Modellbasierte Regelung der Partikelgrößenverteilung in der kontinuierlichen Wirbelschicht-Sprühgranulation

Modellbasierte Regelung der Partikelgrößen-verteilung in der kontinuierlichen Wirbelschicht-SprühgranulationAndreas Bück* und Evangelos Tsotsas

DOI: 10.1002/cite.201300025

Durch Rückführung gemahlener Partikel in der kontinuierlichen Wirbelschicht-Sprühgranulation kann es zu einem oszil-

lierenden Prozessverhalten kommen. In diesem Beitrag wird ein modellbasiertes Regelungskonzept zur Stabilisierung der

instabilen Partikelgrößenverteilungen in der kontinuierlichen Wirbelschicht-Sprühgranulation mit externer Klassierung

vorgestellt. Die Regelung wird dabei nach einem modellprädiktiven Ansatz auf Basis eines populationsdynamischen

Modells für die zeitliche Entwicklung der Größenverteilung der Partikel realisiert und mit Standardmethoden (PI, LQR)

verglichen.

Schlagwörter: Populationsbilanz, Regelung, Sprühgranulation, Wirbelschicht

Eingegangen: 11. Februar 2013; revidiert: 06. November 2013; akzeptiert: 08. Februar 2014

Model-Predictive Feedback Control of Particle Size Distribution in Continuous Fluidised BedSpray Granulation

Recycling of milled product particles in continuous fluidised bed spray granulation can lead to sustained oscillations in the

particle size distribution. In this contribution, a model-predictive feedback control scheme is presented that allows for sta-

bilisation of unstable steady-states. The feedback law is designed based on a population balance model, which describes

the temporal evolution of the particle size distribution due to the particulate processes, and is compared with traditional

design methods (PI, LQR).

Keywords: Feedback control, Fluidised bed, Population balances, Spray granulation

1 Einleitung

Partikuläre Produkte sind in vielen Anwendungsbereichenanzutreffen, z. B. in der pharmazeutischen Industrie oderder Lebensmittel- und Düngemittelherstellung. Interna-tional ist ein starker Anstieg in der Nachfrage nach partiku-lären Produkten zu verzeichnen, da diese oftmals leichterzu lagern, zu transportieren und weiterzuverarbeiten sindals in flüssiger Form. Ein weiterer Vorteil ist, dass beimÜbergang vom flüssigen in den festen Aggregatszustanddem Partikel bestimmte Eigenschaften aufgeprägt werdenkönnen, die wiederum die Eigenschaften des Produktesbestimmen.

Industriell häufig eingesetzte Prozesse zur Herstellungpartikulärer Produkte sind die Sprühtrocknung, Kristallisa-tion und die Granulation als Oberbegriff für die Agglomera-tion und das Schichtwachstum von Partikeln. Insbesonderein den Bereichen Pharma- und Lebensmitteltechnik wirddie Sprühgranulation in Wirbelschichten zur Herstellungvon Partikeln mit einer gewünschten Größenverteilung ein-gesetzt.

Dazu wird ein in einer Flüssigkeit, häufig Wasser, gelös-ter bzw. suspendierter Feststoff in die Wirbelschicht aufeine fluidisierte Partikelschüttung eingedüst. Durch das be-heizte Fluidisationsgas kommt es zur Verdampfung derFlüssigkeit und somit zu einer Feststoffabscheidung und-trocknung auf den Partikeln. Dies führt zu einem schicht-weisen Wachstum der Partikel in der Schicht (Abb. 1).

Die Partikel sind im Allgemeinen nicht gleichförmig,sondern weisen eine Eigenschaftsverteilung, z. B. eine Grö-ßenverteilung, auf. Um ein Produkt mit bestimmten, fest-gelegten Eigenschaften herzustellen, ist daher eine zugehö-rige Eigenschaftsverteilung der Partikel zu gewährleisten.

Chem. Ing. Tech. 2014, 86, No. 5, 725–733 © 2014 Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim www.cit-journal.com

–Jun.-Prof. Dr.-Ing. Andreas Bück ([email protected]),Prof. Dr.-Ing. Evangelos Tsotsas, Otto-von-Guericke-UniversitätMagdeburg, Lehrstuhl für Thermische Verfahrenstechnik, Univer-sitätsplatz 2, 39106 Magdeburg, Deutschland.

Forschungsarbeit 725ChemieIngenieurTechnik

Eine häufig anzutreffende Prozesskonfiguration zur Her-stellung von Partikeln mit einer bestimmten Größenvertei-lung in der Wirbelschicht ist die kontinuierliche Sprühgra-nulation mit externer Klassierung über einen Sieb-Mahl-Kreislauf (Abb. 2). Dabei werden zunächst die Partikel inder Schicht unklassierend abgezogen und über die externenSiebe klassiert. Zu große Partikel (Grobkorn) werden an-schließend durch eine Mühle zu kleineren Partikeln gemah-len und zusammen mit dem Feinkorn – Partikel mit einergeringeren Größe als durch das Untersieb festgelegt – indie Wirbelschicht für weiteres Wachstum zurückgeführt.Die Partikelfraktion, die zwischen den beiden Sieben an-fällt, wird als Produkt akzeptiert.

Untersuchungen dieser Prozesskonfiguration haben er-geben, dass je nach Auslegung der Siebe und der Mühle,

die nach der gewünschten Produktspezifikationgewählt werden, ein unterschiedliches dynami-sches Verhalten auftritt. Für bestimmte Konfi-gurationen stellt sich ein stabiler stationärerZustand ein, der durch eine zeitlich konstanteGrößenverteilung und einen konstanten Pro-duktmassenstrom gekennzeichnet ist. Für ande-re Konfigurationen der Siebe und der Mühleerhält man hingegen ein oszillatorisches Verhal-ten. Dabei wird kein stationärer Zustand in derGrößenverteilung bzw. kein konstanter Produkt-massenstrom erreicht (Abb. 3). Radichkov et al.[1] identifizieren diesen Stabilitätswechsel alseine Hopf-Bifurkation, bei der aus einem stabi-

len stationären Arbeitspunkt bei Parametervariation ein sta-biler Grenzzyklus wird, der sich in den Oszillationen derGrößenverteilung äußert.

Für den Anlagenbetrieb sind dies unerwünschte Prozess-zustände. Da die zugehörige stationäre Verteilung jedochdie Produktspezifikation charakterisiert, ist eine Stabilisie-rung der instabilen Prozesszustände von Interesse, z. B.durch den Einsatz von Prozessregelungen.

Die Regelung der Partikelformulierung, sowohl in Wir-belschichten als auch in Trommelgranulatoren, ist durchdas komplexe Zusammenspiel mehrerer Phasen (flüssig,fest, gasförmig), den Wärme- und Stoffübergang bei derVerdampfung des eingedüsten Lösungsmittels und dieablaufenden partikulären Prozesse (Schichtaufbau) sehrherausfordernd und nur wenige Arbeiten sind zur Zeit inder Literatur verfügbar [2 – 4].

In dieser Arbeit wird ein modellbasiertes Regelungskon-zept zur Stabilisierung der instabilen Partikelgrößenvertei-lungen in der kontinuierlichen Wirbelschicht-Sprühgranu-lation mit externer Klassierung vorgestellt. Die Regelungwird dabei nach einem modellprädiktiven Ansatz auf Basis

www.cit-journal.com © 2014 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim Chem. Ing. Tech. 2014, 86, No. 5, 725–733

Abbildung 1. Rasterelektronenmikroskopaufnahmen des Aufbaus neuer Schich-ten durch Trocknung und Verfestigung der eingesprühten Lösung: (a) Ausgangs-partikel (ca. 200 lm), (b) Produktpartikel (ca. 350 lm), (c) aufgebaute Schicht.

Abbildung 2. Vereinfachte Darstellung des Fließbildes der kon-tinuierlichen Wirbelschichtsprühgranulation mit externem Sieb-Mahl-Kreislauf.

Abbildung 3. Darstellung der ersten vier Momente der Partikel-größenverteilung. Diese repräsentieren die Gesamtanzahl,-länge, -oberfläche und das Gesamtvolumen der Partikel im Bett.Durch eine Wahl der Prozessparameter bildet sich eine nicht-lineare Oszillation in der Anzahldichtefunktion aus.

726 ForschungsarbeitChemieIngenieurTechnik

eines populationsdynamischen Modells für die zeitlicheEntwicklung der Größenverteilung der Partikel realisiert.

2 Mathematische Modellierung der kontinu-ierlichen Wirbelschicht-Sprühgranulation

Die Erfassung von Partikeleigenschaften kann auf makro-skopischer Ebene über die sogenannte Anzahldichtevertei-lung n(t, x) erfolgen. Diese gibt an, wie viele Partikel sich ineinem infinitesimalen Eigenschaftsintervall [x, x + dx] be-finden. Durch die Betrachtung aller möglichen Kombinatio-nen der Eigenschaften erhält man aus der Anzahldichtever-teilung die Gesamtanzahl der Partikel l0:

l0�t� ��∞

x0

n�t� x� dx (1)

Allgemein können aus der Anzahldichteverteilung weite-re Momente berechnet werden:

lj�t� ��∞

x0

xj n�t� x� dx (2)

Die Interpretation ist dabei abhängig von der betrachtetenPartikeleigenschaft. Im Fall der Eigenschaft Größe reprä-sentiert das Moment l1 die Gesamtlänge, l2 ist proportionalzur Gesamtoberfläche und l3 ist proportional zum Gesamt-volumen aller Partikel.

Im Folgenden wird angenommen, dass die betrachtetenPartikel kugelförmig sind und über ihren Durchmesser xvollständig beschrieben werden können. Die zeitliche Ände-rung der Größenverteilung durch partikuläre Prozesse kannüber das Konzept der Populationsbilanz beschrieben wer-den [5]. Unter der Annahme einer ausschließlichen Grö-ßenänderung durch schichtweisen Aufbau der Partikel er-hält man:

∂n∂t

� ∂�Gn�∂x

� Bnuc � �nrec � �nout (3)

Hierin beschreibt G die Wachstumsgeschwindigkeit derPartikel, die in Analogie zu strömungsdynamischen Model-lierungen als Transportgeschwindigkeit entlang der Grö-ßenkoordinate interpretiert werden kann. Für die Wirbel-schichtsprühgranulation kann oftmals ein vereinfachtesModell nach Mörl et al. [6] verwendet werden [7]:

G � 2�Msolid

qsolid Ap(4)

Unter Verwendung dieses Ansatzes wachsen alle Partikelgleich schnell, d. h. die Wachstumsgeschwindigkeit ist grö-ßenunabhängig. Sie ist jedoch umgekehrt proportional zur

Gesamtoberfläche aller Partikel (Ap�t� � p l2�t�) auf die dieLösung bzw. Suspension gesprüht wird. Der Ausdruck Bnuc

beschreibt den Anzahlstrom an Keimen mit der Größe x0,die dem Prozess zugeführt werden. Dies kann z. B. durchdie Zugabe extern produzierter Partikel geschehen oder alsFolge einer Vortrocknung der Tropfen bevor sie auf das Par-tikelbett auftreffen.

Im betrachteten Beispielprozess erfolgt der Abzug derPartikel aus der Schicht unklassierend:

�nout � Kn (5)

wobei der Faktor K so dimensioniert wird, dass sich einevorgegebene Bettmasse mset einstellt [4, 8]:

K � 1 � min 1�mset

mbed

� �(6)

worin mbed die Partikelmasse im Apparat bezeichnet(mbed�t� � qsolid l3�t� p�6). Die Partikelzufuhr in die Wirbel-schicht setzt sich aus den zurückgeführten Partikelströmenan Feinkorn und gemahlenem Grobkorn zusammen undist durch die Trennfunktionen der Siebe T1, T2 und dieMahlfunktion der Mühle q0,mill bestimmt:

�nrec � �1 � T1�x��1 � T2�x�� nout � Bmill q0�mill�x� (7)

Bmill �

�∞x0

x3 T1�x�Kn�t� x� dx

�∞x0

x3 q0�mill�x� dx(8)

Durch die Siebung des abgezogenen Partikelstromes istsichergestellt, dass die Partikel, die in die Mühle eintreten,wesentlich größer sind als die gemahlenen Partikel. Dascharakteristische Verhalten der Mühle kann vereinfachtüber die Form der Mahlfunktion festgelegt werden, eine de-taillierte Beschreibung, in die auch die Mikroprozesse ein-gehen, kann unter Einbeziehung des populationsdynami-schen Phänomens Bruch erfolgen. Diese Beschreibung istjedoch sehr aufwändig und material- bzw. apparatspezi-fisch, so dass an dieser Stelle darauf verzichtet wird.

Bei der resultierenden Populationsbilanz handelt es sichdadurch um eine nichtlineare, partielle Integrodifferential-gleichung. Eine allgemeine analytische Lösung ist aufgrundder Nichtlinearität aussichtslos, allerdings können unterbestimmten, vereinfachenden Annahmen analytische Er-gebnisse abgeleitet werden, z. B. die Form der stationärenVerteilung. Unter Annahme einer idealen Siebung der Par-tikelströme und einer idealen Mahlung des Grobkorns, d. h.alle Partikel werden auf eine Größe xM gemahlen, ergibtsich eine stationäre Anzahldichteverteilung wie in Abb. 4gezeigt. Unter Nutzung der in Tab. 1 aufgeführten Prozess-bedingungen führt eine Variation von xM zu dem in Abb. 3gezeigten unterschiedlichen dynamischen Verhalten. Wie



bereits ausgeführt, sind die oszillatorischen Prozesszu-stände in industriellen Anlagen unerwünscht und sinddemnach zu stabilisieren bzw. zu unterdrücken. Dies sollim Weiteren durch den Entwurf eines modellbasiertenRegelungssystems geschehen.

3 Stabilisierung der instabilen Arbeitspunktedurch modellprädiktive Regelung

Das abgeleitete populationsdynamische Modell ist nicht-linear und eigenschaftsverteilt. Für diese Klasse dyna-mischer Systeme existieren bisher keine vollständigenmathematischen Lösungstheorien und es sind keine stan-dardisierten Reglerentwurfsverfahren verfügbar. Dahermuss der Regelungsentwurf auf der Basis vereinfachterModelle erfolgen.

In einem ersten Schritt wird von der eigenschaftsverteil-ten Darstellung des Prozesses in Gl. (3) auf eine endlich-dimensionale Approximation übergegangen:

dndt

� �DN�Gn� � Bnuc � �nrec � �nout (9)

Diese kann z. B. durch Anwendung der Finiten-Volu-men-Methode bestimmt werden. Dazu wird die Größen-koordinate in endlich viele (N) Intervalle zerlegt und einerepräsentative Größe innerhalb dieses Intervalls (z. B. derMittelpunkt des Intervalls) gewählt. Der zugehörige Wertder Anzahldichteverteilung agiert nun als Repräsentant derAnzahldichteverteilung in diesem Teilintervall. Dieses Vor-gehen ermöglicht den Übergang von einer nichtlinearen,unendlich-dimensionalen, partiellen Integrodifferentialglei-chung auf ein System von nichtlinearen, gewöhnlichen Dif-ferentialgleichungen, die mit numerischen Standardmetho-den approximativ gelöst werden können.

In weiteren Schritten wird für den Reglerentwurf einlinearisiertes Streckenmodell benutzt. Dieses wird be-stimmt, indem zunächst die stationäre Anzahldichtevertei-lung des Prozesses, beschrieben durch Gl. (3), aus den gege-benen Prozessparametern berechnet wird. Das linearisierteModell wird dann über eine Taylor-Reihenentwicklung desnichtlinearen Modells um die berechnete stationäre Vertei-lung ermittelt.

Da der mittlere Durchmesser xM der gemahlenen undzurückgeführten Partikel einen wesentlichen Einfluss aufdas Stabilitätsverhalten des Prozesses hat und dieser z. B.über die Drehzahl an der Mühle eingestellt werden kann,kann dieser als Stellgröße eingesetzt werden. In Simulati-onsuntersuchungen mit dem nichtlinearen Prozessmodellwurde die Gesamtoberfläche aller Partikel im Prozessraum,die proportional zum zweiten Moment der Partikelgrößen-verteilung ist, als geeignete Referenzgröße zur Bewertungdes Regelungsergebnisses identifiziert. Diese kann aus derdirekten oder modellbasierten Messung der Partikelgrößen-verteilung im Prozess berechnet werden [9, 10].

Im Weiteren wird auf der Basis eines linearisierten Pro-zessmodells ein linearer, modellprädiktiver Regler entworfen,der die Stabilisierung der instabilen Ruhelagen ermöglicht.

Der Begriff modellprädiktiver Regler (model-predictivecontroller, MPC) umfasst dabei eine ganze Klasse an Rege-lungsstrukturen, die im Wesentlichen nach dem folgendenSchema arbeitet [11]: Basierend auf dem aktuellen Prozess-zustand z(t0) und einem vorausgeplanten Stellgrößenver-lauf u wird die zeitliche Entwicklung des Zustandes übereinen endlichen Zeithorizont [t, t + T] mithilfe des mathe-matischen Prozessmodels prädiziert. Ein gegebenes Güte-funktional wird für den berechneten Zustandsverlauf undden vorgegebenen Stellgrößenverlauf ausgewertet.

In einem Optimierungsverfahren wird der Stellgrößen-verlauf u(t) so lange modifiziert, bis ein Optimum über demPrädiktionshorizont erreicht wird. Der optimale Stellgrö-ßenverlauf ergibt sich dabei direkt aus dem Optimierungs-problem. Der optimale Stellgrößenverlauf wird solange aufden Prozess angewandt bis die nächste Messung des Pro-zesszustandes verfügbar wird. Der Ablauf beginnt darauf-hin erneut.

Die Hauptbestandteile einer modellprädiktiven Regelungsind daher ein dynamisches Prozessmodell zur Beschrei-bung der zeitlichen Entwicklung des Prozesszustandes; einGüte- bzw. Kostenfunktional, das den Abstand vom aktuel-len Prozesszustand zu einem gewünschten Zustand misstund ein Optimierungsverfahren, das den optimalen Stell-größenverlauf auf der Basis des prädizierten Zustandsver-laufes und des Gütefunktionals berechnet.

Vorteilhaft an diesem Konzept ist, dass keine Aussagenüber die Art des Prozessmodells getroffen werden müssen.Es kann sich dabei um ein beliebiges dynamisches Modellhandeln, bspw. auf der Basis experimentell aufgenommenerSprungantworten, Differentialgleichungen als Ergebniseiner theoretischen Modellbildung oder um mikroskopischeMonte-Carlo-Modelle. Ähnliches gilt für die Formulierung


Abbildung 4. Analytisch berechnete stationäre Anzahldichtever-teilung für ideale Trennfunktionen der Siebe und eine idealeMahlfunktion. Ein Übergang von idealen zu nicht-idealen Funk-tionen beeinflusst vorwiegend die gekennzeichneten Bereiche.


des Gütefunktionals. Hier sind zunächst keine Einschrän-kungen bezüglich der Struktur vorhanden. Es können auchBeschränkungen in Form von Nebenbedingungen formu-liert werden. Einschränkungen in der Methodik ergebensich im Weiteren allerdings aus der Verfügbarkeit vonnumerischen Verfahren zur Lösung der (beschränkten) Op-timierungsprobleme bzw. aus den Echtzeitanforderungendes realen Prozesses an dem der Regler eingesetzt werdensoll, da im Allgemeinen die Lösung des Optimierungspro-blems nicht offline berechnet werden kann, sondern paral-lel zum Prozessablauf bestimmt werden muss.

In fast allen praktischen Anwendungen modellprädiktiverRegelungen wird eine zeitdiskrete Formulierung benutzt:Dabei wird die Zeit in Intervalle der Länge Tsample geteilt.Der Prädiktionshorizont und der Steuerhorizont, d. h. dieZeitspanne für die der Stellgrößenverlauf optimal bestimmtwerden soll, werden als ganzzahlige Vielfache der AbtastzeitTsample gewählt, z. B. ein Prädiktionshorizont von NpTsample

und ein Steuerhorizont von NcTsample, mit Nc ≤ Np. DesWeiteren wird oftmals angenommen, dass die Stellgröße in-nerhalb eines Steuerintervalls konstant ist, d. h. u(t) = uk(t)für t ∈ [k, k + 1] Tsample. Für alle Zeiten außerhalb des Steu-erhorizontes wird vereinbart, dass der zuletzt berechneteWert uNc beibehalten wird. Dadurch erhält man ein Optimie-rungsproblem mit Nc Entscheidungsvariablen. Diese Ideezur Implementierung ist in Abb. 5 dargestellt. Die berechneteoptimale Trajektorie wird für genau ein Zeitintervall ange-wandt bevor der Algorithmus mit dem restlichen Stellgrö-ßenverlauf als Anfangsschätzung neu gestartet wird.

Das für den Reglerentwurf abgeleitete lineare Modell derkontinuierlichen Wirbelschichtsprühgranulation mit exter-nem Sieb-Mahl-Kreislauf kann durch die Einführung eineserweiterten Streckenzustands z(k), der sowohl den Strecken-zustand als auch optionale Integralanteile einer Ausgangs-rückführung enthält, in ein zeitdiskretes System der Form

z�k � 1� � Az�k� � BDu�k�� y�k� � Cz�k� (10)

überführt werden, das die Basis für den Reglerentwurf dar-stellt. Die Prädiktion der Mess- bzw. Referenzgröße kanndann geschrieben werden als

y�k� � Cz�k�� y�k � 1� � Cz�k � 1�k�� CAz�k�k� � CBDu�k��

(11)

oder als

Y � Fz�k� � U�DU� (12)

wobei Y die Messwerte über den gesamten Prädiktionshori-zont enthält. Dieses Ergebnis kann nun benutzt werden, umdie optimale inkrementelle Steuersequenz DU � �Du�k��Du�k � 1�� Du�k � Nc�� bei bekanntem Gütefunktionalund aktuellem Prozesszustand zu berechnen.

Beschränkt man sich auf quadratische Gütefunktionaleder Form

J�DU� � �R � Y�T�R � Y� � �DU�TW�DU� (13)

wobei W eine Wichtungsmatrix ist und R einen Referenz-verlauf der Mess- bzw. Regelgröße darstellt, so kann beilinearem Prozessmodell und ohne Vorliegen von Beschrän-kungen eine analytische Lösung für das Optimierungs-problem

minDU J�DU� � minDU

��DU�T�UTU � W��DU�� 2�DU�TUT�R � Fz�k��

(14)

berechnet werden. Es ergibt sich

�DU�opt � ��UTU � W��1 UT�R � ��UTU � W��1 UTF�z�k�

(15)

Bei näherer Betrachtung dieses Aus-druckes entpuppt sich der zweite Termals eine klassische lineare Zustandsrück-führung. Der erste Term stellt ein Vorfil-ter dar, das eine stationäre Genauigkeitin der Regelgröße ermöglicht. Es lässtsich zeigen, dass die modellprädiktiveRegelung linearer Systeme mit quadra-tischem Gütefunktional ohne Nebenbe-dingungen äquivalent zur klassischenlinear-quadratischen Regelung (LQ-Rege-lung) ist [12]. Der Vorteil der modellprä-diktiven Regelung besteht hierbei in dereinfacheren Theorie und dem zunächstgeringeren zu betreibenden mathemati-schen Aufwand, um eine Lösung des Op-timierungsproblems zu erhalten. Aller-dings ist die Stabilität des geschlossenen


Abbildung 5. Schematische Darstellung des internen Ablaufes einer modellprädiktivenRegelung zur Bestimmung des Stellgrößenverlaufes.


Kreises nicht automatisch sichergestellt, dazu müssen wei-tere Schritte unternommen werden [12].

Einen großen Vorteil besitzen modellprädiktive Regelun-gen immer dann, wenn Prozessbeschränkungen bei der Be-stimmung der Stellgrößenverläufe zu berücksichtigen sind.Dies können z. B. Stellgrößenbeschränkungen sein, d. h.der Aktor hat nur einen bestimmten Stellbereich, oder An-stiegsbeschränkungen, d. h. die Stellgröße kann nicht belie-big schnell verändert werden, oder Ausgangsbeschränkun-gen, falls die Messgröße aus Sicherheitsgründen bestimmteBereiche nicht überschreiten darf. Ebenso denkbar sindZustandsbeschränkungen, die verhindern sollen, dass derProzess ungewollte Zustände passiert. Diese Beschränkun-gen können als Nebenbedingungen des Optimierungspro-blems formuliert werden, jedoch ist dann keine analytischeLösung mehr möglich und der Regler muss iterativ onlineberechnet werden.

Bei der Stabilisierung der Wirbelschichtsprühgranulationkann der Durchmesser der gemahlenen Partikel nur ineinem bestimmten Bereich variiert werden. Es gibt einenbauartbedingten kleinsten Durchmesser auf den die Parti-kel gemahlen werden können und ebenso einen größtenDurchmesser:

umin�k� ≤ u�k� ≤ umax�k� (16)

Diese Bedingung, die zeitlich veränderlich sein kann,bspw. um Alterungseffekte an der Mühle zu berücksich-tigen, muss als Funktion der Stellinkremente DU aus-gedrückt werden, um in das Optimierungsproblem ein-gehen zu können. Man erhält unter Beachtung vonu�k� � I u�k � 1� � I DU�k� einen Satz an linearen Unglei-chungen der Form

��C1 u�k � 1� � C2 DU�C1 u�k � 1� � C2 DU

� �≤ �Umin

Umax

� �(17)

und insgesamt das beschränkte quadratische Optimierungs-problem

minDU

J�DU� � minDU

��DU�T�UTU � W��DU�� 2�DU�TUT�R � Fz�k��NB : M�DU� ≤ N�k� z�k��

(18)

Die Lösung dieses Problem ergibt das geforderte Rück-führgesetz, das aufgrund der Beschränkungen nichtlinearist, d. h. der geschlossene Regelkreis ist ebenfalls nicht-linear [13]. Dies erschwert die Bestimmung der Stabilitätdes geschlossenen Regelkreises, kann aber durch geeigneteMaßnahmen bereits explizit in der Formulierung des Opti-mierungsproblems berücksichtigt werden [12, 14]. Durch dieAbhängigkeit der Beschränkungen von u(k – 1), und eventuellvom aktuellen Prozesszustand, kann das Optimierungspro-blem nicht mehr analytisch gelöst werden, d. h. die Stellgrö-ßen sind parallel zum laufenden Prozess durch numerischeLösung des Optimierungsproblems zu berechnen.

4 Ergebnisse

Der im vorangegangen Abschnitt vorgestellte modellprädik-tive Regler wird auf das nichtlineare, unendlich-dimen-sionale Streckenmodell angewandt. Die Systemparameterwerden dabei so gewählt (Tab. 1), dass das ungeregelte,nichtlineare System ein oszillatorisches Verhalten aufweist.Da es sich um einen linearen Regler handelt, wird der Pro-zess in die Nähe der stationären Ruhelage gebracht. OhneRegelung würde der Prozess aufgrund der Instabilität derRuhelage in den zugehörigen Grenzzyklus übergehen undOszillationen in der Größenverteilung würden auftreten.Für den modellprädiktiven Regler werden die Parameter inTab. 1 verwendet. Es wird von einem idealen Strecken-modell ausgegangen und als Gütefunktional wird Gl. (13)mit einem Prädiktionshorizont von 30 min und einem Stell-horizont von 10 min bei einer Abtastrate von 1 min ange-setzt. Als Mess- und Regelgröße wird die Gesamtoberflächealler Partikel im System, y = l2, angenommen. Diese kann –wie bereits erwähnt – z. B. aus der Messung bzw. Rekon-struktion der Anzahldichteverteilung bestimmt werden[9, 10]. Als zeitlich konstante Stellgrößenbeschränkung wirdangenommen, dass xM nur im Intervall [0,18, 0,22] mmvariiert werden kann. Der Zeitaufwand für die iterativeLösung des Optimierungsproblems auf einem handelsübli-chen Rechner liegt deutlich unter einer Sekunde und istdamit wesentlich kleiner als die Abtastrate und die charak-teristischen Zeitkonstanten des Prozesses. Die Einsatz-fähigkeit des Reglers an industriellen Anlagen ist damitgegeben.

Zur Einordnung gegenüber klassischen Entwurfsverfah-ren wird der Ansatz mit einer PI-Ausgangsregelung (pro-portional interval, PI) und einem linear-quadratischen Zu-standsregler (LQR) verglichen. Der PI-Regler wird dabei soausgelegt, dass die Fehlerquadratsumme (integral squarederror, ISE) minimiert wird:


Tabelle 1. Prozessparameter für die kontinuierliche Sprühgranu-lation, die zu einem oszillatorischen Verhalten der Partikelgrö-ßenverteilung im Apparat führen.

Größe Wert

Bettmasse (t = 0), mbed [kg] 10,0

Sollwert Bettmasse, mset [kg] 10,0

Massenstrom externe Keime �Mnuc [kg s–1] 5,55 · 10–5

Massenstrom eingedüster Feststoff �Msolid [kg s–1] 1,38 · 10–2

Feststoffdichte qsolid [kg m–3] 1440,0

Keimgröße x0 [m] 0,1 · 10–3

mittlere Trenngröße Obersieb x1 [m] 0,5 · 10–3

mittlere Trenngröße Untersieb x2 [m] 0,4 · 10–3

mittlere Größe der gemahlenen Partikel xM [m] 0,2 · 10–3


ISE ��∞

0

e2�t� dt � (19)

Hierin bezeichnet e(t) = r(t) – y(t) den Fehler zwischenMess- bzw. Regelgröße y(t) und dem Referenzsignal r(t),wobei als Referenzsignal in dieser Arbeit die zum zu stabili-sierenden Arbeitspunkt gehörige Gesamtoberfläche der Par-tikel gewählt wird.

Der LQ-Regler wird nach dem gleichen Gütefunktionalwie der modellprädiktive Regler entworfen. Als Zeithorizontwird T → ∞ gewählt, so dass ein zeitinvariantes Stellgesetzder Form u = –Pz resultiert.

Die Ergebnisse für die drei verschiedenen Regler (MPCmit Stellgrößenbeschränkungen, PI-Regler und LQ-Regler)sind in den Abbn. 6 bis 10 dargestellt. Die Ergebnisse fürden modellprädiktiven Regler und den entworfenen LQ-Regler sind vergleichbar, mit einem leichten Geschwindig-keitsvorteil des modellprädiktiven Reglers trotz der formu-lierten Einschränkungen in der Stellgröße (Abb. 10). DerPI-Regler zeigt, aufgrund seiner einfachen Struktur, dasschlechteste Ergebnis, ist aber dennoch in der Lage für denausgewählten Arbeitspunkt die Abweichung von der insta-bilen Ruhelage zu begrenzen. Weitergehende Untersuchun-gen zeigen jedoch, dass für den PI-Regler die Ergebnissestark vom Arbeitspunkt abhängig sind. Für bestimmteArbeitspunkte ist der Prozess nicht nur instabil, sondernzusätzlich nicht-minimalphasig [15]. In diesen Fällen kannder Prozess nicht mehr durch einen einfachen PI-Reglerstabilisiert werden.

5 Zusammenfassung

In diesem Beitrag wurde ein modellprädiktives Regelungs-konzept zur Stabilisierung instabiler Arbeitspunkte in derkontinuierlichen Wirbelschichtsprühgranulation mit exter-

ner Klassierung über einen Sieb-Mahl-Kreislauf vorgestellt.Im Gegensatz zu klassischen Regelungsmethoden, z. B. PI-und LQ-Regler, erlaubt dieser Ansatz die explizite Berück-sichtigung von Beschränkungen, z. B. in den Stellgrößen,wie sie oftmals in der praktischen Anwendung auftreten. InSimulationsrechnungen konnte gezeigt werden, dass dieserAnsatz in der Lage ist, die instabilen Arbeitspunkte zu stabi-lisieren. Im Vergleich mit klassischen Verfahren konnteeine Äquivalenz bzw. Verbesserung des Regelungsergebnis-ses festgestellt werden. Weitergehende Arbeiten werden ne-ben der Erweiterung des Ansatzes auf Anfahrvorgänge auchdie experimentelle Validierung des Reglers zum Inhalthaben.


Abbildung 6. Anzahldichteverteilung in der Wirbelschicht mitund ohne Einsatz der entworfenen Regler (40 min nach Auslen-kung aus der instabilen Ruhelage); x ∈ [0,1, 0,7] mm.




Die Autoren bedanken sich für die Förderung dieserArbeit durch das Bundesministerium für Bildung undForschung (BMBF) im Rahmen des InnoProfile-Trans-fer-Projektes „NaWiTec“ (03IPT701X).

Formelzeichen

A,B,C,F [–] ZustandsraummatrizenBnuc, Bmill [s–1] Partikelanzahlstrom

e [m2] RegelfehlerG [m s–1] WachstumsrateI [–] Einheitsmatrixmbed, mset [kg] aktuelle/gewünschte Bettmasse�Msolid, �Mnuc [kg s–1] Massenstrom Feststoff/Keime�nrec, �nout [m–1s–1] Partikelanzahldichtestromn [m–1] AnzahldichteverteilungNc [–] Anzahl SteuerungsschritteNp [–] Anzahl Prädiktionsschritteq0 [m–1] normierte AnzahldichtefunktionR [m2] Referenzverlauf über Prädiktions-

horizontqsolid [kg m–3] Feststoffdichtet [s] ZeitT1, T2 [–] Trennfunktion Sieb 1, 2Tsample [s] Abtastzeitu [m] StellgrößeW [–] Wichtungsmatrixx [m] Partikel-/Trenndurchmessery [m2] MessgrößeY [m2] Messgrößenverlauf über

Prädiktionshorizontz [–] ZustandsraumvektorDU [m] Stellinkremente über Steuerungs-

horizontU [–] Zustandsraummatrixlj [mj] vollständiges Moment j-ter Ord-

nung

Abkürzungen

ISE FehlerquadratsummeLQR linear-quadratischer ReglerMPC modellprädikativer ReglerPI proportionaler Intervall-Regler

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Abbildung 9. Anzahldichteverteilung in der Wirbelschicht mitund ohne Einsatz der entworfenen Regler (160 min nach Auslen-kung aus der instabilen Ruhelage). Die Ergebnisse für den LQ-und beschränkten MPC-Regler sind vergleichbar, während dieAbweichung unter Anwendung des PI-Reglers noch erheblich ist;x ∈ [0,1, 0,7] mm.

Abbildung 10. Darstellung der Stellgrößenprofile für die ver-wendeten Regelungsansätze. Das vergleichsweise schlechteErgebnis für den PI-Regler wird hier durch das weite Verfahrender Stellgröße sichtbar.


[9] C. Fischer, M. Peglow, E. Tsotsas, Chemical Eng. Sci. 2011, 66,2842.

[10] A. Bück, M. Peglow, E. Tsotsas, M. Mangold, A. Kienle, AIChEJ. 2011, 57, 929.

[11] E. Camacho, C. Bordons, Model Predictive Control, Springer,London 1999.

[12] D. Mayne, J. Rawlings, C. Rao, P. Scokaert, Automatica 2000,36, 789.

[13] A. Bück, Dissertation, Otto-von-Guericke-Universität Magde-burg 2012.

[14] H. Chen, F. Allgöwer, Automatica 1998, 34, 1205.[15] S. Palis, Dissertation, Otto-von-Guericke-Universität Magde-

burg 2012.



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Modellbasierte Regelung der Partikelgrößenverteilung in der kontinuierlichen Wirbelschicht-Sprühgranulation