MODELO DE RESPUESTAS Objetivos del 01 al 08. · 2020. 5. 20. · Trabajo Práctico Lapso 2019-2 733–3/13 =ln( 2𝑥+3) 2 3− 3 + Por lo tanto la integral resulta: ∫ 2𝑥−1

Trabajo Práctico Lapso 2019-2 733–1/13

Universidad Nacional Abierta Matemática III (Cód.733)

Vicerrectorado Académico Cód. Carrera: 236 – 280

Semana de aplicación

Área de Matemática Fecha: 27 / 04 / 2020

MODELO DE RESPUESTAS Objetivos del 01 al 08.

PREGUNTAS

PTA 1 OBJ I.1 Calcular los siguientes integrales

1. ∫𝑑𝑥

𝑥3+1

2. ∫𝑑𝑥

𝑥2√𝑥2+4

3. ∫𝑒2𝑥−1

𝑒2𝑥+3𝑑𝑥

C.D: Para el logro de este objetivo se requiere desarrollar por los menos dos literales

correctamente.

SOLUCIÓN:

1. ∫𝑑𝑥

𝑥3+1

En la integral dada aplicamos integración de funciones racionales y sustitución

trigonométrica (Estudiada en la Pág 52 y 64 del texto de Matemática III de la U.N.A).

Para el desarrollo hacemos uso de las fracciones simples o descomposición de

fracciones parciales, tenemos que:

1

𝑥3 + 1=

𝐴

(𝑥 + 1)+

𝐵𝑥 + 𝐶

(𝑥2 − 𝑥 + 1)

Al desarrollar las fracciones parciales obtenemos los valores de A, B y C, los cuales

son:

𝐴 =1

3 𝐵 = −

1

3 𝐶 =

2

3

De donde resultan los siguientes integrales:

∫𝑑𝑥

𝑥3 + 1=

1

3∫

𝑑𝑥

𝑥 + 1−

1

3∫

(𝑥 − 2)

𝑥2 − 𝑥 + 1𝑑𝑥

Resolviendo la relación I haciendo uso de un cambio de variable:

𝑢 = 𝑥 + 1 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

Y la relación II por sustitución trigonométrica, nos resulta la siguiente respuesta

del integral dado:

I II


∫𝑑𝑥

𝑥3 + 1=

1

3ln (

𝑥 + 1

𝑥2 − 𝑥 + 1) +

√3

3𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (

2𝑥 − 1

√3) + 𝐶

2. ∫𝑑𝑥

𝑥2√𝑥2+4

Sabemos que el denominador tiene un radical el cual es semejante a √𝑥2 + 𝑎2 usando

el triángulo rectángulo donde 𝑎2 = 4 ⇒ 𝑎 = ±√4 = ±2 por lo tanto resulta:

𝜃

∫𝑑𝑥

𝑥2√𝑥2 + 4= ∫

2𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃

(2𝑡𝑔𝜃)2√(2𝑡𝑔𝜃)2 + 4= −

√𝑥2 + 4

4𝑥+ 𝐶

3.

∫𝑒2𝑥 − 1

𝑒2𝑥 + 3𝑑𝑥 = ∫

𝑒2𝑥

𝑒2𝑥 + 3𝑑𝑥 − ∫

𝑑𝑥

𝑒2𝑥 + 3

= ∫𝑒2𝑥

𝑒2𝑥 +3𝑑𝑥− ∫

𝑒2𝑥𝑒−2𝑥

𝑒2𝑥 +3𝑑𝑥

= ∫𝑒2𝑥

𝑒2𝑥 +3𝑑𝑥− ∫

𝑒−2𝑥

(1+ 3𝑒−2𝑥)𝑑𝑥

Haciendo uso de un cambio de variable en I y en II resulta:

Luego resulta:

∫

𝑑𝑢2𝑢

+ ∫

𝑑𝑣6𝑣

= ∫𝑑𝑢

2𝑢+ ∫

𝑑𝑣

6𝑣

=1

2∫

𝑑𝑢

𝑢+

1

6∫

𝑑𝑣

𝑣

=1

2ln(𝑢) +

1

6ln(𝑣) + 𝐶

=1

2ln(𝑒2𝑥 + 3) +

1

6ln(1 + 3𝑒−2𝑥) + 𝐶

Luego, aplicando propiedades de logaritmo nos resulta lo siguiente:

(I) (II)

𝑢 = 𝑒2𝑥 + 3

𝑑𝑢 = 2𝑒2𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑢

2= 𝑒2𝑥𝑑𝑥

(I)

𝑣 = 1 + 3𝑒−2𝑥

𝑑𝑣 = −6𝑒−2𝑥𝑑𝑥

−𝑑𝑣

6= 𝑒−2𝑥𝑑𝑥

(II)

x

a=2

𝑡𝑔𝜃 =𝑥

2

𝑥 = 2𝑡𝑔𝜃

𝑑𝑥 = 2𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃


= ln (𝑒2𝑥 + 3)23 −

𝑥

3+ 𝐶

Por lo tanto la integral resulta:

∫𝑒2𝑥 − 1

𝑒2𝑥 + 3𝑑𝑥 = ln(𝑒2𝑥 + 3)

2

3 −𝑥

3+ 𝐶

PTA 2 OBJ I.2 Determinar la convergencia o divergencia de las siguientes integrales.

4. 𝐼 = ∫ 𝑒−𝑥 cos(𝑥)𝑑𝑥+∞

0

5. 𝐼 = ∫𝑑𝑥

𝑒𝑥+𝑒−𝑥

+∞

−∞


correctamente.

SOLUCIÓN:

4. La integral ∫ 𝑒−𝑥 cos(𝑥) 𝑑𝑥∞

0 es una integral impropia en un intervalo infinito (pág.

93 del libro Matemática III (Cód. 733) de la UNA). Luego, por definición se tiene:

∫ 𝑒−𝑥 cos(𝑥) 𝑑𝑥∞

0

= lim𝑏→∞

∫ 𝑒−𝑥 cos(𝑥) 𝑑𝑥𝑏

0

Al aplicar el método de integración por partes (pág. 79 del libro Matemática III (Cód.

733) de la UNA):

Se hace 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥); 𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 ; 𝑑𝑣 = 𝑒– 𝑥 𝑑𝑥 ; 𝑣 = – 𝑒 − 𝑥 ,

entonces,

lim𝑏→∞

∫ 𝑒−𝑥 cos(𝑥) 𝑑𝑥𝑏

0

= lim𝑏→∞

[−𝑒−𝑥 cos(𝑥) − ∫𝑒−𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥]0

𝑏

= lim𝑏→∞

∫ 𝑒−𝑥sen(x)𝑑𝑥𝑏

0

Aplicamos nuevamente el método de integración por partes para calcular

xdesen(x)límb

0

x-

b :

Hacemos 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ; 𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑑𝑥 ; 𝑑𝑣 = 𝑒−𝑥 𝑑𝑥 ; 𝑣 = −𝑒−𝑥 ,

sustituyendo:

xdelímxdelím0

x-

b0

x-

b

bb

xxsen )cos(1)(

Luego,

2

1xdecos(x)lím1xdx)(coselím

b

0

x-

b

b

0

x

b

.


Luego, la integral impropia

0

x convergedxcos(x)eΙ .

5. Haciendo uso de la definición de integrales impropias:

∫ 𝑓(𝑥)+∞

−∞

𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥+∞

𝐶

𝐶

−∞

Donde C es cualquier número real. Entonces:

𝐼 = ∫𝑑𝑥

𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥= ∫

𝑒𝑥

𝑒2𝑥 + 1𝑑𝑥 +

0

−∞

∫𝑒𝑥

𝑒2𝑥 + 1

+∞

0

𝑑𝑥+∞

−∞∞

Resolviendo por separado la relación I y II

Finalmente,

𝐼 = ∫𝑑𝑥

𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥= lim

𝑏÷→−∞[𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑒𝑥)]𝑏

0 + lim𝑏÷→+∞

[𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑒𝑥)]0𝑏 =

𝜋

2

+∞

−∞∞

Luego, la integral impropia ∫𝑑𝑥

𝑒𝑥+𝑒−𝑥

+∞

−∞ converge.

PTA 3 OBJ II.1 Resuelva los siguientes problemas según el enunciado.

6. Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región del plano xy,

limitada por la semielipse de ecuación: 𝑦 =3

2√4 − 𝑥2 y el eje 0x, alrededor de la recta

𝑦 = −4.

7. La región acotada por las gráficas de 𝑦 = 𝑥2 𝑦 𝑦 = 𝑥 + 2, gira alrededor de la recta

𝑥 = 3. Exprese el volumen del sólido resultante como una integral definida y calcúlelo.


correctamente.

SOLUCIÓN:

6. La gráfica de la curva de ecuación 2x4

2

3y es la parte superior de la elipse de

ecuación 19

y

4

x 22

, la cual tiene centro en el origen del sistema de coordenadas

∫𝑒𝑥

𝑒2𝑥 + 1𝑑𝑥

0

𝑏

= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑒𝑥)

I. ∫𝑒𝑥

𝑒2𝑥+1𝑑𝑥

0

−∞

Se empieza reemplazando el

límite inferior infinito por un

límite inferior finito “b”, tal

que:

∫𝑒𝑥

𝑒2𝑥 + 1𝑑𝑥

𝑏

0

= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑒𝑥)

II. ∫𝑒𝑥

𝑒2𝑥+1𝑑𝑥

∞

0

Se empieza reemplazando el

límite superior infinito por un

límite superior finito “b”, tal

que:

I II


con semieje mayor coincidiendo con el eje OY y semieje menor coincidiendo con el eje

OX. Si fijamos un x en el intervalo ( –2 , 2), dos puntos de la frontera de la región

describen una arandela al girar alrededor de la recta y = – 4

El radio mayor es R(x) = 2x4

2

3 + 4 y el radio menor es r(x) = 4 (¿Por qué?)

Por lo tanto, el volumen a calcular es:

dx44x42

3πdx(x)r(x)RπV

2

2

22

2b

a

22

2

0

2

2

0

3

dxx424π3

x4x

2

9π [1]

Calculemos 2

0

2 dxx4 , haciendo el cambio de variable:

x = 2 sen z , dx = 2 cos z dz ,

y los límites de integración se transforman en:

cuando x = 0 z = 0 y cuando x = 2 z = arcsen 1 = 2

π

Entonces,

π2coszdzz4sen4dxx42

π

0

22

0

2

Luego, sustituyendo en [1], se tiene:

V =

2

0

2 dxx4)π1(π24

y

3

2

2 1 0 x 1 2 x

y = 4 Eje de giro

Radio mayor

Radio menor


7. Lo primero que vamos a hacer es hallar los puntos de intersección de ambas curvas y

una vez hallados las graficamos:

Como las curvas giran alrededor de la recta x = 3, tendríamos que calcular el radio:

𝑅 = |𝑥 − 𝑘| = |𝑥 − 3| = |−(3 − 𝑥)| = 3 − 𝑥 → 𝑅 = 3 − 𝑥

Una vez calculado el radio, expresamos la integral con eje de giro vertical:

𝑉 = ∫ 2𝜋(𝑥 − 𝑘)[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑏

𝑎

𝑑𝑥

Expresamos la integral y calculamos:

𝑉 = ∫ 2𝜋(3 − 𝑥)[(𝑥 + 2) − 𝑥2]𝑑𝑥2

−1

= 2𝜋 ∫ (3 − 𝑥)(𝑥 + 2 − 𝑥2)2

−1

𝑑𝑥

Ahora calculamos la integral:

𝑉 = 2𝜋 ∫ (3 − 𝑥)(𝑥 + 2 − 𝑥2)2

−1

𝑑𝑥 = 2𝜋 ∫ (𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 + 62

−1

)𝑑𝑥

= 2𝜋𝑥4

4−

4𝑥3

3+

𝑥2

2+ 6𝑥|

−1

2

= 2𝜋 [(16

4−

32

3+

4

2+ 12) − (

1

4+

4

3+

1

2− 6)] = 2𝜋 (

288 − 153

12) =

45𝜋

2

𝑉 =45𝜋

2

PTA 4 OBJ II.2 Resuelva los siguientes problemas según el enunciado.

8. Calcula la longitud de arco exacto de la curva definida por el conjunto dado de

ecuaciones paramétricas.

𝑥 = 𝑡𝑔−1(𝑡); 𝑦 =1

2ln(𝑡2 + 1)

De 𝑡 = 0 𝑎 𝑡 = 1.

9. Calcule la longitud de la hipocicloide completa de cuatro cúspides.

𝑥2 = 𝑥 + 2

𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0

(𝑥 − 2)(𝑥 + 1) = 0

𝑥1 = 2 𝑥2 = −1

𝑦 = 𝑥2 𝑦 = 𝑥 + 2


𝑥 = 𝑎𝑐𝑜𝑠3(𝑡) 𝑦 𝑦 = 𝑎𝑠𝑒𝑛3(𝑡)

C.D: Para el logro de este objetivo se requiere desarrollar los dos literales correctamente.

SOLUCIÓN:

8. Derivamos ambas funciones:

𝑓(𝑡) = 𝑡𝑔−1(𝑡) ⇒ 𝑓′(𝑡) =1

1 + 𝑡2

𝑔(𝑡) =1

2ln(𝑡2 + 1) ⇒ 𝑔′(𝑡) =

𝑡

𝑡2 + 1

Ahora calculamos la longitud del arco para t=0 y t=1.

𝐿 = ∫ √[𝑓′(𝑡)]2 + [𝑔(𝑡)]2𝑑𝑡𝑏

𝑎

= ∫ √[1

1 + 𝑡2]2

+ [𝑡

𝑡2 + 1]2

𝑑𝑡1

0

= ∫𝑑𝑡

√𝑡2 + 1

1

0

Haciendo sustitución trigonométrica nos queda:

∫𝑑𝑡

√𝑡2 + 1

1

0

= ∫ 𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑑𝜃1

0

= ln (1 + √2

√2)

9. Dibujamos la gráfica de la hipocicloide:

Una vez dibujado la hipocicloide calcularemos la longitud, haciendo uso del siguiente

teorema que dice: “Sea C la curva cuyas ecuaciones paramétricas son 𝑥 = 𝑓(𝑡) y

𝑦 = 𝑔(𝑡), supongamos que 𝑓′ y 𝑔′ son continuas en el intervalo cerrado [𝑎, 𝑏]. Si L

unidades es la longitud del arco C desde el punto (𝑓(𝑏), 𝑔(𝑏))”. Entonces:

𝐿 = ∫ √[𝑓′(𝑡)]2 + [𝑔(𝑡)]2𝑑𝑡𝑏

𝑎

Por lo tanto: 𝑥 = 𝑓(𝑡) = 𝑎𝑐𝑜𝑠3(𝑡) 𝑦 𝑦 = 𝑔(𝑡) = 𝑎𝑠𝑒𝑛3(𝑡)

Derivamos ambas funciones:

𝑓(𝑡) = 𝑎𝑐𝑜𝑠3(𝑡) ⇒ 𝑓′(𝑡) = −3acos2(𝑡)𝑠𝑒𝑛(𝑡)

𝑔(𝑡) = 𝑎𝑠𝑒𝑛3(𝑡) ⇒ 𝑔′(𝑡) = 3asen2(𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝑡)

Una vez derivamos la curva, aplicamos el teorema:

y

x (-1,0)

(0,1)

(1,0)

(0,-1)


𝐿 = ∫ √[𝑓′(𝑡)]2 + [𝑔(𝑡)]2𝑑𝑡𝑏

𝑎

= ∫ √[−3acos2(𝑡)𝑠𝑒𝑛(𝑡)]2 + [3asen2(𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝑡)]2𝑑𝑡

𝜋2

𝑎

= 3𝑎 ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑡) cos(𝑡) 𝑑𝑡

𝜋2

0

Hacemos uso de un cambio de variable:

𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(𝑡) ; 𝑑𝑢 = cos(𝑡) 𝑑𝑡

Aplicando el cambio en la integral, nos queda:

3𝑎∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑡) cos(𝑡) 𝑑𝑡

𝜋2

0

= 3𝑎 ∫ 𝑢 𝑑𝑢

𝜋2

0

=3

2𝑎

Volviendo a la gráfica observamos que la hipocicloide tiene 4 cúspides entonces

multiplicamos el valor de la longitud por 4. Así:

𝐿 = 4(3

2𝑎) = 6𝑎 ⇒ 𝐿 = 6𝑎

PTA 5 OBJ II.3 Resuelva los siguientes problemas según su enunciado:

10. Una partícula se mueve a lo largo del eje x debido a la acción de una fuerza de 𝑓(𝑥)

libras cuando la partícula está a x pies del origen. Si 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 5. Calcule el trabajo

realizado conforme la partícula se mueve del punto donde 𝑥 =1

2 hasta el punto donde

𝑥 =3

4.

11. Un resorte tiene una longitud natural de 8pulg. Si una fuerza de 20lb estira el resorte 1

2pulg. Calcule el trabajo efectuado al estirar el resorte de 8pulg a 11pulg.


SOLUCIÓN:

10. Se considera una partícula del intervalo cerrado [1

2;

3

4] si w libras – pies es el trabajo realizado

cuando la partícula se mueve del punto donde 𝑥 =1

2 hasta el punto donde 𝑥 =

3

4.

Entonces aplicamos la definición de trabajo:

𝑤 = lim‖𝑥‖→0

∑𝑓(𝑤𝑖) ∆𝑖𝑥

𝑛

𝑖=1

= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

𝑤 = ∫ (2𝑥2 + 5)𝑑𝑥 =2𝑥3

3+ 5𝑥|

12

34

= [9

32+

15

4] − [

1

12+

5

2] =

9

32+

15

4−

1

12−

5

2=

139

96

34

12

≈ 143

96 𝑙𝑏 − 𝑝𝑖𝑒𝑠

Por lo tanto el trabajo realizado es de: 143

96 𝑙𝑏 − 𝑝𝑖𝑒𝑠

11. Coloque el resorte a lo largo del eje x de modo que el origen quede en e punto donde empieza

el estiramiento, vea la figura. Sea f(x) lb la fuerza requerida para estirar el resorte por pulgada

más allá de su longitud natural, entonces por la ley de Hooke:


0 3

P

C

S Ө

𝒇(𝒙) = 𝒌𝒙

Luego:

𝒇(𝒙) = 𝒌𝒙

Como 𝑓 (1

2) = 20, se tiene que:

Debido a que el resorte se estira de 8 pulgadas a 11 pulgadas, se considera una partición del

intervalo cerrado [0, 3] sobre el eje x. Sea Δix pulgada la longitud del i-ésimo subintervalo y

sea wi cualquier punto de este subintervalo. Si es el trabajo pulg – lb realizado al estirar el

resorte de 8 pulg a 11 pulg entonces se tiene:

𝑤 = lim‖𝑥‖→0

∑𝑓(𝑤𝑖)∆𝑖𝑥 =

𝑛

𝑖=1

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥3

0

𝑤 = ∫ 40𝑥𝑑𝑥 = 40∫ 𝑥𝑑𝑥3

0

= 20𝑥2|03 = 20 × 9 − 0 = 180𝑝𝑢𝑙𝑔 − 𝑙𝑏

3

0

PTA 6 OBJ III.1 Resuelva los siguientes problemas según su enunciado:

12. La recta L pasa por los puntos Q y R. Sea P un punto que está fuera de L. Probar que la

distancia d del punto P a la recta L es:

𝑑 =‖𝑎 × 𝑏‖

‖𝑎‖, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 = 𝑄𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑦 𝑏 = 𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗

Hallar la distancia del punto 𝑃(1.−3,3) a la recta que pasa por los puntos

𝑄(3,−1,2) 𝑦 𝑅(0, −4,1). 13. Obtenga una ecuación del plano que pasa por los tres puntos indicados:

𝑃(−2,2,2); 𝑄(−8,1,6); 𝑅(3,4,−1)


SOLUCIÓN:

12. En la figura tenemos que:

X

8 pulgadas

20 = 𝑘 (1

2)

𝑘 = 40

𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥

𝑓(𝑥) = 40𝑥

Así que

Q a R L


Para hacer probar lo establecido en el problema tenemos que tomar en cuenta el uso de las

observaciones finales al producto vectorial que aparece en el texto de Matemática III pág 480,

donde se establece que:

‖𝑥 × 𝑦 ‖ = ‖𝑥 ‖‖𝑦 ‖𝑠𝑒𝑛𝜃 y los vectores �⃗� 𝑦 �⃗⃗� de longitud:‖𝑣 ‖ = ‖�⃗⃗� ‖ = ‖𝑥 ‖‖𝑦 ‖𝑠𝑒𝑛𝜃. Es

decir:

En la figura observamos que S es el pie del segmento perpendicular a L y que pasa por el

punto P. Ahora tomamos el vector 𝐶 = 𝑆𝑃⃗⃗ ⃗⃗ , donde la distancia d del punto P a la recta L

resulta:

𝑑 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 =‖𝐶‖

‖𝑏‖→ 𝑑 = ‖𝐶‖ = ‖𝑏‖𝑠𝑒𝑛𝜃 =

‖𝑎‖‖𝑏‖𝑠𝑒𝑛𝜃

‖𝑎‖=

‖𝑎 × 𝑏‖

‖𝑎‖

Es lo que se quería probar

Una vez comprobar la distancia, hallaremos la distancia del punto P (1, -3, 3) a la recta que

pasa por los puntos Q (3, -1, 2) y R (0, -4, 1). Así:

𝑎 = 𝑄𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗ = ⟨0 − 3,−4 + 1, 1 − 2⟩ = ⟨−3,−3,−1⟩

𝑏 = 𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = ⟨1 − 3,−3 + 1, 3 − 2⟩ = ⟨−2,−2, 1⟩

Ahora hallamos: 𝑎 × 𝑏, haciendo uso de la definición de producto vectorial (que aparece en el

texto de Matemática III de la UNA pág 475). Es decir:

𝑎 × 𝑏 = |𝑖 𝑗 �⃗�

−3 −3 −1−2 −2 1

| = (−3𝑖 + 6�⃗� + 2𝑗 ) − (6�⃗� + 2𝑖 + 3𝑗 ) = −5𝑖 + 5𝑗 ⇒ 𝑎 × 𝑏

= −5𝑖 + 5𝑗

Calculamos la distancia:

𝑑 =‖𝑎 × 𝑏‖

‖𝑎‖=

√25 + 25

√9 + 9 + 1=

5√38

19 ⇒ 𝑑 =

5√38

19

13. Para hallar los vectores de los puntos dados aplicamos la definición de producto

vectorial que es llamado también producto cruz que aparece en el texto de Matemática

III (Cód 733) Pág 471-475. Hallamos los vectores:

𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗ = ⟨5,2,−3⟩ = 5𝑖 + 2𝑗 − 3�⃗� 𝑦 𝑄𝑅⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = ⟨11,3,−7⟩ = 11𝑖 + 3𝑗 − 7�⃗�

Un vector normal al plano requerido es el producto cruz, el cual es:

𝑄𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗ × 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗ = |𝑖 𝑗 𝑘

11 3 −75 2 −3

| = 5𝑖 − 2𝑗 + 7𝑘

De modo que si 𝑃0 = ⟨−2,2,2⟩ y 𝑁 = 𝑄𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗ × 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗ = ⟨5, −2,7⟩, del teorema siguiente que

aparece en cualquier libro de cálculo que establece: Si 𝑃0 = ⟨𝑥0, 𝑦0, 𝑧0⟩ es un punto de

un plano y ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ es un vector normal al plano, entonces una ecuación del plano es:

𝑎(𝑥 − 𝑥0) + 𝑏(𝑦 − 𝑦0) + 𝑐(𝑧 − 𝑧0) = 0

Por medio del teorema calculamos el plano:

5(𝑥 − (−2)) + (−2)(𝑦 − 2) + 7(𝑧 − 2) = 0


5𝑥 − 2𝑦 + 7𝑧 = 0

PTA 7 OBJ III.2 Calcular la longitud del arco de la función:

14. 𝐺(𝑡) =< 𝑎2𝑡 , 𝑎2𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑡), 𝑎2𝑡 cos(𝑡) > con 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 y 𝑎 contante positiva.

15. 𝐺(𝑡) =< 5𝑒𝑡 cos(𝑡) , 5𝑒𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑡), 5√2𝑒𝑡 > con 0 ≤ 𝑡 ≤ 1.


SOLUCIÓN:

14. Haciendo uso de la definición de longitud de arco proposición 15 del texto de

Matemática III (Cód 733), página 557 – 558, es decir:

𝐿 = ∫ ‖𝐺′(𝑡)‖𝑑𝑡𝑏

𝑎

Por lo tanto:

𝐺(𝑡) =< 𝑎2𝑡 , 𝑎2𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑡), 𝑎2𝑡 cos(𝑡) > 𝐺′(𝑡) =< 2𝑎2𝑡 ln 𝑎 , 𝑎2𝑡 cos(𝑡) + 2𝑎2𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑡) ln 𝑎 ,−𝑎2𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 𝑎2𝑡 cos(𝑡) ln 𝑎 >

Una vez derivada la función G(t), aplicamos la definición estudiada en el texto de Matemática

III, señalada anteriormente:

𝐿 = ∫ ‖𝐺′(𝑡)‖𝑑𝑡 = ∫ √(𝑓′(𝑡))2+ (𝑔′(𝑡))

2+ (ℎ′(𝑡))

2𝑑𝑡

𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

= ∫ √(2𝑎2𝑡 ln 𝑎)2 + (𝑎2𝑡 cos(𝑡) + 2𝑎2𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑡) ln 𝑎)2 + ( −𝑎2𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 𝑎2𝑡 cos(𝑡) ln 𝑎)21

0

𝑑𝑡

= √8𝑙𝑛2𝑎 + 1𝑎2𝑡

2 ln 𝑎]0

2𝜋

=(𝑎4𝜋 − 1)√8𝑙𝑛2𝑎 + 1

2 ln 𝑎

𝐿 =(𝑎4𝜋 − 1)√8𝑙𝑛2𝑎 + 1

2 ln 𝑎

15. Haciendo uso de la definición de longitud de arco proposición 15 del texto de Matemática III

(Cód 733), página 557 – 558, es decir:

𝐿 = ∫ ‖𝐺′(𝑡)‖𝑑𝑡𝑏

𝑎

Por lo tanto:

𝐺(𝑡) =< 5𝑒𝑡 cos(𝑡) ; 5𝑒𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑡); 5√2 𝑒𝑡 >

𝐺′(𝑡) =< −5𝑒𝑡 sen(𝑡) + 5𝑒𝑡𝑐𝑜𝑠(𝑡); 5𝑒𝑡 cos(𝑡) + 5𝑒𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑡) ; 5√2 𝑒𝑡 >

Una vez derivada la función G(t), aplicamos la definición estudiada en el texto de Matemática

III, señalada anteriormente:

𝐿 = ∫ ‖𝐺′(𝑡)‖𝑑𝑡 = ∫ √(𝑓′(𝑡))2+ (𝑔′(𝑡))

2+ (ℎ′(𝑡))

2𝑑𝑡

𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

= ∫ √(−5𝑒𝑡 sen(𝑡) + 5𝑒𝑡𝑐𝑜𝑠(𝑡))2+ (5𝑒𝑡 cos(𝑡) + 5𝑒𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑡))

2+ ( 5√2 𝑒𝑡)

21

0

𝑑𝑡

Desarrollando todo lo que está dentro del radical y haciendo uso del producto notable, de las

propiedades de potencia y simplificando la expresión tenemos:

𝐿 = ∫ √50𝑒2𝑡𝑠𝑒𝑛2(𝑡) + 50𝑒2𝑡𝑐𝑜𝑠2(𝑡) + 50𝑒2𝑡𝑑𝑡1

0

= ∫ √50𝑒2𝑡(𝑠𝑒𝑛2(𝑡) + 𝑐𝑜𝑠2(𝑡) + 11

0

)𝑑𝑡


= ∫ √50𝑒2𝑡(1 + 1)𝑑𝑡1

0

= ∫ √100𝑒2𝑡𝑑𝑡1

0

= 10∫ (𝑒2𝑡)12𝑑𝑡

1

0

= 10𝑒𝑡|01 = 10(𝑒 − 1)

𝐿 = 10(𝑒 − 1) PTA 8 OBJ III.3 Aplicar la fórmula que aparece en la pág. 576 del texto de Matemática III

(Cód. 733), para calcular la curvatura y la torsión de las siguientes curvas:

16. 𝐹(𝑡) = ⟨𝑡 − 𝑠𝑒𝑛(𝑡), 1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑡), 4𝑠𝑒𝑛 (𝑡

2)⟩, en el punto donde 𝑡 = 0.

17. 𝐹(𝑡) = ⟨𝑡,𝑡2

2,𝑡3

3⟩


SOLUCIÓN:

16. En la función: 𝐹(𝑡) = ⟨𝑡 − 𝑠𝑒𝑛(𝑡), 1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑡), 4𝑠𝑒𝑛 (𝑡

2)⟩, en el punto donde 𝑡 = 0.

Tenemos que aplicar la fórmula definida en la Pág 576 del texto de Matemática III (Cód

733):

𝐾(𝑡) =‖𝐹′(𝑡) × 𝐹′′(𝑡)‖

‖𝐹′(𝑡)‖3 𝑦 𝜌(𝑡) =

[𝐹′(𝑡) × 𝐹′′(𝑡)]𝐹′′′(𝑡)

‖𝐹′(𝑡) × 𝐹′′(𝑡)‖2

Calculando la curvatura de la función t = 0.

𝐹(𝑡) = ⟨𝑡 − 𝑠𝑒𝑛(𝑡), 1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑡), 4𝑠𝑒𝑛 (𝑡

2)⟩

𝐹′(𝑡) = ⟨1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑡), 𝑠𝑒𝑛(𝑡), 2𝑐𝑜𝑠 (𝑡

2)⟩

𝐹′′(𝑡) = ⟨𝑠𝑒𝑛(𝑡), cos(𝑡) , −𝑠𝑒𝑛 (𝑡

2)⟩

Calculamos ‖𝐹′(𝑡)‖:

‖𝐹′(𝑡)‖ = √(1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑡))2+𝑠𝑒𝑛2(𝑡) + (2𝑐𝑜𝑠 (

𝑡

2))

2

= √4 = 2 ⇒ ‖𝐹′(𝑡)‖ = 2

Luego calculamos 𝐹′(𝑡) × 𝐹′′(𝑡) :

𝐹′(𝑡) × 𝐹′′(𝑡) =|

|

𝑖 𝑗 �⃗�

1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑡) 𝑠𝑒𝑛(𝑡) 2𝑐𝑜𝑠 (𝑡

2)

𝑠𝑒𝑛(𝑡) cos(𝑡) −𝑠𝑒𝑛 (𝑡

2)

|

|

= −(𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑠𝑒𝑛 (𝑡

2) + 2 cos(𝑡) 𝑐𝑜𝑠 (

𝑡

2)) 𝑖 + (𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑐𝑜𝑠 (

𝑡

2) + 𝑠𝑒𝑛3 (

𝑡

2)) 𝑗 + (cos(𝑡) + cos(2𝑡))𝑘

Ahora calculamos 𝐹′(𝑡) × 𝐹′′(𝑡) para t = 0:

𝐹′(0) × 𝐹′′(0) = −(𝑠𝑒𝑛(0)𝑠𝑒𝑛(0) + 2 cos(0) 𝑐𝑜𝑠(0))𝑖 + (𝑠𝑒𝑛(0)𝑐𝑜𝑠(0) + 𝑠𝑒𝑛3(0))𝑗

+ (cos(0) + cos(0))𝑘 = −2𝑖 + 0𝑗 + 2𝑘

Calculando ‖𝐹′(0) × 𝐹′′(0)‖:

‖𝐹′(0) × 𝐹′′(0)‖ = √(−2)2 + 02 + 22 = 2√2 ⇒ ‖𝐹′(0) × 𝐹′′(0)‖ = 2√2

Calculamos ‖𝐹′(0)‖3:

‖𝐹′(0)‖3 = (√02 + 02 + 22)3= 8 ⇒ ‖𝐹′(0)‖3 = 8


Cálculo de la torsión para t = 0:

𝜌(𝑡) =[𝐹′(0) × 𝐹′′(0)]𝐹′′′(0)

‖𝐹′(0) × 𝐹′′(0)‖2=

⟨−2,0,2⟩ ⟨1,0,−12⟩

(2√2)2 = −

3

8

17. Por la fórmula definida en el texto de Matemática III (cód. 733) es decir:

𝐾(𝑡) =‖𝐹′(𝑡) × 𝐹′′(𝑡)‖

‖𝐹′(𝑡)‖3 𝑦 𝜌(𝑡) =

[𝐹′(𝑡) × 𝐹′′(𝑡)]𝐹′′′(𝑡)

‖𝐹′(𝑡) × 𝐹′′(𝑡)‖2

Hallamos F’(t), F’’(t) y F’’’(t) de 𝐹(𝑡) = ⟨𝑡,𝑡2

2,𝑡3

3⟩

𝐹′(𝑡) = ⟨1, 𝑡, 𝑡2⟩ 𝐹′′(𝑡) = ⟨0, 1, 2𝑡⟩ 𝐹′′′(𝑡) = ⟨0, 0, 2⟩

Calculamos ‖𝐹′(𝑡)‖:

‖𝐹′(𝑡)‖ = √12+𝑡2 + (𝑡2)2 = √1 + 𝑡2 + 𝑡4 ⇒ ‖𝐹′(𝑡)‖ = √1 + 𝑡2 + 𝑡4

Luego calculamos 𝐹′(𝑡) × 𝐹′′(𝑡) :

𝐹′(𝑡) × 𝐹′′(𝑡) = |𝑖 𝑗 �⃗�

1 𝑡 𝑡2

0 1 2𝑡

| = (2𝑡2𝑖 + 𝑘 + 0) − (0 + 𝑡2𝑖 + 2𝑡𝑗) = 𝑡2𝑖 − 2𝑡𝑗 + 𝑘

= ⟨𝑡2, −2𝑡, 1⟩

Entonces:

𝐹′(𝑡) × 𝐹′′(𝑡) = ⟨𝑡2, −2𝑡, 1⟩

Ahora calculamos ‖𝐹′(𝑡) × 𝐹′′(𝑡)‖, así:

‖𝐹′(𝑡) × 𝐹′′(𝑡)‖ = √(𝑡2)2 + (−2𝑡)2 + (1)2 = √𝑡4 + 4𝑡2 + 1

Luego calculamos K(t):

𝐾(𝑡) =‖𝐹′(𝑡) × 𝐹′′(𝑡)‖

‖𝐹′(𝑡)‖3=

√𝑡4 + 4𝑡2 + 1

(√1 + 𝑡2 + 𝑡4)3 =

√𝑡4 + 4𝑡2 + 1

(1 + 𝑡2 + 𝑡4)32

= √𝑡4 + 4𝑡2 + 1

(√1 + 𝑡2 + 𝑡4)3

= [𝑡4 + 4𝑡2 + 1

(1 + 𝑡2 + 𝑡4)3]

12

Hemos hallado la curvatura de la la curva dada.

Cálculo de la torsión:

𝜌(𝑡) =[𝐹′(𝑡) × 𝐹′′(𝑡)]𝐹′′′(𝑡)

‖𝐹′(𝑡) × 𝐹′′(𝑡)‖2=

⟨𝑡2, −2𝑡, 1⟩. ⟨0, 0, 2⟩

(√𝑡4 + 4𝑡2 + 1)2=

2

𝑡4 + 4𝑡2 + 1

Por lo tanto:

𝜌(𝑡) =2

𝑡4 + 4𝑡2 + 1

FIN DEL TRABAJO

Especialista: Prof. Hery Rabel

Área de Matemática

Matemática.una.edu.ve

Este modelo de respuesta se elaboró para uso de los estudiantes y asesores debe servir como material

para la realimentación formativa de ellos. No utilizarlos como clave de corrección.

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MODELO DE RESPUESTAS Objetivos del 01 al 08. · 2020. 5. 20. · Trabajo Práctico Lapso 2019-2 733–3/13 =ln( 2𝑥+3) 2 3− 3 + Por lo tanto la integral resulta: ∫ 2𝑥−1