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La Universidad Católica de Loja
Ecuaciones Diferenciales
TEMA:
Determinar la cantidad de alumnos que ingresan
anualmente en la Carrera de Ingeniería Civil de la
Universidad Técnica Particular de Loja
Integrantes:
Ana Poma
Ismael Armijos
Docente:
Ing. Germania Rodríguez
Loja - Ecuador
JUSTIFICACIÓN
En la actualidad los modelos matemáticos son utilizados en muchas ramas como la
biología, la química, la física, etc., es por ello que se ha hecho necesario identificar la
manera de construir modelos para dar solución a los problemas que se nos presente.
OBJETIVOS
ESPECÍFICO
Tratar de resolver un problema real utilizando procesos matemáticos, es decir
tratar de modelizar un problema.
GENERALES
Modelar la situación problemática relacionada con el crecimiento exponencial
de los alumnos de la carrera de Ingeniería Civil que ingresan anualmente en la
Universidad Técnica Particular de Loja.
Identificar y resolver ecuaciones diferenciales de primer orden de variables
separables y las respectivas soluciones.
Graficar en un mismo plano de familias de soluciones una ecuación diferencial.
ESTRATEGÍA
Modelar la situación problemática relacionada con el crecimiento exponencial de los
alumnos de la carrera de Ingeniería Civil que ingresan anualmente en la Universidad
Técnica Particular de Loja.
Para ello es necesario obtener datos con la ayuda de la secretaria de la escuela de
Ingeniería Civil, la cual nos proveerá los datos de los alumnos matriculados desde los
periodos comprendidos entre Abril 2007/Agosto 2007 hasta el presente periodo
octubre 2009/febrero 2010.
Es importante mencionar que el índice de crecimiento o decrecimiento de la población
se mide anualmente y la unidad de variación del tiempo es el año. Esa consistencia de
unidades es importante en la resolución de este tipo de problemas, caso contrario seria
necesario un ajuste “no lineal” del valor de la constante de crecimiento de la población.
La no linealidad seria definida por el tipo de solución continua que se obtiene al
resolver el problema (en el presente caso una variación exponencial).
LEVANTAMIENTO DE INFORMACIÓN
Luego de haber obtenido las actas de matriculados de la escuela de Ingeniería Civil
desde hace unos tres años y analizado los datos históricos referente al tema planteado
se ha hecho un análisis de este y se ha definido la ecuación diferencial de crecimiento
poblacional la cual utilizaremos para el cálculo de las variables. El siguiente cuadro
muestra los periodos de matriculas comprendido por ciclos y los periodos de
matriculas comprendidos por años ya que vamos a medir la población anualmente y la
unidad de variación del tiempo es el año, además la cantidad de estudiantes
matriculados por ciclo y sumados cada dos ciclos nos da la cantidad de estudiantes
matriculados por año:
CUADRO ESTADISTICO:
Periodos comprendidos por
ciclos
Periodos
comprendidos
por años
Cantidad de estudiantes
matriculados
Por ciclo Por año
Abril 2007/Agosto 2007 2007 368
782
Octubre 2007/Febrero 2008 2007 414
Abril 2008/Agosto 2008 2008 371
812
Octubre 2008/Febrero 2009 2008 441
Abril 2009/Agosto 2009 2009 414
834
Octubre 2009/Febrero 2010 2009 420
Tabla 1: periodos de matriculas y cantidad de estudiantes matriculados.
PLANTEAMIENTO DEL MODELO
Sea P (t) la cantidad de estudiantes en un instante cualquiera, entonces la rapidez con
que la población cambia es proporcional a la cantidad de estudiantes presentes en
dicho instante. Por definición el crecimiento de la población en un instante cualquiera
se calcula mediante la siguiente expresión:
Esta expresión define la ecuación diferencial que describe la variación de la población
con respecto al tiempo, donde la condición inicial es para:
t=0
Aplicando el método de variables separables
integrando
se obtiene
solución general implícita
aplicando exponencial
solución general explicita
RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN
Vamos a definir las variables que forman parte del problema:
P: Población de los estudiantes matriculados, que varía con el tiempo.
t: tiempo medido en años.
k: constante de proporcionalidad.
La población de los estudiantes matriculados en la carrera de Ingeniería Civil en el año
2007 es de 782 estudiantes, en el año 2008 es de 812 estudiantes y en el año 2009 es
de 834 estudiantes, entonces la rapidez con que la población cambia es proporcional a
la cantidad de estudiantes matriculados en dicho instante.
Queremos determinar la cantidad de estudiantes que habrá en el año 2014 y la
cantidad de estudiantes que había en el año 2002, tomando los datos del año 2007 y
del 2009 y mediante la ecuación:
En donde:
El año 2007 se hace coincidir con t=0
El año 2009 se hace coincidir con t=2
P (0)=782
P (2)=834
0.032189
entonces
por lo tanto se reemplaza t por 7
entonces 7 años después habrá
Es decir en el año 2014 habrá 979 estudiantes aproximadamente,
y 5 años antes había
Es decir en el año 2002 había 665 estudiantes aproximadamente.
En base a los cálculos realizados mediante la ecuación en los años 2007 y 2009 se estimó
un crecimiento natural de la población de estudiantes correspondiente al 3,218 % (lo cual
implica k = 0.03218).
AUTOMATIZAR EL MODELO (GRAFICAR)
Vamos a representar gráficamente mediante la herramienta visual studio 2008 la
variación de la población respecto al tiempo, basándonos en la ecuación diferencial, y
mediante dicho grafico estimar la cantidad de estudiantes que habrá en un
determinado instante.
La siguiente tabla muestra la variación del crecimiento poblacional de estudiantes
matriculados con respecto al tiempo.
t(años) P(número de estudiantes)
2007 782
2008 812
2009 834
2010 861.28
2011 889.45
2012 918.55
2013 948.60
2014 979.63
Tabla 2: El numero de estudiantes matriculados P(t) crece conforme aumenta el tiempo t.
PREDICCIÓN - PROSPECTIVA
Si en el año 2002 había aproximadamente 665 estudiantes matriculados, en el año
2007 había 782 estudiantes matriculados, en el presente año 2009 hay 834 estudiantes
matriculados, se puede predecir que para el año 2012 habrá 918 estudiantes
matriculados en la carrera de Ingeniería Civil, con un crecimiento natural de la población
de estudiantes correspondiente al 3,218 %.
CONCLUSIONES
Los problemas de crecimiento y decrecimiento exponencial aparecen en muchas
teorías que involucran crecimiento y cumplen la ecuación diferencial:
con la condición inicial:
t=0
A partir de esta ecuación lineal se puede calcular y modelar el crecimiento o
decrecimiento de una determinada población, y predecir la variación de dicha
población con respecto al tiempo.
A pesar de que la ecuación lineal es relativamente simple, la utilización de métodos
aproximados para analizar su comportamiento tiene un nivel de complejidad inferior
al de la obtención de la función primitiva correspondiente. Es más, la interpretación de
tablas y gráficos es mucho más sencilla que la interpretación de la función primitiva.
Estos hechos son más notorios cuando las ecuaciones deferenciales son más complejas,
cuando las funciones primitivas son mas elaboradas o cuando no puede obtenerse
analíticamente las funciones primitivas.
BIBLIOGRAFÍA
Texto guía: “Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado”, 8ª.
Edición, Dennis G. Zill,
http://tarwi.lamolina.edu.pe/~acg/Capitulo%20III%20Ecologia.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Crecimiento_poblacional
http://publiespe.espe.edu.ec/librosvirtuales/ecuaciones-diferenciales/ecuaciones-
diferenciales/ecuaciones-diferenciales06.pdf
http://www.grupoescalar.com/download/Modelos%20de%20poblaciones.pdf