une relation orthotrope reliant les contraintes et les déformations dans le repère principal des déformations, considéré comme repère de fissuration. On peut distinguer les modèles où les axes d'orthotropie sont fixés avec le début de la fissuration ("fixed smeared crack models"), de ceux où les axes d'orthotropie sont en rotation, attachés aux vecteurs propres unitaires associés aux valeurs propres du tenseur de déformations ("rotating smeared crack concept"), (cf. de Borst, 1991). Cette approche, souvent retenue pour l'analyse non linéaire de structures planes en béton armé, peut être considérée comme une extension des modèles élastiques non linéaires liés à un repère particulier de fissuration, et où la décomposition des déformations (22) n'apparaît qu'implicitement.
Dans les modèles où cette décomposition intervient de manière explicite (de Borst et Nauta,
1985; Gajer et Dux, 1990), on suppose que les ouvertures de fissures ont lieu dans un plan repéré par une normale n donnée par le vecteur propre unitaire associé à la valeur propre du tenseur des déformations d'extension. Les fissures sont considérées comme étant planes et parallèles, uniformément réparties sur une longueur caractéristique b (figure 1-lOa). Elle permet de lier l'ouverture de fissure w à une grandeur de déformation de fissuration dans le volume élémentaire sous la forme :
(26) dw = b.de^
On utilise ici un critère énergétique de la mécanique non linéaire de la rupture :
W efw . - - 2
(27) G f=JaLdw = b . J c L d e L = - | - b
où Gf est "l'énergie de rupture", î[ la résistance en traction simple et Ef le module liant afm et
Esm d'une façon linéaire, (figure l-10b). "L'énergie de rupture" est l'énergie nécessaire pour qu'une
fissure s'ouvre de w=0 («-o^ =î[) à w=W (<=>o^ =0). "L'énergie de rupture" et la courbe (CJ^-W) sont considérées comme étant des propriétés intrinsèques du matériau.
38 Modélisation élastoplastique avec endommagement du béton de structure
Avec quelques hypothèses supplémentaires concernant î'activation du frottement dans le plan de
fissuration, on établit des relations reliant contraintes et déformations de type :
(28) àGfa =C f 0(G f ,b,f; ,E f , - .) :de^
où Cf0 est le tenseur de comportement dans le repère de fissuration, et ne dépend que des
propriétés intrinsèques (Gf,b,fs,Ef,...) du matériau. Cette formulation peut être étendue aux cas
de plusieurs fissures de directions différentes (de Borst et Nauta, 1985), avec prise en compte de
la densité de la fissuration dans le volume élémentaire considéré (Gajer et Dux, 1990).
î<4
a. Fissures planes parallèles b. "Energie de rupture" uniformément réparties
Figure 1-9 : Illustration des déformations de fissuration et liaison avec la mécanique de la rupture (d'après Gajer et Dux, 1990)
La description macroscopique est effectuée par l'intermédiaire d'une longueur caractéristique b.
Cette longueur b constitue un outil numérique nécessaire imposé par la description continue
choisie. Mais des propriétés intrinsèques comme l'énergie de rupture Gf sont difficiles à
déterminer (Petersson, 1980; Hillerborg, 1985). De plus, le modèle stipule l'observabilité de
directions privilégiées non associées à la matière, mais aux valeurs propres d'une grandeur
d'ordre cinématique, le tenseur de déformations totales £. On peut se poser la question de
l'objectivité spatiale des relations liants les contraintes et les déformations. Enfin, cette approche
s'étend difficilement au cas tridimensionnel.
Chapitre 1 39
1-1-3-3. Un potentiel de détérioration
La décomposition (22), respectivement (24), a amené plusieurs auteurs à traiter l'évolution des
déformations, liée au processus de détérioration interne, à Faide d'un potentiel h(<J)
(respectivement, H(£)) tel que l'évolution des déformations de détérioration (respectivement,
l'évolution des contraintes de relaxation associées à la détérioration) vérifie (Dougill, 1976;
Bazant et Kim, 1979; Klisinski et Mroz, 1988; Gajer et Dux, 1991) :
(29) d£*=d? i— (respectivement, dGf =dA~—) ÓG de
Les relations précédentes répondent à la question "comment" ? Qu'en est-il de la question
"quand" ? En particulier, compte tenu de la condition de décharge totale (25), que se passerait-il
dans le cas d'un déchargement ? En effet, en l'absence d'autres variables (comme
l'endommagement) qui traduisent l'effet du tenseur de déformation de détérioration sur les
caractéristiques élastiques, ces modèles ne peuvent être utilisés que pour décrire l'évolution de
£f sous un chargement croissant.
Pour ce qui concerne les déchargements, une relation supplémentaire est nécessaire. Par
exemple, on peut supposer d<Jf fonction d'une variation des caractéristiques élastiques dC et du
tenseur des déformations recouvrables totales £ - £p (Han et Chen, 1986) :
(30) dGf = d C : ( £ - £ p )
qui conduit à réécrire l'équation (23) sous la forme :
(31) dO = C0:(d£-d£p)-dC:(£~£p)
Sous la forme (31), le tenseur d£f n'apparaît qu'implicitement, et on peut constater la perte
d'élasticité infinitésimale. Le tenseur dC peut par exemple être exprimé en fonction du tenseur
de déformations plastiques £p (Dafalias, 1977, Han et Chen, 1986). Dans ce cas, on suppose que
les déformations plastiques rendront compte à l'échelle macroscopique des effets de la
microfissuration : la variation de caractéristiques élastiques est ainsi liée à une variable
macroscopique mesurable.
40 Modélisation élastoplastique avec endommagernenî du béton de structure
Ce type de modèles est à distinguer des modèles d'endommagement.
1-1-4. Théorie de l'endommagement
Dans l'application de la théorie de l'endommagement au comportement spécifique du béton on
imagine une variable interne D (scalaire ou tensorielle), définie à travers la variation de modules
apparents. Par exemple, dans le cas scalaire, on a :
(32) D = l - |
où E et Ë s'interprètent respectivement comme les modules d'Young du matériau vierge et du
matériau endommagé. Utiliser ainsi la théorie d'endommagement pour modéliser l'effet
d'assouplissement conduit à supposer l'existence d'une variable D qui, quant à elle, est définie à
travers la variation des caractéristiques élastiques. L'évolution de D est déterminée de manière
deductive à partir de mesures de la variation de modules apparents, rapportée à un état vierge du
matériau considéré comme "sain". Ceci conduit à la notion de contraintes effectives en
endommageaient, initialement proposée parLemaitre et Chaboche (1988).
1-1-4-1. Contraintes effectives en endommagement
Le concept de contraintes effectives en endommagement peut s'exprimer sous la forme suivante :
(33) G = M(D).G = (I-D).G
où M(D) = I-D est l'opérateur d'endommagement liant les contraintes effectives Ô aux
contraintes totales 0 . I et D sont respectivement le tenseur unité et le tenseur
d'endommagement.
Le tenseur G est considéré comme le tenseur de contraintes qu'il faudrait appliquer au matériau
vierge pour obtenir le même tenseur de déformations élastiques que celui produit par le tenseur
G sur le matériau endommagé, (figure l-ll).
Chapitre 1
M(D)
41
- * o
ee
Matériau endommagé
zra
-ht-( ! „ _ • » (
Matériau "sain
Figure 1-11 : Principe d'équivalence en déformation (élastique) (d'après Ju, 1989)
Les contraintes effectives sont supposées être les contraintes agissant sur l'aire résistante (ou
effective) d'une section de l'élément de volume, telles que :
(34) Vda ¡dF=â .ndâ = 0 .nda
[dâ = ( l -D)da
où dâ est la facette effective et da l'aire de la facette totale. La première relation constitue la
définition des contraintes effectives en endommagement, établissant le caractère tensoriel de Ö.
La deuxième relation est une définition de la variable d'endommagement D comme quantité
surfacique, considérée comme "mesure mécanique" de l'endommagement relatif à la direction
n , (Lemaitre eî Chaboche, 1988). Cependant, on peut se poser la question du rôle joué par une
variable d'état définie comme une quantité surfacique dans la dissipation volumique où elle
apparaîtra.
Une définition volumique de l'endommagement est proposée par Franziskonis et Desai
(1987a_c). Le comportement macroscopique du béton est considéré comme étant la combinaison
des deux parties : une partie représente le comportement du matériau sain du volume d£î, l'autre
représente le comportement du matériau autour de microfissures, sans contraintes, occupant le
volume d£2d, et dû = dÔ+dild , (figure 1-12).
On introduit une variable d'endommagement scalaire, décrivant l'effet de la partie endommagée
sur le comportement global dans le volume élémentaire, sous la forme :
(35) VdO dÛ = ( l -D)dQ
4 2 Modélisation élastoplastique avec endommagement du béton de structure
où D est le scalaire d'endommagement, tel que D = 0 pour le matériau vierge, et D = 1 à la ruine.
La définition (35) d'un volume effectif d û ne peut être ni justifiée ni vérifiée. dÙ n'est pas le volume solide, c'est à dire îe volume apparent diminué des vides, et dQá ne correspond pas au
volume créé par microfissuration, mais à l'espace affecté par la fissuration. De plus, en raison de
la géométrie hétérogène du matériau à l'échelle microscopique, l'hypothèse d'un état des
contraintes relâché semble peu probable.
Concentration des contraintes
Microfissure
Figure 1-12 :
Schéma à deux composantes du comportement. di2d correspond à l'espace affecté par la microfissuration, on le considère comme étant sans contraintes. (d'après Frantziskonis etDesai. 1987)
On constate ici, que la définition même de la variable d'endommagement pose un problème, et
les définitions (34) ou (35) n'apportent aucune indication supplémentaire pour la détermination
expérimentale de l'endommagement. Il apparaît ainsi, que la "mesure" de l'endommagement
correspond à la "mesure" d'un modèle posé a priori : cette variable n'est pas accessible d'une
façon directe par l'expérience, mais à travers une interprétation.
1-1-4-2. Modèles d'endommagement
Les modèles existant pour le béton peuvent être distingués en fonction de l'ordre tensoriel des
variables d'endommagement utilisées, notamment
Chapitre 1 43
• le modèle d'endommagement scalaire (tenseur d'ordre 0), issu du concept d'endommagement
scalaire de Kachanov (1958) et Rabotnov (1963) appliqué au béton par exemple par Mazars
(1984), Resende (1987), Frantziskonis etDesai (1987*~c).
• les modèles d'endommagement tensoriel d'ordre 1, 2 et 4 avec ou sans déformations
anélastiques (Cordebois, 1983; Ramtani, 1990; Jubran etCofer, 1991).
Sous forme incrémentale, on a :
(36) dtf = ( I - D ) . d â - d D . d
Cet incrément de contraintes dépend de do et Ö : on constate la perte d'élasticité infinitésimale.
De plus, si le tenseur d(J n'est pas constitué d'une façon isotrope des deux composantes
(I-D).dG et dD.(J, on parle d'une anisotropic induite. Cette anisotropic est à distinguer de
l'anisotropie du modèle d'endommagement, si l'opérateur d'endommagement M(D) a une forme
anisotrope.
En outre, on peut distinguer les- modèles d'endommagement couplés à l'élasticité (par exemple
Mazars, 1984) de ceux couplés à la plasticité {Frantziskonis et Desai, 1987a~c; Ju, 1989). Dans
tout ce qui suit, on ne considère que le cas de l'endommagement scalaire.
1-1-4-3. Plasticité et endommagement
Plusieurs auteurs ont supposé que les contraintes locales dues à la microfissuration, sont
redistribuées dans un domaine "effectif dÙ. Ces redistributions provoquent un état de
contraintes dans dÙ plus important que celui qui est lié par l'équilibre mécanique à un effort
extérieur. En conséquence, l'écoulement plastique est supposé dû aux "quantités effectives",
comme le tenseur de contraintes effectives. Le critère de plasticité peut se mettre sous la forme
d'une surface de charge en fonction des contraintes effectives, définissant avec des paramètres
d'écrouissage Z le domaine "élasto-endommagé" eE.D, et on a :
(37) ÔeeE .D <=* f = f(G,Z)<0
et, comme règle d'écoulement :
44 Modélisation élastoplastique avec endommagement du béton de structure
de fdX>Osif = 0 etdf = 0 (38) d £ p = d X - ~ avec: <
dO dX = Osi f<0 ouf = O e t d f < 0
avec g = g(G,Z) le potentiel plastique. La règle d'écoulement en contraintes effectives assure
que la direction dg/dö prise par d8p parmi les directions possibles est indépendante de l'état
d'endommagement.
Pour démontrer l'effet de l'endommagement sur le domaine d'élasticité, prenons un matériau
élastoplastique parfait avec endommagement scalaire, avec un critère de plasticité effectif qui se
met sous la forme du critère de plasticité classique de Drucker-Prager :
(39) f (Ö)-T + / ( ö - p ) avec M ô = trÔ/3 G = Ktr(E-£p)
x = J2(d)=^s:§ s = o-ôi=2G(e-ep)
où les invariants x et à sont définis en fonction des contraintes effectives O, K et G sont les
modules élastiques de compression et de cisaillement, et (e-ep) le déviateur des déformations
élastiques. / , coefficient de frottement, et p , pression de cohésion, sont des constantes.
Considérons un modèle où la variable d'endommagement D agit d'une façon identique sur les
deux caractéristiques élastiques K et G. Pour un point de charge effective sur la surface, on a
alors :
(40) f(ô) = - î — + / ( — p) = 0 1-D 1-D
f(a) = T + / ( C - ( l - D ) p ) = 0
Considérons maintenant le cas où la variable d'endommagement n'agit que sur le module de
cisaillement. Pour un point de charge effective sur la surface, on a ainsi :
(41) f(G) = — + / ( c - p ) = 0 f(O) = T + / ( l - D ) ( a - p ) = 0
La figure 1-13 montre l'effet de l'endommagement sur le domaine d'élasticité dans le demi-plan
(o",x). L'endommagement a un effet similaire à un écrouissage isotrope négatif.
Chapitre 1 45
P(l-D) î> G=G(I-D) 0 = 0
a. Equation (40) : *. Equation (41) : G = G(1-D) et K = K ( l - D ) G = G(Î -D) et K = K
Figure 1-12 : Influence de la variable d'endommagement scalaire sur le domaine d'élasticité du critère de Drucker-Prager,
illustrée dans le demi-plan (0",T)
1-1-4-4. L'évolution de l'endommagement
Comme on l'a vu, la mesure directe de l'endommagement pose problème, dans le sens où ce n'est
pas la variable qu'on peut mesurer dans l'expérience, mais la variation de modules apparents, i.e.
une fonction de type E=E(t), G=G(t) ou K=K(t). Ceci conduit à travers l'interprétation (par
exemple équation (32)) à la détermination d'une fonction D=D(t). Supposons de plus, qu'on a
également déterminé dans l'expérience une fonction q = q(t) d'une variable q, considérée
comme variable d'évolution d'endommagement. On peut ainsi établir une fonction D = D(q).
Mazar s (1984) propose de piloter l'évolution de l'endommagement scalaire en fonction d'une
déformation équivalente, définie par :
(42) D = D(ê) et Vi=u
avec : (x) = [x six>0 ¡0 six<0
où Ei sont les valeurs propres du tenseur des déformations totales. Le paramètre q = i est
considéré comme étant représentatif de l'état local d'extension (volumique), et prend en compte
la dissymétrie du comportement du béton en traction et en compression dans un modèle
46 Modélisation élastoplastique avec endommagement du béton de structure
d'endommagement couplé à l'élasticité. Dans ce modèle, il n'y a évolution de D que s'il y a
augmentation de e .
Dans leur modèle d'endommagement couplé à la plasticité, Frantziskonis et Desai (1987)
proposent une évolution de l'endommagement fonction de la distorsion plastique équivalente :
(43) D = D(yp)
avec :
(44) YS, = JdYj, avec dy^ = ^-dy p :dY F >0
où: d y p / 2 = dep = d£ p - t r (d£ p /3 ) l
Dans ce modèle, il n'y a évolution de D que s'il y a évolution plastique (f = 0 et df = 0).
Par ailleurs, la variable q = y^ a un sens physique indépendant de la loi d'évolution D = D(y^).
En effet, pour un comportement isotrope, l'incrément dy^ est, à un facteur multiplicateur (de
dilatance 6 ) près, égal à l'incrément de déformation volumique irréversible tr(d£p) :
(45) tr(d£!!) = Ôdyp!
[6 > 0 plastiquement dilatant
[ô < 0 plastiquement contractant
On pourrait ainsi faire dépendre directement les caractéristiques élastiques (K.G) de q
fK = K(q) fK = K(D) (46) {„ „ au heu de : <
| G = G(q) [G = G(D)
de manière habituellement utilisée (par exemple par Frantziskonis et Desai (1987)).
Un tel modèle aurait surtout l'avantage sur les modèles classiques d'endommagement que la variable d'endommagement q est cette fois mesurable.
Cette démarche a été proposée par Fauchet (1991), en conclusion de ses travaux, pour construire
un modèle "poroplastique endommageable".
Chapitre 1 47
1-1-4-5. Cadre thermodynamique d'un modèle élastoplastique avec endommagement
Supposons alors que la variable q est une variable plastique :
(47) q = X
et l'existence d'une énergie libre de la forme :
(48) 2¥ = 2G(X)(e-ep):(e-ep)+K(X)tr2(E-£p)+2U(X)
L'hypothèse (47) est cohérente avec celle relative à la modélisation continue de la fissuration du béton, dont on suppose que le comportement non-linéaire du matériau est principalement imputable au développement d'une microfissuration à une échelle inférieure : en rendrant compte à l'échelle macroscopique des effets de cette microfissuration la variable plastique % modélise le
phénomène d'adoucissement et le phénomène d'assouplissement du béton.
La dissipation intrinsèque s'écrit
(49) $ = Op -rdy° du}
.%>0
où *F° = *F - U, et 4>p est toujours égal à <J:£p. Dans cette expression, l'incrément d% = %dt est
l'incrément d'une variable observable, mesurable expérimentalement indépendamment de la
variation des caractéristiques élastiques. Mais on note que la force associée à la variable plastique % n'est plus la force d'écrouissage définie par l'expression (11) mais
«m r v ôU __ d*¥° 3GQ0, P w „, 3K(Y) 2 /
(50) Ç = Y— - - avec: Y = ~ — - = ~ k i ( e - e p ) : ( e - e p ) ~ ^ t r 2 ( E - E p )
La force associée à l'écrouissage dépend a priori non seulement de la variable d'écrouissage mais également de la déformation élastique £ — £p. Par ailleurs, dans le cadre de l'hypothèse de déformations infinitésimales (Le. £ « 1), on peut négliger les termes quadratiques en e et tr£ dans l'équation (50). Grâce à la décomposition (1), on peut également appliquer cette hypothèse aux déformations plastiques, ce qui vient à supposer que :
48 Modélisation élastoplastique avec endommagement du béton de structure
(51) | Y | « au(x)
dX * 3X
L'hypothèse (51) assure l'indépendance de la force d'écrouissage vis à vis la variable d'état externe, le tenseur de déformation £. En plus, les restrictions thermodynamiques qui concernent les potentiels g et h sont celles du modèle plastique standard :
(52) a:-^ + Ç.fâO sif=0
1-1-5, Vers un modèle élastoplastique avec endommagement
Il est donc possible d'améliorer un modèle élastoplastique en le couplant avec un endommagement où la variable q est une variable d'écrouissage, donc mesurable.
Pour développer un tel modèle, il faut d'abord préciser la loi de comportement élastoplastique de
base : c'est ce que nous présentons dans le paragraphe qui suit. Ce modèle sera applicable dans
les cas de chargements monotones croissants.
L'amélioration apportée par l'endommagement permettra d'étendre le domaine d'application de ce modèle élastoplastique aux cas de chargements cycliques, voir dynamiques.
Chapitre 1 49
1-2. MODELISATION ELASTOPLASTIQUE DU BETON
Nous examinons dans ce paragraphe comment une loi élastoplastique peut être adaptée au matériau constitutif des structures en béton, béton armé, béton précontraint, à une échelle qui leur est propre, c'est à dire de l'ordre du mètre.
Les évolutions irréversibles du béton seront modélisées par les variables d'état plastiques du matériau : les déformations plastiques (ou plutôt permanentes) rendront compte à l'échelle macroscopique des effets de la microfissuration. Les développements présentés ici n'ont donc-pas pour objectif l'étude d'une fissure franche en tant que discontinuité dans l'ouvrage, mais la prédiction de l'apparition de dommages (concentrés), représentés en termes de déformations permanentes.
Le modèle développé se veut avant tout une aide au concepteur des ouvrages d'art en béton.
Ainsi, pour être pratiquement utilisable, les paramètres intervenant dans le modèle doivent être
en nombre limité et avant tout avoir une signification physique claire.
Dans ce paragraphe, après un bref rappel des quelques phénomènes expérimentaux, nous détaillons les composantes du modèle élastoplastique adapté au béton : le critère de plasticité, la règle d'écoulement, la règle d'écrouissage, les restrictions thermodynamiques...
En ce qui concerne le critère de plasticité, notre choix s'est porté sur le critère de Willam-Warnke
(1975) à trois paramètres, présenté par exemple pour le cas plastique parfait par Fauchet (1991). Il s'agit d'une modification du critère de Drucker-Prager adapté au béton. Ici, ce critère est brièvement présenté, en intégrant un écrouissage isotrope. L'étude des limites de ce modèle justifie dans la suite la proposition d'un critère modifié. Il s'agit d'un critère à quatre paramètres. Il est bien différent du critère de ruine de Willam-Warnke à 5 paramètres, présenté dans de multiples travaux de synthèse (Chen, 1985, repris et complétés dans Chen et Han, 1988; Eberhardsteiner et ai, 1987; Labbane et al., 1993). Par rapport au critère à trois paramètres, les modifications portent en particulier sur la forme des méridiens, et sur la distinction entre comportements plastiquement contractant et dilatant. Cette distinction permet l'élaboration d'un modèle d'écrouissage avec une variable d'écrouissage nouvelle : la porosité plastique.
Un rapide récapitulatif du modèle élastoplastique proposé terminera ce paragraphe.
50 Modélisation élastoplastique avec endommagement du béton de structure
1-2-1. Quelques notations et définitions
Afin d'alléger la présentation, notons quelques définitions auxquelles nous nous référons dans la
suite :
(o , ,0 2 ,G 3 ) sont les valeurs principales du tenseur des contraintes (J, ordonnées suivant a1>o2>o% . Définissons ensuite le triplet (c,T,ö), fonction univoque des trois invariants du
tenseur 0 , par :
(53) c = t r a / 3
cos 6 = — -12 %
où S = O — a l est le déviateur de O. Notons de plus, que l'angle de Lode 6 ne peut varier
qu'entre :
(54) 0°<6<60°
Aux deux bornes des inégalités (54), on peut associer des points de charge, tels que :
f V o\ > o, = G, , 6 = 0° (55) < K {Vo^o^a^ 6 = 60°
L'essai de compression simple correspond ainsi à 6 = 60°, tandis que 0 = 0° correspond aux
essais de traction simple et de compression biaxiale.
Dans l'espace R3 des contraintes principales, on appelle axe hydrostatique (ou trisectrice) l'axe 1
passant par l'origine et de vecteur directeur unitaire U = -T=-(1,1,1), correspondant aux états de
contraintes isotropes pour lesquels G = a l et x = 0.
Enfin, un plan déviatorique est défini comme un plan orthogonal à l'axe hydrostatique. Les
projections orthogonales des axes de coordonnées sur ce plan font un angle de 60° les uns par
Chapitre 1 51
rapport aux autres. Dans le cas d'un matériau isotrope, les indices des axes (1,2,3) sont arbitraires. Par conséquent, la coupe déviatorique d'une surface représentant un critère isotrope doit avoir une triple symétrie.
1-2-2. Faits expérimentaux
Un état vierge ou "sain" du matériau béton n'existe jamais. Même en absence de sollicitation mécanique, le matériau présente une fissuration plus ou moins intense {Wittmann, 1982) due au développement de champs d'auto-contraintes à l'échelle de la structure durant la phase de refroidissement qui suit la prise du béton. Ici, ces phénomènes sont négligés et on considère que la cause majeure de la fissuration est la forte sollicitation mécanique du matériau.
1-2-2-1. Limites de rupture
La figure 1-14 présente une courbe enveloppe typique de rupture du béton pour des états de contraintes biaxiales (contraintes planes) dans l'espace des contraintes principales o : - c2
(Kupfer et ai, 1969), avec les directions des plans de fissurations correspondants (Nelissen,
1972). Dans ce plan, trois caractéristiques mécaniques sont précisées : la résistance en compression simple ac, la résistance en traction Gt et la résistance en compression biaxiale a^.
L'ordre de grandeur du rapport entre ces différentes caractéristiques est le suivant :
o t / o c »0,1 et 0^/(^*1,15
Pour ce qui concerne la limite de rupture sous état de contraintes triaxiales, les formes des méridiens de compression (0 = 60°) et de traction (0 = 0°) sont illustrées sur la figure 1-15 dans le demi-plan (x,o). On notera une relation quasi linéaire entre x et ö dans le domaine des faibles
confinements et une forme plus courbée pour des pressions hydrostatiques importantes. Le domaine d'élasticité initiale, de surface fermée sur l'axe hydrostatique, est également présenté figure 1-15.
52 Modélisation élastoplastique avec endommagement du béton de structure
Figure 1-14 : Limite de rupiure du béton en sollicitations biaxiales avec directions des plans de fissuiation correspondants (d'après Nelissen, 1972)
Chapitre 1
Figure 1-15 : Limite de ruine pour le béton dans les demi-pians (x, O) des méridiens de compression et de traction avec quelques chemins de chargement (d'après Chen et Han, 1988). Les points A,B,C
correspondent aux résistances en compression simple, traction simple et compression biaxiale. Les point D et E correspondent aux limites de ruine dans deux essais triaxiaux.
54 Modélisation élastoplastique avec endommagement du béton de structure
1-2-2-2. Comportement uniaxial du béton
La figure 1-16 présente une courbe typique ö - e du béton en compression simple et en traction
simple. En compression, on peut distinguer les phases suivantes (Chen, 1982) :
• 0-0,3 Gc : domaine élastique;
• 0,3-0,75...0,8 o~c : fissuration stable dans le sens où les longueurs de fissures sous chargement
constant atteignent rapidement leur valeur finale; • 0,75...0,8-1.0ae : fissuration instable conduisant à un comportement adoucissant si l'essai est
piloté en déplacement.
On note également le comportement disymétrique du béton en compression et en traction.
a Figure 1-16 : £ ° Courbe G—£ uniaxiale du béton ,f\> & e (compression simple et traction simple)
/ -I -0,30e
-0.75ac
1-2-2-3. Variation de volume anéiastique
Le béton a un comportement particulier en ce qui concerne sa variation de volume sous
sollicitations mécaniques. Afin d'apprécier ce comportement à l'échelle macroscopique, il est
nécessaire de rappeler la formule de transport de volume matériel d'un milieu continu
déformable.
On note dfí le volume matériel élémentaire initial. A l'instant t, après déformation, le volume initial devient dû t , et la transformation est décrite par la formule de transport :
Chapitre 1 55
(56) dfí t=Jdfí
où J est le jacobien de la transformation. Avec l'hypothèse de petites déformations, J s'écrit :
(57) J - l + tr£
où la trace du tenseur de déformations représente la dilatation volumique observable, définie comme la différence entre le volume actuel et le volume initial rapportée au volume initial :
àQ -àQ (58) tr£ = — Ï
àQ
Les courbes expérimentales de la variation de volume du béton tr£ dans des essais de compression simple (Oj = o2 = 0, o3 < 0), de compression biaxiale (G, =0, o2 = c3 < 0) et de
traction simple (a¡ > 0, G2 = G3 = 0) sont illustrées en figure 1-17a.
Utilisant la décomposition (1) du tenseur de déformation en une partie élastique et une partie
permanente , on peut écrire :
(59) tr£ = tr£e + tr£p
où tr£p est la déformation volumique irréversible du matériau après décharge complète du système. On appellera tr£p>0 (respectivement tr£p<0) la dilatance plastique (respectivement la contraction plastique). Ainsi, le comportement pour lequel tr(d£p)>0 (respectivement tr(d£p) < 0) est dit plastiquement dilatant (respectivement plastiquement contractant).
Les évolutions expérimentales de tr£p en fonction des contraintes sont tracées sur la figure l-17b.
Pour des essais en compression simple et compression biaxiale, on retrouve au niveau de la variation de volume plastique les phases mises en évidence précédemment (Chen, 1982) :
56 Modélisation élastoplastique avec endommagement du béton de structure
-0.002
a. Courbe expérimentale de la variation de volume total : 0 / 0"c - tr£
\-1\L)
-0.001
b. Courbe expérimentale de la variation de volume anélasüque :<J/ O - tr£p
¿CT
tr(d£P) = 0 tr(d£?)>0 " L > plastiquement dilatatant*
Figure 1-17 : Variations de volume (a) total et (b) plastique du béton en compression simple et compression biaxiale (d'après Chen, 1982)
• une relation élastique linéaire pour une contrainte appliquée inférieure à 30% de la
résistance,
• un comportement plastiquement contractant (tr(d£p)<0) pour une contrainte appliquée
égale à 30% - 75...90 % de la résistance,
• suivie par un comportement plastiquement dilatant (tr(d£p)>0), conduisant au pic et à la
ruine.
On note également que le béton en traction ne suit qu'un comportement plastiquement dilatant.
Chapitre 1 57
1-2-3. Porosité plastique et... microfissuration
Comme on vient de le voir, la variation de volume anélastique tïep joue un rôle important en ce
qui concerne la description macroscopique du comportement non-knéaire du béton.
Considérons maintenant le béton comme un milieu poreux, constitué d'une matrice et d'un
espace poreux connecté (figure 1-18). La matrice est composée de soudes et éventuellement de
pores. Cette porosité occluse est essentiellement composée des pores de contraction qui résultent
de la phase de cristallisation du ciment durant l'hydratation, et influent peu sur les propriétés
mécaniques du matériau (Fauchet, 1991). En revanche, la porosité connectée § (porosité des
granuláis, porosité capillaire de la pâte de ciment), a un effet néfaste sur les propriétés du
matériau. On la définit par :
_ volume de l'espace poreux connecté
volume total
Par exemple, la porosité <j)0 dans la configuration initiale et la porosité (j) dans la configuration
actuelle s'écrivent :
(61) <j>0 = dfí~dfím
x da-dirt
et è = — ; da da.
où dam et daœ t sont les volumes occupés par la matrice respectivement dans l'état initial et
actuel.
Porosité connectée Solides
Porosité occluse
Figure 1-18 : Le béton - un milieu poreux (Schéma d'après Coussy, 1991)
58 Modélisation élastoplastique avec endommagement du béton de structure
La variation de volume observable du squelette, tr£, est due d'une part à la variation du volume de l'espace poreux connecté, et d'autre part à la dilatation moyenne de la matrice, noté em, et
définie par :
(62) e = a d£T
Utilisant (61) avec la formule de transport (57) et la linéarisation (58) dans l'équation (62), on obtient une relation liant em et tr£ (Coussy, 1991) :
(63) (l-0o)em=(l-<¡>)tr£-(<|>-4>o)
Considérons maintenant le cas d'une décharge totale élastique (tr(£ — £?) = 0) à partir de l'état
actuel. De (63) on déduit la relation :
(64) (l-<Í)J^=(l-<í>d)tr£?-(<¡>d-<j>0)
où emp est la déformation volumique permanente moyenne de la matrice et (¡>d la porosité dans le
volume dQd = (l+tr£p)dQ obtenu après décharge totale. En notant <j)0d£2 l'espace poreux
initial, et 0ddfíd l'espace poreux connecté après décharge totale, la variation irréversible de
l'espace poreux est obtenue par :
(65) <j>pdn = 0dd£r-$odfl
où <j)p est la porosité plastique, la variation irréversible de l'espace poreux connecté par unité de
volume dil :
(66) <|>p = 0d(l + tr£p)-<J>o
La substitution de (66) dans (64) conduit à :
(67) nep = (l-(|)o)e„p+0
Chapitre 1 59
Cette relation met en évidence que la variation de volume anélastique mesurable, tr£p, est due d'une part à la variation irréversible du volume de la matrice, quantifiée par (l-<í>0)em
p, et
d'autre part à la variation irréversible du volume de l'espace poreux connecté, quantifiée par <j>p.
Si la matrice est anélastiquement incompressible (eœp=0), la variation de volume anélastique
tr£p, due uniquement à la variation irréversible de la porosité, est égale à la porosité plastique :
(68) e mp = 0 « 4>p=tr£p
Dans le cas d'une matrice anélastiquement compressible et d'un comportement isotrope, Coussy
(1991) propose une relation incrémentale liant trd£p et d<j)p d'une façon linéaire :
(69) e mp * 0 <=> d<|sp=ßtr(d£p) avec: <j)0<ß<l
Le coefficient ß peut éventuellement dépendre des forces d'écrouissage, i.e. ß = ß(C). La
relation (69) sera utilisée par la suite.
La porosité plastique (J)p quantifie alors l'augmentation ou la réduction irréversible de l'espace
poreux connecté <|)pdO. Appliquée au béton à l'échelle macroscopique, on peut la considérer
comme la porosité crée par la fissuration (Fauchet, 1991).
La porosité plastique <j)p est ainsi considérée comme étant la variable macroscopique
représentative de l'état de microfissuration et de l'état de compactage au sein du matériau.
En vertu des observations expérimentales sur la variation de volume anélastique, nous tirons les
conclusions suivantes :
• V0p < 0 (respectivement tr£p < 0) : le béton suit un comportement écrouissable proprement
dit (écrouissage positif). Deux phases sont à distinguer : d'une part, le comportement
plastiquement contractant (d<j»p < 0), et, d'autre part, le comportement plastiquement dilatant
(d<j>p>0).
• V<j>p > 0 (respectivement tr£p > 0) : le béton suit un comportement adoucissant.
Son évolution est entièrement définie par le critère de plasticité ("quand ?") et par la règle
d'écoulement ("comment ?").
60 Modélisation élastoplastique avec endommagement du béton de structure
1-2-4. Critère de Willam-Warnke à trois paramètres
On rappelle brièvement ici le critère de Willam-Wamke à trois paramètres, en utilisant la présentation du cas parfaitement plastique proposée par Fauchet (1991), en particulier en ce qui concerne la signification physique des paramètres.
1-2-4-1. Critère de plasticité parfaite
Le critère de Willam-Warnke peut être considéré comme un critère de type Drucker-Prager
adapté au béton dans le domaine des faibles confinements : la forme des méridiens dans le
domaine des faibles pressions hydrostatiques (cf. figure 1-15), est approximée par une droite. Par
rapport au critère de Drucker-Prager (équation (39)), le critère dépend de plus de l'angle de Lode
6. Il s'écrit sous la forme :
(70) f(a) = T+/(0)(o-po)
où le coefficient de frottement /(8) varie en fonction de l'angle 0 entre deux extrêmes :
fc - /(60o ) - coefficient de frottement sur le méridien de compression,
// = /(0°) - coefficient de frottement sur le méridien de traction.
Les différences entre le critère de Drucker-Prager (correspondant à / = fc ) et celui de Willam-
Warnke à trois paramètres sont illustrées sur la figure 1-19 dans les demi-plans (T,o) des
méridiens de compression et de traction et dans un pian déviatorique. Le domaine d'élasticité est
un cône (figure 1-I9a) dont la section n'est plus circulaire (figure l-19b). En effet, l'expression de
/(0) est telle que, dans un plan déviatorique, la section circulaire du critère de Drucker-Prager
se met sous la forme d'une portion d'ellipse entre deux méridiens successifs, l'un de compression et l'autre de traction.
Les trois paramètres du modèle (/c,/,,p0) se déduisent de trois caractéristiques mécaniques introduites précédemment : les résistances en compression simple oc, en traction simple ol et en compression biaxiale c^, grâce aux relations (Fauchet, 1991) :
Chapitre 1 6 1
x A
/c (6=60°)
Trajä de charge l/en compression simple
/t<e=o°
Drucker-Prager (cercle)
Willam-Warnke (portion d'ellipse)
a. Demi-plans (X, G) avec d'une part le méridien de compression (6 = 60° ) et d'autre part le méridien de traction (6 = 0°) . Les points correspondants aux limites de résistances en traction simple, en compression simple et en compression biaxiale sont indiqués sur la figure (intersection entre les différents trajets de chargement et le domaine d'élasticité).
*. Plan déviatorique : Dans une coupe déviatorique, le domaine d'élasticité de Drucker-Prager est un cercle
avec un rayon constant (R = V 2 / ( a — po ) ; / = fc ). Dans le critère de Willam-Warnke, avec un coefficient
de frottement dépendant de l'angle 6 , le domaine d'élasticité est constitué de portions d'ellipses entre
deux méridiens successifs.
Figure 1-19 : Comparaison des critères de plasticité de Drucker-Prager et de Willam-Warnke
(a) dans les demi-plans (T, G) du méridien de compression et de traction, (b) dans une coupe déviatorique (d'après Faucha, 1991)
(71)
3/c
°e~V3-/.P° 3/,
3/, Cbe V 3 - 2 / t
P o
si i / c < -Jï, sinon Gc = «
V3 si / t < — , sinon Gc = <»
Comme le trajet de charge de compression simple en fonction des invariants (53) est décrit par T = V3G et le trajet de charge en compression biaxiale par T = V3/2a, l'existence même de résistances Gc et G^ (intersections trajets de chargements - méridiens de compression et de
traction, figure l-19a) conduit aux inégalités suivantes :
6 2 Modélisation élastoplastique avec endommagement du béton de structure
(72) 0</c<V3 et Q<f<Sl2
Par exemple, pour des valeurs de résistances tirées des essais de référence de Kupfer et al. (1969) {cf. 1-2-2-1),ona:/c= 1,3037; f = 0,7578; p0 = 0,1095oc = l,0952ot.
L'expression analytique de f(Q) est donnée en annexe 1. En vertu de la condition de convexité du critère, les coefficients de frottement fc et/ t doivent vérifier les inégalités suivantes:
(73) i / t < f < 2f
Dans le cas limite où fc = 2/ t, dans une coupe déviatorique, le domaine d'élasticité dégénère en
un triangle inscrit dans le cercle du critère de Drucker-Prager (figure l-19b). Dans le cas particulier où fc~ f, le critère de Willam-Warnke coïncide avec le critère de Drucker-Prager.
1-2-4-2. Critère de plasticité avec écrouissage isotrope
Une première approximation pour rendre compte d'un comportement écrouissable consiste à considérer la pression de cohésion p comme paramètre d'écrouissage isotrope, p = zp0, où p0 est
la pression de cohésion maximale déduite des résistances en traction simple et compression
biaxiale (équations (71)). Dans ce cas, le critère de plasticité s'écrit :
(74) f(a,z) = t+ / (6 ) (ö -zp 0 )
Les figures 1-20 présentent l'évolution du domaine d'élasticité d'une part dans les demi-plans des méridiens de compression et de traction (figure l-20a), d'autre part dans une coupe déviatorique (figure i-20b). La surface de charge correspondant à la fonction de charge (74) est encore un cône à section triple elliptique entre les trois demi-axes inclinés à 120° les uns par rapport aux autres. Dans l'espace des contraintes, la surface de charge actuelle se déduit par homothétie de centre l'origine et de rapport Z de la surface de charge définie par z = i, qui correspond au cas du matériau plastique parfait. Les inégalités (73), qui assurent la convexité du critère, s'appliquent également.
Chapitre 1 63
a. Demi-plans (X, o) des méridiens de compression et b. Coupe déviatorique. de traction.
Figure 1-20 : Domaines d'élasticité initial et actuel du modèle de WUlam-Wamke avec écrouissage isotrope.
Sur les figures 1-20, les trajets de charge O-a-A, O-b-B et O-c-C correspondent aux trajets de
compression simple, traction simple et compression biaxiale. Les points de charge (a,b,c) et
(A,B,C) sont ainsi situés sur la frontière du domaine d'élasticité initiale (z = z0) et sur la
frontière définie par les résistances du béton en compression simple, traction simple et
compression biaxiale (2 = 1). Le chemin parcouru entre ces deux limites entraîne l'évolution de
l'écrouissage.
1-2-4-3. Règle d'écoulement
Dans le cas écrouissable, considérons un potentiel plastique g de la forme :
(75) g(G,z) = T + ô ( o - z p 0 )
où 8 est le coefficient de dilatance du matériau. Supposons d'abord que ce coefficient est
constant ou ne dépend que des variables d'écrouissage. La règle d'écoulement s'écrit sous la
forme :
64 Modélisation êlastoplastique avec endommagement du béton de structure
(76) dEp=dk(^- + - l
UT 3 ,
En raison de l'équation (12) et de la fonction de charge (74), et en notant que 96/d(J est un 96
tenseur de trace nulle et que <J:—— = 0 (cf. Annexe 1), le multiplicateur plastique s'écrit : dO*
(77) àX = -~:dG=~((—+^-(G-zp)^-j:dS + /(6)dG
H3cr HIUT ae da.
où H est le module d'écrouissage.
On remarque qu'avec un potentiel de la forme (75), qui conduit à la règle d'écoulement (76),
définition (45) du coefficient de dilatance est vérifiée. On aurait donc pu écrire également :
(78) tr(d£p) = <&-2£
donc : jr(d£p) = dX5
|dyp =àk
dx
ce qui est illustré sur la figure l-2lb. Par ailleurs, la règle d'écoulement est non-associée ( ô * / ( 6 ) ) .
Dans le cas plastique parfait (z = l), une règle d'écoulement associée est utilisée (6(0) =/(G)).
On a alors :
(79) d£p=dX s [ /(6)1 | df ae \2x 3 aeao (o-po)
d'où
(80)
n(d£p) = d l - ^ - = d l f (0 ) ¿O
a/(6) 2ae ae dyp = dXJl + 2 — r - l G - p J — : — ae ao aa
La définition (45) du coefficient de dilatance est seulement vérifiée si l'expression df/dQ s'annule. Ce n'est le cas que lorsque e = 0° ou 6 = 60°, ce qui est illustré sur la figures l-21a.
Chapitre I 65
a. Règle d'écoulement associée (79). b. Règle d'écoulement non associée (76). (La relation tr(dep) = /(6)y*, est seulement (On vérifie toujours que tr(d£p) = Syp
vérifiée lorsque 6=0° et 8 = 60°.)
Figure 1-21 : Règles d'écoulement dans les demi-plans des méridiens de compression et de traction
1-2-4-4. Loi d'écrouissage
La variation de volume anélastique tr£p joue un rôle important dans la description
macroscopique du comportement écrouissable du béton (cf. 1-2-2-3). On peut ainsi à partir des
essais déterminer une relation z = z(tr£p), ou bien, comme la règle d'écoulement (76)
(respectivement (78)) vérifie la définition (45) du facteur de dilatance, une relation z = z(y^).,
représentative de l'évolution du domaine d'élasticité. Utilisant (78), on écrit :
(81) dq = dyp3-c&
où d'une façon alternative :
(82) dx = d y p3 = Ä ~ = ca
66 Modélisation élastoplastique avec endommagement du béton de structure
où h = h(0,Ç) et le potentiel non associé défini par (Coussy, 1991) :
(83) h«J,C) = T+5a+Ç-8p0
On suppose ici que la distorsion plastique est la variable d'état thermodynamique à associer à la force d'écrouissage Ç.
Supposons de plus, que le potentiel non associé h(<J,Ç) précisant la règle d'écrouissage (82), a
les mêmes valeurs numériques que le potentiel non associé g (75), précisant la règle
d'écoulement (76), respectivement (78). On peut alors effectuer le changement de variables
z-»C •'
(84) zôp0=-Ç+ôp0 C = ôpo(l-z) z = l -£ /ôp 0
qui ne modifie pas l'expression de la règle d'écoulement (76), respectivement (78). Utilisant (84)
dans l'expression (74) de la surface de charge, il vient :
(85) f(O,0 = T + / (e)(o-p o ) + C/(e)/6
Comme on a ainsi df / 3Ç = /(9) / 8, dh / dÇ = 1 et Ç = -3U / dy^, on déduit par ( 16) l'expression
du module d'écrouissage H :
(86) H = / ( e ) ^ - / ( 6 ) 3 £
6 < : 8 <
Etudions maintenant le signe de l'écrouissage :
Pour cela, réécrivons la puissance intrinsèque (10) (<ï> = O:£p+Ç%>0) à l'aide des règles
d'écoulement (76) et d'écrouissage (82), on a :
(87a) C&(T + 6 C + O > 0 lorsque: f(<J,Ç) = 0
En remplaçant dans l'inégalité x par sa valeur donnée dans la relation (85), la non-négativité de la dissipation intrinsèque impose la condition :
Chapitre 1 67
(87b) (o+C/8)(S-/(6)) + / (e )p o ä0 lorsque : f (0 ,0 = O
Cette condition est satisfaite si :
ip>0 ( 8 8 ) [O<ô<inf/(0) = /t
Le modèle de Willam-Wamke à trois paramètres implique donc la non-négativité de la
dilatance :
(89) V f(a,C) = f(O.z) = 0 tr(d£p) = ôdy*, > 0
Avec les inégalités (72), le facteur de dilatance doit alors satisfaire :
(90) 0<Ô</ t <V3/2
Par conséquent, de l'expression (86), on déduit que le signe de l'écrouissage dépend uniquement
de l'évolution de la force d'écrouissage :
(91) sgn(H) = -sgn(dÇ) = -sgn@Ç / dy^ )
Rappelons que dans des essais de compression simple, de compression biaxiale et de traction
simple, le béton suit un comportement dilatant ei un écrouissage positif pour des charges
appliquées comprises entre 75% et 100% de résistances: on fixera le domaine d'écrouissage
positif par
(92) H > 0 : ze[2o,2m„] = [0,75 ; 1,0]
La forme qualitative des courbes Ç = Ç(yp qu'on pourrait extraire des essais pour ce domaine
d'écrouissage positif est illustrée sur la figure 1-22. Cette figure présente également la forme des courbes C, = C(Y^) dans le domaine d'écrouissage négatif. Pour ce domaine, il faut ainsi définir
deux fonctions pour rendre compte du comportement adoucissant disymétrique en traction et en compression.
68 Modélisation élastoplastique avec endommagement du béton de structure
tr(dep)<OÁ
Compression simple
Figure 1-22 : Courbes Ç = Ç(y^) (qualitatives) en compression simple et traction simple tirées de résultats d'essais, utilisées sous forme 2 = Z(Y£¡ ) Par Chen et Chen (1975). y^0
correspond pour l'essai en compression simple à la distorsion plastique pour la phase du comportement plastiquement contractant z € [0,3 ; 0,75], qui n'est pas modélisé avec le critère présenté ici. La distorsion plastique équivalente utilisée dans le modèle devrait ainsi être lue comme y* à partir du début du
Y? (" Y?° ) comportement plastiquement dilatant.
C'est pourquoi nous nous iimitons ici au cas d'un écrouissage positif. Dans ce domaine précisé
par la relation (92), utilisons les relations :
(93) Ç = Co exp[-îq^] donc : dÇ = -KÇ < 0
[z = l - ( l -z 0 )exp[ -KyJ j donc:dz>0
où K est une constante positive, et C0 = ôp0 (1 - zo ) la valeur de référence de C correspondant à
z = zo. Enfin, reportant (93) dans (86), le module d'écrouissage H s'écrit :
(94) H = K /(8) C0 exp[-icy$j = K /(6)p(l - zo ) exp[-K^] > 0
1-2-4-5. Domaine d'application
Rappelons ici le domaine d'application de ce modèle
1. En raison de l'approximation de la forme des méridiens par une droite, les critères de
plasticité (70) et (74) ne sont adaptés que dans le domaine des faibles pressions
hydrostatiques.
2. La non-négativité de la dissipation intrinsèque impose la non-négativité de la dilatance : on
ne peut modéliser que le comportement plastiquement dilatant du béton.
3. On se limite au cas de l'écrouissage positif, en traction et en compression, dans un domaine
défini par des charges comprises entre 75 et 100% de la résistance.
Chapitre 1 69
Ce modèle ne nécessite que la connaissance de trois caractéristiques mécaniques pour déterminer les 3 paramètres (/e , / , ,p0).
Par ailleurs, on note qu'il ne permet pas de modéliser :
• le comportement plastiquement contractant ( tr(d£ p ) < 0 ),
• le comportement dans les domaines des pressions hydrostatiques importantes.
Nous proposons alors, dans le paragraphe qui suit, un critère de Willam-Warnke modifié.
1-2-5. Critère de Willam-Warnke modifié
La modification envisagé consiste d'abord à rendre compte de manière plus réaliste de la forme
courbée des méridiens (cf. figure 1-15).
1-2-5-1. Critère de plasticité modifié
Un critère qui prend en compte une forme parabolique des méridiens est celui de Willam-
Warnke à 5 paramètres avec une fonction du type G = a(î,x2,...) (Willam et Warnke, 1975).
Cinq résultats d'essais sont nécessaires pour déterminer les paramètres du modèle. Le critère est
ouvert sur l'axe hydrostatique négatif, et un modèle d'écrouissage est difficile à mettre en place
(cf. Chen et Han, 1988). C'est pourquoi ce critère est plutôt utilisé comme critère de ruine (e.g.
Glemberg et al, 1986).
En gardant également la forme parabolique des méridiens, nous proposons ici un critère modifié à 4 paramètres avec une fonction du type % = x(a,a2 , . . .).
Le critère de Willam-Warnke modifié s'écrit :
(95) f(a) = x+/(e)(a-po+-^-(G-p0)2)
2pCT
avec pCT (>0) une constante dans le cas de la plasticité parfaite.
70 Modélisation élasîoplastique avec endommagement du béton de structure
Dans l'espace des contraintes {ox xo^xG-^, la surface de charge correspondant à la fonction de
charge (95) est un paraboloide dont la section n'est pas circulaire. En effet, tout plan
déviatorique normal à la trisectrice coupe la surface suivant des portions d'ellipse entre deux
méridiens successifs (l'un en compression, l'autre en traction) : l'expression analytique de / (0)
est conservée {cf. annexe 1). Ainsi, la condition de convexité du critère impose toujours les
inégalités (73). Le centre du paraboloide, situé sur la trisectrice, a ses trois coordonnées égales à Po _ Pc • Le plan orthogonal à la trisectrice passant par ce centre est un plan de symétrie du
paraboloide, qu'il sépare en deux demi-paraboloïdes égaux. Le critère est alors fermé sur l'axe
hydrostatique. Dans l'espace des contraintes, les points singuliers sont ainsi les points aux trois coordonnées égales et valant respectivement po et p0 -2pa (cf. figure 1-23).
Dans le cas plastique parfait, la constante pCT se détermine à partir d'un seul résultat
supplémentaire (par exemple point D ou E sur la figure 1-15). En utilisant quatre résultats d'essais, on peut alors déterminer les quatre constantes (/c,/t,po,pCT) à partir d'un système de quatre
équations non linéaires (cf. annexe 1). Par ailleurs, en raison de la dispersion des résultats
d'essais aux forts confinements, on peut choisir de déterminer les trois paramètres (/c ,/ t ,po)
avec les formules explicites (71). D'après les essais retenus, la constante p c est d'environ 5 à 10
GC.
Pour le cas limite où pCT tend vers l'infini, on retrouve le critère de plasticité (70) à trois
paramètres.
1-2-5-2, Règle d'écoulement
Considérons une règle d'écoulement associée, telle que g(O) = f((J)
(96)
de p=dÀ S / (6) 1 , M 1 , x, o x 3/(6) dB +2A ( 0 + p Œ _ P o ) i + ( 0 _ p o ) ( a + 2 P e r - p o ) - ^ i _ -
2x 3 pCT 2p C T d6 dö tr(d£p) = d ? i | ^ = c a / ( 8 ) ~ ( a + p C I - p 0 )
Ou T>„
dy? =dA.Jl + 2 #(8) de
— ( c - p 0 ) ( G + 2P e T -p 0 ) T - : T -2 p C T j dG dO
Chapitre 1 71
fc (8=60'
tr(dep) < 0 L
BídeP) = ¿(O+Pcr-t)dYP*,>0
n(de,W(a+pCT-p)dY^>0
/t(e=ot),
Figure 1-23 : Règle d'écoulement associée du modèle Willam-Warnke modifié dans les demi-plans (T, G) des méridiens de compression et de traction.
Compte tenu des inégalités (73) et de la positivité de dX, le plan de symétrie passant par le
centre du paraboloide sépare le comportement plastiquement dilatant du comportement
plastiquement contractant :
(97) sgn(tr(dep)) = sgn(G+P c i-p 0)
Ces relations sont illustrées sur la figure 1-23.
1-2-5-3. Extension au cas d'écrouissage
Une amélioration de ce modèle consiste à l'étendre au cas de l'écrouissage. Pour cela, on considère pCT comme étant un paramètre d'écrouissage z = pCT, entraînant une évolution du
domaine d'élasticité (figure 1-24).
72 Modélisation élastoplastique avec endommagement du béton de structure
[/Trajet de chargement en compression simple
O Ci-
Trajet de chargement en compression biaxiale
Figure 1-24 : Evolution de la surface de charge du critère de Wiîlam-Warnke modifié dans les demi-plans (x, O"). Les
surfaces successives situées entre les droites des méridiens / (8) et / (6 ) / 2 correspondent à un comportement plasüquement dilatant. Les surfaces situées entre la trisectrice et la droite du méridien
/ (8 ) / 2 entraînent un comportement plasüquement contractant.
Pour ce modèle de Willam-Wamke modifié avec un écrouissage et une règle d'écoulement
associée (96), dans l'espace des contraintes, tout point de charge qui se trouve sur la surface du
paraboloide située entre la surface d'un cône défini par les méridiens / (6) (i.e. fonction de
charge (70)) et un cône défini par les méridiens f(B)/2 suit un comportement plasüquement
dilatant (tr(d£p)>0). Les points de charge sur la surface ( f i C p ^ - O ) , où îr(d£p) = 0, sont
situés sur la surface du cône des méridiens / ( 9 ) / 2 . On a ainsi :
(98) V f ( G , p J = 0: sgn(ff(d£p)) = sgnfx + 4 r ( G - p o ) V 2 /
En remplaçant dans l'équation précédente x par sa valeur donnée par le critère de plasticité f (0,pCT ) = 0, on retrouve les conditions (97) déduites à partir de la règle d'écoulement (96).
Fixons les objectifs du développement de ce modèle d'écrouissage isotrope. Ce critère de
Willam-Wamke modifié avec un écrouissage isotrope et une règle d'écoulement associée (96) est
destiné à modéliser :
Chapitre 1 73
• le comportement d'écrouissage proprement dit (écrouissage positif) dans le domaine des pressions hydrostatiques importantes, correspondant à une augmentation du domaine d'élasticité (i.e. pCT augmente),
• le comportement adoucissant (écrouissage négatif) dans le domaine des faibles pressions hydrostatiques correspondant à une diminution du domaine d'élasticité (i.e. pCT diminue).
Nous considérons ainsi que le domaine d'élasticité initiale comprend les points de charge correspondants aux résistances en compression simple, traction simple et compression biaxiale. Le domaine d'élasticité actuelle dépend de plus du paramètre d'écrouissage z = pa (q) : c'est
encore à la variation de volume anélastique q= tr£p qu'on peut associer l'évolution du domaine
d'élasticité.
Par ailleurs, la variation de volume anélastique (tr£p) est due d'une part à la variation irréversible du volume de la matrice, et d'autre part à la variation irréversible du volume de l'espace poreux connecté (cf. équation (67)). Cette dernière est quantifiée par la porosité plastique <f>F, qui
s'interprète dans le cas du béton, comme la porosité créée par fissuration. Nous utiliserons donc óp comme variable contrôlant l'évolution du domaine d'élasticité, liant ainsi le comportement
écrouissable et adoucissant à l'échelle macroscopique, au développement de la fissuration à une
échelle inférieure. Utilisant l'hypothèse (69) avec la règle d'écoulement (96), on a :
(99) dq = d<f>p=dlß.f(8)—(G + pCT-p0) rcr
où d'une façon alternative :
(100) dx = d^=àX-^-
où h = h(0,pCT) est le potentiel non associé défini par :
(101) h (0 ,p J = ßf(9)[(o-p0)lnp a+pJ
L'augmentation de §F, "porosité créée par fissuration", est associée à une échelle inférieure à un
processus d'ouverture de (micro-) fissures, conduisant à l'échelle macroscopique au
74 Modélisation élastoplastique avec endommagement du béton de structure
comportement adoucissant, La valeur du paramètre d'écrouissage p^ diminue ainsi avec
l'augmentation de (j)p et vice versa. Comme relation liant pCT et <|>p, nous utilisons :
(102) pcr = p :exp[ -K« | ) p -^ ) ] donc: dPer =-KPcrd<S>p
où K et p^ sont des constantes positives.
Supposant que la porosité plastique est la variable d'état thermodynamique à associer avec la force d'écrouissage C-PCT» *a relation p c r = - 3 U / d 0 p permet de déduire l'énergie bloquée
W) :
(103) U(<S>p) = - p ^ e x p [ - K ( 0 p - C ) ] + Uo ïv
L'équation précédente montre que l'énergie bloquée diminue (augmente) avec l'augmentation
(diminution) de la "porosité créée par fissuration". Rappelons que l'origine et l'évolution de
l'énergie bloquée sont liées à la structure hétérogène de la matière à une échelle microscopique
(cf. 1-1-2-5).
Les phases de prise et de durcissement du ciment induisent un état d'auto-contraintes non
uniforme dans le béton : la pâte de ciment durcie est en traction (retrait), et les granulats en
compression. A l'interface granulat-matrice, des contraintes de traction équilibrent les contraintes
de compression des granulats, (Acker, 1988) (figure 1-25).
. - i •?- ^ Figure 1-25 : v ' " ' ; Etat d'auto-contraintes du à la structure hétérogène du
,- *rC, V matériau composite béton
Chapitre 1 75
Sous sollicitation macroscopique, il y a apparition de microfissures dans les endroits les plus
sollicités où les contraintes initiales sont les plus élevées. Dès qu'une microfissure se crée ou se
propage, elle libère localement des contraintes initiales et les deux lèvres de la microfissure se
déforment de manière non-symétrique. La redistribution des contraintes initiales provoque à
l'échelle des constituants du matériau une variation de la déformation dans les granuláis, dans la
matrice et à l'interface granulat-matrice. On peut considérer que les granuláis sont indéformables
plastiquement, tandis que la matrice se déforme de façon irréversible. Ces déformations
irréversibles ne sont en général pas compatibles à elles seules. Les déformations élastiques dans
les granulats induites par des forces de contact (élastique) à l'interface granulat-matrice assurent
la compatibilité cinématique du champ de déplacement correspondant aux déformations
irréversibles dans la matrice (cf. 1-1-2-5). L'évolution de l'énergie bloquée peut être associée en
partie aux déformations élastiques résiduelles des granulats (c'est à dire celles qui subsistent
même après décharge complète du système à l'échelle microscopique), induites par la
redistribution des auto-contraintes pendant les phases d'évolution élastoplastique. En outre, près
des lèvres des microfissures, des déformations élastiques assurent la compatibilité du champ de
déplacement correspondant aux déformations irréversibles dues aux frottements. A l'échelle
macroscopique c'est la porosité plastique qui rend compte de ces phénomènes : l'augmentation de
())p correspond à une échelle microscopique à une réduction des auto-contraintes et ainsi à une
réduction de l'énergie (élastique) bloquée (par écrouissage). Inversement, la décroissance de <j>p
entraîne à l'échelle microscopique une augmentation des auto-contraintes (et donc des
déformations élastiques résiduelles) et ainsi une augmentation de l'énergie bloquée.
Lors du déchargement, lors que les fissures se referment, le contact des deux lèvres d'une fissure
se produit avant la fin du déchargement, avec apparition de frottements, de micro-ruptures, de
coincement de particules etc., (Acker, 1988). Les phases de déchargement entraînent ainsi une
dissipation d'énergie en chaleur (frottement), donc également une variation de l'énergie bloquée.
Cette évolution n'est pas prise en compte par notre modèle d'écrouissage.
Avec (100) dans (16), l'expression du module d'écrouissage s'écrit ici :
,nAS TT M dpn de9
(104) H = ——£s—z_ dpa d(f>p dl
à l'aide de l'équation (102), on obtient
76 Modélisation élastoplastique avec endommagement du béton de structure
(105) H = - K ^ - ' ß ( Q - p o ) 2 < c + p a - p o )
Le signe de l'écrouissage est ainsi donné par le signe inverse des relations (97), respectivement
(98):
(106) sgn(H) = -sgn(tr(d£p)) = -sgn(G+pCT-p0)
Les relations (106) montrent que l'écrouissage est positif en comportement plastiquemenî
contractant, qui correspond à une réduction de l'espace poreux connecté. Inversement, il est
négatif quand le matériau suit un comportement plastiquemenî dilatant, avec alors une
augmentation de la porosité créée par fissuration. Quand il n'y a pas d'évolution de l'espace
poreux connecté, il n'y a pas d'évolution de l'écrouissage. C'est le cas pour tous les points de
charge qui se trouvent sur l'intersection du cône du méridien / ( 8 ) / 2 et du paraboloide en
évolution. H tend vers zéro quand la porosité plastique $p prend des valeurs négatives
importantes.
1-2-5-4. Domaine d'application
Le modèle de Willam-Warnke modifié avec écrouissage isotrope est introduit comme critère de
plasticité pour modéiiser le comportement écrouissable (H>0) et adoucissant (H<0) du béton à
partir d'un domaine d'élasticité initiale qui comprend les points de charge correspondants aux
résistances en compression simple, compression biaxiale et traction simple. Sous cette forme, il
apparaît bien adapté pour rendre compte du comportement plastiquemenî contractant dans les
domaines des pressions hydrostatiques importantes, et du comportement plastiquement dilatant
dans les domaines des faibles pressions hydrostatiques.
Par ailleurs, avec une règle d'écoulement associée, il est difficile de modéiiser le comportement
plastiquement contractant dans le domaine des faibles pressions hydrostatiques : étudions les cas
de la compression simple et de la compression biaxiale. Comme on a les invariants :
a = - za c / 3
en compression simple : < x = 20. / V3 en compression biaxiale :
/(60°) = / e
¡a = -2zo te/3
T=ZObc/yf3
7(0°) = /,
Chapitre 1 77
avec Z le rapport entre charge appliquée (en valeur absolue) et les résistances ac et a^, on
déduit de l'équation (98)
3 / • dans le cas de la compression simple : tr(d£p)<0 si z<—p- 5 —p 0 /c r c
2 V 3 - / C
3 / • dans le cas de la compression biaxiale : tr(d£p ) < 0 si z < — j ¿ ^ p 0 / <shc
2(V3 — fx)
Utilisant les résultats d'essais de référence de Kupfer et al. (1969), {cf. 1-2-2-1 et 1-2-4-1), on
obtient un comportement plastiquement contractant (tr(d£p)<0) en compression simple pour
z < 20%, et en compression biaxiale pour z <10%, (par rapport à z < 80% relevé dans les essais,
cf. figure 1-16).
Ainsi, le critère de Willam-Wamke modifié avec une règle d'écoulement associée n'est pas
adapté pour rendre compte de façon réaliste du comportement plastiquement contractant dans les
domaines des faibles pressions hydrostatiques. Une règle d'écoulement non-associée devrait être
employée pour rendre compte de ce phénomène {Chen et Han, 1988).
En résumé, notre modèle est utilisable pour modéiiser :
• le comportement écrouissable dans le domaine des fortes pressions hydrostatiques, où la
surface est fermée, entraînant une évolution de l'écrouissage positif. C'est l'avantage du
critère de Wilîam-Warnke modifié sur les critères de ruine à 3 et à 5 paramètres;
• le comportement adoucissant dans le domaine des faibles pressions hydrostatiques.
Enfin, dans ce domaine d'application, on satisfait toujours la non-négativité de la dissipation intrinsèque, <E> = G:ep+pcr<j>p >0 . Cette dissipation s'écrit, avec les règles d'écoulement (96) et
d'écrouissage (100), sous la forme suivante :
(107) T + / ( 0 ) ( o + p c r - p o ) ( a / p ( I + ß ) ä O lorsque: f(O,per) = 0
En remplaçant dans l'inégalité T par sa valeur donnée par la fonction de charge (95), on a, pour / ( i j»>0etp C T >0:
78 Modélisation élastoplastique avec endommagement du béton de structure
(108) a 2 - p o2 + 2 P c f ( p o + ß ( a + P c r - p o ) ) e O lorsque: f(G,Pcr) = 0
Dans l'intervalle de variation [p o -2 P c r , p o ] , la condition (108) est satisfaite si p „ ^ p c (pour
ß = l , 0 = p 0-2P e r) .
1-2-6. Récapitulatif de ia modélisation élastoplastique
Nous présentons ici un rapide récapitulatif de la modélisation élastoplastique proposée ci-dessus.
Le tableau 1-1 présente les critères, les règles d'écoulements et les règles d'écrouissage utilisés.
La comparaison du domaine d'application de ces deux modèles élastoplastiques adaptés au
béton, montre qu'ils sont complémentaires pour ce qui concerne la modélisation du
comportement écrouissable et adoucissant dans le domaine des faibles pressions hydrostatiques.
On dispose ainsi de trois modèles (3 Paramètres, 4 paramètres, couplé). La figure 1-26 présente
schématiquement leurs différences vis-à-vis des comportements en compression simple et
traction simple.
Le choix du modèle à utiliser devra être approprié au problème que l'on veut traiter.
Figure 1-26 : Illustration (qualitative) des différents modèles proposés en compression simple et en traction simple.
(WW3= Critère de Willam-Warnke à 3 paramètres avec écrouissage (positif) isotrope, WWm= Critère de Wiîiam-Warnke modifié à 4 paramètres avec écrouissage isotrope et règle d'écoulement associée, WW Couplé= Couplage de deux critères)
WWm
WW3 WW Couplé e
I-—0,75 et WW Couplé
— f - e t
3 paramètres
Chapitre 1 19
Critère de plasticité
Restrictions
Règle d'écoulement
Comportement plastiquement dilatant et contractant
Règle d'écrouissage
Evolution du domaine d'élasticité
Module d'écrouissage
Signe de l'écrouissage
Domaine d'application
Résultats d'essais nécessaires (par exemple)
Willam-Warnke à 3 paramètres (Paramètres/c,/t,po)
f(a,z)»T + /(6)(o-2p0)
. 0</ c <V3, 0</ t <V3/2 ,p o >0
. 0 ,5 / t </ c <2/ t
• avec écrouissage : f (0,Z) * g ( 0 )
dep = cai—+-l] • cas plastique parfait : f (fj) = g(CJ)
{2x 3 30 90 ¥a )
• toujours: t r ( d £ p ) > 0 (en raison de 0 < ô < ft )
• variable d'écrouissage : % = y ^
dx = dyp, = ôtr(d£p) = c&
• force d'écrouissage : Ç = 5po (1 — 2)
Ç = Coexp[-KYS,] d'où
z = l-(l-z0)exp[-Ky?J
H = tf(e)p0(l-z0)exp[-icy£j
• toujours: H > 0, dÇ < 0, dZ> 0
• faibles pressions hydrostatiques : Z T • z e [ 0 , 7 5 ; 1,0]
• compression simple • traction simple • compression biaxiale
Willam-Warnke modifié (4 paramètres) (Paramètres / « . / „ P c P « )
f(a.pa) = x+/<e)(o-p0+—-(a-p„)2) 2p«,
• 0<p o < P c r
. 0 ,5 / t </ c <2/ t
• toujours : f (G, pcr) = g(0 ,p e r )
dep=dxif+^-L(0+PCT-p)l
i / v n x #(6) de )
• t r ( d £ p ) < 0 si: G + p C T - p 0 < 0
• t r ( d £ p ) > 0 si: fj + p C T - p o > 0
• tr(d£p) = 0 si: a + p C T - p o = 0
• variable d'écrouissage : % — $P
dx = d<f>p=ßtr(d£p) (avec:(j>0 < ß < l )
• force d'écrouissage : Ç = pcf
Pw5SPÍ«Ph«4>P-<K)]
H = -K ( \2
Ä ß(a-Po)2(G + Pcr~p0) ^ Per ;
• H>0,pCTî si: G + pCT-po<0 • H<0,pCTl si: a + P c r - p o > 0 . H = 0,dpCT=0 si: o + pCT-po=:0 • faibles pressions hydrostatiques : p^. 4-
• fortes pressions hydrostatiques : pCT T
• compression simple • traction simple • compression biaxiale • essai triaxial
Tableau 1-1 : Récapitulatif de la modélisation élastoplastique
80 Modélisation élastoplastique avec endommagement du béton de structure
1-3. EXTENSION : COUPLAGE PLASTICITE - ENDOMMAGEMENT
Dans les modèles présentés au paragraphe précédent, îe béton est considéré comme matériau
élastoplastique; les variables plastiques (déformations permanentes, écrouissage) modélisent sa
fissuration : il n'y a évolution des variables plastiques que lorsque le point de charge est situé sur
la frontière du domaine d'élasticité; à la décharge élastique, un point de charge rentre dans le
domaine d'élasticité, et les variables plastiques n'évoluent plus. C'est pourquoi un modèle
élastoplastique est en général difficile à adapter pour modéliser à l'échelle de la structure des
phénomènes qui se produisent à la décharge-recharge à l'échelle microscopique (frottement,
micro-ruptures, coincement de particules, fermeture incomplète des fissures etc.)- D'un point de
vue pratique, cela signifie en particulier que ce type de modèle est mal adapté à l'étude des
structures soumises à des chargements cycliques {cf. 1-1-2-7).
Ce paragraphe est consacré à l'extension du modèle élastoplastique à un modèle élastoplastique
avec endommagement. L'objectif de ce modèle est la prédiction des effets du dommage
(représenté en terme de déformations permanentes) à l'échelle macroscopique des structures,
sous chargements cycliques ou dynamiques.
La complexité des phénomènes physiques mis en jeu lors de décharge-recharge, nous amène à
poser des hypothèses conduisant à construire un modèle élastoplastique avec endommagement :
l'effet du dommage sera représenté par la variation des caractéristiques élastiques, fonction d'une
variable d'endommagement macroscopique observable : la "porosité créée par fissuration".
Chapitre 1 81
1-3-1. Effet de dommage à la décharche-recharge et endommagement
Sur une courbe expérimentale du comportement en compression simple d'un béton soumis à des
cycles de charge, on remarque (figure 1-27) :
• au début du déchargement, des valeurs de modules plus élevées que le module initial. Au
cours de la décharge, la valeur du module diminue progressivement;
• un boucle d'hystérésis;
• on ne revient jamais après un cycle décharge-recharge au point de départ de la décharge.
Effet du dommagi sur un cycle
décharge-recharge
Figure 1-27 : Courbe uni-axiale de compression simple sous chargement cyclique (d'après Sinka et ai. 1964).
Variation -des caractéristiques élastiques
(Interprétation en terme d'endommagement)
L'explication physique de ces non-linéarités du comportement mécanique du béton ne cesse
d'avancer (cf. Acker, 1988). Il n'est pas possible d'expliquer l'origine de ces phénomènes sans
descendre à l'échelle du matériau composite, échelle en deçà de l'échelle macroscopique de la
structure, adoptée pour la description continue des évolutions irréversibles. Sans prétendre être
complet, rappelons quelques explications possibles de ces phénomènes.
A la décharge, lorsque les fissures se referment, on a apparition de frottements, de micro-
ruptures, de coincement de particules etc. En particulier, dans le cas d'une fissure créée, le
frottement existe dès le début de la refermeture, ce qui peut expliquer la valeur élevée des
modules apparents au début de la décharge; ces frottements peuvent aussi entraîner l'arrachement
de particules qui empêchent ensuite la refermeture totale de la fissure. Cette non-réversibilité des
déplacements (ainsi que le coincement de particules) dans le voisinage immédiat du front de la
fissure engendre un effet de coin (ou de "casse-noix"). Ceci produit un dommage, qui peut
82 Modélisation élastoplastique avec endommagement du béton de structure
expliquer qu'après un cycle décharge-recharge, on ne revient jamais au point de départ {Acker,
1988). De plus, une part du phénomène peut être liée à des mouvements d'eau au voisinage du
front de fissure, ce qui peut expliquer la dépendance du comportement non-linéaire du béton vis-
à-vis de la vitesse de chargement (Rossi, 1986).
Par rapport à ces phénomènes physiques complexes, notre but est le suivant : modéliser l'effet du
dommage sur le comportement non-linéaire, à l'échelle macroscopique de la structure, soumise à
des chargement cycliques et dynamiques à de très faibles vitesse : tout effet de vitesse sur les lois
de comportement sera négligé.
Comme un modèle élastoplastique est difficilement adaptable à un phénomène qui se produit à la
décharge-recharge, nous avons choisi un modèle élastoplastique avec endommagement. On
suppose alors que le dommage créé par la refermeture incomplète des fissures peut s'interpréter,
dans une description continue, en terme d'une variation des caractéristiques élastiques du
matériau élastoplastique béton {figure 1-27) : la décharge-recharge est modélisée avec un module
plus faible que le module du matériau vierge.
On considère ainsi
• la variation des caractéristiques élastiques (endommagement) comme moyen de
représentation des effets du dommage observés à l'échelle des structures.
Ces effets de dommage sont à distinguer
• de l'apparition et l'évolution de dommages {i.e. fissuration) : les dommages sont toujours
représentés en terme de déformations permanentes, qui rendront compte à l'échelle
macroscopique des effets de la microfissuration.
L'extension phénoménologique du modèle élastoplastique à un modèle élastoplastique avec
endommagement est effectué en vue d'une application précise : l'étude de structures en béton
soumises à des chargements cycliques.
Chapitre 1 83
1-3-2. Variation des caractéristiques élastiques
Supposons ainsi qu'une variation des caractéristiques élastiques rend compte à l'échelle macroscopique de l'effet du dommage créé par la refermeture incomplète des fissures. L'amélioration du modèle éiastoplastique présenté au paragraphe 1-2 consiste alors à faire dépendre les caractéristiques élastiques du matériau de l'évolution des variables plastiques (déformations permanentes, variables d'écrouissage), celles-ci modélisant sa fissuration (cf. 1-1-4-4). On ne considère que le cas d'élasticité isotrope du matériau, y compris lorsque les déformations plastiques sont non nulles.
Comme on l'a noté au paragraphe 1-2-3, la porosité connectée <j> a un effet néfaste sur les propriétés du béton vierge. Les évolutions élastoplastiques entraînent une variation de l'espace poreux connecté dont une partie, quantifiée par <f>p (porosité créée par fissuration) est
irréversible. Nous choisissons de modéliser l'effet du dommage en termes de variation des caractéristiques élastiques avec <f>p comme variable d'endommagement :
(109) i Y
[G = G«¡>P)
où K et G sont respectivement les modules élastiques de compression et de cisaillement. La variable d'endommagement 0P a ici une signification physique : elle quantifie le volume de vides connectés crées par fissuration. L'augmentation de <j>p correspond à une ouverture de
microfissures, donc à l'apparition et l'évolution du dommage à l'échelle macroscopique. Du fait de cette signification physique, (¡)p a déjà été utilisée au paragraphe précédent comme variable d'écrouissage, et ici - dans l'extension phénoménologique du modèle éiastoplastique - <¡>p est également employée comme variable d'endommagement.
Cette variable d'endommagement est mesurable, indépendamment de la variation des caractéristiques élastiques où elle intervient : c'est l'avantage sur les modèles d'endommagement habituels.
84 Modélisation élastoplastique avec endommagement du béton de structure
1-3-2-1. Porosité plastique et endommagement
Rappelons l'hypothèse (69),
(69) d<j>p = ß tr(d£p ) avec : <J)0 < ß < 1
qui lie la variation de volume anélastique total (tr6p) à la variation irréversible du volume de
l'espace poreux connecté. Si l'on suppose que les déformations irréversibles du matériau sont
essentiellement dues à l'augmentation de la porosité connectée (par fissuration), la porosité
plastique doit être proche de la déformation volumique plastique tr£p, donc le coefficient ß est
proche de 1.
De plus, sur des cycles de charge dans un essai de compression simple, au-dessus de 75% de la
résistance on n'observe que de faibles boucles d'hystérésis, et les modules apparents à la
décharge-recharge sont égaux aux modules initiaux (Chen, 1982). L'effet du dommage à la
décharge-recharge apparaît d'une façon significative pour des niveaux de charge plus importants
(figure 1-28). Cette limite (ou seuil) coïncide avec le début du comportement plastiquement
dilatant (tr(d£p) > 0, cf. figure l-17b). Cette correspondance est également mise en évidence pour
d'autres conditions de chargement (compression biaxiale, traction), {Chen, 1982).
On peut ainsi déterminer des fonctions K(<j>p) et G(<j>p). Mais on notera, que la mesure de la
variable d'endommagement est la mesure d'une variable macroscopique observable, tandis que la
"mesure" de l'endommagement est déjà la mesure d'une grandeur issue de l'interprétation de
l'effet du dommage.
Figure 1-28 : Comportement uniaxial du béton sous chargement cyclique (d'après Karsan et Jirsa, 1969) : Effet du dommage à partir d'un niveau de chargement à 75% de îa résistance.
Chapitre 1 85
1-3-2-2. Fonctions K(<f>p) et G((f>p)
Les expériences montrent que par rapport aux valeurs initiales la variation maximale des
modules de compression K apparents a un ordre de grandeur de 30% (dans les essai biaxiaux).
Le début de cette variation coïncide avec le début du comportement plastiquement dilatant
(tr(d£p) > 0). Par ailleurs, dans des essais de compression triaxiale, où rr(d£p) < 0, la variation
des caractéristiques élastiques (module de décharge-recharge) n'est pas très significative (cf.
Chen, 1982). On peut ainsi supposer que la variation de K en fonction de §p s'effectue entre
deux asymptotes de valeurs Kc et K^, qui sont respectivement le module de compression initial
et le module de compression ultime (figure 1-29). Nous utilisons :
(110) K(<|»p) = K0+AK(<t)p) avec [AK = (K^-KJ(l~exp[-K((|>p)1+n]) si:<j>p>0
AK = 0 si:0p < 0
où K et n sont des constantes positives.
Sous une forme incrémentale, on a :
(111) dK = [K(l + n)(<!)prAKd<S>p si<f>p>0
10 si <¡>p < 0
Figure 1-29 : Module de compression versus variable d'endommagemem, la porosité plastique.
86 Modélisation élastoplastique avec endommagemenî du béton de structure
Le module de cisaillement G peut varier de l'ordre de 80% à 90% par rapport sa valeur initiale.
Nous utilisons :
(112) G(4>P) = G0 + AG(<¡>P) avec:AG = (Gdt-GJ(l-exp[~K(<¡>p)1+m])
où m est un paramètre positif qui permet de prendre en compte la dissymétrie du comportement en traction et en compression mise en évidence par exemple par Mazars (1984). Nous utilisons :
Jm = l siçp<0 |m = 0 si0p>O
La figure 1-30 présente l'évolution du module de cisaillement (équation (112)) en fonction de 0P
pour des essais en compression simple et traction simple (avec 4>p = tr£p, et tr£p issue des
résultats expérimentaux de la. figure l-17b).
1 f¥\ 1,UU
0,80
0,60
0,40
0,20
n no i U,UU •
-25,0 -15,0
G ( 0 p ) / G o
-5,0
<t>p/i
5,0 15,0
Figure 1-30 :
Variation du module de cisaillement
simple (avec ' Gvli/G0= 0 ; 1, K = 250O). £0 est la déformation axiale où apparaît l'effet d'endommagement (£0 «=—0,15% en compression
simple, et eo = 0,01% en traction simple).
Chapitre 1 87
D=l
Figure 1-31 : Loi d'évolution de l'endommagement D en fonction de la distorsion plastique équivalente proposée par Franiziskonis et Desai (1987) :
D = î - G / G = D ( y p
D = Du (1 - exp(~K^DR )) = Du (1 - e x p H c y ^ ))
avec:d^D=dy^/V2 Du = 0.875, R=1.502
K=668.0, ÏC=397
On peut comparer cette variation du module de cisaillement en fonction de la variable
d'endommagement (j>p avec celle proposée par Franiziskonis et Desai (1987), où la variable
d'endommagement est définie par la variation du module de cisaillement D(y^) = l - G / G 0 ,
avec la distorsion plastique y^ comme variable contrôlant son évolution (figure 1-31). Pour des
trajets de charge en compression simple, compression biaxiale, on peut établir, par
l'intermédiaire de la définition de la dilatance (45), la liaison entre ce modèle et celui proposé
ici, permettant de déterminer les paramètres de la fonction (112).
1-3-3. Couplage de la plasticité et de l'endommagement
1-3-3-1. Les composantes
Ayant ainsi défini la variation des caractéristiques élastiques à la décharge-recharge, le modèle
couplant la plasticité et l'endommagement est construit :
Le variables plastiques du matériau (déformations plastiques, variables d'écrouissage), sont
calculées respectivement avec les règles d'écoulements (76), (78), (79), (80), (96), et les
règles d'écrouissage (82) et (99). Elles modélisent la fissuration (c'est à dire, le dommage) à
l'échelle macroscopique de la structure. Avec les critères de plasticité (70), (74) et (95), la
partie plastique décrit le comportement écrouissable et adoucissant du matériau (évolution
du domaine d'élasticité).
88 Modélisation élastoplastique avec endommagement du béton de structure
• La connaissance de l'évolution des variables plastiques permet de calculer la variation des
caractéristiques élastiques, qui rend compte de l'effet du dommage d'une façon
phénoménologique. Ici, on n'utilise qu'une seule variable d'endommagement, la porosité
créée par fissuration, et l'élasticité est supposée demeurer isotrope.
Pour ce modèle, le tenseur de contraintes s'écrit :
(113) C = 2(G0 + AG)(e~ep) + (K0 + AK)tr (£-£ p ) l
et sous une forme incrémentale :
dG = 2(G0 + AG((¡>P ))(de - dep) + (K + AK(<j>p )) tr(d£ - d£p )1 (114)
+ 2dG(0p,d4)pXe-ep) + dK(<î)p,d4>p)tr(£-£f,)l
ou, à l'aide des relations (111), (112) et l'hypothèse (69) :
dG = 2G 0 (de-de p )+K 0 t r (d£-d£ p ) l
(115) +2AG[(de-dep)+K(l + m)(<l)pr(e-ep)ßtr(d£p)]
+ AK[tr(d£ - d£p ) + K(1 + n)(<j>p T tr(E - £p )ßtr(d£p )]l
En ne retenant que les termes du même ordre dans l'équation précédente, on obtient :
(116) d<T = 2(Go+AG)(de-dep) + (K0+AK)tr(d£-d£p)l
que nous utiliserons par la suite.
Enfin, grâce à l'hypothèse (51), dans le cas du couplage endommagement - critère de plasticité
de Willam-Warnke à 3 et 4 les restrictions thermodynamiques sont données par les inégalités
(87b) et (107).
Chapitre 1 89
1-3-3-3. Cas d'étude : le cisaillement pur
Dans le modèie proposé, on n'a défini qu'une seule variable d'endommagement : la porosité plastique. Une telle simplification conduit à certaines limites, en particulier en ce qui concerne la prise en compte des effets du dommage lors de chargements provoquant des cisaillements.
Pour cela, étudions le cas d'une état de contraintes de cisaillement pur, en regardant d'une part la valeur de la limite d'élasticité obtenue, et d'autre part l'évolution des variables plastiques. Le tenseur des contraintes dans le repère principal s'écrit :
(117) G = T ( U J ® U 1 ) - X ( U 3 ® U J )
ayant comme valeurs propres (öj,G2,a3) = (T,Q,-T), et le triplet (53) des invariants :
(118) ío,T,e) = (0,T,30°)
Utilisant (118) dans les critères de plasticité de Willam-Wamke à respectivement 3 et 4
paramètres (équations (70) et (95)), on a :
if(O) = T-/(30°)po (119) I =0
\f(a,pcr) = x-/(30°)po(l-po/2pe r)
où /(30°)est le méridien de cisaillement pour l'angle de Lode 6 = 30°, qui se détermine avec la
formule explicite donnée en Annexe 1. Avec les valeurs de référence issues des essais de Kupfer
et al. (1969), (cf. 1-2-2-1 et 1-2-4-1), on a, avec /(30°) = 0,8652, une limite d'élasticité égale
dans les deux cas à :
x~ 0,95al ( c t = résistance en traction simple)
Cette valeur est de l'ordre de grandeur de celle de la résistance en cisaillement déterminée expérimentalement (cf. Chen, 1982).
Par ailleurs, à l'aide de la règle d'écoulement (96), dans le cas du cisaillement pur avec a = 0 et pCT » p , on a tr(d£p) = 0, ou encore d<j)p ==0. Ainsi, le comportement plastique tend vers un
comportement élastoplastique parfait (H=0) : il n'y a ni évolution du domaine d'élasticité, ni
90 Modélisation élastoplastique avec endommagement du béton de structure
évolution de î'endommagemem. En cisaillement pur le modèle proposé ne rend alors compte ni
du comportement adoucissant, ni de l'effet du dommage.
Ceci est une limite du modèle, en particulier lors d'études de structures de poutres en béton soumises à un chargement de torsion. Cette limite concerne le comportement adoucissant et l'endommagement, tandis que la détermination de la limite d'élasticité reste correcte.
1-3-4. Récapitulatif du modèle élastoplastique avec endommagement
Rappelons ici les hypothèses de base de l'extension phénoménologique du modèle élastoplastique à un modèle élastoplastique avec endommagement.
Hl : le dommage du béton est représenté en terme de déformations permanentes, modélisani
la fissuration du matériau (hypothèse de base de la modélisation élastoplastique). Le
comportement écrouissable et adoucissant du béton est modéiisé par l'évolution du
domaine d'élasticité.
H2 : l'effet du dommage qui apparaît à la décharge-recharge peut être représenté par une variation des caractéristiques élastiques (endommagement).
H3 : l'élasticité du matériau demeure isotrope, y compris lorsque les déformations plastiques sont non nulles.
H4 : La variation des caractéristiques élastiques peut être prise en compte par une seule variable d'endommagement : la porosité plastique. Etant un variable plastique du matériau, il n'y a évolution de l'endommagement que si un point de charge se trouve à la frontière du domaine d'élasticité.
Avec ces hypothèses nous avons construit un modèle simple couplant la plasticité avec l'endommagemenî pour une application précise : l'étude de structures en béton soumises à des chargements cycliques, voir dynamiques à très faibles vitesses.
Chapitre 1 91
La figure 1-32 montre schématiquement l'apport de cette extension par rapport aux modèles
élastoplastiques présentés au paragraphe 1-2.
WWm
WW modifié (4 paramètres)
WW3 WW Couplé
l -0,75 Ofc WW Couplé
- - f - o ¿
3 paramètres
Figure 1-32 : Illustration (qualitative) de l'apport de l'extension phénoménologique du modèle élasioplastique à un modèle élastoplastique avec endommagement en compression simple et en traction simple.
(WW3= Critère de WiUam-Warnke à 3 paramètres avec éoouissage (positif) isotrope, WWm= Critère de Willam-Wamke modifié à 4 paramètres avec écrouissage isotrope et règle d'écoulement associée,
WW Couplé= Couplage des deux critères)
92 Modélisation élastoplastique avec endommagement du béton de structure
1-4. CONCLUSION
Nous avons présenté dans ce chapitre des modèles élastoplastiques et leur extension à un modèle
élastoplastique avec endommagement "adaptés" au béton à l'échelle de description des structures.
A cette échelle, on considère que les variables plastiques du matériau modélisent sa fissuration et
la variation des caractéristiques élastiques l'effet du dommage dû à la refermeture incomplète des
fissures. Compte tenu de la complexité des phénomènes physiques mis en jeu dans ce matériau,
nous avons été amené à poser des approximations parfois assez grossières. Dans tous les cas,
nous avons essayé de faire une économie maximum de paramètres, en vue de l'applicabilité des
modèles comme aides au concepteur des ouvrages d'art en béton.
Le modèle de plasticité considère le comportement écrouissable et adoucissant en terme d'une
augmentation (respectivement d'une diminution) du domaine d'élasticité lié au comportement
plastiquement contractant, (respectivement au comportement plastiquement dilatant). Le
comportement assouplissant est pris en compte d'une manière purement phénoménologique par
la variation des caractéristiques élastiques (endommagement). Nous avons utilisé la porosité
plastique (|)p d'une part comme variable d'écrouissage, d'autre part comme variable
d'endommagement, en raison de sa signification physique à l'échelle macroscopique des
structures en béton : c'est la porosité créée par fissuration. Cette variable plastique (variable
d'endommagement) a l'avantage d'être mesurable, indépendamment de la variation des
caractéristiques élastiques. Par ailleurs, comme il n'y a évolution plastique que si un point de
charge se trouve à la frontière du domaine d'élasticité, on ne rend pas compte de toute
modification du comportement du béton pendant les décharges-recharges, mise en évidence et
traitée par exemple par La Borderie (1991). Nous n'avons pas cherché à construire de façon
extrêmement précise un modèle s'appuyant sur une description fine de la structure
microscopique de la matière.
Autrement dit, le propos des modèles présentés ici n'est pas de localiser une fissure individuelle
ou de suivre son ouverture, sa propagation et sa refermeture en tant que discontinuité
géométrique, mais de "zoomer" par l'intermédiaire de la modélisation macroscopique du
comportement irréversible du matériau, sur les zones où apparaît à l'échelle de la structure le
dommage imputable au développement d'une microfissuration existant à une échelle inférieure.
Ce dommage est représenté en terme de déformations permanentes, et le volume de vides créé
par fissuration est quantifiable dans le volume élémentaire par <j)pdfí.
Chapitre 1 93
Par ailleurs, on rappelle que le comportement adoucissant présente une difficulté inhérente à la modélisation, ce qui limite leur utilisation à des conditions de charge précises. De plus, d'un point de vue numérique, les résultats obtenus peuvent fortement dépendre de la taille du maillage éléments finis utilisé. Mais cet effet d'échelle est lié à tout modèle "radoucissant", qu'il soit de plasticité, de fissuration ou bien d'endommagement. Une travail de recherche considérable est consacré à ce sujet (une synthèse des modèles numériques en développement se trouve par exemple dans de Borst et al., 1993). De plus, cet effet d'échelle ne concerne pas seulement les résultats, mais également les données en terme de caractéristiques mécaniques (résistance en traction, modules d'élasticité) {cf. Rossi et Richer, 1987). Ces effets n'ont pas été traités ici.
Nous disposons de modèles de comportement pour le béton, élastoplastique pour le cas de chargements monotones, et élastoplastique couplé à de l'endommagement pour le cas de chargements cycliques. Ces modèles sont écrits sous une forme générale en 3 dimensions, us sont relativement simples, c'est à dire qu'on sait identifier les divers paramètres à partir d'essais standards, et relativement complets car les principaux phénomènes observés lors de chargements appliqués au béton de structures sont représentés. Leur mise en oeuvre numérique est présentée au chapitre 3. Ces modèles vont maintenant être utilisés dans des éléments finis particuliers développés pour l'analyse de structures en béton armé soumises à des chargements statiques ou dynamiques.
a- âlFÏHUOQnîDW MM. CMiCÜI^
ME siTMOEnruiRiEs im W K M Amins
2-0. INTRODUCTION
L'utilisation de matériaux de hautes résistances et îa tendance vers une construction optimisée
conduit à des structures de plus en plus sensibles vis-à-vis des phénomènes non-linéaires tant
matériels que géométriques. La prise en compte de ces phénomènes dans l'analyse des structures
présente d'une part un intérêt certain pour la sécurité des constructions, et d'autre part un intérêt
économique.
Pour ce qui concerne la non-linéarité en matériau, nous avons développé au chapitre précédent
des modèles macroscopiques du comportement pour le béton, qui permettent pour un état triaxial
de contraintes donné de déterminer l'évolution de variables d'état internes : le tenseur des
déformations plastiques, les variables d'écrouissage et d'endommagement. Dans un logiciel par
éléments finis on peut utiliser ces lois de comportement avec des élément massifs pour l'analyse
bi- et tridimensionnelle des structures en béton {cf. chapitre 3).
Une telle modélisation par éléments finis nécessite des stockages et des temps de calcul
importants.
C'est pourquoi nous proposons dans ce chapitre un outil numérique adapté en général à l'analyse
tridimensionnelle non-linéaire (matériel, géométrique) des structures constituées de poutres, et
en particulier à l'étude 3D des structures à poutres en béton armé : l'élément finis poutre
multifibre.
98 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
Ce chapitre est divisé en 4 parties.
Une première partie fait rappel aux différentes approches possibles de discrétisation par éléments
finis pour analyser des problèmes non-linéaires de poutres en béton armé, ce qui permet de situer
notre approche par rapport à celles existantes.
Une deuxième partie est consacrée à la formulation de l'élément fini poutre multifibre dans le
cadre de l'hypothèse des petites perturbations : les non-linéarités en matériau seront prise en
compte par des lois de comportement triaxiales, comme celles présentées au chapitre précédent,
au sein d'un élément fini poutre tridimensionnel classique.
La troisième partie est consacrée aux extensions de la formulation, en intégrant d'une pan les
effets non-linéaires géométriques des poutres (grands déplacements, déformation infinitésimale),
et d'autre part l'effet d'une précontrainte. Pour ce qui concerne la prise en compte des non-
linéarités géométriques, on utilise des techniques bien établies : la formulation incrémentale
lagrangienne actualisée avec traitement serrü-tangentiel des paramètres de rotation. Pour la prise
en compte de l'effet de précontrainte, nous proposons une approche nouvelle qui consiste à
déterminer de manière explicite le déplacement relatif (glissement) entre un câble de
précontrainte et le béton qui l'entoure.
Comme résumé et conclusion, nous présentons le domaine d'application de l'outil numérique
proposé.
Chapitre 2 : Modélisation poutre multifibre 99
2-1. NIVEAU DE DISCRETISATION DES STRUCTURES POUTRES PAR ELEMENTS
FINIS
L'analyse non-linéaire des structures en béton armé a fortement progressé ces dernières
décennies grâce aux modèles numériques mis à la disposition des ingénieurs, parmi lesquels, au
premier rang, on trouve les éléments finis. La puissance des ordinateurs actuels permet la
résolution de problèmes non-linéaires en matériau et/ou en géométrie de plus en plus complexes.
On peut imaginer trois niveaux de discrétisation par élément finis de structures en poutres, (cf.
Millard et al., 1991) : un niveau global, un niveau local ou un niveau semi-global de
discrétisation, illustrés figure 2-1.
ÍF1
s a. approche globale
% b.approche locale
c. approche semi-globale 2D 3D
-couches - s" y
i
yyyyyyy 53
If ibr „•1—¡,-i
rasKl -fl-
r
es_
~M
y y y
~ S'
~-¿ Figure 2-1 : Echelles de discrétisation par éléments finis
100 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
2-1-1. Discrétisation globale
L'approche en discrétisation globale (figure 2-l.a) d'une poutre consiste à modéliser sur une
représentation unidimensionnelle un solide, ia poutre, qui, quoiqu'élancé, est par nature
tridimensionnel. Ceci signifie que l'on ramène à l'axe de référence de la poutre toute information
tant géométrique que matérielle. Ainsi, dans l'approche globale, on définit le comportement
inélastique d'une section courante prise dans son ensemble. D'une manière générale, la non-
linéarité en matériau est prise en compte par des relations forces-déplacements, qui relient les
actions (moments, effort normal, effort tranchant) aux quantités de déplacement (courbures,
elongations). En particulier, on peut distinguer :
• les approches élastoplastiques explicites en forces généralisées (2D, 3D) : le critère de
plasticité d'une section prise dans son ensemble est donné sous la forme d'une surface de
charge fonction des forces généralisées de la section (efforts normal, effort tranchant,
moments de flexion et de torsion). La règle d'écoulement décrit de manière explicite
l'évolution des variables plastiques de la section : courbures plastiques et/ou elongation
plastique de la fibre moyenne (cf. Argyris et al., 1982; Chen, 1981; Cariou, 1988; Shi et
Ahuri, 1988; Conci et Ganas, 1990).
• les approches élastoplastiques implicites (2D,3D) : à partir de la donnée d'un critère de
plasticité fonction des contraintes et une hypothèse sur la forme du champ de contraintes, on
établit a priori par intégration sur la section l'évolution des forces généralisées en fonction de
paramètres cinématiques et géométriques de la section (cf. Wunderlich et al., 1986). Les
évolutions des variables plastiques et d'écrouissage ne sont pas données par une règle
d'écoulement et une règle d'écrouissage, mais remplacées par des relations incrémentales
liants forces généralisées et paramètres cinématiques (courbures, elongations).
• les approches élastiques non-linéaires globales (2D) : le comportement inélastique de la
section prise dans son ensemble est décrit par des relations forces-déplacements, qui relient
de manière explicite les actions (moments, efforts) aux quantités de déplacement (courbures,
elongation, distorsion). Les multiples modèles moments-courbures font partie de cette
famille de modélisation (cf. Saidi, 1982).
Chapitre 2 : Modélisation poutre multifibre 101
• le concept de macroéléments (2D) : le comportement non-linéaire global d'un élément est
exprimé en termes de variables globales identifiées à partir d'analyses locales (cf. Elachachi
étal, 1991; Elachachi, 1992).
Ces approches par discrétisations globales conduisent à des temps de calcul restreints. En
revanche, leur utilisation en 3D se heurte à certains obstacles :
• L'état de contraintes en un point d'une section droite d'une poutre 3D est tridimensionnel :
c'est le cas par exemple sous sollicitation de flexion couplée à de la torsion. Une action
(force ou moment) n'est plus seulement liée à un seul déplacement : les relations sont
fortement couplées, ce qui rend très difficile leur détermination expérimentale.
• De plus, les approches élastoplastiques en forces généralisées (utilisée pour l'analyse des
structures en acier), s'étendent difficilement au cas des structures en béton armé. Une poutre
en béton armé est constituée de plusieurs matériaux aux lois de comportement différentes
(béton + acier), qui occupent une ou plusieurs positions géométriques au sein d'une section
de forme quelconque. Tout élément en béton armé est un prototype. Le comportement d'une
section dépend de nombreux paramètres, et est donc difficile à modéliser par l'utilisation
d'une approche globale.
Cependant, en ce qui concerne le traitement numérique des non-linéarités en géométrie (grands
déplacements, rotations finies), la représentation géométrique simple des poutres (axe de
référence, section) permet d'établir des procédures numériques très efficaces (cf. Bathe et
Bolourchi, 1979; Argyris, 1982; Yang et McGuire, 1986'*b; Wunderlich et al, 1986; Cardona et
Geradin, 1988; Cariou, 1988; Conci, 1992ab).
2-1-2. Discrétisation locale
Ici, on entend par discrétisation locale par éléments finis, la modélisation d'un solide discrétisée
dans l'espace (figure 2-l.b). Ainsi, à cette échelle locale, le béton est modélisé par des éléments
massifs 2D ou 3D et l'acier par des éléments de barres ou des éléments massifs. Les lois de
componement utilisée à cette échelle de modélisation par éléments finis pour le béton ont été
présentées au chapitre 1.
102 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
Cette modélisation permet d'obtenir des informations locales concernant l'état de plastification,
de détérioration et d'endommagement de la structure. Cependant, cette modélisation nécessite
des stockages et des temps de calcul importants. De plus, le couplage avec les non-linéarités en
géométrie (grands déplacement, grandes déformations) rend l'application numérique très
difficile.
2-1-3. Discrétisation semi-globale
A une échelle de discrétisation intermédiaire {figure 2-l.c), se trouvent les éléments type
multicouches pour modéliser des problèmes non-linéaires de poutres planes. Les premiers
éléments datent de la fin des années 60, {cf. Armen et al., 1968; Sena, 1969; Rajasekaran et
Murray, 1973; Aktan et ai, 1974; Epstein et al., 1978; Bergan et Holand, 1979). Ils ont connu
une nouvelle renaissance ces dernières années, en particulier en ce qui concerne leur utilisation
pour l'analyse non-linéaire des structures en béton armé sous chargement cyclique (cf. Lamirault
et Al Sulayfani, 1987; La Borderie et al, 1990;...) et dynamique ( en particulier : sismique) {cf.
Zcris et Mahin, 1991 l b; Ulm et Clément, 1991, Mazars et al, 1992; Ulm et al, 1993; ...). La
section droite d'un élément de poutre est découpée en zones. La translation de ces zones
parallèlement à l'axe de l'élément forme des couches {figure 2-2).
Figure 2-2 : Modélisaüon semi-globaie des poutres planes par élément poutre multi-couche (de la familles des éléments CESAR-LCPC)
Chapitre 2 : Modélisation poutre multifibre 103
Ce niveau de discrétisation intermédiaire situé entre l'approche globale et locale permet encore
de modéliser le solide tridimensionnel original en élément de poutre. Le champ de déplacements
est décrit par les quantités en déplacements et rotations d'un élément de poutre classique, tandis
que toute information concernant le comportement matériel est traitée à un niveau local : les
couches (figure 2-2). L'état des contraintes est déterminé en utilisant des variables d'état locales
(déformations permanentes, endommagement,...). Les lois de comportement utilisées au niveau
de couches, ne diffèrent pas a priori des lois de comportement utilisées dans les approches
locales. Dans le cas d'un problème non-linéaire en géométrie, toutes les procédures numériques
établies pour des éléments de poutres classiques peuvent être utilisées.
On constate ainsi deux échelles de discrétisation : une échelle locale, où - sous l'hypothèse des
petites déformations- on ne traite que les non-linéarités en matériau; et une échelle globale, où
on peut traiter les non-linéarités en géométrie. C'est pourquoi cette approche est qualifiée de
semi-globale. Ces deux échelles nécessitent deux hypothèses, à la base de la formulation :
» à l'échelle locale : une hypothèse concernant le champ des contraintes. Dans les approches
2D muiticouches, on suppose un champ de contraintes uniaxial ((J = dXäex ®et ),
• à l'échelle globale : une hypothèse cinématiques des poutres. Une section initialement plane
et orthogonale à la fibre moyenne le reste après déformation (Navier-Bernoulli).
Cette approche intègre les avantages de deux approches de modélisation globale et locale : temps
de calcul restreint et lois de comportement locales appropriées.
Dans ce chapitre, elle est entendue au cas tridimensionnel.
104 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
2-2. ELEMENT POUTRE MULTIFffiRE
Nous proposons ici une modélisation des poutres tridimensionnelles par élément fini poutre
multifibre, issu de l'extension de la modélisation multicouche des poutres bidimensionnelles
(figure 2-2) au cas tridimensionnel. Au sens de la terminologie du paragraphe 2-1, l'approche de
discrétisation est semi-globale. La motivation est la suivante : développer un outil numérique
efficace, qui permet d'effectuer des calculs non-linéaires tridimensionnels de structures
complètes en béton armé, sous chargements statiques et dynamiques, avec des temps de calcul
raisonnables.
Comme on l'a noté, le chargement peut provoquer un état des contraintes qui n'est plus uniaxial
(par exemple cas de la torsion). Ceci nécessite un traitement des non-linéarités en matériau par
des lois de comportement triaxiales. La formulation proposée permet d'utiliser ces lois des
comportement au sein d'un élément poutre tridimensionnelle classique.
Le but de ce paragraphe est la mise en équation de la modélisation poutre multifibre dans le
cadre de l'hypothèse des petites perturbations. Nous présentons la formulation variationnelle, qui
conduit à la détermination du vecteur des efforts intérieurs et celle de la matrice de rigidité. Un
rapide récapitulatif de ia formulation proposée terminera ce paragraphe.
Chapitre 2 : Modélisation poutre multifibre 105
2-2-1. Quelques notations et définitions
Afin d'alléger la formulation, nous présentons tout d'abords l'élément dans le cadre de l'hypothèse des pentes perturbations. Comme cet élément est un élément de poutre il est également utile de rappeler quelques notations spécifiques de la théorie des poutres.
2-2-1-1. Hypothèse des petites perturbations
L'hypothèse des petites perturbations correspond ici aux hypothèses suivantes :
• Hl : hypothèse des transformations infinitésimales. Notons X le vecteur de position d'un point matériel dans le solide, et t, le vecteur de déplacement, on suppose donc :
(1) VX (Grady « 1
Cette hypothèse implique celle des déformations infinitésimales.
• H2 : hypothèse des petits déplacements 2; du solide par rapport à une longueur caractéristique 10 du problème (dimension de la structure, longueur d'onde du chargement
etc.).
2-2-1-2. Efforts intérieurs de poutres tridimensionnelles
Une poutre a une géométrie simple : elle est constituée d'un axe de référence et d'une section droite. Soit Q un point matériel dans la section et P sa projection orthogonale sur l'axe de
référence, la géométrie du solide tridimensionnel est entièrement décrite par la position de P sur l'axe de référence et par des vecteurs des positions PQ de composantes (0,x2,xi) et vecteurs de bases e-(i = 1,3) en P.
ey—v. e2 Figure 2-3 : Géométrie d'une poutre
i £? e>J Axe de référence
/ section
106 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
Notons G = (5(0 le tenseur de contraintes en Q. Les forces généralisées en P sont les efforts Tl
et moments ïïl, définis par (Salençon, 1988) :
(2) n(/>) = Ja.e Ida et W.(P) = Jpg A (Ö.e>)da
où da est la facette infinitésimale orientée par e¡. Chacune des composantes 71 et M peut se décomposer en efforts généralisés hors et dans le plan de section droite normale à et :
(3) 71(F) = Nej+V et Tll(P) = M1e1+M
où N est l'effort normal, V l'effort tranchant, Mj le moment de torsion et M le moment fléchissant en P. Dans le repère orthonormé (P, ej,e2,e3), ils sont définis par :
N = J o n da a
V = í(e2G¡: + e3o"13) da = V2e2+V3e3
(4) { M, =J(x2aJ3-x3G12)da
a
M =J (x3e2-x2e3)anda = M2e2 + M3e3
Ces composantes sont définies sur la configuration actuelle déformée (figure 2-4). Avec l'hypothèse des petits déplacements (H2), on confond coordonnées actuelles et initiales, et les efforts généralisés sont, par l'équation (4), définis sur la configuration initiale connue.
Chapitre 2 : Modélisation poutre multifibre 107
Figure 2-4 : Représentation des efforts intérieurs généralisés d'une poutre.
e i
2-2-2. Présentation de l'élément poutre multifibre
Dans une modélisation par éléments finis d'un poutre homogène élastique, en raison de la
simplicité de sa géométrie , la discrétisation est constituée de la discrétisation de l'axe de
référence et de quelques paramètres de la section. Une section de poutre en béton armé est
composée de plusieurs matériaux, aux lois de comportement différentes, qui occupent une ou
plusieurs positions géométriques au sein d'une section de forme quelconque. Une "adaptation" de
la discrétisation consiste alors découper la section en zones, qui, quant à elles, restent définies
par rapport à l'axe de référence. Leurs translations sur la longueur de l'élément forme des fibres.
C'est l'élément poutre multifibre que nous présentons par la suite.
2-2-2-1. Approche semi-globale appliquée au poutres tridimensionnelles
L'élément développé, représenté figure 2-5, est constitué de n fibres, de dimensions quelconques, repérées par leur vecteur de position PQ de composantes (0,J2k,x3k) dans le repère local de
l'élément de vecteur de base e, (i = 1,3). Q est ici le centre de gravité de la fibre k (k = \,n) et
P sa projection sur l'axe de référence de l'élément.
La comparaison des figures 2-2 et 2-5 met en évidence que l'élément proposé est issu de
l'extension de l'approche muln-couche au cas tridimensionnel. Cette fois, en un point de la
section, l'état des contraintes n'est plus uniaxial.
108 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
Figure 2-5 : Elément fini poutre multifibre
L'application de l'approche semi-globale consiste à définir :
• à l'échelle globale, un élément de poutre tridimensionnelle classique. L'élément le plus
simple, à deux noeuds, et 6 dégrées de liberté par nœud (3 paramètres de translation. 3
paramètre de rotation) a été choisi.
• à l'échelle locale, des fibres, où sont traitées les non-linéarités matérielles, avec des lois de
comportement triaxiales. En particulier, nous utiliserons pour le béton les lois
élastoplastiques avec écrouissage et endommagement présentées au chapitre 1. Pour l'acier,
une loi de comportement élastoplastique avec écrouissage et une surface de charge de Von-
Mises sont utilisées.
Les hypothèses cinématiques de la théorie des poutres permettent le passage des fibres à
l'élément.
Chapitre 2 : Modélisation poutre multifibre 109
2-2-2-2. Rappel des hypothèses de déformation des poutres
Nous appliquons donc :
• H3 : l'hypothèse de Navier-Bemoulli. La planéité des sections droites et leur normalité aux
fibres sont conservées dans la déformation de la poutre considérée.
• H4 : torsion de Saint-Venant.
Ces deux hypothèses sont posées quel que soit le comportement des matériaux constituant la
section.
2-2-2-3. Vecteur de déplacement de la fibre k
L'hypothèse H3 porte sur le champ de déplacement d'un point quelconque de la section. Avec
l'hypothèse H2 (petites déplacements), pour la fibre k, on écrit :
(5) ^ k = ^ ( ß ) = 4o+ö>oA/>ß
où £0 et CÛ0 sont respectivement les vecteurs de déplacement et de rotation en P autours de l'axe
de l'élément. La normalité des fibres à la section permet de lier ces deux vecteurs par (Salençon,
1988):
,e, =—2£.-( (6) <o 0 Ae,=-2£—e, dx M
' d £ . 1 d£ ° — i.\ — , ou: elA—XJL = (ûx=(ûB~(û1el dxj
avec ü),e¡ et CÛ± les vecteurs de la rotation d'orientation hors et dans le plan de la section.
L'utilisation de (6) dans (5) conduit à :
(Tit. \
(7) Ék=É(fi) = ÉD- Ikpßh+co.e.APÖ V ¿x> )
Dans l'équation précédente, l'axe de torsion est supposé coïncider avec l'axe de référence. Pour
des applications aux sections ouvertes, ces deux axes ne sont pas confondus, {figure 2-6). Notons
110 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
T le centre de torsion dans la section, défini par le vecteur de position PT de composantes (0,x2l,xil). On suppose que :
• H5 : les deux axes de référence ont les mêmes vecteurs de base ei, i = 1,3 le long de
l'élément, et leur position l'un par rapport à l'autre reste fixe quel que soit l'état physique
(plastification, endornmagement,...) de la section.
Il convient de signaler, que l'hypothèse H5, qui conduit à séparer l'aspect géométrique de l'aspect
rhéologique pour le traitement de ia torsion, n'est pas toujours adaptée. Cette limite est mise en
évidence et le problème de la torsion est traité par exemple par Leung et Schnobrich (1987),
Fouré etHannachi (1992) ou Cocchi etCappello (1993).
En outre, dans l'équation (7) une rotation CÛ, autour de l'axe de référence n'entraîne que des
déplacements dans le plan de la section normale à e r L'effet d'une rotation infinitésimale sur le
déplacement dans la direction e,, est pris en compte dans la réécriture de l'équation (7) sous la
forme {cf. Vlassov, 1962) :
(8) Ek=E(ß) = E„-dx,
/ , ß+^q>(x 2 ,X3) |e 1 +a>;e 1 A(J»ß- /T) dx, J
avec ^0 de composantes (Çf ,^»^) o u *es indices p et t indiquent si la quantité en
déplacement ou en rotation se réfère au point P de l'axe de référence ou au point T sur l'axe de
torsion (figure 2-6).
Axe de référence
Axe de torsion
Figure 2-6 : Composantes du vecteur de déplacement dans le cas où l'axe de torsion ne coïncide pas avec l'axe de référence de ia poutre
Chapitre 2 : Modélisation poutre multifibre 111
Pour la discrétisation spatiale, on utilise les fonctions d'interpolations linéaires pour les composantes hors du plan de la section (^¡p,o>¡), et cubiques pour les composantes dans le plan de la section (Ç2,%3). Elles sont présentées en annexe 2. Ceci conduit au niveau global à un
élément classique à deux noeuds, qui comporte 6 degrés de liberté par noeud, avec le vecteur de
paramètres de déplacement et de rotation (figure 2-5) :
(9) {ti.ASl&iAl><<,<} i = A,B
2-2-2-4, Tenseur de déformations linéarisé
Le tenseur de déformations linéarisé
(10) 2£ = (grad£+lgradÇ)
qui se dérive à partir du vecteur de déplacement (8), n'a que trois composantes
(11)
dçr £ = ——
dx,
2 e 1 2 = ^
fd2t nr% d2û)i ,
vdx,2 dxs-
2£ î 3 =
dx.
à(â\
dx,
3cp
vdx2
V Ô X 3
x3 +x3l
+ x2 -x 2 l
On notera que sans hypothèse supplémentaire, même dans le cas d'un comportement isotrope, les composantes G22 et o33 du tenseur des contraintes peuvent être non nulles.
Pour le cas d'un matériau élastique isotrope, on a :
G 22 ~ G 33 ~ , __ G U
et pour le cas d'un matériau élastoplastique isotrope :
112 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
E
1 — V 1 — V
avec E le module d'Young et v le coefficient de Poisson. Ces composantes transversales peuvent
prendre des valeurs importantes.
Posons ainsi une hypothèse supplémentaire sur le champ de contraintes :
• H6 : le tenseur des contraintes n'a que des trois composantes (on,cn,an), donc :
(12) <5 = cnel®e1 + o12(e, ®e2 + e2®ei)+a ! 3(ej ®e3+e3®e¡)
L'hypothèse (12) conduit à un tenseur de déformations comportant des composantes transversales e^ et e33 (effets de Poisson). Ces deux composantes ne dérivent pas du champ
de déplacement classique de poutre (8). Dans le cas d'un matériau élastique isotrope, on a :
de22 =de33 = - v d e n
et dans le cas d'un matériau élastoplastique isotrope :
de 2 2 -de^ =de33 - d e ^ = -v(de11-de1p,)
Les composantes (defpde^.de^) se calculent à partir d'une règle d'écoulement.
L'hypothèse H6 est ici nécessaire, en vue de l'utilisation de lois de comportement triaxiales.
Poser cette hypothèse n'est pas toujours justifié, en particulier dans le cas de poteaux en béton
armé soumis à des chargements cycliques ou dynamiques (cf. Madas et Elnashai, 1992). Ce sont
les armatures transversales (cadres) qui - si elles sont activées - entraînent un confinement de la section (c'est à dire des composantes un et G33 non nulles), (figure 2-7). Cet effet de confinement
au sein de la formulation poutre multifibre a été étudié par Fliedner (1993).
Chapitre 2 : Modélisation poutre multifibre 113
Armature Effets de confinement
Cadre Zone non-confinée
Figure 2-7 : Illustration de l'effet de confinement dans une section rectangulaire en béton armé. (d'après Madas et Einashai, 1992)
Enfin, du fait de son interpolation linéaire, la rotation œ, ne provoque pas des déformations e n ,
et donc pas de contraintes axiales. Avec une interpolation de Cü¡ d'ordre supérieur, on pourrait
étendre la formulation pour traiter le problème de la torsion gênée (cf. Wunderlich et al., 1986;
Yang etMcGuire, 1986îb; Conci, 1992ib; Pasquino etMarotti, 1992; Dutta et White, 1992).
2-2-2-5. Rigidité à la torsion
La fonction (p(x2, x3 ) dans (8) rend compte de l'effet d'une rotation infinitésimale autour de l'axe
de torsion sur le déplacement longitudinal. Pour préciser cet effet, étudions le cas de la torsion
pure, où l'état de contraintes correspond à celui du cisaillement pur étudié au paragraphe 1-3-3-3. Au point Q de la section le tenseur des contraintes dans la base e,,e2,e3 de la poutre s'écrit :
(14) G = o12(e1 ®e2+e2®ei) + 0!3(e, ®e3+e3®e,)
et le vecteur-contrainte en Q
(15) T = G.e¡ =cJ12.e2+Gi3.e3
L'équation précédente et le vecteur de cission {Salençon, 1988) suivant
(16) T = T(e,)
114 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
définissent un champ de vecteurs sur la section droite. Les lignes enveloppes de ce champ de
vecteurs sont appelées lignes de cisaillement. Ce sont des lignes de niveau de valeurs :
(17) % = *J^S=jcn2+öl
En chaque point Q, définissons une base orthonormée (ej,e t,e lT) où le vecteur eT est colinéaire
au vecteur de cission X et de même sens que lui, et e±T est normal à e t , dans le plan de la section
de normale e¡ (figure 2-8).
Dans le cas d'un comportement élastique et en supposant que l'axe de torsion coïncide avec l'axe de référence (i.e. x2l = x3t = 0), on a en utilisant (11) :
ÍCJ,, = 2GE,, dû)' (38) !2 _ l2 donc: x = G ^ -
[o13=2Ge !3 dxj
Dans le cas d'une section circulaire, 9cp/3x2 =dcp/dx3 =0 , et les lignes de cisaillement
(x = const) sont des cercles concentriques. Le vecteur 1 est normal au rayon vecteur r de
norme r = ^x22+x3
2 (figure 2Sa). La fonction q>(x2,x3) de (18) rend compte de la forme des
lignes de cisaillement dans le cas d'une section quelconque (figure 2-8b), constituée d'un matériau élastique isotrope. Dans le domaine élastique, la fonction (p(x2,x3) pour une section quelconque
est difficile à déterminer (cf. Malkwitz, 1970; Ditthardt, 1972). Dans le cas où la section est
composée de plusieurs matériaux aux lois de comportement différentes, la fonction <p ne peut
pas a priori être déterminée, car les directions des contraintes X sont inconnues et dépendent de
l'état physique de la section (plastification, endommage ment). La fonction <p doit alors dépendre
de paramètre rhéoîogique %, c'est à dire <p = (p(x,x2,x3) (cf. Hsu et Mo, 1985; May et Al-
Shaarbaf, 1989; Billinghurst et ai, 1992; ).
Cette dépendance de la fonction (p vis-à-vis l'état physique de la section est difficile à intégrer
dans la formulation proposée ici, où les aspects géométriques et rhéologiques sont supposés
découplés.
Chapitre 2 : Modélisation poutre multifibre 115
Lignes de cisaillement
Lignes de cisaillement (élastique)
a. Lignes de cisaillement d'une section circulaire (cercles concentriques).
b. Lignes de cisaillement élastique d'une section quelconque.
t(A) X(r) (approché) ("concentrique")
T((p) ("réel")
/
c. Illustration du paramètre A de correction de la torsion élastique dans le cas d'une section quelconque.
Figure 2-8 : Lignes de cisaillement dans la section (torsion pure élastique) (d'après Salençon, 1988)
116 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
Pour (p = (p(x2,x3 ) nous utilisons l'approximation suivante (Salençon, 1988) :
(19) q> = Ax2x3 (A : paramètre)
Utilisant (19) dans (18), on a
dû),1
(20) T = G ^ V ( A + 1 ) 2 X 2 2 + Í A - 1 ) 2 X 3 2
dx,
Le paramètre A peut être considéré comme un paramètre de correction de la direction du vecteur T par rapport au paramétrage concentrique (A=0, X = T(r)), figure 2-8c.
On déduit l'expression du moment de torsion élastique des relations (4), (11), (18), (19) :
(21) M, = — L
dx, (A-l)2 jGx3
2da + (A + l)2jGx22da
La recherche du minimum de l'énergie élastique du moment de torsion M2, conduit à
(22) — dA
(A-l)2 jGx32da + (A + l ) 2 jGx/da
ÍG(x32~x2
2)da
= 0 A = -Î-jGrda
Sous cette forme (22), dérivée à partir de considérations énergétiques élastiques, le paramètre A
n'est valable - au stricto senso - que dans le domaine élastique, pour lequel il n'est qu'une
approximation de la direction exacte du vecteur X d'une section quelconque. On considère ici
que A est une caractéristique géométrique de la section, même hors des hypothèses de
l'élasticité.
En utilisant (22) dans (21) pour une section élastique isotrope, on obtient la formule approchée
(majoration) de la rigidité à la torsion pure des tiges à section pleine comme celle proposée et
discutée dans plusieurs ouvrages traitant le problème de la torsion élastique (cf. Vlassov, 1962) :
Chapitre 2 : Modélisation poutre multifibre 117
M, = G J — L avec : J < —=-J~ dx, I2 +I3
où I2 eî I3 désignent les moments d'inertie principaux de la section, définis par I2 = J x3da et
I3 = J x2da.
il convient d'insister sur le fait, que supposer A indépendant de l'état physique de la section
conduit, lorsqu'une partie de la section n'est plus élastique, à surestimer la rigidité de la section à
la torsion. C'est donc une limite de l'approche multifibre proposée.
2-2-3. Mise en équation du problème
2-2-3-1. Formulation faible de l'équation d'équilibre mécanique
Dans le cadre de l'hypothèse de petites perturbations, l'équilibre mécanique du système de
volume Q s'écrit :
(23) divG + p o ( F - y ) = 0 dansfí
avec p0F et poy les densités de forces volumique et d'inertie. Les conditions aux limites en
forces et en déplacements s'écrivent :
fa n. = T,d sur dQ^ (24) \
}S, = Ç? sur BQ^
avec BQ^ et dQ „ les partie de la surface 8fí relatives aux quantités en force et en déplacement.
Soit U un champ de vecteur quelconque. En multipliant (23) par Û puis en intégrant par parties
le résultat sur Q,, et en tenant compte de la symétrie de G, on obtient la formulation faible de
l'équation de champ (23) :
(25) VU, VU -¡p:ddQ-jpoy.VàQ+jpJ.VdQ+j(f5.n).Vàii = 0
118 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
où d = (gradÛ+'gradÛ). Sous une forme condensée, on écrit :
(26) VQ, VU ^u l l(Û) + p i(Û) + e i t(Û) = 0
où les indices ¿nr=intérieure, j'=ineme et exr=extérieure (volumique et surfacique).
L'équation (25) n'est qu'une dualisation de l'équation (23), mais elle affaiblit les propriétés de
régularité du champ de contrainte Ü. En satisfaisant l'équation (25), on vérifie simultanément
• l'équation d'équilibre,
• les conditions aux limites,
• les lois de comportement.
Le choix de l'inconnue principale se porte ici naturellement sur le champ de déplacement £>. On
pose ainsi comme problème de trouver un champ de déplacement h, tel que pour tout champ U,
l'équation (25) soit satisfaite, avec ^ et Û appartenant à un espace vectoriel de dimension
infinie. L'utilisation pour l'application numérique de la méthode des éléments finis revient à ramener ce problème à un problème discret où les champs ^ et tî sont éléments d'un espace
vectoriel de dimension finie. Notant {Ûj l'ensemble de paramètres nodaux discrétisant le champ
U, l'équation (26) s'écrit :
(27) V{Û} p j { û } ) + p,({û}) + p j { û } ) = 0
En général, la nature non-linéaire des lois de comportement empêche une résolution directe de
l'équation (26). Le problème est discrérisé en temps (processus incrémental), et sa résolution
devra s'effectuer par itérations successives à l'intérieur du même pas de temps (ou incrément)
suivant une méthode itérative. D en existe de variées.
Pour l'application avec l'élément multifibre nous utilisons une méthode tangente. Considérons une estimation Çn>m de la solution de l'équation (26) à l'itération m au pas de temps n, telle que :
(28) ÇR .Û = £> , +p +p.
Chapitre 2 : Modélisation poutre multifibre 119
où 9? esî appelée application résidu. La nullité de SR représente le critère de vérification de
l'équation (26), c'est à dire le respect de l'équilibre global entre efforts intérieurs, d'inertie et
extérieurs appliqués au système étudié, et sa compatibilité avec la loi de comportement. Si, pour
un incrément n de charge appliquée, 9î * 0 après une évaluation ^n ra de la solution, il convient
d'effectuer une seconde évaluation £¡a¡m+1 = 4n,m + ^4m+i e n tenant compte du nouvel état de
contraintes et de déformations. Utiliser une méthode tangente consiste à considérer :
(29) ^ + 1 = ^ n . m + ^ | ^ . A ^ m + ! + . . .
où A9in.+, = —-—• est l'opérateur de passage entre deux itérations m et m+1 : c'est la matrice de
rigidité tangente. On note que dans le cadre de l'hypothèse des petites perturbations, ce ne sont que les efforts intérieurs qui varient en fonction de ^ .
Les aspects algorithmiques concernants la discrétisation en temps et les processus itératifs seront
traités au chapitre 3. Ici, on montre la mise en équation matricielle du problème pour l'élément
multifibre.
2-2-3-2. Vecteurs d'efforts intérieurs
Pour la poutre, soit Ü un champ vectoriel composé de deux champs vectoriels Û0 et Û0,
définissant les mouvements réels du système élémentaire : Û0 de composantes (U^Û! , , ^ )
caractérise l'évolution de la position du point P sur l'axe de référence, et ÙB de composantes
(nj ,n 2 ,Ô 3 ) l'évolution de l'orientation de la section (Salençon, 1988). Supposons de plus que le
système élémentaire suit un mouvement de Navier-Bernoulli : les deux champs vectoriels sont
liés de manière analogue aux équations (5)-(8). L'utilisation de ce champ vectoriel Û dans (25)
et l'application de la définition (4) des efforts généralisés conduisent à réécrire la première
intégrale volumique de (25) sous une forme linéique des efforts intérieurs :
(30) / „%„ „,£.. ( A2f] ^ ^
P m t ( U 0 Ä ) = - i ö : d d O = - f N ^ + M 1 ^ - + M . V dx, dxi
e, A > " A„ 2 dx,J
)) dx¡
120 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
avec t la longueur du système élémentaire. On remarque dans cene formule que l'effort tranchant V n'intervient pas (mouvement de Navier-Bernoulli).
Utilisant la discrétisation spatiale de la paragraphe 2-2-2-3, on écrit sous une forme discrétisée :
(3D ^ ^ ' { Û H F J
où {Û} sont des paramètres nodaux de U discrétisé et {Fto} le vecteur des forces nodales de
l'élément :
(32) {Fte}i=,{NS,V¿,V¿.MÍi,M5l.M,pi} i = A,B
qui se déduit de l'équation (30) :
(33) {F^XÎF««»}^! f|BLKUdx; L k
Le vecteur {a}k regroupe les trois composantes (Gn,o12,on) du tenseur de contraintes
(hypothèse H6) au points d'intégration de la fibre k de section ak (de normale e,) et longueur ik.
Dans (33), [B]k est la matrice [3,12] des dérivées des fonctions d'interpolation de l'élément, liant
le vecteur des déplacements nodaux (9) de l'élément aux composantes (11) du tenseur des
déformations locales au niveau de fibres :
(34) {e}t=[B]4fë} où: {d£}i=,{dEI1,2d£l2,2dEI,}4
[B]k est donnée en annexe 2.
Chapitre 2 : Modélisation poutre muhifibre 121
2-2-3-3, Matrice de rigidité tangente
Utilisant (28) dans le cadre de l'hypothèse des petites perturbations (Hl) pour un élément poutre
tridimensionnelle, on obtient, à partir de l'équation (30) :
(35) A9t.Û = J| dU dû[_ d2Û„ -AN-=^--AM,•===»--AM. e , A ^ - ^
dx dx. dx,2 jj dx,
où l'opérateur A note une variation par rapport à \ . On a
(36) \
AN= f AaHda
AM,= J(Ao I 2((A-l)x3+x3 t) + Ao13((A + l)x2-x2 l))da
AM = J Aau(x3e2 -x2e3)da
Les incréments de contraintes (Ao"n,Ao12,Ao13) sont liés aux incréments de déformations
í A£n,2Ae!2,2Ae,3) par l'intermédiaire des lois de comportement
Dans le cas d'un matériau élastopîastique on utilise :
(37) {AG} = [CC P]{A£} avec: CP = C„—^ °'9OJUG' €
- £ • • * £ C9 est le tenseur de comportement élastopîastique, et [Cep] sa représentation matricielle, avec
la prise en compte de l'hypothèse Ho. f est la fonction de charge, g le potentiel plastique, et H le module d'écrouissage. [Cep] peut être également obtenue (pour H Í ¿ 0 ) à partir de (cf. Mestat,
1993):
(38) d£ = C"1 * dg df ° HdOdG
d a = Cep :dO
Cette relation conduit à :
122 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
(39) [c*]"1 = 1/E
1/G
1/G
1 +—
H
§,11*. 11 ë.lî .12 §.11\13
8.12*41 / 2 g,12f.l2/2 g.î2f.i3/2
[g.i3f.ii/2 g43fj2/2 g,Bf13/2
avec2G = ö7^) e t ( ) Ä = = a ( ) / d G i J "
Dans le cas d'un matériau qui suit une loi de comportement élastoplastique avec endommageaient, comme celle présentée au chapitre 1, les caractéristiques élastiques dépendent de plus de la variable d'endommagement.
Enfin, dans le cas élastique, la matrice de comportement est :
(40) [C0] = diag[E,G,G]
liant ainsi chacune des composantes de AG d'une façon unidimensionnelle aux composantes de
AE. C'est ne pas le cas quand il s'agit d'un matériau élastoplastique (sans ou avec
endommageaient).
A partir des relations (35)-(36), on obtient la matrice de rigidité tangente pour l'élément poutre
multifibre sous la forme :
(41) [K]~ = I [K(C- ) ] ; i l = X f '[BL[C-]JBLa.dx, 4»/.n
* • ' • " *k
K(C^ )j est la matrice de rigidité tangente de la fibre k.
2-2-3-4. Equations d'équilibre incrémentales
Utilisant (33) et (41) dans (29), l'équation d'équilibre incrémentale matricielle pour un élément poutre multifibre s'écrit dans le cas statique :
(42) I [ K ( r ) n A ^ { F j - I { F , ( ö ) } t kmij, k-I.*
Chapitre 2 : Modélisation poutre multifibre 123
où {A^} est le vecteur d'accroissement des paramètres nodaux à l'itération m.
Dans le cas dynamique, en utilisant pour le vecteur d'accélération :
(43) y = - ^ + yc = £ + yo
avec yo le vecteur d'accélération due à un mouvement de corps rigide de la structure (cas d'un
séisme), l'équation d'équilibre incrémentale matricielle pour l'élément poutre multifibre s'écrit,
en négligeant l'effet d'amortissement visqueux :
W M f ö + I[K(C-)]r{A4} = {Fm}-[M]{Yo}- X{Fml(G)}t
[M] est la matrice de masse d'un élément de poutre tridimensionnelle classique constitué de
fibres superposées. \%\ et {y0} sont les vecteurs des paramètres nodaux d'accélération. Pour
résoudre l'équation (44) on utilisera l'algorithme de Newmark {cf. 3-2-1).
La formulation de la matrice de rigidité tangente correspond au choix d'un outil de résolution du problème non-linéaire considéré. Elle n'affecte pas la solution en déplacement, mais le chemin suivi pour aboutir à la convergence. En revanche, l'évaluation du vecteur d'efforts intérieurs décide de l'acceptation ou du refus de la solution obtenue et constitue ainsi le centre de préoccupation principal du traitement effectué.
Enfin, il convient d'insister sur le fait que les lois de comportement triaxiales qu'on utilisera sont
celles présentées au chapitre 1, c'est à dire des lois de comportement quasistatiques. Ceci conduit
à une limite de notre approche dans le cas de chargements dynamiques : comme tout effet de
vitesse (de déformation) au niveau de lois de comportement est négligé, l'approche est limitée à
des niveaux de vitesses très faibles.
124 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
2-2-4. Récapitulatif
Rappelons ici brièvement les hypothèses introduites au cours de ce paragraphe consacré à la
formulation de l'élément multifïbre dans le cadre de l'hypothèse des petites perturbations :
• Hypothèse des petites perturbations (cf. 2-2-1-1) :
Hl : hypothèse des transformations infinitésimales (par conséquent : hypothèse des
déformations infinitésimales).
H2 : hypothèse des petits déplacements.
• Hypothèses sur la déformations des poutres, quel que soit le comportement des matériaux
constituant la section (découplage des aspects géométriques et rhéologiques)
(cf. 2-2-2-2, 2-2-2-3) :
H3 : hypothèse de Navier-Bemoulli.
H4 : torsion de Saint Venant,
H5 : hypothèses sur l'axe de centre de torsion et sur la rigidité à la torsion (quantité purement
géométrique).
• Hypothèse sur l'état de contraintes (cf. 2-2-2-4) :
H6 : Les contraintes transversales à l'axe d'une fibre (contraintes de confinement) sont nulles.
Dans les limites imposées par ces hypothèses, l'outil numérique développé, l'élément multifïbre,
issu de l'extension de l'approche multicouche en 3D, permettra le calcul des structures à poutres
en béton armé sous chargements statiques, cycliques et dynamiques (à faibles vitesses).
L'élément est un élément poutre (constitué des fibres superposées) avec des degrés de liberté en
nombre limité. Ceci permet le calcul des structures tridimensionnelles complètes avec des temps
de calcul raisonnables avec une résolution tangente (taille de matrice par élément petite [12,12]
par rapport à une discrétisation locale). La formulation peut s'appliquer à tout autre élément de
poutre tridimensionnelle classique avec plus de noeuds et plus de degrés de liberté pour prendre
en compte des effets divers (torsion gênée, cisaillement dans la section, confinement etc.).
Chapitre 2 : Modélisation poutre muitifibre 125
2-3. EXTENSIONS DE LA FORMULATION POUTRE MVLTIFIBRE
Dans le paragraphe précédent nous avons présenté l'élément poutre muitifibre dans le cadre de
l'hypothèse des petites perturbations. Les non-linéarités en matériau sont prises en compte par des
lois de comportement triaxiales au sein d'un élément poutre classique. Pour cela des hypothèses
cinématiques fortes, comme celle de Navier-Bemoulli, ont été posées. Ces hypothèses limitent ie
domaine d'application de l'outil numérique présenté.
D'une part, l'hypothèse des transformations infinitésimales permet de négliger toute non-linéarité
en géométrie. Cependant, la tendance vers une construction optimisée conduit de plus en plus à
des structures sensibles vis-à-vis de phénomènes non-linéaires matériels et géométriques. Ceci est
en particulier le cas pour des structures à poutres qui se déplacent beaucoup plus qu'elles ne se
déforment. Les déformations restent toutefois infinitésimales, tandis que la transformation ne l'est
plus. Les non-linéarités géométriques peuvent conduire à la ruine des structures : flambemenî de
poteaux, déversement de poutres préfabriquées etc,
D'autre part, l'hypothèse de Navier-Bemoulli, bien qu'elle soit une approximation bien adaptée
aux problèmes des structures à poutres, revient à supposer que deux fibres initialement
juxtaposées, le restent toujours ; avec la formulation proposée, on ne peut pas rendre compte d'un
déplacement relatif (glissement) entre matériaux au sein d'une section, l'adhérence est supposée
parfaite. Cependant, dans les structures en béton armé ou précontraint, l'adhérence entre acier et
béton affecte de manière importante leur capacité portante et leur comportement global. On pense
à la détérioration de l'adhérence acier-béton liée à la fissuration, ou à l'adhérence entre un câble
précontraint et le béton qui l'entoure : la mise en tension réelle d'un câble de précontrainte dans
une gaine consiste à imposer un déplacement relatif câble/béton.
Ce paragraphe est consacré à ces deux extensions de la formulation poutre muitifibre proposée,
en intégrant d'une part les effets non-linéaires géométriques des poutres (grands déplacements,
déformations infinitésimales), et d'autre part l'effet d'un déplacement relatif entre fibres pour
modéliser l'effet de précontrainte conformément à l'objectif fixé : développer un outil numérique
adapté à l'analyse non-linéaire des poutres en béton armé et béton précontraint
126 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
Pour ce qui concerne la prise en compte des non-iinéarités géométriques, on utilise des techniques
bien établies : la formulation lagrangienne actualisée avec un traitement semi-tangentiel des
paramètres de rotation.
La prise en comptede l'effet de précontrainte s'effectue encore dans le cadre de l'hypothèse des
petites perturbations. Nous proposons une approche nouvelle qui consiste à déterminer de
manière explicite le déplacement relatif (glissement) entre l'acier (câble de précontrainte) et le
béton qui l'entoure.
Un rapide récapitulatif des extensions de la formulation poutre multifibre terminera ce paragraphe.
2-3-1. Modélisation poutre multifibre en grands déplacements
2-3-1-1. Transformation finie et déformation infinitesimale des poutres
En général, une poutre en transformation finie se déplace beaucoup plus qu'elle ne se déforme
entre sa configuration initiale et actuelle . Les déformations dans le solide sont donc petites sans
que la transformation le soit. Le mouvement rigidifiant représente la composante principale de la
transformation {figure 2-9). L'hypothèse Hl (équation (1)) n'est alors plus vérifiée et l'ordre de
grandeur de Gradüj peut être quelconque.
Mouvement rigidifiant
Figure 2-9 : Transformation finie des poutres
Chapitre 2 : Modélisation pou ire mulîifibre 127
Ces considérations sont à la base de l'analyse non-linéaire géométrique des poutres
tridimensionnelles. Elles forment l'hypothèse qui remplace celle de la transformation infinitésimale:
• Hl* : hypothèse de petites déformations en grands déplacements. Cette hypothèse est relative
aux matériaux constituant la poutre : dans le cas du béton, l'hypothèse apparaît pertinente en raison des petites déformations que le matériau peut supporter (jem„| ~ 0,5%).
Les premières procédures numériques pour l'analyse non-linéaire des poutres tridimensionnelles
proviennent de la théorie des poteaux, intégrant l'effet des efforts normaux sur le comportement
géométrique non-linéaire {e.g. Renton, 1962; Connor et ai, 1968; Chu et Rampetsreiter, 1972;
Papadrakis, 1981; Virtanen et Mikkola, 1985). La matrice de rigidité tangente est formulée à
partir d'une solution exacte de l'équation différentielle pour un poteau soumis à un effort normal
combiné avec une charge laterale. Cette approche se limite aux cas où les moments d'inertie
principaux sont du même ordre de grandeur, et se heurte à certains obstacles concernant
l'application aux cas de faibles efforts normaux ou d'existence d'une grande différence entre les
moments d'inertie principaux, ce qui est le cas dans le problème du déversement (Kouhia et
Tuomala, 1993).
L'application des outils de la mécanique des milieux continus à la description du mouvement des
poutres tridimensionnelles date de la fin des années 70 (e.g. Belytschko et al., 1977; Bathe et
Bolourchi, 1979,...). La littérature est abondante. Deux points essentiels sont à traiter :
• la description du mouvement,
• le traitement particulier des paramètres de rotation.
2-3-1-2. Description du mouvement des poutres tridimensionnelles
La description du mouvement des poutres tridimensionnelles consiste à décrire l'évolution de la
position de l'axe de référence et l'évolution de l'orientation de la section. A quelques exceptions
près, les approches existantes utilisent une description lagrangienne de la poutre, dans le sens où
les déformations sont rattachées â cette configuration, et les points matériels y sont repérés par
leur vecteur de position X. On rappelle que dans le cas des poutres, le vecteur de position est
constitué d'une pan du vecteur de position 0P du point P sur l'axe de référence, et d'autre part
du vecteur de position PQ du point Q dans la section droite en P (cf. figure 2-3).
128 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
Le choix particulier de la configuration de référence, notée C t , est arbitraire dans le sens où il
n'affecte pas les résultats. Il s'agit ainsi de choisir comme configuration de référence une
configuration adaptée au problème à traiter, et y exprimer la conservation de la quantité de
mouvement.
Elle s'exprime dans la configuration actuelle déformée, où un point matériel est repéré par le
vecteur de position x ;
(45) diva + p t(F~Y) = 0 dansfít
où par rapport à l'équation (23) l'indice t indique que la quantité est définie dans la configuration
actuelle. Notons U un champ de vecteur quelconque, la dualisation de (45), analogue à (25)
conduit à :
(46) Vfl„VÛ - j0 :ddQ-J pty.Ûdi2t+J ptF.ÛdDt+J (a.n).ûda = 0
où d = ^(grad£j+tgradÛ). Dans l'équation précédente, toutes les quantités sont exprimées dans la
configuration actuelle déformée (description euîerienne). La notation en minuscule de l'opérateur
"grad" indique qu'il est relatif à cette configuration actuelle déformée, {i.e. grad() = 3()/dx).
Cette convention est sous entendue par la suite pour tous les opérateurs introduits Par
conséquent, on notera en majuscule un opérateur relatif à la configuration de référence {i.e.
Grad() = 3()/dX). Et on rappelle que Grad() = grad().Gradx = grad().P, où P désigne le
gradient de la transformation.
Pour exprimer l'équation (46) en quantités lagrangiennes, c'est à dire dans la configuration de
référence connue, rappelons les formules de transport de la mécanique des milieux continus :
[dx = P.dX f d û ^ J d Û , (47) { r 1 nda = J !p-} .NdA
[P = Gradx = l + Grad^ [J = detP>0
avec dX, dOT et NdA les grandeurs infinitésimales vectorielle, volumique et surfacique (orientée
par une normale unitaire surfacique N ) dans la configuration de référence, qui deviennent après déformations dans la configuration actuelle dx, di2, et nda. Ces relations sont illustrées
figure 2-10.
Chapitre 2 : Modélisation poutre multifibre 129
Figure 2-10 : Illustration du transport (+ transformation) d'un vecteur infinitésimal matériel
Utilisant les formules de transport (47) dans (46), on obtient :
(48) Va, VU -JtJC:ÂdQt-Jûpty.ÎIdQT+J pTF.ÛdQt+£r.ÛdA = l
avec "K = J(P_1.G .l P"1 ) le tenseur de contraintes de Piola-Kirchhoff, et A= lP.d. P. donc
(49) 2Â= ,P.GradÛ+ ,GradÛ.P
ou encore
(50) A = ê+f] avec : < 2e = GradÛ+lGradÛ
2T|=tGrad^.GradÛ + Grad4. 'GradÛ
Dans (48), pTFdflT, p t ydO t et TdA sont les forces élémentaires volumique, d'inertie et
surfacique dans la configuration de référence de volume Qx bomé par 3QT. Les forces
surfaciques se déterminent à l'aide de la formule de transport d'une surface orientée :
(51) (G.n)da = GJ lp- i .NdA = P.îu.NdA = TdA
130 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
Cette équation met en évidence la difficulté de l'interprétation physique du tenseur de Piola-
Kirchhoff 71: ce n'est pas la quantité 7Ln qui peut être déterminée expérimentalement, mais
T = P.îl.N = B.N, ainsi un tenseur hybride B relatif à la fois à la configuration de référence et à
la configuration actuelle. B est appelée la matrice contraintes de Piola-Kirchhoff ou encore de
Boussinesq.
Ceci a une conséquence très concrète en ce qui concerne l'application des outils de la mécanique
de milieux continus à la représentation des efforts généralisés des poutres dans une description
lagrangienne: les efforts 71 et les moments lïï, introduits au paragraphe 2-2-2-1 par l'équation (2),
sont définis à partir de la signification physique du tenseur des contraintes de Cauchy G : {G.e, )
est le vecteur de contrainte attaché à la facette infinitésimale da appartenant à la section droite
d'orientation n = e,, qui contribue d'une part aux efforts 7i(G), et d'autre part aux moments
771(G). Ces deux grandeurs sont une représentation de l'état de contraintes G en terme d'efforts
généralises de la poutre dans la configuration actuelle (cf. figures 2-4). Dans la configuration de
référence, on ne peut pas établir une représentation similaire de 71 et lu en fonction des
contraintes propres à cette configuration , c'est à dire en fonction du tenseur de Piola-Kirchhoff
71. mais en fonction du tenseur hybride B = P.7C Les efforts généralisés de ¡a poutre ne
représentent pas seulement un état des contraintes propre à cette configuration, mais sont
également fonction d'une grandeur décrivant la déformation : le gradient de la transformation (i.e.
7¿(7t,P) etm(JC,P)).
Cependant, le choix d'une configuration de référence permet quelques simplifications. Parmi les
approches lagrangiennes on peut distinguer (cf. Bathe et al, 1975; Gaddala et ai, 1984) :
» la formulation lagrangienne totale, où on adopte comme configuration de référence la
configuration initiale (i.e. CT = C0). L'avantage de cette description réside dans la constance
du domaine d'intégration (QT = Qc, 3Q t = BQ0 dans (49)), et dans la facilité de changement
de conditions aux limites. L'inconvénient de ce choix est discuté ci-dessus, pour ce qui
concerne l'interprétation physique des contraintes calculées : le tenseur de contraintes de
Piola-Kirchoff TE = 71 o
• la formulation lagrangienne actualisée, où la configuration de référence est représentée par
la dernière position d'équilibre connue du corps à l'instant 0 < % < t. La configuration connue
est proche de la configuration actuelle. Les contraintes G sont calculées dans la configuration
actuelle, ayant ainsi une signification physique claire. Elles sont confondues avec les
Chapitre 2 : Modélisation poutre multifibre 131
contraintes de Piola-Kirchhoff dans la configuration de référence (Tí ~ G). Cette approche
nécessite d'actualiser à chaque instant le domaine d'intégration et de préciser la configuration à
laquelle se réfèrent les opérateurs différentiels ("Grad"). Un processus incrémental peut
conduire à sommer des contributions de contraintes calculées sur des configurations de
référence différentes (Cariou, 1988).
• la description corotationnelle, qui est un cas particulier de la formulation lagrangienne
actualisée. On adopte comme configuration de référence la configuration du solide en mouvement de corps rigide (Le. CT = C^t)). Cette description est basée sur la décomposition
polaire, qui consiste à décomposer le tenseur de la transformation P entre la configuration initiale C0 et la configuration actuelle Ct en un tenseur de rotation pure R et un tenseur de
déformation pure D :
(52) P = R . D = D R où i l R R = R l R = 1
[dctR = l
R vérifie la propriété d'orthogonalité. L'utilisation de (52) avec les formules de transport et notant àQ.x =dOh g ~àD.or conduit à l'expression suivante du tenseur de contraintes dans la
configuration de référence Kag :
Í O d a =(lD.lR.JC0.R.D)dfí0
(53)
K=ÍR-7VR
Considérons tout d'abords le cas extrême où P = R et J=l, on a :
G = 7C ==lR.7C0.R (54) {
}(G.n)da = G.Nn gdAn g=a.R.NodA0
Considérons ensuite la décomposition polaire (52) avec hypothèse Hl*, le tenseur R
représente la composante principale du gradient de la transformation totale P. Au vu des
relations (54), on peut confondre dans la configuration de référence de corps rigide le tenseur de Piola-Kirchhoff avec le tenseur de contraintes de Cauchy (31^= G). En grands
déplacements et déformations infinitésimales, l'équation (46) s'écrit dans une description
lagrangienne corotationnelle :
132 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
(55) VO^VU -J^a:Â^dû^-J^p^.Ûdi^+J^p^F.ÛdQ l j ,+^.ÛdA I i i=0
avec 2Alig=,D.GradU+,GradU.D, où l'opérateur "Grad" est défini sur la configuration de
référence du corps rigide. Le domaine d'intégration est constant.
Cette approche sera utilisée par la suite. Pour les poutres, l'avantage de ce paramétrage lagrangien
actualisé de la déformation est évident : les mouvements rigidifiants sont à décrire sur un corps
solide de géométrie simple, constitué d'un axe de référence et d'une section droite.
Avec l'hypothèse Hl *, l'analyse s'effectue en deux étapes (cf. figure 2-9) :
1. Le mouvement de corps rigide correspond à une rotation propre entre la configuration initiale
de vecteurs de base E¡(i = 1,3) et la configuration de référence du corps rigide de vecteur de
base ê; (i = 1,3). Pour ce passage nous utilisons une procédure particulière dérivée à partir
d'un traitement semi-tangentiel de paramètres de rotations. Cette procédure, initialement
proposée parArgyris et al. (1978"'b, 1982), et amplement détaillée dans la littérature (Kondoh
et ai, 1986; Cardona et Geradin, 1988, Shi et Ahuri, 1988, Cariou, 1988) n'est pas
développée ici. En annexe 3, on trouvera un résumé du problème : la non-commutativité des
rotations finies qui ne constituent pas une quantité vectorielle. Ceci nécessite un traitement
particulier des paramètres de rotations. L'approche utilisée par la suite est celle proposée par
Canou (1988).
2. La déformation de la poutre correspond au passage entre la configuration de référence de base
ë, (i = 1,3) et la configuration actuelle déformée de base e% (i = 1,3). Le problème à résoudre
est écrit équation (55).
Dans ce qui suit, les hypothèse H3 à H6 sont conservées. On ne considère que ¡e cas où les axes
de référence et de torsion coïncident.
De plus, dans (55), les effets des efforts d'inertie et de volume sont négligés.
Chapitre 2 : Modélisation poutre multifibre 133
2-3-1-3. Vecteur de déplacement de la fibre k
Le champ de déplacement définit ici la position d'un point matériel de la poutre dans la
configuration actuelle (vecteur de position x) par rapport sa position dans la configuration de
référence de corps rigide actualisée (vecteur de position X), i.e. £ = x - X . On suppose :
• H2* : les rotations autours des axes d'orientation ëà (i = 1,3) dans la configuration de
référence sont petites. Bien entendu, les rotations totales peuvent prendre des valeurs
quelconques.
Cette hypothèse, qui porte sur le champ de déplacement dans la configuration de référence du
corps rigide, permet de conserver le champ de déplacement utilisé en analyse linéaire. On rappelle
l'équation (8) :
(56) Ék=É(G) = Ç0 -ât dû) A
PQ + —J- q>(x2,x3) vdx, dx, j
k + f l ^ A P ß
On conserve également la discrétisation spatiale {cf. 2-2-2-3). Dans la configuration de référence (corps rigide) de base ë,, i = 1,3, le vecteur {£} des paramètres nodaux de déplacements et de
rotations s ecnt
(57) fôyk^^.ûVCu^CûJ i = A,B
et dans la configuration initiale (base E,, i = 1,3) :
(58) {S}i=,{£11,S2l,SJl.Q1I,£22l,ûM} i = A,B
Le procédure, exposée en annexe 3 et dérivée à partir du traitement semi-tangentiel des
paramètres de rotations permet d'effectuer le passage entre ces deux repères.
134 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
2-3-1-4. Mise en équation
En négligeant les efforts d'inertie et volunùque, l'équation (55) est réécrite sous ia forme
(59) VU*, VU - ¡OièdQ^- JG:r\àQBS+ JÛ.TdA^O
où la puissance des efforts intérieurs est décomposée en partie non-linéaire en matériau et partie
non-linéaire en matériau gt en géométrie, et :
ê = i(GradÛ+lGradû)
| f] = t ( 'GradÇ. GradÛ + GradÇ.1 Gradû)
Utilisant dans la configuration de référence du corps rigide la définition (2) des efforts généralisés,
il vient :
(60) \
7l = n(x1)= J0 .ë 1 dA n i = Në1 + V2ë2+V3ë3
m = W,(xl)= j P O A Î a . ë J d A ^ =Mjë,+M(ê2 ,ë,)
=«
Le premier terme de l'équation (59) (non-linéaire en matériau) peut être écrit de manière analogue
à l'équation (30) :
(6i) #Wê) = -J N — L + M 'A d x '
'IK V v
—-± — ÎVI. ( . d2Û V*
dx, , dx.
Pour la partie non-lméaire en matériau et en géométrie, réécrivons T\ avec
GradU = e + C0 - , / - - , - Ä , * „ ^v (62) < donc : TJ = j(E. e + £.Û)+£,© + ©.£+'G).£+CÛ.û) +CO. (û)
|Grad£ = £ + (D
Avec les hypothèses Hl* et H2* , fj s'écrit fj = | ( l â ) .© + û).l(o), d'où
CJuxpitre 2 : Modélisation poutre multiflbre 135
(63) ptaCn) =Ja:(1û).© + ©.,©)dQng
Le caicu) de ce terme est détaillé dans la littérature (cf. Yang et McGuire, 1986a; Cariou, 1988;
Conci, Î992"). Le vecteur des efforts intérieurs obtenu n'est pas différent de celui habituellement
utilisé en analyse non-linéaire géométrique des poutres. Il s'écrit en fonction des efforts
généralisés, liés par (60) aux contraintes locales actualisées au niveau des fibres. En ce qui
concerne l'application aux poutres en béton armé, en raison des petites déformations que les matériaux peuvent supporter (Béton : j e^J -0 ,5%) , nous utilisons encore ie tenseur de
déformation linéarisé pour actualiser les contraintes. D'un point de vue pratique, l'actualisation de
contraintes s'effectue en chaque point intégration de la fibre de manière itérative à partir du
tenseur de déformations linéarisé, qui, quant à lui, se calcule à l'aide de (34) à partir des degrés de
liberté (57) dans la configuration de référence. Au niveau des fibres, on actualise les contraintes
en utilisant les variables d'état comme le tenseur des déformations plastiques, les variables
d'écrouissage et d'endommagement. Une fois les contraintes actualisées, le vecteur des efforts
intérieurs est calculé par intégration.
L'équation (59) ne peut pas être résolue d'une manière directe, de part les non-linéarités en
matériau prises en compte par des lois de comportement triaxiales et la non-linéarité en géométrie. Une variation en £, conduit à :
(64) A91Û = jAa :edf í n g + jc:âx[àn,it + jAG.TJdQ^- JÛ„ATdAng
ß», o«, o«, sort,
L'opérateur de passage (Le. la matrice de rigidité tangente) entre deux itérations est ainsi
constitué de quatre composantes :
• Le premier terme constitue la partie non-linéaire en matériau de l'opérateur de passage. Il est
identique à l'opérateur de passage (41) établi en hypothèse de petites perturbations. En raison
des différents matériaux constituant la section, ce terme est calculé pour chacune des fibres,
aux lois de comportement triaxiales quelconques ;
(65a) jAa:£di2ng=l{û} ^ ( C f {à?,}
136 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
• Le deuxième terme constitue la partie non-linéaire en géométrie de l'opérateur de passage. A
l'aide de la définition (62) des contraintes généralisées dans la configuration de référence, ce
terme s'exprime uniquement en fonction des efforts intérieurs des poutres : effort normal,
moments de flexion. Il ne dépend pas de la modélisation multifibre. On peut ainsi utiliser
toutes les matrices de rigidité géométrique des éléments poutre tridimensionnelle de la
littérature (cf. Yang et McGuire, 1986*b, Cariou, 1988, Conci, 1992 ,b) :
(65b) jG:AT|daaX{û}[K(ïï,m)]geom {A£}
• Le troisième terme peut être considéré comme une partie "hybride", dans ie sens où il rend
compte de la non-linéarité matérielle sur une géométrie déformée. Il est également hybride
dans le sens de la modélisation multifibre : la non-linéarité matérielle au niveau local est
couplée à la non-linéarité géométrique du niveau global, ainsi :
(65c) jACiTldQ^'fû} X[K(^yb{AÇ}
Cependant, par rapport à la contribution (65a), ce terme est du second ordre, et peut être
négligé si la taille des incréments de charge n'est pas trop grande (Cariou, 1988).
• Enfin, le quatrième terme est dû aux forces extérieures et prend en compte l'influence d'efforts
non conservatifs, c'est à dire les efforts fonctions des variations de géométrie subies par le
système étudié. Le calcul de ce terme est amplement détaillé dans de nombreuses références
(cf. Argyns et Syméonidis, 1981, Yang et McGuire, I986b, Conci, 1992b). Sous une forme
symbolique, ce terme s'écrit
(65d) - JÛ.ATdAni={û}[K(T)3M,{A^} SO«,
Ainsi, négligeant le terme hybride (65c), l'équation d'équilibre incrémentale matricielle dans la
configuration de référence (corps rigide) s'écrit :
(66) XÍKÍC")];" +[K(n,ïïl)]8wm +[K(T)]e
à»J,n
,^} = {Fj-X(FJrMFm ir Jfc*i,H
Chapitre 2 : Modélisation poutre multifibre 137
Cette équation est à comparer avec l'équation (42). Les composantes supplémentaires sont les
matrices habituelles de l'analyse non-linéaire géométrique des poutres. Ces termes ne sont pas
propres à la formulation multifibre.
2-3-1-5. Récapitulatif
Rappelons brièvement les hypothèses posées pour la formulation multifibre en grands
déplacements et petites déformations avec une description lagrangienne corotationnelle.
• Hypotheses en grands déplacements et petites déformations (en formulation lagrangienne
corotationnelle) :
Hl * : hypothèse des déformations infinitésimales en grands déplacements {cf. 2-3-1-1). Le
mouvement rigidifiant représente la composante principale de la transformation (par conséquent. 71^ = G, cf. 2-3-1-2)
H2* : hypothèse sur le champ de déplacement dans la configuration de référence de corps rigide
(petits rotations de distorsion, cf. 2-3-1-3).
• Hypothèses sur la déformation des poutres, quel que soit le comportement des matériaux
constituant la section . Elles sont identiques à celles posées au paragraphe 2-2 {cf. 2-2-4) :
H3 : hypothèse de Navïer-Bemoulli,
H4 : torsion de Saint Venant,
H5 : hypothèses sur l'axe de centre de torsion (les axes de référence et de torsion coïncident)
et sur la rigidité à la torsion.
• Hypothèse sur l'état de contraintes {cf. 2-2-2-4) :
H6 : Les contraintes transversales (de Cauchy) à l'axe d'une fibre (contraintes de confinement)
sont nulles
De plus, les efforts d'inertie et de volume sont négligés. Nous appliquerons cet outil à l'analyse
non-linéaire géométrique et matériel des structures en béton armé (flambement de poteau,
déversement de poutre préfabriquée etc.).
138 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
Le schéma suivant met en évidence l'idée de base de la formulation multifibre pour l'analyse non-
linéaire en matériau et en géométrie : les deux échelles de modélisation au sein d'une élément
poutre classique,
• l'échelle globale, où on traite les non-iinéarités en géométrie;
• l'échelle locale, où on traite les non-linéarités en matériau.
2k
ECHELLE LOCALE Matériaux
ECHELLE GLOBALE Géométrie
Calculs locaux Fibre
Calculs globaux Elément
Hypothèses cinématiques
- déformations (infinitésimales) " x .
- loi de comportement
- contraintes - matrice du comportement
Intégration
>
Degrés de liberté - grands déplacements, - rotations finies
(traitement semi-tangentiel)
Matrices de rigidité (tangente)
Kgéom(n,m)]
Lfibres
Résidu
Figure 2-11 : Schéma récapitulatif de l'approche semi-globale pour l'analyse non-linéaire géométrique et matériel
Chapitre 2 : Modélisation poutre multifibre 139
2-3-2. Modélisation multifibre du déplacement relatif entre fibres
Jusqu'ici, le déplacement des fibres au sein de ia section est guidé par ia planéité des sections
droites normales aux fibres, dans la déformation de ia poutre considérée (H3 : Navier-Bernoulii).
Le champ de déplacement est continu et décrit par le champ de déplacement ^0 de l'axe de
référence en P, le champ scalaire CU¡, et le vecteur de position PQ La différence en déplacement
de deux points dans la section est ainsi uniquement due aux positions différentes qu'ils occupent
dans la section. L'adhérence entre fibres est supposée parfaite, et il ne peut y avoir aucun
glissement entre fibres.
Mais, dans les structures en béton armé, la détérioration progressive de l'adhérence entre acier et
béton affecte de manière importante leur capacité portante et leur comportement global. Un effort
important de travaux de recherche expérimentale et analytique est consacré à ce phénomène. Une
synthèse bibliographique sur ce sujet se trouve dans Clément (1987).
De plus, l'adhérence entre acier et béton est mise en jeu de façon explicite dans le cas de poutres
précontraintes :
• la mise en tension d'un câble dans une gaine consiste à imposer un déplacement relatif entre
câble et béton (post-tension),
• l'effet du frottement entre câble et gaine conduit à une perte de précontrainte;
• par injection de mortier, l'adhérence est activée (cas de la précontrainte interne).
On propose ici d'étudier ce problème d'adhérence acier-béton d'un point de vue multifibre. Nous
montrons comment ¡a modélisation multifibre proposée peut s'étendre naturellement à ce type de
problème. L'étude du problème d'adhérence entre acier et béton nous conduit à une formulation
simple pour traiter ce problème au sein d'un élément de poutre multifibre, conformément à
l'objectif fixé : développer un outil numérique adapté à l'analyse non-linéaire des poutres en béton
armé et précontraint.
Cette prise en compte du glissement s'effectue encore dans le cadre de l'hypothèse des petites
perturbations : les hypothèses Hl et H2 sont donc conservées (cf. 2-2-1-1). De plus, comme pour
les lois de comportement, l'évolution de l'adhérence est traitée dans un cadre quasi statique.
140 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
2-3-2-1. Déplacement relatif : le glissement
Considérons deux points matériels à l'interface acier-béton, un appartenant au béton, l'autre à
l'acier, initialement juxtaposées et repérés par le même vecteur de position X. Après
déformations, ils ne sont plus juxtaposés, et les points matériels sont repérés respectivement par
les vecteurs de position xa et \h. Les vecteurs de déplacements s'écrivent (figure 2-12) :
(67)
On peut également écrire
(68) Ç.=Ç b + Çr
où ^ r = xa - x b est le vecteur des déplacements relatifs entre acier et béton.
Le tenseur de déformation linéarisé (10) dans l'acier s'écrit :
(69) e a = e b + e r avec f e^ ig rad^+ 'g radÇ, , )
le r=!(grad£ r+lgrad£ r)
Acier Béton Figure 2-12 ; Déplacement relatif entre acier et béton.
Chapitre 2 : Modélisation poutre multifibre 141
Avec l'hypothèse de la transformation infinitésimale, les déformations dans l'acier à l'interface
peuvent être représentées par la somme :
• des déformations du béton,
• des déformations dues aux déplacements relatifs entre acier et béton.
Dans le cas de l'adhérence parfaite, ^ r = 0 et Er = 0 : l'acier suit le mouvement du béton qui
l'entoure.
2-3-2-2. Position du problème dans le cas des poutres
L'étude d'un exemple simple permet de mettre en évidence l'influence de l'adhérence acier-béton
sur le comportement global d'une poutre.
Considérons une poutre de section quelconque reposant sur deux appuis articulés, et chargée avec
une force appliquée sur la fibre supérieure à la demi-travée {figure 2-l3a). Considérons une fibre k
d'acier repérée par son vecteur de position PQ de coordonnées (0,0, x3k ). Supposons l'adhérence
parfaite entre acier et béton. L'état de déformations dans l'acier est uniquement lié à la rotation de
la section Négligeant le poids propre, suivant l'hypothèse de Navier-Bernoulli la déformation
axiale dans cette fibre k est de la forme illustrée figure 2-13b. Supposons maintenant que la fibre
d'acier est uniquement fixée aux extrémités de la poutre, sans aucun contact avec le béton (figure
2~l3c). Dans ce cas, la déformation dans la fibre est constante (figure 2-nd). Elle est due aux
déplacements et rotations des sections d'appuis, et des effets de suspension du second ordre issus
du fléchissement de la poutre.
142 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
i =H • — C a -
st ^ C -&
Fibre en acier
a. Poutre avec fibre en acier avec adhérence parfaite
Fibre en acier "isolée"
c Poutre avec fibre en acier, sans adhérence
-L
4
Ifl
b. Déformation axiale de Navier-Bernoulli
Sk
d. Déformation axiale dans l'acier
Figure 2-13 : Etude de ¡a déformation axiale dans une fibre en acier avec adhérence parfaite (a, b) et sans adhérence (c, d)
Les deux états de déformations correspondent aux deux cas extrêmes d'adhérence entre la fibre en acier et la section. Dans le premier cas, £s = £b et ^ r = 0. Dans le second cas h>; est non nul : ce
glissement résulte de l'intégrale sur une longueur donnée de la différence des déformations de
l'acier et du béton, dans la zone d'interface (périmètre de l'acier).
En supposant
• H7 : la zone d'interface est petite,
la déformation moyenne dans le béton dans le voisinage immédiat de l'acier est proche de celle
qu'on pourrait mesurer dans la fibre en acier k dans le cas de l'adhérence parfaite : deux points
matériels (un dans l'acier, l'autre dans le béton), infiniment voisins à un instant donné, le restent
après transformation (hypothèse de continuité). Dans le cas particulier des poutres, cette
déformation est décrite par l'hypothèse de Navier-Bernoulli (H3).
En outre, ^ r peut ne pas être constant autour du périmètre de l'acier. L'hypothèse H7 permet de
considérer le glissement ^ r en moyenne, attaché au centre de gravité de la fibre k.
Avec l'hypothèse H7, l'état de déformation dans la fibre en acier sans adhérence peut être
représenté comme la superposition {figure 2-14) :
Chapitre 2 : Modélisation poutre muïtifibre 143
a. Déformation Eb due à l'hypothèse de continuité Dans le cas de poutres : déformation de Nen'ier-Bemoulli
b. Déformation Er due au glissement
- - ' - c Déformation £s dans l'acier sans adhérence
ü i i fi»»* • i— Figure 2-14 : Illustration de l'application de la superpositions (69) au cas des poutres.
(d'après Guggenberger, 1992).
• de la déformation due à l'hypothèse de continuité de la transformation (i.e. déformation de
Navier-Bernoulli dans le cas des poutres, figure 2~ 14a),
• et de la déformation moyenne due au glissement à l'interface, (figure 2-l4b).
Cette exemple simple présente l'idée de base de la modélisation de la discontinuité à l'interface
acier-béton proposée ici. Le problème à traiter est un problème de conditions aux limites à
l'interface acier-béton.
Dans le cas des structures en béton précontraint, ces conditions aux limites correspondent à des
phases de construction distinctes :
• La mise en tension correspond à une condition d'adhérence nulle : elle consiste à imposer un
déplacement relatif entre câble et béton. Dans le cas d'un câble précontraint courbe,
l'adhérence entre câble et gaine n'est pas complètement nulle : le frottement provoqué par le
glissement conduit a une perte de précontrainte.
+
144 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
• Lors de l'injection de la gaine en posî-tension ou du coulage du béîon en pré-tension,
l'adhérence entre câble eî béton devient parfaite (ou presque).
La modélisation de l'effet de précontrainte par variations de conditions aux limites à l'interface est
à comparer avec les approches classiques, où l'effet de la précontrainte est pris en compte par un
état de contraintes initiales dans l'acier. La connaissance de la trace d'un câble dans une structure
permet de calculer des efforts équivalents exercés par la précontrainte sur le béton. Des méthodes
pour calculer ces efforts sont développées par exemple pour les poutres dans Blessenohl (1992),
pour les coques dans Jirousek et al. (1979), et pour le cas général des éléments massifs
tridimensionnels dans Coulhon et al. (1983). Ces approches sont basées sur la connaissance a
priori de l'état de contraintes dans les câbles, La détermination de ces efforts équivalents permet
de prendre en compte des phénomènes divers (frottement, glissement aux l'ancrages etc.). Ces
phénomènes sont par nature non-iinéaires et peuvent dépendre du niveau de charge appliquée, du
glissement etc. Ils peuvent affecter l'état de contraintes dans les câbles. Cette nature non-
conservative des efforts exercés par la précontrainte sur le béton est difficile à intégrer dans
l'approche par efforts equivalents et nécessite une méthode itérative (cf. équation (65d)).
Dans l'approche proposée ici, l'effet de la précontrainte n'est pas prise en compte sous la forme
d'un état des contraintes initiales. L'état des contraintes est à déterminer avec une loi de
comportement à partir du tenseur de déformations (69), fonction du glissement entre acier et
beton.
Par la suite, nous présentons la modélisation de ce problème d'un point de vue multifibre. Deux
points essentiels sont a traiter :
• l'intégration d'une trace d'une fibre conçue courbée dans l'élément,
• la définition de la ioi de comportement de cette fibre, avec la prise en compte du frottement
Chapitre 2 : Modélisation poutre multifibre 145
2-3-2-3. Modélisation géométrique d'une fibre curviligne k
Considérons une fibre k de position dans le repère local de la poutre de vecteurs de base
e,, i = 1,3 donnée par :
(70) r(Xj ) = x, el + x2(x¡ )e2 + x3 (Xj)e3
Le vecteur tangent unitaire t à l'abscisse curviligne s(x¡ ) de la fibre k est (figure 2-1 Sa) :
(71) t = ^ r ' = % + X 2 ' Y X 3 ' e 3 = ^ , avec:()' = d()/dx1
avec :
(72) s(x. ) = J V F T d x , = J>/l + x2,2+x3
,2dx1
», i ,
La dérivation par rapport x, correspond à une dérivation par rapport l'axe de référence de la
poutre dans la configuration actuelle déformée. L'utilisation de l'hypothèse de la transformation
infinitésimale (Hl), permet de confondre les dérivations en x, dans la configuration de référence
et actuelle. Par conséquent, cette hypothèse conduit à négliger tout effet de suspension de
deuxième ordre dû au fléchissement de la poutre.
De plus, en raison de son intégration dans un élément poutre à deux noeuds, la fibre est modélisée
au sein d'un élément comme une ligne droite inclinée par rapport au repère local de l'élément
poutre multifibre. La ligne directrice courbée s(x,) passant par plusieurs éléments est approchée
par un polygone de normales n {figure 2-15b) :
(73) n = n,e, + n,e2 + n3e3
n est constante dans un élément
Avec t et n donnes, la binormale s'écrit b = t A n = bjCj + b2e2 + b3e3.
La connaissance du trièdre (t,n,b), permet de passer du repère local de la poutre (ej,e2,e3) au
repère orthonorme de la fibre inclinée.
146 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
a. Trace d'un câble de précontrainte, (t, n, b) est le trièdre orthonormé fonction de s. La figure présente également la définition du glissement ^Ä attaché à la ligne directrice d'une fibre k.
b. Modélisation mulüfibre de la trace d'une fibre courbée entre deux noeuds A et B. Le trièdre (t,n, b) est constant sur toute la longueur de l'élément.
fibre k inclinée
Figure 2-15 : Modélisation mulüfibre du glissement d'une fibre courbe
2-3-2-4. Vecteur de déplacement de la fibre k
Appliquant (68), le vecteur déplacements de la fibre k s'écrit :
(74) Çk =$*+£*
où \hk est le vecteur de déplacements de la fibre k sous la condition de continuité (adhérence
parfaite, cf. 2-3-2-2). Naturellement, cette condition consiste ici à utiliser le vecteur de
déplacements donné par les relations (5)-(8), et à appliquer les hypothèse H3-H5 relatives à la
déformation des poutres (cf. 2-2-4).
Pour ce qui concerne le vecteur de glissement ^ on fait l'hypothèse suivante :
H8 : le vecteur de déplacement relatif £A est toujours dirigé selon la direction de la tangente
t de l'abscisse curviligne s(x,) de la fibre. Les composantes normales (direction n) et
binormales (direction b) sont toujours nulles, ainsi :
(75) Ç * = ^ ( s ) t
Chapitre 2 : Modélisation poutre muîtifibre 147
On attache donc le glissement à ia ligne directrice de la fibre k. D'un point de vue physique,
l'hypothèse H8 implique qu'il n'y a pas de décollement entre acier et béton.
Utilisant (8) et (75), le vecteur de déplacement de la fibre k avec glissement s'écrit dans le repère
local de la poutre de base (ed,i = 1,3) :
(76) ^ = UQ) = L -\ ^ . F Ô + -<p(x2
dx, dx, ,x3)Je1+©!
le î A (PQ-PT) + ^ ( s ) t
avec des composantes
(77)
Slk ~ S k - e i ~ *91 X2k j X3k j + j ^ X 2 l X 3 k "^Sik 1 !
S2k ~ S k ' e 2 ~ b 2 (X3k X 3 t ) t Ö l
S3k ~ S k • C 3 = S3 + (X2k ~ X 2 i )®1
+ ^ 2
+ Çik*3
En ce qui concerne la discrétisation spatiale, les déplacements relatifs de la fibre k au sein de
l'élément muîtifibre sont modélisés par des degrés de liberté supplémentaires aux deux extrémités
de l'élément de poutre. Ils représentent les déplacement relatif à s = 0 et à s = £k, avec une
interpolation linéaire en s. ~(k est la longueur de la fibre k inclinée et est définie par l'équation (72).
Pour rendre compte de n déplacements relatifs d'un élément poutre à m noeuds, il faut (m x /?)
degrés de liberté supplémentaires. Ici, on ne considère que le cas d'un seul déplacement relatif
(/r=l) au sein d'un élément à deux noeuds (m=2). Ceci conduit à l'échelle globale à un élément fini
de poutre tridimensionnelle à 12+2=14 degrés de liberté (DDL). Le vecteur des paramètres de
déplacements et de rotations s'écrit :
(78) ft} = ftb} + fc'} avec {rf.=,{o,o,o,o,o,o,slki}
i = A,B
148 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
Les 2 DDL supplémentaires ont comme direction le vecteur unitaire t : ils ne sont pas attachés au repère local de la poutre (base e¿, i = 1,3), mais à la direction de la ligne directrice s de la fibre.
Utilisant (69), le tenseur de déformations linéarisé s'écrit :
(79) E(k)=£?k)+£jk)
où £(bk3 est le tenseur des déformations dans la fibre k, qui se dérive à partir du champ de
déplacement sous l'hypothèse de continuité (i.e. pour la poutre, l'équation (8)). £{rk, est le tenseur
de déformations qui se dérive à partir du champ de déplacement de glissement (75) en s dirigé selon t . Dans le repère de base ei} i = 1,3 de la poutre, les six composantes de £(
rk) sont :
(80) {er}k ={ t i t j}-^L a v e c : {titjMtitp^.tsts.tjtî.tjtî.Va}
Sous une forme vectorielle condensée regroupant les six composantes du tenseur de déformations linéarisé (eu,e22,e33,2tl2,2En,2E22), on écrit dans la base (ei,e2,e3) :
(81) {e}k={Eb}k+{£r}k avec: {e}>{t,tj}% = [B']ft'}
3s
ou encore :
(82) Mk=[[Bb] t+[Bf]k]{^}
La matrice [BbJ est la matrice [6,14] des dérivées des fonctions d'interpolation du champ de
déplacement de la poutre avec l'hypothèse de Navier-Bemoulli. La matrice [Br], est la matrice
[6,14] des dérivées des fonctions d'interpolation {N(s)} liées au degrés de liberté
supplémentaires :
(83) [B']k={Mj}^ l{N(s)}
{N(sj} est le vecteur {14,1} regroupant les fonctions d'interpolations du champ de déplacement de glissement. Les deux matrices [Bb] et [Br] sont détaillées en annexe 2.
Chapitre 2 : Modélisation poutre multifibre 149
2-3-2-5. Facteur de glissement
Pour décrire l'évolution de l'adhérence à l'interface acier-béton, il est nécessaire de décrire une loi
d'interface. Il en existe de variées (cf. Clément, 1987).
Ici, pour la modélisation de la précontrainte, deux conditions aux limites à l'interface sont à
considérer :
• le glissement libre
• l'adhérence parfaite
Pour prendre en compte ces deux conditions, nous écrivons l'état d'adhérence par rapport à la
condition de glissement libre sous la forme ;
(84) de(k) = de (b
i )+ade^
où d£(™} est le tenseur incrément de la déformation due à un glissement libre de l'acier. Le facteur
a peut s'interpréter comme un facteur de glissement, prenant les valeurs suivantes :
f a = 0 adhérence parfaite (85) {
\a = 1 glissement libre
Ce facteur est introduit pour prendre en compte la condition aux limites de la fibre k. Pour
l'application à la précontrainte, il varie en fonction du temps : a = a(t) correspondant à des
phases de constructions distinctes :
• mise en tension ou, dans le cas de la précontrainte externe : a = 1;
• dans le cas de la précontrainte interne, l'injection du mortier correspond à un changement de
conditions aux limites à l'interface acier-béton, a varie de a = 1 à a = 0.
Le facteur de glissement a peut être utilisé pour décrire la détérioration progressive de
l'adhérence acier-béton (i.e. a = a(%), Magnat, 1993). Ce cas n'est pas considéré ici.
150 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
2-3-2-6. Loi de comportement d'une fibre inclinée
Avec la modélisation géométrique précisée ci-dessus, on suppose, pour la fibre k inclinée :
• H6* : un champ de contrainte uniaxial en s dans la base t,n,b de la fibre inclinée, et
indépendant de la condition de l'adhérence (85) :
(86) Va a = a u t®t
Dans la base (e1,e-,e3) du repère local de la poutre, le tenseur G a six composantes, qui
s'écrivent sous forme vectorielle :
(87) {o} = Ou{titJ}
L'hypothèse H6* sur le champ de contraintes remplace dans le cas d'une fibre avec déplacements
de glissement l'hypothèse H6 (équation (12)). Dans le cas où la fibre a comme direction t = e,
(donc t2 = t3 =0) l'hypothèse (86), conduit à négliger les contraintes de cisaillement dues à la
torsion. Comme H6, l'hypothèse H6* conduit à négliger tout effet de confinement sur la fibre
inclinée.
Pour déterminer GU on utilise une loi de comportement élastoplastique avec un critère de
plasticité de Von Mises et un écrouissage isotrope. Utilisant les invariants du tenseur des
contraintes, on a, pour la fibre inclinée :
fc = t r (a /3) = <Jra/3 ( 8 8 ) /Il I
Le critère de plasticité de Von Mises avec écrouissage isotrope se met sous la forme :
(89) f(o,z) = x - z k = ^ | a u ¡ - z k avec: k = ^ÏG y
oy est la limite d'élasticité de l'acier en traction simple et Z le paramètre d'écrouissage.
La relation incrémentale entre AEU et AGU est obtenue à l'aide de l'équation (38) pour une règle
d'écoulement associée :
Chapitre 2 : Modélisation poutre multifibre 151
(90) ^=\~+~f¡u2\Aoa alors
,£. ri Acrn = __ _ . , AE„
H + Ef 2 n
où f„ =df/do„, et
(91) MAWñte}Ahh}{teb\+a?§ ds
H est le module d'écrouissage. Supposant une relation uniaxiale c - e biiinéaire (figure 2-16), on a, avec f B = 1 / 3
(92) H = 3 ( E - E t )
où E, est le module tangent de la courbe o - e uniaxiale dans le domaine d'écrouissage. On utilise
la distorsion plastique équivalente comme variable d'écrouissage :
(93) dy¿ = dX = -~dou = V3 4 ^ l d a „ H9o„ EE.
si : f = 0 et df = 0
et l'évolution du paramètre d'écrouissage est donnée par
EE, (94) z = l+-7= =î y '
V3oy(E-Et)réti
o 4
Figure 2-16 : Courbe uniaxiale bi-¡ínéaire de l'acier
152 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
2-3-2-7. Prise en compte du frottement
Dû à la trace courbe d'un câble de précontrainte, un effet de frottement sec "de Coulomb" entre
câble et gaine conduit à une perte non-négligeable de précontrainte pendant la phase de mise en
tension. Le report de l'effort à l'ancrage induit également une perte de précontrainte {cf. Chaussin
et ai, 1992). Nous montrons ici comment ces phénomènes sont pris en compte dans la
formulation proposée.
Le glissement est attaché à la ligne directrice s de la fibre k (équation (75)). Le câble est assimile à
un fil tendu sur un tambour continu convexe de rayon R(s), dans la direction opposée à la
normale n {figure 2-17). Le rayon R(s) est supposé connu, et constant le long de l'élément
multifibre (cf. 2-3-2-3) La force de traction F(s) = GBak est d'une intensité suffisante pour que
tout le frottement le long de l'élément soit mobilisé.
Utilisant le frottement sec de Coulomb, on a les relations :
ifB(s) = f„(s)n = F(s)/R(s)n ( 9 3 ) |f l(s) = ±tanq>fn(s)t
où tancp est le coefficient de frottement. La direction de ft(s) est toujours opposée à celle du
glissement Ac^ dans l'incrément :
(96) ft(s) = - s g n ( A ç J t a n 9 % ^ t = - s g n ( A ^ ) U s ) t
Figure 2-17 : Analogie fibre k (câble) - fil tendu.
Chapitre 2 : Modélisation poutre multifibre 153
La relation précédente peut être approchée par une relation élastoplastique parfaite uniaxiale, liant ft et 2;A (Guggenberger, 1992). En respectant les signes opposés de ft et At,^, on écrira pour un
incrément n :
(97) f W ^ p i ^ ^ ^ j (£;*-»-A ^ AW )
où ftCn~!) est la densité linéique de frottement dans l'intervalle n-1, A^ i n ) est l'incrément de
glissement dans l'intervalle n, et A un module permettant de passer entre les seuils de frottement de signes différents (—f^.+f^), illustrés figure 2-18. Comme valeur numérique de A, on choisit ia
valeur du module de cisaillement de la fibre k {i.e.; A ~ G).
D'un point de vue pratique, la formulation proposée permet de rendre compte du changement de
signe du frottement, dans le cas des poutres précontraintes, lors du report de l'effort du vérin à
l'ancrage. Par ailleurs, dans les plupart des applications la direction de %± ne change pas, et ia
densité des forces de frottement est donnée par (96) avec sgniA^ ) = asgnf^ ) = const. Pour ce
cas, écrivons (96) sous forme incrémentale :
(98) Af [=-asgn(^)tan(p-^-Aau
avec ak la section droite de la fibre inclinée (normale en t ). Par l'intermédiaire de la loi de
comportement (90), l'incrément Af, est lié à l'incrément de déformations par :
(99) AfL =~asgn(^)tan(p^-E ( t )A£ t t
K
avec Aeu donné par la relation (93).
Figure 2-18 :
Modélisation de la direction de frottement par une relation élastoplastique uniaxiale liant à signes opposés le glissement A^r et ia force de frottement ft. (d'après Guggenberger, 1992)
+ fto
-f to
M£
\ 1 \ ^
A \ » ^
+s r
154 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
2-3-2-8. Vecteur des efforts intérieurs et matrice de rigidité tangente
On se limite ici à ia détermination de la contribution de la fibre k inclinée aux efforts intérieurs et
extérieurs de la poutre. On rappelle ia formulation faible de l'équation d'équilibre (25) pour le cas
statique :
(100) VQ, VU -Jo :ddQ + J poF.Ûdfl+jT.Ûda = 0
Avec cette fois un champ vectoriel Ü de la forme :
(101) Û ^ Û ^ + Ûa avec: Û ^ U ^ t
on a, par analogie avec les relations (69), (79) et (84) :
(102) d(k) = dfkJ + ad;k)
Le premier terme de l'équation (100) peut se alors décomposer en deux parties
(^03) p„l(k) = - Ja (k):d^di2k - Jo(k):ad[k)di2k
• La première intégrale représente la contribution de la fibre inclinée à la puissance des efforts généralisés de ia poutre Tl et 171 En notant akt, la section oblique de la fibre inclinée, perpendiculaire à l'axe de référence de l'élément, à l'aide des relations (81) et (87), on obtient :
004) {F.-} =J, oB'[Bb]t{titJ}allt1dx1 *• ( » o
• La seconde intégrale représente la contribution "brute" des contraintes dans la fibre k à la puissance de la force généralisée de précontrainte. A l'aide des relations (81) et (87), on obtient :
(105a) {¥m;\k)=\(^ )ao„,[B']k{titJ}ak!IdxI
ou encore, en utilisant la relation (83) :
Chapitre 2 : Modélisation poutre multifibre 155
(105b) {*»?}w=je aaa-£{N(s)} t{t iîJ}{t it j}aktIdx1 = J ? o o B ^ { N } a k d s
On remarque sous cette forme que les composantes du vecteur {FÛ,/} sont définies sur
l'abscisse curviligne s. Elles ne sont pas attachées au repère local de la poutre.
En ce qui concerne la contribution des efforts de frottement, on a, en raison de la condition aux
limites en forces en dQ = l de la fibre k :
(106) |T .Ûda=J. f ! .Û I i d S = - j ; a s g n ( ^ ) t a n ( p - ^ Û I k d s R(s)
qui conduit à
(107) {Firolr}(k) = - J . a sgn (^ ) î an (p -^{N(s )}ds
Ces forces sont également définies sur l'abscisse curviligne s de la fibre k.
Pour l'élément poutre multifibre à 14 degrés de liberté, le vecteur des forces nodales (Fnod)
s'écrit :
(308) {Fnod} = {Fmlb} + {Flif
r} avec í{Fta
b}¡=l{Nri,V¿,V¿,Míi,MSI,MSi,0}
i = A,B
Les composantes F,1" sont les forces nodales "nettes" dues à la précontrainte et l'effet du
frottement. Elles correspondent aux forces de la précontrainte utilisées dans les approches
classiques {cf. 2-3-2-2) sous forme d'état de contraintes initiales connu pour calculer les efforts équivalents, qui en fait sont les composantes du vecteur ( F ^ 6 ) . Ici, les forces de la précontrainte
{ F 1 + / } et les efforts dit équivalents {Fialb j font partie intégrante de la formulation.
D'un point de vue pratique, la mise en précontrainte d'un câble consiste à imposer un déplacement
relatif entre l'acier et le béton, dans la zone d'ancrage. Cette condition aux limites peut être
imposée dans les calculs par éléments finis avec les éléments multifibres et la formulation
proposée.
156 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
Figure 2-19 : Assemblage des forces dans la fibre k au nœud. La fibre inclinée est considérée déviée à chaque noeud par une roulette de dimension infiniment petite. Ceci conduit à la continuité en amplitude des efforts. indépendamment de leur direction.
F*(ie) = F*(ie + l)
Les composantes F,'" sont définies sur l'abscisse curviligne s. Ainsi lors de l'assemblage des
vecteur forces entre éléments, ces composantes ne sont pas à transférer dans un repère global. A
un noeud de deux éléments, ces forces sont continues en amplitude indépendamment de leur
direction (figure 2-19).
La matrice de rigidité tangente se dérive à partir de l'équation (28). On note deux sources de non-
linéarité dans l'équation (100), d'une part la non-linéarité en matériau constituant la fibre k, d'autre
part la nature non-conservaîive des forces de frottement. Une variation en ^ conduit donc à :
(109) A9t(k).Û = - jAO ( k ) :d (b
k ) dÛ k - jAa ( k ) :ad; k ) dû k +J AT.Ûda
où :
(110) f AT.Ûda = f ctAft=ÍLds
et : A0 = AOa t®t
(HI) i a Afl=-sgn(£lk)tan<p-¿-Acut
K.
L'exploitation des deux premiers termes en AG de l'équation (309) conduit à :
(112) [K] = [Kbb] + a([Kbr] + [K*]) + a2[K"] avec: [K™] = J [BmJc(Bn]dfí
Noeud
F^ie+l )
Roulette
Chapitre 2 : Modélisation poutre muîtifibre 157
où [C] est la matrice [6,6] du comportement éiastoplastique. En raison de la définition du
glissement selon la direction de la tangente t de l'abscisse curviligne s d'une fibre, la matrice ÎK17]
n'est pas à transférer dans le repère global lors de l'assemblage de la matrice de rigidité totale. Les matrices [Kbr] et [K*] sont transférées une seule fois, tandis que [Kbb] l'est de manière
habituelle (2 rotations), (cf. annexe 2).
Prenant en compte également le terme de frottement (110) de l'équation (109), la matrice de
rigidité tangente devient :
(113) [K] = [Kbb] + a([Kbr] + [Krb]) + a2[KIT] + a[Kbf] + a2[K r f]
Ces composantes sont détaillées en annexe 2.
158 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
2-3-2-9. Récapitulatif
Rappelons les hypothèses posées pour l'intégration des déplacements relatifs au sein d'un élément
poutre classique constitué des fibres superposées :
• Hypothèse des petites perturbations {cf. 2-2-1-1) :
Hl : hypothèse des transformations infinitésimales. Cette hypothèse conduit ici à négliger les
effets de suspension du deuxième ordre dus au fléchissement de la poutre.
H2 : hypothèse des petits déplacements.
• Hypothèses sur la déformation des poutres (£b, b^bernoulli). Ces hypothèses jouent ici le rôle
de l'hypothèse de continuité (cas de l'adhérence parfaite, cf. 2-3-2-2) :
H3 ; hypothèse de Navier-Bemoulli,
H4 : torsion de Saint Venant,
H5 : hypothèses sur l'axe de centre de torsion et sur ¡a rigidité à la torsion.
• Hypothèse sur l'état de contraintes dans la fibre inclinée {cf. 2-3-2-6) :
H6* : champ de contraintes uniaxial dirigé selon t de l'abscisse curviligne s de la fibre k
• Hypothèses concernant l'interface et le glissement :
H7 : zone d'interface petite {cf. 2-3-2-2),
H8 : le vecteur de déplacement relatif est dirigé selon la direction t de l'abscisse curviligne s de
la fibre k {cf. 2-3-2-4).
La formulation proposée permet d'intégrer de manière explicite un glissement au sein de tout
élément fini classique. En effet, il suffit de remplacer dans les équations précédentes la matrice
des dérivées de fonctions interpolations [BbJ de l'élément poutre (b^Bernoulli) par celles propres
à l'élément choisi et dérivées à partir de l'hypothèse de continuité. Nous avons également utilisé la
formulation présentée pour des éléments barres en 2D et en 3D. Ces développements, effectués
par analogie à partir de la définition (68) du champ de déplacement prenant en compte des
déplacements relatifs (glissement), ne sont pas précisés ici.
Chapitre 2 : Modélisation poutre muîtifibre 159
2-3-3. Commentaires
Les extensions de la formulation muîtifibre permettent ainsi de prendre en compte
• les effets non-linéaire en géométrie (grands déplacements, déformations infinitesimales),
• des glissements entre fibres.
au sein d'un élément poutre classique constitué des fibres superposées.
En particulier, avec l'extension de la formulation prenant en compte de manière explicite le
glissement entre fibres, nous disposons d'une base pour étendre la formulation au cas de la
détérioration progressive de l'adhérence acier-béton. Pour cela, une loi d'interface propre à
l'échelle du problème concerné doit être définie. Une première proposition à développer est
proposée par Magnat (1993).
Outre les deux extensions présentées, la formulation muîtifibre a été étendue pour prendre en
compte l'effet du confinement (Fiiedbier, 1993), avec un formalisme identique à celui développé
pour le glissement (déplacements relatifs normal à l'axe de référence). L'enrichissement de la
cinématique de l'élément apparaît ainsi à la base des extensions possibles de la formulation
muîtifibre, pour prendre en compte en particulier :
• le cisaillement dû aux efforts tranchants,
• la reprise des efforts tranchants par les armatures transversales,
Ces extensions devront être guidées par le même objectif : développer un outil numérique efficace
pour l'analyse non-linéaire en matériau et en géométrie des poutres tridimensionnelles
L'application possible pourra alors être plus large que celle envisagée initialement
160 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
Chapitre 2 : Modélisation poutre multifibre 161
2-4. CONCLUSION
Nous avons présenté dans ce chapitre un outil numérique, l'élément multifibre, "adapté" à l'analyse
numérique des structures à poutre en béton armé et précontraint. Compte tenu de la complexité
tant géométrique que matérielle des problèmes à traiter, nous avons été amené à poser des
hypothèses parfois assez grossières.
En ce qui concerne la prise en compte des non-linéarités en matériau, la modélisation multifibre
proposée permet l'utilisation de lois de comportement triaxiales quelconques. En particulier, avec
les lois de comportement développées au chapitre 1, des calcul des structures en béton armé et
béton précontraint sous chargements
• monotone croissante,
• cyclique,
• dynamique (sismique).
sont possibles. L'outil numérique présenté, l'élément multifibre, comporte un nombre de degrés de
liberté minimum : il permet l'analyse par éléments finis de structures complètes, avec un temps de
calcul raisonnable.
La formulation proposée en grands déplacements permet d'envisager l'application de la
modélisation multifibre aux problèmes non-linéaires géométriques et matériels des poutres :
• flambement de poteaux en béton armé
• déversement de poutres en beton arme
• etc.
L' "adéquation" de ¡a modélisation multifibre proposée à ces problèmes ne pourra s'effectuer qu'au
vu de résultats obtenus lors d'études de structures réelles, et en comparant ces résultats avec
l'expérience. Ceci fait l'objet du chapitre 4
Avant de passer à ces applications, nous présentons dans le chapitre qui suit quelques aspects
algorithmiques et l'intégration des lois de comportement du chapitre 1 et de l'élément multifibre
dans un code de calcul par éléments finis industriel : CESAR-LCPC
S - SfflnSfE im ŒHJ¥MIE MIMMMQTÖl
w¿m OEmm-iua?€
3-0. INTRODUCTION
Les modèles de comportement élastoplastique avec et sans endommagement développés au
chapitre 1 et l'élément multifîbre développé au chapitre 2 ont été mis en oeuvre dans le code de
calcul par éléments finis CESAR-LCPC. Dans ce chapitre, nous indiquons les méthodes de
résolution numérique employées pour des problèmes divers (statique, dynamique), et les
éléments nécessaires à la mise en oeuvre numérique de nos développements au sein d'un code de
calcul de taille industrielle : CESAR-LCPC (Humbert, 1989).
Une fois ces développements intégrés dans un tel code de calcul, il convient de vérifier que les
équations posées sont résolues numériquement sans erreur. Pour les lois de comportement, on
peut comparer, pour des états de contraintes donnés (compression simple et biaxiale, traction
simple, cisaillement pur, etc. cf. 1-3-3-3) les résultats calculés manuellement aux résultats
numériques obtenus à partir d'une résolution par le programme. En ce qui concerne la validation
des éléments finis (poutre multifîbre, barres avec glissement), la vérification s'effectue par
comparaison avec des solutions analytiques ou semi-analytiques (poutres élastiques, réversibilité
des mouvements de corps rigide des poutres élastiques en grands déplacements (cf. Yang, 1993),
effet hyperstatique dans le cas des poutres précontraintes sans et avec frottement, etc.). Ces tests
de vérification ne sont pas présentés ici. La vérification est à distinguer de la justification :
validation de la modélisation ("adéquation"). Celle-ci s'effectue par comparaison entre les
résultats obtenus par le calcul et les valeurs mesurées sur des ouvrages réels. Cette validation fait
l'objet du chapitre 4.
Après avoir brièvement présenté la structure du code CESAR-LCPC, nous précisons les
interventions particulières effectuées pour intégrer les lois de comportement et l'élément
multifîbre développés. Ensuite, pour familiariser le lecteur avec l'utilisation pratique de nos lois
de comportement (données, résultats, etc.), nous présentons un premier exemple simple, un tube
épais sous pression interne calculé avec nos différentes lois de comportement.
166 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
3-1. CODE DE CALCUL PAR ELEMENTS FINIS : CESAR-LCPC
Le code de calcul CESAR-LCPC est un programme général de calcul utilisant la méthode des
éléments finis, particulièrement adapté à la résolution des problèmes de génie civil et de génie
industriel : calcul de structures, mécanique des sols et des roches, thermique, hydrogéologie
(Humbert, 1989).
CESAR-LCPC désigne l'ensemble formé par le pré-processeur MAX, par le programme de
calcul par éléments finis CESAR et par le post-processeur PEGGY, qui communiquent entre eux
par l'intermédiaire d'une base de données caractéristique de l'étude effectuée (figure 3-1). Notre
développement se situé uniquement au niveau du programme de calcul par éléments finis
CESAR.
Figure 3-1 : Organisation de CESAR-LCPC : (d'après : Humbert, 1989)
MAX : pré-processeur, outil graphique interactif qui permet la discrétisation de l'ouvrage étudié en éléments finis.
CESAR : programme de calcul par éléments finis qui effectue la résolution numérique du problème posé.
PEGGY : post-processeur, outil graphique interactif qui permet de visualiser les résultats du calcul effectué par CESAR.
Le programme de calcul CESAR effectue la résolution numérique du problème posé en offrant à
l'utilisateur un éventail de modules d'exécution spécialisés pour un type de problème donné
(élasticité linéaire, élastoplasricité, lois d'interface, dynamique, thermique transitoire, diffusion,
consolidation,...). Ces modules comprennent des algorithmes adaptés au problème à résoudre.
'JÍ¿^.;Ü.^ = ; - = ^ . ¿T
MAX
BASE DE DONNEES
Chapitre 3 : Mise en oeuvre numérique dans CESAR-LCPC 167
En particulier, nous avons travaillé sur le module MCNL (Mécanique de Comportement Non-
Linéake) et l'avons étendu au cas d'un chargement dynamique: le module DYNL (DYnamique
Non-Linéaire).
Les modules font appel à la bibliothèque des familles d'éléments finis du programme.
En particulier, nous y avons intégré les éléments finis de type "déplacements" suivants :
• l'élément poutre multicouche 2D à 2 noeuds (6 DDL);
• l'élément poutre multifibre 3D à 2 noeuds (12 DDL);
• l'élément poutre multifibre 3D à 2 noeuds avec glissement d'interface (14 DDL);
• l'élément barre 2D avec glissement à 2 noeuds (6 DDL);
• l'élément barre 3D avec glissement à 2 noeuds (8 DDL).
Les familles des éléments finis font appel à la bibliothèque des lois de comportement, où le
schéma d'intégration locale de la loi de comportement est précisé (actualisation des contraintes,
des variables d'état, etc.). C'est à ce niveau que les lois de comportement développées au chapitre
1 sont à intégrer :
• le critère de Willam-Wamke à 3 paramètres sans et avec écrouissage;
• le critère de Willam-Warnke modifié à 4 paramètres;
• le modèle élastoplastique avec endommagement.
Les interventions aux différents niveaux de CESAR seront précisées dans la suite (3.3) après une
brève présentation des méthodes de résolution numérique utilisées.
168 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
3-2. METHODE DE RESOLUTION NUMERIQUE
Vu la nature non-linéaire des problèmes posés, la résolution ne peut s'effectuer qu'en utilisant
des méthodes numériques, qui, par nature, sont approchées. Les méthodes numériques à
employer concernent d'une part, la discrétisation en temps pour des problèmes dynamiques, et
d'autre part les méthodes itératives de résolution dans un incrément donné (pas de temps).
Pour les problèmes dynamiques, nous avons choisi l'algorithme de Newmark. Dans le cas de
chargements statiques, cette discrétisation en temps correspond à un processus incrémental de
chargement. De plus, une méthode d'intégration locale des lois de comportement non-linéaires
est à préciser.
3-2-1. Discrétisation temporelle du problème
Rappelons les inconnues, les données et les équations d'un problème dynamique à traiter dans le
cadre de l'hypothèse des petites perturbations, avec prise en compte de la non-linéarité du
matériau par des lois de comportement élastoplastiques avec endornmagement. Ces lois sont
supposées quasi-statiques.
• inconnues :
^(x,t)4(x,t),|(x,t).ep(x,t),x(x,t),C(x,t),<tsp(x,t),0(x,t) dans Q
• données :
- conditions initiales à l'instant t0dans Q. :
^(x,to),4ix,to)4(x,to),ep(x,to),x(x,tJ,C(x,to),<{)p(x,to),0(x,to)
- forces massiques dans Q. : F(x,t) = po(Fß(x,t)-yo(x,t))
- conditions aux limites sur dQ : G(x,t).n = Td , Ç(x,t) = £d
Chapitre 3 : Mise en oeuvre numérique dans CESAR-LCPC 169
• équations :
- compatibilité géométrique :
(1) e = £(gradÇ+lgradÇ)
- équation d'équilibre :
(2) divO + po(F-yo) + po^ = 0
- équation d'état (quasi statique) :
(3) G = Go + C(0 p) : (£-e p)
- règles d'écoulement et d'écrouissage :
(4) è> = ip- . X = Í~ { X>0 sif = df = 0
X = 0 sinon
Pour résoudre numériquement l'équation d'équilibre, le temps est discrétisé par une suite ( t j : n
avec Ant l'incrément de temps entre les instants tn_¡ et tn. Le problème à l'instant tn_,, supposé
résolu, fixe les conditions initiales pour le problème à résoudre dans l'intervalle Ant. Nous avons
alors :
• inconnues :
A^,AÍ,An | .Anep ,Axn ,AnC,A f i0p ,Ana dans Q
• données :
- conditions initiales à l'instant tR_,dans Q :
S n - l ' S n - ! ' S n - ! ' £ »- ' ' Xn-1 ' Sn-1 ' * n - w G , , . ,
- variation des forces massiques pendant Ant dans Q :
A F = p„(A F - A J ) n r o x n o n I o *
- conditions aux limites sur dû. : AaG.n = AnT
d . A ^ = A „ ^
• équations :
- compatibilité géométrique : (5) AaE=±(gradAnÇ+lgradAnÇ)
- équation d'équilibre :
(6) divABO + po(ABF-A l iya) + p A 4 = 0
170 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
- équation d'état : (7) AnG = C(0p,-i + Ay ): ( Aa£ - An£p )
- règles d'écoulement et d'écrouissage :
(8) Ane
p = ^ H « ^ +A.O.Î,,., +AB0
A X ^ A ^ — CO^ + A ^ C ^ + A ^ )
[An>.>0 sif(an„1+AnO,Cn+ARC) = 0 avec : <
1ABX = 0 úf(G^+\O£n+A¿)<0
On remarque, avec l'expression (7) de l'équation d'état, que dans le cas d'un matériau
élastoplastique avec endommagement, le tenseur de comportement élastique dépend
explicitement de la valeur de la variable d'endommagement <{)PR =<|) _1 + An<j)p, donc de la
solution du problème. Ceci pose d'importants problèmes numériques, quand un point de charge
se trouve à la frontière d'élasticité, entraînant des évolutions éiastoplastiques et donc une
variation des caractéristiques élastiques. En raison de ces difficultés numériques, nous utilisons :
(9) Ano = C«>V¡):(An£-An£p)
La variable d'endommagement, la porosité plastique, est uniquement actualisée à la fin du
processus itératif d'un pas de temps à partir des valeurs de £p obtenues après convergence :
(10) "£>(1"=<|>Vi=ßtitpn-i
En raison des non-linéarités en matériau (déformations plastiques, variables d'écrouissage, endommagement) à l'intérieur de l'intervalle A0t, une méthode itérative devra être employée
pour résoudre le problème.
3-2-2. Méthode d'intégration locale de la loi de comportement
Ici, on utilise un schéma explicite d'intégration de la loi de comportement, mise en oeuvre dans
le module MCNL (Mestat, Î993). La solution obtenue à l'itération k-1 est considérée comme
condition initiale de l'itération k. Compte tenu de l'approximation (9), l'actualisation des
contraintes s'effectue à partir de :
Chapitre 3 : Mise en oeuvre numérique dans CESAR-LCPC 111
(11) Sk£ = ±(grad5kÇ+lgrad5k£) tel que : AkÇ = £ ^
où 8k% est l'accroissement en déplacement dans l'itération k du pas de temps Ant. L'équation
d'état à l'itération s'écrit :
(12) 8k<J = C(<}>V.¡):(5k£-5k£p)
= 8kaEL-C(4>p.-i):8kep
iier=k
tel que: A ' c « ^ S ^ O
et les règles d'écoulement et d'écrouissage :
(13) 8kep=Skx|i-(ak-I+8koEL,Ck"1)
8kx = 5kAck-1+5kcH-,Çk-1) aO
itcr=k
tel que : (Akn£
p, Akn% = %(&""£*¿""x)
avec :
(14) f8kA>0 sif(ak-!+8aEL,C_1) = 0
[8kX = 0 sif(ak-1+SaEL,Çk-i)<0
3-2-3. Algorithme de Newmark
Pour l'intégration dans le temps, on utilise un schéma pas à pas de type Newmark sous la forme
(cf. Bathe, 1982) :
(15) Ak
BÇ = A„t4I1.1+(A1102(iL,+flAkBÇ)
A^A n t (L 1 + *A k i ) avec : < 4,Mk-4-,
A ^ = A kn - ^ + 8k^
ou encore :
172 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
(16) avec
a 0 =l / (a(A n t ) 2 ) a 3 = l / 2 f l - l
a ,=6/(aA0 t ) &t=b/a-l
a 2 =l / (aA n t ) a5 = Ant(l-¿)/2fl)
a et b sont des contantes. Pour a = 0,25 et ¿ = 0,5, la stabilité numérique inconditionnelle du
schéma d'intégration en temps est assurée {Bathe, 1982).
L'équation incrémentale d'équilibre matricielle obtenue en utilisant (16) avec un processus
itératif de type Newton-Raphson {cf. 2-2-3-4) est de la forme :
(17) [ K Ï > £ } = {R}r
K est la matrice de rigidité globale effective, et {R} le vecteur résidu effectif, calculés par :
(18) f[K]'=a0[M] + [KK
( R i r = { F e J R - { F m i r - [ M ] { a 0 ( { A ^ - ! ) - a î { ^ , - a 2 M J
[M] est la mairice de masse et [K]* la matrice de rigidité (tangente) du système étudié. {Fm,]^
est le vecteur des efforts intérieurs nodaux, calculés à partir des contraintes locales actualisées
avec le schéma précisé au paragraphe 3-2-2. Les effets d'amortissement visqueux ont été
négligés.
Ces méthodes seront utilisées en particulier pour les calculs dynamiques non-linéaires de
structures discrérisées par éléments poutres multifibres.
Chapitre 3 : Mise en oeuvre numérique dans CESAR-LCPC 173
3-3. MISE EN OEUVRE DANS CESAR :
3-3-1. De "MCNL" à "DYNL"
Rappelons d'abord la structure du module MCNL (Mécanique de Comportement Non-Linéaire),
qui constitue le point de départ de notre intervention au niveau algorithmique, pour ensuite
intégrer l'algorithme de Newmark.
Le tableau 3-1 présente la structure algorithmique du module MCNL de la version standard de
CESAR.
Le tableau 3-2 présente l'introduction du schéma d'intégration de type Newmark dans CESAR,
issu de l'extension du module MCNL (tableau 3-1) au cas du comportement non-linéaire
dynamique : module DYNL (Dynamique Non-Linéaire).
3-3-2. Critères de convergence
Les critères de convergence utilisés sont les critères habituels portant sur les rapports de normes
de déplacements, de normes de second membre (résidu) et les rapports de travail au cours d'une
itération (cf. Mestai, 1993):
(19)
||{n}|<edIfe.}|| ¡{ Résidu}'|[ <er||{ Résidu}'=0||
|{Résidu}kl{5^1|<eJ{Rés,du}r0,{e}|
Les tolérances £d ,£r,e, sont des données du calcul en général prises égales à 0,1%.
Quelques schémas d'accélération de la convergence existent dans CESAR (méthode sécante,
"line search", D-F-P, e.g. Mesmi, 1993). Nous les utiliserons pour des calculs avec des éléments
massifs.
174 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
BLMCNL]< Réservation de l'espace Lecture des caractéristiques algorithmiques
Incréments de chargement (NÎNCR)
E X M C N L j — initialisation £ Fonctions d'interpolations \ Paramètres mécaniques (écrouissage.,.)
Boucle sur les incréments de chargement INCR=1,N1NCR
' Initialisation de l'incrément
Boucle sur le nombre d'itéraüons
ITER* I,NITER
NRS. Matrice de ngidiu^tangente}
Triangulan sation ASSEM
MCI Résolution [K] {SÇÏ = (Résidai W RESOUD
Calcul des contramles élastiques
Stockage des résultats de rincrémeni Impression des résultats
INCR-INCR+1 i
CONTR Boucle sur les éléments
NRS=Newton Raphson Standard
MCI=Métiiode Contrainte Initiale
Tableau 3-1 : Structure de MCNL (d'après Mestai, 1992)
Chapitre 3 : Mise en oeuvre numérique dans CESAR-LCPC 175
BLDYNL)<
EXDYNL
Reservación de l'espace Lecture des caractéristiques algorithmiques
/
Nombre de pas de temps (NPAS) Vecteurs de déplacement, de vitesse, d'accélération
r—1 Initialisations t~ Fonctions d'interpolations Y Paramètres mécaniques (écrouissage,..) \ Paramètres de l'algorithme de Newmark
Matrice de masse ASSEM
Boucle sur ¡es pas de temps IPAS=1,NPAS
' initialisation de l'incrément
Boucle sur le nombre d'itérations
ITER=1,NITER
NRS. Matrice de rigidité (tangente [ftMKl + a-ÍM] Triangularisation
ASSEM
NRM Résolution
iß] Í5£? = {Résidu] Pi RESOUD
Actualisation des vecteurs • déplacement total - vitesse - accélération
Calcul des contramtes élastiques CONTR
Boucle sur les I nombre d'éléments
X Calcul du vecteur Résidu CALRES
Calcul du Résidu effectif
(Equation (18))
NRS=Newion Raphson Standard
NRM=Newton Raphson Modifié
Stockage des résultais du pas de temps Impression des résultats
IPA5=IPAS+i
Tableau 3-2 : Structure de DYNL : Extension du module MCNL au cas dynamique. Schéma itératif de résolution au sein d'un schéma d'intégration de type Newmark.
176 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
Notre expérience avec les élémenis multifibres a montré qu'une méthode tangente avec
actualisation de la matrice de rigidité à chaque itération est adaptée pour le calcul non-linéaire en
statique ou en dynamique. Lorsque le nombre de degrés de liberté est petit, le temps de calcul
pour l'actualisation de la matrice tangente reste raisonnable. Cependant, les performances de
l'algorithme pourraient être améliorées en utilisant des schémas d'accélération comme ceux
habituellement utilisés pour les éléments massifs.
Enfin, plus la discrétisation multifibre (-couche) est régulière (surface ak des fibres ou couches
équivalentes), plus la convergence est rapide.
3-3-3. Calcul du vecteur des efforts intérieurs
Rappelons la procédure de calcul du vecteur des efforts intérieurs implantée dans CESAR pour
les éléments massifs (Mestai, 1992). Le Tableau 3-3 présente les zones d'intervention pour
l'intégration des éléments multifibres (sous-programmes RSPTNL, CTPTNL, POUDEF,
LAGAC4).
3-3-4. Bibliothèque des lois de comportement
Les lois de comportement développées au chapitre 1 sont intégrées dans la bibliothèque des lois
de comportement de CESAR. Elles sont accessibles par les modules MCNL et DYNL. Les
interventions effectuées ont consisté {Tableau 3-4) à mettre en oeuvre le schéma d'intégration
locale de la loi de comportement élastoplastique avec endommagement {cf. 3-2-2, sous-
programme CENPL1). Les modèles élastoplastiques de Willam-Wamke à 3 et 4 paramètres
(CRIT46, CRÍT48) font appel à un schéma d'intégration déjà existant dans CESAR (CPLAS1).
La structure présentée permet le couplage de tout modèle de plasticité (CRIT...) avec tout
modèle d'endommagement (CRID...).
Chapitre 3 : Mise en oeuvre numérique dans CESAR-LCPC
EXMCNL] JEXDYNL
CALRES
RSVRES
Boude sur les éléments Œ=lJiELT
Constitution des vecteurs élémentaires | (Extraction des vecteurs globaux)
' Coordonnées Fonctions d'interpolation
- Degrés de liberté (incrémentale et totale)
Contraintes
Variables d'état (écrouissage, endommageaient,...)
Appel à la bibliothèque d'éléments LIBELE
selon ¡e type d'élément XY
ËLEMXY
Eléments masáis
(Version standard)
RSMCNL
CTMCNL
Calcul du Vecteur des efforts inléneurs d'un élément
Boucle sur les points d'intégration
RSPTNL Eléments multicouche/ _ multifibre Déplacements
Grands LAGAC4
CTPTNL
POUDEF
Calcul des DDL dans le repère de corps rigide (Description corotationneUe)
Calcul des déformations (incrémentales / totales)
BIBLIOTHEQUE DES
LOIS DE COMPORTEMENT DE CESAR
Tableau 3-3 : Calcul du vecteur des efforts intérieurs dans CESAR.
178 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
(CTMCNL)(CTPTNL )
C CPLASl ) ( )C 3 ( CENPL1 ) Loi élastoplastique
avec 1 surface de charge Loi élastopiasiique
avec endommagement
( CRITER ) IMOD CRJTER) Critère plastique IMOD
CCRENP1 ) Endommagement
E N D
( CRJT... ) ( CRJT46 ) ( CRIT48 ) ( CRIDP1 ) ( CRID... ) Cntère de W-W à 3 paramètres
IMOD=46 : plastique parfait
ÎMOD=47 ; avec écrouissage
Cntère de W-W Variable d'endominagement modifié (4 paramètres) ¿p
(IMOD=48) (!END=1)
(W-W = Wiiiam-Wamke}
Tableau 3-4 : Intégration de la loi élastoplastique et de ia loi élastoplastique avec endommagement dans la bibliothèque des lois de comportement de CESAR.
Chapitre 3 : Mise en oeuvre numérique dans CESAR-LCPC 179
3-4. TEST NUMERIQUE
Pour familiariser le lecteur avec les lois de comportement élastoplastiques, mises en oeuvre dans
CESAR, nous présentons ci-dessus les résultats obtenus avec les différents modèles sur un
exemple simple : le tube épais. Cet exemple a été calculé en déformation plane et en géométrie
tridimensionnelle (figure 3-2). Il fait partie des tests utilisés pour la vérification de la
programmation dans le code CESAR. Les résultats obtenus avec une discrétisation similaire et
avec des méthodes d'accélération différentes étaient identiques (au sens numérique).
L'exemple est présenté figure 3-2. Seuls les résultats en déformation planes (figure 3-2b) seront
détaillés.
a. Tube épais en 3D b. Déformation plane
Figure 3-2 : Exemple du tube épais
Géométrie et modélisation par éléments finis :
Un quart du "cercle" de rayon r / R = 0,1 (figure 3-2b) est modélisé avec 400 éléments massifs
à 8 noeuds (MBQ8). Le maiîlage est concentrique avec un taux de propagation de 1,1 vers
l'extérieur.
180 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
• Caractéristiques du matériau
- Caractéristiques élastiques : Module d'Young E = 30000 MPa, Coefficient de Poisson
v = 0,2.
- Le tableau 3-5 précise les caractéristiques du matériau et les paramètres des différents
modèles de comportement utilisés. Ces valeurs sont des valeurs typiques qu'on utilisera dans
le chapitre qui suit. Un calcul avec un modèle de Drucker-Prager sans écrouissage et une
règle d'écoulement associée a également été effectué.
Modèles Drucker-Prager (DP)
W W 3 -élastopîastique parfait (WW3)
WW3-avec écrouissage (WW3-ECR)
WW modifié (WW-mod)
Caractéristiques matérielles Angle de frottement : 9 = 30° Cohésion : c=3 MPa Résistances : a, = 3 MPa *
Gc=30MPa* abc = 34,5MPa*
Résistances : (idem)*
Résistances : (idem)* Triaxiale : !„„.„ = 2,4473oc*
< W u = - 3 . 9 o e *
e=o°*
Paramètres du modèle
/c =1,3037 / t =0,7578 po=3,2857MPa
(idem) 5 = 0,5236(30°)* z o =0,75* K = 1000*
/c =1,3509 /, =0,8036 p0 = 3,1162 MPa pcr = 251,2MPa
# = - 0 , 0 1 % * ß = l,0* K = 1 0 0 0 *
Tableau 3-5 : Caractéristiques matérielles et paramètres des modèles. (* indique que les valeurs soni à choisir par l'utilisateur. Les autres paramètres sont calculés à partir de
caractéristiques matérielles)
Chapitre 3 : Mise en oeuvre numérique dans CESAR-WPC 181
• Conditions aux limites {figure 3-2b) :
- en forces : pression uniformément repartie à l'intérieur du tube (incrémentation : Ap = 3MPa )
- en déplacements : condition de symétrie.
• Méthode itérative
L'exemple est calculé avec une méthode itérative de contraintes initiales (Mestat, 1992). Des
calculs comparatifs avec des méthodes d'accélération de la convergence (D-F-P) ont
également été effectués. Les résultats obtenus sont identiques à ceux présentés ci-dessous.
• Quelques résultats pour p = 15 MPa
La figure 3-3 présente, sur une coupe radiale, la variation de la contrainte principale a,
(contrainte tangentielle) pour les différents modèles avec la solution élastique du problème. Les
pics des courbes correspondent aux limites de la zone plastique, définie à partir de l'intérieur du
tube. La différence entre les modèles WW3 et WW-mod d'une part, et les modèles WW3+ECR
et DP d'autre part, est uniquement due à l'angle de dilatance utilisé {cf. Tableau 3-5). Il convient
donc de prendre garde à ce paramètre du modèle. La figure 3-4 présente les isovaleurs des
déformations plastiques (normes du tenseur des déformations plastiques) pour les cas de
WW3+ECR et de WW-mod.
Le but de ce exemple est de familiariser le lecteur avec l'utilisation pratique des lois de
comportement développées et mises en oeuvre dans CESAR. On n'a pas cherché ici à valider la
modélisation choisie du béton choisie en tant qu'un matériau élastoplastique (sans ou avec
endornmagement) à l'échelle de la structure. Ceci fait l'objet du chapitre suivant.
182 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
g S5
•1,0 -J
Limite de la zone plastique
0,7 0,8 0,9
• ELASTIQUE
DP
WW3
WW3+ECR
WW-mod
Coupe A-B
Figure 3-3 : Variation de la contrainte principale rjj à un niveau de charge de p = 15 MPa
«*«£"•* s.
i ' " 4
a. WW3+ECR b. WWmod
Figure 3-4 : Exemple de sortie graphique de CESAR : isovaleurs de normes du tenseur de déformations plastiques.
Chapitre 3 : Mise en oeuvre numérique dans CESAR-LCPC 183
3-5. CONCLUSION
Dans ce chapitre, nous avons montré comment les lois de comportement élastoplastique (avec
endommagement) développées au chapitre 1 et l'élément multifibre du chapitre 2 ont été mis en
oeuvre dans le code de calcul CESAR-LCPC. Le schéma d'intégration en temps et la méthode de
résolution itérative choisie ont été précisés. A l'aide d'un exemple simple, nous avons montré
l'utilisation pratique de ces lois de comportement élastoplastiques, avec les valeurs
caractéristiques des paramètres des différents modèles.
Toutefois, il convient de souligner, que dans notre approche nous sommes restés dans le cadre de
la mécanique des milieux continus "classiques". Les problèmes liés à la localisation de la
fissuration ne sont pas traités (de Borst et ai, 1993).
Dans le chapitre qui suit, des applications sont présentées, ce qui permet d'illustrer le caractère
opérationnel de la mise en œuvTe numérique des développements effectués.
TT\\0, 4- ¡EHMFffiS B
TOMMMQPES
4-0. INTRODUCTION
Nous présentons dans ce chapitre quelques exemples d'applications. Ces exemples vont des
structures à poutres simples type portique plan sous chargement statique jusqu'au portique 3D
muîti-éîagé sous chargement sismique. Le choix des exemples est guidé par deux objectifs
complémentaires : (1) valider notre approche à l'échelle des structures en béton armé et
précontraint, afin de (2) situer les outils élaborés dans la pratique courante des ingénieurs.
Nous commençons avec des exemples bidimensionnels :
• portiques plans sous chargements statiques et cycliques
• flambement d'un poteau,
• portiques multi-étagés sous chargements dynamiques.
avant de passer aux applications tridimensionnelles :
• déversement des poutres de grande hauteur,
• poutres isostatique et hyperstatique précontraintes (précontrainte externe et interne),
• structure tridimensionnelle à portiques multi-étagés sous chargement sismique.
Le tableau 4-î donne un résumé de ces exemples d'application.
La comparaison des résultats numériques avec les résultats d'essais permet de déterminer les
limites des outils proposés (aide au concepteurs de structures en béton armé et précontraint) et de
fixer le domaine d'application vis-à-vis de 1' "adéquation" des modèles pour les problèmes à
traiter.
188 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
EXEMPLE 4.1. Portique plan 4.2. Flarabement poteau 4.3. Portique plan
mulli-etage 4.4. Déversement 4.5. Poutres précontraintes
(iso- et hyperstatique) 4.6. Structures tridim. à
portiques multi-étages
NON-LINEAIRE MAT.
X
X
X
X
X
GEOM.
X
X
CHARGEMENT STAT.
X
X
X
X
CYCL. X
DYN.
X
X
REFERENCE • •
(•)
• (•)
• Résultats d'essais Tableau 4-1 ; Résumé des exemples (• ) Calculs de référence
("x" indique quel problème est numériquement traité )
Chapitre 4 : Exemples d'applications numériques 189
4-1. EXEMPLE : PORTIQUE PLAN
L'exemple qui suit présente des résultats de calculs d'un portique en béton armé sous chargement
statique et cyclique. Le portique, présenté figure 4-1, a été testé par Bertero et McClure (1964)
sous chargement statique. Cet exemple, très souvent analysé dans la littérature (par exemple
Hoher et al, 1979), permet de se familiariser avec la modélisation semi-globale : la
discrétisation du système en poutres et la discrétisation de la section en couches (2D) ou en
fibres (3D). L'avantage d'une telle modélisation a été discuté au paragraphe 2-1-3.
4-1-1. Géométrie, modélisation, chargements
4-1-1-1. Géométrie et modélisation par éléments poutre multicouche
Le portique, illustré figure 4-1 est modélisée en 30 éléments poutre multicouche. La section est
discrétisée en 22 couches, dont 20 en béton et 2 en acier. On rappelle que le champ des
contraintes dans les couches est supposé uniaxial.
4-1-1-2. Chargement statique, cyclique
• chargement statique : le portique est chargé avec des forces ponctuelles : une force
horizontale à la travée, une force verticale en demi-travée (figure 4-la). Le chargement
augmente d'une façon monotone croissante jusqu'à la ruine (figure 4-2a). Le charge ultime
obtenue lors de l'expérience est F = 7,6kN.
• chargement cyclique : le portique est chargé avec une seule force horizontale, dont les cycles
de charges sont illustrés figure 4-2b. Pour ce cas de charge, il n'existe pas de résultats d'essais.
Le charge horizontale maximale appliquée au portique a été choisie très proche de la charge ultime numérique de ruine ( F ^ ^ ^ =±6,5kN). L'exemple est utilisé ici pour mettre en
évidence "effet du dommage" sur le comportement cyclique de la structure.
190 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
\
102/73 *
^r
# - 1016
1016
73
Aun atures 102 transversales
4#2 (2x6,334¿-5 t í )
a. Portique de Bertero/McCiure (1964)
I
73
» » • • » »
102/73
-V
1016
1016
|
*-102
Couches de béton
Couches d'acier
b. Discrétisation semi-globale
Figure 4-1 : Portique BA. Géométrie -Modèle
honz - vert
a. Chargement monotone croissant b. Cycle de charge horizontale
Figure 4-2 : Cas de chargement étudiés
Chapitre 4 : Exemples d'applications numériques 191
4-1-2. Lois du comportement uniaxiales, caractéristiques matérielles
4-1-2-1. Béton : loi uniaxiale élastoplastique avec endommagement
Comme loi de comportement, on utilise la loi de comportement élastoplastique avec
endommagement (ENDO). En ce qui concerne le partie plastique, le modèle Willam-Wamke
couplé {i.e. WW3+ECR pour le partie d'écrouissage, WW modifié pour le partie adoucissante)
est appliqué.
Compte tenu de l'état uniaxial des contraintes dans les couches, on utilise l'équation d'état (116),
sous forme uniaxiale :
(1) d<5 = dane¡ ®e, = E(<j)p)(d£u-defj)e; ®e,
avec
(2) E(<i)p) = f(i~v)(G0-AG«!)p)) + (K0 + AK«i)p))(l-2v) et: fG 0 =E 0 /2( l + v)
l K 0 = E 0 / 3 ( l - 2 v )
Pour le champ des contraintes uniaxiales (1), les règles d'écoulement et d'écrouissage s'écrivent
de manière explicite :
(3) WW3 + ECR + ENDO : { dy;=dX
d$p = c&ßo
avec : fdX = ( ^ s g n ( a n ) + / e i l)da„/3H : si f(a„,z) = 0,df = 0
\dk = 0 sinon
(4) WW-modifié + ENDO : dEp
1=dX(^sgn(on) + ^ ( Í G 1 ! + p C I - p o ) ) / 3
d0p=caß/£,1(a15+pcr-po)/pcr
/,.
avec : dX = (^sgn(o I I) + - ( io1 1+pC Í-p0))do1 1 /9H : si f(on ,P c r) = 0,df = 0
! àX = 0 sinon
192 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
Les caractéristiques et paramètres pour le béton sont précisés Tableau 4-2.
Modèle
Elasticité W W 3 -avec écrouissage (WW3-ECR)
WW modifié (WW-mod)
Endommagement
Caractéristiques matérielles
E0 = 23000MPa, v = <;,2* Résistances : öe = 23MPa
a t = IMpa * 0^ = 1,150/
Résistances : (idem) Triaxiale : x ^ , ^ = 2 , 4 4 7 3 G C *
e = o° Modules à la ruine :
K ^ / K . ^ 0 , 5 * G - t / G „ = 0 *
Paramètres du modèle
5 = 0,1745(10°)* z o =0,75* K = 1000*
<¡)^=-0,0i%* p = i,o* K = 1000*
K^lOOO*
Tableau 4-2 : Caractéristiques matérielles du béton et paramètres du modèle (* indique que la valeur est prise par défaut)
4-1-2-2. Acier
Comme loi de comportement de l'acier d'armature, on utilise une loi élastoplastique parfaite de Von Mises sous forme uniaxiale (précisée au paragraphe 2-3-2-6) avec une résistance en traction simple ov = 332 MPa. Le module d'Young est E=206843 MPa.
Chapitre 4 : Exemples d'applications numériques 193
4-1-3. Quelques résultats
4-1-3-1. Cas de chargement statique
Dans le calcul le chargement est incrementé en incréments de forces AF = AFhanI = AFven=0,375kN.
La figure 4-3 présente la courbe force F - déplacement horizontal du point d'application de la
charge horizontale, à comparer avec les résultats d'essais. Les résultats montrent une bonne
concordance dans le domaine initial, suivie par une phase où le modèle surestime la rigidité du
système. Le charge ultime numérique Fcllcul = 7,5kN est très proche de celle obtenue lors de
l'expérience F ^ ^ = 7,6kN.
Le calcul a été également effectué avec une discrétisation en poutres plus grossière (18 éléments
au lieu de 30). Les résultats, non présentés ici, sont très proches de ceux obtenus avec 30
éléments (écarts inférieures à 1%).
-rk>U i
0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00
Déplacement horizontal | mm]
Figure 4-3 : Courbe Charge horizontale - Déplacement horizontale
194 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
4-1-3-2. Cas de chargement cyclique
Dans ce calcul le chargement est incrementé en incréments de forces AF = AFhonz = ±0.5 kN.
La figure 4-4 présente un des résultats obtenus sous la forme de courbes moment fléchissant M -
déplacement horizontal du point d'application de la charge F appliqué. On note :
• des boucles hystérésis dues d'une part aux évolutions élastoplastiques dans le béton, et d'autre
part à la plastification locale des aciers (chargement proche de la ruine),
• l'effet du dommage (dégradation) représenté par une réduction de l'aire des boucles
hystérésis, entre le premier cycle et le second,
• une stabilisation des boucles d'hystérésis à partir du deuxième cycle.
moment M ikN.m)
0.625
U (mm)
-2© -15 -10 -5 5 10
M
Figure 4-4 : Courbe moment fléchissant - déplacement horizontal u
Chapitre 4 : Exemples d'applications numériques 195
4-1-4. Commentaires
L'utilisation des éléments muiticouches avec l'hypothèse d'un champ des contraintes uniaxiales
permet de tester 1' "adéquation" des lois de comportement triaxiales à l'échelle de la structure, en
termes de courbes forces - flèches, ou en termes de dégradation des boucles d'hystérésis. Avec
les hypothèses posées sur la déformation des poutres, les résultats obtenus pour le cas de
chargement statique apparaissent satisfaisants.
L'effet du dommage, sous forme d'une réduction de l'aire des boucles d'hystérésis à l'échelle
globale des structures en béton armé, est un phénomène bien connu (cf. Del Toro, 1988). Dans
les essais, cette dégradation se stabilise après un nombre important de cycles de charge. Cette
stabilisation correspond à une échelle microscopique à un phénomène de type fatigue aux lèvres
de fissures lors de cycles d'ouverture et refermeture des fissures. Notre modèle
d'endommagement ne modélise pas de manière explicite, à l'échelle macroscopique, cette
refermeture des fissures (évolution élastoplastique lors du déchargement, cf. 1-2-5-3). Ceci peut
être à l'origine de la stabilisation prématurée des boucles d'hystérésis, obtenue par le calcul.
196 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
4-2. EXEMPLE : FLAMBEMENT D'UN POTEAU
L'exemple qui suit, le flambement d'un poteau, est issu d'une grande série d'expériences
effectuée par Fouré (1978) pour étudier le flambement des poteaux en béton armé sous des
effets divers (fluage, retrait, etc.) Ici, on ne traite que le cas du flambement "instantané", c'est à
dire le flambement dû uniquement à une charge (excentrée) appliquée. Le poteau traité est le
poteau IM de Fouré.
4-2-1. Données et modélisation
4-2-1-1. Géométrie et modélisation
Considérons un poteau en béton armé avec une section rectangulaire (b/h = 200mm/150mm),
encastré à une extrémité et libre à l'autre, et une longueur L=2,25m. La section est armée par 4
armatures longitudinales de diamètre 12mm (figure 4-5).
Le poteau est discrétisé en 10 éléments multifibres et la section en 34 fibres, dont 30 en béton et
4 en acier.
-> i .25
k-
_JF 1,5cm
////////
2001 v$
T\ 4H,5
D •4HA 12
150i -pmt
Figure 4-5 : Poteau de Fouré, géométrie et système de chargement.
Chapitre 4 : Exemples d'applications numériques 197
4-2-1-2. Matériaux
• Béton : Loi de comportement élastoplastique WW-couplé. Les caractéristiques et paramètres
pour le béton de cet exemple sont précisés Tableau 4-3.
Modèle
Elasticité WW 3 -avec écrouissage (WW3-ECR)
WW modifié (WW-mod)
Caractéristiques matérielles
E = 34000MPa, v = 0,2* Résistances : oc = 39MPa
ot =2,4Mpa 0^ = 1,150/
Résistances : (idem) Triaxiale : !„ , .„ = 2,4473ac*
G = - 3 9a *
e=o°
Paramètres du modèle
5 = 0,1745(10°)* Zo = 0,75* K = 1000*
# = - 0 , 0 1 % * ß=l,0* K = 1000*
Tableau 4-3 : Caractéristiques matérieiles du béton et paramètres du modèle
• Acier : ioi éiastopiastique parfait de Von-Mises : E = 200000MPa, v = 0,3*, Gy = 486MPa,
déformation de rupture des armatures : £ = 10% (!)*
(• indique que le valeur est prise par défaut)
4-2-1-3. Chargement
Le poteau est chargé avec une force axiale d'excentricité e telle que e/h=l,5mm/150mm (figure 4-5). La charge mesurée de flambement est F ^ ^ = 453 kN. Dans le calcul, on modélise la
force axiale excentrée par une force axiale F et un moment fléchissant M=Fe. Le poids propre du
poteau est négligé, 20 incréments de chargement sont utilisés dans le calcul.
198 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
4-2-2. Résultats
La figure 4-5 présente un résultat de l'analyse numérique sous forme d'une courbe charge
appliquée - déplacement horizontal en tête du poteau. On note que la ruine se produit dès que les
armatures commencent à se plastifier. La ruine est fragile. D'un point de vue algorithmique, le
calcul diverge.
La figure 4-5 présente également les résultats d'un calcul non-linéaire en géométrie (matériaux
élastiques). La forme courbée est uniquement due aux effets du deuxième ordre. La comparaison
avec le calcul non-linéaire en matériau et en géométrie permet de déterminer le seuil à partir
duquel le dommage (c'est à dire des déformations permanentes) apparaît à l'échelle de ia
structure. Ce seuil de dommage (limite d'élasticité globale) déterminé numériquement
(F/ F = 0,4...0,5) est comparable à celui de Fessai (début de la fissuration).
Expérimentale
Cal eu!
NL géométrique
0.0 5.0 10,0 15.0 20.0 25,0
Déplacement horizontal en tête [mm]
30,0 35,0
Figure 4-5 : Courbe Charge - Flèche
Chapitre 4 : Exemples d'applications numériques 199
4-3. EXEMPLE : PORTIQUE PLANE MULTI-ETAGE - STRUCTURE ISPRA
Nous présentons dans ce paragraphe les premiers éléments d'une justification des
développements présentés. H s'agit de l'étude d'un bâtiment, avec système porteur en portiques
multi-étages, sous chargement sismique : la structure ISPRA. L'exemple est tiré de la
contribution du LCPC au sein d'un groupe de recherche de GRECO Géomatériaux1 (Mazars,
1992) au programme européen de recherche : Cooperative Research on the seismic response of
reinforced concrete structures (Carvalho et al., 1992). La structure étudiée a été mise en place
pour un essai à l'échelle 1:1 au mur de réaction du centre commun européen à ISPRA (Italie).
Le but de ce programme de recherches coordonnées est de développer des méthodes de
dimensionnement sismiques en Europe. Les résultats présentés, qui font partie de la contribution
française du GRECO Géomatériaux {Mazars et al, 1992), sont des études dynamiques non-
linéaires avant essais.
L'étude effectuée est décomposée en 2 parties :
• Etude du comportement dynamique de la structure plane (portique 4 étages).
• Etude de la réponse de la structure plane sous chargement sismique.
La géométrie et la modélisation de la structure sont d'abords présentées. Nous montrons par la
suite quelques résultats des calculs.
1 GRECO Géomatériaux (sols, bétons, roches) = Groupement de REcherches Coordonnées
200 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
4-3-1. Données et modélisation
La structure "ISPRA" est une structure à quatre étages (figure 4-6). A chacun des niveaux une
dalle repose sur un réseau de poutres croisées, qui transmettent les charges à 9 poteaux. Le
contreventement de la structure est assuré par portiques. Les poteau centrai a une section plus
importante ( b / h = 45cm/45cm) que les poteaux périphériques (b /h = 40cm/40cm). La
structure sera testée au centre commun de recherches de la communauté européenne à Ispra
(Italie) sous chargement sismique (mur de réaction) dans le plan de symétrie de la structure,
comme indiqué figure 4-4.
La structure béton armé d'Ispra a été dimensionnée suivant la réglementation européenne EC8 2.
40/40
or 45/45
t
LP i
V
6m
Figure 4-6 : Structure en béton armé "ISPRA'
3m
3m
3m
3,5m
Direction d'eiaiauen
EC8 = Eurocode No. 8 : Règles unifiées communes pour les constructions en zones sismiques (CCE, 1988)
Chapitre 4 : Exemples d'applications numériques 201
4-3-1-1. Choix d'un modèle plan "équivalent"
Comme la structure sera excitée dans une direction, une première approche pour modéiiser son
comportement dynamique non-linéaire, consiste à effectuer des calculs sur un modèle
bidimensionnel équivalent.
Une étude comparative a été effectuée au LCPC afin de déterminer, à partir des caractéristiques
dynamiques de la structure tridimensionnelle élastique (fréquences, amplitudes, participation
modale), un modèle plan équivalent (Latreche, 1992). En raison de la non-symétrie dans la
direction d'excitation (les trois portiques parallèles de la structure n'ont pas la même rigidité), le
choix du modèle 2D est délicat.
Le modèle plan équivalent choisi est illustré figure 4-7a. Il est constitué du portique central avec
une tranche de dalle de largeur 5m : structure "ISPRA plane".
/ 40/40
'¿^&¿)/SBff.Y.W,7?¿,\Vffi
w V Ï V
45,45
a. Modèle plan équivalent la structure "ISPRA plane"
T 40/40 Ji ^ >
3m
- \ -
- * -
3m
3,4m
ám 4-b. Modélisation globale
de la structure "ISPRA plane" en poutres
Figure 4-7 : Modèle plan équivalent et sa modélisation en poutres
202 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
4-3-1-2. Modélisation de la structure "ISPRA plane"
La structure "ISPRA plane" est modélisée en éléments multicouches. Le maiilage {figure 4-7b) de
la structure est constitué de 134 noeuds, de 139 éléments multicouches qui appartiennent à 20
groupes de caractéristiques géométriques et matérielles différentes, selon le plan de ferraillage
réel, détails de la modélisation sont donnés en référence (Ulm et Clément dans Carvalho et al.,
1992).
La figure 4-8 donne une exemple de la modélisation des poutres avec dalles en couches.
. arma tures <H 5 m
! — D
™,>vv^/v.:vy'^r?v«-M,^M/,*,yM,.-:y,M?ï
béton couche béton-
couche acier - WA>.W.'.:>:¿. •>'
p.',-.'"'¿¿i\ 0.15
0.30
B-S^-H
a. Section courante des poutres avec dalie b. Modélisation de la section en T en couches
Figure 4-8 : Principe de la modélisation d'une section en couches
4-3-1-3. Matériaux
• Béton : loi de comportement uniaxiale élastoplastique avec endommagement (cf. 4-1-2-1).
Les caractéristiques et paramètres du modèle sont précisés tableau 4-5.
• Acier : IOÎ uniaxiale élastoplastique parfait de Von-Mises (cf. 2-3-2-6) :
E = 200000MPa, v = 0,3*, cv = 585MPa, £ _ = 1% rupuire
Masse volumique : p = 7850kg/ m3
Chapitre 4 : Exemples d'applications numériques 203
Modèle
Elasticité WW 3 -avec écrouissage (WW3-ECR)
WW modifié (WW-mod)
Endommagemenî
Caractéristiques matérielles E 0 ^ 30500 MPa, v = 0,2*
Résistances : c e = 33MPa Gt =3,lMpa 0^ = 1,150,*
Résistances : (idem) Triaxiale : i^^ =2,4473ae*
6 = 0° Modules à la ruine :
G ^ / G . - O *
Paramètres du modèle
p = 2500kg/m3
5 = 0,1745(10°)* z o =0,75* K = 1000*
<J>J=-0,01%* ß = l,0* K = 1000*
K = 1000*
Tableau 4-4 : Caractéristiques matérielles du béton et paramètres du modèle (* indique que la valeur est prise par défaut)
4-3-2. Etude du comportement dynamique non-linéaire de la structure
Nous proposons d'abords d'étudier l'effet du dommage à l'échelle de la structure soumise à un
chargement dynamique. La structure a été dimensionnée pour une accélération horizontale maximale du sol de valeur ydm= 0,35g. Pour étudier l'effet du dommage à l'échelle de la
structure, les réponses de la structure soumise à différents niveaux d'accélérations sont
comparées.
4-3-2-1. Chargement
La structure plane (avec poids propre) est soumise à des niveaux d'accélérations du soi constants.
Chacun des calculs effectués correspond à un niveau d'accélération appliqué, avec des valeurs
variant entre y, = O.ly^ et ys = y^ (figure 4-9).
Ce chargement dynamique est sévère. Il est appliqué dès le début et n'est pas constitué
d'accroissements successifs d'accélération comme dans le cas d'un séisme,
204 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
Ts/y Figure 4-9
A 1
Niveaux d'accélération constante du sol appliqués dans les calculs.
4-3-2-2. Résultats
Les résultats présentés ont été obtenus sur une durée de 5 s avec un pas de temps de 10 ms. Les
courbes de la figure 4-10 représentent ie déplacement horizontal d'un point haut de la structure en
fonction du temps, pour deux niveaux d'accélération donnés : yi = 0 . 5 7 ^ et ys =0,9ydira. La
comparaison entre la réponse élastique et la réponse non-linéaire dynamique de la structure met
en évidence les phénomènes suivants :
• L'apparition de déplacements irréversibles. Ces déplacements permanents sont représentatifs
de la dégradation progressive de certaines couches des sections, issue du comportement non
linéaire des matériaux. Plus la structure est sollicitée, plus elle se dégrade : les déplacements
irréversibles augmentent avec le niveau d'accélération.
• La fréquence de la réponse de la structure diminue avec l'augmentation de l'accélération
(augmentation de la période).
• L'amplitude de la réponse augmente pour les faibles charges (figure 4-lOa) et diminue pour
des charges plus élevées (figure 4-iQb).
• Enfin, un état ultime dynamique de ia structure est obtenu lorsque la structure n'oscille plus.
Il se produit au niveau d'accélération pour lequel la structure a été dimensionnée (Y. = 0,35g).
Chapitre 4 : Exemples d'applications numériques 205
Déplacement u(t) [m]
g.OOE-02
6.00E-02
4.00E-02
2,OOE-02
-k^^t
/ v -n-•• A A A A A T A A A A :'
O.OOE+00 H V-
0,00 1,00 2,00 3,00
Temps [s]
4,00 5,00
—•»NON LINEAIRE
- - ELASTIQUE
a. Courbe u(0 poux ys = 0,5y dim
Déplacement u(t) [m) 0.6
/ \ /*• -*\ .*\ • »" '» * - •' * " i—~ —: Jw; i j 1
0,00 1.00 2,00 3,00
Temps (s]
4,00 5.00
*
u(t)
• NON-UNEAIRE
ELASTIQUE
Ys=0,9y. -es t .
b. Courbe u(t) pot y$ = 0,9-f^ dim
Figure 4-10 : Courbes déplacement horizontal d'un point haut de la structure en fonction du temps
206 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
4-3-2-3. Effets du dommage : variation de la fréquence, évolution de l'amplitude
L'exploitation des résultats de calculs menés avec des valeurs d'accélération croissantes jusqu'à la
ruine dynamique permet d'évaluer la variation de la première fréquence (figure 4-lla) et l'évolution non-linéaire de l'amplitude d'oscillation (figure 4-llb) en fonction de l'accélération ys
appliquée.
La courbe de la variation de fréquence est composée de trois parties (figure 4-lla) :
• une partie fortement descendante de la fréquence pour des faibles valeurs d'accélération, due
au dommage du béton dans les sections des éléments.
• un plateau de fréquence, atteint quand les armatures commencent à se plastifier,
• une chute de la fréquence jusqu'à zéro, pour une valeur d'accélération correspondant à la
ruine dynamique de la structure.
L'évolution d'amplitude suit des phases similaires (figure4-lla) :
• Dans la plage d'accélération correspondant à la chute brutale de fréquence, l'amplitude du
calcul non-linéaire reste du même ordre de grandeur que l'amplitude élastique;
• L'amplitude s'accroît ensuite fortement, pour atteindre une valeur sensiblement constante;
• Elle décroît rapidement pour des accélérations proches de celle qui conduit à la ruine
dynamique de la structure.
Cet exemple a été choisi pour montrer comment les outils développés peuvent être utilisés pour
caractériser et quantifier le comportement dynamique non-linéaire de structures en béton armé
contreventées par des portiques : effets du dommage à l'échelle de la structure - la variation de la
fréquence et l'évolution d'amplitude. Ces évolutions décrites par une approche numérique sont
conformes avec les observations sur des structures réelles soumises à des chargements sismiques
(cf. lemura et Jennings, 1974; Bard et ai, 1992).
Chapitre 4 : Exemples d'applications numériques 207
— Non-Linéaire
" Elastique
0.4 0,6 0,8 1
a. Variation de ia fréquence
VYd
*• temps
A 4 mm 25 T
~~ Non-Linéaire
* Elastique
< Y $ / T d
0,2 0,4 0,6 0.8 1
b. Variation de l'amplitude
• • temps
Figure 4-11 : Courbes variation de la fréquence, variation de ¡'amplitude en fonction du niveau d'accélération
208 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
4-3-3. Réponse sous chargement sismique
Après avoir étudié les effets du dommage à l'échelle de la structure soumise au chargement
sismique, nous présentons ici des résultats sous chargement sismique.
4-3-3-1. Chargement
La structure est cette fois soumise à une accélération du sol basée sur le tremblement de terre de
Friuli (Italie) en 1976. L'accélérogramme de 10s imposé à la structure est présenté figure 4-12.
Figure 4-12 : Accélérogramrne S7 (i00%)
Accélération ¿£\
[cm/s2 ] 3{X) ,
¿ :iir li- "Mi,4 L 1 I . . . y... 1 —
temps [s]
fll'ûÏÏ ' ' ly ' \? v irH> 10
4-3-3-2. Résultats
Les résultats présentés ont été obtenus sur une durée de 10s avec un pas de temps de 1Ü ms. Les
courbes de la figure 4-13 représentent le déplacement horizontal d'un point haut de la structure en
fonction du temps. En particulier,
• figure 4-13a : la réponse dynamique non-linéaire comparée avec la réponse élastique obtenue
par superposition modale.
• figure 4-l3b : les réponses dynamiques non-linéaires obtenues pour l'accélérogramme 100% x
S7 et l'accélérogramme 150% x S7.
Chapitre 4 : Exemples d'applications numériques 209
£
C
u J2 •>4J "^3
-o.too
-0.200 ELASTIQUE NONLINEAIRE
-0.260 2 . 0
temps fs]
0 .0 tO.5
a, Comparaison de la réponse u(î) non-linéaire - élastique avec l'accélérogramme 100% x S7
0. I75 J
0.075
4J -0 .026 es Q.
ta
-0 .125
-0 .225
-0.275
¡SPRA 100 S ISPRA 150 S
temps [s] 0.0 '0-5
b. Comparaison des réponses non-linéaires avec les accélérogrammes 100% x S7 et 150% x S7
Figure 4-13 : Courbes déplacement d'un point en haut de la structure en fonction du temps
210 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
4-3-3-3. Effets du dommage sous chargement sismique
Les résultats obtenus ont été comparés avec les résultats numériques d'autres participants du
projet d'ISPRA. La tendance est toutefois la même (Mazars dans Carvalno et al., 1992).
La comparaison des réponses numériques obtenues ici met encore en évidence les effets du
dommage à l'échelle de la structure, après dépassement d'une limite d'élasticité globale :
augmentation de la période et de l'amplitude de la réponse non-linéaire par rapport à la réponse
élastique.
La ductilité de la structure, qui provient de la ductilité des armatures longitudinales, assure sa
capacité portante. Une fois la limite d'élasticité globale dépassée (apparition de dommages dans
ie béton), la fréquence dominante de la réponse, après une chute rapide, tend à se stabiliser.
L'étendue de la zone où cette fréquence est plus ou moins constante (plateau de fréquence) est
liée à la ductilité de la structure : plus la structure est ductile, plus ce plateau de fréquence est
prononcé. Ceci est en générai le cas pour des structures contreventées par des portiques.
Cependant, pour des niveaux d'accélération plus importants, les structure peuvent atteindre la
ruine dynamique (chute brutale de la fréquence à zéro et arrêt des oscillations) : ceci n'est pas le
cas pour la structure plane d'ispra étudiée.
Enfin, il convient de signaler, que ce type de calcul est très sensible aux paramètres matériels
utilisés pour modéliser le comportement adoucissant du béton. Ils affectent le début de la "chute
de fréquence" et par conséquence l'ordre de grandeur des déplacements maximaux obtenus. Par
ailleurs, une fois l'apparition du dommage, cette sensibilité apparaît moins prononcée vis-à-vis
de l'évolution de la fréquence, c'est à dire vis-à-vis des effets du dommage (Ulm et Clément dans
Carvalno et ai, 1992).
Chapitre 4 : Exemples d'applications numériques 211
4-4. EXEMPLE : DEVERSEMENT DES POUTRES
Cet exemple concerne le calcul au déversement de poutres en béton armé de grande hauteur. Le
problème à résoudre est un problème d'instabilité latérale sous chargement vertical. D'un point
de vue mathématique, en supposant un comportement élastique des matériaux, le déversement
est une problème de bifurcation, étudié à l'origine par Prandtl en 1899. Compte tenu des non-
linéarités matérielles, le problème du déversement est un problème couplé de bifurcations
matérielles et géométriques : le béton se fissure, les armatures se plastifient, le tout en interaction
avec l'augmentation des déplacements latéraux conduisants à la ruine de la structure. En termes
des forces généralisées des poutres, il s'agit d'un problème non-linéaire de flexion déviée couplée
avec de la torsion.
Le problème du déversement peut jouer un rôle important dans la pratique des ingénieurs en
particulier pour les poutres en béton armé ou précontraint préfabriquées qui ont en général une
grande hauteur : par fabrication, elles ont des défauts géométriques initiaux. Les chargements
pendant le transport et la mise en place dans la structure, peuvent entraîner des sollicitations
susceptibles de conduire au déversement. Ce phénomène est alors à prendre en compte pendant
la phase de conception de ces éléments de structure.
Nous proposons ici d'étudier comment les outils développés peuvent être une aide au concepteur
d'ouvrage voulant s'assurer par avance de la stabilité des éléments de sa construction vis-à-vis du
déversement.
Les exemples qui suivent sont tirés dune grande série des essais de König et Pauli (1990) de
l'université de Darmstadt (RFA) pour étudier le comportement au déversement des poutres en
béton armé et précontraint. Ici, deux essais (les essais 1 et 2) poutres en béton armé sont calculés
numériquement.
212 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
4-4-1. Données et modélisation
4-4-1-1. Système de chargement
Les deux poutres expérimentales, testées par König et Pauli (1990), sont chargées en flexion
quatre points (figure 4-Ua). Les essais sont pilotés en force jusqu'à la ruine. Les charges sont
appliquées sur la fibre supérieure {figure 4-14b). Les appuis sont tels qu'il est possible d'imposer
une rotation initiale des sections par rapport au plan moyen de la poutre (figure 4-14c). C est le cas
de Fessais No 1.
4-4-1-2. Défauts géométriques
Les poutres, d'une portée de 18m, présentent des défauts géométriques initiaux mesurés
expérimentalement (figure 4-1 Sa) : les poutres ne sont pas rigoureusement à plan moyen, comme
le montre la figure 4-15b. Dans les essais, on a mesuré le déplacement initial de la fibre supérieure
et celui de la fibre inférieure. Ces défauts peuvent être représentés par un déplacement initial
moyen du centre de gravité de la section, noté vo(x), et une rotation initiale de la section autours
de l'axe longitudinal de la poutre, noté 80(x), différents pour les deux essais traités. Les pré
déplacements vo(x) sont représentés par une demi-onde sinusoïdale. Dans Fessais No 1,
6c(x) = const, tandis que dans l'essai No 2 la rotation initiale 0o(x) mesurée est représentée par
une demi-onde sinusoïdale. Les défauts mesurés sont précisés dans le tableau 4-5.
4-4-1-3. Matériaux
Pour les deux essais, les caractéristiques des matériaux sont également données dans le tableau 4-
5. Pour le béton, on utilise la loi de comportement élastopîastique avec endommagement. Les
paramètres du modèle sont identiques à ceux utilisés dans l'exemple précédent (cf. tableau 4-4).
Pour l'acier, une loi élastopîastique parfaite de Von-Mises est utilisée.
Chapitre 4 : Exemples d'applications numériques 213
18,00 m
appui
Figure 4-14a. : Essais de König et Pauli, 1990
1,30 m
i.
Figure 4-14b. : Système de chargement Figure 4-14c, : Détail d'un appui
î> X
fibre sup.
y y moyenne
V„ (x)
Figure 4-lSa. : Défauts géométriques initiaux mesurés
214 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
Figure 4-lSb. : Déplacements et rotations initiaux
, 0,265,
4 HA i 4 HA 8 "=W
6 HA 25
JHMt-
0.12 0,15
1,30 m
T H ' - 0,135
Figure 4-16. : Section courante
Essai No.
1
2
Béton [MPa]
E0 = 36000
G c =55 , î
a, =3,8
0^=1,150,*
Eo = 36000
o c =58,7
a, =3,6
0 ^ = 1 , 1 5 0 /
Acier [MPa]
E = 200000 o y =575
E = 200000 oy = 575
Défauts géométriques
section centrale
+20 mm
-3 mm
6 o
rotations
aux appuis 0,5%
section centrale 0,3%
Tableau 4-5 ; Caractéristiques des matériaux, défauts mesurés (les résistances triaxiales et ies paramètres du modèle élastoplastique avec endommageaient sont ceux précisés
dans ie labieau 4-4).
4-4-1-4. Modélisation
La moitié de la poutre est discrérisée en 9 éléments poutre multifibre et la section courante,
représentée sur l'a figure 4-16, en 212 fibres dont 198 en béton et 14 en acier. Les déplacements
initiaux sont modélisés par les données des coordonnées de la poutre pré-déplacée. Les rotations
initiales infinitésimales autours de l'axe de référence de direction e,° sont prises en compte dans
le calcul des vecteurs de base du repère local de l'élément sous la forme :
Chapitre 4 : Exemples d'applications numériques 215
«i = e.
(5) e2=e2c+eo(x)e1°Ae2°
[e3 =e,Ae2
Cette base est supposée constante pour l'élément. Dans la description îagrangienne
corotationnelle choisie, le repère local de la poutre est le repère de la poutre en rotation propre
(cf. figure 2-9). Dans (5), on prend pour e10,e2°,e3
o les vecteurs de base dans la configuration de
référence de corps rigide (i.e., e,0 = e"¡, i = 1,3). Les vecteurs de bases e¡ sont déterminés à partir
de la procédure semi-tangentieile exposée en annexe 3. La rotation infinitésimale initiale est
ainsi considérée attachée à la configuration de référence de la poutre en mouvement de corps
rigide.
Le chargement est constitué d'une part du poids propre et d'autre part des charges verticales (en
z) appliquées à la fibre supérieure. Du fait de la pré-rotation des sections autours de l'axe de la
poutre, les charges ponctuelles sont modélisées par une force et un moment de torsion appliqués
au centre de gravité de la poutre. Le caractère non-conservatif de ce moment extérieur est
négligé.
Dans les calculs, la poutre est d'abords chargée par le poids propre, puis les forces ponctuelles et
les moments de torsion sont appliqués. Les charges sont incrémentées en 30 incréments.
4-4-2. Comparaisons essais-calculs
4-4-2-1. Exploitation des calculs
Les résultats d'essais donnés sont des courbes charge F appliquée - déplacement transversa! (en
y) de la fibre supérieure {König et Pauli, 1990). Les calculs numériques donnent des résultats
sous forme de déplacements et rotations au centre de gravité de la poutre par rapport à sa
position initiale. Pour comparer les résultats calculs - essais, l'exploitation des résultats de calculs
est effectué par :
(6) v(x,z , t - t 0 ) = v(x,t) + sinœ,(x,t)z -v(x,z1Mp,t0)
216 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
avec v(x, t) et C0j (x, t) le déplacement transversal total et la rotation totale autour de l'axe de
référence au centre de gravité de la poutre. v(x,z ,t0) est le déplacement transversal de la fibre
supérieure dû au chargement de poids propre. zm? est la distance entre le centre de gravité et la
fibre supérieure en z.
4-4-2-2. Résultats
Les courbes obtenues sont comparées aux résultats expérimentaux sur Its figures 4-l7a et figures 4-
17b. Pour chacun des essais, deux calculs numériques on été effectués :
• (i = î,0: Tun en donnant aux poutres une rigidité de torsion égale à la rigidité élastique de
torsion (précisé au paragraphe 2-2-2-5).
• \i - 0,2 : l'autre en imposant une rigidité de torsion égale à 20% de la rigidité de torsion
élastique. Cette réduction affecte les déformations de cisaillement eî revient à introduire un
facteur de réduction dans le calcul des contraintes de cisaillement dues à la torsion.
La comparaison des valeurs de ruine est donnée dans le tableau 4-6.
Le calculs avec la rigidité de torsion élastique donnent une valeur de charge de ruine numérique
supérieure de 21% et 26% à la charge de ruine expérimentale. Si on modifie la rigidité de torsion
en la diminuant à 20% de la rigidité initiale (¡1 = 0,2), ce qui est toujours effectué dans les
calculs courants de dimensionnemem béton armé, les résultats numériques se rapprochent des
résultats expérimentaux, avec des écarts de quelques % sur les charges de ruine et sur les
déplacements transversaux de la fibre supérieure de la poutre. Dans les calculs numériques, alors
que le béton s'endommage rapidement, c'est seulement au dernier incrément que certaines
armatures commencent à se plastifier. Le comportement dissymétrique de la section, accéléré
brutalement par cette plastification, conduit au déversement.
Ce mode de mine fragile a déjà été rencontré dans l'exemple 4-2 de flambement d'un poteau.
Chapitre 4 : Exemples d'applications numériques 217
Figure 4-17'a : Essais No 1.
0 50 100 150
Déplacement transversal [mm]
200
Courbe déplacement transversal de la fibre supérieure au milieu de la poutre - F / F ^ .
(F£? = 190kN)
0 20 40 60 80
Déplacement transversal [mm]
100
Figure 4-17b : Essais No 2.
Courbe déplacement transversal de la fibre supérieure au milieu de la poutre- F/Fmaie.
(F(eîp) = 198kN). v mine " u l " '
218 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
F expérimentale fkN]
F numérique [kN] : u = 1,0
F numérique [kN] : u = 0,2
Essai No 1
190
230
185
Essai No 2
198
250
195
Tableau 4-6 : Comparaisons essais/calculs
4-4-3. Commentaires
Ces applications au déversement mettent en évidence les limites de la modélisation proposée,
(écarts essais/calculs de 25%), notamment pour ce qui concerne la modélisation de la torsion des
poutres en béton armé. Les écarts peuvent avoir deux sources :
• la modélisation du comportement adoucissant et assouplissant par des variables d'écrouissage
et d'endommagement isotrope fonctions seulement de la variation de volume anélastique. La
torsion pure, correspondant à un état de contraintes de cisaillement pur, n'entraîne pas
d'évolutions de l'écrouissage ni de l'endommagement, avec les règles d'écoulement et
d'écrouissage choisies (cf. 1-3-3-3). Mais, l'état de contraintes qui accompagne le
déversement n'est pas un état de contraintes de cisaillement pur, la torsion devient
uniquement prédominante près de la ruine.
• la modélisation de la rigidité de torsion de la section par une approximation, qui n'est valable
que dans le domaine élastique (cf. 2-2-2-5). Cette simplification, issue de l'application de la
théorie des poutres au phénomène complexe de la torsion de poutres en béton armé, nous
apparaît comme la raison principale des difficultés rencontrées dans la modélisation. Mais ce
constat devrait être vérifié par des calculs comparatifs pour d'autres cas de charge de flexion
déviée couplée à la torsion.
L'exemple a été choisi pour mettre en évidence une limite de la modélisation proposée. Par
ailleurs, compte tenu de la complexité du problème traité (non-linéaire en matériau et en
géométrie), les résultats numériques obtenus peut être considérés comme satisfaisants, vu
l'objectif d'un tel calcul pendant la phase de conception d'un ouvrage.
Chapitre 4 : Exemples d'applications numériques 219
4-5. EXEMPLE : POUTRES PRECONTRAINTES
Les deux exemples présentés dans ce paragraphe montrent une application de la formulation
proposée au cas des poutres précontraintes. Ces exemples font partie d'une contribution du
LCPC à un séminaire international sur la modélisation de la précontrainte externe organisé par
l'Association Française pour la construction (AFPC), {Conti ei Tardy, 1993). Deux exemples ont
été traités :
• une poutre isostatique sur deux appuis, de section en plancher à nervures, et d'une portée de
30 m,
# une poutre hyperstatique sur quatre appuis, de section en caisson, des travées de 20 m - 30 m
-20 m.
Chacun des exemples a été traité dans les cas de précontrainte externe et de précontrainte
interne. Ces exemples nous ont permis de tester la modélisation de la précontrainte par
utilisation de degrés de liberté de déplacements relatifs (glissement) sur des exemples industriels
(Ulm et Magnai, dans Conti ei Tardy, 1993). Les résultats obtenus ont été comparés avec des
résultats d'autres participants du séminaire. Il n'existe pas de résultats d'essais.
Ici, quelques résultats de nos calculs sont présentés. On s'intéresse en particulier à l'effet de
l'adhérence à l'échelle de la structure, en comparant les résultats obtenus pour les deux cas
extrêmes : glissement libre (cas de la précontrainte externe) et adhérence parfaite (cas de la
précontrainte interne). De plus, dans le cas de la poutre précontrainte sur deux appuis, nous
comparons les résultats obtenus avec les éléments multifibres pendant la phase de mise en
précontraint à ceux obtenus par une modélisation avec des éléments massifs (en contraintes
planes), où la précontrainte est modélisée par des barres avec des déplacements relatifs. Les lois
de comportement appliquées dans le deux cas sont les mêmes. La différence est ainsi
uniquement due à la modélisation géométrique du béton (fibres ou massifs).
220 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
4-5-1. Données et modélisation
4-5-1-1. Géométrie
La géométrie des deux exemples traités est illustrée figure 4-18 ci figure 4-19. Il s'agit
• d'une part d'une poutre sur deux appuis d'une portée de 30 m avec un tracé tri-linéaire de la
précontrainte (figure 4-18à). La section est une section en plancher à nervures avec un tablier
Oargeur/épaisseur = 10 m/0,2 m) et deux retombées (b/h = 0,6m/i,8m). La figure 4-18b
présente la section courante du milieu de la poutre, la position des aciers actifs (câbles
précontraints) et celle des aciers passifs (armatures longitudinales constantes sur toute la
longueur de la poutre),
• d'autre part d'une poutre sur quatre appuis de travées de 20 m - 30 m - 20 m, où le tracé du
câble est illustré figure 4-l9a. La section est un caisson avec les dimensions et les positions
d'aciers actifs et passifs données en figure 4-19h.
4-5-1-2. Matériaux
Les caractéristiques des matériaux sont issues de courbes O-E uniaxiales pour les différentes
matériaux (béton, acier passif, acier actif), identiques pour les deux cas étudiés. Ces
caractéristiques matérielles sont données dans le tableau 4-7.
Pour le béton, on applique la loi élastoplastique avec endommagement avec les paramètres du
modèle précisés tableau 4-4.
Pour les armatures passives (armatures longitudinales), la loi élastoplastique parfait de type Von-
Mises est utilisée. Pour les armatures actives (câbles de précontrainte), la loi uniaxiale
élastoplastique avec écrouissage précisée au paragraphe 2-3-2-6 est employée.
Chapitre 4 : Exemples d'applications numériques 221
Ire 0,2
4r
2 câbles précontraints
62 a. Poutre précontrainte isostatique
J¿
0,6
1 [Ap=50crrf
0.2 i5=*L~ä =£0,1
3 A,=20crrf
10 4
b. Section au milieu de ia poutre
A : section du câble précontrain
A s : section des aciers passifs
Figure 4-18 : Poulie isostatique AFPC
Q5g2 2 câbles prccontiaints
J J \ 0.25 ^ 0,25 4 -
1.5
0.25 0.25
-?<-
-?<-
10
20 7T~
30 20
0,582 a. Poutre précontrainte
T hyperstatique
4-H^î0 k 10 ~k 10 \ 10 x *-
1,5
0,2
7^ »•"• " ^ r
As.SUD= 30cm2
^
0.2
0.25
^ ^
»- -« Ï y ^ r
V Ap=22,5cnf
JL¡ -J4¿ 2,5
5.0
0,25
*N* A , , ^ 30cm2
/>. Section en caisson
Figure 4-19 : Poutre hyperstatique AFPC
222 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
Matériaux
Caractéristiques (données)
Béton
E 0 = 20000 MPa Gc = 20MPa o t = 2,4MPa
0 ^ 1 , 1 5 0 , * (essai triaxial)*
Acier passif
E = 200000 MPa E t = 0 cy = 40QMPa E = 1 %
Acier actif
E = 190000 MPa E,= 9450 MPa oy = 1575 MPa e =1 93%
Tableau 4-7 : Caractéristiques des matériaux des poutres AFPC (* indique que le valeur est prise par défaut)
4-5-1-3. Maillage
• La poutre isostatique est modélisée en 16 éléments poutre multifibre avec DDL de
glissement. Ces éléments appartiennent à 11 groupes de caractéristiques géométriques
différentes, suivant le tracé du câble. Chaque élément est constitué de 79 fibres dont une en
acier précontraint et deux en acier passif. Le tablier est rnodélisé par 40 fibres de béton et les
retombées par 18 fibres de béton. Pour étudier la modélisation de la mise en tension du
câble, cette poutre a été également modélisée en éléments massifs (contraintes planes) et en
éléments en barres avec DDL glissement. Dans ce cas, le maillage comporte 300 éléments
massifs à 4 noeuds (300 MBQ4) et 33 éléments barres dont 3 avec des DDL de glissement
modélisant le câble précontraint.
• La poutre hyperstatique est modélisée en 36 éléments poutre multifibre avec DDL de
glissement et 21 groupes de caractéristiques géométriques différentes suivant le tracé du
câble. Chaque élément est formé de 85 fibres dont une en acier précontraint et deux en acier
passif. Les tabliers supérieur et inférieur sont modélisés chacun par 30 fibres de béton et les
voiles par 1 î fibres.
4-5-1-4. Chargement
Le chargement comporte deux phases :
• la mise en précontrainte avec activation du poids propre (p = 2500 kg /m3).
• l'application d'une charge ponctuelle F non-symétrique (figure 4-i8a, 4-i9a), incrementé
jusqu'à la ruine.
Chapitre 4 : Exemples d'applications numériques 223
4-5-2. Mise en précontrainte
4-5-2-1. Application de la force de précontrainte (condition aux limites en force)
Les poutres sont mise en précontrainte avec la condition de glissement libre (a = l) Avec la
formulation proposée, la force de précontrainte est appliquée dans les zones d'ancrages. Comme
la direction de glissement est définie suivant l'axe du câble {cf. 2-3-2-4), la direction de la force
appliquée n'est pas à préciser. Aucun effort équivalent n'est calculé (cf. 2-3-2-8). Ici, nous
considérons que la précontrainte est appliquée de manière non-symétrique à une seule extrémité
du câble 3 ( cf. figure 4-18a).
En utilisant la notation du paragraphe 2-3-2-8, les forces de précontrainte appliquées sont des
conditions aux limites en force à l'ancrage (à x=0) telles que :
• pour le cas de la poutre isostatique : Fkl (x = 0) = F^ = 6000 kN par câble
• pour le cas de la poutre hyperstatique: Fkr(x = 0) = Fp£ =3000 kN par câble
Ces valeurs étaient données dans les exemples à traiter. On aurait pu également définir la mise
en tension comme une condition aux limites en déplacement. Dans ce cas, ce déplacement est le
déplacement relatif entre le câble et le béton à l'ancrage, et est en fait mesuré sur le chantier avec
¡es vérins hydrauliques.
4-5-2-2. Résultats
La phase de la mise en tension de la poutre isostatique a été modélisée d'une pan avec des
éléments massifs en contrainte plane (300 MBQ4) et des éléments de barre (30 BB2 +3 BR2),
d'autre part avec les éléments multifibre (16 PMF2). Dans les deux cas la même loi de
comportement triaxiale pour le béton a été utilisée, couplant la plasticité et l'endommagement.
3 Une étude comparative à été effectué pour évaluer l'influence de lieu d'applicauon de la précontrainte (symétrique à deux extrémités, non-symétrique) sur la capacité portante de ces poutres {Ulm et Magnat, 1993). Les résultats montrent que le Heu d'application de la force de précontrainte n'influence peu le comportement à la ruine.
224 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
Dans la première modélisation, les dommages locaux (déformations plastiques) sont concentrés
dans les zones d'ancrage aux deux extrémités {figure 4-20). Ici, les armatures d'ancrage n'ont pas
été modélisées. Ces effets locaux n'apparaissent pas dans la modélisation par poutres multifïbres
: les sections planes sont supposées le rester, ce qui n'est pas le cas dans les zones d'ancrages,
comme le montrent figure 4-2la. Pour ces deux cas, les maillages déformés sont présentés figure
4-21a Ci figure 4-21b.
Maillage
Taille du problème4 :
- NEQ = NDLT - NCLT - Largeur de bande maximum
Résultats à l'ancrage (pî.l) à la fin de la phase de mise en précontrainte : - déplacement horizontal - déplacement vertical - déplacement relatif
Résultats au milieu de la pouîre (pt. 2), fin de la phase de mise en précontraint : - déplacement horizontal - déplacement vertical - déplacement relatif
Modélisation locale
- 300 éléments massifs plans à 4 noeuds (MBQ4)
- 33 éléments barres à 2 noeuds, dont 3 avec DDL de glissement
682 283
6,8 (5,2) mm 0,3 (0,3) mm
-200,3 (-197,0) mm
2,8 (2,8) mm 8,6 (8,9) mm
/
Modélisation semi-globale
- 16 éléments poutre 3D multifibre à 2 noeuds et 14 DDL dont 2 DDL de glissement
64 7
4,3 mm 0 mm
-196,1 mm
2,8 mm 7,3 mm
-98,1 mm
Tableau 4~8 : Comparaison des résultats obtenus pour les deux types de modélisation (les valeurs en parenthèse sont les résultats obtenus dans le cas d'un comportement élastique du béton)
Pour les maillages utilisés on note un rapport d'environ 10 en ce qui concerne le nombre
d'équations (NEQ), et un facteur 40 pour la largeur de bande maximum de la matrice de rigidité.
4 NEQ = nombre d'équations = nombre total de degrés de liberté (NDLT) - nombre de conditions aux limites en déplacement (NCLT).
Chapitre 4 : Exemples d'applications numériques 225
a. zones plastiques concentrées aux ancrages (mise en précontrainte)
b. isovaleurs de déformations plastiques à l'ancrage (détail)
.oc:, f.: 4'.'
'; 0 '< <. < 4 û '"
. 0 0 3 4 3 3 *
. 0 0 3 9 1 P -
. 0043 :0?
Figure 4-20 : Résultats de calcul : apparition du dommage dans les zones d'ancrage (fin de la phase de la mise en précontrainte)
a. Modélisation "locale"
b. Modélisation "semi-globale"
Figure 4-21 : Maillages déformés à la fin de ia mise en précontrainte
226 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
4-5-3. Capacité portante en précontrainte extérieure et intérieure
4-5-3-1. Précontrainte extérieure et intérieure (condition aux limites en glissement)
La mise en tension correspond à la condition de glissement libre (a = 1). La capacité portante
des poutres est ensuite étudiée sous le chargement F ponctuelle appliqué à x=10 m (poutre
isostatique, figure 4-18a) et x=30 m (poutre hyperstatique, figure 4-l9a). Ces charges non-
symétriques sont incrémentées jusqu'à la ruine des structures. La capacité portante des poutres
est étudiée pour les cas de la :
• précontrainte extérieure,
• précontrainte intérieure.
Dans la modélisation proposée, ces deux cas correspondent aux deux cas extrêmes de la
condition aux limites à l'interface câble précontraint - béton {cf. 2-3-2-5) :
• la précontrainte extérieure à la condition du glissement libre (a = 1). Dans l'exemple, tout
frottement au niveau des déviateurs est négligé.
• la précontrainte intérieure à la condition d'adhérence parfaite. Après la mise en tension (en
imposant un glissement et cc = l), lors de l'injection de la gaine, l'adhérence entre câble et
béton devient parfaite (ou presque). Ici, on suppose l'adhérence parfaite, même près de la
ruine de la structure. Dans les calculs, le facteur de glissement a est mis à zéro, et les degrés
de liberté de glissement sont bloqués (méthode de pénalisation).
4-5-3-2. Résultats
Pour chacune des poutres deux calculs ont été effectués. Les résultats obtenus sont données sous
la forme de courbes charge appliquée - flèche au milieu de la poutre figure 4-22 et 4-23. Les
résultats présentés sont ceux obtenus avec les éléments multifibres. La condition aux limites à
l'interface acier - béton a un effet très imponant sur le comportement global de la structure.
Chapitre 4 : Exemples d'applications numériques 227
a.
p O
Li.
-10,00 10,00 30,00 50,00 70,00
Déplacement au milieu de la poutre [mm]
Figure 4-22 : Courbe charge - flèche au milieu de la poutre précontrainte isosiatique AFPC
- Début de la plastification des aciers passifs :
F = 1 9 MN 1 »-extérieure l ' y lyuy
F._:_.i_„,_ = 2,125MN
- Charge ultime
= 2,3 MN (non-convergence) = 3,125 MN (divergence en raison
de la rupture du câble précontraint)
3.00 T
0.00 0,00 25.00 50.00 75.00 100.00 125.00 150,00
Déplacement au milieu de la poutre [mmj
Figure 4-23 : Courbe charge - flèche au milieu de la poutre précontrainte hyperstatique AFPC
- Début de la plastification des aciers passifs :
F „ _ „ . _ = l,2 MN
= 1,25MN
- Charge ultime :
u-eiiéneure
' u—intérieure
= 2,3 MN (non-convergence) > 3,0 MN (arrêt du calcul)
228 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
4-5-4. Commentaires
Les résultats obtenus mettent en évidence le rôle joué par l'adhérence acier-béton à l'échelle de la
structure, en particulier en ce qui concerne son comportement près de la ruine : l'adhérence a un
effet important sur la ductilité de la structure, liée à l'augmentation des forces dans les câbles
précontraints. Dans le cas des poutres en flexion, plus l'adhérence est assurée, plus le
comportement globale est ductile. Ce constat ne s'applique pas d'une façon générale à toute
structure en béton armé ou précontraint (par exemple dans les cas de coques de symétrie de
rotation avec précontrainte circulaire, où un déplacement radial vers l'axe de symétrie peut
conduire à une relaxation des forces dans la précontrainte).
Dans la pratique, le choix du type de précontrainte doit être effectué lors de la conception de
l'ouvrage. L'outil développé peut être une aide à cette conception. Dans l'approche proposée, la
précontrainte est traitée en tant que problème de conditions aux limites à l'interface acier-béton.
Dans le cas de l'étude de l'ancrage d'un tunnel, le problème à traiter sera un problème d'interface
acier-roche.
Enfin, il convient de signaler, que l'hypothèse d'une adhérence parfaite dans les cas de
précontrainte interne même près de la ruine, peut être contestable. A ce niveau de charge, le
dommage conduit à une dégradation progressive de l'adhérence entre acier et béton. Ceci n'est
pas prise en compte dans la modélisation.
Chapitre 4 : Exemples d'applications numériques 229
4-6. EXEMPLE : STRUCTURE 3D A PORTIQUES MULTI-ETAGES SOUS CHARGEMENT SISMIQUE
L'exemple qui suit montre les premiers résultats d'une application des outils développés au cas
d'une structure 3D multi-étagés en béton armé soumise à un chargement sismique. Ce exemple a
été choisi pour faire le point sur l'état de développement actuel de nos outils, ce qui donne
quelques idées qui concernent les développements futurs. En effet, c'est dans le domaine de la
prévention sismique, que les éléments multifïbre ont un intérêt majeur.
La structure étudiée ici est dérivée de la structure ISPRA (figure 4-6). Au paragraphe 4-3, on a
présenté quelques résultats de l'analyse dynamique non-linéaire avec un modèle plan
"équivalent" (structure "ISPRA plane", cf. 4-3-3-1). Le choix de ce modèle équivalent a posé
problème.
En effet, l'analyse modale de la structure élastique tridimensionnelle a donné une première
fréquence propre de 1,7 Hz, tandis que pour tous les modèles plans cette fréquence variait entre
2,3 à 2,5 Hz (Latreche, 1992). Cette différence dans le domaine élastique peut s'expliquer par
• la non régularité de la répartition de la rigidité de la structure, due à la non-symétrie de la
structure dans la direction d'excitation,
• qui est en plus prononcée par le fait que le poteau central n'a pas la même section que les
poteaux de rives (cf. figure 4-6).
Dans l'essai à Ispra, le séisme sera simulé sur un mûr de réaction. Les déplacements imposés à
un étage seront constants, ce qui s'approche du cas plan étudié. Cependant, il reste une
incertitude sur le caractère tridimensionnel de la réponse sous chargement sismique.
Pour étudier l'effet tridimensionnel dû à la non régularité de la répartition de la rigidité de la
structure et - avant tout - pour tester notre outil sur un exemple type industriel, nous présentons
par la suite quelques résultats de l'analyse tridimensionnelle. Pour cette première étude, nous
n'avons modélisé que le système porteur (poutres - poteaux), tout en négligeant les dalles :
structure "ISPRA 3D portiques".
230 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
4-6-1. Structure "ISPRA 3D portiques", modélisation
La structure "ISPRA 3D portiques" étudiée est illustrée figure 4-24. Elle est modélisée en
éléments poutre multifibre.
Le maillage est constitué de 213 noeuds et 252 éléments, qui appartiennent à 33 groupes de
caractéristiques géométriques et matérielles différentes. Les sections des poteaux sont
constituées de 76 à 93 fibres de béton ou d'armature, et les sections des poutres de 58 à 64 fibres,
selon les plans de ferraillage. La masse de dalles est répartie sur chacune des poutres suivant une
descente de charge isostatique.
Les caractéristiques matérielles sont celles précisées au paragraphe 4-3-1-3, les lois de
comportement appliquées pour les différents matériaux sont les mêmes, mais cette fois-ci sous
forme triaxiale.
L'accélérogramme imposé est celui présenté figure 4-12. Sa direction est précisé sur la figure 4-24.
4-6-2. Résultats
Les résultats présentés ont été obtenus sur une durée de 2,9 s avec un pas de temps de 10 ms. Les
courbes de la figure 4-25 représentent le déplacement dans la direction d'excitation en fonction du
temps pour le portique de rive et le portique central. La différence obtenue met en évidence le
caractère tridimensionnel de la réponse de la structure. Ce phénomène est visualisé sur les figures
4-26a et 4-26b, qui présentent les déformées de la structure aux instants t=2,5s et t=2,88s.
Cet effet tridimensionnel, dû à la non régularité de la rigidité des portiques, aura comme
conséquence un cisaillement important dans les dalles de planchers, non modéiisées dans le
calcul présenté.
Chapitre 4 : Exemples d'applications numériques 231
¿^EH:
/ Direction
d'excitation
a. Structure "ÍSPRA 3D portiques" h. Maillage
Figure 4-24 : Structure tridimensionnelle à portiques multi-étagés
u O.OOEtOO
4
t : A i
. . . ,
1 \
à
\
f\ 4\
Wr9
1 rt*i
¡2T
1 i ' •
i ;
cm
' < i ! • : ¡ i
! ! ' ] i
4 , h • P*:
I«1
! !,!
i
1.50
Figure 4-25 : Courbes déplacement en fonction du temps
232 Calculs statiques et dynamiques de structures en béton armé et béton précontraint
IScm
7 Jon
a. Déformée de ia structure à t= 2.5 s
b. Déformée de ia structure à i-2,88s
Figure 4-26 : Visualisation de l'effet tridimensionnel sur les déformées de la structure étudiée
4-6-3. Commentaire
Les résultats présentés ici ne constituent qu'une première tentative de modélisation du
comportement dynamique non-linéaire de structures en béton armé complètes, qui par nature
sont tridimensionnelles. Ce caractère tridimensionei concerne d'une pan la distribution de la
masse, d'autre part celle de la rigidité, qui, quant à elle, varie en fonction des dommages. Une
modélisation avec les ouais numériques proposés ici, ne peut être considéré que comme un
premier pas dans cette direction : rendre compte des effets 3D (masse, rigidité globale, état de
contraintes triaxiales) à l'échelle de la structure soumise à un séisme.
Chapitre 4 : Exemples d'applications numériques 233
4-7. CONCLUSION
Nous avons présenté dans ce chapitre quelques exemples d'application des outils développés.
Leur performance nécessite toujours des améliorations. Dans tout les cas, nous avons tenté de
situer nos développements dans la pratique courante des ingénieurs, c'est à dire de déterminer
leurs domaines d'application et leurs limites (torsion). En particulier, les dommages et les effets
du dommage à l'échelle de la structure ont été précisés. Les outils développés se veulent - avant
tout - une aide au concepteur des ouvrages d'art en béton armé et précontraint.
La gamme d'applications possibles est relativement étendue, bien qu'on se soit limité ici aux
structures constituées de poutres. En particulier, la modélisation de l'adhérence par des degrés de
liberté de type glissement est une voie à poursuivre. L'application de la formulation n'est pas
limitée au problème de l'adhérence acier-béton. On voit par exemple dans le domaine de la
géotechnique du renforcement un domaine d'application intéressant.
Le domaine sismique est le domaine d'application principal de l'outil numérique développé,
l'élément multiflbre. Mais, afin d'aboutir à des analyses dynamiques complètes de structures en
béton armé, une extension de la modélisation type semi-globale aux problèmes de dalles, voiles
et coques est nécessaire. Cela existe dans la littérature, où se trouve un nombre important de
contributions (Hand et al.. 1972; Lin et Scordelis, 1975;...). Les lois de comportement
appliquées pour le béton peuvent rester les mêmes.
(DœrauEi™
CONCLUSION
Ces travaux sont consacrés à l'étude du dommage et de l'effet du dommage (endommageaient) à
l'échelle des structures en béton armé et précontraint sous des chargements statiques, cycliques et
dynamiques. Ces travaux peuvent être classés en deux grandes parties : une première partie
consacrée à la modélisation des non-linéarités en matériau, une seconde ponant sur la
modélisation numérique par éléments finis poutre mulrifibre. Les exemples présentés permettent
de préciser le domaine d'application des développements effectués.
Pour les non-linéarités en matériau, nous avons adapté un modèle élastoplastique au
comportement spécifique du béton, et l'avons étendu d'une manière phénoménologique à un
modèle élastoplastique avec endommagement. A l'échelle de la structure, le dommage est
modélisé par des déformations plastiques (ou permanentes). L'effet du dommage est pris en
compte par une variation des caractéristiques élastiques fonction d'une variable
d'endommagement observable à signification physique claire : la porosité plastique, la variation
volumique irréversible de l'espace poreux connecté. Le couplage plasticité - endommagement a
été effectué en vue de l'application du modèle à l'étude des structures en béton armé sous
chargements cycliques et dynamiques. Ce modèle élastoplastique avec endommagement est
simple, et rend compte de l'essentiel du comportement expérimental du béton à l'aide d'un
nombre réduit de paramètres. Ces paramètres sont accessibles par des expériences habituelles, ou
peuvent être choisis par défaut à partir d'essais de référence.
Mais, utiliser ce modèle continu pour représenter la fissuration des matériaux, qui est un
phénomène discontinu par nature, peut être contestable. Sous la forme présenté, les limites
d'application du modèle sont les limites imposées par l'hypothèse de continuité posée dès le
début : le modèle est applicable tant que la fissuration n'est pas fortement localisée sous la forme
d'une discontinuité macroscopique à l'échelle de la structure. Ces limites mériteraient d'être
étudiées plus en détails pour l'application à l'étude des bandes de localisation. Vues les
applications pratiques envisagées, il nous semble toutefois que cet extension n'est pas la plus
urgente. Il conviendra tout d'abord de concentrer les efforts de recherche sur la prise en compte
des effets d'origine visqueuse comme le fluage, le retrait, mais également les effets visqueux liés
238 Modélisation élastoplastique avec endommagement - Application aux calculs
au mouvement d'eau au front de fissures, pour rendre compte de l'influence de la vitesse de
chargement sur le comportement non-linéaire du béton.
Pour les applications numériques, nous avons utilisé les lois de comportement développées au
sein d'un élément fini particulier, l'élément poutre multifibre, issu de l'extension des approches
multicouches au cas tridimensionnel. Ce développement a été guidé par l'objectif de disposer
d'un outil numérique efficace, qui permet de prendre en compte des phénomènes non-linéaires
tant matériels que géométriques pour l'analyse de structures constituées de poutres sous des
chargement divers avec un temps de calcul raisonnable. Pour cela, l'outil permet d'utiliser les lois
de comportement triaxiales quelconques au sein d'un élément poutre classique. En revanche,
utiliser cet outil consiste à accepter les limites imposées par les hypothèses de la théorie des
poutres. Alors, traiter des problèmes aussi complexe que celui de la torsion de poutres en béton
armé, peut être contestable. Ce point mériterait d'être étudié plus en détails, en particulier en vue
des applications numériques dans le domaine parasismique pour l'étude de structures complètes.
En outre, on a pu montrer quelques extensions de la formulation de l'élément pour prendre en
compte les effets non-linéaires en géométrie, et le cas de la précontrainte en tant que problème
de condition aux limites à l'interface acier-béton.
Il nous semble que ce type de modèle pour traiter les problèmes d'interface peut être une voie
fructueuse de développements futurs. Ici, on n'a montré que l'application au cas de la
précontrainte (interne et externe) avec les éléments multifibres et éléments de barres avec DDL
de glissement. Cette approche nécessite maintenant d'être étendue au cas du dommage à
l'interface, c'est à dire au problème de la dégradation de l'adhérence entre matériaux différents.
Ce problème d'interface se ne pose pas uniquement entre matériaux différents (béton-acier,
roches-acier) : on peut se demander si la modélisation s'applique également à l'interface
constituée par une fissure, en tant que discontinuité macroscopique à l'échelle de la structure.
Les outils développés sont intégrés dans un code de calcul industriel, CESAR-LCPC. Leur
performances vont s'améliorer, en particulier au travers des exigences de la pratique courante des
ingénieurs.
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES
RBI. Références Chapitre 1
Acker P. (1988), Comportement mécanique du béton : apports de l'approche physico-chimique. Rapport de recherche LPC no. 152.
Bazant Z.P. et Kim S.S. (1979), ' Plastic-fracturing theory for concrete', J. of the Engineering Mechanics Division, ASCE, Vol. 105, No. EM3, pp. 407-428 (Errata 1980, EM2, pp. 421)
de Borst R. et Nauta P. (1985), 'Non-orthogonal cracks in a smeared finite element model', Engng. Computations, 2, pp. 155-177.
de Borst R. (1991), 'Computational aspects of failure of reinforced concrete', Colloque Lausanne.
de Borst R., Sluys L.J., Mühlhaus H.-B. et Pamin J. (1993), "Fundamental issues in finite element analysis of localization of deformation', Engineering Computing, vol. 10, pp. 99-121.
Chen A.C.T. et Chen W.F. (1975), 'Constitutive relations for concrete', / . of the Engineering Mechanics Division, ASCE, Vol. 101, No. EM4, pp. 465-481.
Chen W.F. (1982), Plasticity in reinforced concrete, McGraw-Hill Inc.
Chen W.F. et Han DJ. (1988), Plasticity for structural engineers, Springer-Verlag.
Chen W.F., Yamaguchi E. et Zhang H. (1991), 'On the loading criteria in the theory of plasticity', Computers & Structures, Vol. 39, No. 6, pp. 679-683.
Cordebois J.P. (1983), Critères d'instabilité plastique et endommagement ductile en grandes déformations, Thèse de doctorat d'Etat,Université Paris 6
Coussy O. (1991 ), Mécanique des milieux poreux, éd. Technip, Paris.
Dafalias Y.F. (1977), 'D'yushin's postulate and resulting thermodynamic conditions on elasto-plastic coupling', Int. J. Solids Structures, Vol. 13, pp. 239-251.
Dougiil J.W. (1976), 'On stable progressively fracturing solids', Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik, 27, pp.423-437.
242 Analyse statique et dynamique des structures en béton armé
Eberhardsteiner J., Meschke G. et Mang H. (1987), Triaxiales konstitutives Modellieren von Beton, Institut für Festigkeitslehre, Technische Universität Wien, Vienna, Autriche.
Fauchet B. (1991), Analyse poroplastique des barrages en béton et de leurs fondations. Rôle de la pression interstitielle, Thèse de Doctorat, Ecole Nationale des Ponts et Chaussées, Paris.
Frantziskonis G. et Desai C S . (1987a), 'Constitutive model with strain softening', Int. J. Solids Structures, Vol. 23, No. 6, pp. 733-750.
Frantziskonis G. et Desai C.S. (1987b), 'Analysis of a strain softening constitutive model', Int. J. Solids Structures, Vol. 23, No. 6, pp. 751-767.
Frantziskonis G. et Desai C.S. (1987c), "Elastoplastic model with damage for strain softening geomaterials', Acta Mechanica 68 (Springer-Verlag), pp. 151-170.
Gajer G. et Dux P.F. (1990), 'Crack band based model for FEM analysis of concrete structures', J. of Structural Engineering, ASCE, Vol. 116, No. 6, pp. 1696-1714.
Gajer G. et Dux P.F. (1991), 'Simplified nonorthogonal crack model for concrete', / . of Structural Engineering, ASCE, Vol. 117, No. 1, pp. 149-164.
Germain P. (1973), Mécanique des milieux continus, tome 1, théorie générale, ed. Masson, Paris.
Glemberg R., Oldenburg M., Nilsson L. et Samuelsson A. (1986), A general constitutive model for concrete structures', dans : Computational Modelling of Reinforced Concrete Structures - Chapters, (ed E. Hinton et R.Owen), Pineridge Press, Swansea, pp. 84-100.
Halphen B. et Nguyen Q.S (1975), 'Sur les matériaux standards généralisés', Journal de Mécanique, 14, 1, pp. 39-63.
Han D J . et Chen W.F. (1986), 'Strain-space plasticity formulation for hardening-softening materials with elastoplastic coupling', Int. J. Solids Structures, Vol. 22, No. 8, pp. 935-950.
Hillerborg A. (1985), 'Results of three comparative test series for determining the fracture energy Gf of concrete', Materials and structures, RILEM, Vol. 18, No. 107, pp. 407-413.
Ju J.W. (1989), 'On energy based coupled elastoplastic damage theories : constitutive modeling and computational aspects', Int. J. Solids Structures, Vol. 25, No. 7, pp. 803-833.
Jubran J.S. et Cofer W.F. (1991), Ultimate strength analysis of structural components using the continuum damage mechanics approach', Computers & Structures, Vol. 39, No. 6, pp. 741-752.
Références bibliographiques 243
Karsan P, et Jirsa J.O. (1969), 'Behaviour of concrete under compressive loading', J. of Struct. Division, ASCE, Vol. 95, No. ST12, pp. 2543-2563.
Klisinski M. et Mroz Z. (1988), "Description of inelastic deformation and degradation of concrete', Int. J. Solids Structures, Vol. 24, No. 4, pp. 391-416.
Kupfer H., HHsdorf H.K. et Rüsch H. (1969),'Behavior of concrete under biaxial stresses', ACI Journal, 66(8), pp. 656-666.
Labbane M., Saha N.K. et Ting E.G. (1993), 'Yield criterion and loading function for concrete plasticity', Int. J. Solids Structures, Vol. 30, No. 9, pp. 1269-1288.
La Borderie C. (1991), Phénomènes unilatéraux dans un matériau endommageable : modélisation et application à l'analyse de structures en béton, Thèse de Doctorat, Université Paris 6.
Lemaitre J. et Chaboche J.L. (1985, 1988), Mécanique des matériaux solides, éd. Dunod, Paris, 2e édition 1988.
Mazars J. (1984), Application de la mécanique de l'endommagement au comportement non linéaire et à la rupture du béton de structures, Thèse de Doctorat d'Etat, Université Paris 6.
Mizuno E, et Hatanaka S. (1992), 'Compressive Softening model for concrete', J. of Engineering Mechanics, ASCE, Vol. 118, No. 8, pp. 1546-1562.
Nelissen L.J.M. (1972), 'Biaxial testing of normal concrete', Heron (Delft), vol.18, no.l.
Pekau O.A., Zhang Z.X. et Liu G.T. (1992), 'Constitutive model for concrete in strain space', J. of Engineering Mechanics, ASCE, Vol. 118, No. 9, pp. 1907-1927.
Petersson P.E. (1980), 'Fracture energy of concrete : method of determination', Cement and Concrete Research, Vol. 10, No.l, pp. 78-89
Ramtani S. (1990), Contribution à la modélisation du comportement multiaxial du béton endommagé avec description du caractère unilateral, Thèse de doctorat, Université Paris 6.
Rashid Y.R. (1968), 'Analysis of prestressed concrete pressure vessels'. Nuclear Engng. and Design, 7(4), pp. 334-344.
Resende L. (1987), 'A damage mechanics constitutive theory for the inelastic behaviour of concrete', Comp. Meth. Appl. Mech. and Eng., Vol. 60, pp. 57-93.
Rossi P. (1986), Fissuration du béton : du matériau à la structure. Application de la mécanique linéaire de la rupture, Thèse de Doctorat de 1"ENPC, Paris, décembre 1986.
244 Analyse statique et dynamique des structures en béton armé
Rossi P. et Richer S. (1988), 'Stochastic modelling of concrete cracking', dans : Desai CS (ed.) Constitutive Laws for Engineering Materials,
Sinha B.P., Gerstle K.H. et Tulin L.G. (1964), 'Stress-strain-relations for concrete under cyclic looting, Adjournal, 61(2), pp. 195-211.
Yoder P.J. et Iwan W.D. (1981), 'On the formulation of strain space plasticity with multiple loading surfaces', Journal of Applied Mechanics, ASME 48, pp.773-778.
Willam K.J. et Warnke E.P, (1975), 'Constitutive model for thr triaxial behavior of concrete', International Association of Bridge and Structural Engineers, Seminar on Concrete Structures subjected to triaxial stresses, paper III-l, Bergamo, Italy, IABSE Proc. 19.
Wittmann F.H. (1982), 'Structure and fracture mechanics of concrete', ÎTBTP - Séminaire "Mécanique de la rupture", Saint Rémy les Chevreuses, juin 1982.
REFERENCES COMPLEMENTAIRES :
Bazant Z.P. (1983), 'Comment on orthotropic models for concrete and geomaterials', J. of Engineering Mechanics, ASCE, Vol 109, No. 3, pp. 849-865.
Bazant Z.P. et Lin F.-B. (1988), 'Non-local yield limit degradation', Int. j . numer. meth. eng., vol. 26, pp. 1805-1823.
de Borst R. et Mühlhaus H.-B. (1992), 'Gradient-dependent plasticity : formulation and algoritmic aspects', Int. j . numer. meth. eng., vol. 35, pp. 521-539.
Halphen B. et Saïençon J. (1987), Elasw-plasticité, Presses de l'Ecole Nationale des Ponts et Chaussées, Paris.
Ju J.W. (1991), 'Isotropic and anisotropic damage variables in continuum damage mechanics', J. of Engineering Mechanics, ASCE, Vol 116, No. 12, pp. 2764-2770.
Pijaudier-Cabot G. et Bazant Z.P. (1987), 'Nonlocal damage theory', J. of Engineering Mechanics, ASCE, Vol. 113, No. 10, pp. 1512-1533.
Références bibliographiques 245
RB2. Références Chapitre 2
Âktan A.E., Pecknold D.A. et Sozen M.A. (1974), 'R/C column earthquake response in two dimensions', J. Struct. Div., ASCE, Vol. 100, pp. 1999-1041.
Argyris J.H, Dunne P.C. et Scharpf D.W. (1978a), 'On large displacement small strain analysis of structures with rotational degrees of freedom', Comp. meth. appl. mech. and engng., Vol.15, pp. 99-135.
Argyris J.H, Dunne P.C. et Scharpf D.W. (1978b), 'On large displacement small strain analysis of structures with rotational degrees of freedom', Comp. meth. appl. mech. and engng., Vol.14, pp. 401-451.
Argyris J.H. et Symeonidis S. (1981), 'Non linear finite element analysis of elastic systems under non conservative loading. Natural formulation. Part I. Quasistatic problems', Comp. meth. appl. mech. and engng., Vol.26, pp. 75-123.
Argyris J.H. (1982), 'An excursion into large rotations', Comp. meth. appl. mech. and engng., Vol.32, pp. 85-155.
Argyris J.H., Boni, B., Hindenlang, U. et Kleiber M. (1982), "Finite element analysis of two-and three-dimensional elasto-plastic frames - The natural approach', Comp. meth. appl. mech. and engng., Vol.35, pp. 221-248.
Armen H., Pifko A. et Levine H.S. (1968), A finite element method for the plastic bending analysis of structures, Grumman Research Report RE-437J.
Bathe K.J., Ramm E. et Wilson E.D. (1975), "Finite element formulations for large deformation dynamic analysis', Int.j. numer. meth. eng., vol. 9, pp. 353-386.
Bathe K.J. et Bolourchi S. (1979), 'Large displacement analysis of three-dimensional beam structures', Int.j. numer. meth. eng., vol. 14, pp. 961-986.
Beiytschko T., Schwer L. et Klein J. (1977), 'Large displacement, transient analysis of space frames', Int.j. numer. meth. eng., vol 11, pp. 65-84.
Bergan P.G, et Holand I. (1979), 'Nonlinear finite element analysis of concrete structures', Comp. meth. appl. mech. and engng., Vol. 17/18, pp. 443-467.
Billinghurst A., Williams J.R.L., Chen G. et Trahair N.S. (1992), Inelastic uniform torsion of steel members', Computers & Structures, Vol. 42, No. 6, pp. 887-894.
246 Analyse statique et dynamique des structures en béton armé
Blessenohi B. (1992), 'Beitrag zur Berechnung der Schnittgrössen aus Vorspannung auf elektronischen Rechenanlagen', Bauingenieur (RFA), Vol. 67, Springer-Verlag, pp. 167-174.
Cardona A. et Geradin M. (1988), 'A beam finite element non-linear theory with finite rotations', Int.j. numer. meth. eng., vol. 26, pp. 2403-2438.
Cariou D. (1988), Calculs par éléments finis de structures poutres bidimensionnelles et tridimensionnelles en grands déplacements élastoplastiques sous sollicitations dynamiques, Thèse de doctorat, Ecole Nationale des Ponts et Chaussées.
Chen P.F.-S. (1981), Generalized plastic hinge concept for 3D beam-column elements, Ph.D. dissert., University of California, Berkeley.
Chu K.-H. et Rampetsreiter R.H. (1972), T-arge deflection buckling of space frames', J. Struct. Div., ASCE, Vol. 98, pp. 2701-2711.
Clément J.L. (1987), interface acier-béton et comportement des structures en béton armé -caractérisation - modélisation, Thèse de Doctorat, Université Paris 6.
Cocchi G.M. et Cappeilo F. (1993), 'Inelastic analysis of reinforced concrete space frames influenced by axial, torsional and bending interaction', Computers & Structures, Vol 46, No. 1, pp. 83-97.
Conci A. et Gattass M. (1990), 'Natural approach for thin-walled beam-columns with elastic-plasticity', Int.j. numer. meth. eng., vol. 29, pp. 1653-1679.
Conci A, (1992a), 'Large displacement analysis of thin wailed beams with generic open section', Int.j. numer. meth. eng., vol. 33, pp. 2109-2127.
Conci A. (1992b), 'Stiffness matrix for nonlinear analysis of thin-walled frames', / . of Engineering Mechanics, ASCE, Vol. 118, No. 9, pp. 1859-1875.
Connor J.Jr., Logcher R.D. et Chan S.C. (1968), 'Nonlinear analysis of elastic framed structures', J. Struct. Div., ASCE, Vol. 94, pp. 1525-1547.
Coulhon B., Humbert P. et Fezans G. (1983), 'Calcul par éléments finis des ouvrages en béton précontraint', Bull, de liaison des Laboratoires des Ponts et Chaussées, Vol.127, pp. 15-24.
Ditthardt K. (1972), 'Zur Berechnung des ST.Venantschen Drillwiderstandes eines einfach zusammenhängenden geschlossenen Querschnittes', Der Stahlbau 11 (RFA), pp. 345-347.
Dutta A. et White D.W. (1992), 'Large displacement formulation of a three-dimensional beam element with cross-sectional warping', Computers & Structures, Vol. 45, No. 1, pp. 9-24.
Références bibliographiques 247
Elachachi S.M. (1992), Une méthode d'analyse simplifiée des structures de Génie Civil par macro-éléments adaptés aux constructions composites et endommageables, Thèse de Doctorat, Université Paris VI.
Elachachi S.M., Breysse D. et Coison A. (1991), 'Calcul par macro-éléments des structures en béton armé sous sollicitations cycliques', Proc. 2nd Int. Conf. on buildings with load bearing concrete walls in seismic zones, Paris.
Epstein ML, Nixon D. et Murray D.W. (1978), Large displacement inelastic analysis of beam-columns', / . Struct. Div., ASCE, Vol. 104, pp. 841-853.
Fliedner M. (1993), Confinement et reprise de l'effort tranchant dans les éléments multifibres, Mémoire du projet de fin d'études effectué au L.C.P.C, Ecole Nationale des Ponts et Chaussées, Paris, Technische Universität München (RFA).
Fouré B. et Hannachi N. (1992), 'Comportement en "torsion mixte" et flexion des poutres en béton armé à profil ouvert', Annales de l'ITBTP, Série : Béton 294, No. 506, pp. 114-156.
Gadaia M.S., Dokainish M.A. et Oravas G.AE. (1984), "Formulation methods of geometrical and material nonlinearity problems', Int.j. numer. meth. eng., vol. 20, pp. 887-914.
Guggenberger J.M. (1992), Analyse non-linéaire de poutres précontraintes, Mémoire du projet de fin d'études effectué au L.C.P.C, Ecole Nationale des Ponts et Chaussées, Paris, Technische Universität München (RFA).
Hsu T.T.C. et Lo Y.L. (1985), 'Softening of concrete in torsional members - theory and tests', Adjournal, 82(25), pp. 290-303.
Izzuddin B.A. et Einashai A.S. (1993), TEulerian formulation for large-displacement analysis of space frames', / . of Engineering Mechanics, ASCE, Vol. 119, No. 3, pp. 549-569.
Jirousek J., Bouberguig A. et Saygun A. (1979), 'A macro-élément analysis of prestressed curved box-girder bridges', Computers & Structures, Vol. 10, No. 3, pp. 467-482,
Kondoh K., Tanaka K. et Alturi S.N. (1986), 'An explicit expression for the tangent-stiffness of a finitely deformed 3-D beam and its use in the analysis of space frames', Computers & Structures, Vol. 24, No. 2, pp. 253-271.
Kouhia R. (1991), 'On kinematical relations of spatial framed structures', Computers & Structures, Vol. 40, No. 5, pp. 1185-1191.
Kouhia R. et Tuomala M. (1993), 'Static and dynamic analysis of space frames using simple timoshenko type elements', Int.j. numer. meth. eng., vol. 36, pp. i 189-1221.
248 Analyse statique et dynamique des structures en béton armé
La Borderie C , Berthaud Y. et Pijaudier-Cabot G. (1990), Crack closure effects in continuum damage mechanics numerical implementation', Proc. Conference SCI-90, N.Damjanic (ed.), Zell am See, Autriche.
Lamtrault J. et Aï Sulayfani B. (1987), 'Comportement cyclique des poutres en béton armé. Analyse non-linéaire et expérimentation', Annales de l'ÎTBTP, Essais et Mesures, Vol. 210, pp. 107-129.
Leung M.B. et Schnobrich W.C. (1987), 'Reinforced concrete beams subjected to bending and torsion', J. of Structural Engineering, ASCE, Vol. 113, No. 2, pp. 307-321.
Madas P. et Elnashai A.S. (1992), 'A new passive confinement model for the analysis of concrete structures subjected to cyclic and transient dynamic loading', Earthquake engng. and structural dynamics, Voi. 21, pp. 409-431.
Magnat V. (1993), Modélisation de l'adhérence acier-béton dans les éléments multifibre, Mémoire du projet de fin d'études effectué au L.C.P.C, Ecole Nationale des Ponts et Chaussées, Paris,
Malkwitz H. (1970), 'Die Errichting einer innerstädtischen Hochbahnbrücke in Nürnberg', Bauingenieur 45, H.5 (RFA), pp. 172-179.
May I.M. et Al-Shaarbaf I.A.S. (1989), "Elasto-plastic analysis of torsion using a three-dimensional finite element model', Computers & Structures, Vol. 33, No. 3, pp. 667-678.
Mazars J. (ed) et al. (1992), Cooperative Research Program on the seismic responce of reinforced concrete structures, 2nd phase - Interim report, GRECO Géomatériaux (France) -ispra (Italy).
Mestat P. (1993), Lois de comportement des géomatériaux et modélisation par la méthode des éléments finis, Collection : Etudes et recherches des Laboratoires Des Ponts et Chaussées, série Géotechnique GT 52, Paris.
Miüard A. et al. (1991), 'Comportement cyclique et dynamique des structures en béton armé', GRECO Géomatériaux, Rapport Scientifique 1991, Reynouard J.M. (ed.), pp. 413-452.
Oran C. (1973), Tangent stiffness in space frames', i . Struct. Div., ASCE, Vol. 99, No.6, pp. 987-1001.
Papadrakakis M. (1981), 'Post-buckling analysis of spatial structures by vector iteration method', Computers & Structures, Vol. 14, No. 6, pp. 393-402.
Pasquino M. et Marotti de Sciarra F. (1992), 'Buckling of thin-walled beams with open and generically variable section', Computers & Structures, Vol. 44, No. 4, pp. 843-849.
Références bibliographiques 249
Rajasekran S. et Murray D.W. (1973), 'Finite element solutions of inelastic beam equations', J. Struct. Div., ASCE, Vol. 99, pp. 1025-1041.
Ren ton J.D. (1962), 'Stability of space frames by computer analysis', J. Struct. Div., ASCE, Vol. 88, pp. 81-103.
Salençon J. (1988), Mécanique des milieux continus -Tome II : Elasticité - Milieux curvoägnes, Ed. Ellipses, Paris.
Saidi M. (1982), "Hysteresis models for reinforced concrete', J. Struct. Div., ASCE, Vol. 108, No.5, pp.
Sandhu J.S., Stevens K.A. et Da vies G.A.O. (1990), 'A 3D, Co-rotational, curved and twisted beam element', Computers & Structures, Vol. 35, No. 1, pp. 69-79.
Sena L.G. (1969), 'Creep, cracking and shrinkage in concrete frame structures', / . Struct. Div., ASCE, Vol. 95, pp. 2743-2761.
Shi G. et Alturi N. (1988), 'Elasto-plastic large deformation analysis of space frames : a plastic hinge and stress-based explicit derivation of tangent stiffness", Int. j . numer. meth. eng., vol. 26, pp. 589-615.
Ulm F J . et Clément J.L. (1991), 'Calculs non linéaires géométriques et matériels des structures planes BA par éléments finis poutres multicouches. - Applications', GRECO Géomatériaux, Rapport Scientifique 1991, Reynouard J.M. (ed.), pp. 423-430.
Ulm F.J., Clément J.L., Afra H. et Argoul P. (1993), Trequenzverlust und kritische Dämpfung im Bruchzustand : Stahlbetonkonstruktionen unter dynamischen Lasten', Bauingenieur (RFA), Vol. 68, Springer-Verlag, pp. 183-190.
Ulm FJ. et Magnat V. (1993), 'Behaviour of external prestressing in structures using multifiber beam elements', Workshop : Behaviour of external prestressing in structures - Calculation Tests, Conti E. et Tardy R. (éd.), AFPC, Saint-Rémy-Lès-Chevreuse.
Ulm FJ. et Guggenberger J.M. (1993), "3D Nonlinear time-dependent analysis of RC and PC beams', Proc. 5th RILEM Int. Symposium on creep and shrinkage of concrete, Bazant Z.P et Carol I, (éd.), Chapman & Hall, London, pp. 573-578.
Virtanen H, et Mikkola M. (1985), 'Geometrically nonlinear analysis of space frames', Rakenteiden Mekaniikka (Finland), Vol.18, No.3, pp. 82-97.
Vlassov B.Z. (1962), Pièces longues en voiles minces, 2ième édition Moscou 1959, traduite par Smirnoff G., Ed. Eyrolles, Paris.
250 Analyse statique et dynamique des structures en béton armé
Wunderlich W., Obrecht H. et Schroetter V. (1986), 'Nonlinear analysis and elastic-plastic load-carrying behaviour of thin-walled spatial beam structures with warping constraints', Int. j . numer. meth. eng., vol. 22, pp. 671-695.
Yang Y-B. et McGuire W. (1986a), 'Stiffness matrix for geometric nonlinear analysis', J. of Structural Engineering, ASCE, Vol. 112, No. 4, pp. 853-877.
Yang Y-B. et McGuire W. (1986b), 'Joint rotation and geometric nonlinear analysis', J. of Structural Engineering, ASCE, Vol. 112, No. 4, pp. 879-905.
Zeris CA. et Ma hin S.A. (1991a), 'Behaviour of reinforced concrete structures subjected to uniaxial excitation1, / . of Structural Engineering, ASCE, Vol. 117, No. 9, pp. 2640-2656.
Zeris CA. et Mahin S.A. (1991b), 'Behaviour of reinforced concrete structures subjected to biaxial excitation', J. of Structural Engineering, ASCE, Vol. 117, No. 9, pp. 2657-2673.
RB3. References Chapitre 3
Bathe K.J. (1982), Finite element procedures in engineering analysis, Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, New Jersey.
de Borst R., Sluys L.J., Mühlhaus H.-B. et Pamin J. (1993), 'Fundamental issues in finite element analysis of localization of deformation', Engineering Computing, vol. 10, pp. 99-121.
Humbert P. (1989), 'Un code général de calculs par éléments finis', Bulletin de liaison des Laboratoires des Ponts et Chaussées, 160, pp. 112-116.
Mestat P. (1992), Programmation des lois de comportement mécanique dans le code de calcul par éléments finis CESAR-LCPC, Rapport interne de LCPC, 44 pages.
Mestat P. (1993), Lois de comportement des géomatériaux et modélisation par la méthode des éléments finis, Collection : Etudes et recherches des Laboratoires Des Ponts et Chaussées, série Géotechnique GT 52, Paris.
Yang Y.B. (1993), 'Major considerations on postbuckling analysis of space structures', dans : Topping B.H.V (ed.) Developments in structural engineering, Civil-Comp Press, 1993, pp. 307-312.
Références bibliographiques 251
RB4. Références Chapitre 4
Bard P.Y, Afra H. et Argoul P. (1992), Dynamic behaviour of buildings : experimental results from strong motion data', dans : Recent Advances in Earthquake Engineering and Structural Dynamics, éd. Ouest, Presses Académiques, Paris.
Bertero V.V. et McClure G. (1964), 'Behaviour of reinforced concrete frames subjected to repeated reversible loads', Journal of the American Concrete Institute, Vol.61, No, 10, pp. 1305-1330.
Carvalho et al. (1992), Cooperative Research on the seismic response of reinforces concrete structures, Commision contractual research activities in the area of the response of civil engineering structures to severe eartquake loading - Interim report, Lissbon (Portugal).
Conti E. et Tardy R. (Ed.) (1993), Behaviour of external prestressing in structures. Calculation tests. International Workshop d'AFPC, juin 9-12, 1993, St. Rèmy-lès-Chevreuse.
Del Toro Rivera R. (1988), Comportement des noeuds d'ossature en béton armé sous sollicitations alternées, Thèse de Doctorat dENPC, Paris.
EUROCODE 8 (1988), Structures in seismic regions - design. Commission of the European Communitien, May 1988.
Fouré B. et Virlogeux M. (1978), l^e flambement des poteaux compte tenu du fluage du béton', Annls. de H.T.B.T.P., no. 359, Mars 1978.
Hand F.R., Pecknold D.A. et Schnobrich W.C. (1973), 'Nonlinear layered analysis of RC plates ans shells', Journal of the Structural Division, ASCE, Vol.99, No.ST7, pp. 1491-1505.
Hölzer S., Somers A., Bradshaw J. (1979), 'Finite response of inelastic RC structures', Journal of the Structural Division, ASCE, Vol. 105, No.STl, pp. 17-33.
lemura H. et Jennings P.C. (1974), Hysteretic response of a nine floor reinforced concrete building'. Earthquake engineering and structural design, Vol.3, pp. 183-201.
König G. et Pauli W. (1990), 'Ergebnisse von sechs Kippversuchen an schlanken Fertigteilträgern aus Stahlbeton uns Spannbeton', Beton und Stahlbetonbau, 85, H.10, pp.253-258.
Latreche A. (1992), Analyse dynamique et statique équivalente des structures de génie civil, Mémoire du stage de D.E.A. effectué au L.C.P.C, ENS Cachan - Univ. Pierre et Marie Curie, Paris.
252 Analyse statique et dynamique des structures en béton armé
Lin C.S. eî Scordelis A.C. (1975), 'Nonlinear analysis of RC shells of general form', Journal of the Structural Division, ASCE, Vol.101, No.ST3, pp. 523-538.
Mazare J. (ed) et al. (1992), Cooperative Research Program on the seismic responce of reinforced concrete structures, 2nd phase - Interim report, GRECO Géomatériaux (France) -Ispra (Italy).
Ulm F J . et Magnat V. (1993), 'Behaviour of external prestressing in structures using multifiber beam elements', Workshop : Behaviour of external prestressing in structures - Calculation Tests, Conti E. et Tardy R. (éd.), AFPC, Saint-Rémy-Lès-Chevreuse.
âMNï
ANNEXE 1 : CRITERES DE WILLAM-WARNKE
Les expressions nécessaires à l'intégration dans un code de calcul du modèle éiastoplastique de
Willam-Warnke présenté au chapitre 1 sont précisés ici. il s'agit
• de l'expression analytique du coefficient de frottement / (0 ) fonction de l'angle de Lode 8,
• des dérivées des invariants du tenseur de contraintes,
• du système de quatre équations non-linéaires à résoudre pour déterminer les paramètres du
modèle de Willam-Warnke modifié.
Al-1. Expression explicite du critère
On rappelle les expressions des critères de Willam-Warnke à 3 paramètres,
(1) f(G) = T + /(6)(G-po) OU f(0,Z)=T + /(6)(0-Zp0)
et à 4 paramètres,
(2) f(G,pc r) = t + / f e j f G - p o + - ^ - ( G - p o ) 2 ) 2PCT
où (O~,T,6) sont des invariants du tenseur de contraintes <J, définis par
(3)
o = trCF/3
2 G , - G , - G , c o s o - — -I ~2
VÎ2T
avec (o1,o2,<32) ses valeurs principales, ordonnées suivant ol>o2>G3. Le coefficient de
frottement / varie en fonction de l'angle de Lode 9 entre deux extrêmes :
fc = / (60°) coefficient de frottement sur le méridien de compression
ft = / (0° ) coefficient de frottement sur le méridien de traction
256 Béton de structure : modélisation élastoplastique, applications aux calculs
L'expression analytique de / (9) est (cf. Chen, 1988, Fauchet, 1991)
(4) / (8) = — avec: < w
" = 2 / c ( / £2 - / l
2 )cose
v = / e (2 / t - / c)V 4( /c 2 -X2)cos2 6 + 5/ t2 - 4 / c / t
w=4(/c2-/;2)cos2e+(/c-2/ ()
2
Al-2. Expression de la dérivée du critère par rapport a 0
Pour calculer la projection d'un état de contraintes sur la surface de charge, il est nécessaire de
déterminer les expressions df ¡do et dg/tkj. Dans le cas du critère de Willam-Wamke à 3
paramètres, on a :
5 _ = _ _ + / ( e ) — - + ( G - Z p J - 4 £ r ™ -dG dG dû 98 dö
où 2 = 1 dans le cas élastoplastique parfait. Pour le critère de Willam-Warnke modifié, on a :
3f dx f(Q){ ^da , 1 ,2sdf(d)dQ {6> to=^+77(CT+p"-pJ3?+<t!-p"+^(0-p-,)V^
Les dérivées des invariants (o,x,0) du tenseur de contraintes s'écrivent :
3<j~ 3
¡ 3x s (7) i —— = — avec : S = G - a l
3ö 2x
ae i
da 2VÏ2Vsme
avec A le tenseur de trace nul donné par :
(8) A = (2al - G2 - G 3 ) s - 2 x 2 ( 2 u j ® u¡ ~u2 ® u2 - u 3 ® u3)
U] ,u2 etu3 sont les trois vecteurs propres unitaires associés aux valeurs propres G^GJ et a
Annexe 1 : critère de WMam-Warnke 257
La dérivation de l'expression (4) de / (0) par rapport à l'angle de Lode 6 donne
(9) ^ = _ ^ L _ s i n e dB 8(cos0)
où
(10) df (u'+v')~(u + v)w'
8(cos0) w avec :
u' = 2fM2~Á2)
V
w' = 8( / c2 - / t
2 )cose
On a alors
(11) y w = df i A
do a(cos6)2VÜ2x3
Al-3. Paramètres du modèle de Willam-Warnke modifié
Pour le critère de Willam-Warnke modifié, 4 résultats d'essais sont nécessaires pour déterminer les quatre paramètres fe,ft,po et p^. p^ est la valeur de référence de pCT définissant la limite
d'élasticité initiale du matériau. Ces résultats d'essais correspondent à des états de contraintes
situés sur les méridiens de compression (0 = 60°) et de traction (0 = 0°) :
(12) \ V CT, > G2 = G3 , 0 = 0 e
l V o , = a 2 > o 3 , 0 = 60°
Parmi les résultats d'essais disponibles, il est possible d'utiliser les résistances en compression
simple oc (0 = 60°), en traction simple a, (0 = 0°), en compression biaxiale o^ (0 = 0°), et un
résultat d'essai triaxial sous forme des contraintes principales G",G¿*,G" à la ruine (0 = 60° ou
0 = 0°).
L'utilisation de ces résultats dans (2) conduit au système d'équations non-linéaires suivant :
258 Béwn de structure : modélisation élastoplastique, applications aux calculs
O 1 • en compression simple : (13a) -¡= + fc(-%®c-po+—j-(-jGc-po)) = 0
V3 2pe or G, . „ , , _ . 1 , , _ , 2 , • en traction simple : (13b) - 7 » + / t ( i o l - p o + - - r ( | a t - p o r ) = 0 v3 2pCT
o 1 • en compression biaxiale: (13c) - ^ • + / , ( — i o b c - p 0 + ~ - - ( - ^ O b c - p o ) 2 ) = 0
V3 2pCT
1 2
• essai triaxial : (13d) x I l i l x_ I 1+/c > l(oB i l x^1-p0+-- r(aB i l I_u-p0) ) = 0 2 Per
En l'absence de résultats d'essais triaxiaux particuliers, on utilisera par défaut les valeurs
suivantes (d'après Chen et Han, 1988) :
ÍT =2 4 4 7 3 G
^ m a i _ a = - 3 , 9 0 c
e = o°, / = /,
Un schéma itératif de type Newton permet la détermination des inconnues / c , / t , p 0 et p°r à partir
des équations (13). Pours valeurs initiales, on prendra les valeurs du critère de Willam-Wamke à
3 paramètres, qui peut se mettre sous la forme explicite suivante:
( a t +2o t a )
P„ = ol(V3+/t)/3y; V3oe
(14)
/ . = 3p0
et comme valeur initiale de p^ la valeur p°r = 2oc . Cette procédure itérative converge assez
rapidement, car les valeurs données par les relations (14) sont toujours très proches de celles
obtenues à la fin des itérations. Ce schéma itératif est intégré dans le programme (lecture des
données), afin de ne pas obliger l'utilisateur à déterminer ces paramètres manuellement.
Annexe 2 : élément fini poutre multifibre 259
ANNEXE 2 : ELEMENT POUTRE MULTIFIBRE
Les expressions nécessaires pour l'intégration dans un code de calcul de l'élément poutre multifibre présenté au chapitre 2 sont précisées ici. D s'agit
• de l'expression des fonctions d'interpolation du champ de déplacement discrétisé sans et avec
déplacements relatifs, • de l'expression des matrices [Bb] et [Br] des dérivées des fonctions d'interpolation de
l'élément à 12+2=14 degrés de liberté avec déplacements relatifs (cf. 2-2-3-2 et 2-3-2-4), • des expressions de la matrice de rigidité pour l'élément à 14 DDL (cf. 2-3-2-8).
A2-1. Champ de déplacement discrétisé
L'expression du vecteur de déplacement de la fibre k est :
où ^bk est le vecteur de déplacement de la fibre k repérée par le vecteur de position PQ de
composantes (0,x2k ,x3k ) dans le repère local de l'élément de vecteur de base e¡ (i = 1,3). Q est le
centre de gravité de la fibre k, et P sa projection sur Taxe de référence de l'élément. D'après les
hypothèses posées, issues de la théorie des poutres (Navier-Bernoulli, etc.), on a :
(2) Çbk = ^ ¿L dû)}
i^dXj dx, k+a^AiPQ-PT)
avec les composantes :
(3)
à& - x Slbk Sb lc - e i ~~S i X2k , j . . , ,
dx¡ dXj dx,
t<2bk = Sbk - € 2 = S2 ~ (X3k ~ X3i )®l
Hs3bk ~ S b k " e 3 = S3 + (X2k ~ X 2 i ) C Ô l
d%\ d(û\ + . A x 2 k X 3 k
260 Béton de structure : modélisation élastoplastique, applications aux calculs
Dans (1), £A esî le vecteur des déplacement relatifs de la fibre k (relatif par rapport aux
déplacements de la poutre, donnés par (2)). On suppose que ^ A est toujours dirigé suivant la
tangente t de l'abscisse curviligne s(x, ) de la fibre :
(4) ^ r t = ^ ( s ) t
où :
(5) t = e i . + JC2k 'e22
+Jg3k| '2
C3=t ie i avec:,()' = d()/dx5
•Jl + x2i' +x2i'
Le vecteur des déplacements ^bk est le vecteur des déplacements classiques d'une poutre
tridimensionnelle. Utiliser un élément fini poutre 3D à 2 noeud (A,B) conduit à discrétiser ce
vecteur en 12 degrés de liberté (6 à chaque nœud) :
(6) {dyfe^ULX,û>2l,û>3l,0} i=A,B
par l'intermédiaire des fonctions d'interpolation pour un schéma d'intégration de type Gauss à
deux points :
k i = N 1 ( r ) ^ + N 2 ( r ) ^ + N3(r)0)3A+N4(r)<03B
| Ç3 = N, (r)^A + N2 (r)^B + N3 (r) û)2A + N4 (r)û)2B
K = (¥KA+(¥)O);B
avec r = 2x¡ / £ -1, r e [-1,1] et :
N,(r) = 0,5-0,75r+0,25r3
N,(r) = 0,5 + 0,75r-0,25r3
(8) 1 N3(r) = 0 ,125^( l - r - r 2 +r 3 ) N4(r) = 0,125^ ( - l - r + r 2 +r 3 )
Annexe 2 : élément fini poutre multifibre 261
Le vecteur ^ est défini selon l'abscisse curviligne s(Xj). Dans l'élément à deux noeuds, on
utilise des degrés de liberté supplémentaires :
(9) fër}. ='{0,0,0,0,0,0,^} i=A,B
avec une interpolation linéaire en s telle que :
(10) C l k=( J?fe I k A+( 1f)4« avec: re [ - l , l ]
où r - 2s / 1 -1, et 1 la longueur de la fibre inclinée.
L'élément multifibre avec degrés de liberté de glissement comporte ainsi 12+2=14 DDL, et le
vecteur des paramètres de déplacements et rotations nodaux s'écrit :
ai) feHeMd
avec {^bj le vecteur des paramètres nodaux de déplacements et rotations "classiques" d'un
élément de poutre (donné par (6)), et |^ r) le vecteur des paramètres nodaux de déplacements
relatifs (donné par (9)). Les composantes de ces deux vecteurs ne sont pas définies dans la même base vectorielle : les composantes de {^bjsont définies dans la base de la poutre (e;,i = l,3),
tandis que les composantes de \c?} sont définies dans la base de la fibre inclinée (t,n, b).
A2-2. Matrice des dérivées des fonctions d'interpolation
On donne ici les expressions des matrices des dérivées des fonctions d'interpolation de l'élément multifibre.
L'expression du tenseur de déformations linéarisé est :
U-") £(k) = £(k) +£(k)
262 Béton de structure : modélisation élastoplastique, applications aux calculs
où £(bk) est le tenseur des déformations dans la fibre k, qui se dérive à partir du champ de
déplacement (2) issu de la théorie des poutres. £(rk) est le tenseur de déformations qui se dérive à
partir du champ de déplacement de glissement (4).
On rapelle que le tenseur £bk) dérivé à partir de (2), n'a que des trois composantes eu,2e12,2e i3 :
' e b = d5L_f££ dx, dXj
f.PQ
(13) < |2e1 2b=-^M(A-l)x3+x3 t)
dxj
2 £ > = M ( ( A + l)x2-x2l) dx.
A2-2-1. Matrice [B] standard
Pour l'élément à 12 DDL (formulation standard, cf. 2-2-3-2), ou pour des fibres avec adhérence parfaite, où £(
rk) = 0 et £(k. = £(
bk), on écrit sous forme vectorielle :
(14) {e}4=[B] tte} où: {de},=t{de1n2de12,2den}i
où {t} est les vecteurs des 12 paramètres nodaux de l'élément poutre choisi. L'utilisation de la
discrétisation (7) avec les fonctions d'interpolation (8) dans (13), conduit à la matrice [3,12] des dérivées de fonctions d'interpolation [B]k suivante :
Annexe 2 : élément fini poutre multifibre 263
(15) M 4
-1
- 6 ^ r
-6-^-r
0
*3 k(3r-l) -x2k(3r~l)
1
6^-r
6 ^ r
0
x3J.(3r + l)
-x2k(3r + l)
0
0
0
—(A —l)x3k — x3l
0
0
0
0
0
(A-l)x3 k+x3 l
0
0
0
0
0
-(A + l)x2i+x2l
0
0
0
0
0
( A + l/Xjk ~ X2l
0
0
Pour le calcul du vecteur des efforts intérieurs et le calcul de la matrice de rigidité, l'intégration s'effectuera aux deux points de Gauss définis par r = ±1/ V3.
A2-2-L Matrice [B] pour le cas du glissement
Pour une fibre avec glissement, on écrit les six composantes (en,e22,e33,2e12,2£I3,2e23) du
tenseur de déformations linéarisé sous forme vectorielle dans la base de la poutre (e¿, i = 1,3) :
(16) {e}k=[[BV[B']Jfö
avec {%} le vecteur de 14 DDL donné par (14).
La matrice [Bb]t est la matrice [B]k des dérivées des fonctions d'interpolation (15) de l'élément
poutre, écrit sous forme d'une matrice [6,14]. La matrice [Br] est définie par :
( 1 7 ) [B'L ={t¡tj}^¡-l(N(s)} avec : { t ^ f t t , , t 2 t 2 , 1 3 ^ , ^ , 1 , 1 3 , ^ }
Les composantes du vecteur { t^ j sont à calculer à partir de (5). Dans (17), {N(s)} est le
vecteur des fonctions d'interpolation en s, écrit à partir de (10) sous la forme :
264 Béton de structure : modélisation élastoplastique, applications aux calculs
(18) {N(s)]=,{O,0,0,O,O,O,-»f ,0,0,0,0,0,0,^}
avec r = 2s / i -1.
A2-3. Matrice de rigidité de l'élément multifibre à 14 DDL
La contribution de la fibre k inclinée à la matrice de rigidité tangente de l'élément multifibre a été écrite en prenant en compte des glissements et des frottements sous la forme (cf. 2-3-2-8) :
(19) [K] = [Kbb] + a([Kbl]+[Krt])+a2([KIT] + [Krf]) + a[Kbf]
• La matrice [Kbb] est la contribution de la fibre inclinée à la matrice de l'élément poutre à 12
DDL, c'est à dire celle de l'élément "standard". Elle se détermine à partir de :
(20) [Kbb] = J / '[Bb]k[C^¡Bb]kakt Idx1
avec aktj la section de la fibre inclinée orientée par e,, et ak la section orientée par t . En notant E(t) le module tangent de la courbe o - e uniaxiale, précisé au paragraphe 2-3-2-6, la
matrice [C*] s'écrit:
(21) [Cep] = E ( l ){t it J}t{t itJ
Lors de l'assemblage de la matrice globale (maillage, changement de repère), la matrice [Kbb] est transférée de manière habituelle (2 rotations).
• [K^jetfK*] représentent les termes matriciels de couplage entre le champ de déplacement
de glissement (indice r=relatif) et celui de la poutre (indice b=bemoulîi). Ils se déterminent à partir de :
(22) [Kbr] = j;[Bb]JC-][B^]kakt1dx1 et: [K-] = j;[Br]k[C-][Bb]kakt1dxi
Annexe 2 : élément fini poutre multifibre 265
Lors de l'assemblage de la matrice globale (changement de repère), en raison de la définition des DDL de déplacements relatifs, une seule rotation est à effectuer. Notant [R] la matrice de rotation de changement de repère (repère local - repère global), on a :
(23) [Kbrpk= l[R][Kbr] et: [K*fW , = [K*jR]
• ÍKn] est la matrice de rigidité "du glissement libre". Elle s'écrit :
(24) [K-] = j;[B']k[C^lBr]kt1akdx1 = ¿ ^ { N ^ E ^ ' l N i s ) } ^
On remarque sous cette forme que les composantes de la matrice [ K H ] sont définies en
fonction de l'abscisse curviligne s. Par conséquent, elles ne sont pas à transférer dans le
repère global lors de l'assemblage de la matrice de rigidité totale.
• [Krf] est la matrice de rigidité due au couplage glissement - frottement. Comme la matrice
[Ka], ces composantes sont définies en fonction de l'abscisse curviligne s :
(25) [Krf] = Jft ^{N(s)}JE ( l ){N(s)}ds
où ft = - sgn(^ ) tan q> ak / R.
• [Kbf] est la matrice de rigidité due au couplage entre déplacements de la poutre et effets du
frottement. Cette matrice est non-symétrique. Ici, nous la négligeons.
Le schéma de la figure A2-1 donne une illustration de ces composantes de la matrice de rigidité (19).
266 Béton de structure : modélisation élastoplastique, applications aux calculs
14
14
1 [Kb1
I [Kbb] [K*l
i= i
[K17] + [K*]
[Kbr]
[K*]
Figure A2-1 : Schéma de la structure de la matrice de rigidité élémentaire de l'élément à 14 DDL.
Annexe 3 : Rotations semi-tangentielles 267
ANNEXE 3 : ROTATIONS SEMI-TANGENTIELLES
On expose ici le traitement semi-tangentiel des paramètres de rotations des poutres en grands déplacements. Dans la description lagrangienne corotationnelle choisie, cette procédure permet le passage du repère fixe de vecteurs de base E¡,i = 1,3 au repère de référence de la poutre en mouvement de corps rigide, de vecteurs de base ëj5i = 1,3 {cf. figure A3-1). La procédure utilisée est celle proposée par Cariou (1988).
Figure A3-1 : Rappel de la description lagrangienne corotationnelle.
A3-1. Rotations infinitésimales et rotations finies
Le traitement des paramètres de rotations joue un rôle important dans l'analyse non-linéaire géométrique de poutres tridimensionnelles. La difficulté majeure du problème à traiter réside dans le fait que les rotations tridimensionnelles finies autour d'axes fixes ou mobiles ne constituent pas une quantité vectorielle. La composition de rotations successives ne peut plus être appliquée sans que le résultat ne dépende de l'ordre dans lequel les opérations ont été effectuées. Ce problème est amplement traité en références (Argyris et al., 1978; Argyris, 1982; Kondoh et ai, 1986, Cardona et Geradin, 1988; Shi et Ahuri, 1988; Cariou, 1988,...).
268 Béton de structure : modélisation élastoplasnque, applications aux calculs
Rappelons d'abord l'approximation effectuée en analyse linéaire des poutres. E¡ (i = 1,3) sont les
directions des axes de la poutre dans la configuration initiale (de référence). Après déformations,
ces axes sont orientés par les vecteurs de base e¿ (i = 1,3). Avec CO le vecteur de rotations des
composantes (Ü)¡,CO2,CU3) autour des axes de la poutre, en rotation infinitésimales, on a :
(1) e i =E i +(OAE i +. . .
Cette linéarisation est à la base du champ de déplacement de Bernoulli, précisé au paragraphe
2-2-2-3.
En analyse non-linéaire (grands déplacements), la non-commutativité des rotations finies ne
permet pas une décomposition linéaire de la forme (1). Les relations (1) deviennent :
(2) e i =R.E ¡
où R est l'opérateur linéaire de rotation entre les configurations initiale et actuelle déformée,
vérifiant la propriété d'orthogonalité. R est fonction de trois paramètres de rotations décrivant la
rotation. Il en existe de variés : angles d"Euler, vecteur de rotation, pseudo-vecteur de rotation,...
(cf. Cardona etGeradin, 1988).
A3-2. Rotations semi-tangentielles
Ici, un paramétrage en pseudo-vecteurs de rotations (ou paramètres de Rodrigues) a été choisi :
les rotations semi-tangentielles, définies initialement par Argyris (1978, 1982). En particulier, on
utilise la procédure proposée par Cariou (1988), rappelée brièvement dans la suite.
L'équation (2) décrit le passage entre la configuration initiale et la configuration actuelle {figure
A3-1). L'opérateur R est fonction des rotations totales (mouvement rigidifiant + déformation). Notons Q le vecteur des rotations totales de composantes (fí,,£22,Q3) autour des axes fixes de
base E ; , i = 1,3. Avec un paramétrage semi-tangentiel des rotations, on a :
<3> R = 1 + ï d W ( E + î r )
Annexe 3 : Rotations semi-tangentielles 269
où Q ' est le "pseudo-vecteur de rotation", défini par
O (4) n ' = tan(||Q||/2)i™ avec: |U | = 1/Q l2+i23
2+ß32
On note n =Î2/|£2| le vecteur unitaire de la rotation Q'- tan(jjQ|/2). Le pseudo-vecteur de
rotation Qf s'interprète comme le vecteur des rotations autour d'un axe mobile n. L'équation (4) peut également s'écrire sous la forme :
(5) ß ' = t an^-E .+ tan^-E 2 +tan^-E 3 =Q E¡ 2 ' 2 2 2 3 ' *
Dans (3), ß ' est le tenseur antisymétrique fonction des composantes cartésiennes Q[,£22,Q. du
pseudo-vecteur de rotation ß ' . Sous une forme matricielle il s'écrit :
(6) a = 0 -tan(Q3/2) tan(Û2/2)'
tan(a3/2) 0 -tan(û,/2)
-tan(Q2/2) tan(û,/2) 0
Le pseudo-vecteur de rotation ß ' a une propriété importante : la commutativité.
Considérons l'application successive des deux pseudo-vecteurs de rotations ß 0 ' et G)'. En
particulier, on note ß 0 ' le pseudo-vecteur de rotation de corps rigide et ©' le pseudo-vecteur de
rotation qui entraîne des déformations ("rotation de distorsion", description lagrangienne
corotationneîle). Le vecteur pseudo-vecteur de la rotation totale (corps rigide + déformation)
s'écrit (cf. Cariou, 1988) :
(7) £ ,"ír¿ ¡ r^ ,-Mtf]
Avec l'hypothèse de petites déformations, le vecteur 0)' est un vecteur dont la norme est faible devant l'unité. L'expression (7) se simplifie sous la forme :
(8) Û ,»[i^ ,+©']
270 Béton de structure : modélisation élastoplastique, applications aux calculs
Utilisant la définition (5), on a
, (û, _ Û>T _ û), _ (9) © =tan—e,+tan—2-e,+tan—^-e,
2 2 2
où CÛ],CÛ2,ÎÛ3 sont des rotations autours des axes de direction e¡,i = 1,3 dans la configuration de
référence du mouvement de corps rigide, qui provoquent des déformations (rotations de
distorsion). Elles se déterminent à partir de :
(10) t an—= a>.e¡
Notant ëj l'orientation de la section dans la configuration de référence et e, l'orientation de la
section dans la configuration actuelle {cf. figure A3-1) le pseudo-vecteur de rotation û)' est
perpendiculaire en e1 et en ëj (Cariou, 1988), donc perpendiculaire au plan défini par la
normale:
(11) n = „ l J., F i A e ! Í
Utilisant (11) dans (4), on a :
(12) £û, = - t an (S iû f i / 2 ) l i ^^
P- A e i S
avec la relation trigonométrique suivante
(13) t a n ö L l z £ * | = r a : 2 \ l + COs||a>|| V1 + e r« i
on obtient l'expression (12) de iû' uniquement en fonction des directions e¡ et e, des axes de
référence de la poutre de la configuration de référence et de la configuration actuelle :
(14) û>' = - P e''- „ - A e ' , i
Annexe 3 : Rotations semi-tangentielles 271
Le vecteur de base e, est donné par l'expression (2) avec (3), où l'opérateur R est fonction des
rotations totales connues (corps rigide + déformation), calculées à l'instant t dans le repère global. Pour un élément de poutre rectiligne, le vecteur ê, représente la direction de l'axe de référence après mouvement de corps rigide. ëx s'exprime dans la base vectorielle E¡,i = l,3 à
partir de la donnée de la translation de deux points de l'axe de référence. D'un point de vue pratique, ëj se détermine à partir des données dans le repère global des degrés de liberté de
translation de deux noeuds successifs.
Avec les composantes connues de Cû', le pseudo-vecteur des rotations du mouvement de corps rigide se détermine à partir de (8) :
(15) Q = &'-&' = Cl'+ Z1"6''!1 „flAeV "yi + Cj-Cj jjë, Aejjj
Enfin, utilisant (15) dans (3), les vecteur de base e¡,i = l,3 appartenant à la configuration de
référence du corps rigide sont déterminées par :
(16) éi = R.E¡ avec: R = R(Qo)
ce qui conduit à :
(17) taiA = -E=E!E A ^ . R ( Q .).Ei
coi(i = l,3) sont les rotations autour des axes de directions ë4, i = 15 3 de la configuration de
référence. Ces rotations provoquent des déformations (rotations de distorsion).
272 Béton de structure : modélisation élastoplastique, applications aux calculs