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Modellazione dei processi produttivi1/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Modellazione dei processi produttivi
Sistemi DESReti di Petri
Equazione di statoGrafo di stato
Strutture fondamentaliProprietà
Analisi matricialeP-invariantiT-invarianti
SifoniTrappole
Macchine a stati finitiEsempio di processo manifatturiero
Modellazione dei processi produttivi2/93
Programmazione e Controllo della Produzione
AUTOMAZIONE INDUSTRIALE
Supervisione deisistemi
Coordinamentodei sistemi
Sequenziamentodelle operazioni
Avviamento
SpegnimentoCondizioninominali
Condizioni diemergenza
Movimentazione
Guasto
Allarme
Modellazione dei processi produttivi3/93
Programmazione e Controllo della Produzione
SISTEMAFISICO
Sistema dinamico atempo continuo Sistema ad eventi discreti
DES
Sistema dinamico atempo discreto
Sono descritti da variabilifunzioni del tempo
Sono descritti davariabili di stato
Derivano dai principi di conservazionedella materia, dell’energia, della q.tà dimoto, del momento della q.tà di moto, etc.
Modellazione dei processi produttivi4/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Spesso i sistemi fisici creati dall’uomo non si riesconoa modellare mediante sistemi dinamici poiché lavariabile tempo limita notevolmente l’analisi
Sistemi manifatturieri
Sistemi informativi
Sistemi di comunicazione
Telefonia
Bus
S.O.
SISTEMI AD EVENTI DISCRETI
Variabili di stato
Valori simbolici inveceche numerici
Cambiano valore inmodo ASINCRONO
Apparente semplicità
Modellazione dei processi produttivi5/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Più vicini alle realitecnologie realizzative
Metodologie utili in vistadelle applicazioni industriali
Reale comprensione deiproblemi di controllo del
sistema
Possibile perdita di vista acausa dell’uso di modelli di
astrazione matematica
Possibile senza dovercontemplare tutte le
situazioniCompletezza dell’analisi
Di difficile attuazione(enorme numero di
combinazioni)
Tipicamente immediata(direttamente su codice dicontrollo a basso livello)
Implementazione deisistemi di controlloNon immediata
indirettiMetodi di progettodiretti
asincronoFlusso degli eventisincrono
simboliciValori delle variabilinumerici
Tempo indipendentiVariabiliTempo dipendenti
DESSISTEMI DINAMICI
Modellazione dei processi produttivi6/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Processi
Continui Batch Discreti
Produzionedell’energia Laminazione
Impiantiidraulici Forni
Distribuzione digas …
Processichimici
Sistemi dilavorazione
Sistemi diassemblaggio
Sistemi dimovimentaz. …
Modellazione dei processi produttivi7/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Modellazione dei processi con sistemi ad eventi discreti
Nell’Ottocento Babbage concepisce il processo di trasformazionemanifatturiera come un concatenarsi di eventi discreti cioè unsistema a eventi discreti
C.Babbage Economyof manufacturers andmachinery, 1832
prima macchinacalcolatrice
programmabile
gestione e il controllo delle operazioni
modelli "analitici" a "reti di code"
descrizione stocastica deifenomeni e delle interconnessioni
Dagherrotipo di C. Babbage(F. Daguerre)
Modellazione dei processi produttivi8/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Reti di Petri
applicazioni nell’industria manifatturiera
ampia diffusione nel campo dell’ingegneria elettronica e informatica
Ajmone Marsan et al., 1994modellazione di architetture di microprocessori
modellazione di Flexible Manufacturing System (FMS)
modellazione di sistemi just-in-time
Reliability Modelling Schneeweiss 1999
Song & Lee, 1998
Yan et al., 1998
strumento per la modellizzazione di processiCarl Adam Petri, 1962
Modellazione dei processi produttivi9/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Nella descrizione di un processo (produttivo, organizzativo, ecc.) spesso si ha lanecessità di rappresentare sottoprocessi o attività che possono essere eseguitecontemporaneamente, in parallelo fra loro, ma non indipendentemente l’una dall’altra
Potrebbe accadere che un determinato passaggio o una certa fase del processonon possa verificarsi o non possa essere attivata fintanto che altre fasi o attivitànon sono concluse o fino al verificarsi di determinate condizioni.
le attività sono rigidamente serializzate
due rami distinti non vengono mai “percorsi” contempora-neamente, ma rappresentano due strade alternative sceltesecondo un criterio rigidamente deterministico dipendentedall’esito della valutazione di una espressione booleana
situazioni di questo tipo non possono essere descritte mediante un diagramma di flusso
non solo permettono di rappresentare e di descrivere globalmente unprocesso, ma consentono anche di seguirne l’evoluzione permettendodi visualizzare lo stato in cui si trova in un certo istante la rete.
Con le Reti di Petri laserializzazione degli step delprocedimento viene superata
Modellazione dei processi produttivi10/93
Programmazione e Controllo della Produzione
RETI DIPETRIRETI DIPETRI
Strumento dimodellazione
formale
Strumento dimodellazione
formale
Possonorappresentare infinitistati con un numero
finito di nodi
Possonorappresentare infinitistati con un numero
finito di nodi
Strumento dianalisi e verifica
del comportamentodi un sistema
Strumento dianalisi e verifica
del comportamentodi un sistema
Gli eventi non sonovincolati ad accadere
con frequenzadefinita
Gli eventi non sonovincolati ad accadere
con frequenzadefinita
Gli eventi a flusso concode vengonorappresentati
spontaneamente
Gli eventi a flusso concode vengonorappresentati
spontaneamente
Modellazione dei processi produttivi11/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Flusso
Posto
Transizione1.2.3.
P TP T
F P T T P
∩ =∅∪ ≠∅
⊆ × ∪ ×
0: { , , , }P P T F M=Rete di Petri: P → PostiT → TransizioniF → Relazioni di flussoM0 → Marcatura iniziale
Proprietà:
1. → gli insiemi dei posti e delle transizioni sono disgiunti2. → la rete deve avere almeno un posto o una transizione3. → F lega posti a transizioni e transizioni ai posti ma non
transizioni a transizioni e posti a posti
Modellazione dei processi produttivi12/93
Programmazione e Controllo della Produzione
1. Posiziona lo stampo sotto il pistone della pressa2. Scalda lo stampo3. Scalda il forno a muffola4. Accendi la pressa e seleziona i parametri5. Quando lo stampo è a temperatura la macchina è pronta6. Quando il forno è a temperatura inserisci il crogiolo7. Quando il materiale è fuso estrai il crogiolo ed effettua la
colata dentro lo stampo8. Al termine della colata aziona la pressa9. A fine solidificazione estrai il getto
Esempio: pressofusioneLa pressa
Forno a muffolaStampo
Provini
Modellazione dei processi produttivi13/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Esempio: pressofusioneMacchine pronte
Posizionare stampo
stampo posizionato
Scaldare forno
forno a temperatura
Riscaldare stampo
stampo a temperatura
Fondere materiale
materiale fuso
Settare pressa
pressa pronta
colata
mat. colato
Applicaz. pressione
mat. In press.
mat. solidif.solidificazioneestrazione
Prodotto finito
Modellazione dei processi produttivi14/93
Programmazione e Controllo della Produzione
1. soffriggi la cipolla2. quando il soffritto è pronto aggiungi il pomodoro3. quando il sugo è cotto metti a bollire l’acqua4. quando l’acqua bolle aggiungi il sale5. butta gli spaghetti nell’acqua bollente6. attendi 8 minuti7. scola gli spaghetti8. condisci gli spaghetti con il sugo
Processo di preparazione degli spaghetti al pomodoro
Modellazione dei processi produttivi15/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Ingredienti pronti
Preparazionesoffritto
Inizioriscaldamento
Soffritto prontoper la cottura
Cottura soffritto
Soffritto cotto Spaghetti cotti
Inizio bollitura
Cottura deglispaghetti
Spaghetti pronti
Modellazione dei processi produttivi16/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Una Rete di Petri è un grafo che consiste di posti, transizioni ed archi che li collegano
Lo stato della rete indica una sua configurazione in un determinato istante dell’esecuzionedel processo descritto dalla rete stessa.
Si conferisce uno stato a una Rete di Petri medianteuna marcatura
Le transizioni invece rappresentano le componenti “attive”del modello. Rappresentano le attività che possonoessere realizzate modificando lo stato della rete.
gli archi di output collegano le transizioni con i postigli archi di input collegano i posti con le transizioni
Una Rete di Petri evolve passando attraverso una serie di stati
operazione su 1
pezzo 1 grezzosulla macchina
Operaz. su 1 finita
operazione su 1
pezzo 1 grezzosulla macchina
Operaz. su 1 finita
Assegnamento di un numero Stato dellarete e marcatura naturale ad ogni posto.
Modellazione dei processi produttivi17/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Quando viene attivata una transizione vengono rimossi le marche dai posti che precedono latransizione e alcune marche vengono collocate in ognuno dei posti che seguono latransizione stessa.
Le transizioni sono consentite (ossia possono essere realizzate) soltanto se sono abilitate,ossia soltanto se tutte le condizioni che le precedono sono verificate.
2 3
4
2 3
4
2 3
4
2 3
4
transizioneabilitata
transizionenon abilitata
Modellazione dei processi produttivi18/93
Programmazione e Controllo della Produzione
grezzo sulla macchina
pezzo in lavorazione
scambiopezzi in uscita
inizio operazione
pezzo in attesafine operazione
Modellazione dei processi produttivi19/93
Programmazione e Controllo della Produzione
grezzo sulla macchina
pezzo in lavorazionefine operazione
scambiopezzi in uscita
inizio operazione
pezzo in attesa
Modellazione dei processi produttivi20/93
Programmazione e Controllo della Produzione
grezzo sulla macchina
pezzo in lavorazione
scambiopezzi in uscita
inizio operazione
pezzo in attesafine operazione
Modellazione dei processi produttivi21/93
Programmazione e Controllo della Produzione
grezzo sulla macchina
scambiopezzi in uscita
inizio operazione
pezzo in attesa
pezzo in lavorazionefine operazione
Modellazione dei processi produttivi22/93
Programmazione e Controllo della Produzione
grezzo sulla macchina
pezzo in lavorazione
scambiopezzi in uscita
inizio operazione
pezzo in attesafine operazione
Modellazione dei processi produttivi23/93
Programmazione e Controllo della Produzione
grezzo sulla macchina
pezzo in lavorazione
scambiopezzi in uscita
inizio operazione
pezzo in attesafine operazione
Modellazione dei processi produttivi24/93
Programmazione e Controllo della Produzione
T : insieme dei nodi transizione
P : insieme dei nodi posto
Pre : matrice delle marcature per lo scatto
Post : matrice delle marcaturecreate dallo scatto
rete di Petri: N = (T, P, Pre, Post, M0)
Modellazione dei processi produttivi25/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Matrice PRE
La macchina deveessere pronta
Il nuovo pezze deve esserearrivato in posizione
Modellazione dei processi produttivi28/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Scatto di transizione
Modellazione dei processi produttivi29/93
Programmazione e Controllo della Produzione
RETE DI PETRI MARCATA: {N, M0}
Modellazione dei processi produttivi30/93
Programmazione e Controllo della Produzione
GRAFO DI STATO: {N, M0}
Modellazione dei processi produttivi31/93
Programmazione e Controllo della Produzione
GRAFO DI STATO: {N, M0}
Modellazione dei processi produttivi32/93
Programmazione e Controllo della Produzione
GRAFO DI STATO: {N, M0}
Modellazione dei processi produttivi33/93
Programmazione e Controllo della Produzione
GRAFO DI STATO: {N, M0}
Modellazione dei processi produttivi34/93
Programmazione e Controllo della Produzione
GRAFO DI STATO: (N, M0)
Modellazione dei processi produttivi35/93
Programmazione e Controllo della Produzione
GRAFO DI STATO: (N, M0)
Modellazione dei processi produttivi39/93
Programmazione e Controllo della Produzione
GRAFO DI STATO: (N, M0)
Modellazione dei processi produttivi41/93
Programmazione e Controllo della Produzione
GRAFO DI STATO: (N, M0)
Modellazione dei processi produttivi43/93
Programmazione e Controllo della Produzione
GRAFO DI STATO: (N, M0)
Modellazione dei processi produttivi44/93
Programmazione e Controllo della Produzione
MATRICE DI INCIDENZA
Modellazione dei processi produttivi45/93
Programmazione e Controllo della Produzione
EQUAZIONE DI STATO
Modellazione dei processi produttivi46/93
Programmazione e Controllo della Produzione
EQUAZIONE DI TRANSIZIONE
Modellazione dei processi produttivi47/93
Programmazione e Controllo della Produzione
S124 S412 S142 S1245 S4152
Sequenze ammissibili: percorso ammissibile nel grafo degli stati
S143 S125No:
Si:
Modellazione dei processi produttivi48/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Altro esempio:
Una piccola azienda di produzione econfezionamento di dolci ha diverselinee di produzione. Occorre modellareil comportamento del processo ai finidell’assorbimento di energia elettricaper non incorrere in superamenti dellapotenza contrattuale.Il problema è tipico della progettazionedell’impianto elettrico dove è difficileindividuare il valore economico dellapotenza contrattuale
Modellazione dei processi produttivi49/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Approfondimenti sulle reti di Petri
Modellazione dei processi produttivi50/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Non determinismo
Data una rete di Petri marcata con matrice di marcatura Me dato S l’insieme delle transizioni abilitate in M, solamenteuna di queste viene scelta a caso per lo scatto
Non si fa nessun riferimento al tempo Serve una nuova valutazione dellafutura transizione abilitata a scattare
Località della rete: L’evoluzione del sistema è locale e ciò è garantitodall’indipendenza degli eventi
Proprietà di base delle Reti di Petri
Modellazione dei processi produttivi51/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Esempio di una evoluzione di una rete:
P1 e P2: sottorete produttoriP3 e P4: sottorete consumatori C1P5 e P6: sottorete consumatori C2
t1 è l’assegnazione delle materieprime
t2 è la produzione: gli oggetti daprodurre in P1 sono prodotti finitiin P2
P7 rappresenta una coda tra iproduttori e i consumatori
t3 e t5 sono le attività diassegnazione dei prodotti aiconsumatorit4 e t6 sono le attività di consumodei prodotti da parte deiconsumatori
P1
t1 t2
P2
P3
t3 t4
P4
P5
t5 t6
P6
P7
2
2
2
4 4
Modellazione dei processi produttivi52/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Una transizione abilitata in A è t2 M0
Allo scatto di t2 ci sono quattro possibilitransizioni abilitate: t1, t2, t3 e t5
Scatto di t2
Scatto di t4
Allo scatto di t3 si ha una nuovaconfigurazioneSe volessimo aumentare i prodotti e/o iproduttori sarebbe sufficiente aumentarele marche rispettive
P1
t1 t2
P2
P3
t3 t4
P4
P5
t5 t6
P6
P7
2
2
2
4 4
P1
t1 t2
P2
P3
t3 t4
P4
P5
t5 t6
P6
P7
2
2
2
4 4
P1
t1 t2
P2
P3
t3 t4
P4
P5
t5 t6
P6
P7
2
2
2
4 4
Modellazione dei processi produttivi53/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Strutture fondamentali
Due transizioni sono:
in sequenzaSe t1 precede in una data marcatura t2 e lo scatto di t1 abilita t2
in conflitto strutturaleSe e solo se hanno un posto di ingresso in comune
in conflitto effettivoSe sono in conflitto strutturale e, poiché le marche non sonosufficienti ad abilitarle entrambe, lo scatto di una transizionedisabilita l’altra
Modellazione dei processi produttivi54/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Transizione di sincronizzazione Più posti a monte
Transizione di inizio di concorrenza Più posti a valle
in concorrenza strutturaleSe non condividono nessun posto di ingresso e quindi l’una nondisabilita l’altra
in concorrenza effettivaLa concorrenza strutturale implica la concorrenza effettiva poichése sono abilitate entrambe le marche sono sufficienti adentrambe le transizioni
Modellazione dei processi produttivi55/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Proprietà delle reti di Petri
Raggiungibilità: Una marcatura M1 è raggiungibile a partire da M se esiste almenouna sequenza di transizioni che permetta il passaggio da M a M1
[M >
1 [M M∈ >
Insieme delle marcature raggiungibili a partire da M
M1 raggiungibile da M
Reversibilità: Una rete {N,M0} è reversibile se per ogni marcatura raggiungibileda M0, M0 è raggiungibile da questa marcatura
0 0[ , [M M M M∀ ∈ > ∈ >� �
Home state: Uno stato M* della rete {N,M0} è detto di home state se per ognimarcatura raggiungibile da M0, M* è raggiungibile da questamarcatura
0[ , * [M M M M∀ ∈ > ∈ >� �
Modellazione dei processi produttivi56/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Limitatezza: Assenza di accumulo di marcature indesiderate nella rete
Posto k-limitato: In tutte le marcature raggiungibili dalla rete non si supera mai ilvalore di k
Rete k-limitata: Tutti i posti della rete sono k-limitati.
Rete limitata: Rete k-limitata per qualche valore finito di k
Esempio di rete non limitatala sequenza di scatti t1, t2, t3 puòavvenire infinite volte accumulandomarcature in P4
Modellazione dei processi produttivi57/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Rete binaria: Rete 1-limitata (ovvero k-limitata con k=1)Affinché una rete sia binaria la marcatura iniziale M0 e tutte lemarcature da essa raggiungibili devono avere solo 0 e 1
Qualunque rete può essere resa binaria con l’aggiunta di opportuni posti detticomplementari
Sistema produttori-consumatori conbuffer intermedio
Introduzione del posto P6 con significatocomplementare a P5: le marcaturerappresentano le postazioni libere nel buffer
Modellazione dei processi produttivi58/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Vivezza: Capacità della rete di evolvere bene ovvero senza che si blocchi mai
Transizione viva: Se e solo se per ogni marcatura raggiungibile da M0 esisteun’altra marcatura raggiungibile dalla prima nella quale latransizione risulta abilitata
0[ , [ . .M M M M t c t abilitata in M′ ′∀ ∈ > ∃ ∈ >� �
Rete viva: Se tutte le transizioni sono vive
Considerazioni: Una transizione è viva se da una qualunque marcatura M raggiungibile nella rete èpossibile raggiungerne un’altra M* in cui t è abilitata. Se questa transizione scatta inM* si raggiunge una marcatura M** che per definizione è raggiungibile da quellainiziale. Pertanto M** ricade nella definizione di vivezza. La transizione è alloraancora viva e a partire da M** raggiunge M*** e così via.
In una rete viva tutte le transizioni possono scattare infine voltequalunque sia la marcatura raggiungibile da quella iniziale
Modellazione dei processi produttivi59/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Marcatura viva: Se e solo se per ogni transizione esiste una marcaturaraggiungibile da M tale che la transizione risulta abilitata
, * [ . . *t T M M t c t abilitata in M∀ ∈ ∃ ∈ >
A partire dalla marcatura viva è possibile far scattare unaqualunque transizione
PROPRIETÀ: Una rete è viva se e solo se tutte le sue marcature raggiungibilidalla marcatura iniziale sono vive
Marcatura morta: Se e solo se nessuna transizione è abilitata in M
Modellazione dei processi produttivi60/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Limitatatezza: NOVivezza: SIReversibilità: SI
Limitatatezza: SIVivezza: NOReversibilità: NO
Limitatatezza: SIVivezza: NOReversibilità: SI
Limitatatezza: SIVivezza: SIReversibilità: NO
Esempi di Murata
P1
t1 t2
P2
P3
t3t4
P4
P5
t5 t6
P6
P7
2
2
2
4 4
Modellazione dei processi produttivi61/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Analisi delle reti di Petri
Grafo di raggiungibilità G(N,M0) ≡ Grafo di stato {N,M0} completo e minimo
Insieme di raggiungibilità: Insieme R(N,M0) più piccolo di marcature tale che:
0 0
0 0
( , )
* ( , ), . . *[ ** ** ( , )
M R N MM R N M t T t c M t M M R N M∈
∃ ∈ ∃ ∈ > ⇒ ∈
La marcatura iniziale appartiene all’insieme
Tutte le marcature iniziali raggiungibili dall’insiemedi raggiungibilità appartiengono all’insieme
Modellazione dei processi produttivi62/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Rete di Petri Grafo di raggiungibilità
Modellazione dei processi produttivi63/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Analisi matriciale
Metodo di analisi che sfrutta le informazioni contenute nella matrice di incidenza
Caratteristiche che dipendono dallatopologia della rete e non dalla marcatura
Caratteristiche statiche
P-Invarianti
T-Invarianti
Sifoni
Trappole
Vettori colonna Insiemi di posti
Modellazione dei processi produttivi64/93
Programmazione e Controllo della Produzione
P-invarianti:
Def.:
Insiemi di posti tali che la somma pesata delle marche checontengono rimane costante per tutte le marcature raggiungibili
0 0( , ), ' . . ' 'M R N M x t c x M x M∀ ∈ ∃ =� �
Un vettore è P-invariante se:
Eq. Di stato:
Moltiplico a sinistra per x’
Se x’ è invariante allora:
valida per ogni s non vuoto
Modellazione dei processi produttivi65/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Gli invarianti si trovano dalle:
Infinite soluzioni: Se un x è un P-invariante allora anche k x con k intero lo è
Se un x1 e x2 sono P-invarianti allora anche x = x1 + x2 lo è
Problema: determinare il più piccolo insieme di P-invarianti ingrado di generare tutte le soluzioni delle equazioni
Eq. 1
Eq. 2
Modellazione dei processi produttivi66/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Supporto di un P-invariante: Insieme dei posti corrispondenti ad elementinon nulli di x
P-invariante a supporto minimo: Un p-invariante è detto a supporto minimo se ilsuo supporto non contiene quello di nessunaltro P-invariante della rete
P-invariante canonico: Un p-invariante è detto a canonico se il massimocomun divisore dei suoi elementi non nulli è 1
Un P-invariante composto di soli elementi positivi permette diidentificare un gruppo di posti dove si conserva non tanto ilnumero di marche ma una loro combinazione lineare
Gli P-invarianti positivi sono detticomponenti conservative di una rete
Modellazione dei processi produttivi67/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Esempio di P-invariante negativo
Il numero di marche in P1 è vincolatoad essere uguale a quello di P2
Generatore di P-invarianti positivi: Il più piccolo insieme di P-invarianti positivi PIktale che ogni altro P-invariante della rete èottenibile tramite ombinazione lineare degliinvarianti di PIk
Gli elementi dell’insieme si chiamano P-invarianti minimi
Proposizione 1 Un P-invariante è minimo se e solo se è canonico e a supporto minimo
Proposizione 2 L’insieme generatore di P-invarianti è finito ed è unico
Modellazione dei processi produttivi68/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Rete coperta da P-invarianti: Ogni posto della rete appartiene al supporto dialmeno un P-invariante
Rete conservativa: Rete coperta da P-invarianti non negativi
, P-invariante . . || || ( ) 0p P x t c p x et x p∀ ∈ ∃ ∈ >
Proposizione 3 Una rete conservativa è limitata
In una rete conservativa il numero di marche non cresce mai indefinitamente.
Non è detto il contrario
Modellazione dei processi produttivi69/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Esempi:
Reti coperte dal P-invariante [1,1,1]
Qualunque sia la marcatura iniziale ilnumero delle marche si mantiene costante Questa rete è viva
Due processi diversi si devonosincronizzare ovvero deve esistere unaattesa reciproca
Gli P-invarianti minimi sono: [1,1,0,0] e [0,0,1,1]
Modellazione dei processi produttivi70/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Calcolo degli P-invarianti minimi
Algoritmo di Colom e Silva
In matrice identità di dimensione n
Modellazione dei processi produttivi71/93
Programmazione e Controllo della Produzione
T-invarianti:
Def.:
In modo duale agli P-invarianti rappresentano possibilisequenze di scatti che riportano la rete alla marcatura iniziale
Un vettore (colonna) y è T-invariantese è soluzione dell’equazione:
Se y è un vettore delle occorrenze coincidente con un T-invariante allora:
Osservazione: La presenza di un T-invariante non implica che sia veramente possibileritornare alla posizione di partenza
Il significato di un T-invariante y è quello che, se fosse possibile farscattare ogni transizione del supporto di y in un ordine qualunque ma unnumero di volte pari a quello definito da y allora lo stato della rete potrebbetornare al valore iniziale al termine della sequenza
Eq. 3
Modellazione dei processi produttivi72/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Confrontando l’Eq. 2 con l’Eq. 3
Eq. 2
Eq. 3
Si deduce che:
La matrice di incidenza C’ si ottiene dalla rete con matrice C scambiando i posti con letransizioni senza alterare gli indici dei nomi e invertendo il verso degli archi
gli T-invarianti di una rete con matrice di incidenza C coincidono congli P-invarianti di una rete con matrice di incidenza C’ e viceversa
Se non di invertisse il verso degli archi, si otterrebbe una matrice di incidenza –C’
Ad ogni modo C’x=0 equivale a -C’x=0 così come Cy=0 equivale a -C’y=0 pertanto siotterrebbero gli stessi T-invarianti e P-invarianti
Modellazione dei processi produttivi73/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Sifoni: Rappresenta un insieme di posti che complessivamente tende a perderemarche durante l’evoluzione della rete e che, una volta arrivati a zero, nonè più in grado di riacquistarne
Notazione per le matrici dei Pre e dei Post: ●X ≡ Pre[X]
X● ≡ Post[X]
Def.: Un sifone S è un insieme di posti se e solo se:
S S• ⊂ •
Tutte le transizioni di ingresso per un sifonesono anche di uscita ma esistono delletransizioni di uscita che non sono di ingresso
Modellazione dei processi produttivi74/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Esempio:
Sifone:
é contenuto in:infatti:
Sifone:
é contenuto in:infatti:
Modellazione dei processi produttivi75/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Sifone minimo.: Un sifone S è minimo se e solo se esiste unaltro sifone S’ tale che:
'S S⊂
Proprietà L’unione di sifoni è un sifone
Sifone di base: Un sifone di base è un sifone che non puòessere ottenuto come unione di altri sifoni
Proprietà Se S è un sifone privo di marche in una certa marcatura M alloraè priva di marche anche ogni marcatura raggiungibile M’∈[M>
In presenza di un sifone non marcato tutte le transizionidi S● sono morte e la rete in con S non viva
Modellazione dei processi produttivi76/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Trappole: È il duale del sifone e rappresenta un insieme di posti checomplessivamente tende ad acquistare marche durante l’evoluzione dellarete e che, una volta presa almeno una marca a zero, non è più in gradodi smarcare contemporaneamente tutti i suoi posti
Def.: Una trappola S è un insieme di posti se e solose:
S S•⊂ •
Tutte le transizioni di uscita per una trappolasono anche di ingresso ma esistono delletransizioni di ingresso che non sono di uscita
Modellazione dei processi produttivi77/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Esempio:
Trappole:
é contenuto in:infatti:
Trappole anche: e
Modellazione dei processi produttivi78/93
Programmazione e Controllo della Produzione
Proprietà L’unione di trappole è una trappola
Proprietà Se S è una trappola marcata in una certa marcatura M allorarimane marcata in ogni marcatura raggiungibile M’∈[M>
Proprietà Il supporto di un P-invariante con elementi non negativi è unsifone o una trappola
Non tutti i sifoni o trappole di una rete sono pericolosi ai fini dellavivezza. Il legame tra queste strutture e la vivezza non è semplice
Proprietà Se M è una marcatura morta allora l’insieme dei posti privi dimarche:
È un sifone non marcato
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Programmazione e Controllo della Produzione
Proprietà Se ogni sifone contiene una trappola marcata in unamarcatura M allora non esiste in [M> una marcatura morta
Se infatti, per assurdo, esistesse una simile marcaturaM’ allora i posti senza marche in M’ costituiscono unsifone senza marche contraddicendo l’ipotesi
N.B.: non è detto che una rete in cui ogni sifone contiene una trappola sia viva
Esempio precedente:
Sifoni marcati che noncontengono trappole
Infatti tramite la sequenza [ t3 t1 t2 t1 ] è possibileraggiungere M = [ 2 0 0 0 ]’ che è morta
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Macchine a stati finiti
La macchina a stati finiti è un automa
Macchina a stati finiti: È una rete di Petri tale che:
, 1 1j j jt T t et t∀ ∈ • = • =
Proprietà :
È strettamenteconservativa
Il numero di marche nellarete non cambia mai
Il sistema è finito e pureil grafo di raggiungibilità
Se la marcatura iniziale contiene una sola marca allora la rete è binaria
Se la rete è fortemente connessa (cioè è possibileandare da un nodo all’altro seguendo unarelazione di flusso) e se ha almeno un gettone
Allora la rete è viva
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Grafo marcato
Sottoclasse delle reti di Petri in cui ogni posto ha esattamente una transizione diingresso e una di uscita
Grafo marcato: È una rete di Petri tale che:
, 1 1i i ip P p et p∀ ∈ • = • =Proprietà :
Mentre la macchina a stati può avere al suo interno dei conflitti (un posto con moltetransizioni in uscita), il grafo marcato non può modellare conflitti
A differenza della macchina a stati, il grafo marcato può modellare la creazione ela distruzione di marche necessarie per la simultaneità necessaria per lasincronizzazione
Un grafo marcato è vivo se e solo se ogni suo ciclo contiene almeno un posto conuna marca
Sequenza di posti ottenuta con un flusso in cui latransizione di ingresso al primo posto dellasequenza è anche quella di uscita all’ultimo posto
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Reti a scelta liberaSono reti che non ammettono confusione
Scelta libera: È una rete di Petri tale che:
, , { } { }j i j i i jt T p P t p opp p t∀ ∈ ∀ ∈ • = • =
Per ogni arco da un posto ad una transizione o quel posto è l’unico posto iningresso a quella transizione (non c’è sincronizzazione) oppure quellatransizione è l’unica transizione in uscita da quel posto (non ci sono conflitti)
I conflitti potenziali sono controllati: I conflitti accadono solo se il postoè in ingresso a molte transizioni
Se un posto è in ingresso a molte transizioni alloraesso è l’unico ingresso per tutte le transizioni
O tutte le transizioni sonopermesse o non lo è nessuna Scelta libera
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Tipica situazione di confusione
Non è chiaro a priori quale delle due transizioni scatterà
CONFLITTO
Una macchina a stati e un grafo marcato sono reti a scelta libera ma non vale il viceversa
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Reti a scelta libera estesa
Scelta libera estesa: È una rete di Petri tale che:
, , un arco da tutti i posti di ingresso a a tutte le trasizioni di uscita dij i j it T p t p∀ ∈ ∀ ∃
Se due posti hanno una transizione diuscita in comune, allora quei postihanno le stesse transizione di uscita:
Rete a sceltalibera estesa
trasformazionein rete a sceltalibera
Una rete a scelta libera estesa è una rete ascelta libera ma non vale il viceversa
Teorema di Commoner: una rete ascelta libera estesa è viva se i suoisifoni contengono una trappola
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Reti a scelta asimmetrica
Scelta libera asimmetrica: È una rete di Petri tale che:
oppi j i j i jp p p p p p•∩ • ≠ ∅⇒ •⊆ • • ⊇ •
Esempio di scelta asimmetrica
Proprietà Una rete a scelta asimmetrica è viva se (ma non solo se) tutti isifoni contengono una trappola
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Diagramma diVenn per lerelazioni tra leclassi di retidi Petri
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Esempio di processo manifatturiero
Robot 1Robot 2
Prodotti finiti
Semilavorati
Centro dilavoro M1
Centro dilavoro M2
Il processo in esame è costituito da due centri di lavoro, due robot e due nastri trasportatori.Ogni centro è servito da un robot per le operazioni di carico e scarico. Un nastro è usato per ipezzi da lavorare, con un massimo per entrambi di due alla volta. L’altro nastro è usato per ipallet vuoti. Ci sono tre pallet disponibili nel sistema. Ogni pezzo da lavorare è manipolato suM1 e M2, in questo ordine.
Nastro trasportatore 2
Nastro trasportatore 1Pallet Pallet
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Marcatura iniziale:
Matrice di incidenza:
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Unico T-invariante:
Gli P-invarianti minimi sono 6:
Supporti agli P-invarianti:
Ogni posto della rete appartiene ad almeno un P-invariantedunque la rete è CONSERVATIVA e LIMITATA
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Marcature raggiungibili dalla rete:
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Grafo di raggiungibilità
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Analisi del grafo di raggiungibilità
Dal grafo di deduce che la rete progettata è viva
a partire da ogni marcatura raggiungibile, è possibile raggiungerneun’altra in cui una determinata transizione sia abilitata
Lo si poteva vedere anche considerando che la rete di Petri è un grafo marcato
poiché gli unici sifoni che contiene sono i supporti dei P-invariantiche sono inizialmente marcati, allora la rete è viva
Infatti: