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UNIVERSIDADE ESTAUDAL DE CAMPINAS-UNICAMP
MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA APLICADA E
COMPUTACIONAL
DISCIPLINA: MODELOS E MÉTODOS MATEMÁTICOS
PROFESSOR: RICARDO M. MARTINS
MODELO PRESA PREDADOR
LOTKA - VOLTERRA
DANILO FALCAO - RA: 154171
JORGE MENOR - RA: 154372
RAIMUNDO MARCOLINO - RA:
154170
CAMPINAS-SP
MAIO/2015
Slide 1 of 21 INTRODUÇÃO
O modelo presa – predador ou Lotka – Volterra trata da interação entre duas espécies,
onde uma delas (presa) dispõe de alimentos em abundância e a outra espécie (predador) tem
como suprimento alimentar a população de presa
Alfred J. Lotka (1880-1949)
Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Alfred_Lotka
Alfred J. Lotka (1880-1949).
No ano de 1925 estudou a interação predador-presa e publicou um livro chamado “Elements
of Physical Biology” . Famoso pelo seu trabalho em dinâmica populacioonal.
2 apresentação.nb
Slide 2 of 21
Vito Volterra (1860 – 1940)
Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Vito_Volterra
Vito Volterra (1860 – 1940).
Matemático e físico italiano. A essência de seu trabalho está resumida em seu livro Theory of
functionals and of Integral and Integro-Differential Equations (1930).
apresentação.nb 3
Slide 3 of 21 MODELAGEM
Sejam:
x = x(t) a densidade populacional das presas em um instante t;
y = y(t) a densidade populacional dos predadores em um instante t
4 apresentação.nb
Slide 4 of 21 Se modelarmos os encontros possíveis entre presa e predador pelo termo bilinear xy, o
sistema fica:
dx
dt
= ax - Αxy = xHa - ΑyL, dy
dt
= -cy + Γxy = yH-c + ΓxL.
(1)
onde a, Α, c e Γ são constantes positivas.
As equações (1) são chamadas equações de Lotka - Volterra em referência ao matemático
americano Alfred J Lotka (1980 - 1949) e ao italiano Vito Volterra (1860 - 1940)
O sistema presa – predador é não linear, mas pode ser analisado qualitativamente.
Fazendo
dy
dx
=yH-c+ΓxL.xHa-ΑyL
(2)
A equação (2) é separável, podemos resolver do seguinte modo:
àHa - ΑyL
y
ây = àH-c + ΓxL
x
âx
-clnx + Γx =
lny - Αy + k H3Londe k é uma constate de integração.
apresentação.nb 5
Slide 5 of 21Para representar as trajetórias usamos o método gráfico de Volterra:
z = f HxL = -clnx + Γx
w = g HyL = alny - Αy
z = w + k
Modelo clássico presa – predador obtido por Gause em testes de laboratórios em
1934
6 apresentação.nb
Slide 6 of 21 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO
Uma análise qualitativa é feita através dos pontos de equilíbrio.
O sistema presa – predador está em equilíbrio quando sua variação é nula.
:dx
dt
= ax - Αxy = 0 ® x = 0 ou y =a
Α
dy
dt
= -cy + Γxy = 0 ® y = 0 ou x =c
Γ
Os pontos críticos são:
H0, 0L e
c
Γ
,
a
Α
Análise do sistema linear correspondente próximo do ponto (0,0), desprezando os termos não
lineares
X' = J a 0
0 -c
N X, X' = AX e A = J a 0
0 -c
N H4L
Os autovalores e autovetores do sistema linear (4), são respectivamente,
r1 = a, Ξ1
= J 1
0
N
H5L
r2 = -c, Ξ2
= J 0
1
N
apresentação.nb 7
Slide 7 of 21 Solução geral é da forma:
X = C1 Ξ1
er
1t
+ C2 Ξ2
er
2t
X = c1 J 1
0
N eat
+ c2 J 0
1
N e-ct H6L
Os autovalores têm sinais contrários, neste caso (0,0) é um ponto de sela, logo, instável
8 apresentação.nb
Slide 8 of 21
Vamos analisar agora o ponto J c
Γ
,a
Α
Npara encontrar o sistema linear correspondente ao sistema
não linear (1), fazemos uma mudança de variável:
x = u +
c
Γ
e y = v +
a
Α
H7L
substituindo as Eqs. (7) no sistema (1) e despresando os termos não lineares encontramos o
sistema linear correspondente.
d
dt
J u
v
N =
0-Αc
Γ
Γa
Α
0
J u
v
N e A =
0-Αc
Γ
Γa
Α
0
H8L
Os autovalores do sistema (8) são
det
0 - r-Αc
Γ
Γa
Α
0 - r
= 0
r2
+ ac = 0
r = -i ac e r = i ac H9L
apresentação.nb 9
Slide 9 of 21 As soluções reais do sistema (8) são periódicas de período
2 Τ
ac
:u HtL = k
c
Γ
Cos ac t
v HtL = ka
Α
c
a
Sin ac t
:x HtL =
c
Γ
+ kc
Γ
Cos ac t
y HtL =a
Α
+ ka
Α
c
a
Sin ac t
H10L
As trajetórias do sistema (8) podem ser encontradas fazendo:
du
dv
= -
Αc
Γ
v
Γa
Α
u
Γ2
au
du
dv
= -Α2
cv
à Γ2
au âu = -à Α2
cv âv
Γ2
au2
+ Α2
cv2
= k
u2
k
Γ2
a
+
v2
k
Α2
c
= 1 H11L
onde k é uma constante de integração. Portanto, a Eqs. (11) são elipses em torno do ponto crítico
J c
Γ
,a
Α
N, que é um ponto de equilíbrio chamado de centro, pois fica no centro das trajetórias
elípticas, logo é estável.
10 apresentação.nb
Slide 10 of 21
A transferência das características dos pontos de equilíbrio dos sistemas linearizados (4) e (8)
correspondentes aos pontos críticos do sistema quase linear (1) é dada através do Teorema de
Linearização de Lyaponov-Poincaré.
As trajetórias fechadas em torno do ponto crítico J c
Γ
,a
Α
N descreve o ciclo ecológico.
A questão fundamental que deu origem ao modelo presa - predador foi a observação do biológo
italiano D’Ancona, que constatou um aumento relativo da população de tubarões no Mar Mediterrâ-
neo no período da I Guerra Mundial quando o perigo de bombardeios reduziu a pesca na região.
apresentação.nb 11
Slide 11 of 21EXEMPLO
O sistema abaixo pode ser interpretado como sendo a interação entre duas espécies com densi-
dades populacionais x(t) e y(t)
:dx
dt
= 1.5 x - 0.5 xy
dy
dt
= -0.5 y + xy
H12Londe a = 1.5, Α = 0.5, c = 0.5 e Γ = 1
Os pontos críticos são as soluções do sistema algébrico, onde o sistema está em equilíbrio:
:dx
dt
= 1.5 x - 0.5 xy = 0
dy
dt
= -0.5 y + xy = 0
H13L
[email protected] x - 0.5 x y � 0 && -0.5 y + x y � 0, 8x, y<D
88x ® 0., y ® 0.<, 8x ® 0.5, y ® 3.<<
Logo, os pontos críticos são (0,0) e (0.5,3)
12 apresentação.nb
Slide 12 of 21
Para encontrar o sistema linear correspondente ao sistema não linear (12) próximo da origem,
basta desprezar os termos não lineares, logo:
d
dt
J x
y
N = J 1.5 0
0 -0.5
N J x
y
N ou X' = Ax onde A = J 1.5 0
0 -0.5
N H14L
Precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz do sistema linear (14)
A = K1.5 0
0 -0.5
O;
Eigenvalues@AD
81.5, -0.5<Eigenvectors@AD
88-1., 0.<, 80., -1.<<
A solução geral é da forma:
X HtL = c1 J 1
0
N e1.5 t
+ c2 J 0
1
N e-0.5 t
,
x HtL = c1 e1.5 t
e y HtL = c2 e-0.5 t H15L
Assim, a origem é um ponto de sela para o sistema linear (14) e o não - linear (12), e portanto,
instável.
apresentação.nb 13
Slide 13 of 21Soluções X HtL = c1 e
1.5 t população de presas, para diferentes valores de c1.
Plot@8-4 [email protected] tD, -2 [email protected] tD, -1 [email protected] tD, 0, 1 [email protected] tD,
2 [email protected] tD, 4 [email protected] tD<, 8t, 0, 2<, AxesLabel -> 8t, x Presas<D
0.5 1.0 1.5 2.0
t
-40
-20
20
40
Presas x
14 apresentação.nb
Slide 14 of 21Soluções y HtL = c2 e
-0.5 t população de predadores para diferentes valores de c2.
Plot@8-4 [email protected] tD, -2 [email protected] tD, -1 [email protected] tD, 0, 1 [email protected] tD,
2 [email protected] tD, 4 [email protected] tD<, 8t, 0, 5<, AxesLabel -> 8t, y Predadores<D
1 2 3 4 5
t
-4
-2
2
4
Predadores y
apresentação.nb 15
Slide 15 of 21
As trajetórias do sistema (14) são encontradas fazendo
dx
dy
=
1.5 x
-0.5 y
Þ à1
x
âx = à-3
y
ây Þ lnx + 3 lny = k Þ elnx+3 lny
= ek
xy3
= k Þ y =
k
x
3 onde k é uma constante de integração.
PlotB:1
x
3,
2
x
3,
3
x
3,
4
x
3 >, 8x, 0, 10<, AxesLabel -> 8x presas, y Predadores<F
2 4 6 8 10
presas x
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
Predadores y
16 apresentação.nb
Slide 16 of 21 Para encontrarmos o sistema linear correspondente próximo ao ponto crítico (0.5,3) fazemos uma
mudança de variável:
x = u + 0.5 e y = v + 3 H16LSubstituindo as Eqs.(16) no sistema não linear (12) encontramos o sistema
du
dt
= -0.25 v - 0.5 uv
dv
dt
= 3 u + uv
Desprezando os termos não lineares, encontramos
d
dt
J u
v
N = J 0 -0.25
3 0
N J u
v
N ou U' = BU onde B = J 0 -0.25
3 0
N, U = J u
v
N H17L
apresentação.nb 17
Slide 17 of 21 Os autovalores e autovetores da matriz B do sistema (17) são
B = K0 -0.25
3 0
O
880, -0.25<, 83, 0<<Eigenvalues@BD
80. + 0.866025 ä, 0. - 0.866025 ä<Eigenvectors@BD
880. - 0.27735 ä, -0.960769 + 0. ä<, 80. + 0.27735 ä, -0.960769 + 0. ä<<
Como os autovalores são imaginários puros o ponto crítico (0.5 , 3) é um centro do sistema linear
(17) e, portanto, um ponto crítico estável para esse sistema. Representa um ponto de equilíbrio
estável para as populações de presas e predadores.
18 apresentação.nb
Slide 18 of 21As trajetórias são encontradas fazendo
dv
du
=
3 u
-0.25 v
à -0.25 v âv = à 3 u âu
3 u2
+ 0.25 v2
= K
Onde é uma constante de integração. As trajetórias do sistema (17) são elipses centradas no
ponto crítico (0.5,3)
s = DSolveBv'@uD �
3 u
-0.25 v@uD, v, uF;
Plot@Evaluate@v@uD �. s �. C@1D ® Range@0, 10DD, 8u, -5, 5<, AxesLabel ® 8u, v<D
-4 -2 2 4
u
-4
-2
2
4
v
apresentação.nb 19
Slide 19 of 21s1 = DSolveBy'@xD �
3 Hx - 0.5L
-0.25 Hy@xD - 3L, y, xF;
Plot@Evaluate@y@xD �. s1 �. C@1D ® Range@-10, 10DD, 8x, -5, 5<, AxesLabel ® 8x, y<D
-4 -2 2 4
x
-2
2
4
6
8
y
Tajetórias do sistema (17) nas variáveis x(t) e y(t) em torno do ponto de equilíbrio (0.5,3).
20 apresentação.nb
Slide 20 of 21
Usando as Eqs. (10), podemos encontrar soluções para o sistema linear (12)
x HtL =
c
Γ
+ k
c
Γ
Cos ac t e y HtL =
a
Α
+ k
a
Α
c
a
Sin ac t
a = 1.5; Α = 0.5; c = 0.5; Γ = 1;
k = 10;
PlotB:c
Γ
+ k
c
Γ
CosB a c tF ,
a
Α
+ k
a
Α
c
a
SinB a c tF >,
8t, 0, 10<, PlotLegends ® "Expressions", AxesLabel ® 8Tempo, yx<F
2 4 6 8 10
Tempo
-15
-10
-5
5
10
15
20
yx
0.5 ´1
1
+ 10 ´ 0.5 cosJ 1.5 ´ 0.5 tN
1.5
0.5
+
10 ´ 1.5
0.5
1.5
sin 1.5 ´ 0.5 t
0.5
apresentação.nb 21
Slide 21 of 21 BIBLIOGRAFIA
BOYCE, William E. & DI PRIMA, Richard C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de
Valores de Contorno. 8º ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006.
FIGUEIREDO, Djairo Guedes de e NEVES, Aloísio Ferreira. Equações Diferenciais Aplicadas. Rio
de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada (CMU) e CNPq,1997.
Rodney, Carlos Bassanezi. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estraté-
gia. 3ª edição - São Paulo - SP: Contexto, 2006.
22 apresentação.nb