Modelli deterministici e modelli stocastici per la ... · • Le interazioni avvengono tra quantità discrete, in determinati ... interi di molecole che reagiscono in istanti casuali,

G. M. Toffolo

Bressanone GNB 2010 1

Gianna Maria Toffolo, Alberto Corradin, Barbara Di Camillo

Dipartimento di Ingegneria dell’Informazione

Università di Padova

Modelli deterministici e modelli stocastici per la Molecular Systems Biology

1

Sommario

• Formulazione di modelli deterministici (ODE) della

trascrizione, traduzione e degradazione

• Modelli per descrivere effetti stocastici

• Esempio: circuito genico del retrovirus HTLV1

2

G. M. Toffolo


Dinamica geni/proteine

Vari processi: interazione, trascrizione, regolazione della trascrizione,

traduzione, degradazione di trascritti e proteine

Interazione

Trascrizione

Traduzione

Regolazione

della

trascrizione

Degradazione

Degradazione

3

Modelli ODE: Bilancio di massa

La formulazione matematica di S e D può essere ottenuta dalle reazioni

chimiche alla base dei singoli processi/ipotesi semplificative

Sintesi Degradazione

Concentrazione di un

trascritto/proteina

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G. M. Toffolo


Reazioni chimiche: Legge di azione di massa

k

A + B -> C

A, B, C = specie chimiche

k = rate constant [1/tempo]

Legge di azione di massa

d[C]/dt= k∙[A]∙[B]

5C.M. Guldberg and P. Waage, Videnskabs-Selskabet i Christiana , 1864

Reazione reversibile: Equilibrio chimicokf

A + B ⇌ C

kr

kf = forward rate constant

kr = reverse rate constant

All’equilibrio:

kf ∙[A]∙[B]= kr ∙[C]

[C]= kf /kr∙[A]∙[B]=K∙[A]∙[B]

K= kf /kr = costante d’equilibrio adimensionale

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G. M. Toffolo


Interazione p/RNAp

K1

p+RNAp ⇌ p-RNAp

[p-RNAp] = K1∙[p]∙[RNAp]

Interazione

7

Trascrizione

Sr=kr∙[p-RNAp]= kr∙K1∙[p]∙[RNAp]

Trascrizione

8

kr

p-RNAp → p + RNAp + r

G. M. Toffolo


Regolazione della trascrizione

K2

p+FT⇌ p-FT

K3

p-FT + RNAp ⇌ p-FT-RNAp

ckr

p-FT-RNAp → p + FT + RNAp + r

SrFT= c∙kt ∙K2 ∙K3 ∙[p] ∙[FT] ∙[RNAp]

Regolazione

della

trascrizione

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Trascrizione totale

Srtot(t)= Sr(t)+Sr

FT(t)

[p]= costante → competizione

Regolazione

della

trascrizione

10

Trascrizione

G. M. Toffolo


Cinetica saturativa

Competizione per il legame

col promotore

cinetica Michaelis-Menten

Se il fattore di trascrizione

dimerizza (multimerizza)

cinetica Hill 11

Β1 > 0 → trans(a:vazione)

β1 < 0 →repressione

h=K1/(K2*K3)

Traduzione

SR = β’2∙[r]

Traduzione

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G. M. Toffolo


Degradazione

Degradazione

Degradazione

Dr= k0r∙[r]

DR= k0R∙[R]

13

Modello complessivo

14

G. M. Toffolo


Simulazioni deterministiche

Parametri: kt=7 /h p=1 mol/l

β1= 10 β’2 = 1 h=100

k0r=1.5/h k0R=0.07/h 15

FT=RConcentrazione proteina R

Assunzioni

• Le interazioni avvengono tra quantità discrete, in determinati

istanti di tempo fluttuazioni random

Se il numero di molecole è piccolo effetti random rilevanti

16

• Separazione della scala dei tempi: fenomeni “veloci” vengono visti come

immediati (reazioni raggiungono istantaneamente l’equilibrio)

• Trascritti e proteine si comportano in modo omogeneo

In realtà

G. M. Toffolo


Rumore nei circuiti genici

Misure a singola cellula dell’espressione di due copie di un gene

• Green fluorescence protein

• Red fluorescence protei

Rumore estrinseco: dovuto alla variabilità nella

quantità di risorse (polimerasi, fattori di

trascrizione…)

Rumore intrinseco: dovuto a trascrizione,

traduzione e degradazione

17Elowitz et al, Science 2002

Sommario

• Modelli di base della trascrizione, traduzione e

degradazione in un contesto deterministico


• Esempio: circuito genico del retrovirus HTLV-1

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G. M. Toffolo


Modello stocastico : una reazionek

Reazione R: X1 + X2 → C

x=[x1, x2] = vettore di stato (n° molecole) processo aleatorio bivariato

h(x) = funzione di rischio prop n° possibili combinazioni

x1∙ x2

Se R avviene: x→ x + + + + νννν

19

Wilkinson DJ , CRC Press, 2006

Modello stocastico : M reazioni

N specie chimiche X1…XN

x(t)= [X1(t),…,XN(t)] : vettore di stato al tempo t. Processo aleatorio

multivariato. La sua evoluzione temporale dipende da:

• qual è la prossima reazione

• quando essa avviene

M reazioni chimiche R1…RM

hj(x(t))= funzione di rischio per la reazione Ri

γi = vettore di cambiamento di stato della reazione Ri

Chemical Master Equation (CME): Facile da scrivere ma difficile

da risolvere

20

G. M. Toffolo


Due approcci

Gillespie algorithm: Simulazioni numeriche

Rumore additivo: Funzioni di trasferimento

21

Simulazioni numeriche basate sul campionamento:

• della prossima reazione (sulla base delle funzioni di rischio)

• dell’istante in cui avverrà (il numero di eventi nell’intervallo

[0,t] è un processo di Poisson)

Algoritmo di Gillespie

22

Poisson distribution

Gillespie DT J Comput Physics, 1976

G. M. Toffolo


Simulazione Stocastica

Fluttuazioni casuali e distinte per ogni realizzazione

Il trend segue la simulazione deterministica

23

Due approcci

Gillespie algorithm: Simulazioni numeriche

Rumore additivo: Funzioni di trasferimento

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G. M. Toffolo


Rumore additivo “in ingresso”

Sorgenti di rumore “shot” in trascrizione, traduzione e

degradazione.

Ipotesi:

• sistema lineare (o linearizzato)

• rumore in degradazione scorrelato da rumore nella

sintesi

Shot noise:

• processo di Poisson a campioni scorrelati

• PSD(f) =costante= 2*turn-over

25Simpson et al, Proc Natl Acad Sci, 2003

Funzioni di trasferimento

Sorgenti

introdotte

Rumore da

stimare

26

sistema linearizzato nell’intorno

dello stato stazionario

G. M. Toffolo


Rumore additivo “in uscita”

Descrizione nel dominio

della frequenza del

rumore nell’espressione

della proteina.

27

Pone le basi per l’analisi del rumore nei circuiti sintetici e

per l’introduzione di tecniche di reiezione del rumore

Sommario

• Modelli di base della trascrizione, traduzione e

degradazione in un contesto deterministico


• Esempio: circuito genico del retrovirus HTLV1

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G. M. Toffolo


HTLV-1 gene circuit

• 15 to 20 million people are HTLV-1-infected worldwide; HTLV-1 infection is

endemic in many areas of the world.

• Recently, the expression of viral genes of retrovirus HTLV-1 has been

measured (Ciminale et al., unpublished data) in infected patients.

29

Main biological processes

• primary transcript gag is either singly or

doubly spliced in the nucleus

• from double splicing origins tax/rex,

which encodes for regulatory proteins

Tax and Rex

• Tax enhances gag transcription by

transactivation (positive feedback)

• Rex prevents the double splicing of gag

into tax/rex (negative feedback), in favor

of single splicing

• from single splicing of gag derives a variety

of Rex-dependent viral genes

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G. M. Toffolo


Chemical kinetics: From reactions Chemical kinetics: From reactions to equationsto equations

• Syntheses are due to several interactions

• Each interaction is interpreted by a chemical reaction

• From reactions to mathematical formulations by mass action law

Promotor Gene

FT and e co-activator

31

Minimal rate of transcription SMinimal rate of transcription S1111(t)(t)• Several chemical equilibria: interactions with HTLV-1 promoter of TFs

NTPrS= Non-transactivated Promoter Site

• Irreversible reaction of transcription

• Mathematical formulation Macroparameter S

32

G. M. Toffolo


The model

gag

tax/rex

Tax

Rex

Rex-dependent genes

33

Parameter values

Data are reproduced qualitatively and quantitatively

34

• The model is not a priori uniquely identifiable from available data

• Some parameters were fixed to nominal values

• The model becomes uniquely dentifiable

• The remaining parameters were estimated from data with acceptable

precision

G. M. Toffolo


Is HTLV-1 a potential synthetic oscillator for eukaryotes ?

• The kinetics of HTLV-1 viral gene tax/rex are

characterized by positive and negative

feedback phenomena as synthetic oscillators

delivered into prokariotes

• Retroviruses, like HTLV-1, can penetrate into

the nucleus, where synthetic gene circuits

have to be delivered in eukaryotes

35

Tunable system parameters

• Protein Tax degradation, by

modulating ubiquitination

• MOI=n° of viral genomes

integrated in the host

genome, regulated by virus

delivery

36

G. M. Toffolo


Bifurcation analysis

ratio between Tax and Rex degradation rates

Period and amplitude are controlled by tunable parameter values

time [s]

Gillespie’s Exact Stochastic Simulations

Stochastic phenomena cause lack of synchronicity among cells

time [s]

Corradin et al.,PSB 2010

• Oscillations can be observed only by single cell measurements.

time [s]Flat average response

38

G. M. Toffolo


Steady state fluctuations

Long-tailed probability mass function of SS expression level

Retrovirus activation in

HTLV-1-infected patients?

Corradin et al., RECOMB 2010

For different parameter values the system reaches a steady state.

Stochastic phenomena can cause remarkable deviations from the

deterministic steady state solution

39

40

Conclusioni

Permette di :

• predire “in silico” il

comportamento del circuito

• controllare il comportamento di un

singolo modulo

• progettare in modo efficiente un

circuito complesso

interconnettendo moduli semplici

Una adeguata modellistica deterministica o stocastica è un

ingrediente fondamentale della synthetic biology

G. M. Toffolo


Conclusioni

41

L’impiego pratico di un modello richiede di :

• formulare le equazioni

• individuare valori numerici per i parametri

Spesso si dispone di valori solo approssimati per i parametri

L’esigenza di una caratterizzazione affidabile di un circuito richiede

• progetto di esperimenti adeguati rispetto alla complessità del

modello

• analisi di identificabilità

• stima dei valori dei parametri/precisione

• validazione del modello

Metodi di formulazione, identificazione e validazione di modelli

trovano nella synthetic biology un campo applicativo di grande

interesse.

Modelli deterministici Vs stocastici

• Reti geniche e biochimiche coinvolgono l’interazione di numeri

interi di molecole che reagiscono in istanti casuali, causando

fluttuazioni casuali nell’espressione delle singole specie chimiche

• Se il numero di molecole è piccolo,le fluttuazioni possono

comportare differenze facilmente identificabili tra cloni

• Inoltre si possono verificare discrepanze significative tra le

predizioni del modello deterministico e il reale comportamento del

sistema.

• Effetti stocastici nell’espressione genica possono avere importanti

implicazioni biologiche42

G. M. Toffolo


A simplified model

Data are reproduced qualitatively

and quantitatively

gag

tax/rex

Tax

Rex

Rex-dependent genes

43Parameter values are identified with acceptable precision

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