Modellering og splitrange regulering af et ventilationsanlægetd.dtu.dk/thesis/258820/DTU_Master_Ventilationsanlaeg_Kjeld... · Modellering og splitrange regulering af et ventilationsanlæg

Kjeld Nielsen

Modellering og splitrange regulering af et ventilationsanlg Masterafhandling, December 2009

Modellering og splitrange regulering af et ventilationsanlg

Rapporten er udarbejdet af: Kjeld Nielsen Vejleder(e): Lektor Hans-Henrik Niemann

DTU Elektro Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Denmark [email protected]

Projektperiode:

Efterr - 2009

ECTS: 15 ECTS

Uddannelse:

Masteruddannelse.

Retning:

Elektro

Klasse:

Offentlig

Udgave:

1. udgave

Bemrkninger:

Denne rapport er indleveret som led i opfyldelse af kravene til ovenstende uddannelse p Danmarks Tekniske Universitet.

Rettigheder:

Kjeld Nielsen, 2009

Masterafhandling DTU Modellering og splitrangeregulering af et ventilationsanlg. Kjeld Nielsen 1 - 262 ________________________________________________________________________________________________

1. Abstrakt 1.1 Abstract This master thesis concerns the design of a qualitative mathematical thermal and CO2-loaded model of a room including a ventilation plant which is controlled by a discrete splitrange governing system.

The thermal model of the room takes into account the heat emitted from humans as well as the heat released from the use of electrical devices in the room. The influence from the ambient temperature and the insulation of the wall constitute a part of the thermal model for the temperature development in the room.

The room is supplied with hot air via air ducts and there is developed a thermal model for the spread of air through the air ducts to and from the room based on a Pade approximation of the time delay.

The mathematical model of the ventilation plant involves a heat recovery plant which consists of a complementary damper coupled with a controlled air/air heat exchanger plant and a 3 way complementary valve governed coupled water/air heat exchanger.

There has been developed a mathematical CO2- concentration model for the room including the human related CO2- generation. The regulation of the CO2- concentration in the room takes place via the mathematical model of frequency transformer controlled ventilation motors.

The temperature regulation in the room is controlled by a discrete PI governor with an advanced splitrange function for control of a model with a damper and a valve basing the air temperature in the room on a model of temperature measurement of the air in the room. The CO2- regulation in the room is controlled by a discrete PI governor based on a mathematical measurrement of the CO2- concentration in the room.

The models are based on Laplace transformed linear fixed time differential equations and has been described as transfer functions in the Laplace domain. The PI governor has been dimensioned according to the set continuous model based on frequency analytical methods and has been equivalated to a discrete governor by a Tustin approximation.

All the mathematical models have been constructed and simulated in Matlab + Simulink at the system synthetis. Different event based scenarios have been developed to test the operability of the models and the stability of the developed governor model by human related input and CO2- loads changing the ambient temperature.

A model of the unlinear differential equations has been developed to realize the system and test the developed governors.

2 - 262 Masterafhandling DTU Modellering og splitrangeregulering af et ventilationsanlg. Kjeld Nielsen _______________________________________________________________________________________________

1.2 Abstrakt Denne masterafhandling omhandler udvikling af et design af en kvalitativ matematisk termisk og CO2-belastet model af et lokale og et tilhrende ventilationsanlg, der er styret af et diskret splitrange reguleringssystem.

I den termiske model af lokalet tages der hjde for den menneskerelaterede varmeeffektafsttelse samt anvendelse af elektriske varmeafgivende apparater i lokalet. Omgivelsestemperaturens indvirkning samt vggens isolation er en del af den termiske model for lufttemperaturudviklingen i lokalet.

Lokalet luftforsynes med varm luft via luftkanaler, hvorom der er udviklet en termisk model for luftudbredelsen gennem luftkanalerne til og fra lokalet, baseret p en Pade approksimation af tidsforsinkelsen. Den matematiske model af ventilationsanlgget er opbygget med et varmegenindvindingsanlg i form af et komplementr spjldstyret medkoblet luft/luft-varmeveksleranlg samt en 3-vejs komplementr ventilstyret medkoblet vand/luft-varmeveksler.

Der er udviklet en matematisk CO2-koncentrationsmodel for lokalet, hvor den menneskerelaterede CO2-generering indgr. Reguleringen af CO2-koncentrationen i lokalet sker via af to matematisk modelopbygget frekvensomformerstyret ventilatormotorer.

Temperaturreguleringen i lokalet er styret af en diskret PI-regulator med en udviklet splitrange funktion, til styring af en model af et spjld og en ventil, hvor lufttemperaturen i lokalet er baseret p en model af en temperaturmling af luften i lokalet.

CO2-reguleringen i lokalet er styret af en diskret PI-regulator, baseret p en matematisk model af en mling af CO2-koncentrationen i lokalet. Modellerne er opbygget af Laplacetransformerede lineariserede tidsinvariante differentialligninger og er beskrevet som overfringsfunktioner i Laplacedomnet.

PI-regulatoren er dimensioneret ud fra den opstillede kontinuere model, ud fra frekvensanalytiske metoder, og er kvivaleret til en diskret regulator ved en Tustin approksimation.

Ved systemsyntesen er alle de udviklede matematiske modeller opbygget og simuleret i Matlab + Simulink. Der er udviklet forskellige eventsbaserede scenarier for test af funktionaliteten af modellerne og stabiliteten af den udviklede regulatormodel, omhandlende den menneskerelaterede effektbelastning, CO2-belastning og ndring af omgivelsestemperaturen.

For systemrealiseringen er der opbygget en model af de ulinere differentialligninger for test af de udviklede regulatorer.


2. Indholdsfortegnelse 1.ABSTRAKT........................................................................................................................................1

1.1Abstract..........................................................................................................................................11.2Abstrakt..........................................................................................................................................2

2.INDHOLDSFORTEGNELSE..................................................................................................................3

3.FORORD...........................................................................................................................................7

3.1Forord.............................................................................................................................................7

4.NOMENKLATURLISTE.......................................................................................................................8

5.INDLEDNING..................................................................................................................................10

5.1Indledningogbaggrund...............................................................................................................10

6.PROBLEMFORMULERING,AFGRNSNINGOGANVENDTANALYSEMETODE....................................10

6.1Problemformulering......................................................................................................................106.2Problemafgrnsning....................................................................................................................116.3Anvendtanalysemetode...............................................................................................................11

7.VENTILATIONSANLG....................................................................................................................12

7.1Ventilationsanlggetsopbygningogfunktionalitet...................................................................12

8.LOKALET........................................................................................................................................13

8.1Termiskmodelaflokalet..............................................................................................................138.2Energibalanceforlokalet.............................................................................................................148.3Energibalanceforvggen............................................................................................................178.4UdsugningsluftensmlbaretemperaturTl6(t)..............................................................................198.5OverfringsfunktionGql,Tl6(s)........................................................................................................228.6OverfringsfunktionGTl4,Tl6(s).......................................................................................................248.7OverfringsfunktionGTomg,Tl6(s)....................................................................................................258.8OverfringsfunktionGPper,Tl6(s)ogGPel,Tl6(6)..................................................................................278.9Stepresponsetestafoverfringsfunktionerneforlokalet............................................................298.10Korttidsanalysemodelafoverfringsfunktionenforlokale.......................................................308.11Modelreduktion..........................................................................................................................328.12Lokaledata..................................................................................................................................34

9.LUFTKANAL....................................................................................................................................35

9.1Termiskmodelafenluftkanal......................................................................................................359.2Kanalopdelingafluftkanal...........................................................................................................399.3DdtidTdforluftudbredelseniluftkanalen..................................................................................42

10.TEMPERATURMLER....................................................................................................................45

10.1Termiskmodelafentemperaturmler......................................................................................45

11.ANALOGREGULERINGSVENTIL.....................................................................................................47

11.1Modelafanalogreguleringsventil.............................................................................................4711.2Modelafanalog3vejsreguleringsventil....................................................................................4911.3Blokdiagramafventilogvarmevekslere....................................................................................54


12.REGULATOREN.............................................................................................................................57

12.1KontinuertPIregulator..............................................................................................................5712.2DiskretPIregulator....................................................................................................................5812.3Integratorwindup......................................................................................................................6312.4AlgoritmeforendiskretPIregulator.........................................................................................6512.5Samplingstidfordiskretregulator..............................................................................................6512.6SamplingstidfordiskretPIregulatorforCO2regulering...........................................................6812.7Lavpasfiltrering...........................................................................................................................6912.8Kvantisering................................................................................................................................6912.9Ulinerdiskretregulatoroglimitcycle.....................................................................................7212.10ProgrameksempelforenminiPLC...........................................................................................73

13.VAND/LUFTVARMEVEKSLER........................................................................................................74

13.1Matematiskmodelafenvand/luftvarmeveksler......................................................................7413.2Varmebalanceforvarmetilfrslenpprimrsidenafvarmeveksleren.....................................7513.3Varmebalanceforvarmegennemgangengennemmetalskillefladen........................................7613.4Varmebalanceforvarmeoverfringmellemmetalfladeogluft.................................................7813.5LuftafgangstemperaturenTl3(s)...............................................................................................8013.6OverfringsfunktionGTl2,Tl3(s).....................................................................................................8313.7OverfringsfunktionGTvi,Tl3(s).....................................................................................................8413.8OverfringsfunktionGql,Tl3(s)......................................................................................................8613.9Overfringsfunktionerneforvand/luftvarmeveksleren............................................................8713.10ReturvandstemperaturenTvu(s)................................................................................................8913.11OverfringsfunktionGTvi,Tvu(s)...................................................................................................9213.12OverfringsfunktionGTl2,Tvu(s)..............................................................................................9413.13OverfringsfunktionGql,Tvu(s)....................................................................................................9513.14StepresponsetestafoverfringsfunktionerneTL3(t),Tvi(t)ogTvu(t)..........................................9713.15VentilstyredemodelafventilationsanlggetGe,PVtemp(s).........................................................9813.16Setpunktndringeraflokaletemperaturen............................................................................10513.17Stationrtilstandvedtemperaturreguleringencyclelimit.................................................10613.18Effektbelastningsndringilokalet.........................................................................................10713.19Stationretilstandeforvarmeveksler...................................................................................10913.20Dataforvand/luftvarmeveksler............................................................................................110

14.LUFT/LUFTVARMEVEKSLER........................................................................................................111

14.1Matematiskmodelafenluft/luftvarmeveksler......................................................................11114.2Varmebalanceforkonvektivvarmeovergangpprimrsiden................................................11214.3Varmebalanceforvarmegennemganggennemmetalskillefladen..........................................11314.4Varmebalanceforvarmeoverfringmellemmetalfladeogluften...........................................11514.5Overfringsfunktionforluft/luftvarmeveksleren....................................................................11914.6Overfringsfunktionerneforluft/luftvarmeveksleren.............................................................12014.7OverfringsfunktionGTl1,Tl2A(s)..................................................................................................12014.8OverfringsfunktionGTl7,Tl2A(s)..................................................................................................12114.9OverfringsfunktionGql,Tl2A(s)...................................................................................................12314.10OverfringsfunktionGa,Tl2A(s).................................................................................................12414.11OverfringsfunktionGu,Tl2A(s).................................................................................................12614.12Matematiskmodelafetventilationsspjldogluftensblandingstemperatur.......................12714.13Stationrstillingforspjldetogluft/luftvarmeveksler.......................................................13014.14Samletoverfringsfunktionforspjldetogluft/luftvarmeveksleren...................................133


14.15OverfringsfunktionGu,Tl2(s)udenlufttilbagekobling.............................................................13514.16OverfringsfunktionGu,Tl2(s)medlufttilbagekobling..............................................................13614.17OverfringsfunktionGe,PVtemp(s)..............................................................................................14014.18Aktuatormedendeligtsignalomrde....................................................................................14314.19DiskretPIregulatormedendeligA/DogD/Akvantisering..................................................14614.20Spjldreguleringvedvariationiomgivelsestemperaturen....................................................15014.21Limitcyclefordenulinerereguleringsproces......................................................................15214.22Spjldreguleringsfunktionalitetogregulatorparametre......................................................15514.23Luft/luftvarmeveksler............................................................................................................156

15.SPLITRANGEREGULERING...........................................................................................................157

15.1Splitrangreguleringafspjldogventil....................................................................................15715.2CO2reguleringen......................................................................................................................16015.3Temperatursplitrangereguleringmedfrikling........................................................................16115.4Splitrangestyringafspjldogventil........................................................................................16215.5OverfringsfunktionGe,Tl6(s).....................................................................................................16715.6Lukketreguleringssljfeforsplitrangereguleringen.................................................................17215.7Reguleringenudkobletmedfastholdtaktuatorstilling.............................................................17315.8Effektbelastningsndringerilokaletmedsplitrangeregulator...............................................17415.9VariationiomgivelsestemperaturenTomg(t).............................................................................17615.10KombineresbelastningsndringerafTomg(t)ogeffektbelastningilokalet............................17815.11ndringeriluftflowet............................................................................................................17915.12ndringafTomg(t),effektbelastningogndringiluftflowql(t).............................................180

16.CO2KONCENTRATIONEN............................................................................................................181

16.1ModelforCO2koncentrationenilokalet.................................................................................18116.2OverfringsfunktionGBel,Cco2,lok(s).............................................................................................18216.3OverfringsfunktionGql,Cco2,lok(s)...............................................................................................18316.4CO2generering.........................................................................................................................18416.5CO2mler.................................................................................................................................18516.6Frekvensomformerogfrekvensomformerstyretventilatormotor............................................18516.7Tidsforsinkelse..........................................................................................................................18616.8KorrigeredePIregulatorparametrevedCO2regulering.........................................................19116.9AnvendtePIregulatorparametreforCO2regulering...............................................................192

17.HVACSPLITRANGEREGULERING..................................................................................................194

17.1Medogudenregulering...........................................................................................................19517.2Scenariummedeffektbelastningogkonstantomgivelsestemperatur.....................................19717.3Scenariummedeffektbelastningogvariabelomgivelsestemperatur......................................19817.4CO2reguleringenilokalet........................................................................................................20017.5Worstcasescenarium..............................................................................................................201

18.SENSITIVOGKOMPLEMENTRSENSITIVITET..............................................................................202

18.1Sensitivitetforventilationsanlgget.......................................................................................20218.2Sensitivitetenafindblsningslufttemperaturenspvirkningaflokaletemperaturen..............20418.3Sensitivitetenafluftflowbelastningenspvirkningaflokaletemperaturen.............................20518.3Sensitivitetenafeffektbelastningenspvirkningaflokaletemperaturen................................20618.4SensitivitetenafmenneskebelastningenpvirkningafCO2koncentrationenilokalet............20718.5Komplementrsensitivitetafmlestjenspvirkningaflokaletemperaturen.......................208


19.ULINERMODEL........................................................................................................................210

19.1Systemrealiseringafulinermodelogregulatorer.................................................................21019.2Simulereteksperimenteltbestemmelseafeffektstrrelsenforvarmevekslerne.....................21019.3Testafsystemrealiseringpulineropbyggetmodelafventilationsanlg...........................21219.4Ulinermodelafventilationsanlg........................................................................................21519.5UlinermodelafventilationsanlgopbyggetiSimulink........................................................217

20.KONKLUSIONOGDISKUSSION....................................................................................................218

21.PERSPEKTIVERING......................................................................................................................219

22.SIMULINKMODELLERAFVENTILATIONSANLG..........................................................................220

22.1UlinerSimulinkmodellerafventilationsanlg.......................................................................22022.2LinereSimulinkmodellerafventilationsanlg......................................................................223

23.MATLABPROGRAMKODE...........................................................................................................228

24.LITTERATURLISTE........................................................................................................................258

24.1Anvendtlitteratur.....................................................................................................................258


3. Forord

3.1 Forord Denne masterafhandling er udarbejdet som led i bestemmelserne for at opn mastergraden og som afslutning p en gennemfrt masteruddannelse ved Danmarks Tekniske Universitet DTU. Arbejdet er udfrt ved DTU Elektro med Lektor Hans-Henrik Niemann som vejleder.

Jeg vil gerne takke min vejleder Lektor Hans-Henrik Niemann for mange gode rd og vejledning, samt stor tlmodighed i forbindelses med projektskrivningen.

Endvidere vil jeg takke min kone Lene og mine store snner Steffen og Lasse for stor overbrenhed under hele masteruddannelsesforlbet.

Emdrup december 2009

Kjeld Nielsen


4. Nomenklaturliste

Vlok Volumen af lokale [m3] Ai Areal af indervg [m2] Ay Areal af ydervg [m2] i Varmeovergangstal mellem indervg og luft [W/(m2 K)] y Varmeovergangstal mellem ydervg og luft [W/(m2 K)] Cvg Vggens samlede varmekapacitet af isolation og beton. [J/(kg K)] Tvm(t) Vggens middeltemperatur [C] ql(t) Luftflow i lokale [m3/s] x Luftflowandel der gennemventilerer hele lokalet (0 x 1) Luftens tilgangstemperatur (friskluft) [ ] Luftens afgangstemperatur p luft/luft-veksler [ ] Luftens blandingstemperatur [ ] Tl3(t) Luftens indblsningstemperatur fra luft/luft-veksler til luftkanal [C] Tl4(t) Luftens indblsningstemperatur til lokalet [C] Tl5(t) Lokalets ikke mlbare lufttemperatur [C] Tl6(t) Lokalets mlte middeltemperatur [C] Tl7(t) Luftens udblsningstemperatur fra luftkanal til luft/luft-veksler [C] Tl8(t) Luftens udblsningstemperatur luft/luft-varmeveksler til omgivelserne [C] Omgivelsestemperatur [ ] Omgivelsestemperatur for oplgning af luftkanal indendrs [ ]

TF(t) Vandforsyningens varmtvand fremlbstemperatur [C] Tvi(t) Vandets indlbetemperatur til varmeveksler [C] Tvu(t) Vandets udlbstemperatur fra varmeveksler [C]

, Varmeovergangstal mellem luft og metal p indersiden af rr [W/m2 K] , Varmeovergangstal mellem metal og luft p ydersiden af rr [W/m2 K] , Areal af metalrrfladen for inder- og yderrr [m2] Varmeledningskoefficient for isolation [W/m K] L Lngden af luftkanal delafsnit[m] r1, r2 Radius af inder- og yderrr [m]

Rtot Termisk rrmodstand [K/W m] Vk Volumet af luftkanalen delafsnit [m3] Rf Termisk modstand for metalfler [K/W]

Vf: Volumen af metalfler [m3] f Metalfrerens massefylde [kg/m3] cpf Specifik varmekapacitet for metalfler [J/kg K]

qvt(t) Flow fra vandforsyningen gennem ventilen [m3/s] qp Konstant pumpeflow gennem varmeveksler [m3/s]

Maksimal bningsgrad [m3/h] Tryktab over ventilen [Pa]

z(t): Normeret spindelposition Kz: Ventilforstrkning [V-1] v: Ventilens tidskonstant [s] Kpos: Positioner forstrkning [V]

pos: Positioner tidskonstant [s] u(t): Styresignal [V]

Varmeovergangstal mellem vand og metal vand/luft-veksler [W/m2 K] Varmeovergangstal mellem metal og luft vand/luft-veksler [W/m2 K] Areal af metalflade mellem vand og metalskilleflade vand/luft-veksler [m2] Areal af lamel metalflade mellem luft og vand/luft-veksler [m2] Massen af lamel, rr metalskilleflade vand og luft vand/luft-veksler [kg] Varmekapacitet for metalskillefladen vand/luft-veksler [J/K]


Varmevekslerens vandvolume vand/luft-veksler [m3] , Konstant vandflow til og fra vand/luft-veksler [m3/s] Vandets densitet [kg/m3] Vandets specifikke varmekapacitet [J/(kg K)]

Ml Massen af luften i varmeveksleren [kg] Luftens densitet [kg/m3] Luftens specifikke varmekapacitet [J/(kg K)] , Areal af metalflade luft/metalskilleflade luft/luft-veksler [m2] Varmeovergangstal luft/metal p primrsiden luft/luft-veksler [W/m2 K] Varmeovergangstal metal/luft p sekundrsiden luft/luft-veksler [W/m2 K] Massen af metalskilleflade mellem luft og luft luft/luft-veksler [kg] Varmevekslerens luftvolumen primrsiden og sekundrsiden [m3] Metalpladens specifikke varmekapacitet [J/(kg )] ql2a Luftflow gennem veksler [m3/s] Luft bypass veksler [m3/s] Luftflow gennem lokale [m3/s] Spjldindex (0 a 1) qv,co2 Menneskegenereret ren CO2 [kg/s] Cco2,lok CO2-koncentrationen i lokalet [kg/m3] Cco2,ind CO2-koncentrationen i friskluft, konstant [kg/m3] Bel Belastningsgrad af lokalet for mennesker, elektriske apparater (0 Bel 1) n: Antal personer i lokalet qv,co2: Menneskegenereret ren CO2 [m3/s]


5. Indledning 5.1 Indledning og baggrund Min baggrund for at valg af afhandlingstema er fra mit fuldtidsarbejde som underviser p Kbenhavns Maskinmesterskole & Elinstallatrskole, hvor jeg underviser i praktisk styring og reguleringsteknik. Undervisningen er baseret p en meget begrnset matematisk tilgang til emnet uden overfringsfunktioner eller matematisk modellering. Derfor var det et nrliggende nske for mig at vlge en analytisk dybdegende tilgang til emnet modellering og diskret regulering p en fiktiv opbygget model af et ventilationsanlg. Et fiktivt anlg jeg kunne arbejde med hjemme aften og weekends.

Min baggrund er svagstrmsingenir fra DIA Elektro 1988, og jeg har samtidig med fuldtidsarbejdet gennemfrt undervisningen p masteruddannelsen ved DTU, som beskrevet under fleksibel master uddannelse p DTU. Undervisningsforlbet p master-uddannelsen har vret en faglig spndende udfordring og en opdatering af ingeniruddannelse. Dertil er get mange sene aftner og weekends de sidste 3 r.

Nrvrende skriftlige afhandling er blevet noget strre end forventet p grund af de mange ndvendige og forklarende kurver og en del matematisk modeludledning. Jeg har forsgt at slette og reducere s meget af de matematiske modeludledninger uden at miste overblikket og den rde trd gennem udledningerne af modellerne, hvilket jeg selv har valgt som kerneomrdet for afhandlingen.

Kildehenvisninger i nrvrende afhandling str skrevet i firkantede parenteser [xx] og henviser til kap. 24 om anvendt litteratur. Formler og figurer er tildelt nummer efter kapitlet nummer.

6. Problemformulering, afgrnsning og anvendt analysemetode 6.1 Problemformulering

Hvilke fysiske parametre er en tilnrmet termisk matematisk model af et lokale opbygget af, nr der skal fortages temperaturregulering af lokalet, og modellen skal indeholde information om menneskerelateret effektafsttelse i lokalet, omgivelsestemperaturen samt vgisolationens indvirkning p lokaletemperaturens udvikling?

Hvilke fysiske parametre er en tilnrmet termisk dynamisk model af en medstrms vand/luft- og en luft/luft-varmeveksler opbygget af, med henblik p opvarmning af klig indblsningsluft i et ventilationsanlg?

Hvordan er den tilnrmede matematiske model opbygget for et komplementrt ventilationsspjld, der leder indblsningsluften gennem en luft/luft-varmeveksler og anvendes som varmegenindvindingsanlg samt en komplementr 3-vejsventil, der leder varmt vand gennem en vand/luft-varmeveksler?

Hvilke fysiske parametre er indeholdt i en tilnrmet dynamisk model af en luftkanal for transport af varm luft?

Hvilke fysiske parametre er en tilnrmet dynamisk model af CO2-koncentrationen i et lokale opbygget af, nr modellen skal indeholde information om menneskegenereret CO2?

Hvordan kan et konventionelt SISO-system, med en diskret PI-regulator og splitrangefunktion, anvendes til at styre en ventil og spjld p en varmeflade i et ventilationsanlg for at regulere p lufttemperaturen i lokale?


6.2 Problemafgrnsning Ved analysen af den tilnrmede temperaturmodel for lokalet betragter jeg luften for tr og uden fugt, hvorved enthalpiberegninger for luftens naturlige indhold af vanddamp ikke skal medregnes. Temperaturafhngige konstanter som varmefylden for vand og luft, bliver tilnrmet betragtet som konstante. Varmeovergangstal for luft-metal og vand-metal i varmevekslerne vil tilnrmet ogs blive betragtet som konstante p trods af, at de afhnger af flowet og strmningsprofilerne langs metaloverfladerne. Jeg begrnser mig i analysen til kun at betragte konvektiv varmetransmission.

Luft/luft-varmeveksler og vand/luft-varmeveksleren betragtes tilnrmet som et homogent lukket system, der er s velisolerede, at de ikke giver noget varmetab til omgivelserne. Der vil vre medtaget varmetab gennem vgge i lokalet til omgivelserne og varmetab fra luftkanalerne til omgivelserne, hvor luftkanalerne er oplagt. Omgivelsestemperaturen og indblsningstemperaturen vil tilnrmet altid vre mindre end 20 . Udgangspunktet for valg af regulator har vret et SISO-system med en konventionel PI-regulator, der findes i ethvert PLC-system, med ekstra tilhrende programimplementering af en splitrangefunktion.

Jeg har valgt ikke at foretage nogen modelreduktion, da jeg ikke er i besiddelse af et egnet software, og p grund af at de analytiske modelreduktionsmetoder f.eks. Pade-approksimationsmetoden er meget tidskrvende.

6.3 Anvendt analysemetode Jeg har, ved opbygningen og deskriptionen af modelleringen af det fysiske ventilationsanlg, valgt at tage udgangspunkt i de grundlggende dynamiske fysiske forhold omkring et ventilationsanlgs funktionalitet og de dertilhrende beskrivende ikke partielle differentialligninger af systemet. De analytisk opstillede ulinere differentialligninger er blevet lineariseret i et givent arbejdspunkt og Laplacetransformeret til en overfringsfunktion i afvigelsesvariable i frekvensdomnet. Analysen ved opstilling af modellerne af ventilationsanlgget samt dimensionering af regulatorerne, er foretaget ud fra de klassiske teorier om et linert, tidsinvariat system, hvor alle elementerne er af deterministisk natur med koncentreret parametersystem, hvor alle differentialligninger er tidsfunktioner. Alle de opstillede overfringsfunktioner er systematisk blevet underkastet en rkke undersgelseselementer. Elementerne bestr af en beskrivende analytisk og numerisk overfringsfunktion, nulpunktbestemmelse for overfringsfunktionen, udarbejdet et frekvensanalytisk bodeplot samt udfrt stepresponseundersgelse med tilhrende fortolkning af responset. Der er ved stepresponseundersgelserne p vsentlige bensljfeoverfringfunktioner bestemt stigetid og indsvingstid. I forbindelse med dimensionering af de kontinuere regulatorer er der optegnet Nyquistdiagrammer af bensljfe overfringsfunktionerne for at undersge den relativ stabilitet, som kontrol i forhold til bestemmelse af nsket forstrknings- og fasemargin.

De diskrete regulatorer er konstrueret ud fra kvivalente kontinuere regulator parameterbestemmelse, der er fundet p klassisk frekvensanalytisk vis. Samplingstiden for de diskrete regulatorer er bestemt ud fra den kontinuere ventilationsproces egen reaktionstid fremkommet ved stepresponseforsg. Den opbyggede model af ventilationsanlgget samt de dimensionerede diskrete regulatores funktionalitet, i forhold til at fastholde temperaturen i lokalet, er alle testet i forhold effektvariationer ved belastningen af lokalet, variationer i omgivelsestemperaturen og luftflowmngden.

For alle de udarbejdede modeller af elementerne i ventilationsanlgget, er de stationre ligninger analytisk udviklet og numerisk beregnet ved anvendelse af Matlab. Overfringsfunktionerne for de opbyggede modeller af ventilationsanlgget, svel den ben- som den lukkede reguleringssljfe, er opbygget i Simulink og testet i Matlab. De dimensionerede diskrete regulatorer og splitrangefunktionen, er implementeret i en Simulinkmodel af ventilationsanlgget. Funktionalitetstest af de udviklede regulatorer sker p den linere model af ventilationsanlgget. Systemrealiseringen for test af dimensionerede regulatorer, er simuleret i Matlab + Simulink, ved et opbygget ventilationsanlg med ulinere differentialligninger. Jeg har anvendt en ldre udgave af Matlab ver. 6 + Simulink med Control system Toolbox fra 2003.


7. Ventilationsanlg 7.1 Ventilationsanlggets opbygning og funktionalitet

6lT8lT 7lT

4lT3lT

viT

AlT2 2lT lq

lq

vuTvq

omgT

omgT

5lT

mT

2mT

lq

2omgT

2omgT

1lT

1lT

Alq 2

3lq

lq

a

lq

Fremlb

2CO

M

tempPV

tempU

2COU2COPV

M

SY

SY

M

TC

CCO2

Figur 7.1 Procesinstrumenteringsdiagram af ventilationsanlg

Reguleringsobjektet er et lokale/auditorium hvor der er plads til 30 personer der udfrer stillesiddende varmeafgivende arbejde. I lokalet er der placeret 15 PCer og lampesteder der afgiver varmeeffekt til luften i lokalet med temperaturen Tl5(t). Lokalets fire vgge er opbygget af isolerede betonvgge og er omgivet af omgivelsestemperaturen Tomg(t). For at konstantregulerer p lokaletemperaturen, er der opbygget et ventilationsanlg.

Ventilationsanlgget er et fiktivt, men klassisk opbygget model af et ventilationsanlg, med varmegenindvindingsanlg via en luft/luft-varmeveksler. Friskluft indtaget med temperaturen Tl1(t), passerer en komplementr spjldkonstruktion, sledes at luftmngden gennem og uden om luft/luft-varmeveksleren, kan styres ved at ndre spjldets analoge stilling. Afkastluften fra lokalet er tilfrt luft/luft-varmeveksleren med temperaturen Tl7(t). Luftindtaget og luftafkastet er synkront og variabelt, og foretages at to motordrevne ventilatorer der styres af to frekvensomformere.

Lokalets middelkoncentration af genereret CO2 mles i luftafkastkanalen, og reguleres af en diskret regulator der styrer frekvensomformerne der driver ventilatorerne. CO2-reguleringen er et SISO-system.

Den klige friskluft Tl1(t) forvarmes via varmegenindvindingsanlgget til temperaturen Tl2(t) og eftervarmes gennem vand/luft-varmeveksleren til temperaturen Tl3(t). Den opvarmede friskluft Tl3(t) transporteres via luftkanalen til lokalet med temperaturen Tl4(t) og fra lokalet via isolerede luftkanaler. Lufttemperaturen flader hen gennem luftkanalen.

Varmtvand fremlbstemperaturen til vand/luft-varmeveksleren, er styret via en analog komplementr 3-vejsventil. Lokalets middeltemperatur mles i luftafkastkanalen Tl6(t) og der foretages konstantregulering via en PLC. Reguleringssystemet er et SISO-system. Styringen af det analoge spjld og ventil sker ud fra en splitrange strategi, sledes af spjldet og ventilens bningsgrad, styres ud fra en forudindstillet profil af regulatorsignalet.

For et givent stationrt arbejdspunkt er omgivelsestemperaturen Tomg, 0 = 5 , oplgningstemperaturen for luftkanalerne Tomg2,0 = 15 . Vandtemperaturen fra det offentlige fjernvarmenet TF,0 = 70 og lokaletemperaturen er valgt til Tl5,0 = 20 .


8. Lokalet 8.1 Termisk model af lokalet Centralt ved opbygning og dimensionering af et reguleringssystem til temperaturregulering af et lokale, er den matematiske model af lokalet med de begrnsninger og tilnrmelser man altid bliver nd til at beg. Hvilke indre og ydre pvirkninger er bestemmende for temperaturen i lokalet. Jeg har valgt at lokalet er et mindre undervisningsauditorium, der pladsmssigt er dimensioneret til 30 personer med stole og borde til15 effektafgivende PCer og dertil hrende varmeafgivende lampesteder samt afgiven kropsvarme svarende til normal stillesiddende arbejde for 30 mennesker. Inspireret af div. bestemmelser for bygningskonstruktion fra bl.a. SBI, har jeg opbygget et fiktivt lokale med typedata fra det virkelige liv. Jeg forudstter at reglerne for den mekaniske dimensionering og placering af selve ventilationsanlggets indblsnings- og udsugningsdysser i lokalet er overholdt. [14],[15]

En tilnrmet model med forskellige variable, der pvirker temperaturudviklingen i lokale, kan simplificeres med flgende blokdiagram fig. 8.1. Lokaletemperaturen afhnger af effektbelastningen fra antallet af mennesker og udfrt arbejde samt varmeafgivende apparater der anvendes i lokalet. Omgivelsestemperaturen uden for lokalet har en indlysende pvirkning at lokaletemperaturen. For at holde lufttemperaturen og luftkvaliteten konstant, skal det opbyggede ventilationsanlg kunne regulere temperaturen og luftkvaliteten, ved at styre p den indblste og udsugede luftmngde samt styre p indblsningsluftens temperatur.

Lokale

Luftflow

peraturUdelufttem

tVarmeeffek

urgstemperatIndblsnineraturLokaletemp

Figur 8.1 Blokdiagram af model for et lokale

I det flgende skal der opbygges en matematisk model af lokalet. Ved den matematiske modelleringen af lokalet, bliver jeg nd til beg modeltilnrmelser og begrnse detaljeringsgrader for lokalets funktionalitet. Jeg har valgt med tilnrmelse, at middeltemperaturen af udsugningsluftens, er et samlet udtryk for den afgivne, tilfrte og genererede effektpvirkning af lokalet.

Den aktuelle middeltemperatur i lokalet Tl5(t) er ikke mlbar, men udsugningsluftens middeltemperatur Tl6(t) mles i luftkanalen. Den analoge temperaturtransmitter Tl6(t) er placeret i udsugningskanalen i kort afstand af lokalet. Lokalet totalvolumen er Vlok. Luftflowet til og fra lokalet er altid ens men er numerisk variabelt ql(t).

Lokalet ydervgge antages p alle fire sider, at vre omgivet af luft med omgivelsestemperaturen Tomg(t). Lokalet antages tilnrmet kun at udveksle energi med vggene og ikke gulv og loft. Inder- og ydervggens samlede areal er ikke lige store Ai og Ay pga. lokalevggens tykkelse. Middeltemperaturen for vggen er benvnt Tvm(t) og vggens samlede varmekapacitet er givet ved Cvg.

Graden af totalventilation af lokalet er givet ved faktoren x, der indikerer i hvor stor grad lokalet udluftes. For x= er det kun den halve luftmngde der medgr i selve den termiske ventilationsproces.


omgTvmT

ll qT ,4

5lT

ll qT ,6

vgC

Lokalelxq

lokV

iA

yA

lqx)1(

Figur 8.2 Model af lokale

Vlok: Volumen af lokale [m3] Ai: Areal af indervg [m2] Ay: Areal af ydervg [m2] i: Varmeovergangstal mellem indervg og luft [W/(m2 K)] y: Varmeovergangstal mellem ydervg og luft [W/(m2 K)] Cvg: Vggens samlede varmekapacitet af isolation og beton. [J/(kg K)] Tl4(t): Temperaturen p indblsningsluften [C] Tl5(t): Lokalets ikke mlbare lufttemperatur [C] Tl6(t): Lokalets middeltemperatur [C] Tvm(t): Vggens middeltemperatur [C] ql(t): Luftflow i lokale [m3/s] x: Luftflowandel der gennemventilerer hele lokalet (vrdi mellem 0 og 1)

8.2 Energibalance for lokalet Til bestemmelse af en matematisk model for lokalet, opstilles en energibalanceligning (8.1) for lokalet, i form af tilfrt, afgivet og akkumuleret varme:

, , 8.1

8.2

Herved fremkommer der en ulinere differentialligning, der skal lineariseres omkring et arbejdspunkt, ved anvendelse af en Taylor rkkeudvikling til 1. orden.

Ulinert led X(t) lineariseres:

,,

,,

8.3

Hvilket giver:

, , , , 8.4

Ulinert led Y(t) lineariseres:

,,

,,

8.5


, , , , 8.6

Differentialligningen omskrives i afvigelsesvariable:

, ,

, ,

, ,

Stationrt udtryk af differentialligningen i et givent arbejdspunkt hvor alle tidsafledede er nul:

, , , , , , , , 8.7

Indsttes det stationre udtryk i ovenstende lineariserede differentialligningen og omskrives denne i afvigelsesvariable, fremkommer flgende linere tidsinvariante differentialligning:

,

, , , 8.8

Ved omskrivning fs:

1 , , ,

, 8.9

Blokdiagram af modellen fig. 8.3 af lokalet bestr af ovenstende Laplacetransformerede lineariserede differentialligning for lokaletemperaturen Tl5(t).

)(4 sTl++

)(sTm

)(5 sTl+

)(sql

plll cxq 0,

)( 0,50,40, llplll TTcxq

ii A

+

+

+ ++ +

scV plllok1

iiplll Acxq +0,

)(sPel

)(sPper

Figur 8.3 Blokdiagram af modellen for lokalet

Den Laplacetransformerede differentialligningen giver flgende:

,

, , , 8.10


Hvilket giver:

, ,

, , ,

,

1

,

1

, 8.11

Blokdiagram af model for temperaturen i lokalet:

)(4 sTl ++

)(sTvm

)(5 sTl+

)(sql

+

+

+ ++

)(sPel

)(sPper

iiplllplllok AcxqscV ++ 0,

1

iiplllplllok

ii

AcxqscVA

++ 0,

iiplllplllok AcxqscV ++ 0,

1

iiplllplllok

llplll

AcxqscVTTcxq

++

0,

0,50,40, )(

iiplllplllok

plll

AcxqscVcxq

++ 0,0,

Figur 8.4 Blokdiagram af modellen for temperaturen i lokalet

I ovenstende differentialligning (8.9) og blokdiagram fig. 8.4 af samme, indgr udtrykket for flowet ql(s) med et positivt fortegn til Tl5(s). Arbejdspunktet for opvarmningsprocessen, er valgt sledes at luftindblsningstemperaturen er strre end lufttemperaturen i lokalet; Tl4,0 > Tl5,0, hvilket vil medfre at temperaturen i lokalet vil stige sfremt luftflowet gs. Da alle strrelser er i afvigelsesvariable vil en snkning af luftflowet ql(s), medfre en numerisk negativ vrdi, der vil pvirke lokaletemperaturen Tl5,0 i negativ retning.

I ovenstende udtryk for lokaletemperaturen Tl5(s) indgr den interne middeltemperaturen af vggen Tvm(s). Ligning nskes reduceret s udtrykket Tvm(s) substitueres med omgivelsestemperaturen Tomg(s).


8.3 Energibalance for vggen For at udvikle en matematisk model for vggen, opstilles en energibalance, i form af tilfrt energi fra luften i lokalet til vggen, afgivet varmeenergi fra vggen til omgivelserne og den akkumuleret varme i vggen:

, 8.12

, 8.13

Herved fremkommer en linere tidsinvariant differentialligning. For en stationr tilstand ved et givent arbejdspunkt, hvor alle tidsafledede led er nul, fs:

, , , , 8.14

Differentialligning nsker omskrevet i afvigelsesvariable:

, ,

,

Indsttes det stationre udtryk i differentialligningen omskrevet i afvigelsesvariable, fremkommer flgende differentialligning i afvigelsesvariable:

,

8.15

Den Laplacetransformerede differentialligningen giver flgende:

, 8.16

1

, 8.17

)(5 sTl++

)(sTomg

)(sTvmii A+

sCM vgvg

1

yyii AA +yy A

Figur 8.5 Blokdiagram af model for vggen

Ved omskrivning fs:

1

, 8.18

,

, 8.19

,

1

,

1 8.20


Modellen for vgtemperaturen kan udtrykkes som to 1. ordens overfringsfunktioner, med tidskonstanten og forstrkningen givet ved:

,

,

,

8.21

Udtrykket for middeltemperaturen af vggen Tvm(s) indsttes i ligning for lokaletemperaturen Tl5(s), hvilket giver, idet nvnerne forkortes som flger:

1 , 8.23

2 , 8.24

, 1 , ,

1 12

2

11

11 8.25

, 1 , ,

1 1 2 1 2

11

11 8.26

1 1 2 ,

1 , ,

1 1 2

11

11 8.27

1 21 2

,

1 , ,

1

1 2

11

11 8.28

2 ,

1 2 2 , ,

1 2

1 2

21 2

21 2 8.29


, ,

1 2

, , ,1 2

1 2

, 1 2

,

1 2 8.30

, , ,

, ,

, , , , , , ,

, ,

,

, ,

,

, , 8.31

8.4 Udsugningsluftens mlbare temperatur Tl6(t) Ved korrekt installation af ventilationsanlgget, er det et nske at luftskiftet er total i hele lokalet. Dette er selvflgelig afhngigt af placeringen af indblsnings- og udsugningsarmaturerne i lokalet. Ud fra en antagelse om at en vis andel x af indblsningsluften ql(t) udsuges direkte, uden at udveksle energi med lokalet, opstilles en energibalance for ind- og udsugningen af luften i lokalet.

Af tidligere vist fig. 8.2 Model af lokale kan en energibalance for ind- og udsugningen af luften i lokalet udvikles:

1 8.32

1 8.33

Hvor x er den andel af den totale indblste luftmngde som ikke energimssigt vekselvirker med lokalet. Ved reduktion og omskrevet i afvigelsesvariable samt Laplacetransformeret fs:

1 8.34

1 8.35


Indsttes udtrykket for lokaletemperaturen Tl5(s) i udtrykket for den mlte temperatur Tl6(s) fs idet:

1 ,

2

2 ,

1 2 2 , ,

1 2

1 2 2

1 2 1 8.36

Idet Tl4(s) forekommer flere steder i ligningen reduceres denne s der fremkommer:

2 , 1 1 2

1 2 2 , ,

1 2

1 2 2

1 2 8.37

Den mlte lokaletemperatur Tl6(s) fr flgende udtryk:

, ,

, ,

1 , ,

, ,

, , ,

, ,

, ,

,

, ,

,

, , 8.38

Med tilnrmelse antages det, at ventilationsanlgget antager et optimalt luftskifte i lokalet, dvs. at hele den indblste luftmngde medgr til en energimssig vekselvirkning, antages x = 1, vil udtrykket for Tl6(s) fr flgende mindre udtryk:


, ,

, ,

, , ,

, ,

, ,

,

, ,

,

, , 8.39

Blokdiagram af overfringsfunktion for model af lokalet fig. 8.7:

)(4 sTl ++

)(sTomg

)(6 sTl+

)(sql

( )( )( ) ( ) 2,0,

0,

)()()( iiyyiivgpvgiiplllplllplllyyiivgvg

AAAscMAcqscVcqAAscM

++++++

( )( ) ( )( ) ( ) 20,

0,50,4

)()()( iiyyiivgvgiplllplllllpllyyiivgvg

AAAscMAicqscVTTcAAscM

++++

++

( ) ( ) 20, )()()( iiyyiivgvgiplllplllyyii

AAAscMAicqscVAA

++++

)(sPel( )

( ) ( ) 2,0,,

)()()( iiyyiivgpvgiplllplllyyiivgpvg

AAAscMAicqscVAAcM

++++

++

)(sPper( )

( ) ( ) 2,0,,

)()()( iiyyiivgpvgiplllplllyyiivgpvg

AAAscMAicqscVAAcM

++++

++

+ + ++ +

Figur 8.7 Blokdiagram af model for temperaturen i lokalet

Efterflgende skal der for modellen af lokalet, foretages en analyse af hver enkelt overfringsfunktion for lokaletemperaturen Tl6(s), bestende af analytiske udtryk, bodeplot, pol-nulpunkt betragtning og stepresponse. I det efterflgende vil der blive foretaget en analyse af hver enkelt overfringsfunk.


8.5 Overfringsfunktion Gql,Tl6(s) Overfringsfunktionen fra luftflowet ql(s) til lokaletemperaturen Tl6(t).

,

, , ,

, , 8.40

Reduceret til:

,

, ,

, , , 8.41

Flgende forkortelser er anvendt:

, ,

, , ,

, ,

, , , ,

, , ,

Ved lang og kraftig reduktion samt division med , fs flgende ligning (8.42):

,

, , , ,

, , ,

,

, , , ,

,1

,

Matlab+Simulink beregninger giver flgende overfringsfunktion Gql,Tl6 (s):

,

0.0063 0,000000150,0011 0,00000023 8.42

Nulpunkter: 2,448 10

Poler: 0.0010981 2,17 10

Efterflgende er afbildet bodeplot og pol-nulpunktdiagram samt stepresponse af overfringsfunktionen Gql,Tl (s).

Af stepresponset fig. 8.9 stiger lokaletemperaturen Tl6(t) for et stigende flow ql(t), idet der tilfres en strre luftmngde og dermed en strre varmeeffekt da indgangstemperaturen er forudsat konstant.

Mas____

Bodenr steprStige

sterafhandling D_____________

Fig

eplottet fig. 8.origo er ikke uresponse fig. 8etid: 1 t 45 mi

DTU Mode_____________

gur 8.8 Bodep

.8 viser et stabumiddelbar do8.9. Stigetid oin. Indsvingst

Figu

ellering og splitr_____________

plot og Pol-nul

bilt system meominerende, j

og indsvingstidtid: 22 t 16 mi

ur 8.9 Stepresp

rangeregulerin_____________

lpunktdiagram

ed ttliggendevf. det ttliggden fremgr ain.

ponse af overf

ng af et ventilati_____________

m af overfrin

e reel pol og rgende pol og naf udmlinger

fringsfunktio

ionsanlg. K_____________

ngsfunktionen

reel nulpunkt. nulpunktpar sap steprespon

n Gql,Tl6(s)

Kjeld Nielsen _____________

Gql,Tl6(s)

Den langsomamt efterflge

nset.

23 - 262 _________

mme pol ende

24 - 262 ________

8.6 OvOverfrin

,

Reducere

Flgende

Ved redu

,

Matlab+S

Nulpunkt

Bodeplotnulpunktsteprespo

Masterafhand_____________

verfringsfngsfunktionen

et til:

e forkortelser

,

uktion samt di

,

Simulink bere

ter: 2,4

Figur 8.1

ttet og pol-nult. Den langsoonse. Stigetid

dling DTU _____________

funktion GTn fra indblsn

,

er anvendt, id

,

vision med:

,

egninger giver

,

4484 10

10 Bodeplot o

lpunktdiagramomme pol ttog indsvingst

Modellering og_____________

Tl4,Tl6(s) ningsluftens te

,

det nvneren e

,

,

,

r flgende ove

P

og Pol-nulpun

mmet fig. 8.10t ved origo er tiden fremgr

g splitrangereg_____________

emperatur Tl4(s

,

,

, ,

er ens for over

fs

,

, ,

,

erfringsfunkt

0,00059 10.00112

oler:

ktdiagram af

0 viser et stabiheller ikke heaf udmlinger

gulering af et ve_____________

(s) til lokaletem

,

,

,

rfringsfunkti

, ,

flgende udtr

1

tion GTl4,Tl6(s):

1,468 102,3 10

0.00109

overfringsfu

lt system meder dominerendr p steprespo

entilationsanlg_____________

mperaturen Tl6

,

ionerne for Tl6

ryk (8.45):

1 ,

:

2,17 1

nktionen GTl4,

d ttliggende rde, jvf. efterfonset. Stigetid

g. Kjeld Niel_____________

6(s).

8

6(s):

8

0

,Tl6(s)

reel pol og reelgende : 1 t 45 min.

lsen ____

8.43

8.44

8.46

el

Mas____

Indsvindb

8.7 Over

Redu

Flg

Ved

Matl

Pole


vingstid: 22 t lsningstemp

Overfrinrfringsfunkti

,

uceret til:

gende forkorte

reduktion sam

,

,

lab+Simulink

er: 0.0

DTU Mode_____________

16 min. I statperaturen Tl4(t)

Figur

ngsfunktionionen fra omg

,

elser er anvend

,

mt division me

,

beregninger g

,

00109


tionr tilstand) stiger 1 .

r 8.11 Stepresp

n GTomg,Tl6(sgivelsestemper

,

dt, idet nvne

ed: ,

,

giver flgende

2,17 10


d vil lokaletem

ponse af overf

(s) raturen Tomg(s)

,

eren er ens for

,

, ,

e overfringsf

0.001

Overdm


mperaturen Tl6

fringsfunktio

) til lokaletem

,

,

,

overfringsfu

fs flgende

,

funktion GTomg

0,6253112 2,3 1

mpet 2. orden

ionsanlg. K_____________

(t) stige ca. 0,

on GTl4,Tl6(s)

mperaturen Tl6(

,

unktionerne fo

udtryk (8.49)

1

g,Tl6(s):

10

ns system.


,62 hvis

(s):

or Tl6(s):

):

,

25 - 262 _________

8.47

8.48

8.50

26 - 262 ________

Bodeplot

Stabilt 2.Aflst pstationrstiger 1


t og pol-nulpu

Figur 8.1

ordens system stepresponser tilstand vil lo

dling DTU _____________

unktdiagram a

2 Bodeplot og

m med to reelet er indsvingsokaletemperat

Figur 8.13


f overfringsf

g Pol-nulpunk

le poler. Aflstiden: ti = 50tturen Tl6(t) stig

Stepresponse


funktion for m

ktdiagram af o

st p steprespt. Rigtig lang ge med ca. 0,3

e af overfring


model af GTomg

overfringsfun

ponset er stigeindsvingstid. 38 hvis om

gsfunktion GTo


g,Tl6(s)

nktionen GTomg

etiden: ts = 28 Overdmpet

mgivelsestempe

omg,Tl6(s)

g. Kjeld Niel_____________

g,Tl6(s)

t. Lang stigett system. Ved eraturen Tomg(

lsen ____

tid.

(t)


8.8 Overfringsfunktion GPper,Tl6(s) og GPel,Tl6(6) Overfringsfunktionen fra afsat effektbelastninger fra elektriske apparater Pel(s) og personer Pper(s) i lokalet til lokaletemperaturen Tl6(s). Overfringsfunktionen glder for al effektafstning inde i lokalet og da overfringsfunktionerne er ens skal udvikles kun for summen af afsat effekt i lokalet. Forholdet mellem antal personer og anvendt elektrisk udstyr er ligefremt proportionalt. Her skal kun opskrives overfringsfunktionen for summen af afsat effektbelastninger i lokalet.

, ,

, , 8.51

, 8.52

Flgende forkortelser er anvendt, idet nvneren er ens for overfringsfunktionerne for Tl6(s):

, ,

, , ,

, ,

, ,

,

Ved kraftig reduktion samt division med: , fs en yderlig reduktion, som giver flgende udtryk ligning (8.53):

,

,

,1

,

,

, , , , ,

1

,

Matlab+Simulink beregninger giver flgende overfringsfunktion GPsum,Tl6(s):

,

1,376 10 3,0 100.00112 2,3 10 8.54

Nulpunkter: 2,4484 10

Poler: 0.00109 2,17 10

Stabilt system. Ttliggende reel pol og nulpunkt.

Den langsomme pol nr origo er ikke dominerende, jvf. efterflgende stepresponse fig. 8.15. Aflst p stepresponset er stigetiden: ts = 1 t 45 min. og indsvingstiden: ti = 22t 16 min.

Ved stationr tilstand vil lokaletemperaturen Tl6(t) stige med ca. 1,5 hvis den afsatte effekt i lokalet stiger med 1 kW.

28 - 262 ________

Bodeplot

Steprespo


t og pol-nulpu

Figur 8.1

onse af overf

dling DTU _____________

unktdiagram a

14 Bodeplot og

ringsfunktion

Figur 8.15


f overfringsf

g Pol-nulpunk

n for model af

Stepresponse


funktion for m

ktdiagram af o

f GPsum,Tl6(s):

e af overfring


model af GPsum

overfringsfun

gsfunktion GPs


m,Tl6(s):

nktionen GPsum

sum,Tl6(s)

g. Kjeld Niel_____________

m,Tl6(s)

lsen ____

Mas____

8.9 Efterpviraf loenerDynudefstor

Test af Tldyna


Stepresporflgende kurvrkningskilder

okalet. Tempergiafgivelsen famikken af se

fra kommendevarmekapacit

F

af overfringl4(t), ql(t), Psumamik over for

DTU Mode_____________

onse test afver fig. 8.16 vTl4(t), ql(t), P

raturforlbet afra luften til velve lufttempee pvirkningertet.

Figur 8.16 Step

gsfunktionernem(t) og Tomg(t) indre og ydre

Figur 8.17


f overfringviser steprespo

Psum(t) og Tomg(af Tl6(t) har et ggen virker eraturen er relar, vil vggens

presponse af o

e for modelleni forhold til lo pvirkninger

7 Pulsrespons


gsfunktioneonse test af ov(t). Stepresponrelativ hurtigsom en stor enativ hurtig oves isolation og b

overfringsfun

n af lokaletemokaletemperatr, som set fra s

setest af overf


erne for lokverfringsfunknse testen er u

g stigningsforlnergibuffer deer for indefrabeton, som tils

nktionerne for

mperaturen fig.turen Tl6(t). Restepresponse t

fringsfunktion

ionsanlg. K_____________

kalet ktionen for lokudfrt p langtb dvs. kort ster giver et langa kommende sigtet virke so

r lokaletemper

. 8.17, er sket esultaterne betesten.

nerne for loka


kalet, af de indtidsanalysemotigetid, men gt indsvingsfopvirkninger

om en varmeis

raturen

ved pulsrespoekrfter lokale

ale

29 - 262 _________

dgende odellen,

orlb. . Ved solator og

onsetest ets


8.10 Korttidsanalyse model af overfringsfunktionen for lokale Ved en Korttidsanalyse model af dynamikken af lufttemperatur i lokalet, kan man tilnrmet forestille sig af vggens energimssige buffervirkning ikke indgr i overfringsfunktionen for lokaleluftens temperatur. En simplificeret model af lokalets lufttemperatur udvikles, hvor vgtemperaturen Tvg,0 og omgivelsestemperaturen Tlomg,0 er konstante. Luftflowet gennem lokalet ql,0 holdes ogs konstant.

Luften i lokalet betragtes som et stort volumen, hvor der indblses med konstant omgivelsestemperatur og udblses med variabel lokaletemperaturen. Luftens dynamik i lokalet er meget hurtigere nr der ses bort fra vggens store varmekapacitet, idet det er luftens relative hurtige dynamik der overvejende har indflydelse p temperaturen i lokalet.

Det forudsttes i den tilnrmede lokalemodel, at ventilationen i lokalet er optimal, hvorved x = 1.

, , , , 8.55

, , , 8.56

Stationr tilstand for et givent arbejdspunkt giver:

, , , , , , 8.57

Den linere differentialligningen omskrives i afvigelsesvariable og den stationre ligning indsttes, hermed fremkommer flgende ligning:

, 8.58

Differentialligningen Laplacetransformeres og reduceres og bestemmes via Matlab (8.59):

,

1

, 8.59

,

1,

,1

0,001256912,8684 1

Poler: 0.0010954

Den simplificerede og tilnrmede overfringsfunktion for lokalets dynamisk, kan tilnrmet beskrives som et stabilt 1. ordens system med en given forstrkning og tidskonstant givet ved:

1,

0,001256 8.60

,

912,8684s 8.61

Mas____

Bodemod

StabtilnAfllangtime


eplot og pol-ndel giver:

Figu

ilt system mermede korttist indsvingstigtidsanalyse mr.

F

DTU Mode_____________

nulpunktsanaly

ur 8.18 Bodepl

d en skaldt hidsanalyse moid: ti = 3,5710modellen: sti

Figur 8.19 Ste


yse fig. 8.18 a

lot og pol-nulp

hurtig reel pol.odel. Aflst 03 s ca. 1 timegetid: ts = 6,35

epresponse af


af overfrings

punktsanalyse

. Stepresponsestigetid: ts = 2r. For samme5 103s eller 1

f overfringsfu


funktionen fo

e af overfring

e fig. 8.19 af o2,01103 s ca. enligning gld1t 45 min. og

unktion for kor

ionsanlg. K_____________

r den tilnrm

gsfunktionen G

overfringsfun33 min. dende for stepindsvingstid:

rttidsanalyse m


mede korttidsan

GPsum,Tl5(s)

nktionen for d

presponse for ti = 8,02 104s

model

31 - 262 _________

nalyse

den

s ca. 22

32 - 262 ________

8.11 MDen mateen afvejntilgngelmindst mLangtidudtryk fo

En nrmkorttidsandynamik modellerhvor forsmatemati

,

Modellen

SammenlKorttids


Modelredukematiske modning mellem, hlig den matem

mulig tilnrmedsanalysemodeor de to overf

mere analyse afnalyse model der er ndven

rne kan der udskellige eller eisk udtryk lign

,

n for Korttids

lignende Bodesanalysemode

Figur 8.20 B

dling DTU _____________

ktion del af anlggehvor komplice

matiske model else beskrive del og Korttidringsfunktion

f de to modellr n vlges, s

ndig og tilstrdarbejdes et boens modellernning (8.62):

,

sanalyse har

,

eplot af overfl giver:

Bodeplot af ov


et skal beskriveret og prciser at beskrive

det virkelige adsanalysemodner.

ler, kan evt. gifremt den redkkelig til at bodeplot, en poes dynamik er

,

,

flgende mat

fringsfunktion

verfringsfunk


e anlggets d en dynamisk e og databehananlg. Overfdel er umidde

ive anledning ducerede modbeskrive modeol-nulpunktsanr. Modellen fo

,

, ,,

tematisk udtry

,

nerne for Lan

ktionerne for


dynamik. Ved model der er

ndle. Modelleringsfunktionelbart meget f

til, at den redel med rimelig

ellen af lokaletnalyse samt steor Langtidsan

1 ,

yk:

1,

,1

ngtidsanalyse

korttids- og la


valg af modelbrug for, og h

en skal p enkenerne for forskellige jvf.

duceres matemg tilnrmelse t. For at sammepresponse, fonalyse har f

1 ,

emodel og

angstidsanalys

g. Kjeld Niel_____________

l, vil det altid hvor nem og el vis blot og

f. det matemati

matisk indeholder de

menligne or at f et indtlgende

8

semodel

lsen ____

vre

med

iske

en

tryk i

8.63

Mas____

SamKormindmelmellLannulp

Vedroverforsk


mmenlignes borttidsanalysemdre forskel i follemfrekvensolem de to modngtidsanalysemunkt plomber

Figur 8.21

rrende sammrensstemmelsekel mellem de

Figur 8

DTU Mode_____________

deplottet for omodel af lokaorstrkning i omrdet. Ifldeller. Forklarmodellen harring.

Pol-nulpunkt

menligningen ae mellem de toe to modeller,

8.22 Stepresp


overfringsfunalet, ud fra de lavfrekvensomlge bodeplotteringen kan mr et meget ttl

tdiagram af ov

af nedenstendo modeller. Stsom skyldes v

onse af overf


nktionerne figmeget forskel

mrdet og en met er der med tske sges vedliggende pol-n

verfringsfunk

de steprespontigetiderne er rvggens store

ringsfunktion


g. 8.20 for Lallige matematmindre forsketilnrmelse god en pol-nulpunulpunkt par,

ktion for kortt

nse fig. 8.22 afrelativ ens, m

e termiske buf

n for korttids-

ionsanlg. K_____________

angtidsanalyseiske overfrin

el i fasen i od dynamisk ounktsanalyse, der virker som

tids- og langti

f de to overfrmen indsvingstiffervirkning.

og langtidsan


emodel og ngsfunktioner,

overensstemmidet

m en tilnrme

idsanalysemod

ringsfunktioneiden udgr de

nalysemodel

33 - 262 _________

, er der en

melse

et pol-

del

er ses god en store


P trods af den besnrende lighed i dynamikken af overfringsfunktionerne for Langtidsanalysemodellen og Korttidsanalysemodellen af lokalet, vlger jeg at benytte overfringsfunktionen for Langtidsanalysemodellen pga. den strre lavfrekvente forskel i forhold til lokaletemperaturen ved stationre stilstand.

8.12 Lokaledata Den foregende analyse af overfringsfunktion af lokalet, er udarbejdet p efterflgende data. Lokalemodellen tager udgangspunkt i et forholdsvis fiktivt lokale, hvor jeg har anvendt firmaspecifikke [22],[23] dataoplysninger for bygnings- og isolationsmaterialer. Modellen af lokalet er begrnset af, at de termiske bevgelser kun vekselvirker med vggene og ikke med loft og gulv.

Dimension: H x B x L =3,0 m x 10,00 m x 20,0 m

Vgtykkelsen: 0,3 m

Varmeovergangstal inde fra luft til vg: i = 2 W/m2K

Varmeovergangstal uden fra vg til luft: y = 6 W/m2K

Betons varmefylde: cp,beton = 800 J/(kg K);

Betons densitet: beton = 2400 kg/m3

Isolations materiales varmefylde: cp,isolation = 840 J/(kg K)

Isolationsmaterialets densitet: iso = 15 kg/m3

Betons andel af vgtykkelsen = 57 %

Isolationsmaterialets andel af vgtykkelsen: 43 %

0,129 m

0,3 m

Ioslation

Beton

Figur 18.23 Vggen med isolation og beton

Vggen er lavet af beton med en mellemkerne af isolationsmateriale. Total vgtykkelsen er 0,3 m hvoraf 57 % er beton og 43 % isolationsmateriale. Da der ikke er brug for at analysere varmestrmningerne gennem vggen, kan denne opfattes som et homogent blandingsmateriale med en totalvgt og total specifik varmekapacitet. Vggens samlede middelvarmekapacitet er fundet ud fra tykkelsen af vg, volumenandelen af vg for beton og isolationsmateriale, massen af medget beton og isolationsmateriale samt respektive massefylder for beton og isolationsmateriale.

, , , 8.64


9. Luftkanal 9.1 Termisk model af en luftkanal Luftkanalen til transport af opvarmet luft til og fra lokalet, er opbygget af to koncentriske rr, med et termisk isolerende materiale mellem de to rr.

Figur 9.1 Luftkanal

Gldende for luftkanalen:

, : Varmeovergangstal mellem luft og metal p indersiden af rr [W/m2 K] , : Varmeovergangstal mellem metal og luft p ydersiden af rr [W/m2 K] , : Areal af metalrrfladen for inder- og yderrr [m2] , : Luftens tilgangstemperatur [ ] , : Luftens afgangstemperatur [ ] : Omgivelsestemperatur for oplgning af luftkanal [ ] : Varmeledningskoefficient for isolation [W/m K] L: Lngden af luftkanal [m] r1, r2: Radius af inder- og yderrr [m]

Rtot: Termisk rrmodstand: 1.0 K/W pr. m. ved 25 mm isolation. [19] Vk: Volumet af luftkanalen [m3] Hvis et delstykke dx af luftkanalen betragtes som et endeligt rum, kan en energibalance for varmestrmmen gennem luftkanalen opstilles ved [13]:

, , , 9.1

, ,, 9.2

Det afgivne energitab ved radir varmestrm ud gennem metaloverfladen p luftkanalens inderside, i form af konvektionstab inde i rret mellem den strmmende luft og metalrrets inderside, er givet ved:

, , , , 9.3

Varmestrmmen i form af varmetab gennem de to koaksiale rrflader, er med tilnrmelse givet ved, idet varmemngden er en funktion af vejen hvorved varmen er tilfrt [13]:

, 2

21

, , 9.4


Det afgivne energitab ved radir varmestrm ud gennem metaloverfladen p luftkanalens yderside, i form af konvektionstab fra ydersiden af rret til luften med omgivelsestemperaturen er givet ved:

, , , 9.5

Det sammensatte og totale varmetab ved varmestrmmen gennem luftkanalen, kan med tilnrmelse sammenstilles til flgende [13]:

,

1,

21

21,

9.6

, 1

, 9.7

Den tidligere opstillede differentialligningen for energibalance for varmestrmmen gennem luftkanalen, er hermed givet ved flgende ulinere differentialligning:

,, ,

1 , 9.8

Gldende for stationr tilstand i et arbejdspunkt:

, , , ,1

, , 9.9

Differentialligningen lineariseres omkring det stationre arbejdspunkt, ved anvendelse af en Taylor rkkeudvikling af 1. Orden. Ulinere led Z1(t) lineariseres (9.10):

1 , 1 1 1, ,

,

,1

,,

1 , , , , , 9.11

Ved linearisering af det andet analoge ulinere led fs (9.12):

2 , 2 2 2, ,

,

,2

,,

2 , , , , 9.13

Differentialligningen omskrives i afvigelsesvariable:

, ,

, ,

Hvilket giver:

, , ,

,1

, , 1

9.14


Eller reduceret til:

,

1 ,1

, ,

1 , ,

9.15

Laplacetransformeret ligning:

, ,1

, , 1

, , 9.16

Ved stationr tilstand fs:

,1

, , , ,1

, , , , 9.17

Efterflgende er et blokdiagram fig. 9.2 af den Laplacetransformerede lineariserede differentialligning.

)(sTlin

plll cq 0,

+

)(sql

scV pllk1

)(sTlouttotplll Rcq 10,

)( 0,0, loutlinpll TTc ][WP

)(2 sTomgtotR1

+ ++ +

][WP

][WP

Figur 9.2 Blokdiagram af model for en luftkanal

Ved reduktion fs:

,,

1

, , ,

,

1

, 9.18

Omskrevet til:

,1 1

,

,1

1,

, ,

,1

1,

,1

9.19


Blokdiagram af model for en luftkanal:

)(, sT inl

)(sql

)(2 sTomg

+ ++ +1

11

0,

0,

+

sqV

Rcq

l

k

totplll

( )

1

1

0,

0,0,0,

+

sqV

TTq

l

k

loutlinl

1

1

0,

0,

+sqV

Rcq

l

k

totplll

)(, sT outl

Figur 9.3 Blokdiagram af model for en luftkanal

Varmegennemgangen i luftkanalen kan beskrives som en overfringsfunktion af 1. orden, med en tidskonstant og forstrkning givet ved:

Forstrkning: 1,

0,9914

Tidskonstant: ,

2,945

Idet luftkanalens termisk rrmodstand pr. m Rtot er valgt til 1.0 K/W pr. m. ifl. Lindab ved 25 mm isolation. [19]. Stationrt luftflow ql,0 = 0,36 m3/s og volumen af en luftkanal Vk = 1,06 m3. Varmestrmmens udbredelse gennem luftkanalen er som funktion af luftflowet ql(t). Svagheden ved den beskrevne model er, at den beskriver et endeligt rum med en homogen temperatur. Dette vil ikke vre i overensstemmelse med virkeligheden, idet lufttemperaturen vil falde hen igennem luftkanalens lngderetning.

Varmeafgivelsen er strst i begyndelsen af luftkanalen, idet indgangstemperaturen her er strst. I luftkanalens lngderetning falder lufttemperaturen og effektafgivelsen til omgivelserne uden for den isolerede luftkanal. For ikke at skulle g ud i termiske varmestrmninger i det 3-dimentionale rum, vil jeg kun forholde mig til varmestrmmen og varmetab i luftkanalens lngderetning.


9.2 Kanalopdeling af luftkanal Ved en opdeling, diskretisering af luftkanalen i et antal mindre enheder, vil der ske en tilnrmelse fra modellen bestende at et rum til et givent antal flere og mindre rum i forlngelse, med en faldende temperatur. Ved opdelinger i N antal delenheder af luftkanalen, vil delvolumet blive 1/N af totalvolumet. Den termiske modstand for luftkanalen Rtot vil blive N gange strre, idet hvert delelement indeholder en mindre overflade, hvorigennem varmeeffekten kan strmme til omgivelsestemperaturen.

)(tTn )(1 tTn+ )(2 tTn+ )(3 tTn+

)(1 tQn+)(tQn )(2 tQn+ )(3 tQn+

)(tTout)(tTin

Figur 9.4 Opdelt luftkanal

Den diskretiserede differentialligning fr flgende lineariserede udtryk:

, ,

, , ,

,1 , , , , , ,

1 9.20

Gldende for n = 1,2,3 og 4. Antal delelementer: N =4.

Termisk modstand: Delvolumen:

Stationr tilstand i arbejdspunktet for hvert delvolumen for n = 1, 2, 3 og 4 er givet ved:

, , , , ,1,

, , , 9.21

Den Laplacetransformerede overfringsfunktion for et delelement (9.21):

, ,1 1

,

,1

,

1,

, , , ,

,1

1,

,1 9.22


Efterflgende blokdiagram af overfringsfunktion af luftens outputtemperatur fig. 9.5:

)(,, snT inl

)(sql

)(2 sTomg

+ ++ +1

11

0,

0,

+

sqN

VRNcq

l

k

totplll

( )

1

,,1

0,

0,0,0,

+

sqN

V

nTnTq

l

k

loutlinl

1

1

0,

0,

+

sqN

VRNcq

l

k

totplll

)(,, snT outl

Figur 9.5 Blokdiagram af delafsnit af model for en luftkanal

Blokdiagram af overfringsfunktionen for en hel luftkanal, udarbejdet efter ideen om diskretisering af luftkanalens totalvolumen for N = 4:

)(1,, sT outl )(3,, sT outl

)(sql

)(2 sTomg

+ ++ +1

11

0,

0,

+

sqN

VRNcq

l

k

totplll

( )

1

3,3,1

0,

0,0,0,

+

sqN

V

TTq

l

k

loutlinl

1

1

0,

0,

+

sqN

VRNcq

l

k

totplll

)(4,, sT outl

)(sql

)(2 sTomg

+ ++ +1

11

0,

0,

+

sqN

VRNcq

l

k

totplll

( )

1

4,4,1

0,

0,0,0,

+

sqN

V

TTq

l

k

loutlinl

1

1

0,

0,

+

sqN

VRNcq

l

k

totplll

)(, sT inl

)(sql

)(2 sTomg

+ ++ +1

11

0,

0,

+

sqN

VRNcq

l

k

totplll

( )

1

1,1,1

0,

0,0,0,

+

sqN

V

TTq

l

k

loutlinl

1

1

0,

0,

+

sqN

VRNcq

l

k

totplll

)(sql

)(2 sTomg

+ ++ +1

11

0,

0,

+

sqN

VRNcq

l

k

totplll

( )

1

2,2,1

0,

0,0,0,

+

sqN

V

TTq

l

k

loutlinl

1

1

0,

0,

+

sqN

VRNcq

l

k

totplll

)(2,, sT outl

Figur 9.6 Blokdiagram af model for opdelt luftkanal

Rtot: Termisk rrmodstand pr. m. 1.0 K/W pr. m. ifl. Lindab ved 25 mm isolation. [19]

Herved fremkommer der flgende overfringsfunktion for N = 4:

, , ,

1 1,

,1

0,9660.2939 1,597 3,253 2,945 1 9.23

Overfringsfunktionen for den opdelte luftkanal, er at 4. orden med en stationr forstrkning p 0,966. Faktoren hvormed indgangstemperaturen er faldet i forhold til outputtemperaturen, er givet ved overfringsfunktionens stationre forstrkning p 0,966, if. slutvrdistningen ved en enhedstrinfunktions pvirkning.

Efterflgende kurve fig. 9.7 vises de sammenlignende Bodeplot og stepresponse for den samlede overfringsfunktionen for den simple 1. ordens system og opdelte 4. ordens system for en luftkanal model. Den opdelte model giver, pga. dets strre systemorden, et forget bidrag til den negative fasedrejning. Fasedrejningen p -360 svarer til det forventede, if. et 4. ordens system. Stepresponset for den opdelte model, udviser lavere forstrkning, dvs. strre temperaturfald og strre effektafgivelse til omgivelserne.

Mas____

Bode

Efterenkeluftktilsyn


eplot og stepr

rflgende stepelte delelemenkanalens lngdneladende tiln

DTU Mode_____________

esponse af de

Figur 9.7 Bod

prespons fig. 9nter af en hel lderetning. Denrmelsen nog


to modeltype

deplot og step

9.8 af den opdluftkanal. Outpen termiske moget bedre i for

Figur 9.8 St


er for en luftka

presponse af d

delte luftkanal puttemperaturodel for den orhold til det vi

tepresponse af


anal fig. 9.7:

de to modeltyp

for N = 4, visren for hvert dopdelte luftkanirkelige system

f opdelt luftka

ionsanlg. K_____________

per for en luftk

ser de opdeltedelelement er nal, forger sym.

anal


kanal

e stepresponsefaldende hen

ystemorden m

41 - 262 _________

e for de N gennem en gr


9.3 Ddtid Td for luftudbredelsen i luftkanalen Idet den opvarmede luft transmitteres gennem luftkanalen, vil der altid vre en vis udbredelsesforsinkelse af selve luften gennem luftkanalen. Udbredelsesforsinkelsen, benvnt her ddtid Td, er en funktion af luftflowet ql(t), samt afhngig af luftkanalens lngde L og luftkanalens tvrsnitsareal Aluftkanal.

4150,36 4 0,3

1,06

0,362,945 9.24

For stationr tilstand i arbejdspunktet, gldende for:

L: luftkanallngde 15 m

r1: Inder radius i cirkulr luftkanal 0,15 m

ql,0: Luftflow 0,36 m3/s

Efterflgende blokdiagram fig. 3.9 afbilder den simple model af luftkanalen med tidsforsinkelsen Td:

)(, sT inl

)(sql

)(2 sTomg

+ ++ +1

11

0,

0,

+

sqV

Rcq

l

k

totplll

( )

1

1

0,

0,0,0,

+

sqV

TTq

l

k

loutlinl

1

1

0,

0,

+sqV

Rcq

l

k

totplll

)(, sT outlsTde

Figur 9.9 Blokdiagram af luftkanal med tidsforsinkelse

Overfringsfunktionen for G Tl,in ,Tl,out (s) er givet ved:

, , , , ,

1 1

,

,1

9.25

Efterflgende Bodeplot fig. 9.10, for den opdelte luftkanal med og uden tidsforsinkelse, fremgr det ekstra negative faseforskydnings bidrag som tidsforsinkelsen Td frembringer som funktion af frekvensen. Forstrkningen er som ventet uberrt af tidsforsinkelsen. Som tidsforsinkels

Documents

Modellering og splitrange regulering af et ventilationsanlægetd.dtu.dk/thesis/258820/DTU_Master_Ventilationsanlaeg_Kjeld... · Modellering og splitrange regulering af et ventilationsanlæg