Análisis Dinámico en Economía y Empresa

Sara Báez Ávila

Susana Santana González

ÍNDICE

Reseña Histórica

Hipótesis Teóricas-Económicas del Modelo

Formulación Matemática del Modelo

Resolución del Modelo

Caso Mauritania

Caso Estados Unidos

Estudio de la Convergencia entre Mauritania y Estados Unidos

Conclusiones

Bibliografía

Reseña Histórica:

Roy Forbes Harrod

Economista británico. Seguidor de John Maynard Keynes, estudió las

condiciones del crecimiento armonioso en una economía capitalista y los posibles

factores que condicionan su inestabilidad. Harrod estudió la carrera universitaria en las

dos universidades más prestigiosas del país, en Oxford y Cambridge. Fue uno de los

discípulos más aventajados del famoso economista Keynes. En el año 1922, recién

licenciado, comenzó a impartir clases en el Christ Church de Oxford, donde permaneció

hasta 1967. Su actividad docente tan sólo se vio interrumpida por la Segunda Guerra

Mundial, en la que sirvió a su país como consejero personal del primer ministro

Winston Churchill.

Nombrado, entre los años 1945 a 1961, director adjunto del Economic Journal,

en el año 1948 publicó su primera obra de relieve, Towards a Dynamic Economics

(Hacia una economía dinámica), en la que afirmó, siguiendo la teoría keynesiana, que la

cuestión decisiva en el crecimiento económico de un país estribaba en la tasa de

aumento del producto nacional, necesario para garantizar el uso pleno de una cantidad

de capital siempre creciente.

En 1952 fue nombrado asesor del Fondo Monetario Internacional. Desde este

puesto, Harrod siguió haciendo notables aportaciones teóricas sobre comercio

internacional, los problemas de la liquidez internacional, los problemas de crecimiento

económico superando las condiciones del equilibrio estacionario y los ciclos

económicos; para ello se basó en esquemas del tipo de "principio de aceleración".

En relación a este último punto y teniendo en cuenta la función que realiza el

progreso técnico, Harrod elaboró un modelo económico, quizá el más célebre de todos

los modelos de crecimiento, que expuso en su artículo Essay in Dinamic Theory. De una

manera totalmente independiente, el estadounidense Ensey David Domar hizo el mismo

hallazgo en el año 1946, por lo que el modelo económico fue bautizado con el nombre

de Harrod-Domar.

Evsey David Domar

Economista estadounidense de origen polaco. Representante de la escuela

keynesiana, fue responsable del célebre modelo Harrod-Domar de crecimiento

económico, así como de diversos trabajos en historia económica.

Pasó su juventud en Manchuria y China, hasta que en 1936 emigró a los Estados

Unidos. Ingresó en la Universidad de Berkeley (California), donde se licenció en 1939,

y posteriormente pasó a la Universidad de Michigan en la que obtuvo el doctorado en

Estadística Matemática en 1941. En 1943 se licenció en Ciencias Económicas por la

Universidad de Harvard, materia en la que se doctoró en 1947 en ese mismo centro.

Entre 1943 y 1946 fue asesor económico del Consejo de Gobernadores de la Reserva

Federal, y al año siguiente profesor ayudante de Economía en el Instituto Carnegie de

Tecnología.

En 1946 contrajo matrimonio con Carola Rosenthal, con quien tuvo dos hijos.

Sus primeros trabajos trataron acerca del déficit público y su influencia sobre el

crecimiento económico, así como en las cuestiones del pleno empleo y la acumulación

de capital. En 1946 desarrolló, paralelamente a Roy F. Harrod, un modelo de

crecimiento basado en las tesis keynesianas sobre el papel ejercido por la demanda.

En 1958 fue nombrado profesor de Economía en el Instituto de Tecnología de

Massachusetts, centro en donde permaneció hasta su jubilación en 1984. Fue asesor

económico de varios organismos. Sus obras más destacadas fueron Expansión y Empleo

(1947), Acumulación de Capital y Fin de la Prosperidad (1949), Ensayos sobre Teoría

del Crecimiento Económico y Capitalismo (1957), La Granja Colectiva Soviética como

productor Cooperativo (1966), Las causas de la Esclavitud: una hipótesis (1970) y

Capitalismo,Socialismo y Servidumbre (1989).

El modelo Harrod-Domar expresa las condiciones que debe tener una economía

capitalista o de mercado para generar el volumen de demanda global necesario para

permitir el desarrollo sostenido y equilibrado. Sin abandonar nunca el sistema

keynesiano, este modelo considera la capacidad productiva como una variable a lo largo

del tiempo. Para garantizar el equilibrio a largo plazo no basta con el volumen de

ahorro, sino que es preciso que en todo momento se dé una total utilización de la

capacidad productiva, incrementada a través de las nuevas inversiones.

Principales Contribuciones al Crecimiento del Tercer Mundo:

El pionero de la doctrina de las etapas de crecimiento económico fue W. W.

Rostow, él establecía que cada sociedad, de acuerdo a su dimensión económica, debería

ser considerada dentro de alguna de las siguientes "etapas": la sociedad tradicional; las

condiciones previas para el despegue hacia el crecimiento autosostenido; el despegue; el

camino hacia la madurez; y la era del consumo masivo. Con esto se argumentaba que

los países subdesarrollados que se encontraran en la primera o segunda etapa

alcanzarían un nivel de crecimiento autosostenido siempre que siguieran un conjunto de

reglas; dentro de las que resaltaba, principalmente, el fomento del ahorro interno y

externo en forma tal que con ese ahorro se proporcionaran los recursos necesarios para

mantener un nivel de inversión suficiente con el que se generara crecimiento.

Luego de la doctrina de Rostow surge una teoría del crecimiento fundamentada en las

ideas del británico John Maynard Keynes. Dicha teoría sentó las bases del crecimiento

económico de la postguerra en los países industrializados y enfatiza en un equilibrio

económico a largo plazo. Los encargados de su elaboración fueron Evsey Domar y Roy

Harrod.

Harrod y Domar se preocuparon por averiguar cuan capaz sería una economía de crecer

en estado estable. Dicho estado se refiere a un período en que la producción y el empleo

crecen de una forma proporcional y constante, así como el ahorro y la inversión capaces

de generar la existencias de capital suficientes para mantener la relación capital-

producto fija.

Dentro del modelo Harrod-Domar se distingue la producción de una única mercancía

compuesta que puede consumirse, o acumular como existencias de capital; además, la

oferta de trabajo es homogénea. Este modelo toma en cuenta los siguientes supuestos:

1. La población y la mano de obra crecen a una tasa proporcional constante (n) y

además son determinadas exógenamente.

2. La proporción de ahorro neto (s) e inversión neta con respecto al producto neto

es invariable o fija.

3. No hay cambio tecnológico. La tecnología está representada por coeficientes

fijos que son: la fuerza de trabajo necesaria para cada unidad de producción, y la

relación capital / producto (nivel de capital necesario para cada unidad de

producción, v).

Harrod y Domar establecen que estos supuestos son válidos en la descripción de

"economías en crecimiento" si y sólo si el ahorro es igual al producto de la relación

capital / producto por la tasa de crecimiento de la población y de la mano de obra, o sea

s = vn. Si una economía logra esto, entonces, habrá llegado al estado estable.

La ecuación de crecimiento de Harrod-Domar refleja que la tasa de cambio del PNB

está determinada por la razón del ahorro nacional y la relación capital/producto, así:

PNB = F(s, v), de esta manera se establece que lo único que las economías necesitan,

para crecer rápidamente, es aplicar una política económica orientada a ahorrar e invertir

(productivamente) más.

Tanto la teoría de las etapas de crecimiento de Rostow como el modelo Harrod-Domar

pasaron a ser tan sólo una herramienta intelectual con respecto a los países

subdesarrollados, ya que el deseo de querer implantar un "nuevo Plan Marshall" a

dichas economías (a las que se transferían enormes cantidades de capital) no

funcionaría, pues a diferencia de los países europeos después de la segunda guerra

mundial, los países subdesarrollados no contaban con las condiciones necesarias para

que la ayuda que se les proporcionara se tradujera en crecimiento y mucho menos en

desarrollo. Además, de esto se deduce que el ahorro y la inversión son características

necesarias del crecimiento, pero no suficientes.

Con los modelos neoclásicos de cambio estructural se superan algunos de los problemas

de las teorías del crecimiento por etapas. La teoría del cambio estructural centra su

análisis en la manera en la que los países subdesarrollados, (que poseen estructuras

económicas de subsistencia) modifican su estructura para convertirse en sociedades más

modernas y complejas que dan mayor importancia al rol de la industria y de los

servicios dentro de su economía.

Hipótesis del Modelo:

Desde un punto de vista económico, las hipótesis de Harrod son esencialmente

diferentes a las de Domar.

En el de Harrod, aparece una clara hipótesis de comportamiento referente a las

decisiones de inversión de los empresarios que da lugar a una función de inversión.

1. El ahorro depende del ingreso.

2. La inversión depende del ingreso.

3. En consecuencia, todo ahorro se invierte.

En el modelo de Domar por el contrario no hay función de inversión (en el sentido

de relación de comportamiento), pues su problema es diferente: lo que el quiere es

determinar la tasa a la cual la inversión debe de crecer para que no haya capacidad

ociosa, y no introduce función de inversión alguna para explicar cómo ésta puede en

realidad crecer a esa tasa.

1. La inversión incrementa la capacidad productiva.

2. La capacidad productiva, incrementa a su vez la producción potencial.

3. Dicha producción debe ser absorbida por un incremento de la demanda agregada

(consumo más inversión).

Formulación Matemática del Modelo:

Planteamiento según Harrod:

-El ahorro viene dado por: St = sYt-1

-La inversión adopta la forma: It = k (Yt – Yt-1)

-El equilibrio se consigue igualando el ahorro a la inversión, por lo tanto:

sYt-1 = k (Yt – Yt-1)

de donde,

kYt – (k+s) Yt-1 = 0

y por tanto

Yt – [(k+s)/k] Yt-1 = 0

- La solución de esta ecuación homogénea es:

Yt = A [(k+s)/k]t = A [(1 + (s/k))]

t

* Nota:

· Propensión marginal (y media) a ahorrar “s”

· Coeficiente de aceleración “k”

· Renta nacional “Y”

· Valor inicial de la renta “A”

· Tasa de crecimiento constante “s/k” (A ésta, Harrod la denomina tasa de crecimiento

garantizada y es tal que, si la renta crece a ese ritmo, asegura la continua igualdad a lo

largo del tiempo entre el ahorro y la inversión, es decir, que permite alcanzar un

equilibrio dinámico. Se caracteriza por ser inestable).

- Equilibrio dinámico:

St = sYt-1 = sA [(k+s)/k]t-1

,

It = k (Yt – Yt-1) = k [A ((k+s)/k)t – A((k+s)/k)

t-1]

La ecuación de la inversión puede ser transformada del siguiente modo

It = k A((k+s)/k)t-1

[((k+s)/k)-1] = k A((k+s)/k)t-1

[s/k]

De modo que

It = [(k+s)/k]t-1

es igual a la expresión de St , puesto que hemos obtenido Yt

como función del tiempo, imponiendo la condición de que It = St .

Planteamiento según Domar:

- La capacidad productiva viene dada por:

P´ = I

- En equilibrio, un aumento en la producción es igual a un aumento en la demanda

agregada:

(1) Y´ = C´ + I´

(2) Y´ = ( 1-s)Y´ + I´

(3) Y´ = ( 1/s)I´

- El incremento en la producción potencial deberá ser igual al de la producción real, es

decir

Y´ = P´

- De acuerdo con lo expuesto anteriormente, observamos

I(t) = sI la cual expresa la relación que debe cumplir la inversión

para que la capacidad productiva esté totalmente utilizada en el tiempo, cuya solución es

I(t) = I0e s t

- Si la inversión crece a “ s”, la producción aumentará en la misma proporción,

integrando con respecto al tiempo los dos miembros (Y´, I(t) ), tenemos

sY = I + A

sY = I0e s t

+ A es decir,

Y = (1/s) I0es t

+ (A/s)

- Suponiendo que partimos de una situación de equilibrio, tendremos que tener sY0 = I0

de modo que, Y0 = (1/s) I0 y, consecuentemente, A debería ser cero. En estas

condiciones

Y(t) = Y0e s t

Y por tanto también Y crecerá a la tasa s .Por consiguiente, la renta crece a un ritmo

que es el mismo que se obtiene en el modelo de Harrod ( s = s/k).

RSolve y tk s

ky t 1 0, y t , t

*Nota:

· Producción Potencial “P (t)”

· Producción (Renta) Efectiva “Y”

· Productividad Potencial Social Media de la Inversión “ ”

· Inversión “I”

· Incremento de Volumen de Capital “k”

· Tasa Constante (proporcional) “s ”

· Constante Arbitraria “A”

Resolución del Modelo (Caso Mauritania)

Año Producto Interno Bruto (PIB) per capita (US$)

2000 1910

2001 2000

2002 1800

2003 1900

2004 1800

2005 1800

2006 2200

2007 2600

2008 1800

*Según Harrod:

Supongamos que la propensión (marginal y media) al ahorro

es 0.2 “s”, el coeficiente de aceleración “k” es 2,

entonces:

k=2

s=0.2

RSolve y tk s

ky t 1 0, y 0 1800 , y t , t

y tk s

k

1 t

C 1

*Según Domar:

Resolución del Modelo (Caso Estados Unidos)

=0.5 s=0.2

DSolve[{y'[t] *s*y[t],y[0]1800},y[t],t]

y t 18000.1t

y t_ 18000.1`t

18000.1t

m=Table[y[t], {t,0,20}]

{1800,1989.31,2198.52,2429.75,2685.28,2967.7,3279.81,362

4.75,4005.97,4427.29,4892.91,5407.5,5976.21,6604.73,7299

.36,8067.04,8915.46,9853.11,10889.4,12034.6,13300.3}

ListPlot[m,PlotJoinedTrue,PlotStyleHue[0.8]]

5 10 15 20

2000

4000

6000

8000

10000

12000

Año Producto Interno Bruto (PIB) per capita (US$)

2000 33900

2001 36200

2002 36300

2003 37600

2004 37800

2005 40100

2006 41600

2007 44000

2008 46000

*Según Harrod:

*Según Domar:

k=2

s=0.2

RSolve y tk s

ky t 1 0, y 0 13860 , y t , t

y t 13860. 1.1t

y t_ 13860.` 1.1`t

13860. 1.1t

m=Table[y[t], {t,0,20}]

{13860.,15246.,16770.6,18447.7,20292.4,22321.7,24553.8,2

7009.2,29710.1,32681.2,35949.3,39544.2,43498.6,47848.5,5

2633.3,57896.7,63686.3,70055.,77060.5,84766.5,93243.1}

ListPlot[m,PlotJoinedTrue,PlotStyleHue[0.4]]

5 10 15 20

20000

40000

60000

80000

Al aplicar el modelo de Harrod y Domar a los casos de Mauritania, en

referencia a un país subdesarrollado, y Estados Unidos, en representación de los países

desarrollados, observamos en ambos casos el crecimiento continuo de la renta a lo largo

del tiempo.

=0.5 s=0.2

DSolve[{y'[t] *s*y[t],y[0]13860},y[t],t]

y t 138600.1t

y t_ 138600.1`t

138600.1t

m=Table[y[t], {t,0,20}]

{13860,15317.7,16928.6,18709.,20676.7,22851.3,25254.6,27

910.6,30846.,34090.1,37675.4,41637.7,46016.8,50856.5,562

05.1,62116.2,68649.,75868.9,83848.1,92666.5,102412.}

ListPlot[m,PlotJoinedTrue,PlotStyleHue[0.6]]

5 10 15 20

20000

40000

60000

80000

100000

Estudio de la Convergencia entre Mauritania y

Estados Unidos:

*Mauritania:

m={{0,1910},{1,2000},{2,1800},{3,1900},{4,1800},{5,1800},

{6,2200},{7,2600},{8,1800}}

{{0,1910},{1,2000},{2,1800},{3,1900},{4,1800},{5,1800},{6

,2200},{7,2600},{8,1800}}

g1=ListPlot[m,PlotJoined True,PlotStyle Hue[0.4]]

2 4 6 8

2000

2200

2400

2600

En esta gráfica podemos observar que la renta es oscilante en el tiempo.

*Estados Unidos:

m={{0,9255},{1,9963},{2,10082},{3,10400},{4,10990},{5,117

50},{6,12310},{7,13130},{8,13860}}

{{0,9255},{1,9963},{2,10082},{3,10400},{4,10990},{5,11750

},{6,12310},{7,13130},{8,13860}}

g2=ListPlot[m,PlotJoined True,PlotStyle Hue[0.10]]

2 4 6 8

10000

11000

12000

13000

Conclusiones:

El sistema económico no puede avanzar a una velocidad mayor que la que la

tasa natural permite. Si la tasa de crecimiento posible fuera superior a la tasa natural se

produciría una tendencia crónica a la depresión, por el mecanismo explicado

previamente. Por esto, cuando la tasa permitida empieza a exceder la tasa natural,

aquella debe ser reducida. Esto podría ocurrir, por ejemplo, si la tasa de ahorro es muy

elevada lo que podría hacer pensar que es beneficioso para el crecimiento de la

economía, cuando podría producir un resultado exactamente opuesto al deseado. Como

conclusión, podríamos decir que la tasa de crecimiento permitida no puede superar a la

tasa natural, sino que debería ser igual.

*Mauritania y Estados Unidos:

2 4 6 8

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

Esta gráfica muestra la no convergencia entre Mauritania y Estados Unidos,

dado la gran diferencia de los niveles de renta de dichos países. Además, podemos

observar el continuo crecimiento de Estados Unidos (naranja), a diferencia del

estancamiento que presenta Mauritania (verde).

Bibliografía:

* Métodos y Modelos Matemáticos de la Dinámica Económica (Giancarlo

Gandolfo).

*Análisis Discreto en Economía y Empresa (Concepción González

Concepción, Javier A. Barrios García).

* www.indexmundi.com