�Cada nucleão move-se num potencial médio geradopor todos os outros nucleões

Aproximação de Campo Médio

�Resolução da equação de Schrödinger de umapartícula com um potencial que admita estados ligados

MODELO EM CAMADAS

partícula com um potencial que admita estados ligados

� Obtem-se uma série de estados ligados (Ei

�Desta forma consegue-se a assimetria da energia de ligação quando A=constante Z e N diferente

�Ilustração: níveis equidistantes de ∆ε

ZN =

Fε

4+= ZN

2

E

EE

EE FF

>∆+=

∆++−=

ε

εεε

2

)(22'

flassimetria

�Correcção de Coulomb – introdução do potencial de Coulomb fl•níveis de energia dos protões, Ei

POTENCIAL CENTRAL

�- potencial central fl solução da eq. Sch. separável

�

)ˆ()()( rYrRr lmnlnlm =r

ψ

)()( rrRru nlnl =

)()()1(

)()(222

ruErull

rVrud

=

+

++−hh

)()( rVrV =r

3

)()(2

)1()()(

2 22ruEru

mr

llrVru

dr

d

mnlnlnlnl =

+++−

hh

barreira centrífugapuxa o nucleão para

a superfície

0 :

:

potencial de poço

0

=<

=<

V(r)Rr

-VV(r)Rr

MeV41~

2

1

harmónicooscilador

1/3-

22

×

=

A

rmV(r)

ω

ω

h

W.S.C. Williams, “Nuclear and Particle Physics”1

2

4

quarks de modelos nos usado

toconfinamen de potencial

:físico Pouco

MeV41~

∞ →∞→

×

r

Aωh

fm 0.5~ , fm 1.1~ MeV,50~

1

Woods-Saxon

0

0

aRV

VV(r)

d

Rr

e−

+

−=

3

W.S.C. Williams, “Nuclear and Particle Physics”

2

2

2

)1()(

mr

llrV

h++

5A barreira centrífuga puxa o nucleão para a superfície

)()()(

2 para )()(

)(2

para )()(

0 potencial de poço

)1(

2

)1(

02

0

rkl

irkl

jrkh

Em

iikRrrkhDrR

VEm

kRrrkjCrR

EV

nlnlnll

nlnlnlnllnlnl

nlnlnllnlnl

η

α

+=

−==>=

+=≤=

)(

)(

)(

)(

fronteira condições das resultante equação da raízes -

0 potencial de poço 0

Rkh

dr

Rkdh

Rkj

dr

Rkdj

E

EV

nll

nll

nll

nll

nl

=

ω l)(n-NNE

x

r L

x

r

xCrR

nl

l

n

l

nlnl

x

r

e

h

h +=

+=

=

−+

20

2

2

0

22/1

0

2/3

0

12 2

3

1)(

harmónicooscilador

2

1

2

fldegenerescência

Polinómios de Laguerre generalizados

8

ωmx

h=20

3 Saxon-Woods

Resolução da equação radial é numérica

Funções radiais são funções numéricas

Saxon-Wood

Nºs mágicos :

12682502820

9Grein et Marhun, “Nuclear Models”

2082

Não são todos

reproduzidos

Introdução da interacção spin-órbita

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

111

2

1

0,0,

0,,,

)()()(

22

±=⇒+≤≤−

→

≠∧≠

===

⋅+→

ljljl

nljmmnlm

SHLH

SHLHJH

SLrWrVrV

jsl

zz

r

rr

10

2

1

2

1

2

1±=⇒+≤≤− ljljl

Conclusão�os níveis de energia (de 1 partícula) têm j semi-inteiro

�Os níveis de energia têm degenerescência 2j+1=par

�Um nível de energia pode conter 2j+1 nucleões :

1 nucleão em cada estado jnljm

)2

1()( Para 2

2

1

2

1 +=−⇒=−=+=

lCEECrWljlj

h

Experimentalmente verifica-se que

2

2

1

2

1

MeV/ 6.03.0~

0

h−

Osc. Harmónico Osc. Harmónico + spin-órbitaOsc Harmónico

major shell

closure

Grein et Marhun“Nuclear Models”

12

closure

Nºs mágicos 2, 8, 20,28, 50, 82, 126

Spin do núcleo

�Um nível de energia, caraterizado por n, l e j, totalmente

preenchidos tem α identifica a camada

�Uma camada fechada, com os níveis totalmente preenchidos,

tem

�O núcleo com as camadas todas fechadas – necessariamente

012

1

=∑+

==

j

i ijnlj mM

α

0==∑nlj

nljMMαα

13

núcleo par-par - tem

�O núcleo com as camadas todas fechadas – necessariamente

núcleo par-par - tem momento angular orbital nulo – J=0

porque, fisicamente, não faz sentido existir apenas o estado

do multipleto

�Experimentalmente verifica-se que os núcleos par-par têm J=0

⇒=∑= 0α

αMM J

JJM

0J

Spin do núcleo

�Resultado aplica-se nível a nível, para que, quando se

acrescenta um nível totalmente preenchido, se mantenha J=0 Ø

independente do modelo

�Núcleo de camadas totalmente preenchidas com + ou – 1

nucleão - núcleo par-ímpar - tem o spin do estado desse nucleão

14

Ø dependente do modelo, ordenamento dos níveis é crucial

�Interpretação

•2 protões ou 2 neutrões que ocupem o mesmo nível nlj ,

acoplam o seu spin para zero

•Existência de uma interacção efectiva de emparelhamento

entre nucleões da mesma espécie

Spin do núcleo

�Sumário

•Núcleo par-par – J=0 Ø independente do modelo

•Núcleo par-ímpar – J=j do nucleão ou lacuna extra Ødependente do modelo

•Núcleo ímpar-ímpar – o modelo não prevê

�Ex:

15

�Ex:•deuterão – Z=N=1 fl camada 1s1/2 dos protões e dos neutrõesincompleta fl J=1∫0

•3He – Z=2, N=1 camada 1s1/2 dos protões completa e a dos

neutrões com um neutrão fl J=1/2

•partícula α – Z=N=2 fl camada 1s1/2 dos protões e dos neutrõescompletas fl J=0

•5He - Z=2, N=3 camada 1s1/2 dos protões e dos neutrões

completas e camada 1p3/2 dos neutrões com um neutrão fl J=3/2

Paridade do núcleo

�Paridade do núcleo é porque

�Núcleo par-par•Camadas cheias têm nº par de protões e neutrões – 2j+1=par

•Última camada, completa ou não, tem também nº par de

protões e neutrões

∏=

−=ΠA

i

il

1

)1( 1== np ππ

16

•Π = 1

�Núcleo par-ímpar

•Π = paridade do nucleão ou lacuna extra

�Núcleo ímpar-ímpar

•Π = produto das paridades dos nucleões ou lacunas extras

Momento dipolar magnético

�Núcleo par-par – J=0 fl µd=0 – verificado experimentalmente

�Núcleo par-ímpar :

−=

=

=

=

Ψ+Ψ= ∑=

82613

0

58565

1

] [

1

z0

.g

g

.g

g

sglg

Sn

nl

Sp

lp

JJA

i

iSiili

JJ

N

rrµµ

17

•única contribuição devida ao nucleão ou lacuna extra

• J=j do nucleão ou lacuna extra

fl

•Verificação experimental: apenas quando o nucleão ou lacuna extra estão perto de uma “major shell closure”

�Núcleo ímpar-ímpar : o modelo não faz previsão

2

1 ;

120 ±=

+±= lj

l

-gg gj lslNµµ

Momento quadripolar eléctrico

�Núcleo par-par – J=0 fl Q2=0

�Núcleo par-ímpar :

•a única contribuição é devida ao nucleão ou lacuna extra

• J=j do nucleão ou lacuna extra

JJZ

i

ii

JJrYrQ ψψ

π∑

=

=1

20

2

2 )ˆ(5

16

18

• J=j do nucleão ou lacuna extra

fl

•Verificação experimental: apenas quando o nucleão ou lacuna extra estão perto de uma “major shell closure”

•Em geral, e na natureza, Q2 > 0 e muito maior

�Núcleo ímpar-ímpar : o modelo não faz previsão

núcleo do raio - ~ 2

3 ;

12

12 222 Rrj

j

jrQ ≥

+

−−=

Momento quadripolar eléctrico - Exemplos

�Núcleo par-ímpar : o nucleão ou lacuna extra estão perto de uma “major shell closure”

50.01 -proton Bi

060.0 1proton K

026.01 -neutron O

exp

(barns)

state particle

singleNucleon Núcleo

1209

139

19

117

8

2

23

25

−

−

)h(

)d- (

)d(

Q

/

/

= 0 no modelo porque o neutrão não tem carga

< 0 no modelo

19

�Núcleos muito deformados

50.01 -proton Bi 120983 29 −)h( /

0.55

3.17

Au

Ta

3.49Lu

3.58Ho

0.81In

(barns)Núcleo

197

79

181

73

175

71

165

67

115

49

2Q

Experimentalmente verifica-se:

núcleos muito deformados têm em

geral Q2>0 – são prolate

ESTADOS EXCITADOS

�Estados excitados correpondem à excitação •de nucleões mais externos nos níveis do estado fundamental •para níveis mais energéticos

�Ex: - núcleo com neutrão extra para além da major shell closure

•Sequência dos níveis de 1 partícula:

O178

nl

20

•Sequência dos níveis de 1 partícula:

•Estado fundamental

L2/5 ,2/3 ,2/7 ,2/3 ,2/1 ,2/5 ,2/1 ,2/3 ,2/1 121121111 fpfdsdpps

major shell closure

2/11s

2/51d

2/31p

2/11p

+

2

5Estado fundamental

jnl

+Π ==⇒

==

=

2

5

1

π

πjJ

)(-Π

jJ

l

ESTADOS EXCITADOS�

• Estados excitados previstos pelo modelo em camadas simplesO178

2/32 p

2/5 1 f

2º estadoexcitado

2/32 p

2/5 1 f

1º estadoexcitado

2/32 p

2/5 1 f

estadofundamental

2/32 p

2/5 1 f

3º estadoexcitado

−7

21

2/3 1d

2/51d

2/11p

2/1 2s

2/7 1 f

2/3 1d

2/51d

2/11p

2/1 2s

2/7 1 f

2/3 1d

2/51d

2/11p

2/1 2s

2/7 1 f

2/3 1d

2/51d

2/11p

2/1 2s

2/7 1 f

+

2

5

+

2

1

+

2

3

−

2

7

O178

ESTADOS EXCITADOS�

• Estados excitados verificados experimentalmenteO178

2/32 p

2/5 1 f

2º estadoexcitado

2/32 p

2/5 1 f

1º estadoexcitado

2/32 p

2/5 1 f

estadofundamental

2/32 p

2/5 1 f

3º estadoexcitado Informação

experimentaldesacordo no ordenamento

dos níveis

22

2/3 1d

2/51d

2/11p

2/1 2s

2/7 1 f

2/3 1d

2/51d

2/11p

2/1 2s

2/7 1 f

2/3 1d

2/51d

2/11p

2/1 2s

2/7 1 f

2/3 1d

2/51d

2/11p

2/1 2s

2/7 1 f

+

2

5

+

2

1

−

2

1

−

2

5

O178

dos níveis