El Proceso de Poisson en ConfiabilidadEnrique Villa
DiharceVerano de Probabilidad y Estadstica 2009CIMAT, Guanajuato,
Gto. 15 de Julio de 2009.Resumen:El objeto de estudio en
confiabilidad son la fallas de componentes o sistemas, por esta
razn una parte importante de los estudios en confiabilidad,
consiste en modelar procesos de falla y estimar las cantidades de
inters, como son principalmente:tasas de falla, y tiempo esperado
de falla.En esta platica se discute la modelacin de procesos de
fallas utilizando procesos de Poisson, ilustrando, como diferentes
restricciones de los procesos de fallas pueden ser consideradas a
travs de diferentes tipos de procesos de Poisson. Se ilustran los
modelos considerados, con ejemplos de datos de confiabilidad
reales.ContenidoSistemas y componentes no reparablesSistemas
reparablesProcesos de PoissonHomogneoNo homogneoInferenciaCalidad a
travs del tiempoLSE0tiempoConfiabilidad: Probabilidad de estar
dentro de especificacionesLIE1.0Los tiempos de vida de la unidades
que fallan, tienen un patrn aleatorio.Para modelar los tiempos de
vida o tiempos a la falla utilizamos variables aleatorias no
negativas.Toda la informacin de una variable aleatoria se encuentra
en su distribucin.La materia prima en los estudios de confiabilidad
son los tiempos de vida de las unidades estudiadas.Modelos de
confiabilidadFunciones de confiabilidad:) ( ) ( t T P t F =Funcin
de distribucin acumuladaFuncin de riesgoFuncin de densidad de
probabilidadesFuncin de confiabilidad) ( 1 ) ( ) ( t F t T P t C =
> =) ( / ) ( ) ( t C t f t h =dt t dF t f / ) ( ) ( =)} ( exp{ )
( t H t C =Tambin se cumple:Funcin de riesgo acumulado=tdu u h t
H0) ( ) (Funcin de riesgo) | (1lim) () ( 1lim) () ( ) ( 1lim) () (
) (lim) (/ ) () ( / ) ( ) (0 00 0t T t T t Pt T Pt T t Pt T Pt T P
t T Pt Ct F t Ft Cdt t dFt C t f t h> + < => + + = +== = )
| ( ) ( t T t T t P t h > + < Para delta
pequea:Distribuciones ms comunes en confiabilidadDistribucin
Exponencial = = = =) () exp( ) () exp( 1 ) () exp( ) (t ht t Ct t
Ft t fEsta distribucin modela adecuadamente el patrn de falla de
componentes que no envejecen, como por ejemplo algunos componentes
electrnicos.Distribucin Exponencial 1 / 1 , 1 = = = 0 1 2 3 4
50.00.20.40.60.81.0TiempoDensidad0 1 2 3 4
50.00.20.40.60.81.0TiempoDistribucin0 1 2 3 4
50.60.81.01.21.4TiempoRiesgo0 1 2 3 4
50.00.20.40.60.81.0TiempoConfiabilidadDistribuciones ms comunes en
confiabilidadDistribucin WeibullEsta es una distribucin muy
flexible, que puede modelar patrones de falla con funcin de riesgo
constante, creciente o decreciente. El parmetro de forma es y es el
parmetro de escala. 11) / )( / ( ) () / ( exp( ) () ) / ( exp( 1 )
(] ) / ( exp[ ) / )( / ( ) (= = = = t t ht t Ct t Ft t t
fDistribucin Weibull0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
3.00.00.20.40.60.8tiempodweibull(tiempo, 2, 1)0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
2.5 3.00.00.20.40.60.81.0tiempopweibull(tiempo, 2, 1)0.0 0.5 1.0
1.5 2.0 2.5 3.00123456tiempo2 * tiempo0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
3.00.00.20.40.60.81.0tiempo1 - pweibull(tiempo, 2, 1)1 , 2 = =
Distribuciones ms comunes en confiabilidadDistribucin LognormalEsta
distribucin es muy flexible y frecuentemente compite con la
distribucin Weibull en la modelacin de patrones de falla.) ( / ) (
) (] / ) ) [(ln( 1 ) (] / ) ) [(ln( ) (] / ) ) [(ln( ) / 1 ( ) (t C
t f t ht t Ct t Ft t t f= = = = Distribucin Lognormal 5 . , 5 . = =
0 1 2 3 4 50.00.10.20.30.40.5TiempoDensidad0 1 2 3 4
50.00.20.40.60.81.0TiempoDistribucin0 1 2 3 4
50.00.20.40.60.81.0TiempoRiesgo0 1 2 3 4
50.00.20.40.60.81.0TiempoConfiabilidadComponentes o sistemas
noreparables: Son aquellos que al fallar se eliminan.Componentes o
sistemas reparables: Tenemos este tipo de componentes, cuando al
fallar se reparan y vuelven a funcionar.Proceso de
Poisson01t2t3t4t5t6t7tFalla y se reparaProceso de
Poisson01t2t3t4t5t6t7t6543217N(t)Proceso de Poissont]. (s,
intervalo el enocurrido han que fallas de nmero el representa ] [ ,
Para . 4). ( ) ( entonces , Si 3.entero. es ) ( . 2. 0 0 1.
satisfacesi conteo de proceso un es } 0 ), ( { o estocstic proceso
UnN(t)-N(s) t st N s N t st N) N(N(t)t t N
