UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR

DEMOSTRACIÓN MODELO π EQUIVALENTE DE UN TRANSFORMADOR  CON TOMA COMPLEJA

Prof. Juan Bermúdez, PhD

Ing. Guillermo Castro

Caracas, octubre 2011

MODELO GENÉRICO DE UN TRANSFORMADOR CON TOMA COMPLEJA

Nodo i Nodo kNodo α

1 : a + jb

a: Toma en faseb: Toma en cuadratura

iI kI

iii Vx θ = kkk Vx θ =

Considerando un transformador ideal se tiene que:

**ααα IxIxSS iii ===

jbaII

xx i

i

+== *

*

α

α (1)        (En por unidad)

TyαI

ααα θ Vx =

αIII ki ,, Son fasores

kTTTkk xyxyyxxII +−=−=−= ααα )(

De (1) , se sabe que

La corriente        se puede expresar como:kI

ixjbax )( +=α

(2) 

Sustituyendo (3) en (2)

(3) 

kTiTk xyxyjbaI ++−= )(

De (1) ,  la corriente       se puede expresar como:iI

( ) )()()( *** jbaIjbaIjbaII i −=+=+= ααα

(4) 

Combinando las ecuaciones (2) y (4) se tiene que: 

kTiTk xyxyjbaII −+=−= )(α

(5) 

(6) 

Ahora, sustituyendo (6) en (5) se obtiene la expresión de  

kTiTi xyjbaxyjbajbaI )())(( +−+−+=

iI

(7) 

En las ecuaciones (4) y (7) se tienen las expresiones de        

e           en función de las 

tensiones nodales         y                

iI kI

ix kx

kTiTk xyxyjbaI ++−= )(kTiTi xyjbaxyjbajbaI )())(( +−+−+=

En las ecuaciones (7) y (4) se observa que no hay simetría, es decir, el coeficiente de

en la ecuación (7) no es igual al coeficiente de          en la ecuación (4)

Para lograr simetría en el sistema, se procede con         , sumando y restando el término

en el lado derecho de la ecuación (4)

(7) 

(4) 

kx

ix

kI

iT xyjba )( +−

iTiTkTiTk xyjbaxyjbaxyxyjbaI )()()( +−−+−+++−=

kTiTkk xyxyjbaII ++−=Δ+ )(

Donde  iTk xbyjI 2=Δ (fuente de corriente ficticia) 

(8) 

Finalmente, con las ecuaciones (7) y (8) se puede modelar un sistema simétrico:

kTiTi xyjbaxyjbajbaI )())(( +−+−+= (7) 

kTiTkk xyxyjbaII ++−=Δ+ )( (8) 

Matricialmente se tiene que:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

+−−+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ+ k

i

TT

TT

kk

i

xx

yyjbayjbayjbajba

III

)()())((

Del sistema anterior se puede deducir lo siguiente:

TTikikikik yjbayjbaYyyY )()( −=+−−=−=⇒−=

Tik yjbay )( −=

TTio

ikiiioioikii

yjbayjbajbayyYyyyY

)())(( −−−+=⇒−=⇒+=

Tio yjbajbay )1)(( −+−=

TTTko

ikkkkokoikkokikk

yjbayjbayyyYyyyyyY

)1()( +−=−−=⇒−=⇒+=+=

Tko yjbay )1( +−=

Obtenidas las tres admitancias             ,        ,           

y la fuente de corriente ficticia 

es posible expresar el modelo π

equivalente para un transformador con toma compleja

de la siguiente forma: 

ioy koyiky kIΔ

MODELO π EQUIVALENTE DEL TRANSFORMADOR CON TOMA COMPLEJA

ioy koy

iI kI

iky

kIΔ

ixkx

Nodo i Nodo k 

:, ki xx Tensiones complejas de los nodos i, k

:, ki II Inyecciones nodales complejas de corrientes

Tik yjbay )( −=Tio yjbajbay )1)(( −+−=

Tko yjbay )1( +−=

iTk xbyjI 2=Δ

MODELO CONVENCIONAL DE TRANSFORMADOR CON TOMA EN FASE SOLAMENTE

iI kI

ixkx

Nodo i Nodo k 

Tay

Tyaa )( 2 − Tya )1( −

Si b = 0 en el caso del modelo con toma compleja, se obtiene el siguiente modelo convencional:

CASO DE ESTUDIO PARA VALIDAR EL MODELO π DE UN TRANSFORMADOR CON TOMA COMPLEJA

Dado el siguiente sistema de potencia:

Tz

ccc jQPS +=

cxNodo 3 Nodo 1 Nodo 2

dYn1Baja Alta

pujSc 4,01+=puxxc 0 12 ==

pujzT 05,0005,0 +=

Calcular          ,          y    3x1x fff jQPS +=

dYn1: Lado de baja atrasa 1x30°

al 

lado de alta

a)

Primero asumiendo un transformador  1:1 y luego aplicar el desfasaje

respectivo

b)

Luego, modelar el transformador con un tap

complejo de tal manera de obtener el 

desfasaje

de 30°

entre el lado de baja y el lado de alta del transformador

cIfI

a)

Primero asumiendo un transformador  1:1 y luego aplicar el desfasaje

respectivo

pupujxSIIxS

c

ccccc 3805,0 0770,14,01

** −=−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒=

puIzxxz

xxz

xxI cTcT

c

Tc 0468,0 0261,1 )()(

1121 =+=⇒−

=−

=

pupuexxj

0,4768 0261,1 5236,00468,0 0261,1613 −=−==

−π

pupueIIj

cf 0,9041 0770,1 5236,03805,0 0770,16 −=−−==−π

pujIxS ff 4580,00058,1*3 +==

b)   Luego, modelar el transformador con un tap

complejo de tal manera de obtener el 

desfasaje

de 30°

entre el lado de baja y el lado de alta del transformador

Para que el lado de alta del transformador adelante 30°

al lado de baja del transformadores necesario que la relación de transformación del transformador  (en por unidad) sea de:

5,0 ; 8660,05,08660,0)6

( )6

( :1:1 6 ==⇒+=+⇒ bajjSenCosej πππ

Nodo 3 Nodo 2 

ccc jQPS +=Tyjba )( −

Tyjbajba )1)(( −+− Tyjba )1( +−

32 2 xbyjI T=Δ

cI

20I32I30IfI

3x2x

pupujxSIIxS

c

ccccc 3805,0 0770,14,01

** −=−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒=

puz

xjbaxyjbaIT

T 1622,0 3015,10)1()1( 2220 −=

+−=+−=

2032320232 2)()( IIxbyjxxyjbaIIII cTTc +=+−−⇒+=Δ+

pujba

xjbaIIzx cT 4768,0 0261,1)()( 2203 −=

+−++

=

Balance de corrientes en el nodo 2

Despejando         de la ecuación anterior se tiene que:3x

puz

xjbajbaxyjbajbaIT

T 6389,0 5706,10)1)(()1)(( 3330 −=

−+−=−+−=

puz

xxjbaxxyjbaIT

T ,53232 5354,9))(()()( 232332 =

−−=−−=

pu III f 0,9041 0770,13032 −=+=

pujIxS ff 4580,00058,1*3 +==

pupuexxe

xx j

j 0468,0 0261,1 5236,04768,0 0261,11 6

3161

3 =+−==⇒=π

π

Fasorialmente

se tiene que:

pux 0 12 =

puIc 80,21 0770,1 °−=

puztIc 2,496 0541,0 °=

pux 68,2 0261,11 °=

pux 32,27 0261,13 °−=

1x adelanta 30°

a          , esto indica que el lado de alta adelanta 30°

al lado de baja    3x

EXPRESIONES  MATEMÁTICAS DE P y Q DE LA FUENTE DE CORRIENTE FICTICIA 

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ))()cos()..(2)()cos(

)..(2

; ..

..2.2..

**

*****

kikiikTTI

kikij

jikTTI

ikkij

ikj

ij

kik

TTT

iTkiTkkkI

jsenVVjbgjbSjsene

eVVjbgjbS

eVVeVeVxx

jbgy

xybjxxbyjxIxS

k

ki

ki

k

kiik

k

θθθθ

θθθ

θ

θ

θθθ

+−−=+=

−−=

−===

+=

==Δ=

Δ

Δ

Δ

Para 

modelar 

la 

fuente 

de 

corriente 

ficticia 

en 

un 

análisis 

de 

flujo 

de 

carga, 

es 

necesario obtener las expresiones de P y Q de dicha fuente.

Separando en parte real y parte imaginaria se obtiene que:

( )( ))()cos(2

)cos()(2

kiTkiTikI

kiTkiTikI

senbgVbVQ

bsengVbVP

k

k

θθ

θθ

+−=

−=

Δ

Δ

EJEMPLO DE CONTROL DE POTENCIA ACTIVA POR UNA RAMA HACIENDO USO DE  UN TRANSFORMADOR CON TAP COMPLEJO

1 2

3

Slack PQ

PQ

0 11 =V

95,0@5,02 == fpPg

75,05,1 jSc +=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

5,11jYcap

10,0 ; 20,001,0 1212 =+= BjZ

20,0 ; 15,002,0 1213 =+= BjZ

10,003,0 jZT +=

αje:1

)( gradosTap=α

1 2

3

Slack PQ

PQ

011 =V04860016312 , , −=V

11930985603 , , −=V

Flujos de P (Condición α=0)

02941, 50,

24250,

74180,78690,

5,1

24180,−

77450,−72550,−

1 2

3

Slack PQ

PQ

011 =V05310016412 , , −=V

11580985503 , , −=V

Flujos de P (Si deseamos que P23=P13, α=‐0,59 grados)

02981, 50,

26530,

76450,76450,

5,1

26450,−

75280,−74720,−

1 2

3

Slack PQ

PQ

011 =V00270013512 , , −=V

15490985003 , , −=V

Flujos de P (Si deseamos que P23=0,5xP13, α=6,05 grados)

02911, 50,

01000,

51000,01901,

5,1

01000,−

99820,−50180,−

Flujo de Carga Sistema de 2 nodos con transformadores en paralelo con taps  variables

Caso 2: TAP T1: 1,05 y TAP T2: 0,95

Flujos de P:

Nodo 1 

(Slack)T1

51731,

T2G1

D2

50001,

89530,

62190,

88190,−

61810,−

°= 011 V

Nodo 2(PQ)

01730,=Pperd

°−= 09122976302 ,,    V

Flujo de Carga Sistema de 2 nodos con transformadores en paralelo con taps  variables

Caso 2: TAP T1: 1,05 y TAP T2: 0,95

Flujos de Q:

Nodo 1 

(Slack)T1

92280,

T2

G1

D2

75000,

47211,

54930,−

33751,−

58750,

°= 011 V

RECIRCULACIÓN DE Q

Nodo 2(PQ)

°−= 09122976302 ,,    V

17280,=Qperd

Flujo de Carga Sistema de 2 nodos con transformadores en paralelo con taps  variables

Caso 3: TAP T1: 1  30°

y TAP T2: 1  ‐30°

Flujos de Corriente:

Nodo 1 

(Slack)T1

75111050012 ,, j−

T2G1

D2

9816074361 ,, j−

9540457929 ,, j−

7971507917 ,, j−−

49930772810 ,, j−−

4809102929 ,, j+

°= 011 V °= 81322838102 ,, ‐   V

Nodo 2(PQ)

Flujo de Carga Sistema de 2 nodos con transformadores en paralelo con taps  variables

Caso 3: TAP T1: 1  30°

y TAP T2: 1  ‐30°

Flujos de P:

Nodo 1 

(Slack)T1

50012,

T2

G1

D2

50001,

57929,

07917,− 49777,

99778,−

°= 011 V

RECIRCULACIÓN DE P

Nodo 2(PQ)

°= 81322838102 ,, ‐   V

00011,=Pperd

Flujo de Carga Sistema de 2 nodos con transformadores en paralelo con taps  variables

Caso 3: TAP T1: 1  30°

y TAP T2: 1  ‐30°

Flujos de Q:

Nodo 1 

(Slack)T1

751110,

T2G1

D2

75000,

95404,

79715, 61111,−

86110,

°= 011 V

Nodo 2(PQ)

°= 81322838102 ,, ‐   V

001110,=Qperd

Flujo de Carga Sistema de 2 nodos con transformadores en paralelo con taps  variables

Caso 4: TAP T1: 1,05  30°

y TAP T2: 0,95  ‐30°

Flujos de Corriente:

Nodo 1 

(Slack)T1

82531050752 ,, j−

T2G1

0102671169 ,, j−

8151420417 ,, j−−

33250872010 ,, j+−

5978010159 ,, j+

°= 011    V °−= 15731838502 ,,    V

Nodo 2(PQ)

D2

9304077051 ,, j−

Flujo de Carga Sistema de 2 nodos con transformadores en paralelo con taps  variables

Caso 4: TAP T1: 1,05  30°

y TAP T2: 0,95  ‐30°

Flujos de P:

Nodo 1 

(Slack)T1

50752,

T2

G1

D2

50001,

71169,

20417,− 62007,

12009,−

°= 011 V

RECIRCULACIÓN DE P

Nodo 2(PQ)

°−= 15731838502 ,,    V

00751,=Pperd

Flujo de Carga Sistema de 2 nodos con transformadores en paralelo con taps variables

Caso 4: TAP T1: 1,05  30°

y TAP T2: 0,95  ‐30°

Flujos de Q:

Nodo 1 

(Slack)T1

825310,

T2G1

D2

75000,

01026,

81514, 65530,−

09470,−

°= 011 V

Nodo 2(PQ)

075310,=Qperd

°−= 15731838502 ,,    V