Modellizzazione e riduzione degli errori di campo

Universita degli Studi di Padova

DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA INDUSTRIALE

Corso di Laurea in Ingegneria dell’Energia Elettrica

Tesi di laurea magistrale

Modellizzazione e riduzione degli errori di campomagnetico in RFX-mod upgrade

Laureando:

Dimitri VoltolinaMatricola 1081471

Relatore:

Prof. Paolo Bettini

Anno Accademico 2015-2016

Alla mia famiglia

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Sommario

RFX e una macchina toroidale, costruita a Padova allo scopo di studiare le proprietafisiche dei plasmi e il loro confinamento magnetico, specialmente in configurazione RFP.Nel corso di questi anni sono stati raggiunti risultati significativi, merito anche dellesuccessive modifiche apportate alla macchina. Attualmente e in fase di progetto unanuova importante revisione (RFX-mod upgrade), il cui principale tema verte sull’elimi-nazione della camera da vuoto in cui e contenuto il plasma. Questa modifica permetteradi raggiungere regimi di confinamento avanzati, allo scopo di ottenere importanti ri-sultati sul comportamento del plasma, i quali potranno dare un grande contributo allosviluppo dei principali progetti sulla fusione nucleare (ITER, DEMO). Questo contestoha reso possibile la rivalutazione di altri aspetti progettuali, al fine di ottimizzare leprestazioni di RFX, tra i quali la gestione dei gap delle strutture metalliche conduttriciche circondano il plasma. Al fine di raggiungere i regimi di confinamento desiderati, efondamentale limitare gli errori di campo che derivano dalla presenza di tali gap. Inquesto elaborato verra presentata, sull’appoggio di precedenti studi svolti, un’analisielettromagnetica dei campi errore che si vengono a formare in due diverse situazioni:durante la fase di accensione del plasma, detta fase di ramp-up e durante la fase diflat-top, in presenza di un modo di plasma m = 1, n = 7 in condizioni di equilibriodinamico. Sono stati adottati approcci numerici diversi per la soluzione dei set di equa-zioni che descrivono le diverse situazioni. Nel caso magnetostatico, come spesso vieneadottato nella fisica dei plasmi da fusione, si e utilizzato un metodo integrale, appli-cando in modo ricorsivo la legge di Biot-Savart a elementi di volume e/o di superficieche modellizzano le sorgenti di campo. I problemi di correnti indotte, per lo studiodegli errori di campo, sono invece stati trattati attraverso una formulazione discretadelle leggi di Maxwell (Metodo delle Celle). Nel capitolo finale viene presentato unpossibile sistema di correzione locale degli errori di campo, composto da 12 bobine asella disposte in corrispondenza dei gap poloidali. In tutte le analisi il problema e statoconsiderato tridimensionale, tenendo conto della toroidicita della configurazione.

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Abstract

RFX is a toroidal device built in Padua to study the physical properties of plasmas andtheir magnetic confinement, especially in RFP configuration. In the last years relevantresults have been obtained, thanks to continuous modifications of the machine as well.A major modification is currently under design (RFX-mod upgrade), which main topicconcerns the removal of the present vacuum vessel, in order to achieve advanced con-finement regimes. This will make physicists able to obtain new relevant informationsabout plasma’s behavior, which is fundamental for the development of the main fusion’sproject, as ITER and DEMO. In this scenario other design aspects could be reconsid-ered for performance optimization of the machine, such as the the gap configurationsof the conductive structures around the plasma. These gaps produce field errors whichmust be reduced, in order to achieve the desired confinement regimes. This thesislooks at electromagnetic analysis of field errors produced in two different scenarios: theramp-up phase of the discharge, in which the plasma is formed, and the flat-top phaseof a plasma in dynamic equilibrium characterized by a m = 1, n = 7 mode. Differentnumerical methods have been considered to solve the electromagnetic problem relatedto each scenario. The magnetostatic case has been treated by a integral approach, asoften done in plasma physics: the Biot-Savart law has been applied to volume and/orsurface elements that are sources of the magnetic field in the domain of the problem.As far as the eddy-current problems is concerned, that are the cause of field errors, theCell Method has been considered, which involves the discrete formulation of Maxwell’slaws. In the end a local correction system of field errors has been suggested, made ofa set of 12 coils that span the poloidal gaps of the machine. In all the problems it hasbeen taken into account the toroidicity of the machine, so the problem has been alwayssolved by a 3D point of view.

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Indice

1 Introduzione 1

1.1 La fusione nucleare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Il criterio di Lawson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Il confinamento magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1 Plasma e moto delle cariche elettriche . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.2 Sistema di riferimento toroidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.3 Equilibrio MHD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.4 Equilibrio radiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.5 Equilibrio toroidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.6 Tokamak - RFP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Reversed Field Experiment 17

2.1 RFX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Sistema di confinamento magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.1 Avvolgimento di campo toroidale (TF) . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.2 Avvolgimento magnetizzante (OH) . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.3 Avvolgimento di campo verticale (FS) . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 RFX-mod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4 RFX-mod Upgrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4.1 Vaccum Toroidal Support Structure (VTSS) . . . . . . . . . . . . 25

2.4.2 Passive Stabilizing Shell (PSS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5 Errori di campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6 Riepilogo delle configurazioni dei gap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Il metodo delle celle 33

3.1 Il concetto di cella nello spazio 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1.1 Orientazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.1.2 Complesso duale di celle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Matrici e numeri di incidenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3 Formulazione discreta delle leggi di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4 Analisi modale 45

4.1 Modi di plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2 Discretizzazione del dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2.1 Plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2.2 Punti di calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3 Definizione delle sorgenti di campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.4 Campo prodotto dal plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.4.1 Determinazione di Wf e ∇Wf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

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4.4.2 Risultati della simulazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.5 Risposta della shell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.5.1 Formulazione integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.5.2 Risultati della simulazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5 Fase di ramp-up 635.1 Descrizione del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.2 Effetto delle correnti indotte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6 Sistema di correzione locale 696.1 Calcolo del campo radiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.2 Flusso concatenato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.3 Considerazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.4 Esempio di compensazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.5 Risposta della shell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7 Conclusioni e futuri sviluppi 87

viii

Elenco delle figure

1.1 Sezioni d’urto in funzione dell’energia del nucleo D . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Curve di Lawson al variare di Q (prodotto triplo “target”corrispondenteal minimo della curva) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Forza agente sulle cariche e conseguente moto di giroazione . . . . . . . 5

1.4 Traiettoria di una particella carica lungo una linea di campo magneticouniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Effetto di vE sulle cariche e risultante drift . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6 Drift generato da ∇B (a) e E×B drift che ne consegue (b) . . . . . . . 7

1.7 Sistema di riferimento toroidale (p ≡ θ e t ≡ φ) . . . . . . . . . . . . . . 8

1.8 Profilo di pressione di riferimento per un plasma confinato . . . . . . . . 9

1.9 Superficie di flusso per B e J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.10 Sistema di coordinate cilindriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.11 Formazione della hoop-force (a) e risultante forza toroidale (b) . . . . . 12

1.12 Azione di equilibrio esercitata dal campo verticale esterno . . . . . . . . 13

1.13 Azione di stabilizzazione passiva della shell . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.14 Sistema magnetico e risultanti campi magnetici . . . . . . . . . . . . . . 15

1.15 Tipici profili di campo magnetico e pressione in un Tokamak (a) e in unRFP (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1 Elemento poloidale del vessel e FW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Camera da vuoto completamente assemblata . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Andamento delle forze magnetomotrici negli avvolgimenti durante untipico impulso in RFX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4 Assemblaggio completo della macchina RFX . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5 Sezione poloidale di RFX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.6 Assemblaggio della shell di RFX-mod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.7 Dettaglio del gap toroidale esterno della shell . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.8 Porzione toroidale del sistema di bobine a sella . . . . . . . . . . . . . . 24

2.9 Componenti di RFX-mod (in grassetto gli elementi che verranno modi-ficati in RFX-mod2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.10 Modifiche apportate al sistema di contenimento del plasma in RFX-mod2 25

2.11 Realizzazione dei gap equatoriali (a) e dettaglio del giunto esterno (b) . 26

2.12 Realizzazione dei gap poloidali (a) e dettaglio dell’assemblaggio dell’a-nello (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.13 Riepilogo delle configurazioni dei gap nella VTSS . . . . . . . . . . . . . 26

2.14 Sistema di fissaggio del FW e della PSS agli anelli di supporto . . . . . 27

2.15 Composizione della shell (a) e della guida di sopporto (b) . . . . . . . . 27

2.16 Rappresentazione concettuale delle tre alternative per il gap poloidale . 28

2.17 Sequenza di assemblaggio prevista per RFX-mod2 (grigio: TSS, giallo:shell, arancio: FW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

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3.1 Complesso di celle coordinate nei sistemi di riferimento cartesiano (a),cilindrico (b) e sferico (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2 Complesso di celle semplice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3 Concetto “standard”di elementi orientati . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4 Orientazione interna (a) ed esterna (b) di una linea . . . . . . . . . . . . 35

3.5 Orientazione interna (a) ed esterna (b) di una superficie . . . . . . . . . 35

3.6 Orientazione interna (a) ed esterna (b) di un volume . . . . . . . . . . . 36

3.7 Orientazione interna (a) ed esterna (b) di un punto . . . . . . . . . . . . 37

3.8 Orientazione esterna degli elementi spaziali in 3D, 2D e 1D . . . . . . . 37

3.9 Esempio di cella duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.10 Processo di induzione dell’orientazione esterna sulle celle del complessoduale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.11 Relazioni tra numeri di incidenza di coppie di celle primarie/duali . . . 40

3.12 Esempio di complesso orientato in 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.13 Complesso duale dell’esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.1 Punti individuati dalla linea di campo in seguito a successive rivoluzioni 45

4.2 Esempio di mesh triangolare con npol = 3 e ntor = 4 . . . . . . . . . . . 48

4.3 Mesh della superficie “sorgente”(per facilita di visualizzazione ntor = 70,npol = 10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.4 Mesh rettangolare dei punti di calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.5 Sistema di riferimento locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.6 Andamento del potenziale ψmn per il modo m = 1, n = 7 (ψmnc = ψmns = 1) 52

4.7 Dettaglio dei vettori J su una porzione di superficie . . . . . . . . . . . 53

4.8 Campo radiale prodotto dal plasma con modo m = 1, n = 7 . . . . . . . 57

4.9 Celle del complesso primario (a) e realizzazione di una cella duale (b) . 58

4.10 Campo radiale prodotto dalle correnti indotte sulla shell . . . . . . . . . 61

4.11 Campo radiale risultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.12 Grafico vettoriale delle correnti indotte sulla shell . . . . . . . . . . . . . 62

5.1 Dettaglio della mesh su PSS e TSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2 Andamento della forza magnetomotrice sugli avvolgimenti di campo po-loidale (OH + FS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.3 Componente di campo radiale dovuta al campo verticale esterno Bv . . 66

5.4 Grafico vettoriale delle correnti indotte sulla shell . . . . . . . . . . . . . 67

5.5 Campo radiale Brad [mT ] sul bordo plasma in corrispondenza del gap at2 = 20ms e t3 = 100ms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.1 Rappresentazione schematica delle 12 bobine sulla sezione poloidale delgap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.2 Collocazione dei due set di bobine proposti (in oro la shell, in grigio laTSS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.3 Elemento rettilineo filiforme e principali grandezze spaziali . . . . . . . . 72

6.4 Modellizzazione delle bobine di compensazione (in giallo gli elementifiliformi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.5 Confronto dell’andamento del campo radiale prodotto dai due set di bobine 74

6.6 Andamento dei vettori di campo B prodotti da una sola bobina dicompensazione (evidenziata in giallo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.7 Rappresentazione schematica di un sensore e suddivisione di un lato . . 76

6.8 Visione completa del sistema di sensori (in rosso i punti di calcolo) . . . 77

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6.9 Sezione poloidale in corrispondenza del gap φ = 93.75 . . . . . . . . . . 786.10 Compensazione sinusoidale e ottimizzata del campo errore . . . . . . . . 806.11 Correnti indotte su shell e TSS dalle bobine 2-12 . . . . . . . . . . . . . 826.12 Mappa di correnti indotte sulla porzione inferiore della shell . . . . . . . 826.13 Mappa del campo radiale prodotto dalle sole bobine (a), dalle correnti

indotte (c) e campo risultante (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

xi

xii

Elenco delle tabelle

2.1 Possibili configurazioni dell’avvolgimento toroidale TF . . . . . . . . . . 202.2 Composizione dell’avvolgimento magnetizzante . . . . . . . . . . . . . . 212.3 Confronto tra le principali prestazioni delle due shell . . . . . . . . . . . 23

6.1 Coordinate degli assi delle 12 bobine di correzione . . . . . . . . . . . . 696.2 Campo radiale misurato sull’asse dei sensori, dovuto ai due set di bobine

(corrente di 1A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.3 Flusso concatenato dai sensori, dovuto ai due set di bobine (corrente di

1A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.4 Correnti di compensazione con profilo sinusoidale e dopo ottimizzazione 80

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xiv

Capitolo 1

Introduzione

1.1 La fusione nucleare

La fusione nucleare si basa sulla fusione di nuclei di elementi leggeri (basso numero dimassa) come deuterio (D = 1H

2), trizio (T = 1H3) ed elio (2He

3). L’energia liberatadalla fusione dei due nuclei e dovuta alla differenza di massa tra reagenti e prodotti,in accordo con il principio di Einstein E = ∆mc2. Esistono diverse possibili reazionima, per ragioni di disponibilita del combustibile e fattibilita della reazione, la ricercascientifica si e attualmente focalizzata su due di queste: D−D e D− T . La fusione didue nuclei di deuterio puo dar luogo a due differenti insiemi di prodotti, all’incirca conla medesima probabilita [1]:

D +D −→ He3 + n+ 3.27MeV (1.1)

D +D −→ T + p+ 4.03MeV (1.2)

Si tratta della reazione piu interessante dal punto di vista della sostenibilita ambien-tale di un futuro reattore, in quanto il combustibile e facilmente estraibile dall’acquadegli oceani e rappresenta una scorta di fatto infinita (si stima che l’energia estraibilepotrebbe soddisfare il fabbisogno energetico mondiale attuale per 2 miliardi di anni).Tuttavia, come si vedra in seguito, e la reazione piu difficile da innescare e questo hafocalizzato la ricerca attuale sulla reazione D − T :

D + T −→ α+ n+ 17.6MeV (1.3)

La reazione libera un’enorme quantita di energia, per contro questo processo richiedela disponibilita di trizio, che e un isotopo radioattivo dell’idrogeno con un tempo didecadimento di circa 12 anni, il che lo rende non naturalmente disponibile sulla Ter-ra. Per questo motivo il trizio deve essere “coltivato”, introducendo nei reattori dellestrutture a mantello in litio, che interagiscono con i neutroni emessi dalle reazioni perprodurre trizio. Altro aspetto svantaggioso e la produzione di neutroni: non essendoparticelle cariche, non possono essere intrappolate dai campo magnetici di confinamen-to, per cui escono dal reattore e attivano radioattivamente le parti circostanti. Questeparticelle dovranno quindi essere rallentate, anche per favorire la produzione del trizio,dal momento che il Li reagisce piu facilmente con neutroni lenti.

Per poter dare luogo ad una reazione di fusione i due nuclei devono essere estrema-mente vicini tra loro, in modo tale che essi possano risentire della forza di attrazionenucleare. Non e facile far interagire le due particelle perche i due nuclei tenderanno adallontanarsi a causa della forza di repulsione elettrostatica, che si intensifichera tanto

1

2 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

piu quanto i nuclei saranno vicini tra loro. Tuttavia si osserva che, al di sotto di unacerta distanza rm (circa il diametro di un nucleo), la forza di attrazione nucleare risultapredominante sulla forza coulombiana. In altre parole per far reagire i due nuclei, questidovranno avere un’energia cinetica superiore all’energia elettrostatica corrispondente atale distanza, detta barriera di Coulomb, in modo da avvicinarsi sufficientemente. Peruna reazione D − T :

rm ' 5 · 10−15 m (1.4)

WCoulomb = 288 keV (1.5)

La probabilita che due nuclei incorrano in una reazione di fusione e espressa dalla se-zione d’urto σ. Il concetto di sezione d’urto nasce da un’analogia meccanica, secondola quale due sfere rigide (i nuclei D, T) danno luogo a una reazione se si muovono l’unaverso l’altra entro un volume cilindrico di sezione σ = πd2, dove d e il diametro dellasfera. Nel caso di una reazione D − T la sezione d’urto sara quindi nulla per energieinferiori a 288 keV e pari a πr2m per energie superiori (modello classico della sezioned’urto). In realta la corretta valutazione della sezione d’urto richiede la considerazio-ne degli effetti della meccanica quantistica, i quali apportano 3 modifiche al modelloclassico:

esiste una probabilita non nulla di avere reazioni al di sotto della barriera diCoulomb;

se la velocita dei nuclei e troppo elevata questi possono non avere tempo sufficienteper reagire, riducendo cosı σ;

in particolari condizioni possono manifestarsi fenomeni risonanti con un incre-mento della probabilita di collisione.

La reazione D− T presenta, per un ampio intervallo di energie, la sezione d’urto mag-giore di tutte le altre possibili reazioni: e per questo motivo che la ricerca scientifica haorientato gran parte del suo interesse attuale sulla fusione di nuclei D e T, nonostantealcuni svantaggi gia visti in precedenza.

1.2 Il criterio di Lawson

L’obiettivo di un reattore a fusione, come ogni altro impianto di produzione di energia,sara quello di generare piu potenza di quanta ne viene spesa per alimentare l’impiantostesso. Il criterio di Lawson permette di ricavare i requisiti necessari per raggiungeretale obiettivo. Si consideri il bilancio di potenze nel reattore in condizioni di equilibrio:

Ptot = Pfus + Pext − Pout (1.6)

Chiaramente in condizioni di equilibrio il bilancio di potenze dovra essere nullo: lapotenza immessa nel reattore, per effetto delle reazioni di fusione interne (Pfus) edai sistemi addizionali esterni di riscaldamento del plasma (Pext), dovra bilanciare lapotenza uscente (Pout), perduta a causa di diversi fenomeni (radiazione, trasporto, con-vezione, conduzione,...). Con alcune ipotesi semplificative Lawson ricavo le condizioniper ottenere una produzione netta di energia da un plasma di D e T:

nτE ≥ 6 · 1019 m−3s (1.7)

1.2. IL CRITERIO DI LAWSON 3

Fig. 1.1: Sezioni d’urto in funzione dell’energia del nucleo D

T = 20 keV (≈ 230 · 106 K)* (1.8)

dove n e la densita delle particelle (circa uguale tra ioni e elettroni), mentre τE e dettotempo di confinamento e rappresenta il tempo caratteristico di decadimento dell’energiaimmagazzinata nel plasma, associato ai diversi meccanismi di perdita sopra citati. Ilcriterio di Lawson stabilisce dunque che, affinche coppie di nuclei di D e T si fondanoin un numero sufficiente da produrre un’energia da fusione maggiore di quella fornitaal processo stesso, deve essere presente una pressione sufficientemente elevata (i.e. den-sita del gas) e i nuclei devono conservare l’energia acquisita per un tempo τE tale daverificare la (1.7) [2]. La seconda relazione aggiunge che tali nuclei devono possederemediamente una temperatura di almeno 230 milioni di , per cui il plasma del reattoredovra essere caratterizzato da un sufficientemente elevato prodotto triplo:

nτET ≥ 1.2 · 1021 m−3s keV (1.9)

I risultati del criterio di Lawson hanno un interesse storico per la ricerca sulla fusione,mentre al giorno d’oggi e piu interessante ricavare le condizioni in termini di prodottotriplo, necessario per ottenere un certo fattore di guadagno di plasma definito come:

Q =PfusPext

(1.10)

*In un plasma la temperatura e associabile all’energia termica media posseduta dalle particelle.Considerando che l’energia termica media e esprimibile come kBT , dove kB e la costante di Boltzmann,allora l’energia di 1 eV corrisponde a una temperatura di circa 11600K.


Il caso Q = 1 rappresenta la condizione di pareggio energetico, o breakeven, in cuila potenza generata dalle reazioni di fusione bilancia quella immessa dall’esterno. Perottenere una produzione netta di energia il plasma dovra fornire un Q > 1; la condizioneideale, cosiddetta di ignizione, corrisponde a Q→∞ e richiede un prodotto triplo di:

nτE ≥ 1.5 · 1020 m−3sT = 20 keVnτeT ≥ 3 · 1021 m−3s keV

(1.11)

Si noti che in un reale reattore si vuole avere il controllo della reazione e quindi saraopportuno mantenere Q su valori intorno a 10. La condizione di ignizione rappresentacomunque un riferimento per il raggiungimento di un Q sufficientemente elevato.

Fig. 1.2: Curve di Lawson al variare di Q (prodotto triplo “target”corrispondente alminimo della curva)

1.3 Il confinamento magnetico

1.3.1 Plasma e moto delle cariche elettriche

In un reattore a fusione un requisito fondamentale riguarda il confinamento della colon-na di gas combustibile in esso contenuto: tale gas dovra essere mantenuto lontano dallepareti del contenitore (camera da vuoto), per non danneggiare quest’ultimo viste le ele-vatissime temperature in gioco e per non disperdere l’energia acquisita dalle particelle,necessaria per raggiungere le condizioni di fusione richieste. Alle temperature tipiche diun plasma da fusione, descritte nella precedente sezione, il gas di D e T si trova in unostato della materia noto come plasma: senza entrare in proprieta fisiche complesse, sitratta di un gas quasi totalmente ionizzato in cui la densita ionica e pressoche uguale aquella elettronica (proprieta di quasi-neutralita). In questo stato il moto delle caricheelettriche presenti e prevalentemente governato dalle forze su larga scala dovute allapresenza di campi elettrici e magnetici. Il moto degli elettroni e ioni presenti nel plasmae descritto dalla teoria del centro guida, secondo la quale le linee di campo magneticoagiscono come linee guida per il moto delle cariche. In particolare in presenza di uncampo di induzione magnetica uniforme B, in direzione ortogonale a questo ioni edelettroni risentono rispettivamente di una forza centripeta ±ev⊥ ×B, che tende a far

1.3. IL CONFINAMENTO MAGNETICO 5

percorrere alle particelle traiettorie circolari (moto di giroazione) intorno alle linee dicampo, con una frequenza angolare di rotazione (frequenza di ciclotrone) data da [3]:

ωc =|q|Bm

(1.12)

dove m e la massa della particella considerata (ione o elettrone), q la carica elettricaposseduta e B l’ampiezza del campo di induzione magnetica.

Fig. 1.3: Forza agente sulle cariche e conseguente moto di giroazione

Il raggio di curvatura che descrive questa traiettoria e detto raggio di Larmor:

rL =v⊥ωc

=mv⊥|q|B

(1.13)

dove v⊥ indica l’ampiezza della componente del vettore velocita v ortogonale al campoB. Con i parametri tipici di un plasma da fusione tale raggio assume valori intornoa qualche decina di µm per gli elettroni, e di pochi mm per gli ioni, valori moltopiccoli rispetto ai tipici raggi di plasma: si puo quindi concludere che le particellerisultano ben confinate in direzione ortogonale alle linee di campo. Parallelamentealle linee di campo invece le cariche non risentono di alcun effetto dovuto a B e sonoquindi libere di muoversi (il prodotto v‖ ×B e identicamente nullo per come definitav‖). La combinazione dei due moti parallelo e ortogonale determina una traiettoriaelicoidale delle particelle attorno alle linee di campo magnetico, che agiscono appuntocome linee guida per il movimento delle particelle. Questo risultato e molto importanteper la geometria del reattore: infatti, per impedire la perdita di particelle, si dovrannoutilizzare geometrie toroidali con linee di campo che si “avvolgono”attorno la superficiesenza pero incidere sulle pareti. Tuttavia questo non e l’unico moto a cui possonoessere soggette le cariche. La presenza di un campo elettrico E uniforme, ortogonale alcampo B, causa una deriva delle particelle in direzione ortogonale sia a B che a E. Sesi considera il moto in direzione ortogonale al campo magnetico, si osserva la presenzadi una nuova componente di velocita vE, detta appunto velocita di deriva:

vE =E×B

B2(1.14)


Fig. 1.4: Traiettoria di una particella carica lungo una linea di campo magneticouniforme

Questa si sovrappone alla velocita del moto di giroazione descritta precedentemente,aumentando la risultante velocita ortogonale per mezza semicirconferenza e riducendolaper la restante parte della traiettoria: in accordo con la (1.13) si ha una variazione delraggio di Larmor e la particella tende a deviare nella direzione imposta da vE. In altreparole al moto di giroazione si combina un moto di deriva del centro guida.

(a) ione (b) elettrone

Fig. 1.5: Effetto di vE sulle cariche e risultante drift

Un altro fenomeno di deriva puo manifestarsi in presenza di un gradiente di campomagnetico ∇B ortogonale al campo stesso. Osservando la (1.13) risulta chiaro chedove il campo e piu intenso la particella tendera a percorrere una traiettoria a raggiodi curvatura minore, viceversa dove il campo si riduce, portando cosı ad un nuovofenomeno di deriva. Percorrendo la traiettoria in direzione opposta, elettroni e ionitenderanno a generare una separazione di carica fino alla formazione di un campoelettrico di equilibrio tale da bilanciare la deriva delle cariche. Questo fenomeno e diparticolare interesse nelle configurazioni toroidali, poiche tale campo elettrico da luogoad un drift delle cariche secondo la relazione (1.14) che tendera a portare le particellecontro la parete, ponendo importanti vincoli alla configurazione magnetica.


(a) (b)

Fig. 1.6: Drift generato da ∇B (a) e E×B drift che ne consegue (b)

1.3.2 Sistema di riferimento toroidale

Nella precedente sezione si e motivata la necessita di adottare geometrie toroidali per li-mitare la collisione delle particelle con le pareti della camera da vuoto. In una geometriadi questo tipo risulta conveniente scrivere le equazioni che andranno a definire il proble-ma in esame in coordinate toroidali. Una generica superficie toroidale e parametrizzatanel sistema di riferimento cartesiano x, y, z dalle coordinate:

x(θ, φ) = (R+ rcosθ) cosφy(θ, φ) = (R+ rcosθ) sinφz(θ, φ) = rsinθ

(1.15)

dove:

r rappresenta la coordinata radiale, cioe il raggio del toro (raggio minore);

R rappresenta la distanza fra il centro della superficie toroidale e l’asse del toro(raggio maggiore);

θ indica l’angolo poloidale variabile tra 0 e 2π in direzione azimutale;

φ corrisponde all’angolo toroidale variabile tra 0 e 2π in direzione longitudinale.

In particolare con r = a si indichera il raggio minore del plasma e con R = R0 il raggiomaggiore. Sfruttando le equazioni di trasformazione sopra elencate, un generico puntoP definito da una terna r, θ, φ nel sistema toroidale, potra essere riportato nel sistemadi riferimento di assi cartesiani x, y, z. Per quanto riguarda gli avvolgimenti esterninecessari a generare i campi magnetici di confinamento si parlera di:

avvolgimenti di campo poloidale per indicare quell’insieme di bobine, percorse dauna corrente toroidale, che producono un campo di induzione magnetica le cuilinee giacciono su un piano poloidale;

avvolgimenti di campo toroidale per indicare le bobine, percorse da correntepoloidale, che producono un campo in direzione toroidale.


Fig. 1.7: Sistema di riferimento toroidale (p ≡ θ e t ≡ φ)

1.3.3 Equilibrio MHD

Da un punto di vista macroscopico il plasma puo essere visto come un unico fluido,senza alcuna distinzione sulle particelle che lo compongono. Il suo comportamento saradescritto da un peso specifico ρm e da una velocita v, entrambe funzioni di spazio e tem-po, ottenute mediando i valori assunti da queste grandezze sulle diverse particelle (ionied elettroni). Applicando i principi di conservazione della massa, della quantita di motoe dell’energia, a cui si integrano la legge di Ohm e le equazioni di Maxwell, per descri-vere il comportamento dei campi elettromagnetici presenti, si giunge al set di equazionidella magnetoidrodinamica (MHD) che descrivono completamente il comportamentodel plasma:

∂ρm∂t

+∇ · (ρmv) = 0 (1.16)

ρmdv

dt= ρE + J×B−∇p , (1.17)

d

dt

(p

ργm

)= 0 (1.18)

∇×B = µ0J (1.19)

∇×E = −∂B

∂t(1.20)

∇ ·B = 0 (1.21)

E + v ×B = ηJ (1.22)

dove p e la pressione cinetica, ρ la densita di carica e η e la resistivita di plasma. Iltermine J×B corrispondente alla forza di Lorentz nell’equazione di conservazione dellaquantita di moto (1.17), anche detta equazione di Navier-Stokes, rappresenta il legame


tra il plasma e i campi elettromagnetici presenti. Si noti che il termine legato al campoelettrico puo essere di fatto trascurato, essendo il plasma un fluido quasi-neutro (ρ ≈ 0),segue che la (1.17) puo essere riscritta come:

ρmdv

dt= J×B−∇p , (1.23)

L’obiettivo del confinamento magnetico e quello di mantenere il plasma lontano dallaparete della camera da vuoto: la pressione del gas nella camera dovra essere idealmentenulla alla parete e crescere verso il centro, come mostrato in Fig.1.8.

Fig. 1.8: Profilo di pressione di riferimento per un plasma confinato

Il raggiungimento di una condizione di equilibrio richiede, in geometria toroidale, larealizzazione di 2 condizioni:

Bilancio delle forze di pressione radialiIn presenza di un gradiente di pressione come quello sopra descritto, il plasmatende a espandere in modo uniforme nella direzione del raggio minore r. L’intera-zione tra campi magnetici e correnti di plasma avra quindi il compito di generareforze di confinamento tali da bilanciare questa espansione.

Bilancio delle forze toroidaliA causa del toroidicita del dominio in cui il gas e confinato, nascono delle forze chetendono a spingere il plasma verso l’esterno, nella direzione del raggio maggiore.Anche in questo caso si dovranno adottare degli opportuni sistemi di confinamentoper compensare tale spostamento.

1.3.4 Equilibrio radiale

Si consideri la (1.23) e per semplicita si assuma v = 0 (condizione di equilibrio statico):

J×B = ∇p (1.24)

Ipotizzando che p sia isotropa (i.e. dipende solo dalla coordinata radiale), in condizionidi equilibrio il plasma sara formato da un insieme di superfici toroidali, concentrichee iso-pressione, rispetto alle quali il ∇p e ortogonale. Si puo dimostrare che questesuperfici sono anche tubi di flusso per i campi B e J, in quanto tali campi vettorialigiacciono su di esse, ovvero non hanno componente ortogonale al loro contorno. Siosservi che cio non implica il parallelismo tra i due campi, infatti l’angolo tra B e Jdipende dalla configurazione magnetica. Un caso particolare e dato dalla configurazione


Fig. 1.9: Superficie di flusso per B e J

RFP, in cui il gradiente di pressione risulta praticamente nullo e i campi B e J sonoquindi tra loro paralleli. Si consideri per ora il caso generale espresso dalla (1.24)e, introducendo la legge di Ampere-Maxwell (1.19), l’equazione di conservazione dellaquantita di moto diviene:

∇(p+

B2

2µ0

)=

1

µ0(B · ∇) B (1.25)

Il primo termine a sinistra dell’equazione corrisponde alla forza di pressione, per unitadi volume, che tende a far espandere radialmente il plasma in direzione opposta algradiente ∇p. I secondi due termini rappresentano invece rispettivamente la densita diforza dovuta alla pressione magnetica, che tende a spingere il plasma verso le zone aminore induzione magnetica, in analogia con la forza di pressione, e la tensione magne-tica, forza generata dalla curvatura delle linee di campo magnetico che agiscono comedegli elastici avvolti intorno al contenitore. Il confinamento magnetico di un plasma sibasa sullo sfruttamento di queste due ultime forze, al fine di bilanciare la forza di espan-sione del plasma. Il problema dell’equilibrio radiale puo essere ben risolto studiando ilsistema in coordinate cilindriche, sfruttando l’assialsimmetria della configurazione, ret-tificando il toroide ad un cilindro di lunghezza l = 2πR0. Ricordando che B in tal casoassume solo componente assiale (Bz, corrispondente alla componente Bφ in geometriatoroidale) e poloidale (Bθ), l’equazione di bilancio si riduce a:

Fig. 1.10: Sistema di coordinate cilindriche

d

dr

(p+

B2θ

2µ0+B2z

2µ0

)= −

B2θ

µ0r(1.26)


Si mette cosı in evidenza che solo la presenza di un campo magnetico poloidale potrapermettere di sfruttare la tensione magnetica.

Due configurazioni magnetiche basilari che permettono di raggiungere la condizionedi equilibrio radiale sono lo z-pinch e il θ-pinch.

z-pinch

Il nome di questa configurazione deriva dalla presenza di una sola componente di cor-rente toroidale (assiale) Jz che viene fatta circolare attraverso il plasma. L’equazionedi conservazione della quantita di moto e in questo caso:

d

dr

(p+

B2θ

2µ0

)= −

B2θ

µ0r(1.27)

Il campo poloidale Bθ generato, genera una forza di strizione (pinch effect) che tende acomprimere il plasma verso il centro della camera da vuoto. Lo z-pinch e caratterizzatoda ottime proprieta di equilibrio: come si vedra in seguito la toroidicita del sistemacausa il sorgere di ulteriori forze di squilibrio, che possono pero essere contrastate inpresenza di una corrente toroidale. Tuttavia la stabilita di questa configurazione, ovverola capacita del plasma di riportarsi in una condizione di equilibrio in seguito ad unaperturbazione, e molto limitata.

θ-pinch

Complementare alla precedente, questa configurazione sfrutta una corrente poloidaleper generare l’effetto di strizione. In questo caso non compare l’azione della tensionemagnetica, in quanto il campo magnetico ha solo componente toroidale.

d

dr

(p+

B2z

2µ0

)= 0 (1.28)

A differenza dello z-pinch il θ-pinch ha ottime proprieta di stabilita, ma non garantiscela compensazione delle forze toroidali e non puo quindi essere realmente applicato.

screw-pinch

In ragione delle caratteristiche sopra citate, nelle principali macchine a confinamen-to magnetico vengono sfruttate entrambe le componenti di campo, garantendo ottimeproprieta in termini di equilibrio e stabilita. Un importante vantaggio di una configu-razione screw-pinch e legato al fatto che gli avvolgimenti di campo poloidale e toroidalepotranno essere comandati in modo indipendente l’uno dall’altro e il profilo di pressionesara quindi definito dalle equazioni MHD.

1.3.5 Equilibrio toroidale

A causa della toroidicita del sistema si manifestano 3 forze toroidali, tutte dirette nelladirezione del raggio maggiore R, che tendono a spingere il plasma verso la parete esternadella camera da vuoto.

La prima di queste e detta tire-tube force in quanto analoga alla forza dovutaalla pressione interna in una camera d’aria, la quale tende a spingere la superficieesterna della camera piu di quanto avviene sulla superficie interna. Essendo do-vuta dalla pressione cinetica del gas questa forza si manifesta indipendentementedalla configurazione magnetica adottata.


La seconda forza toroidale e la cosiddetta hoop-force, forza che si manifesta in unaqualunque spira percorsa da corrente. Da un punto di vista qualitativo puo esserecosı giustificata: si immagini di dividere il toroide in due parti come mostrato inFig.1.11 (a); le linee di campo magnetico, a causa della toroidicita del sistema,sono piu fitte nella regione interna e portano quindi ad un campo di induzionemagnetica piu intenso rispetto alla sezione esterna; la forza dovuta alla pressionemagnetica, proporzionale a B2S, sara quindi maggiore sulla superficie interna,visto che la dipendenza da B2 domina sulla superficie S, generando cosı una forzanetta verso l’esterno. Si noti che questa forza e presente solo in presenza di uncampo poloidale (z-pinch, screw-pinch).

Infine, in presenza di un campo magnetico toroidale, si manifesta la 1R force. Co-

me intuibile dal nome, essa e dovuta al decadimento del campo toroidale nelladirezione del raggio maggiore: al gradiente di pressione magnetica corrispondeuna forza che tende a spingere il plasma verso la regione a campo minore, ap-punto quella esterna. Quest’ultima forza si manifesta solo in presenza di correntepoloidale (θ-pinch, screw-pinch).

(a) (b)

Fig. 1.11: Formazione della hoop-force (a) e risultante forza toroidale (b)

Per garantire l’equilibrio MHD di un plasma toroidale risulta quindi fondamentale in-durre una forza verso l’interno, tale da compensare la totale forza toroidale di squilibrio.I due metodi principali per generare tale azione di equilibratura sono l’introduzione diun campo verticale esterno e l’utilizzo di una parete ad elevata conducibilita (shell)molto vicina al plasma.

Campo verticale - stabilizzazione attiva

L’impiego di un campo verticale esterno risulta molto efficace nel ripristino dell’equi-librio toroidale. Si consideri una corrente di plasma toroidale. Interagendo con unsuddetto campo magnetico Bv, orientato come in Fig.1.12, la corrente di plasma daraluogo ad una forza per unita di volume J × B, orientata nella direzione opposta alraggio maggiore R. Installando degli avvolgimenti di campo verticale, opportunamentealimentati, si puo quindi mantenere il plasma in posizione di equilibrio.

Shell conduttrice - stabilizzazione passiva

Si supponga che il plasma subisca una spostamento verso l’esterno lungo la direzionedel raggio maggiore. La scocca conduttrice che ingloba il plasma vedra quindi una


Fig. 1.12: Azione di equilibrio esercitata dal campo verticale esterno

variazione del flusso poloidale concatenato e su di essa saranno indotte correnti. Seperfettamente conduttrice la shell sara in grado di schermare completamente la regioneesterna dai campi magnetici: in altre parole il campo poloidale rimane “intrappola-to”nella regione interna alla shell e tendera a concentrarsi nella regione piu esternacompresa tra shell e plasma. La maggiore induzione che si manifesta in questa regione,similmente al meccanismo della hoop-force, dara luogo ad una forza di ripristino versol’interno. Si noti che, per poter intervenire, la shell deve “vedere”uno spostamento delplasma rispetto al centro del toroide (corrispondente al raggio maggiore R0). Per que-sto motivo, una volta raggiunta la nuova posizione di equilibrio, il plasma sara traslatorispetto a tale centro di una quantita ∆ detta spostamento di Shafranov.

Fig. 1.13: Azione di stabilizzazione passiva della shell

La conducibilita della shell non puo essere fisicamente infinita e cio determina impor-tanti conseguenze:

l’ampiezza delle correnti indotte tendera a decrescere con una certa costante ditempo τv. Esaurito l’effetto di tali correnti il plasma tornera a muoversi verso


l’esterno. Possibili rimedi a questo problema possono essere la progettazione diuna shell con τv

elevata (maggiore o uguale alla durata dell’impulso), oppurel’introduzione di un ulteriore sistema di equilibratura che agira sul lungo termine,una volta svanita l’azione delle correnti indotte.

La scocca conduttrice agisce come schermo anche per i campi esterni. Ad esempio,il campo poloidale necessario a generare la scarica nel gas, per l’accensione delplasma, verrebbe schermato dalle correnti toroidali indotte nella scocca; un altroproblema e legato a quei campi esterni, per il controllo della forma del plasma, deimodi MHD, o il campo verticale di equilibrio stesso, che sarebbero pesantementeattenuati almeno per un intervallo di tempo dell’ordine della costante τv (perquesto anche detta costante di tempo di penetrazione del campo verticale). Perlimitare l’effetto di queste correnti la shell viene generalmente tagliata in piuparti reciprocamente isolate tra loro. Si riprendera piu avanti questo concetto,trattandosi di un elemento chiave di questo elaborato.

Ci si trova quindi di fronte ad un mismatch progettuale: da un lato la realizzazione diuna shell spessa con elevata costante di tempo per favorire l’effetto di stabilizzazionepassiva, dall’altro l’utilizzo di una struttura piu sottile, in modo tale da permettereuna rapida penetrazione dei campi esterni. Si osservi che entrambe le soluzioni perl’equilibrio toroidale richiedono la presenza di un campo magnetico poloidale: e perquesto motivo che la configurazione θ-pinch non e adatta a plasmi toroidali.

1.3.6 Tokamak - RFP

Considerati i diversi requisiti necessari per raggiungere le condizioni di equilibrio, sipuo giungere alla conclusione che, per il confinamento magnetico di un plasma, sarannonecessari i seguenti elementi:

Una camera da vuoto per mantenere il plasma alla pressione desiderata (valoritipici dell’Ultra-Alto-Vuoto: p < 10−7 mbar).

Avvolgimento magnetizzante (poloidale interno):genera il flusso poloidale, che concatena il toroide e permette di indurre nel gasun campo elettrico sufficientemente elevato da iniziare la scarica (formazione delplasma); in altre parole agisce come il primario di un trasformatore, accoppiatoad un circuito secondario costituito dal plasma. Viene anche indicato come av-volgimento di ohmic heating, in quanto induce la corrente di plasma che riscaldaper effetto Joule il gas stesso.

Avvolgimenti di campo poloidale esterni:generano il campo verticale per garantire l’equilibrio MHD a lungo termine e, inalcune configurazioni, campi radiali per il controllo della forma del plasma e deimodi MHD, al fine di raggiungere regimi di confinamento avanzati.

Avvolgimenti di campo toroidale fondamentali per la stabilita MHD.

Shell conduttrice per l’equilibrio MHD e stabilita a breve termine (∆t ≤ τv)

Si puo in prima approssimazione considerare la shell come un circuito ohmico-induttivo aventecostante di tempo L

R, quindi proporzionale al prodotto σs, dove σ e la conducibilita e s lo spessore

della shell.


Fig. 1.14: Sistema magnetico e risultanti campi magnetici

Il set presentato di avvolgimenti permette di ottenere diverse configurazioni di con-finamento magnetico. La configurazione piu comune e detta Tokamak e sfrutta en-trambe le componenti di campo magnetico poloidale e toroidale. In una configurazionescrew-pinch si definisce fattore di sicurezza la quantita

q(r) =r

R0

Bφ(r)

Bθ(r)(1.29)

In un Tokamak le condizioni di stabilita richiedono q ≥ 2. La caratteristica peculiaredi questa configurazione e quindi quella di avere un campo toroidale molto intenso ri-spetto a quello poloidale: le linee di campo magnetico appaiono come eliche con passomolto lungo, avvolte sulle superfici isopressione. Un’altra configurazione di particolareinteresse e l’RFP (Reversed Field Pinch). La sua denominazione deriva dal fatto cheil campo magnetico toroidale inverte il proprio verso nella regione piu esterna al pla-sma, prossima alla parete della camera da vuoto. La formazione di tale distribuzionedi campo e complessa: la teoria di Taylor ha dimostrato che la configurazione RFPcorrisponde ad uno stato di minima energia a cui il plasma tende quando il parame-tro di pinch (Θ = Bθ(a)/〈Bφ〉) assume valori maggiori di 1.2 [4]. In modo sommarioil fenomeno dell’inversione di campo puo essere spiegato come segue: si immagini diinserire un filo percorso da corrente (plasma) in un tubo di flusso di campo magnetico,in questo caso dovuto agli avvolgimenti di campo toroidale. Il filo si trova in equilibrioinstabile e puo facilmente attorcigliarsi formando un elica. Di conseguenza il campo to-roidale aumenta nella regione interna all’elica, come accade in un solenoide; ma poicheil flusso toroidale deve conservarsi all’interno del tubo di flusso, allora il campo tenderaa diminuire nella regione esterna, fino ad invertirsi se la corrente di plasma e suffi-cientemente elevata. Il risultato e che in un RFP le due componenti di campo hanno


valori paragonabili tra loro e il campo toroidale Bφ risulta circa un ordine di grandezzainferiore ai valori tipici di un Tokamak. Da un punto di vista progettuale questo riducegli sforzi sulle bobine, consentendo di realizzare un reattore meno complesso, di dimen-sioni ridotte e meno costoso. Un altro importante vantaggio di questa configurazionee legato all’elevata corrente toroidale di plasma necessaria per l’inversione del campo,tale da consentire il riscaldamento del gas per via ohmica fino (o quasi) alle condi-zioni di ignizione. Per contro l’instaurazione di una cosı elevata corrente richiede unavariazione del flusso poloidale, in fase di accensione, molto elevata (dimensionamentopiu oneroso dell’avvolgimento magnetizzante). Un altro svantaggio e rappresentato dalbasso campo toroidale a bordo plasma, che causa un basso fattore di sicurezza q.

(a) (b)

Fig. 1.15: Tipici profili di campo magnetico e pressione in un Tokamak (a) e in un RFP(b)

Capitolo 2

Reversed Field Experiment

2.1 RFX

RFX e una macchina toroidale (raggio maggiore R0 = 2m, raggio minore a = 0.459m)costruita a Padova nel 1991, per lo svolgimento di esperimenti su plasmi confinati ma-gneticamente e riscaldati dalla corrente di plasma stessa, in configurazione RFP (dacui deriva il nome dell’esperimento). La flessibilita della configurazione magnetica per-mette anche l’operazione come Tokamak, cosicche si possa ampliare il campo di studi.Nella sua versione originaria RFX e dotata di una camera da vuoto toroidale (VacuumVessel, VV) in INCONEL 625, dello spessore di 30mm, formata da 72 elementi poloi-dali opportunamente saldati tra loro per completare un’intera rivoluzione del toroide[5]. Ciascuna porzione e formata da una struttura a sandwich, con una parete internadi 2 mm e una esterna di 1 mm, collegate tra loro per mezzo di uno strato ondulatoe due anelli di supporto poloidali che delimitano l’elemento. Il raffreddamento dellacamera da vuoto e ottenuto per mezzo di CO2 in circolazione forzata attraverso il sud-detto interspazio fra le due pareti. Per tollerare l’elevato carico termico trasportato dalplasma, la superficie interna del vessel (First Wall, FW) e stata ricoperta da 2016 te-goli in grafite policristallina (72 in direzione toroidale, 28 in direzione poloidale), aventiuno spessore di circa 18 mm cosı da mantenere il plasma il piu possibile vicino allashell esterna. Installato il FW il raggio minore corrispondente alla parete interna e di0.459m. La camera e dotata inoltre di diverse aperture (porte) per l’accesso dei sistemidi diagnostica, di pompaggio e raffreddamento.

Fig. 2.1: Elemento poloidale del vessel e FW

17

18 CAPITOLO 2. REVERSED FIELD EXPERIMENT

Fig. 2.2: Camera da vuoto completamente assemblata

Come gia introdotto la shell, oltre a fungere da struttura di supporto meccanico inglo-bando il vessel a cui viene ancorata, svolge un’importante funzione di stabilizzazionepassiva per effetto della correnti indotte in essa, garantendo cosı l’equilibrio a breve ter-mine e rallentando la crescita di instabilita. A tale scopo si e realizzata una struttura inalluminio (Passive Stabilizing Shell, PSS) con uno spessore di 65mm (rshell = 0.535m),ottenendo una costante di tempo di penetrazione del campo magnetico verticale di cir-ca 400 ms, sufficientemente lunga da garantire l’azione di stabilizzazione per tutto ilperiodo della scarica (avente durata di qualche centinaio di ms). La shell e suddivisain 4 parti, ciascuna avente un’estensione di 180°in direzione poloidale e di 180°in quellatoroidale: per consentire la penetrazione del campo poloidale magnetizzante, necessarioper accendere il plasma, le due porzioni di shell sono state reciprocamente isolate da duegap poloidali (disposti simmetricamente rispetto la direzione toroidale), cosı da limitarele correnti indotte in direzione toroidale; al contrario, per consentire la rapida variazio-ne del campo toroidale, necessario per stabilire la configurazione RFP, si sono realizzatidue gap equatoriali. Si vedra in dettaglio nei capitoli successivi, come la presenta deigap sia alla base della formazione di errori di campo magnetico in corrispondenza diquesti ultimi: cio richiede l’adozione di opportuni sistemi di correzione locale del campomagnetico. Sulla superficie esterna della struttura sono state realizzate 48 scanalaturein direzione poloidale, per ospitare gli avvolgimenti di campo toroidale, in aggiunta adaltri 24 incavi per ospitare gli anelli di supporto che mantengono unite le porzioni dellashell e collegano la scocca alla struttura di supporto meccanico esterna.

2.2 Sistema di confinamento magnetico

RFX e dotata di due avvolgimenti di campo poloidale e un avvolgimento di campotoroidale (Toroidal Field Coils, TF): i primi comprendono le bobine di magnetizzazione(Ohmic Heating, OH) per l’accensione del plasma e l’avvolgimento di campo verticaleper l’equilibrio MHD (Field Shaping Coils, FS). La sequenza tipica di una scarica inconfigurazione RFP e la seguente [6]:

2.2. SISTEMA DI CONFINAMENTO MAGNETICO 19

Inizialmente, prima del tempo t0, l’avvolgimento di magnetizzazione accumula ilflusso necessario per indurre la corrente di plasma; nello stesso intervallo di tempoil banco di condensatori che alimenta l’avvolgimento toroidale viene caricato sinoalla tensione nominale; ad un certo istante il condensatore viene chiuso sui TFinnescando un’oscillazione LRC.

Al tempo t0, quando la corrente nei TF raggiunge il suo valore massimo, l’e-nergia accumulata nell’induttanza di OH viene scaricata in un banco resistivo,generando cosı una variazione di flusso sufficiente per accendere la corrente diplasma. Contestualmente la corrente dei TF decresce fino a invertire il propriosegno, mentre la corrente nei FS cresce sino al valore nominale (fase di ramp-up).

Al tempo t1 la corrente di plasma raggiunge il valore nominale di flat-top. Duran-te questa fase viene controllato il decadimento della corrente dell’avvolgimentomagnetizzante, in modo da mantenere una corrente di plasma all’incirca costante.L’avvolgimento TF viene alimentato in modo da mantenere un campo toroidaleinverso e la corrente nei FS fornisce il campo di equilibrio.

Nell’ultima fase la corrente di plasma decresce e contestualmente quella negliavvolgimenti FS e TF (fase di decay).

Fig. 2.3: Andamento delle forze magnetomotrici negli avvolgimenti durante un tipicoimpulso in RFX

2.2.1 Avvolgimento di campo toroidale (TF)

L’avvolgimento di campo toroidale fornisce un campo massimo di 0.7T nella fase inizialedella scarica e un campo inverso di 0.44T durante la fase di flat-top. E costituito da 48bobine equamente distribuite su scanalature appositamente realizzate sulla superficiedella PSS. Ciascuna bobina e formata da 8 spire in rame disposte su due strati, di-mensionate per una corrente massima (durante la fase di ramp-up) di 18.3kA, cosicchel’avvolgimento sia in grado di fornire una totale forza magnetomotrice di 7MA. L’av-volgimento e suddiviso in 12 settori, ciascuno composto da 4 bobine (32 spire) connessein serie, che possono essere collegati secondo 6 diverse combinazioni serie/parallelo inmodo da favorire una maggior flessibilita operativa [7].


settori in parallelo spire in serie auto-induttanza L [mH]

1 384 18.242 192 4.5533 128 2.0234 96 1.1386 64 0.05112 32 0.013

Tabella 2.1: Possibili configurazioni dell’avvolgimento toroidale TF

2.2.2 Avvolgimento magnetizzante (OH)

RFX richiede, nel funzionamento come RFP, una variazione di flusso poloidale di 15Wb.La magnetizzazione del trasformatore avviene in aria e richiede per questo un’elevataforza magnetomotrice di 10 MA, con un campo di induzione magnetica massimo sul-l’asse del toro di 4.5 T . In fase progettuale si era considerata la possibilita di utilizzareun nucleo in ferro [8] come circuito magnetizzante, ma e stata successivamente scartataa causa dell’asimmetria e della difficile accessibilita alla macchina che avrebbe causato.L’avvolgimento si compone di 40 bobine (da M1 a M20) tra loro in serie, per un totaledi 200 spire, disposte simmetricamente rispetto al piano equatoriale (si distinguono conA, above, le bobine superiori, con B, below, quelle inferiori). Queste bobine sono poireciprocamente isolate e raggruppate in diversi blocchi (I) come riassunto in Tabella2.2*. Il solenoide centrale, posto nella parte piu interna della macchina, e formato da 24bobine (M1A-M12A, M1B-M12B) per un totale di 156 spire e genera la maggior partedel flusso, mentre le bobine piu esterne (M13A-M20A, M13B-M20B) hanno il compitodi guidare le linee di campo in modo da limitare l’induzione magnetica generata all’in-terno del volume di plasma: piu linee di campo attraversano tale volume, maggiore sarail flusso disperso non utile all’induzione del campo elettrico necessario per la scarica.Per questo motivo il posizionamento delle bobine e stato attentamente ottimizzato, conl’obiettivo di rendere minimo il campo di induzione magnetica nel plasma, ottenendoun campo disperso inferiore a 1mT .

2.2.3 Avvolgimento di campo verticale (FS)

L’ avvolgimento di campo verticale e stato progettato per svolgere le seguenti funzioni:

all’inizio della scarica produce un campo correttivo in corrispondenza dei gapdella shell, in modo da limitare gli errori di campo;

garantisce l’equilibrio a lungo termine del plasma, una volta svanito l’effetto distabilizzazione passiva della shell;

fornisce una forza magnetomotrice uguale e opposta a quella dovuta alla correntedi plasma (2MA), cosı da ridurre la variazione di flusso richiesta all’avvolgimentodi magnetizzazione.

*Tutti i blocchi comprendono una parte superiore (A) e una inferiore (B) disposte simmetricamenterispetto al piano equatoriale, ad eccezione del blocco I1 in cui tutte le bobine A ed B sono raggruppatenello stesso impregnante.

2.3. RFX-MOD 21

block coil turns

I1 M1 16M2 16M3 16

I2 M4 12M5 12M6 12M7 12M8 12M9 12

I3 M10 12M11 12M12 12

I4 M13 8

I5 M14 8

I6 M15 8

I7 M16 4

I8 M17 2M18 6

I9 M19 2M20 6

Tabella 2.2: Composizione dell’avvolgimento magnetizzante

L’avvolgimento e composto da 8 coppie di bobine, ciascuna formata da due bobineidentiche in serie tra loro, disposte simmetricamente rispetto al piano equatoriale (daF1A + F1B a F8A + F8B). Il supporto di queste bobine e fornito dai 24 anelli ancoratialla shell, dotati di opportune sagomature su cui vengono fissate le bobine di FS.

2.3 RFX-mod

Come visto nel capitolo introduttivo lo spessore della shell deve rispondere a due requi-siti contrastanti: la necessita di fornire un’azione di stabilizzazione passiva, per favorirel’equilibrio MHD, ma al tempo stesso deve permettere la penetrazione dei campi ma-gnetici esterni. Mentre il primo di questi aspetti richiede una shell spessa, il secondone risulta pesantemente penalizzato. In particolare la spessa shell in alluminio di RFXsi e dimostrata, nel corso degli esperimenti, un pesante ostacolo alla possibilita di in-teragire attivamente con il plasma (controllo posizione, controllo modi MHD,...). Alfine di ridurre la costante di tempo di penetrazione del campo verticale, la shell inalluminio e stata sostituita con una nuova scocca in rame avente lo spessore di 3mm.Come nella versione precedente, la shell e stata sezionata in 4 parti e si e ricercata unasoluzione ottimale nella costruzione dei gap, per limitare gli errori di campo dovuti aquesti ultimi [9]: in particolare un gap poloidale e stato realizzato sovrapponendo indirezione toroidale (per un’estensione di 23°) le due meta della shell (Fig.2.6), mentreal secondo gap e stata garantita la continuita elettrica. Per quanto riguarda i tagli to-roidali, quello interno agisce da isolamento elettrico, mentre l’esterno e cortocircuitatoper mezzo di lastre in rame fissate alla shell mediante bulloni, come visibile in Fig.2.7.

La funzione di supporto meccanico del vessel e della shell e stata ereditata da unanuova struttura toroidale (Toroidal Support Structure, TSS), realizzata in acciaio Inox


Fig. 2.4: Assemblaggio completo della macchina RFX

Fig. 2.5: Sezione poloidale di RFX

e avente spessore di 47 mm. Anche la TSS e stata tagliata mediante 2 gap poloidalie 2 gap toroidali, i primi isolati attraverso giunti saldati (configurazione giunti di tipoBJT, Butt-Joint-Gap), mentre solo l’interno degli equatoriali e cortocircuitato median-te piattelli in rame. Si e infine introdotto un sistema di controllo MHD del plasma,formato da 192 bobine a sella (Saddle Coils, SC), alimentate ciascuna in modo indi-pendente. L’estensione toroidale di queste ultime e di 7.5°e di 90°quella poloidale, per

2.3. RFX-MOD 23

Fig. 2.6: Assemblaggio della shell di RFX-mod

Fig. 2.7: Dettaglio del gap toroidale esterno della shell

un totale di 48× 4 bobine allocate in scanalature ricavate sulla superficie esterna dellaTSS. I principali risultati delle modifiche che caratterizzano RFX-mod sono riportatenella Tabella2.3.

Spessore PSS 3mm 65mm

costante di tempo di penetrazione τv [ms] 50 450

Spostamento di Shafranov ∆ [mm] 11 31

rapporto raggio shell/plasma rshell/rplasma 1.11 1.25

campo errore/campo verticale medio penetrato (10Hz) Bv,err/Bv,pen 1.6 8

Tabella 2.3: Confronto tra le principali prestazioni delle due shell

Si noti che, mentre nella versione precedente l’equilibrio e di fatto garantito dalla shellvista l’elevata costante di tempo τv, in RFX-mod le correnti indotte decadono moltorapidamente: diviene percio fondamentale il ruolo del campo verticale esterno, il qualepuo ora agire molto piu efficacemente, come testimonia il minor rapporto tra campoerrore e campo medio penetrato. Con la nuova soluzione shell e plasma sono inoltre piuvicini, consentendo una migliore risposta sul breve termine della shell, cosı da limitarelo spostamento del plasma in condizioni di equilibrio.


Fig. 2.8: Porzione toroidale del sistema di bobine a sella

2.4 RFX-mod Upgrade

RFX-mod ha operato per una decina di anni dalla sua principale modifica, permetten-do di ottenere risultanti significativi sullo studio dei plasmi sia in configurazione RFP,sia Tokamak. Attualmente sono in fase di studio nuove modifiche che cercheranno direndere la nuova macchina (RFX-mod Upgrade, o RFX-mod2) compatibile con regimidi confinamento avanzato. Una delle modifiche piu rilevanti riguarda l’eliminazionedella camera da vuoto, in modo tale da ridurre la distanza plasma-shell, favorendo cosıl’azione di stabilizzazione passiva e l’instaurazione di equilibri elicoidali del plasma ca-ratteristici della configurazione RFP, altrimenti limitati dalla coppia frenante esercitatadal vessel stesso [10]. Il rapporto rshell/rplasma e previsto ridursi dal precedente 1.11di RFX-mod a 1.04, con conseguente aumento del raggio di plasma a 0.489 m (raggiominore della parete interna FW). Il conseguimento di questi obiettivi comporta la ne-cessita di apportare importanti modifiche anche ad altri componenti della macchina.Si riportano in seguito le modifiche piu significative, con particolare attenzione allagestione dei gap poloidali ed equatoriali delle strutture metalliche conduttrici.

Fig. 2.9: Componenti di RFX-mod (in grassetto gli elementi che verranno modificatiin RFX-mod2)

2.4. RFX-MOD UPGRADE 25

Fig. 2.10: Modifiche apportate al sistema di contenimento del plasma in RFX-mod2

2.4.1 Vaccum Toroidal Support Structure (VTSS)

La funzione di tenuta da vuoto sara ereditata dalla struttura di supporto meccanico inacciaio gia presente (per questo ora denominata VTSS), con le seguenti conseguenze:

i gap dovranno essere sigillati, garantendo la tenuta da vuoto e, laddove deside-rato, continuita elettrica o isolamento;

le attuali aperture per le operazioni di pompaggio, diagnostica, e ancoraggio diparti meccaniche, dovranno essere chiuse e/o sostituite con nuove porte a tenutadi vuoto.

Un aspetto che richiede particolare attenzione riguarda la gestione dei gap, necessariper permettere la penetrazione dei campi magnetici esterni, ma sorgenti di errori dicampo a causa della distribuzione di corrente indotta nelle loro prossimita. Il giun-to equatoriale esterno sara realizzando per mezzo della saldatura delle due parti dellastruttura, attraverso uno spessore di 5 mm in acciaio inossidabile (SS 304L), tale dagarantire buona continuita elettrica e tenuta da vuoto. Al contrario sul lato internolastre in Inconel 625 (spessore 0.5 mm, estensione poloidale 400 mm) saranno saldatefra le due porzioni della TSS in modo da fornire una resistenza elettrica superiore a100µΩ. La tenuta meccanica e assicurata da uno strato di vetronite G10 (isolante com-posto da fibre di vetro e resina epossidica), imbullonato alla semi-struttura inferiore. Igap poloidali forniscono entrambi isolamento elettrico e tenuta da vuoto mediante labrasatura di due anelli in allumina ad un anello ceramico, che vengono poi saldati alleporzioni di TSS come in Fig.2.12. La continuita meccanica e realizzata tramite bulloniM16 attraverso uno strato in vetronite G10.

2.4.2 Passive Stabilizing Shell (PSS)

In RFX-mod2 la shell sara supportata da 72 anelli di materiale isolante (Torlon®),fissati con dei piattelli in acciaio ad un set di rotaie installate sulla TSS. I tegoli del


(a) (b)

Fig. 2.11: Realizzazione dei gap equatoriali (a) e dettaglio del giunto esterno (b)

(a) (b)

Fig. 2.12: Realizzazione dei gap poloidali (a) e dettaglio dell’assemblaggio dell’anello(b)

gap requisiti configurazione giunto

poloidale (×2) tenuta da vuoto anelli metallo-ceramici brasati e saldati alla TSSisolamento elettrico BJG (Butt-Joint Gap)

toroidale interno tenuta da vuoto lastre resistive saldate (R > 100 µΩ)isolamento elettrico

toroidale interno tenuta da vuoto saldatura tramite strato di SS 304Lcontinuita elettrica

Fig. 2.13: Riepilogo delle configurazioni dei gap nella VTSS

nuovo FW saranno fissati alla shell mediante un sistema simile a quello gia utilizzato inpresenza del vecchio vessel: una chiave in molibdeno verra agganciata ad un supportoin acciaio, in modo da fissare il tegolo alla shell e quindi quest’ultima all’anello disupporto. Per quanto riguarda i gap, quelli equatoriali saranno gestiti in modo oppostoalla configurazione di RFX-mod: sul lato interno verranno imbullonate delle lastrein rame (continuita elettrica), mentre nel gap esterno sara interposto un materialeisolante. I gap poloidali, collocati simmetricamente a φ = 93.75 e 273.75 sarannoinvece realizzati in modo analogo a quelli della TSS di RFX-mod: i giunti verrannosaldati e isolati (configurazione BJG, Butt Joint Gap).

2.5. ERRORI DI CAMPO MAGNETICO 27

Fig. 2.14: Sistema di fissaggio del FW e della PSS agli anelli di supporto

(a)

(b)

Fig. 2.15: Composizione della shell (a) e della guida di sopporto (b)

2.5 Errori di campo magnetico

Nei precedenti paragrafi si e descritta con attenzione la configurazione adottata per igiunti poloidali ed equatoriali (toroidali), i quali delimitano le porzioni delle strutturemeccaniche conduttrici che circondano il plasma. La presenza di questi tagli e essenziale


per permettere la penetrazione dei campi magnetici esterni, tuttavia e responsabile dierrori di campo, causati dalla risposta di queste strutture passive ai campi di equilibrioapplicati dagli avvolgimenti di FS, o alla corrente di plasma durante la fase di ramp-up.Le armoniche spaziali che caratterizzano questi campi errore possono innescare insta-bilita MHD o impedire la rotazione del plasma rispetto al vessel, condizione necessariaper instaurare determinati regimi tipici della configurazione RFP. In RFX, per mitigaregli errori dovuti ai gap poloidali, fu introdotto un sistema di correzione locale, costituitoda due set di 11 bobine a sella ciascuno, disposte a cavallo di tali gap. In RFX-modle 192 bobine a sella di controllo MHD sono state impiegate anche per la mitigazionedegli errori di campo locali, ottenendo buoni risultati anche grazie alla sovrapposizio-ne di uno dei gap poloidali come precedentemente descritto (configurazione giunto ditipo OG, Overlapped Gap). Le modifiche designate per RFX-mod2 hanno portato arivalutare la possibilita di utilizzare il sistema di correzione locale impiegato in RFX.Si sono inoltre considerate due configurazioni alternative al gap poloidale sovrapposto(OG) [11]:

BJG (Butt-Joint Gap): sia nella shell che nella TSS i gap poloidali sono affacciatimediante giunti saldati (e isolati).

SOG (Short Overlapped Gap): un gap poloidale della shell e sovrapposto peruna ridotta estensione di 6°, mentre i gap poloidali della TSS sono realizzati conconfigurazione BJG.

Fig. 2.16: Rappresentazione concettuale delle tre alternative per il gap poloidale

Per confrontare le diverse soluzioni si e analizzata, tramite un’analisi FEM, la rispostadi tali strutture conduttrici in presenza di un campo magnetico verticale esterno e si ecalcolata la forza magnetomotrice necessaria alle bobine di correzione per compensare ilcampo errore generato. Lo studio e stato svolto applicando alcune ipotesi semplificative,in modo da limitare il peso computazionale del problema: il dominio toroidale e statorettificato considerando solo mezza porzione della reale macchina ed estendendo quindii risultati all’intera geometria, considerando la presenza di un gap analogo a 180°indirezione toroidale; il campo esterno e stato ipotizzato uniforme e si sono prese inconsiderazione le sole 5 coppie di bobine disposte simmetricamente rispetto al pianoequatoriale. In questo modo il problema risulta assialsimmetrico e puo essere studiato ingeometria cilindrica. L’analisi numerica, svolta a tre diverse frequenze di 10, 50, 100Hzha messo in evidenza i seguenti risultati:

Dal punto di vista della penetrazione del campo esterno, la soluzione adottatain RFX-mod (OG) risulta essere la piu penalizzante insieme alla SOG: per unintervallo di 23°(circa 0.8 m del toroide rettificato) e 6°rispettivamente, il cam-po e pesantemente attenuato a causa delle correnti indotte, che circolano su uno

2.5. ERRORI DI CAMPO MAGNETICO 29

spessore di fatto doppio rispetto a quello della shell. Si osserva inoltre un lieveincremento del campo (comunque inferiore in valore assoluto rispetto a quello ap-plicato) in corrispondenza delle sezioni terminali della sovrapposizione. Nel casoBJG invece si nota una netta amplificazione del campo esterno in corrispondenzadel gap, dovuto alla densita di corrente che tende a aumentare in quella zona.

Per valutare l’errore di campo generato dalle strutture conduttrici si e scompostala componente radiale di tale campo tramite un’analisi di Fourier bidimensionale,ricavando le componenti armoniche spaziali in direzione poloidale e in direzionetoroidale. In assenza di compensazione attiva la soluzione OG mostra il minorcontenuto armonico, mentre l’adozione di una configurazione SOG o BJG richiedenecessariamente l’introduzione di un sistema di mitigazione degli errori di campo.

In termini di forza magnetomotrice necessaria per la compensazione degli erroridi campo si osserva che la configurazione OG risulta essere molto dispendiosa,mentre SOG e BJG richiedono un numero di amperspire minore e molto simile.

Grazie allo studio svolto si e potuto osservare come la configurazione BJG richiederebbenecessariamente l’utilizzo di un sistema di compensazione attiva degli errori di campo,mentre la sovrapposizione adottata in RFX-mod, pur attenuando i campi esterni, risultamolto vantaggiosa in termini di campo errore. Tuttavia la sequenza di assemblaggioprevista per RFX-mod2 rende molto complicata l’adozione di quest’ultima soluzione,per cui allo stato attuale del progetto si e considerata una configurazione di tipo BJG.

La sequenza di assemblaggio di RFX-mod2 e riassunta nei seguenti passaggi:

pre-assemblaggio dei due semi-toroidi della TSS, integrazione delle porte e salda-tura dei gap equatoriali;

pre-assemblaggio dei due semi-toroidi della shell, con i designati gap equatorialie gli anelli di supporto;

fissaggio del FW alle due semi-shell;

inserimento di ciascuna semi-shell nel corrispondente mezzo toro della TSS;

sigillatura dei gap poloidali dei due semi-toroidi completamente assemblati.

La sequenza di montaggio risulta opposta a come si era precedentemente operato inRFX-mod: qui le due porzioni superiore e inferiore della TSS venivano prima assemblateseparatamente; sulla parte inferiore veniva calata la semi-shell inferiore e quindi l’interovessel; infine il toroide veniva chiuso con le parti superiori della shell prima e della TSSpoi, permettendo cosı di sovrapporre in fase di montaggio il gap poloidale della PSS.In RFX-mod2, venendo a mancare una struttura meccanicamente continua come ilvessel, il fissaggio dei tegoli del FW sulla shell risulterebbe complicato dalla regionedi sovrapposizione di quest’ultima. Per questo motivo si a trascurata la possibilita disovrapporre le porzioni di shell e ci si e orientati sulla soluzione a giunti affacciati. Nederiva la necessita di un’approfondito studio del sistema di correzione locale dei campimagnetici e della risposta delle strutture ad esso. In questo elaborato verra presentatauna rianalisi del problema descritto in questa sezione, analizzando il sistema nella suatotale tridimensionalita e tenendo quindi conto della toroidicita della configurazione. Inparticolare sara valutata la risposta delle strutture conduttrici a due diverse sorgenti:il campo di induzione magnetica generato dal plasma e la configurazione di campi diequilibrio, imposta dagli avvolgimenti esterni, durante la fase di ramp-up. Verranno


proposti due possibili set di bobine a sella: uno posto sulla superficie esterna della TSSed uno piu interno collocato sulla superficie esterna della shell.

Fig. 2.17: Sequenza di assemblaggio prevista per RFX-mod2 (grigio: TSS, giallo: shell,arancio: FW

2.6. RIEPILOGO DELLE CONFIGURAZIONI DEI GAP 31

2.6 Riepilogo delle configurazioni dei gap

Si riportano alcune tabelle di riepilogo sulla gestione dei gap nel corso dei successivisviluppi della macchina. Si indica con gap continuo un giunto dove e stata garantitacontinuita elettrica, con gap isolato un gap dove invece e stato garantito l’isolamentoelettrico fra le due parti metalliche a contatto.

RFX

PSS continuo isolato BGJ OG lastre conduttive lastre resistive

equatoriale interno x xequatoriale esterno x x

poloidale x xpoloidale opposto x x

RFX-mod



poloidale x xpoloidale opposto x

TSS continuo isolato BGJ OG lastre conduttive lastre resistive



RFX-mod2




TSS continuo isolato BGJ OG lastre conduttive lastre resistive

equatoriale interno x xequatoriale esterno x



Capitolo 3

Il metodo delle celle

3.1 Il concetto di cella nello spazio 3D

In molti approcci per la soluzione di problemi elettromagnetici (FEM, FDM, BEM,...), il dominio in cui e definito il problema viene scomposto nell’insieme di elementisufficientemente piccoli, in modo tale da rendere la soluzione il piu possibile accura-ta: ad esempio per problemi bidimensionali lo spazio e scomposto in mesh di triangoli,rettangoli o altri poligoni, in tetraedri o altri poliedri per problemi tridimensionali. Nel-l’ambito dell’algebra topologica questi elementi vengono preferibilmente detti celle e sidefinisce complesso di celle l’insieme degli elementi, quali punti, linee, facce e volumi,che caratterizzano tale complesso. L’insieme di questi elementi fornisce un importantebackground per la formulazione algebrica del problema in esame. L’approccio tradizio-nale, basato sulla formulazione differenziale delle leggi della fisica, come ad esempio leleggi di Maxwell, porta a dover risolvere equazioni differenziali e quindi richiede l’in-troduzione di strumenti numerici adatti alla soluzione di queste ultime. Attraverso unapproccio algebrico invece, il problema si riduce direttamente alla soluzione numericadi un sistema di equazioni algebriche [12]. Nell’ambito dell’algebra topologica, datouno spazio di dimensione n, si parlera di cella p-dimensionale o p-cella (con 0 ≤ p ≤ n)per indicare gli elementi che discretizzano tale spazio. Il complesso di celle e dettom-dimensionale, indicato con Km, se le celle di maggiore dimensione sono celle di di-mensione m [13]. Si osservi che non necessariamente in uno spazio di dimensione ndeve essere definito un complesso Km: in generale vale m ≤ n.

Elemento spaziale Simbolo Tipo di cella Simbolo topologico

Punto P 0-cella (Nodo) e0

Linea L 1-cella (Lato) e1

Superficie S 2-cella (Faccia) e2

Volume V 3-cella (Cella) e3

Il dominio del problema in esame puo essere discretizzato da un insieme di celle definitein due diversi modi:

Una possibilita semplice e quella di considerare l’insieme di celle che si ottengonodall’estrusione delle linee e delle superfici che caratterizzano un dato sistema diriferimento cartesiano (i.e. linee parallele agli assi x, y, z, facce parallele ai pianixy, xz, yz), cilindrico o sferico. Il “naturale”sviluppo di tali linee rende semplicedefinire le coordinate dei punti che delimitano punti, lati e facce di ogni cella (vo-lume). Si otterranno cosı celle quadrate/rettangolari (in 2D), cubi/parallelepipedi

33

34 CAPITOLO 3. IL METODO DELLE CELLE

(in 3D), eventualmente con dei lati curvilinei se si considera un sistema di rife-rimento come quello cilindrico o sferico, ma comunque di forma molto semplice.

Fig. 3.1: Complesso di celle coordinate nei sistemi di riferimento cartesiano (a),cilindrico (b) e sferico (c)

In alternativa si puo, indipendentemente dal sistema di riferimento, costruirele celle imponendo che queste abbiano la forma piu semplice possibile, ovverotriangoli nel caso bi-dimensionale, o tetraedri nel caso 3D. L’insieme di celle inquesto caso e detto complesso di celle semplice e rappresenta la soluzione piufrequentemente adottata.

Fig. 3.2: Complesso di celle semplice

3.1.1 Orientazione

Una volta definito il complesso di celle e necessario orientare ogni elemento spaziale(punti, linee, superfici, volumi) che lo compone. Il concetto di orientazione e fonda-mentale nel momento in cui si vuole risolvere un determinato problema fisico: si pensialla definizione di flusso di induzione magnetica attraverso una superficie, o alla solu-zione di circuiti tramite il metodo delle correnti di anello: in ciascuno di questi casi erichiesta un’orientazione degli elementi che costituiscono lo spazio topologico in cui edefinito il problema. Normalmente con il termine orientazione si e portati a pensarealla verso di percorrenza di una linea, alla normale entrante o uscente da una super-ficie, ai lati entranti o uscenti da un nodo. Questi elementi orientati rappresentano inrealta casi particolari di un concetto piu sistematico di orientazione, di cui sono dotatigli elementi di un complesso di celle. Questa visione generale si basa sulle definizionidi orientazione interna e orientazione esterna degli elementi spaziali. Con in termineorientazione interna si intende che l’orientazione dell’elemento e definita sulla base deisoli punti che definiscono il bordo di un elemento spaziale: ad esempio se si considerauna linea, orientare internamente questa significa sceglierne un verso di percorrenza,ovvero il nodo iniziale e quello finale; per una superficie si tratta di fissare un verso dipercorrenza lungo il suo perimetro; in un qualche modo percio si prendono in conside-razione punti “interni”(o al piu di bordo) dell’elemento considerato. Se in quest’ultimo

3.1. IL CONCETTO DI CELLA NELLO SPAZIO 3D 35

Fig. 3.3: Concetto “standard”di elementi orientati

caso invece si definisce qual e la faccia interna e quella esterna della superficie, allorasi sta applicando un’orientazione esterna, poiche il passare dalla faccia interna a quellaesterna implica dover uscire dalla superficie stessa. Si riassumono in seguito brevemen-te i concetti di orientazione interna ed esterna per gli elementi spaziali definibili in uncomplesso K3.

Linee

Orientare internamente una linea significa definirne un verso di percorrenza. Una lineain un complesso di celle dotata di orientazione interna viene indicata con L. L’orien-tazione esterna di una linea ne definisce invece il verso di rotazione attorno all’assepassante per la linea stessa. Se viene applicata un’orientazione esterna, l’elementoverra indicato con L

Fig. 3.4: Orientazione interna (a) ed esterna (b) di una linea

Superfici

Una superficie e dotata di orientazione interna se e fissato un verso di percorrenzadel suo bordo (perimetro), mentre e orientata esternamente se si distingue una facciainterna ed una esterna (in altre parole possiamo associare un versore normale uscenteo entrante alla superficie). Rispettivamente si indica la superficie con S o S.

Fig. 3.5: Orientazione interna (a) ed esterna (b) di una superficie


Volumi

Un volume e dotato di un’orientazione interna se tutte le sue facce sono orientateinternamente in modo coerente (o compatibile): questo significa che, considerate duefacce adiacenti, queste devono indurre un’orientazione opposta sul lato in comune. Unvolume e dotato di orientazione esterna se ad ogni faccia e associato un versore normale(i.e. tutte le facce hanno orientazione esterna) coerente con le altre, in modo che tuttiescano dal volume o entrino nello stesso. Si osservi che anche l’orientazione interna diuna superficie corrisponde ad un’orientazione interna e coerente dei lati che formano ilsuo bordo: infatti fissato un verso di percorrenza del perimetro e considerati due latidi questo, ciascuno induce un’orientazione opposta sul nodo in comune.

Fig. 3.6: Orientazione interna (a) ed esterna (b) di un volume

Punti

Associare ad un punto un’orientazione interna, significa definire se quel punto e consi-derato come un pozzo o una sorgente: ad esempio se il punto e un nodo di un grafo diun circuito elettrico, orientare quel nodo significa stabilire se tutte le correnti sono perconvenzione entranti (pozzo) o uscenti (sorgente) da quel nodo. Si introduce ora unadefinizione che verra ripresa nel paragrafo successivo:

in uno spazio 3D il duale di una p-cella e una (3− p) cella.

Il concetto di elemento duale e molto importante per le orientazioni, in quanto l’orien-tazione esterna di un’elemento spaziale e l’orientazione interna dell’elemento duale: adesempio l’orientazione esterna di una linea corrisponde all’orientazione interna dellafaccia avente quella linea come normale e viceversa. Allo stesso modo si puo alloradefinire l’orientazione interna di un punto come l’orientazione esterna del volume dua-le: in altre parole il punto e orientato internamente, quando le linee che sono normalidelle facce del volume duale, sono tutte entranti o uscenti dal punto considerato. Inmodo complementare un punto sara dotato di un’orientazione esterna, quando le lineeche convergono in quel punto, e che sono le normali delle facce del volume in cui econtenuto, sono dotate di un verso di rotazione definito dall’orientazione interna delvolume. Tramite la definizione di elemento duale e la relazione tra orientazione internaed esterna tra i due elementi, si possono ricavare tutte le orientazioni esterne per glielementi spaziali definiti in un generico spazio di dimensione n, come riassunto nellaFig.3.8

3.1. IL CONCETTO DI CELLA NELLO SPAZIO 3D 37

Fig. 3.7: Orientazione interna (a) ed esterna (b) di un punto

Fig. 3.8: Orientazione esterna degli elementi spaziali in 3D, 2D e 1D

3.1.2 Complesso duale di celle

Nella formulazione differenziale dei problemi elettromagnetici si ricorre all’utilizzo dioperatori differenziali, quali gradiente, rotore e divergenza con un’importante conse-guenza: nonostante si voglia conoscere il valore di una determinata funzione (scalare ovettoriale) nei punti in cui e stato discretizzato il dominio, questo processo porta allascrittura di equazioni in cui non compare solo il punto (nodo) considerato, ma anche isuoi vicini. Si pensi ad esempio al metodo delle differenze finite (FDM) per la soluzionedell’equazione di Poisson ∇2U = g: per ricavare il potenziale U di un generico nodo,nota la funzione scalare g (sorgente), questo viene espresso come una media pesata (conopportuni coefficienti) dei potenziali dei nodi adiacenti. L’importanza della regione “vi-cina”ad un dato elemento ha portato a considerare una regione ausiliaria al complessodi celle per ciascuno dei suoi nodi: l’insieme degli elementi spaziali che formano questeregioni aggiuntive costituisce il complesso duale.

Per fissare il concetto di complesso duale si consideri un complesso K3 formato dacelle cubiche e, per ciascuna di queste celle, si colleghino i punti centrali: si otterraun nuovo complesso, composto anch’esso da elementi la cui massima dimensione e parialla massima per il complesso primario (in questo caso 3). Si osservi che ad ogni cubo(3D-cella) del complesso primario corrisponde nel complesso duale il punto (0D-cella) inesso contenuto e viceversa; ad ogni faccia (2D-cella) del cubo primario corrisponde unalinea nel duale (1D-cella) che collega due nodi duali attraverso la faccia considerata; ognilinea del primario interseca una faccia del duale e ogni punto del complesso primario sitrova al centro di una cella duale. In breve:

dato un complesso Kn, ad ogni p-cella del complesso primario corrisponde una(n− p)-cella nel complesso duale, che contiene, e contenuta, o interseca la cellaprimaria. Questa caratteristica e detta proprieta di dualita tra i due complessi.


In seguito si indichera con K il complesso primario, con K il duale e con P, L, S, Vgli elementi spaziali che lo compongono. La scelta di quale dei due complessi rappre-senti il primario e arbitraria, ma solitamente si considera come complesso duale quellocontenente le sorgenti di campo, ad esempio i vettori densita di corrente.

Fig. 3.9: Esempio di cella duale

Orientazione indotta

Un complesso di celle Kn e detto orientato internamente se tutte le celle p-dimensionali,con 0 ≤ p ≤ n, sono dotate di un’orientazione interna. Al fine di orientare correttamenteil complesso si procede nel modo seguente:

tutte le celle di dimensione 0 (punti) devono essere dotate di un’unica orientazioneinterna: tutte sorgenti o tutte pozzi (scelta generalmente adottata);

si applica ad una cella n-dimensionale un’orientazione interna, quindi quest’ulti-ma viene propagata a tutte le altre n-celle in modo da ottenere un’orientazionecoerente;

le restanti celle di dimensione 0 < p < n possono essere orientate (internamente)in modo arbitrario.

Grazie al principio di dualita sopra definito, una volta dotate le celle primarie di un’o-rientazione interna, risulta univocamente determinata l’orientazione esterna delle celledel complesso duale corrispondenti: l’orientazione esterna di una p-cella di K e indottadall’orientazione interna della (n − p)-cella corrispondente di K. Per questo motivosi puo associare equivalentemente il simbolo P, L, S, V ad un elemento dotato diorientazione interna e ad un elemento del complesso primario; viceversa P, L, S, V

3.2. MATRICI E NUMERI DI INCIDENZA 39

indicheranno in modo equivalente elementi spaziali con orientazione esterna o elementiduali.*

Fig. 3.10: Processo di induzione dell’orientazione esterna sulle celle del complesso duale

3.2 Matrici e numeri di incidenza

Si consideri una cella volumica (3D-cella) di un complesso di celle K3. Tale volume saradotato di 6 facce, rappresentate nel complesso dalle celle 2D che formano il suo bordo.In generale, data una p-cella, vengono chiamate facce le (p − 1)-celle che definisconoil suo bordo. Ad esempio le facce di una superficie sono i lati che delimitano il suoperiodo, mentre le facce di una linea sono costituite dai suoi due punti estremi. Ilconcetto di faccia gioca un ruolo chiave nella definizione di numero di incidenza, trauna p-cella e una (p − 1)-cella. Si supponga di aver assegnato ad ogni p-cella delcomplesso primario un indice h: in virtu del principio di dualita l’indice della h-esimap-cella del complesso primario sara il medesimo della corrispondente h-esima (3 − p)-cella del duale. Il numero di incidenza qhk definito tra la h-esima p-cella eph e la k-esima

(p− 1)-cella ep−1k di K vale:

+1 se ep−1k e una faccia di eph e le orientazioni delle due celle sono compatibili;

−1 se ep−1k e una faccia di eph e le orientazioni delle due celle non sono compatibili;

0 se ep−1k non e una faccia di eph

L’insieme dei numeri di incidenza puo essere raccolto in una matrice (chiamata appuntomatrice di incidenza), avente sulle righe le p-celle e sulle colonne le (p − 1)- celle. Inun complesso K3 si possono distinguere 3 diverse matrici di incidenza:

G: matrice di incidenza lati/nodi ;

C: matrice di incidenza facce/lati ;

D: matrice di incidenza celle(volumi)/facce.

Inoltre in presenza di un complesso duale K sono verificate le seguenti condizioni:

ogni (3 − p)-cella del complesso duale interseca, e contenuta o contiene la corri-spondente p-cella del complesso primario;

*Notazione: nodi, facce, lati e volumi vengono spesso indicati anche con n,e,f,v, per il complessoprimario e con n, e, f , v per il complesso duale.

Nel caso bi-dimensionale saranno solo presenti le matrici G e C.


il numero di celle np di dimensione p del complesso primario coincide con il numerodelle corrispondenti (n−p)-celle duali (i.e. si possono assegnare i medesimi indicia coppie di celle corrispondenti);

l’orientazione della (n − p)-cella duale e quella indotta dall’orientazione internadella p-cella primaria corrispondente.

In virtu di queste proprieta e verificato che: il numero di incidenza tra una p-cella euna (p-1)-cella nel complesso primario e il numero di incidenza tra le corrispondenticelle duali sono equivalenti. Segue che, dato un complesso K2:

G = CT

C = GT (3.1)

Mentre se si considera un complesso K3:

G = DT

C = CT

D = −GT

(3.2)

Rispetto al caso 2D cambiano le tipologie di elementi spaziali che formano una coppiadi celle primaria/duale, per questo motivo cambiano anche le coppie di matrici diincidenza. Il segno “-”nell’ultima espressione e dovuto al fatto che, convenzionalmente,i nodi sono sempre orientati da pozzi e i volumi con normali uscenti, per cui quandosi passa dal nodo primario al volume duale, l’orientazione esterna indotta e invertitarispetto alla convenzione.

Fig. 3.11: Relazioni tra numeri di incidenza di coppie di celle primarie/duali

3.2. MATRICI E NUMERI DI INCIDENZA 41

Esempio

Si riporta a scopo chiarificatore il seguente esempio (Fig.3.12), per un complesso K2:

Fig. 3.12: Esempio di complesso orientato in 2D

G =

−1 1 0 0 0 00 −1 1 0 0 00 0 −1 1 0 00 0 0 1 −1 00 −1 0 0 1 00 0 0 0 1 −1−1 0 0 0 0 1

(3.3)

dove la h-esima riga corrisponde al lato lh = e1h, mentre la k-esima colonna corrispondeal punto pk = e0k.

C =

[1 0 0 0 1 −1 −10 1 1 −1 −1 0 0

](3.4)

dove la h-esima riga corrisponde alla faccia sh = e2h, mentre la k-esima colonna cor-risponde al lato lk = e1k. Una volta costruito il complesso duale si puo facilmente

Fig. 3.13: Complesso duale dell’esempio

verificare che valgono le (3.1):

G =

1 00 10 10 −11 −1−1 0−1 0

= CT (3.5)


C =

−1 0 0 0 0 0 −11 −1 0 0 −1 0 00 1 −1 0 0 0 00 0 1 1 0 0 00 0 0 −1 1 1 00 0 0 0 0 −1 1

= GT (3.6)

3.3 Formulazione discreta delle leggi di Maxwell

Si supponga di voler risolvere un dato problema elettromagnetico. L’approccio diffe-renziale adottato nei metodi come FEM (Finite Element Method) e FDM (Finite Dif-ference Method) richiede un processo di discretizzazione delle equazioni di Maxwell informa differenziale. Con il metodo delle celle, indicato anche con la sigla DGA (DiscreteGeometric Approach), e possibile riformulare le equazioni di Maxwell in forma finita,ottenendo direttamente un sistema di equazioni algebriche senza dover passare per l’e-spressione differenziale di tali equazioni. Il metodo DGA si basa sull’utilizzo di variabiliglobali, ciascuna riferita a elementi spaziali orientati (internamente o esternamente) checompongono il complesso. Il legame tra queste variabili e i campi elettromagneticicaratteristici del problema e dato da espressioni integrali, valutati sulle linee, superficio volumi che costituiscono gli elementi. Ad esempio ad ogni faccia orientata S si puoassociare un il flusso di induzione magnetica Φ:

Φ[S] =

∫S

B · dS (3.7)

Si consideri quindi in teorema di Gauss per il campo magnetico:∮∂V

B · dS =

∫V∇ ·B = 0 (3.8)

dove ∂V e il bordo del volume V. Se tale volume e la h-esima cella e3h di un complesso,allora il suo bordo e composto da 6 facce S, la cui somma dei flussi Φ[S] deve averevalore nullo in accordo con il teorema di Gauss. Se si indica con Φ[S] il vettore deiflussi di induzione magnetica associati alle m facce del complesso, allora la legge diGauss, per la cella h-esima, puo essere riscritto come:

dh1Φ[S1] + dh2Φ[S2] + ...+ dhkΦ[Sk] + ...+ dhmΦ[Sm] = 0 (3.9)

dove dh,k e il numero di incidenza tra la cella h e la faccia k, il quale vale ±1 sequest’ultima appartiene al suo bordo ∂V, o 0 se non vi appartiene. Φ[S] e una variabileglobale del problema il cui legame differenziale con il campo B e espresso dall’operatorediv, il quale in forma discreta si traduce nella matrice di incidenza D:

DΦ[S] = 0 teorema di Gauss per il campo magnetico (3.10)

In modo simile si possono definire le altre variabili globali del sistema che vengono quiriassunte [14]:

Φ e il vettore dei flussi magnetici associati alle facce S;

Ψ e il vettore dei flussi elettrici associati alle facce duali S;

F e il vettore delle f.m.m. associate ai lati duali L;

3.3. FORMULAZIONE DISCRETA DELLE LEGGI DI MAXWELL 43

I e il vettore delle correnti associate alle facce duali S;

U e il vettore delle f.e.m. associati ai lati primari L;

A e il vettore degli integrali del potenziale vettore magnetico lungo i lati primariL;

Q e il vettore delle cariche contenute nei volumi duali V.

Si osservi che alcune variabili sono riferite a elementi del complesso primario, mentrealtre ad elementi del duale. Nel metodo delle celle queste variabili (gradi di libertadel problema) sono suddivise in due categorie: variabili di configurazione e variabilidi sorgente. Tale suddivisione permette di distinguere i gradi di liberta del problemaassociati, rispettivamente, alla configurazione dei campi presenti e alle sorgenti di questiultimi. E per questo motivo che si ricorre a due complessi di celle, in modo associaread uno, ad esempio il duale, le sorgenti di campo e all’altro, il primario, l’effetto ditali variabili di sorgente . Il vantaggio di questo metodo e poi reso esplicitamentedallo stretto legame che sussiste tra le matrici di incidenza G, C, D e gli operatoridifferenziali grad, curl, div (non a caso il nome di tali matrici fa riferimento proprio alnome degli operatori). Il legame tra operatore differenziale e matrice di incidenza siesplica nella forma discreta delle equazioni di Maxwell, qui in seguito riportate:

CU = −dΦ/dt (a) legge di Fadaray-Neumann

CF = I + dΨ/dt (b) legge di Ampere-MaxwellDΦ = 0 (c) teorema di Gauss per il campo magnetico

DΨ = Q (d) teorema di Gauss per il campo elettrico

(3.11)

Si osservi che (a) e (c) fanno riferimento a variabili di sorgente, per cui compaiono lematrici di incidenza§ relative a elementi spaziali del complesso primario K (i.e. orien-tati internamente), mentre (b) e (d) si riferiscono a elementi del complesso duale, inquanto esprimono un legame fisico tra variabili di configurazione. Infine le leggi co-stitutive dei materiali completano il quadro delle equazioni che descrivono un datoproblema elettromagnetico, fornendo il legame tra variabili di sorgente e variabili diconfigurazione:

F = MνΦ (a)

Ψ = MεU (b)

I = MσU (c)

(3.12)

dove Mν , Mε e Mσ sono matrici quadrate dipendenti dalla geometria e dai materialiin gioco.

L’associazione di un insieme di variabili ad un complesso e del tutto arbitraria; le espressionipresentate in questo paragrafo rappresentano solo uno dei due possibili casi di associazione.

§Per semplicita di notazione le matrici di incidenza relative al complesso primario vengono spessoindicate omettendo l’apice¯.


Capitolo 4

Analisi modale

4.1 Modi di plasma

Nel capitolo 1 si e motivata la necessita di adottare configurazioni di tipo screw-pinchper garantire l’equilibrio MHD: le linee dei campi densita di corrente J e induzionemagnetica B si avvolgono attorno al plasma formando profili elicoidali. Si consideriuna generica sezione poloidale individuata dall’angolo φ = φ∗, appartenente ad unasuperficie di flusso: si supponga che la linea di campo individui su tale sezione unpunto P0; a causa dell’andamento elicoidale, dopo una completa rivoluzione del toroidela linea di campo avra subito uno spostamento poloidale ∆θ, individuando un nuovopunto P1, non necessariamente corrispondente al punto di partenza [15].

Fig. 4.1: Punti individuati dalla linea di campo in seguito a successive rivoluzioni

L’angolo poloidale medio, definito su un numero infinito di rivoluzioni toroidali, copertodalla linea di campo durante un completo giro toroidale e definito come trasformatarotazionale:

ι = limj→∞

1

N

N∑j=1

∆θj (4.1)

dove ∆θj e l’angolo individuato dalla linea di campo tra il j-esimo e il (j+1)-esimotransito sulla sezione considerata. In generale una generica linea di campo impiegheraN giri completi del toroide per tornare al punto di partenza, ovvero per completare ungiro poloidale. In questo caso le linee di campo saranno chiuse e ι assume un valore

45

46 CAPITOLO 4. ANALISI MODALE

dato da:

ι =2π

N(4.2)

Il numero N corrisponde alla grandezza definita nel capitolo 1 come fattore di sicurezza,q :

q(r) =2π

ι=

r

R0

Bφ(r)

Bθ(r)(4.3)

Il fattore di sicurezza fornisce quindi un’importante indicazione sul passo dell’elicaformata dalle linee di campo: piu q e grande (i.e. ι piccolo) piu il passo dell’elica eampio e viceversa.

Si prenda ora in considerazione il campo densita di corrente J definito dal plasma esi consideri una generica superficie toroidale individuata dal raggio minore r = r∗.L’andamento spaziale di J lungo tale superficie puo essere espresso, sfruttando lascomposizione di Fourier, come:

J(r) = J(r∗)ej(mθ+nφ) (4.4)

dove r e il generico punto lungo la superficie individuato dalle coordinate (r∗, θ, φ). Icoefficienti m e n vengono chiamati rispettivamente numero d’onda poloidale e numerod’onda toroidale: una configurazione magnetica, in condizioni di equilibrio, e carat-terizzata da un determinato modo di plasma a seconda dei valori assunti dai numerid’onda m e n. Il fattore di sicurezza (4.3) puo essere riscritto come:

q =m

n(4.5)

I modi di plasma caratterizzati da un elevato m sono percio costituiti da eliche dicorrente molto allungate, che richiedono molti giri toroidali per completare un giropoloidale. Queste configurazioni modali sono tipiche dei Tokamak dove, per ragionidi stabilita, si cerca di mantenere un elevato fattore di sicurezza (maggiore di 2). Laconfigurazione RFP e invece molto piu flessibile dal punto di vista modale: la presenzadi modi con m 6= 0 e n 6= 0 e spesso accompagnata dall’insorgere di instabilita nelplasma, le quali pero contribuiscono al mantenimento della configurazione RFP secondoun meccanismo noto come effetto dinamo [4].

In RFX-mod, anche grazie all’introduzione delle bobine di controllo MHD, e statopossibile operare stabilmente con diversi modi di plasma, con m = 1 e n = 0÷ 20; unmodo tipico, ad esempio, e quello descritto da m = 1 e n = 7. Con riferimento a taleconfigurazione si e valutato, in primo luogo, il campo di induzione magnetica prodottodal solo plasma sulla superficie interna del FW. Si e adottato un approccio integraleper la soluzione numerica del problema: questo risulta vantaggioso in presenza di undominio molto vasto dove pero solo una parte di questo, la superficie del FW e il pla-sma, devono essere discretizzati, a differenza di un approccio FEM che richiederebbedi meshare l’intero dominio. Come sorgente di campo si e considerata una superficietoroidale avente raggio minore pari a 0.3m. In secondo luogo si e considerato l’effettodelle strutture conduttrici, in modo tale da valutare gli errori di campo ai gap dovutialle correnti indotte in esse. La presenza di queste correnti indotte e dovuta al fattoche la colonna di plasma non si trova in equilibrio statico, ma ruota all’interno delvessel nella direzione toroidale. Il campo magnetico risultante dal plasma dunque saracaratterizzato da una certa distribuzione spaziale, come quella di (4.4), rotante nellospazio: le strutture metalliche conduttrici che circondano il plasma vedranno un campovariabile nel tempo, il che porta all’induzione di correnti le quali, a loro volta, esercite-ranno una coppia frenante tale da rallentare la rotazione del plasma. Questo fenomeno

4.2. DISCRETIZZAZIONE DEL DOMINIO 47

e molto simile a quanto accade nei motori a induzione, nei quali le correnti indottenel rotore (i.e. shell) tendono a portare il campo magnetico di rotore alla medesimavelocita di rotazione di quello di eccitazione (plasma).

4.2 Discretizzazione del dominio

4.2.1 Plasma

La superficie di plasma (i.e. la sorgente di campo magnetico) e stata discretizzata attra-verso elementi triangolari, su cui si e ipotizzato un valore di densita di corrente uniforme.Tramite questa superficie si vuole riprodurre una possibile superficie iso-pressione delplasma, su cui le linee di campo J giacciono senza aver alcuna componente normale(i.e. radiale). Per la realizzazione della mesh e stato definito un numero discreto dipunti sulla superficie: trattandosi di punti aventi tutti la medesima coordinata radiale(r = 0.3m), si puo immaginare la mesh come una griglia orientata secondo i due assi θ eφ. Si sono considerati npol punti in direzione poloidale e ntor punti in quella toroidale,per un totale di nnodes = npol × ntor nodi (si osservi che i lati superiore/inferiore esinistro/destro della griglia coincidono, trattandosi in realta di una superficie toroidalee non di una griglia piana). Considerato il generico indice di riga kφ (con kφ = 1÷ntor)e il generico indice di colonna kθ (con kθ = 1 ÷ npol), le coordinate del punto (kφ, kθ)sono espresse come:

r = 0.3θ = (kθ − 1) ∆θ se kφ dispariθ = ∆θ/2 + (kθ − 1) ∆θ se kφ pariφ = (kφ − 1) ∆φ

(4.6)

con ∆θ =2π

npole ∆φ =

2π

ntor. La distinzione della coordinata poloidale a seconda della

riga occupata dai punti e necessaria se si vuole ottenere una mesh di triangoli isosceli,per cui un punto della riga kφ dovra trovarsi sulla mezzeria (in termini di componenteθ) rispetto a due punti della riga precedente. Un generico nodo puo essere individuato,sia tramite gli indici di riga e di colonna come appena descritto, sia da un indice globalej (con j = 1÷ nnodes), ordinato ad esempio secondo la sequenza adottata in Fig.4.2 (siscorre la kφ−esima riga nel verso positivo delle θ per poi passare alla riga kφ + 1). Siottiene cosı la seguente relazione tra indici riga/colonna e indici globali:

j = (kφ − 1)npol + kθ (4.7)

Una volta numerati i nodi della mesh si puo costruire una matrice di dimensioni nnodes×3, avente su ogni riga le coordinate del corrispondente nodo j-esimo:*

NN =

x1 y1 z1x2 y2 z2...

......

xj yj zj...

......

xnnodesynnodes

znnodes

(4.8)

*Le coordinate, una volta ricavate in geometria toroidale secondo le (4.6), saranno convertite nelriferimento di assi cartesiani x, y, z sfruttando le (1.15).


0 60 120 180 240 300 3600

90

180

270

360

θ [°]

φ[°

]

1 2 3 1

4 5 6

8 97 7

10 11 12

1 2 3 1

1 2 3

4 5 66

7 8 9

1012 11 12

13 14 15

17 181618

22 23 2424

19 20 21

kθ

kφ

Fig. 4.2: Esempio di mesh triangolare con npol = 3 e ntor = 4

Per poter svolgere le operazioni che verranno descritte in seguito, e necessario cono-scere quali nodi appartengono ad un generico elemento triangolare t (dove t e l’indiceglobale con cui possono essere ordinati i vari elementi). Si puo cosı definire una matricefacce/nodi, avente tante righe quanti i triangoli della mesh (ntri = 2nnodes), e per ogniriga gli indici globali dei 3 nodi (jt1, jt2, jt3) corrispondenti ai vertici del triangolo tconsiderato:

F =

j11 j12 j13j21 j22 j23...

......

jt1 jt2 jt3...

......

jntri1 jntri2 jntri3

(4.9)

Il verso con cui vengono ordinati i nodi di un triangolo e arbitrario (orario o antiorario),purche coerente per tutti gli elementi. Noti i vertici di ciascun triangolo e le corrispon-denti coordinate la mesh e completamente definita. Da un punto di vista numerico,maggiore e il numero di elementi scelti piu accurata sara la valutazione dei campi, mamaggiore diventera l’onere computazionale. Inoltre, dovendo analizzare un modo diplasma m = 1, n = 7 in cui il periodo delle grandezze in direzione toroidale e 7 voltequella in direzione poloidale, se si vuole mantenere la stessa risoluzione spaziale nelledue direzioni si dovra scegliere ntor = 7npol. Nel caso in esame il plasma di RFX e statomodellizzato tramite 16200 nodi (npol = 45, ntor = 360) e 32400 elementi triangolari.

4.3. DEFINIZIONE DELLE SORGENTI DI CAMPO 49

−2

−1

0

1

2

−2

−1

0

1

2

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

x [m]y [m]

z [m

]

Fig. 4.3: Mesh della superficie “sorgente”(per facilita di visualizzazione ntor = 70,npol = 10)

4.2.2 Punti di calcolo

Il campo di induzione magnetica, generato dalla distribuzione di corrente sulla superficiesopra descritta, e stato valutato su una griglia di punti collocata su di una superficietoroidale corrispondente alla parete interna del FW (r = a = 0.489m). Si e realizzatauna mesh simile alla precedente, costituita da 720 nodi in direzione toroidale e 180 inquella poloidale, per un totale di 129600 elementi rettangolari.

4.3 Definizione delle sorgenti di campo

A ciascun elemento triangolare deve essere associato un vettore densita di corrente J,il quale viene assunto uniforme sulla superficie del triangolo. Considerato l’elementot-esimo e possibile associare a questo un sistema di riferimento locale, costituito dadue assi ortogonali u,v giacenti sul piano del triangolo e un terzo asse w normale aquest’ultimo. In particolare, una volta numerati i nodi in senso antiorario rispettoall’asse w e indicati con ∂Ti i lati opposti al nodo Ni, si considera con u l’asse passanteper ∂T3.Indicato con ri il vettore posizione per il nodo Ni nel sistema di riferimento globale


Fig. 4.4: Mesh rettangolare dei punti di calcolo

Fig. 4.5: Sistema di riferimento locale

(x, y, z), si indica con ej il vettore associato al lato j-esimo e con lj il corrispondentemodulo:

e1 = r3 − r2e2 = r1 − r3e3 = r2 − r1

(4.10)

lj = ‖ej‖ (4.11)

Si posso cosı ricavare i versori corrispondenti ai 3 assi u, v, w con le espressioniseguenti:

u = e3/lew = (e3 × e1) / ‖e3 × e1‖v = w × u

(4.12)

Una volta individuato correttamente il sistema di riferimento locale ciascun nodo potraessere espresso in termini di coordinate (u, v, w):

N1 = (0, 0, 0)N2 = (l3, 0, 0)N3 = (u3, v3, 0)

(4.13)

4.3. DEFINIZIONE DELLE SORGENTI DI CAMPO 51

con u3 = −e2 · u e v3 = −e2 · v.Risulta conveniente, piuttosto che dover adottare una formulazione vettoriale come

in (4.4), definire il vettore densita di corrente attraverso la relazione:

J = ∇ψmn × w (4.14)

dove ψmn e una funzione scalare avente dominio nel piano (u, v) e definita nei nodi del-l’elemento triangolare (stream function), la quale puo essere definita come combinazionelineare delle coordinate di un generico punto del piano locale:

ψmn(u, v) = a+ bu+ cv (4.15)

Al fine di riprodurre un modo di plasma caratterizzato da numeri d’onda m, n si puoassumere un’espressione di ψmn simile alla (4.4):

ψmn (r∗, θ, φ) = ψmnc cos (mθ + nφ) + ψmns sin (mθ + nφ) (4.16)

dove ψmnc e ψmns sono dei coefficienti dipendenti dal modo di plasma considerato. Tra-mite questa espressione, assegnati i coefficienti ψmnc , ψmns ed essendo note le coordinateθ, φ (r = r∗ = cost) dei nodi che compongono il triangolo, si possono calcolare i corri-spondenti potenziali ψmn1 , ψmn2 , ψmn3 . Applicando la definizione di gradiente alla (4.15)si ottiene:

∇ψmn =∂ψmn

∂uu +

∂ψmn

∂vv = bu + cv (4.17)

Quindi la (4.14) puo essere riscritta, svolgendo il prodotto vettore, come:

J(u, v, w) =

∣∣∣∣∣∣u v w

∂ψmn

∂u∂ψmn

∂v 00 0 1

∣∣∣∣∣∣ =∂ψmn

∂vu− ∂ψmn

∂uv = cu− bv (4.18)

Si noti che per come e stato definito, J e un vettore giacente sul piano u, v del triangoloe uniforme su di esso se b e c vengono considerati costanti. In altre parole, definiti ipotenziali su ogni nodo, la combinazione dei parametri a, b, c che fornisce una densitadi corrente uniforme, sara quella che verifica il sistema di equazioni lineari dato da:1 u1 v1

1 u2 v21 u3 v3

abc

=

ψmn1

ψmn2

ψmn3

(4.19)

dove ui, vi, wi sono le coordinate locali del nodo Ni. Risolvendo il sistema nelle incognitea, b, c sara univocamente determinato il vettore densita di corrente di quell’elementotriangolare. Infine il vettore J puo essere riportato nel sistema di riferimento globaleapplicando la matrice di rotazione R:

R =

u · x v · x w · xu · y v · y w · yu · z v · z w · z

→ J(x, y, z) = [R J(u, v, w)]T (4.20)

Si riporta in seguito il plot della mappa di potenziale ψmn per il modo di plasmaconsiderato: dall’immagine risulta evidente come l’elica di corrente impieghi 1/7 digiro toroidale per completare una rotazione completa in direzione poloidale.


Fig. 4.6: Andamento del potenziale ψmn per il modo m = 1, n = 7 (ψmnc = ψmns = 1)

4.4 Campo prodotto dal plasma

Considerata l’assenza di correnti indotte nelle strutture conduttrici, il calcolo del campogenerato dal plasma risulta un problema magnetostatico in cui il dominio e caratteriz-zato da un materiale uniforme (µ = µ0 = cost). Il problema e descritto dal seguenteset di equazioni:

∇×H = J∇ ·B = 0B = µ0H

(4.21)

Essendo il campo vettoriale B solenoidale, allora puo essere espresso come il rotore diun campo vettoriale A, ricordando l’identita vettoriale ∇ · ∇× = 0:

B = ∇×A (4.22)

4.4. CAMPO PRODOTTO DAL PLASMA 53

-0.3

-0.2

-0.1

0.8

0

0.1

0.2

z [m

]

0.3

0.6

y [m]

0.4

x [m]

2.30.2 2.22.121.91.81.71.61.5

Fig. 4.7: Dettaglio dei vettori J su una porzione di superficie

A e detto potenziale vettore magnetico. Si osservi che tale campo e definito a meno delgradiente di un campo scalare Ψ:

A′ = A +∇Ψ (4.23)

Esiste percio una famiglia di infiniti campi potenziale vettore A′ che forniscono B,essendo ∇ ×∇Ψ = 0. In altre parole un campo vettoriale non e univocamente deter-minato se non viene specificato, oltre al suo rotore, anche la sua divergenza: questaoperazione e detta gauging e nel caso in esame risulta conveniente imporre che ∇·A = 0(Gauge di Coulomb). Combinando la (4.22), la terza e la prima equazione di (4.21), siottiene:

∇× (∇×A) = ∇(∇ ·A)−∇2A = µ0J (4.24)

Grazie al gauge imposto si ottiene:

∇2A = −µ0J (4.25)

La (4.25) e formalmente analoga all’equazione di Poisson per il caso elettrostatico, chelega il potenziale elettrostatico φ alla densita volumica di carica δ, quindi si puo dedurre


che la sua soluzione sara [16] :

A(r) =µ04π

∫V

J(r′)

|r− r′|d3r′ (4.26)

dove r e il vettore posizione (x, y, z) del punto in cui viene valutato il potenziale vettoremagnetico, mentre r′ = (x′, y′, z′) indica la posizione della sorgente di campo J (d3r′

indica l’elemento volumico infinitesimo di integrazione). Questa espressione rappresentadi fatto la legge di Biot-Savart per il vettore potenziale magnetico, applicata ad unelemento di volume V. A differenza di quanto sopra descritto, nel caso in esame ilvettore sorgente giace su un elemento triangolare di superficie Sf e non su un elementovolumico, inoltre la densita di corrente e uniforme su di esso; l’espressione (4.26) siriduce a:

A(r) =µ04π

J(r′)× nf Wf (r) (4.27)

dove Wf (r) e una funzione scalare definita dall’integrale di superficie dell’inverso delladistanza R = |r− r′|, fra la sorgente J e il punto di osservazione in cui viene valutatoil campo A, mentre nf indica il versore normale uscente dalla superficie Sf . Si ha:

Wf (r) =

∫Sf

1

|r− r′|d2r′ (4.28)

con Sf superficie dell’elemento triangolare della mesh considerato. Per il vettore diinduzione magnetica si ottiene:

B(r) = −µ04π

(J(r′)× nf

)×∇Wf (r) (4.29)

Il calcolo dei campi A e B nel punto di osservazione r si traduce quindi nel calcolo didue espressioni integrali, rispettivamente legate a 1/R e al gradiente ∇(1/R). Si osserviche, nel caso in esame, il vettore J giace per definizione sul piano del triangolo, per cuiJ× nf ≡ J.

4.4.1 Determinazione di Wf e ∇Wf

Le funzioni Wf e ∇Wf dipendono, come si puo dedurre dall’espressione (4.28), dallasuperficie di integrazione: l’integrale dara quindi risultati diversi, a parita di distanzaR, a secondo del tipo di poligono che definisce la forma degli elementi di mesh. Tuttaviaentrambe le espressioni sono indipendenti dall’orientazione di nf , rendendo insensibileil calcolo dell’integrale dal verso di percorrenza con cui verranno considerati i lati e ivertici. Seguendo [17] la funzione Wf puo essere riscritta come:

Wf (r) =

∮∂Sf

nf × (r′ − r) · ue d1r

|r′ − r|− (r′−r) · nf

∫Sf

(r′ − r) · nf d2r′

|r′ − r|3= W ′f (r)+W ′′f (r)

(4.30)Wf risulta dato dalla somma di due contributi:

per il caso elettrostatico si ha ∇2φ = −δε

, dove φ(r) =1

4πε

∫V

δ(r′)

|r− r′|d3r′

4.4. CAMPO PRODOTTO DAL PLASMA 55

il primo termine e costituito dall’integrale sulla linea chiusa ∂Sf dell’elemento, conue versore tangente a tale bordo. Questo contributo puo quindi essere scompostonella somma discreta degli integrali di linea valutati lungo ciascun lato le ∈ ∂Sf :

W ′f =∑

le∈∂Sf

∫le

nf ×r′ − r

|r′ − r|· ue d

1r (4.31)

Dal momento che ciascun integrale e valutato su tratti rettilinei, il termine nf ×(r′ − r) · ue e costante su le e puo quindi essere portato fuori dall’integrale,considerando con re un generico punto lungo il lato e-esimo, ad esempio il primonodo seguendo il verso di orientazione rispetto a nf definito per il poligono. La(4.31) diviene:

W ′f =∑

le∈∂Sf

nf × (re − r) · uewe(r) (4.32)

con

we(r) =

∫le

d1r

|r′ − r|= ln

|r2 − r|+ |r1 − r|+ |r2 − r1||r2 − r|+ |r1 − r| − |r2 − r1|

(4.33)

dove r2, r1 indicano rispettivamente i vettori posizione dei nodi finale e inizia-le del lato le. Quest’ultima funzione scalare e analoga a Wf , ma il dominio diintegrazione diviene ora monodimensionale e dipende dal lato le, ma non dall’o-rientazione di ue: si puo considerare un qualsiasi ordine per i nodi terminali senzamodificarne il risultato.

Per quanto riguarda il secondo termine il prodotto (r′ − r) · nf e costante sututto l’elemento poligonale, dal momento che rappresenta la distanza, in direzioneortogonale al piano, tra un generico punto r′ = rf appartenente all’elemento eil punto di osservazione. Anche in questo caso allora, si potra considerare unqualsiasi nodo del poligono per valutare rf . Il termine integrale rappresental’angolo solido Ωf (r) sotteso dal poligono in corrispondenza del punto r. Nel casodi elementi triangolari, indicate con r1, r2, r3 le posizioni dei 3 vertici, si ha:

Ωf (r) = 2atan

[(r1 − r) · (r2 − r)× (r3 − r)

D

](4.34)

con

D =

|r1 − r||r2 − r||r3 − r| +|r3 − r|(r1 − r) · (r2 − r) +|r2 − r|(r1 − r) · (r3 − r) +|r1 − r|(r2 − r) · (r3 − r)

(4.35)

Concludendo si ottiene:

W ′′f (r) = −(rf − r) · nfΩf (r) (4.36)

In modo simile si puo determinare anche il termine ∇Wf , che risulta:

∇Wf (r) =∑

le∈∂Sf

nf × uewe(r) + nfΩf (r) (4.37)

In conclusione il calcolo delle espressioni integrali Wf , ∇Wf si riconduce alla determi-nazione di parametri strettamente legati alla geometria dell’elemento sorgente e dellecoordinate del punto di calcolo; queste informazioni sono note una volta definita la


mesh superficiale del plasma e la griglia dei punti di calcolo. A questo punto, unavolta assegnato ad ogni elemento triangolare il vettore J corrispondente, si e potutosvolgere numericamente le operazioni sopra descritte, ottenendo A e B su tutta la gri-glia di osservazione. Lo svantaggio di questo approccio e dovuto alle singolarita delleformulazioni integrali: si osservi, ad esempio, che la (4.33) diverge nel momento in cuir appartiene ad uno dei lati del triangolo (risulta infatti |r2 − r|+ |r1 − r| = |r2 − r1|),come accade alla (4.34) ogni qualvolta si consideri un punto su di uno dei vertici. Alfine di evitare errori numerici in fase computazionale, specialmente in caso di valuta-zione del campo su punto molto vicini alle sorgenti, e preferibile sostituire alla normaeuclidea |r′ − r| la norma modificata:

|r′ − r|ε =√|r′ − r|2 + ε2 (4.38)

L’errore introdotto da questa modifica dipende dal valore del parametro ε: piu ε e pic-colo, minore e l’errore rispetto alla soluzione analitica del problema. Tuttavia si osserviche l’influenza di ε si manifesta solo per punti molto vicini all’elemento triangolare,mentre e di fatto trascurabile se |r′ − r| ε.

Un altro metodo per il calcolo di Wf e ∇Wf e stato proposto da [18] per lo specificocaso di elementi triangolari.

4.4.2 Risultati della simulazione

L’approccio numerico sopra descritto e stato implementato in uno script MATLAB, inmodo da ricavare l’andamento del campo di induzione magnetica prodotto sulla pareteinterna del FW da un plasma conm = 1, n = 7 e assumendo ψmnc = ψmns = 1. Una voltaottenuti i vettori B del FW, questi sono stati proiettati nelle direzioni r, θ, φ, in mododa ottenere le componenti di induzione magnetica dovuta al plasma nel riferimentotoroidale:

Brad(r) = B(r) · rBθ(r) = B(r) · θBφ(r) = B(r) · φ

(4.39)

dove r, θ e φ sono i versori corrispondenti alle direzioni radiale, poloidale e toroidale,valutati nel punto r secondo le espressioni seguenti:

r = (cosθcosφ, cosθsinφ, sinθ)

θ = (−sinθcosφ,−sinθsinφ, cosθ)φ = (−sinφ, cosφ, 0)

(4.40)

Si riporta infine la mappa del campo Brad generato dal modo m = 1, n = 7 di RFX:come si puo osservare dalla Fig.4.8 anche il campo di induzione magnetica segue unprofilo elicoidale, mantenendo la stessa relazione tra il periodo poloidale m e quellotoroidale n.

4.5. RISPOSTA DELLA SHELL 57

Fig. 4.8: Campo radiale prodotto dal plasma con modo m = 1, n = 7

4.5 Risposta della shell

Il plasma di RFX, come in altri esperimenti sul confinamento magnetico e la fusionenucleare, e in rotazione rispetto alla parete. Come conseguenza la distribuzione spazialedi corrente, esprimibile attraverso la funzione ψmn, risulta variare non solo in funzionedelle coordinate spaziali θ, φ, ma anche del tempo. Ipotizzando, in prima approssima-zione, un’oscillazione periodica con frequenza angolare ω della distribuzione di corrente,allora si puo esprimere la (4.16) come:

ψmn (r∗, θ, φ, t) = ψmnc cos (mθ + nφ− ωt) + ψmns sin (mθ + nφ− ωt) (4.41)

In RFX la frequenza di rotazione del plasma e di qualche decina di Hz (nel caso inesame si e considerata f = 20 Hz). Ne segue un’induzione magnetica variabile neltempo: le strutture conduttrici che circondano il plasma vedranno una variazione delflusso di induzione magnetica e saranno sede di correnti indotte. In questa sezione vienepresentata un’analisi elettromagnetica svolta al fine di risolvere il problema di correntiindotte enunciato, con particolare attenzione all’effetto di queste in prossimita dei gap.


4.5.1 Formulazione integrale

La shell di RFX-mod2 ha uno spessore di 3mm, il quale risulta inferiore allo spessoredi penetrazione del campo magnetico alla frequenza di interesse. Per il rame infatti siha:

δ [mm] =66√f

∣∣∣∣f=20Hz

= 14.7mm (4.42)

Si puo quindi assumere la corrente indotta uniforme su tutto lo spessore della shell[19], permettendo di adottare un approccio integrale di superficie per la soluzione delproblema: la shell e stata discretizzata mediante una mesh di elementi triangolari, for-mata da N nodi ni (con i = 1÷N), E lati ej (con j = 1÷E) e F facce triangolari fk(con k = 1÷F ). Questi elementi spaziali formano un complesso semplice di celle K2 acui corrisponde un complesso duale K2 formato da F nodi nk, E lati ej e N facce fi.Le celle che compongono il complesso duale sono state ricavate collegando i baricentridi ciascun triangolo primario ai punti intermedi dei lati che formano il corrispondentebordo (suddivisone baricentrica delle celle).

Fig. 4.9: Celle del complesso primario (a) e realizzazione di una cella duale (b)

Seguendo quanto descritto nel paragrafo 3.3 vengono definite le seguenti variabili glo-bali:

I: vettore delle correnti incognite, avente sulla k-esima riga la corrente associataalla faccia fk ∈ K− ∂K;

T: vettore corrispondente all’integrale di linea del potenziale vettore elettrico suogni lato ej del complesso primario;

U: vettore delle forze elettromotrici (integrale di linea del campo elettrico) suogni lato ej del complesso duale;

Φ: vettore del flusso di campo magnetico attraverso le facce fi del complessoduale, prodotto dalle correnti indotte;

As: vettore corrispondente all’integrale di linea del potenziale vettore magneticosu ogni lato ej del complesso duale, dovuto alle correnti sorgenti (i.e. corrente diplasma).


Si osservi che le correnti incognite sono state definite per le sole facce “interne”, ovveroper quelle facce che non compongono il bordo del complesso, mentre per gli elementifk ∈ ∂K si impone un valore di corrente nullo: attraverso questa condizione di contornosi impedisce alla corrente di uscire dal dominio definito dalla shell. Come conseguenzaanche i coefficienti di T, relativi a lati appartenenti a ∂K, verranno forzati ad esserenulli. T viene anche indicata come stream function: ogni sua riga corrisponde ad unpotenziale scalare (integrale del potenziale vettore elettrico lungo il lato ej) e permettedi definire la corrente associata a ciascuna faccia fk ∈ K− ∂K. Dal momento che I esolenoidale questa puo essere espressa come [20]:

I = CT + Hi (4.43)

dove i e il vettore delle correnti indipendenti definito in accordo con [21], mentre in Hsono contenuti i generatori rappresentativi di un opportuno gruppo coomologico. Vistala complessita topologica della shell, dovuta alla presenta di gap e porte di apertura,la definizione di H non e triviale ed e stata introdotta da P. Bettini e R. Specogna in[22].

Considerato un elemento fi e ipotizzando una variazione delle sorgenti di campocon frequenza angolare ω, la f.e.m. indotta sul bordo di tale faccia puo essere espressacome (legge di Faraday-Neumann):∮

∂f

−→E · dl = −iωφ− iωφs (4.44)

dove φ e il flusso concatenato dalla faccia e dovuto alle correnti indotte, mentre ωφsrappresenta il contributo dovuto alle correnti sorgenti (plasma). Quest’ultimo termine,ricordando la (4.22) e applicando il teorema di Stokes, puo essere riscritto come:

ωφs = ω

∫fi

−→B s · dS =

∮∂fi

−→A s · dl (4.45)

dove−→A s e il potenziale vettore magnetico dovuto alle correnti di plasma La legge di

Faraday-Neumann, applicando l’associazione ∇ → G, ∇× → C, ∇· → D, puo essereriscritta in forma discreta come:

CU + iωΦ = −iωCAs (4.46)

In modo analogo a quanto visto per il flusso dovuto alle correnti di plasma, si puoesprimere anche Φ in funzione dell’integrale di linea del potenziale vettore magneticoA sul bordo delle facce f , dovuto alle correnti indotte sulla shell:

Φ = CA (4.47)

Introducendo le matrici di resistenza R e di riluttanza M [23] si ottengono le leggicostitutive in forma discreta:

U = RI

A = MI(4.48)

NB:−→A s si riferisce al potenziale vettore magnetico calcolato in un punto, mentre As e una delle

variabili globali del problema definita come sopra citato. Si e adottata la notazione vettoriale −→x perdistinguere il vettore definito nel punto considerato dalla variabile globale.


Sostituendo (4.43), (4.48) e (4.47) in (4.46) si ottiene:(CTKC

)T +

(CTKH

)i = −iωCT As (4.49)

dove si e introdotta K = R + iωM e l’identita C = CT in accordo con (3.2). La(4.46) e stata applicata agli elementi di bordo delle facce f , i quali sono duali a latie del complesso primario: ogni riga di CU contiene la f.e.m. indotta lungo il bordodell’elemento fi corrispondente. Si osservi che la legge di Faraday sara quindi estendibilea un generico percorso (ciclo) formato da una combinazione di questi lati. Tuttavia iltoro non rappresenta un dominio a connessione lineare semplice e non permette diapplicare la (4.49) a qualunque percorso: ad esempio se si considerasse un ciclo tra dueelementi appartenenti al bordo ∂K, la funzione T risulterebbe identicamente nulla su diessi, impedendo la valutazione di CT [24]. Per ovviare a questo problema si sfruttanoopportuni generatori coomologici, definendo per tali cicli una nuova equazione:(

HTKC)T +

(HTKH

)i = −iωHT As (4.50)

4.5.2 Risultati della simulazione

Le (4.49) e (4.50) costituiscono due equazioni algebriche le quali, una volta fissate levariabili forzanti del problema, possono essere risolte nelle incognita T e quindi, tramitela (4.43), si ottiene la distribuzione delle correnti indotte I nella shell. I termini rigadi As vengono determinati, una volta fissata la distribuzione di corrente J sulla meshsuperficiale di plasma, applicando la (4.27) ai lati e. La shell e stata discretizzatatramite 24404 elementi triangolari, corrispondenti a 12728 nodi. Si osservi in Fig.4.12come il pattern delle correnti indotte tenda a seguire un profilo elicoidale, come difatto ci si attende visto l’andamento del campo di induzione magnetica prodotto dalplasma. Tuttavia in corrispondenza dei gap, sia equatoriali che poloidali, quest’elica einterrotta dalla presenza dell’isolamento: cio porta ad una modifica nella distribuzionedelle correnti indotte, le quali tendono a concentrarsi in prossimita dei gap. Gli effettidi questa distribuzione di corrente sono visibili in Fig.4.10, dove e riportato il campo diinduzione radiale Brad,eddy prodotto da queste ultime: il campo radiale tende a seguireun profilo elicoidale come quello di Fig.4.8 ma, in prossimita dei gap poloidali e toroidali,la presenza delle correnti indotte causa un’alterazione nella distribuzione del campomagnetico. In altre parole se si scomponesse Brad,eddy nelle sue armoniche spaziali, sitroverebbe che questo non e piu descritto dalle sole due armoniche in seno e cosenoaventi m = 1, n = 7; di conseguenza la reazione di indotto non agisce in modo uniformesul campo prodotto dal plasma e il campo risultante (Brad,tot = Brad,pla + Brad,eddy)non corrisponde piu ad un effettivo modo m = 1, n = 7. Si puo osservare in Fig.4.11come le correnti indotte hanno ridotto in modo uniforme il campo radiale su tuttoil toroide ad eccezione dei gap, dove al contrari si nota una netta amplificazione delcampo. La disuniformita di campo introdotta dai gap puo innescare instabilita nelplasma o impedirne la rotazione. Per questo motivo e richiesta l’adozione di un sistemadi correzione locale degli errori di campo magnetico, il quale verra discusso nell’ultimocapitolo di questo elaborato.


Fig. 4.10: Campo radiale prodotto dalle correnti indotte sulla shell

Fig. 4.11: Campo radiale risultante


Fig. 4.12: Grafico vettoriale delle correnti indotte sulla shell

Capitolo 5

Fase di ramp-up

5.1 Descrizione del problema

Un’altra situazione di interesse per la valutazione degli errori di campo e costituitadalla fase di ramp-up, durante la quale il plasma viene acceso e viene portata la suacorrente sino al valore di flat-top. Durante questa fase tutti gli avvolgimenti di campoesibiscono un andamento temporale variabile della forza magnetomotrice, il che portaalla generazione di campi magnetici variabili nel tempo, quindi all’induzione di correntinelle strutture metalliche conduttrici. La risposta di tali strutture, in particolare dellashell vista la sua prossimita al plasma, e fondamentale per poter portare quest’ultimoad una situazione di equilibrio stabile e con le proprieta fisiche volute: la presenza dierrori di campo rispetto alla configurazione ideale puo, ad esempio, innescare instabilitao impedire la rotazione del plasma rispetto alla parete (effetto di braking torque). Ilproblema di correnti indotte e stato risolto sfruttando il metodo delle celle presentatonel Capitolo3: il dominio tridimensionale D e stato discretizzato mediante un complessoK3 di celle tridimensionali a forma di esaedro, da cui si e ricavato il complesso dualeK3 mediante una suddivisione baricentrica delle facce delle celle primarie. Il dominioD e stato suddiviso in 3 sottoinsiemi: la regione passiva Dc formata dalle struttureconduttrici che circondano il plasma, la regione in aria non conduttiva Da e la regioneformata dalle sorgenti di campo (plasma e avvolgimenti esterni) Ds:

D = Dc ∪Da ∪Ds (5.1)

Il plasma e stato modellizzato mediante 12 correnti filamentari equivalenti, collocatein posizioni fisse rispetto al centro della macchina (R = R0, r = 0). L’andamentotemporale della corrente di plasma e degli avvolgimenti esterni e stata ricavata dalcodice MAXFEA [25], il quale simula la configurazione magnetica RFP di equilibrio peruna plasma a 2MA. In questo caso si e considerata una configurazione assialsimmetrica,per cui le correnti equivalenti di plasma possono essere ricondotte ad un modo n = 0.L’insieme di queste correnti definisce la variabile globale forzante del problema Is,vettore che contiene la corrente associata ad ogni faccia duale f ∈ Ds. Le altre variabiliglobali del problema sono elencate in seguito:

Φ vettore flussi magnetici associati alle facce f ∈ DF vettore forze magnetomotrici associate ai lati duali e ∈ DA vettore degli integrali del potenziale vettore magnetico lungo i lati e ∈ DI vettore delle correnti associate alle facce duali f ∈ Dc

U vettore forze elettromotrici associate ai lati e ∈ Dc

(5.2)

63

64 CAPITOLO 5. FASE DI RAMP-UP

Con riferimento alle 3 regioni in cui e stato scomposto il dominio, la legge di Ampere(3.11)* diventa:

(CF)e = 0 e ∈ Da

(CF)e = (Is)e e ∈ Ds

(CF)e = (I)e e ∈ Dc

(5.3)

La legge di Faraday in forma discreta di (3.11) puo essere espressa in termini di vettorepotenziale magnetico, se si considera l’espressione del flusso magnetico attraverso lefacce f come gia visto in (4.47):

(CU)f = − d

dt(Φ)f = − d

dt(CA)f con f ∈ Dc (5.4)

da cui si ottiene, una volta premoltiplicati ambo i membri per C−1:

(U)e = −(dA

dt

)e

con e ∈ Dc (5.5)

Infine, introducendo le leggi costitutive (3.12) (a) e (c) nelle (5.3) e ricordando (3.2) siottiene:

(CTMνCA(t)

)e

= 0 e ∈ Da(CTMνCA(t)

)e

= Is(t) e ∈ Ds(CTMνCA(t)

)e

+(Mσ

ddtAc(t)

)e

= 0 e ∈ Dc

(5.6)

dove Ac(t) rappresenta la restrizione di A(t) ai soli lati e ∈ Dc. Il vettore Is(t) puoessere espresso come Is(t) = Is · s(t), dove Is e un vettore di termini costanti (si veda[26] per la sua computazione), mentre s(t) ne descrive l’andamento temporale. Risultainoltre conveniente riscrivere il vettore A come A = A0 + Ar, cosı da distinguereil contributo dovuto alle correnti sorgenti presenti in Ds (A0), da quello dovuto allecorrenti indotte presenti in Dc (Ar). Le (5.6), dopo alcuni passaggi algebrici, possonoessere riscritte come: (

CTMνCAr(t))e

= 0 e ∈ Da ∪Ds(CTMνCAr(t)

)e

+(Mσ

ddtArc(t)

)e

= − (w(t))e e ∈ Dc(5.7)

dove (w(t))e = MσA0cds(t)dt . Ogni riga di A0c corrisponde all’integrale di linea del

potenziale vettore magnetico−→A 0, lungo il lato e ∈ Dc, dovuto alle correnti sorgente in

Ds:

(A0c)e =

∫e

−→A 0 · dl (5.8)

Definite le correnti sorgenti e calcolato il vettore A0c, sfruttando ad esempio l’e-spressione di Biot-Savart (4.26), puo essere risolto il sistema di equazioni algebriche(5.7).

5.2 Effetto delle correnti indotte

Il problema di correnti indotte e stato risolto numericamente, scomponendo la regioneconduttiva formata da shell e TSS in un totale di 310768 esaedri, di cui 135864 per

*Il termine associato alla variazione del campo elettrico puo essere trascurato dal momento che lafrequenza con cui variano i campi e relativamente bassa.

5.2. EFFETTO DELLE CORRENTI INDOTTE 65

la prima e 174904 per la seconda. Sono state meshate anche le altre due regioni, Ds

e Da, per un totale di 1781088 elementi volumici e 1791196 nodi. Dato l’andamentodelle amperspire negli avvolgimenti di campo poloidale e nel plasma, fornito dal codiceMAXFEA, si sono considerati 3 istanti temporali durante la scarica completa simulata(circa 500 ms): t1 = 5 ms, t2 = 20 ms, durante il ramp-up e t3 = 100 ms nella fase diflat-top.

Fig. 5.1: Dettaglio della mesh su PSS e TSS

Fig. 5.2: Andamento della forza magnetomotrice sugli avvolgimenti di campo poloidale(OH + FS)

L’analisi elettromagnetica svolta ha permesso di valutare l’effetto delle correnti indottein termini di campo errore ai gap. Come si puo vedere dalla Fig.5.5 (a), il campo radialein corrispondenza del gap poloidale a φ = 93.75, valutato sulla superficie interna delFW (a = 0.489 m), assume un’andamento all’incirca sinusoidale. Se si consideranole diverse sorgenti di campo (plasma, avvolgimenti PF, shell) si puo esprimere talecomponente radiale come la somma dei contributi dovuti a queste diverse sorgenti:

Brad,FW = Brad,pla +Brad,PF +Brad,shell (5.9)


Nell’ipotesi in cui il plasma sia perfettamente centrato nella shell, allora la pareteinterna del FW corrisponde ad una superficie di flusso e, come visto nel capitolo iniziale,il plasma non fornisce alcuna componente Brad normale a tale superficie. Se si consideral’istante t2 allora il contributo dato dall’avvolgimento magnetizzante e quasi esaurito(Fig.5.2), per cui sara sostanzialmente il campo verticale imposto dagli avvolgimentidi equilibrio a determinare la componente radiale e, considerato un campo verticaleuniforme, si potra esprimere Brad,FW come segue:

Brad,FW (θ) = −Bvsinθ +Brad,shell (5.10)

dove Bv indica l’ampiezza del campo verticale esterno, orientato come in Fig.5.3.

vB

vB

vB−

0 0 R

r

z

θ

Fig. 5.3: Componente di campo radiale dovuta al campo verticale esterno Bv

Tuttavia, a causa delle correnti indotte nella shell, l’andamento del campo radiale risultanettamente amplificato in corrispondenza del gap poloidale, con il massimo scostamentoper θ = 90 e θ = 270 (circa ±50mT ). Raggiunta la fase di flat-top, a t3 = 100ms, lecorrenti indotte sono quasi completamente decadute, come dimostra l’andamento delcampo radiale, il quale si discosta molto meno (∆Brad,max = ±10mT ) dal riferimentoe la mappa di campo torna ad assumere un andamento di fatto uniforme (Fig.??).Nonostante le correnti indotte decadano molto rapidamente (si ricorda τv = 50 ms),durante la fase di ramp-up si hanno errori di campo non trascurabili: un sistema dicorrezione locale di tali errori e inevitabilmente richiesto se si vogliono raggiungere itraguardi fissati.

5.2. EFFETTO DELLE CORRENTI INDOTTE 67

Fig. 5.4: Grafico vettoriale delle correnti indotte sulla shell

(a) (b) b

Fig. 5.5: Campo radiale Brad [mT ] sul bordo plasma in corrispondenza del gap a t2 =20ms e t3 = 100ms


Capitolo 6

Sistema di correzione locale

Il sistema di correzione locale proposto e costituito da due set di bobine a sella dispostea cavallo dei gap poloidali, in modo tale che l’asse delle bobine si trovi allineato conil gap stesso. Ciascun set e composto da un totale di 12 bobine, numerate da 1 a 12secondo il verso positivo dell’angolo poloidale. Ogni bobina si estende per ∆θ = 30 indirezione poloidale e per ∆φ = 7.5 in quella toroidale, ha una sezione di 24× 12mm2

ed e separata dall’adiacente da uno spessore di 2mm di materiale isolante. Si sono presein considerazione due possibili alternative: un set A di bobine collocate sulla superficieesterna della TSS (come gia adottato per le bobine di controllo MHD in RFX-mod) eun set B piu vicino al plasma, collocato sulla superficie esterna della shell. L’asse dellai-esima bobina (i = 1 ÷ 12) occupa quindi una posizione individuata, in coordinatetoroidali, dalla terna (r*, θ, φ) come riportato in tabella:

set bobine r [m] θ [] φ []

A1 0.62 (k − 1)∆θ 93.75A2 0.62 (k − 1)∆θ 273.75B1 0.53 (k − 1)∆θ 93.75B2 0.53 (k − 1)∆θ 273.75

sensori 0.489 (k − 1)∆θ 93.75

Tabella 6.1: Coordinate degli assi delle 12 bobine di correzione

Si noti che, a causa della toroidicita della macchina, le bobine non sono tra loro tutteuguali, come invece si avrebbe in geometria cilindrica, ma sono a coppie simmetricherispetto all’asse equatoriale (2−12, 3−11, 4−10, 5−9, 6−8) ad eccezione della 1 e della7. In prima analisi si sono confrontate le prestazioni dei due set proposti trascurandola risposta delle strutture metalliche conduttrici. A tale scopo si e svolta un’analisi inregime stazionario, ipotizzando di alimentare ciascuna bobina con una corrente continuadi 1 A. Sono stati realizzati 12 sensori fittizi, ottenuti proiettando le linee guida delle12 bobine su una superficie toroidale corrispondente al bordo plasma (a = 0.489 m),quindi e stato calcolato il flusso concatenato da ciascun sensore e il campo radiale incorrispondenza del proprio asse.

*raggio medio: distanza radiale media dal centro della sezione poloidale.

69

70 CAPITOLO 6. SISTEMA DI CORREZIONE LOCALE

r

z

1

2

3

4

5

67

8

9

10

11

12

θ

Fig. 6.1: Rappresentazione schematica delle 12 bobine sulla sezione poloidale del gap

(a) set A

(b) set B

Fig. 6.2: Collocazione dei due set di bobine proposti (in oro la shell, in grigio la TSS)

6.1. CALCOLO DEL CAMPO RADIALE 71

6.1 Calcolo del campo radiale

Il calcolo del campo di induzione magnetica B e del potenziale vettore A, generato dauna generica bobina di compensazione, puo essere svolto approssimando la spira tramiteuna sequenza discreta di elementi rettilinei filiformi, ciascuno portante la medesimacorrente, connessi l’uno con l’altro in modo da formare un poligono chiuso. Indicaticon Bk e Ak i contributi di campo dovuti all’elemento k-esimo della bobina, il totalecampo prodotto da quest’ultima sara dato da:

A(r) =

nsticks∑k=1

Ak(r) (6.1)

B(r) =

nsticks∑k=1

Bk(r) (6.2)

dove nsticks indica il numero totale di elementi (“bastoncini”, sticks) in cui e suddivisala bobina e r il vettore posizione nel punto di calcolo. Chiaramente maggiore e nsticksmaggiore e l’accuratezza, ma comporta anche un maggior onere computazionale. Inquesto modo si possono calcolare i campi prodotti da bobine di forme complesse, conbuona efficienza computazionale.

Si consideri un generico elemento della bobina, avente origine in ri = (xi, yi, zi) efine in rf = (xf , yf , zf ). Si definiscono:

r′ vettore sorgente di corrente J lungo il segmentoL = |rf − ri| lunghezza segmento

e = (rf − ri) /L versore orientato lungo il segmentoRi(f) = r− ri(f) vettore tra estremi elemento e punto di calcolo

Ri(f) = r− ri(f) modulo del precedente vettore

Ri(f)‖ = Ri(f) · e componente di Ri(f) parallela al segmento

Il vettore r′ puo essere parametrizzato lungo il segmento come:

r′(λ) = ri + λ (rf − ri) = ri + λLe (6.3)

con 0 < λ < 1. Il contributo di campo dato dall’elemento puo essere ricavato applicandola legge di Biot-Savart, la cui espressione in termini di potenziale vettore e data dalla(4.26), che considerata la (6.3) diventa:

Ak(r) =µ04π

∫ 1

0

J(r′)Le

|r− ri − λLe|dλ (6.4)

Assumendo che J(r′) sia costante lungo l’elemento filiforme (i.e. lungo λ) si ottiene:

Ak(r) =µ0I

4πLe

∫ 1

0

dλ

|Ri − λLe|=µ0I

4πLe

∫ 1

0

dλ√R2i − 2λLRi‖ + λ2L2

(6.5)

Le equazioni in seguito presentate valgono per un sistema di riferimento di assi cartesiani: lecoordinate delle sorgenti di campo e dei punti di calcolo, note nel sistema di riferimento toroidale,saranno trasformate nelle corrispondenti coordinate cartesiane tramite le (1.15).


Fig. 6.3: Elemento rettilineo filiforme e principali grandezze spaziali

dove I e la corrente totale lungo il segmento filiforme considerato. Tralasciando isuccessivi passaggi analitici [27] si giunge all’espressione per il potenziale vettore e ilcampo di induzione magnetica:

Ak(r) =µ0I

4πln

(1 + ε

1− ε

)e (6.6)

Bk(r) =µ0I

4π

2ε

(1− ε2)RiRfe×Ri (6.7)

dove ε =L

Ri +Rf. Si osservi che per ε = 1 l’integrale diverge: cio si verifica quando il

punto di calcolo r giace sull’elemento, da cui deriva che L = Ri+Rf , non permettendodi determinate A e B in corrispondenza di tali punti. L’espressione (6.7) e stataimplementata in uno script MATLAB e si e calcolato il campo di induzione magneticaradiale negli assi dei 12 sensori, aventi le coordinate raxis indicate nell’ultima rigadella Tabella6.1, sommando il contributo di tutte le bobine di compensazione internee esterne separatamente:

Brad(raxis) =

12∑i=1

nsticks∑k=1

Bi,k(raxis) · r(raxis) (6.8)

dove Bi,k e il contributo del k-esimo elemento della i-esima bobina e r e il versoreorientato secondo la direzione radiale nel punto raxis considerato. Ciascuna bobina estata modellizzata tramite nstick parallelepipedi di sezione uguale a quella della bobinastessa, suddivisi in npol elementi lungo ciascun lato poloidale (tratto della spira giacentesu un piano a φ costante) e in ntor lungo ciascun lato toroidale (formato da punti aθ = cost). Quindi ogni spira e stata approssimata da una sequenza di segmenti filiformi,aventi come estremi i baricentri delle facce che delimitano tali parallelepipedi.

6.1. CALCOLO DEL CAMPO RADIALE 73

I>0

FW

Fig. 6.4: Modellizzazione delle bobine di compensazione (in giallo gli elementi filiformi)

I risultati della simulazione sono riportati nella Tabella6.2: tutti i sensori rilevanouna componente radiale negativa (i.e. entrante rispetto alla superficie del FW) inaccordo con la convenzione di segno assunta per la corrente sulle bobine (vedi Fig.6.4).Si puo osservare come l’ampiezza del campo generato dalle bobine del set A risulti,dall’82% al 196% circa, inferiore rispetto a quella dovuta alle bobine del set B. Questaampia differenza e giustificata dalla maggiore distanza delle bobine piu esterne dalbordo plasma rispetto a quelle piu interne. Con riferimento ai dati in Tabella6.1 ladistanza radiale media tra bobine e FW risulta di 0.13 m per il set A, circa 3 voltequella per il set B (0.041m). Si noti che i valori riportati sono uguali a coppie alterne,in accordo con la simmetria delle bobine rispetto al piano equatoriale.

sensor Brad A [T ] Brad B [T ] ∆Brad [%]

1 -1.5603288e-06 -2.8534141e-06 -82.8732 -1.5645882e-06 -2.9094297e-06 -85.9553 -1.5685361e-06 -3.0765867e-06 -96.1444 -1.5489258e-06 -3.3431321e-06 -115.8365 -1.4862510e-06 -3.6606174e-06 -146.2996 -1.4011611e-06 -3.9264934e-06 -180.2317 -1.3594868e-06 -4.0298511e-06 -196.4248 -1.4011611e-06 -3.9264934e-06 -180.2319 -1.4862510e-06 -3.6606174e-06 -146.29910 -1.5489258e-06 -3.3431321e-06 -115.83611 -1.5685361e-06 -3.0765867e-06 -96.14412 -1.5645882e-06 -2.9094297e-06 -85.955

Tabella 6.2: Campo radiale misurato sull’asse dei sensori, dovuto ai due set di bobine(corrente di 1A)

∆Brad =Brad,A −Brad,B

Brad,A· 100


Fig. 6.5: Confronto dell’andamento del campo radiale prodotto dai due set di bobine

Dal confronto di Fig.6.5§ si puo notare che, con il set B, il campo radiale assume i valoripiu elevati su una regione spaziale piu ampia rispetto a quanto avviene con il set A: lelinee di campo B divergono molto non appena ci si allontani dal centro della bobina,come visualizzato in Fig.6.6, portando ad una riduzione del campo radiale gia dopopochi centimetri dalla superficie toroidale su cui giace il set di bobine.

6.2 Flusso concatenato

In secondo luogo si sono confrontati i due set di bobine in termini di flusso concatenato.Si sono considerati dei sensori ideali, formati da tratti filiformi, aventi un’estensionepoloidale ∆θ = 30 e un’estensione toroidale ∆φ = 7.5, in modo da riprodurre laforma delle bobine proiettata su una superficie toroidale di raggio minore pari a 0.489m(si e trascurato in questo caso lo spessore di isolamento tra una sonda e l’altra). Siconsideri la definizione di flusso di induzione magnetica:

Φ =

∫S

B · n dS (6.9)

dove n e il versore normale alla superficie S del sensore. Considerando la (4.22) eapplicando il teorema di Stokes l’espressione di Φ diviene:

Φ =

∫S

(∇×A) · n dS =

∫∂S

A · t dl (6.10)

dove t e il versore tangente al bordo ∂S del sensore. Il calcolo dell’integrale di linea(6.10) puo essere svolto scomponendo il bordo in 4 tratti, sfruttando la geometria delsensore: 2 di questi, indicati con pol1 e pol2, sono composti da punti a φ = cost, mentrei restanti 2, tor1 e tor2, sono caratterizzati da punti a θ = cost. L’espressione (6.10)

§La mappa di campo Brad e stata ottenuta dalla valutazione del campo B su una mesh rettangolare,disposta sulla superficie interna del FW.

6.2. FLUSSO CONCATENATO 75

-0.6

-0.4

-0.2

0

2.5

0.2

z [m

]

0.4

0.6

y [m]

2

0.2

x [m]

01.5 -0.2-0.4

Fig. 6.6: Andamento dei vettori di campo B prodotti da una sola bobina dicompensazione (evidenziata in giallo)

viene cosı scomposta in:

Φ = −∫pol1

A · te dl −∫tor1

A · te dl +

∫pol2

A · te dl +

∫tor2

A · te dl (6.11)

dove ora te indica il vettore unitario tangente al lato considerato (edge) e orientatonel verso positivo della direzione θ o φ su cui si sviluppa quel lato. Assumendo comeorientazione del bordo ∂S quella per cui il flusso Φ risulta positivo se uscente, allora ilversore t sara orientato come in Fig.6.7; di conseguenza il segno degli integrali lungopol1 e tor1 dovra essere invertito (in altre parole t = te lungo pol2 e tor2, mentret = −te lungo pol1 e tor1).Si osservi che, per i lati in direzione poloidale, A · te rappresenta la componente Aθdel potenziale vettore magnetico, mentre per i lati in direzione toroidale tale quantita


1tor

2tor

2pol

1pol

θ

φ

et

(a)

1 2 n

1 2 k*

k k+1

(b)

Fig. 6.7: Rappresentazione schematica di un sensore e suddivisione di un lato

corrisponde alla componente Aφ:

Φ = −∫pol1

Aθdl −∫tor1

Aφdl +

∫pol2

Aθdl +

∫tor2

Aφdl (6.12)

Da un punto di vista computazionale il calcolo di ciascun integrale puo essere svolto informa discreta, considerando n punti equamente spaziati per il generico lato le, i qualia loro volta delimitano n− 1 tratti di uguale lunghezza ∆l. Assumendo che il vettorepotenziale magnetico assuma un valore costante lungo il tratto k-esimo, l’integrale dilinea lungo un generico lato le viene approssimato come segue:∫

le

A · te 'n−1∑k=1

Ak · te∆l (6.13)

dove Ak e il potenziale vettore magnetico associato al k-esimo elemento e calcolato nelpunto medio rk∗ tra i punti estremi rk e rk+1. Si noti che per i lati pol1 e pol2, essendoquesti caratterizzati da punti aventi tutti le medesime coordinate toroidali r, φ si avra:

rk∗ = (0.489,θk + θk+1

2, φ0 −

∆φ

2) pol1 (6.14)

rk∗ = (0.489,θk + θk+1

2, φ0 +

∆φ

2) pol2 (6.15)

In modo complementare le coordinate dei punti lungo i lati tor1 e tor2 saranno:

rk∗ = (0.489, θ0 +∆θ

2,φk + φk+1

2) tor1 (6.16)

rk∗ = (0.489, θ0 −∆θ

2,φk + φk+1

2) tor2 (6.17)

Si riportano in seguito i flussi concatenati dai sensori e stimati con il metodo prece-dentemente descritto:anche in questo caso si puo osservare come le bobine piu esterne diano un contributonettamente inferiore in termini di flusso ai sensori, con una riduzione percentuale tra ilset B e il set A che oscilla dal 100% al 170% circa.

6.3. CONSIDERAZIONI 77

−0.6−0.4

−0.20

0.20.4

1.61.8

22.2

2.4

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

x [m]y [m]

z [m

]

Fig. 6.8: Visione completa del sistema di sensori (in rosso i punti di calcolo)

sensor Φ A [Wb] Φ B [Wb] ∆Φ [%]

1 -8.9840608e-08 -1.8010170e-07 -100.4682 -8.7443905e-08 -1.7731325e-07 -102.7743 -8.0609046e-08 -1.6931513e-07 -110.0454 -7.0530400e-08 -1.5735089e-07 -123.0975 -5.9495537e-08 -1.4390622e-07 -141.8776 -5.0757582e-08 -1.3288620e-07 -161.8067 -4.7414988e-08 -1.2855542e-07 -171.1288 -5.0757582e-08 -1.3288620e-07 -161.8069 -5.9495537e-08 -1.4390622e-07 -141.87710 -7.0530400e-08 -1.5735089e-07 -123.09711 -8.0609046e-08 -1.6931513e-07 -110.04512 -8.7443905e-08 -1.7731325e-07 -102.774

Tabella 6.3: Flusso concatenato dai sensori, dovuto ai due set di bobine (corrente di1A)

6.3 Considerazioni

Le prestazioni dei due set di bobine confrontati sono nettamente a favore del set B,vista la sua maggiore prossimita al FW. Questo ha un’importante impatto in termini diconsumo energetico: essendo il circuito magnetico costituito da materiali lineari comearia e rame, (i.e. la riluttanza del circuito magnetico equivalente e indipendente daivalori di induzione magnetica) allora la forza magnetomotrice necessaria per compen-sare un dato campo radiale di errore Brad,err cresce linearmente con la sua ampiezza.In altre parole se Brad,1 e il campo ottenuto con una f.m.m. di 1A, le amperspire Icomp


necessarie per compensare un campo Brad,err sono date da:

Icomp =−Brad,errBrad,1

(6.18)

Considerato il caso peggiore (vedi Tabella6.2), per ottenere il medesimo campo di com-pensazione Bcomp = −Brad,err, la bobina di correzione 7 del set A richiede una f.m.m.quasi 3 volte superiore a quella assorbita dalla corrispondente bobina del set B. Tutta-via la realizzazione di bobine sulla superficie estera della shell presenta diversi ostacoliprogettuali, tra cui il limitato spazio tra shell e PSS per la collocazione delle spire. Perquesto motivo il set A risulta quello piu verosimilmente considerabile per una successivafase di progettazione. Inoltre e prevista l’installazione di 11 bobine su 12, in quantola numero 7, posizionata a cavallo del gap equatoriale interno, non trova uno spaziosufficiente per l’installazione.

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

y [m]

z [m

]

PSS TSS FW

Fig. 6.9: Sezione poloidale in corrispondenza del gap φ = 93.75

6.4 Esempio di compensazione

Con riferimento a quanto visto nel Capitolo5, nell’ipotesi di una configurazione magne-tica assialsimmetrica, il campo radiale d’errore ha un andamento all’incirca sinusoidalee, una volta raggiunta la fase di flat-top, rimangono da compensare pochi mT rispettoalla fase di ramp-up. In questo paragrafo si e considerata la possibilita di compensareun campo errore (sulla parete del FW) avente un’andamento sinusoidale di ampiezza

6.4. ESEMPIO DI COMPENSAZIONE 79

pari a 1mT :Brad,err(θ) = Berr,max · sinθ (6.19)

con Berr,max = −1mT .Una possibile soluzione e quella di alimentare le 11 bobine a sella del set A con

correnti che seguano un profilo sinusoidale, tale da approssimare un campo radiale alFW avente forma d’onda uguale, ma segno contrario, rispetto a quella di Brad,err:

Ii = Icomp,max · sin(θi) (6.20)

dove Ii e la corrente con cui verra alimentata la i-esima bobina avente asse in θi (siveda Tabella6.1) e Icomp,max e l’ampiezza massima fra le correnti di compensazione,corrispondente alle bobine 4 e 10. Si osservi che, per compensare un’andamento comequello di (6.19), la Icomp,max dovra avere segno negativo: in questo modo le bobine, inaccordo con la convenzione di segno per le correnti di Fig.6.4, produrranno un camporadiale di segno opposto rispetto a quello di errore. Per ottenere una prima stima delset di correnti di compensazione si e proceduto nel seguente modo:

si e calcolato il campo prodotto dalla bobina 4 (Brad,1)i=4, quando questa vienealimentata con Icomp,max = 1 A, imponendo per le altre una corrente che seguala (6.20);

si e scalato il valore di Icomp,max in modo proporzionale al rapporto tra il campoerrore da compensare e il campo prodotto con 1A come visto in (6.18):

Icomp,max = I4 =−Berr,max(Brad,1)i=4

= −568.7A (6.21)

Adottando questa soluzione si e ottenuto un campo di compensazione Bcomp avente l’an-damento mostrato in Fig.6.10 (a): il campo residuo Bres,% = (Brad,err+Bcomp)/Brad,errha un valore medio del 18.9%. Come gia visto le bobine possono essere considerate acoppie simmetriche (tranne la 1 in questo caso) rispetto al piano equatoriale: per que-ste bobine si prevede l’utilizzo di un unico alimentatore, per cui saranno alimentatedalla medesima corrente in ampiezza ma di segno opposto. L’applicazione di un profilosinusoidale di corrente, al set di bobine proposto, permette di verificare tale vincoloprogettuale; tuttavia, questo porta ad avere che le bobine sfasate di 180°in direzionepoloidale (ad esempio 2-8, 3-9,...) abbiano la correnti di uguale ampiezza. Questa solu-zione sarebbe corretta in geometria cilindrica ma non e adatta ad un toroide, in quantole bobine che occupano il 1°e il 2°quadrante del piano (si veda Fig.6.1) non hanno lastessa dimensione di quelle sui restanti quadranti, da cui ne deriva una configurazio-ne asimmetrica del campo di compensazione. Per migliorare l’azione di correzione enecessario scalare in modo opportuno le correnti delle coppie di bobine, in modo dacompensare la toroidicita della configurazione. La distribuzione di corrente sulle bobinee stata migliorata attraverso un algoritmo di ottimizzazione a sciame (PSO: ParticleSwarm Optimization) considerando 6 gradi di liberta, corrispondenti alle correnti dellebobine 1,2,3,4,5,6 e una funzione obiettivo corrispondente al campo medio residuo. Ilcampo errore e stato cosı ridotto mediamente del 90% (Bres,% = 10%).


Bobina Icomp,sin Icomp,PSO1 0 02 -284.342 -297.5373 -492.495 -520.1604 -568.684 -616.7605 -492.495 -562.7286 -284.342 -346.5227 0 08 284.342 346.5229 492.495 562.72810 568.684 616.76011 492.495 520.16012 284.342 297.537

Tabella 6.4: Correnti di compensazione con profilo sinusoidale e dopo ottimizzazione

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5x 10

−3

θ [°]

Bra

d [ T

]

B

comp

−Berr

(a) sinusoidale

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5x 10

−3

θ [°]

Bra

d [ T

]

B

comp

−Berr

(b) pso

Fig. 6.10: Compensazione sinusoidale e ottimizzata del campo errore

6.5 Risposta della shell

Nel caso in cui le bobine di correzione vengano alimentate con una forza magnetomotricevariabile con frequenza f, si dovra tenere conto dell’effetto di schermatura esercitato dashell e TSS a causa delle correnti indotte. La soluzione del problema di correnti indottesegue il procedimento visto nel precedente capitolo: il dominio D e stato suddiviso in3 regioni, con Ds ora contenente gli elementi che discretizzano le bobine di correzione.Considerando di alimentare le bobine con correnti sinusoidali aventi frequenza angolare


ω, il set di equazioni (5.7) diventa: (CTMνCAr

)e

= 0 e ∈ Da ∪Ds(CTMνCAr

)e

+ jω (MσAr)e = −jω (MσA0)e e ∈ Dc(6.22)

Anche in questo caso A0c indica il vettore avente su ogni riga l’integrale del potenzialevettore magnetico, dovuto alle correnti sorgente (note) in Ds, valutato sul lato e ∈ Dc.Considerato un’andamento sinusoidale per le correnti sorgenti, allora il vettore Is(t)potra essere espresso in forma fasoriale:

Is(t) = Isejωt = Is,<e + jIs,=m (6.23)

In questo modo si puo risolvere il sistema di equazioni presentato, valutando distin-tamente l’effetto della parte reale e della parte immaginaria delle sorgenti. Una voltaricavata la distribuzione delle correnti indotte e stato possibile, applicando le formule diBiot-Savart viste in precedente, ricavare l’andamento dei campi di induzione magneticada queste prodotto, in modo tale da valutare l’effettivo campo di correzione penetrato.

Si riportano in seguito alcune immagini rappresentanti la distribuzione della cor-rente indotta sulla shell e la TSS, ottenuta alimentando singolarmente le coppie dibobine 2-12, 3-11, e la sola bobina 1, con una forza magnetomotrice di 1000 A e aduna frequenza f = 50 Hz. Le figure fanno riferimento alla sola componente di campoJeddy generata dalla parte reale della corrente delle bobine. Infine verranno presentatealcune mappe dell’induzione magnetica radiale prodotta dal campo di corrente indotta.Si possono fare le seguenti osservazioni:

A seconda della coppia di bobine accese cambia la regione della shell sollecitatadalla maggior densita di corrente indotta. Piu le bobine sono lontane dal gapequatoriale, meno quest’ultimo e interessato dalle correnti indotte; al contrarioquando viene alimentata la bobina di correzione 1 e il gap equatoriale ad esseremaggiormente sollecitato.

La shell ha una conducibilita superiore alla TSS: questo giustifica la maggiordensita di corrente indotta sulla shell rispetto alla struttura meccanica (si vedaFig.6.11).

Il campo risultante tende a ridursi in modulo a causa delle correnti indotte, adeccezione della regione in corrispondenza al gap, dove la distribuzione di correnteindotta causa anche in questo caso un amplificazione del campo prodotto dallebobine (si osservi la fascia di colore blu nella regione a φ = 93.75 in Fig.6.13).


Fig. 6.11: Correnti indotte su shell e TSS dalle bobine 2-12

(a) 2-12

(b) 3-11 (c) 1

Fig. 6.12: Mappa di correnti indotte sulla porzione inferiore della shell


φ [deg]

θ [d

eg]

Brad,ℜ e

tot [ T ]

88 90 92 94 96 98 100

−15

0

15

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5

x 10−3

Brad,ℜ e gap φ=93.75° coil axis

(a) 1

φ [deg]

θ [d

eg]

Brad,ℜ e

tot [ T ]

88 90 92 94 96 98 100

−15

0

15

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5

x 10−3


(b) 1

φ [deg]

θ [d

eg]

Brad,ℜ e

eddy currents [ T ]

88 90 92 94 96 98 100

−15

0

15

−1 0 1 2 3 4 5 6 7

x 10−4


(c) 1


φ [deg]

θ [d

eg]

Brad,ℜ e

coils [ T ]

88 90 92 94 96 98 100

−45

−30

−15

0

15

30

45

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5

x 10−3


(a) 2-12

φ [deg]

θ [d

eg]

Brad,ℜ e

tot [ T ]

88 90 92 94 96 98 100

−45

−30

−15

0

15

30

45

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5

x 10−3


(b) 2-12

φ [deg]

θ [d

eg]

Brad,ℜ e

eddy currents [ T ]

88 90 92 94 96 98 100

−45

−30

−15

0

15

30

45

−4 −2 0 2 4 6 8 10

x 10−4


(c) 2-12


φ [deg]

θ [d

eg]

Brad,ℜ e

coils [ T ]

88 90 92 94 96 98 100

−75

−60

−45

−30

−15

0

15

30

45

60

75

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5

x 10−3


(a) 3-11

φ [deg]

θ [d

eg]

Brad,ℜ e

tot [ T ]

88 90 92 94 96 98 100

−75

−60

−45

−30

−15

0

15

30

45

60

75

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5

x 10−3


(b) 3-11

Fig. 6.13: Mappa del campo radiale prodotto dalle sole bobine (a), dalle correnti indotte(c) e campo risultante (b)


Capitolo 7

Conclusioni e futuri sviluppi

Le modifiche previste per la nuova macchina costituiscono un passaggio fondamentaleper lo sviluppo di RFX, al fine di ottenere, come gia accaduto per RFX-mod, un mi-glioramento delle prestazioni della macchina e quindi la possibilita di ricavare nuoveimportanti informazioni sul comportamento dei plasmi da fusione. E per questo moti-vo necessaria un’accurata analisi dei fenomeni fisici derivanti delle modifiche previsteper la macchina. Tra questi la gestione dei gap rappresenta un aspetto cruciale e nelpassaggio da RFX-mod a RFX-mod2, nonostante i vantaggi che portera l’eliminazionedella camera da vuoto, viene quasi del tutto persa la possibilita di sovrapporre uno deigap poloidali, soluzione che in RFX-mod si era dimostrata molto vantaggiosa in terminidi campo errore generato ai gap poloidali ed equatoriali. Al contrario, l’analisi elettro-magnetica di diverse situazioni, che possono caratterizzare il regime di scarica di unplasma in RFX-mod2, ha permesso di mettere in evidenza come la configurazione BJGsia sfavorevole da questo punto di vista. Si stanno valutando soluzioni alternative, male difficolta rese dalla procedura di assemblaggio della shell e della TSS rendono la con-figurazione BJG la piu considerabile. Questo richiede, inevitabilmente, l’introduzionedi un sistema di correzione locale del campo errore: tra i due set proposti la soluzioneA e sicuramente la piu vantaggiosa in ambito meccanico, in quanto formata da un setdi bobine che andrebbero a collocarsi sugli intagli presenti sulla TSS, gia presenti perla sistemazione delle bobine di controllo MHD. Per quanto riguarda il set B di bobineinterne, i vantaggi sul minor dispendio energetico per la loro alimentazione vengonooscurati dalle ampie difficolta nella loro collocazione. Accanto ad aspetti prettamentecostruttivi sara poi necessaria un’accurata progettazione del sistema di alimentazionee di controllo delle bobine di correzione: per quanto riguarda il primo aspetto, il li-mitato spazio accessibile nella macchina vincola l’alimentazione delle bobine a coppie,complicando l’ottimizzazione del profilo di campo di compensazione da queste genera-to; inoltre, in caso di alimentazione in frequenza, si dovra tenere conto dell’effetto difiltraggio esercitato dalla shell, in modo da poter mitigare, con tempi di risposta moltobrevi, l’insorgente di disuniformita nel campo radiale rispetto alla configurazione diriferimento (come ad esempio visto in presenza di un modo di plasma m = 1, n = 7).Infine, in questo contesto di analisi e stato possibile sfruttare diversi metodi alternativiper la computazione dei campi elettromagnetici, ciascuno di essi adeguato a secon-da delle caratteristiche del problema in esame, cosı da ottenere ottimi risultati sia intermini prettamente numerici, sia in termini di prestazioni computazionali.

87

88 CAPITOLO 7. CONCLUSIONI E FUTURI SVILUPPI

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Modellizzazione e riduzione degli errori di campo